1. УВОД 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће''

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. УВОД 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће''"

Transcript

1 ''Настава математике није наука. Она је уметност'' Ђерђ Поја - ''Математичко откриће'' 1. УВОД Зашто су краљевићи и царевићи од античких па до наших времена имали своје приватне учитеље математике? Зашто су највећи математичари у историји цивилизације били наставници математике касније значајним личностима својих епоха? Зашто данас родитељи, чак и најбољим ђацима, обезбеђују додатне часове математике? Зашто анализе успеха и врхунских резултата ученика на математичким такмичењима, скоро по правилу, указују на велики самостални рад ученика? Заједнички садржалац свих наведених (ин)директно постављених питања је: да ли је и зашто je индивидуална настава математике најефикаснији облик наставног рада? 1.1. ЗАШТО ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ? Не треба бити много упућен у проблеме математичког образовања да би се закључило да не постоји универзалан наставни програм математике који може занемарити индивидуалне разлике које постоје у способностима ученика уопште, а посебно када су у питању способности за изучавање математичких садржаја. Јасно је да ако су наставни садржаји математике дати у сасвим елементарној форми и ако су наставни захтеви на истом нивоу, онда су просечни и надпросечни ученици драстично оштећени, јер ће њихове способности остати нереализоване, а њихова мотивација ће бити скоро равна нули. Ако се пак наставни садржаји и настава математике прилагоде просечном ученику онда опет имамо два проблема, пошто ће тако конципирана настава бити презахтевна за слабије ученике и недовољно ангажована за боље ученике. То ће опет резултирати падом мотивације код обе групе ученика, јер ће једни бити демотивисани превисоким нивоом садржаја, а други недовољном амбициозношћу наставних захтева. Најнеприхватљивије је ипак, ако се настава усмери само ка даровитим ученицима, јер ће тада најбројнија ученичка популација бити без услова да активно прати наставна збивања. И мотивација ученика је тада опадајућа функција која стрмоглаво из проблема у проблем тежи нули из простог разлога што ће неразумевање наставних садржаја бити све веће и веће. Како изложене проблеме решити? 1

2 Једно од најбољих решења описаних ситуација је индивидуализација наставе математике, тј. омогућавање сваком ученику да до максимума реализује своје интелектуалне и математичке способности. Индивидуализирана настава 1 је најефикаснији облик наставе, јер је то облик наставе који у потпуности уважава и прати ученикове способности и темпо којим ученик овладава предвиђеним наставним садржајима. Иако је одговор на постављено питање био доста једноставан, реализација индивидуализиране наставе математике није ни мало лак посао. 1.. ЦИЉЕВИ ОВОГ РАДА Циљ овог рада је да изложи основне дидактичке карактеристике идвидуализиране наставе и полазећи од њих конституише и илуструје могуће дидактичке моделе који су могу применити у индивидуализираном раду са ученицима од редовне наставе математике, до разноврсних облика рада у оквиру додатне наставе и ваннаставних активности, као и у самосталном раду са ученицима. Дакле, циљ нам је да на разним примерима прикажемо богатство идеја које стоје на располагању реализаторима приликом индивидуализације наставе математике у старијим разредима основне школе. Зато овај рад не треба схватити као скуп дидактичко-методичких рецепата (модела) које ће безрезервно прихватити наставници практичари (будући корисници овог рада), већ као само једно виђење могућег наставног приступа у реализацији неких циљева и исхода наставе математике. Изложени методички модели ће бити груписани у неколико целина, а класификација целина је учињена према врстама наставе у којима се користи дати методички модел. То значи да ће у овом делу рада бити учињен напор да се за неке од циљева и исхода пронађе најадекватнији дидактичко-методички материјал који ће најбоље илустровати примену анализираних начина индивидуализације, при чему је евидентно да ће се садржаји појединих модела делимично преклапати. Свакако најајважнији циљ овога рада је да наставнике охрабри и подстакне у примени индивудуализираног облика рада у наставној пракси, јер је сигурно да и припрема и реализација индивидулизоване наставе математике од наставника траже и више времена и више напора него класична настава. Верујемо да ће резултати постигнути таквим радом бити највећа награда за труд и ентузијазам уложен у конципирање индивидуализоване наставе, али и да ће се у перспективи наћи начини да мотивација наставника не остане само у духовној сфери, већ да ће се конституисати механизми и за материјалну стимулацију оних који желе да иновирају, интензивирају и организују ефикаснију наставу. 1 Индивидуализирана и индивидуална настава нису исто, јер се код индивидуалне наставе процес учења одвија искључиво на релацији ученик наставник, а код индивидуализиране наставе наставник конципира наставни процес тако да сваки ученик у одељењу практично има индивидуалан рад

3 . ИНДИВИДУАЛИЗИРАНА НАСТАВА.1. ОСНОВНЕ ПОСТАВКЕ ИНДИВИДУАЛИЗИРАНЕ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ Индивидуални облик наставног рада представља појединачни рад ученика, било да он ради у на неком посебном задатку или да његов рад улази у оквир неког општег рада (домаћи задатак, контролна вежба, писмени задатак, тест,...). Овај облик наставног рада настао је из потребе уважавања индивидуалних разлика у способностима, ритму и темпу рада појединих ученика. Индивидуализирани облик наставе математике подразумева стални интензивни и активни однос ученик наставник у коме наставник прати индивидуално напредовање ученика практично из проблема у проблем. Зато се индивидуализација наставе математике најчешће везује за интерактивну наставу. Интерактивна настава се заснива на сталној комуникацији између ученика и наставника и представља један од најактивнијих и најхуманијих методичких захвата у наставном раду. Интерактивно учење разбија све комуникацијске баријере, омекшава традиционални однос ученик-наставник, изграђује поверење и успоставља сараднички однос између ученика и наставника. Интеракција ученик наставник подразумева не само разбијање једног односа који почива на ауторитету наставника по дефиницији, већ и превазилажење свих недостатака разредно-часовног система. Ученик и наставник се не виђају и не комуницирају само у току часова редовне или додатне наставе, већ и у другим приликама, кад год се за то укаже потреба. Уз то комуникација је разновсна: директна, преко писаних материјала (задаци, упутства, решења, текстови, часописи, збирке задатака и литература уопште...), телефонска комуникација, комуникација путем електронске поште... У интерактивном учењу се повећава активност и ученика и наставника. А наставник није више у позицији да само преноси знања и тражи одговоре. Ученици траже нове и нове проблеме којима ће се бавити, али и одговоре на оно што њих интересује: коришћене формулације, решења проблема које нису успели да реше; теоријске основе које нису успели да до краја разјасне... Наставник добија шансу да пласира и провери идеје које доприносе и продубљивању и проширивању садржаја. Организационо гледано интерактивно учење се одвија у континуитету и сталном повратном дејству, са увећаном стваралачком продукцијом и ученика и наставника. Међутим, данашњи развој технологије, нарочито у сфери коришћења Интернета пружа велике могућности за интерактивно учење, јер ученик и наставник могу комуницирати скоро свакодневно коришћењем електронске поште, чиме комуникација добија на фреквентности, динамици, а наравно и на квалитету.. Интерактивно учење се у смислу претходно изнетих карактеристика може приказати следећом схемом: 3

4 НАСТАВНИК Материјали Текстови Проблеми Упутства Решења Резултати УЧЕНИК Часописи Литература Питања Одговори Настава се планира и реализује по макро-структурном моделу који је карактеристичан за сваки наставни систем, а чине га осмишљена активност на програмирању припремања, усвајања нових наставних садржаја, увежбавања, понављања и проверавања, при чему наредна активност логично проистиче из претходне. ПРИПРЕМАЊЕ НАСТАВЕ УСВАЈАЊЕ НОВИХ НАСТАВНИХ САДРЖАЈА ВЕЖБАЊЕ НАСТАВНИХ САДРЖАЈА ПОНАВЉАЊЕ УСВОЈЕНИХ НАСТАВНИХ САДРЖАЈА ПРОВЕРАВАЊЕ СТЕЧЕНИХ ЗНАЊА Свака од претходно наведених макро-структурних наставних активности брижљиво је планирана коришћењем микро-стуктурног модела, што значи да је свака од наставних активности прецизно дефинисана по циљу, задацима, методама, средствима и облицима рада. ЦИЉ МЕТОДЕ ОБЛИЦИ МАС ЗАДАЦИ СРЕДСТВА Видети: [ 8. ] Ђукић, Мара: Дидактички чиниоци идивидуализоване наставе Нови Сад, стр

5 И макро и микро структура подлежу детаљној анализи у оквиру дидактичког четворороугла (видети наредну схему) кога чине четири основна фактора сваке квалитетне наставе: активности наставника, активности ученика, наставни садржаји и медији. 3 Елементи дидактичког четвороугла нису случајно повезани свим могућим везама, јер само добра корелација између свих елемената система даје оптималне наставне ефекте. Зато планирање и програмирање наставе није могуће без узимања у обзир међусобних узрочно-последичних веза између свих елемената система и зато интерактивна настава има велике шансе за успех само ако је оставрена максималну синхронизација унутар свих елемената система. АКТИВНОСТИ НАСТАВНИКА АКТИВНОСТИ УЧЕНИКА НАСТАВНИ САДРЖАЈИ НАСТАВНИ МЕДИЈИ Наставни модел интерактивне наставе подразумева детаљну разраду сваког од задатих елемената модела. Дакле дефинисање сваког од основних фактора наставе по свакој од макро-структурних активности и сваком од микро-структурних елемената. То значи да се у припремању наставног процеса врши четворослојна припрема, јер се активности ученика и наставника и наставни садржаји и медији анализирају у оквиру датих микро и макро компоненти по следећој схеми: ПРИПРЕ- МАЊЕ УСВАЈАЊЕ НОВИХ САДРЖАЈА ВЕЖБАЊЕ ОБНАВЉА- ЊЕ ПРОВЕРА- ВАЊЕ ЦИЉ ЗАДАЦИ МЕТОДЕ СРЕДСТВА ОБЛИЦИ 3 Видети: [ 8.] Ђукић, Мара: Дидактички чиниоци идивидуализоване наставе Нови Сад, стр

6 Остаје да у оквиру датог дидактичког модела направимо компаративну анализу која показује предности и мане фронталног, групног и индивидуализираног облика рада у настави математике, при чему се код групног рада анализа односи на рад у хомогеним групама: ФРОНТАЛНА НАСТАВА ГРУПНИ РАД ИНДИВИДУАЛИЗИРАНА НАСТАВА АКТИВНОСТИ НАСТАВНИКА Ангажује наставника као предавача или Организатора дијалога са ученицима Ангажује наставника у већој мери Наставник није само предавач и дијалог мајстор Наставник постаје координатор активности група Максимално ангажује наставника Наставник је и предавач и координатор Наставник је и аутор индивидуалних медија АКТИВНОСТИ УЧЕНИКА Недовољне Сведене на активност само појединих ученика Приличне Могуће разлике у нивоу ангажовања у групи Оптималне Омогућују максимално ангажовање ученика НАСТАВНИ САДРЖАЈИ Прилагођени само једном делу ученика За остале ученике или прелаки или претешки Делимично прилагођени могућностима ученика Омогућују квалитетно напредовање ученика Прилагођени могућностима свих ученика Омогућују благо проширивање и продубљивање знања НАСТАВНИ МЕДИЈИ Конструисани униформно Конструисани по моделу благе диференцираности Конструисани оптимално диференцирано Из горње табеле се види да је индивидуализирана настава најзахтевнији облик наставног рада, али и најефикаснији, јер не оставља могућност празног хода наставнику, али је при том и ангажовање сваког ученика максимално. Наравно и при оваквог раду наставник ће највише бити ангажован око ученика који имају највише проблема у савладавању наставних садржаја, али то при индивидуализираном раду неће имати последице на друге ученике, јер ће они имати довољно времена, простора и дидактичког материјала за индивидуално напредовање ДА ЛИ ЈЕ НАСТАВА МАТЕМАТИКЕ ПОГОДНА ЗА ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈУ? Настава математике је веома погодна за индивидуализацију, јер у суштини највећа активност ученика у настави математике почиње тек када се крене на увежбавање садржаја и решавање проблема. Зато је учење решавањем проблема (проблемска настава) методички модел који се најчешће примењује у индивидуалном раду. Решавање проблема је процес који у највећој мери активира све интелектуалне потенцијале ученика. То је процес који обезбеђује примену свих стечених знања и метода и њихову синтезу у логичан низ чињеница које из датих услова изводе потребне закључке и корак по корак воде ка добијању крајњег решења. 6

7 Теоретичари решавања математичких проблема 4 разликују две врсте математичких проблема: конструктивни проблеми и проблеми доказивања. Решавање конструтруктивних задатака подразумева конструкцију новог математичког објекта (геометријска фигура или тело, скуп бројева, низ, формула...) или израчунавање неких његових битних карактеристика (обим, површина, запремина, елементи скупа,...) који задовољавају све постављене услове. Решавање доказних задатака је поступак којим се из датих услова који важе за један или више математичких објеката, коришћењем одређених логичких и математичких правила доказује неко ново својство или однос датих математичких творевина. Напоменимо и да су у настави математике у старијим разредима основне школе нешто фреквентнији конструктивни задаци, али да се почев од VI разреда често примењују и доказни задаци у мери и са строгошћу примереној узрасту, психолошким и интелектуалним карактеристикама ученика. Чувени амерички математичар (мађарског порекла) Ђерђ Поја у својој популарно написаној књизи ''Како ћу решити математички задатак?'' 5 даје и на примерима објашњава један врло употребљив општи алгоритам за решавање математичких проблема. То је поступак који треба да буде увек на уму сваком ученику и зато је у наставном раду неопходно да се добро илуструје поменути алгоритам. Наравно, неће сам алгоритам решити ниједан математички проблем, али може много помоћи да се његовим коришћењем издиференцирају фазе у решавању и корак по корак дати проблем трансформише у облик из кога се далеко лакше добијају тражена решења и изводе потребне анализе. Алгоритам за решавање математичких проблема који предлаже Ђерђ Поја дат је у следећој табели којом се аутор алгоритма обраћа ученицима: ПРВО ТРЕБА ДА РАЗУМЕШ ЗАДАТАК ДРУГО ПОТРАЖИ ВЕЗУ ИЗМЕЂУ ЗАДАТОГ И НЕПОЗНАТОГ! РАЗУМЕВАЊЕ ЗАДАТКА Шта је непознато? Шта је задато? Како гласи услов? Да ли је могуће задовољити услов? Да ли је услов довољан за одређивање непознате? Или није довољан? Можда је преодређен? Или контрадикторан? Нацртај слику! Уведи препознатљиве ознаке! Растави разне делове услова! Можеш ли их написати? ПРАВЉЕЊЕ ПЛАНА Да ли си задатак већ видео? Или си исти задатак видео у нешто другачијем облику? Знаш ли неки сродни задатак? Да ли знаш која теорема би ти могла бити од помоћи? Размотри непознату! Покушај да се сетиш неког познатог задатка који садржи исту или сличну непознату! 4 5 Видети књигу [13.] Джордж Пойа - Математическое открытие ''Наука'' Москва,1976. Видети књигу [14.] Ђерђ Поја: Како ћу решити математички задатак? ''Школска књига'' - Загреб,

8 АКО СЕ НЕ МОЖЕ НАЋИ НЕПОСРЕДНА ВЕЗА, МОРАЋЕШ ДА РАЗМОТРИШ ПОМОЋНЕ ЗАДАТКЕ. НА КРАЈУ ТРЕБА ДА НАПРАВИШ ПЛАН РЕШАВАЊА. ТРЕЋЕ Ево задатка који је сличан твом, а већ је решен! Можеш ли га употребити? Можеш ли применити његов резултат? Можеш ли применити методу којом је тај задатак решен? Да ли можеш да уведеш неки помоћни елемент који би ти олакшао употребу тог задатка? Можеш ли да другачије формулишеш задатак? Да ли га је могуће изразити на још неки начин? Врати се на дефиниције! Ако не можеш да решиш постављени задатак покушај прво да решиш неки сродан задатак! Можеш ли да се сетиш неког лакшег задатка који му је сличан? Општији задатак? Специфичнији задатак? Аналогни задатак? Можеш ли да решиш део задатка? Задржи само један део услова, а одбаци други део; када је непозната тако одређена како се може мењати? Да ли из датих података можеш извући нешто употребљиво? Да ли можеш да се сетиш неких других података који ти могу помоћи у одређивању непознате? Можеш ли да промениш непознату, или дате податке, или ако треба и једно и друго тако да нова непозната и нови подаци буду међусобно ближи? Да ли си искористио све задато? Да ли си искористио услов у потпуности? Да ли си узео у обзир све битне појмове који се налазе у задатку? ПРИМЕНА ПЛАНА ПРИМЕНИ СВОЈ ПЛАН! ЧЕТВРТО ПРОВЕРИ ДОБИЈЕНО РЕШЕЊЕ Када користиш план решавања, контролиши сваки корак! Можеш ли јасно видети да је корак исправан? Можеш ли доказати да је исправан? ПРОВЕРА Можеш ли проверити резултат? Можеш ли проверити доказ? Можеш ли резултат извести другачије? Можеш ли га уочити на први поглед? Можеш ли резултат или поступак употребити на неком другом задатку? ПРИМЕР 1. Одредити непознате цифре а и b тако да број 009 ab буде дељив са 1. ПРВО ТРЕБА ДА РАЗУМЕШ ЗАДАТАК РАЗУМЕВАЊЕ ЗАДАТКА У траженом шестоцифреном броју непознате су цифре а и b Дате су прве четири цифре, 0, 0 и 9 Услов је да добијени шестоцифрени број буде дељив са 1 Услов је могуће задовољити, јер је, на пример, број дељив са 1, али дељив и са 36. Услов да је број 009аb дељив са 1 је довољан за одређивање решења Услов није контрадикторан. 8

9 ТРЕБА ДА РАЗУМЕШ ЗАДАТАК ДРУГО ПОТРАЖИ ВЕЗУ ИЗМЕЂУ ЗАДАТОГ И НЕПОЗНАТОГ! АКО СЕ НЕ МОЖЕ НАЋИ НЕПОСРЕДНА ВЕЗА, МОРАЋЕШ ДА РАЗМОТРИШ ПОМОЋНЕ ЗАДАТКЕ. НА КРАЈУ ТРЕБА ДА НАПРАВИШ ПЛАН РЕШАВАЊА. ТРЕЋЕ ПРИМЕНИ СВОЈ ПЛАН! ЧЕТВРТО ПРОВЕРИ ДОБИЈЕНО РЕШЕЊЕ Чини се да проблем има више решења, јер је сваки дванаести број дељив са 1 Слика ми није потребна Дати услов садржи два подуслова: да би добијени број био дељив са 1 мора бити дељив са 3 и са 4 То значи да збир цифара добијеног броја мора бити дељив са 3 Али и да двоцифрени завршетак аb мора бити дељив са 4 ПРАВЉЕЊЕ ПЛАНА Имам две идеје Прва је: Одредићу најмањи број 009аb који је дељив са 1, а остале ћу добити додавањем броја 1 на претходни број, јер је сваки дванаести број дељив са 1 Друга је да одредим збир цифара траженог броја 009аb, а он је 11 + а + b и да издвојим све комбинације а и b које задовољавају два постављена услова, тј. да је 11 + а + b дељиво са 3 и да је двоцифрени завршетак аb дељив са 4. За прву идеју план је јасан - треба одредити најмањи број За другу идеју план се састоји у додавању на 11 збирова а + b који омогућују дељивост са 3. Дакле, а + b може бити 1, 4, 7, 10, 13 и 16, јер а + b не може бити веће од 18. ПРИМЕНА ПЛАНА Прва идеја: Најмањи тражени број је 00904, јер број није дељиви са 3, а број 0090 није дељив са 4. Сви тражени бројеви су тада 00904, 00916, 0098, 00940, 0095, 00964, 00976, Друга идеја: Ако је а + b = 1 могући су бројеви или 00910, а решења нема јер ни један од бројева није дељив са 1. Ако је а + b = 4 могући су бројеви 00904, 00913, 009, 00931, 00940, а решења су и 00940, јер остали бројеви нису дељиви са 4. Ако је а + b = 7 могући су бројеви 00907, 00916, 0095, 00934, 00943, 0095, и 00970, а решења су и 0095, јер остали бројеви нису дељиви са 4. Ако је а + b = 10 могући су бројеви 00919, 0098, 00937, 00946, 00955, 00964, 00973, 0098, 00991, а решења су 0098 и 00964, јер остали бројеви нису дељиви са 4. Ако је а + b = 13 могући су бројеви 00949, 00958, 00967, 00976, 00985, 00994, а решење је само број 00976, јер остали бројеви нису дељиви са 4. Ако је а + b = 16 могући су бројеви 00879, 00988, 00997, а једино решење је 00988, јер остали бројеви нису дељиви са 4. ПРОВЕРА Упоређивањем решења добијених првом и другом идејом јасно је да су добијена решења једина решења Решење је добијено на два начина, а сигурно је и да постоје друге могућности. На пример од свих бројева чији је двоцифрени завршетак дељив са 4 елиминисати оне који нису дељиви са 3 Или одредити остатак при дељењу броја са 1 и на основу тога одредити најмањи број. Дати поступак се може употребити и код проблема који имају сличну формулацију. На пример: Одредити све бројеве облика 009 ab који су дељиви са 15. Одредити цифре а и b такве да је збир бројева 134а и 9876b дељив са 1 9

10 Како изгледа примена предложеног алгоритма на решавање појединачних проблема илустровано је на претходном примеру, уз напомену да сличне фазе реализације има и проблемска настава, која се се одвија кроз неколико обавезних фаза: 1. Стварање проблемске ситуације;. Формулисање хипотеза; 3. Декомпозиција проблема; 4. Решавање проблема; 5. Анализа резултата; 6. Практична примена. Примену проблемске наставе у настави математике могуће је практично илустровати многим примерима, јер је цела настава математике уствари решавање проблема. Индивидуализација се врши погодним избором проблема, тј. диференцијацијом проблема зависно од нивоа математичких спообности ученика и брзине којом ученици могу решавати задате проблеме. * На крају овог поглавља, неколико речи и о неким заблудама везаним за индивидуализирани облик рада. Индивидуализирану наставу као облик рада не треба поистовећивати са додатном наставом, јер она то није, иако је индивидуални облик најчешће примењиван облик рада у додатној настави. Међутим, индивидуализирани облик рада се примењује и у допунској настави и представља једнако ефикасан систем рада и са ученицима скромнијих и са ученицима изузетних математичких способности. Треба нагласити и да између самих термина индивидуални рад и индивидуализована настава не стоји знак једнакости, јер индивидуалан рад је везан за ученике, а индивидуалиацију наставе врши наставник. Следећа заблуда је везана за глорификацију индивидуализираних облика рада која може бити веома штетна. Просто нема потребе да се превише форсира примена индивидуализираних облика рада, јер нису сви наставни садржаји и нису све врсте наставе једнако погодне за индивидуализацију, нити је индивидуализирана настава свемоћна. Индивидуализирани облик рада може дати ефикасне резултате само ако се правилно и правовремено користи у јединству са другим облицима и методама рада. Исто тако како је опасна глорификација индивидуализираног облика рада, опасно је и подцењивање, јер је код неких наставних садржаја и неких наставних сизуација права штета све ученике фронтално замарати бесконачним понављањем познатих алгоритама и индивидуализација је прави спас за ученике који су помињани алгоритам већ савладали. Дакле, треба имати реална очекивања када су у питању исходи индивидуализиране наставе с обзиром на осетљивост периода у коме се налазе ученици старијих разреда основне школе и чињеницу да се највећа емоционалне и интелектулне промене код ученика дешавају управо у том периоду. 10

