Π Α Ν Ε Π ΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Τ Μ Η Μ Α Δ Ι Ο Ι Κ Η ΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Μ Ε Τ Α Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ ΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΒΑ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ»

Transcript

1 Π Α Ν Ε Π ΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Τ Μ Η Μ Α Δ Ι Ο Ι Κ Η ΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Μ Ε Τ Α Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ ΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΒΑ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» Δ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θ Ε Μ Α : Δ υ ν α μικά Μο ντέλα Χωροθέτη σης Εγκαταστάσεων Ε Κ Π Ο Ν Η Σ Η : Σ Κ Ο Υ Τ Α Γ. Μ Α Ρ Ι Α ( Α. Μ. 208) Ε Π Ι Β Λ Ε Π Ω Ν Κ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ : Κ ος Γ Ι Α Ν Ν Ι Κ Ο Σ Ι Ω Α Ν Ν Η Σ, Α ν α π λ η ρ ω τ ή ς Κ α θ η γ η τ ή ς Π Α Τ Ρ Α, Ι Α Ν Ο Υ Α Ρ Ι Ο Σ

2 2

3 Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Π Α Τ Ρ Ω Ν Τ Μ Η Μ Α Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΒΑ «Ν Ε Ε Σ Α Ρ Χ Ε Σ Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν» Δ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θ Ε Μ Α : Δ υ ν α μ ι κ ά Μ ο ν τ έ λ α Χ ω ρ ο θ έ τ η σ η ς Ε γ κ α τ α σ τ ά σ ε ω ν Ε Κ Π Ο Ν Η Σ Η : Σ Κ Ο Υ Τ Α Γ. Μ Α Ρ Ι Α (Α.Μ ) Ε Π Ι Β Λ Ε Π Ω Ν Κ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ : Κ ος Γ Ι Α Ν Ν Ι Κ Ο Σ Ι Ω Α Ν Ν Η Σ, Α ν α π λ η ρ ω τ ή ς Κ α θ η γ η τ ή ς ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΜΕΛΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΗΝ η ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ Γιαννίκος Ιωάννης Νεάρχου Ανδρέας Ανδρουλάκης Γεώργιος Αναπληρωτής Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Π Α Τ Ρ Α, Ι Α Ν Ο Υ Α Ρ Ι Ο Σ

4 .. ΣΚΟΥΤΑ ΜΑΡΙΑ Διπλωματούχος Μηχανικός Η/Υ & Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Πατρών Copyright ΣΚΟΥΤΑ ΜΑΡΙΑ, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών. 4

5 5

6 Ευχαριστίες Ολοκληρώνοντας τη μεταπτυχιακή μου διπλωματική εργασία, αισθάνομαι την υποχρέωση να ευχαριστήσω τους ανθρώπους που ο καθένας με το δικό του τρόπο με στήριξαν κατά τη περίοδο των σπουδών μου. Καταρχάς, θέλω να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα μου κ. Γιαννίκο Ιωάννη, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών. Καθ όλη τη διάρκεια της διπλωματικής μου εργασίας, η επιστημονική του καθοδήγηση και οι υποδείξεις του στην αντιμετώπιση των δυσκολιών που συνάντησα ήταν καταλυτική. Οι πολύτιμες συμβουλές του, η εμπιστοσύνη που μου έδειξε και κυρίως η υπομονή του με βοήθησαν τα μέγιστα για την ολοκλήρωση της εργασίας μου. Θα ήθελα να ευχαριστήσω επίσης και τα άλλα δύο μέλη της Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής, τον κ. Ανδρουλάκη Γεώργιο, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών και τον κ. Νεάρχου Ανδρέα, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών. Τέλος, θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στους γονείς μου και τον αδελφό μου για τη συμπαράσταση και την υπομονή τους όλα αυτά τα δύσκολα χρόνια των σπουδών μου. Μαρία Γ. Σκούτα Πάτρα, Ιανουάριος

7 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή Χωροθέτηση Εγκαταστάσεων Μεθοδολογική Προσέγγιση Εφοδιαστική Αλυσίδα Κεφάλαιο 2 ο Μοντέλα Χωροθέτησης Βασικά Μοντέλα Χωροθέτησης Μοντέλα Μέγιστης Απόστασης Maximum Distance Models The p Dispersion Problem Total or Average Distance Models Δυναμικά Μοντέλα Χωροθέτησης Στοχαστικά Μοντέλα Χωροθέτησης Κεφάλαιο 3 ο Εφαρμογή του Μοντέλου για το Σχεδιασμό των Μονάδων μιας Εφοδιαστικής Αλυσίδας Περιγραφή του Προβλήματος Μετεγκατάσταση Δυναμικότητας Παράγοντες Κόστους Διατύπωση του Προβλήματος Σύνολα Δεικτών Κόστη Παράμετροι Μεταβλητές απόφασης Διατύπωση του προβλήματος Παραλλαγή του Μοντέλου

8 Κεφάλαιο 4 ο Ανάλυση αποτελεσμάτων Κατηγορίες Προβλημάτων Περιπτώσεις Σεναρίων Πρώτη Κατηγορία Προβλημάτων Πρώτη Κατηγορία Προβλημάτων Παραλλαγή Μοντέλου Δεύτερη Κατηγορία Προβλημάτων Δεύτερη Κατηγορία Προβλημάτων Παραλλαγή Μοντέλου Ανάλυση Αποτελεσμάτων Συγκρίσεις Σεναρίων Κεφάλαιο 5 ο Συμπεράσματα Βιβλιογραφία Παράρτημα Πινάκων

9 Περίληψη Σε μια εποχή που οι αλλαγές του οικονομικού περιβάλλοντος συμβαίνουν όλο και πιο συχνά, κάθε επιχειρηματικός οργανισμός πρέπει να αποκτήσει ικανότητα να παίρνει γρήγορα τις σωστές αποφάσεις και να τις υλοποιεί. Η λήψη αποφάσεων αποτελεί σημαντικότατο στοιχείο της καθημερινής μας ζωής και καθορίζει τη μετέπειτα πορεία μας καθώς τα αποτελέσματά της φαίνονται σε διάφορους τομείς. Το πλήθος των αποφάσεων που καλούμαστε να λάβουμε είναι τέτοιο που αρκετές φορές αποφασίζουμε ασυνείδητα και μηχανικά. Ωστόσο, το ίδιο δεν μπορεί να συμβεί και στο επιχειρηματικό περιβάλλον όπου οι αποφάσεις έχουν συνήθως στρατηγική σημασία και επηρεάζουν τόσο τη σωστή λειτουργία όσο τη καλή πορεία και τη βιωσιμότητα των επιχειρήσεων. Ο σκοπός της συγκεκριμένης διπλωματικής εργασίας είναι η ανάδειξη του ρόλου της εφοδιαστικής αλυσίδας στη λήψη αποφάσεων. Μέσα από τη δημιουργία κατάλληλων μοντέλων γραμμικού προγραμματισμού, τα οποία αντιπροσωπεύουν τη λειτουργία της εφοδιαστικής αλυσίδας, είναι εφικτή η πρόβλεψη πιθανών μελλοντικών σεναρίων. Συνεπώς, η διοίκηση μιας εταιρείας θα μπορεί να είναι σε θέση να λαμβάνει γρήγορα και αντικειμενικά τις απαραίτητες αποφάσεις στρατηγικής σημασίας για την αντιμετώπιση οποιασδήποτε κατάστασης. Η παρούσα διπλωματική εργασία στηρίχτηκε στην εργασία των M.T. Melo, S. Nickela,b, F. Saldanha da Gama «Dynamic multi-commodity capacitated facility location: a mathematical modeling framework for strategic supply chain planning». Το συγκεκριμένο paper βραβεύτηκε ως ένα από τα καλύτερα το 2012 στο «Euro Award for the Best Ejor Paper 2012». Η δομή της εργασίας είναι η εξής: Στο 1 ο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες όπως αυτή της χωροθέτησης εγκαταστάσεων και της εφοδιαστικής αλυσίδας. Επίσης παρουσιάζεται και η μεθοδολογική προσέγγιση για την παρουσίαση των προβλημάτων. Στο 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα μοντέλα χωροθέτησης. Αυτά κατηγοριοποιούνται στα Βασικά Μοντέλα Χωροθέτησης όπου παρατίθενται αναλυτικά οχτώ από αυτά, στα Δυναμικά Μοντέλα Χωροθέτησης και στα Στοχαστικά Μοντέλα Χωροθέτησης. Το 3 ο κεφάλαιο ασχολείται με την εφαρμογή. Συγκεκριμένα, παρουσιάζεται η περιγραφή και η διατύπωση του προβλήματος όπου παρατίθενται εκτενώς τα σύνολα, οι παράμετροι, οι μεταβλητές απόφασης και οι περιορισμοί που απαιτούνται για την επίλυση του μοντέλου μας. 9

10 Το 4 ο κεφάλαιο ασχολείται με την ανάλυση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν ύστερα από την επίλυση του μοντέλου στο περιβάλλον του AIMMS. Συγκεκριμένα παρατίθενται αναλυτικά τα σενάρια που έχουμε θεωρήσει ως πραγματικά καθώς και οι βέλτιστες λύσεις για κάθε ένα ξεχωριστά από αυτά. Εν κατακλείδι, στο 5 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της συγκεκριμένης εργασίας και η μελλοντική έρευνα. 10

11 Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή 1.1 Χωροθέτηση Εγκαταστάσεων Η χωροθέτηση εγκαταστάσεων (facility location) είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα και ιδιαίτερα σημαντικά προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι επιστήμες της Λήψης Αποφάσεων. Ειδικότερα επιστήμες όπως, της Διοίκησης Λειτουργιών και της Επιχειρησιακής Έρευνας, διαπραγματεύονται τέτοιου είδους προβλήματα. Τα προβλήματα χωροθέτησης εγκαταστάσεων ορίζονται από τα εξής ερωτήματα: «Ποια είναι η καλύτερη τοποθέτηση ενός αριθμού μονάδων, με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, σε ένα δοσμένο γεωγραφικό χώρο, έτσι ώστε να επιτυγχάνονται κάποιοι στόχοι, όπως για παράδειγμα η καλύτερη εξυπηρέτηση των πελατών, λαμβάνοντας υπόψη κάποιους περιορισμούς, όπως για παράδειγμα η παραγωγική ικανότητα μιας μονάδας;». Συνεπώς, ο στρατηγικός σχεδιασμός ενός αποτελεσματικού συστήματος διαχείρισης εξαρτάται πρωτίστως από την επιλογή του χώρου στον οποίο θα δημιουργηθούν μία ή περισσότερες εγκαταστάσεις προκειμένου να εξυπηρετήσουν μια συγκεκριμένη κατανομή πελατών. Η τοποθεσία που θα επιλεγεί για τη δημιουργία μιας εγκατάστασης καθορίζει κυρίως την επιτυχημένη παροχή των υπηρεσιών για τις οποίες σχεδιάστηκε η εγκατάσταση αυτή. Η χωροθέτηση εγκαταστάσεων αντιπροσωπεύει μακροχρόνιες επενδύσεις λόγω του κόστους απόκτησης ιδιοκτησίας και των υψηλών κατασκευαστικών εξόδων. Προκειμένου λοιπόν, να είναι επιτυχημένη η λειτουργία της εγκατάστασης και η επένδυση να είναι παραγωγική, θα πρέπει να διαμορφωθεί μια ορθολογική διαδικασία λήψης αποφάσεων που θα επικεντρώνεται στους σημαντικούς παράγοντες και τα χαρακτηριστικά που επηρεάζουν την αποδοτικότητα της εγκατάστασης. Τα προβλήματα χωροθέτησης, στο επιστημονικό πεδίο, χαρακτηρίζονται ως χωρικά προβλήματα κατανομής πόρων (spatial resource allocation problems) τα οποία αφορούν μία ή περισσότερες λειτουργικές μονάδες ή μονάδες εξυπηρέτησης (servers) οι οποίες εξυπηρετούν χωρικά κατανεμημένες ομάδες ζήτησης (demand centers) που αποτελούν τους πελάτες (customers). 11

12 Από τον ορισμό της χωροθέτησης εγκαταστάσεων προκύπτουν τέσσερα συστατικά που χαρακτηρίζουν τα προβλήματα χωροθέτησης: α) οι «πελάτες» (customers) οι οποίοι θεωρούνται ότι έχουν τοποθετηθεί σε συγκεκριμένα σημεία του χώρου, έχουν συγκεκριμένη κατανομή και παρουσιάζουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. β) οι «μονάδες» ή «εγκαταστάσεις» (facilities) που θα χωροθετηθούν. γ) ο «χώρος» (space) στον οποίο βρίσκονται οι πελάτες και οι μονάδεςεγκαταστάσεις που θα χωροθετηθούν. δ) μια «μετρική» (metric) η οποία υποδεικνύει τις αποστάσεις ή τον χρόνο που απαιτείται ανάμεσα στους πελάτες και τις μονάδες-εγκαταστάσεις. Με μια πιο απλουστευμένη θεώρηση-ερμηνεία, θα μπορούσε κανείς να πει ότι επιτυχής επίλυση ενός προβλήματος χωροθέτησης, σημαίνει ότι έχει βρεθεί και επιλεχθεί η καλύτερη τοποθεσία σε έναν ορισμένο γεωγραφικό χώρο για την τοποθέτηση μιας ή περισσοτέρων μονάδων με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, ικανοποιώντας συγκεκριμένα κριτήρια και στόχους που αφορούν κυρίως την επιτυχημένη παροχή υπηρεσιών σε κατανεμημένους πελάτες. Η ανάλυση χωροθέτησης (location analysis) αναφέρεται στην ανάπτυξη μαθηματικών προτύπων και αλγορίθμων τοποθέτησης εγκαταστάσεων κάθε τύπου σε χωρικό ή γεωγραφικό περιβάλλον. Οι εγκαταστάσεις χωροθετούνται έτσι ώστε να ικανοποιούν τη ζήτηση, τον ανεφοδιασμό, την κάλυψη περιοχών ή αλληλεπιδρούν με την ύπαρξη άλλων εγκαταστάσεων. Στα προβλήματα αυτά, συνήθως η θέση εγκατάστασης εξετάζεται μεμονωμένα ως προς τα λειτουργικά χαρακτηριστικά της συγκεκριμένης εγκατάστασης (facility layout), αλλά σχετίζεται με την ανάπτυξη και τον σχεδιασμό ευρύτερων συστημάτων με βάση την κατανομή των πόρων του συστήματος που εξυπηρετεί. Πιο συγκεκριμένα, οι πόροι του συστήματος είναι τα σταθερά σημεία του συστήματος όπου ανάλογα με το πρόβλημα, αντιπροσωπεύουν άλλες εγκαταστάσεις, αγορές ή καταναλωτές, αφετηρίες ή προορισμούς με τους οποίους αλληλεπιδρά η μία ή περισσότερες εγκαταστάσεις που πρόκειται να χωροθετηθούν (Plastrio, 1995). Ο γενικευμένος όρος που περιγράφει αυτή τη διαδικασία αναζήτησης θέσεων για εγκαταστάσεις μέσα σε δίκτυα εξυπηρέτησης, είναι ως προβλήματα χωροθέτησης-κατανομής (location-allocation problems). Σε αυτά τα προβλήματα ζητείται η χωροθέτηση κέντρων εξυπηρέτησης σε δοσμένο χώρο, έτσι ώστε να καλύπτεται η ζήτηση στον χώρο αυτό με τον καλύτερο τρόπο. 12

13 1.2 Μεθοδολογική Προσέγγιση Η χωροθέτηση εγκαταστάσεων είναι από τη φύση της ένα πολυδιάστατο πρόβλημα. Ανάλογα με τη πολυπλοκότητα του επιχειρησιακού περιβάλλοντος και την απαραίτητη προσαρμογή στις συγκεκριμένες ανάγκες του προβλήματος, χρειάζεται διαφορετική προσέγγιση για την επίτευξη των επιθυμητών στόχων. Η μεθοδολογία που εφαρμόζεται, προϋποθέτει τον προσδιορισμό ενός συνόλου τοποθεσιών για τις μονάδες εξυπηρέτησης με βάση χωρικά κατανεμημένες προϋποθέσεις, ενώ στην πορεία βελτιστοποιούνται κάποια συγκεκριμένα μετρήσιμα κριτήρια. Τα πρότυπα χωροθέτησης χρησιμοποιούνται στη λήψη αποφάσεων σε τομείς που σχετίζονται κυρίως με: τον εντοπισμό του συνόλου των υποψήφιων θέσεων χωροθέτησης τη βέλτιστη χωροθέτηση εγκαταστάσεων σε μια νέα περιοχή τον υπολογισμό της αποδοτικότητας προηγούμενων αποφάσεων χωροθέτησης τη βελτίωση των υπαρχόντων σχεδίων χωροθέτησης Το μεθοδολογικό πλαίσιο που προτείνεται για την προσέγγιση προβλημάτων χωροθέτησης συνοψίζεται στα ακόλουθα βήματα (Rahman and Smith, 2000): Κατανόηση και καθορισμός του προβλήματος Ανάπτυξη του αντίστοιχου μοντέλου (εννοιολογική και ποσοτική) Ανάλυση του μοντέλου Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Εκτέλεση των αποτελεσμάτων Ένας από τους σημαντικότερους παράγοντες στη διαδικασία επίλυσης μοντέλων χωροθέτησης είναι η επιλογή των κατάλληλων κριτηρίων και της αντικειμενικής συνάρτησης που θα βελτιστοποιεί τα κριτήρια αυτά. Ο σχηματισμός της αντικειμενικής συνάρτησης εξαρτάται κυρίως από τη φύση του οργανισμού που θα ασχοληθεί με το πρόβλημα, καθώς και από τη φύση των μονάδων εξυπηρέτησης. Συνεπώς, ένας πρώτος διαχωρισμός στα προβλήματα χωροθέτησης αφορά τη διάκριση ανάμεσα στην εξυπηρέτηση ιδιωτικών ή δημόσιων αναγκών (Cohon, 1978). Οι μονάδες εξυπηρέτησης στον ιδιωτικό τομέα, όπως για παράδειγμα μία αποθήκη ή ένας σταθμός εξυπηρέτησης πελατών, συνήθως χωροθετούνται με τέτοιο τρόπο ώστε να εκπληρώνονται στόχοι όπως, η ελαχιστοποίηση του κόστους ή η μεγιστοποίηση του κέρδους, είτε αυτό υπολογίζεται σε χρήματα, χρόνο ή απόσταση. Αντίθετα, προβλήματα χωροθέτησης δημόσιου τομέα είναι ακόμα πιο πολύπλοκα γιατί 13

14 σχετίζονται με προβληματικές καταστάσεις κοινωνικοοικονομικού και πολιτικού χαρακτήρα στις οποίες είναι αρκετά δύσκολο έως αδύνατο να υπολογιστούν μονοσήμαντα οι συνέπειες τους. Επίσης, είναι συχνό το φαινόμενο, στις αποφάσεις αυτές να υπάρχει αυξημένη αβεβαιότητα είτε λόγω μη ύπαρξης διαθέσιμων στοιχείων και σαφώς καθορισμένων συνεπειών είτε, λόγω ύπαρξης φιλοσοφικών αναζητήσεων συχνά αντικρουόμενων (αποτίμηση κόστους μιας οικολογικής καταστροφής ή ενός θανάτου από ατύχημα). Τυπικά παραδείγματα εγκαταστάσεων του δημόσιου τομέα είναι οι πυροσβεστικοί σταθμοί, τα αστυνομικά τμήματα, οι σταθμοί παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας κ.α. Όπως αναφέρεται στο Eliset and Laporte (1995), η κατηγορία προβλημάτων του ιδιωτικού τομέα, συνήθως χρησιμοποιεί τη τυπική συνάρτηση αποδοτικότητας minsum. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι εγκαταστάσεις τοποθετούνται έτσι ώστε να ελαχιστοποιούν το άθροισμα του συνολικού κόστους μεταφοράς. Αντίθετα, στις δραστηριότητες του δημόσιου τομέα, εφαρμόζεται ευρέως η τυπική συνάρτηση ισότητας minmax, όπως για παράδειγμα στη χωροθέτηση μονάδων υγείας, έτσι ώστε να μειώνεται ο χρόνος πρόσβασης των πολιτών στις μονάδες εξυπηρέτησης ακόμα και στην περίπτωση των πιο απομακρυσμένων περιοχών. 1.3 Εφοδιαστική Αλυσίδα Η εφοδιαστική αλυσίδα είναι ένα δίκτυο εγκαταστάσεων (π.χ. εργοστάσια παραγωγής, κέντρα διανομής, αποθήκες κλπ.) το οποίο εκτελεί μια σειρά λειτουργιών που κυμαίνονται από την απόκτηση πρώτων υλών, την μετατροπή αυτών των υλών σε ενδιάμεσα και τελικά προϊόντα μέχρι τη διανομή των προϊόντων στους πελάτες. Η εικόνα 1, δείχνει ένα δίκτυο εφοδιαστικής αλυσίδας με προμηθευτές, εργοστάσια, κέντρα διανομής και πελάτες. Τα βέλη δείχνουν τα κανάλια μεταφοράς που είναι διαθέσιμα για την αποστολή των προϊόντων. Εκτός από τις εισερχόμενες και τις εξερχόμενες μεταφορές, τα προϊόντα μπορεί να εισρεύσουν μεταξύ των εγκαταστάσεων του ίδιου τύπου και επίσης από τις θέσεις των πελατών σε άλλες εγκαταστάσεις (π.χ. εργοστάσια, κέντρα διανομής). 14

15 Εικόνα 1: Παράδειγμα δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας Η βελτιστοποίηση ολόκληρης της εφοδιαστικής αλυσίδας επιτυγχάνεται μέσω των αποτελεσματικών αποφάσεων σχεδιασμού. Στο επίπεδο του στρατηγικού σχεδιασμού, οι τυπικές αποφάσεις αφορούν την τοποθέτηση εγκαταστάσεων και/ή την αποθήκευση. Επιπλέον, το δίκτυο της εφοδιαστικής αλυσίδας αποτελείται από δενδροειδείς μορφές που συνήθως περιορίζονται το πολύ σε δύο κλιμάκια εγκαταστάσεων (π.χ. εγκαταστάσεις και κέντρα διανομής), ένα σύστημα καναλιών διανομής μεταξύ αυτών των κλιμακίων και των σημείων ζήτησης και μια σχετικά απλή διάρθρωση του κόστους. Η δημιουργία νέων εγκαταστάσεων, καθώς και η επέκταση, μείωση και η μετεγκατάσταση ήδη υπαρχουσών εγκαταστάσεων, είναι κατά κανόνα μακροπρόθεσμα έργα (projects) τα οποία αφορούν χρονοβόρες δραστηριότητες (π.χ. κατασκευή εγκαταστάσεων) και σημαντικές επενδύσεις κεφαλαίου (π.χ. εγκατάσταση κατάλληλης υποδομής, προμήθεια εξοπλισμού και εκπαίδευση υπαλλήλων). Ως αποτέλεσμα, οι εταιρείες βρίσκονται αντιμέτωπες με το έργο του σχεδιασμού των εφοδιαστικών τους αλυσίδων με τέτοιο τρόπο ώστε τα έργα να εκτελούνται ομαλά, χωρίς να διαταράσσονται οι δραστηριότητες της εφοδιαστικής αλυσίδας. Για παράδειγμα, σε πολλά κατασκευαστικά περιβάλλοντα, η εγκατάσταση ή η 15

16 μετεγκατάσταση μιας μονάδας παραγωγής είναι ένα χρονοβόρο έργο που απαιτεί προγραμματισμό σε φάσεις χρόνου (time-phased planning). Μια ομαλή μετάβαση σε μια νέα διαμόρφωση δικτύου επιτρέπει καλύτερο συντονισμό όλων των επιχειρησιακών πτυχών που εμπλέκονται σ αυτή τη διαδικασία και καλύτερη διαχείριση των απαιτούμενων επενδυτικών κεφαλαίων. Ως εκ τούτου, προκειμένου να μειωθεί η οικονομική επιβάρυνση για την εταιρεία, από ένα τέτοιο ολοκληρωμένο έργο (project), θα πρέπει να προγραμματιστούν για τις διάφορες χρονικές περιόδους οι κεφαλαιακές δαπάνες καθώς και οι αποφάσεις σχεδιασμού του δικτύου. Μια άλλη πρακτική κατάσταση για την οποία ισχύει το σενάριο μετεγκατάστασης, αφορά τη συγχώνευση εταιρειών. Σ αυτή την περίπτωση, ενοποιούνται πρώην ξεχωριστές εφοδιαστικές αλυσίδες και προγραμματίζεται μια κοινή δομή logistics. Αυτό συνεπάγεται κλείσιμο ορισμένων από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις και συγκέντρωση των ικανοτήτων σε νέες θέσεις. Κεφάλαιο 2 ο Μοντέλα Χωροθέτησης 2.1 Βασικά Μοντέλα Χωροθέτησης Σ αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε οχτώ βασικά μοντέλα χωροθέτησης: το μοντέλο set covering, το μοντέλο maximal covering, το μοντέλο p-center, το μοντέλο p dispersion, το μοντέλο p-median, το μοντέλο fixed charge, το μοντέλο hub και το μοντέλο maxisum. Σε όλα αυτά τα μοντέλα, το υποκείμενο δίκτυο είναι δεδομένο όπως οι τοποθεσίες των απαιτήσεων που πρέπει να εξυπηρετηθούν από τις εγκαταστάσεις/μονάδες και οι τοποθεσίες των ήδη υπαρχουσών εγκαταστάσεων. Το γενικό πρόβλημα είναι η τοποθέτηση νέων εγκαταστάσεων προκειμένου να βελτιστοποιηθεί κάποιος στόχος. Η απόσταση ή κάποια μέτρα περισσότερο ή λιγότερο συσχετιζόμενα λειτουργικά με την απόσταση (π.χ. ο χρόνος ή το κόστος ταξιδιού, η ικανοποίηση της ζήτησης) είναι υψίστης σημασίας σε τέτοιου είδους προβλήματα. Κατά συνέπεια, έχει γίνει ο διαχωρισμός τους σύμφωνα με την απόσταση. Τα τέσσερα πρώτα βασίζονται στη μέγιστη απόσταση και τα υπόλοιπα τέσσερα βασίζονται στη συνολική (ή μέση) απόσταση. 16

17 2.1.1 Μοντέλα Μέγιστης Απόστασης Maximum Distance Models Σε ορισμένα προβλήματα τοποθεσίας, η μέγιστη απόσταση (maximum distance) υπάρχει a priori. Για παράδειγμα, σε αρκετά σχολεία, οι μαθητές του δημοτικού σχολείου των οποίων τα σπίτια βρίσκονται σε ακτίνα ενός χιλιομέτρου από το σχολείο πηγαίνουν στο σχολείο τους με τα πόδια. Η δημόσια συγκοινωνία θα πρέπει να παραχωρηθεί για εκείνους τους μαθητές των οποίων τα σπίτια δεν βρίσκονται σ αυτή τη μέγιστη απόσταση. Στον ιδιωτικό τομέα, ορισμένες εταιρείες εγγυώνται εξυπηρέτηση μέσα σε έναν προκαθορισμένο χρόνο (π.χ. διανομή πίτσας μέσα σε 20 λεπτά). Στην πρώτη περίπτωση, μια σχολική περιφέρεια μπορεί να θέλει να τοποθετήσει τα σχολεία με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιήσει τον αριθμό των μαθητών που θα αναγκαστούν να χρησιμοποιήσουν τα λεωφορεία με δημόσια δαπάνη. Στο δεύτερο παράδειγμα, μια αλυσίδα με πίτσες μπορεί να θέλει τα τοποθετήσει τα καταστήματά της με τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των πιθανών πελατών μέσα σε 20 λεπτά από το κάθε ένα κατάστημα. Στη βιβλιογραφία της χωροθέτησης εγκαταστάσεων, οι a priori μέγιστες αποστάσεις όπως οι προαναφερθείσες είναι γνωστές και ως καλυπτόμενες αποστάσεις (covering distances). Η ζήτηση μέσα στην καλυπτόμενη απόσταση της πιο κοντινής της εγκατάστασης θεωρείται ως «καλυμμένη». Μια βασική υπόθεση αυτού του μέτρου της μέγιστης απόστασης είναι ότι η ζήτηση ικανοποιείται πλήρως εάν η πιο κοντινή εγκατάσταση βρίσκεται εντός της καλυπτόμενης απόστασης και δεν ικανοποιείται εάν η πιο κοντινή εγκατάσταση βρίσκεται εκτός αυτής της απόστασης. Δηλαδή, το να είσαι κοντύτερα σε μια εγκατάσταση από ότι στη μέγιστη απόσταση, δεν βελτιώνει την ικανοποίηση της ζήτησης Set Covering Location Problem Το πρώτο πρόβλημα κάλυψης τοποθεσίας ήταν το set covering problem (Toregas et al., 1971). Εδώ, ο στόχος είναι να τοποθετήσουμε τον ελάχιστο αριθμό εγκαταστάσεων που απαιτούνται προκειμένου να «καλύψουμε» όλη τη ζήτηση των κόμβων. Για να διατυπωθεί το συγκεκριμένο πρόβλημα, ορίζουμε τις ακόλουθες εισόδους και τα ακόλουθα σύνολα: I = το σύνολο της ζήτησης των κόμβων που δεικτοδοτείται με τον i J = το σύνολο των υποψήφιων θέσεων εγκαταστάσεων που δεικτοδοτούνται με τον j 17

18 d ij = απόσταση μεταξύ του κόμβου ζήτησης i και της υποψήφιας θέσης j D c = απόσταση κάλυψης N i = {j d ij < D c } = το σύνολο όλων των υποψήφιων τοποθεσιών που μπορούν να καλύψουν τη ζήτηση στο σημείο i, και η ακόλουθη μεταβλητή απόφασης x j = Με αυτό τον συμβολισμό, το set covering location problem (SCLP) μπορεί να διατυπωθεί ως ακολούθως: Minimize (2.1) s.t.: (2.2) x j {0,1} (2.3) Η αντικειμενική συνάρτηση (2.1) ελαχιστοποιεί τον αριθμό των εγκαταστάσεων που θα τοποθετηθούν. Ο περιορισμός (2.2) επιβεβαιώνει ότι κάθε κόμβος ζήτησης καλύπτεται τουλάχιστον από μία εγκατάσταση. Ο περιορισμός (2.3) ενισχύει την απόφαση χωροθέτησης με ένα ναι ή με ένα όχι. Η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να γενικευθεί, συμπεριλαμβάνοντας συγκεκριμένα κόστη τοποθεσίας ως συντελεστές των μεταβλητών απόφασης. Σ αυτή τη περίπτωση, ο στόχος θα ήταν να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό σταθερό κόστος της διαμόρφωσης της χωροθέτησης και όχι ο αριθμός των εγκαταστάσεων που θα χωροθετηθούν. Και οι δύο εκδόσεις του set covering problem είναι NP hard (Garey and Johnson, 1979). Ωστόσο, γραμμική «χαλάρωση» προγραμματισμού του set covering location problem όπως διατυπώθηκε παραπάνω, οδηγεί συνήθως σε μια καθ όλα ακέραιη λύση. Συνήθως, μόνο λίγοι κλάδοι σε ένα branch and bound αλγόριθμο είναι αναγκαίοι για την επίτευξη μιας βέλτιστης καθ όλα ακέραιης λύσης. Μια ποικιλία κανόνων μείωσης γραμμών και στηλών έχει αναπτυχθεί για τη σημαντική μείωση του μεγέθους του προβλήματος (Daskin, 1995). Για παράδειγμα, η μεταβλητή x k μπορεί να παραλειφθεί από τη διατύπωση αν M k M j, όπου M j = {i d ij D c } και M k = {i d ik D c }. Αυτή η μείωση στηλών είναι εφικτή γιατί μια 18

19 εγκατάσταση στη θέση j μπορεί να καλύψει όλους τους κόμβους ζήτησης τους οποίους μια εγκατάσταση στη θέση k θα μπορούσε να καλύψει και ενδεχομένως θα μπορούσε να καλύψει και συμπληρωματικούς, επομένως η τοποθεσία j «κυριαρχεί» της τοποθεσίας k. Ατομικοί περιορισμοί, έστω h, του συνόλου των περιορισμών (2.2) μπορούν να εξαλειφθούν αν υπάρχει κάποιο σύνολο κάλυψης, έστω N i τέτοιο ώστε N i N h. Αυτή η μείωση γραμμής είναι εφικτή γιατί ο περιορισμός του (2.2) για τη ζήτηση του κόμβου h είναι περιττός. Δηλαδή, αν ο περιορισμός κάλυψης για τη ζήτηση του κόμβου i ικανοποιείται, τότε ικανοποιείται επίσης ο περιορισμός για τη ζήτηση του κόμβου h. Η διατύπωση (2.1) (2.3) υποθέτει ότι οι υποψήφιες θέσεις των εγκαταστάσεων βρίσκονται στους κόμβους ενός δικτύου. Ένα σχέδιο χωροθέτησης χαμηλότερου κόστους θα μπορούσε να ήταν εφικτό αν οι εγκαταστάσεις μπορούσαν να τοποθετηθούν κατά μήκος των τόξων του δικτύου. Αυτό φαίνεται στην Εικόνα 2 Αν η απόσταση κάλυψης είναι 10 και οι εγκαταστάσεις μπορούν να τοποθετηθούν μόνο στους κόμβους, τότε χρειάζονται δύο εγκαταστάσεις: μία στον κόμβο A και μία είτε στον κόμβο B είτε στον κόμβο C. Αν μπορούσαμε να τοποθετήσουμε κατά μήκος των τόξων καθώς και στους κόμβους, τότε μια εγκατάσταση τοποθετημένη 10 μονάδες δεξιά του κόμβου A θα κάλυπτε τη ζήτηση και των τριών κόμβων. Οι Chuck and Meadows (1979) παρουσίασαν μια μέθοδο για να τροποποιήσουν το αρχικό δίκτυο, ώστε να επιτρέπεται η τοποθεσία κατά μήκος των τόξων αλλά να εξακολουθούν να λύνουν το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη διατύπωση (2.1) (2.3). Αυτή η μέθοδος αυξάνει το αρχικό δίκτυο με ένα σταθερό αριθμό κόμβων που τοποθετούνται κατά μήκος των τόξων του δικτύου. Η συμπερίληψη αυτών των επιπλέον κόμβων στο σύνολο J θα οδηγήσει σε μια λύση τόσο καλή όπως όταν κάποιος επιτρέπει τοποθεσίες οπουδήποτε κατά μήκος των τόξων. Εικόνα 2: Παράδειγμα δικτύου 19

20 Maximal Covering Location Problem Μια βασική υπόθεση του set covering location problem είναι ότι όλοι οι κόμβοι ζήτησης πρέπει να καλυφθούν. Στην ουσία, δεν υπάρχει κανένας περιορισμός προϋπολογισμού. Ωστόσο, σε πολλές καταστάσεις σχεδιασμού εγκαταστάσεων, υπάρχει ο προϋπολογισμός (budget). Για παράδειγμα, πολλές σχολικές περιφέρειες θα ήθελαν να έχουν ένα δημοτικό σχολείο σε κοντινή απόσταση για όλους τους μαθητές (του δημοτικού σχολείου). Ωστόσο, για να ικανοποιηθεί μια τέτοια απαίτηση, μπορεί να απαιτούνται περισσότερα σχολεία από όσα η περιφέρεια ετοιμάζεται να χτίσει. Το maximal covering location problem (MCLP, Church and Revelle, 1974) διατυπώθηκε για να απευθυνθεί στο σχεδιασμό καταστάσεων οι οποίες έχουν ένα άνω όριο στον αριθμό των μονάδων που θα χωροθετηθούν. Ο στόχος του MCLP, είναι να τοποθετηθεί ένας προκαθορισμένος αριθμός εγκαταστάσεων, έστω p, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται η ζήτηση που καλύπτεται. Έτσι το MCLP υποθέτει ότι μπορεί να μην είναι αρκετές οι εγκαταστάσεις για να καλύψουν όλους τους κόμβους ζήτησης. Αν δεν μπορούν όλοι οι κόμβοι να καλυφθούν, τότε το μοντέλο αναζητά το σχήμα χωροθέτησης το οποίο καλύπτει το μεγαλύτερο μέρος της ζήτησης. Για να διατυπώσουμε το maximal covering location problem, προσθέτουμε στους ορισμούς που χρησιμοποιήθηκαν στο SCLP τα εξής: h i = η ζήτηση στον κόμβο i p = ο αριθμός των εγκαταστάσεων που θα τοποθετηθούν z i = ά ύ Το maximal covering location problem μπορεί πλέον να διατυπωθεί ως ακολούθως: Maximize (2.4) s.t. (2.5) (2.6) x j J (2.7) x i (2.8) 20

21 Η αντικειμενική συνάρτηση (2.4) μεγιστοποιεί τη συνολική κάλυψη της ζήτησης. Ο περιορισμός (2.5) εξασφαλίζει ότι η ζήτηση στον κόμβο i δεν υπολογίζεται ως καλυπτόμενη αν δεν τοποθετήσουμε εγκατάσταση σε μία από τις υποψήφιες θέσεις που καλύπτει τον κόμβο i. Ο περιορισμός (2.6) περιορίζει τον αριθμό των εγκαταστάσεων που θα χωροθετηθούν. Οι περιορισμοί (2.7) και (2.8) αντανακλούν τη δυαδική φύση των αποφάσεων χωροθέτησης εγκαταστάσεων και της κάλυψης της ζήτησης των κόμβων, αντίστοιχα. Παρουσιάζει ενδιαφέρον το γεγονός ότι, οι περιορισμοί (2.5) και (2.7), μας επιτρέπουν να αντικαταστήσουμε τον περιορισμό (2.8) με z i 1, i I, χωρίς απώλεια της γενικότητας. Όπως και με το SCLP, αν οι εγκαταστάσεις μπορούν να τοποθετηθούν οπουδήποτε κατά μήκος των τόξων του δικτύου, τότε το δίκτυο μπορεί να τροποποιηθεί όπως προτείνεται από τους Church and Meadows (1979), και έτσι το πρόβλημα λύνεται με τα (2.4) (2.8). Σε συστηματικές αλλαγές του p από 1 έως k, όπου k ο ελάχιστος αριθμός εγκαταστάσεων που απαιτούνται για να καλυφθεί ολόκληρη η ζήτηση, τότε κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τα (2.4) (2.8) για να προσδιορίσει τα οριακά οφέλη που σχετίζονται με επιπλέον εγκαταστάσεις. Το maximal location problem είναι επίσης NP-hard (Mediggo, Zemel and Hakimi, 1983), αλλά γενικά μπορεί να επιλυθεί αποτελεσματικά χρησιμοποιώντας ευρετικούς αλγόριθμους. Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι η Lagrangean χαλάρωση που ενσωματώνεται μέσα στον branch and bound αλγόριθμο (Daskin, 1995; Daskin and Owen,1998; GalvÄao and ReVelle, 1996). Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, υπάρχουν κάποια σενάρια σχεδιασμού, όπου υπάρχει μια επιθυμητή απόσταση κάλυψης και μια μέγιστη απόσταση πέραν της οποίας η εξυπηρέτηση είναι μη αποδεκτή. Για τέτοιου είδους προβλήματα, οι Church and Revelle (1974), διατύπωσαν το maximal covering location problem με υποχρεωτικούς περιορισμούς εγγύτητας. Δεδομένων των προηγούμενων περιορισμών και D m = η μέγιστη απόσταση που ένας κόμβος ζήτησης μπορεί να είναι από μία ανοιχτή εγκατάσταση και M i = {j d ij D m }, το MCLP με υποχρεωτικούς περιορισμούς εγγύτητας μπορεί να διατυπωθεί προσθέτοντας τον επόμενο περιορισμό στη διατύπωση (2.4) (2.8) 1 i I (2.9) 21

22 Το SCLP και το MCLP, υποθέτουν ότι η καλυπτόμενη απόσταση, D C, είναι ένα σταθερό, προκαθορισμένο πρότυπο (standard). Αυτό είναι σίγουρα σωστό σε πολλές περιπτώσεις σχεδιασμού θέσεων (τοποθεσιών). Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, το D C, είναι ο στόχος και όχι ένα σταθερό πρότυπο (standard). Για παράδειγμα, στη χωροθέτηση εγκαταστάσεων, όπως οι δημόσιες υπηρεσίες και οι ψυχαγωγικές εγκαταστάσεις, οι δημόσιες υπηρεσίες μπορεί να επιθυμούν να ελαχιστοποιήσουν τη μέγιστη απόσταση για λόγους ισότητας όλων των πολιτών (Marsh and Schilling, 1994). Άλλες εγκαταστάσεις, όπως τα σχολεία ή οι πυροσβεστικοί σταθμοί, μπορεί να έχουν μια επιθυμητή απόσταση (π.χ. λιγότερη από 1 μίλι ή 3 λεπτά χρόνου μετακίνησης 1 ) και μια άλλη απόσταση (π.χ. 5 μίλια ή 10 λεπτά χρόνου μετακίνησης) πέραν της οποίας η εξυπηρέτηση είναι μη αποδεκτή. Τα ακόλουθα μοντέλα απευθύνονται σε καταστάσεις σχεδιασμού τέτοιας φύσης P-Center Problem Το p center problem (Hakimi, 1964 & 1965) αντιμετωπίζει το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης της μέγιστης απόστασης όπου η ζήτηση είναι από την πιο πλησιέστερη εγκατάσταση, δεδομένου ότι τοποθετούμε ένα προκαθορισμένο αριθμό εγκαταστάσεων. Υπάρχουν αρκετές πιθανές παραλλαγές του βασικού μοντέλου. Το «vertex 2» p center problem περιορίζει το σύνολο των υποψήφιων θέσεων χωροθέτησης στους κόμβους του δικτύου, ενώ το «absolute 3» p center problem επιτρέπει στις εγκαταστάσεις να τοποθετηθούν οπουδήποτε κατά μήκος των τόξων. Και οι δύο εκδόσεις μπορεί να είναι σταθμικές ή μη σταθμικές. Στο μη σταθμισμένο πρόβλημα, όλοι οι κόμβοι ζήτησης αντιμετωπίζονται ισοδύναμα. Στο σταθμισμένο μοντέλο, οι αποστάσεις μεταξύ των κόμβων ζήτησης και των εγκαταστάσεων πολλαπλασιάζονται επί ένα βάρος που σχετίζεται με τη ζήτηση του κόμβου. Για παράδειγμα, το βάρος αυτό θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει τη σπουδαιότητα ενός κόμβου, ή πιο συχνά, το επίπεδο της ζήτησης του. Λαμβάνοντας υπόψη τους προηγούμενους ορισμούς και τις επόμενες μεταβλητές απόφασης: 1 μετακίνηση από ένα σημείο σε ένα άλλο 2 Vertex = κορυφή 3 Absolute = απόλυτος 22

23 W = η μέγιστη απόσταση ανάμεσα στον κόμβο ζήτησης και της εγκατάστασης στην οποία έχει ανατεθεί η εξυπηρέτηση του y ij = το p center problem μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Minimize W (2.10) s.t. (2.11) (2.12) y ij W (2.14) x j J (2.15) y ij, J (2.16) Η αντικειμενική συνάρτηση (2.10) ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόσταση σταθμισμένη ως προς τη ζήτηση ανάμεσα σε κάθε απαίτηση ζήτησης ενός κόμβου και της πιο κοντινής του ανοιχτής εγκατάστασης. Ο περιορισμός (2.11) ορίζει ότι p εγκαταστάσεις πρόκειται να χωροθετηθούν. Ο περιορισμός (2.12) απαιτεί ότι κάθε κόμβος ζήτησης θα πρέπει να ανατεθεί σε ακριβώς μία εγκατάσταση. Ο περιορισμός (2.13) περιορίζει τις αναθέσεις των ζητήσεων των κόμβων μόνο σε ανοιχτές εγκαταστάσεις. Ο περιορισμός (2.14) καθορίζει το κατώτερο όριο της μέγιστης απόστασης σταθμισμένης ως προς τη ζήτηση, η οποία ελαχιστοποιείται. Ο περιορισμός (2.15) θέτει τη μεταβλητή απόφασης τοποθεσίας ως δυαδική. Ο περιορισμός (2.16) απαιτεί η ζήτηση ενός κόμβου να ανατεθεί σε μια εγκατάσταση μόνο. Ο περιορισμός (2.16) μπορεί να αντικατασταθεί με το y ij 0 i I, j J επειδή ο περιορισμός (2.13) εγγυάται ότι y ij 1. Αν ορισμένα y ij είναι κλασματικά, μπορούμε απλά τον κόμβο i να τον αναθέσουμε στη πιο κοντινή του ανοιχτή εγκατάσταση. Για σταθερές τιμές του p, το vertex p center problem μπορεί να λυθεί σε χρόνο O(N p ) αφού μπορούμε να απαριθμήσουμε το κάθε πιθανό σύνολο υποψήφιων θέσεων μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα. Είναι σαφές ότι, ακόμα και για μέτριες 23

24 τιμές του N και του p, δεν είναι ρεαλιστική μια τέτοια αρίθμηση, με αποτέλεσμα να απαιτούνται πιο σύνθετες προσεγγίσεις. Για μεταβλητές τιμές του p, το πρόβλημα είναι NP hard (Garey and Johnson, 1979). Εάν μπορούν να θεωρηθούν οι αποστάσεις με ακέραιες τιμές, το μη σταθμισμένο vertex ή absolute p center problem συνήθως επιλύεται με μια δυαδική αναζήτηση σε μια περιοχή με καλυπτόμενες αποστάσεις (Handler and Mirchandani, 1979; Handler, 1990). Για κάθε καλυπτόμενη απόσταση, επιλύεται ένα set covering problem. Όταν η λύση του SCL ισούται με το p, η ελάχιστη καλυπτόμενη απόσταση είναι η λύση το p center πρόβλημα. Ο Daskin (2000) πρόσφατα έδειξε πως το maximal covering problem μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά στη θέση του set covering model ως ένα υπο πρόβλημα για την επίλυση του μη σταθμισμένου vertex p center προβλήματος The p Dispersion Problem Όλα τα μοντέλα που προαναφέρθηκαν, αφορούν την απόσταση μεταξύ της ζήτησης και των νέων εγκαταστάσεων. Επίσης, μια σιωπηρή παραδοχή είναι η ακόλουθη: το να βρίσκεται κανείς κοντά σε μια εγκατάσταση είναι επιθυμητό. Το p dispersion problem (PDP) διαφέρει από αυτά τα προβλήματα με δύο τρόπους (Kuby, 1987). Πρώτον, αφορά μόνο την απόσταση μεταξύ νέων εγκαταστάσεων. Δεύτερον, ο στόχος είναι να μεγιστοποιηθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους εγκαταστάσεων. Πιθανές εφαρμογές του PDP περιλαμβάνουν τη χωροθέτηση στρατιωτικών εγκαταστάσεων. Για να διατυπώσουμε αυτό το μοντέλο απαιτείται μια επιπρόσθετη είσοδος (M) και μια μεταβλητή απόφασης (D): M = μια μεγάλη σταθερά D = η ελάχιστη απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους εγκαταστάσεων Με αυτό τον συμβολισμό, το p-dispersion model μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: 24

25 Maximize D (2.17) s.t. (2.18) D + (M - d ij )x i + (M - d ij )x j 2M - d ij (2.19) x j J (2.20) Η αντικειμενική συνάρτηση (2.17) μεγιστοποιεί την απόσταση μεταξύ των δύο πλησιέστερων εγκαταστάσεων. Ο περιορισμός (2.18) απαιτεί οι p εγκαταστάσεις να χωροθετηθούν. Ο περιορισμός (2.20) είναι ένας τυπικός περιορισμός πληρότητας. Ο περιορισμός (2.19) ορίζει τον ελάχιστο διαχωρισμό μεταξύ κάθε ζεύγους των ανοιχτών εγκαταστάσεων. Σημειώστε ότι αν ο x i ή ο x j είναι μηδέν, ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός. Ωστόσο, αν και οι δύο είναι ίσοι με το 1, τότε ο περιορισμός είναι ισοδύναμος με το D d ij. Ως εκ τούτου, η μεγιστοποίηση του D έχει ως αποτέλεσμα να αναγκάσει τη μικρότερη απόσταση μεταξύ των εγκαταστάσεων να γίνει όσο μεγαλύτερη μπορεί Total or Average Distance Models Πολλές καταστάσεις σχεδιασμού χωροθέτησης εγκαταστάσεων στο δημόσιο και ιδιωτικό τομέα, ασχολούνται με τη συνολική απόσταση ταξιδιού μεταξύ των εγκαταστάσεων και των κόμβων ζήτησης. Ένα παράδειγμα, στον ιδιωτικό τομέα, θα μπορούσε να είναι η τοποθεσία των παραγωγικών μονάδων (εργοστασίων), οι οποίες λαμβάνουν τις εισροές τους από τις καθιερωμένες πηγές με τη παράδοση φορτηγών. Στο δημόσιο τομέα, θα μπορούσε κανείς να τοποθετήσει ένα δίκτυο παροχών εξυπηρέτησης, όπως γραφεία χορήγησης αδειών με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιεί τη συνολική απόσταση που πρέπει να διανύσουν οι πελάτες ώστε να φτάσουν στη πιο κοντινή τους εγκατάσταση. Αυτή η προσέγγιση μπορεί να θεωρηθεί ως ένας αποτελεσματικός στόχος, σε αντίθεση με το δίκαιο στόχο ελαχιστοποίησης της μέγιστης απόστασης, η οποία αναφέρθηκε νωρίτερα. 25

26 P Median Problem Ένα κλασικό μοντέλο σ αυτόν τον τομέα είναι το p median μοντέλο (Hakimi, 1964 & 1965), το οποίο βρίσκει τις τοποθεσίες των p εγκαταστάσεων ώστε να ελαχιστοποιήσει τη συνολική απόσταση σταθμισμένη ως προς τη ζήτηση μεταξύ των κόμβων ζήτησης και των εγκαταστάσεων στις οποίες έχουν ανατεθεί (οι κόμβοι ζήτησης). Το μοντέλο αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Minimize (2.21) s.t. (2.22) (2.23) y ij x j (2.24) x j {0,1} (2.25) y ij {0,1}, J (2.26) Η αντικειμενική συνάρτηση (2.21) ελαχιστοποιεί τη συνολική απόσταση ταξιδιού σταθμισμένη ως προς τη ζήτηση. Οι περιορισμοί (2.22) έως (2.24) είναι ταυτόσημοι με τους (2.11) έως (2.13) του p center προβλήματος. Οι περιορισμοί (2.25) και (2.26) είναι πανομοιότυποι με τους (2.15) και (2.16). Ο περιορισμός (2.26) μπορεί να παραλειφθεί ακολουθώντας τα ίδια επιχειρήματα που χρησιμοποιήθηκαν για τον περιορισμό (2.16). Οι Toregas & ReVelle (1972) δείχνουν ότι αυτή η διατύπωση ελαχιστοποιεί επίσης τη μέση απόσταση ταξιδιού μεταξύ των εγκαταστάσεων και της ζήτησης. Αυτή η διατύπωση ( ) υποθέτει ότι οι πιθανές τοποθεσίες εγκαταστάσεων είναι κόμβοι πάνω σε δίκτυο. Ο Hakimi (1964) απέδειξε ότι «χαλαρώνοντας» το πρόβλημα επιτρέποντας τοποθεσίες εγκαταστάσεων στα τόξα του δικτύου, αυτό δεν θα μείωνε το συνολικό κόστος ταξιδιού. Ως εκ τούτου, αυτή η διατύπωση θα αποφέρει μια βέλτιστη λύση, ακόμα και αν οι εγκαταστάσεις θα μπορούσαν να τοποθετηθούν οπουδήποτε στο τόξο. Όπως το p center πρόβλημα, το p-median πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο για σταθερές τιμές του p, αλλά είναι NP hard για μεταβλητές τιμές του p (Garey and Johnson, 1979) 26

27 Fixed Charge Location Problem Το p median πρόβλημα κάνει τρεις σημαντικές παραδοχές οι οποίες μπορεί να μην είναι κατάλληλες για ορισμένα σενάρια χωροθέτησης. Πρώτον, υποθέτει ότι κάθε πιθανή τοποθεσία έχει τα ίδια σταθερά κόστη για να χωροθετηθεί μια εγκατάσταση σ αυτή την τοποθεσία. Δεύτερον, υποθέτει ότι οι εγκαταστάσεις που πρόκειται να χωροθετηθούν δεν έχουν (διαθέτουν) την παραγωγική ικανότητα σε σχέση με τη ζήτηση που μπορούν να εξυπηρετήσουν. Στη φρασεολογία της βιβλιογραφίας, αυτό ονομάζεται «uncapacitated» πρόβλημα. Τέλος, υποθέτει ότι κάποιος γνωρίζει a priori (εκ των προτέρων), πόσες εγκαταστάσεις θα ανοιχθούν (π.χ. p). Το fixed charge location problem (FCLP) «χαλαρώνει» όλες αυτές τις τρεις υποθέσεις. Ο στόχος του FCLP είναι να ελαχιστοποιήσει τα συνολικά κόστη εγκατάστασης και μεταφοράς. Σ αυτό το πλαίσιο, καθορίζει τον βέλτιστο αριθμό εγκαταστάσεων και τοποθεσιών τους, καθώς επίσης και τις αναθέσεις της ζήτησης σε κάθε εγκατάσταση. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι εγκαταστάσεις έχουν παραγωγικές ικανότητες, η ζήτηση μπορεί να μην ανατεθεί στη πιο πλησιέστερη της εγκατάστασης, όπως συνέβη στα προηγούμενα μοντέλα που παρουσιάστηκαν σε αυτό το κεφάλαιο. Δεδομένων των προηγούμενων ορισμών και των ακόλουθων εισόδων: f j = σταθερό κόστος χωροθέτησης μιας εγκατάστασης σε μια υποψήφια θέση j C j = παραγωγική ικανότητα μιας εγκατάστασης στην υποψήφια θέση j a = κόστος ανά μονάδα ζήτησης ανά μονάδα απόστασης το capacitated fixed location problem μπορεί να διατυπωθεί ως εξής (Balinski, 1965): Minimize + a (2.27) s.t. (2.28) y ij x j 0 i - C j x j i I (2.30) x j {0,1} j J (2.31) y ij {0,1} i I, j J (2.32) 27

28 Η αντικειμενική συνάρτηση (2.27) ελαχιστοποιεί το άθροισμα του σταθερού κόστους χωροθέτησης εγκαταστάσεων και τα συνολικά κόστη ταξιδιού για τη ζήτηση που πρέπει να εξυπηρετηθεί. Ο δεύτερος όρος του (2.27) αναφέρεται συχνά σε απόσταση σταθμισμένη ως προς τη ζήτηση. Ο περιορισμός (2.30) απαγορεύει τη συνολική ζήτηση που θα ανατεθεί σε μια εγκατάσταση να υπερβαίνει τη παραγωγική ικανότητα της εγκατάστασης, C j. Οι περιορισμοί (2.28), (2.29), (2.31) και (2.32) λειτουργούν με παρόμοιο τρόπο όπως οι αντίστοιχοι περιορισμοί στα προηγούμενα προβλήματα. «Χαλαρώνοντας» τον περιορισμό (2.32), επιτρέπει τη ζήτηση σ έναν κόμβο να ανατεθεί (εν μέρει) σε πολλαπλές εγκαταστάσεις. Σημειώνουμε επίσης ότι ο περιορισμός (2.29) δεν είναι απαραίτητος σ αυτή τη διαμόρφωση ακέραιου προγραμματισμού από τη στιγμή που ο περιορισμός (2.30) θα αναγκάσει τη ζήτηση να ανατεθεί μόνο σε ανοιχτές εγκαταστάσεις. Ωστόσο, συμπεριλαμβανομένου του περιορισμού (2.29) στη διαμόρφωση, ενισχύεται σημαντικά η «χαλάρωση» του γραμμικού προγραμματισμού του μοντέλου. Υπάρχουν πολλά άλλα χαρακτηριστικά του FCLP τα οποία μπορεί να μην είναι αρχικά εμφανή. Η συμπερίληψη του (2.32) ως δυαδικός περιορισμός απαιτεί ότι όλα τα σημεία ζήτησης πρέπει να προέρχονται μεμονωμένα. Δηλαδή, όλη η ζήτηση σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία ανατίθεται σε μια εγκατάσταση. Σημειώστε επίσης ότι, εξαιτίας των παραγωγικών ικανοτήτων των εγκαταστάσεων, η ζήτηση πρέπει να εξυπηρετείται από μια εγκατάσταση η οποία δεν είναι η πλησιέστερη της. Αν αφαιρεθεί ο περιορισμός (2.30), το μοντέλο γίνεται το uncapacitated fixed charge location problem (UFCLP). Σ αυτή τη περίπτωση, κάθε ζήτηση μπορεί να εξυπηρετηθεί εξ ολοκλήρου από τη πλησιέστερη της μονάδα και ο περιορισμός (2.32) μπορεί να αντικατασταθεί από μη αρνητικούς περιορισμούς σχετικά με τις μεταβλητές ανάθεσης y ij Hub Location Problem Πολλά συστήματα logistics, όπως τα αεροπορικά δίκτυα και τα μεταφορικά δίκτυα, απασχολούν hub and spoke συστήματα 4. Αυτά τα συστήματα είναι σχεδιασμένα να χρησιμοποιούν μεγαλύτερη παραγωγική ικανότητα ή ταχύτερα οχήματα σε μεγάλες αποστάσεις. Κατά συνέπεια, αυτά τα συστήματα μειώνουν το 4 Hub and spoke system: σύστημα αερομεταφορών στο οποίο τοπικά αεροδρόμια προσφέρουν αερομεταφορά σε ένα κεντρικό αεροδρόμιο, στο οποίο είναι διαθέσιμες πτήσεις μεγάλων αποστάσεων. 28

29 μέσο κόστος μεταφορών ανά χιλιόμετρο ή το συνολικό χρόνο παράδοσης. Πολλά μοντέλα (π.χ. O'Kelly, 1986a, 1986b; And Campbell, 1990, 1994) έχουν διατυπωθεί για να χωροθετηθούν τα κομβικά σημεία και οι διαδρομές παράδοσης των hub and spoke συστημάτων. Τα περισσότερα από αυτά τα μοντέλα προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν το συνολικό κόστος (ως συνάρτηση της απόστασης). Το βασικό p- hub μοντέλο χωροθέτησης έχει διατυπωθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο συμβολισμό εισόδου: h ij = αριθμός μονάδων ροής μεταξύ των κόμβων i και j c ij = μοναδιαίο κόστος μεταφοράς μεταξύ των κόμβων i και j a = εκπτωτικός παράγοντας για τις μεταφορές μεταξύ των κόμβων και τις ακόλουθες μεταβλητές απόφασης: x j = y ij = ως ακολούθως: Minimize (2.33) s.t. (2.34) = 1 (2.35) - (2.36) (2.37) (2.38) Η αντικειμενική συνάρτηση (2.33) ελαχιστοποιεί το άθροισμα του κόστους μεταφοράς αντικειμένων μεταξύ ενός non-hub κόμβου και του hub στον οποίο ο κόμβος έχει ανατεθεί, το κόστος μεταφοράς από τον τελικό hub στον προορισμό της ροής και το κόστος μεταφοράς των ενδιάμεσων hub το οποίο είναι μειωμένο επί έναν παράγοντα a. Το μοντέλο υποθέτει ότι το hub τμήμα του δικτύου είναι ένας πλήρης γράφος και ως εκ τούτου ροές μεταξύ οποιουδήποτε ζευγαριού κόμβων i και j θα περάσουν μέσα από το πολύ δύο διαφορετικούς hub κόμβους. Οι περιορισμοί (2.34) 29

30 έως (2.38) είναι ταυτόσημοι με τους περιορισμούς (2.22) έως (2.27) του p median μοντέλου. Συγκεκριμένα, ο περιορισμός (2.35) ορίζει ότι κάθε κόμβος θα πρέπει να ανατεθεί σε ακριβώς ένα hub. Στη πράξη, μπορεί να αξίζει να «χαλαρώσουμε» αυτόν τον περιορισμό και να επιτρέψουμε ροές από ιδιαίτερα μεγάλους κόμβους να εξυπηρετούνται άμεσα από δύο ή περισσότερους hub κόμβους. Παρά την ομοιότητα μεταξύ των περιορισμών των δύο μοντέλων, αξίζει να σημειωθεί μια σειρά από σημαντικές διαφορές. Πρώτον, οι απαιτήσεις στο p hub μοντέλο χωροθέτησης είναι ροές κόμβο προς κόμβο και όχι απλώς απαιτήσεις σε ένα συγκεκριμένο κόμβο. Δεύτερον, και ίσως σημαντικότερον, η αντικειμενική συνάρτηση στις μεταβλητές ανάθεσης είναι τετραγωνική. Τρίτον, ίσως να μην είναι βέλτιστη η ανάθεση ενός κόμβου στο πλησιέστερο hub δεδομένου ότι η αντικειμενική συνάρτηση μετριέται σε όρους κόμβο προς κόμβο ροές και όχι απλώς όσον αφορά το κόστος πρόσβασης στο hub system. Λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες για την επίλυση ακόμα και ενός μεσαίου μεγέθους hub location problem με βέλτιστο τρόπο, οι Ernst & Krishnamoorthy (1996) προτείνουν ευρετικούς (ή κατά προσέγγιση) αποτελεσματικούς αλγόριθμους για να αντιμετωπίσουν τέτοιου είδους προβλήματα. Οι Kuby & Gray (1993) ανέλυσαν ένα δίκτυο αερομεταφορών με ένα hub μοντέλο χωροθέτησης The Maxisum Location Problem Τα μοντέλα μέσης απόστασης που συζητήθηκαν παραπάνω, υποθέτουν ότι είναι επιθυμητό η τοποθέτηση εγκαταστάσεων όσο το δυνατόν πλησιέστερα στις απαιτήσεις. Για πολλές εγκαταστάσεις-μονάδες, αυτό είναι το ζητούμενο. Ωστόσο, για ανεπιθύμητες εγκαταστάσεις (π.χ. φυλακές, εργοστάσια παραγωγής ενέργειας και χώροι εναπόθεσης στερεών αποβλήτων) ένας τουλάχιστον από τους στόχους περιλαμβάνει τη τοποθέτηση εγκαταστάσεων μακριά από τους κόμβους ζήτησης. Το maxisum location problem αναζητά τις τοποθεσίες p εγκαταστάσεων έτσι ώστε η συνολική απόσταση, σταθμισμένη ως προς τη ζήτηση μεταξύ των κόμβων ζήτησης και των εγκαταστάσεων στις οποίες ανατίθενται, να μεγιστοποιείται. Αυτό το μοντέλο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Maximize (2.39) 30

31 s.t. = p (2.40) (2.41) (2.42) - 0 (2.43) (2.44) (2.45) Αυτή η διατύπωση είναι πανομοιότυπη με αυτή του p median problem με δύο αξιοσημείωτες διαφορές. Πρώτον, η αντικειμενική συνάρτηση (2.39) έχει σαν στόχο να μεγιστοποιήσει τη συνολική απόσταση η οποία είναι σταθμισμένη ως προς τη ζήτηση και όχι να την ελαχιστοποιήσει. Η ατυχής επίπτωση αυτής της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ότι υποχρεώνει τις απαιτήσεις της ζήτησης να ανατεθούν στη πιο απομακρυσμένη εγκατάσταση. Έτσι, η διατύπωση έχει επεκταθεί με τον περιορισμό (2.43), ο οποίος επιβεβαιώνει ότι οι απαιτήσεις της ζήτησης ανατίθενται στη πλησιέστερη εγκατάσταση. Σ αυτό τον περιορισμό, ο [k] i είναι ο δείκτης της k οστής μακρύτερης υποψήφιας τοποθεσίας από τον κόμβο ζήτησης i. Ο περιορισμός (2.43) αναφέρει στη συνέχεια ότι αν η m οστή πλησιέστερη εγκατάσταση στο κόμβο ζήτησης i είναι ανοιχτή, τότε η ζήτηση του κόμβου i θα πρέπει να ανατεθεί σ αυτή την εγκατάσταση ή σε μια πιο κοντινή εγκατάσταση. 2.2 Δυναμικά Μοντέλα Χωροθέτησης Οι ερευνητές είχαν δείξει το ενδιαφέρον τους για τα δυναμικά προβλήματα χωροθέτησης από τη καινοτόμα εργασία του Manne (1961 & 1967). Όπως δηλώνει και ο Ballou (1998): «the effect of the future time dimension cannot be neglected in location analysis» 5 (σελ. 271). Τα βασικά μοντέλα που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα, έχουν αγνοήσει τον χρόνο, που σημαίνει ότι είναι στατικά. Τα δυναμικά μοντέλα ενσωματώνουν την έννοια του χρόνου. Ο Current et al, (1998) ορίζει δύο κατηγορίες δυναμικών μοντέλων: τα «implicitly» δυναμικά μοντέλα (implicitly dynamic models) και τα «explicitly» δυναμικά μοντέλα (explicitly 5 Ο παράγοντας «χρόνος» δεν θα πρέπει να αγνοείται από την ανάλυση χωροθέτησης 31

32 dynamic models). Τα implicitly δυναμικά μοντέλα είναι «στατικά» με την έννοια ότι όλες οι εγκαταστάσεις θα ανοιχθούν την ίδια στιγμή και θα παραμείνουν ανοιχτές για όλο τον προγραμματισμένο χρονικό ορίζοντα. Είναι δυναμικά γιατί αναγνωρίζουν ότι οι παράμετροι του προβλήματος (π.χ. η ζήτηση) μπορεί να αλλάξουν με την πάροδο του χρόνου και έτσι προσπαθούν να αντιμετωπίσουν αυτές τις αλλαγές στο πρόγραμμα (scheme) χωροθέτησης εγκαταστάσεων που παράγεται. Παραδείγματα implicitly δυναμικών μοντέλων περιλαμβάνουν οι Mirchandani & Odoni (1979), οι Weaver & Church (1983), οι Drezner & Wesolowsky (1991) και ο Drezner (1995), οι οποίοι ασχολούνται με προβλήματα όπου η ζήτηση και οι χρόνοι ταξιδιού αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Τα explicitly δυναμικά μοντέλα είναι εκείνα τα οποία σχεδιάζονται για προβλήματα όπου οι εγκαταστάσεις θα ανοιχθούν (και πιθανότατα να κλείσουν) με την πάροδο του χρόνου. Ουσιαστικά, τα explicitly δυναμικά μοντέλα αποτελούν επέκταση των βασικών στατικών μοντέλων με το επιπρόσθετο χαρακτηριστικό των χρονικών συνδρομών στη χωροθέτηση εγκαταστάσεων και την ανάθεση μεταβλητών και περιορισμών συνδέοντας αυτές τις μεταβλητές μέσα στο χρόνο. Πρόσφατα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων περιλαμβάνουν οι Roodman & Schwarz (1975), οι Wesolowsky & Truscott (1976), ο Schilling (1980), ο Van Roy, Erlenkotter (1982), & ο Campbell (1990). Η απόφαση του ανοίγματος και του κλεισίματος μέσα στο χρόνο σχετίζεται με τις αλλαγές στις παραμέτρους του προβλήματος κατά την πάροδο του χρόνου. Παραδείγματα παραμέτρων που μπορεί να αλλάξουν αποτελούν η ζήτηση, το κόστος / χρόνος ταξιδιού, η διαθεσιμότητα της εγκατάστασης, τα σταθερά και μεταβλητά κόστη, το κέρδος, και ο αριθμός των εγκαταστάσεων που πρόκειται να ανοιχθούν. 2.3 Στοχαστικά Μοντέλα Χωροθέτησης Τα βασικά μοντέλα χωροθέτησης που παρουσιάστηκαν στο προηγούμενο τμήμα, υποθέτουν ότι οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστοί με βεβαιότητα. Πολλά από τα δυναμικά μοντέλα που συζητήθηκαν υποθέτουν ότι οι αλλαγές στη πάροδο του χρόνου είναι γνωστές με βεβαιότητα. Ωστόσο, υπάρχει μια σημαντική αβεβαιότητα στα περισσότερα προβλήματα χωροθέτησης εγκαταστάσεων. Αυτό ισχύει κυρίως λόγω της μεγάλης διάρκειας ζωής των περισσότερων εγκαταστάσεων. Η ζήτηση, ο χρόνος μετακίνησης, τα έξοδα εγκαταστάσεων, ακόμα και η απόσταση 32

33 μπορεί να αλλάξουν. Αυτές οι αλλαγές είναι συνήθως τυχαίες. Αβέβαιες παράμετροι οι οποίες έχουν αναφερθεί στη βιβλιογραφία περιλαμβάνουν τη ζήτηση (π.χ. Frank, 1966; Manne, 1961; Carbonne, 1974; Berman, 1985), τον χρόνο μετακίνησης (travel time) (π.χ. Mirchandani & Odoni, 1979; Mirchandani, 1980; Berman & Odoni, 1982; Weaver & Church, 1983; Berman & LeBlanc, 1984;Louveaux, 1986), τη διαθεσιμότητα της εγκατάστασης για εξυπηρέτηση (π.χ. Daskin, 1982, 1983; ReVelle & Hogan, 1989; Marianov & ReVelle, 1992, 1996) και τον αριθμό των εγκαταστάσεων που πρόκειται να χωροθετηθούν (Current, et al., 1998). Υπάρχουν τέσσερις βασικές προσεγγίσεις για τα στοχαστικά προβλήματα χωροθέτησης. Η πρώτη, προσεγγίζει την αβεβαιότητα μέσω ενός ντετερμινιστικού υποκατάστατου. Για παράδειγμα, ο Bean, et al. (1992), διατύπωσε ένα ισοδύναμο ντετερμινιστικό πρόβλημα «αντικαθιστώντας τη στοχαστική ζήτηση με μια ντετερμινιστική τάση και μειώνοντας όλα τα κόστη με ένα νέο επιτόκιο το οποίο είναι μικρότερο από το αρχικό, κατά προσέγγιση, ανάλογα με την αβεβαιότητα της ζήτησης». Έχουν εντοπιστεί εφτά άρθρα από τον Manne (1967) τα οποία έχουν χρησιμοποιήσει μια παρόμοια προσέγγιση. Η δεύτερη προσέγγιση αναπτύσσει μοντέλα περιορισμένα ως προς τη τύχη (Chapman & White, 1974). Για παράδειγμα, ο Daskin (1982 & 1983) διατύπωσε μια πιθανολογική επέκταση του maximal covering problem στο οποίο οι εγκαταστάσεις θεωρούνται ότι είναι απασχολημένες με πιθανότητα ½. Αν είναι απασχολημένες, δεν μπορούν να εξυπηρετήσουν τη ζήτηση. Ο στόχος αυτών των μοντέλων είναι να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των απαιτήσεων της ζήτησης οι οποίες καλύπτονται από μια διαθέσιμη (π.χ. όχι απασχολημένη) εγκατάσταση. Οι ReVelle & Hogan (1989a) διατύπωσαν ένα παρόμοιο μοντέλο στο οποίο μεγιστοποίησαν τον αριθμό των απαιτήσεων της ζήτησης οι οποίες καλύπτονται τουλάχιστον b φορές, όπου το b είναι ο αριθμός των καλύψεων που απαιτούνται για να επιβεβαιώσουν (εξασφαλίσουν) ότι η ζήτηση καλύπτεται από μια διαθέσιμη εγκατάσταση με πιθανότητα β. Οι ReVelle & Hogan (1989b) διατύπωσαν μια «set covering» έκδοση του προβλήματος, η οποία ελαχιστοποιεί τον αριθμό των εγκαταστάσεων που απαιτούνται για να εξασφαλίσουν ότι όλες οι απαιτήσεις (της ζήτησης) καλύπτονται με πιθανότητα β. Άλλα άρθρα που χρησιμοποιούν αυτή τη προσέγγιση περιλαμβάνουν το Marianov & ReVelle (1992) το οποίο ενσωμάτωσε πολλούς τύπους οχημάτων τα οποία στεγάζονται στις εγκαταστάσεις και το Marianov & ReVelle (1996) το οποίο ενσωμάτωσε το ένα M/G/sloss queuing μοντέλο για να υπολογίσει τον ελάχιστο αριθμό εγκαταστάσεων 33

34 που απαιτούνται για να εξασφαλίσουν την κάλυψη ενός κόμβου μέσα σε μια ορισμένη ελάχιστη πιθανότητα α. Οι Daskin, Hogan & ReVelle (1988) συνοψίζουν αυτά και άλλα σχετικά μοντέλα. Η τρίτη προσέγγιση αντιπροσωπεύει ρητά τις αλληλεπιδράσεις αναμονής που συμβαίνουν σε ένα χωρικά κατανεμημένο σύστημα αναμονής με εγκαταστάσεις σε πολλαπλές τοποθεσίες σε ένα δίκτυο. Ο Larson (1974) διατύπωσε ένα μοντέλο αναμονής υπερκύβων 6 με 2 N καταστάσεις για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των N εγκαταστάσεων που θα είναι διαθέσιμες ή όχι. Το τελικό μοντέλο διαθέτει είτε 2 N γραμμικές εξισώσεις είτε N μη γραμμικές εξισώσεις σε μια προσέγγιση του μοντέλου (Larson, 1975), καθιστώντας έτσι πολύ δύσκολη την ενσωμάτωση ενός αλγορίθμου βελτιστοποίησης. Οι Batta, Dolan & Krishnamurthy (1989), ωστόσο, χρησιμοποίησαν το μοντέλο για να δείξουν ότι η σιωπηρή υπόθεση της ανεξαρτησίας του server στο επεκταμένο covering μοντέλο του Daskin, συχνά παραβιάζεται. Οι Berman, Larson & Chiu (1985) χρησιμοποίησαν ένα M/G/1 μοντέλο αναμονής 7 για να εξερευνήσουν τη τοποθεσία μιας μονής εγκατάστασης σε ένα δίκτυο ως συνάρτηση της έντασης της ζήτησης καθώς οι απαιτήσεις της ζήτησης θα περίμεναν να εξυπηρετηθούν. Σε πολύ χαμηλά και σε πολύ υψηλά επίπεδα ζήτησης, έδειξαν ότι η μονάδα (εγκατάσταση) θα μπορούσε να χωροθετηθεί στην 1 median τοποθεσία; για ενδιάμεσες εντάσεις της ζήτησης, φάνηκαν να είναι βέλτιστες εναλλακτικές τοποθεσίες. Όταν δεν επιτρεπόταν η αναμονή, έδειξαν ότι η βέλτιστη τοποθεσία ήταν πάντα η 1 median. Η τέταρτη προσέγγιση χρησιμοποιεί σενάρια σχεδιασμού 8 (van der Heijden, 1994; Vanston et al., 1977). Τα σενάρια αποτελούν πιθανές τιμές για τις παραμέτρους που μπορεί να μεταβάλλονται με την πάροδο του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού. Μία από τις πρώτες εφαρμογές του σχεδιασμού σεναρίων στα προβλήματα χωροθέτησης ήταν του Sheppard (1974) η οποία ελαχιστοποίησε το αναμενόμενο κόστος για όλα τα σενάρια. Οι Ghosh & McLafferty (1982) χρησιμοποίησαν σενάρια για να τοποθετήσουν καταστήματα λιανικής πώλησης. Ο Schilling (1982) επέκτεινε το maximal covering location problem για να ενσωματώσει σενάρια, μεγιστοποιώντας τον αριθμό των καλυπτόμενων αναγκών για όλα τα πιθανά σενάρια στη χωροθέτηση Συστημάτων Περιβαλλοντικής Διαχείρισης. 6 hypercube queuing model 7 queuing model 8 Planning scenario 34

35 Σ αυτό το μοντέλο ορισμένες εγκαταστάσεις πρέπει να είναι κοινές σε όλα τα σενάρια, ενώ άλλες μπορούν να χωροθετηθούν με έναν τρόπο συγκεκριμένου σεναρίου. Οι Daskin, Hopp & Medina (1992) έδειξαν ότι αυτή η προσέγγιση μπορεί να οδηγήσει στην επιλογή των χειρότερων πιθανών τοποθεσιών κάτω από ορισμένες συνθήκες. Οι Serra & Marianov (1997) χρησιμοποίησαν σενάρια για να ενσωματώσουν διαφορετικούς χρόνους μετακίνησης (travel time) και συνθήκες ζήτησης κατά τη διάρκεια μιας ημέρας. Ένας από τους στόχους τους ήταν να βρουν τοποθεσίες που ελαχιστοποιούν το μέγιστο μέσο χρόνο ταξιδιού σε εφτά καθορισμένα σενάρια. Οι Carson & Batta (1990) χρησιμοποίησαν σενάρια για να περιγράψουν συνθήκες ζήτησης σε διαφορετικές χρονικές στιγμές της ημέρας, σε ένα πρόβλημα χωροθέτησης για ασθενοφόρα. Οι Jornsten & Bjorndal (1994) διατύπωσαν ένα uncapacitated dynamic fixed charge μοντέλο χωροθέτησης χρησιμοποιώντας σενάρια για να ελαχιστοποιήσουν το αναμενόμενο κόστος σε όλα τα σενάρια και τις χρονικές περιόδους. Τα τελευταία χρόνια έχουν υπάρξει αρκετά άρθρα χωροθέτησης εγκαταστάσεων τα οποία ελαχιστοποιούν την αναμενόμενη απώλεια ευκαιρίας στο σχεδιασμό σεναρίων. Σε γενικές γραμμές, ο όρος «regret» σε αυτά τα άρθρα ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της βέλτιστης λύσης (δεδομένου ότι το μέλλον είναι γνωστό) και της διαμόρφωσης της θέσης που επιλέγεται όταν το μέλλον δεν είναι γνωστό. Για παράδειγμα, ο Serra et al. (1996), ενσωμάτωσε μια minimax regret προσέγγιση στην οποία οι απαιτήσεις ποικίλουν στα σενάρια. Οι Serra & Marianov (1997) συμπεριέλαβαν ένα minimax regret στόχο για μέσους χρόνους ταξιδιού. Ο Current, et al. (1998) εξέτασε το πρόβλημα όπου η ζήτηση, το κόστος ταξιδιού και ο αριθμός των εγκαταστάσεων που θα χωροθετηθούν μπορεί να ποικίλουν πάνω στα διαφορετικά σενάρια. Οι Averbakh (1997) και Averbakh & Berman (1997a, 1997b, 1997c) επικεντρώθηκαν στην ανάπτυξη αλγορίθμων πολυωνυμικού χρόνου για ειδικά δομημένες περιπτώσεις αυτών των προβλημάτων. Οι Daskin, Hesse & ReVelle (1987) επέκτειναν τη minimax regret προσέγγιση επιτρέποντας στον αναλυτή ή στο λήπτη αποφάσεων να καθορίσει ένα επίπεδο αξιοπιστίας, a. Το μοντέλο στη συνέχεια επιλέγει ένα υποσύνολο από τα σενάρια των οποίων η συνολική πιθανότητα εμφάνισης υπερβαίνει το a, και των οποίων η maximum regret είναι όσο το δυνατόν μικρότερη. Με άλλα λόγια, το μοντέλο ελαχιστοποιεί τη μέγιστη regret σε ένα ενδογενώς, καθορισμένου υποσυνόλου των σεναρίων των οποίων η συνολική πιθανότητα είναι τουλάχιστον a. Είναι σαφές ότι, 35

36 αν a = 1, το μοντέλο μειώνεται στο standard minimax regret model. Ο Owen (1998) διατυπώνει μια ποικιλία σχετικών μοντέλων που δεν απαιτούν το προσδιορισμό των πιθανοτήτων του σεναρίου. Αυτά τα μοντέλα μπορούν να επιλυθούν αποτελεσματικά χρησιμοποιώντας εξελικτικούς αλγορίθμους (Owen & Daskin, 1998b). Κεφάλαιο 3 ο Εφαρμογή του Μοντέλου για το Σχεδιασμό των Μονάδων μιας Εφοδιαστικής Αλυσίδας 3.1 Περιγραφή του Προβλήματος Για τη περιγραφή του προβλήματος, θεωρείται ένα γενικό δίκτυο εφοδιαστικής αλυσίδας, όπου διανέμονται διαφορετικά προϊόντα προκειμένου να ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις αρκετών σημείων ζήτησης. Το δίκτυο της εφοδιαστικής αλυσίδας μπορεί να φιλοξενεί διαφορετικούς τύπους εγκαταστάσεων (π.χ. εργοστάσια, Κέντρα Διανομής, αποθήκες κλπ) οι οποίες ήδη λειτουργούν με την έναρξη του σχεδιαζόμενου project. Δεν επιβάλλεται κανένας περιορισμός όσον αφορά τον αριθμό των διαφόρων τύπων εγκαταστάσεων και των σημείων μεταφοράς που χρησιμοποιούνται από την εταιρεία για την αποστολή των προϊόντων της. Με άλλα λόγια, τα εμπορεύματα μπορούν να μεταφέρονται μεταξύ οποιουδήποτε είδους εγκατάστασης, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 1. Επιπλέον, οι λειτουργίες της εφοδιαστικής αλυσίδας σε ένα τέτοιο δίκτυο αφορούν κυρίως τις δραστηριότητες διανομής των προϊόντων με σκοπό την ικανοποίηση των γνωστών απαιτήσεων της ζήτησης. Ως εκ τούτου, λόγω της γενικότερης δομής του μοντέλου της εφοδιαστικής αλυσίδας, πρέπει να είναι βέβαιο ότι τα προϊόντα θα εισρεύσουν στο δίκτυο μέσα από μία πηγή διανομής. Για αυτό το λόγο, τα προϊόντα είτε παράγονται σε συγκεκριμένες προκαθορισμένες εγκαταστάσεις είτε αγοράζονται από εξωτερικούς προμηθευτές. Στη πρώτη περίπτωση, και λόγω του στρατηγικού χαρακτήρα του προβλήματος, δεν λαμβάνεται υπόψη μια ολοκληρωμένη περιγραφή του συστήματος παραγωγής σε κάθε εγκατάσταση. Με άλλα λόγια, λαμβάνονται υπόψη μόνο αποφάσεις σχετικά με την παραγωγή τελικών προϊόντων. Συνεπώς, απαιτήσεις για τα συστατικά και τις α ύλες τα οποία συνήθως περιγράφονται στο bill of materials των τελικών προϊόντων, δεν περιλαμβάνονται στο μοντέλο μας. Εκτός από την παραγωγή και την 36

37 προμήθεια των προϊόντων, λαμβάνονται υπόψη και οι δραστηριότητες των αποθεμάτων. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς το γεγονός ότι οι διακυμάνσεις στη παραγωγή, στη προμήθεια και στα κόστη μεταφοράς σε συνδυασμό με τους περιορισμούς χωρητικότητας μπορούν να δικαιολογήσουν το απόθεμα προϊόντων για μετέπειτα διανομή. Υποθέτουμε ότι η εταιρεία εξετάζει το ενδεχόμενο μετεγκατάστασης μέρους ή του συνόλου της δυναμικότητας ορισμένων από τις ήδη υπάρχουσες εγκαταστάσεις κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριμένου χρονικού ορίζοντα. Πριν από το προγραμματισμένο project, η εταιρεία έχει επιλέξει μία σειρά από υποψήφιες τοποθεσίες όπου νέες εγκαταστάσεις μπορούν να τοποθετηθούν. Επιπλέον, οι υπάρχουσες δυναμικότητες καθώς και οι δυναμικότητες των υποψήφιων τοποθεσιών είναι γνωστές εκ των προτέρων. Σε πολλές εφαρμογές, η διοίκηση μιας εταιρείας δεν επιθυμεί να ανοίξει μια εγκατάσταση εκτός και αν η αναμενόμενη απόδοση της νέας εγκατάστασης θα είναι πάνω από ένα ελάχιστο επίπεδο. Συνεπώς, όταν πραγματοποιούνται μεταφορές δυναμικότητας, θα πρέπει να εξασφαλίζεται ότι οι υπάρχουσες και νέες εγκαταστάσεις λειτουργούν τουλάχιστον πάνω από ένα σημαντικό επίπεδο Μετεγκατάσταση Δυναμικότητας Προκειμένου να δείξουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η δυναμικότητα μπορεί να μεταφερθεί από υπάρχουσες τοποθεσίες σε νέες, θεωρούμε την κατάσταση που φαίνεται στην Εικόνα 3. Στο τέλος μιας δεδομένης περιόδου, έστω t-1, η εταιρεία λειτουργεί τις εγκαταστάσεις i 1, i 2, και i 3. Οι πιθανές τοποθεσίες για τη δημιουργία νέων εγκαταστάσεων συμβολίζονται με j 1, j 2 και j 3. Θεωρείται ότι αν η δυναμικότητα είναι να μετατοπιστεί, τότε αυτό θα συμβεί κατά την έναρξη της περιόδου t, και θα έχει μια σχετικά μικρή διάρκεια σε σύγκριση με τη διάρκεια της περιόδου. Στη δεξιά πλευρά της Εικόνας 3, εμφανίζεται ένα πιθανό σενάριο για τη μετατόπιση της δυναμικότητας. Στην αρχή της περιόδου t, θα λειτουργούν νέες εγκαταστάσεις και στις 3 πιθανές τοποθεσίες. Η δυναμικότητα της υπάρχουσας εγκατάστασης i 1 κατανέμεται μεταξύ των τοποθεσιών j 1, j 2 και j 3. Ως αποτέλεσμα, η εγκατάσταση i 1 δεν θα λειτουργεί ούτε στη περίοδο t ούτε σε οποιαδήποτε μεταγενέστερη περίοδο. Έτσι, θεωρούμε ότι η εγκατάσταση κλείνει στο τέλος της περιόδου t-1, και η 37

38 συνολική της δυναμικότητα μεταφέρεται σε νέες τοποθεσίες στην αρχή της περιόδου t. Μέρος της δυναμικότητας της υπάρχουσας εγκατάστασης i 2 μεταφέρεται στη νέα τοποθεσία j 2. Η εγκατάσταση i 2 παραμένει σε λειτουργία, όμως με μειωμένη δυναμικότητα. Σε αυτό το σημείο, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η νέα εγκατάσταση j 2 έχει επιτύχει το μέγιστο της δυναμικότητάς της, ενώ οι εγκαταστάσεις j 1 και j 2 μπορούν να επεκτείνουν τη δυναμικότητά τους σε μεταγενέστερες περιόδους. Τέλος, η υπάρχουσα εγκατάσταση i 3 διατηρεί το σύνολο της δυναμικότητάς της. Εικόνα 3: Το αποτέλεσμα της μετεγκατάστασης δυναμικότητας Όπως φαίνεται στην Εικόνα 3, μια υπάρχουσα εγκατάσταση μπορεί πλήρως ή μερικώς να μετεγκατασταθεί σε μία ή περισσότερες νέες τοποθεσίες. Η δυναμικότητα που μεταφέρεται σε νέα εγκατάσταση δε μπορεί να αφαιρεθεί σε μεταγενέστερες περιόδους, δηλαδή οι μειώσεις της δυναμικότητας επιτρέπονται μόνο στις υπάρχουσες εγκαταστάσεις. Κάτω από σενάρια αύξησης της ζήτησης κατά τη διάρκεια του προγραμματισμένου ορίζοντα, μπορεί να είναι αναγκαίο να επεκτείνουμε τη συνολική διαθέσιμη δυναμικότητα του συστήματος κατά την έναρξη του project μετεγκατάστασης. Αυτό επιτυγχάνεται επιτρέποντας επεκτάσεις της δυναμικότητας τόσο στις υπάρχουσες όσο και στις νέες εγκαταστάσεις 9. 9 Στα πλαίσια της συγκεκριμένης Διπλωματικής Εργασίας, ασχολούμαστε μόνο με τη πρώτη περίπτωση. 38

39 3.1.2 Παράγοντες Κόστους Η πλειοψηφία των μοντέλων χωροθέτησης επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει τα συνολικά κόστη διανομής, τόσο τα εισερχόμενα (π.χ. από τα εργοστάσια στα Κέντρα Διανομής) όσο και τις εξερχόμενες δαπάνες (π.χ. από τα Κέντρα Διανομής στα σημεία ζήτησης), καθώς και τα σταθερά λειτουργικά κόστη και τα κόστη ίδρυσης νέων εγκαταστάσεων. Στην περίπτωσή μας, τα κόστη χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: 1) τα λεγόμενα επιχειρηματικά κ στη, τα οποία προκύπτουν από τη λειτουργία της εφοδιαστικής αλυσίδας και 2) τα κ στη επένδυσης για τη μετεγκατάσταση εγκαταστάσεων, τα οποία περιορίζονται από το διαθέσιμο Budget (προϋπολογισμός). Η πρώτη κατηγορία περιλαμβάνει κόστη εξαρτώμενα από το χρόνο για την αγορά προϊόντων που προέρχονται από εξωτερικούς προμηθευτές, κόστη παραγωγής, έξοδα μεταφοράς, κόστη αποθέματος και πάγια έξοδα λειτουργίας των εγκαταστάσεων π.χ. σταθερά γενικά έξοδα, κόστη συντήρησης κλπ. Ο στόχος είναι να βρεθεί το σχέδιο (πλάνο) μετεγκατάστασης το οποίο ελαχιστοποιεί το άθροισμα των δαπανών των επιχειρήσεων στο πλαίσιο δοσμένων περιορισμών τοποθεσίας. Όπως προαναφέρθηκε, οι αποφάσεις για μετεγκατάσταση περιορίζονται από τους περιορισμούς του Budget. Υποθέτουμε ότι σε κάθε χρονική περίοδο, ένα δεδομένο budget είναι διαθέσιμο για επενδύσεις όχι μόνο για τις μεταφορές της δυναμικότητας αλλά επίσης και για την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων και για το κλείσιμο των ήδη υπαρχουσών. Τα κόστη μετεγκατάστασης που πραγματοποιούνται από τις μετατοπίσεις της δυναμικότητας, εξαρτώνται από το ποσό της δυναμικότητας που μεταφέρεται από μία υπάρχουσα εγκατάσταση σε μία νέα καθώς επίσης και από το εργατικό δυναμικό και τον εξοπλισμό. Δεδομένου ότι η ίδρυση μιας νέας εγκατάστασης είναι συνήθως μια χρονοβόρα διαδικασία, υποθέτουμε ότι λαμβάνει χώρα κατά τη περίοδο αμέσως πριν από την έναρξη λειτουργίας των διαδικασιών. Ως εκ τούτου, αν μια νέα εγκατάσταση αρχίζει να λειτουργεί σε κάποια περίοδο t, τα πάγια έξοδα χρεώνονται για την ίδρυσή της τη περίοδο t-1. Από την άλλη πλευρά, όταν μια υπάρχουσα εγκατάσταση παύει να λειτουργεί στο τέλος κάποιας περιόδου t, υποθέτουμε ότι τα κόστη του κλεισίματος μεταφέρονται στην επόμενη περίοδο. Παρατηρήστε ότι, σε ορισμένες περιπτώσεις τα κόστη κλεισίματος μπορεί να είναι αρνητικά, δηλαδή, μπορεί να αντιστοιχούν σε έσοδα που λαμβάνονται, για παράδειγμα, λόγω του τερματισμού των συμβάσεων χρηματοδοτικής μίσθωσης (leasing contracts) ή της πώλησης της ιδιοκτησίας. 39

40 Λαμβάνοντας υπόψη τις παραδοχές που έγιναν σχετικά με τα χρονικά σημεία για τη πληρωμή πάγιων εξόδων εγκατάστασης, προκύπτει ότι μια νέα εγκατάσταση δεν μπορεί ποτέ να αρχίσει να λειτουργεί κατά τη πρώτη περίοδο δεδομένου ότι θα αναγκάσει την εταιρεία να επενδύσει στην εγκατάστασή της πριν από την έναρξη του προγραμματισμένου ορίζοντα. Ως αποτέλεσμα, οι μεταφορές δυναμικότητας επιτρέπονται μόνο σε περιόδους μετά την πρώτη. Ομοίως, μια υπάρχουσα εγκατάσταση δεν μπορεί να κλείσει στο τέλος της τελευταίας περιόδου, δεδομένου ότι τα αντίστοιχα σταθερά κόστη κλεισίματος θα μεταφερθούν σε μια περίοδο πέρα από τον προγραμματισμένο ορίζοντα. Τέλος, κάθε κεφάλαιο που είναι διαθέσιμο σε μια περίοδο, αλλά δεν είναι επενδεδυμένο, τότε υπόκειται σε επιτόκιο και η επιστρεφόμενη τιμή μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεταγενέστερες περιόδους. 3.2 Διατύπωση του Προβλήματος Πριν παρουσιάσουμε το μεικτό μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού (MIP) 10 που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3.1, θα εισάγουμε πρώτα τον συμβολισμό που θα χρησιμοποιήσουμε Σύνολα Δεικτών L: σύνολο εγκαταστάσεων S: σύνολο επιλεγμένων εγκαταστάσεων, S L S C : σύνολο επιλεγμένων, ήδη υπαρχουσών εγκαταστάσεων, S C S S O : σύνολο πιθανών τοποθεσιών για την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων, S O S P: σύνολο των τύπων των προϊόντων T: σύνολο χρονικών περιόδων Το σύνολο L περιλαμβάνει όλα τα είδη των εγκαταστάσεων. Αυτές κατηγοριοποιούνται στις λεγόμενες επιλέξιμες και μη επιλέξιμες εγκαταστάσεις. Οι επιλέξιμες εγκαταστάσεις σχηματίζουν το σύνολο S, ένα υποσύνολο του L και περιλαμβάνουν υπάρχουσες εγκαταστάσεις (S C ) καθώς και πιθανές τοποθεσίες για την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων (S O ). Κατά την έναρξη του προγραμματισμένου ορίζοντα, όλες οι εγκαταστάσεις στο σύνολο S C 10 Mixed integer linear programming model λειτουργούν. Στη συνέχεια, η 40

41 δυναμικότητα μπορεί να μετατοπιστεί από αυτές τις εγκαταστάσεις σε νέες εγκαταστάσεις που βρίσκονται στις τοποθεσίες του συνόλου S O. Παρατηρήστε ότι: S C S O = και S C S O = S. Η δεύτερη κατηγορία εγκαταστάσεων, οι λεγόμενες μη-επιλέξιμες, αποτελούν το σύνολο L\S και περιλαμβάνει όλες τις εγκαταστάσεις που υπάρχουν στην αρχή του προγραμματισμένου project και οι οποίες θα παραμείνουν σε λειτουργία. Παραδείγματα τέτοιων εγκαταστάσεων αποτελούν τα εργοστάσια και οι αποθήκες, τα οποία θα συνεχίσουν να υποστηρίζουν τις δραστηριότητες της εφοδιαστικής αλυσίδας όμως δεν λαμβάνονται υπόψη στη λήψη αποφάσεων μετεγκατάστασης εγκαταστάσεων. Οι μη επιλέξιμες εγκαταστάσεις μπορεί να έχουν απαιτήσεις ζήτησης, που σημαίνει ότι μπορούν να εξυπηρετούν πελάτες. Ο προγραμματισμένος χρονικός ορίζοντας είναι χωρισμένος σε ακέραιες χρονικές περιόδους. Συνολικά υπάρχουν n περίοδοι προγραμματισμού Κόστη : μεταβλητό κόστος για την αγορά ή την παραγωγή μιας μονάδας ενός προϊόντος p P από την εγκατάσταση l L τη περίοδο t T. : μεταβλητό κόστος αποστολής μιας μονάδας ενός προϊόντος p P από την εγκατάσταση l L στην εγκατάσταση l L ( l ) τη περίοδο t T. : μεταβλητό κόστος αποθήκευσης ή διατήρησης αποθέματος p P στην εγκατάσταση l L τη περίοδο t T. : μοναδιαίο μεταβλητό κόστος για μετακίνηση της δυναμικότητας από την υπάρχουσα εγκατάσταση i S C σε μια νέα εγκατάσταση j S O στην αρχή της περιόδου t T\{1}. : σταθερό κόστος λειτουργίας της εγκατάστασης l L τη περίοδο t T. : σταθερό κόστος τη περίοδο t T\{1} για κλείσιμο της υπάρχουσας εγκατάστασης i S C στο τέλος της περιόδου t-1. 41

42 : σταθερό κόστος για ίδρυση εγκατάστασης τη περίοδο t T\{n}, όταν μια νέα εγκατάσταση που ιδρύεται στη τοποθεσία j S O αρχίζει τη λειτουργία της στην αρχή της περιόδου t Παράμετροι max : μέγιστη επιτρεπόμενη δυναμικότητα στην εγκατάσταση l L τη περίοδο t T. min : ελάχιστη απαιτούμενη απόδοση στην επιλέξιμη εγκατάσταση l S τη περίοδο t T. μ l,p : παράγοντας μοναδιαίας κατανάλωσης δυναμικότητας του προϊόντος p P στην εγκατάσταση l L. H l,p : απόθεμα προϊόντος p P στην εγκατάσταση l L κατά την έναρξη του προγραμματισμένου ορίζοντα (παρατηρήστε ότι H l,p =0 l S O ). D l,p : εξωτερική ζήτηση του προϊόντος p P στην εγκατάσταση l L τη περίοδο t T. β t : επιτόκιο τη περίοδο t T. α t : ποσοστό απόδοσης κεφαλαίου που δεν επενδύθηκε τη περίοδο t T\{n}, δηλαδή α t = 1 + β t /100. B t : διαθέσιμο budget τη περίοδο t T. Υποθέσεις που πρέπει να ισχύουν Δεδομένου ότι κάθε υπάρχουσα εγκατάσταση που ανήκει στο επιλέξιμο σύνολο S C μπορεί να μεταφέρει τη δυναμικότητά της σε μία ή περισσότερες νέες εγκαταστάσεις, θεωρείται ότι η μέγιστη χωρητικότητά της δεν αυξάνεται κατά τη διάρκεια του προγραμματισμένου ορίζοντα, δηλαδή, i S C, t T\{n} (3.1) Χωρίς απώλεια της γενικότητας, θεωρείται ότι το (max) δηλώνει το πραγματικό μέγεθος μιας υπάρχουσας επιλέξιμης εγκατάστασης, i S C στις αρχές 42

43 του προγραμματισμένου ορίζοντα. Η Συνθήκη (3.1) επιτρέπει την επιβολή μεταφοράς της δυναμικότητας σε συγκεκριμένες χρονικές περιόδους ή ακόμα και το ολοκληρωτικό κλείσιμο μιας εγκατάστασης. Ομοίως, πιθανές νέες εγκαταστάσεις πρέπει να έχουν μη-μειούμενες δυναμικότητες κατά τη διάρκεια του προγραμματισμένου ορίζοντα, δηλαδή, (max) (max), j S O, t T\{n} (3.2) Προφανώς, κατά την έναρξη του σχεδιασμένου project έχουμε ότι = 0 για κάθε καινούργια τοποθεσία j S O. Επιπλέον, επιτρέποντας επίπεδα δυναμικότητας εξαρτώμενα από το χρόνο, οι εποχιακές διακυμάνσεις της ζήτησης μπορούν εύκολα να μοντελοποιηθούν. Τέλος σημειώνουμε ότι από τη στιγμή που οι μη-επιλέξιμες εγκαταστάσεις θα παραμείνουν σε λειτουργία κατά τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα, ανεξάρτητα από τη ροή των προϊόντων τους, θα έχουν μια ελάχιστη απόδοση την οποία εμείς δεν θα χρησιμοποιήσουμε στο μοντέλο μας. Ωστόσο, αυτή η παράμετρος μπορεί εύκολα να προστεθεί μελλοντικά στο μοντέλο μας Μεταβλητές απόφασης = ποσότητα προϊόντος p P που παράχθηκε ή αγοράστηκε από έναν εξωτερικό προμηθευτή από την εγκατάσταση l L κατά τη περίοδο t T. = ποσότητα προϊόντος p P που αποστέλλεται από την εγκατάσταση l L στην εγκατάσταση l L (l l ) κατά τη περίοδο t T. = ποσότητα προϊόντος p P που διατηρείται ως απόθεμα στην εγκατάσταση l L στο τέλος της περίοδο t T {0} (παρατηρήστε ότι y 0 l,p = H l,p ). = ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίστηκε από την υφιστάμενη εγκατάσταση i S C σε μια νεοσύστατη εγκατάσταση στη τοποθεσία j S O, στην αρχή της περίοδο t T. ξ t = κεφάλαιο που δεν επενδύθηκε κατά τη περίοδο t T. = 43

44 Δεδομένου ότι, δεν επιτρέπεται η μεταφορά της δυναμικότητας κατά την έναρξη του σχεδιασμένου ορίζοντα, συνεπάγεται ότι = 0 για κάθε i S C και j S O. Στην πραγματικότητα, κατά τη πρώτη περίοδο, όλες οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις λειτουργούν, δηλαδή, = 1 για κάθε i S C, και νέες εγκαταστάσεις δεν μπορούν να ιδρυθούν, δηλαδή, = 0 για κάθε j S O Διατύπωση του προβλήματος Η διατύπωση του μοντέλου είναι η εξής: Αντικειμενική Συνάρτηση MIN (3.3) Περιορισμοί s.t + + = + +, l L, p (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) i (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) 44

45 (3.15) + ( ) + = + (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) Στη παραπάνω διατύπωση, ο στόχος είναι να λειτουργήσει το δίκτυο της εφοδιαστικής αλυσίδας με το ελάχιστο κόστος, όπως αναφέρεται και στην αντικειμενική συνάρτηση (3.3). Ο περιορισμός (3.4) διασφαλίζει τη διατήρηση της ροής που πρέπει να έχει κάθε προϊόν, κάθε εγκατάσταση και κάθε χρονική περίοδος. Οι ανισότητες (3.5) (3.7) εξασφαλίζουν ότι μόνο οι εφικτές μετεγκαταστάσεις δυναμικότητας πραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια του προγραμματισμένου ορίζοντα. Ο περιορισμός (3.5) επίσης εγγυάται ότι μόνο οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις που είναι σε λειτουργία μπορούν να μεταφέρουν τη δυναμικότητά τους σε νέες εγκαταστάσεις. Επιπλέον ο περιορισμός (3.6) επιβάλλει ότι κατά τη περίοδο t μια νέα εγκατάσταση έχει ιδρυθεί στη τοποθεσία j προκειμένου να πραγματοποιηθεί μετεγκατάσταση δυναμικότητας. Ο περιορισμός (3.7) (με έναν αρκετά μικρό θετικό αριθμό) δηλώνει ότι αν η δυναμικότητα μιας υπάρχουσας εγκατάστασης έχει μεταφερθεί εντελώς τότε η εγκατάσταση πρέπει να κλείσει. Ο συνδυασμός των περιορισμών (3.5) και (3.7) εξασφαλίζει ότι αν μια υπάρχουσα εγκατάσταση δεν λειτουργεί σε μια ορισμένη χρονική περίοδο τότε ολόκληρη η δυναμικότητά της αφαιρέθηκε σε μία από τις προηγούμενες χρονικές περιόδους. Επιπλέον, με τον περιορισμό (3.7), δεν μπορεί να μετατοπιστεί έξω από αυτή την εγκατάσταση άλλη δυναμικότητα εκτός από αυτή που είναι διαθέσιμη στην αρχή του προγραμματισμένου ορίζοντα. Οι περιορισμοί (3.8) (3.10) επιβάλλουν ότι η δυναμικότητα κάθε εγκατάστασης δεν υπερβαίνει τα όρια σε 45

46 κάθε χρονική περίοδο. Επίσης, γίνεται παρατηρητέο ότι η ανισότητα (3.8) αποτρέπει οποιαδήποτε δραστηριότητα της εφοδιαστικής αλυσίδας να πραγματοποιηθεί σε υπάρχουσες εγκαταστάσεις των οποίων η δυναμικότητα έχει μεταφερθεί πλήρως. Η ανισότητα (3.11) δηλώνει ότι αξίζει μόνο να λειτουργεί μία επιλέξιμη μονάδα αν η απόδοσή της είναι πάνω από ένα συγκεκριμένο ελάχιστο επίπεδο. Οι περιορισμοί (3.12) και (3.13) επιτρέπουν η διαμόρφωση κάθε επιλέξιμης εγκατάστασης να αλλάξει το πολύ μία φορά. Συνεπώς, αν μια υπάρχουσα εγκατάσταση κλείσει, τότε δεν μπορεί να ανοίξει εκ νέου. Ομοίως, όταν μια νέα εγκατάσταση ιδρύεται, τότε θα παραμείνει σε λειτουργία μέχρι το τέλος του προγραμματισμένου ορίζοντα. Οι συνθήκες (3.14) (3.16) είναι περιορισμοί budget. Σε κάθε περίοδο, υπάρχει ένα περιορισμένο ποσό του κεφαλαίου το οποίο μπορεί να δαπανηθεί για τις μεταφορές της δυναμικότητας, για το κλείσιμο των υπαρχουσών εγκαταστάσεων και/ή για την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων. Αυτό το ποσό δίνεται από το budget που διατίθεται αρχικά στην εν λόγω περίοδο συν το κεφάλαιο που δεν επενδύθηκε σε προηγούμενες χρονικές περιόδους. Στη πρώτη περίοδο, οι επιτρεπόμενες επενδύσεις λαμβάνουν υπόψη την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων που θα αρχίσουν τη λειτουργία τους στην αρχή της δεύτερης περιόδου. Σε κάθε μία από τις επόμενες περιόδους t T\{1,n}, το διαθέσιμο κεφάλαιο μπορεί να καλύψει τις μεταφορές της δυναμικότητας, τα κόστη που προκύπτουν από το κλείσιμο των υπαρχουσών εγκαταστάσεων στο τέλος της περιόδου t-1 και την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων οι οποίες αρχίζουν να λειτουργούν στην αρχή της περιόδου t+1. Στη τελευταία περίοδο n, οι επιτρεπόμενες επενδύσεις λαμβάνουν υπόψη μεταφορές δυναμικότητας καθώς και κλείσιμο των εγκαταστάσεων που έπαψαν να λειτουργούν στο τέλος της περιόδου n-1. Τέλος οι περιορισμοί (3.17) (3.22) αποτελούν συνθήκες μη-αρνητικότητας και πληρότητας. Το παραπάνω μοντέλο βασίζεται αποκλειστικά στο πρότυπο του μοντέλου του paper των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama, στο οποίο βασιστήκαμε. Το πρώτο θεωρητικό αποτέλεσμα που πήραμε τρέχοντας το στο περιβάλλον του AIMMS ήταν ότι το συγκεκριμένο μοντέλο, ανάλογα με τη φύση των δεδομένων, δεν μας έδινε εφικτή λύση πάντα. Συγκεκριμένα, παρατηρήθηκε το γεγονός ότι όταν η διαφορά στη μεταφορά της δυναμικότητας ανάμεσα στην πρώτη και τη δεύτερη χρονική περίοδο ήταν μεγάλη, τότε αυτή η διαφορά έπρεπε να διοχετευθεί κάπου. Συνεπώς έπρεπε οπωσδήποτε να ανοίξουν κάποιες καινούργιες εγκαταστάσεις τη 2 η περίοδο. Για το λόγο αυτό στη συγκεκριμένη Διπλωματική Εργασία, παρόλο που στο 46

47 paper δεν αναφέρεται σαφώς, εισήχθησαν δύο επιπρόσθετοι περιορισμοί. Οι περιορισμοί αυτοί είναι οι ακόλουθοι: = 1, (3.23) = 0, (3.24) Ο περιορισμός (3.23) βεβαιώνει ότι όλες οι επιλέξιμες-υπάρχουσες εγκαταστάσεις λειτουργούν κατά την έναρξη του προγραμματισμένου ορίζοντα του project και ο περιορισμός (3.24) βεβαιώνει ότι όλες οι νέες εγκαταστάσεις, κατά την έναρξη του προγραμματισμένου ορίζοντα δεν λειτουργούν. 3.3 Παραλλαγή του Μοντέλου Εκτός από την υλοποίηση του βασικού μοντέλου του paper των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama, μαζί με τους δύο επιπρόσθετους περιορισμούς, παρουσιάζει ενδιαφέρον η επίλυση του συγκεκριμένου μοντέλου κάνοντάς του μια παραλλαγή. Σ αυτή την παραλλαγή θεωρήθηκε το εξής: βγαίνουν εκτός οι περιορισμοί του Budget, δηλαδή οι περιορισμοί (3.14) (3.16) και προστίθενται δύο νέες μεταβλητές απόφασης, η TotalSetupCost και η TotalShutDownCost οι οποίες εισάγονται στην αντικειμενική συνάρτηση (3.3). Η ToatalSetupCost αντιπροσωπεύει το συνολικό κόστος ίδρυσης όλων των νέων εγκαταστάσεων και η TotalShutDownCost αντιπροσωπεύει το συνολικό κόστος κλεισίματος όλων των υπαρχουσών εγκαταστάσεων κατά τη διάρκεια του προγραμματισμένου ορίζοντα. Τα δύο αυτά νέα κόστη λαμβάνονται υπόψη στην αντικειμενική συνάρτηση με αποτέλεσμα, ο νέος στόχος του προβλήματος να είναι ο εξής: ποια θα είναι η οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας ώστε να λειτουργεί με το ελάχιστο δυνατό κόστος. 47

48 Κεφάλαιο 4 ο Ανάλυση αποτελεσμάτων Το μοντέλο υλοποιήθηκε με τη βοήθεια του AIMMS 11. Το AIMMS είναι ένα σύστημα λογισμικού το οποίο έχει σχεδιαστεί για την μοντελοποίηση και την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης μεγάλης κλίμακας. Αποτελείται από μία αλγεβρική γλώσσα μοντελοποίησης, ένα ενσωματωμένο περιβάλλον ανάπτυξης για επεξεργασία του μοντέλου και δημιουργία γραφικής διεπαφής του χρήστη με το μοντέλο και ένα γραφικό περιβάλλον τελικού χρήστη. Το AIMMS συνδέεται με πολλαπλούς solvers (λύτες) διαμέσου του AIMMS Open Solver Interface. Ανάμεσα στους υποστηριζόμενους solvers ανήκουν οι: CPLEX, Gurobi, MOSEK, CBC, Conopt, MINOS, IPOPT, SNOPT και KNITRO. 4.1 Κατηγορίες Προβλημάτων Στη συγκεκριμένη Διπλωματική Εργασία έχουμε ορίσει δύο κατηγορίες προβλημάτων. Στην πρώτη κατηγορία έχουμε θεωρήσει ότι έχουμε ένα πρόβλημα με 9 συνολικά εγκαταστάσεις, 5 προϊόντα και 3 χρονικές περιόδους. Από τις εγκαταστάσεις, θεωρούμε ότι οι 3 από αυτές αποτελούν το σύνολο των μη επιλέξιμων εγκαταστάσεων και οι υπόλοιπες 6 αποτελούν τις επιλέξιμες εγκαταστάσεις, τις οποίες τις χωρίζουμε σε 3 υπάρχουσες και 3 νέες εγκαταστάσεις. Στη δεύτερη κατηγορία προβλημάτων αυξάνουμε το μέγεθος του προβλήματος. Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι έχουμε 30 συνολικά εγκαταστάσεις, 15 προϊόντα και 6 χρονικές περιόδους. Από τις 30 εγκαταστάσεις, θεωρούμε ότι οι 5 αποτελούν τις μη επιλέξιμες εγκαταστάσεις και οι υπόλοιπες 25 τις επιλέξιμες τις οποίες τις χωρίζουμε σε 10 υπάρχουσες και 15 νέες εγκαταστάσεις. Ο Πίνακας 1 αποτυπώνει τις κατηγορίες προβλημάτων. 1 η κατηγορία 2 η κατηγορία μη Υπάρχουσες νέες μη υπάρχουσες Νέες επιλέξιμες επιλέξιμες Εγκαταστάσεις Προϊόντα 5 15 Χρονικές Περίοδοι 3 6 Πίνακας 1: Κατηγορίες Προβλημάτων 11 Advanced Interactive Multidimensional Modeling System 48

49 4.2 Περιπτώσεις Σεναρίων Πριν προχωρήσουμε στη παρουσίαση και ανάλυση των σεναρίων θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τιμές των παραμέτρων λήφθηκαν από την καθοδήγηση του paper «Large-scale models for dynamic multi-commodity capacitated facility location» των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama. Συγκεκριμένα, όλα τα δεδομένα επιλέχθηκαν τυχαία, από μια ομοιόμορφη κατανομή για τα συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Αυτά τα χρονικά διαστήματα επιλέχθηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργηθούν διάφορες περιπτώσεις οι οποίες διαφέρουν ως προς τον αριθμό των περιόδων, των προϊόντων και των εγκαταστάσεων. Για τις απαιτήσεις των παραμέτρων η μεθοδολογία που ακολουθήσαμε δημιούργησε τυχαία μια τιμή για την πρώτη περίοδο. Για κάθε μεταγενέστερη περίοδο η προηγούμενη τιμή της παραμέτρου αυξανόταν ή μειωνόταν κατά ένα ορισμένο ποσοστό το οποίο επιλέχθηκε τυχαία σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Για παράδειγμα, οι απαιτήσεις της Εξωτερικής Ζήτησης για τη πρώτη περίοδο αντλήθηκαν από μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0,25]. Κατά τη δεύτερη περίοδο το ποσοστό αύξησης σε σχέση με τη πρώτη περίοδο, παράχθηκε τυχαία μεταξύ του 5% και του 10&. Αυτή η διαδικασία επαναλήφθηκε έως ότου επιτευχθεί και η τελευταία περίοδος του προγραμματισμένου ορίζοντα, δημιουργώντας έτσι μια αυξανόμενη ακολουθία ζήτησης. Επίσης, σε κάθε σενάριο μελετάμε 3 μεταβλητές απόφασης, τις οποίες θεωρούμε ότι είναι υψίστης σημασίας εφόσον παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη λήψη αποφάσεων. Οι μεταβλητές αυτές είναι: 1) η που αντιπροσωπεύει τη ποσότητα της δυναμικότητας που μεταφέρεται από την υπάρχουσα εγκατάσταση στη νέα εγκατάσταση στην αρχή της περιόδου και την οποία από εδώ και στο εξής θα την συμβολίζουμε ως Capacity Shifted(i,j,t), 2) η η οποία αντιπροσωπεύει τη δυαδική μεταβλητή απόφασης που μας υποδηλώνει αν λειτουργεί ή όχι μια επιλέξιμη εγκατάσταση κατά τη διάρκεια της περιόδου και την οποία από εδώ και στο εξής θα τη συμβολίζουμε ως Operated Facility(l,t) και 3) το Συνολικό Κόστος που αντιπροσωπεύει την αντικειμενική συνάρτηση (δηλαδή όλα τα κόστη) και το οποίο από εδώ και στο εξής θα το συμβολίζουμε ως Total Cost. 49

50 4.2.1 Πρώτη Κατηγορία Προβλημάτων Σενάριο 1 ο Στο πρώτο σενάριο, χρησιμοποιούμε την πρώτη κατηγορία προβλημάτων, δηλαδή πρόβλημα μεγέθους 9 εγκαταστάσεων, 5 προϊόντων και 3 χρονικών περιόδων. Οι τιμές των παραμέτρων λήφθηκαν από τη καθοδήγηση του paper «Large-scale models for dynamic multi-commodity capacitated facility location» των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 2. Πίνακας 2: Progress Window 1 ου Σεναρίου Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης που εξετάζουμε είναι οι ακόλουθες: Capacity Shifted(i,j,t) I j t Capacity Shifted F-4 F F-4 F F-4 F F-5 F

51 F-6 F F-6 F F-6 F Σύνολο 326 Πίνακας 3: Μεταφορά Δυναμικότητας 1ου Σεναρίου Operated Facility(l,t) L t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας 4: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 1ου Σεναρίου Total Cost Total Cost = Σενάριο 2 ο Το 2 ο σενάριο είναι το ίδιο με το 1 ο σενάριο με τη μόνη διαφορά ότι μειώνεται το ποσοστό αύξησης της παραμέτρου της Εξωτερικής Ζήτησης ( ) από τη μία χρονική 51

52 περίοδο στην επόμενη. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 5 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 2 ο Παρατηρούμε ότι σε σχέση με το προηγούμενο σενάριο μειώνεται η μεταφορά δυναμικότητας από την υπάρχουσα εγκατάσταση στη νέα εγκατάσταση, δεδομένου ότι πλέον η Εξωτερική Ζήτηση είναι μικρότερη (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 6: Μεταφορά Δυναμικότητας 2ου Σεναρίου). Επίσης δεν υπάρχει καμία μεταβολή όσον αφορά τη λειτουργία των εγκαταστάσεων και παρατηρούμε ότι λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις, τις ίδιες χρονικές περιόδους με πριν (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 7: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 2ου Σεναρίου). Το συνολικό κόστος μειώθηκε σε σχέση με πριν και αυτό είναι απόλυτα λογικό από τη στιγμή που μεταφέρεται λιγότερη δυναμικότητα. Σενάριο 3 ο Το 3 ο σενάριο είναι το ίδιο με το 1 ο σενάριο με τη μόνη διαφορά ότι αυξάνεται το ποσοστό αύξησης της παραμέτρου του επιτοκίου ( ) από τη μία χρονική περίοδο στην επόμενη. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 8 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 3 ο Παρατηρούμε ότι προκύπτουν τα ίδια αποτελέσματα με το 1 ο σενάριο, συνεπώς οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου δεν επηρεάζει τις μεταβλητές απόφασης για τη λήψη των αποφάσεων (Βλέπε Παράρτημα Πίνακες 9 & 10). 52

53 4.2.2 Πρώτη Κατηγορία Προβλημάτων Παραλλαγή Μοντέλου Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε αλλάξει το αρχικό μας μοντέλο βγάζοντας εκτός τους περιορισμούς του Budget, δηλαδή τους περιορισμούς (3.14) (3.16), και εισάγοντας δύο νέες μεταβλητές στην αντικειμενική μας συνάρτηση, τη Total Setup Cost και τη Total Shut Down Cost. Στη συνέχεια τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα κάθε περίπτωσης των σεναρίων 1 3. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Σενάριο 4 ο Τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα του 1ου σεναρίου. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 11 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 4 ο Παρατηρούμε ότι η συνολική δυναμικότητα που μετατοπίζεται κυμαίνεται στα ίδια επίπεδα με το 1 ο σενάριο όμως συμμετέχουν λιγότερες εγκαταστάσεις στη μεταφορά της δυναμικότητας (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 12: Μεταφορά Δυναμικότητας 4ου Σεναρίου). Ομοίως με το 1 ο σενάριο, λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις τις ίδιες χρονικές περιόδους (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 13: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 4ου Σεναρίου). Και τέλος παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος αυξήθηκε σε σχέση με το αντίστοιχο του 1 ου σεναρίου, συμπέρασμα λογικό δεδομένου ότι εισήχθησαν στην αντικειμενική συνάρτηση δύο επιπλέον κόστη. Σενάριο 5 ο Τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα του 2ου σεναρίου. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 14 (Βλέπε Παράρτημα). 53

54 Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 5 ο Παρατηρούμε ότι η συνολική δυναμικότητα που μετατοπίζεται κυμαίνεται στα ίδια επίπεδα με το 2 ο σενάριο όμως συμμετέχουν περισσότερες εγκαταστάσεις στη μεταφορά της δυναμικότητας (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 15: Μεταφορά Δυναμικότητας 5ου Σεναρίου). Επίσης, ομοίως με το 2 ο σενάριο, λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις τις ίδιες χρονικές περιόδους (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας16: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 5ου Σεναρίου). Και τέλος, παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος αυξήθηκε σε σχέση με το αντίστοιχο του 2 ου σεναρίου, συμπέρασμα λογικό δεδομένου ότι εισήχθησαν στην αντικειμενική συνάρτηση δύο επιπλέον κόστη. Σενάριο 6 ο Τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα του 3ου σεναρίου. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 17 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 6 ο Παρατηρούμε ότι η συνολική δυναμικότητα που μετατοπίζεται κυμαίνεται στα ίδια επίπεδα με το 3 ο σενάριο όμως συμμετέχουν λιγότερες εγκαταστάσεις στη μεταφορά της δυναμικότητας (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας18: Μεταφορά Δυναμικότητας 6ου Σεναρίου). Ομοίως με το 3 ο σενάριο, λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις τις ίδιες χρονικές περιόδους (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας19: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 6ου Σεναρίου). 54

55 Τέλος παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος αυξήθηκε σε σχέση με το αντίστοιχο του 3 ου σεναρίου, συμπέρασμα λογικό δεδομένου ότι εισήχθησαν στην αντικειμενική συνάρτηση δύο επιπλέον κόστη Δεύτερη Κατηγορία Προβλημάτων Σενάριο 7 ο Σ αυτό το σενάριο, χρησιμοποιούμε την δεύτερη κατηγορία προβλημάτων, δηλαδή πρόβλημα μεγέθους 30 εγκαταστάσεων, 15 προϊόντων και 6 χρονικών περιόδων. Οι τιμές των παραμέτρων λήφθηκαν, όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις σεναρίων, από τη καθοδήγηση του paper Large-scale models for dynamic multicommodity capacitated facility location των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 20 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 7 ο Παρατηρούμε ότι με την αύξηση του μεγέθους του προβλήματος αυξήθηκε και η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μεταφέρεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες σε σχέση με την αντίστοιχη περίπτωση του 1 ου σεναρίου (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 21: Μεταφορά Δυναμικότητας 7ου Σεναρίου). Επίσης με βάση τα δεδομένα του προβλήματος λειτουργούν όλες οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις και τρεις νέες, οι F-20, F-24 και η F-29 (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 22: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 7ου Σεναρίου). Τέλος παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος αυξήθηκε σημαντικά με το αντίστοιχο του 1 ου σεναρίου (Total Cost = ) λαμβάνοντας υπόψη την αύξηση του μεγέθους του προβλήματος. Σενάριο 8 ο Το 8 ο σενάριο είναι το ίδιο με το 7 ο σενάριο με τη μόνη διαφορά ότι μειώνεται το ποσοστό αύξησης της παραμέτρου της Εξωτερικής Ζήτησης ( ) από τη μία χρονική 55

56 περίοδο στην επόμενη. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 23 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 8 ο Παρατηρούμε ότι σε σχέση με το προηγούμενο σενάριο μειώνεται η μεταφορά δυναμικότητας από την υπάρχουσα εγκατάσταση στη νέα εγκατάσταση, δεδομένου ότι πλέον η Εξωτερική Ζήτηση είναι μικρότερη (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 24: Μεταφορά Δυναμικότητας 8ου Σεναρίου). Επίσης το συνολικό κόστος μειώθηκε ελάχιστα σε σχέση με πριν. Σενάριο 9 ο Το 9 ο σενάριο είναι το ίδιο με το 7 ο σενάριο με τη μόνη διαφορά ότι αυξάνεται το ποσοστό αύξησης της παραμέτρου του επιτοκίου ( ) από τη μία χρονική περίοδο στην επόμενη. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 26 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 9 ο Παρατηρούμε ότι η ποσότητα δυναμικότητας που μεταφέρθηκε είναι ακριβώς η ίδια με τη περίπτωση του 7 ου σεναρίου (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 27: Μεταφορά Δυναμικότητας 9ου Σεναρίου). Επίσης, οι εγκαταστάσεις που λειτουργούν είναι οι ίδιες με την περίπτωση του 7 ου σεναρίου, δηλαδή λειτουργούν όλες οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις και τρεις νέες, οι F-20, F-24 και η F-29 (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας28: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 9ου Σεναρίου). Τέλος παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος είναι το ίδιο με τη περίπτωση του 7 ου σεναρίου το οποίο αυξήθηκε σημαντικά με το αντίστοιχο του 1 ου σεναρίου (Total 56

57 Cost = ) λαμβάνοντας υπόψη την αύξηση του μεγέθους του προβλήματος (Βλέπε Παράρτημα). Συμπέρασμα: Οι τιμές που λαμβάνει το επιτόκιο (Interest Rate(t)) δεν επηρεάζουν τη διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας στη περίπτωση που αυξάνεται το μέγεθος του προβλήματος Δεύτερη Κατηγορία Προβλημάτων Παραλλαγή Μοντέλου Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε αλλάξει το αρχικό μας μοντέλο βγάζοντας εκτός τους περιορισμούς του Budget, δηλαδή τους περιορισμούς (3.14) (3.16), και εισάγοντας δύο νέες μεταβλητές στην αντικειμενική μας συνάρτηση, τη Total Setup Cost και τη Total Shut Down Cost. Στη συνέχεια τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα κάθε περίπτωσης των σεναρίων 7 9. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Σενάριο 10 ο Τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα του 7 ου σεναρίου. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 29 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 10 ο Παρατηρούμε ότι η συνολική δυναμικότητα που μετατοπίζεται είναι σημαντικά μικρότερη σε σχέση με το 7 ο σενάριο (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας30: Μεταφορά Δυναμικότητας 10ου Σεναρίου). Επίσης παρατηρούμε ότι λειτουργούν όλες οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις σε όλες τις χρονικές περιόδους και 2 νέες, οι F-23 την 3 η, 4 η, 5 η και 6 η χρονική περίοδο και η F- 24 την 6 η χρονική περίοδο (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας 31: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 10ου Σεναρίου). Τέλος παρατηρούμε, ότι το συνολικό κόστος αυξήθηκε σε σχέση με το αντίστοιχο του 7 ου σεναρίου (Total Cost = ), συμπέρασμα λογικό δεδομένου ότι εισήχθησαν στην αντικειμενική συνάρτηση δύο επιπλέον κόστη. 57

58 Σενάριο 11 ο Τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα του 8 ου σεναρίου. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 32 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 11 ο Παρατηρούμε ότι η συνολική δυναμικότητα που μετατοπίζεται είναι σημαντικά μικρότερη σε σχέση με την περίπτωση του 8 ου σεναρίου (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας33: Μεταφορά Δυναμικότητας 11ου Σεναρίου). Επίσης, σ αυτή τη περίπτωση λειτουργούν όλες οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις και τρεις νέες, η F-20 την 6 η χρονική περίοδο, η F-23 την 3 η, 4 η, 5 η και 6 η χρονική περίοδο και η F-24 την 6 η χρονική περίοδο (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας34: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 11 ου Σεναρίου). Τέλος παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος αυξήθηκε σε σχέση με το αντίστοιχο του 8 ου σεναρίου (Total Cost = ), συμπέρασμα λογικό δεδομένου ότι εισήχθησαν στην αντικειμενική συνάρτηση δύο επιπλέον κόστη. Σενάριο 12 ο Τρέχουμε το νέο μας μοντέλο με τα δεδομένα του 9 ου σεναρίου. Το Progress Window που προκύπτει από το περιβάλλον του AIMMS φαίνεται στον Πίνακα 35 (Βλέπε Παράρτημα). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 12 ο Παρατηρούμε ότι η συνολική δυναμικότητα που μετατοπίζεται είναι σημαντικά μικρότερη σε σχέση με το 9 ο σενάριο (Βλέπε Παράρτημα Πίνακας 36: Μεταφορά Δυναμικότητας 12ου Σεναρίου). 58

59 Επίσης παρατηρούμε ότι λειτουργούν όλες οι υπάρχουσες εγκαταστάσεις και δύο νέες, οι F-23 την 3 η, 4 η, 5 η και 6 η χρονική περίοδο και η F-24 την 6 η χρονική περίοδο (Βλέπε Παράρτημα - Πίνακας 37: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 12 ου Σεναρίου). Και τέλος παρατηρούμε ότι το συνολικό κόστος είναι το ίδιο με τη περίπτωση του 10 ου σεναρίου το οποίο αυξήθηκε σε σχέση με το αντίστοιχο του 7 ου σεναρίου (Total Cost = ) λαμβάνοντας υπόψη την αύξηση του μεγέθους του προβλήματος. Συμπέρασμα: Οι τιμές που λαμβάνει το επιτόκιο (Interest Rate(t)) δεν επηρεάζουν τη διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας στη περίπτωση που αυξάνεται το μέγεθος του προβλήματος. 4.3 Ανάλυση Αποτελεσμάτων Συγκρίσεις Σεναρίων Μετά την ολοκλήρωση παρουσίαση των αποτελεσμάτων ακολουθούν συγκεντρωτικοί πίνακες για την ανάλυση τους. Στον Πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της 1 ης κατηγορίας προβλημάτων μαζί με τα αντίστοιχα σενάρια. Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 1 ο Σενάριο 2 ο Σενάριο 3 ο Πίνακας 38: 1η Κατηγορία Προβλημάτων Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: 1) Όταν μειώνεται η ζήτηση μειώνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες εγκαταστάσεις και μειώνεται και το συνολικό κόστος. 2) Σε όλες τις περιπτώσεις λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις, δηλαδή οι υπάρχουσες λειτουργούν και τις 3 χρονικές περιόδους και προκειμένου να καλυφθεί η ζήτηση από τις νέες εγκαταστάσεις λειτουργούν η F-7 και η F-8 τις χρονικές περιόδους 2 και 3 και η F-9 την 3 η χρονική περίοδο. 3) Το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου παρατηρούμε ότι δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, συνεπώς δεν επηρεάζεται η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας. Στον επόμενο Πίνακα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της παραλλαγής του μοντέλου της 1 ης κατηγορίας προβλημάτων μαζί με τα σενάριά τους. 59

60 Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 4 ο Σενάριο 5 ο Σενάριο 6 ο Πίνακας 39: 1η Κατηγορία Προβλημάτων - Παραλλαγή Μοντέλου Από τον παραπάνω Πίνακα παρατηρούμε ότι αλλάζοντας το μοντέλο 12 αυξάνεται το Συνολικό Κόστος γιατί έχουμε βγάλει εκτός 3 περιορισμούς και έχουμε εισαγάγει 2 νέα κόστη στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Επίσης προκύπτουν τα ίδια συμπεράσματα με πριν, δηλαδή: 1) Όταν μειώνεται η ζήτηση μειώνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες εγκαταστάσεις και μειώνεται και το συνολικό κόστος. 2) Σε όλες τις περιπτώσεις λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις, δηλαδή οι υπάρχουσες λειτουργούν και τις 3 χρονικές περιόδους και προκειμένου να καλυφθεί η ζήτηση από τις νέες εγκαταστάσεις λειτουργούν η F-7 και η F-8 τις χρονικές περιόδους 2 και 3 και η F-9 την 3 η χρονική περίοδο. 3) Το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου παρατηρούμε ότι δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, συνεπώς δεν επηρεάζεται η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας. Ο Πίνακας που ακολουθεί περιλαμβάνει τα αποτελέσματα της 2 ης κατηγορίας προβλημάτων μαζί με τα αντίστοιχα σενάρια. Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 7 ο Σενάριο 8 ο Σενάριο 9 ο Πίνακας 40: 2η Κατηγορά Προβλημάτων Παρατηρούμε ότι αυξάνοντας το μέγεθος του προβλήματος αυξάνεται η ποσότητα της δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες και επίσης αυξάνεται και το Συνολικό Κόστος. Επίσης προκύπτουν τα ίδια σχεδόν αποτελέσματα με πριν, δηλαδή: 1) Όταν μειώνεται η ζήτηση μειώνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες εγκαταστάσεις και μειώνεται το Συνολικό Κόστος. 2) Σε 12 Σ αυτή την περίπτωση έχουμε αλλάξει το μοντέλο βγάζοντας εκτός τους περιορισμούς του budget και εισάγοντας 2 νέες μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση, τις Total Setup Cost και Total Shut Down Cost. 60

61 όλες τις περιπτώσεις λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις, δηλαδή οι υπάρχουσες λειτουργούν και τις 6 χρονικές περιόδους, εκτός από την F-6 η οποία λειτουργεί μόνο την 1 η χρονική περίοδο και την F-12 η οποία λειτουργεί την 1 η, 2 η, 3 η και 5 η χρονική περίοδο. Επίσης, προκειμένου να καλυφθεί η ζήτηση από τις νέες εγκαταστάσεις λειτουργούν η F-20 την 3 η, 4 η, 5 η και 6 η χρονική περίοδο, η F-24 την 2 η, 3 η, 4 η, 5 η και 6 η χρονική περίοδο και τέλος η F-30 την 4 η και 6 η χρονική περίοδο. 3) Το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου παρατηρούμε ότι δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, συνεπώς δεν επηρεάζεται η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας. Ο επόμενος Πίνακας παρουσιάζει τα αποτελέσματα της παραλλαγής του μοντέλου της 2 ης κατηγορίας προβλημάτων μαζί με τα αντίστοιχα σενάρια. Capacity Shifted Operated Facility Total Cost Σενάριο 10 ο Σενάριο 11 ο Σενάριο 12 ο Πίνακας 41: 2η Κατηγορία Προβλημάτων - Παραλλαγή Μοντέλου Από τον παραπάνω Πίνακα παρατηρούμε ότι αλλάζοντας το μοντέλο 13 αυξάνεται το Συνολικό Κόστος γιατί έχουμε βγάλει εκτός 3 περιορισμούς και έχουμε εισαγάγει 2 νέα κόστη στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Επίσης προκύπτουν σχεδόν τα ίδια συμπεράσματα με πριν, δηλαδή: 1) Όταν μειώνεται η ζήτηση μειώνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες εγκαταστάσεις και μειώνεται και το συνολικό κόστος. 2) Σε αυτή την κατηγορία προβλημάτων δεν λειτουργούν οι ίδιες εγκαταστάσεις σε κάθε περίπτωση σεναρίου αλλά διαφορετικές ανάλογα με την περίπτωση που μελετάμε. 3) Το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου παρατηρούμε ότι δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, συνεπώς δεν επηρεάζεται η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας. 13 Σ αυτή την περίπτωση έχουμε αλλάξει το μοντέλο βγάζοντας εκτός τους περιορισμούς του budget και εισάγοντας 2 νέες μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση, τις Total Setup Cost και Total Shut Down Cost. 61

62 Κεφάλαιο 5 ο Συμπεράσματα Στην παρούσα μελέτη, Δυναμικά Μοντέλα Χωροθέτησης Εγκαταστάσεων, αρχικά παρουσιάσαμε τα Βασικά Μοντέλα Χωροθέτησης, όπου παραθέσαμε αναλυτικά οκτώ από αυτά, τα Δυναμικά Μοντέλα Χωροθέτησης και τα Στοχαστικά Μοντέλα Χωροθέτησης. Στη συνέχεια στηριχτήκαμε στο βασικό μοντέλο των M.T. Melo, S. Nickela, F. Saldanha da Gama «Dynamic multi-commodity capacitated facility location: a mathematical modeling framework for strategic supply chain planning» το οποίο αποτελεί μια από τις πλησιέστερες και αποτελεσματικότερες προσεγγίσεις στο πρόβλημα της μεταφοράς δυναμικότητας. Αρχικά στηριχτήκαμε αυτούσια στο μοντέλο των M.T. Melo, S. Nickela, F. Saldanha da Gama το οποίο και μοντελοποιήσαμε στο περιβάλλον του AIMMS. Συγκεκριμένα θεωρήσαμε ότι μια υπάρχουσα εγκατάσταση μπορεί να μεταφέρει τη δυναμικότητά της πλήρως ή μερικώς σε μία ή περισσότερες νέες υποψήφιες εγκαταστάσεις. Επίσης, η δυναμικότητα που μεταφέρεται σε μία νέα εγκατάσταση δεν μπορεί να αφαιρεθεί σε μεταγενέστερες περιόδους. Ο στόχος του σχεδιαζόμενου project είναι να οργανωθεί η λειτουργία της εφοδιαστικής αλυσίδας με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιηθεί το Συνολικό Κόστος. Επιπλέον οι αποφάσεις για μετεγκατάσταση περιορίζονται από τους περιορισμούς του budget. Συγκεκριμένα, υποθέσαμε ότι σε κάθε χρονική περίοδο, ένα δεδομένο budget είναι διαθέσιμο για επενδύσεις, δηλαδή για την ίδρυση νέων εγκαταστάσεων και για το κλείσιμο των ήδη υπαρχουσών καθώς επίσης και για τις μεταφορές της δυναμικότητας. Ακόμα, θεωρήσαμε ότι η ίδρυση μιας νέας εγκατάστασης, επειδή συνήθως είναι μια χρονοβόρα διαδικασία, λαμβάνει χώρα μια περίοδο πριν από την έναρξή της. Συνεπώς, αν μια νέα εγκατάσταση αρχίζει να λειτουργεί σε κάποια περίοδο t, τα πάγια έξοδα για την ίδρυσή της χρεώνονται την περίοδο t-1. Από την άλλη πλευρά, όταν μια υπάρχουσα εγκατάσταση παύει να λειτουργεί στο τέλος κάποιας περιόδου t, υποθέσαμε ότι τα κόστη του κλεισίματος μεταφέρονται στην επόμενη περίοδο. Επίσης το μοντέλο δεν επιτρέπει τη μεταφορά της δυναμικότητας κατά την έναρξη του σχεδιαζόμενου ορίζοντα με αποτέλεσμα όλες οι υπάρχουσες 62

63 εγκαταστάσεις να λειτουργούν κατά την διάρκεια της 1 ης περιόδου και όλες οι νέες εγκαταστάσεις να μην μπορούν να ιδρυθούν κατά τη διάρκεια της 1 ης περιόδου. Οι δύο προηγούμενες παραδοχές εισήχθησαν ως περιορισμοί στο μοντέλο, διότι χωρίς αυτούς το μοντέλο δεν μας έδινε εφικτή λύση. Και αυτό οφειλόταν στο γεγονός ότι όταν η διαφορά στη μεταφορά της δυναμικότητας ανάμεσα στην 1 η και τη 2 η περίοδο ήταν μεγάλη, τότε έπρεπε οπωσδήποτε τη δεύτερη περίοδο να ανοίξουν κάποιες καινούργιες εγκαταστάσεις προκειμένου το μοντέλο μας να λειτουργεί σωστά και να δίνει εφικτή λύση. Αρχικά τρέξαμε το μοντέλο για την 1 η Κατηγορία Προβλημάτων όπου έχουμε 9 συνολικά εγκαταστάσεις, 5 προϊόντα και 3 χρονικές περιόδους. Για αυτή την κατηγορία προβλημάτων έχουμε 3 σενάρια. Οι τιμές των παραμέτρων λαμβάνονται από τη καθοδήγηση του paper Large-scale models for dynamic multi-commodity capacitated facility location των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama. Τα σενάρια συγκρίνονται με το πρώτο. Το δεύτερο σενάριο έχει χαμηλότερη ζήτηση σε σχέση με το πρώτο και το τρίτο σενάριο έχει μεγαλύτερο επιτόκιο. Τρέχοντας το μοντέλο για τα τρία σενάρια προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα. Πρώτον, όταν μειώνεται η ζήτηση μειώνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες εγκαταστάσεις και επίσης μειώνεται το Συνολικό Κόστος. Δεύτερον, το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα συνεπώς δεν επηρεάζεται η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την οργάνωση της εφοδιαστικής αλυσίδας. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η προτεινόμενη λύση για την οργάνωση της παραγωγής είναι η ακόλουθη: Σενάριο l T F-4 1,2,3 F-5 1,2,3 1 ο, 2 ο, 3 ο F-6 1,2,3 F-7 2,3 F-8 2,3 F-9 3 Πίνακας 42: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 1ης Κατηγορίας Προβλημάτων Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. 63

64 Στη συνέχεια δημιουργήσαμε μια παραλλαγή του μοντέλου μας, όπου βγάλαμε εκτός τους περιορισμούς του budget και προσθέσαμε δύο νέες μεταβλητές τη Total Setup Cost και τη Total Shut Down Cost τις οποίες και συμπεριλάβαμε στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Τρέξαμε το παραλλαγμένο μοντέλο μας για τα 3 σενάρια που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν όσον αφορά τη ποσότητα δυναμικότητας που μεταφέρεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες και το ποσοστό αύξησης του επιτοκίου είναι τα ίδια. Η μόνη διαφορά σε σχέση με το αρχικό μοντέλο είναι ότι αυξάνεται το Συνολικό Κόστος αφού έχουμε βγάλει εκτός 3 περιορισμούς (του budget) και έχουμε προσθέσει 2 επιπλέον μεταβλητές Κόστους στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η προτεινόμενη λύση για την οργάνωση της παραγωγής είναι η ακόλουθη: Σενάριο l T F-4 1,2,3 F-5 1,2,3 4ο, 5 ο, 6 ο F-6 1,2,3 F-7 2,3 F-8 2,3 F-9 3 Πίνακας 43: Λειτουργία Εγκαταστάσεων Παραλλαγής 1ης Κατηγορίας Προβλημάτων Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. Κατόπιν, τρέξαμε τη 2 η Κατηγορία Προβλημάτων όπου αυξήσαμε το μέγεθος του προβλήματος. Πλέον, έχουμε συνολικά 30 εγκαταστάσεις, 15 προϊόντα και 6 χρονικές περιόδους. Τα σενάρια είναι ίδια με πριν μόνο που τώρα αφορούν πρόβλημα μεγαλύτερου μεγέθους. Τρέχοντας το μοντέλο παρατηρούμε ότι αυξάνοντας το μέγεθος του προβλήματος, αυξάνεται η ποσότητα της δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες και φυσικά αυξάνεται το Συνολικό Κόστος. Ομοίως με πριν, τα αποτελέσματα που προκύπτουν όσον αφορά τη μεταφορά δυναμικότητας και την αύξηση του επιτοκίου είναι ίδια. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η προτεινόμενη λύση για την οργάνωση της παραγωγής είναι η ακόλουθη: 64

65 Σενάριο l T F-6 1 F-7 1,2,3,4,5,6 F-8 1,2,3,4,5,6 F-9 1,2,3,4,5,6 F-10 1,2,3,4,5,6 F-11 1,2,3,4,5,6 7 ο F-12 1,2,3,4,5,6 F-13 1,2,3,4,5,6 F-14 1,2,3,4,5,6 F-15 1,2,3,4,5,6 F-20 3,4,5,6 F-24 2,3,4,5,6 F-29 4,6 Πίνακας 44: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 7 ου Σεναρίου Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. Σενάριο l T F-6 1 F-7 1,2,3,4,5,6 F-8 1,2,3,4,5,6 F-9 1,2,3,4,5,6 F-10 1,2,3,4,5,6 F-11 1,2,3,4,5,6 8 ο F-12 1,2,3,5 F-13 1,2,3,4,5,6 F-14 1,2,3,4,5,6 F-15 1,2,3,4,5,6 F-20 3,4,5,6 F-24 2,3,4,5,6 F-30 4,6 Πίνακας 45: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 8ου Σεναρίου 65

66 Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. Σενάριο l T F-6 1 F-7 1,2,3,4,5,6 F-8 1,2,3,4,5,6 F-9 1,2,3,4,5,6 F-10 1,2,3,4,5,6 F-11 1,2,3,4,5,6 9 ο F-12 1,2,3,5 F-13 1,2,3,4,5,6 F-14 1,2,3,4,5,6 F-15 1,2,3,4,5,6 F-20 3,4,5,6 F-24 2,3,4,5,6 F-29 4,6 Πίνακας 46: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 9ου Σεναρίου Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. Τέλος τρέξαμε τη παραλλαγή του μοντέλου για το πρόβλημα μεγαλύτερου μεγέθους. Όπως και πριν, παρατηρήσαμε ότι βγάζοντας εκτός τους περιορισμούς του budget και προσθέτοντας δύο νέες μεταβλητές στην Αντικειμενική Συνάρτηση αυξάνεται το Συνολικό Κόστος. Όσον αφορά τα 3 σενάρια, τα αποτελέσματα είναι ίδια με πριν. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η προτεινόμενη λύση για την οργάνωση της παραγωγής είναι η ακόλουθη: Σενάριο l T F-6 1,2,3,4,5,6 F-7 1,2,3,4,5,6 F-8 1,2,3,4,5,6 F-9 1,2,3,4,5,6 F-10 1,2,3,4,5,6 66

67 10 ο F-11 1,2,3,4,5,6 F-12 1,2,3,4,5,6 F-13 1,2,3,4,5,6 F-14 1,2,3,4,5,6 F-15 1,2,3,4,5,6 F-23 3,4,5,6 F-24 6 Πίνακας 47: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 10ου Σεναρίου Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. Σενάριο l T F-6 1,2,3,4,5,6 F-7 1,2,3,4,5,6 F-8 1,2,3,4,5,6 F-9 1,2,3,4,5,6 F-10 1,2,3,4,5,6 F-11 1,2,3,4,5,6 11 ο F-12 1,2,3,4,5,6 F-13 1,2,3,4,5,6 F-14 1,2,3,4,5,6 F-15 1,2,3,4,5,6 F-20 6 F-23 3,4,5,6 F-24 6 Πίνακας 48: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 11ου Σεναρίου Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. 67

68 Σενάριο l T F-6 1,2,3,4,5,6 F-7 1,2,3,4,5,6 F-8 1,2,3,4,5,6 F-9 1,2,3,4,5,6 F-10 1,2,3,4,5,6 F-11 1,2,3,4,5,6 12 ο F-12 1,2,3,4,5,6 F-13 1,2,3,4,5,6 F-14 1,2,3,4,5,6 F-15 1,2,3,4,5,6 F-23 3,4,5,6 F-24 6 Πίνακας 49: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 12ου Σεναρίου Με σκούρο κόκκινο χρώμα φαίνονται ποιες καινούργιες εγκαταστάσεις θα λειτουργήσουν και σε ποιες χρονικές περιόδους. Συνοψίζοντας λοιπόν, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι όταν μειώνεται η ζήτηση μειώνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μεταφέρεται από τις υπάρχουσες εγκαταστάσεις στις νέες και μειώνεται και το Συνολικό Κόστος. Το επιτόκιο, για τις τιμές που πήρε στο διάστημα [1, 10]% δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Επίσης, αυξάνοντας το μέγεθος του προβλήματος αυξάνεται η συνολική ποσότητα δυναμικότητας που μετατοπίζεται από τις υπάρχουσες στις νέες εγκαταστάσεις προκειμένου να καλυφθεί η απαιτούμενη παραγωγή και αυξάνεται και το Συνολικό Κόστος. Και τέλος, παραλλάσσοντας το μοντέλο όπου βγάλαμε εκτός τους περιορισμούς του budget και προσθέσαμε 2 νέες μεταβλητές στην Αντικειμενική Συνάρτηση αυξάνεται το Συνολικό Κόστος. Επίσης, από το Progress Window του κάθε σεναρίου, παρατηρήθηκε το γεγονός ότι τα σενάρια δεν τρέχουν όλα για το ίδιο χρονικό διάστημα. Ο Πίνακας 50 που ακολουθεί συνοψίζει τον Χρόνο Επίλυσης (Solving Time) κάθε σεναρίου: Σενάριο Solving Time Valid Inequality 1 ο 0,17 sec 0,13 2 ο 0,08 sec 0,07 3 ο 0,08 sec 0,07 68

69 4 ο 0,06 sec 0,05 5 ο 0,06 sec 0,05 6 ο 0,06 sec 0,06 7 ο 339,46 sec 180,67 8 ο 215,63 sec 106,54 9 ο 454,98 sec 218,45 10 ο 17,55 sec 10,35 11 ο 21,53 sec 12,89 12 ο 17,18 sec 9,75 Πίνακας 50: Χρόνοι Επίλυσης Από τον παραπάνω Πίνακα παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το μέγεθος του προβλήματος, τόσος περισσότερος χρόνος απαιτείται για την επίλυσή του. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συντομευθεί αν θέσουμε ένα valid inequality 14, δηλαδή αν j t t t 1 B ( j j ) t for all t T\{1}, τότε με αυτό τον τρόπο προσδιορίζεται ένα min { FC j} άνω όριο του αριθμού των νέων εγκαταστάσεων που μπορούν να ιδρυθούν. Ωστόσο, δε θα πρέπει να ξεχνάμε το γεγονός ότι το μοντέλο έχει κάποια μειονεκτήματα / περιορισμούς και ότι έχουν γίνει συγκεκριμένες υποθέσεις προκειμένου να υπάρχει εφικτή λύση. Συνεπώς, θα μπορούσε μελλοντικά να δημιουργηθεί ένα καινούργιο σενάριο όπου θα υπάρχουν άλλοι, πιο γενικοί περιορισμοί, όπως για παράδειγμα οι εγκαταστάσεις να ανοίγουν και να κλείνουν οποιαδήποτε χρονική περίοδο. Επιπρόσθετα, οι υποθέσεις και οι περιορισμοί του μοντέλου των M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gama «Dynamic multicommodity capacitated facility location: a mathematical modeling framework for strategic supply chain planning» χρειάζονται συμπληρώσεις προκειμένου να λειτουργεί σωστά και η επίλυσή του να δίνει ένα λογικό αποτέλεσμα. Επίσης, η ανάπτυξη ευρετικών αλγορίθμων για τέτοιου είδους προβλήματα, πιθανότατα, να μπορούσε να μειώσει μελλοντικά τον χρόνο επίλυσής τους. Υπάρχουν πολλοί παράγοντες που θα πρέπει να λάβει υπόψη η διοίκηση μιας επιχείρησης στη διαδικασία λήψης αποφάσεων για τη χωροθέτησή της, γεγονός που απαιτεί περεταίρω 14 Valid Inequality: Μια ανισότητα είναι valid inequality, όταν ισχύει για όλα τα στοιχεία του Συνόλου στο οποίο αναφέρεται. 69

70 έρευνα πριν την υιοθέτηση της προτεινόμενης λύσης ή ακόμα και του συγκεκριμένου μοντέλου. Τέλος, επιβάλλεται να αναφέρουμε ότι η εφαρμογή ενός διαφορετικού μοντέλου μπορεί να δώσει διαφορετικές λύσεις. Για το λόγο αυτό, είναι αναγκαία η εφαρμογή πολλών διαφορετικών μεθόδων για ένα πρόβλημα, έτσι ώστε να γίνουν συγκρίσεις και να αξιολογηθούν τα αποτελέσματα συνολικά για τη λήψη της βέλτιστης και πιο έγκυρης λύσης και της καταλληλότερης απόφασης. 70

71 Βιβλιογραφία M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gamac Dynamic multi-commodity capacitated facility location: a mathematical modeling framework for strategic supply chain planning, Computers & Operations Research 33 (2005) C.S Revelle, H.A. Eiselt Location analysis: A synthesis and survey, European Journal of Operational Research 165 (2005) 1-19 Susan Hesse Owen, Mark S. Daskin Strategic facility location: A review, European Journal of Operational Research 11 (1998) John Current, Mark Daskin and David Schilling Discrete Network Location Models M.T. Melo, S. Nickel, F. Saldanha da Gamac Large-scale models for dynamic multi-commodity capacitated facility location Beriche des Fraunhofer IMWM, Nr. 58 (2003) M.T. Melo, S. Nickel,F. Saldanha da Gamac Facility location and supply chain management A review, European Journal of Operational Research 196 (2009) Lawrence V. Snyder Supply Chain Robustness and Reliability: Models and Algorithms Dissertation-Northwestern University (2003) Kalcsics J, Melo T, Nickel S, Schmid-Lutz V. Facility Location Decisions in Supply Chain Management, In: Inderforth K, Schwodiaeuer G. Domschke W,Juhnke F, Kleinscmidt P, Wascher G., editors. Operations research proceedings Berlin: Springer; 2000 pp Church, R. L. and Revelle, C.S. (1974) The maximal covering location problem, Papers of the Regional Science Association, 32, Daskin, M.S. (1995) Network and Discrete Location: Models, Algorithms and Applications, John Wiley, New York 71

72 Daskin, M.S. (2000) A new approach to solving the vertex p-center problem to optimality: Algorithm and computational results, Communications of the Japanese OR Society, 9, Chapman, S.C. and White, J.A. (1974) Probabilistic formulations of emergency service facilities location problems, Paper presented at the 1974 ORSA/TIMS Conference, San Juan, Puerto Rico Ernst, A.T. and Krishnamoorthy, M. (1996) Efficient algorithms for the uncapacitated single allocation p-hub median problem, Location Science, 4, Garey, M.R. and Johnson, D.S. (1979) Computers and Intractability: A guide to the Theory of NP-Completeness, W.H.Freeman and Co., New York Galvao, R.D. and Revelle, C. (1996) A Lagrangean heuristic for the maximal covering location problem, European Journal of Operational Research, 88, Hakimi, S. (1964) Optimal location of switching centers and the absolute centers and medians of a graph, Operations Research, 12, Hakimi, S. (1965) Optimum location of switching centers in a communications network and some related graph theoretic problems, Operations Research, 13, Kuby,M. (1987) The p-dispersion and maximum dispersion problems, Geographical Analysis, 19, Kuby, M.J. and Gray, R.G (1993) The hub network design problem with stop feeders: The case of Federal Express, Transportation Research, 27A,

73 Manne, A.S. (1961) Capacity expansion and probabilistic growth, Econometrica 29, Manne, A.S. (1967) Location and Time Phasing, MIT Press, Cambridge, MA. Megiddo, N., Zemel, E. and Hakimi, S.L. (1983) The maximal coverage location problem, SIAM Journal of Algebraic and Discrete Methods, 4, Toregas, C. Swain, R., Revelle, C. and Bergman, L. (1971) The location of emergency service facilities, Operations Research, 19, Balinski, M.L. (1965) Integer Programming: Methods, Uses, Computation Management Science, 12, Cohon, J.L. (1978) Multiobjective Programming and Planning, Academic Press, New York, NY. Aimms_tutorial_begginer.pdf Aimms_tutorial_professional.pdf 73

74 Παράρτημα Πινάκων 1 η Κατηγορία Προβλημάτων Σενάριο 1 ο Πίνακας - Progress Window 1 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) i j t Capacity Shifted F-4 F F-4 F F-4 F F-5 F F-6 F F-6 F F-6 F Σύνολο 326 Πίνακας - Μεταφορά Δυναμικότητας 1ου Σεναρίου 74

75 Operated Facility(l,t) L t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας - Λειτουργία Εγκαταστάσεων 1ου Σεναρίου Σενάριο 2 ο Πίνακας 5: Progress Window 2 ου Σεναρίου 75

76 Capacity Shifted i j t Capacity Shifted F-4 F F-4 F F-5 F F-5 F F-6 F Σύνολο 281 Πίνακας 6: Μεταφορά Δυναμικότητας 2ου Σεναρίου Operated Facility(l,t) L t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας 7: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 2ου Σεναρίου 76

77 Σενάριο 3 ο Πίνακας 8: Progress Window 3 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) i J T Capacity Shifted F-4 F F-4 F F-4 F F-5 F F-6 F F-6 F F-6 F Σύνολο 326 Πίνακας 9: Μεταφορά Δυναμικότητας 3ου Σεναρίου 77

78 Operated Facility(l,t) l T Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας 10: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 3ου Σεναρίου 78

79 1 η Κατηγορία Προβλημάτων Παραλλαγή Μοντέλου Σενάριο 4 ο Πίνακας 11: Progress Window 4 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) I j T Capacity Shifted F-4 F F-4 F F-5 F F-6 F F-6 F Σύνολο 328 Πίνακας 12: Μεταφορά Δυναμικότητας 4ου Σεναρίου Operated Facility(l,t) l t Operated Facility F F F F

80 F F F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας 13: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 4ου Σεναρίου Σενάριο 5 ο Πίνακας 14: Progress Window 5 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) I j T Capacity Shifted F-4 F F-4 F F-4 F

81 F-5 F F-6 F F-6 F Σύνολο 291 Πίνακας 15: Μεταφορά Δυναμικότητας 5ου Σεναρίου Operated Facility(l,t) l t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας 16: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 5ου Σεναρίου 81

82 Σενάριο 6 ο Πίνακας 17: Progress Window 6 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) I j T Capacity Shisted F-4 F F-4 F F-5 F F-6 F F-6 F Σύνολο 328 Πίνακας 18: Μεταφορά Δυναμικότητας 6ου Σεναρίου Operated Facility(l,t) l t Operated Facility F F F F F F

83 F F F F F F F F Σύνολο 6 Πίνακας 19: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 6ου Σεναρίου 2 η Κατηγορία Προβλημάτων Σενάριο 7 ο Πίνακας 20: Progress Window7ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) I J t Capacity Shifted F-6 F F-7 F F-7 F F-8 F

84 F-8 F F-9 F F-9 F F-10 F F-10 F F-11 F F-11 F F-12 F F-12 F F-12 F F-13 F F-13 F F-14 F F-14 F F-15 F F-15 F F-15 F Σύνολο 642 Πίνακας 21: Μεταφορά Δυναμικότητας 7ου Σεναρίου Operated Facility(sl,t) sl t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

85 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 13 Πίνακας 22: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 7ου Σεναρίου 85

86 Σενάριο 8 ο Πίνακας 23: Progress Window 8 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) I J t Capacity Shifted F-6 F F-7 F F-7 F F-8 F F-8 F F-9 F F-9 F F-10 F F-10 F F-11 F F-11 F F-12 F F-12 F F-12 F F-12 F F-13 F

87 F-13 F F-13 F F-14 F F-14 F F-15 F F-15 F Σύνολο 620 Πίνακας 24: Μεταφορά Δυναμικότητας 8ου Σεναρίου Operated Facility(sl,t) sl t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

88 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 13 Πίνακας 25: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 8ου Σεναρίου 88

89 Σενάριο 9 ο Capacity Shifted(i,j,t) Πίνακας 26: Progress Window 9 ου Σεναρίου I J t Capacity Shifted F-6 F F-7 F F-7 F F-8 F F-8 F F-9 F F-9 F F-10 F F-10 F F-11 F F-11 F F-12 F F-12 F F-12 F F-13 F F-13 F F-14 F F-14 F

90 F-15 F F-15 F F-15 F Σύνολο 642 Πίνακας 27: Μεταφορά Δυναμικότητας 9ου Σεναρίου Operated Facility(sl,t) Sl t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

91 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 13 Πίνακας 28: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 9ου Σεναρίου 91

92 2 η Κατηγορία Προβλημάτων Παραλλαγή Μοντέλου Σενάριο 10 ο Πίνακας 29: Progress Window 10 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) i J t Capacity Shifted F-6 F F-6 F F-7 F F-7 F F-8 F F-8 F F-9 F F-9 F F-10 F F-10 F F-11 F F-11 F F-11 F F-12 F

93 F-12 F F-13 F F-13 F F-14 F F-14 F F-15 F F-15 F Σύνολο 480 Πίνακας 30: Μεταφορά Δυναμικότητας 10ου Σεναρίου Operated Facility(sl,t) Sl t Operated Facility F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

94 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Σύνολο 12 Πίνακας 31: Λειτουργία Εγκαταστάσεων 10ου Σεναρίου 94

95 Σενάριο 11 ο Πίνακας 32: Progress Window 11 ου Σεναρίου Capacity Shifted(i,j,t) I J t Capacity Shifted F-6 F F-6 F F-7 F F-7 F F-8 F F-8 F F-9 F F-9 F F-10 F F-10 F F-11 F F-11 F F-11 F F-12 F F-12 F F-13 F