Συνδυαστική Βελτιστοποίηση
|
|
- Κλωθώ Ρόκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 2 η Διάλεξη
2 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού (1/3) Μέχρι στιγμής στο μάθημα «Επιχειρησιακή Έρευνα» έχουμε εξετάσει προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού (π.γ.π.). Στο π.γ.π. έχουμε να μεγιστοποιήσουμε μια συνάρτηση γραμμική ως προς τις μεταβλητές x 1, x 2,, x n δηλαδή της μορφής: z = max(c 1 x 1 + c 2 x 2,, + c n x n ) η οποία ονομάζεται και αντικειμενική συνάρτηση. Συγχρόνως θέλουμε η βέλτιστη λύση να ικανοποιεί τις συνθήκες: a11x1 + a12x a1 nxn b1 a x + a x a x b n n 2... a x + a x + K+ a x b m1 1 m2 2 mn n m x 0, i = 1Kn i
3 Το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού (2/3) Το γραμμικό πρόβλημα (γ.π.) με μορφή πινάκων, μπορεί να γραφεί ως εξής: z = cx Ax b x 0 όπου το c είναι ένα δ/μα γραμμή: c = (c 1, c 2,, c n ) το b είναι το m x 1 δ/μα στήλη: b = (b 1, b 2,, b m ) το x είναι το n x 1 δ/μα στήλη: x = (x 1, x 2,, x n ) και τέλος o A είναι ο m x n πίνακας: A a a... a a a... a a a... a n n = m1 m2 mn Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 3
4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 4 Το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού (3/3) Λύνοντας όμως το π.γ.π. με τον αλγόριθμο Simplex (ή και άλλους αλγορίθμους), δεν οδηγούμαστε σε ακέραιες τιμές των μεταβλητών απόφασης (x i ) στη βέλτιστη λύση, (παραδοχή π.γ.π.) Στον πραγματικό κόσμο όμως υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός από προβλήματα, στα οποία θέλουμε η βέλτιστη λύση να έχει ακέραιες τιμές. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να συστήσουμε σε ένα νοσοκομείο να έχει 35.7 νοσοκόμες και 20.3 ιατρούς, ή σε ένα αεροπλάνο να έχει θέσεις, κ.λ.π. Όταν απαιτούμε η βέλτιστη λύση να έχει ακέραιες τιμές, τότε τις περισσότερες φορές αυτή απέχει πολύ από τη λύση της στρογγυλοποίησης των τιμών των μεταβλητών της βέλτιστης λύσης του γραμμικού προγραμματισμού
5 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 5 Το πρόβλημα του Ακεραίου Προγραμματισμού (1/4) Το π.γ.π. στο οποίο επιπλέον απαιτείται μερικές μεταβλητές να είναι ακέραιες ονομάζεται μικτό πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού (μ.π.α.π.) ή (mixed integer programming problem). Όταν όλες οι μεταβλητές απαιτείται να είναι ακέραιες τότε λέμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα ακεραίου προγραμματισμού (π.α.π.) ή (pure integer programming problem). Πολύ συχνά συμβαίνει οι ακέραιες μεταβλητές να περιορίζονται στις τιμές 0 ή 1. Αυτά τα προβλήματα τα ονομάζουμε 0 1 (μ.π.α.π.) ή 0 1 (π.α.π.) ή (pure (mixed) binary integer programming problems / pure (mixed) 0 1 programming problems).
6 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 6 Το πρόβλημα του Ακεραίου Προγραμματισμού (2/4) Η μαθηματική μορφοποίηση του μ.π.α.π. με μορφή πινάκων είναι: όπου: c είναι ένα 1 x n 1 δ/μα γραμμή d είναι ένα 1 x n 2 δ/μα γραμμή A είναι ένας m x n 1 πίνακας D είναι ένας m x n 2 πίνακας x είναι ένα n 1 x 1 δ/μα γραμμή y είναι ένα n 2 x 1 δ/μα στήλη max z = cx + dy Ax + Dy b x 0, y 0 x ακέραιος
7 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 7 Το πρόβλημα του Ακεραίου Προγραμματισμού (3/4) Το π.γ.π που προκύπτει από ένα π.α.π. ή μ.π.α.π., εάν αφαιρέσουμε τη συνθήκη οι μεταβλητές να είναι ακέραιες ονομάζεται το γ.π. χαλάρωσης του α.π. Δηλαδή το γ.π. χαλάρωσης του μ.π.α.π. είναι το: max z = cx + dy Ax + Dy b x 0, y 0
8 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 8 Το πρόβλημα του Ακεραίου Προγραμματισμού (4/4) Ο χώρος των εφικτών λύσεων για ένα π.α.π. περικλείεται μέσα στην εφικτή περιοχή του αντίστοιχου γ.π. χαλάρωσης. Αυτό συνεπάγεται ότι: Βέλτιστη Ζ-τιμή για το γ.π. χαλάρωσης Βέλτιστη Ζ-τιμή για το π.α.π. (για προβλήματα μεγιστοποίησης) Διαφορές στην εφικτή περιοχή μεταξύ π.γ.π και π.α.π.
9 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 9 Ορολογία (Πολύεδρα) Η εφικτή περιοχή ενός γ.π. αποτελεί ένα κυρτό πολύτοπο (convex polytope), το οποίο μπορεί να υπάρχει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων αναλόγως το πρόβλημα. Ειδική μορφή πολυτόπου είναι το: πολύγωνο (polygon) στις δυο διαστάσεις, πολύεδρο (polyhedron) στις τρεις διαστάσεις, κ.ο.κ....
10 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 10 Βιβλιογραφία Branko Grünbaum, Convex Polytopes, 2 nd ed., Springer, Gunter M. Ziegler, Lectures on Polytopes (Graduate Texts in Mathematics), Alexandrov A.D., Convex Polyhedra, Springer Monographs in Mathematics, 1995.
11 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 11 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 1 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/4) Project Selection Μια επενδυτική εταιρία προσφέρει τις ακόλουθες 3 επενδύσεις στους πελάτες της: Στην 1 η επένδυση πρέπει να κατατεθεί ένα κεφάλαιο 5 εκατομμυρίων για να έχει συνολικό καθαρό κέρδος 16. Στην 2 η επένδυση πρέπει να κατατεθεί ένα κεφάλαιο 7 εκατομμυρίων για να έχει συνολικό καθαρό κέρδος 23. Στην 3 η επένδυση πρέπει να κατατεθεί ένα κεφάλαιο 11 εκατομμυρίων για να έχει συνολικό καθαρό κέρδος 32. Ποιά πρέπει να είναι η επενδυτική πολιτική της εταιρίας για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της δεδομένου όμως ότι μπορεί να επενδύσει το πολύ 17 εκατομμύρια?
12 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 12 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 1 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (2/4) Project Selection Μαθηματική μοντελοποίησης προβλήματος: Μεταβλητές απόφασης: x j 1, εάν η j επένδυση γίνει = 0, αλλιώς για j = 1, 2, 3. max z = 16x + 23x + 32x x + 7x + 11x x, x, x = 0,
13 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 13 Μαθηματική μοντελοποίηση σε AMPL: Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 1 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (3/4) Project Selection # variables var x1 binary; # 1st type of investment var x2 binary; # 2nd type of investment var x3 binary; # 3rd type of investment # objective function maximize profit: 16*x1 + 23*x2 + 32*x3; # constraints subject to budget: 5*x1 + 7*x2 + 11*x3 <= 17;
14 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 14 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 1 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (4/4) Project Selection Αναφορά επίλυσης από AMPL: ampl: model example_1.mod; ampl: option solver gurobi_ampl; εντολές AMPL ampl: solve; σχόλια λύσης από καλούμενο λύτη βέλτιστες τιμές Gurobi 5.6.0: optimal solution; objective 48 ampl: display x1, x2, x3; x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1
15 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 15 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/8) Μια εταιρία κατασκευάζει 3 ειδών έπιπλα: έπιπλα γραφείου, κρεβατοκάμαρες και έπιπλα κουζίνας. Η εταιρία νοικιάζει τα μηχανήματα κατασκευής επίπλων γραφείου με 2 εκατ./μήνα, της κρεβατοκάμαρας με 1.5 εκατ./μήνα και της κουζίνας με 1 εκατ./μήνα. Η κατασκευή κάθε είδους έχει τις ακόλουθες ανάγκες σε ξυλεία και ανθρωποώρες: Είδος Ξυλεία (Kg) Ανθρωποώρες Γραφείο Κρεβατοκάμαρα Κουζίνα 12 70
16 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 16 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (2/8) Κάθε μήνα η εταιρία διαθέτει 3 τόνους ξυλεία και 10,000 ανθρωποώρες εργασίας. Η τιμή πώλησης κάθε είδους καθώς και το κόστος του είναι τα εξής: Είδος Πώληση Κόστος Γραφείο 400, ,000 Κρεβατοκάμαρα 600, ,000 Κουζίνα 800, ,000 Ζητούμε να βρούμε τη βέλτιστη πολιτική η οποία θα μεγιστοποιεί το μηνιαίο κέρδος της εταιρίας.
17 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 17 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (3/8) Μαθηματική μοντελοποίησης προβλήματος: Ορίζουμε τις μεταβλητές: x 1 = ο αριθμός επίπλων γραφείου που κατασκευάζεται κάθε μήνα. x 2 = ο αριθμός επίπλων κρεβατοκάμαρας που κατασκευάζεται κάθε μήνα. x 3 = ο αριθμός επίπλων κουζίνας που κατασκευάζεται κάθε μήνα. Προφανώς, το κόστος ενοικίασης των μηχανημάτων δεν εξαρτάται από τον αριθμό του είδους των κατασκευαζόμενων επίπλων, αλλά από το αν θα κατασκευασθεί το είδος ή όχι.
18 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 18 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (4/8) Άρα για να προσδιορίσουμε το κόστος ενοικίασης των μηχανημάτων πρέπει να ορίσουμε τις εξής μεταβλητές: y y y , εάν ενοικιαστεί το μηχάνημα κατασκευής γραφείου = 0, αλλιώς 1, εάν ενοικιαστεί το μηχάνημα κατασκευής επίπλων κρεβατοκάμαρας = 0, αλλιώς 1, εάν ενοικιαστεί το μηχάνημα επίπλων κουζίνας = 0, αλλιώς Δηλαδή, έχουμε ότι εάν: x j > 0 y j = 1 x j = 0 y j = 0
19 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 19 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (5/8) Το μηνιαίο καθαρό κέρδος της εταιρίας είναι: (0.4x x x 3 ) (0.2x x x 3 ) (2y y 2 + y 3 ) εκατομμύρια πωλήσεις κόστος ενοικίαση Περιορισμός ξυλείας: 20x x x 3 3,000 Περιορισμός ανθρωποωρών: 50x x x 3 10,000 Υπάρχει κανένας περιορισμός που να εμποδίζει όλα τα y i (i = 1,2,3) να γίνουν ταυτόχρονα μηδέν? Αν αυτό συμβεί, είναι ρεαλιστική λύση? Τι θα κατασκευάσουμε?
20 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (6/8) Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής «τέχνασμα»: Θέτουμε τους επιπλέον περιορισμούς: x 1 Μy 1, x 2 Μy 2 και x 3 Μy 3 όπου Μ ένας πολύ μεγάλος αριθμός σε σχέση με τις δυνατές τιμές των x i, y i (i = 1,2,3). Αυτό έχει το (επιθυμητό) αποτέλεσμα όταν y i = 0, τότε αυτόματα x i = 0. max z = 0.2x + 0.3x x 2y 1.5y y Οπότε, έχουμε: x + 15 x + 12 x x + 60 x + 70x x Μy, x Μy, x Μy x, x, x ακέραιοι y, y, y = 0 ή Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 20
21 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 21 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (7/8) Μαθηματική μοντελοποίηση σε AMPL: # variables var x1 integer >=0; var x2 integer >=0; var x3 integer >=0; var y1 binary; var y2 binary; var y3 binary; # objective function maximize profit: 0.2*x *x *x3-2*y1-1.5*y2 - y3; # constraints subject to wood: 20*x1 + 15*x2 + 12*x3 <= 3000; subject to hours: 50*x1 + 60*x2 + 70*x3 <= 10000; subject to constraint_1: x1 <= *y1; # M = subject to constraint_2: x2 <= *y2; subject to constraint_3: x3 <= *y3;
22 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 22 2 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (8/8) Αναφορά επίλυσης από AMPL: ampl: model example_2.mod; ampl: option solver gurobi_ampl; ampl: solve; εντολές AMPL σχόλια λύσης από τον καλούμενο λύτη Gurobi βέλτιστες τιμές Gurobi 5.6.0: optimal solution; objective simplex iterations absmipgap = 7.11e-15, relmipgap = 1.46e-16 ampl: display x1, x2, x3, y1,y2, y3; x1 = 0 x2 = 0 x3 = 142 y1 = 0 y2 = 0 y3 = 1
23 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 23 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/7) (set covering model) Έστω ότι η πόλη της Θεσσαλονίκης έχει χωριστεί από την Πυροσβεστική υπηρεσία της πόλης σε 6 μεγάλες περιοχές. Η διοίκηση της πόλης πρέπει να αποφασίσει σε ποια σημεία θα πρέπει να χτίσει πυροσβεστικούς σταθμούς, όπου θα σταθμεύουν τα υπηρεσιακά οχήματα. Η απόφαση πρέπει να είναι μεν τέτοια ώστε να απαιτείται το ελάχιστο δυνατόν κόστος (χτίζοντας τον ελάχιστο αριθμό σταθμών), αλλά επίσης να μην υπάρχει περιοχή από την οποία ένας τουλάχιστον σταθμός να απέχει περισσότερο από 20 οδήγησης σε μια ώρα κυκλοφοριακής αιχμής. Οι σταθμοί θα χτιστούν σε κάποιες από τις 6 περιοχές και αν ένας σταθμός χτιστεί σε μία περιοχή θεωρείται ότι ο χρόνος κάλυψης αυτής της περιοχής είναι μηδαμινός. Έτσι, σημασία έχει ο χρόνος που χρειάζεται για να πάει ένα πυροσβεστικό όχημα από τη μία περιοχή στην άλλη.
24 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 24 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (2/7) Οι χρόνοι που χρειάζεται ένα πυροσβεστικό όχημα σε ώρες κυκλοφοριακής αιχμής για να διανύσει αυτές τις αποστάσεις είναι: Περιοχή 1 Περιοχή 2 Περιοχή 3 Περιοχή 4 Περιοχή 5 Περιοχή 6 Περιοχή Περιοχή Περιοχή Περιοχή Περιοχή Περιοχή
25 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 25 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (3/7) Μαθηματική μοντελοποίησης προβλήματος: Μεταβλητές απόφασης: x i 1, αν ένας σταθμός πυροσβεστικής θα χτιστεί στην περιοχή = 0, αλλιώς i Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος θα είναι: Min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 o συνολικός αριθμός σταθμών πυροσβεστικής που θα χτιστούν Η ελάχιστη δυνατή τιμή ισούται με 0, όταν θέσουμε x i = 0, (i = 1,2,,6). Αυτό όμως σημαίνει ότι κανένας πυροσβεστικό σταθμός δεν θα χτιστεί Άρα, τι κάνουμε?