11 ОБРАЗОВНИ НИВОИ ПРИЛОГ Ниво препознавања - најнижи ниво, кад ученик није у стању да самостално искаже тражени податак, правило и сл.; али га се може сетити уз извесну помоћ наставника, или га може препознати у низу понуђених одговора (нпр. у тесту са вишеструким избором одговора).. Ниво репродукције - мало квалитетно али неопходно знање, када ученик може самостално да репродукује научени садржај у погледу познавања чињеница, термина, правила, класификација, поступака итд. 3. Ниво разумевања - квалитетније знање у односу на претходне нивое, када ученик стварно схвата и разуме научени садржај и у стању је да га логички образложи, тј. градиво излаже логично и с разумевањем (ученик је у стању не само да препозна и репродукује научено, већ да врши и мисаону прераду знања - да разуме и објасни чињенице, појмове, правила, дефиниције, да издвоји битно од небитног, повезује чињенице и изводи закључке). Ученик који је научио градиво на овом нивоу може вербално исказани задатак да "преведе" на математички језик (језик симбола), и обрнуто, са више апстрактног (математичког) језика може да "преведе" на мање апстрактан (конкретнији, обичан) језик. 4. Ниво примене - врло квалитетно знање, када је ученик у стању да научене садржаје (правила, алгоритме, теореме, методе и сл.) самостално примењује у решавању разних теоријских или практичних задатака, сличних онима који су већ решавани, тј. ученик уме стечено знање да примењује при учењу новог градива, у животу и пракси. 5. Ниво креативности или стваралачког решавања проблема - најквалитетније знање, када је ученик (сагласно свом узрасту) у стању да стечено знање и познате методе примењује у сасвим новим ситуацијама (нпр. у решавању задатака сасвим нове врсте), да самостално издваја битне идеје и чињенице и проналази одговарајуће поступке за решавање појединих проблема, да стваралачки и самостално реорганизује градиво које излаже, критички анализира и процењује изнете тврдње или "теорије". 3. ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА РЕДОВНЕ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ Редовна настава је најзаступљенија врста наставе у нашим школама и зато је најнормалније на првом месту размотрити њену индивидуализацију, јер су ученици и наставници највећи део времена (око 140 наставних часова годишње) ангажовани баш овом врстом наставе. Индивидуализација редовне наставе математике најчешће се реализује кроз: Додатне захтеве при фронталном раду ''Степенасту'' индивидуализацију Индивидуализацију домаћих и писмених задатака, контролних вежби, тестова... 11

12 3.1. ДОДАТНИ ЗАХТЕВИ ПРИ ФРОНТАЛНОМ РАДУ Индивидуализација редовне наставе математике најчешће се везује за часове увежбавања, обнављања, систематизације наставних садржаја, јер је врло тешко индивидуалним обликом рада реализовати часове стицања нових знања. Индивидуализација се реализује тако што у оквиру проблема (а) који је фронтално презентиран свим ученицима, поједини ученици добијају у оквиру истог задатка додатне захтеве (b), (с)... Најбоље је да ти делови имају, али по некад и не морају имати очигледну повезаност... Индивидуализацију наставе преко додатних захтеве при фронталном раду илуструјемо следећим примерима: ПРИМЕР. Разред: Наставна јединица: Тип часа: Први Линеарне једначине Час увежбавања стечених знања ЗАДАЦИ: a) Решити једначину: 3(х + ) (1 х) = 4х b) Одредити решења једначине: (х ) (х 3)(х + 3) = 13 4х. с) Решити једначину: (х + ) 3 (х ) 3 = 1 (х х) а) Одредити решења једначине: x + = x 6 3 y + 1 y 7 y + 6 b) Решити једначину: y = x 5 6 7x с) Одредити решења једначине: = x 4 6 3x а) Решити једначину: + 1 = t 3 b) Одредити решења једначине: с) Решити једначину: + y 4 4 t t 3 x x 3 x + = x x + 4 x 1 = y 4y y + 5y + 6 а) Применом формуле А В = 0 А = 0 В = 0 решити једначину: (х 1)(х + 4) = b) Ако је А В = 0 А = 0 В = 0 решити једначину: (х )(3х + 1) = ( х)(х + 5). с) Применом формуле А В = 0 А = 0 В = 0, решити једначину: х 3 3х = х х. 1

13 5. x + 1 3x + 4 а) Да ли су еквивалентне једначине: 3х + = х + 3 и =? 7 x + 3 x 1 b) Да ли су еквивалентне једначине: х(х ) = (х -1)(х + 1) и = x 3 x + 1 с) Да ли су еквивалентне једначине: х 1 = 0 и x x x x x 1 =? x 5? Текстови датих задатака се ученицима презентују помоћу графоскопа или видео бима, при чему се увек презентира цео задатак. На презентацију следећег задатка се прелази тек када неко од ученика тачно реши све делове претходног задатка. Тако се обезбеђује поступност у решавању, без прескакања, које је могуће (а није добро) ако се задаци ученицима презентирају коришћењем наставних листића. Решења датих проблема се излажу на табли редоследом задавања. Темпо излагања решења задатака је сигурно спорији од темпа решавања, па ће се најчешће десити да се сва решења не презентирају. Међутим, вероватно ће се сви задаци решити. У том случају треба бар дати повратну информацију о тачним решењима. Добра је и пракса да се табла поделити на два дела и да се на једном делу исписују решења задатака (а), а на другом делу решења задатака (b), (с),... Ти процеси могу да се одвијају истовремено. Важно питање је селекције ученика који решавају задатке (а), а који и остале делове датих задатака. Овакав начин рада отклања сваку могућност дискриминације, јер једноставно се ником не забрањује да решава било који задатак. Ако реши задатак (а) може да пређе на задатак (b) или (с). Исто тако може да прати и записује сва решења, тј. може да бира какао ће пратити процес увежбавања, што мислимо да је и психолошки и мотивационо јако позитивно. ВЕЖБА 1. У наредној табели дати су задаци елементарне сложености, дакле нивоа препознавања, нивоа репродукције или нивоа разумевања. У сваком од датих проблема додати сложеније задатке, дакле задатке нивоа примене или нивоа креативности, који се могу искористити као додатни проблеми намењени индивидуализацији. Избор задатака који се додају може бити, а не мора бити из скупа предложених. Могу се искористити, али не морају сви предложени задаци. Разред: Наставна јединица: Тип часа: Други Основне особине логаритама Час увежбавања стечених знања ЗАДАЦИ: a) Израчунати log b) с) 13

14 а) Одредити реалан број а, ако је log a 343 = 3. b) c) a) Колико је log b) c) a) Oдредити х, ако је log 7 x = log log b) c) a) Израчунати: log log b) c) I. Одредити 14 log a b a b log b II. Ако је log = а и log 3 = b, израчунати log 648. III. Одредити log аb, је log a 16 = 0,5 и log b 0,5 = -4. IV. Израчинати log 5 log 0 + log. V. Израчунати: log 5 15 log VI. Ако је log 3 a = b, израчунати a 5 log 7 a. VII. Израчунати: log 8 log 4 log 16 VIII. Одредити log и log 5 у функцији од а, ако је log log 5 = а. IX. Израчунати log a a 3 a a X. Одредити реалан број а, ако је log 16 + log a = a ВЕЖБА. Користећи уџбеничку литературу конструиши сценарио за час индивидуализиране наставе коришћењем додатних захтева при фронталном раду за следеће наставне теме: 1. Алгебарске трансформације полинома (1. разред час систематизације). Експоненцијална једначина (. разред час систематизације) 3. Површина и запремина призме и пирамиде (3. разред час систематизације) 4. Извод функције (4. разред час систематизације).

15 3.. "СТЕПЕНАСТА'' ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА Поступак делимично сличан претходном је такозвана ''степенаста'' индивидуализација. Наиме процес увежбавања наставних садржаја није ништа друго до ''пењање уз степенице'' од задатка до задатка који су поређани од лакшег ка тежем, од једноставнијег ка сложенијем... дакле уз поштовање свих дидактичких принципа. Сваки ученик се пење својим темпом од подножја ка врху. Неки ће стићи до трећине степеница, неки до половине, неки на сам врх, независно од воље наставника, а зависно од усвојених знања и својих математичких способности. ПРИМЕР 3. Разред: Наставна јединица: Тип часа: Трећи Аритметички низ Час увежбавања стечених знања ЗАДАЦИ: Ако су m и n различити природни бројеви и ако је Ѕ m = Ѕ n, онда је Ѕ m + n = 0. Доказати. Збир првих n чланова аритметичког низа је n + 7n S n =. Одредити а 33. Реални бројеви а, bи с чине аритметички низ. Доказати да тада и бројеви а + аb + b, а + ас + с и b + bс + с чине аритметички низ. Важи ли обрнуто? 8. Решити једначину х = Између реалних бројева 9х + у и 9у + х, уметнути 7 реалних бројева, тако да се добије девет узастопних чланова аритметичког низа. Реални бројеви х + 1, х + 3 и 6х 1 су узастопни чланови једног аритметичког низа. Одредити х. Одредити растући аритметички низ ако је збир прва три члана тог низа 7, а збир њихових квадрата 75. Израчунати а 10 и збир првих 0 чланова аритметичког низа, ако је а 1 + а 5 = 6 и а а 4 = 160. Једнакости а 1 + а 3 = 8 и а 5 а = 9 одређују један аритметички низ. Одредити а 10 и Ѕ 11.. Дат је аритметички низ тако да је а 5 = 81 и d = -3. Који члан тог низа је једнак 0? 1. Први члан аритметичког низа је а 1 = 3, а разлика d =. Одедити двадесет пети члан и збир првих тридеет чланова тог аритметичког низа Поступак презентације задатака, као и презентације њихових решења је слободнији него код претходног примера. То значи да се задаци могу ученицима приказати графоскопом, видео-бимом, али и коришћењем наставних листића. 15

16 Табла се може поделити на 10 поља и у поља се редоследом решавања уписују решења задатака. Идеално би било да се задаци решавају поступно, дакле у низу 1,,...10, 11 али се, у изузетним случајевима, ученицима може дати слобода да проблеме решавају и ван уобичајеног поретка., при чему је добро устројити ред један лакши задатак, па један тежи задатак, и тд. Дакле, у том случају ефикасан редослед би био 1 6, 7, 3 8, 4 9, 5 10,... И у овом типу индивидуализације нема дискриминације ученика, нити проблема појединачног темпа, јер ће сваки ученик пратити сопствени темпо, при чему је добро да сви почну од првог задатка. Можда се десет задатака чини много за један час, али и брзина решавања проблема је добар индикатор усвојености наставних садржаја. Уосталом, лакши задаци ће бољим ученицима бити добро загревање ''кликера'' за мисаоне напоре који их очекују при врху степеница. Од велике важности и код овог и код других типова индивидуализације је обучити ученике наставном поступку и објаснити им да циљ рада на часу није такмичење у решавању датих проблема, већ максимално ангажовање сваког ученика, интензивнија настава и боља искоришћеност времена. Наставник мора бити изузетно сконцентисан и активан, јер мора бити скоро непрекидно у акцији од ученика до ученика и мора пажљиво бирати ученике који излажу своја решења на табли. У том смислу је веома важно да се најбољи ученици не ''потроше'' на решавање задатака од 1 до 5. У мотивационом смислу ће много значити, ако своја решења тих задатака изложе ученици скромнијих математичких способности. Иако код ''степенасте'' индивидуализације и уопште сваке индивидуализације организација часа јесте приличан проблем, далеко већи проблем је сам избор задатака и њихова ''степенаста'' класификација. Дајемо кратко упутство о једном од могућих приступа диференцирању проблема који се предлажу за индивидуалан рад. Прва активност наставника усмерена је на избор потенцијалних проблема, а њих мора бити, бар за око 50% више од оних који ће бити решавани на часу. Други део посла је бар делимично решавање свих проблема, како би наставник имао конкретан утисак о сложености сваког од одабраних задатака. У трећој фази се врши класификација проблема по образовним нивоима, тј. опредељивање који задатак мери ниво припознавања, ниво репродукције, ниво разумевања, ниво примене, односно ниво креативности. 6 Четврта фаза је сврсисходна елиминација вишка проблема, што значи да се изостављају проблеми сличног садржаја, односно сличних нивоа захтева. Последња пета фаза програмирања индивидуализираног рада је конструисање ''степенастог'' низа задатака. То је креативан посао за који нема правила, али много значи знање и искуство, као и познавање интелектуалних могућности ученика. Битно је да се као финални производ добије низ проблема од којих је сваки за нијансу сложенији од претходног тако да решавање сваког следећег задатка тражи нови мисаони напор ученика напор који му је у интелектуалном смислу потребан да се ''попење'' на наредну степеницу. 6 Видети: прилог 1 (страна 11.) Класификакица нивоа је узета из: [10.]: Наставни програм математике за средњу школу у Републици Србији, ''Архимедес'', Београд 1991, страна 8 16

17 ''Степенаста'' индивидуализација је добра и због тога што је домаћи задатак за ученике у највећем броју случајева очигледан, јер правило може да буде да свако ко је стигао до n-тог задатка за домаћи задатак самостално реши наредна три задатка, дакле задатке: n + 1, n + и n + 3. Дат је следећи низ задатака: ВЕЖБА 3. I. Решити једначину: sinx + cosx = 1 + sinx cosx. II. Решити једначину 1cosx - 5sinx + 13 = 0. III. Решити једначину: sinx = cosx. IV. Решити једначину: sinx = 0,5. V. Решити једначину tgx + ctgx = -. VI. Колико решења у интервалу ( -π, 3π ] има једначина sin x = 1 + cosx? VII. Колико решења у интервалу ( -π, 4π ] има једначина VIII. Одредити решења једначине cos3x + cos5x = 0. IX. Одредити решења једначине sinx = ѕinx. cos x x sin = 0? X. Одредити решења једначине sinx + cosx + tgx = π XI. Одредити решења једначине: cos x + = cos x. Дате задатке поређај у ''степенасти'' низ од једанаест задатака намењених примени индивидуализираног облика наставног рада за систематизацију наставних садржаја за наставну тему: Тригонометријске једначине (. разред). ВЕЖБА 4. Користећи уџбеничку литературу конструиши сценарио за час индивидуализиране наставе коришћењем ''степенасте'' индивидуализације за следеће наставне теме: 1. Примена сличности на правоугли троугао (1. разред час увежбавања). Квадратни корен (. разред час увежбавања) 3. Површина и запремина купе (3. разред час увежбавања) 4. Домен функције (4. разред час увежбавања). При конструкцији степеница треба узети у обзир најмање десет задатака при чему сваки образовни ниво треба да буде заступљен са два-три задатка како би ''степенице'' имале смисла и биле применљиве. 17

18 3.3. ДИФЕРЕНЦИРАЊЕ ДОМАЋИХ ЗАДАТАКА Поступак индивидуализације је увек могућ код задавања домаћих задатака, поготову ако су уџбеници или збирке задатака које се користе писане дифренцирано. 7 Индивидуализација домаћих задатака је пожељна, јер је крајње нелогично после часа реализованог индивидуализираном наставом задати домаћи задатак једнообразно. Како год да предвидимо униформи избор, за неку од категорија ученика ће тај избор бити бескористан, јер се своди на дилему са почетка овог текста. Индивидуализација домаћих задатака се може обавити на два начина: ''степенастом'' диференцијациојом или диференцијацијом по нивоима. ''Степенаста'' диференцијација подразумева више степенасто поређаних задатака, а сваки ученик решава оне задатке које уме. Дакле поступак идентичан претходном, при чему је домаћи задатак или само наставак ''пењања'' уз степенице дате на часу или ''пењање'' уз ново конструисане ''степенице''.. Диференцијација по нивоима се састоји у томе да се задаци поделе у две или три групе и ученици бирају групу задатака коју могу успешно решити. ПРИМЕР 4. Разред: Наставна јединица: Тип часа: Први Примена подударности троуглова Час после увежбавања ДОМАЋИ ЗАДАТАК: 1. Троугао АВС и троугао А'В'С' су подударни, ако је с = с', b = b' и h с = h с '. Доказати НП Доказати да је у једнакокраком троуглу висина која одговара основици, симетрала угла наспрам основице и симетрала основице. Доказати. Тежишна дуж која одговара хипотенузи дели правоугли троугао на два једнакокрака троугла. Доказати У правоуглом троуглу АВС један оштар угао је 30 о. Доказати да је катета која је наспрам угла од 30 о једнака половини хипотенузе. 1. Троугао АВС и троугао А'В'С' су подударни, ако је а = а', b = b' и h с = h с '. Доказати.. Доказати да су у једнакокраком троуглу висине које одговарају крацима подударне. НР 3. У троуглу АВС тачка Н је пресек висина троугла и СН = АВ. Одредити АСВ. 4. У троуглу АВС страница АВ је највећа. На страници АВ дате су тачке М и N такве да је АМ = АС и ВN = ВС. Одредити МСN, ако је АСВ = 80 о. 7 Мисли се на посебну назнаку тежих и најтежих задатака у датој књизи, збирки... 18

19 1. Доказати да су троугао АВС и троугао А'В'С' подударни, ако је с = с', h с = h с ' и t с = t с ' НК Ако је троугао једнакокрак, онда су тежишне дужи које одговарају крацима подударне. Доказати. Важи ли обрнуто? У троуглу АВС висина h с и тежишна дуж t с деле АСВ на три једнака дела. Одредити углове тог троугла. У троуглу АВС дати су углови АВС = 15 о и АСВ = 30 о. Права р садржи тачку А, нормална је на дуж АВ и праву ВС пресеца у тачки М. Доказати да је АС = ВМ. У претходном примеру имамо две могућности диференцијације. Прва је по нивогрупама НП (ниво препознавања и репродукције), НР (ниво разумевања и примене) и НК (ниво примене и кретаивности) и ученик би бирао групу коју може да савлада, са правом да пређе и на задатке следеће групе. Друга могућност је ''степенаста'' диференцијација задатака, тј. трансформација система три пута од 1 до 4, практично у систем од 1 до 1 чиме би се добиле ''степенице'' са 1 степеника. Недостатак ''степенасте'' диференцијације је можда превелико оптерећење ученика и чињеница да најспособнији ученици морају решавати и задатке елементарног нивоа, а недостатак диференцијације по нивоима је што је ипак присутна извесна дискриминација ученика. Ипак и једнан и други недостатак су мање болни него када се зада униформни домаћи задатак. ВЕЖБА 5. Конструисати диференциран домаћи задатак који треба дати ученицима после обраде наставне јединице: Права (3. разред). Избор задатака је слободан, а могу се користити и задаци дати у следећем низу. Домаћи задатак конципирати на три нивоа по 4 задатка: I. Доказати да се тежишне дужи троугла секу у једној тачки. II. Одредити једначину праве а која на негативним деловима х, односно у-осе, одсеца дужи чије су дужине редом 3 и 5. III. У једначини 3у 5х + 4р 3 = 0, одредити параметар р тако да дата права: а) садржи координатни почетак; b) на у оси одсеца одсечак дужине 6. IV. Прва р садржи тачку М (, 3). Одредити једначину праве р, ако је тачка М средиште дужи чије су крајње тачке пресеци праве р са координатним осама. V. Дата је права х у + 4 = 0. Одредити једначину праве р која на у оси одсеца одсечак једнак одсечку дате праве, а са х-осом гради угао који је два пута већи од угла дате праве. VI. Одредити угао који са х осом заклапа права р: х у + 4 = 0. VII. У једначини кх + (к + 1)у р = 0, одредити параметре к и р тако да дата права садржи тачку М (, 1), и са координатним осама гради троугао чија је површина једнака 4. VIII. Одредити једначину праве која садржи тачке: А (-, -5) и В (3, 5). IX. Дата је права 3х + 4у 1 = 0. Написати једначину прамена правих које садрже тачку пресека дате праве и х осе. Одредити једначину оне праве прамена која са х осом заклапа угао од 150 о. 19

20 X. Дате су тачке А (3, - 4), В (1, 6) и С (-5, ). Одредити једначине тежишних дужи троугла АВС. XI. Дата је тачка М (4, 3). Одредити праву р која садржи тачку М и која на кординатним осама одсеца дуж чија је дужина 15. XII. Написати једначину праве р која садржи тачку М (3, 4) и која са х-осом заклапа угао од 60 о. ВЕЖБА 6. Користећи уџбеничку литературу конструиши диференциране домаће задатке за следеће наставне јединице: 1. Системи линеарних једначина (1. разред). Синусна теорема (. разред) 3. Геометријски низ (3. разред) 4. Особине функција (4. разред). Индивидуализација наставних садржаја може бити изражена и код конструкције разних инструмената за проверавање и оцењивање стечених знања. Класични инструменти обично садрже по један задатак од сваког образовног нивоа, тако да је он примерен само за просечне ученике, док је за слабије ученике такав контролни инструмент претежак, а за боље ученике прелак. Решење проблема може бити у индивидуализацији инструмената, тако да на новоу НП преовлађују проблеми препознавања, репродукције и разумевања наставних садржаја; на нивоу НР преовлађују задаци репродукције, разумевања и примене, а на нивоу НК проблеми разумевања, примене и креативности. Такав индивидуализарни инструмент пружа и бољи увид у знање сваког ученика појединачно, јер недиференциран приступ смањује могућност квалитетног дијагностицирања. Пример који следи репрезентује једну контролну вежбу дату по нивоима. ПРИМЕР 5. Разред: Наставна тема: Тип часа: Други Квадратни трином Час провере стечених знања (контролна вежба) КОНТРОЛНА ВЕЖБА: 1. Саставити бар једну квадратну једначину чија су решења х 1 = 3 и х = НП Дата је функција у = кх (к + 1)х 1. Одредити параметар к, тако да дата функција има екстремну вредност за х = 1. Да ли се ради о максимуму или минимуму и колики он износи? Одредити све реалне бројеве р за које је израз х х + р позитиван за свако реалан број х. 8x x 1 Одредити скуп решења неједначине 0. 3 x

