Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г."

Transcript

1 Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја

2 Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна 00 Квалификациони испит одржан 6 септембра 00 Квалификациони испит одржан 3 септембра 00 Квалификациони испит одржан 8 октобра 00

3 Електротехнички факултет Бања Лука Пријемни испит из математике 9 јун 00 Упростити израз 3 + y + y + y + y y За које вриједности k једначина + = k + има јединствено рјешење? 3 Једно рјешење квадратне једначине + k = 0 је квадрат другог рјешења Наћи све могуће вриједности k 4 Ријешити неједначину > 0 5 Ријешити неједначину log ( ) Ријешити једначину cos(7 ) + sin(8 ) = cos(3 ) sin 7 Одредити, y, z из система једначина y y = 0 z 0 = y + 50 y y = sin(30 + α) cos(60 + α) 0 0 sin(30 α) cos(60 α) 8 Доказати једнакост = 3 tg( α) Одредити једначину кружнице коју додирује права + y =, а центар јој је у тачки (3,5) 0 Дате су тачке А(-,), B(6,) и C(-,7) Одредити једначину кружнице која садржи ове три тачке, а затим одредити тачку М такву да она буде средина тетиве BC 3

4 Електротехнички факултет Бања Лука Пријемни испит из математике 6 септембар 00 Упростити израз ( ) Одредити a тако да се оба коријена једначине ( a реалан број) налазе у интервалу (, 4 ) a + a = 0 3 Ријешити једначину = Ријешити неједначину < 0 5 Ријешити неједначину log + > log sin + log cos = 6 Ријешити једначину cos sin 7 Ријешити систем једначина 8 Доказати једнакост + y = 5 y = sin + sin 3 + sin 5 = tg3 cos + cos 3 + cos 5 9 Израчунати површину троугла ABC ако је a b =, c = 3, γ = 60 o 0 Одредити једначину кружнице која пролази кроз тачке А(3,5) и В(7,3) а центар јој се налази на Ох оси 4

5 Електротехнички факултет Бања Лука Пријемни испит из математике 3 септембар 00 Рационалисати именилац у разломку Рјешења једначине + p + q = 0 су и Саставити квадратну једначину којој су рјешења и 3 Ријешити једначину = ( 0, 0) 4 Ријешити неједначину < 0 log 5 Ријешити неједначину > 6 Ријешити једначину sin + tg = 7 Ријешити систем једначина = = = 0 8 Доказати једнакост cos 4 cos = tg3 sin sin 4 9 Двије кружнице (полупречника 3cm и cm ) додирују се споља Повучена је њихова спољна заједничка тангента Одредити површину површи ограничене кружницама и тангентом 0 Израчунати површину троугла ABC ако је a + b = 8, c = 7, γ = 0 o Напомена: користити косинусну и синусну теорему 5

6 Електротехнички факултет Бања Лука Квалификациони испит из математике Доказати да је вриједност израза цијели број За које,, a b c Z функција f = a + b + c, Z задовољава услов f + y = f + f y + y 3 Нацртати график функције 7, < f = +, 7, > Па одредити скуп : f ( ) = 0 4 Ријешити једначину { } = Ријешити неједначину 7 ( ) log 4 5 < 6 Ријешити једначину sin cos = 7 Ријешити систем 8 Доказати идентитет = = = = 4 cos 4α + 4cos α + 3 = 8cos α 4 o 9 Израчунати странице a, b, c троугла ако је a + b = 7, γ = 60, P = Одредити једначину кружнице која пролази кроз координатни почетак, а праве 3 4y + 8 = 0 и 3 + 4y + 8 = 0 су јој тангенте 6

7 РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА Квалификациони испит одржан 9 јуна 00 Упростити израз 3 + y + y + y + y y ( y) 3 ( y)( + y) y + y + y + y + y ( + y) + y ( + y) = = = = y y + y y + y y + y y + y y ( + y) ( + y) ( y ) = = = y + y y + y y За које вриједности k једначина + = k + има јединствено рјешење? y = + Посматрајмо функције y = k + У првој функцији појављује се апсолутна вриједност тј имамо: +, + 0 +, + = = ( + ), + < 0, <, 0, = = ( ), < 0 +, < Па ће функција y бити + ( ), + +,, y = + +, < = + +, < =, <, +, <, < + + < Њен график је приказан на слици 7

8 слика Друга функција је y = k + То је очигледно прамен правих које пролазе кроз тачку А(0,) Прво ћемо размотрити случај k 0 Са слике се види да имамо два гранична случаја: праве p (случај када је k = 0 ) и p (случај када је k = ) Види слику слика ) Права p из прамена (случај k = 0 ) очигледно задовољава услов да са графиком функције y има само једну заједничку тачку ) За праве из прамена за које је 0 < k < (праве које се налазе између правих p и p ) са слике се види да ће имати три заједничке тачке са функцијом y ) 3) Права p очигледно са графиком функције y има двије заједничке тачке 4) За праве из прамена за које је < k < + очигледно важи да са графиком функције y имају тачно једну заједничку тачку 8

9 Размотимо сада случај k 0 Очигледно је да у овом случају све праве из прамена задовољавају тражени услов да са графиком криве y имају тачно по једну заједничку тачку Коначно рјешење задатка је дакле k,0, + ( ] 3 Једно рјешење квадратне једначине + k = 0 је квадрат другог рјешења Наћи све могуће вриједности k ПРВО Нађимо оба рјешења: ± 4 4k / = = ± k Према услову задатка мора бити ( k ) + k = + k = k + k 3 k = k / 9 k = k + k 9 9k = k + k k + 7k 8 = 0 k = 8, k = Провјера рјешења За k = 8 имамо једначину / 8 = 0 Њена рјешења су ± ± ± 36 ± 6 = = = =, = 4, = За ова рјешења вриједи ( ) = 4 За k = имамо једначину / + = 0 Њена рјешења су ± 4 4 ± 4 4 = = = =, =, = За ова рјешења вриједи ( ) = ДРУГО Према Вијетовим формулама имамо b + = = =, c k = = = k a a 9

10 Из услова задатка да је = из прве Вијетове формуле имамо + = односно добијамо квадратну једначину + = 0 ± 4 ± + 8 ± 3 / = = = =, = () Из услова задатка да је = из друге Вијетове формуле имамо = = = k () () и () заједно дају k k = = = 8, = = = Дакле, добили смо иста рјешења k = 8, k = 4 Ријешити неједначину > 0 Дата неједначина има смисла ако је тј ако је Важи > > > + 4 ( )( ) ( )( ) + 3 > > > ,, + С обзиром на ово и на услов имамо + 34, + 5 Ријешити неједначину log ( ) 9 Ова неједначина има смисла ако је 9 > > 0 тј ако (,) ( 4,8) ( 8,9)

11 Како је ( log ) log9 ( 5 + 4) log9 ( 9 ) Размотрићемо два случаја ) ако је 9 > тј ако је < 8, мора бити односно што је испуњено за,5 [ ] С обзиром на основни услов (,) ( 4,8) ( 8,9) рјешење у овом случају су сви бројеви, 4,5 [ ) ( ] ) ако је 9 < тј ако је > 8 мора бити Оба ова услова су испуњена ако је > 8, 4,8 8,9 С обзиром на основни услов рјешења у овом случају су сви бројеви ( 8,9 ) Узимајући у обзир рјешења из првог и другог случаја, рјешења дате неједначине су сви бројеви, 4,5 8,9 [ ) ( ] 6 Ријешити једначину cos(7 ) + sin(8 ) = cos(3 ) sin cos(7 ) + sin(8 ) = cos(3 ) sin sin8 + sin = cos3 cos7 sin 5 cos3 = sin 5 sin sin 5 cos3 sin = 0 sin 5 = 0 cos3 sin = 0 π sin 5 = 0 sin sin 3 = 0 5 π π sin 5 = 0 sin cos = π π sin 5 = 0 sin = 0 cos = π π π 5 = kπ = kπ = + kπ, k Ζ 4 4

12 kπ π kπ 3π = = + = + kπ, k Ζ kπ π kπ 3π, +, + kπ : k Ζ Одредити, y, z из система једначина y y = 0 z 0 = y + 50 y y = 0 Прву једначину из система запишимо као + y = 50 + y 645 а затим је уврстимо у трећу 50 + y y = = 0 = = = 9 Дакле = 9 Уврстимо добијено у прву једначину па имамо 9 + y = y 645 y y y / y = 0 y + 36 = 0 ± = = = 6 Дакле y = 6 Ако уврстимо добијено у трећу једначину из система имамо z = Дакле z = 00 8 Доказати једнакост α α = + α + + α 0 0 sin(30 + ) cos(60 + ) 0 0 sin(30 ) cos(60 ) 3 tg( α) Користећи формуле добијамо sin α + β = sinα cos β + cosα sin β cos α + β = cosα cos β sinα sin β

13 + + α α α α = = + α + + α α + α + α α 3 3 cosα + sinα cosα sinα 3 3 cosα + sinα cosα + sinα = = cosα + sinα + cosα sinα cosα + sinα + cosα sinα sin(30 α) cos(60 α) sin 30 cos + cos 30 sin cos 60 cos sin 60 sin sin(30 ) cos(60 ) sin 30 cos cos 30 sin cos 60 cos sin 60 sin 3 sinα = = cosα 3tgα 9 Одредити једначину кружнице коју додирује права + y =, а центар јој је у тачки (3,5) ПРВО Траженој кружници познат је центар само треба одредити полупречник Пошто кружница треба да додирује дату праву то њен полупречник треба да M 3,5 = M, y од праве буде једнак удаљености тачке ( 0 0 ) y 0 ( A By C 0) + = + + = што рачунамо по формули d M p A + By + C = = = = = A + B + па је једначина тражене кружнице 0 0, 3 дакле r = 3 3

14 Електротехнички факултет Бања Лука Пријемни испит 9 јун 00 ( 3) + ( y 5) = ( 3 ) ( ) ( y ) = 8 ДРУГО Први корак је да одредимо тачку додира кружнице и праве Користићемо чињеницу да права кроз центар кружнице и тачку додира је нормална на дату праву p Дату праву p: + y = запишимо у експлицитном облику y = + Одавде видимо да је њен коефицијент правца k p = Права нормална на њу ће имати коефицијент правца kn = = = k Дакле нормала ће бити облика треба да садржи и тачку M ( 3,5) то ће бити 5 = 3 + n тј n = Па ће права која садржи дату тачку M ( 3,5) y = kn + n = + n Пошто та нормала p и нормална је на дату праву p : + y = бити дата једначином n : y = + Одредимо тачку пресјека правих p : y = + и n : y = + + = + = 0 = 0 Одавде добијамо да је y = + = Дакле, тачка пресјека правих је T ( 0, ) и та тачка ће бити и тачка додира праве и кружнице па ће полупречник кружнице бити једнак 3,5 T 0, удаљености од тачке M до тачке Дакле, r = d M, T = = = = 8 = 9 = 3 Па је једначина тражене кружнице ( 3) + ( y 5) = ( 3 ) ( ) ( y ) = 8 0 Дате су тачке А(-,), B(6,) и C(-,7) Одредити једначину кружнице која садржи ове три тачке, а затим одредити тачку М такву да она буде средина тетиве BC 4

15 Нека је једначина тражене кружнице k : ( p) + ( y q) = r () гдје је C ( p, q) центар а r полупречник кружнице k Пошто се све три дате тачке налазе на кружници то њихове координате задовољавају једначину () тј имамо: A: p + q = r B : 6 p + q = r C : p + 7 q = r То јест имамо систем једначина ( ) ( ) p + q = r ( 6 p) + ( q) = r ( p) + ( 7 q) = r Одузимањем друге од прве добијамо ( p) ( p) 6 = p + p 36 + p p = 0 6 p 3 = 0 6 p = 3 3 p = 6 p = Уврштавањем у прву и трећу једначину добијамо 6 + q = r q = r Одузимањем добијамо ( q) ( q) 7 = 0 q + q 49 4q + q = 0 q + q q q = 0 q 48 = 0 q = q = q = 4 Враћањем у једну од једначина почетног система рачунамо полупречник 5

16 r = + = + = r = 5 r = Па је једначина тражене кружнице ( ) ( y ) + 4 = 5 Средину тетиве BC биће тачка М чије координате рачунамо по формули +, y + M y M 6 7, + Дакле тражена средина тетиве BC је (,4) M Примијетимо да је тражена тачка уствари центар кружнице тј да је тетива уствари пречник тражене кружнице 6

17 Квалификациони испит одржан 6 септембра 00 Упростити израз ( ) ( )( ) = = ( ) ( 3 + ) ( + + ) ( )( + ) ( + )( + ) ( )( + + ) = = ( ) ( + ) ( + )( + ) = = 3 3 ( )( ) ( )( ) + a a 0 Одредити a тако да се оба коријена једначине,4 број) налазе у интервалу Дату квадратну једначину запишимо у облику ( a) = Одатле слиједи = a = a + Па је, по услову задатка < a < 4 < a + < 4 Односно < a < 5 3 < a < 3 (,3) a + = ( a реалан 7

18 3 Ријешити једначину = + 6 ) < 6 3 = 6 = = ) 6 < 3 3 = = 4 = 3) 5 3 < = + 6 = 4 = 4) = + 6 = = 4 Ријешити неједначину < 0 8

19 < < < + 6 < < < , С обзиром на услов 3 имамо , 5 Ријешити неједначину log + > > 0,, + 0 ) (, ) + log + > log + > + > < 0 ( 3,4) Дакле (,4 ) 9

20 ) ( 0,) log + > log + < > 0 (, 3) ( 4, + ) Због услова ( 0,) у овом случају нема рјешења Према томе (,4 ) 6 Ријешити једначину logcos sin + logsin cos = cos > 0, cos, sin > 0,sin π π π 0, π, π + 4 π, 4π + π kπ,kπ + k Z Како је ( t ) log cos cos b a = имамо log b logcos sin + = log sin t = log t + = t t sin t + = 0 = 0 t = log sin = cos = sin tg = π = + kπ, k Z 4 a cos 0

21 π С обзиром на услов kπ,kπ + имамо π = + kπ 4 k Z 7 Ријешити систем једначина + y = 5 y = + y = 5 + y = 5 y = y = Уврстимо I у II па добијамо 4 + = 5 Смјена = t 4 t + = 5 / t t t + 4 = 5t t 5t + 4 = 0 5 ± ± 3 t/ = = t = 4 t = Вратимо се из смјене = t = 4 = = = 3 = 4 = Сад добијене вриједности за х искористимо да добијемо y y = y = y3 = y4 = Дакле, конашно рјешење система су уређени парови { } (, y),,,,,,, 8 Доказати једнакост sin + sin 3 + sin 5 = tg3 cos + cos 3 + cos 5

22 sin + sin 3 + sin 5 sin + sin 5 + sin 3 = = cos + cos 3 + cos 5 cos + cos 5 + cos 3 Користићемо следеће формуле α + β α β sinα + sin β = sin cos α + β α β sinα sin β = cos sin α + β α β cosα + cos β = cos cos α + β α β cosα cos β = cos sin + sin 3 ( cos + ) + cos3 ( cos + ) sin 3 cos sin 3 = = cos3 cos cos3 9 Израчунати површину троугла ABC ако је a b =, c = 3, γ = 60 o sin 3 = = tg3 cos3 Косинусна теорема Квадрат једне странице троугла једнак је збиру квадрата друге двије странице умањен за двоструки производ тих страница и косинуса њима захваћеног угла тј c = a + b a b cosγ Одавде имамо c = a ab + b + ab abcosγ c = a b + ab abcosγ ( cosγ ) c = a b + ab Коначно имамо ( γ ) c a b 9 a b = = cos 0 Одредити једначину кружнице која пролази кроз тачке А(3,5) и В(7,3) а центар јој се налази на Ох оси

23 Тражена кружница к садржи тачке А и В тј дуж АВ је тетива кружнице k па ће се њен центар налазити на симетрали s дужи АВ а како се по поставци задатка центар налази на Ох оси то ће се центар налазити у пресјеку s са Ох осом Одредимо прво праву p која пролази кроз тачке А и В по формули y y y y = ( ) 3 5 y 5 = ( 3) 7 3 y 5 = ( 3) 3 y = + Симетрала дужи АВ је нормална на праву p па ће њен коефицијент правца бити ks = k p 3

24 k s = = а њена једначина y = + n Како симетрала пролази кроз средиште S дужи АВ са координатама + y, + y S S, S ( 5,4) то ће њене координате засдовољавати једначину симетрале 4 = 5 + n 4 = 0 + n n = 6 Дакле, једначина симетрале је y = 6 Још остаје да нађемо пресјечну тачку симетрале и Ох осе тј да ријешимо систем y = 6 6 = 0 = 3 y = 0 C 3,0 Дакле, центар кружнице ће се налазити у тачки Остало је да се израчуна полупречник r = ( 3 ) + ( y y3 ) = ( 3 3) + ( 5 0) = 5 Па ће једначина кружнице бити ( ) y 3 + = 5 4

25 Квалификациони испит одржан 3 септембра 00 Рационалисати именилац у разломку Ако 4 означимо са дати израз постаје = = = = Рјешења једначине + p + q = 0 су и 0, 0 Саставити квадратну једначину којој су рјешења и Нека је тражена једначина y + ry + s = 0 Тада је r = ( y + y) и s = y y Но како је y =, y = то је + ( + ) q p r = ( + ) = = = q и s q p једначина гласи y + y + = 0 или q 3 Ријешити једначину = = = па qy q p y q + ( ) + = 0 = повлачи = или = Сада је = или 3 = У првом случају имамо редом = или = па је = 0 или = Дакле, = 0 или = или = случају је 3 = или 3 = па је = или = 4 = 4 или = 4 У другом одакле је 5

26 4 Ријешити неједначину < 0 Поткорјена величина мора бити већа или једнака од нуле па имамо Уз тај услов је < + + ( + )( + ) + + < ( + )( + ) < < , Закључак: како је < + + 4( )( ) < > важи 5 Ријешити неједначину log > + 7, 3 > 0 > 0 0 < < log > log Како је 0 < < имамо 5 + 5,, + < < + > 0 С обзиром на добијено, услов 0 < < и чињеницу да је + 5 имамо, 6 Ријешити једначину sin + tg = + 5 < 6

27 tg Како је sin = + tg имамо tg tg + tg + = tg + ( tg )( + tg ) = 0 3 tg tg + 3tg = 0 Смјена tg = t 3 t t + 3t = 0 3 t t + t + t = 0 t 3 t t + t = 0 ( t )( t t ) t ( t ) ( t ) ( t )( t + t + t + ) = 0 ( t )( t t + ) = = 0 Како једначина t t + = 0 нема реалних рјешења једино реално Рјешење дате кубне једначине је t = па имамо tg = π = + kπ, k Z 4 7 Ријешити систем једначина = = = = = = = = + 3 = 0 Дакле, једна промјенљива је произвољна, рецимо 3 = α, α R Одатле је = α Вратимо се са 3 = α, = α, α R у прву једначину система Имамо + α + 3α = 0 4α + 3α = 0 = α Коначно, рјешење система је уређена тројка ( α, α, α ) произвољно гдје је α R 8 Доказати једнакост cos 4 cos = tg3 sin sin 4 7

28 4 + 4 sin sin cos 4 cos = sin sin sin cos = + sin sin 3 sin ( ) sin 3 tg3 cos3 = cos3 = 9 Двије кружнице (полупречника 3cm и cm ) додирују се споља Повучена је њихова спољна заједничка тангента Одредити површину површи ограничене кружницама и тангентом Тражену површину наћи ћемо ако од површине трапеза ABCD одузмемо површине кружних исјечака ADE и BCE AD + BC Одредимо прво површину трапеза : Ptrap = h гдје је h висина трапеза Висину h одредићемо из CDF - правоугли троугао h = 4 = 6 4 = h = 3 3+ Ptrap = 3 = 4 3 Ptrap = 4 3 Троугао CDF је очигледно половина једнакостраничног троугла па су му углови FDC = 60 o DCF = 30 o BCD = 0 o Одавде добијамо површине кружних исјечака P P BCE ADE r π α π 0 = = o o o π = 3 o r π α 3 π 60 9π 3π = = = = o o 6 8

29 π 3π π = trap BCE + ADE = = Коначно имамо P P ( P P ) P = 4 3 π P =,6 cm 6 0 Израчунати површину троугла ABC ако је a + b = 8, c = 7, γ = 0 o Напомена: користити косинусну и синусну теорему Према косинусној теореми је c = a + b ab cosγ c = a + ab ab + b ab cosγ ( cos ) c = a + b ab + γ o o 3 cos0 =, sin0 = Сада је 7 = 8 ab a + a b = 5 Остаје још да израчунамо површину по формули P = 5 = 4 P = absinγ 9

30 Квалификациони испит одржан 8 октобра 00 Доказати да је вриједност израза цијели број Обије поткорјене величине су позитивне па су оба сабирка позитивни реални бројеви = k > 0 / ( + 6 )( 6 ) + 6 = k + 7 = k + 49 = k 36 = k k = 6 За које,, a b c Z функција f = a + b + c, Z задовољава услов f ( + y) = f + f ( y) + y ( ) f + y = a + y + b + y + c = a + y + y + b + by + c Са друге стране је f ( + y) = f + f ( y) + y = a + ay + ay + b + by + c + c c = f + f y + ay c Одатле добијамо ay c = y a = c = 0 b R 3 Нацртати график функције 7, < f = +, 7, > Па одредити скуп : f ( ) = 0 { } 30

31 7 7 : = 0 =,,, { f } 4 Ријешити једначину = 3 3 Једнакост има смисла само за = 7 / ( )( ) ( 6)( 9) 37 ( )( ) = = 74 / + = 6 9 = 37 / = = = 37 = ( 37 )( 37 + ) =

32 = 5 = 5 = 5 5 Ријешити неједначину ( ) 7 log 4 5 < 6 Ријешити једначину sin cos = = kπ, k Z π = + kπ, k Z 7 Ријешити систем = = = = = = = = = 3 74 = = = = = = = 40 А одавде лако добијамо =, =, =, = Доказати идентитет cos 4α + 4cos α + 3 = 8cos α cos 4α + 4cos α + 3 = cos α sin α + 4cos α + + = cos α + sin α + 4cos α + = cos α + cos α + 4cos α + = cos α + cos α + = cos α sin α + cos α sin α + = 4 4 cos α cos α sin α + sin α + cos sin α + = 4 4 cos α cos α sin α + sin α + cos α sin α + cos α = 4 cos α cos α sin α + sin α ( sin α ) + 3cos α = cos 4 α 3cos α sin α + 3cos α = cos 4 α + 3cos α ( sin α ) = 4 3

33 cos α 3cos α 4cos α + = = 8cos α o 9 Израчунати странице a, b, c троугла ако је a + b = 7, γ = 60, P = a b sinγ ab P = = = 3 3 a b = Одавде добијамо систем који има два рјешења a + b = 7 a = 4 b = 3 a = 3 b = 4 Да бисмо израчунали трећу страницу морамо прво израчунати висину ( види слику) π h 3 3 sin = h = 3 3 z π 3 Одавде је = cos = одакле добијамо z = Дакле, AH = 4 z = Остаје да из троугла АНC користећи Питагорину теорему израчунамо c = 3 0 Одредити једначину кружнице која пролази кроз координатни почетак, а праве 3 4y + 8 = 0 и 3 + 4y + 8 = 0 су јој тангенте 33

34 34

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC ТРОУГАО 1. У троуглу АВС израчунати оштар угао између: а)симетрале углова код А и В ако је угао код А 84 а код С 43 б)симетрале углова код А и В ако је угао код С 40 в)између симетрале угла код А и висине

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ z ib, Re( z), b Im( z), z ib b b z r b,( ) : cos,si, tg z r(cos i si ) r r k k z r (cos i si ), z r (cos i si ) z r (cos i si ), z r (cos i si ) z z r r (cos( ) i si( )), z z r (cos(

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x) Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2013.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2013. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНУВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ АЛГЕБРА Природни, цели, рационални, ирационални

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 0/5. бр. XLIX- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 70 5 = 50; б) 0 = 80; в) 0 = 9; г) 5 = 850; д) 60 : = 0; ђ) 0 : 8 = 0; е) 86 : = ;

Διαβάστε περισσότερα

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка MAT-KOL (Banja Luka) XV()(00), 5-66 Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка Слађана Бабић Природно-математички факултет, 78000 Бања Лука Младена Стојановића, Б&Х e-mal: sladjanaac7@yahoocom

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА Математички факултет Београд КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА - магистарски рад - Ментор: проф Миодраг Матељевић Кандидат: Слађана Бабић јун 009 Садржај I Комплексна раван, геометријска интерпретација сабирања

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД. Увођење полинома у старијим разредима основне школе. Математички факултет. Универзитет у Београду. Студент: Милица Петровић.

МАСТЕР РАД. Увођење полинома у старијим разредима основне школе. Математички факултет. Универзитет у Београду. Студент: Милица Петровић. Математички факултет Универзитет у Београду МАСТЕР РАД Увођење полинома у старијим разредима основне школе Студент: Милица Петровић Београд, 2016. Ментор: проф. др Александар Липковски, ред. проф. Чланови

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Површине неких равних фигура

Површине неких равних фигура Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SketchPad

Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SketchPad Универзитет у Београду Математички факултет Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SkethPd Студент: Марија Миленковић

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004 РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу

Διαβάστε περισσότερα

Драги ученици, драге ученице

Драги ученици, драге ученице РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

САДРЖАЈ ПОЛОЖАЈ ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ ПРЕМА СФЕРИ И СФЕРЕ ПРЕМА СФЕРИ...4 ИЗВОЂЕЊЕ ОБРАСЦА ЗА P СФЕРЕ И ЊЕНИХ ДИЈЕЛОВА ПОМОЋУ ИНТЕГРАЛА...

САДРЖАЈ ПОЛОЖАЈ ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ ПРЕМА СФЕРИ И СФЕРЕ ПРЕМА СФЕРИ...4 ИЗВОЂЕЊЕ ОБРАСЦА ЗА P СФЕРЕ И ЊЕНИХ ДИЈЕЛОВА ПОМОЋУ ИНТЕГРАЛА... САДРЖАЈ ОБРТНЕ ПОВРШИ... БРТНА ТИЈЕЛА... СФЕРА И ЛОПТА..... ПОЛОЖАЈ ТАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ ПРЕМА СФЕРИ И СФЕРЕ ПРЕМА СФЕРИ...4 ОСОБИНЕ СФЕРНИХ ФИГУРА........5 ПОВРШИНА СФЕРЕ...8 ПОВРШИНА ДИЈЕЛОВА СФЕРЕ ПОВРШИНА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Драги ученици, драге ученице

Драги ученици, драге ученице РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

Е У К Л И Д О В И Е Л Е М Е Н Т И

Е У К Л И Д О В И Е Л Е М Е Н Т И Е У К Л И Д О В И Е Л Е М Е Н Т И ПРИЛОЗИ ЗА НАСТАВУ У КОЈИМА СУ КОРИШЋЕНИ ЕЛЕКТРОНСКИ ЗАПИСИ ПРЕВОДА АКАДЕМИКА АНТОНА БИЛИМОВИЋА КОЈЕ ЈЕ ПРИРЕДИО ПРОФ. ДР ЗОРАН ЛУЧИЋ 1 И НАЈСТАРИЈЕ САЧУВАНЕ ГРЧКЕ ВЕРЗИЈЕ

Διαβάστε περισσότερα