ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ολοκληρωµένα Κυκλώµατα µ Έµφαση στη Μικροταινία ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΗΜΗΤΡΙΟΥ Ν. ΛΟΪΖΟΥ Επιβλέπων : Ιωάννης Παπανάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 3

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ολοκληρωµένα Κυκλώµατα µ Έµφαση στη Μικροταινία ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΗΜΗΤΡΙΟΥ Ν. ΛΟΪΖΟΥ Επιβλέπων : Ιωάννης Παπανάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκ από την τριµλή ξταστική πιτροπή την 6 η Ιουλίου 3. (Υπογραφή) (Υπογραφή) (Υπογραφή) Ιωάννης Παπανάνος Ιωάννης Αβαριτσιώτης Ελυθέριος Καγιάφας Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 3

4 (Υπογραφή)... ΗΜΗΤΡΙΟΣ Ν. ΛΟΪΖΟΣ ιπλωµατούχος Ηλκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. 3 All ight eeved

5 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Πρίληψη Πρίληψη Η διπλωµατική αυτή ργασία αποτλί µία µλέτη των, έως σήµρα, γνωστών και πρισσότρο διαδδοµένων τρόπων µοντλοποίησης των γραµµών µταφοράς σ ολοκληρωµένα κυκλώµατα. Η δοµή στην οποία στιάζται το νδιαφέρον ίναι η δοµή της µικροταινίας, της γραµµής µταφοράς, δηλαδή, που αποτλίται από αγωγό σήµατος πάνω από ηµιαγώγιµο υπόστρωµα, το οποίο, µ τη σιρά του, βρίσκται πάνω από αγώγιµη πιφάνια γίωσης. Αρχικά, γίνται µία παρουσίαση των πιο διαδδοµένων µθόδων µοντλοποίησης της µικροταινίας και, ν συνχία, µία θωρητική ανάλυση πλήρους κύµατος της µικροταινίας, χρησιµοποιώντας βασικές ξισώσις της ηλκτροµαγνητικής θωρίας. Παράλληλα, διυκρινίζται ότι η ργασία αυτή θα πικντρωθί στις φυσικές µθόδους µοντλοποίησης. Το κύριο µέρος της ργασίας πραγµατύται την πξήγηση πέντ µθόδων φυσικής µοντλοποίησης, καθώς και των ισοδύναµων κυκλωµατικών µοντέλων και των ξισώσων απλής και κλιστής µορφής που προτίνονται από αυτές. Τα µοντέλα αυτά συγκρίνονται καταρχήν µταξύ τους ώστ να διαπιστωθί κατά πόσο συµφωνούν, νώ στη συνέχια γίνται µία σύγκριση µ ργαστηριακές µτρήσις για συγκκριµένη δοµή µικροταινίας. Η ασυµφωνία µταξύ θωρητικών αποτλσµάτων και πιραµατικών µτρήσων οδηγί στην πρόταση νός καινούριου µοντέλου. Το µοντέλο αυτό βασίζται σ ξισώσις που έχουν ήδη προταθί και λαµβάνι υπόψη τη γωµτρία και τα η- λκτρικά χαρακτηριστικά της µικροταινίας. Το καινούριο µοντέλο συγκρίνται µ τις πιραµατικές µτρήσις και παρατηρίται αρκτά καλή συµφωνία. Λόγω, µάλιστα, του τρόπου ξαγωγής του, το καινούριο µοντέλο µπορί να χρησιµοποιηθί για οποιαδήποτ γωµτρία µικροταινίας. Τέλος, γίνται µία αναφορά στο αν και πότ πρέπι µία γραµµής µταφοράς να θωρίται σαν απλό ή σαν κατανµηµένο κύκλωµα για τον υπολογισµό µγθών διάδοσης νός σήµατος σ αυτήν και παρουσιάζται ο κώδικας τόσο σ HSpice όσο και σ Matlab όλων των µοντέλων που χρησιµοποιήθηκαν.. Ν. Λοΐζος 5

6 Abtact Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Abtact Thi thei contitute a tud of the, up to date, known and mot ued method of tanmiion line modeling in integated cicuit. Inteet i focued on the micotip tuctue: a tanmiion line of a ignal conducto on a emiconducting ubtate, which, in tun, i upon a conducting uface connected to gound. The mot widepead micotip modeling method ae being peented, followed b a theoetical full wave anali of the micotip, uing baic equation fom electomagnetic theo. It i, howeve, claified that thi thei will focu on the phical modeling method. The main pat of thi wok deal with the explanation of five phical modeling method, a well a, the equivalent cicuit model and the imple and cloed-fom equation that ae popoed b thee method. A compaion i fitl made among thee model, in ode to invetigate thei degee of ageement, and then between thee model and laboatoial meauement fo a pecific micotip tuctue. The nonageement between theoetical eult and expeimental data lead to the popoal of a new model. Thi model i baed on alead popoed equation and take into account the geometical and electical chaacteitic of the micotip. Thi new model i compaed with expeimental meauement and a elativel good ageement i obeved. In addition, due to it wa of extaction, thi new model can be ued fo micotip of an geometical chaacteitic. Finall, efeence i made a to if and when a tanmiion line hould be conideed a lumped o ditibuted element fo the calculation of popagation chaacteitic, and the code fo implementing the model ued fo HSpice and Matlab i being peented. 6. Ν. Λοΐζος

7 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Πριχόµνα Πριχόµνα Κφάλαιο : Εισαγωγή 9.. Η σηµασία της σωστής µοντλοποίησης των γραµµών µταφοράς 9.. Γνικές µέθοδοι ανάλυσης και µοντλοποίησης γραµµών µταφοράς... Φυσική µοντλοποίηση 3... Αριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης και µοντλοποίησης 3... Ανάλυση Quai-TEM 3... Αναλύσις πλήρους κύµατος (full-wave) 4... Μέθοδος FDTD 4... Μέθοδος SDA (Spectal Domain Appoach - Προσέγγιση Φασµατικού Πδίου) Μέθοδος FEM (Finite-Element Method Μέθοδος ιακριτών Στοιχίων) Μέθοδος Mode-Matching (Ταύτισης Ρυθµών) 9 Κφάλαιο : Θωρητικά Στοιχία.. Θωρητική ανάλυση της δοµής της µικροταινίας.. Φυσικές ιδιότητς διάδοσης στη µικροταινία 3 Κφάλαιο 3: Μοντλοποίηση µικροταινίας Το µοντέλο του Jin και των συνργατών του Το µοντέλο των Eo και Eientadt Το µοντέλο του Weihaa και των συνργατών του Μία τροποποίηση του µοντέλου των Schniede και Heinich Το µοντέλο του Wee και των συνργατών του 5 Κφάλαιο 4: Σύγκριση των µοντέλων Σύγκριση των αποτλσµάτων των µοντέλων µ βάση τα δδοµένα στη δηµοσίυση του Jin και των συνργατών του Σύγκριση των αποτλσµάτων των µοντέλων µ βάση τα δδοµένα στη δηµοσίυση των Eo και Eientadt 6 Κφάλαιο 5: Σύγκριση των µοντέλων µ πραγµατικές µτρήσις και παρουσίαση νός καινούριου µοντέλου Σύγκριση των µοντέλων µ ργαστηριακές µτρήσις Παρουσίαση νός καινούριου µοντέλου Έλγχος της ορθότητας του καινούριου µοντέλου 7 Κφάλαιο 6: Τµαχισµός των γραµµών µταφοράς και χρήση ν σιρά δικτυωµάτων 75 Κφάλαιο 7: Επίλογος Ανακφαλαίωση Συµπράσµατα 77 Βιβλιογραφία 8 Παράρτηµα 83 Π. Κώδικας υλοποιηµένων µοντέλων για Matlab 83 Π.. Το µοντέλο του Jin και των συνργατών του 83 Π.. Το µοντέλο των Eo και Eientadt 84 Π.3. Το µοντέλο του Weihaa και των συνργατών του 85 Π.4. Το µοντέλο των Schniede και Heinich 87 Π.5. Το µοντέλο του Wee και των συνργατών του για µικροταινία µ συνπίπδους αγωγούς γίωσης 89 Π.6. Μία τροποποίηση του µοντέλου του Wee και των συνργατών του για απλή δοµή µικροταινίας 9 Π.7. Το καινούριο µοντέλο που προτίνται στην παράγραφο Π. Κώδικας υλοποιηµένων µοντέλων για HSpice 95 Π.. Το µοντέλο του Jin και των συνργατών του 95 Π.. Το µοντέλο των Eo και Eientadt 97 Π.3. Το µοντέλο του Weihaa και των συνργατών του 99. Ν. Λοΐζος 7

8 Πριχόµνα Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Π.4. Το µοντέλο των Schniede και Heinich µ υπόστρωµα νός στρώµατος Π.5. Το τροποποιηµένο µοντέλο των Schniede και Heinich για υπόστρωµα δύο στρωµάτων 5 Π.6. Το µοντέλο του Wee και των συνργατών του για µικροταινία µ συνπίπδους αγωγούς γίωσης 9 Π.7. Μία τροποποίηση του µοντέλου του Wee και των συνργατών του για απλή δοµή µικροταινίας Π.8. Το καινούριο µοντέλο που προτίνται στην παράγραφο Π3. Βοηθητικά προγράµµατα σ Matlab 6 Π3.. Βοηθητικό πρόγραµµα για τη σύγριση των κυκλωµατικών µγθών που προκύπτουν από το κάθ µοντέλο 6 8. Ν. Λοΐζος

9 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Κφάλαιο Κφάλαιο Εισαγωγή Προτού πράσουµ στο κυρίως τµήµα της διπλωµατικής ργασίας, κρίνται αναγκαίο να αναφρθούν, έστω συνοπτικά, κάποια βασικά στοιχία αναφορικά µ τη γραµµή µταφοράς. Για το λόγο αυτό, αρχικά, παρουσιάζται η σηµασία της σωστής µοντλοποίησης των γραµµών µταφοράς και οι λόγοι που έχουν οδηγήσι µγάλο τµήµα της πιστηµονικής κοινότητας που ασχολίται µ τη µοντλοποίηση κυκλωµατικών στοιχίων να στρέψι την προσοχή του στο αντικίµνο αυτό. Εν συνχία, απαριθµούνται γνικά οι µέθοδοι που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ανάλυση και µοντλοποίηση της γραµµής µταφοράς, νώ παράλληλα, σηµιώνονται τα πλονκτήµατα και µιονκτήµατα που έχι η χρήση κάθ µίας από τις διαφορτικές αυτές µθόδους. Στο πόµνο κφάλαιο παρουσιάζονται θωρητικά στοιχία που ισχύουν για την πρίπτωση της γραµµής µταφοράς πάνω από ηµιαγώγιµο υπόστρωµα καθώς και τα φυσικά φαινόµνα που λαµβάνουν χώρα κατά τη διάδοση νός σήµατος σ γραµµή µταφοράς... Η σηµασία της σωστής µοντλοποίησης των γραµµών µταφοράς Η µοντλοποίηση και η προσοµοίωση αποτλούν βασικά στοιχία στοιχία του σύγχρονου τρόπου σχδίασης κυκλωµάτων. Η υρία χρήση των µθόδων αυτών στη σχδίαση οφίλται σ δύο λόγους: Καταρχήν, η µαζική παραγωγή ολοκληρωµένων κυκλωµάτων και το γγονός ότι από τη στιγµή που αυτά κατασκυαστούν δν υπάρχουν πριθώρια διορθώσων, αλλαγών ή τροποποιήσων απαιτί µγάλη προσοχή κατά τη σχδίαση, νώ πριν την παραγωγή, τα οποιαδήποτ κυκλώµατα θα πρέπι να ίναι πλήρως λγµένα ως προς σωστή λιτουργία τους υπό διάφορς συνθήκς. ύτρον, το γγονός ότι κάθ κύκλωµα που πιτλί µία λιτουργία δν κατασκυάζται ξχωριστά αλλά αποτλί τµήµα νός µγαλύτρου ολοκληρωµένου κυκλώµατος, στρί από το σχδιαστη τη δυνατότητα µµονωµένων µτρήσων κάθ τµήµατος και κατ πέκταση τη δυνατότητα αλλαγής νός µόνο τµήµατος από το όλο κύκλωµα διατηρώντας τα υπόλοιπα τµήµατα []. Η αναγκαιότητα τα µοντέλα που πριγράφουν τα διάφορα στοιχία νός κυκλώµατος να ίναι κατά το δυνατό ακριβή στον υπολογισµό των τάσων, ρυµάτων και στην αναπαράσταση των κυ- µατοµορφών, µέσα στα αποδκτά, βέβαια, πίπδα σφάλµατος, ίναι µφανής. Τα πρισσότρα προγράµµατα προσοµοίωσης αδυνατούν να προσγγίσουν την πιθυµητή αυτή ακρίβια χωρίς τη χρήση µοντέλων για γραµµές µταφοράς, για τις γραµµές, δηλαδή, που νώνουν µταξύ τους δύο κυκλωµατικά στοιχία. Η µοντλοποίηση γραµµών µταφοράς, στη γνικότρή της έννοια, αναφέρται στη µοντλοποίηση των αγωγών µτάλλου που βρίσκονται µέσα στην ψηφίδα (chip), των µταλλικών παφών της ψηφίδας, των καλωδίων σύνδσης των παφών της ψηφίδας µ τα pin του πριβλήµατός της, καθώς και των ίδιων των pin. Μία πλήρης πριγραφή της συµπριφοράς των γραµµών µταφοράς µπορί να δοθί µόνο πιλύοντας τις ξισώσις του Maxwell, αναλύοντας, δηλαδή, το ηλκτροµαγνητικό πδίο. Σύµφωνα µ τις ξισώσις του Maxwell, η κατανοµή ρύµατος και φορτίου σ µία δοµή πηράζι και πηράζται από τη ροή ρύµατος και την ύπαρξη φορτίου στις γιτονικές µ αυτή δοµές. ν ίναι δυνατό, ποµένως, να υπάρξι πλήρης αποµόνωση νός στοιχίου σ ένα κύκλωµα, νώ οι αλληλπιδράσις του στοιχίου αυτού µ τις γιτονικές του δοµές έχι σαν αποτέλσµα χωρητικά και παγωγικά φαινόµνα καθώς και φαινόµνα αγωγιµότητας, τα οποία χαρακτηρίζονται γνικά ως παρασιτικά φαινόµνα. Τα φαινόµνα αυτά µταβάλλουν τη συµπριφορά του στοιχίου µ αποτέλσµα αυτή να ίναι διαφορτική από την αναµνόµνη και για το λόγο αυτό αρκτή έρυνα γίνται όσον αφορά την πιρροή των φαινοµένων αυτών στη συµπριφορά νός στοιχίου. Είναι προφανές ότι καθώς η πολυπλοκότητα νός κυκλώµατος αυξάνται τόσο πιο πολύπλοκη θα ίναι και η πίδραση των γιτονικών δοµών σ ένα στοιχίο. Αν πιλγόταν η κατυθίαν πιλυση των ξισώσων του Maxwell, ο υπολογιστικός χρόνος που θα έπρπ να διατθί για τη διργα-. Ν. Λοΐζος 9

10 Κφάλαιο Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία σία αυτή θα ήταν υπρβολικός και αυτό γιατί το κύκλωµα θα έπρπ να διαιρθί σ πολύ µγάλο αριθµό µικρότρων δοµών, οι οποίς µ τη σιρά τους, και χρησιµοποιώντας αριθµητική ανάλυση, θα συνέθταν πολύ µγάλους πίνακς. Για το λόγο αυτό προτιµήθηκ, γνικότρα στη µοντλοποίηση, η πριγραφή νός στοιχίου λαµβάνοντας υπόψη µόνο τις πιδράσις των πολύ κοντινών σ αυτό στοιχίων και µόνο στην πρίπτωση που αυτές ίναι σηµαντικές και µη αγνοήσιµς. Επιδή οι διάφορς πιδράσις που µπορί να έχι ένα στοιχίο από το γιτονικό του πριβάλλον ξαρτώνται από διάφορς παραµέτρους, όπως η συχνότητα ή η γωµτρία του στοιχίου, ίναι σύνηθς για ορισµένα στοιχία να υπάρχουν παραπάνω από ένα µοντέλα, τα οποία βρίσκουν φαρµογή ανάλογα µ τις πικρατούσς συνθήκς. Τα µοντέλα αυτά ίναι απλά αλλά ισχύουν µόνο σ ορισµένς πριπτώσις. Πολλές φορές πιχιρίται και σύνθση των απλών µοντέλων ώστ να προκύψι ένα - νιαίο πολυπλοκότρο µοντέλο το οποίο, όµως, θα ισχύι για πολύ µγαλύτρο ύρος τιµών παραµέτρων του στοιχίου []. Το νδιαφέρον για σωστή και ακριβή µοντλοποίηση των γραµµών µταφοράς έχι µφανιστί έντονα τα τλυταία χρόνια. Η ανάγκη για πιο γρήγορα, πιο αξιόπιστα και πιο µικρά κυκλώµατα έχι οδηγήσι στην όλο και µγαλύτρη ολοκλήρωση των κυκλωµάτων, την προσπάθια δηλαδή, όλο και πρισσότρα κυκλωµατικά στοιχία που βρίσκονται κτός ψηφίδων (off-chip component), να τοποθτηθούν ντός αυτών (on-chip), ούτως ώστ οι γραµµές µταφοράς να µικρύνουν και να µπορέσουν να προσδώσουν στο κύκλωµα τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Καθώς, όµως, οι συχνότητς των σηµάτων που διαδίδονται στα κυκλώµατα αυξάνται (οι συχνότητς που χρησιµοποιούνται πλέον φθάνουν τα αρκτά GHz) νώ, παράλληλα, η πυκνότητα των στοιχίων του ολοκληρωµένου κυκλώµατος γίνται όλο και µγαλύτρη, οι καθυστρήσις στην διάδοση των σηµάτων λόγω της ύπαρξης των γραµµών µταφοράς γίνονται όλο και πιο σηµαντικές. Στα ψηφιακά κυκλώµατα η αύξηση των παρουσιαζόµνων καθυστρήσων ίχ αρχικά αποδοθί στην πύλη των τρανζίστορ που οδηγούσ τη συνολική χωρητικότητα του φορτίου και της γραµ- µής µταφοράς. Σταδιακά, όµως, άρχισ να γίνται αντιληπτό ότι το µγαλύτρο τµήµα της καθυστέρησης οφίλονταν στα δίαφορα χωρητικά, παγωγικά και φαινόµνα αγωγιµότητας που παρουσίαζ η γραµµή µταφοράς. Μάλιστα, αποδίχθηκ ότι ακόµα και µέχρι 7% της παρουσιαζόµνης καθυστέρησης οφιλόταν στη γραµµή µταφοράς [3]. Κύρια αιτία στην αύξηση των καθυστρήσων, αρχικά, θωρήθηκ η αντίσταση του αγωγού καθώς και η χωρητικότητα του υποστρώµατος πάνω στο οποίο βρισκόταν η γραµµή µταφοράς. Για το λόγο αυτό, έγιναν έρυνς για την αντικατάσταση των µέχρι τότ χρησιµοποιούµνων υλικών (αλουµίνιο πάνω από οξίδιο του πυριτίου) µ άλλα, όπου ο µν αγωγός να έχι µικρότρη α- ντίσταση, το δ υπόστρωµα µικρότρη διηλκτρική σταθρά. Η ύρση του χαλκού που παρουσιάζι πολύ µικρότρη αντίσταση από το αλουµίνιο και η αντικατάσταση του αλουµινίου από αυτόν δν ίχ σ αρκτές πριπτώσις τα αναµνόµνα αποτλέσµατα στη µίωση των καθυστρήσων. Η αιτία που παρουσιάστηκ η αναντιστοιχία αυτή µταξύ των προσδοκούµνων αποτλσµάτων και των αποτλσµάτων των µτρήσων ίναι ότι µέχρι τότ, το καθολικά αποδκτό µοντέλο για την πριγραφή των καθυστρήσων που οφίλονται σ µία γραµµή µταφοράς ήταν το καταν- µηµένο δικτύωµα RC, που λαµβάνι υπόψη του µόνο την αντίσταση και χωρητικότητα της γραµ- µής. Σ πολλές πριπτώσις, όµως, η καθυστέρηση διάδοσης καθορίζται από τον παγωγικό χαρακτήρα της γραµµής, κάτι που έως τότ δν ίχ ληφθί υπόψη. Παράλληλα, οι απώλις λόγω της µη µηδνικής αγωγιµότητας του υποστρώµατος καθώς και η µφάνιση ορισµένων φυσικών φαινο- µένων που παρουσιάζονται κατά τη διάδοση νός σήµατος και τα οποία θα µλτηθούν στη συνέχια, θα πρέπι πίσης να ληφθούν υπόψη [4]. Τα πρισσότρα απλά προγράµµατα προσοµοίωσης ηλκτρονικών κυκλωµάτων (CAD tool) καθώς και οι πρισσότροι σχδιαστές ηλκτρονικών κυκλωµάτων χρησιµοποιούν ακόµα το κατανµηµένο δικτύωµα RC ως ισοδύναµο της γραµµής µταφοράς, µ αποτέλσµα σοβαρά λάθη στην πρόβλψη του χρόνου καθυστέρησης, του χρόνου ανόδου του διαδιδόµνου σήµατος, τη διαφωνία (cotalk) µταξύ γραµµών µταφοράς καθώς και το θόρυβο κοινού σήµατος (common mode noie). Αυτό συµβαίνι διότι, σ υψηλές συχνότητς (της τάξης των GHz) το µοντέλο RC κάνι µία υπρκτίµηση του χρόνου καθυστέρησης, µ αποτέλσµα να χρησιµοποιηθούν µγαλύτρα στοιχία από αυτά που πραγµατικά χριάζονται. Η χρήση µγαλύτρων στοιχίων έχι µ τη σιρά της. Ν. Λοΐζος

11 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Κφάλαιο ως αποτέλσµα µγαλύτρη διαφωνία και υψηλότρα πίπδα απαιτούµνης ισχύος. Παρόλη την ανάπτυξη κάποιων απλών πρακτικών κανόνων για την καλύτρη πρόβλψη των χαρακτηριστικών των γραµµών µταφοράς σ ολοκληρωµένα κυκλώµατα, η πληθώρα των σχδιαστικών παραµέτρων που πηράζουν τη διάδοση νός σήµατος, όπως, τα γωµτρικά χαρακτηριστικά της γραµ- µής, το µήκος της, οι διαφορές των φυσικών χαρακτηριστικών των διαφόρων στρωµάτων που χρησιµοποιούνται, οι χρησιµοποιούµνς τοπολογίς, κ.ά., καθιστά αδύνατη τη χρήση των κανόνων αυτών σ γνικότρη βάση [5]. Τα πρισσότρα προγράµµατα προσοµοίωσης ηλκτρονικών κυκλωµάτων, αγνοούν, συνήθως και την ύπαρξη απωλιών στο υπόστρωµα. Μία τέτοια παράλιψη δν έχι τόση σηµασία όταν το χρησιµοποιούµνο υπόστρωµα έχι χαµηλές απώλις (όπως τα υποστρώµατα από GaA), κάτι που συνήθως συµβαίνι στην πρίπτωση των µικροκυµατικών ολοκληρωµένων κυκλωµάτων. Στην πρίπτωση, όµως, υποστρωµάτων µ αξιοσηµίωτς απώλις (όπως αρκτά νοθυµένο υπόστρωµα πυριτίου), µία τέτοια παράλιψη θα οδηγούσ σ τλίως λανθασµένα αποτλέσµατα. Τα αποτλέσµατα αυτά αρχίζουν να γίνονται αντιληπτά σ υψηλές συχνότητς (τάξης GHz), όπου το απλό µοντέλο του κατανµηµένου RC δικτυώµατος παύι, πλέον, να προσγγίζι σωστά τη λιτουργία της γραµµής µταφοράς. Η ύπαρξη απωλιών στο υπόστρωµα συµβάλλι και στη διασπορά του διαδιδόµνου σήµατος, άλλο ένα σηµίο που θα πρέπι να ληφθί υπόψη κατά τη σχδίαση νός κυκλώ- µατος [6]. Ο τρόπος µ τον οποίο το υπόστρωµα πηράζι τη λιτουργία νός ολοκληρωµένου κυκλώµατος ίναι αρκτά πρίπλοκη. Καταρχήν, ανάλογα µ το πίπδο νόθυσης του υποστρώµατος, η α- γωγιµότητά του µπορί να µταβληθί από ως και 5 S/m. Επίσης, η συχνότητα του µταδιδόµνου σήµατος συνδέται άµσα µ τις ηλκτρικές ιδιότητς που παρουσιάζι το υπόστρωµα. Ακόµα, η ίδια η γωµτρία του αγωγού σήµατος πηράζι τη συµπριφορά του υποστρώµατος: το πλάτος, το πάχος του αγωγού σήµατος, η απόσταση από άλλους αγωγούς ίναι όλοι παράγοντς που θα πρέπι να ληφθούν υπόψη. Τέλος, το υλικό από το οποίο αποτλίται ο αγωγός σήµατος παίζι και αυτό το δικό του ρόλο στη συµπριφορά που θα παρουσιάσι το υπόστρωµα [7]. Μρικά σύγχρονα βοηθητικά ργαλία σχδίασης χρησιµοποιούν για µοντλοποίηση την έννοια του µρικού στοιχίου ισοδύναµου κυκλώµατος (Patial Element Equivalent Cicuit PEEC). Ειδικότρα, προγράµµατα που µοντλοποιούν την παγωγή αποτλσµατικής κατανοµής ισχύος χρησιµοποιούν µοντέλα PEEC για τον υπολογισµό της τιµής της παγωγής στις χαµηλές συχνότητς για µία ολόκληρη δοµή. Τα µοντέλα PEEC, πάντως, µπορούν να προσγγίσουν τη λύση που προκύπτι µ πίλυση των ξισώσων του Maxwell µόνο µ κατάλληλη διαίρση της γραµµής µταφοράς και σ µγάλο αριθµό µικρότρων τµηµάτων, µ αποτέλσµα να µη µπορούν ύκολα και γρήγορα να φαρµοστούν. Όσο, µάλιστα, η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος αυξάνται, γίνται φανρό ότι η χρήση τους γίνται όλο και πιο δύσκολη. Θα πρέπι, όµως, να αναφρθί ότι γίνται έρυνα πάνω σ τρόπους µίωσης της πολυπλοκότητας των ξισώσων που προκύπτουν από τη χρήση µοντέλων PEEC στιάζοντας κυρίως σ µίωση της τάξης των ξισώσων. Όσον αφορά τις µθόδους υπολογισµού της χωρητικότητας µίας γραµµής µταφοράς τα πράγ- µατα ίναι κάπως πιο ύκολα. Η θώρηση ότι τα χωρητικά φαινόµνα που µφανίζονται κατά τη διάδοση νός σήµατος σ µία γραµµή µταφοράς οφίλονται κυρίως στη χωρητικότητα των υλικών γύρω από τη γραµµή µταφοράς και ότι ως κατανοµή φορτίου θα πρέπι να θωρηθί η πιφανιακή κατανοµή φορτίου ίναι αποδκτή. Μ τη βάση αυτή και τη χρήση κάποιων πρωτότυπων µθόδων, ο υπολογισµός της χωρητικότητας µπορί να γίνι σχτικά ύκολα και σωστά για όλα τα στοιχία της ψηφίδας. Αντίθτα, για τον υπολογισµό της παγωγής τα πράγµατα γίνονται πιο δύσκολα. Η παγωγική ξάρτηση µταξύ του αγωγού σήµατος και του µονοπατιού πιστροφής του σήµατος, όπου ως µονοπάτι πιστροφής νοίται ο αγωγός µέσω του οποίου κλίνι το κύκλωµα, ίναι πολύπλοκη και ξαρτάται τόσο από τη σχδίαση όσο και από τη χρησιµοποιούµνη τχνολογία. Ε- πιπλέον, δ θα πρέπι να αγνοηθί η ξάρτηση της παγωγής µ τη συχνότητα λόγω της διαφορτικής συµπριφοράς που παρουσιάζι το µονοπάτι πιστροφής ανάλογα µ τη συχνότητα. Από την παραπάνω πριγραφή γίνται φανρή η ανάγκη της σωστής µοντλοποίησης των γραµµών µταφοράς. Αν ληφθί υπόψη και το γγονός της πολλαπλής χρήσης µίας γραµµής µταφοράς σ ένα ολοκληρωµένο κύκλωµα, µπορούµ να διαπιστώσουµ την ακόµα µγαλύτρη σηµα-. Ν. Λοΐζος

12 Κφάλαιο Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία σία της σωστής µοντλοποίησης. Γνικά, οι γραµµές µταφοράς σ ολοκληρωµένα κυκλώµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως βασικά στοιχία για την κατασκυή πηνίων, πυκνωτών ή ως δίκτυα προσαρµογής της χαρακτηριστικής αντίστασης. Το ηλκτρικό µήκος µίας γραµµής µταφοράς, βέβαια, µπορί να ληφθί υπόψη µόνο σ συχνότητς µγαλύτρς των µικροκυµατικών (αφού σ µικρότρς συχνότητς, προκιµένου να λάβουµ ένα αξιοποιήσιµο ηλκτρικό µήκος θα πρέπι να χρησιµοποιηθούν πολύ µακρές γραµµές µταφοράς) µ αποτέλσµα η χρήση των γραµµών µταφοράς ως δίκτυα προσαρµογής να πριορίζται στις υψηλές συχνότητς. Το αντικίµνο της σωστής µοντλοποίησης των γραµµών µταφοράς σ ολοκληρωµένα κυκλώµατα απασχόλησ και απασχολί πολλούς ρυνητές που ίτ υιοθτώντας υρέως χρησιµοποιούµνς µθόδους ίτ προτίνοντας νές, προσπαθούν να δώσουν µία κατά το δυνατό πλήρη (που να ισχύι σ όλς τις συχνότητς ή σ πολύ µγάλο ύρος συχνοτήτων) και όσο το δυνατό πιο σωστή (µικρές αποκλίσις από πραγµατικά δδοµένα) προσέγγιση για τη µοντλοποίηση της γραµ- µής µταφοράς. Μρικές από τις πιο γνωστές µθόδους που χρησιµοποιούνται για την ανάλυση των γραµµών µταφοράς θα αναφρθούν στην πόµνη παράγραφο. Σκοπός - Στόχος Σκοπός της παρούσας διπλωµατικής ργασίας ήταν κατ αρχήν, η βιβλιογραφική µλέτη του τρόπου µοντλοποίησης µίας γραµµής µταφοράς πάνω από υπόστρωµα πυριτίου και κατ πέκταση η θωρητική µλέτη των φυσικών ιδιοτήτων της. Επόµνο στάδιο ήταν η ύρση από τη βιβλιογραφία προτινόµνων µοντέλων ικανών να χρησιµοποιηθούν για νσωµάτωση σ πριβάλλον προσοµοίωσης ηλκτρονικών κυκλωµάτων (προγράµµατα CAD) και ο έλγχος της ακρίβιας και της πιστότητάς τους. Μοντέλα ικανά για νσωµάτωση σ πριβάλλον προσοµοίωσης ηλκτρονικών κυκλωµάτων θωρήθηκαν όσα παρίχαν ξισώσις για τον υπολογισµό των τιµών των διαφόρων στοιχίων του µοντέλου σ κλιστή µορφή, σ µορφή, δηλαδή, που ο υπολογιστής να µπορί να υπολογίσι την τιµή τους σ πολύ µικρό χρονικό διάστηµα και πραγµατοποιώντας απλές πράξις. Ο έλγχος της ακρίβιας και της πιστότητάς των παραπάνω µοντέλων έγιν συγκρίνοντας µ µτρήσις που ίχαν ήδη πραγµατοποιηθί για συγκκριµένη δοµή γραµµής µταφοράς. Τέλος, µ βάση ήδη υπάρχοντα µοντέλα της βιβλιογραφίας, προτάθηκ ένα καινούριο µοντέλο το οποίο υλοποιήθηκ και λέγχθηκ χρησιµοποιώντας τις ίδις µ παραπάνω µτρήσις... Γνικές µέθοδοι ανάλυσης και µοντλοποίησης γραµµών µταφοράς Η παρούσα διπλωµατική ργασία πικντρώνται σ µία ιδική δοµή γραµµή µταφοράς, τη µικροταινία (micotip) και για το λόγο αυτό, φξής και µέχρι το τέλος της ργασίας, αντί του όρου γραµµή µταφοράς, θα χρησιµοποιίται ο όρος µικροταινία. Παρόλο που, σύµφωνα µ το Wheele [8], ο όρος αυτός, που αποτλί συντόµυση της έκφρασης µικροκυµατική γραµµή µταφοράς ( micowave tip line ), δν αποδίδι σωστά το αντικίµνο το οποίο πριγράφι νώ παράλληλα µπορί να προκαλέσι σύγχυση µταξύ δύο διαφορτικών τοπολογιών (αγωγός πάνω από ηµιαγωγό πάνω από πιφάνια γίωσης αγωγός µέσα σ ηµιαγωγό ανάµσα σ πιφάνις γίωσης), έχι πικρατήσι να χρησιµοποιίται για την πριγραφή των τοπολογιών του σχήµατος.. Η διαφορά µταξύ των τοπολογιών αυτών, όπως µπορί να φανί, ίναι η ύπαρξη ή όχι του στρώµατος οξιδίου µταξύ του αγωγού και του υποστρώµατος. Η τοπολογία του σχήµατος.α ίναι γνωστή και ως δοµή MIS (Metal Inulato Semiconducto Μέταλλο Μονωτής Ηµιαγωγός) παρόλο που αντί του µτάλλου µπορί να χρησιµοποιηθί γνικά οποιοδήποτ αγώγιµο υλικό, π.χ. πολυπυρίτιο. Παρακάτω, θα αναφρθούν ν συντοµία ορισµένς από τις βασικότρς µθόδους που χρησιµοποιούνται για την ανάλυση των χαρακτηριστικών διάδοσης της µικροταινίας. Μέσα από τις µθόδους αυτές ίναι δυνατό να προκύψουν ξισώσις για διάφορα χαρακτηριστικά διάδοσης της µικροταινίας. Οι ξισώσις αυτές ίναι κατά κανόνα συναρτήσις των γωµτρικών χαρακτηριστικών της µικροταινίας, καθώς και της συχνότητας, νώ συνήθως τα αποτλέσµατα που προκύπτουν από αυτές δίνονται ανά µονάδα µήκους. Μ τον τρόπο αυτό µπορί να µλτηθί στη συνέχια ο βέλτιστος αριθµός των τµηµάτων στα οποία θα πρέπι να χωριστί µία µικροταινία ανάλογα µ το µήκος της. Ν. Λοΐζος

13 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Κφάλαιο ώστ να έχουµ αποτλέσµατα όσο το δυνατό πιο κοντά στην πραγµατικότητα. Το θέµα αυτό θα µας απασχολήσι και παρακάτω. α. β. αγωγός αγωγός οξίδιο/µονωτής ηµιαγωγός ηµιαγωγός Σχήµα. οµές µικροταινίας... Φυσική µοντλοποίηση Στην πρίπτωση της φυσικής µοντλοποίησης, λαµβάνονται υπόψη οι φυσικές ιδιότητς της µικροταινίας και µ τρόπο ίτ αναλυτικό ίτ µπιρικό προτίνονται µοντέλα διακριτών στοιχίων µ αντίστοιχς ξισώσις για την ύρση των τιµών των στοιχίων αυτών. Μ τον τρόπο αυτό µοντλοποίησης µπορούν να προκύψουν απλά και ύκολα στη χρήση µοντέλα τα οποία µπορούν σ πολύ µικρό χρόνο να υπολογίσουν διάφορα µγέθη. Η χρήση τους, κατά κανόνα, πριορίζται σ απλές διατάξις. Πολλές φορές, όµως, χρησιµοποιούνται ως στάδιο αρχικοποίησης άλλων µοντέλων, συνήθως πλήρους κύµατος, που χρησιµοποιούν ισχυρούς αριθµητικούς αλγόριθµους. Πδίο προς µλέτη αποτλί η ύρση τέτοιων µοντέλων τα οποία να µπορούν να χρησιµοποιηθούν για µικροταινίς διαφόρων γωµτρικών µγθών, σ µγάλο ύρος συχνοτήτων και για διάφορς τιµές ηλκτρικών χαρακτηριστικών των υλικών (συντλστής αγωγιµότητας, διηλκτρική σταθρά, κ.ά.). Αυτός ίναι και ο τρόπος µοντλοποίησης που θα µας απασχολήσι στην παρούσα διπλωµατική ργασία. Παρακάτω, αναφέρονται άλλς µέθοδοι µοντλοποίησης και κυρίως ανάλυσης της διάδοσης σηµάτων στη δοµή της µικροταινίας. Οι µέθοδοι αυτές ίναι αριθµητικές και προσβλέπουν στην ύρση του ηλκτροµαγνητικού πδίου που διαδίδται στη µικροταινία, όµως, µρικές από αυτές έχουν χρησιµοποιηθί από ρυνητές και ως βάση για την ύρση φυσικών µοντέλων. Οι παρακάτω µέθοδοι µπορί ναι µν να δίνουν καλύτρα αποτλέσµατα κατά την προσοµοίωση σ σχέση µ τα φυσικά µοντέλα, απαιτούν, όµως, πολύ µγαλύτρο υπολογιστικό χρόνο, ο οποίος, για πολύπλοκς διατάξις, µπορί να µην ίναι καν αποδκτός.... Αριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης και µοντλοποίησης Παρακάτω γίνται µία σύντοµη πριγραφή των πιο διαδδοµένων µθόδων ανάλυσης της δοµής της γραµµής µταφοράς. Αρχικά αναφέρται η µέθοδος quai-tem και στη συνέχια διάφορς µέθοδοι πλήρους κύµατος, τόσο στο πδίο του χρόνου όσο και στο πδίο της συχνότητας. Εκτός των παρακάτω µθόδων ανάλυσης, υπάρχουν και άλλς µέθοδοι, άλλς πρισσότρο και άλλς λιγότρο διαδδοµένς. Ενδικτικά, αναφέρουµ κάποις από αυτές: method of line (µέθοδος γραµµών), FDM (Finite Diffeence Method Μέθοδος ιακριτής ιαφοράς), µέθοδος TLM (Tanmiion Line Matix Πίνακα Γραµµής Μταφοράς). Για µία σύντοµη πριγραφή αυτών και άλλων µθόδων, ο αναγνώστης παραπέµπται στην αναφορά [9].... Ανάλυση Quai-TEM Η quai-tem ανάλυση ίναι η πιο διαδδοµένη ανάλυση για το χαρακτηρισµό της µικροταινίας. Βασίζται στις ξισώσις του Maxwell και θωρί ότι το κύµα που διαδίδται στη γραµµή µταφοράς ίναι τύπου TEM (Tanvee Electic and Magnetic ηλκτρικό και µαγνητικό πδίο κάθτα στη διύθυνση διάδοσης). Προφανώς, κάτι τέτοιο, όπως θα φανί και στη συνέχια από τη θ-. Ν. Λοΐζος 3

14 Κφάλαιο Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία ωρητική ανάλυση της µικροταινίας δν ισχύι γνικά. Πολύ σύντοµα, αυτό µπορί να δικαιολογηθί από το γγονός ότι υπάρχουν απώλις νέργιας και ανοµοιογένια στο υλικό διάδοσης. Αξίζι, λοιπόν, να ξταστί σ ποις πριπτώσις ίναι δυνατή η χρήση της προσέγγισης πως το διαδιδό- µνο κύµα στη γραµµή µταφοράς µοιάζι µ TEM. Μ το θέµα αυτό ασχολήθηκαν ο Hono και οι συνργάτς του [], µ αποτέλσµα να καταλήξουν στην παρακάτω συνθήκη όσον αφορά την ισχύ της προσέγγισης αυτής: d << (.) ω µˆ () ˆ () όπου δηλώνι τη µέση τιµή, δηλώνι την απόλυτη τιµή, d ίναι η διάσταση κάθτα στη διύθυνση διάδοσης του κύµατος, ω ίναι η κυκλική συχνότητα, µ και ίναι η µαγνητική διαπρατότητα και διηλκτρική σταθρά αντίστοιχα νώ το σύµβολο ^ δηλώνι τη µιγαδική φύση νός µγέθους. Η συνθήκη αυτή προέκυψ από την απαίτηση η συνιστώσα του ηλκτρικού πδίου κατά µήκος της διύθυνσης διάδοσης να ίναι πολύ µικρότρη από την γκάρσια συνιστώσα του ηλκτρικού πδίου. Στην πρίπτωση που θωρήσουµ ότι το µέσο διάδοσης έχι απώλις (πρίπτωση υποστρώµατος µ απώλις), η παραπάνω συνθήκη παίρνι τη µορφή: d << (.) σ() ω µ () () ω Η ίδια συνθήκη αναφέρται πιο απλά από τον Haegawa και τους συνργάτς του [], σύµφωνα µ τους οποίους, προκιµένου να ισχύσι η quai-tem ανάλυση, το µήκος κύµατος θα πρέπι να ίναι πολύ µγαλύτρο από το πάχος του διπλού στρώµατος που αποτλίται από το οξίδιο και το υπόστρωµα πυριτίου στην πρίπτωση της µικροταινίας του σχήµατος.α, ή απλά του υποστρώµατος πυριτίου στην πρίπτωση της µικροταινίας του σχήµατος.β. Η quai-tem ανάλυση µπορί να ισχύσι για συχνότητς της τάξης µέχρι GHz ή ακόµα και GHz ([], [3]) και για το λόγο αυτό και λόγω της απλότητάς της ίναι αρκτά διαδδοµένη. Συνήθως, στην quai-tem ανάλυση γίνται χρήση του βαθµωτού ηλκτρικού δυναµικού (Φ) και όχι διανυσµατικών µγθών µ αποτέλσµα απλούστρς ξισώσις και γρηγορότρη απόκριση.... Αναλύσις πλήρους κύµατος (full-wave) Προκιµένου να υπάρξι µία λπτοµριακή και πλήρης ανάλυση του τρόπου διάδοσης νός σήµατος κατά µήκος µίας µικροταινίας ίναι αναγκαία η ανάλυση πλήρους κύµατος. Στην ανάλυση αυτή, ξκινώντας από τις ξισώσις του Maxwell για ηλκτροµαγνητικά πδία και χωρίς να γίνται κάποια προσέγγιση για τη µορφή του κύµατος που διαδίδται στη µικροταινία, προκύπτουν ξισώσις που πριγράφουν τα χαρακτηριστικά µγέθη διάδοσης κατά µήκος της µικροταινίας. ιάφοροι ρυνητές έχουν κατά καιρούς χρησιµοποιήσι ορισµένς προσγγίσις της ανάλυσης πλήρους κύ- µατος. Ορισµένς από τις µθόδους αυτές ίναι αρκτά διαδδοµένς και πριγράφονται σύντοµα στη συνέχια.... Μέθοδος FDTD Η µέθοδος FDTD (Finite-Diffeence Time Domain Μέθοδος ιακριτής- ιαφοράς στο Πδίο του Χρόνου) αποτλί στην ουσία µία αριθµητική µέθοδο για την πίλυση των ολοκληρωµατικών ξισώσων του Maxwell. Η µέθοδος ίναι αρκτά διαδδοµένη αφού οι ξισώσις του Maxwell µπορούν να διακριτοποιηθούν µ σαφή τρόπο. Μ την έννοια διακριτοποίηση ννοίται η µτατροπή ολοκληρωµατικών ξισώσων σ ξισώσις αθροίσµατος ( Σ) µ κατάλληλο τρόπο. Χρησιµοποιίται στην πρίπτωση που νδιαφέρι η ξάρτηση των αποτλσµάτων από το χρόνο και όχι από τη συχνότητα και παρουσιάστηκ για πρώτη φορά από τον K.S. Yee. Παρακάτω πα- () 4. Ν. Λοΐζος

15 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Κφάλαιο ρουσιάζονται κάποια βασικά σηµία της µθόδου αυτής. Σ πρίπτωση που θωρήσουµ χώρο χωρίς πηγές, οι ξισώσις του Maxwell µπορούν να γραφούν µ τη µορφή υπρβολικών συναρτήσων πρώτης τάξης [4]: de dh dh dh = A x A A z (.3α) dt dx d dz dh de de de = Bx B Bz (.3β) dt dx d dz όπου E = ( E ) T x,e, E z το διάνυσµα της έντασης του ηλκτρικού πδίου και H = ( H ) T x,h, H z το διάνυσµα της έντασης του µαγνητικού πδίου. Επίσης: xx xx = A x, A = και A z = (.4) zz zz όπου xx, και zz ίναι τα διαγώνια στοιχία του τανυστή της ηλκτρικής πιτρπτότητας. Αντίστοιχα, τα Β x, B και B z προκύπτουν και αυτά από την (.4) µ αντικατάσταση των xx, και zz µ τα µ xx, µ και µ zz αντίστοιχα, που αποτλούν τα διαγώνια στοιχία του τανυστή µαγνητικής διαπρατότητας. Σύµφωνα µ τον Yee, κάθ συνάρτηση του χρόνου και του χώρου µπορί να διακριτοποιηθί ως ξής: F n ( i, j,k ) = F( i x, j,k z,n t) (.5) όπου x = = z = l ίναι το διάστηµα αύξησης του µήκους και t ίναι το διάστηµα αύξησης του χρόνου. Οι συνιστώσς της έντασης του ηλκτρικού και µαγνητικού πδίου µπορούν να τοποθτηθούν σ πλέγµα (που ονοµάζται πλέγµα του Yee) µ τον τρόπο που φαίνται στο σχήµα.. z E E x H z (i,j,k) E E x E z E z H H x H E z H x (i,j,k) E z E E x H z (i,j,k) E E x (i,j,k) x Σχήµα. Τοποθέτηση των πδιακών συνιστωσών στο πλέγµα του Yee Υπολογίζοντας µ κατάλληλο τρόπο, βασιζόµνοι στις θέσις τους στο πλέγµα και τις σχέσις (.3), τις συνιστώσς αυτές, χρησιµοποιώντας χρονικά βήµατα ίσα µ το µισό του t, προκύπτουν οι παρακάτω ξισώσις: n n n H ( ) ( ) ( )[ ( x i, j, k = H x i, j, k i, j, k E i, j, k ) µ xx (.6α) n n n E i, j, k E i, j, k E i, j, k H n ( ) ( ) ( )] ( i, j, k n n ) = H ( i, j, k ) ( i, j, k ) E ( i, j, k ) E n z. Ν. Λοΐζος 5 z µ n n ( i, j, k ) E ( i, j, k) E ( i, j, k )] x z x [ z (.6β)

16 Κφάλαιο Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία 6. Ν. Λοΐζος ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] k, j, i E k, j i, E k j,, i E k, j, i E k, j, i µ k, j, i H k, j, i H n n n x n x zz n z n z = (.6γ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] n n n z n z xx n x n x k j,, i H k j,, i H k, j, i H k, j, i H k j,, i k j,, i E k j,, i E = (.7α) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] k, j, i H k, j, i H k, j i, H k, j i, H k, j i, k, j i, E k, j i, E n z n z n x n x n n = (.7β) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] n x n x n n zz n z n z k, j i, H k, j i, H k j,, i H k j,, i H k j, i, k j, i, E k j, i, E = (.7γ) όπου, ο παράγοντας ισούται µ: l c t = (.8) και c ίναι η ταχύτητα του φωτός. Στις παραπάνω ξισώσις, τα Ε και Η έχουν κανονικοποιηθί µ τέτοιο τρόπο ώστ η χαρακτηριστική αντίσταση να ίναι ίση µ τη µονάδα. Έχοντας βρι τη διακριτή µορφή που θα πρέπι να έχι το ηλκτροµαγνητικό πδίο, παραµένουν δύο σηµία τα οποία θα πρέπι να µλτηθούν προκιµένου να βρθούν οι ξισώσις από τις οποίς θα υπολογιστί το ηλκτροµαγνητικό πδίο. Καταρχήν, θα πρέπι να θωρηθούν κάποις συνοριακές συνθήκς δύτρο, θα πρέπι να δοθούν κάποις αρχικές συνθήκς. Η ύρση των κατάλληλων συνοριακών συνθηκών αποτλί τη µγάλη δυσκολία στη µέθοδο αυτή. Ο µτασχηµατισµός Fouie, που χρησιµοποιίται για τη µτατροπή στο πδίο της συχνότητας των αποτλσµάτων που δίνι η µέθοδος FDTD στο πδίο του χρόνου ίναι ξαιρτικά υαίσθητος στη µορφή των συνοριακών συνθηκών που χρησιµοποιούνται. Έτσι, η όχι και τόσο σωστή πιλογή συνοριακών συνθηκών για την ύρση του ηλκτροµαγνητικού πδίου µ τη µέθοδο FDTD, µπορί να οδηγήσι σ τλίως λανθασµένα αποτλέσµατα στο πδίο της συχνότητας. Το πρόβληµα της ύρσης σωστών συνοριακών συνθηκών για την ύρση του ηλκτροµαγνητικού πδίου στη δοµή της µικροταινίας απασχόλησ πολλούς ρυνητές, νώ πολλές ήταν και οι λύσις που δόθηκαν [5]. Μία από τις πιο διαδδοµένς λύσις ίναι αυτή των συνοριακών συνθηκών α- νοιχτοκυκλώµατος και βραχυκυκλώµατος (open- and hot-cicuit bounda condition). Σύµφωνα µ τη λύση αυτή [6], το ηλκτροµαγνητικό πδίο υπολογίζται δύο φορές: την πρώτη φορά τα ό- ρια θωρούνται ηλκτρικά αγώγιµα (µηδνικές φαπτοµνικές συνιστώσς ηλκτρικού πδίου) τη δύτρη φορά τα όρια θωρούνται µαγνητικά αγώγιµα (µηδνικές φαπτοµνικές συνιστώσς µαγνητικού πδίου). Ο µέσος όρος των δύο αποτλσµάτων δίνι το ζητούµνο ηλκτροµαγνητικό κύµα. Θωρητικά, η µέθοδος αυτή δικαιολογίται ως ξής: ο συντλστής ανάκλασης στην πρίπτωση του βραχυκυκλώµατος ίναι - νώ στην πρίπτωση του ανοιχτοκυκλώµατος ίναι. Αν αθροιστούν, ποµένως, οι λύσις που προκύπτουν σ κάθ µία από τις δύο πριπτώσις, τα ανακλώµνα κύµατα θα πρέπι να απαλιφθούν. Όσον αφορά τις αρχικές συνθήκς που πρέπι να δοθούν, αυτό ξαρτάται από τη µορφή του - κάστοτ προβλήµατος που πρέπι να λυθί. Είναι αρκτά σύνηθς, όµως, να χρησιµοποιίται ίτ ηµιτονική ίτ παλµική διέγρση. Γνικά, η µέθοδος FDTD ίναι αρκτά χρονοβόρα νώ παρουσιάζι δυσκολίς στην πρίπτωση που χριάζται να χρησιµοποιηθούν µγέθη ξαρτώµνα από τη συχνότητα.... Μέθοδος SDA (Spectal Domain Appoach Προσέγγιση Φασµατικού Πδίου) Η µέθοδος SDA αναφέρται γνικά στην φαρµογή ολοκληρωµατικών µτασχηµατισµών, όπως