26 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 26 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (4/7) Η βασική μας απαίτηση είναι ότι δεν πρέπει να υπάρχει έστω και μια περιοχή στην οποία να χρειάζεται περισσότερο από 20 να φθάσει πυροσβεστικό όχημα του οποίου ο σταθμός είναι χτισμένος σε κάποια άλλη περιοχή. Για παράδειγμα, για να υπάρχει στην περιοχή 1 πάντα ένας σταθμός πυροσβεστικής σε απόσταση μικρότερη από 20, πρέπει να χτιστεί ένας σταθμός στην περιοχή 1 ή στην περιοχή 2 ή τέλος στην περιοχή 6. Αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε λύση για την οποία x 1 = x 2 = x 6 = 0, δεν είναι αποδεκτή. Τι κάνουμε ώστε να εξασφαλίσουμε ότι κάτι τέτοιο δεν θα προκύψει στη λύση? Θέτουμε τον παρακάτω περιορισμό στο π.α.π. : x 1 + x 2 + x 6 1 (ομοίως τι θα προκύψει για τις υπόλοιπες περιοχές?)
27 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 27 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (5/7) Άρα, το ζητούμενο μοντέλο μαθηματικού προγραμματισμού είναι: min z = x + x + x + x + x + x x + x + x 1 (Περιοχή 1) x + x + x + x 1 (Περιοχή 2) x x 1 (Περιοχή 3) 3 4 x3+ x4 + x5 1 (Περιοχή 4) x + x + x + x 1 (Περιοχή 5) x + x + x + x 1 (Περιοχή 6) x i = 0,1, για i = 1, 2,..., 6
28 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 28 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (6/7) Μαθηματική μοντελοποίηση σε AMPL: # variables var x1 binary; # station 1 var x2 binary; # station 2 var x3 binary; # station 3 var x4 binary; # station 4 var x5 binary; # station 5 var x6 binary; # station 6 # objective function minimize cost: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6; # constraints subject to area_1: x1 + x2 + x6 >= 1; subject to area_2: x1 + x2 + x5 + x6 >= 1; subject to area_3: x3 + x4 >= 1; subject to area_4: x3 + x4 + x5 >= 1; subject to area_5: x2 + x4 + x5 + x6 >= 1;
29 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 29 3 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (7/7) Αναφορά επίλυσης από AMPL: ampl: model example_3.mod; ampl: option solver gurobi_ampl; εντολές AMPL σχόλια λύσης από καλούμενο λύτη Gurobi βέλτιστες τιμές ampl: solve; Gurobi 5.6.0: optimal solution; objective 2 ampl: display x1, x2, x3, x4, x5, x6; x1 = 0 x2 = 1 x3 = 0 x4 = 1 x5 = 0 x6 = 0
30 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/8) Έστω μια εταιρία η οποία κατασκευάζει 3 ειδών δίτροχα. Ο τύπος 1, είναι τα λεγόμενα «παπάκια». Ο τύπος 2, είναι μεγαλύτερες σε κυβικά μοτοσυκλέτες «Enduro» (χωματόδρομος, κ.λ.π.) και ο τύπος 3, είναι μοτοσυκλέτες 500 cc. ειδικές για πίστες αγώνων. Για να είναι οικονομικά εφικτή η κατασκευή ενός τύπου δίτροχου πρέπει η εταιρία να κατασκευάζει τουλάχιστον 500 από αυτόν τον τύπο. Οι πόροι που χρειάζονται για την κατασκευή κάθε τύπου δίτροχου είναι: Είδος μοτοσυκλέτας «Παπάκι» Enduro Πίστας Σίδηρο 500 Kg 800 Kg 1,000 Kg Ανθρωποώρες εργασίας 30 h 45 h 50 h Κέρδος / δίτροχο 100 χιλ. δρχ. 1,000 χιλ. δρχ. 2,000 χιλ. δρχ. Η εταιρία διαθέτει 20,000Kg σίδηρο και 50,000 ανθρωποώρες εργασίας. Πόσες μοτοσυκλέτες πρέπει να κατασκευάσει από το κάθε είδος για να μεγιστοποιήσει το κέρδος της? Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 30
31 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 31 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (2/8) Μαθηματική μοντελοποίησης προβλήματος: x i : ο αριθμός από τις μοτοσυκλέτες τύπου (i = 1, 2, 3) που η εταιρία πρέπει να κατασκευάσει Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος θα είναι: Max z = 100x 1 + 1,000x 2 + 2,000x 3 σε χιλιάδες δρχ. Περιορισμός λόγω πρώτης ύλης σιδήρου: 500x x 2 + 1,000x 3 20,000 Περιορισμός λόγω διαθέσιμων ανθρωποωρών: 30x x x 3 50,000