21 1. Дата је једначина х + 3х 5 = 0. Саставити квадратну једначину у + ру + q = 0, чија су решења у 1 = 4(х 1 + х ) и у = х 1 х. 4. Од свих правоугаоника обима 40 одредити онај који има највећу површину. 4 НР Одредити параметар к тако да израз х кх 6к + 1 буде већи од -4 за сваки 3. 4 реалан број х НК Дата је квадратна једначина х + (р + 1)х + 9р 5 = 0. За коју вредност реалног параметра р су оба корена дате једначине негативна. Дата је квадратна једначина х х + р = 0. Одредити параметар р тако да је збир кубова решења износи 7. Од свих правоугаоника уписаних у круг полупречника r одредити онај који има највећу површину. Ако су а, b, с дужине страница троугла, онда је израз b х + (b + с а )х + с позитиван за свако реално х. Доказати. Испитати промене знака решења једначине рх 4х + 3р + 1 = 0, ако је р реалан параметар Скалом за оцењивање може се регулисати да сваки ниво проверавања носи оцене од до тако да на пример: до 4 бода буде 1, од 5 8 оцена, од 9 1 оцена 3, од оцена 4 и од 17 0 бодова оцена 5. Индвидуализирани систем проверавања и оцењивања даје већу шансу ученицима у оквиру једног нивоа. Остаје питање да ли можемо са сигурношћу погодити ниво за сваког ученика и да ли је педагошки оправдано ученике тако диференцирати. Једно је сигурно. Овакав начин проверавања далеко ће боље дефинисати ниво овлдавања садржајима јер не може се задацима нивоа примене мерити ниво репродукције и обрнуто?! С обзиром да су задаци одабирани по областима (први је примена Виетових веза, други екстремна вредност квадратне функције, трећи знак квадратне функције и четврти знак квадратног тринома) могу се комбиновати и нивои, па ученик може бирати први задатак из групе НП, други из групе НР, трећи из групе НК и четврти опет из групе НП. Тиме се постиже да ученик може да бира, нема дискриминације ученика, а индивидуализација је максимална, јер сваки ученик може да искористи све своје интелектуалне потенцијале. ВЕЖБА 7. Направити предлог диференцираног писменог задатка на три нивоа у оквиру наставне теме: Аналитичка геометрија у равни (3. разред). Од пет потребних задатак за сваки образовни ниво, по један задатак посветити правој, кругу, елипси, хиперболи и параболи. Разред: Наставна теме: Тип часа: Трећи Аналитичка геометрија у равни Час провере стечених знања (писмени задатак) 1

22 ТРЕЋИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК НП НР НК ВЕЖБА 8. Користећи уџбеничку литературу конструиши сценарио за индивидуализиране писмене задатке за следеће наставне теме: 1. Линеарне једначине, неједначине и системи + Сличност (1. разред). Тригонометрија (. разред) 3. Површина и запремина обртних тела (3. разред) 4. Реалне функције (4. разред).

23 4. ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЈА ДОДАТНЕ НАСТАВЕ Највеће могућности индивидуализације наставе пружају се у додатном раду са даровитим ученицима, јер се тај рад најчешће одвија индивидуалним активностима самог талентованог ученика. 8 Фронтални рад у редовној и додатној настави, ма колико он био квалитетан и методички богат, неће имати оптималне домете, ако га не прати и вредан, динамичан, свеобухватан и осмишљен самостални рад самог даровитог ученика. При том опет, и овде, понављамо констатацију да дидактичко-методички модели које излажемо и предлажемо за коришћење у наставној пракси, нису потпуно ''чисти'', јер садрже, у мањој или већој мери, и елементе других методичких модела што сигурно није хендикеп, већ предност модела које презентирамо. У овом делу приказујемо моделе учења у којима се најчешће користи индивидуализацији наставе, уз напомену да као и у претходним дидактичко-методичким моделима, избор наставних садржаја и проблема није случајан, јер је он у највећој мери резултат вишегодишњег истраживачког трагања за најпогоднијим начинима презентације и усвајања богатих наставних садржаја додатне наставе математике у старијим разредима основне школе САМОСТАЛАН РАД НА ТЕКСТУ Индивидуално учење се може реализовати радом ученика на унапред припремљеном и методички обликованом тексту који припрема наставник и који добијају одабрани ученици. Ученик се путем текста упознаје са најважнијим теоријским садржајима, а путем неколико решених примера и са конкретном применом дате теорије. Уз текст и примере примене могу се дати задаци за увежбавање, проблеми са математичких такмичења, конкурсни задаци и литература, тако да индивидуални рад ученика има висок степен самосталности. Текст који се даје ученицима може бити оригиналан, методички обликован, ауторски текст наставника 9. Међутим, текст може бити узет са Интернета 10, копиран из неког приручника 11 или математичког часописа, 1 или узет из неке сличне литературе. 13 Најбољи материјал за самостално учење је онај материјал који је структуриран тако да ученика стави у што активнији положај, а да су при том садржаји који су дати за самостално учење одмерени и не превазилазе ниво математичких способности ученика на датом узрасту Видети књигу: Војислав Андрић: Диофантове једначине, Друштво математичара Србије, Ваљево 008. (стр: ) у којој је дато чак 0 различитих модела додатне наставе математике у средњим школама Видети Прилог. и текст: Војислав Андрић Решавање Диофантових једначина коришћењем производа Видети: Видети: [3]: З.Каделбург, Д.Ђукић, М. Лукић, И. Матић: Неједнакости Коши Шварцова неједнакост (стр: 13 15), Друштво математичара Србије, Београд 004. Видети чланке на почетку сваког броја ''Тангенте'', ''Кванта'', ''Математичко-физичког листа'' Видети књигу: Ђура Паунић: Правилни полигони, Друштво математичара Србије, Београд

24 ПРИЛОГ. ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ РЕШАВАЊЕ ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА КОРИШЋЕЊЕМ ПРОИЗВОДА Као инструмент за разликовање случајева при решавању Диофантових једначина често се користи производ. Први корак у решавању је трансформација бар једне стране једначине (зависно од случаја) у облик погодан за факторизацију како леве, тако и десне стране једнакости. Најповољнија ситуација је уколико се на једној страни једнакости израз који садржи променљиве факторизује на чиниоце, а на другој страни једнакости факторизује константа. Примери који следе најбоље илуструју коришћење производа ради лакшег раздвајања случајева. ПРИМЕР 1. Орешити једначину ху + 3у 5х = 18, ако су х и у цели бројеви. РЕШЕЊЕ: Једначина ху + 3х - 5у = 18 еквивалентна је са једначином ху + 3у 5х 15 = 3, односно (х + 3)(у 5) = 3. Како је број 3 прост број, разликују се следеће могућности: 1) х + 3 = 1, у 5 = 3 х = -, у = 8 ; ) х + 3 = -1, у 5 = -3 х = -4, у = ; 3) х + 3 = 3, у 5 = 1 х = 0, у = 6 ; 4) х + 3 = -3, у 5 = -1 х = -6, у = 4. Производ се успешно користи нарочито у случајевима када једна од страна једнакости представља производ простих бројева, без обзира да ли се ради о константама или променљивим. Илустрација таквог једног случаја је следећи пример. ПРИМЕР. Одредити све просте бројеве р тако да је р + 1 седми степен неког природног броја. РЕШЕЊЕ: Нека је тражени природни број n. Према условима задатка је р + 1 = n 7, пa је n непаран природан број. Из р + 1 = n 7 следи једнакост n 7 1 = (n 1)(n 6 + n 5 + n 4 + n 3 + n + n + 1) = р. Како су 1,, р и р једини чиниоци броја р, то су могући следећи случајеви: број; 1) Ако је n - 1 = 1, онда је n =, што није могуће, јер је већ речено да је n непаран ) Ако је n 1 =, онда је n = 3, па је n 6 + n 5 + n 4 + n 3 + n + n + 1 = 1093 = р. Како је 1093 прост број, то је уређени пар (n, р) = (3, 1093) једно решење проблема. 3) Ако је n 1 = р, онда је n = р Како је n паран број (јер је р прост број већи од, дакле непаран), то у овом случају нема решења. 4) Ако је n 1 = р, онда је n 6 + n 5 + n 4 + n 3 + n + n + 1 = 1, па је n 6 + n 5 + n 4 + n 3 + n + n = 0, што је немогуће, јер је n природан број што значи да је n 6 + n 5 + n 4 + n 3 + n + n 6 > 0. броја. ПРИМЕР 6. Одредити све природне бројеве х такве да је х + 1 квадрат природног 4

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ ДРЖАВНИ СЕМИНАР О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Број: 250 Компетенцијa: K1 Приоритети: 1 ТЕМА: МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

ПРОБЛЕМСКО УЧЕЊЕ И ГРУПНИ РАД У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

ПРОБЛЕМСКО УЧЕЊЕ И ГРУПНИ РАД У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Maja Aдамов ПРОБЛЕМСКО УЧЕЊЕ И ГРУПНИ РАД У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ мастер рад Нови Сад, 2014. Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи

Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи Универзитет у Београду Математички факултет Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи - Мастер рад - Студент: Весна Петровић Ментор: др Зоран Петровић Београд, март 2011.године САДРЖАЈ

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ 28.02.2015 - III разред 1. Запиши све троцифрене бројеве мање од 888 чији је збир цифара 23. 2. У свако празно поље треба уписати по једну од цифара 0, 1, 2, 2, 4. Како треба уписати цифре да би се након

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПЕДАГОШКИ ФАКУЛТЕТ У ЈАГОДИНИ Посебна издања Научни скупови, књ. 5 МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ ПЕДАГОШКИ ФАКУЛТЕТ У ЈАГОДИНИ Јагодина, 2008. 1 МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ

Διαβάστε περισσότερα

Модели организовања и методе кооперативног учења, њихова примена и реални домети у обради конкретних тема у настави математике

Модели организовања и методе кооперативног учења, њихова примена и реални домети у обради конкретних тема у настави математике Универзитет у Београду Математички факултет Мастер рад Модели организовања и методе кооперативног учења, њихова примена и реални домети у обради конкретних тема у настави математике Студент: Дубравка Глишовић

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

krugdoo@sbb.rs www.krugizdavackakuca.rs Реч аутора Свеска припрема је скуп мојих припрема за час коригованих примедбама рецензената. Не представља обавезујући документ већ сваки наставник треба да је прилагоди

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД ОЛИВЕРА ТОДОРОВИЋ СРЂАН ОГЊАНОВИЋ MATEMATИKA УЏБЕНИК за први разред основне школе1 ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД 1 ПРЕДМЕТИ У ПРОСТОРУ И ОДНОСИ МЕЂУ ЊИМА... 7 1. Горе, доле, изнад, испод... 8 2. Лево, десно...

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

Решавање рачунских задатака из наставних јединица: Равномерно и pавномерно променљиво праволинијско кретање

Решавање рачунских задатака из наставних јединица: Равномерно и pавномерно променљиво праволинијско кретање УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Решавање рачунских задатака из наставних јединица: Равномерно и pавномерно променљиво праволинијско кретање Mентор: Др Маја Стојановић Кандидат: Невена

Διαβάστε περισσότερα

Годишњи глобални и оперативни план рада за математику за VII разред основне школе

Годишњи глобални и оперативни план рада за математику за VII разред основне школе Основна школа (назив школе) (место) Школска година Годишњи глобални и оперативни план рада за математику за VII разред основне школе Фонд часова: 4 часа недељно, 144 часова годишње НАСТАВНИК ДИРЕКТОР МП

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ

РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ Универзитет у Новом Саду Природно математички факултет Департман за физику РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ МАСТЕР РАД ментор: кандитат: Др Маја Стојановић Адријана Сарић

Διαβάστε περισσότερα

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће

Διαβάστε περισσότερα

Круг. Електронски наставни материјали Дигитални час 2. Наташа Трбојевић професор математике у Основној школи Коста Абрашевић

Круг. Електронски наставни материјали Дигитални час 2. Наташа Трбојевић професор математике у Основној школи Коста Абрашевић Круг Електронски наставни материјали Дигитални час 2 Наташа Трбојевић професор математике у Основној школи Коста Абрашевић Електронски наставни материјали Електронско учење у Србији постаје све присутније,

Διαβάστε περισσότερα

Небојша Икодиновић. Математика 7. Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе

Небојша Икодиновић. Математика 7. Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе Небојша Икодиновић Математика 7 Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе Треће издање Аутор: др Небојша Икодиновић

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 2016/2017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА РАД Тест

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Циљеви предавања

Теорија одлучивања. Циљеви предавања Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене

Διαβάστε περισσότερα

Математика. Прави избор за свакоī ūрофесора! КАТАЛОГ УЏБЕНИКА 2016/17.

Математика. Прави избор за свакоī ūрофесора! КАТАЛОГ УЏБЕНИКА 2016/17. Математика Прави избор за свакоī ūрофесора! КАТАЛОГ УЏБЕНИКА 2016/17. Поштованe професорке и професори, Уџбеници математике Издавачке куће Klett присутни су већ годинама у основним школама, а од пре три

Διαβάστε περισσότερα

Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда

Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда Списак задатака за завршни тест за ученике шестог разреда Основни ниво од до 6 од 5 до 56 од 58 до 59 од 6 до 6 од 65 до 66 69 од 76 до 00 од 08 до 0 од 6 до 9 Средњи ниво од до 8 40 од 66 до 7 од 7 до

Διαβάστε περισσότερα

УТИЦАЈ РАЗВОЈА МАТЕМАТИЧКИХ КОМПЕТЕНЦИЈА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА НА ЊИХОВ УСПЕХ НА СТУДИЈАМА

УТИЦАЈ РАЗВОЈА МАТЕМАТИЧКИХ КОМПЕТЕНЦИЈА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА НА ЊИХОВ УСПЕХ НА СТУДИЈАМА УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД УТИЦАЈ РАЗВОЈА МАТЕМАТИЧКИХ КОМПЕТЕНЦИЈА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА НА ЊИХОВ УСПЕХ НА СТУДИЈАМА Ментор: проф. др Милан Божић мат. Студент: Јелица Шијаковић,

Διαβάστε περισσότερα

Драги ученици, драге ученице

Драги ученици, драге ученице РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево)

Слика 1: Савремени аутоматски дифрактометар x зрака; принципијелна шема, изглед дифрактометра (горе лево) ОДРЕЂИВАЊЕ ПАРАМЕТАРА КРИСТАЛНЕ РЕШЕТКЕ МЕТОДОМ КРИСТАЛНОГ ПРАХА, ДЕБАЈ ШЕРЕРОВ МЕТОД ТЕОРИЈСКИ УВОД У параметре кристалне решетке убрајају се дужине ивица кристалне ћелије: a, b и c и дужина међураванског

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

МОДЕЛ УЧЕЊА ПРОГРАМСКОГ ЈЕЗИКА PASCAL НА ДАЉИНУ

МОДЕЛ УЧЕЊА ПРОГРАМСКОГ ЈЕЗИКА PASCAL НА ДАЉИНУ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ "МИХАЈЛО ПУПИН" ЗРЕЊАНИН МОДЕЛ УЧЕЊА ПРОГРАМСКОГ ЈЕЗИКА PASCAL НА ДАЉИНУ ДОКТОРСКА ДИСЕРТАЦИЈА МЕНТОР Проф. др Драгица Радосав КАНДИДАТ Пардањац мр Марјана Зрењанин,

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ПЕТНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 3

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

БИБЛИД ; 35 (2003) с

БИБЛИД ; 35 (2003) с Снежана МИРКОВ УДК 371.212.72 Институт за педагошка истраживања Оригинални научни чланак Београд БИБЛИД 0579-6431; 35 (2003) с.151-165 УЗРОЦИ ПРОБЛЕМА У УЧЕЊУ КОД УЧЕНИКА ОСНОВНЕ ШКОЛЕ Резиме. Испитивани

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Бојана Јанковић ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Мастер рад Нови Сад, 2012. године САДРЖАЈ Предговор...

Διαβάστε περισσότερα

МОГУЋНОСТИ ОСПОСОБЉАВАЊА УЧЕНИКА ЗА САМОСТАЛНИ ИСТРАЖИВАЧКИ РАД У НАСТАВИ ПРИРОДЕ И ДРУШТВА

МОГУЋНОСТИ ОСПОСОБЉАВАЊА УЧЕНИКА ЗА САМОСТАЛНИ ИСТРАЖИВАЧКИ РАД У НАСТАВИ ПРИРОДЕ И ДРУШТВА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ФИЛОЗОФСКИ ФАКУЛТЕТ МЕТОДИКА НАСТАВЕ МОГУЋНОСТИ ОСПОСОБЉАВАЊА УЧЕНИКА ЗА САМОСТАЛНИ ИСТРАЖИВАЧКИ РАД У НАСТАВИ ПРИРОДЕ И ДРУШТВА ДОКТОРСКА ДИСЕРТАЦИЈА Ментор: Проф. др Споменка

Διαβάστε περισσότερα