17 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Κφάλαιο ο µτασχηµατισµός Fouie ή ο µτασχηµατισµός Hankel, για την πίλυση προβληµάτων συνοριακών ή αρχικών τιµών. Αποτλί, στην ουσία, ένα ργαλίο µ το οποίο µπορί να µιωθί η πολυπλοκότητα ορισµένων ξισώσων και ιδικότρα των µρικών διαφορικών ξισώσων σ απλές διαφορικές ξισώσις, που µ τη σιρά τους µπορούν να πιδχθούν πιπλέον απλοποιήσις. Μ τη µέθοδο SDA το ηλκτροµαγνητικό πδίο σ µία µικροταινία µπορί να δοθί σαν µία απλή ολοκληρωτική ξίσωση κλιστού τύπου (ξίσωση από την οποία µπορί να προκύψι κατυθίαν λύση χωρίς τη χρήση άλλων ξισώσων). Μ κατάλληλη πιλογή των συντταγµένων, η ξίσωση αυτή µπορί να έχι µία διάσταση λιγότρη από την αρχική µρική διαφορική ξίσωση που προκύπτι µ κατυθίαν χρήση των ξισώσων Maxwell. Η απλή ολοκληρωτική ξίσωση που προκύπτι συνήθως πιλύται µ τη µέθοδο του Galekin, αν και κατά καιρούς έχουν προταθί και άλλς προσγγίσις. Η µέθοδος SDA αποτλί στην ουσία µία υβριδική µέθοδο, µ την έννοια ότι απαιτίται ένα σηµαντικός αριθµός υπολογισµών πριν φαρµοστί, προκιµένου να πιτυχθί υψηλή υπολογιστική απόδοση για ένα συγκκριµένο πρόβληµα ή µία συγκκριµένη οικογένια προβληµάτων. Επίσης, για την ύπαρξη µικρής πολυπλοκότητας στην τλική ξίσωση, απαραίτητη ίναι η κατάλληλη πιλογή συναρτήσων βάσης που θα χρησιµοποιηθούν κατά την φαρµογή της µθόδου Galekin, οι οποίς, µ τη σιρά τους, θα πρέπι να ικανοποιούν τις οριακές συνθήκς της διάταξης που έχι θωρηθί. Για µία πριληπτική αλλά πολύ πρικτική ξήγηση της µθόδου SDA ο αναγνώστης παραπέµπται στην αναφορά [7], νώ για µία σύντοµη πριγραφή στην αναφορά [8] Μέθοδος FEM (Finite-Element Method Μέθοδος ιακριτών Στοιχίων) Η µέθοδος αυτή αποτλί, στην ουσία, την φαρµογή της γνωστής µαθηµατικής µθόδου για την ύρση του ηλκτροµαγνητικού πδίου στη δοµή της µικροταινίας. Σ γνικές γραµµές, η µέθοδος πριλαµβάνι τη διακριτοποίηση της γραµµής µ βάση κάποιο γωµτρικό σχήµα (π.χ. ττράγωνο ή τρίγωνο) και ν συνχία µ χρήση πινάκων και ύρση χαρακτηριστικών ποσών τους (ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα), τον υπολογισµό των συνιστωσών του ηλκτροµαγνητικού πδίου. Παρακάτω, παρουσιάζται σ γνικές γραµµές ο τρόπος µ τον οποίο η µέθοδος FEM προσγγίζι την ανάλυση πλήρους κύµατος για τη δοµή της µικροταινίας [9]. Κάποις από τις χρησιµοποιού- µνς σχέσις παρουσιάζονται ή/και αποδικνύονται και στην παράγραφο. όπου γίνται θωρητική ανάλυση της µικροταινίας. Για λόγους, όµως, υκολότρης ανάγνωσης του κιµένου, παρουσιάζονται και στο σηµίο αυτό. Έστω ότι πιθυµούµ να υπολογίσουµ δύο βαθµωτά µγέθη του ηλκτροµαγνητικού πδίου, το βαθµωτό δυναµικό Φ και τη µαγνητική ροή ψ. Σ πρίπτωση που το ηλκτροµαγνητικό πδίο πριγραφί µ τη χρήση του βαθµωτού (Φ) και διανυσµατικού (A ) δυναµικού, η ένταση του ηλκτρικού πδίου και η µαγνητική παγωγή θα δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσις: B = A (.9α) Ε = Φ jωa (.9β) Από την η ξίσωση του Maxwell (νόµος του Gau για το ηλκτρικό πδίο), θωρώντας ότι δν υπάρχουν φορτία στο χώρο, θα έχουµ, λόγω της (.9β): D = ( Φ) jω A = Φ ( Φ) jω A = (.) Από τη συνθήκη Loentz: A = jωµ Φ (.) όπου η διηλκτρική σταθρά, µπορί να φανί ότι: Φ = j( ωµ ) ( Α) = (.) οπότ η (.) αντικαθιστώντας σ αυτή τις (.), (.) θα πάρι τη µορφή: Φ ω µ Φ = Φ k Φ = (.3) όπου η σχτική διηλκτρική σταθρά και k = ω µ. Επίσης, από την 4 η ξίσωση του Maxwell (νόµος του Ampèe), θα έχουµ ότι:. Ν. Λοΐζος 7

18 Κφάλαιο Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία H = jωd B = jωµ D B = jωµ E (.4) Εφαρµόζοντας τον τλστή στροβιλισµού ( ) στην παραπάνω σχέση και µ βάση την 3 η ξίσωση του Maxwell (νόµος του Faada), η ξίσωση (.4) θα πάρι τη µορφή: ( B) = jωµ E ( B) B = jωµ ( jωb) (.5) Λόγω, όµως, της ης ξίσωσης του Maxwell (νόµος του Gau για το ηλκτρικό πδίο), ισχύι ότι B =, οπότ η (.5) θα γραφτί: B ω µ B = (.6) Όπως γνωρίζουµ, η µαγνητική ροή δίνται από τη σχέση: ψ = B ds (.7) S οπότ, ολοκληρώνοντας τη σχέση (.6) σ µία πιφάνια S θα προκύψι: B ds ω µ B ds = (.8) S S Αλλάζοντας τη σιρά φαρµογής του τλστή της λαπλασιανής και του ολοκληρώµατος, η παραπάνω σχέση θα γραφτί: B ds ω µ B ds = ψ k ψ = (.9) S S Από τις σχέσις (.3) και (.9) µπορί να προκύψι η παρακάτω ξίσωση: Lθ k Mθ = (.) όπου: Φ L =, M = και θ = (.) ψ Πολλαπλασιάζοντας από αριστρά τη σχέση (.) µ τον ανάστροφο του θ και ολοκληρώνοντας σ µία πριοχή S (κάτι που ίναι δυνατό αφού τα θ Τ Lθ και θ Τ Μθ θα ίναι πίνακς-στοιχία, δηλαδή πραγµατικοί αριθµοί) θα έχουµ: Τ Τ k θ LθdS θ MθdS (.) = S Η παραπάνω ξίσωση παρουσιάζι µταβλητότητα και από αυτή µπορί να οριστί το ακόλουθο συναρτησιακό (για την έννοια του συναρτησιακού βλ. [, σλ. -4]): ( ) = ( ) J Φ,ψ Φ ds ψ ds iz Φ ψ ds k Φ ds ψ ds (.3) S S S S Η παραπάνω ανάλυση έγιν έχοντας κάνι την υπόθση ότι δν υπάρχουν φορτία. Όπως θα φανί από την ανάλυση της παραγράφου., οι παραπάνω σχέσις ισχύουν και στην πρίπτωση που υ- πάρχουν φορτία µ αντικατάσταση της διηλκτρικής σταθράς από µία ισοδύναµη διηλκτρική σταθρά. Σύµφωνα µ τη µέθοδο FEM, ντός µίας τυχαίας πριοχής, που δώ θα θωρήσουµ ότι έχι το σχήµα τριγώνου (σχήµα.3), το βαθµωτό δυναµικό Φ και η µαγνητική ροή ψ µπορούν να γραφούν σαν n-τάξης πολυώνυµα ως ξής: Φ ( x, ) = u jσ ijφi και ψ ( x, ) = u jσijψi (.4) όπου u j ίναι ένας πίνακας-γραµµή του οποίου τα στοιχία ίναι οι όροι του πολυωνύµου (π.χ. για τριγωνική πριοχή που αντιπροσωπύι πολυώνυµο ης τάξης και τα σηµία χαρακτηρίζονται από τις συντταγµένς (x, ), θα έχι τη µορφή u j = [ x ]) και σ ij ίναι ένας ττραγωνικός πίνακας τάξης m, όπου m = ( n )( n ) (n η τάξη του πολυωνύµου). Οι όροι Φ i και ψ i ίναι πίνακς-στήλη που πριέχουν τις τιµές των Φ και ψ αντίστοιχα, σ σηµία ντός ή στα όρια της πριοχής που έχι θωρηθί (τριγώνου). Αν ονοµάσουµ v ij τον πίνακα του οποίου οι γραµµές ίναι τα u j στα σηµία αυτά, ο πίνακας σ ij προκύπτι µ αναστροφή του v ij. Αντικαθιστώντας τις σχέσις (.4) στην (.3) και παραγωγίζοντας ως προς τον πίνακα-στήλη Φ k, θα έχουµ: S 8. Ν. Λοΐζος

19 Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία Κφάλαιο J = SikΦi U ikψi k ATikΦ i Φ k = (.5) όπου Α = η πριοχή στην οποία γίνται η ολοκλήρωση T T u j u u l j u l Sik σ jipjlσ kl σ = = ji ds σ kl x x A (.6α) T T u j u u l j u l U ik = σ jir jlσ kl = σ ji ds σ kl x x A (.6β) T Tik = σ jiq jlσ kl = σ ji u ju l ds σ kl A (.6γ) Αν, αντίστοιχα, παραγωγίσουµ την (.3) ως προς ψ k θα προκύψι: Sik ψi UikΦi k ATikψi = (.7) Κάθ στοιχίο των πινάκων S, U και Τ αντιστοιχί στην πριοχή που ορίζται από ένα τριγωνικό στοιχίο. Θωρώντας ότι η προς µλέτη πριοχή έχι διαιρθί σ πολλά τριγωνικά στοιχία και βρίσκοντας τις τιµές S ik, U ik και T ik για κάθ µία από τις πριοχές αυτές, θα προκύψουν οι πίνακς S, U και Τ. Θα πρέπι να σηµιωθί, πίσης, ότι µία πριοχή που αντιστοιχί σ πολυώνυµο n-τάξης µπορί να διαιρθί πραιτέρω σ ακόµα µικρότρς πριοχές ιδίου σχήµατος µέχρις ότου οι µικρότρς αυτές πριοχές αντιπροσωπύσουν πολυώνυµα ης τάξης Σχήµα.3 Τριγωνική πριοχή που αντιστοιχί σ πολυώνυµο 4 ης τάξης Για την πρίπτωση της µικροταινίας µπορούν να γίνουν αρκτές απλοποιήσις λόγω της συµµτρίας που παρουσιάζι η δοµή της. Επίσης, η πιλογή ορθογωνίου τριγώνου ως πριοχής που αντιστοιχί σ πολυώνυµο ης τάξης και κατ πέκταση σ πολυώνυµα µγαλύτρης τάξης, µπορί να µιώσι πολύ την πολυπλοκότητα του προβλήµατος. Αντικαθιστώντας τις τιµές που αντιστοιχούν σ σηµία του τριγωνικού στοιχίου στους πίνακς σ ij και u j για κάθ τριγωνικό στοιχίο που έχι θωρηθί, λαµβάνοντας υπόψη τις αλλαγές της διηλκτρικής (ή ισοδύναµης διηλκτρικής) σταθράς, και βρίσκοντας τους πίνακς S, U και Τ, η τλική ξίσωση που θα προκύψι για το πρόβληµα θα ίναι της µορφής: Ax = λbx (.8) όπου x ίναι ένας πίνακας-στήλη που αντιστοιχί στο Φ ή το ψ. Η παραπάνω διαδικασία πρέπι να πραγµατοποιηθί δύο φορές, µία για το βαθµωτό δυναµικό Φ και µία για τη µαγνητική ροή ψ. Από την (.8) µπορούµ να βρούµ τις ιδιοτιµές της ξίσωσης και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα που θα αποτλούν και λύσις για το x. Πλονκτήµατα της µθόδου αυτής ίναι ότι µπορί να χρησιµοποιηθί για την ανάλυση της µικροταινίας ακόµα και αν θωρηθούν κκλιµένα τα όρια της δοµής. Επίσης, δν παρουσιάζι προβλήµατα σ πρίπτωση που χρησιµοποιηθούν ανοµοιογνή υλικά. Όπως, όµως, και η µέθοδος FDTD απαιτί προσοχή στην πιλογή των συνοριακών συνθηκών.. Ν. Λοΐζος 9

20 Κφάλαιο Μλέτη της Μοντλοποίησης Γραµµών Μταφοράς σ Ο.Κ. µ Έµφαση στη Μικροταινία...4. Μέθοδος Mode-Matching (Ταύτισης Ρυθµών) Η µέθοδος mode-matching ίναι µία αρκτά διαδδοµένη µέθοδος η οποία χρησιµοποιί την ανάπτυξη των ηλκτροµαγνητικών µγθών του πδίου σ ιδιοσυναρτήσις. Ο τρόπος µ τον οποία γίνται η ανάλυση της δοµής της µικροταινίας µ τη µέθοδο αυτή θα φανί καλύτρα µ το παράδιγµα της φαρµογής της στη δοµή του σχήµατος.4 [8]. Πριοχή Πριοχή a t ή x d Πριοχή 3 3 d Πριοχή 4, ρ 4 4 d 3 Πριοχή 5, ρ 5 Πριοχή 6 ή 6 Σχήµα.4 Εγκάρσια τοµή µίας δοµής µικροταινίας Για την ανάλυση της δοµής αυτής, θα θωρήσουµ µόνο τον πικρατούντα ρυθµό ΤΜ = ΤΕΜ [] (παρακάτω θα αναφρθί πότ ο ρυθµός αυτός µπορί να θωρηθί πικρατών) που ίναι άρτιος, οπότ µπορί να τοποθτηθί ένας µαγνητικός τοίχος (µαγνητικά αγώγιµη πιφάνια) στη θέση x= και άρα να αναλυθί µόνο η πριοχή δξιά από το x=. Επιπλέον, προκιµένου το ηλκτροµαγνητικό πδίο να αναπτυχθί σ σιρά Fouie, θωρούµ έναν ηλκτρικό τοίχο (ηλκτρικά αγώγιµη πιφάνια) σ µία θέση x=w, όπου w>>a. Η θώρηση αυτή δν πηράζι το αποτέλσµα, αφού το πδίο πριορίζται κυρίως στην πριοχή κάτω από τον αγωγό πλάτους a. Αν ως χαρακτηριστικά µγέθη του ηλκτροµαγνητικού πδίου χρησιµοποιηθούν το βαθµωτό ηλκτρικό (Φ) και µαγνητικό (Ψ) δυναµικό και αναπτυχθούν σ σιρές Fouie, θα πάρουµ τις παρακάτω σχέσις για κάθ πριοχή της προς µλέτη δοµής (όπως µπορί να φανί και από το σχήµα 5 έχουµ 6 πριοχές ξκινώντας από πάνω προς τα κάτω: αέρας, αγωγός σήµατος, οξίδιο/µονωτής, ηµιαγωγός, αγωγός γίωσης, αέρας): Ψ Φ Ψ Φ M ( x, ) A co( β x) exp[ α ( t) ] = n= Μ n n n ( x, ) Β in( β x) exp[ α ( t) ] N = n= n ( x, ) in( β x) C in( α ) C co( α ) = n= N pn n n ( ) n ( x, ) co( β x) D in( α ) D co( α ) = n= pn n n n ( ) M 6 Ψ = n n 6n n= M 6 Φ x, = L n in β nx exp α 6n d d n= n M ( x, ) K co( β x) exp[ α ( d d d )] ( ) ( ) [ ( d )] n n n 3 3 (.9) Τα A n, B n,, L n ίναι συντλστές προς προσδιορισµό, Ν ίναι ο αριθµός των συναρτήσων βά-. Ν. Λοΐζος

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό

Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές. Λεκτική Ανάλυση II

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές. Λεκτική Ανάλυση II Γλώσσς Προγραμματισμού Μταγλωττιστές Λκτική Ανάλυση II Πανπιστήμιο Μακδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ηλίας Σακλλαρίου Δομή Ππρασμένα Αυτόματα Νττρμινιστικά Ππρασμένα Αυτόματα Μη-Νττρμινιστικά Ππρασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΑΣΟΕΕ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΦΘΙΝΟΠΩΡΙΝΟ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 20-2 Ι ΑΣΚΩΝ: ΠΡΟ ΡΟΜΟΣ ΠΡΟ ΡΟΜΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΡΕΛΛΟΣ

Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΡΕΛΛΟΣ Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΡΕΛΛΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγικά 2. Εννοιολογικές προσγγίσις της δυναμικής της ομάδας 3. Βασικοί παράγοντς προσδιορισμού της δυναμικής της ομάδας Σχηματισμός ή σύνθση των

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Μέρος Δ. Καθ. Π. Κάπρος ΕΜΠ 2012

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Μέρος Δ. Καθ. Π. Κάπρος ΕΜΠ 2012 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Μέρος Δ Καθ. Π. Κάπρος ΕΜΠ 22 Mx MR MR Μγιστοποίηση Κέρδους Μονοπωλίου Συνάρτηση Εσόδου Συνάρτηση Κόστους C p p p MC R Μ γιστοποίηση κέρδους : p p D p p δδομένουότι η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Προσοµοίωση της Έντασης σε Υπόγειους Αγωγούς λόγω Επιφανειακών Εκρήξεων. Analytical Calculation of Blast-Induced Buried Pipeline Strains

Αναλυτική Προσοµοίωση της Έντασης σε Υπόγειους Αγωγούς λόγω Επιφανειακών Εκρήξεων. Analytical Calculation of Blast-Induced Buried Pipeline Strains Αναλυτική Προσοµοίωση της Έντασης σ Υπόγιους Αγωγούς λόγω Επιφανιακών Εκρήξων nalytical Calculation of Blast-Induced Buried Pipeline Strains ΚΟΥΡΕΤΖΗΣ, Γ.Π. ΜΠΟΥΚΟΒΑΛΑΣ, Γ.. ΓΑΝΤΕΣ, Χ.Ι. ρ. Πολιτικός Μηχανικός,

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Γραµµές Μεταφοράς Κυµατοδηγοί & Οπτικές Ίνες Καθ. Θωµάς Σφηκόπουλος Κυµατοδηγοί - Μάθηµα 9o

Μάθηµα Γραµµές Μεταφοράς Κυµατοδηγοί & Οπτικές Ίνες Καθ. Θωµάς Σφηκόπουλος Κυµατοδηγοί - Μάθηµα 9o Μάθηµα Γαµµές Μταφοάς Κυµατοδηοί & Οπτικές Ίνς Καθ. Θωµάς Σφηκόπουλος Κυµατοδηοί - Μάθηµα 9o ΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΠΙΣΤΜΙΟ ΑΘΝΩΝ Τοµέας πικοινωνιών και πξασίας Σήµατος Τµήµα Πληοφοικής & Τηλπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μία πρόταση για τη σύνδεση γεφυρών με γειτνιάζουσες σήραγγες A proposition for the connection of bridges with neighbourhooding

Μία πρόταση για τη σύνδεση γεφυρών με γειτνιάζουσες σήραγγες A proposition for the connection of bridges with neighbourhooding 1 Μία πρόταση για τη σύνδση γφυρών μ γιτνιάζουσς σήραγγς A proposition for the connection of bridges with neighbourhooding tunnels Στέργιος Α. ΜΗΤΟΥΛΗΣ 1, Ιωάννης Α. ΤΕΓΟΣ 2 Λέξις κλιδιά: γέφυρα, σήραγγα,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Στεργίου Α. Μαρία Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός

Στεργίου Α. Μαρία Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός Στργίου Α. Μαρία Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ στον Τομέα Μηχανικής της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μτσόβιου Πολυτχνίου Πρόβλημα μοναδικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Τσαντζαλής, Χ. έρδας, Ν. Αθανασόπουλος, Κ. ηµόπουλος, Θ. Κοτζακόλιος,. Μαζαράκος, Γ. Μιχαλέλης,. Σικουτρής, Β. Κωστόπουλος

Σ. Τσαντζαλής, Χ. έρδας, Ν. Αθανασόπουλος, Κ. ηµόπουλος, Θ. Κοτζακόλιος,. Μαζαράκος, Γ. Μιχαλέλης,. Σικουτρής, Β. Κωστόπουλος Ηλκτροκίνητα μέσα μταφοράς στην Ελλάδα Υφιστάμνη κατάσταση και προοπτικές, ΤΕΕ, Αθήνα, 1-13 Ιαν., 006 Πρίληψη ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΑΙΧΜΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ, ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΙ ΤΗΝ ΑΤΑΣΕΥΗ ΗΕΤΡΟΙΝΗΤΩΝ ΑΥΤΟΙΝΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ-ΟΠΤΙΚΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ Ανδρέας Ζούπας 2 Αυγούστου 212 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-1

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )

Διαβάστε περισσότερα

Αναδιάρθρωση και εξορθολογισμός της διδακτέας ύλης Τα κεφάλαια που δεν θα αξιοποιηθούν. ΦΥΣΙΚΈΣ ΕΠΙΣΤΉΜΕΣ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ

Αναδιάρθρωση και εξορθολογισμός της διδακτέας ύλης Τα κεφάλαια που δεν θα αξιοποιηθούν. ΦΥΣΙΚΈΣ ΕΠΙΣΤΉΜΕΣ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ----- Ταχ. Δ/ νση: Α. Παπανδρέου 37 Τ. Κ. Πόλη : 15180 - Μαρούσι Ισσλίδα : www.minedu.gov.gr email: press@ypepth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις. Αλγεβρικά Συστήµατα. Ιδιότητες Πράξεων. Προσεταιριστική. Αντιµεταθετική. Ουδέτερος. Αντίστροφος

Πράξεις. Αλγεβρικά Συστήµατα. Ιδιότητες Πράξεων. Προσεταιριστική. Αντιµεταθετική. Ουδέτερος. Αντίστροφος Πράξις Αλρικά Συστήµτ Μί συνάρτηση f πό το ΑxA Αονοµάτι πράξη (ιµλής) πί του A. Ο ορισµός µπορί ν πκτθί σ µι συνάρτηση πό ρο (ΑxA)xA A (τριµλής πράξη), κτλ Έν σύνολο φοισµένο µ ένν ριθµό πράξων πί του

Διαβάστε περισσότερα

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα Δ κρύσις σ μια τραμάλα μια τραμάλα μήκς και μάζας της ίας τ μέσ στηρίζται σ βάση ύψς αφήνμ να έσι στ ένα άκρ της αό ύψς άν αό τ έδαφς σφαιρίδι μάζας νώ στ άλλ άκρ της έχμ ττήσι σ ήκη σφαιρίδι μάζας. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ;

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ; Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Κινητά τηλέφωνα Τηλεπικοινωνίες Δίκτυα Ο κόσμος της Ηλεκτρονικής Ιατρική Ενέργεια Βιομηχανία Διασκέδαση ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Τι περιέχουν οι ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων.

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 101 10. Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 10.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ).

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ). 7. Εισαγωγή στο διπολικό τρανζίστορ-ι.σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 7. TΟ ΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ Ανάλογα µε το υλικό διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και 2. τρανζίστορ πυριτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Ο τελεστικός ενισχυτής εφευρέθηκε κατά τη διάρκεια του δεύτερου παγκοσµίου πολέµου και. χρησιµοποιήθηκε αρχικά στα συστήµατα σκόπευσης των αντιαεροπορικών πυροβόλων για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 DOS H DOS περιγράφει τον αριθμό των καταστάσεων που είναι προσιτές σε ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ή ΕΜΠΕ ΗΣΗ;

ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ή ΕΜΠΕ ΗΣΗ; ΣΥΝΘΕΤΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ή ΕΜΠΕ ΗΣΗ; Γράφει ο Ντίνος Νοµικός SV1GK Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η Ένα από τα σηµαντικότερα µεγέθη που πρέπει να γνωρίζει κάποιος για την µελέτη µιας κεραίας είναι και η σύνθετη αντίσταση που

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών Μηχανικές ιδιότητς υνθέτων υλικών: φλκυμός Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιτήμης & Τχνολογίας Υλικών ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Εκπόνηη διπλωματικών ργαιών την ΕΑΒ, Τανάγρα Αττικής. dispersion methodologies μ κοπό τη δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Μάθηµα 4ο.. Λιούπης

Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Μάθηµα 4ο.. Λιούπης Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Μάθηµα 4ο. Λιούπης Λογική συζευγµένου εκποµπού Emitter-coupled logic (ECL) Χρησιµοποιούνται BJT transistor, µόνο στην ενεργή περιοχή Εµφανίζονται µικρές αλλαγές δυναµικού µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΗ ΙΟ ΟΣ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΗ ΙΟ ΟΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΗΜΙΑΓΩΓΙΚΗ ΙΟ ΟΣ 1 1-1 Ενεργειακές Ζώνες 3 1-2 Αµιγείς και µη Αµιγείς Ηµιαγωγοί 5 ότες 6 Αποδέκτες 8 ιπλοί ότες και Αποδέκτες 10 1-3 Γένεση, Παγίδευση και Ανασύνδεση Φορέων 10 1-4 Ένωση pn

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Εισαγωγή Μελέτη συστήµατος αιώρησης µαγνητικού τρένου. Τις προηγούµενες δύο δεκαετίες, κατασκευάστηκαν πρωτότυπα µαγνητικά

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑ -L-C ΣΕ ΣΕΙΡΑ Κύκλωµα που αποτελείται από ωµική αντίσταση,ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ Ένα ρεύµα ονοµάζεται εναλλασσόµενο όταν το πλάτος του χαρακτηρίζεται από µια συνάρτηση του χρόνου, η οποία εµφανίζει κάποια περιοδικότητα. Το συνολικό ρεύµα που διέρχεται από µια

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 23 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα:

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα: ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Περιεχόμενα: Διαμόρφωση Φάσης (PM) και Συχνότητας (FM) Διαμόρφωση FM από Απλό Τόνο - - Στενής Ζώνης - - Ευρείας Ζώνης - - από Πολλούς Τόνους Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Κεφάλαιο 17 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1 ο Παράδειγµα (διάρκεια: 15 λεπτά) Κεφάλαιο 17 Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:... ΤΑΞΗ:... ΤΜΗΜΑ:... ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... Β.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης Ομότιμος Καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

5. Αυτεπαγωγή-Χωρητικότητα Inductance Capacitance

5. Αυτεπαγωγή-Χωρητικότητα Inductance Capacitance 5. Αυτεπαγγή-Χρητικότητα nucance Capaciance Εδώ εισάγουµε τα δύο τελευταία στοιχεία κυκλµάτν, τα πηνία και τους πυκντές. Οι τεχνικές ανάλυσης κυκλµάτν που εισήχθικαν νρίτερα ακόµα ισχύουν εδώ. Ένα πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης

Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Κυκλώµατα µε αντίσταση και πυκνωτή ή αντίσταση και πηνίο σε σειρά και πηγή συνεχούς τάσης Το κύριο χαρακτηριστικό των κυκλωµάτων αυτών είναι ότι ο χρόνος στον οποίο η τάση, ή η ένταση παίρνει ορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ 1 1-1 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε BJT s 1 και ιπλή Έξοδο Ανάλυση µε το Υβριδικό Ισοδύναµο του Τρανζίστορ 2 Ανάλυση µε βάση τις Ενισχύσεις των Βαθµίδων CE- 4

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΙΟΝΙΖΟΥΣΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ Οποτε ακούτε ραδιόφωνο, βλέπετε τηλεόραση, στέλνετε SMS χρησιµοποιείτε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία (ΗΜΑ). Η ΗΜΑ ταξιδεύει µε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Σηµειώσεις του Μαθήµατος βασισµένες κυρίως στο Βιβλίο : Geophyscal Data Analyss : Dscrete Inverse Theory του Wllam Menke Μιχάλης Ταρουδάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα