Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών
|
|
- Κόσμος Παπαδάκης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές δυνάµις, όπως η βαρύτητα, οι αδρανιακές και οι µαγνητικές δυνάµις, πνργούν αµέως πί των µορίων του ώµατος. Οι πιφανιακές δυνάµις πνργούν αµέως την πιφάνια του ώµατος και µταβιβάζονται µµέως το ωτρικό του µ τη βοήθια του πλέγµατος των υνδέµων µταξύ των µορίων και ατόµων του ώµατος. Οι τάις ένα τοιχιώδη όγκο νός φορτιµένου ώµατος ορίζονται µ τη µορφή διανύµατος, ως ξής: [ ] Τ = (1) όπου,, και ίναι οι ορθές υνιτώς των τάων και,, οι διατµητικές υνιτώς των τάων, ως προς τους άξονς x,y,z. Εάν πάρουµ την ιορροπία νός τοιχιώδους παραλληλπίπδου βρίκουµ τις παρακάτω χέις 1
2 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών f x = 0 xz f y = 0 yx f z = 0 zy όπου, f T =[f x, f y, f z ] το διάνυµα των ανά µονάδα όγκου φαρµοµένων καθολικών δυνάµων. Οι χέις αυτές λέγονται διαφορικές ξιώις ιορροπίας και ίναι οι διαφορικές ξιώις που πιλύουν το πρόβληµα νός παραµορφώιµου ώµατος. Ας υποθέουµ ότι το ύνορο του ώµατος φαρµόζονται οι κατανµηµένς δυνάµις Τ T =[Τ x,τ y,τ z ] αυτές υνδέονται µ τις τάις που αναπτύονται το ώµα µ τη χέη τις χέις: Tx = nx + yxny + nz Ty = nx + ny + zynz (3) T = n + n + n z xz x y z όπου n x,n y,n z τα υνηµίτονα κατύθυνης ένα δδοµένο ηµίο της πιφάνιας του ώµατος. Ένα πδίο που ικανοποιί τις (2) και (3) λέγται πδίο των τάων τατικά αποδκτό. (2) 2. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Η ύπαρξη δυνάµων που πνργούν πί νός ώµατος έχι αν υνέπια την δηµιουργία µτατοπίων και παραµορφώων τα ηµία του ώµατος. Εάν οι µτατοπίις νός ηµίου του ώµατος κατά τις διυθύνις x,y,z ίναι αντίτοιχα u,υ,w, τότ η τριδιάτατη παραµορφωιακή κατάταη ' αυτό το ηµίο µπορί να οριθί µ τη µορφή διανύµατος, ως ξής: [ ] Τ = γ γ γ (1) όπου,, και ίναι οι ορθές υνιτώς των παραµορφώων και γ, γ, γ οι διατµητικές υνιτώς των παραµορφώων. Αν το ύτηµα ίναι κύριο, το διάνυµα των παραµορφώων παίρνι τη µορφή Τ = [ I II III ] (2) Οι χέις µταξύ των παραµορφώων και των µτατοπίων u,υ,w νός δοθέντος ηµίου, ίναι
3 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 3 u u υ = γ = + υ υ w = γ = + (3) w w u = γ = + Οι (3) ιχύουν µ την προϋπόθη ότι οι µτατοπίις u,υ,w ίναι απιροτές, ώτ τα γινόµνα των παραγώγων τους να ίναι αµλητές ποότητς, καθώς και ότι οι u,υ,w ίναι υνχίς υναρτήις των υντταγµένων x,y,z. 3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Οι χέις που υνδέουν τις τάις µ τις παραµορφώις για ένα γραµµικό, λατικό ανιότροπο και οµογνές υλικό, υνιτούν το γνικυµένο νόµο του Hooke. Οι χέις αυτές ' ένα τριδιάτατο ώµα [1], ίναι D D... D D D... D = D D... D γ γ γ ή = D (1 ) ανάλογα, οι παραµορφώις υνδέονται µ τις τάις, ως ξής ή γ γ γ C C... C C C... C = C C... C (1) (2) = C (2 ) όπου, και ίναι τα µητρώα τάων και παραµορφώων, αντίτοιχα. Οι υντλτές D των χέων (1) καλούνται λατικές ταθρές νώ οι υντλτές C των χέων (2) καλούνται λατικοί υντλτές. Τα µητρώα D και C ίναι υµµτρικά [2,3], ποµένως για την πλήρη πριγραφή νός ανιότροπου υλικού απαιτίται η κτίµηη των 21 λατικών ταθρών D ή των 21 λατικών υντλτών C.
