ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

Transcript

1 Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [ 5,0) ( 4, + 5] m ; m. x x. Решити једначину log( 7 ) log(5 + 4 ) + log 7 = 0. Решење: x =.. У троуглу ABC је α β = γ. (a) Доказати да је угао α туп. (b) Иза A у односу на B дата је тачка E таква важи да је AC EC =. Доказати да је CA симетрала угла ECB. 4. Основа пирамиде је правоугаоник. Две бочне стране су нормалне на раван основе, а друге две образују са њом углове од 45 и 60. Висина пирамиде је H = cm. Израчунати запремину пирамиде. Решење: V = 7cm. 5. Одредити сва решења једначине sin x + sin x + sin x + sin 4x = 0 у 0,π. интервалу [ ] 4 Решење: x = 0, x = π, x = π, x4 = π, x5 = π. 5 5

2 74 Информатор Института за математику и информатику 6. Одредити једначину кружнице која додирује x осу у тачки A (,0) и садржи тачку B ( +, ). Решење: ( x ) + ( y + ) = Четири броја чине геометријски низ. Њихови логаритми узети за основу чине геометријски низ чија је разлика, а збир 6. Одредити та четири броја. Решење:,8,,8. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун Израчунати вредност израза a = 0,0. 4a 9a 0,5 a a 0,5 a 4 + a + 0,5 a a 0,5 ако је. У скупу реалних бројева решити једначине: 5 ( x ) ( x )( x 7x + ) x x + 0 (а) = 0, x x x x (б) = 0. 5 ( x ) ( x )( x 7x + ) x x + 0. Решити неједначину log (x + x + ) 0.

3 Природно-математички факултет Дата је коцка ABCDA BC D (види слику). Нека су E и F редом средишта ивица AB и AA. Израчунати запремину пирамиде DEFB, ако је a дужина ивице коцке. D C A B E D C A F B 5. Дужа основица једнакокраког трапеза, у који се може уписати круг, је a = cm, а угао на њој је α = 75. Израчунати обим овог трапеза. cos x cos x 6. Решити једначину =. 7. Дат је полином : ( x x ) + ( x x + ) + x + 4. P ( x) = x Одредити: (a) степен полинома P ; (b) збир коефицијената полинома P ; (c) остатак при дељењу полинома P са x x. 8. Израчунати + i i + i + i 4 + i + i i + +. i

4 76 Информатор Института за математику и информатику 9. Наћи једначину праве којој припада тетива кружнице дате једначином x + y 4x + y + = 0, при чему је средиште тетиве тачка A (,0). 0. Први члан аритметичког низа је 4. Одредити 004. члан овог низа, ако је познато да први, пети и једанаести члан одређују геометријски низ. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јул Ако је ( a + ) + ( b + ) a = ( + ) и једнака b = ( ), онда је вредност израза А) + ; Б) + ; В) ; Г) ; Д) 0.. x ( x 64)( 64) Производ свих реалних решења једначине = 0 x + 0x 64 је: А) - 64; Б) 8; В) 48; Г) -84; Д) Скуп свих решења неједначине 4x > x је: А) 0, ; Б), 6 ; В) 0, ; Г), ; Д), Нека су x и x решења једначине x + (a - )x + a + = 0 Вредност реалног параметра а за коју је збир x + x минималан је: А) ; Б) ; В) 0; Г) -; Д) -.

5 Природно-математички факултет Страница ромба је a = 9 cm, а d + d 4 Израчунати површину ромба (у = cm ) је: А) 6; Б) 5; В) 6; Г) 50; Д) 75. cm је збир дијагонала. 6. Осни пресек праве кружне купе, полупречника основе р, је једнакостраничан троугао. Однос површина дате купе и лопте уписане у њу је: А) : ; Б) 4 : ; В) : ; Г) 9 : ; Д) 9 : Ако је ϕ угао који главна дијагонала AC, коцке ABCDA BC D, заклапа са страном ABCD, тада важи: A) 0 < ϕ 5 ; Б) 5 < ϕ 0 ; В) Д) 0 < ϕ 45 ; Г) 60 < ϕ < < ϕ 60 ; 8. Збир квадрата највећег негативног и најмањег позитивног решења 6 6 једначине sin x + cos x = је: 4 π π 5π 9 π π А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) Остатак при дељењу неког полинома P(x) са x +7x+0 је -x+. Тада је остатак при дељењу полинома P(x) са x + 5 једнак: А) -7; Б) ; В) 0; Г) 70; Д) 67.

6 78 Информатор Института за математику и информатику x 0. Област дефинисаности функције f(x) = log је: x + А) (, ), + ; Б) (, ) (, + ) ; В) (, ) [, + ),, + ; Д),+. Г) ( ) ;. Геометријско место тачака подједнако удаљених од y-осе, координатног система xоy, и од криве x - 6x + y = -8 је: А) хипербола; Б) елипса; В) парабола; Г) права; Д) дуж.. Дат је низ 0,, 0,, 0,,..., n 0,,... Најмањи природан број n такав да је производ првих n чланова датог низа мањи од 0,0000 је: А) мањи од 4; Б) 4; В) 5; Г) 6; Д) већи од 6. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун Ако су A, B C реалне константе такве да за све реалне бројеве x различите од и - важи тада је A + B + C једнако: x + 5 A B = + x x + x + ( x ) C +, x А) ; Б) ; В) 0; Г) -; Д).

7 Природно-математички факултет 79. Скуп свих решења неједначине x + x < је: А) (, ]; Б) ; В) (, ) ; Г) (,+ ); Д) [,+ ).. Ако је а реалан број различит од нуле, тада је једнако: a + a + a a А) ; Б) ; В) a ; Г) a a ; Д). a a 4. Решења једначине x 6mx m + 9m = 0 су већа од ако и само ако m припада интервалу: 8 8 А) 0, ; Б),+ ; В), ; Г),+ ; Д) 5, График функције f ( x) = ax + bx + c a,b,c, приказан је на слици. Тачан је исказ: А) a > 0,b < 0, c < 0 ; Б) a > 0,b > 0, c > 0 ; В) a > 0,b > 0, c < 0 ; Г) a > 0,b < 0, c > 0 ; Д) a < 0,b > 0, c > 0., 6. Сва решења једначине 5 x + 5 0, x = 6 припадају интервалу: А) (,0) ; Б) ( 4) 5 0, ; В), ; Г) (, 5) ; Д) (,+ ) 5.

8 80 Информатор Института за математику и информатику 7. Ако је tg α = и 7 π α + β =, тада је tg β, једнако: 4 6 А) ; Б) 7 ; В) ; Г) ; Д) Ако је ϕ угао једног диедра правилног тетраедра, онда је cos ϕ једнак: А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д). 9. Вредност израза log (log log 8 ) је: А) ; Б) ; В) 9 ; Г) ; Д) log Бројеви a, a,..., a 0 образују аритметички низ. Ако је збир свих чланова са непарним индексима једнак 0, а збир свих чланова са парним индексима једнак 50, онда је a једнако: А) ; Б) 4; В) 5; Г) 6; Д) 8.. У паралелограму ABCD познате су координате темена B (-, ), C (, -5), D (7, 0). Координате темeна А су: А) (0, 0); Б) (-, ); В) (5, 8); Г) (, ); Д) (, 6).. Изводница праве зарубљене купе је c = 5cm, а полупречници основа су r = 5cm и r = 5cm. У купу је уписана правилна четворострана зарубљена пирамида тако да је доња основа пирамиде уписана у доњу основу купе, а горња основа пирамиде у горњу основу купе. Запремина зарубљене пирамиде је: А) 04cm ; Б) 6cm ; В) 78cm ; Г) cm ; Д) 77 cm.

9 Природно-математички факултет 8 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јул На 007. децималном месту броја 4 се налази цифра: А) ; Б) ; В) 4; Г) 5; Д) 8.. Решење неједначине x+ x < је скуп: А) (,+ ); Б) (,) ; В) (, ) ; Г) (,) ; Д) (,].. Круг је уписан у једнакостраничан троугао, а затим је квадрат уписан у тај круг. Однос површина троугла и квадрата једнак је: А) ; Б) ; В) 6 ; Г) 8 ; Д). 4. Шестоцифрених бројева у чијем запису не учествује цифра има: 6 А) 9 ; Б) ; В) Д) ; Г) ; 5. Скуп реалних бројева d таквих да за свако x R важи x + x+ неједнакост d је: x + x+ А) (, + ) ; Б) ( ] 0 Г), + ; Д) 0,. 0,, + ; ; В) (,)

10 8 Информатор Института за математику и информатику x f x log x + 6. Област дефинисаности функције ( ) = je: А), + ; Б) (, ] [, + ) ; В) (, ) [, ) Г) R\ { } ; Д) ( 0,+ ). + ; 7. Ако је log 8 = p и log 5 = q, тада је log log0 6 једнако: А) q + p+ ; Б) Д) q + p +. pq+ pq+ p+ pq+ ; В) p q p+ pq+ ; Г) ; pq + 8. У аритметичком низу са различитим члановима први, пети и једанаести члан образују геометријски низ. Ако је први члан 4 десети члан аритметичког низа је: А) 77 ; Б) 76 ; В) 5 ; Г) 5 ; Д) 4. π π 9. Број решења једначине sin x cos + cos x sin = која 7 7 припадају интервалу π π, је: А) ниједно; Б) ; В) 4 ; Г) ; Д). 0. Површина омотача правог кружног конуса је M. Када се тај омотач развије, централни угао одговарајућег кружног исечка износи 6. Полупречник основе овог конуса је: M А) 0π ; Б) 0Mπ ; В) M 0π ; Г) M π ; Д) 0M π.

11 Природно-математички факултет 8. За који угао треба да ротира права x + 7 y 9 = 0 око своје тачке (, ) S да би додиривала хиперболу x y = 4? А) 45 ; Б) 90 ; В) 0 ; Г) 60 ; Д) 75.. Дужина странице квадрата ABCD је a = cm. Нека су E и F тачке редом страница AD и AB, такве да је AE = AF и да је површина четвороугла CDEF максимална. У том случају површина четвороугла CDEF је (у cm ): А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д). 8 6