Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva"

Transcript

1 Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice; valorile ei corespund indivizilor populaţiei. Funcţie de repartiţie: F (x) = P (X < x). P =Probabilitate. Repartiţie continuă, când există F (x). Densitate de repartiţie: f(x) = F (x) F (x) = x f(u)du X : 0 F (x) 1, F ( ) = 0, F (+ ) = 1, Deci f(x) 0, + f(u)du = 1 a, b R, a < b F (a) F (b) Variabila aleatoare discreta este dată de repartiţia sa a 1, a 2,..., a n p 1, p 2,..., p n F (x) =, p i = P (X = a i ), 1 i n, n p i = 1. a i <x p i, p i = probabilitati. 1 Conferinţă prezentată la deschiderea seminarului ştiinţific Nicolas Georgescu Roegen al Societăţii Române de Econometrie, 4 iulie

2 Notă. n poate fi si. Definiţie. Selecţie (Bernoulliană) de volum n asupra variabilei aleatoare X este mulţimea de variabile aleatoare {X 1, X 2,..., X n } n N,independente şi identic repartizate ca şi X. Notă. Selecţia este rezultatul unor observaţii sau măsurători independente (stochastic) efectuate asupra a n indivizi din populaţie. Daca variebilele aleatoare X, Y au respectiv funcţiile de repartiţie F, G, iar funcţia lor comună de repartiţie este H(x, y) = P (X < x, Y < y) atunci ele sunt independente dacă H(x, y) = F (x)g(y). Valori medii. Momente. Dacă considerăm funcţia reală φ(x) masurabilă (!) atunci numim valoare medie a variabilei aleatoare φ(x) mărimea E[φ(X)] = φ(u)f(u)du când integrala există, iar in cazul discret, dacă n =, când seria este convergentă. Cazuri particulare: E[φ(X)] = φ(a i )p i Momente de ordinul r, r N : m r = E[X r ] = x r f(x)dx, in cazul continuu 2

3 m r = E[X r ] = a r i p r, in cazul discret. m 1 = E[X] = (notat) = m se numeşte medie sau valoare medie a lui X. Momente centrate de ordinul r, r N : µ r = E[(X m) r ] Momentul centrat de ordinul al doilea se numeşte dispersie sau varianţă şi se notează σ 2 = µ 2 = V ar(x) iar σ = σ 2 se numeşte abatere medie pătratică sau abatere standard sau deviaţie standard. Inegalitatea lui Cebysheff. Dacă esistă momentele de ordinul 1 şi 2, atunci are loc inegalitatea P ( X m tσ) 1 1 t 2, t R+. Notă. Aceasta inegalitate permite determinarea unui interval de concentraţie al valorilor variabilei aleatoare X. De ex. dacă t = 4, atunci in intervalul (m 4σ, m + 4σ) se gasesc peste 94% din valorile variabilei aleatoare X. Cazul multidimensional. Vector aleator: X = (X 1, X 2,..., X k ) =vector coloană de dimensiune k. 3

4 Funcţie de repartiţie: F (x) = F (x 1, x 2,..., X k ) = P (X 1 < x 1,..., X k < x k ) Densitate de repartiţie (cazul continuu) când ea există: Proprietăţi: f(x) = f(x 1, x 2,..., x k ) = k F (x 1,..., x k ) x 1... x k F (,..., ) = 0, F ((..., ) = 1, 0 F (x 1,..., x k ) 1 i, < a i < b i < F (x 1,..., a i,..., x k ) F (x 1,..., b i,..., X k ) (adica monotonia crescatoare pe componente). Proprietăţi ale densităţii de repartiţie: f(x) 0, F (x) = R k f(u)du = 1 x f(u)du Fie X = (X 1, X 2 ), DimX 1 = r, DimX 2 = s, r + s = k X 1, X 2 subvectori ai lui X Funcţia de repartiţie marginală a lui X 1 este F 1 (x 1 ) = F (X 1, = x 2 ) Densitatea marginală a lui X 1 este f 1 (x 1 ) = r F 1 (x 1 ) x 1,..., x r 4

5 Momente: i, E[X i ] = m i = R k x i f(x)dx = x i f i (x i )dx i unde f i (x i ) este densitatea marginala a componentei aleatoare X i cand integrela există. Momentul mixt m ij = E[X i X j ] = + + inf ty f ij =densitate marginala a lui (X i, X j ). Covarianţa. cand există este: x i x j f ij (x i, x j )dx i dx j cov(x i, X j ) = E[(X i m i )(X j m j )] = m ij m i m j = σ ij Se observa că V ar(x i ) = cov(x i, X i ) = σ 2 i = σ ii. Inegalitatea lui Schwarz σ ij σ i σ j. Coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X i şi X j este ρ ij = corr(x i, X j ) = Notă. Ineg. Schwarz ρ ij [ 1, 1] cov(x i, X j ) V ar(xi )V ar(x j ) = σ ij σ i σ j Interpretarea lui ρ : măsoară gradul de dependenţă stochastică al variabilelor aleatoare X i şi X j. 5

6 Notaţii: Vectorul valoare medie al lui X este µ = (m 1, m 2,..., m k ) = E(X). Matricea de covarianţă a vectorului X este Σ = σ 11 σ 12,..., σ 1k σ k1 σ k2,..., σ kk = Cov(X, X ) Este pozitiv definită Σ 0, adică x Σx > 0, şi deci inversabilă. Ipoteză statistică. F = multimea funcţiilor de repartiţie. F 0 F. X= variabilă aleatoare X F = funcţie de repartiţie. Definiţie. Ipoteză statistică este o afirmaţie asupra lui F de forma H 0 : F F 0 ce trebuie verificată cu ajutorul unei selecţii de volum n, X 1, X 2,..., X n, dată. (Se mai numeste ipoteza nula!) Ipoteză simpla când CardF 0 = 1; ipoteză compusă, când CardF 0 > 1. Ipoteza alternativă: H 1 : F F 1, F 1 F, F 1 F 0. Cea mai generală alternativă H 1 : F F \ F 1. Ipoteza parametrica: H 0 se referă la un parametru al funcţiei de repartiţie. De ex. F 0 este familia repartiţiilor normale N(m, σ) şi ipoteza este de forma H : m = m 0 (ipoteză simplă); aici alternativa poate fi simplă de forma H 1 : m = 6

7 m 1, m 1 m 0, sau altternativa compusă de forma H 1 : m m 0. In acest caz ipoteza simplă poate fi de forma H 0 : m m 0 < λ, iar alternativa va fi de forma H 1 : m m 0 λ. Aici m = E[X] este adevărata medie a variabilei aleatoare X, m 0 este o valoare dată (de referinţă), iar λ > 0 este eroarea cu care apreciem că m poate fi egal cu m 0. Ipoteză de concordanţă: H 0 : F F 0, (adica se specifică tipul funcţiei de repartiţie (de ex normală exponenţială Cauchy, Poisson, binomoală etc.) Majoritatea funcţiilor de repartiţie depind de parametri θ, adică F (x) = F (x, θ) unde θ este un parametru uni sau multidimensional. Dacă θ este cunoscut, atunci ipoteza de concordanţă se numeşte complet specificată, iar in caz contrar, se numeşte nespecificată. Notă. Fiind data o selecţie X = X 1, X 2,..., X n de volum n asupra variabilei aleatoare X, vectorul X are o repartiţie de probabilitate pe R n, a cărui densitate f, (când F are densitate) este L(x 1, x 2,..., X n ) = n f(x i ) Funcţia L(x 1,..., x n ) se numeşte funcţie de verosimilitate. Să mai observăm că L(X 1,..., X n ), cu argumente X i = valori de selecţie este o variabilă aleatoare!. Definiţie. Un test de verificare a unei ipoteze statistice, este o regulă prin care spaţiul R n al selecţiilor se descompune in două părţi W = R1, n şi W = R2 n = R n \ R1 n (complementarul lui R1) n astfel incât, dacă vectoerul de selecťie X W atunci se respinge ipoteza H 0, (adică se acceptă alternativa H 1 ), iar in caz contrar (adica dacă X W,) atunci se acceptă 7

8 ipoteza H 0. Mulţimea W = R n 1 se numdeşte domeniu critic al ipotezei H 0, iar W = R n 2 se numeşte domeniu de acceptare al ipotezei H 0. Observaţie importantă. Deoarece o selecţie de volum finit n nu asigură o informaţie completă, decizia care se ia pe baza acestei selecţii asupra validităţii sau nu a ipotezei H 0 ne poate conduce la următoarele rezultate: să acceptăm H 0 cand ea este adevărată (notată (H 0 H 0 )), să accepotăm H 0 când ea nu este adevărată (notată (H 0 H 1 )), să respingem H 0 când ea este adevărată (notată (H 1 H 0 ) sau să respingem H 0 când ea nu este adevărată (notată (H 1 H 1 )). Evident, deciziile bune sunt in primul şi ultimul caz, pe cand celelalte două cazuri constituie erori ce se comit fiecare cu o probabilitate. Aceste probabilităţi sunt α = P (H 1 H 0 ) = P (X W H 0 ), β = P (H 0 H 1 ) = P (X W ) α este probabilitatea erorii de genul intâi sau riscul, de genul intâi, in timp ce β este probabilitatea erorii de genul doi sau riscul de genul doi. α se mai numeşte şi prag de semnificaţie. Probabilitatea se numeşte puterea testului. π = P (H 1 H 1 ) = 1 β Un test bun este acela pentru care α şi β sunt mici (de ex sau mai mici, sau α este mic şi puterea testului π este mare). Din păcate, pentru o selecţie de volum n dată, dacă se impune un rtisc α dat, atunci nu există un test pentru care β sa fie de asemenea oricât mic. Testul pentru care la un 8

9 prag de semnificaţie dat α există o limitare inferioară a riscului de genul doi β (sau corespunzător există o limitare superioară a lui π), se numeşte test uniform cel mai puternic. Existenţa acestui lucru a este stipulată de următoarea Lema lui Neyman-Pearson. Fie X f(x, θ) şi fie ipoteza parametrică simplă H 0 : θ = θ 0 şi alternativa H 1 : θ = θ 1. Atunci pentru un prag α dat, există un test uniform cel mai puternic a cărui regiune critică este de forma c este o constantă şi unde W = {(X 1,..., X n ) L 1 L 0 c > o, } L 1 = L(X 1,..., X n, θ 1 ) = n f(x i, θ 1 ), L 0 = L(X 1,..., X n, θ 0 ) = n f(x i, θ 0 ), adică L 1, L 0 sunt respectiv funcţiile de verosimilitate ale lui X in ipotezele H 1, H 0. Definiţie. Numim statistică o funcţie t(x 1,..., X n ) (care depinde de datele de selecţie). Depinzând de repartiţia de probabilitate a lui X, statistica t are o repartiţie de probabilitate. Dacă riscul α este dat atunci, pentru o statistică t convenabil aleasă se poate construi un test pentru ipoteza H 0 a cărui regiune critica este de forma W α = {(X 1, X 2,..., X n ) : P (t(x 1,..., X n ) > c α H 0 ) = α}, unde repartiţia statisticii t este considerată in ipoteza H 0. Regiumea critică a testului, W α, se numeşte regiune critică de nivel α. 9

10 O statistică t cu ajutorul căreia se construieşte un test pentru o ipoteză nulă H 0 se numeşte statistică test. Din lema lui Neyman-Pearson rezultă că pentru verificarea ipotezei H 0 cu alternativa H 1 statistica test este raportul de verosimililităţi t(x 1, X 2,..., X n, θ 0, θ 1 ) = L(X 1,..., X n ; θ 1 ) L(X 1, X 2,..., X n ; θ 0 ) Testul, se numeşte testul raportului de verosimilităţi. Exemplu. Fie X N(m.σ) variabila normală, cu abaterea medie pătratică σ, cunoscută. Fie de verificat ipoteza parametrică H 0 : m + m 0 cu alternativa H 1 : m = m 1 > m 0. (Ambele ipoteze sunt simple). Testul raportului de verosimilităţi conduce,după calcule, la statistica t = L 1 = e X.n( m 1 m 0 σ L 2 m2 1 m2 0 2σ 2 ), 0 unde X este media aritmetică a datelor de selecţie, sau media de selecţie. Regiunea critică de nivel α se obţine din relaţia P ( L 1 c) = α = P (X( m 1 m 0 m2 1 m 2 2 ) log c) = α, L σ 2 2σ 2 0 n n adică regiunea critică a testului este in final de forma W α = {(X 1,..., X n ) : P (X 2σ 2 n log c + (m2 1 m 2 0) 2(m 1 m 0 ) ) = α}. (1) Regiunea critică W α se poate deduce sub o formă echivalentă astfel. In ipoteza H 0, statistica U = X m 0 σ n N(0, 1). 10

11 Deci, pentru un α dat, alegem z α astfel incat P (Z z α ) = de unde domeniul critic este z α e t 2 2 dt = α, W α = {(X 1, X 2,..., X n ) X m 0 + z α n }. (2) Mărimea z α se numeşte α-cuantila superioară a repartiŗiei normale N(0, 1). Observăm că cele două forme ale domeniului critic W α date de (1) şi (2) coincid, deoarece au acelaş nivel α. Puterea testului, este π(m 1 ) = P (X m 0 +z α σ n H 1 ) = P ( X m 1 σ n m 0 m 1 σ n +z α ) = = P (Z m 0 m 1 σ n + z α ) Deoarece π(m 1 ) = 1 β rezultă că 1 ϕ(z α + σ n ) = 1 β deci z α + m o m 1 σ n = z 1 β Ultima formulă conduce la faptul că dacă se dau riscurile α şi β atunci volumul minim de selectie necesar pentru realizarea acestor riscuri este n = (z 1 β z α ) 2 σ 2 11 (m 1 m 0 ) 2

12 ceea ce conduce si la o altă consecinţă a lemei Neyman-Pearson. Notă. Din cele de mai sus, observăm că dacă considerăm parametrul λ = m 0 m 1 ca o distanţă intre ipotezele H 0 şi H 1 şi considerăm că pentru o distanţă λ 0 dată H 1 H 0 atunci puterea π se exprimă in funcţie de λ si anume π(λ) = 1 ϕ(z α + λ σ n ). Forma generală a testului raportului de verosimilităţi. Să considerăm ipoteza H : F ω Ω, unde Ω este o clasă de funcţii de repartiţie si ω o submulţime a sa.alternativa este N H : F Ω \ ω. Să notăm (L) Ω, (L) ω valorile maxime ale funcţiei de verosimilitate in ip[otezele Ω, ω şi să cosniderăm raportul de verosimilitate Λ(X) = (L) ω (L) Ω, X = vectorul de selecţie. Deoarece ω Ω rezultă că Λ(X) 1, iar cand ω este adevărată, Λ(X) = 1. (Caz ideal!). Deci domeniul critic pentru testarea ipotezei H este de forma W (c) = {X Λ(X) c < 1}, P (Λ(X c) = α. (3) Lema lui Neyman-Pearson este valabilă şi aici; regiunea critică W (c) dată de (3) corespunde testului uniform cel mai puternic. 12

13 Pentru a construi testul raportului de verosimilităţi pentru o ipoteză H va trebui mai intai să calculăm valorile maxime (L) Ω, (L) ω ale funcţiei de verosimilitate. Exemplu. Fie X N(m, σ) cu σ-cunoscut si fie de verificat ipoteza H : m = m 0 cu alternativa N H : m m 0. Maximul funcţiei de verosimilitate in ipoteza Ω conduce la iar (L) Ω = ( ) n e 2σ 2 2πσ 2 ( 1 (L) ω = 2πσ 2 Raportul de verosimilităţi este ) n 2 e 1 2σ 2 n (X i X) 2 n Λ(X) = e n 2σ 2 (X m 0) 2 (X i m 0 ) 2. iar domeniul critic este de forma (3) unde c = c α satisface relaţia α = P [ n 2σ 2(X m 0) 2 log c α ] = P [ Deoarece X m 0 σ n X m 0 σ n = Z N(0, 1) 2 log c α ]. rezultă că folosind z α 2 dat de relaţia z α 2 e u 2 2 du = 1 α, z α 2 domeniul c ritic este de forma W α = {X : X m 0 σ n 13 z α 2 }. (3 )

14 Puterea testului π(m) se calculează cu formula P ( X m 0 σ n Testul prezentat se numeste testul U. z α N H) = π(m). (4) 2 Problema celor două selecţii. Fie X N(m 1, σ 1 ), Y N(m 2, σ 2 ) cu σ 1, σ 2 cunoascute. Se dă o selectie de volum n 1 pentru X si o selecţie de volum n 2 pentru Y. Pentru verificarea ipotezei H : m 1 = m 2 cu alternativa N H : m 1 m 2 se foloseşte statistica U = X Y m 1 + m 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2. (5) care in ipoteza H are repartiţia normală N(0, 1). Domeniul critic se determină pe baza statisticii U dată de (5) şi el este de forma W α = {X : U z α 2 }, iar Puterea testului se calculează cu formula π(m 1 m 2 ) = P ( U z α N H). 2 Cazul dispersiilor necunoscute. Repartiţii inrudite cu repartiţiile normale. Fie de testat H : m = m 0, N H : m m 0, cu σ necunoscut. Determinarea raportului de verosimilităţi, conduce mai intâi la estimarea lui m cu X şi a lui σ 2 cu formula s 2 = 1 n 1 n 14 (X i X) 2 (6)

15 după care se calculează (L) Ω şi (L) ω In final testul raportului de verosimilităţi conduce la statistica t a lui Student, adică t = X m 0 s n (6 ) care in ipoteza H are repartiţia Student cu f = n 1 grade de libertate, ce are densitatea de repartiţie g(x) = 1 Γ( f+1 2 ) 1 π Γ( f 2 ). (7) (1 + x 2 ) f+1 2 Variabila Student se defineşte cu formula t f = Z χ f f, t f R, Z N(0, 1) unde χ 2 f = f Z2 i, iar Z i sunt variabile N(0, 1) independete şi Z e independent de χ 2 f. Densitatea de repartiţie a lui χ 2 f este h(x) = 1 2 f 2 Γ( f 2 )xf 2 1 e x 2, x > 0, h(x) = 0 daca x 0. (8) Dacă E[Z i ] = m i 0 măcar pentru un i atunci f Z 2 i = χ 2 f,δ cu δ 2 = f m2 i se numeşte variabilă χ 2 necentrată, cu f grade de libertate şi cu parametru de excentricitate δ. 15

16 Nu precxizăm densitatea de repartiţie (complicată!) a acestei variabile. Definiţie. Variabila aleatoare F f1,f 2 > 0 este definită astfel F f1,f 2 = f 2χ 2 f 1 f 1 χ 2 f 2, (9) Variabila F f1,f 2 are o densitate de repartiţie pe care nu o prezentăm aici. Sunt utilizate si variabile F necentrate de forma F f1,f 2 ;δ 1,0, F f1,f 2 ;0,δ 2, F f1,f 2 ;δ 1,δ 2. Cea mai utilizată după cum vom vedea, este prima formă de F-necentrataă. Intre variabila F si variabila t este valabilă relaţia t 2 f = F 1,f. Forme ale testului t. Pentru un risc α dat, să cosiderăm cuantila superioară t f, α 2 > 0 care satisface relaţia tf, α 2 P ( t f t f, α ) = 2 t f, α 2 g(u)du = 1 α (10) Ca şi testul U, testul t, dedus din testul general al raportului de probabilităţi, capătă forme asemănătoare, după cum urmează: t1.verificarea ipotezei H : m = m 0, σ necunoscut, cu alternativa N H : m m 0. Domeniul critic este X m 0 s n t f, α, f = n 1, (11) 2 16

17 Puterea testului se calculează cu formula π(m) = P ( X m 0 s n t f, α 2 : N H) (11 ) unde statistica din formulă are repartiţia t-necentrată adica t 2 f,δ = F 1,f:δ,0, δ 2 = m 1 m 0 s n 2. (11 ) t2.verificarea ipotezei H : m 1 = m 2 pentru două populaţii N(m 1, σ), N(m 2 ), σ), σ cunoscut cu N H : m 1 m 2. Fie X N(m 1, σ 1 ), Y N)(m 2, σ 2 ) σ 1 = σ 2 = σ. si volumele de selecţie n 1, n 2. Dispersia σ 2 se estimează astfel s 2 1 = n 1 + n 2 2 { n1 (X i X) 2 + n 2 (Y j Y ) 2 }, f = n 1 + n 2 2. j=1 Statistica t este in acest caz t = s X Y 1 n1 + 1 n2 domeniul critic de nivel α este de forma (11), iar puterea testului π(m 1 m 2 ) este de forma (11 ) cu δ 2 = m 1 m 2 s 1 n1 + 1 n2 2 t3.verificarea ipotezei H din cazul precedent, cu σ 1, σ 2 necunoscute şi ne egale. In acest caz testul t are o construcţie specială şi anume;. 17

18 - se estimează dsispersiile cu formulele obişnuite s 2 1 = 1 n 1 (X i X) 2, f 1 = n 1 1; s 2 2 = 1 n 2 (Y j Y ) 2, f 2 = n 2 1; f 1 f 2 j=1 - se calcullează gradele de libertate f cu formulele c = f = s 2 1 f 1 s 2 1 f 1 + s2 2 f 2 1 c 2 f 1 + (1 c)2 f 2 (f este rotunjit la intreg) -statistica t este t = X Y s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 In continuare testul t se dezvoltă ca la t2. (12) Teste privind egalitatea dispersiilor populaţiilor normale. Se dau X N(m 1, σ 1 ), Y M(m 2, σ 2 ) şi selecţiile independente corespunzătoare de volume n 1, n 2. Ipoteza H : σ 1 = σ 2 cu alternativa N H : σ 1 σ 2 se verifică folosind testul F (al lui Snrdrcor) după cum urmează: - se estimează σ 2 1, σ 2 2 cu formulele (12); se calculează statistica F = s2 1 s

19 Statistica F are repartiţia F -centrată cu (f 1, f 2 ) grade de libertate. Deci domeniul critic de nivel α este F F f1,f 2 ;α, unde P (F f1,f 2 F f1,f 2 ;α) = α, adică F f1,f 2 ;α este α-cuantila superioară a repartiţiei F. Testul lui Bartlett pentru egalitatea a mai multe dispersii. Se dau k populaţii normale N(m 1, σ i ), 1 i k si selectţii corespunzătoare X i,j,.1 i k, 1 j n i de volume n 1, n 2,..., n k, n i > 3 respectiv. Se cere să se verifice ipoteza K : σ 2 1 =... = σ 2 k. Testul lui Bartlett se realizează in următorii paşi: - se estimează dispersiile cu formulele Si 2 = 1 n i 1 ( ni j=1 - se calculează s 2 cu formula X 2 ij n i X i 2 ), 1 i k s 2 = 1 f ( k f i s 2 i ), f i = n i 1, f = k se calculează statistica lui Bartlett f i χ 2 = 1 B k f i log s2 i s 2, B = k 1 n i 1 1 n k 3(k 1) + 1, n = i n i. (13) Statistica χ 2 are k 1 grade de libertate, deci domeniul critic al testului lui Bartlett este χ 2 χ 2 k 1,α, unde P (χ 2 k 1 χ 2 k 1,α) = α. 19

20 (aici α este riscul de genul intai). Puterea testului se calculează pe baza repatriţiei necentrate (σ i diferite intre ele). χ 2 k 1,δ, δ 2 = k f iσ 2 i f, Teste de concordanţă. Presupunem că se dă o selecţie de volum n asupra lui X si se cere să verificăm ipoteza de concordanţă H : X F. Prezentăm două teste asimptotice (când n ). Testul de concordanţă χ 2. Dacă ipoteza H este complet specificată, atunci testul χ 2 constă din următoarele etape: - se consideră 0 diviziune a mulţimii pe care variabila aleatoare X ia valori de probabilităţi pozitive, adică = k i, i j = ø, P ( i ) > 0. - se calculează probabilităţile p i = P ( i ) > 0, 1 i k; - pentru selecţia dată X 1, X 1,..., X n, n = f.mare(n > 1000) se determină f i = numărul valorilor de selecţie ce aparţin lui i, adică frecvenţele absolute pe i ; - se calculează statistica χ 2 = k (f i np i ) 2 (13 1) np i Deoarece statistica χ 2 are repartiţia χ 2 k 1, domeniul critic al testului este χ 2 χ 2 k 1,α, P (χ 2 k 1 χ 2 k 1,α = α. 20

21 Puterea testului se determină ca deobicei cu χ 2 necentrat (repartiţia statisticii (13-1) in ipoteza N H.) Dacă H este nespecificată, atunci etapele testului χ 2 suferă o modificare şi anume dacă funcţia de repartiţie depinde de un parametru θ = (θ 1,..., θ c ), c < k 1, atunci p i = p i (θ) şi statistica (13-1) devine χ 2 (θ) = k (f i np i (θ) 2 np i (θ) (13 2) iar parametrul θ trebuie estimat. Estimaţia θ se obţine minimizând (13-2) in raport cu theta, dar cu condiţia ca numitorii din suma (13-2) sa fie asimptotic constanţi.(această metodă de estimare se numeşte metoda minimului lui χ 2 modificat.) După estimarea celor c parametri, probabilităţile din (13-1) devin p i = ˆp i = p i (θ), iar statistica devine χ 2 (θ) = k (f i nˆp i ) 2. (13 3) nˆp i Se ştie că statistica (13-3) are o repartiţie χ 2 k c 1 şi de aici se continuă paşii din cazul când H este complet specificată. Puterea testului se calculează tot cu χ 2 -necentrat unde paqrametrul de excentricitate este unde p H i, p N H i δ 2 = k (p H i p N H np H i i ) 2 sunt calculate in ipotezele respective. Teste de concordanţă de tip Kolmogorov-Smirnov. Aceste teste se aplică numai când funcţia de repartiţie F este continuă. 21,

22 Definim mai intâi estimaţia nedeplasaată a funcţiei de repartiţie F (x). Aceasta este F n (x) = ν(x), (13 4) n unde ν(x) =numărul valorilor de selecţie mai mici decât X. Ea se mai numeşte şi funcţia de repartiţie empirică. Să notăm D n = sup F (x) F n (x) = max F (X x i) F n (X i ) 1 i n D n + = max [F n(x i ) F (X i )], D 1 i n n = max [F (X i) F n (X i )]. 1 i n Testele de tip Kolmogorov-Smirnov se bazează pe următoarele teoreme limită: Teorema lui Kolmogorov. Dacă F este continuă, atunci lim P (D n n < λ n ) = + k= ( 1) k e λ2 k 2 = K(λ). (13 5) Teorema lui Smirnov. Dacă F este continuă atunci lim P n (D+ n < λ ) = 1 e 2λ2. (13 6) n Testul lui Kolmogorov are domeniul critic de nivel α 0.05 de forma D n > λ α n, unde K(λ α ) = 1 α. (13 7) In mod asemănător, domeniul critic pentru testul lui Smirnov este D + n > θ α n, unde e 2θ2 α = α. (13 8) 22

23 Puterea testului Kolmogorov se calculează pe baza repartiţiei asimptotice a statisticii Dn = sup F n (x) G(x), unden H : X G(x). x Nu există evaluări exacte privind puterea testului lui Kolmogorov. Dacă pentru două variabile X având funcţia de repartiţie F şi Y având funcţia de repartiţie G (F, G necunoscute!), se dau două selecţii asupra lor, de volume n şi m respectiv, atunci se poate pune problema testării ipotezei H : F = G. Testarea acestei ipoteze se face pe baza următoarei teoreme Teorema lui Smirnov. Dacă F şi G sunt continue şi notăm atunci lim n,m, n D n,m = sup F n (x) G m (x), x m =ρ=const. P (D n,m < λ( 1 n + 1 )) = K(λ). (13 9) m Domeniul critic al testului este D n,m > λ 1 α n + 1 m, K(λ α) = 1 α. (13 10) Puterea testului se determină ca şi in cazul testului Kolmogorov. Teste pentru repartiţii multidimensionale. Vom prezenta teste referitoare la mediile repartiţiilor normale multidimensionale. Vectorul = (X 1, X 2,..., X k ) X are repartiţia normală k-dimensională N(µ, Σ) dacă densitatea sa de repartiţie este 1 f(x, µ, Σ) = e 1 (2π) k 2 det(σ) 1 2 (x µ) Σ 1 (x µ). (14) 2 23

24 µ este vectorul medie al lui X, iar Σ este mateicea de covarianţă a lui X notate respectiv µ = E(X), Σ = Cov(X, X ), vectorii, fiind vectori coloană, iar produsele matriceale sunt calculate conform regulii obişnuite linii prin coloane. Matricea Σ este pozitiv definită, (notată Σ 0), de unde rezultă că forma pătratică de la exponent in formula (14) este pozitiv definită. O selecţie de volum N asupra vectorului aleator X este de forma X 1, X 2,..., X N care de fapt este o matrice N k, X i fiind coloanele acestei matrici: X i sunt deci valori de selectie efectuate asupra lui X. Estimaţiile nedeplasate ale parametrilor ν, Σ sunt respectiv adică X = N X i, S = 1 N 1 N E[X] = µ, E[S] = Σ. (X i X)(X i X), (16) In cazul unidimensional testele asupra mediilor se bazau pe staistica U repatizată normal şi pe statistica t a lui Student. Asemănător, testele privind mediile repartiţiilor normale multi dimensionale se vor baza pe o statistică χ 2 si pe o statistică T 2 a lui Hoteling, cu n grade de libertate. Aceste statistici arată de forma χ 2 k = Y Σ 1 Y, Y N(0, Σ), (17) Tn 2 = Y S 1 Y, Y N(0, Σ), ns = n Z α Z α, (18) unde Z i N(0, σ), Z i ind Y. S este o matrice W ishart. Variabila T 2 n are repartiţia Hoteling cu n grade de libertate. 24

25 Se arată că variabila T 2 n este legată de variabila F prin relaţia n k + 1 Tn 2 k n = F k,n k+1. (18) iar dacă in (18) Y N(µ, Σ), atunci T 2 n din (18) are repartiţia Hoteling necentrată cu parametrul de excentricitate δ 2 = µ Σ 1 µ, relatia (18 ) ramânând valabilă si pentru variabile necentrate. Relaţia (18 ) se păstrează şi intre cuantilele variabilelor F şi T 2 şi anume Tn,α 2 nk = n k + 1 F k,n k,α. (18 ) Verificarea ipotezelor asupra mediilor cand matricile de covarianţă sunt cunoscute. H 1. Ipoteza H : µ = µ 0, cu alternativa N H; µ µ 0. Se foloseşte selecţia de volum N. Deoarece in ipoteza, H X N(µ 0, Σ N ), rezultă că statistica χ 2 = N(X µ 0 ) Σ 1 (X µ 0 ) (19) are repartiţia χ 2 k, deci domeniul critic de nivel α este conform (19) χ 2 χ 2 k,α, unde P (χ 2 k χ 2 k,α) = α. (19 ) Puterea testului este dată de repartiţia χ 2 -necentrată adică π(m) = P (χ k;δ χ 2 k,α), unde δ 2 = N(µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ). (20) Amintim faptul că distanţa lui Mahalanobis dintre repartiţiile normale N(µ 1, Σ), N(µ 2, Σ) este D 2 = (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ) 25

26 deci δ 2 este o distanţă Mahalanobis. H 2. Problema celor două saelecţii, pentru două populaţii normale X N(µ 1, Σ), Y N(µ 2, Σ) cu Σ cunoscut. Presupunem că volumele celor două selecţii sunt N 1 respectiv N 2 si avem de testat ipoteza H : µ 1 = µ 2 cu alternativa N H : µ 1 µ 2. Deoarece in ipoteza H avem (X Y ) N(0, ( 1 N N 2 )Σ), rezultă χ 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (X Y) Σ 1 (X Y) (21) Domeniul critic de nivel α este deci de forma (19 ) iar puterea testului se determină cu χ 2 -necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ). (21 ) H 3. Problema celor r selecţii. Fie vectorii normali X (i) N(µ (i), Σ), Σ cunoscut şi selecţiile de volume N i asupra lor, 1 i r. Se dau constantele β i, 1 i r (ce pot fi numite măsuri de ponderare). Se cere să se verifice ipoteza H : µ = µ 0, µ = r β iµ i, numită problema celor r selectii. (In biologie µ este media caracteristicii unei specii ce provine din r ascendenţi; in economie, µ poate fi suma cheltuită de o familie pentru a-şi asigura r resurse necesare). Deoarece in ipoteza H vectorul aleator r β ix (i) N(µ 0, ( r βi 2 N i )Σ), rezultă ca testul se bazează pe statistica χ 2 = r β 2 1 i N i ( r β i X (i) µ 0 ) Σ 1 ( r β i X (i) µ 0 ). (22) 26

27 Domeniul critic de nivel α este tot de forma (19 ) cu χ 2 dat de (22). Puterea testului se calculează tot cu χ 2 necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = r β 2 1 i N i ( r β i µ (i) µ 0 ) Σ 1 ( r β i µ i µ 0 ). (22 ) H 4. Cazul matricilor de covarianţă neegale. Dacă X (i) r N(µ i, Σ i ), nu implică dificultăţi. In acest caz vectorul β ix (i) N(µ, Σ ) unde µ = r β i µ i, Σ = ( r Statistica testului este in acest caz χ 2 = ( r β 2 i N i )Σ. (23) β i X (i) µ 0 ) Σ 1 ( r β i X (i) µ 0 ), (23 ) care are repartiţia χ 2 k, deci domeniul critic este de forma (19 ), iar puterea testului se determină cu χ 2 necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = (µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ). (23 ) H 5. Problema simetriei. Fie X N(µ, Σ), µ = (µ 1,..., µ k ). Problema simetriei constă in a verifica ipoteza H : µ 1 =... = µ k. Fie ϵ = (1, 1,..., 1) vectorul k-dimensional cu toate componentele 1. Să considerăm o matrice C k (k 1), astfel incât Cϵ = 0. O astfel de matrice există deoarece cele k (k 1) elemente ale ei satisfac numai k ecuaţii. Cu aceste notaţii ipoteza H se poate 27

28 scrie H : Cµ = 0. Deoarece X este o estimaţie a lui µ,, rezultă că statistica test χ 2 = N(CX) (CΣC ) 1 (CX) (24) are repartiţia χ 2 k 1 şi deci domeniul critic iar puterea tesctului este χ 2 χ 2 k 1,α, π = P (χ 2 k 1;δ χ 2 k 1,α), unde δ 2 = N(Cµ) (CΣC ) 1 (Cµ). (24 ) Teste asupra mediilor repartiţiilor normale k-dimensionale, când matricile de covarianţă sunt necunosacute. T 1. Verificarea ipotezei H : µ = µ 0 cu alternativa N H : µ µ 0, cu Σ-necunoscut. Cu ajutorul selecţiei de volum N se estimează µ şi Σ astfel X = 1 N N X i, S = 1 N 1 N (X i X)(X i X). (25) Matricea S fiind o matrice Wishart, rezultă că statistica T 2 = N(X µ 0 ) S 1 (X µ 0 ) (26) are, in ipoteza H, o repartiţie Hoteling cu N 1 grade de libertate. Deci domeniul critic de nivel α pentru verificarea ipotezei H este T 2 T 2 N 1,α, unde P (T 2 N 1 T 2 N 1,α) = α. Puterea testului se calculează cu ajutorul repartiţiei T 2 necentrate cu parametrul de excentricitate δ 2 = N(µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ) (26 ) 28

29 adică π(µ) = P (T 2 N 1;δ T 2 N 1,α). (26 ) T 2. Problema celor două selecţii când matricile de covarianţă sunt necunoscute si egale. Fie X (1) N(µ 1,Σ), X (2) N(µ 2, Σ si două selecţii de volume N 1, N 2 respectiv. Se cere testarea ipotezei H : µ 1 = µ 2 cu alternativa N H : µ 1 µ 2. Matricea de covarianţă comună se estimează cu 1 N 1 + N 2 2 N 1 (X (1) S = i X (1) )(X (1) i X (1) ) + N 2 Deoarece X (1) X (2) N(0, N 1+N 2 N 1 N 2 (X (2) j=1 j X (2) )(X (2) (27)) Σ), rezultă că statistica T 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (X (1) X (2) ) S 1 (X (1) X (2) ), (28) are repartiţia T 2 N 1 +N 2 2. Atunci, domeniul critic al testului este T 2 T N1 +n 2 2,α, unde TN 2 1 +N 2 2,α = N 1 + N 2 2)k N 1 + n 2 k 1 F k,n 1 +N 2 k 1<α, (28 ) iar puterea testului se calculează cu T 2 necentrat cu parametrul de excentricitate δ 2 = N 1N 2 N 1 + N 2 (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ). (28 ) T 3. Problema celor două selecţii când matricile de covarianţă sunt necunoscute şi diferite. Presupunem deci că se dau vectorii normali X (1) N(µ 1, Σ 1 ), X (2) N(µ 2, Σ 2 ), 29 j X (2) ).

30 selecţiile corespunzătoare de volume N 1, N 2 şi se cere să se testeze ipoteza H : µ 1 = µ 2 < cu alternativa N H : µ 1 µ 2. Dacă până acum construcţia testelor T 2 decurgea asemănător testelor t din statistica unidimensională aici construcţia presupune un atificiu ce va fi prezentat in continuare. Astfel să presupunem că N 1 < N 2. (In caz contrar schimbam notarea vectorilor normali!). Din selectiile X (1) i, 1 i N 1 şi X (2) j, 1 j N 2, construim o nouă selecţie Y i, 1 i N 1 astfel N 1 Y i = X (1) i + 1 N 1 X (1) s 1 N 1 X (2) j, 1 i N 1. N 2 N 1 N 2 s=1 N 2 j=1 (29) Se arată că valorile de selectie Y i, 1 i N 1 sunt independente stochastic şi repartizate normal N(µ 1 µ 2, Σ), unde Σ = Σ 1 + N 1 N 2 Σ 2. (30) Matricea Σ se estimează cu S = 1 N 1 1 iar in ipoteza H statistica N 1 j=1 (Y j Y)(Y j Y) (30 ) T 2 = N 1 Y S 1 Y (31) are N 1 1 grade de libertate. Domeniul critic al testului este in acest caz T 2 T 2 N 1 1,α, (31 ) iar puterea testului este π(µ 1 µ 2 ) = P (T 2 N 1 1;δ T 2 N 1 1,α); δ 2 = N 1 (µ 1 µ 2 ) Σ 1 (µ 1 µ 2 ). (31 ) 30

31 T 4. Problema celor r selecţii când matricile de covarianţă sunt necunoscute şi egale.problema se tratează in paralel cu cazul H 4. Fie X (i) α, 1 i r, 1 α N i cele r selecţii, selecţia X (i) α fiind efectuată asupra populeţiei normale N(µ i, Σ). Se cere testarea ipotezei H : µ = r β iµ i = µ 0, cu alternativa N H : µ µ 0. Matricea Σ se estimează in mod obişnuit adică S = şi deoarece r r 1 N i r rezultă statistica test T 2 = care are f = r deci n i r (X (i) α α=1 β ix (i) µ 0 N(0, Σ ) unde r β 2 i ( r N i Σ = r β 2 i N i X (i) )(X (i) α X (i) ), (32) Σ, β i X (i) µ 0 ) S 1 ( r β i X (i) µ 0 ) (32 ) N i k grade de libertate. Domeniul critic este T 2 T 2 f,α, T 2 dat de (32 ), (33) iar puterea testului se calculează cu T 2 necentrat adică π(µ) = P (T f;δ T 2 f,α), (33 ) cu δ 2 = r β 2 1 i N i ( r β i µ i µ 0 ) Σ 1 r β i µ i µ 0 ). (33 ) 31

32 T 5. Problema celor r selecţii, cazul general. Presupunem că se dau r selecţii X (i) α, 1 i r, 1 α N i din populaţiile normale independente N(µ i, Σ i ), 1 i r, cu Σ i necunoscute si ne egale. Se cere să se verifice ipoteza H : µ = r β iµ i = µ 0 cu alternativa N H : µ µ 0, unde µ 0 şi coeficienţii β i, 1 i r sunt daţi. Şi aici se aplică un artificiu asemănător celui din cazul T 3. Presupunem că N 1 = min 1 i r N i. (In caz contrar schimbăm numerotarea astfel incât N 1 să fie cel mai mic). Construim selecţia Y α = β 1 X (1) α + r N 1 N i X (i) α 1 N 1 N i ν=1 X (i) ν + 1 N1 N i N i X (i) γ. γ=1 (34) Se arată că variabilele de selecţie Y α sunt independente stochastic şi repartizate normal Fie estimaţia lui Σ S = N(µ, Σ ), Σ = r 1 N 1 1 N 1 β 2 i N 1 N i Σ i. (35) (Y α Y)(Y α Y). (35 ) Dacă notăm cu S i estimatia lui Σ i, 1 i r se arată că S = r Statistica test pentru ipoteza H este β 2 i N 1 N i S i. (35 ) T 2 = N 1 (Y µ 0 ) S 1 (Y µ 0 ) (36) 32

33 şi ea are (in ipoteza H) repartiţia Hoteling cu N 1 1 grade de libertate. De aici rezultă că domeniul critic al testului este iar puterea testului este T 2 T N1 1,α, (36) π(µ) = P (T 2 N 1 1;δ T N1 1,α), δ 2 = N 1 (µ µ 0 ) Σ 1 (µ µ 0 ). (36 ) T 6. Problema simetriei când Σ este necunoscut. Se dă deci selecţia X α, 1 α N asupra unei populaţii normale N(µ, Σ), µ = (µ 1,..., µ k ) cu Σ necunoscut. Se cere sa se testeze ipoteza H : µ 1 =... = µ k cu alternativa N H care inseamnă că nu toate µ i sunt egale. Ca şi in cazul H 5, se alege matricea C k (k 1) astfel incât Cϵ = 0, ϵ = (1, 1,..., 1) iar ipoteza H este echivalentă cu Cµ = 0. Dacă considerăm estimaţia obişnuită S a lui Σ,şi estimaţia X a lui µ, atunci rezultă că CX N(Cµ, CΣC ) şi deci statistica T 2 = N(CX) (CSC ) 1 (CX) (37) are repartiţia Hoteling cu N 1 grade de libertate ( pe spaţiul k 1 dimensional!).domeniul critic al testului este T 2 T 2 N 1,α, T 2 N 1,α = (N 1)(k 1) (N k)(k 1) F k 1,N k,α. (37 ) Puterea testului se calculează cu variabila Hoteling necentrată (pe spaţiul k 1 dimensional) şi anume π(µ) = P (T 2 N 1;δ T 2 N 1,α), δ 2 = N(Cµ) (CΣC ) 1 (Cµ). (37 ) 33

34 Consideraţii finale. 1. Aici s-au prezentat numai consideraţii introductive privind verificarea ipotezelor statistice. Probleme ca: verificarea ipotezelor folosind selecţiile cenzurate ce intervin in fiabilitate, etc; testele secvenţiale; analiza dispersională;teste bazate pe statistici de ordine; teste pentru serii dinamice cu multiple aplicaţii in activităţi bancare;etc am coniderat că-şi au locul in prezentari speciale separate. 2. Pentru aplicarea testelor prezentate, se impun unele precizări legate de utilizarea tehnicilor moderne de calcul Toate funcţiile de repartiţie pot fi calculate cu pachetele de programe statistice existente. Astfel se pot determina atât cuantilele cat şi valorile acestor funcţii. Este o preoblema insă cu utilizarea funcţiilor de repartiţie ne centrate. Deoarece expresiile densităţilor de repartiţie ale lui t-necentrat, χ 2 -necentrat şi F - necentrat sunt date de serii de puteri, folosirea acestor expresii la calculul numeric al functiilor de repartiţie sau al cuantilelor (când trebuie rezolvată o ecuaţie in x de forma F (x) = p), este complicată. O ieşire din impas o poate reprezenta aproximarea lui Pathnaik pentru repartiţia χ 2 k;δ si anume: se aproximează repartiţia acestei variabile cu o variabilă repartiţie de forma cχ 2 k, adică χ 2 k;δ = cχ 2 k. (38) Egalând mediile şi dispersiile celor două variabile din (38) rezultă k + δ 2 = ck, k + 2δ 2 = c 2 k, (38 ) de unde c = k + 2δ2 k + δ 2, k = (k + δ2 ) 2 k + 2δ 2. (38 ) 34

35 Soluţia k din (38 ) se rotunjeşte la un intreg. Pentru utilizarea repartiţiilor F şi T 2 necentrate se poate utiliza in prealabil aproximarea repartiţiei χ 2 necentrată ce intră in definiţia lui F necentrată. Trebuie subliniat faptul că aproximarea Pathnaik este ne recomandată, fiind prea laxă Simularea Monte Carlo oferă o alternativă facilă şi mai bună pentru determinarea puterii testului in cazul unei repartiţii necentrate (sau oricărei alte repartiţii) şi anume: -in ipoteza N H, se simulează o selecţie de volum mare n, a statisticii test g: - cu această selecţie se determină estimaţia puterii testului π n = 1 F n (x α ) P (g > x α ), unde x α este valoarea critică a statisticii test. Dacă nu se poate utiliza uşor sau nu se cunoaşte expresia convenabilă a repartiţiei statisticii test g, atunci se procedează in mod asemănător,adică: - se simulează o selecţie de volum mare n, a statisticii test g in ipoteza H; - Se construieţe histograma lui g pe baza acestei selecţii; - cu ajutorul histogramei se rezovă ecuaţia P (g > x α ) = α, unde α este riscul de genul intâi, x α fiind valoarea critica a statisticii test.(problema inversă celei precedente). Când selecţiile de care dispunem au un volum mic, se poate folosi metoda bootstrap de re-selectie, care produce multe replici ale selecţiei iniţiale, ce pot permite o abordare asimptotica a analizei statistice a datelor originale ale selecţiei. 35

36 3. Verificarea ipotezei de normalitate unidimensională, nu ridică nicio problemă. Nu s-a menţionat ceva semnificativ privind verificarea ipotezei de normalitate multidimensională. In acest sens, recomandăm lucrările [3,4] de la bibliografie care prezintă adaptarea testului de concordanţă χ 2 in acest caz Cazul specificat. S-a văzut că testul χ 2 presupune ca spaţiul R p =,care reprezintă mulţimea valorilor vectorului p-dimensional X N(µ, Σ), sa fie divizat in k părţi disjuncte, făra a se impune cum se alege diviziunea. In lucrările menţionate se pleacă de la ideea că forma pătratică Φ(x) = (x µ) Σ 1 (x µ) permite divizarea spaţiului R p in coroane de elipsoizi, determinate de k 1 constante 0 < θ 0 <... < θ k 1. Astfel spaţiul R p se divide in k mulţimi disjuncte de forma 1 = {x 0 Φ(x) θ 1 }, i = {x θ i 1 < Φ(x) θ i, 2 i k 1}, Deoarece adica are o repartiţie χ 2 p, rezultă că k = {x Φ(x) > θ k 1. (39) (X µ) Σ 1 (X µ) = χ 2 p, (40) p 1 = P (X 1 ) = P (χ 2 p θ 1 ), p i = P (X i ) = = P (θ i 1 < χ 2 p θ i ), 2 i k 1), p k = P (X k ) = P (χ 2 p > θ k 1 ). (40 ) Frecvenţele f i care intervin in testul de concordanţă χ 2 se calculează simpu, numărând valorile de selecţie ce cad in i, 1 i k. 36

37 3.2. Cazul nespecificat. In acest caz, construcţia statisticii testului de concordanţă χ 2 se realizeată in următorii paşi (pentru selecţia X 1,..., X n de volum n mare): -se separă o (sub)selecţie de volum n 1 < n; - cu acestă selecţie se estimează parametri µ şi Σ cu formulele obişnuite (adica µ X, Σ S); se observă că variabilele (X i X) S 1 (X i X i ), n 1 < i n sunt repartizate T 2 n 1 1 pe spaţiul R p. - construcţia continuă ca in cazul specificat, elipsoizii fiind de acelaş tip, dar probabilităţile teoretice p i se calculează cu repartiţia T 2 n 1 1 pe R p in loc de χ 2 p. References [1] Gheorghe MIHOC, Virgil CRAIU.(1977).Tratat de statistică matematică, Vol.II. Verificarea ipotezelor statistice, Editura Academiei. [2] Ion VADUVA. (1970). Analiză dispersională. Editura Tehnică. [3] Ion VĂDUVA and Nicolae POPOVICIU.(1979). χ2 test of goodness of fit for multivariate normal distribution. Specified case. Econ.Comp.Econ.Cyb.St. and Res.,No. 2, 1979,p [4] Ion VĂDUVA and Nicolae POPOVICIU.(1980). χ2 test of goodness of fit for multivariate normal distribution.unspecified case. Econ.Comp.Econ.Cyb.St. and res., No 1, 1980,p

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala 8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)

Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2) Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie

Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării

Διαβάστε περισσότερα

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE

ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE INGINERIA TRAFICULUI 1-1 Lucrarea IT-1 ANALIZA DATELOR EXPERIMENTALE - Testul Kolmogorov-Smirnov - Un eperiment (fenomen) a cărui realizare diferă semnificativ atunci când este repetat în aceleaşi condiţii

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

3. I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2003

3. I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2003 CURS STATISTICĂ CURS 1 Bibliografie: 1. P. Blaga, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, vol. 2, Curs şi Culegere de probleme, Litografiat Univ. Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1994 2. P. Blaga,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE

TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE Capitolul 9 TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE D acă în capitolul anterior au fost epuse principalele aspecte ale teoriei selecţiei, în acest capitol vom trata modalitatea de aplicare a teoriei în testarea

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Recapitulare - Tipuri de date

Recapitulare - Tipuri de date Recapitulare - Tipuri de date Date numerice vârsta, greutatea, talia, hemoglobina, tensiunea arterială, calcemia, glicemia, colesterolul, transaminazele etc. valori continue sau discrete numere întregi

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2

Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 Statisticǎ - curs 4 Cuprins 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 2 Inferenţǎ statisticǎ privind media populaţiei dacǎ se cunoaşte abaterea standard

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ

PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Teste nonparametrice Testele nonparametrice se aplică variabilelor măsurate la nivel nominal sau ordinal. Ele se aplică pe eşantioane mici, nefiind nevoie de presupuneri

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor 4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

1. Distribuţiile teoretice 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) Histograma Nr. valori Nr. de clase de valori

1. Distribuţiile teoretice 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) Histograma Nr. valori Nr. de clase de valori 1. Distribuţiile teoretice (diagramă de distribuţie, distribuţia normală sau gaussiană) 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) 1. Distribuţia constituie ansamblul tuturor

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT

Cursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Cursul 6 Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Tabele de incidenţă - exemplu O modalitate de a aprecia legătura dintre doi factori (tendinţa de interdependenţă,

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4)

Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4) Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4) În practică eistă nenumărate eperienţe aleatoare care au un câmp de evenimente nenumărabil şi implicit sistemul complet de evenimente aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Modul de calcul al prețului polițelor RCA

Modul de calcul al prețului polițelor RCA Modul de calcul al prețului polițelor RCA Componentele primei comerciale pentru o poliță RCA sunt: Prima pură Cheltuieli specifice poliței Alte cheltuieli Marja de profit Denumită și primă de risc Cheltuieli

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

ECO-STATISTICA-NOTITZZE DE LABORATOR

ECO-STATISTICA-NOTITZZE DE LABORATOR ECO-STATISTICA: OBIECTIVE: A. EVALUAREA CELEI MAI PROBABILE VALORI A UNEI CARACTERISTICI A MEDIULUI IN ZONA INVESTIGATA si a ERORII DE ESTIMARE In zona investigata cu o probabilitate de 90% (riscul asumat

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Tranzistoare bipolare cu joncţiuni 1. Noţiuni introductive Tranzistorul bipolar cu joncţiuni, pe scurt, tranzistorul bipolar, este un dispozitiv semiconductor cu trei terminale, furnizat de către producători

Διαβάστε περισσότερα