4 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 4 Στην πρίπτωη νός γραµµικού, ιότροπου και λατικού υλικού δηλαδή νός κρυταλλικού υλικού που παρουιάζι παντός ίδους υµµτρία η (1) γίνται υµµτρικό 1 ν ν ν ν ν ν E 1 2ν = 0 0 ( 1+ ν)( 1 2ν) 2 γ ν 1 2 υµµτρικό 0 γ 2 1 2ν γ 2 ή, ως προς τις υνιτώς των παραµορφώων η (3) γίνται γ γ γ 1/ E ν / E ν / E / E ν / E E 1/ ( + ν) = 0 0 E ( + ν) 21 υµµτρικό 0 E 21 ( + ν) E όπου, Ε το µέτρο του Young και ν ο λόγος του Poisson. (3) (4) Ι ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 3.1. Επίπδη Εντατική Κατάταη Η πίπδη ντατική κατάταη χαρακτηρίζται από την πολύ µικρότρη z- διάταη του ώµατος χέη µ τις x,y διατάις του. Επίης, οι φαρµοµένς δυνάµις τα ύνορα του ώµατος, ίναι παράλληλς προς το πίπδο (x,y) και πιπλέον ίναι υµµτρικά κατανµηµένς ως προς το µέο πίπδό του. Οπότ, ιχύι [1]: = = zy = 0 (1) Οι υνιτώς της παραµόρφωης γ, γ zy ξαφανίζονται νώ η δίνται από την χέη ( ) v = v + 1 Η χέη τάων - παραµορφώων γίνται (2)
5 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 5 v E 1 0 = v v v γ (3) Επίπδη Παραµορφωιακή Κατάταη Αντίθτα από την πίπδη ντατική κατάταη, η πίπδη παραµορφωιακή κατάταη χαρακτηρίζται από την πολύ µγαλύτρη z-διάταη του ώµατος χέη µ τις x,y διατάις του. Επίης, η φόρτιη λαµβάνι χώρα µόνο κάθτα προς τα πιµήκη τοιχία του ώµατος και δν µταβάλλται ηµαντικά κατά το µήκος του. Εάν πιπλέον θωρηθί ότι η µτακίνηη w του ώµατος κατά την z-διύθυνη ίναι µηδέν κάθ γκάρια διατοµή, προκύπτι [1]: = γ = γ = 0 (4) Οπότ η υνιτώα της τάης δίνται από τη χέη ( ) = v + Η χέη τάων - παραµορφώων γίνται (5) v v E 1 0 = v 1 v 0 ( 1+ v)( 1 2v) 1 2v 0 0 γ 2 (6) 4. ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Θώρηµα που κφράζι την ιορροπία του ώµατος 1. Προκύπτι µτά από αλγβρικές πράξις από τις ξιώις ιορροπίας του ώµατος. Λέι: Το δυνατό έργο των ξωτρικών δυνάµων ίναι ίο µ το δυνατό έργο των ωτρικών δυνάµων. Τα δυνατά έργα δν ίναι πραγµατικά έργα. Το δυνατό έργο των ξωτρικών δυνάµων δε ίναι το γινόµνο των πραγµατικών δυνάµων πί δυνατές (δηλαδή, φαντατικές) µτατοπίις που έβονται τις υνθήκς τήριξης. Έτι, οι δυνατές µτατοπίις µηδνίζονται τις τηρίξις (Σχ.1(β)). 1 Ιορροπία νός κόκκου διαφορική ξίωη ιορροπίας. Ιορροπία ξωτρικών φορτίων ωτρικών τάων υνοριακές υνθήκς
6 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 6 p(x) (Β) (α) (β) Σχ. 1: (α) Φορέας που φορτίζται το τµήµα από το φορτίο p(x). (β) : ύνορο µτά από κινηµατικά αποδκτή µτατόπιη Το τοιχιώδς έργο των ωτρικών δυνάµων ίναι ίο µ το γινόµνο των πραγµατικών τάων πί τις δυνατές παραµορφώις 2 και πί τον τοιχιώδη όγκο d τον οποίο νργούν. Άρα, όλο το δυνατό έργο των ωτρικών δυνάµων δu ίναι το ολοκλήρωµα του δw όλο τον όγκο του ώµατος δu= δw d Επιβάλλουµ τώρα τον φορέα µια κινηµατικά αποδκτή µταβολή των µτατοπίων u(x), το πδίο αυτό που ίναι απολύτως φαντατικό, έβται τη υνέχια του φορέα καθώς και τις υνθήκς τήριξης. Τέλος, θωρούµ ότι αυτή η µτατόπιη δu(x) δν προκαλί µταβολή των τάων. Η δu(x) που λέγται δυνατή µτατόπιη, προκαλί τις δυνατές παραµορφώις (δ ). p i δ i δw u du i u i δ (α) (β) Στο Σχ.2(α) φαίνται χηµατικά το διάγραµµα των p i και u i καθώς και η δυνατή µτατόπιη δu i. To γραµµοκιαµένο τµήµα, που έχι µβαδό δu i παριτάνι το δυνατό έργο δe i που παράγι η p i κατά τη δυνατή µτατόπιη δu i. Είναι αφές ότι, το υνολικό δυνατό έργο δe θα ίναι 2 Οι δυνατές παραµορφώις προκύπτουν από τις δυνατές µτατοπίις µ παραγώγιη.
7 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 7 δe = pδud (1) Το δυνατό έργο δe ξχωρίζι από το πραγµατικό E γιατί το πρώτο δν υπάρχι φυικά αλλά ίναι ένα φαντατικό µαθηµατικό ύρηµα. Το Σχ.2(β) παρουιάζι υµβολικά το διάγραµµα των - καθώς και τη δυνατή παραµόρφωη δ. Το γραµµοκιαµένο τµήµα, που έχι µβαδόν δ παριτάνι την δυνατή πυκνότητα παραµορφωιακής νέργιας δw, οπότ δu = δwd = δ d (2) παριτάνι την δυνατή νέργια παραµόρφωης. Και η δυνατή νέργια παραµόρφωης δν υπάρχι φυικά αλλά ίναι ένα µαθηµατικό ύρηµα. Το δυνατό έργο δe πρέπι να ίναι ίο µ την δυνατή νέργια παραµόρφωης δe = δ U, δ d = pδu d (3) Η χέη αυτή παριτάνι την αρχή των δυνατών έργων όταν το ώµα πιβάλλονται δυνατές µτατοπίις. Για να αποδίξουµ τη χέη βαιθήκαµ το γγονός ότι ο φορέας βρίκται ιορροπία. Αποδικνύται όµως και το αντίτροφο, ότι δηλαδή, όταν ιχύι η αρχή των δυνατών έργων ο φορέας ιορροπί. (Για πιο πολλές λπτοµέρις πρβλ. 25.4). Έτι, µπορούµ να διατυπώουµ ως ξής την αρχή των δυνατών έργων: Αρχή των δυνατών έργων Η αναγκαία και ικανή υνθήκη ώτ ένας φορέας να βρίκται ιορροπία, ίναι το έργο που κτλούν τα ξωτρικά φορτία αν πιβληθί το φορέα ένα πδίο δυνατών µτατοπίων, κινηµατικά παραδκτών, να ιούται µ τη δυνατή παραµορφωιακή νέργια Η αρχή των δυνατών έργων έχι πολύ µγάλη ηµαία, δδοµένου ότι ιχύι για οποιοδήποτ νόµο υµπριφοράς του υλικού της κατακυής. Η αρχή των δυνατών έργων δν αποτλί µία πρόθτη χέη της θωρίας των παραµορφωίµων ωµάτων αλλά την ολοκληρωµατική έκφραη των ξιώων ιορροπίας. ιαφέρι από τις ξιώις ιορροπίας το γγονός ότι, αυτές κφράζουν την ιορροπία κάθ ηµίο ξχωριτά του ώµατος, νώ η αρχή των δυνατών έργων ολόκληρο το ώµα. Αυτήν την διαφορά µπορούµ να την κµταλλυτούµ και να αναπτύξουµ µθόδους υπολογιτικές πολύ πιο απλές απ ότι αν χρηιµοποιήουµ τις κλαικές ξιώις ιορροπίας. Έτι, µ τη βοήθια της αρχής των δυνατών έργων αναπτύχθηκ η µητρωϊκή ανάλυη των κατακυών για τον υπολογιµό οποιαδήποτ κατακυής. Σηµιώνουµ πάντως ότι, η µέθοδος των ππραµένων τοιχίων µπορί να προκύψι και από το θώρηµα του λάχιτου της δυναµικής νέργιας.
8 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 8 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΩΝ ΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ (*) 1. ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Θα ξτάουµ το ίδιο πρόβληµα οριακής τιµής που πριγράφηκ την προηγούµνη παράγραφο µ την διαφορά όµως ότι όλα τα µγέθη (ξωτρικές δυνάµις, µτατοπίις, τάις, παραµορφώις), ίναι ανξάρτητα του χρόνου t. Ονοµάζουµ τατικά παραδκτό ένα πδίο τάων που ικανοποιί: 1. Τις υνθήκς ιορροπίας κάθ ηµίο του ώµατος + F =0 (4) i 1. Τις πιφανιακές υνθήκς το τµήµα της πιφάνιας του ώµατος t n = 0 (5) i Ονοµάζουµ κινηµατικά παραδκτό ένα πδίο µτατοπίων u(x), δύο φορές παραγωγίιµο, που οι παραµορφώις προκύπτουν από την ακόλουθη χέη µτατοπίων - παραµορφώων 1 u u i = + 2 i (6) νώ το τµήµα της πιφάνιας u του ώµατος ικανοποιούνται οι υνοριακές υνθήκς () () u x g x = 0, x (7) i i u Εξυπακούται ότι τότ θα ικανοποιούνται και οι υνθήκς υµβιβατού των παραµορφώων. Από τη τατικά παραδκτή κατανοµή τάων ( ) προκύπτι µ τη βοήθια των κατατατικών ξιώων ένα πδίο παραµορφώων. Αν το πδίο αυτό των παραµορφώων ίναι κινηµατικά παραδκτό, τότ το πδίο αποτλί την πραγµατική λύη του προβλήµατος. Αντίτροφα, από ένα κινηµατικά παραδκτό πδίο µτατοπίων u προκύπτουν οι παραµορφώις και τη υνέχια οι τάις. Αν το πδίο αυτό των τάων ίναι τατικά παραδκτό, το πδίο u αποτλί την πραγµατική λύη του προβλήµατος. Το κινηµατικά παραδκτό πδίο ίναι ντλώς αυθαίρτο. Ο µόνος πριοριµός ίναι να µην πιβάλλουµ µτακίνηη που να παραβιάζι το ύνδµο (π.χ. µια κύλιη να πιβάλλουµ µτακίνηη κάθτη το πίπδο κύλιης κ.ο.κ.). (*) Αυτή απυθύνται όους θα ήθλαν να δουν την απόδιξη της προηγούµνης παραγράφου. Οι υπόλοιποι «µπορούν να την παραλίψουν χωρίς καµία απώλια».
9 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 9 2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Θα ξτάουµ το γνικό πρόβληµα οριακής τιµής που πριγράφηκ την προηγούµνη παράγραφο. Έτω, u i, το πδίο των πραγµατικών τάων µτατοπίων και παραµορφώων αντίτοιχα 3. Θωρούµ τώρα ένα πδίο κινηµατικά παραδκτών µτατοπίων δu i που όµως πάνω το u ικανοποιούν τις οµογνίς οριακές υνθήκς δu i ( x) = 0, x (8) u Μτατοπίις αυτού του ίδους λέγονται δυνατές µτατοπίις. (Θα δούµ, πιο κάτω, ότι οι δu i (x) µπορούν να θωρηθούν αν µταβολές (variations) του πραγµατικού πδίου των µτατοπίων). Ας υποθέουµ ότι πιβάλλουµ το ώµα Β, χωρίς να µταβληθούν τα πδία, u, και τα πδία των φορτίων F i και t i να κτλέι τις µτατοπίις δu i και φυικά να υποτί τις παραµορφώις δ. Όπως κάναµ για το απόλυτα τρό, θα πολλαπλαιάουµ τις χέις ιορροπίας (4) και (5) µ δu. Στη υνέχια, θα πάρουµ το άθροιµα των ολοκληρωµάτων τους πάνω τον όγκο του ώµατος και πάνω την πιφάνια αντίτοιχα: + Fi δuid + ( ti n) δui d = 0 (9) Επιδή ιχύι η (8) µπορούµ να αφαιρέουµ από την προηγούµνη χέη το ολοκλήρωµα πάνω την u της ποότητας n u i οπότ, λαµβάνοντας υπόψη ότι u =, βρίκουµ i i i i i i δu d + n δu d + F δu d + t n δu d = 0 (10) Χρηιµοποιώντας το θώρηµα Green - Gauss το δύτρο όρο της (10) βρίκουµ δ δ δ ui ui ui Fiδu ( ti δui ) i d d d + d + d = 0 (11) Αν πάρουµ υπόψη τη υµµτρία του τανυτή των τάων, θα έχουµ (πρβλ. (265.8)) δ u i 1 δ ui = + 2 δ u i δu δu i = i δ = (12) 3 Στην πραγµατικότητα δν ίναι απαραίτητο το πδίο των τάων να ίναι πραγµατικό, αλλά µόνο τατικά παραδκτό.
10 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 10 Οπότ, η χέη (11) λόγω και της (12) γράφται i i i i δ d = F δu d + t δu d + n δu d (13) u i Το δύτρο µέλος παριτάνι το δυνατό έργο δe των δυνάµων t i και F i δηλαδή το έργο που παράγται όταν οι δυνάµις F i και t i παραµένουν ταθρές και µταβληθί κατά δu η µτατόπιη u i. Στο Σχ.3(α) δίχνουµ νδικτικά το δάγραµµα των δυνάµων F i και ηµιώνουµ το δυνατό έργο F i δu i. Το πρώτο µέλος παριτάνι τη δυνατή παραµορφωτική νέργια δu δu = δwd, δw = δ (14) όπου δw η πυκνότητα δυνατής παραµορφωτική νέργιας. Όπως βλέπουµ και από το Σχ.3(β), η δw ίναι η αύξηη της πυκνότητας νέργιας παραµόρφωης όταν η διατηρηθί ταθρή και µταβληθί κατά η παραµόρφωη από τη θέη ιορροπίας. F i F i δu i δw= u i u i δu i δ (α) (β) Σχήµα 3 Αξίζι να ηµιώουµ ότι, η απιροτή µταβολή du i του πδίου των πραγµατικών µτατοπίων u i ίναι προφανώς, ένα κινηµατικά παραδκτό πδίο το οποίο ικανοποιί και την οµογνή υνθήκη (8) το όριο u. Έτι, αν πάρουµ αν δυνατό πδίο το πδίο των απιροτών µταβολών ( δ u i = du i δ = d ), και πριοριτούµ τα λατικά (γραµµικά µη-γραµµικά) υλικά, τότ η πυκνότητα της δυνατής νέργιας παραµόρφωης δw, λαµβάνοντας υπόψη και την (13) γράφται W δw = d = d = d W (15)
11 Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 11 δηλαδή η δw παριτάνι αυτήν την πρίπτωη, την απιροτή µταβολή dw της πυκνότητας της νέργιας παραµόρφωης W. Ακόµα, η δu παριτάνι την απιροτή µταβολή du της νέργιας παραµόρφωης U. Η χέη (13) κφράζι την αρχή των δυνατών έργων, όταν το ώµα πιβάλλονται δυνατές µτατοπίις. (Το δυνατό έργο των ωτρικών δυνάµων, δηλαδή η δυνατή νέργια, ίναι ίη µ το δυνατό έργο των ξωτρικών δυνάµων). Η διαδικαία που ακολουθήαµ απέδιξ ότι, όταν ιχύουν οι ξιώις ιορροπίας (14) και (15) τότ αναγκατικά θα ιχύι και η χέη (13). Άρα η αρχή των δυνατών έργων - (αρχή των δυνατών µτατοπίων) (13) και αντιτρέφοντας την πορία των πράξών µας καταλήγουµ τη χέη (19) που ικανοποιίται για αυθαίρτα δu i µόνον όταν οι παρνθέις ίναι ίς µ µηδέν, δηλαδή ικανοποιούνται οι υνθήκς ιορροπίας (14) και (15). Έτι, µπορούµ να διατυπώουµ ως ξής την αρχή των δυνατών έργων: Αρχή των δυνατών έργων Η αναγκαία και ικανή υνθήκη ώτ ένα παραµορφώιµο ώµα να βρίκται ιορροπία ίναι το έργο που κτλούν τα ξωτρικά φορτία αν πιβληθί το ώµα ένα πδίο δυνατών µτατοπίων, κινηµατικά παραδκτών, να ιούται µ τη δυνατή νέργια παραµόρφωης. Η αρχή των δυνατών έργων έχι πολύ µγάλη ηµαία δδµένου ότι, ιχύι για οποιοδήποτ νόµο υµπριφοράς του υλικού.
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία
Διαβάστε περισσότεραC V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.
. Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν
Διαβάστε περισσότερα3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat
Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου
Διαβάστε περισσότεραΝόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:
Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss
Διαβάστε περισσότεραΑπόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y
5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό
Διαβάστε περισσότεραΕργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού
Εργατηριακές Σημιώις Ανλατική Κάμψη Μταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανπιτημιακός Υπότροφος) Ειαγωγή Δοκός καθαρή κάμψη (λατική υμπριφορά) Τρόπος που παραμορφώνται η δοκός λόγω κάμψης
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2)
Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών Κφάλαιο. Λπτή τρώη ορθοτρόπου υλικού: πίπδη ένταη 5 5 5 oai ορθότροπο 5 5 iplae outofplae : Μητρώο ανηγµένης δυκαµψίας reduced tiffe D D D D ν ν ν ν / Λπτή
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και
9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)
Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να
Διαβάστε περισσότεραΣεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)
Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των
Διαβάστε περισσότεραS συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),
ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Ασκήσεων στην Αντοχή των Υλικών
Σιρά Ακήων ην Ανοχή ων Υλικών Άκηη η Σο ημίο Α μιας πίπδης μαλλικής πιφάνιας μ μέρο λαικόηας 00 GP και λόγο Pissn 0.5 μρήθηκαν οι πιμηκύνις ις καυθύνις, και μ η διάαξη ων πιμηκυνιομέρων ου χήμαος, ως 900,
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και
9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(
Διαβάστε περισσότερα[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.
Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα
Διαβάστε περισσότερα15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στο κφάλαιο αυτό πριγράφται ν υντοµία η πίλυη προβληµάτων παραµορφώιµων ωµάτων µ λατο-πλατική υµπριφορά, µέω της
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ
ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΜηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών
Μηχανικές ιδιότητς υνθέτων υλικών: φλκυμός Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιτήμης & Τχνολογίας Υλικών ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Εκπόνηη διπλωματικών ργαιών την ΕΑΒ, Τανάγρα Αττικής. dispersion methodologies μ κοπό τη δημιουργία
Διαβάστε περισσότερα4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή
Διαβάστε περισσότεραΑντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.
Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη
Διαβάστε περισσότεραΔυο κρούσεις σε μια τραμπάλα
Δ κρύσις σ μια τραμάλα μια τραμάλα μήκς και μάζας της ίας τ μέσ στηρίζται σ βάση ύψς αφήνμ να έσι στ ένα άκρ της αό ύψς άν αό τ έδαφς σφαιρίδι μάζας νώ στ άλλ άκρ της έχμ ττήσι σ ήκη σφαιρίδι μάζας. Να
Διαβάστε περισσότερα1. Η κανονική κατανοµή
. Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1
Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών) Κφάλαιο Σύνθτα υλικά: ποιά ίναι και πώς ίναι.. Στο πλαίιο της ανάλυης µηχανικής υµπριφοράς υνθέτων υλικών, θα πριοριθούµ την θώρηη δοµικών τοιχίων που χρηιµοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)
Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται
Διαβάστε περισσότεραΜπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται;
Έστω μακροσκοπικό σύστημα αποτούμνο από μόρια τα οποία μπορούν να βρθούν σ ένα σύνοο μη κφυισμένων καταστάσων μ νέργια, όπου,, 2, 3, 4,. Σ προηγούμνο παράδιγμα δίξαμ ότι η κυρίαρχη διαμόρφωση νός τέτοιου
Διαβάστε περισσότεραΓ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,
69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι
Διαβάστε περισσότεραΣχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις
Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό
Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη
Διαβάστε περισσότεραΣυµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια
35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.
Διαβάστε περισσότεραx=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).
3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά
Διαβάστε περισσότερακαι ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .
80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
(ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ
Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.1)
Ειδικά Θέµατα Μηχαικής Μηχαική Σύτω Υλικώ Κφάλαιο. / Μηχαική υµπριφορά οροτρόπου µέου. onaxis ορότροπο offaxis ορότροπο Στο κύριο ύτηµα onaxis του οροτρόπου µέου οι υιτώς του λατικού µητρώου δόως ίαι 9
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών
Σχολή Εφαρμομένν Μαθηματικών και Φυικών Ειτημών Εθνικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οτικές Μαγνητικές Ιιότητς Υλικών Κφάλαιο 3: Αλληλίραη Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης Λιαροκάης Ευθύμιος Άια Χρήης Το αρόν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,
Διαβάστε περισσότεραΚατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)
Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ
Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος
Διαβάστε περισσότεραΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ
ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΚΟΥ ΠΕ ΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΚΑΤΟΠΤΡΣΜΟΥ Φορτίο πάνω από αγώγιµο πίπδο z o. Τιµή και θέη του κατοπτρικού φορτίου,.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα του Green
57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και
Διαβάστε περισσότερα5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,
Διαβάστε περισσότερα5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:
Διαβάστε περισσότεραΑ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ
A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας
Διαβάστε περισσότεραΔδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών
Διαβάστε περισσότερα5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης
5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού
Διαβάστε περισσότερα12.1 Σχεδιασμός αξόνων
1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων.
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μπορώ να φορτίω έναν αγωγό, π.χ. μεταλλική φαίρα, ε φορτίο δυναμικό : Υπολογιμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων. Σημειακά φορτία ε άπειρη απόταη Αποθήκευη και χρήη ηλεκτρικής
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης
1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.
Διαβάστε περισσότεραT.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ
T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 3 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2 ο
Εφαρμογές Ανάλυης Σήματος τη Γεωδαιία Παρουίαη 3 η : Αρχές εκτίμηης παραμέτρων Μέρος ο Βαίλειος Δ. Ανδριτάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας
Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας Δομή Διάλεξης Εξίσωση Laplace πλεονεκτήματα μεθόδου επίλυσης της για εύρεση ηλεκτρικού δυναμικού Ιδιότητες λύσεων εξίσωσης Laplace σε 1, 2 και 3 διαστάσεις Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ
59 Κφάαιο 3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ, ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΚΕΛΥΦΗ 3.1 Ειαγωγή Στο κφάαιο αυτό πριγράφται η ντατική κατάταη δομικά τοιχία όγω διάτμηης (διατμητικές τάις και παραμορφώις), δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ
Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.
Διαβάστε περισσότερα(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών
11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στερεού σώµατος
Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στρού σώµατος Εφαρµογή 1η Οµογνής δίσκος ακτίνας R ηρµί στην άκρη οριζόντιου τραπζιού µ το κέντρο του Κ να βρίσκται στην κατακόρυφη που διέρχται από την ία Ο του
Διαβάστε περισσότεραΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ
Καθ. Δ.. Μαωλάκος Τομέας Τχολογίας τω Κατργαιώ ΜΠ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής ίαι η µαθηµατική υθήκη που πριγράφι τη τατική κατάταη έα ηµίο της µάζας του
Διαβάστε περισσότερασ.π.π. της 0.05 c 0.1
6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ211: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 1 Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { w {,} * η w δν πριέχι δύο συνχόμνα όμοια γράμματα }
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις σετ ασκήσεων #6
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ. Κοντογιάννης Πέμπτη 8 Μαΐου 07 Φυλλάδιο #4 Λύσις στ ασκήσων #6. Θόρυβος od. Έστω ότι ένα κανάλι έχι αλφάβητο ισόδου και αλφάβητο ξόδου το {0}. Όπως στο προηγούμνο στ η έξοδος του
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση Σιρά Προβλημάτων Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { m n m, n, m+n πριττός ακέραιος} (β) {w {,} * τα πρώτα δύο σύμβολα της w, αν υπάρχουν, δν ίναι τα ίδια
Διαβάστε περισσότεραΕκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.
4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων
Διαβάστε περισσότεραΠεριέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις
ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή
Διαβάστε περισσότερα3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις
ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ
Διαβάστε περισσότερα( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )
6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις
Διαβάστε περισσότερα3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)
4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα του Green
58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές ασκήσεις
Επαναληπτικές ασκήσις Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτλίται από mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δν αλληλπιδρούν μταξύ τους. Τα μόρια αυτά μπορούν να βρθούν ίτ σ
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ
ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών
Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Ε ιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Ε ίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Εμμανουήλ Μ. Παπαμιχαήλ
Τίτλος Μαθήματος: Ενζυμολογία Ενότητα: Παράρτημα Διδάσκων: Καθηγητής Εμμανουήλ Μ. Παπαμιχαήλ Τμήμα: Χημίας 142 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 1. Βιβλιογραφικές αναφορές διαφόρων τύπων χρωματογραφιών: Janson J. C., & Rydén
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m
Διαβάστε περισσότεραΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ
ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές
ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και
Διαβάστε περισσότεραηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1
Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν
Διαβάστε περισσότερα6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.
6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θωρία Υπολογισμού Ενδιάμση Εξέταση Ημρομηνία : Πέμπτη, 14 Μαρτίου 2019 Διάρκια : 09.00 10.30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Πρόβλημα 1 [35 μονάδς]
Διαβάστε περισσότερα