Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Α ΛΥΚΕΙΟΥ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια εωµετρία Το αντικείµενο της Ευκλείδειας εωµετρίας Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της εωµετρίας...12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες Το επίπεδο Η ευθεία Η ηµιευθεία Το ευθύγραµµο τµήµα Μετατοπίσεις στο επίπεδο Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο Ηµιεπίπεδα Η γωνία Σύγκριση γωνιών Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία Πράξεις µεταξύ γωνιών Απλές σχέσεις γωνιών Έννοια και στοιχεία του κύκλου Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου Μέτρο τόξου και γωνίας Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου...35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα Στοιχεία και είδη τριγώνων ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων Κύκλος - Μεσοκάθετος - ιχοτόµος Κεντρική συµµετρία Αξονική συµµετρία Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας...59

3 3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών Τριγωνική ανισότητα Κάθετες και πλάγιες Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου Εφαπτόµενα τµήµατα Σχετικές θέσεις δυο κύκλων Απλές γεωµετρικές κατασκευές Βασικές κατασκευές τριγώνων...75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες Εισαγωγή Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα Κατασκευή παράλληλης ευθείας ωνίες µε πλευρές παράλληλες Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου Άθροισµα γωνιών τριγώνου ωνίες µε πλευρές κάθετες Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου...90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια Εισαγωγή Παραλληλόγραµµα Ορθογώνιο Ρόµβος Τετράγωνο Εφαρµογές στα τρίγωνα Βαρύκεντρο τριγώνου Το ορθόκεντρο τριγώνου Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου Τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εισαγωγικά - Ορισµοί Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης ωνία χορδής και εφαπτοµένης Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία Το εγγεγραµένο τετράπλευρο Το εγγράψιµο τετράπλευρο εωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων...140

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες Εισαγωγή ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη ινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο Θεώρηµα του Θαλή Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου Απολλώνιος Κύκλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα Κριτήρια οµοιότητας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις Ορθές προβολές Το Πυθαγόρειο θεώρηµα εωµετρικές κατασκευές ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος Θεωρήµατα ιαµέσων Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Τέµνουσες κύκλου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά Πολυγωνικά χωρία Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου Ορισµός κανονικού πολυγώνου Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα Μήκος τόξου Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος Τετραγωνισµός κύκλου...246

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο Εισαγωγή Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή ωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες Απόσταση σηµείου από επίπεδο - Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο - ωνία ευθείας και επιπέδου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα Περί πολυέδρων Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος Παραλληλεπίπεδο - κύβος Μέτρηση πρίσµατος Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο Μέτρηση πυραµίδας Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας Στερεά εκ περιστροφής Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου Μέτρηση κυλίνδρου Ορισµός και στοιχεία κώνου Μέτρηση του κώνου Κόλουρος κώνος Ορισµός και στοιχεία σφαίρας Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα Μέτρηση σφαίρας Κανονικά πολύεδρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ ΒΙΒΛΙΟΡΑΦΙΑ

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 TΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι η εμπέδωση και η συστηματική μελέτη των πρωταρχικών εννοιών: σημείο, ευθεία, επίπεδο καθώς και των βασικών γεωμετρικών σχημάτων: ευθύγραμμο τμήμα, γωνία, κύκλος, επίπεδο ευθύγραμμο σχήμα. Όπως είδαμε, οι πρωταρχικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο δίνονται χωρίς ορισμό και με βάση αυτές ορίζονται τα βασικά γεωμετρικά σχήματα, τα οποία θα μελετήσουμε στη συνέχεια. ndrea Mantegna (Ιταλός, περίπου ). Οροφή από την "Camera degli Sposi" (ωμάτιο των Συζύγων), τοιχογραφία από το ουκικό Παλάτι, στη Μάντοβα της Ιταλίας. 15

7 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3. Τ Ρ Ι Ω Ν Α Μ μ α Σχήµα 8 Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και συμβολίζονται αντίστοιχα με υ α, υ β και υ γ. Στο σχ.10 το Α είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία Β ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία Β. δ α Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του. υ α Σχήµα 9 (α) υ α (β) Σχήµα 10 Κριτήρια ισότητας τριγώνων Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρίγωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. Συνεπώς: ύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους. Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΠΠ σημαίνει πλευρά, γωνία, πλευρά ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο ΠΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ʹ ʹ ʹ Σχήµα 11 Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹʹ έχουν ΑΒ = ΑʹΒʹ, Α = Αʹʹ και = ʹ (σχ.11). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑʹΒʹʹ, ώστε το σημείο Αʹ να ταυτιστεί με το Α και η ημιευθεία ΑʹΒʹ να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή = ʹ και η ημιευθεία Αʹʹ θα ταυτισθεί με την Α. Τότε, αφού ΑΒ = ΑʹΒʹ και Α = Αʹʹ, το σημείο Βʹ ταυτίζεται με το Β και το ʹ με το. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα. 41

8 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία Π σημαίνει γωνία, πλευρά, γωνία ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Με τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. ΘΕΩΡΗΜΑ (2ο Κριτήριο Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ʹ Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹʹ (σχ.16) έχουν Β = Βʹʹ, = ʹ και = ʹ. ʹ ʹ Σχήµα 16 Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε υπάρχει σημείο στην ΑΒ, ώστε να είναι Β = ΒʹΑʹ. Τα τρίγωνα Β και ΑʹΒʹʹ έχουν Β = Βʹʹ, Β = ΒʹΑʹ και = ʹ, επομένως (ΠΠ) είναι ίσα, οπότε Β = ʹ. Αλλά ʹ =, οπότε Β = που είναι άτοπο, γιατί το είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας Α Β και επομένως Β <. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ΑʹΒʹ, άρα ΑΒ =ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα, λοιπόν, ΑΒ και ΑʹΒʹʹ έχουν Β = Βʹʹ, ΑΒ = ΑʹΒʹ και = ʹ, άρα (ΠΠ) είναι ίσα. * Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 41). ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΠΠΠ σημαίνει πλευρά, πλευρά, πλευρά ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Η ισότητα δύο τριγώνων εξασφαλίζεται και από την ισότητα των τριών πλευρών τους, μία προς μία, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ (3o Κριτήριο ΠΠΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 1 2 ʹ x Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ, Β = Βʹʹ, Α = ʹΑʹ (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι = ʹ. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. ʹ ʹ Σχήµα 17 Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε x = ʹ (σχ.17) και σημείο της, ώστε Β = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα Β και ΑʹΒʹʹ είναι ίσα, γιατί έχουν Β = Βʹʹ, Β = ΑʹΒʹ και = ʹ. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι = ʹΑʹ και = ʹ. 44

9 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3. Τ Ρ Ι Ω Ν Α xʹ Μ 1 1 x 2 Κ 2 Λ y Σχήµα 23 ʹ 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελετήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της. ΘΕΩΡΗΜΑ Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. Έστω ευθεία xʹx, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο Μ της xʹx (σχ.23). Αν η ΑΜ είναι κάθετη στην xʹx, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η ΑΜ δεν είναι κάθετη στην xʹx. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η xʹx και δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία Μy, ώστε να είναι xm y = M x και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε ΜΑ = ΜΒ. Επειδή τα σημεία Α, Β είναι εκατέρωθεν της xʹx, η xʹx τέμνει την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. Αφού ΜΑ = ΜΒ και M 1 = M 2, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο ΜΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ xʹx. Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία ΑΛ κάθετη στην xʹx. Τότε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΒΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, ΜΑ = ΜΒ και M 1 = M 2, οπότε θα είναι και Λ 1 = Λ 2. Όμως Λ 1 = 90, άρα και Λ 2 = 90, οπότε Λ 1 + Λ 2 = 180 το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α, Λ, Β είναι συνευθειακά, δηλαδή η ΑΛ ταυτίζεται με την ΑΚ, που είναι άτοπο. ʹ ʹ Σχήµα 24 ʹ ʹ ʹ Σχήµα Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το 1ο (ΠΠ) και 2ο (Π) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι: ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.24) ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.25) Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και από τα επόμενα θεωρήματα. 49

10 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ʹ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ʹ ʹ Σχήµα 26 Έστω δύο τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹʹ με = ʹ = 90, Β = Βʹʹ και = ʹ (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο, ώστε Β = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα Β και ΑʹΒʹʹ έχουν Β = Βʹʹ, Β = ΑʹΒʹ και = ʹ, επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι = ʹ = 90, δηλαδή ΑΒ. Έτσι έχουμε Α ΑΒ και ΑΒ που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ΑʹΒʹ. Άρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹʹ είναι ίσα, γιατί έχουν Β = Βʹʹ, ΒΑ = ΒʹΑʹ και = ʹ (ΠΠ). ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ʹ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ʹ ʹ ʹ Σχήµα 27 Έστω δύο τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹʹ (σχ.27) με = ʹ = 90, Β = Βʹʹ και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Θα αποδείξουμε ότι και = ʹ. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΒʹΑʹ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία και ʹ, ώστε να είναι Α = ΑΒ και Αʹʹ = ΑʹΒʹ. Τότε η Α είναι μεσοκάθετος του Β και η ʹΑʹ μεσοκάθετος του ʹΒʹ. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι = Β και ʹʹ = ʹΒʹ. Από τις τελευταίες ισότητες και την Β = Βʹʹ προκύπτει ότι = ʹʹ. Έτσι τα τρίγωνα Β και ʹʹΒʹ έχουν = ʹʹ, Β = Βʹʹ και Β = ʹΒʹ (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και ΑʹΒʹ), επομένως είναι ίσα, οπότε = ʹ. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΠ). ΠΟΡΙΣΜΑ Ι Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. 50

11 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΣΧΟΛΙΟ Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί τα εξής στάδια: Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή πάνω στην οποία βρίσκεται. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προτάσεις. i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι... ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι... Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών Α των τριγώνων ΑΒ, που έχουν σταθερή την πλευρά Β = α και τη διάμεσο ΑΜ με γνωστό μήκος. 2. ίνεται κύκλος (Ο, R). Αν Ν τυχαίο σημείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέκταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν δια γράφει τον κύκλο. Συµµετρικά σχήµατα Ο ʹ 3.8 Κεντρική συµµετρία Σχήµα 37 Στην 2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμετρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37). Σ 180 ο Ο Ο 180 ο ʹ Σʹ Σχήµα 38 ʹ Σχήµα 39 ενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σʹ. ηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. v στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180 ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό. 56

12 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3. Τ Ρ Ι Ω Ν Α α β γ x ʹ ʹ Ο Ο x Ο ʹ Σχήµα 40 Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα: Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.40α). Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.40β). Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ). ΕΦΑΡΜΟΗ Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φορέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό. Απόδειξη Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει Ο στην ευθεία ΑΒ και Αʹ, Βʹ τα συμμετρικά των Α, Β ως 2 προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑʹ = ΟΑ, Oʹ = O και ʹ Μʹ ʹ ΑʹO Βʹ =ΑO Β, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑʹΟΒʹ είναι ίσα, οπότε ΑʹΒʹ = ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ Σχήµα 41 και ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μʹ η τομή της ΜΟ με το ΑʹΒʹ. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι = ʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΑʹΟΜʹ είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑʹ = ΟΑ, = ʹ και O 1 = O 2. Επομένως ΟΜʹ = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μʹ είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μʹ του ΑʹΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. 1 Μ 3.9 Αξονική συµµετρία ε Στην 2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμετρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42). Σ ʹ ε Σχήµα 42 Σʹ ʹ Σχήµα 43 ενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ (σχ.43) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντίστροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σʹ. ηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, 57

13 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3. Τ Ρ Ι Ω Ν Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων: Α, Β,, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ. 2. ίνεται τρίγωνο ΑΒ και σημείο Ο. Αν Αʹ, Βʹ, ʹ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒ, ΑʹΒʹʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα. 3. Αν xʹ ʹyʹ είναι η συμμετρική της γωνίας x y, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα σημείο Ο, εξωτερικό της x y, τότε να αποδειχθεί ότι xʹ ʹyʹ = x y. 4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τριγώνου ΑΒ ως προς την ευθεία Β είναι τρίγωνο ίσο με το ΑΒ. 5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της. 6. Έστω ε, εʹ δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μʹ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μʹʹ το συμμετρικό του Μʹ ως προς εʹ, τότε να αποδείξετε ότι: i) ΟΜ = ΟΜʹʹ, ii) τα σημεία Μ, Ο, Μʹʹ είναι συνευθειακά. Ανισοτικές σχέσεις Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τριγωνική ανισότητα Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. x 2 1 Ε Σχήµα 47 Έστω τρίγωνο ΑΒ. Φέρουμε τη διάμεσο Β (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε Ε = Β. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας x έχουμε Ε < x = εξ. Όμως τα τρίγωνα Β και ΕΑ είναι ίσα γιατί έχουν: Β = Ε, Α = και 1 = 2, οπότε = Ε. Από την τελευταία ισότητα και την Ε < εξ προκύπτει ότι εξ >. Όμοια αποδεικνύεται ότι και εξ >. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των

14 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). ι αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α, κατά τμήμα Α = Α. Τότε το τρίγωνο Α είναι ισοσκελές και η Α εσωτερική ημιευθεία της Β, οπότε έχουμε αντίστοιχα = 1 και 1 < Β. Από τις σχέσεις αυτές προω 1 ΣΧΟΛΙΟ ω 1 Σχήµα 48 Το διπλανό πόρισμα (ii) είναι το αντίστροφο του πορίσματος I της 3.2. Τα δύο αυτά πορίσματα συνοψίζονται στο εξής: ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες. Έστω τρίγωνο ΑΒ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο της Α, ώστε Α = ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές με βάση Β και επομένως 1 = 1 = ω. Επειδή η Β είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας, είναι > 1, ενώ η 1, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου Β είναι μεγαλύτερη από τη, δηλαδή 1 >. Έτσι έχουμε > ω και ω >, επομένως >. Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒ με >. Τότε θα είναι και β > γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β < γ θα είχαμε = ή < αντίστοιχα, που είναι άτοπο. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές. iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. β β γ 1 α Σχήµα Τριγωνική ανισότητα νωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. 60

15 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3. Τ Ρ Ι Ω Ν Α ΘΕΩΡΗΜΑ I Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα. Κ Σχήµα 55 Έστω ΑΒ και Α δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κάθετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = Κ. Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = Κ. Στο τρίγωνο ΑΒ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή 3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΒ = Α. ΣΧΟΛΙΟ Την ιδιότητα (i) του Θεωρήματος II, που έχει το κάθετο τμήμα συνήθως εκφράζουμε και ως: η απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία ε είναι μικρότερη από την απόσταση του Α από τυχόν σημείο της ευθείας. ΘΕΩΡΗΜΑ II Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. (ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία K είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ. ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, Α, όπου Β, σημεία της ε (σχ.57). Κ Σχήµα 56 Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ. Ας υποθέσουμε ότι Κ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι Α > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ,, η Α είναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως Α > K = 1, δηλαδή η Α είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒ η πλευρά Α βρίσκεται απέναντι από την Α, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή Α > ΑΒ. ε Κ Σχήµα 57 Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι Α > ΑΒ. Αν ήταν Κ = ΚΒ, τότε θα είχαμε Α = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν Κ < ΚΒ, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι Α < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως Κ > ΚΒ. 65

16 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3. Τ Ρ Ι Ω Ν Α ε ΣΧΟΛΙΟ ζ Ο ξ Σχήµα 59 Από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι τρία οποιαδήποτε σημεία ενός κύκλου δεν είναι συνευθειακά. Στην 4.5 θα δούμε ότι από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος, που είναι και μοναδικός. κλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι: Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική. Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα σημείο Μ, ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοινό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αxʹ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Βʹ. Επομένως, η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία τομής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο. Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε: Αν δ > R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. Αν δ = R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο. Αν δ < R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ I Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, τα Α, Β, (σχ. 59). Επειδή ΟΑ = ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = Ο (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, Β αντίστοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε, τις ξ, ζ, που είναι άτοπο. 67

17 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4. Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ ω φ ε ε 1 ε 2 η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. ( 3.10) Άρα ε 1 //ε 2. Σχήµα 3 ΠΟΡΙΣΜΑ Ι Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ ύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. (α) (β) ω φ ε 1 ε 2 ε ε Σχήµα 4 Πράγματι οι γωνίες ω και φ (σχ.4α) είναι ορθές, οπότε ω = φ. Άρα ε 1 //ε 2. Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής (σχ.4β). Φέρουμε την ΑΒ ε και ονομάζουμε εʹ την ευθεία που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α. Τότε εʹ//ε (αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ΑΒ). Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία εʹ που διέρχεται από ένα σημείο Α που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. εχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή: Αίτηµα παραλληλίας Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή. ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5 ο αίτημα των Στοιχείων του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα). Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της εωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας εωμετρίας. (βλ. Ιστορικό σημείωμα, σελ. 96) 81

18 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ιδιότητες παράλληλων ευθειών Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι παρακάτω προτάσεις. ΠΡΟΤΑΣΗ Ι Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. x ω φ ε ε 1 ε 2 Σχήµα 5 Έστω ότι ε 1 //ε 2 και ε μια τέμνουσα (σχ.5). Θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε οι γωνίες x και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε 2 γιατί τεμνόμενες από την ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε 2, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. ΠΟΡΙΣΜΑ Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ ε 1 Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες, δηλαδή αν ε 1 //ε και ε 2 //ε, τότε ε 1 //ε 2. ε 2 ε Σχήµα 6 Αν οι ε 1 και ε 2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε 1 //ε 2. ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙΙ ε ε 1 Αν δύο ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. ε 2 Σχήµα 7 Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε 1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε την ε 2, θα ήταν ε//ε 2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε 2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε 2. 82

19 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4. Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ ΠΟΡΙΣΜΑ Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. Κ ε ε 1 1 φ ω ε 2 Σχήµα 8 ΠΡΟΤΑΣΗ ΙV Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. Έστω ότι η ε τέμνει τις ε 1, ε 2 στα Α και Β (σχ.8) αντίστοιχα και ότι φ + ω 2. Τότε οι ε 1 και ε 2 δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω 2 (Πόρισμα σελ. 82). Έστω ότι οι ε 1 και ε 2 τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου ΑΚΒ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία 1, δηλαδή ω > 1 = 2 φ ή ω + φ > 2, που είναι άτοπο. Άρα οι ε 1, ε 2 τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. ΣΧΟΛΙΟ Η πρόταση IV αποτελεί βασικό κριτήριο με το οποίο εξετάζουμε αν δύο ευθείες τέμνονται. ΠΟΡΙΣΜΑ Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. (βλέπε Πρόβλημα 2) 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας φ φ ε ε Σχήµα 9 Είδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία εʹ, η οποία διέρχεται από ένα σημείο Α και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. ια την κατασκευή της εʹ φέρουμε από το Α ένα πλάγιο τμήμα ΑΒ προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ ( 2.6) ώστε να έχει κορυφή το Α, η μια πλευρά της να είναι η ΑΒ και η άλλη πλευρά της Α να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. Επειδή Β = φ έχουμε Α//ε, αφού τεμνόμενες από την ΑΒ, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία Α είναι η ζητούμενη ευθεία εʹ. 83

20 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ζ Λ Ν Ι Θ Ε Σχήµα 16 Έστω τρίγωνο ΑΒ και οι διχοτόμοι ΒΕ και Ζ των γωνιών του και αντίστοιχα. Οι ΒΕ και Ζ τέμνονται σε σημείο I αφού Ε + Ζ Β = < + < 2. ( Πρόταση IV) Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΒΑ και Β, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ. Ανάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της, δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. Επομένως το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και Α και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή απόσταση του Ι από τις πλευρές του ΑΒ, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ΕΦΑΡΜΟΗ Οι παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ι α, Ι β, Ι γ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β). Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Απόδειξη Ι β Ι γ y Ια x Ι α α β Σχήµα 17 86

21 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4. Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ii) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60 ο. i) Έχουμε + + = 2 και εξ + = 2, οπότε εξ x Σχήµα 19 ii) iv) Προφανή. + + = εξ + ή εξ = ωνίες µε πλευρές κάθετες z Ο θ y ω 1 y 2 x x ΘΕΩΡΗΜΑ υο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. φ θ Ο z Σχήµα 20 Έστω οι γωνίες xo y = ω και xʹo ʹyʹ= φ με Οx Oʹxʹ και Oy Oʹyʹ. Τα τρίγωνα ΟΑ και ΟʹΒ έχουν = = 1 και 1 = 2 (κατακορυφήν). Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) ύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ii) ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. i) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2, θʹ + φ = 2, οπότε θ = θʹ, αφού ω = φ. ii) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2, οπότε θ + φ = 2, αφού ω = φ. 89

22 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ε Α1 Α2 Α3 Α1 Αν Α2 5 4 Ο ν-1 ν Ο Α4 Αν Αν-1 Α3 Σχήµα 21 Α4 Α5 Σχήµα 22 Α5 Αν-1 Σχήµα Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου Ας θεωρήσουμε κυρτό πεντάγωνο ΑΒΕ και Ο τυχαίο εσωτερικό σημείο του. Αν ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του πενταγώνου, σχηματίζονται πέντε τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Έτσι το άθροισμα των γωνιών και των πέντε τριγώνων είναι (2 5) ορθές. Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών O 1 + O 2 + O 3 + O 4 + O 5 = 4 ορθές, θα μείνει το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου, δηλαδή: E = (2 5 4) ορθές. Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι 2ν ορθές. Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών O 1 +O 2 +O O ν = 4 ορθές έχουμε: ν = (2ν 4) ορθές. Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι πρέπει: Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι 2ν 4 ορθές. Άλλη απόδειξη. Ας θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο Α 1 Α 2... Α ν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την Α 1, όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν 2 τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των Α 1 Α 2 και Α 1 Α ν που διέρχονται από την κορυφή Α 1, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. Επειδή το άθροισμα των γωνιών των ν 2 τριγώνων είναι 2(ν 2) = (2ν 4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι: Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 2ν 4 ορθές. ΠΟΡΙΣΜΑ Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. Α2 Α3 Α1 Αν Α4 Σχήµα 24 1εξ + 1 = 2 Έχουμε 2εξ + 2 = =... προσθέτουμε κατά μέλη οπότε: νεξ + ν = 2 ( 1εξ + 2εξ νεξ ) + ( ν ) = 2ν ή ( 1εξ + 2εξ νεξ ) + (2ν 4) = 2v ή 1εξ + 2εξ νεξ = 4. 90

23 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ε Ζ Προεκτείνουμε τη Ε κατά τμήμα EZ = Ε. Το τετράπλευρο ΑΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα Α = // Ζ, οπότε Β = // Ζ, αφού Α = Β. Έτσι το τετράπλευρο ΖΒ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε: Σχήµα 20 (i) Ζ // Β άρα Ε // Β και (ii) Ζ = Β ή 2Ε = Β ή Ε = Β 2. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Ε Ζ Σχήµα 21 Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒ και ας φέρουμε από το μέσο της ΑΒ την παράλληλη προς την Β που τέμνει την Α στο Ε (σχ.21). Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της Α. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της Α. Αν Z είναι το μέσο της Α, το τμήμα Ζ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και Α, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα Ζ // Β. Έτσι, όμως, έχουμε από το δύο παράλληλες προς τη Β, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. δ 1 δ 2 Η Κ Ε Ζ ε 1 ε 2 ε 3 Σχήµα 22 Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε 1, ε 2, ε 3 οι οποίες τέμνουν την δ 1 στα σημεία Α, Β, και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, Β (σχ.22). Αν μια άλλη ευθεία δ 2 τέμνει τις ε 1, ε 2, ε 3 στα σημεία, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι Ε = ΕΖ. Φέρουμε ΑΚ // Ζ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΕΗ και ΕΖΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = Ε (1) και ΗΚ = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο ΑΚ το Β είναι το μέσο της Α και ΒΗ // Κ. Άρα το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή ΑΗ = ΗΚ (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι Ε = ΕΖ. Η µεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε 1 και ε 2 και ένα τμήμα ΑΒ = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις 110

24 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου ΘΕΩΡΗΜΑ Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. Ζ Θ Ε Έστω τρίγωνο ΑΒ. Φέρουμε τις δύο διαμέσους ΒΕ και Ζ. Επειδή < + < 2, οι δύο διάμεσοι τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο Θ του τριγώνου. Αν η ΑΘ τέμνει τη Β στο, θα αποδείξουμε ότι i) η Α είναι η τρίτη διάμεσος 1 1 Κ Σχήµα 26 του τριγώνου, δηλαδή Β = και ii) ΑΘ = 2 3 Α. i) Στην ημιευθεία Θ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = ΑΘ. Παρατηρούμε ότι τα σημεία Ε και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΚ, οπότε ΕΘ = // Κ 2 (1). Όμοια από το τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε ΖΘ = // ΒΚ 2 (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΕ // Κ και Ζ // ΒΚ, δηλαδή το ΒΘΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, οπότε Β =. Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του ΑΒ, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. ii) Από το παραλληλόγραμμο ΒΘΚ έχουμε ακόμη Θ = Κ = ΘΚ 2, άρα Θ = ΑΘ 2 Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι ή ΑΘ = 2Θ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην παραπάνω πρόταση θεωρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων ΒΕ και Ζ και αποδείξαμε ότι η ΑΘ αν προεκταθεί είναι η τρίτη διάμεσος Α. Αυτός ο τρόπος αποτελεί μια βασική μέθοδο για να αποδεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν σε κάποιο σημείο. ΕΘ = Κ 2 = ΒΘ ή ΒΘ = 2ΘΕ. 2 Όμοια από τις (2) και (3) έχουμε Θ = 2ΘΖ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Επίσης έχουμε ότι Α = ΑΘ + Θ = 2Θ + Θ = 3Θ. Άρα Θ = 1 3 Α, οπότε ΑΘ = 2 3 Α. Όμοια προκύπτει ότι ΒΘ = 2 3 ΒΕ και Θ = 2 3 Ζ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒ από κάθε κορυφή του ισούται με τα 2 του μήκους της αντίστοιχης 3 διαμέσου. 112

25 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5. Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου Λήµµα Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. Κ Κ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορθόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Ζ Ζ Η Η Μ Μ Ε Λ Σχήµα 27 Σχήµα 28 Ε Λ Σχήµα 29 Από τις κορυφές Α, Β, τριγώνου ΑΒ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ (σχ.27). Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΚΑΒ, ΛΑΒ και ΜΒΑ έχουμε: ΚΑ = Β = ΑΛ, Λ = ΑΒ = Μ και ΚΒ = Α = ΒΜ. Επομένως τα σημεία Α, Β, είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ. ΘΕΩΡΗΜΑ Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Έστω τρίγωνο ΑΒ και τα ύψη του Α, ΒΕ και Ζ. Από τις κορυφές του Α, Β, φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές (σχ.28). Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία Α, Β, είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείες Α, ΒΕ και Ζ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις Β, Α και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. ηλαδή οι ευθείες Α, ΒΕ και Ζ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒ. ΠΟΡΙΣΜΑ Οι κορυφές Α, Β,, τριγώνου ΑΒ και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. Πράγματι οι κορυφές π.χ. Β, και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒ ορίζουν το τρίγωνο ΒΗ. Τα ύψη Η, ΒΖ και Ε του τριγώνου ΒΗ τέμνονται στο Α, οπότε το Α είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΗ. 113

26 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5. Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α ΣΧΟΛΙΟ ια να αποδείξουμε ότι υπάρχουν κάποια από τα αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου (βαρύκεντρο, ορθόκεντρο κτλ.) καθώς και τις βασικές τους ιδιότητες χρησιμοποιήσαμε τη θεωρία των παραλληλογράμμων που στηρίζεται στο αίτημα παραλληλίας ( 4.2) Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου Είδαμε προηγούμενα ( 4.5 και ) ότι σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών. Ανακεφαλαιώνοντας, σε ένα τρίγωνο ΑΒ αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του ΑΒ και ο κύκλος (Ο, ΟΑ) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του ΑΒ και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του ΑΒ. Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθόκεντρο του ΑΒ. ΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒ (β γ) με = 60, τα ύψη του Β, Ε και τα μέσα Μ, Ν των ΑΒ, Α αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = Ν. 2. ίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε 1, ε 2 και σημείο Α της ε 1. Φέρουμε ΑΚ ε 2. Αν Β σημείο της ε 2 και μια ευθεία, που διέρχεται από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε 1 στα και Ε αντίστοιχα, ώστε Ε = 2ΑΒ, να αποδείξετε ότι Α Κ = 3Ε Κ. 3. ίνεται τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ < Α, το μέσο της ΑΒ και σημείο Ε της ημιευθείας Β, ώστε Ε = Α. Από τα Β και Ε φέρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας 2, οι οποίες τέμνουν την Α στα Βʹ και Εʹ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Α ΑΒ i) ΒʹΕʹ =. 2 ii) Η ευθεία ΕΕʹ διέρχεται από το μέσο της Β. 4. ίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒ με ΑΒ = 2Β, > 60 και το ύψος του ΑΕ προς τη Β (ΑΕ Β). Αν Ζ, Η είναι τα μέσα των και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) το ΗΒΖ είναι ρόμβος, ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗE, iii) το ΗΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο, iv) Z Ε = 3ΖE. 5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου ΑΒ προς το ίδιο μέρος της. Αν Αʹ, Βʹ, ʹ, Κʹ οι προβολές των Α, Β, και του βαρυκέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδείξετε ότι ΑΑʹ + ΒΒʹ + ʹ = 3ΚΚʹ. 6. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) και το μέσο της Β. Φέρουμε Ε Α. Αν Ζ το μέσο του Ε, να αποδείξετε ότι: i) Ζ//ΒΕ, ii) H E, όπου Η το μέσο του Ε. 7. ίνεται τρίγωνο ΑΒ και Μ το μέσο της Β. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα ΑΒΕ και ΑΖΗ. Αν 121

27 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Εγγεγραµµένη γωνία x x y Σχήµα 1 x y Σχήµα Εισαγωγικά - Ορισµοί ίνεται μία κυρτή γωνία x y και ένας κύκλος (Ο, R). Οι σχετικές θέσεις τους καθορίζονται από τη θέση της κορυφής της και των πλευρών της: i) Αν η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου (σχ.1), τότε η γωνία λέγεται επίκεντρη, όπως είδαμε στη ii) Αν η κορυφή (σχ.2) είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουσες του κύκλου, τότε η γωνία λέγεται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου. Το τόξο που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της ή διαφορετικά λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει στο τόξο. iii) Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου, η μία της πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου (σχ.3), τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης. y 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης Σχήµα 3 Η σχέση μίας εγγεγραμμένης και μίας επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Ο ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. (α) (β) (γ) Ο Ο Σχήµα 4 Έστω κύκλος (O, R) και ένα τόξο του. Ας θεωρήσουμε την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ΑO Β και σημείο του κύκλου που δεν ανήκει στο τόξο. Τότε θα αποδείξουμε ότι ΑO Β = 2Α Β. i) Ας μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση όπου το κέντρο Ο του κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας Α Β (σχ.4α). Έστω ʹ το αντιδιαμετρικό σημείο του. Το τρίγωνο ΑΟ είναι ισοσκελές, επομένως Ο = Ο Α. Η ʹO Α είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΟ, επομένως ʹO Α = 2Ο Α και όμοια έχουμε ότι ʹO Β = 2Ο Β. 128

28 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6. Ε Ε Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α ΣΧΟΛΙΟ Από το πόρισμα (iii) συμπεραίνουμε εύκολα ότι τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παράλληλων χορδών είναι ίσα (σχ.5) και αντίστροφα. Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες έχουμε ότι O Β = 2Α Β. ii) Ας εξετάσουμε κατόπιν την περίπτωση όπου το O ανήκει σε μία πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας Α Β (σχ.4β). Η επίκεντρη γωνία ΑO Β είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ΟΒ, οπότε ΑO Β = 2Α Β. iii) Όμοια με τις προηγούμενες περιπτώσεις (σχ.4γ). Σχήµα 5 ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. ii) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. iii) Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα. 6.3 ωνία χορδής και εφαπτοµένης Η σχέση μίας γωνίας χορδής και εφαπτομένης με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. x x Μ Ο y Σχήµα 6 Έστω ότι η γωνία χορδής και εφαπτομένης x y είναι οξεία (σχ.6) και Α Β μια τυχαία εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής ΑΒ. νωρίζουμε ότι Α Β = ΑO Β. Φέρουμε το απόστημα ΟΜ, οπότε ΑO Μ = 2 ΜO Β = ΑO Β = Α Β. Αλλά x y = ΑO Μ ως οξείες γωνίες 2 με κάθετες πλευρές. Επομένως x y = Α Β. Αν η γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι αμβλεία, η απόδειξη είναι ανάλογη. 129

29 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6. Ε Ε Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α Ε Σχήµα 19 Σχήµα 20 x Σχήµα 21 i) Έστω + = 2. Φέρουμε τον κύκλο που ορίζουν τα σημεία Α, Β, και τη χορδή του Β. Τα σημεία Α, βρίσκονται εκατέρωθεν της Β, οπότε κάθε εγγεγραμμένη γωνία στο τόξο Α ισούται με τη, ενώ κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ΒE (σχ.19) ισούται με την παραπληρωματική της, δηλαδή την. Επομένως το είναι σημείο του ΒE και ομοκυκλικό με τα Α, Β,. ii) Έστω τετράπλευρο ΑΒ τέτοιο ώστε = = φ. Τότε τα Α, Β ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου από τα οποία το τμήμα φαίνεται υπό ορισμένη γωνία φ. Ο γεωμετρικός αυτός τόπος είναι (βλ. 6.4) δύο συμμετρικά τόξα ως προς το. Τα Α, Β όμως βρίσκονται στο ίδιο μέρος της, συνεπώς ανήκουν στο ίδιο τόξο, επομένως τα σημεία Α, Β,, είναι ομοκυκλικά. iii) Έστω ότι x Β = (σχ. 21), τότε + = 2, επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί έχει δύο απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές, λόγω του κριτηρίου i). ΕΦΑΡΜΟΗ 1η ΠΕΡΙΕΡΑΜΜΕΝΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΡΑΨΙΜΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ Ένα τετράπλευρο, του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο, λέγεται περιγεγραμμένο στον κύκλο αυτό, ενώ ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος στο τετράπλευρο αυτό. (Α) Να αποδειχθούν οι ιδιότητες ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου ΑΒ: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. (Β) Να αποδείξετε ότι για να είναι ένα τετράπλευρο περιγράψιμο σε κύκλο αρκεί να ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του Ε λ κ λ είναι ίσα. κ Ζ Θ Ο Απόδειξη (Α) Απλή (βλ. σχ.22). ν ν Η μ μ Σχήµα

30 Ε Υ Κ Λ Ε Ι Ε Ι Α Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Να εξετασθεί η ύπαρξη κύκλου που διέρχεται από: i) δύο δοσμένα σημεία, ii) τρία δοσμένα σημεία, iii) τέσσερα δοσμένα σημεία, και η μοναδικότητά του σε καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις. 6.7 εωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων Σε προηγούμενα κεφάλαια συναντήσαμε ορισμένους βασικούς γεωμετρικούς τόπους, όπως ο κύκλος, η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος, η διχοτόμος μίας γωνίας, η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών και τέλος το τόξο γνωστής χορδής ΑΒ, τα σημεία του οποίου βλέπουν το τμήμα ΑΒ υπό δοσμένη γωνία φ. Οι γεωμετρικοί αυτοί τόποι μας είναι χρήσιμοι στη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών. Ας δούμε ένα παράδειγμα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒ που έχει Β = α, ύψος Α = υ και γωνία = ω, όπου α, υ γνωστά τμήματα και ω γνωστή γωνία. Λύση Ανάλυση. Έστω ΑΒ το ζητούμενο τρίγωνο (σχ.27) που έχει Β = α, ύψος Α = υ και γωνία = ω. Επειδή = ω η κορυφή Α βλέπει γνωστό τμήμα Β υπό γνωστή γωνία, άρα είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ 1 που αποτελείται από τα τόξα τ και τʹ, που γράφονται με χορδή τη Β εκατέρωθεν αυτής και δέχονται το καθένα γωνία ω. Επίσης, αφού το Α απέχει από τη Β γνωστή απόσταση υ, είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ 2 που αποτελείται από δύο ευθείες παράλληλες προς τη Β και εκατέρωθεν αυτής σε απόσταση υ. Άρα η κορυφή Α είναι η τομή των γεωμετρικών τόπων Τ 1 και Τ 2. υ Ζ Ε Η Ο Ο 1 1 ε Σχήµα 27 τ τ ε υ υ Σύνθεση. Με χορδή τμήμα Β = α γράφουμε τα τόξα τ και τʹ, που δέχονται γωνία ω. Στη συνέχεια σε απόσταση ΖΗ = υ από τη Β και εκατέρωθεν αυτής φέρουμε ευθείες ε, εʹ//β που τέμνουν τα τόξα τ και τʹ. Αν Α είναι ένα από τα σημεία τομής των Τ 1, Τ 2, το τρίγωνο ΑΒ είναι το ζητούμενο. 140

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου

Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. ** Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα