ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

Transcript

1 ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ), осна и централна симетрија и сл.. Попуни табелу и нацртај график функције: ) = ; ) =- ; ) =,. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. Сваким линеарним изразом a + b где је променљива а a и b реални бројеви je oдређена линеарна зависност = a + b. Формулом = a + b, где је променљива а a и b дати реални бројеви је задата функција коју ће мо ми уобичајено звати линеарна функција. Параметар a зовемо коефицијент, а параметар b слободан члан. Пример Дата је функција =. а) Попунимо одговарајућу табелу.,5,5 = б) Представимо вредности за и израз у координатном систему O (сл. ). Ако промен љива узима све вредности из скупа реалних бројева (R)*, онда је график линеарне функције = права линија p. * Ако узима вредности из неког подскупа S R, онда је график део праве p. Такође, ако није наглашено које ће вредности узети, онда узима све вредности из R. 87

2 p - O -,5 p N Слика Пример Дужина једне странице правоугаоника је,5 cm. Изрази обим тог правоугаоника у зависности (функцији) непознате странице. Нека је непозната страница b. Тада је обим O једнак,5 + b, тј. O = b +. Страница b и обим O су позитивне величине (b > ; O > ), па ће табела бити: b,5,5 O 5 4 7,5 График обима у зависности од странице b је део праве m, јер је b > (сл. ). O m M(;5) Слика b 88

3 математикa за VIII разред основне школе Пример Места A и B удаљена су 4 km (сл. ). Из места B полази мотоциклиста и креће се сталном брзином km у минути, тако да стиже у место C за t минута. Изразити дужину пута AC у зависности од времена t. A 4 km B s=. t C Слика Нека је s дужина пута AC. Тада је s = 4 + t, а то је линеарна функција по t. Нацртај график те функције. (Обрати пажњу на то да су t и s позитивне величине). Пример 4 Код конвексних многоуглова имамо следеће формуле: ) d = n ; ) S = 8 n 6, где је n природан број n. Шта представљају те формуле, и да ли су то примери линеарне функције? Пример 5 Дужина крака једнакокраког троугла је,5 cm. Изрази обим троугла у функцији основице. Тражена функција је = +,5, >. Пример 6 ) Напиши разлику реалног броја и броја,5. Да ли је то пример линеарне функције? ) Збир два реална броја је - 4. Напиши одговарајућу формулу. Да ли је то линеарна функција? ),5 =. ) Ако су реални бројеви и, онда је + = 4,5, односно = 4,5. У оба случаја су линеарне функције. У другом случају сабирак је једнак разлици збира и другог сабирка. Исто се добија и ако се користе својства једнакости. Која? Попуни табеле и нацртај графике тих функција.. Међу следећим функцијама има линеарних и оних које то нису: ) = - + ; ) = ; ) = ; 4) = ; 5) = $ ; 6) =- - ; 7) = +. 89

4 а) За линеарне функције одреди коефицијент a и слободан члан b. б) Попуни одговарајућу табелу.. ) Дата је линеарна функција = +. Попуни табелу и нацртај њен график.,5 4 За =, биће: = +, па је =. p ε A(;) M(;) N(;) F Слик 4 Попуни претходну табелу. За {, 5,,5, 4,,5} израчунај вредности за и представи те парове на графику (сл. 4). ) Ако је попуни табелу функције = +. За { ;,5; } одреди вредности за и тачке на графику. График дате функције је полуправа S p (сл. 5). A(;) p N(-,5;) - - S(-;-) - - Слика 5 9

5 математикa за VIII разред основне школе ) За попуни табелу функције = +. За {,5;,5;,5} одреди вредности за и тачке на графику. График дате функције је дуж BC (сл. 6). C(-;4) 4 A(;) N(;) - - B(;-) Слика 6 4) За {; ; ; } попуни табелу функције =. График је скуп тачака A, B, N, M које припадају истој правој (сл. 7). N(;) M(;) - A(;-) B(;-) Слика 7 Важи уопште: График линеарне функције = a + b је скуп свих тачака у равни чије координате испуњавају услов = a + b, то јест скуп {M(, a + b) R}. Тачке графика линеарне функције припадају једној правој. 4. ) Дата је функција = -. За {,,,,,, 4} попуни табелу и нацртај график функције. 9

6 ) Нацртај график функције: а) = ; б) = ; в) =. 5. Следеће функције су дате формулом: ) = - ; ) = ; ) = ; 4) = 4 -. а) Која је од њих линеарна? б) функцију под 4) представи графички. 6. ) Скуп целих бројева записује се формулом =, Z. Напиши елемената тог скупа. Да ли је та формула линеарна? ) Један јард садржи приближно,9 m. Колико метара има пут од: 5; ; ; 6,5;...; n јарди? Изрази формулом дужине пута у метрима у зависности од броја јарди. Нула функције 7. ) За линеарну функцију = + 4 попуни табелу:,5 График функције приказан је на слици 8. Уочи да је за = вредност дате функције =. Вредност променљиве за коју је вредност функције број назива се нулом функције. За дату функцију, нула функције је број. Са графика читамо да је број апсциса пресечне тачке -осе и графика функције = + 4. ) За линеарну функцију = њена нула је број,5 (сл. 9). A(;4) O B(;) N(;),5 N(,5;) Слика 8 Слика. 9-9

7 математикa за VIII разред основне школе Попуни одговарајућу табелу. ) У задатку. одреди нулу сваке функције. Уопште, како да се одреди нула било које линеарне функције = a + b (a, b R). Како је нула функције = a + b вредност променљиве за коју је одговарајућа вредност функције једнака нули, добија се да тражена вредност задовољава једначину a + b =. Решавајући ту линеарну једначину по непознатој добија се: Ако је a, онда је њено јединствено решење број - b. Значи, нула функције = a + b за a a јесте - b. a Ако је a = и b =, онда је функција = +, па је сваки реалан број нула те функције. Ако је a = и b, онда функција = + b нема нула. 8. ) Дата је функција = - +. а) Одреди нулу функције. б) Одреди две вредности променљив веће од нуле функције и две вредности мање од нуле фунције, па израчунај одговарајуће вредности, а затим нацртај график те функције. ) Дат је график линеарне функције =- - (сл. ). а) Прочитај са графика нулу функције и вредности за {; 4; ; }. б) Провери добијене резултате. 9. Дата је линеарна функција: ) = - +,5; ) = - ; ) = -. Одреди нулу функције и нацртај њен график.. Дата је функција: ) = + ; ) =,5 + 5; ) =,5. а) Одреди нулу за сваку функцију. б) Ако је =, одреди за сваку функцију и нацртај тачку A(, ). в) Одреди још неку тачку графика сваке функције.. Нацртај график функције = - + и провери да ли тачке A(; ), B(; ), C(6; ), D(; ) припадају том графику?. На слици приказан је график једне од функција: = ; = ; = ; =. ) Одреди функцију чији је график приказан на слици. ) Одреди нулу те функције. 9

8 -4 N - - A Слика Слика Знак. Растење и опадање линеарне функције. У досадашњим разматрањима линеарних функција, приметио/ла си функције код којих су њихове вредности позитивне, негативне или нула за неке вредности променљиве. То се лако уочава, на пример, на слици. Уочили смо такође да вредности неке линеарне функције расту (сл. 9) а неке, пак, опадају (сл. ), када вредности променљиве расту. Испитајмо та својства линеарне функције на неким примерима. Пример Дата је функција = 6. На слици приказан је график те функције. Уочаваш да је број нула функције. Провери. Примећујеш да за све реалне бројеве веће од (нула функције), дата функција има позитивне вредности, а за све реалне вредности променљиве мање од, функција има негативне вредности. То се записује краће овако: За све > је >, и за све < је <. C(5;4) N(;) -4-6 A(;-6) Слика 94

9 математикa за VIII разред основне школе Испитивање, за које вредности променљиве је функција позитивна, а за које је негативна, назива се одређивање знака функције. Уочио си да се прво одреди нула функције. Пример На слици приказан је график функције =- -. Ако је = 4, онда је =. Ако је > 4, <. Ако је < 4, > N(-4;) Слика Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = +,5; ) =,5 + ; ) = 5,5. 5. Како се утврђује да ли вредности неке линеарне функције расту при промени вредности променљиве, или вредности функције опадају? Од чега раст тих вредности или њихово опадање зависе? Уочимо линеарну функцију = а + b, и нека је <. Тада имамо и одговарајуће вредности наше функције: = а + b и = а + b. Упоредимо по величини и тако што ћемо израчунати. Наиме, = (а + b) (а + b) = а( ), при чему је > зато што је < Одатле закључујемо За функцију = а + b важи: < < ако је а > (функција је растућа) < > ако је а < (функција је опадајућа) 95

10 6. Дата је функција: ) = + ; ) = + ; ) = + 4,5; 4) =- -. Одреди нулу функције, а затим испитај која је од њих растућа функција а која опадајућа. 7. Приликом испитивања растења и опадања линеарне функције = a + b (a, b R), разматрамо само случај када је a. Какве су вредности функције ако је њен коефицијент a =? У том случају функција гласи Пример = + b, b R. Дата је линеарна функција = +,5, тј. =,5. График те функције приказан је на слици 4. Та функција је функција константа, тј. за све R вредност функције је број,5. То значи да линеарна функција =,5 нити расте, нити опада. Пример Нацртај график функције =, односно =. Функција је константа и све њене вредности су (сл. 5)., Слика 4 Слика 5 Пример Нацртај график функције = +, односно =. За све R вредност функције је број. График је -оса (сл. 6). 96

11 математикa за VIII разред основне школе Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; ) =. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) =,5 + ; ) =-- ; 4 4 4) = +,75; 5) =,5 +.. У истом координатном систему нацртај график функције = + b, ако је: ) b =,5; ) b =,5; в) b =. Испитај знак сваке од тих функција.. У истом координатном систему нацртај график функције = a + 4, ако је: ) a = 4; ) a = ; в) a =. Испитај растење и опадање сваке од тих функција. 5.. Имплицитни облик линеарне функције Упознали смо линеарну функцију дату линеарном једначином с две променљиве у једном њеном облику. Зависност двеју променљивих ( и ) може бити дата и на други начин ли неарном једначином. Пример Обим правоугаоника је 8 cm. Једначином a + b = 8, тј. a + b 8 = изражава се зависност суседних страница правоугаоника за дати обим. То је линеарна једначина с две променљиве a и b. Израчунај a ако је b {; 4,5; 5}. Пример Обим једнакокраког троугла је 6 cm. Изразити зависност његових страница. Ако је основица а крак, онда је тражена вредност + = 6, тј. + 6 =. 97