МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4

Transcript

1 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

2 III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 : 4 = 6; ж) 5 : 5 = а) ) 50cm; б) ) месеца; в) 4) 500g; г) ) 0min. 4. a a b b 4 7 a b a : b а) 70; б) 5; в) а) ) 600; б) ) 60; в) 4) а) Количник је 7, а остатак 4. Провера: = 46. б) Количник је 5, а остатак. Провера: 5 + = 58. в) Количник је 79, а остатак. Провера: = а) 900 динара; б) 50 динара; в) 75 динара; г) 0 динара. 9. а) x : 5 = 47; x = 47 5; x = 75; б) x : = 7; x = 7 ; x = ; в) x 6 = 540; x = 540 : 6; x = 90; г) x = ; x = броја 645 је 645 : 5 = 9. Број који је 4 пута већи од броја 9 је 9 4 = места су заузеле жене, то значи да је било 68 : 4 = 7 жена, мушкарци то значи да је било 68 : = 4 мушкараца. Деце је било = 7 исто као и жена.. Бројеви четврте стотине су 0 x 400 или 00 < x 400. Највећи природан број четврте стотине који при дељењу са 7 има остатак 6 за један мањи од 99 а то је 98. Множење и дељење. а) 5 0 = 50 [45 0 = 450]; б) 40 = 40 [0 4 = 50]; в) 0 4 = 8 [07 = 6]; г) 84 5 = 90 [89 5 = 945].

3 . а) 50 : = 75 [0 : = 40]; б) 0 : 4 = 46 [0 : 5 = 64]; в) : = 4 [7 : 4 = 4]; г) 9 : 8 = 49 [4 : 9 = 8].. а) 64 : 4 = 9 динар [5 : = 7 динара]; б) 9 9 = 89 динара [7 8 = 96 динара]. Једначине и неједначине. a) x = 56 [x = 68]; б) x = [x = 4]; в) x = 56 [x = 88]; г) x = 9 [x = 7].. а) 49, г) 65 [а) 5, б) 70].. x 7 = 889; x = 889 : 7; x = 7 [x : = 5; x = 5; x = 645] x < 40 [7 < x 79].. а) дана има сати [ дана има 8 сати]. Разломци б) 5 килограма има 00 грама [ 4 килограма има 50 грама]. в) 0 метра има 0 центиметара [ 5 метра има 0 центиметара].. Први чинилац је : = 6 [4 : = 7], а други је 74 : = 58 [6 : = 54]. Тада је производ 6 58 = 48 [7 54 = 78].. а) Стефан је уштедео 7 = 95 [4 5 = 860] динара. б) Стефану је остало 95 7 = 64 [860 5 = 645] динара. в) не [да]. 4. Првог дана је Наташа прочитала 80 : 4 = 0 страница, остало јој је 60. Другог дана је прочитала 60 : = 0, укупно је за два дана прочитала 50 страница, значи остало јој је још 0 страница. Одговор: Наташа је трећег дана прочитала 0 страница. [Наташа је првог дана прочитала 0 : = 60 страница, остало јој је још 60. Другог дана је прочитала 60 : = 0, укупно је за два дана прочитала 80 страница, значи остало јој је још 40 страница. Одговор: Наташа је трећег дана прочитала 40 страница]. Дељење са остатком. а) 49 : 4 је и остатак [5 : 4 је и остатак ]; б) 84 : 7 је 6 и остатак [9 : 7 је 7 и остатак ]; в) 5 : 8 је 6 и остатак 7 [54 : 8 је 66 и остатак 6].. Мањи је остатак при дељењу 94 : 5 [Мањи је остатак при дељењу 4 : 5].. Воја је замислио број = 555 [ 9 + = 79].

4 . а) 864; б) 4; в) 07; г) 70.. а) х = 5; б) х = 44; в) х =.. а) 7; б) 4; в) 5. IV разред 4. б) 07. (75 65) + (759 : ) = = = в) 5. х = ; y = 5; m = 7; n = 8; х + y + m + n = a) х < 7, х {0,,, 6}; б) х 7, х {7, 8, 9, }; в) х > 9, х {0,, }; г) 56 х 9; х 56 и х 7; х {7, 8, 9 56}. 7. а) 984. Највећи четвороцифрени број чији је збир цифара 4 је број Петина тог броја је 99 (јер је 9960 : 5 = 99), а две петине тог броја је 984 (јер је 99 = 984). 8. a) 07 (5 06 : 8) = 0; б) 40 + ( 06 : 6 56) = 07; 07 (5 5) = 0; 40 + (56 56) = 07; 07 0 = 0; = 07; 40 = а) 8. Ако је укупан број задатака0 и број нетачно решених задатака х, онда је број тачно решених 0 х, па је 5 (0 х) х = 4; 50 5 х х = 4; 50 8х = 4; 8х = 6; х = ; 0 х = 8. Ненад је тачно решио 8 задатака. Други начин: Ако је укупан број задатака 0 и број тачно решених задатака х, онда је број осталих задатака 0 х, па је х 5 (0 х) = 4; 5 х (0 х ) = 4; 5х 0 + х = 4 + 0; 8х = 64; х = 8. Ненад је тачно решио 8 задатака. 0. в) 6. х ; х 4 7; х 7 : 4; х > 5. Мила треба да купи најмање 6 кесица бомбона.. б) Тражени број је Ако се броју избрише последња цифра 0, он постаје 0 пута мањи. Значи да је број разлика између траженог броја и његове десетине, то јест, представља девет десетина траженог броја. Једна десетина траженог броја је 045 (7405 : 9 = 045), а тражени број је 0450 (045 0 = 0450).. г) Зоран има 0 динара. Ако се 7 Горановог новца означи са х, онда се новца који има Зоран може написати као 0 х + 0. Пошто је седмина Горановог новца х динара, онда Горан има 7х динара. Ако је десетина Зорановог новца (х + 0) динара, онда Зоран има 0 (х + 0) динара. Зоран и Горан имају заједно 07 динара, па је 0 (х + 0) + 7х = 07; 0х х = 07; 7х = 07 00; х = 77 : 7; х = 0. Дакле, седмина Горановог новца је 0 динар, па Горан има 707 динара. Десетина Зорановог новца је динар. То значи да Зоран има 0 динара.

5 Разломци. а) 60 [70]; б) 800 [000]; в) 54 [6].. а) 0 [9]; б) 06 [595]; в) 65 [76].. а) 500 [700]; б) 8 [64]. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. а) 0 [90]; б) 7 [4]; в) 76 [45]; г) 8 [8].. а) х = 6 [х = 96]; б) х = 000 [х = 000].. а) х < 5, х {0,,,, 4} [х < 4, х {0,,, }]; б) х 0, х {0, 0, 0,...} [х 0, х {0, 0, 04,...}]. 4. Ако је први број х, остали су х + и х +, а њихов збир је х +. Значи х + = 06, х = 0, х = 67, х + = 67. Највећи од тих бројева је 67. [ х + = 09, х = 06, х = 67, х + = 674. Највећи од тих бројева је 674.] 5. Ако је бициклиста прешао 6 7 пута, значи да му је до циља остала још тог пута, а то је 7 километра. Ако је једна седмина пута километра, онда је цео пут километар. [Ако је аутомобил прешао 5 6 пута, значи да му је до циља остала још тог пута, а то је 5 километара. 6 Ако је једна шестина пута 5 километара, онда је цео пут 0 километара.]

6 V разред. a a. ) а) ; ) в),5.. Први ред први број 0,5, и други ред трећи број 0, г). 7. а) 0,5cm; б) 7,4cm. 8. Вредност израза А је,08, израза B је,5 и израза C је,05. Најмању вредност има израз C. 9.

7 0. aob = 0, aoc =67 0, boc = а),5 0,7 : = 0,5; б) 0,6 6 + :, 8, = 0, 9 0,= 0, а) а= 4 ; б) а=. 8..

8 . Троугао СDA [CDF] је симетричан троуглу ABC [ABF]. AD = CB [AB = CD]. AFE= CFE [ ABF = CDF]. 4.. а) 5 динара [90 динара].. 5,5 ари [,05 килограма] : 0,5 x =, 7 x= 0 5 0,5 : x=, x=. 7. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК.. 5 A= ; B= 0,5; C= ; A> 0 6 A= 0; B= ; C= ; C<. 5 8

9 a) : 0, = 5 = 5 5 ( ) 5 0, : = 5 = б) 4,5 + : 0, 4=,5 =,5 : 0,7,5 0,8 4, = + = 7 5. a) 6 ; 9 б)

10 VI разред. а) 4 ; 5 г). б) 0,; в) 4 5 =, ,5 : ( 0,5) =, па следи >,5 : ( 0,5) а) x = ; б). P = cm. x= ; в) x =,5; г) x =, a= : ( ) + ( ) = =, b > a. b= 0,5 : (,5),5 0, = 0,75 + 0, 0,5 = 0, а) 9 ; б) Збир дужина висина троугла АВС је 7,cm. Збир дужина висина троугла А В С је 5,cm. Већи збир дужина висина има троугао АВС. 7. 7,5cm. 8. Нека је х > 0. За 0 < х < је x <. За х = је x =. За х > је x >. x x x Нека је х < 0. За х < је x <. За х = је x =. За < х < 0 је x >. x x x 9. = и =, па је < x y 0. + = 50. 0, 5. Тачан одговор је г) 9cm.... P = EBCF 48 cm ,8. Множење и дељење рационалних бројева

11 . 6 0 x= x. 5 = 9. Површина троугла и четвороугла. P = 56,5cm [P = 56,5cm ].. P = 6cm [P = 45,5cm ].. P = 7cm [P = 48cm ] а) ; 7 8 б) [7]. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. 57 x= 50 x= 4.. 7,5 [ 4,896]. 4. О = 0cm [О = cm]. 5. P = 80cm [P = 56cm ].

12 VII разред. г).. б).. в). 4. б), г), д). 5. Централни угао већег исечка је α = (60 : 5) 4 = 88. 6π 88 Обим већег исечка је: O= + cm= ( 9,6π+ ) cm 80. 6π 88 Површина већег исечка је: P= cm = 8,8π cm а). 7. в). Упутство: Ако је пречник BC = r онда је AB = 6r и AC = 8r, па је rπ + rπ + 4rπ = π, односно r =,5cm. 8. Размера одговарајућих страница сличних троуглова је а : а = 5 : 8. Нека су b и c одговарајуће странице сличног троугла што значи да је b : b = 5 : 8, одакле следи да је b =,8 cm, a из c : c = 5 : 8 следи да је c = 9,cm. 9. а) (x )(x ) = 0, x, ; б) a 4 = 4, a 8 = 0, (a )(a + ) = 0, a {, }; в) 4a + 4a + 5 = 4, 4a + 4a + = 0, (a + ) = 0, a. 0. Центри О, О, О, и О 4 кругова су темена квадрата чија је страница О О = r. Из једнакости OO4 = r, следи r+ = r, тј. = r r, = r( ), па је r=, односно r= +.. Привезак се састоји од три подударна кружна лука и једне кружнице. Кружни лук је део кружнице чији је полупречник cm. Центри кружница су темена једнакостраничног троугла чија је страница једнака 6cm. Види слику. Централни угао који одговара једном кружном луку је 00. Дужиинa једног кружног лука је 00 π cm односно 5πcm. Дужина странице троугла 80 је 6 cm а полупречник њене уписане кружнице cm, па је обим те кружнице π cm. Дужина жице потребне за привезак је ( 5+ ) π cm 57,96cm.

13 . Однос катета троугла ABC је BC : CA = : 4. Како је троугао FEB сличан троуглу CAB следи да је BF : FE = : 4 односно BF = k и FE = 4k. Како је CD : DE = :, то јест 4k : (6 k) = :, следи да је k =,cm. Странице правоугаоника су CD = 4,8cm и DE =,4cm, па је његова површина P =,5cm.. а) (99 )(99 + ) = = 9800; б) (88 + ) = 00 = [а) ( 88)( + 88) = 7600; б) (0 ) = 0000.]. а) a (a + ); б) (a + 4)(a 4) [a) 6x 4 ( x); б) (x )(x + )]. 5. а) a { }; б) a 0, [a) x {, }; б) b {}].. α = 60, β = 46 [α = 54, β = 9 ].. Површина другог круга је 5 пута мања од површине првог круга. [Површина другог круга је 6 пута већа од површине првог круга.]. r =,8cm,,8 π, π Pi = 0=,08 πcm [r =,cm, P= i 0 = 0, 48πcm ] Троуглу ABG су слични троуглови ACF и ADG [Троуглу CDE су слични троуглови BDG и GEF].. BE =,4cm [BC =,cm].. Ови троуглови нису слични [Ови троуглови су слични]. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. а) 6(x y + ); б) 4(a 5)(a + 5); в) 4( x). [а) a(b b + ); б) (5 a)(5 + a); в) (6x + ).]. Централни угао је α = 6, периферијски угао је β = 8. [Централни угао је α = 00, периферијски угао је β = 50.]. Полупречник описаног круга је r = 6 cm [ 4 cm], полупречник уписаног круга је r = 6 cm [ cm]. Површина кружног прстена је: P P = 6π [ 6π ]cm. u u

14 4. Полупречник описаног круга правоугаоника је r = 6cm па је централни угао који одговара 6 60 π 6 0 π краћој страници једнак 60. Површина исечка је P= = 6π cm [ P= = π cm ] P = 486 [90]cm.

15 VIII разред. Решавањем система једначина добијамо да су тражени бројеви 7 и. x+ y= x y=. Из једначине r + H = 0 израчунавамо да је r = 6cm. Површина ваљка је P = ( 6 π + 6 π 8)cm, односно P = 68πcm.. H = cm. Из једнакости r = H израчунавамо да је r = 6cm па је запремина купе 6 cm V= π, односно V = 44 πcm. 4. Решење првог система je уређени пар бројева (x, y) = (, ), другог (x, y) = (, ) и трећег (x, y) =, Сваки сабирак на левој страни једнакости је природан број мањи од. Закључујемо да је 7c < и да је c = или c =. У случају када је c = једначина постаје a + b = 4. Како су b и 4 парни бројеви значи да је и a паран број па је a један од елемената скупа A = {, 4, 6, 8, 0, }. Узимајући за a редом елемента скупа A и замењујући у једначини a + b = 4 добијамо b = 6, b = 5, 4,, и на крају b =. У случају када је c = једначина постаје a + b = 7. Како је b паран број, а 7 непаран закључујемо да је a непаран број па је a један од елемената скупа B = {,, 5}. Узимајући за a редом елемента скупа B и замењујући у једначини a + b = 7 добијамо b =, b = и на крају b =. Све тражене бројеве можемо представити следећом таблицом: a b c 6. Из односа r : H = : 7 следи да је r = k и H = 7k па је M = k π 7k што значи да је 448π = 8k π, одакле је k = 4. Полупречник основе ваљка је 8cm, површина основе B = 64πcm, висина H = 8cm и запремина V = 79πcm. a 7. Ако је висина једнакостраничног троугла cm онда је =, па је страница једнакостраничног троугла a= 8 cm. Висина једнакостраничног троугла је висина купе H = cm, а страница троугла је изводница купе s= 8 cm. Полупречник основе је половина изводнице и износи r= 4 cm. Из тих податка рачунамо да је површина купе P (( ) π ) = cm, то јест P = 44πcm. 8. Заменом координата тачака A и B у експлицитном облику функције y = kx + n добијамо једначине 5 = k + n и 4 = k + n. Решавајући овај систем једначина добијамо да је тражена 9 7 функција у експлицитном облику y= x+ која после множења са 5 постаје 5y = 9x + 7, 5 5 односно 9x + 5y 7 = 0.

16 5 9. Користећи формулу за површину лопте рачунамо 4r π = 65π одакле добијамо да је r=. Да би лопту сместили у кутију облика коцке а да истовремено додирује свих 6 страна кутије, онда унутрашња ивица кутије мора бити 5cm. Површина кутије је P = 6 5 πcm = 750πcm 775cm. Ова површина представља 80% површине картона који је потребан за израду кутије. Рачунајући 80% x = 775cm добијамо да је потребна површина картона 478,75cm или приближно,5m. 0. Из расположивих података израчунавамо да база ваљка има површину 44πcm, односно да је полупречник базе ваљка cm. Пресек равни и ваљка је правоугаоник чије су димензије висина ваљка H и она тетива круга у бази која је од центра круга удаљена 7,cm. Применом t Питагорине теореме израчунавамо дужину тетиве = 7, Површина пресека је 88cm. и та дужина износи 9,cm.. Пошто је површина основе купе једнака трећини укупне површине купе, то је површина омотача једнака две трећине површине целе купе. Површина омотача купе је два пута већа од површине базе или rπs = r π, односно s = r. Из тога добијамо површину омотача M = r π. При развијању омотача купе у исечак, изводница купе s постаје полупречник исечка, а s πα површина омотача купе постаје површина исечка. Дакле P i = M, односно = r π. Пошто је 60 ( r) πα 4r πα s = r последња једнакост постаје = r π, односно = r π, која после делења са α r π постаје =, одакле добијамо да је α = Пошто је r v = cm запремина ваљка је V v = π H cm = πh cm. Запремина купе је r πh k r πh k V = cm. Како су запремине ваљка и купе једнаке онда је πh cm = cm, одакле је k r = cm. Површина основе ваљка је B v = πcm = πcm. Површина основе купе купе је k k cm cm. k kcm kcm. B = π = π Омотач ваљка је M v = π H cm = πh cm, а омотач купе је M = π s = πs Знајући да су површине оба тела једнаке имамо да је π+ πh= π+ πs k. После деобе са π једначина постаје + H= + s k коју можемо написати у облику H = s k. Квадрирањем и леве и десне стране једначине добијамо 4H 4H + = s k. Пошто је s k = r k + H последња једначина добија облик 4H 4H + = (r k + H ), односно 4H 4H + = ( + H ) која је еквивалентна једначини H 4H + = 9. Додавањем броја на обе стране једначине, па записивањем леве стране једначине у облику квадрата бинома добијамо једначину (H ) = из које следи да је H= + или H=. Како је друго решење негативно закључујемо да је висина оба тела H= (+ )cm, односно H= (+ )cm B=,,, 4, B 4,,,, 5. =. (x, y) = (4,; 8,) [(x, y) = (,6; 0,)].

17 . Решавањем једначине x + 5y = 5 и избором што већег y долазимо до решења да је број новчаница од динара 4, а број новчаница од 5 динара је 9 што значи да је укупан број новчаница. [Решавањем једначине x + 5y = 7 и избором што мањег y долазимо до решења да је број новчаница од динара 6, а број новчаница од 5 динара је што значи да је укупан број новчаница 7.]. P p = 40cm [P p = 6cm ]... V P = 08π cm [ V = 6π cm ]. = π(+ )cm [V = 60πcm ]. 4. Странице правоугаоника су 6cm и 6 cm. Тело које настаје је ваљак чији је полупречник cm и висина 6cm. Запремина насталог тела је V = 6πcm. [Странице правоугаоника су cm и 4 cm. Тело које настаје је ваљак чији је полупречник cm и висина cm. Запремина насталог тела је V = 44πcm.]. V = 0πcm [P = 4πcm ].. V = 00πcm [M = 60πcm ].. P = 00πcm [P = 6πcm ]. 4. P = 08πcm, V= 7π cm [P = 4πcm, V = 648πcm ].. (x, y) = (, ) [(x, y) = (, 4)]. ЧЕТВРТИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК. Тражени бројеви су 0 и 5 [Тражени бројеви су 5 и 0].. P = 78πcm, V = 97πcm [P = 768πcm, V = 880πcm ]. 4. V = 9πcm [V = 0πcm ]. 5. P = 48πcm, V= π cm [P = 88πcm, V= 576π cm ].