32 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 32 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (3/8) Αν η εταιρία αποφασίσει να κατασκευάσει ένα είδος μοτοσυκλέτας πρέπει να φτιάξει τουλάχιστον 500, οπότε έχουμε: x 1 0 ή x x 2 0 ή x x 3 0 ή x Αυτοί οι περιορισμοί αποτελούν μια κλασική κατηγορία διαζευκτικών περιορισμών της μορφής: f(x 1, x 2,..., x n ) 0 ή g(x 1, x 2,..., x n ) 0 Ο μετασχηματισμός αυτών των περιορισμών σε κατάλληλη μορφή για να αποτελούν αποδεκτούς περιορισμούς σε ένα π.α.π., γίνεται με την αντικατάσταση τους από τους περιορισμούς: f(x 1, x 2,..., x n ) My g(x 1, x 2,..., x n ) M(1 y) (όπου y μια δυαδική μεταβλητή & Μ ένας κατάλληλα μεγάλος αριθμός)
33 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 33 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (4/8) Οπότε στο πρόβλημα μας για i = 1 έχουμε τον περιορισμό: x 1 0 ή x Τον οποίο τον αντικαθιστούμε με τους περιορισμούς: Με τι σκεπτικό θέτουμε ότι Μ = 2,000? Just-Large-Enough-M method x 1 2,000y x 1 2,000(1 y 1 ), y 1 = 0 ή 1 Ομοίως αντικαθιστούμε και τους υπόλοιπους περιορισμούς
34 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 34 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (5/8) Άρα, το ζητούμενο μοντέλο μαθηματικού προγραμματισμού είναι: max z = 100x x x x x 2000(1 y ) x y x 1500(1 y ) x 2000y y x 1000(1 y ) x + 800x x x + 45 x + 50x x, x, x 0 x, x, x ακέραιοι y, y, y = 0 ή 1
35 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 35 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (6/8) Μαθηματική μοντελοποίηση σε AMPL (1/2): # variables var x1 integer >= 0; # station 1 var x2 integer >= 0; # station 2 var x3 integer >= 0; # station 3 var y1 binary; # station 4 var y2 binary; # station 5 var y3 binary; # station 6 # objective function maximize profit: 100*x *x *x3;
36 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 36 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (7/8) Μαθηματική μοντελοποίηση σε AMPL (2/2): # constraints subject to constraint_1: x1 <= 2000*y1; subject to constraint_2: 500-x1 <= 2000*(1-y1); subject to constraint_3: x2 <= 1500*y2; subject to constraint_4: 500-x2 <= 1500*(1-y2); subject to constraint_5: x3 <= 1000*y3; subject to constraint_6: 500-x3 <= 1000*(1-y3); subject to constraint_7: 500*x *x *x3 <= 20000; subject to constraint_8: 30*x1 + 45*x2 + 50*x3 <= 50000;
37 4 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (8/8) Αναφορά επίλυσης από AMPL: ampl: model example_4.mod; ampl: option solver gurobi_ampl; ampl: solve; εντολές AMPL σχόλια λύσης από καλούμενο λύτη Gurobi βέλτιστες τιμές Solution determined by presolve; objective profit = 0. ampl: display x1, x2, x3, y1, y2, y3; x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 y1 = 0 y2 = 0 y3 = 0 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 37
38 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 38 5 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/5) Μια εμπορική επιχείρηση θέλει να επεκταθεί στην περιοχή της Κεντρικής Μακεδονίας. Η επιχείρηση σκέφτεται να δημιουργήσει ένα υποκατάστημα στη Νάουσα ή στην Έδεσσα ή από ένα και στις δύο πόλεις. Υπάρχει επίσης η σκέψη για την ίδρυση μιας το πολύ αποθήκης σε κάποια από τις δυο περιοχές, αλλά, σε αυτήν την περίπτωση, η αποθήκη πρέπει να γίνει στα περίχωρα της πόλης που θα δημιουργηθεί υποκατάστημα. Η επιχείρηση εκτίμησε τις καθαρές αποδόσεις για τα πρώτα 5 χρόνια, που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Επίσης, στον πίνακα δίνονται τα απαιτούμενα κεφάλαια για τη δημιουργία υποκαταστημάτων και αποθηκών. Η επιχείρηση έχει διαθέσιμα για την αρχική επένδυση.
39 5 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (2/5) Να αναπτύξετε ένα μαθηματικό μοντέλο διακριτής βελτιστοποίησης, το οποίο θα σας δώσει τη μέγιστη απόδοση. Απόφαση Ερώτηση «ναι» ή «όχι» Καθαρή απόδοση Απαιτούμενο κεφάλαιο 1 Υποκατάστημα στη Νάουσα; Υποκατάστημα στην Έδεσσα; Αποθήκη στη Νάουσα; Αποθήκη στην Έδεσσα; Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 39
40 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 40 5 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (3/5) max z = 45x + 25x + 30x + 20x st.. x x x x 1 30x + 15x + 25x + 10x 50 x i x x = 0,1, για i = 1...4
41 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 41 5 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (4/5) Μαθηματική μοντελοποίηση σε AMPL: # variables var x1 binary; # Naoussa branch var x2 binary; # Edessa branch var x3 binary; # Naoussa warehouse var x4 binary; # Edessa warehouse # objective function maximize profit: 45*x1 + 25*x2 + 30*x3 + 20*x4; # constraints s.t. constraint_1: x3 + x4 <= 1; s.t. constraint_2: x3 - x1 <= 0; s.t. constraint_3: x4 - x2 <= 0; s.t. constraint_4: 30*x1 + 15*x2 + 25*x3 + 10*x4 <= 50;
42 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 42 5 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (5/5) Αναφορά επίλυσης από Gurobi: model new_ypokatastima_macedonia.mod; option solver gurobi_ampl; solve; display x1, x2, x3, x4; εντολές AMPL σε αρχείο script >ampl new_ypokatastima_macedonia.run Gurobi 5.6.0: optimal solution; objective 45 σχόλια λύσης από τον καλούμενο λύτη Gurobi x1 = 0 x2 = 1 x3 = 0 x4 = 1 βέλτιστες τιμές >Exit code: 0
43 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 43 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/8) Computer Configuration Συχνά οι πελάτες ηλεκτρονικών καταστημάτων εταιριών πώλησης Η/Υ (π.χ., Dell), έχουν τη δυνατότητα να επιλέγουν μόνοι τους τη σύνθεση των Η/Υ (π.χ. χαρακτηριστικά ή επιλογές) κατά την παραγγελία. Έστω ότι ένας πελάτης επιθυμεί να αγοράσει ένα νέο φορητό Η/Υ ξοδεύοντας ένα ποσό μέχρι και ότι υπάρχει διαθέσιμη μια πληθώρα επιλογών. Για παράδειγμα, η βασική τιμή ενός φορητού ισούται με και περιλαμβάνει 1- χρόνο εγγύηση, 2 GB RAM, 400 GB σκληρό δίσκο, CD/DVD ROM και μια μπαταρία 4-κελιών ιόντων λιθίου.
44 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 44 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (2/8) Computer Configuration Συνολικά παρέχονται οι εξής δυνατότητες με το ανάλογο κόστος: Επεξεργαστής: Intel Core i3 ( 179 ), Intel Core i5 (+179 ), Intel Core i7 (+300 ) Εγγύηση: 2 έτη (+129 ), 3 έτη (+269 ) Μνήμη: 4 GB (+50 ), 8 GB (+500 ) Σκληρός δίσκος: 300 GB ( 29 ), 500 GB (+39 ), 1 ΤB (+79 ) Οπτικά μέσα: μόνο CD-ROM ( 39 ), DVD-RW (+79 ), Blu-ray (+179 ) Μπαταρία: 8-cell lithium ion (+59 ) Λογισμικό επεξεργασίας βίντεο: Adobe premiere (+79 ) Εάν ο πελάτης επιθυμεί να συνθέσει ένα σύστημα κορυφαίας ποιότητας, πρέπει να δαπανήσει επιπλέον της βασικής τιμής Άρα ο αγοραστής πρέπει να επιλέξει προσεκτικά τη σύνθεση του Η/Υ.
45 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 45 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (3/8) Computer Configuration Ένας τρόπος για να καθοριστεί μια κατάλληλη αντικειμενική συνάρτηση, είναι να ορίσει κανείς προτιμήσεις για κάθε μια επιλογή. Για παράδειγμα, αν κάποιος θέλει να ασχοληθεί με επεξεργασία βίντεο θα επιθυμεί μια δυνατή κάρτα γραφικών. Αν κάποιος θέλει να εκτελέσει επιστημονικούς υπολογισμούς, θα επιθυμεί ένα γρήγορο επεξεργαστή, κ.ο.κ. Έστω, ότι ένας συγκεκριμένος αγοραστής έχει αξιολογήσει τις επιλογές του και αντιστοίχισε τις διπλανές προτιμήσεις σε κάθε χαρακτηριστικό. Τι θα συμβουλεύατε τον υποψήφιο αγοραστή? Επιλογή Χρησιμότητα Intel Core i Intel Core i Intel Core i έτη εγγύηση έτη εγγύηση GB μνήμη GB μνήμη GB σκληρός δίσκος GB σκληρός δίσκος ΤB σκληρός δίσκος 1.00 μόνο CD-ROM 0.00 DVD-RW 0.95 Blu-ray cell lithium ion μπαταρία 0.15 Λογισμικό επεξεργασίας βίντεο 0.85
46 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 46 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (4/8) Computer Configuration Μαθηματική μοντελοποίηση: Επιλογή Intel Core i3 Intel Core i5 Intel Core i7 Μεταβλητή X p1 X p2 X p3 2 έτη εγγύηση X w1 3 έτη εγγύηση X w2 4 GB μνήμη X m1 Δυαδικές μεταβλητές: π.χ.: x c3 = 1, εάν επιλεχθεί το Blu-ray, x c3 = 0, εάν δεν επιλεχθεί το Blu-ray, 8 GB μνήμη X m2 300 GB σκληρός δίσκος X d1 500 GB σκληρός δίσκος X d2 1 ΤB σκληρός δίσκος X d3 μόνο DVD-ROM DVD-RW Blu-ray 8-cell lithium ion μπαταρία Λογισμικό επεξεργασίας βίντεο X c1 X c2 X c3 X b Xs
47 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 47 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (5/8) Computer Configuration max z = 0.20x x x x x x x p1 p2 p3 w1 w2 m1 m x x + 1.0x + 0.0x x x x x d1 d2 d3 c1 c2 c3 b s st.. 179x + 100x + 300x + 129x + 269x + 50x + 500x p1 p2 p3 w1 w2 m1 m (κεφάλαιο) 29xd1+ 39xd2 + 79xd3 39xc 1+ 79xc2 xc3 xb xs x + x + x 1 (επεξεργαστής) x x p1 p2 p3 + x 1 (εγγύηση) w1 w2 + x 1 (εγγύηση) m1 m2 x + x + x 1 (σκληρό δίσκο) d1 d2 d3 x + x + x 1 (οπτικά μέσα) x x c1 c2 c3 b s 1 (μπαταρία) 1 (λειτουργικό σύστημα) x ij = 0 ή 1, i, j
48 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 48 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (6/8) Computer Configuration Τι αλλαγές προκύπτουν στο μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης, αν υπάρχουν οι κάτωθι περιορισμοί στη σύνθεση του Η/Υ: Η επιλογή Blu-ray, προϋποθέτει τουλάχιστον 4 GB μνήμη (?) Αν επιλέξουμε τον πιο αργό τύπο επεξεργαστή (π.χ. Intel Core i3), τότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε Blu-ray (?) Αν ο αγοραστής θέλει να εξασφαλίσει ότι, αν επιλεχθεί το λογισμικό επεξεργασίας βίντεο, τότε θα επιλεχθούν επίσης τα 8 GB μνήμης και ο σκληρός δίσκος 1 TB.
49 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 49 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (7/8) Computer Configuration 1 η περίπτωση: Αυτό σημαίνει ότι αν X c3 = 1, τότε είτε X m1 = 1 είτε X m2 = 1, το οποίο μοντελοποιείται ως εξής: X c3 X m1 + X m2 2 η περίπτωση: Αυτό σημαίνει ότι αν X p1 = 1, τότε πρέπει να ισχύει ότι X c3 = 0, το οποίο μοντελοποιείται ως εξής: X c3 + X p1 1 3 η περίπτωση: Αυτό σημαίνει ότι αν X s = 1, τότε πρέπει να ισχύει ότι X d3 = 1 και X m2 = 1, το οποίο μοντελοποιείται με δύο τρόπους ως εξής: X s X d3 ή 2X s X d3 + X m2 X s X m2
50 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 50 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6 η Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (8/8) Computer Configuration ampl: model computer_configuration.mod; ampl: option solver cplex; ampl: solve; CPLEX : optimal integer solution; objective MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes ampl: display Xp1, Xp2, Xp3, Xw1, Xw2, Xm1, Xm2, Xd1, Xd2, Xd3, Xc1, Xc2, Xc3, Xb, Xs; Xp1 = 0 Xp2 = 0 Xp3 = 1 Xw1 = 1 Xw2 = 0 Xm1 = 1 Xm2 = 0 Xd1 = 0 Xd2 = 0 Xd3 = 1 Xc1 = 0 Xc2 = 1 Xc3 = 0 Xb = 1 Xs = 1
51 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 51 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Μοντελοποίηση λογικών συνθηκών, με χρήση δυαδικών μεταβλητών Λογικές συνθήκες Μορφή περιορισμού στο μοντέλο Αν Α, τότε Β A Β ή Β Α 0 Αν όχι Α, τότε Β Β 1 Α ή Α + Β 1 Αν Α, τότε όχι Β Β 1 Α ή Β + Α 1 Το πολύ ένα εκ των Α και Β Α + Β 1 Αν Α, τότε Β και Γ A Β και A Γ ή 2A Β + Γ Αν Α και Β, τότε Γ Α + Β 1 Γ ή Α + Β Γ 1 Frank Plastria, (2002). Formulating logical implications in combinatorial optimisation, European Journal of Operational Research, 140(2), H.P. Williams, (2009). Logic and Integer Programming, Springer, New York.
52 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 52 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εφαρμογές της Συνδυαστική Βελτιστοποίησης στη σχεδίαση ψηφιακών κυκλωμάτων Yanpei, Liu, (1993) Some combinatorial optimization problems arising from VLSI circuit design, Applied Mathematics - A Journal of Chinese Universities, 8(2), pp (URL: Korte, Bernhard, Vygen, Jens, (2008) Combinatorial Problems in Chip Design, Building Bridges, Bolyai Society Mathematical Studies, Springer Berlin Heidelberg, 19, pp (URL: 6_12). Brenner, U., Struzyna, M., & Vygen, J. (2008). BonnPlace: Placement of Leading- Edge Chips by Advanced Combinatorial Algorithms. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 27, pp (URL:
Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 1 η Διάλεξη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Ανακοινώσεις Μετά από κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης
Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης 1 Outline Introduction to mathematical programming Introduction to scheduling Flow shop optimization Scheduling of crude oil Decomposition techniques
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραFermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807
Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 3 η Διάλεξη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Εφαρμογή Ακεραίου Προγραμματισμού (1/4) Project Selection
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση: Γραμμικός Προγραμματισμός (Αλγόριθμος Simplex). Λύση δυο προβλημάτων με χρήση της μεθόδου simplex και το excel.
Παρουσίαση: Γραμμικός Προγραμματισμός (Αλγόριθμος Simplex). Λύση δυο προβλημάτων με χρήση της μεθόδου simplex και το excel. Γκούμας Στράτος. Πτυχιούχος Οικονομολόγος. MSc Εφαρμοσμένη Οικονομική και Χρηματοοικονομική
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming)
Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραmax c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 4 η Διάλεξη: Βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (Μulti-objective optimization) 2019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στην βελτιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 1) Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 5 η ενότητα: Στοχαστικά προβλήματα αντικατάστασης εργαλείων (2) Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2013-2014 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τα προβλήματα τους Ακεραίου γραμμικού Προγραμματισμού (Integer Linear Programming) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού
3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Άσκηση 3 Δίνεται ο παρακάτω τελικός πίνακας Simplex. Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Άρτα Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΠαραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου
Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή. 1.1 Επιχειρησιακή Ερευνα
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Επιχειρησιακή Ερευνα Η Βελτιστοποίηση είναι η διαδικασία απόκτησης του ϐέλτιστου αποτελέσματος κάτω από δεδομένες καταστάσεις. Στο σχεδιασμό, στην εφαρμογή και στη συντήρηση οποιουδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μεθόδου Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 6: Κατηγοριοποίηση Λογισμικού Βελτιστοποίησης, Χρήση Standard Excel Solver Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 4 η ενότητα: Προβλήματα αντικατάστασης εργαλείων Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)
Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΒελτιστοποίηση κατανομής πόρων συντήρησης οδοστρωμάτων Πανεπιστήμιο Πατρών - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών
Βελτιστοποίηση κατανομής πόρων συντήρησης οδοστρωμάτων Πανεπιστήμιο Πατρών - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πάτρα 17 - Μαΐου - 2017 Παναγιώτης Τσίκας Σκοπός του προβλήματος Σκοπός του προβλήματος,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Β. ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραSÔntomec plhroforðec gia to glpsol (glpk)
SÔntomec plhroforðec gia to glpsol (glpk) gpol@di.uoa.gr Genikˆ gia to GLPK kai to glpsol Το GLPK (GNU Linear Programming Kit) είναι μια βιβλιοθήκη συναρτήσεων για τη γλώσσα C/C++ η οποία χρησιμοποιείται
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL
ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL 1. Στο Tools menu, click Solver. 2. Εάν η επιλογή Solver δεν είναι διαθέσιµη στο Tools menu, πρέπει να το
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Πρόβλημα 1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η εταιρεία GALAXY INDUSTRIES διαθέτει στην αγορά 2 είδη πλάκες πεζοδρομίου: τη Space Ray και τη Galaxy Ray. Τα 2 είδη κατασκευάζονται σε δωδεκάδες από την ίδια βασική πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 4 η ενότητα: Προβλήματα αντικατάστασης εργαλείων (2) Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Νίκος Λαγαρός
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 5 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραRIGHTHAND SIDE RANGES
Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ι (HY120)
Προγραμματισμός Ι (HY20) # μνήμη & μεταβλητές πρόγραμμα & εκτέλεση Ψηφιακά δεδομένα, μνήμη, μεταβλητές 2 Δυαδικός κόσμος Οι υπολογιστές είναι δυαδικές μηχανές Όλη η πληροφορία (δεδομένα και κώδικας) κωδικοποιείται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Φουτσιτζή Γεωργία-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Περιεχόμενα Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Ακέραιος προγραμματισμός πολύ-κριτηριακές αντικειμενικές συναρτήσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 12-13 η /2017
Διαβάστε περισσότεραAsset & Liability Management Διάλεξη 3
Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη 3 Cash-flow matching Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z
Άσκηση Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )
3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική και Υπολογιστές
Πληροφορική και Υπολογιστές Πληροφορική είναι η επιστήμη και η τεχνολογία που ασχολείται με τις πληροφορίες, τα μέσα και τους τρόπους επεξεργασίας των πληροφοριών, χρησιμοποιώντας ως βασικό εργαλείο τον
Διαβάστε περισσότεραmax 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η
Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2.4: Εργασία με εικονίδια
Κεφάλαιο 2.4: Εργασία με εικονίδια 2.4.1 Συχνότερα εμφανιζόμενα εικονίδια των Windows Τα πιο συνηθισμένα εικονίδια, που μπορεί να συναντήσουμε, είναι: Εικονίδια συστήματος: Τα Windows εμφανίζουν τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότερα7 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 7 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH
ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραISBN:
Ακριβείς και ευρετικοί αλγόριθμοι μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας Ευτυχία Κωσταρέλου Τμήμα Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότερα