Αντισεισµική Ανάλυση Εύκαµπτων Υπογείων Έργων µε τη Θεωρία 3- Κελυφών. 3-D Shell Analysis of Flexible Underground Structures under Seismic Action

Transcript

1 Αντισισµική Ανάλυση Εύκαµπτων Υπογίων Έργων µ τη Θωρία 3- Κλυφών 3-D hell Analysis of Flexible Underground tructures under eismic Action ΚΟΥΡΕΤΖΗΣ, Γ.Π. ΜΠΟΥΚΟΒΑΛΑΣ, Γ.. ΓΑΝΤΕΣ, Χ.Ι. ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Ε.Μ.Π. ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Επίκ. Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Οι παραµορφώσις που προκαλί η διέλυση σισµικών κυµάτων σ σήραγγς και υπόγιους αγωγούς υπολογίζονται αναλυτικά, θωρώντας τη κατασκυή σαν 3- ύκαµπτο λπτότοιχο κέλυφος. Οι αναλυτικές σχέσις παληθύονται µ τα αποτλέσµατα 3- δυναµικών αριθµητικών αναλύσων και στη συνέχια µγιστοποιούνται ως προς τις άγνωστς, τυχαίς γωνίς που υπισέρχονται στο πρόβληµα, ώστ να προκύψουν οι παραµορφώσις σχδιασµού. Σ σύγκριση µ τις υπάρχουσς µθοδολογίς, η προτινόµνη παρέχι τη µταβολή των παραµορφώσων στη διατοµή και διυκρινίζι τη σηµαντική πίδραση που έχι η ύπαρξη µιας πιφανιακής στρώσης µαλακού δάφους στην ένταση έργων κατασκυασµένων σ µικρό βάθος. ABTAT : The 3-D thin shell theory is employed to provide a new perspective to earthquakeinduced strain analysis of flexible tunnels and buried pipelines. The derived analytical solutions are verified against the results of 3-D dynamic FEM analyses, while design strains are established by maximizing the analytical expressions against the random angles that define the problem. ompared to existing solutions, the proposed provides also the variation of strains along the perimeter, and sheds light on the significant effect that the existence of a surface soft soil layer has to the strains of underground structures in shallow depth. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Είναι γνικά παραδκτό ότι τα υπόγια έργα υποφέρουν λιγότρο λόγω σισµικής δόνησης σ σχέση µ τις κατασκυές στην πιφάνια του δάφους. Παρόλα αυτά, οι πρόσφατοι σισµοί στο Kobe (1995), hi-hi (1999) και Düzce (1999) προκάλσαν µια πληθώρα αστοχιών σ σήραγγς και υπόγιους αγωγούς, αναθρµαίνοντας το νδιαφέρον για τις µθόδους αντισισµικής ανάλυσης και σχδιασµού των έργων αυτών. Οι υπάρχουσς αναλυτικές µέθοδοι υπολογισµού της έντασης βασίζονται σ δυο κύρις παραδοχές: η πρώτη συνίσταται στη προσοµοίωση των σισµικών δαφικών κυµάτων µ ένα αρµονικό κύµα άπιρης διάρκιας που διαδίδται µ πίπδο µέτωπο, νώ η δύτρη αφορά στην παράβλψη των φαινοµένων αδρανιακής και κινηµατικής αλληλπίδρασης δάφους-κατασκυής στους υπολογισµούς. Θωρητικές αναλύσις και αριθµητικές προσοµοιώσις αποδικνύουν ότι πράγµατι τα φαινόµνα αδρανιακής αλληλπίδρασης δν πηράζουν την απόκριση υπογίων έργων (Ε8, 003), νώ η συνισφορά της κινηµατικής αλληλπίδρασης µπορί να κτιµηθί κατά πρίπτωση (Wang, 1993, Hashash et al., 001) µέσω του δίκτη υκαµψίας (Flexibility index), ο οποίος σχτίζται µ την ικανότητα της διατοµής να ανθίσταται στην πιβαλλόµνη από το πριβάλλον έδαφος µτατόπιση (Wang, 003): ( D ) E m(1 νl ) F = E(1 +ν )t 3 l m s 3 (1) Στην ανωτέρω σχέση Ε m, Ε l ίναι τα µέτρα λαστικότητας του δάφους και του υλικού της 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 1

2 κατασκυής αντίστοιχα, v m, v l ο λόγος Poisson του δάφους και της κατασκυής, t s το πάχος της διατοµής και D η διάµτρος της. Τιµές του δίκτη υκαµψίας µγαλύτρς του 0 υπολογίζονται για τα πρισσότρα υπόγια έργα που συναντώνται στη πράξη, δίχνοντας ότι η παράβλψη των φαινοµένων αλληλπίδρασης στους υπολογισµούς δν πηράζι σηµαντικά την ακρίβια των µθόδων για συνήθη έργα. Υπό τις παραπάνω παραδοχές, ο Newmark (1968) υπολόγισ τις αξονικές και καµπτικές παραµόρφωσις που προκαλί η διάδοση διατµητικών () και διαµήκων (P) κυµάτων κατά µήκος του άξονα της κατασκυής. Οι Kuesel (1969) και Yeh (1974) πέκτιναν τις λύσις του Newmark για κύµατα και ayleigh που διαδίδονται υπό γωνία σ σχέση µ τον άξονα του υπογίου έργου, ισάγοντας στις µταβλητές του προβλήµατος την τυχαία γωνία πρόσπτωσης του κύµατος στον διαµήκη άξονα της κατασκυής. Αρκτά αργότρα οι t John and Zahrah (1987) παρουσίασαν αναλυτικές σχέσις για τον υπολογισµό πιπλέον των διατµητικών και πριφριακών (hoop) παρα- µορφώσων, νώ ο Wang (1993) ανέδιξ τη σηµασία τους σ σχέση µ τις αξονικές παραµορφώσις, και πρότιν ο σχδιασµός της πένδυσης µιας σήραγγας να γίνται µ βάση τις πριφριακές παραµορφώσις που προκαλί η διάδοση κυµάτων κάθτα στον άξονα της κατασκυής. Ολοκληρώνοντας αυτή τη σύντοµη βιβλιογραφική αναδροµή πισηµαίνται ότι: (α) Όλς οι υπάρχουσς αναλυτικές λύσις αφορούν στον υπολογισµό των µέγιστων ορθών και διατµητικών παραµορφώσων στο λύθρο πδίο, οι οποίς θωρούνται ίσς µ τις αντίστοιχς παραµορφώσις στη διατοµή του υπογίου έργου. Ωστόσο, η κατανοµή τους στη διατοµή δν ίναι γνωστή και δ µπορούν να παλληλιστούν για τον υπολογισµό της µέγιστης και της λάχιστης ορθής (κύρις) παραµόρφωσης και της παραµόρφωσης von Mises, τουλάχιστον όχι χωρίς τη συντηρητική παραδοχή ότι τα µέγιστα συµβαίνουν στο ίδιο σηµίο της διατοµής. (β) Οι υπάρχουσς λύσις έχουν αναπτυχθί για έργα κατασκυασµένα σ οµοιογνίς γωλογικούς σχηµατισµούς, χωρίς να γίνται σαφές ποις δαφικές ιδιότητς θα πρέπι να χρησιµοποιηθούν στους υπολογισµούς για ένα έργο κατασκυασµένο σ ένα δίστρωτο σχηµατισµό µαλακού δάφους πί βράχου. Αυτή η αββαιότητα αντικατοπτρίζται και στις σύγχρονς οδηγίς σχδιασµού (Ε8, 003, AE-AA, 001) οι οποίς πικαλούµνς σισµολογικά στοιχία προτίνουν τη χρήση της «φαινόµνης» ταχύτητας διάδοσης των κυµάτων στο σισµικό υπόβαθρο, τουλάχιστον ίσης µ 000 m/sec, στον υπολογισµό των αξονικών παραµορφώσων, ανξαρτήτως των τοπικών δαφικών συνθηκών. Από την άλλη ο Wang (1993) δίνι έµφαση στις πριφριακές παραµορφώσις, ο υπολογισµός των οποίων προτίνι να γίνται µ βάση την ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων στις πιφανιακές δαφικές στρώσις. Μ στόχο µια ολοκληρωµένη αντιµτώπιση του προβλήµατος, στην παρούσα ργασία φαρµόζται η θωρία 3- λπτότοιχων κλυφών στον υπολογισµό της κατανοµής των ορθών (αξονικών και πριφριακών) και της διατµητικής παραµόρφωσης στη διατοµή νός υπογίου έργου, και στην παλληλία τους για τον υπολογισµό της µέγιστης και λάχιστης κύριας παραµόρφωσης σχδιασµού. Στο παρόν άρθρο αναπτύσσται η βασική µέθοδος και παρουσιάζονται τα κύρια υρήµατα για τη γνική πρίπτωση νός διατµητικού κύµατος µ διύθυνση διάδοσης τυχαία προσανατολισµένη σ σχέση µ τον άξονα της κατασκυής (Σχήµα 1), νώ η πρίπτωση δίστρωτου σχηµατισµού ξτάζται στη συνέχια, ως παραλλαγή της παραπάνω βασικής πρίπτωσης. Η πλήρης µθοδολογία και οι σχέσις για κύµατα P και ayleigh παρουσιάζται από τον Κουρτζή (005).. ΥΠΟΓΕΙΑ ΕΡΓΑ ΣΕ ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ Ε ΑΦΟΣ Ένα κύµα µπορί να αναλυθί διανυσµατικά σ δυο πιµέρους συνιστώσς(σχήµα 1): (α) µια συνιστώσα V µ διύθυνση κίνησης κάθτα στο πίπδο υπογίου έργου-κύµατος, το οποίο ορίζται από τη διύθυνση διάδοσης του κύµατος και τον άξονα του υπογίου έργου, και (β) µια συνιστώσα H µ κίνηση ντός του προαναφρθέντος πιπέδου. Απλοποιητικά µπορούν να υπολογιστούν ξχωριστά οι παραµορφώσις που προκαλί κάθ µια από τις συνιστώσς V και H του κύµατος, για να παλληλιστούν στη συνέχια ώστ να προκύψουν οι τλικές παραµορφώσις στη διατοµή. Χάριν συντοµίας θα παρουσιαστί ακολούθως, νδικτικά η µθοδολογία υπολογισµού των παραµορφώσων λόγω της συνιστώσας H. Για να διυκολυνθί η παρουσίαση, στο Σχήµα έχουν σχδιαστί οι συνιστώσς της παραµόρφωσης που 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006

3 πίπδο δαφικής κίνησης διαµήκης άξονας πίπδο υπογίου έργουκύµατος φ y z x H V β z' διύθυνση διάδοσης Σχήµα 1. ιάδοση νός διατµητικού κύµατος σ ένα πίπδο (πίπδο υπογίου έργου-κύµατος) τυχαία προσανατολισµένο στον 3- χώρο, σ σχέση µ τον άξονα του υπογίου έργου. Figure 1. Propagation of a shear wave in a plane (wave-structure plane) randomly oriented in the 3-D space relatively to the structure axis. θωρούνται στην ανάλυση λπτότοιχων κυλινδρικών κλυφών (µµβρανών): uz α= z= z 1 uθ ur h= θθ= + r θ r 1 uz uθ γ=γ θz= + r θ z (αξονική) () (πριφριακή) (3) (διατµητική) (4) h γ γ α όπου u z, u r και u θ ίναι οι συνιστώσς της µτατόπισης που πιβάλλι η διάδοση του κύµατος. Λόγω του υποτιθέµνου µικρού λόγου πάχους προς διάµτρο της διατοµής, οι υπόλοιπς τρις συνιστώσς της παρα- µόρφωσης (µια ακτινική και δυο διατµητικές) θωρούνται αµλητές. Η δαφική µτατόπιση που θα πιβάλλι η διάδοση νός αρµονικού κύµατος H µ πίπδο µέτωπο κατά τη διύθυνση z, η οποία σχηµατίζι γωνία φ µ τον άξονα της κατασκυής z (Σχήµα 3), πριγράφται από τη σχέση: π ux' = Amax cosβ sin ( z ' t) όπου β ίναι η γωνία που σχηµατίζι το διά- (5) Σχήµα. Ορισµός των παραµορφώσων σ ένα 3- λπτότοιχο κέλυφος. Figure. train definition on a thin-walled cylindrical shell. νυσµα της δαφικής κίνησης µ το πίπδο υπογίου έργου-κύµατος, Α max ίναι η µέγιστη δαφική µτατόπιση της σισµικής κίνησης, ίναι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος, ίναι το µήκος κύµατος και t ο χρόνος. Η διάδοση νός κύµατος H υπό γωνία φ ως προς τον άξονα της κατασκυής ίναι ισοδύναµη, σ όρους παραµορφώσων, µ τα ακόλουθα φαινόµνα κύµατα: (α) ένα κύµα H που διαδίδται κατά µήκος του άξονα της κατασκυής µ µήκος κύµατος 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 3

4 /cosφ, ταχύτητα /cosφ και µέγιστο πλάτος Α max cosβcosφ. (β) ένα κύµα P που διαδίδται κατά µήκος του άξονα µ µήκος κύµατος /cosφ, ταχύτητα /cosφ και µέγιστο πλάτος -Α max cosβsinφ. (γ) ένα κύµα P που διαδίδται γκάρσια στον άξονα µ µήκος κύµατος /sinφ, ταχύτητα /sinφ και µέγιστο πλάτος Α max cosβcosφ, και (δ) ένα κύµα H που διαδίδται γκάρσια στον άξονα µ µήκος κύµατος /sinφ, ταχύτητα /sinφ και µέγιστο πλάτος Α max cosβsinφ. Για τον υπολογισµό της συνολικής έντασης στο υπόγιο έργο θα πρέπι να υπολογιστούν οι παραµορφώσις που θα προκαλέσι κάθ ένα από τα παραπάνω φαινόµνα κύµατα, και στη συνέχια να παλληλιστούν. Εδώ θα ντοπίσουµ τους υπολογισµούς στο φαινόµνο κύµα H που διαδίδται κατά µήκος της κατασκυής, πιβάλλοντας µτατοπίσις στο πίπδο xz. Η δαφική κίνηση µπορί να πριγραφί στο καρτσιανό σύστηµα συντταγµένων του Σχήµατος 3 µ τη παρακάτω αναλυτική σχέση: /sinφ x' x A max cosβ διύθυνση διάδοσης φ διαµήκης άξονας z /cosφ Σχήµα 3. ιανυσµατική ανάλυση νός κύµατος H σ φαινόµνα κύµατα. Figure 3. Vectorial analysis of an obliquely impinging H wave into apparent waves. y z' A x =A max cosβcosφ A z =-A max cosβsinφ π ux = Ax sin z t cosφ cosφ (6) όπου Α x =A max cosβcosφ. Σ ένα κυλινδρικό σύστηµα συντταγµένων µ αρχή στο διαµήκη άξονα της κατασκυής (Σχήµα 4) µπορούµ να αναλύσουµ τη παραπάνω µτατόπιση σ µια ακτινική και µια φαπτοµνική συνιστώσα: θ r x=rsinθ u r =u x sinθ u x θ u θ =u x cosθ x π ur = Ax sinθ sin z t cosφ cosφ π uθ = Ax cosθ sin z t cosφ cosφ (7) (8) όπου θ ίναι η πολική γωνία στη διατοµή. Σύµφωνα µ τις σχέσις (-4), το ανωτέρω πδίο µτατοπίσων θα προκαλέσι µόνο διατµητική παραµόρφωση ( α = h =0) µ πλάτος: γ V cosβ max = cos φ cos θ (9) όπου V max =(πα/) ίναι η µέγιστη δαφική ταχύτητα του αρµονικού κύµατος. Σχήµα 4. Ορισµός του κυλινδρικού συστήµατος συντταγµένων για τον υπολογισµό των παραµορφώσων. Figure 4. Definition of the polar coordinate system for the calculation of strains. Μ αντίστοιχο τρόπο υπολογίζονται οι παραµορφώσις λόγω και των υπόλοιπων 3 φαινόµνων κυµάτων της συνιστώσας H, καθώς και λόγω της συνιστώσας V. Οι τλικές παραµορφώσις στο κέλυφος λόγω της διάδοσης νός κύµατος σ οµοιογνές έδαφος συνοψίζονται στις παρακάτω σχέσις: Vmax α=- cosβ sinφ (10) 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 4

5 sinβ sinφ sinθ V max cosβ cosφ cosθ+ γ= sinβ cosφ sinθ Vmax cosβ sinφ cos θ+ h= (11) (1) 3. ΥΠΟΓΕΙΑ ΕΡΓΑ ΣΕ ΜΑΛΑΚΟ Ε ΑΦΟΣ ΕΠΙ ΒΡΑΧΟΥ /sinα α /cosα διαµ. άξονας (προβολή) Ας θωρήσουµ ένα κύµα που διαδίδται σ ένα δίστρωτο σχηµατισµό µαλακού δάφους πί βράχου (Σχήµα 5). Σύµφωνα µ το νόµο του nell, η γωνία διάδοσης του κύµατος στο έδαφος α συνδέται µ τη γωνία διάδοσης του κύµατος στο βράχο α µ τη σχέση: cosα =cosα (13) όπου ίναι η ταχύτητα διάδοσης των διατµητικών κυµάτων στο βράχο και η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων στο έδαφος. Σύµφωνα µ τη µθοδολογία ανάλυσης σ φαινόµνα κύµατα, που παρουσιάστηκ στα προηγούµνα, η διάδοση νός διατµητικού κύµατος σ ένα δίστρωτο σχηµατισµό ίναι ισοδύναµη, από πλυράς παραµορφώσων στο υπόγιο έργο, µ τα παρακάτω φαινόµνα κύµατα (Σχήµα 5): (α) ένα κατακορύφως διαδιδόµνο φαινόµνο κύµα µ µήκος κύµατος /sinα και ταχύτητα /sinα, και (β) ένα οριζοντίως διαδιδόµνο φαινόµνο κύµα µ µήκος κύµατος /cosα και ταχύτητα /cosα. Μ τη βοήθια της σχέσης (13) µπορούµ να ξαναγράψουµ το µήκος κύµατος του οριζόντιου φαινόµνου κύµατος, ως: ( ) = = cosα cosα cosα ( ) (14) ή, αλλιώς, το οριζόντιο φαινόµνο κύµα διαδίδται µ την ταχύτητα του φαινόµνου κύµατος που παρατηρίται στη διπιφάνια δάφους-βράχου λόγω της διαφοράς φάσης των προσπίπτοντων κυµάτων (Σχήµα 5). Επιπλέον, ίναι: sinα = 1-cos α = 1-cos α (15) α α /cosα ΜΑΛΑΚΟ Ε ΑΦΟΣ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Σχήµα 5. Ανάλυση νός κύµατος που διαθλάται στη διπιφάνια µαλακού δάφους-βράχου σ δυο φαινόµνα κύµατα. Figure 5. Analysis of a wave refracted at the soil-bedrock interface into two apparent waves. Για τιµές του λόγου / µικρότρς του 1/3 µπορούµ λοιπόν να υποθέσουµ χωρίς µγάλο σφάλµα ότι sinα 1. Αυτό σηµαίνι ότι το κατακόρυφο φαινόµνο κύµα διαδίδται µ ταχύτητα πρίπου ίση µ τη ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων στη στρώση µαλακού δάφους. Τα φαινόµνα αυτά κύµατα ίναι ιδικές πριπτώσις του διατµητικού κύµατος που διαδίδται σ οµοιογνή ηµίχωρο, οπότ για τον υπολογισµό των παραµορφώσων στην κατασκυή µπορούµ να χρησιµοποιήσουµ τις σχέσις (10-1). Έτσι, το κατακόρυφο φαινόµνο κύµα αντιστοιχί στη γνική πρίπτωση κύµατος που συναντά τον άξονα της κατασκυής υπό γωνία φ V =π/, νώ το διάνυσµα της κίνησης σχηµατίζι τυχαία γωνία β V σ σχέση µ το κατακόρυφο πίπδο και θ V ίναι η πολική γωνία στη διατοµή. Αντίστοιχα, το οριζόντιο φαινόµνο κύµα αντιστοιχί σ κύµα που συναντά τον άξονα της κατασκυής υπό τυχαία γωνία φ Η, µ το διάνυσµα της κίνησης να σχηµατίζι γωνία β Η =π/-α µ το οριζόντιο πίπδο, νώ θ H =θ V -π/ ίναι η πολική γωνία στη διατοµή. Οι συνολικές παραµορφώσις στη κατασκυή θα δίνονται από τις σχέσις: V α=- max * cosαsinφ (16) 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 5

6 V max h= V * * sinβ sinθ + * * cosα sinφ sin θ - * * cos α sinφ sinθ * * -cosβ cosθ + max * * γ= cosα cosφ sinθ - * * cos α cosφ cosθ όπου θ * =θ V =θ H +π/, β * =β V και φ * =φ H. (17) (18) 4. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Η παλήθυση των αναλυτικών σχέσων γίνται µέσω σύγκρισης µ τα αποτλέσµατα 3- λαστικών αριθµητικών αναλύσων µ τον κώδικα ππρασµένων στοιχίων ANY (Ansys Inc., 003) σ δυο τυπικές πριπτώσις διάδοσης κυµάτων. ιυκρινίζται ότι στόχος των αναλύσων δν ίναι ο έλγχος της ορθότητας των παραδοχών αλλά η παλήθυση των σύνθτων µαθηµατικών υπολογισµών στους οποίους στηρίζται η µθοδολογία. Το υπόγιο έργο προσοµοιώθηκ σαν ένας 3- κοίλος κύλινδρος µ µήκος 30m, διάµτρο 1m και πάχος τοιχώµατος mm. Η διακριτοποίηση έγιν µ 16 στοιχία κλύφους στη πριφέριά του, µήκους 1m το καθένα, χρησιµοποιώντας το στοιχίο κλύφους HE63 που µπορί να προσοµοιάσι τόσο µµβρανική όσο και καµπτική συµπριφορά. Το υλικό κατασκυής θωρήθηκ ισότροπο γραµµικώς λαστικό µ µέτρο λαστικότητας Ε l =10GPa και λόγο του Poisson v l =0.5. Καθώς οι µτακινήσις του υπογίου έργου ταυτίζονται µ αυτές του πριβάλλοντος δάφους, οι συνοριακές συνθήκς της ανάλυσης συνίστανται στη ξίσωση των µτακινήσων κάθ κόµβου του προσο- µοιώµατος µ αυτές του δάφους. Η δαφική κίνηση θωρίται ότι προέρχται από ένα αρµονικό κύµα µ πρίοδο Τ=0.1sec και πλάτος Α max =1m. Στη πρίπτωση οµοιογνούς δάφους, το κύµα διαδίδται στο 3- χώρο µ ταχύτητα =100m/sec, µ τη διύθυνση διάδοσης να σχηµατίζι γωνία φ=30 σ σχέση µ τον άξονα του έργου. Για τη σωστή πιβολή των συνοριακών συνθηκών χρησιµοποιήθηκ ένα καθολικό σύστηµα συντταγµένων στραµµένο κατά 30 σ σχέση µ το διαµήκη άξονα του προσοµοιώµατος, µ βάση το οποίο πιβλήθηκαν οι παρακάτω συνοριακές συνθήκς στους κόµβους του κλύφους: π ' u ' =A y,i maxsinβsin ( zi-t) π ' u ' =A z,i maxcosβsin ( zi-t) (19) (0) όπου η τυχαία γωνία β θωρήθηκ ίση µ 75, νώ ίναι πίσης u x,i =θ x,i =θ y,i =θ z,i =0. Αντίστοιχα, στη πρίπτωση δίστρωτου σχηµατισµού µαλακού δάφους πί βράχου υποθέτουµ ότι το έργο ίναι κατασκυασµένο κοντά στην πιφάνια µια µαλακής δαφικής στρώσης µ =100m/sec που υπέρκιται του βραχώδους υποβάθρου στο οποίο ίναι =365m/sec. Το αρµονικό κύµα έχι το ίδιο πλάτος µ αυτό που διαδίδται στο οµοιογνές έδαφος, νώ θωρούµ ότι οι άγνωστς γωνίς έχουν τιµές α =0, φ * =30 και β * =60. Στο Σχήµα 6 συγκρίνονται τα αποτλέσµατα των αριθµητικών αναλύσων µ τις αναλυτικές προβλέψις, παρουσιάζοντας τις απόλυτς αντί για τις αλγβρικές τιµές των παραµορφώσων, για λόγους υχρέστρης σύγκρισης. Παρατηρούµ ότι οι αναλυτικές σχέσις προβλέπουν µ ακρίβια όχι µόνο τη µέγιστη τιµή κάθ συνιστώσας παραµόρφωσης, αλλά και τη κατανοµή της στη διατοµή. Οι παρατηρούµνς διαφορές στη πρίπτωση του δίστρωτου σχηµατισµού αποδίδονται στη σχτικά µγάλη τιµή του λόγου / =0.75 και στη µικρή γωνία α που υποτέθηκαν στην ανάλυση, κοντά στα όρια φαρµογής της µθοδολογίας µαλακού δάφους πί βράχου. Σ παρόµοια ανάλυση µ / =0.09, που δ παρουσιάζται δώ για λόγους συντοµίας, οι διαφορές µταξύ αναλυτικών και αριθµητικών αποτλσµάτων πρακτικά ξαλίφονται. 5. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Τα πλάτη των παραµορφώσων (σχέσις 10-1) προέκυψαν ως συναρτήσις των άγνωστων, τυχαίων γωνιών φ, β και θ, νώ στη πρίπτωση του δίστρωτου σχηµατισµού (σχέσις 18-0) στις άγνωστς µταβλητές του προβλήµατος προστίθται και η γωνία πρόσπτωσης στη διπιφάνια δάφουςβράχου α. Το ίδιο ισχύι και για τα πλάτη 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 6

7 α γ αναλυτικά αριθµητικά h vm οµοιογνές έδαφος δίστρωτος σχηµατισµός πολική γωνία θ (deg) πολική γωνία θ (deg) Σχήµα 6. Σύγκριση αναλυτικών αριθµητικών αποτλσµάτων σ µια τυχαία διατοµή. Figure 6. omparison of numerical and analytical results along a random cross-section. των σύνθτων παραµορφώσων που χρησιµοποιούνται για το σχδιασµό των υπογίων έργων: τις κύρις παραµορφώσις, που αντιστοιχούν στη µέγιστη και την λάχιστη ορθή παραµόρφωση σ ένα σηµίο, καθώς και τη παραµόρφωση von Mises: α+h α-h γ 1,3= ± = γ vm α h α h 1+νl 4 (1) () που συνήθως χρησιµοποιίται σ κριτήρια αστοχίας χαλύβδινων αγωγών. Για να καταλήξουµ σ µια σιρά από µέγιστς παραµορφώσις σχδιασµού, οι αναλυτικές κφράσις πρέπι να µγιστοποιηθούν ως προς τις άγνωστς αυτές γωνίς. Καθώς η αυστηρή µαθηµατική µγιστοποίηση κφράσων µ τόσς ανξάρτητς µταβλητές ίναι αρκτά πρίπλοκη, υιοθτίται η παρακάτω απλοποιητική αριθµητική διαδικασία: οι σχέσις κανονικοποιούνται ως προς ο =V max / και οι τιµές τους υπολογίζονται αριθµητικά, µ τη βοήθια κώδικα Η/Υ, για µια σιρά από συνδυασµούς των γωνιών φ, β, θ και α η µέγιστη τιµή θωρίται η παραµόρφωση σχδιασµού Οι τιµές αυτές συνοψίζονται στον Πίνακα 1, όπου για τη πρίπτωση δίστρωτου σχηµατισµού παρουσιάζονται πιπλέον οι αριθµητικές τιµές των παραµορφώσων για / =0.. Για λόγους σύγκρισης, στο Πίνακα 1 έχουν συµπριληφθί οι αναλυτικές σχέσις των t. John and Zahrah (1987) που αποτλούν τη βάση των σύγχρονων οδηγιών σχδιασµού αγωγών (E8, 003, AE-AA, 001) και σηράγγων (Wang, 1993). Υπνθυµίζται ότι οι σχέσις αυτές αφορούν αποκλιστικά στις µέγιστς αξονικές, διατµητικές και πριφριακές παραµορφώσις. Έτσι, οι κύρις παραµορφώσις και η παραµόρφωση von Mises στις αντίστοιχς στήλς έχουν υπολογιστί προσγγιστικά, παλληλίζοντας τις συνιστώσς τους, παρότι τα µέγιστα δ συµβαίνουν στην ίδια θέση στη διατοµή. 6. ΚΥΡΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ υο ίναι οι βασικές καινοτοµίς που ισάγι η προτινόµνη µθοδολογία: κατά πρώτον, παρέχται µια σιρά ξισώσων για τον υπολογισµό της κατανοµής στη διατοµή των ορθών και της διατµητικής παραµόρφωσης, καθώς πίσης των κύριων παραµορφώσων και της παραµόρφωσης von Mises. Η δύτρη καινοτοµία ίναι ότι λαµβάνται συστηµατικά υπόψη η πίδραση των τοπικών δαφικών συνθηκών στην ντατική ανάλυση του υπογίου έργου και διυκρινίζται το πδίο χρήσης της «φαινόµνης» ταχύτητας διάδοσης των κυµάτων που χρησιµοποιίται από τους σύγχρονους κανονισµούς (E8, 003, AE- AA, 001) στο υπολογισµό των παραµορφώσων. Από πρακτικής σκοπιάς, προκύπτουν τα ξής συµπράσµατα: (α) Για κατασκυές σ οµοιογνές έδαφος (Πίνακας 1) η µέγιστη κύρια και η παραµόρφωση von Mises που υπολογίζονται µ τη θωρία 3- κλυφών ίναι 4% έως74% µγαλύτρς από τις αντίστοιχς αξονικές και πριφριακές παραµορφώσις, οι οποίς αποτλούν τη βάση του σχδιασµού των υπογίων έργων σήµρα. (β) Επιπλέον, η ξοµοίωση των παραµορφ- 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 7

8 Πίνακας 1. Παραµορφώσις σχδιασµού για έργα σ οµοιογνές έδαφος και δίστρωτο σχηµατισµό. Table 1. Design strains for underground structures in uniform ground and in soft soil. Οµοιογνές έδαφος ίστρωτος σχηµατισµός προτινόµνη µθοδολογία t. John and Zahrah (1987) προτινόµνη µθοδολογία προτινόµνη µθοδολογία για / =0. α 0.50 V/ 0.50 V/ [0.5 / ] V/ 0.50 V/ γ 1.00 V/ 1.00 V/ [0.43 / +0.98] V/ 5.30 V/ h 0.50 V/ 0.50 V/ [0.36 / +0.5] V/ 1.71 V/ vm 0.87/(1+v l ) [1.0/(1+v l )] {[0.38 / +0.85]/(1+v l )} [4.60/(1+v l )] V/ V/ V/ V/ V/ [1.0] V/ [0.5 / +0.5] V/ 3.00 V/ V/ [-1.0] V/ [-0.5 / -0.5] V/ V/ ώσων της κατασκυής µ τις παραµορφώσις στο λύθρο πδίο (t John and Zahrah, 1987) ίναι ακριβής µόνο για τις ορθές και τη διατµητική παραµόρφωση. Η παλληλία αυτών των παραµορφώσων για τον υπολογισµό της µέγιστης ορθής (κύριας) παραµόρφωσης στη διατοµή ίναι συντηρητική, καθώς δίνι παραµορφώσις πρίπου 41% µγαλύτρς σ σχέση µ τη θωρία κλυφών. (γ) Για κατασκυές σ δίστρωτο σχηµατισµό µαλακού δάφους πί βράχου (Πίνακας 1) οι κύρις παραµορφώσις και η παραµόρφωση von Mises που υπολογίζονται µ τη θωρία κλυφών ίναι ξανά µγαλύτρς από τις ορθές συνιστώσς, µόνο που τώρα οι διαφορές ίναι ντονότρς ιδικά για την αξονική συνιστώσα, όπου η διαφορά φτάνι να ίναι της ίδιας τάξης µγέθους µ τη τιµή του λόγου /. (δ) Επιπλέον, οι αξονικές παραµορφώσις µπορούν πράγµατι να υπολογιστούν µ τις λύσις που αναπτύχθηκαν για οµοιογνές έδαφος, χρησιµοποιώντας τη ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων στο βράχο. Αντίθτα, η τακτική αυτή υποκτιµά σηµαντικά τις διατµητικές και τις πριφριακές παραµορφώσις. Τα συµπράσµατα (α) και (γ) δίχνουν ότι ο αντισισµικός σχδιασµός συνχών υπογίων έργων (π.χ. σηράγγων και αγωγών από σκυρόδµα) ή χαλύβδινων αγωγών µ σπιροιδίς συγκολλήσις θα έπρπ να βασίζται στις 1,3 και στην vm, παρά στις ορθές συνιστώσς της παραµόρφωσης ( α και h ). Η απαίτηση αυτή δν αφορά έργα µ πριφριακές συγκολλήσις ή συνδέσµους, µ µιωµένη αντοχή σ σχέση µ το υλικό κατασκυής, που µπορί να αστοχήσουν λόγω αυξηµένων αξονικών παραµορφώσων. 7. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η έρυνα υποστηρίζται ν µέρι από το πρόγραµµα ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ-ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ που συνχρηµατοδοτίται από την Ευρωπαϊκή Ένωση και το ΥΠ.Ε.Π.Θ. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αmerican ifeline Alliance (001), Guidelines for the design of buried steel pipes. AE. Ansys Inc. (003), ANY elease 8 Documentation. European ommittee for tandardization (EN) (003), Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance-part 4: ilos, tanks and pipelines. Draft No. Hashash, Y. M. A., Hook, J. J., chmidt, B. and Yao, J.. (001), eismic design and analysis of underground structures. Tunneling and Underground pace Technology, Vol. 16, pp Kuesel, T.. (1969), Earthquake design criteria for subways. Journal of tructural Division, AE, T6, pp Newmark, N. M. (1968), Problems in wave propagation in soil and rock. In: Proceedings of the International ymposium on Wave Propagation and Dynamic Properties of Earth Materials, University of New Mexico Press, pp t. John,. M. and Zahrah, T. F. (1987), Aseismic design of underground structures. Tunneling and Underground pace Technology, Vol., pp Wang, J. J. (1993), eismic design of tunnels. Parsons-Brinckerhoff Μonograph. Yeh, G.. K. (1974), eismic analysis of buried slender beams. Bulletin of the eismological ociety of America, Vol. 64, pp Κουρτζής, Γ.Π. (005), 3- αναλυτική προσοµοίωση κυµατικών δράσων σ κυλινδρικά υπόγια έργα. ιδακτορική ιατριβή, Τοµέας Γωτχνικής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π., Σπτέµβριος. 5ο Πανλλήνιο Συνέδριο Γωτχνικής & Γωπριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 8