ια ανε ιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ια ανε ιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Αυτόµατες (Αλγοριθµικές α οδείξεις) Το τρίτο ρόβληµα Hilbert Νίκος Θ. Αντωνό ουλος Α.Μ Ε ιβλέ ων καθηγητής: Ε. Ρά της

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ια ανε ιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» Η αρούσα δι λωµατική εργασία εκ ονήθηκε στα λαίσια των σ ουδών για την α όκτηση του Μετα τυχιακού ι λώµατος Ειδίκευσης ου α ονέµει το ια ανε ιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την. α ό Εξεταστική Ε ιτρο ή α οτελούµενη α ό τους: Ονοµατε ώνυµο Βαθµίδα Υ ογραφή Ρά της Ευάγγελος Καθηγητής (ε ιβλέ ων καθηγητής) Βάρσος ηµήτριος Ανα λ. καθηγητής. Λά ας ιονύσιος Ανα λ. Καθηγητής.

3 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τα θεµέλια των Μαθηµατικών 1.1.i. Ο Πλατωνισµός ii. Ο Φορµαλισµός iii. Ο Ιντουισιονισµός Προβλήµατα στα θεµέλια 1.2.i. Ο Ευκλείδης και η αξιωµατική θεµελίωση της Γεωµετρίας ii. Μη ευκλείδειες γεωµετρίες iii. Οι ρώτες ροσ άθειες ε αναθεµελίωσης iv. Τα νέα θεµέλια τυ ικά αξιωµατικά συστήµατα v. Συνέ εια ανεξαρτησία ισοδυναµία ληρότητα vi. Το άδοξο τέλος ο Kurt Godel Οι ηλεκτρονικοί υ ολογιστές 1.3.i. Οι υ ολογιστές και ο ανθρώ ινος νους ii. Το ρόβληµα των τεσσάρων χρωµάτων.28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πράξεις 2.1.i. ιµελής ράξη ii. Ιδιότητες των ράξεων Οµάδες 2.1.i. Οµάδα ii. Υ οοµάδα iii. Οµοµορφισµοί οµάδων iv. Το σύνολο Zn v. Τάξη οµάδας vi. Κυκλική οµάδα..38

4 6 2.2.vii. Σύµ λοκα viii. Κανονική υ οοµάδα οµάδα ηλίκο Σύνολα εφοδιασµένα µε δυο ράξεις 2.3.i. Ε ιµεριστική ιδιότητα ii. ακτύλιοι ιδεώδες δακτυλίου iii. ιαιρέτες του µηδενός Ακέραια εριοχή iv. Σώµα Πολυώνυµα 2.4.i. Ο δακτύλιος των ολυωνύµων µιας µεταβλητής ii. Η ταυτότητα της διαίρεσης στο δακτύλιο F[x] iii. Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης iv. Ο δακτύλιος των ολυωνύµων ολλών µεταβλητών v. ιάταξη ιάταξη (λεξικογραφική) µονωνύµων vi. Η διαίρεση στον F[x 1, x 2,, x ν] Εξωτερική ράξη 2.5.i. ιανυσµατικός χώρος ii. ιανυσµατικός υ όχωρος iii. Γραµµική ανεξαρτησία iv. Βάση και διάσταση διανυσµατικού χώρου..53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το ρόβληµα της αυτόµατης α όδειξης Γεωµετρικών θεωρηµάτων 3.1.i. Σύστηµα ολλών εξισώσεων µε ολλές µεταβλητές ii. Ιδεώδες αραγόµενο α ό τα ολυώνυµα f1(x), f2(x),, fµ(x) iii. Βάσεις Groebner iv. Βάσεις Groebner στον δακτύλιο ολυωνύµων µιας µεταβλητής v. Βάσεις Groebner στον δακτύλιο ολυωνύµων δύο µεταβλητών vi. Ελαχιστο οιηµένες και ανηγµένες βάσεις Groebner vii. Ο αλγόριθµος του Buchberger viii. Το θεώρηµα βάσης του Hilbert Αυτόµατη α όδειξη Γεωµετρικών θεωρηµάτων...72

5 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εµβαδόν 4.1.i. Εµβαδόν και µέτρο ii. Αξιωµατικός ορισµός του εµβαδού iii. Η µέθοδος της διαµέρισης iv. Η µέθοδος του συµ ληρώµατος v. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα Το τρίτο ρόβληµα Hilbert 4.2.i. Το ρόβληµα ii. Η αναλλοίωτη του Dehn iii. Προσθετικές συναρτήσεις iv. Κατασκευή βάσης ε ί του Q v. Το θεώρηµα ρητής ανεξαρτησίας vi. Το τετράεδρο και ο κύβος vii. Το Θεώρηµα του Dehn...99 Συµ εράσµατα ιδακτικές ροεκτάσεις Βιβλιογραφία...107

6 8 Αφιερώνεται στην Όλγα, το Θοδωρή και τη Βασιλική

7 9 Αντί ρολόγου Η αρούσα δι λωµατική εργασία αναφέρεται κυρίως σε δυο θέµατα τα ο οία σχετίζονται µε την αλγεβρική ε ίλυση γεωµετρικών ροβληµάτων. Πρόκειται για την αυτόµατη (αλγοριθµική) ε ίλυση γεωµετρικών ροβληµάτων και το τρίτο ρόβληµα του Hilbert. Αν θελήσουµε να το οθετήσουµε σε ιστορικό λαίσιο τα γεγονότα, θα ρέ ει να ξεκινήσουµε α ό το δεύτερο µισό του 19 ου αιώνα την ε οχή ου η ανακάλυψη των µη Ευκλείδειων γεωµετριών, η ραγδαία ανά τυξη του Λογισµού, ου είχε ροηγηθεί, και η εµφάνιση των αραδόξων, κλόνισαν τα µέχρι τότε θεωρούµενα ως στέρεα θεµέλια της µαθηµατικής γνώσης. Μ ορούµε αράλληλα να φτάσουµε µέχρι το δεύτερο µισό του 20 ου αιώνα, όταν αρουσιάστηκε αλγοριθµική διαδικασία για την εύρεση βάσης Groebner. Έτσι, στο ρώτο µέρος της αρούσας ροσ αθούµε να εριγράψουµε την ατµόσφαιρα ου ε ικρατούσε στην αρχή αυτής της εριόδου, αναφέροντας τα διάφορα ρεύµατα και ως το καθένα α ό αυτά αντιλαµβανόταν τα µαθηµατικά αντικείµενα. Ε ίσης, θα αναφερθούν οι ροσ άθειες ε αναθεµελίωσης των Frege, Russel, Hilbert και άλλων, µέχρι το άδοξο τέλος των ροσ αθειών για λήρη τυ ο οίηση των µαθηµατικών, ου ε ήλθε µε την αρουσίαση των θεωρηµάτων του Kurt Gödel. Κορυφαία στιγµή της ε οχής µ ορεί να θεωρηθεί η διάλεξη του Hilbert στο Παρίσι στην ανατολή του εικοστού αιώνα και η αρουσίαση των είκοσι τριών ροβληµάτων του. Στο τέταρτο κεφάλαιο αρουσιάζουµε µια α λή εκδοχή του τρίτου ροβλήµατος και συγκεκριµένα εξετάζουµε κατά όσο είναι δυνατό, εφαρµόζοντας στοιχειώδεις µεθόδους, δηλαδή χωρίς να καταφύγουµε σε ά ειρες διαδικασίες, να βρούµε τύ ο ου να υ ολογίζει τον όγκο ο οιουδή οτε ολυέδρου. Παραθέτοντας µια α όδειξη ου οφείλεται στον Dehn Max, α οδεικνύουµε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο αφού, µε αυτές

8 10 τις µεθόδους, δεν µ ορούµε να «µετασχηµατίσουµε» ένα κανονικό τετράεδρο σε κύβο ου να έχει τον ίδιο όγκο. Η εµφάνιση των ηλεκτρονικών υ ολογιστών και η ραγδαία εξά λωσή τους σε συνδυασµό µε το ότι σε ολλές ερι τώσεις εκτελούν διεργασίες ου µοιάζουν µ αυτές του ανθρώ ινου νου, άρχισε να γεννά ερωτηµατικά ως ρος την ύ αρξη ή µη ύ αρξη ορίου στην εξέλιξη των µηχανών. Συγκεκριµένα ανέκυψαν ερωτήµατα ό ως: Μ ορούν οι µηχανές να σκέ τονται; Μ ορούν να α οδεικνύουν µαθηµατικές ροτάσεις; Στο τρίτο µέρος αρουσιάζουµε τον τρό ο µε τον ο οίο διάφορα θεωρήµατα της ευκλείδειας γεωµετρίας, ου µ ορούν να «µεταφραστούν» µε µορφή ολυωνυµικών εξισώσεων, α οδεικνύονται αλγοριθµικά. Βέβαια ο ροβληµατισµός και η συζήτηση για το κατά όσο µια τέτοια α όδειξη ρέ ει να θεωρηθεί ως µαθηµατικά έγκυρη, εξακολουθεί να υφίσταται. Για την καλύτερη αρακολούθηση του µαθηµατικού µέρους κρίναµε σκό ιµο, στο δεύτερο κεφάλαιο να αραθέσουµε τα σχετικά µε τις αλγεβρικές δοµές, ό ως τις έννοιες της οµάδας, του δακτυλίου, του σώµατος και του διανυσµατικού χώρου, ε ιµένοντας ιδιαίτερα στους δακτυλίους των ολυωνύµων µιας ή ερισσοτέρων µεταβλητών. Στο σηµείο αυτό, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον ε ιβλέ οντα καθηγητή κ. Ευάγγελο Ρά τη τόσο για την ευκαιρία ου µου έδωσε να ασχοληθώ µε δυο ιδιαιτέρα ελκυστικά θέµατα, όσο και για την ολύ λευρη υ οστήριξη του κατά τη διάρκεια της εκ όνησης. Ε ίσης τους ανα ληρωτές καθηγητές κ. Βάρσο και Λά α ιονύσιο για τις εύστοχες αρατηρήσεις τους στην όλη διάρθρωση της δι λωµατικής εργασίας. Τελειώνοντας το ρολογικό αυτό σηµείωµα θα ήθελα ε ίσης να ευχαριστήσω όλους τους συντελεστές του Προγράµµατος Μετα τυχιακών Σ ουδών για τη συνεργασία τους και ιδιαίτερα το συνάδελφο και φίλο Θανάση Τζιώτζιο µε τον ο οίο ορευθήκαµε αράλληλα σε όλη τη διάρκεια του Προγράµµατος.

9 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τα θεµέλια των Μαθηµατικών Συχνά ο 19 ος αιώνας όταν αναφερόµαστε στα µαθηµατικά, συνδυάζεται µε τη λεγόµενη κρίση στα θεµέλια των µαθηµατικών. Σε κάθε συζήτηση ου αναφέρεται στα θεµέλια των µαθηµατικών αρουσιάζονται τρία βασικά ρεύµατα (σχολές): Ο λατωνισµός, ο φορµαλισµός και ο ιντουισιονισµός. 1.1.i. Ο Πλατωνισµός Σύµφωνα µε τον Πλατωνισµό, ου έλκει την καταγωγή του α ό το Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστηµα, τα µαθηµατικά αντικείµενα είναι ραγµατικά. Η ύ αρξή τους είναι ένα αντικειµενικό γεγονός, εντελώς ανεξάρτητο α ό τη γνώση µας γι αυτά. Συγκεκριµένα, τα µαθηµατικά αντικείµενα: Υ άρχουν έξω α ό τον χώρο και το χρόνο της φυσικής ύ αρξης. Περιγράφουν αναλλοίωτες δοµικές σχέσεις ενός σύµ αντος αναλλοίωτων αντικειµένων και δεν υ όκεινται σε χωροχρονικές µεταβολές. εν εξαρτώνται α ό τη δυνατότητα ή µη του µαθηµατικού να τα συλλάβει. Ο µαθηµατικός για τον Πλατωνιστή είναι ένας εµ ειρικός ε ιστήµονας ό ως ο γεωλόγος και δεν µ ορεί να εφεύρει τί οτε ε ειδή όλα υ άρχουν ήδη. Οι µαθηµατικές αλήθειες υ άρχουν ανεξάρτητα α αυτόν και αναµένουν υ οµονετικά την εξερεύνηση τους. Ο µαθηµατικός δεν δηµιουργεί αλλά ανακαλύ τει µαθηµατικά. Η χρήση σχηµάτων, γραµµών και εικόνων σχετίζεται µε την αισθητηριακή αρατήρηση ου υ οβοηθάει στη σύλληψη των ιδεών και όχι στην εφεύρεσή τους. Πολλές φορές η ανακάλυψη των µαθηµατικών αληθειών ερνάει µέσα

10 12 α ό δαιδαλώδεις κατασκευαστικές διαδικασίες. Αυτές είναι α αραίτητες για την ανακάλυψη της αλήθειας αλλά δεν α οτελούν α αραίτητο συστατικό της. Μια µαθηµατική ρόταση είναι αληθής ή όχι, ε ειδή αντιστοιχεί ή όχι σε κά οια συγκεκριµένα δοµικά χαρακτηριστικά του σύµ αντος των µαθηµατικών ιδεών τα ο οία εριγράφει. Η συγκεκριµένη κατασκευή και γενικά η διαδικασία ου θα χρησιµο οιηθεί για την ανακάλυψη της αίζει ρόλο καθαρά βοηθητικό και αντι ροσω εύει το µίτο της Αριάδνης για την έξοδο α ό το λαβύρινθο. Η έξοδος α ό το λαβύρινθο υ άρχει ανεξάρτητα α ό το µίτο. Ο Πλατωνισµός κυριάρχησε για αρκετούς αιώνες α οτελώντας έναν α ό τους βασικότερους αστερισµούς στο φιλοσοφικό στερέωµα, σε βαθµό ου ολλές φορές εµ όδισε την ανά τυξη αντίθετων φιλοσοφικών ρευµάτων. Ο Gödel τον θεώρησε ως τη µόνη ολοκληρωµένη α άντηση στο µεταφυσικό ρόβληµα της ύ αρξης ή µη ύ αρξης των µαθηµατικών οντοτήτων. Ε ίσης, ο Frege ως ένα βαθµό θα µ ορούσε ε ίσης να θεωρηθεί σαν θιασώτης του. Πριν α ό αυτούς Πλατωνιστές ήταν οι Newton, Leibniz, Descartes. Ο Πλατωνισµός, ως φιλοσοφικό σύστηµα, γοητεύει και έλκει τους µαθηµατικούς σε µεγαλύτερο οσοστό α ότι άλλους ε ιστήµονες. Το γεγονός αυτό οφείλεται, ιθανώς, στο ότι το αντικείµενο ενασχόλησης των µαθηµατικών δεν έχει τον υλικό χαρακτήρα του αντικειµένου ενασχόλησης των ε ιστηµόνων άλλων κλάδων (.x. φυσικών ε ιστηµόνων). Η αισθητηριακή αντίληψη αίζει εντελώς δευτερεύοντα ρόλο και η ανακάλυψη συγκεκριµένων αληθειών µε τη µορφή θεωρηµάτων ακολουθεί διαδροµές ου δίνουν την εντύ ωση ως είναι καθαρά νοητικές. Ανα τύσσεται δηλαδή ένα είδος ε ο τείας (intuition) ου βοηθάει τους µαθηµατικούς να διαµορφώσουν, α ό ένα στάδιο και έρα, την εντύ ωση ως αυτή η ε ο τεία α οτελεί ένα στοιχείο του νοητικού τους ο λισµού, κατάλληλο για να αίξει ρόλο στην ανακάλυψη αληθειών τελείως ανάλογο µε το ρόλο ου αίζει η αισθητηριακή αντίληψη στις ε ιστήµες της φύσης.

11 ii. Ο Φορµαλισµός Σύµφωνα µε το φορµαλισµό, του ο οίου θεµελιωτής υ ήρξε ο Hilbert ( ) δεν υ άρχουν µαθηµατικά αντικείµενα. Α λά τα µαθηµατικά α οτελούνται α ό αξιώµατα, ορισµούς και θεωρήµατα - µε άλλα λόγια α ό τύ ους. Α ό µια ακραία ά οψη, υ άρχουν κανόνες µε τους ο οίους φτάνουµε α ό τον ένα τύ ο στον άλλο, αλλά οι τύ οι δεν αφορούν τί οτε. Είναι α λά σειρές συµβόλων. Βέβαια ο φορµαλιστής γνωρίζει ότι οι µαθηµατικοί τύ οι εµφανίζονται και στα φυσικά ροβλήµατα. Όταν δίνεται µια φυσική ερµηνεία σε έναν τύ ο, αυτός α οκτά µια σηµασία ου µ ορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Αλλά αυτή η αλήθεια ή η σφαλερότητα έχουν να κάνουν µε τη συγκεκριµένη φυσική ερµηνεία. Ως καθαρά µαθηµατικός τύ ος δεν έχει κανένα νόηµα και καµία τιµή αληθείας. 1.1.iii. Ο Ιντουισιονισµός Οι φορµαλιστές και οι Πλατωνιστές αντιµετω ίζουν α ό αντίθετες λευρές το ζήτηµα της ύ αρξης και της ραγµατικότητας. Αλλά δε διαφωνούν για το οιες αρχές συλλογισµού ε ιτρέ ονται να χρησιµο- οιούνται στην µαθηµατική ρακτική. Ο τρό ος δηµιουργίας µαθηµατικών ήταν γι αυτούς «υ εράνω άσης υ οψίας». Αντίθετοι και µε τους δυο είναι οι ιντουισιονιστές. Ιδρυτής της σχολής των ιντουισιονιστών, η ο οία αµφισβήτησε την υ άρχουσα µαθηµατική ρακτική και θεσµοθέτησε την ανάγκη ξεκαθαρίσµατός της, υ ήρξε ο Ολλανδός µαθηµατικός L. E. J. Brouwer ( ). Τα ιντουισιονιστικά µαθηµατικά ξεκινούν α ό διαφορετικές µαθηµατικές ροϋ οθέσεις και ακολουθώντας διαφορετικές λογικές αρχές α ό αυτές της κλασικής λογικής, διατυ ώνουν διαφορετικά θεωρήµατα α ό αυτά των κλασικών µαθηµατικών. Σ αυτά µ ορούµε να υ οστηρίξουµε την ύ αρξη µιας οντότητας x στο βαθµό ου µ ορούµε να δώσουµε έναν αλγόριθµο

12 14 ου βήµα ρος βήµα υ ολογίζει /κατασκευάζει την οντότητα x. Έτσι, για αράδειγµα, η συνε αγωγή µ ορεί να δικαιολογηθεί µόνο α ό µια κατασκευή η ο οία µετατρέ ει κάθε δεδοµένη δικαιολόγηση της υ όθεσης, σε µια δικαιολόγηση του συµ εράσµατος. Τα κλασικά µαθηµατικά δέχονται τις αρχές της κλασικής λογικής (ταυτότητας, µη αντίφασης, α όκλισης τρίτου). Η τελευταία δεν ισχύει στα ιντουισιονιστικά µαθηµατικά, ό ου, ό ως τονίζει ο Brower «η ύ αρξη µαθηµατικού συστήµατος ου ικανο οιεί ένα σύνολο αξιωµάτων δεν µ ορεί οτέ να α οδειχθεί α ό τη συνέ εια του λογικού συστήµατος ου βασίζεται σ αυτά τα αξιώµατα, αλλά µόνο µε κατασκευή. Α fortiori (κατά µείζονα λόγο) δεν είναι βέβαιο ότι κάθε µαθηµατικό ρόβληµα µ ορεί είτε να λυθεί είτε να α οδειχθεί ότι δεν λύνεται» Προβλήµατα στα θεµέλια 1.2.i. Ο Ευκλείδης και η αξιωµατική θεµελίωση της Γεωµετρίας Το ρώτο γνωστό αξιωµατικό σύστηµα αρουσιάστηκε α ό τον Ευκλείδη γύρω στο 300.Χ. και α ό τότε η ροσέγγιση αυτή α οτελεί την ροσέγγιση κάθε αραγωγικής ε ιστήµης. Αυτό εριλαµβάνει: 23 ορισµούς βασικών εννοιών, 5 αιτήµατα και 5 (7 ή κατ άλλους 9) κοινές έννοιες. Οι ορισµοί αυτοί δεν αξιώνουν την ύ αρξη των καθοριζόµενων εννοιών. Η ύ αρξή τους θα στηριχθεί σε αιτήµατα είτε θα α οδειχθεί στις ροτάσεις. Α ό εκεί και έρα, κάθε ρόταση ου διατυ ώνεται, ροκύ τει είτε α ευθείας α ό τα δοµικά συστατικά του συστήµατος, είτε µε τη βοήθεια της λογικής, µέσω των κανόνων συµ ερασµού, α ό ροηγουµένως α οδειχθείσες ροτάσεις. Βασικοί όροι (σύνδεσµοι) της λογικής είναι η συνε αγωγή, η αντίστροφη συνε αγωγή και η αντιθετοαντίστροφη συνε αγωγή. Συνε αγωγή των ροτάσεων Ρ, Q µε υ όθεση (ηγούµενη) την Ρ και συµ έρασµα (ε όµενη) την Q είναι µια ρόταση της µορφής

13 15 και συµβολίζεται P Q. «Αν Ρ, τότε Q» ή «Ρ συνε άγεται Q» Μια συνε αγωγή είναι ψευδής µόνο αν η Ρ είναι αληθής και η Q ψευδής. Η συνε αγωγή Q Ρ λέγεται αντίστροφη της P Q. Αν οι P, Q είναι είτε και οι δύο αληθείς είτε και οι δυο ψευδείς, τότε λέµε ότι είναι ισοδύναµες και συµβολίζουµε P Q. Η συνε αγωγή Q P, ό ου P, Q είναι οι αρνήσεις των Ρ, Q, λέγεται αντιθετοαντίστροφη της P Q. υο αντιθετοαντίστροφες συνε αγωγές έχουν το ίδιο λογικό εριεχόµενο δηλαδή είναι ισοδύναµες. Στα «Στοιχεία» εφαρµόζονται οι ακόλουθες τρεις α οδεικτικές µέθοδοι: Η συνθετική: Σύµφωνα µε αυτή, ροκειµένου να α οδείξουµε µια ρόταση, χρησιµο οιούµε τους ορισµούς, τα αξιώµατα και άλλες ήδη γνωστές ροτάσεις ( ου κι αυτές, µε τη σειρά τους, α ορρέουν α ό τα αξιώµατα και τους ορισµούς) και µε λογικούς συλλογισµούς καταλήγουµε στην α οδεικτέα. Η αναλυτική: Σύµφωνα µε αυτή για να α οδείξουµε µια ρόταση Ρ, αναζητούµε µια ρόταση Ρ1 της ο οίας η ισχύ εγγυάται και την ισχύ της Ρ, κατό ιν µια άλλη Ρ 2 α ό την ο οία α ορρέει η Ρ 1 κ.ο.κ. µέχρι να καταλήξουµε σε µια αληθή ρόταση Ρ ν α ό την ο οία ροκύ τει η Ρν-1. Έτσι η α όδειξη της Ρ ροκύ τει µε αφετηρία την αληθή ρόταση Ρν και τις συνε αγωγές Ρν Ρν-1 Ρ2 Ρ1 Ρ. Η εις άτο ον α αγωγή: Σύµφωνα µε αυτήν, για να α οδείξουµε µια συνε αγωγή P Q δεχόµαστε αρχικά ότι αληθεύει η αντίθετη της. Χρησιµο οιώντας, ό ως ριν, τα αξιώµατα και άλλες γνωστές ροτάσεις καταλήγουµε σε µία ρόταση η ο οία αντιφάσκει είτε µε κά οιο αξίωµα είτε µε κά οιαν άλλη ρόταση, ου ήδη έχει α οδειχθεί ότι αληθεύει. Η αντίφαση ροκύ τει, ροφανώς, ε ειδή ξεκινήσαµε α ό µια λαθεµένη υ όθεση και αίρεται αν δεχτούµε την αλήθεια της αρχικής ρότασης.

14 16 Η α αγωγή σε άτο ο συχνά συνδέεται µε την αντιθετοαντίστροφη συνε αγωγή χωρίς φυσικά να είναι το ίδιο. Για την ακρίβεια η α αγωγή σε άτο ο της P Q α οδίδεται µε την συνε αγωγή (P Q) (S S) ό ου η ρόταση S µ ορεί να είναι ο οιαδή οτε. Ο ιο συνηθισµένος κανόνας συµ ερασµού είναι ο κανόνας α όσ ασης (modus ponens) ου διατυ ώνεται µε την εξής µορφή «Αν p αληθής και p q αληθής, τότε q αληθής». 1.2.ii. Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες Μέχρι τις ρώτες δεκαετίες του 19 ου αιώνα η γεωµετρία του Ευκλείδη θεωρείτο ως ο ιο σταθερός, ο ιο αξιό ιστος κλάδος της γνώσης. Οι αλήθειες της µας ε ιβάλλονται µε τον τρό ο ου λειτουργεί η νόησή µας. Ο Kant ( ), στο ερίφηµο έργο του «Κριτική του Καθαρού Λόγου», θεωρεί ότι η Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι η µόνη γεωµετρία την ο οία µ ορεί να αντιληφθεί ο ανθρώ ινος νους, εξαιτίας της δοµής του εγκεφάλου του. Α ό αυτή την ά οψη καταλήγει στο συµ έρασµα ότι η γνώση του χώρου δεν είναι εµ ειρική, αλλά υ άρχει a priori. ιάφοροι νέοι κλάδοι, ό ως ο α ειροστικός λογισµός, κατανοήθηκαν και νοµιµο οιήθηκαν µέσα α ό το δεσµό τους µε την γεωµετρία η ο οία µέχρι εκείνη την ε οχή ήταν α λά γεωµετρία και µελετούσε τις ιδιότητες του χώρου. Ο όρος Ευκλείδεια γεωµετρία άρχισε να χρησιµο οιείται αφότου ανακαλύφθηκαν µη Ευκλείδειες γεωµετρίες και έγινε α οδεκτό ότι ήταν νοητές ερισσότερες α ό µια γεωµετρίες. Το έµ το αίτηµα του Ευκλείδη, αν και φαίνεται συµβατό µε τη διαίσθηση, εντούτοις ο τρό ος ου διατυ ώθηκε έδωσε την αίσθηση σε ολλούς µαθηµατικούς ότι ρόκειται για κάτι ιο ολύ λοκο ώστε να ονοµαστεί αίτηµα και µάλλον θα έ ρε ε να α οδειχθεί ως ρόταση. Προς την κατεύθυνση αυτή φαίνεται να συνηγορεί και το ότι ο Ευκλείδης καθυστέρησε όσο το δυνατόν ερισσότερο να το χρησιµο οιήσει ( ρώτη χρήση του γίνεται

15 17 στην ρόταση Ι. 29, ενώ είχε ήδη α οδείξει το αντίστροφό του στην ρόταση Ι. 17). Έτσι ακολούθησαν ροσ άθειες οι ο οίες ε ικεντρώθηκαν είτε στην κατάργηση και την α όδειξη του µέσω των άλλων αιτηµάτων, είτε στην αντικατάστασή του µε ένα ιο α οδεκτό ισοδύναµο αίτηµα. Α ό τα διάφορα υ οκατάστατα αξιώµατα ου ροέκυψαν κατά καιρούς, το λέον συνηθισµένο είναι το α οκαλούµενο αξίωµα του Playfair: «Α ό ένα δεδοµένο σηµείο, ου δεν βρίσκεται άνω σε µια δεδοµένη ευθεία, µ ορούµε να φέρουµε µια µόνο ευθεία αράλληλη ρος τη δεδοµένη» αρόλο ου είχε χρησιµο οιηθεί και διατυ ωθεί ήδη α ό τον 5 ο αιώνα µ. Χ. α ό τον νεο λατωνικό φιλόσοφο Πρόκλο. Με τη µορφή αυτή φαίνεται να χρησιµο οιήθηκε, χωρίς να αναφέρεται, α ό τον Κλαύδιο Πτολεµαίο ( ερί ου 150 µ.χ.) στην ιο αλιά α ό ειρα α όδειξης 5 ου αιτήµατος ου µας είναι γνωστή. Πάνω στην άρνηση του αιτήµατος αυτού βασίστηκε η ρώτη και σηµαντικότερη µορφή µη ευκλείδειας γεωµετρίας ου είναι η υ ερβολική γεωµετρία. Πρόκειται για τον τύ ο γεωµετρίας στην ο οία αληθεύουν τα τέσσερα ρώτα αιτήµατα του Ευκλείδη, το έµ το όµως αντικαθίσταται α ό την ρόταση «υ άρχουν ερισσότερες α ό µια ευθείες διερχόµενες α ό σηµείο και αράλληλες σε δοθείσα ευθεία». Η ε ίσηµη ρωτιά της ανακάλυψης της υ ερβολικής γεωµετρίας ανήκει στους Janos Bolyai ( ) και Nikolai Lobatcevsky ( ), έναν Ούγγρο και έναν Ρώσο, οι ο οίοι δηµοσίευσαν σε βιβλίο το 1832 και 1829, αντίστοιχα, ανεξάρτητα ο ένας α ό τον άλλο, ότι αυτός ο τύ ος γεωµετρίας α οτελεί συλλογή θεωρηµάτων το ίδιο σηµαντική µε εκείνη της Ευκλείδειας γεωµετρίας. Και οι δυο συµµερίζονταν την ά οψη ότι η υ ερβολική γεωµετρία µ ορούσε να εριγράψει τον φυσικό µας χώρο κατά τρό ο εξίσου ε αρκή µε εκείνον της Ευκλείδειας γεωµετρίας.

16 18 Η σ ουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης είναι ανυ ολόγιστη. Για ερισσότερες α ό δυο χιλιάδες χρόνια κυριαρχούσε η αίσθηση ότι η Ευκλείδεια γεωµετρία ήταν α αραίτητα η γεωµετρία του χώρου. Τα µαθηµατικά και η Φυσική συνυφαίνονταν τόσους αιώνες µε το νήµα αυτής της ίστης. Η υ ερβολική γεωµετρία έδειξε ότι υ άρχουν και άλλες εριγραφές του χώρου ροσιτές στην ανθρώ ινη νόηση. Η µελέτη του φυσικού χώρου έρασε στην ε ικράτεια της φυσικής και τα µαθηµατικά α έκτησαν έναν ιο αφηρηµένο χαρακτήρα. Κατέστη λέον φανερό ότι µ ορούσε κανείς να ξεκινήσει µε ένα τυχαίο σύνολο αξιωµάτων και να µελετήσει τις αφηρηµένες συνέ ειές τους. Ένα άλλο καθοριστικό γεγονός ου ε έδρασε καταλυτικά στις διεργασίες ου ακολούθησαν ήταν η ανά τυξη της ανάλυσης σε βαθµό ου κυρίευσε τη γεωµετρική ενόραση, ό ως η ανακάλυψη των καµ ύλων ου γεµίζουν το χώρο ή των συνεχών καµ ύλων ου δεν είναι ουθενά διαφορίσιµες. Αυτές οι συγκλονιστικές εκ λήξεις έδειξαν όσο ευ ρόσβλητο είναι ένα στέρεο θεµέλιο άνω στο ο οίο είχε θεωρηθεί ότι στηρίζονται τα µαθηµατικά. Η α ώλεια της βεβαιότητας στη γεωµετρία ήταν φιλοσοφικά ανυ όφορη ε ειδή υ ονοούσε την α ώλεια κάθε βεβαιότητας στην ανθρώ ινη γνώση. 1.2.iii. Οι ρώτες ροσ άθειες ε αναθεµελίωσης Οι µαθηµατικοί του δέκατου ένατου αιώνα µε ρωτεργάτες τους Dedekind και Weiertrass αναζήτησαν στην αριθµητική το θεµέλιο των µαθηµατικών. Στην ροσ άθειά τους αυτή ήταν αναγκαίο να δώσουν µια δοµή στο γραµµικό συνεχές, δηλαδή στο σύστηµα των ραγµατικών αριθµών και να δείξουν ως αυτό µ ορούσε να δηµιουργηθεί α ό τους ακεραίους 1, 2, 3, Όλες οι διαφορετικοί µέθοδοι ου ροτάθηκαν, α ό τους Dedekind, Cantor και Weiertrass, στην ροσ άθειά τους να ορίσουν ή να κατασκευάσουν έναν ραγµατικό αριθµό, χρειάστηκε να χρησιµο οιήσουν α ειροσύνολα ρητών αριθµών. Αυτό σηµαίνει ότι η ροσ άθεια αναγωγής

17 19 της ανάλυσης και της γεωµετρίας στην αριθµητική α αιτούσε την εισαγωγή α ειροσυνόλων στη θεµελίωση των µαθηµατικών. Η θεωρία των συνόλων ανα τύχθηκε α ό τον Cantor ο ο οίος θεώρησε ότι η ιδέα του συνόλου ήταν τόσο α λή και θεµελιώδης, ου θα µ ορούσε να γίνει ο θεµέλιος λίθος στη δόµηση όλων των µαθηµατικών. Στην αρχή η θεωρία συνόλων σχετίστηκε µε τη λογική καθότι η σχέση του εριέχεσθε στη θεωρία συνόλων µ ορεί να γραφεί µε τη µορφή συνε αγωγής «αν Α τότε Β». Οι νόµοι της λογικής θεωρήθηκαν αντικειµενικοί και αναµφισβήτητοι. Έτσι υ ήρξε µια ροσ άθεια αναγωγής των µαθηµατικών στη λογική µέσα α ό το ρόγραµµα των λογικιστών. Κύριοι εκφραστές αυτής της ροσ άθειας ήταν οι Russell και Whitehead µε το βιβλίο τους Principa Mathematica. Ε ίσης ο Frege ανέλαβε ένα ρόγραµµα θεµελίωσης της αριθµητικής (αριθµητική και ανάλυση) διαµέσου ορισµών και λογικών νόµων, το ο οίο ανάγει την αριθµητική (τις κύριες έννοιες και τους νόµους της ) σε γενικότατες αρχές της σκέψης. Παρόλες αυτές τις ροσ άθειες όµως, ο ίδιος ο Russell ανακάλυψε ότι η έννοια του συνόλου εριείχε α ρόσµενες αγίδες ου οδηγούσαν σε αντιφάσεις, ου ονοµάστηκαν αράδοξα. Ας δούµε σε τι συνίσταται το αράδοξο του Russell. Την ε οχή εκείνη κυριαρχούσε η εντύ ωση ότι για την εριγραφή ενός συνόλου αρκούσε µια ιδιότητά του. Θεωρούσαν δηλαδή, οι µαθηµατικοί, σαν σύνολο ο οιαδή οτε συλλογή αντικειµένων (νοητών ή µη) και ίστευαν ως, δεδοµένης µιας ιδιότητας, τα αντικείµενα ου την ικανο οιούν α οτελούν τα στοιχεία µιας τέτοιας συλλογής. Εδώ, ρέ ει να τονιστεί, ότι τα στοιχεία του συνόλου µ ορεί να είναι ε ίσης σύνολα, και ότι η έννοια του συνόλου χρησιµο οιείται διαισθητικά ό ως ορίστηκε α ό τον Cantor. Στο λαίσιο αυτό, ολλά σύνολα δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους, ενώ άλλα είναι. Έτσι, για αράδειγµα, το σύνολο των ανθρώ ων δεν είναι άνθρω ος, ενώ το σύνολο των αφηρηµένων ιδεών είναι αφηρηµένη ιδέα.

18 20 Ας θεωρήσουµε το σύνολο Α={x: x x}. Τότε έχουµε είτε είτε Α Α, ο ότε Α Α σύµφωνα µε την ορίζουσα ιδιότητα των στοιχείων του Α Α Α, ο ότε Α Α σύµφωνα µε την ορίζουσα ιδιότητα των στοιχείων του Α. Έτσι, και στις δυο ερι τώσεις, καταλήγουµε στο αράδοξο συµ έρασµα ότι το Α είναι και δεν είναι στοιχείο του Α. 1.2.iv. Τα νέα θεµέλια. Τυ ικά αξιωµατικά συστήµατα. Αυτή η κρίση στα θεµέλια ήταν το κεντρικό θέµα στις διαµάχες ου έλαβαν χώρα στο ρώτο τέταρτο του εικοστού αιώνα. Για το ξε έρασµα της κρίσης υ ήρξαν τρεις ροτάσεις θερα είας. Η ρώτη ρόταση της σχολής των «λογικιστών» µε εκφραστές τους Frege και Russell ε ιδίωκε να βρει µια αναδιατύ ωση της θεωρίας συνόλων, ικανή να α οφύγει το αράδοξο του Russell και να εδραιώσει τα µαθηµατικά άνω στη λογική. Στην ροσ άθειά τους αυτή η θεωρία συνόλων έγινε µια ολύ λοκη δοµή ου δύσκολα αναγνωριζόταν λέον ως λογική. Ο ίδιος ο Russell αραδέχεται ότι «µετά α ό είκοσι χρόνια υ ερβολικά ε ί ονης εργασίας, έφθασα στο συµ έρασµα ότι δεν µ ορούσα να κάνω τί οτε ερισσότερο για να γίνει η µαθηµατική γνώση αναµφισβήτητη». Η δεύτερη σχολή ήταν αυτή των ιντουισιονιστών µε κύριο εκφραστή τον L. E. J. Brouwer. Η θέση του ήταν ότι οι φυσικοί αριθµοί µας δίνονται α ό µια θεµελιώδη ενόραση ου είναι το σηµείο εκκίνησης για όλα τα

19 21 µαθηµατικά. Τα µαθηµατικά αντικείµενα έχουν νόηµα και υ άρχουν µόνο αν δοθούν µε µια κατασκευή, σε ε ερασµένα βήµατα, ξεκινώντας α ό τους φυσικούς αριθµούς. Το γεγονός ότι η άρνηση της ύ αρξης οδηγεί σε αντίφαση δεν αρκεί. Αρχές ό ως ο νόµος της τριχοτοµίας δεν είναι α οδεκτές στα ιντουισιονιστικά µαθηµατικά. Στην ροσ άθειά του να τεκµηριώσει αυτή την άρνηση κατασκεύασε ( εριέγραψε) αριθµό για τον ο οίο δεν είµαστε σε θέση να α οδείξουµε κατασκευαστικά ότι είναι θετικός, αρνητικός ή µηδέν. Η τρίτη σχολή των φορµαλιστών µε κύριο εκφραστή τον Hilbert, ανέ τυξε ρόγραµµα θεµελίωσης των µαθηµατικών ου ε εδίωκε να υ ερβεί τις εγγενείς αδυναµίες του λογικισµού διατυ ώνοντας το ρόγραµµα του ερατοκρατισµού (finitism) το ο οίο ροέβλε ε την κωδικο οίηση των µαθηµατικών σε µια τυ ική γλώσσα. Στο ρόγραµµα ανασυγκρότησης του Hilbert δεν αµφισβητείται η αντικειµενική ύ αρξη των στοιχειωδών µαθηµατικών οντοτήτων, ενώ ροβάλλεται η άµεση ε ο τικότητα και αναγνωσιµότητα των αληθών ροτάσεων. Παραµένει όµως η ένταση µεταξύ διαισθητικής αλήθειας και α οδειξιµότητας (provability). Έτσι εγείρεται το ερώτηµα, οιες διαισθητικές αληθείς ροτάσεις ροκύ τουν ως θεωρήµατα µέσα στα λαίσια ενός αξιωµατικού συστήµατος; Ο Ευκλείδης στην θεµελίωσή του, ου ήδη έχουµε εκθέσει, δεν χρησιµο οίησε α ροσδιόριστους όρους και στηρίχθηκε υ ερβολικά στη διαίσθηση κατά την ανά τυξη των ε ιχειρηµάτων του. Ο Morris Kline συνόψισε µε τον ακόλουθο εύστοχο τρό ο το ρόβληµα µε την Ευκλείδεια ροσέγγιση «η Ευκλείδεια Γεωµετρία φιλοδόξησε να ροσφέρει ακριβείς α οδείξεις θεωρηµάτων τα ο οία υ οβάλλει η διαίσθηση, αντ αυτού όµως έδωσε διαισθητικές α οδείξεις σχηµάτων σχεδιασµένων µε ακρίβεια». Οι εξελίξεις αυτές κλόνισαν την ίστη στα «διαισθητικά» ροφανή δεδοµένα των αξιωµατικών συστηµάτων και αναζήτησαν συστήµατα αξιωµάτων ό ου η διαίσθηση θα είχε εριοριστεί δραστικά ή θα είχε

20 22 εξαλειφθεί. Έτσι ροέκυψε η δηµιουργία των τυ ικών αξιωµατικών συστηµάτων. Ένα τυ ικά αξιωµατικό σύστηµα α οτελείται α ό ορισµένους α ροσδιόριστους όρους, ιθανώς α ό κά οιους ροσδιορισµένους όρους (βασισµένους στους α ροσδιόριστους όρους), ορισµένες διατυ ώσεις α οκαλούµενες αξιώµατα και άλλες διατυ ώσεις ου καλούνται θεωρήµατα και τα ο οία συνάγονται λογικά α ό τα αξιώµατα. Τα αξιώµατα, ουσιαστικά, αρέχουν την α αραίτητη γνώση για τους α ροσδιόριστους όρους. Ο φορµαλισµός θεωρεί τα µαθηµατικά ως ένα αιχνίδι ανάλογο µε το σκάκι ό ου τα ιόνια και η σκακιέρα «αίζουν» συµβολικούς ρόλους ή ως γενική θεωρία των συµβολικών αιχνιδιών ή ακόµα ως ένα σύστηµα λήρους νοήµατος ου αφορά συµβολικά αντικείµενα στη βάση των ο οίων ανα τύσσεται στη συνέχεια το µαθηµατικό αιχνίδι (Resnik 1980). Ο Hilbert θεώρησε την φορµαλιστική ερµηνεία των µαθηµατικών ως το αναγκαίο τίµηµα για να ετύχει τη βεβαιότητα. Ο ίδιος στην οµιλία του µε τον τίτλο «On the Infinite» αναφέρει: «Ο στόχος της θεωρίας µου είναι να εδραιώσω µια και καλή τη βεβαιότητα των µαθηµατικών µεθόδων Η τωρινή κατάσταση ως ρος τα αράδοξα, είναι αφόρητη. Σκεφθείτε µόνο ότι στα µαθηµατικά, το ρότυ ο της βεβαιότητας και της αλήθειας, οι ορισµοί και οι µέθοδοι αραγωγής ου όλοι µαθαίνουν, διδάσκουν και χρησιµο οιούν, οδηγούν σε αραλογισµούς! Και ου θα βρει κανείς βεβαιότητα και αλήθεια, αν ακόµα και η µαθηµατική σκέψη είναι ατελής;» Η δουλειά του Hilbert στη Γεωµετρία στο τέλος του 19 ου αιώνα εκ ροσω εί το α οκορύφωµα όλων αυτών των θεµελιωτικών εξελίξεων. Το ρόγραµµα εφαρµόστηκε στο έργο του «Θεµέλια της Γεωµετρίας» (1899) και σήµανε το τέλος στον ουσιαστικό ρόλο της διαίσθησης στην γεωµετρία. Παρόλο ου η χωρική διαίσθηση ή αρατήρηση αραµένει η ηγή των αξιωµάτων της

21 23 Ευκλείδειας Γεωµετρίας, στα γρα τά του Hilbert ο ρόλος της διαίσθησης και της αρατήρησης είναι α οκλειστικά εριορισµένος στο να δοθούν κίνητρα και να είναι ευρετικός. Εφόσον τα αξιώµατα έχουν διατυ ωθεί, η διαίσθηση και η αρατήρηση εξαφανίζονται. εν είναι µέρος των µαθηµατικών. Το 1900 ο Hilbert στο διεθνές συνέδριο µαθηµατικών ου διεξήχθη στο Παρίσι σε οµιλία του «Μαθηµατικά ροβλήµατα» εµφανίστηκε και µιλώντας σαν ροφήτης των µαθηµατικών ε ιτευγµάτων ου θα έφερνε ο ε όµενος αιώνας, αρουσίασε µια λίστα α ό 23 ροβλήµατα ου θεωρούσε σηµαντικότερο να λυθούν. Στην εισαγωγή του, ου θύµιζε εµψυχωτικό λόγο ριν α ό ένα σηµαντικό αγώνα, ο Hilbert ενθάρρυνε το µαθηµατικό του ακροατήριο µε την διαβεβαίωση ότι όσο δύσκολα και αν φαίνονται κά οια ροβλήµατα, η νίκη είναι ανα όφευκτη. «Η ε οίθηση ότι όλα τα µαθηµατικά ροβλήµατα µ ορούν να λυθούν, α οτελεί για µας ισχυρό κίνητρο. Μέσα µας ακούµε το αέναο κάλεσµα: Ιδού το ρόβληµα. Ψάξε για τη λύση του. Μ ορείς να την βρείς µέσω του καθαρού λόγου, γιατί στα µαθηµατικά δεν υ άρχουν ignorabimus» και κατέληγε: «Πρέ ει να µάθουµε, θα µάθουµε (We must know, We shall know)». Κά οια α ό τα ιο γνωστά εκ των ροβληµάτων είναι τα ακόλουθα: η υ όθεση του συνεχούς, η καλή διάταξη των ραγµατικών αριθµών, η εικασία του Goldbach, η υ ερβατότητα των δυνάµεων αλγεβρικών αριθµών, η υ όθεση του Rieman κτλ. Α ό αυτά άλλα έχουν α αντηθεί είτε θετικά είτε αρνητικά, για άλλα, ό ως για την υ όθεση του συνεχούς, έχει α οδειχθεί ότι δεν µ ορούµε να α οφανθούµε και άλλα είναι ακόµη άλυτα.

22 24 Στο τέταρτο µέρος της αρούσας εργασίας θα ασχοληθούµε µε το τρίτο εκ των ροβληµάτων το ο οίο στη µορφή ου θα το δια ραγµατευθούµε διατυ ώνεται ως εξής: Είναι δυνατόν να διαµερίσουµε, µε τη βοήθεια ε ι έδων, ένα κανονικό τετράεδρο σε ε ερασµένα µέρη τα ο οία αν ε ικολληθούν κατάλληλα να µας δώσουν κύβο; 1.2.v. Συνέ εια ανεξαρτησία- ισοδυναµία ληρότητα Ένα αξιωµατικό σύστηµα καλείται ασυνε ές αν οδηγεί σε κά οια αντίφαση, αν δηλαδή είναι δυνατόν να α οδειχθεί στο λαίσιό του ότι µια ρόταση είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής. Συνήθως, ως τέτοια ε ιλέγεται ένα αξίωµα του ο οίου η αλήθεια θεωρείται κατά τετριµµένο τρό ο εξασφαλισµένη. Ένα αξίωµα σε ένα συνε ές αξιωµατικό σύστηµα λέγεται εξαρτηµένο, αν µ ορεί να α οδειχθεί βάσει των άλλων αξιωµάτων του. Κατά συνέ εια, ένα τέτοιο αξίωµα εριττεύει. Ένα αξίωµα είναι ανεξάρτητο αν δεν µ ορεί να α οδειχθεί βάσει των άλλων αξιωµάτων. υο αξιωµατικά συστήµατα ου εριλαµβάνουν τους ίδιους α ροσδιόριστους όρους λέγονται ισοδύναµα, αν σε καθένα α ό αυτά µ ορούν να συναχθούν τα ίδια θεωρήµατα. υο ισοδύναµα αξιώµατα µ ορούν να θεωρηθούν ως υ οκατάστατα αξιώµατα µε την έννοια ότι το ένα µ ορεί να υ οκαταστήσει το άλλο, χωρίς να ε έλθει καµία αλλαγή στο εριεχόµενο του αξιωµατικού συστήµατος. Ένα αξιωµατικό σύστηµα λέγεται λήρες (complete), όταν, µ ορούµε να α οφανθούµε για την ισχύ ή όχι, κάθε ρότασης η ο οία µ ορεί να διατυ ωθεί µε τους όρους και τα αξιώµατα του συστήµατος. Αυτό, ισοδύναµα, σηµαίνει ότι δεν είναι δυνατόν να ροσθέσουµε στο σύστηµα κι ένα άλλο ανεξάρτητο αξίωµα.

23 vi. Το άδοξο τέλος. Ο Kurt Gödel Τελικά η βεβαιότητα των µαθηµατικών µεθόδων ου αναζητούσε ο Hilbert δεν ε ρόκειτο να βρεθεί ούτε µε το τίµηµα της φορµαλιστικής ερµηνείας. Το 1931, ο Αυστριακός Kurt Gödel δηµοσίευσε µία εργασία, ου ανέτρεψε καταρχήν την αντίληψη ότι το σύστηµα µεγεθών, ου α οτελούν οι φυσικοί αριθµοί, µ ορεί να εριγραφεί λήρως µε ένα ε ερασµένο σύστηµα αξιωµάτων. Το λεγόµενο θεώρηµα µη ληρότητας του Gödel λέει ουσιαστικά ότι: Αν, ο οιαδή οτε φορµαλιστική θεωρία ου είναι ε αρκής για να εριλάβει την θεωρία των ακεραίων αριθµών, είναι συνε ής, τότε είναι κατ ανάγκη µη λήρης. Στην συνέχεια, και µε βάση αυτό το θεώρηµα, ο Gödel µε το δεύτερο θεώρηµά του α έδειξε ότι οτέ δεν θα µ ορέσουµε να α οδείξουµε αυτοτελώς την συνέ εια ενός αρκετά εκτενούς συστήµατος αξιωµάτων. Πάντα θα είµαστε αναγκασµένοι να καταφύγουµε σε αρχές ου βρίσκονται έξω α ό το σύστηµα ου εξετάζουµε. Η συνέ εια ο οιουδή οτε µαθηµατικού συστήµατος, ου είναι αρκετά εκτενές για να εριλαµβάνει την αριθµητική των ακεραίων αριθµών, δεν µ ορεί να ε ιβεβαιωθεί µόνο µε τις λογικές αρχές ου αυτό εριλαµβάνει. Τα θεωρήµατα αυτά έφεραν τέλος σε µισό αιώνα ροσ αθειών, ου ξεκίνησαν α ό το έργο του Frege και κορυφώθηκαν µε το Principa Mathematica και τη διατύ ωση του Hilbert, για να βρεθεί ένα σύνολο αξιωµάτων, ικανό για όλα τα µαθηµατικά, αφού άντα θα υ άρχουν µη α οκρίσιµες ροτάσεις, δηλαδή ροτάσεις των ο οίων η αλήθεια δεν µ ορεί ούτε να α οδειχθεί ούτε να διαψευσθεί θέτοντας ένα αδυσώ ητο όριο. Αυτό σηµαίνει ότι δεν υ άρχει η δυνατότητα α άντησης όλων των µαθηµατικών ερωτηµάτων. Ό ως εύστοχα έγραψε ο Γάλλος οιητής και φιλόσοφος Mallarmé: «Αν ο κόσµος υ άρχει για να καταλήξει σε ένα βιβλίο, ο Γκέντελ έδειξε ότι αυτό το βιβλίο θα έχει άντα κά οιες λευκές σελίδες».

24 26 ενώ ο Γάλλος µαθηµατικός André Weil αρατήρησε: «Ο θεός υ άρχει αφού τα µαθηµατικά είναι συνε ή και ο διάβολος υ άρχει αφού δεν µ ορούµε να το α οδείξουµε.» 1. 3 Οι ηλεκτρονικοί υ ολογιστές 1.3.i. Οι υ ολογιστές και ο ανθρώ ινος νους Στα µέσα του 20ου αιώνα, δηµιουργήθηκαν οι ρώτοι ψηφιακοί υ ολογιστές και ένα α ό τα ρώτα ερωτήµατα ου τέθηκαν αφορούσε τα όρια των δυνατοτήτων ενός υ ολογιστή, δεδοµένου ότι ε ιτελεί λειτουργίες ου µοιάζουν ολύ µε αυτές του ανθρώ ινου εγκεφάλου. Συγκεκριµένα ο ροβληµατισµός ου ανα τύχθηκε ήταν κατά όσο υ ήρχε η δυνατότητα «να σκέ τονται οι µηχανές». Τον Οκτώβριο του 1950 στο Mind: A Quarterly Review of Psychology and Philosophy ο Βρετανός µαθηµατικός Alan Turing, έθεσε το ερώτηµα για ρώτη φορά σαν σοβαρό θεωρητικό ζήτηµα. Στο ερώτηµα αν οι µηχανές µ ορούν να σκέφτονται, το άρθρο του Alan Turing α αντούσε θετικά. Η µηχανή για την ο οία µιλούσε ο Turing ήταν µια φανταστική κατασκευή µε την ονοµασία «καθολική µηχανή». Μια τέτοια µηχανή (υ ολογιστής) µε τον κατάλληλο ρογραµµατισµό θα µ ορούσε να ροσοµοιώσει τη λειτουργία του ανθρώ ινου εγκέφαλου. Ο ίδιος ρότεινε ένα ολύ α λό αλλά α οτελεσµατικό τεστ ου θα µ ορούσε να α αντάει στο ερώτηµα αν µια συγκεκριµένη µηχανή ήταν µία σκε τόµενη µηχανή ή όχι. Ονόµασε το τεστ αυτό «Το Παιχνίδι της Μίµησης». Έτσι γεννήθηκε η Τεχνητή Νοηµοσύνη (Artificial Intelligence), ένας καινούργιος κλάδος θεωρητικής αναζήτησης, µια καινοτόµος ροσέγγιση σε ένα α ό τα αρχαιότερα ερωτήµατα της ανθρώ ινης ιστορίας σχετικά µε τη φύση του ανθρώ ινου νου. Μέσα α ό αυτή την ροσέγγιση, αναδεικνύονται ερωτήµατα ό ως οια είναι τα όρια µεταξύ του «ανθρώ ινου» και της «τεχνολογίας» ή µεταξύ του «φυσικού» και

25 27 του «τεχνητού». Και σ αυτά όµως τα ερωτήµατα εµ λέκονται τα θεωρήµατα του Kurt Gödel. Η ρώτη εργασία ου ε εσήµανε τη σύνδεση ανάµεσα στο ρώτο θεώρηµα µη ληρότητας του Gödel και τη φύση του ανθρώ ινου νου δηµοσιεύτηκε το 1961 α ό τον Οξφορδιανό φιλόσοφο John Lucas. Η ε ιχειρηµατολογία του Lucas είναι α λή. Όσο ερί λοκες µηχανές «σκέψης» και αν κατασκευάσουµε, άντα η λειτουργία τους θα βασίζεται σε ροκαθορισµένους κανόνες ου µ ορούν να διατυ ωθούν σε ένα τυ ικό σύστηµα. Έτσι, όταν φερ ει είν θα ζητάµε α ό τη µηχανή να βρει οιες ροτάσεις είναι αληθείς, για να εκτελέσει την εντολή µας, θα ελέγχει οιες ροτάσεις συµφωνούν µε τους κανόνες του συστήµατος. Ε οµένως, θα υ άρχει κά οια ρόταση ου η µηχανή δεν θα µ ορεί να κατατάξει ως αληθή, δηλαδή ως α οδείξιµη βάσει των κανόνων - την ίδια ρόταση, όµως, ο ανθρώ ινος νους θα µ ορεί να τη συλλάβει ως αληθή. Όσο και αν βελτιώσουµε τη µηχανή µας ροσθέτοντας υ ό µορφή αξιωµάτων τις ροτάσεις ου ροηγουµένως της διέφευγαν, άντα θα υ άρχει κά οια ρόταση ου θα της διαφεύγει ενώ εµείς όχι: Η µηχανή θα είναι ανίκανη να αράγει αυτόν τον τύ ο ως αληθή, αρόλο ου ένας νους θα καταλάβαινε ότι είναι αληθής. Άρα και άλι η µηχανή δεν θα α οτελεί ένα ικανο οιητικό µοντέλο του νου. Προσ αθούµε να δηµιουργήσουµε ένα µοντέλο του νου ου θα είναι µηχανικό ουσιαστικά, δηλαδή, «νεκρό» - αλλά ο νους ακριβώς ε ειδή είναι «ζωντανός», θα βρίσκεται άντα ένα βήµα µ ροστά σε σχέση µε ο οιοδή οτε τυ ικό α ολιθωµένο, νεκρό σύστηµα. Χάρη στο θεώρηµα του Gödel, ο νους θα έχει άντα τον τελευταίο λόγο. Στο ίδιο µήκος κύµατος ο διάσηµος φυσικός και µαθηµατικός Penrose υ οστηρίζει ότι αυτό ου α οδεικνύουν τα θεωρήµατα του Gödel είναι ότι η ανθρώ ινη σκέψη, ακόµη και στην ιο τεχνική και κανονιστική της µορφή, δηλαδή στα µαθηµατικά, χρησιµο οιεί διαδικασίες ανακάλυψης της

26 28 αλήθειας ου δεν µ ορούν να αναχθούν στις µηχανιστικές διεργασίες ου ρογραµµατίζεται να εκτελεί ένας υ ολογιστής. Άλλοι άλι ό ως ο εκ των κορυφαίων της ε ιστήµης των υ ολογιστών Daniel Hillis σχετικά µε αυτές τις α όψεις αυτές υ οστηρίζουν ότι: «Πρόκειται για ένα ε ιχείρηµα το ο οίο αγγίζει το συναίσθηµά µας Ανεξάρτητα α ό το αν τα ανθρώ ινα όντα έχουν την ικανότητα να κάνουν διαισθητικά άλµατα τα ο οία αραµένουν αδύνατα για τους υ ολογιστές, το θεώρηµα δεν µας αρέχει κανένα λόγο να ιστέψουµε ότι υ άρχουν µαθηµατικές ροτάσεις ου µ ορεί να α οδείξει ένας µαθηµατικός αλλά όχι και ένας υ ολογιστής». Έτσι το ερώτηµα τίθεται µε τη µορφή. Μέχρι ου µ ορεί να φθάσει ο υ ολογιστής; Μ ορεί εφοδιασµένος µε κατάλληλα ρογράµµατα, να αράγει µαθηµατικές α οδείξεις; 1.3.ii. Το ρόβληµα των τεσσάρων χρωµάτων Το 1976 οι Kenneth Appel και Wolfang Haken ανακοίνωσαν ότι α έδειξαν την «υ όθεση των τεσσάρων χρωµάτων». Η υ όθεση αυτή είχε ήδη µια ιστορία 124 ετών. ιατυ ώθηκε αρχικά ως µαθηµατική εικασία το 1852 α ό τον Francis Guthrie και ροτάθηκε ως ρόβληµα α ό τον Caley στην Μαθηµατική Εταιρεία του Λονδίνου το Ας δούµε όµως µε α λά λόγια την εν λόγω υ όθεση ου αναφέρει ότι κάθε χάρτης σε ε ί εδο ή σε σφαίρα µ ορεί να χρωµατιστεί χωρίς να χρησιµο οιήσουµε ερισσότερα α ό τέσσερα διαφορετικά χρώµατα. Οι εριορισµοί ου έθετε το ρόβληµα ήταν οι ακόλουθοι: υο χώρες µε κοινά σύνορα δεν ρέ ει να έχουν ίδιο χρώµα. Αν δυο χώρες συναντιούνται µόνο σε ένα σηµείο, τότε ε ιτρέ εται να έχουν το ίδιο χρώµα. Οι χώρες µ ορεί να έχουν ο οιοδή οτε σχήµα, αλλά κάθε χώρα ρέ ει να α οτελείται α ό ένα µόνο ενιαίο κοµµάτι.

27 29 Η ανακοίνωση των Appel και Haken, έρα α ό το γεγονός ότι ε ικύρωσε την υ όθεση ενός διάσηµου ροβλήµατος, είχε την ιδιαιτερότητα ότι η α όδειξη εριείχε ρογράµµατα υ ολογιστή και το α οτέλεσµα ροέκυ τε α ό τους υ ολογισµούς σύµφωνα µε τα ρογράµµατα. Η χρήση αυτή του υ ολογιστή ήταν εντελώς διαφορετική α ό τις µέχρι τότε χρήσεις του στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά ή τη θεωρία αριθµών. Στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά, ο υ ολογιστής χρησιµεύει α λώς στο να υ ολογίσουµε µια ροσεγγιστική α άντηση, όταν η θεωρία δεν είναι σε θέση να µας δώσει µια ακριβή α άντηση. Στη θεωρία αριθµών όταν για αράδειγµα µελετάµε την κατανοµή των ρώτων αριθµών ο υ ολογιστής αίζει το ρόλο του δότη δεδοµένων. Και στις δυο ερι τώσεις η µηχανή δεν υ εισέρχεται στα αυστηρά µαθηµατικά της α όδειξης. Στην ρώτη αίζει το ρόλο υ οκατάστατου ου χρησιµο οιείται σε εκείνη την εριοχή ου δεν µ ορεί να άει η θεωρία, ενώ στη δεύτερη το ρόλο του βοηθού στα λαίσια της ευρετικής µεθόδου. Στο ρόβληµα των τεσσάρων χρωµάτων η κατάσταση είναι εντελώς διαφορετική. Οι Appel και Haken ισχυρίστηκαν ότι διέθεταν µια οριστική, λήρη και αυστηρή α όδειξη. Αυτό έδωσε τροφή για διάφορες συζητήσεις, τόσο µεταξύ των φιλοσόφων, όσο και των µαθηµατικών. Οι συζητήσεις αυτές αναδεικνύουν τον ροβληµατισµό τους σχετικά µε την έννοια της αυστηρής α όδειξης και κατά όσο η συγκεκριµένη α όδειξη ανήκει ή όχι στο σύνολο των έγκυρων µαθηµατικών α οδείξεων. Α ό τη σκο ιά του φιλοσόφου, η χρήση του υ ολογιστή ως ουσιαστικού τµήµατος της α όδειξης εριλαµβάνει µια α οδυνάµωση των δεδοµένων της µαθηµατικής α όδειξης. Η α ουσία αραγωγικού συλλογισµού για την ιστο οίηση της µαθηµατικής γνώσης την υ οβαθµίζει στο ε ί εδο της κοινής γνώσης. Α ό τη σκο ιά των µαθηµατικών άλλοι θεώρησαν την α όδειξη Appel - Haken ως µια έµ νευση και δικαίωση, ενώ άλλοι ένιωσαν α ογοήτευση όταν δια ίστωσαν ότι αυτό ου βρισκόταν στον υρήνα της α όδειξης, δεν ήταν κά οια αστραφτερή σύλληψη ή µια όµορφη ιδέα και ότι αυτή

28 30 ροέκυψε µε ανάλυση του ροβλήµατος σε χιλιάδες ερι τώσεων (η α όδειξη στηρίζεται σε αναλύσεις ερι τώσεων µε ένα σύνολο ενός δισεκατοµ- µυρίου λογικών ε ιλογών) και διαδοχική εισαγωγή όλων αυτών στον υ ολογιστή. Οι α όψεις ό ως και «κατά την ά οψή µου µια τέτοια λύση δεν ανήκει στην µαθηµατική ε ιστήµη» «ο Θεός δεν θα ε έτρε ε να α οδειχθεί το θεώρηµα µε µια µέθοδο τόσο α αίσια όσο αυτή!!!» είναι ενδεικτικές του κλίµατος ου δηµιουργήθηκε. Σε αυτό άντως ου συµφωνούσαν όλοι είναι ότι η α όδειξη των Appel και Haken δεν µ ορεί να θεωρηθεί µαθηµατικά όµορφή ή κοµψή δικαιώνοντας τον Hardy ο ο οίος στην «Α ολογία ενός µαθηµατικού» είχε υ οστηρίξει ότι «Τα µαθηµατικά σχεδιάσµατα ρέ ει να είναι όµορφα. Η οµορφιά είναι το ρώτο κριτήριο. εν υ άρχει µόνιµη θέση στον κόσµο για άσχηµα µαθηµατικά Η «α αρίθµηση ερι τώσεων» είναι, ραγµατικά, µια α ό τις ιο ληκτικές µορφές µαθηµατικής ε ιχειρηµατολογίας. Μια µαθηµατική α όδειξη ρέ ει να µοιάζει µε έναν α λό και ευδιάκριτο αστερισµό και όχι µε ένα νεφέλωµα διασκορ ισµένο στο Γαλαξία µας.», Ο ίδιος ανέφερε ως θεωρήµατα ου ο κάθε µαθηµατικός θα αραδεχθεί ότι είναι ρώτης τάξεως την α όδειξη του Ευκλείδη για την ύ αρξη α είρου λήθους ρώτων αριθµών και αυτή του Πυθαγόρα για το ότι το άρρητος. 2 είναι Εδώ, στο τρίτο µέρος της αρούσας εργασίας θα ασχοληθούµε µε την αλγοριθµική α όδειξη θεωρηµάτων της ευκλείδειας γεωµετρίας αρουσιάζοντας ένα α ό τα σηµαντικότερα εργαλεία της υ ολογιστικής αλγεβρικής γεωµετρίας, τον αλγόριθµο Buchberger. Στον αλγόριθµο αυτό η είσοδος (input) είναι ένα σύστηµα ολυωνυµικών εξισώσεων ολλών µεταβλητών και η έξοδος (output) ένα ισοδύναµο σύστηµα εξισώσεων το

29 31 ο οίο ονοµάζεται βάση Groebner. Ο αλγόριθµος Buchberger είναι µια ωραία γενίκευση των αλγορίθµων εύρεσης του µέγιστου κοινού διαιρέτη στην ερί τωση των ολυωνύµων µιας µεταβλητής και της α αλοιφής Gauss για την ε ίλυση συστηµάτων γραµµικών ολυωνυµικών εξισώσεων µε ολλούς αγνώστους. Ο λόγος για τον ο οίο ο αλγόριθµος αυτός έχει ευρύτερο εδίο εφαρµογής βρίσκεται στο ότι ολλά µαθηµατικά ροβλήµατα µ ορούν να τυ ο οιηθούν και να αναχθούν στην ε ίλυση ολυωνυµικών συστηµάτων.

30 32

31 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πράξεις 2.1.i. ιµελής ράξη Έστω Ε ένα σύνολο διαφορετικό α ό το κενό. ιµελή ράξη στο Ε λέµε µια συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Ε Ε και τιµές στο σύνολο Ε. Παρατηρήσεις 1. Αντί του όρου διµελή ράξη, ολλές φορές χρησιµο οιούµε τους όρους ράξη ή και εσωτερική ράξη. Ε ίσης λέµε ότι το σύνολο Ε είναι εφοδιασµένο µε µια ράξη. 2. Ο συµβολισµός ου χρησιµο οιούµε για τις ράξεις, α οδίδεται είτε ροσθετικά (+), είτε ολλα λασιαστικά ( ) είτε µε άλλο σύµβολο ό ως,, κτλ. 3. Ανάλογα µε το σύµβολο της ράξης, αντί του συνηθισµένου συναρτησιακού συµβολισµού f((α, β))=γ, γράφουµε α+β=γ, α β=γ κτλ. Παραδείγµατα 1. Αν για ο οιουσδή οτε θετικούς ρητούς α, β ορίσουµε α α β=, τότε η β ισότητα αυτή ορίζει ράξη στο σύνολο των θετικών ρητών. 2. Αν για ο οιουσδή οτε θετικούς ακέραιους α, β ορίσουµε α α β=, τότε η β ισότητα αυτή δεν ορίζει ράξη στο σύνολο των θετικών ακεραίων καθότι το α οτέλεσµα δεν εριέχεται άντοτε στο σύνολο αυτό. 2.1.ii. Ιδιότητες των ράξεων Έστω Ε ένα σύνολο εφοδιασµένο µε µια ράξη. Λέµε ότι η ράξη:

32 34 Είναι αντιµεταθετική στο Ε, όταν για ο οιαδή οτε α, β Ε ισχύει α β=β α. Είναι ροσεταιριστική στο Ε, όταν για ο οιαδή οτε α, β, γ Ε ισχύει (α β) γ=α (β γ). Έχει ουδέτερο στοιχείο στο Ε, όταν υ άρχει e Ε ώστε για κάθε α Ε ισχύει α e=e α=α. Παρατηρήσεις 1. Α οδεικνύεται ότι το ουδέτερο της ράξης, όταν υ άρχει, είναι µοναδικό. 2. Αν µια ράξη έχει ουδέτερο e και για κάθε α Ε υ άρχει α Ε ώστε α α =α α=e, τότε λέµε ότι το α είναι το συµµετρικό του α ως ρος την ράξη. 3. Αν µια ράξη είναι ροσεταιριστική, τότε κάθε στοιχείο του Ε έχει το ολύ ένα συµµετρικό Οµάδες 2.2.i. Οµάδα Έστω G ένα σύνολο εφοδιασµένο µε µια ράξη. Λέµε ότι το G είναι οµάδα ως ρος την ράξη αυτή, όταν: Η ράξη είναι ροσεταιριστική. Η ράξη έχει ουδέτερο στοιχείο e. Κάθε στοιχείο α του G έχει συµµετρικό α στο G. Παρατηρήσεις 1. Όταν το σύνολο G εφοδιασµένο µε την ράξη είναι οµάδα, τότε µιλάµε για την οµάδα (G, ). 2. Αν ε ι λέον η ράξη είναι και αντιµεταθετική, τότε η οµάδα λέγεται αντιµεταθετική ή αβελιανή.

33 35 3. Όταν η ράξη είναι ολλα λασιαστική, το ουδέτερο του ολλα- λασιασµού το συµβολίζουµε µε 1 και το λέµε µοναδιαίο στοιχείο ή µονάδα. Ε ίσης, το συµµετρικό του α το συµβολίζουµε µε α -1 και το λέµε αντίστροφο του α. 4. Όταν η ράξη είναι ροσθετική, το ουδέτερο της ρόσθεσης το συµβολίζουµε µε 0 και το λέµε µηδενικό στοιχείο ή µηδέν. Ε ίσης, το συµµετρικό του α το συµβολίζουµε µε -α και το λέµε αντίθετο του α. Παραδείγµατα * 1. Το σύνολο ( C, ) είναι οµάδα µε ουδέτερο στοιχείο το 1 και συµµετρικό του τυχαίου στοιχείου z, το z Το σύνολο ( Z, ) δεν είναι οµάδα, καθότι δεν εριέχει το συµµετρικό τυχαίου στοιχείου του. 3. Το σύνολο F όλων των συναρτήσεων µε εδίο ορισµού το R είναι οµάδα µε ράξη την ρόσθεση των συναρτήσεων µε ουδέτερο στοιχείο τη µηδενική συνάρτηση 0 µε την ιδιότητα 0(x)=0 για κάθε x R και συµµετρικό του τυχαίου στοιχείου της f, τη συνάρτηση f µε την ιδιότητα ( f)(x)=-f(x) για κάθε x R Για κάθε n Z οι n ρίζες της εξίσωσης z n =1 σχηµατίζουν ολλα λασιαστική οµάδα ου τη λέµε ολλα λασιαστική οµάδα των νιοστών ριζών της µονάδας. 2.2.ii. Υ οοµάδα Έστω (G, ) µια οµάδα και Η υ οσύνολο του G. Αν το Η είναι οµάδα ως ρος τον εριορισµό της ράξης στο Η, τότε λέµε ότι το Η είναι υ οοµάδα της G και συµβολίζουµε H G. Α οδεικνύεται ότι: H G α β 1 Η για κάθε α, β Η

34 36 Παράδειγµα. Στην οµάδα F των ραγµατικών συναρτήσεων, ου έχουµε ήδη αναφέρει, το υ οσύνολό της ου α οτελείται α ό τις συνεχείς συναρτήσεις είναι υ οοµάδα της F καθόσον το άθροισµα συνεχών συναρτήσεων είναι συνάρτηση συνεχής, η µηδενική συνάρτηση είναι συνεχής και για ο οιαδή οτε συνάρτηση f, η f είναι ε ίσης συνεχής. 2.2.iii. Οµοµορφισµοί οµάδων. Έστω (G, ) και (G, ) δυο οµάδες. Μια α εικόνιση f: G G λέγεται οµοµορφισµός µεταξύ των (G, ), (G, ) όταν για κάθε α, β G ισχύει Ένας οµοµορφισµός ο ο οίος είναι f(α β) = f(α) f(β). ένα ρος ένα, λέγεται µονοµορφισµός ε ί, λέγεται ε ιµορφισµός ένα ρος ένα και ε ί, λέγεται ισοµορφισµός. Παρατηρήσεις 1. Οι οµοµορφισµοί διατηρούν τις δοµές. Έτσι α εικονίζουν το ουδέτερο της G στο ουδέτερο της G και το συµµετρικό ενός στοιχείου α της G στο συµµετρικό του στοιχείου f(α) της G. Ε ίσης η εικόνα µιας υ οοµάδας της G µέσω ενός οµοµορφισµού f είναι υ οοµάδα της G. 2. Όταν υ άρχει ένας ισοµορφισµός µεταξύ δυο οµάδων (G, ), (G, ), τότε λέµε ότι αυτές είναι ισόµορφες και συµβολίζουµε G G. 3. Αν δυο οµάδες είναι ισόµορφες, τότε δοµικά δεν αρουσιάζουν καµία διαφορά και α ό «οµαδοθεωρητική» σκο ιά τις θεωρούµε ως ταυτιζόµενες.

35 37 Παραδείγµατα 1. Αν θεωρήσουµε την ροσθετική οµάδα (R, +) και την ολλα- λασιαστική (R *, ) τότε η α εικόνιση f:r R * µε f(x)=2 x είναι οµοµορφισµός οµάδων. 2. Αν F είναι η ροσθετική οµάδα όλων των συναρτήσεων µέσω των ο οίων α εικονίζεται το R στο R και έχουν αράγωγο κάθε τάξης, και R η ροσθετική οµάδα των ραγµατικών αριθµών, τότε η φ: R R µε φ(f)= f είναι οµοµορφισµός οµάδων. 2.2.iv. Το σύνολο Zn Έστω n ένας θετικός ακέραιος. Στο σύνολο των ακεραίων ορίζουµε µια σχέση ( ) ως εξής: Για ο οιαδή οτε α, β Z ορίζουµε α β β-α=κn για κά οιο ακέραιο κ Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναµίας (ανακλαστική συµµετρική- µεταβατική) και ως τέτοια διαµερίζει το Z σε κλάσεις ισοδυναµίας ου τις λέµε κλάσεις υ ολοί ων mod.n. Το σύνολο των κλάσεων αυτών το συµβολίζουµε µε Z n και συνηθίζεται να το αναφέρουµε ως σύνολο ακεραίων modulo n. Αν α ό κάθε κλάση ε ιλέξουµε έναν αντι ρόσω ο, τότε για κάθε θετικό ακέραιο n έχουµε Zn = {0, 1, 2,,n-1} ό ου το 0 αντι ροσω εύει όλους τους αριθµούς της µορφής κm, το 1 όλους τους αριθµούς της µορφής κn+1 κτλ. Στο σύνολο αυτό τα α οτελέσµατα των γνωστών ράξεων ρόσθεσης και ολλα λασιασµού ορίζονται µέσω των αντι ροσώ ων τους. Έτσι για αράδειγµα στο Z 4 είναι 2+3=1, αφού στο σύνολο αυτό ο αντι ρόσω ος του εξαγόµενου (5) της ράξης είναι το 1. Για τον ίδιο λόγο στο Z 4 ισχύει: 2 3=2.

36 38 Α οδεικνύεται ότι το (Z 4, +) είναι αβελιανή οµάδα και το υ οσύνολό της {0, 2} είναι υ οοµάδα σε αντίθεση µε το {0, 3} ου δεν είναι υ οοµάδα καθόσον δεν είναι κλειστό ως ρος την ρόσθεση αφού 3+3=2 και 2 {0, 3}. 2.2.v. Τάξη οµάδας Αν (G, ) είναι µια οµάδα, τότε τον ληθάριθµο G του συνόλου G τον λέµε τάξη της οµάδας. Αν ο αριθµός G είναι ε ερασµένος τότε λέµε ότι η οµάδα είναι ε ερασµένης τάξης, ενώ αν δεν είναι ε ερασµένος, λέµε ότι η οµάδα είναι ά ειρης τάξης. Σύµβαση: Στα ε όµενα ό ου δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό θεωρούµε ότι η οµάδα στην ο οία αναφερόµαστε είναι ολλα λασιαστική. 2.2.vi. Κυκλική οµάδα. Αν µια οµάδα G µ ορεί να αραχθεί α ό ένα µόνο στοιχείο της α, τότε λέµε ότι η οµάδα είναι κυκλική και συµβολίζουµε G=<α>. Παρατηρήσεις 1. Το στοιχείο α λέγεται γεννήτορας της οµάδας η ο οία α οτελείται α ό όλες τις δυνάµεις της µορφής α κ, µε κ=0, ±1, ±2, Α οδεικνύεται ότι, αν α είναι τυχαίο στοιχείο της G, τότε το Η={α n /n Z } είναι υ οοµάδα της G και τη λέµε κυκλική υ οοµάδα <α> της G ου αράγεται α ό το α. 3. Αν οι δυνάµεις α κ είναι διακεκριµένες, τότε η G είναι κυκλική ά ειρης τάξης, και το α λέµε ότι είναι ά ειρης τάξης. 4. Αν υ άρχει ελάχιστος n ώστε α n =1, τότε η G είναι κυκλική τάξης n και το στοιχείο α λέµε ότι είναι τάξης n. 5. Κάθε υ οοµάδα κυκλικής οµάδας είναι κυκλική. 6. Κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή.

37 39 7. υο ο οιεσδή οτε κυκλικές οµάδες µε την ίδια ε ερασµένη τάξη είναι ισόµορφες. Παράδειγµα Αν θεωρήσουµε την οµάδα U n των νιοστών ριζών της µονάδας στο C, τότε αυτή είναι κυκλική τάξης n και αράγεται α ό το στοιχείο 2 2 α = συν + iηµ. n n 2.2.vii. Σύµ λοκα Αν Η είναι µια υ οοµάδα µιας οµάδας G, x G και Κ={x} τότε αντί για ΚΗ={xh: h Η} γράφουµε xη. Το xη λέγεται αριστερό σύµ λοκο της Η στην G. Ανάλογα ορίζεται και το δεξιό σύµ λοκο Ηx της Η στην G. Βασικές ισοδυναµίες Αν Η υ οοµάδα της G τότε Ηx=Ηy y Ηx yx -1 Η και xη=yη y xη x -1 y Η Συνέ εια Αν x, y G τότε είτε Ηx=Ηy είτε Ηx Ηy= ου σηµαίνει ότι τα σύµ λοκα διαµερίζουν την υ οοµάδα. Α οδεικνύεται ότι: 1. Τα σύµ λοκα µιας υ οοµάδας έχουν όλα την ίδια ισχύ (ίδιο ληθάριθµο). 2. Το λήθος των διακεκριµένων δεξιών συµ λόκων είναι ίδιο µε το λήθος των διακεκριµένων αριστερών συµ λόκων.

38 40 είκτης υ οοµάδας. Έστω G µια οµάδα. Αν συµβολίσουµε µε G/H το σύνολο των συµ λόκων µιας υ οοµάδας Η της G τότε το λήθος των στοιχείων του το λέµε δείκτη της υ οοµάδας Η στην G και το συµβολίζουµε µε G : H. 2.2.viii. Κανονική υ οοµάδα Έστω G µια οµάδα. συµβολίζουµε ταυτίζονται. Μια υ οοµάδα Η της G λέγεται κανονική και Η G όταν τα αριστερά και τα δεξιά σύµ λοκά της Οµάδα ηλίκο Έστω Η G. Στο σύνολο G/H των συµ λόκων της Η στην G ορίζουµε µια ολλα λασιαστική ράξη ως εξής: Αν Α, Β στοιχεία του G/H, τότε ΑΒ={αβ: α Α, β Β} Α οδεικνύεται ότι το σύνολο G/H α οτελεί οµάδα ως ρος την ράξη αυτή µε µοναδιαίο το σύµ λοκο Η. Την οµάδα αυτή την λέµε οµάδα ηλίκο της G ως ρος Η Σύνολα εφοδιασµένα µε δυο ράξεις 1.3.i. Ε ιµεριστική ιδιότητα Έστω Ε ένα σύνολο εφοδιασµένο µε δυο εσωτερικές ράξεις,. Αν για ο οιαδή οτε α, β, γ Ε ισχύουν α (β γ)=(α β) (α γ) και (α β) γ=(α γ) (β γ) τότε λέµε ότι η ράξη είναι ε ιµεριστική ως ρος την.