εισαγωγή του Ρ(χ) που είναι οι αριθµοί x1 =, x2 σχήµα 1 Θεωρώντας το πολυώνυµο Ρ(z)=z 3 -z 2 +z=z(z 2 -z+1) παρατηρούµε ότι οι = ενώ οι ρίζες 2 2
|
|
- Περσεύς Γούναρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 εισαγωγή ΘΕΩΡΗΜΑ GAUSS-LUCAS ΘΕΩΡΗΜΑ GAUSS-LUCAS Έστω Ρ(χ) ένα πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές και βαθµό τουλάχιστον 2.Σύµφωνα µε το θεώρηµα Rolle του διαφορικού λογισµού, µεταξύ δυο διαδοχικών ριζών του Ρ υπάρχει πάντοτε µια ρίζα της παραγώγου του Ρ. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Για παράδειγµα το πολυώνυµο Ρ(χ)=χ 2 -χ+1 δεν έχει πραγµατικές ρίζες, ενώ η παράγωγός του Ρ (χ)=2χ-1 έχει µια ρίζα χ= 1. Ωστόσο θεωρώντας τις µιγαδικές ρίζες 2 1 i 3 1+ i 3 του Ρ(χ) που είναι οι αριθµοί x1 =, x2 = και τις εικόνες 2 2 τους Α,Β στο επίπεδο (σχ.1), µπορούµε να πούµε και πάλι ότι κατά κάποιο τρόπο η ρίζα της παραγώγου είναι ανάµεσα στις ρίζες χ 1,χ 2 του Ρ(χ). ( ανάµεσα στα σηµεία Α και Β του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ). σχήµα 1 Θεωρώντας το πολυώνυµο Ρ(z)=z 3 -z 2 +z=z(z 2 -z+1) παρατηρούµε ότι οι 1 i 3 1+ i 3 ρίζες του είναι οι αριθµοί z 1 =0 και z2 =, z3 = ενώ οι ρίζες 2 2 της παραγώγου Ρ (z)=3z 2 1+ i 2 1 i 2-2z+1 είναι οι αριθµοί r 1 =, r 2 = 3 3 1
2 αν παραστήσουµε τις ρίζες αυτές στο επίπεδο θα πάρουµε το παρακάτω σχήµα 2. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή οι ρίζες της παραγώγου βρίσκονται µέσα στο τρίγωνο που ορίζουν οι ρίζες του πολυωνύµου. Στην εργασία αυτή θα δούµε ότι γενικά η θέση των (µιγαδικών) ριζών ενός (µιγαδικού) πολυωνύµου Ρ(z) δεσµεύει την θέση των ριζών της παραγώγου του Ρ (z). Συγκεκριµένα θα αποδείξουµε ότι οι ρίζες της παραγώγου ενός πολυωνύµου, ανήκουν στο κυρτό περίβληµα των ριζών του πολυωνύµου. Το αποτέλεσµα αυτό στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως θεώρηµα των Gauss-Lucas. Ας ξεκινήσουµε καταρχάς µε κάποιες υπενθυµίσεις για τις έννοιες που εµπλέκονται στην παραπάνω διατύπωση του θεωρήµατος. Πρώτα απ όλα εµφανίζεται η έννοια των ριζών ενός πολυωνύµου. Σύµφωνα µε το θεµελιώδες θεώρηµα της άλγεβρας ένα πολυώνυµο του C[z] µε βαθµό ν, δηλαδή ένα πολυώνυµο ν ου βαθµού µε µιγαδικούς συντελεστές και απροσδιόριστη µεταβλητή z, έχει πάντοτε ν ακριβώς µιγαδικές ρίζες, όπου κάθε ρίζα είναι µετρηµένη τόσες φορές, όσος είναι ο βαθµός πολλαπλότητάς της. 2
3 Έτσι δεδοµένου ότι ο αριθµός ρ είναι ρίζα του Ρ(z) αν και µόνο αν το z-ρ είναι παράγοντας του P(z), αν υποθέσουµε ότι z 1,z 2,,z είναι οι ρίζες του P(z) µε πολλαπλότητες m 1,m 2,,m τότε θα ισχύει m1 m2 m P(z)= ( z z1) ( z z2)...( z z ) (1) και για την παράγωγο θα έχουµε P (z)= m1 1 m2 m m1 ( z z1) ( z z2)...( z z ) m m m m ( z z1) ( z z2)...( z z ) m1 m2 + 1 m m2 ( z z1) ( z z2)...( z z ) (2) Από τις σχέσεις (1),(2) προκύπτει ότι P ( z) m1 m2 m = P( z) z z z z z z 1 2 για κάθε z z 1,z 2,,z (3) εύτερον, εµφανίζεται η έννοια του κυρτού περιβλήµατος ενός συνόλου σηµείων. Ένα υποσύνολο Μ του επιπέδου λέµε ότι είναι κυρτό, αν για κάθε ζεύγος σηµείων του Α, Β, το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ περιέχεται στο Μ. παράδειγµα 1. Το τρίγωνο, ο κύκλος και το παραλληλόγραµµο είναι κυρτά σχήµατα. (σχ.3) σχήµα 3 παράδειγµα 2. Κάθε κυρτό πολύγωνο είναι κυρτό σχήµα. (ένα πολύγωνο λέγεται κυρτό όταν η ευθείες που ορίζουν οι πλευρές του αφήνουν το πολύγωνο στο ίδιο ηµιεπίπεδο). σχ. 4 3
4 σχήµα 4 παράδειγµα 3. Τα παρακάτω σχήµατα δεν είναι κυρτά.(σχ.5) σχήµα 5 πρόταση 1. Η τοµή δυο κυρτών συνόλων είναι κυρτό σύνολο. απόδειξη Ας είναι Μ, Ν δυο κυρτά σύνολα και Α, Β δυο σηµεία που ανήκουν στην τοµή Μ Ν. Τότε Α Μ, Α Ν και Α Μ, Β Ν οπότε αφού τα Μ, Ν 4
5 είναι κυρτά θα έχουµε ΑΒ Μ και ΑΒ Ν δηλαδή ΑΒ Μ Ν κι έτσι η τοµή Μ Ν είναι κυρτό σύνολο. πρόταση 2. Η τοµή M i µιας οικογένειας συνόλων {Μ i } i I κυρτών i I συνόλων Μ i είναι κυρτό σύνολο. (Το σύνολο δεικτών Ι µπορεί να είναι πεπερασµένο ή άπειρο) απόδειξη Αν Μ= M i και Α, Β Μ τότε Α, Β Μ i για κάθε i I. Τότε όµως i I ΑΒ Μ i για κάθε i I, άρα ΑΒ Μ κι έτσι το Μ είναι κυρτό. παρατήρηση 2.1: Η ένωση δυο κυρτών συνόλων δεν είναι γενικά κυρτό σύνολο όπως βλέπουµε και στο παρακάτω σχήµα 6 σχήµα 6 Αν Μ είναι ένα τυχαίο υποσύνολο του επιπέδου, τότε υπάρχουν πάντοτε κυρτά σύνολα του επιπέδου που περιέχουν το Μ. (πχ ολόκληρο το επίπεδο είναι ένα τέτοιο σύνολο). Η τοµή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν το Μ, καλείται κυρτό περίβληµα του Μ και συµβολίζεται µε conv(m). 5
6 Οι παρακάτω ιδιότητες του κυρτού περιβλήµατος είναι προφανείς α) Μ conv(m) β) M=conv(M) M κυρτό. γ) το conv(m) είναι το ελάχιστο κυρτό σύνολο του επιπέδου που περι- έχει το Μ. Στα παρακάτω σχήµατα (σχ.6) βλέπουµε το conv(m) για κάποια σύνολα Μ σχήµα 7 6
7 Το κυρτό περίβληµα ενός πεπερασµένου συνόλου σηµείων του επιπέδου, που είναι και η περίπτωση που µας ενδιαφέρει στην παρούσα εργασία, είναι ένα κυρτό πολύγωνο µε κορυφές κάποια από τα εν λόγω σηµεία. σχήµα 8 Θα περιγράψουµε τώρα µια µέθοδο για την κατασκευή του κυρτού περιβλήµατος όταν το σύνολο Μ είναι πεπερασµένο σύνολο σηµείων. Έστω ότι Μ={Α,Β,C,D,E,F}. Επειδή το σύνολο Μ είναι πεπερασµένο, θα υπάρχει µια ευθεία a η οποία αφήνει όλα τα σηµεία στο ίδιο ηµιεπίπεδο. (σχ.8). Θεωρούµε το πλησιέστερο σηµείο Α προς την a και φέρνουµε παράλληλη b προς αυτήν. Και αυτή η ευθεία αφήνει στο ίδιο ηµιεπίπεδο όλα τα σηµεία του Μ εκτός του Α και κάποιων άλλων ενδεχοµένως σηµείων του Μ που απέχουν από την a την ίδια απόσταση µε το Α. Στρέφουµε τώρα την ηµιευθεία Αb περί το Α κατά την θετική φορά µέχρι να συναντήσουµε το πρώτο από τα υπόλοιπα σηµεία του Μ. Η γωνία στροφής προφανώς είναι µικρότερη ή ίση από και άρα είναι κυρτή. Ας είναι C το σηµείο του παραπάνω βήµατος. Το τµήµα ΑC είναι 7
8 τµήµα του συνόρου του κυρτού περιβλήµατος. Στρίβουµε στην συνέχεια κατά την θετική φορά την ηµιευθεία Cc µέχρι να εντοπίσουµε το πρώτο σηµείο F από τα εναποµείναντα σηµεία του Μ. To τµήµα CF είναι το επόµενο τµήµα στο σύνορο του κυρτού περιβλήµατος. Συνεχίζουµε την παραπάνω διαδικασία στροφών µέχρις εξαντλήσεως των σηµείων του Μ, οπότε µετά από κάποιο βήµα στην στροφή που θα κάνουµε θα συναντήσουµε το αρχικό σηµείο Α (ή ένα άλλο ενδεχοµένως σηµείο του Μ πάνω στην a). Προφανώς το πολύγωνο που προκύπτει µε τον τρόπο αυτό είναι κυρτό και περιέχει στο εσωτερικό του ή στο σύνορό του όλα τα σηµεία του Μ. Εποµένως αυτό θα είναι το κυρτό του περίβληµα. παρατήρηση 2.2: Αν Α 1,Α 2,,Α κ είναι ένα σύνολο Μ κ σηµείων του επιπέδου τότε το κυρτό τους περίβληµα µπορεί να περιγραφεί και ως το σύνολο των σηµείων Α για τα οποία ισχύει Α= λ i Ai όπου λ i 0 και λ 1 +λ 2 + +λ κ =1.(όπου τα Α i θεωρούνται ως σηµεία του διανυσµατικού χώρου R 2 ). Η παρακάτω πρόταση είναι βασική για την εργασία µας. πρόταση 3. Αν Τ είναι ένα εξωτερικό σηµείο ενός κυρτού πολυγώνου Π του επιπέδου, τότε υπάρχει ευθεία που διέρχεται από το Α και δεν έχει κοινά σηµεία µε το Π. απόδειξη i= 1 8
9 σχήµα 9 Έστω C η πλησιέστερη προς το Τ κορυφή του πολυγώνου. Στο C συναντώνται οι πλευρές CA,CD που ορίζουν τις ευθείες f, g. Αυτές οι ευθείες ορίζουν τέσσερις διαδοχικές γωνίες µε κορυφή το C. Αφού το C είναι το πλησιέστερο σηµείο του Τ, το Τ δεν µπορεί να ανήκει στην γωνιακή περιοχή BCD. Αν Τ Cf τότε η παράλληλη από το Τ προς την CD είναι η ζητούµενη ευθεία. Αν Τ Cg τότε η παράλληλη από το Τ προς την BC είναι η ζητούµενη. Αν Τ gcf τότε η παράλληλη προς BC ή CD είναι η ζητούµενη. Αν Τ fcd τότε η παράλληλη προς CD είναι η ζητούµενη, και τέλος αν Τ gcb η παράλληλη προς την CB είναι η ζητούµενη ευθεία. παρατήρηση 3.1: Ένας άλλος τρόπος για να δικαιολογήσουµε την πρόταση 3 είναι να θεωρήσουµε το πλησιέστερο σηµείο Κ του Π προς το σηµείοτ. H κάθετος προς το ΚΤ στο Τ είναι η ζητούµενη ευθεία. (σχ.10) 9
10 παρατήρηση 3.2: Η πρόταση 3 ισχύει όχι µόνο για κυρτά πολύγωνα αλλά και για κάθε κυρτό σχήµα Μ του επιπέδου. Λήµµα 1 Αν οι εικόνες των µιγαδικών z 1,z 2,,z βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από το Ο(0,0) τότε α) z 1 +z 2 + +z 0 β) αν επιπλέον m 1,,m >0 τότε και οι εικόνες των m 1 z 1-1,,m z -1 βρίσκονται επίσης πάνω στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από το Ο, και συνεπώς m 1 z m z απόδειξη Ας είναι ψ=λχ η εξίσωση της ευθείας (ε) της υπόθεσης του λήµµατος.(υποθέτουµε αρχικά ότι η ε δεν είναι κατακόρυφη). Αν Ρ 1 και Ρ 2 τα ηµιεπίπεδα που ορίζει η (ε), ως γνωστό τα σηµεία του Ρ 1 -(ε) ικανοποιούν την ανίσωση ψ<λχ, ενώ τα σηµεία του Ρ 2 -(ε) ικανοποιούν την ανίσωση ψ>λχ. Έστω Α 1 (χ 1,ψ 1 ),,Α κ (χ κ,ψ κ ) είναι οι εικόνες των µιγαδικών z 1,z 2,,z στο επίπεδο. Αν τα παραπάνω σηµεία ανήκουν στο Ρ 1 -(ε) τότε ψ i <λχ i για κάθε i {1,2,,} και προσθέτοντας κατά µέλη 10
11 προκύπτει ψ 1 + +ψ κ <λ(χ 1 + +χ κ ) Im(z 1 +z 2 + +z )<Re(z 1 +z 2 + +z ) πράγµα που σηµαίνει ότι z 1 +z 2 + +z 0 (διαφορετικά θα ήταν 0<0). Αν η (ε) είναι η κατακόρυφη χ=0, τότε δίχως βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι για τις συντεταγµένες των Α i ισχύει χ i <0 για κάθε i {1,2,,}. Άρα Re(z 1 +z 2 + +z )<0 δηλαδή και πάλι z 1 +z 2 + +z 0. β) Έστω z n =x n +iy n n {1,2,,}, τότε z -1 n = 1 = 1 z x + iy n n n x iy x y = n n n n = x n + yn xn + yn xn + yn Αν τα σηµεία Α 1,,Α κ ανήκουν όλα στο ηµιεπίπεδο Ρ 1 -(ε) στο οποίο ψ<λχ τότε εικόνες των m n z -1 mnxn mn yn n είναι τα σηµεία Β n (, ) xn + yn xn + yn ανήκουν στο ηµιεπίπεδο Q 1 που ορίζεται από την δ: ψ=-λχ και την ανίσωση ψ>-λχ. Πράγµατι για τα A n (x n,y n ) ισχύει y n <λx n - y n >-λx n i y λx m y λm x > > x y x y x y x y n n n n n n n + n n + n n + n n + n. Στην περίπτωση που η (ε) είναι η κατακόρυφη χ=0 και τα Α 1,Α 2,,Α κ mn xn ανήκουν στο ηµιεπίπεδο χ<0 τότε χ n <0 < xn + yn σηµεία B n ανήκουν όλα στο ίδιο ηµιεπίπεδο. δηλαδή τα Σύµφωνα µε το α) αφού οι εικόνες των m 1 z 1-1,,m z -1 ανήκουν στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από το Ο θα έχουµε m 1 z m z πόρισµα 1. Αν οι εικόνες των µιγαδικών z 1,z 2,,z βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από την εικόνα του z τότε ο αριθµός w=(z-z 1 )+(z-z 2 )+ +(z-z ) είναι µη µηδενικός. 11
12 πράγµατι. Αν z=α+bi και υποθέσουµε ότι οι εικόνες των z 1,z 2,,z βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο που ορίζεται από την y-b=λ(x-α) τότε ισχύει y n -b<λ(x n -a) ( y b) < λ ( χn a) n n= 1 n= 1 ( b y ) > λ ( a χ ) n n= 1 n= 1 άρα Im(w)>λRe(w) κι έτσι θα είναι w 0. Αν η υποτιθέµενη ευθεία έχει εξίσωση χ=α και οι εικόνες των z 1,z 2,,z βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο χ-α<0 τότε α-χ n >0 ( a xn ) > 0 Re(w)>0 και συνεπώς w 0. n= 1 παρατήρηση 4. Το συµπέρασµα του πορίσµατος µπορεί να εξαχθεί και κατευθείαν από το λήµµα ως εξής: Αν w 1 =z-z 1,,w =z-z και θεωρήσουµε ένα σύστηµα αξόνων µε άξονες παράλληλους προς τους αρχικούς και αρχή στο σηµείο Ζ(α,b), τότε όλες οι εικόνες των w n, βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή του νέου συστήµατος και εποµένως w 1 + +w 0. Αν Α 1,Α 2,,Α κ είναι οι εικόνες των ριζών z 1,z 2,,z ενός πολυωνύµου Ρ(z) αντιστοίχως, τότε το κυρτό περίβληµα του συνόλου {Α 1,Α 2,,Α κ } είναι όπως προαναφέραµε ένα κυρτό πολύγωνο µε κορυφές κάποια από τα παραπάνω σηµεία το οποία περιέχει φυσικά όλα τα σηµεία Α n. m1 m2 m πρόταση 4 Έστω P(z)= ( z z1) ( z z2)...( z z ) ένα πολυώνυµο βαθµού ν γραµµένο σε παραγοντοποιηµένη µορφή συναρτήσει των ριζών του z 1,z 2,,z όπου m 1 +m 2 + +m =ν. Τότε ισχύουν τα παρακάτω: n P ( z) m m m = P( z) z z z z z z α) για κάθε z z 1,z 2,,z m1 m2 m β) Αν Q(z)= και Q(z)=0 για κάποιο z, τότε z z1 z z2 z z οι εικόνες των z 1,z 2,,z στο επίπεδο δεν µπορούν να βρίσκονται όλες στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από την εικόνα του z. απόδειξη α) Είναι ο τύπος (3) που αποδείξαµε παραπάνω. 12
13 β) Έχουµε Q(z)=0 για κάποιο z. Αν όλες οι εικόνες των z 1,z 2,,z βρίσκονταν στο ίδιο ηµιεπίπεδο µιας ευθείας που διέρχεται από την εικόνα του z, τότε σύµφωνα µε την πόρισµα 1 θα ήταν Q(z) 0 άτοπο. ΘΕΩΡΗΜΑ (GAUSS-LUCAS): Έστω πολυώνυµο Ρ(z) (µε µιγαδικούς συντελεστές) βαθµού 2. Τότε οι ρίζες της παραγώγου Ρ (z), ανήκουν στο κυρτό περίβληµα των ριζών του Ρ(z). απόδειξη m1 m2 m Αν P(z)= ( z z1) ( z z2)...( z z ) τότε P (z)=p(z)q(z) για κάθε z z 1,z 2,,z (5) Aν η εξίσωση Ρ (z)=0 έχει ρίζες κάποιους από τους z 1,z 2,,z τότε η πρόταση είναι φανερή. Ας είναι λοιπόν z µια ρίζα της Ρ (z)=0 που η εικόνα της Τ δεν ανήκει στο κυρτό περίβληµα του συνόλου { z 1,z 2,,z }. Τότε το Τ θα είναι εξωτερικό σηµείο του κυρτού περιβλήµατος και συνεπώς σύµφωνα µε την πρόταση 3, θα υπάρχει ευθεία διερχόµενη από το Τ τέτοια ώστε το κυρτό περίβληµα να βρίσκεται εξολοκλήρου σε ένα από τα δυο ηµιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία αυτή. Σύµφωνα µε το προηγούµενο λήµµα θα ισχύει Q(z) 0. Όµως Ρ (z)=0 P(z)Q(z)=0 Q(z)=0 αφού το z δεν ανήκει στο κυρτό περίβληµα του { z 1,z 2,,z } και καταλήγουµε σε άτοπο. Θα πρέπει λοιπόν το z να ανήκει στο κυρτό περίβληµα του { z 1,z 2,,z } κι έτσι το θεώρηµα αποδείχτηκε. 13
14 παράρτηµα ΘΕΩΡΗΜΑ GAUSS-LUCAS Θα δούµε τώρα και άλλο ένα δεδοµένο που αφορά την θέση των ριζών της παραγώγου ενός πολυωνύµου (κρίσιµα σηµεία του πολυωνύµου) αναφορικά προς την θέση των ριζών του πολυωνύµου, όταν αυτό έχει πραγµατικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή όπως είναι γνωστό αν z 0 είναι ρίζα του Ρ(z) τότε ο συζυγής αριθµός z0του z 0 είναι επίσης ρίζα του Ρ. Θεωρούµε ρίζες z 0 για τις οποίες ισχύει z 0 C\R. Τότε z 0 z 0. O κύκλος µε κέντρο Re(z 0 ) και ακτίνα Ιm(z 0 ) δηλαδή ο κύκλος µε διάµετρο τις εικόνες των z 0, z 0 καλείται δίσκος Jensen του Ρ. (σχήµα 11) Θεώρηµα 2 (Jensen) Έστω Ρ πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές. Τότε τα µη πραγµατικά κρίσιµα σηµεία του Ρ βρίσκονται µέσα ή πάνω στο σύνορο κάποιου δίσκου Jensen του Ρ. απόδειξη Έστω n ο βαθµός του πολυωνύµου Ρ και z 1,z 2,,z n οι µιγαδικές του ρίζες, όχι κατ ανάγκη διαφορετικές µεταξύ τους. 14
15 Υποθέτουµε ότι w είναι µια µη πραγµατική ρίζα της παραγώγου Ρ, δηλαδή Ρ (w)=0. Αν Ρ(w)=0 τότε w=z για κάποιο και το w ανήκει πάνω στο σύνορο του δίσκου Jensen που ορίζεται από το w= z i. Έτσι ας υποθέσουµε ότι Ρ(w) 0. Θέτουµε w=u+iv, v 0. Για µια µη πραγµατική ρίζα z =α+bi, α,b R έχουµε για την συζυγή ρίζα z =α-ib. Θα έχουµε λοιπόν 1 1 2w 2a + = w a bi w a+ bi ( w a) + b 2 2 όµως ( w a) b ( w a) b = + κι έτσι + = ( w a) + b ( w a) + b 2 2 2w 2 a (2w 2 a)(( w a) b ) Θα εκτιµήσουµε το πρόσηµο του φανταστικού µέρους της παραπάνω έκφρασης. Αφού ο παρονοµαστής είναι θετικός είναι αρκετό να εκτιµήσουµε το πρόσηµο του φανταστικού µέρους του αριθµητή. Όµως (2w 2 a)(( w a) b )) 2( w a ( u iv a) b ( u iv a)) + = + +, και το φανταστικό µέρος είναι ( v w a b v) 2 v( w a b ) + = +. Αυτή η παράσταση έχει το πρόσηµο του v, όταν w είναι έξω από τον δίσκο Jensen του z=α+ib (αφού τότε w-α 2 >b 2 ).. Αν ο z =α R τότε για την έκφραση 1 w z θα έχουµε w a u a iv = = = και το φανταστικό 2 w z w a w a w a w a µέρος της έχει ακριβώς το πρόσηµο του v. Τώρα στο άθροισµα 15
16 n P ( w) 1 0= = εµφανίζονται δυο ειδών ρίζες: P( w) = 1 w z Μη πραγµατικές µιγαδικές οι οποίες µπορούν να χωριστούν σε ζευγάρια µε φανταστικό µέρος οµόσηµο του v, και όροι που αντιστοιχούν σε πραγµατικές ρίζες οι οποίοι επίσης έχουν το πρόσηµο του v. Συνεπώς το παραπάνω άθροισµα έχει φανταστικό µέρος οµόσηµο του v 0 κι έτσι δεν µπορεί να είναι ίσο µε µηδέν. Στο άτοπο καταλήξαµε γιατί υποθέσαµε ότι ο w δεν ανήκει σε κανένα δίσκο Jensen του Ρ. Άρα ο w οφείλει να βρίσκεται µέσα σε κάποιον δίσκο Jensen και το θεώρηµα 2 αποδείχτηκε. Βιβλιογραφία 1. ιαφορικός και ολοκληρωτικός λογισµός M. Spivac 2. Μαθηµατικές ολυµπιάδες (Γεωµετρία). Κοντογιάννης 3. Γενική τοπολογία και συναρτησιακή ανάλυση Σ. Νεγρεπόντης 4. Polynomial.html
Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότερα2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.
.3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 00-0 A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : +,, 3 +, 3, 5,, ( ) ( + ), ( ) ( + ), και +, 3+ 3 + + + ( ) 3+ 3 3 + 5 5 3 + ( ) 5 5 5 5 5. 5 + + (οι +, είναι συζυγείς,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότερα6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία
ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.
.. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης
Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης
Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηµατικός teomail@sch.gr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότερα[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός Εἰ ἄρα ὁ δίκαιος ἀργύριον δεινὸς φυλάττειν, καὶ κλέπτειν δεινός.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός Εἰ ἄρα ὁ δίκαιος ἀργύριον δεινὸς φυλάττειν, καὶ κλέπτειν δεινός. gxkarras@gmail.com 2 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 1. Να αποδειχθεί ότι a +
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότεραΘωμάς Ραϊκόφτσαλης 01
0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΟνοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)
3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις σωστού-λάθους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΤο εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Διαβάστε περισσότερα2(z 2) οι εικόνες των z 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΓυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας
Φύλλο εργασίας Mπορείτε να βρείτε τη γωνία κάβων; ραστηριότητα Ένα δεξαµενόπλοιο που στο σχήµα είναι στο σηµείο Β, πλέει προς την είσοδο µιας διώρυγας µε την βοήθεια δύο ρυµουλκών που απεικονίζονται µε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R
. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραThanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ
1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..
Διαβάστε περισσότεραΗ Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
Διαβάστε περισσότεραx - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x
Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα