ΜΜΦ Ι 1/ Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ. (Μάθηµα επιλογής) Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. + b n sin nπx. a n cos nπx.

Transcript

1 ΜΜΦ Ι /6--9 Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ (Μάθηµα επιλογής. ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. Ειδικές συναρτήσεις 3. Λογισµός µεταβολών Συνάρτηση δέλτα Οµογενές σχοινί έχει γραµµική πυκνότητα ρ(. Η µάζα του είναι M ρ(d M Στο σηµείο προσθέτουµε τη σηµειακή µά- Ϲα m. m Η γραµµική πυκνότητα του σχοινιού είναι όπου και η µάζα του είναι ρ( ρ( + mδ( δ( για f( a + a n cos nπ n + b n sin nπ a, a n, b n είναι οι συντελεστές Fourier της f(. Παρατηρούµε την προφανή οµοιότητα (!!! της σειράς Fourier της f( µε την παράσταση του διανύσµατος r ως προς το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων µε µοναδιαία διανύσµατα,, z : r + + z z. Μετασχηµατισµοί Fourier: f( : (,, f( d υπάρχει, τότε f( F (k F (k e ik dk f( e ik d F (k Μετασχηµατισµός Fourier της f(. Μιγαδικές Συναρτήσεις. Μιγαδικοί Αριθµοί (Μ.Α. - Μιγαδικές Συναρτήσεις (Μ.Σ.. Παραγώγιση Μ.Σ. - Αναλυτικές Συναρτήσεις (Α.Σ. 3. Ολοκλήρωση Μ.Σ. - Θεωρήµατα auch 4. υναµοσειρές Μ.Σ. - Σειρές Talor και σει- ϱές aurent 5. Λογισµός Υπολοίπων και υπολογισµός ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων 6. Γεωµετρική παράσταση των Μ.Σ. ηλαδή ρ(d ρ(d +m δ( d }{{} } {{ } M m + M { δ( Σειρές Fourier: f( ϕραγµένη : (,, f( περιοδική : f( f( +, τότε Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. Σηµείωση. Στο κεφάλαιο αυτό που ϑεωρείται γνωστό από το Λύκειο ϑα γίνει µια σύντοµη ανασκόπηση των Μ.Α. Είναι καλό να διαβαστεί πάλι το ϐιβλίο του Λυκείου. Η εξίσωση α έχει λύση για R µόνο όταν α. Αν ϑέλουµε αυτή να έχει λύση για α και α < τότε πρέπει να επεκτείνουµε το σώµα των πραγµατικών στο σώµα των µιγαδικών αριθµών.

2 Κάθε αλγεβρική εξίσωση : a n n + a n n + + a, (a i Μ.Α. έχει λύσεις στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Ορισµός. Ενας µιγαδικός αριθµός είναι ένα διατεταγµένο Ϲεύγος δύο πραγµατικών αριθµών { α Re z z (a, β, µε α, β R β Im z `Ορισµός. Συζυγής του z α + iβ λέγεται ο ΜΑ z α iβ Ιδιότητες: (z ±z z ±z, (z z z z, ( z z z z zz z (α + iβ(α iβ α + β z µέτρο του µιγαδικού αριθµού + α + β Ιδιότητες z (α, α (α, β (α, β α α και β β z + z (α, β + (α, β (α + α, β + β (α, β (α, β (α α β β, α β + α β (, (το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης (, (το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού Το διατεταγµένο Ϲεύγος (, το συµβολίζουµε µε i : (, i. Επειδή Re z (z + z, Im z i (z z Επειδή ένας Μ.Α. είναι ένα διατεταγµένο Ϲεύγος, αυτός µπορεί να παρασταθεί µε ένα ση- µείο του επιπέδου. Το επίπεδο αυτό λέγεται z-µιγαδικό επίπεδο ή z-επίπεδο. β z-επίπεδο r θ z(α,βα + iβ α r z + α + β α r cos θ, cos θ α/r β r sin θ, sin θ β/r (β, (, (, β (, β iβ ο Μ.Α. z (α, β γράφεται z (α, β (α, + (, β α + iβ Συµπέρασµα. Ενα µιγαδικό αριθµό µπορούµε να το γράψουµε µε τις µορφές z(α, β α + iβ i (, (, (, n 4k Γενικά ισχύει : i n i n 4k + n 4k + i n 4k + 3 Σηµείωση. Οταν χρησιµοποιούµε τη µορφή : z α+iβ µπορούµε να κάνουµε άφοβα τις πράξεις της άλγεβρας προσέχοντας να ϑέτουµε όπου i. Αν z α + iβ και z α + iβ τότε z + z α + α + i(β + β z z (α α β β + i(α β + α β z α + iβ (α + iβ (α iβ z α + iβ (α + iβ (α iβ α α + β β α + β + i α β α β, z α + β Συµπέρασµα: Ενα µιγαδικό αριθµό µπορούµε να τον γράψουµε µε τις εξής µορφές: z(α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ Στην τελευταία µορφή οδηγούµαστε αν ορίσουµε cos θ + i sin θ e iθ Σηµείωση. Αν δοθεί ο µιγαδικός αριθµός z (α, β µπορούν να ϐρεθούν :. Η εικόνα του (το σηµείο στο z-επίπεδο. το µέτρο του, r z, δηλαδή η απόσταση του σηµείου από την αρχή 3. το όρισµά του (arg, δηλαδή η γωνία θ. Είναι ϕανερό ότι το όρισµα του µιγαδικού αριθ- µού δεν ορίζεται µονοσήµαντα. Επειδή arg z arctan β α όρισµα του µιγαδικού αριθµού αν ορίσουµε όµως Arg z θ µε Arg z < (ή οποιοδήποτε άλλο διάστηµα µήκους τότε arg z θ + kπ, k, ±, ±,... Το Arg του Μ.Α. z είναι απροσδιόριστο.

3 z- επιπεδο z-επίπεδο z +z zz z z rr r z θθ +θ r z -z z θ r θ z Με τη ϐοήθεια της γεωµετρικής παράστασης του µιγαδικού αριθµού µπορούµε να κάνουµε εύκολα τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης χρησιµοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Ορισµός. Απόσταση δύο µιγαδικών αριθµών: Παράδειγµα. Αν κάθε σηµείο του ορθογωνίου OAB πολλαπλασιαστεί µε το Μ.Α. z i e iπ/ ϑα έχουµε ως αποτέλεσµα περιστροφή των σηµείων κατά γωνία π/. ηλαδή ϑα πάρουµε το ορθογώνιο OA B. z-επίπεδο B ρ(z, z z z z z B' A' Με τη ϐοήθεια της γεωµετρικής παράστασης µπο- ϱούν να δειχτούν οι ανισότητες. z z z + z z + z ' O A Σηµείωση. Προσοχή! Μπορούµε να πούµε ότι δύο µιγαδικοί είναι ίσοι (z z αλλά δεν µπο- ϱούµε να πούµε ότι z > z ή z < z. Πολλαπλασιασµός δύο Μ.Α. Επειδή z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ Παράδειγµα. Αν z e i3π/4 και z 3e iπ/4, τότε z z z 3e i(3π/4+π/4 6e iπ 6. ηλαδή ο Μ.Α. z έχει περιστραφεί κατά γωνία π/4 και το µέτρο του πολλαπλασιάστηκε επί 3. `Ασκηση. Να δειχτεί ότι αν και z r (cos θ + i sin θ r e iθ z r (cos θ + i sin θ r e iθ αν και τότε z r (cos θ + i sin θ r e iθ z r (cos θ + i sin θ r e iθ z z r r (cos θ + i sin θ (cos θ + i sin θ r r [ cos(θ + θ + i sin(θ + θ ] r r e i(θ +θ Σηµείωση. Ο πολλαπλασιασµός ενός Μ.Α. z µε έναν άλλο Μ.Α. z, παριστάνει στροφή του z κατά γωνία ίση µε το όρισµα του z και πολλαπλασιασµό του µέτρου του z µε το µέτρο του z. τότε z z r r [ cos(θ θ + i sin(θ θ ] r r e i(θ θ ύναµη ενός Μ.Α. z n [ r(cos θ+i sin θ ] n r n (cos nθ+i sin nθ r n e inθ Για z r παίρνουµε τον τύπο του De Moivre (cos θ + i sin θ n (cos nθ + i sin nθ 3

4 Ασκηση 7 σελ. 8. Να ϐρεθεί το µέτρο και το όρισµα του Μ.Α. z ( +i i και να τοποθετηθεί στο z επίπεδο. - z π z-επιπεδο π/4 π/4 +i -i ( + i ( + i ( + i ( i ( i ( i + i i + + Arg z ( + i ( + i Arg Arg [ i ] i Arg( + i Arg( i [ π ( 4 π ] π 4 Άρα : z ( +i i e iπ Ρίζα ενός µιγαδικού αριθµού n z z /n εκείνος ο Μ.Α. που όταν υψωθεί στην n-δύναµη δίνει τον αριθµό z. Υπάρχουν n τέτοιοι αριθµοί που ϐρίσκονται από τη σχέση z /n n [ r cos θ + k + i sin θ + k ] n n n r e i(θ+k/n, k,,..., n Παράδειγµα. Να ϐρεθούν οι ϱίζες του i /4. Ασκήσεις Ασκηση. Να δειχτούν αλγεβρικά οι ανισότητες: z z z + z z + z `Ασκηση. Να δειχτεί η σχέση : z + z + z z ( z + z Η σχέση αυτή είναι µια απόδειξη του ϑεωρήµατος της γεωµετρίας: Το άθροισµα των τετραγώνων των πλευρών ενός παραλληλογράµµου ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του. Ασκηση 3. Να ϐρεθούν τα µήκη των πλευρών του τριγώνου που έχει κορυφές τα σηµεία : z + i, z 4 i, z 3 i6. Είναι το τρίγωνο αυτό ισοσκελές; `Ασκηση 4. Να δειχτεί ότι αν z z τότε οι Μ.Α. (z + z n και (z z n ορίζουν στο z επίπεδο ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. `Ασκηση 5. Να δειχτεί ότι: α ( + i 7 8( + i, ϐ ( + i 3 ( + i 3. `Ασκηση 6. Να ϐρεθούν και να τοποθετηθούν στο z επίπεδο οι ϱίζες ( /4, (8i /3. `Ασκηση 7. Να τοποθετηθούν στο z επίπεδο οι Μ.Α. z e iπ/4, z.5e iπ, z 3 e iπ, z 4 8e i4π. Ποιοί από αυτούς τους Μ.Α. έχουν µόνο πραγµατικό µέρος και ποιοί είναι ίσοι; Οι ασκήσεις 4, 5, και 6 είναι άλυτες ασκήσεις του ϐιβλίου (σελ. 8. Τις ασκήσεις,, 3, 6 και 7 να τις ϕέρετε λυµένες τη ευτέρα 3--9 z i, i, θ Argi π, n 4 i /4 i /4 e i(π/+k/4 e iπ/8, k e i(π+k4π/8 e i5π/8, k e i9π/8, k e i3π/8, k 3 4

5 ΜΜΦ Ι /3--9 Μιγαδικές Συναρτήσεις β z(α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ z-επίπεδο r θ z(α,βα + iβ α r z + α + β α r cos θ, cos θ α/r β r sin θ, sin θ β/r arg(z arctan β θ + kπ, k, ±, ±, α θ Arg z [, z z r r e i(θ +θ, z n r n e inθ Ασκηση 9 σελ.9. Να δειχθεί ότι : ( + i 7 8( + i z-επιπεδο -+i 3π/4 ( i + 7 [ e i 3π 4 Ασκηση σελ.9. α ( + i ( i Η εξίσωση αυτή γράφεται z + i z ( + Arg( + i 3π 4 ] 7 8 e i 4 8 e i(5π+ π 4 8 e i5π }{{} 8 e i π 4 8( + i e i π 4 +i i 4i w f(z u(, + iv(, όπου u(,, v(, πραγµατικές συναρτήσεις των, S z f(z.. Η τελευταία εξίσωση ικανοποιείται όταν και όταν. ηλαδή για όλα τα σηµεία του πραγµατικού άξονα και του ϕανταστικού άξονα. Κάθε συνάρτηση f(z µπορεί να γραφεί µε τη µορφή w f(z u(, + iv(,. Αντίστροφα, αν έχουµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις u(, και v(, µπορούµε να ορίσουµε µια µιγαδική συνάρτηση, αφού τα και µπορούν να γραφούν µε τη µορφή (z + z / και (z z /(i Παραδείγµατα w f(z z ( + i + i. T w u, v w f(z z i u, v w f(z z + i + }{{ } u +i, z + }{{ } v i ( + i( i ϐ i( + 3 Η εξίσωση αυτή γράφεται και και 3 7 και 7 Η συνάρτηση w f(z ορίζεται για z(z + κάθε z εκτός από τα σηµεία z, ±i. Η παράσταση w z / είναι συνάρτηση ; w z / [ r cos θ + k +i sin θ + k ], k, [ r cos θ + i sin w z / ] θ, k [ r cos( θ + π + i sin( θ + π], k ηλαδή για κάθε z υπάρχουν δύο τιµές w, η w και η w. Εποµένως η παράσταση w z / δεν

6 είναι συνάρτηση µε την αυστηρή έννοια της συνάρτησης. Οι παραστάσεις αυτές λέγονται πλειότιµες συναρτήσεις ή "συναρτήσεις". Οι z-επιπεδο B ' v w-επιπεδο B' A' και w r [ cos θ + i sin θ ], θ < O A f(z / e i π/4 z O' u w r [ cos( θ +π+i sin(θ +π], θ < είναι συναρτήσεις και λέγονται κλάδοι της πλειότιµης συνάρτησης w z / Γραφική παράσταση µιας Μ.Σ Η γραφική παράσταση µιας Μ.Σ. δεν µπορεί να γίνει σε ένα επίπεδο όπως γίνεται για µια πραγ- µατική συνάρτηση. Αυτή γίνεται σε δύο επίπεδα, στο z-επίπεδο όπου παίρνει τιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή και στο w-επίπεδο όπου παίρνει τι- µές η συνάρτηση. Με αυτόν τον τρόπο σε κάθε σηµείο z (, του z-επιπέδου που ανήκει στο πεδίο ορισµού S της f(z αντιστοιχεί ένα σηµείο w (u, v του w-επιπέδου. S z z-επιπεδο. z..... z 3 f(z v w w-επιπεδο Παράδειγµα. Η συνάρτηση w f(z z z για z e iπ/4 γράφεται : w f(z e iπ/4 z e iπ/4 r e iθ r e i(θ+π/4 Ετσι κάθε σηµείο του z-επιπέδου έχει µια εικόνα στο w-επίπεδο που ϐρίσκεται αν πολλαπλασιάσουµε το µέτρο του z επί και προσθέσου- µε στο όρισµα του τη γωνία π/4. ηλαδή έχου- µε µια περιστροφή του σηµείου z κατά π/4 και πολλαπλασιασµό του µέτρου του επί. ηλαδή, όλα τα σηµεία του τετραγώνου του z-επιπέδου του σχήµατος ϑα έχουν µια εικόνα στο τετράγωνο του w-επιπέδου που έχει πλευρά (ΟΑ και έχει περιστραφεί κατά γωνία π/4. w 3 w T u Στοιχειώδεις συναρτήσεις Η συνάρτηση w P (z a n z n + a n z n + + a z + a όπου a n και a, a,... a n µιγαδικές σταθερές και n ϑετικός ακέραιος αριθµός λέγεται πολυωνυ- µική συνάρτηση ή πολυώνυµο n-ϐαθµού. Η w P (z όπου P (z και Q(z πολυώνυµα, λέγεται ϱητή αλγεβρική Q(z συνάρτηση. Εκθετικές συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση e z µπορεί να οριστεί µε διαφορετικούς τρόπους. Με όποιον τρόπο και αν οριστεί ϑα πρέπει όταν z να οδηγεί στην εκ- ϑετική συνάρτηση της πραγµατικής µεταβλητής, e. Θα ορίσουµε πρώτα τη συνάρτηση e i, πραγ- µατικός αριθµός. Για την συνάρτηση e ισχύει e +! +! < ( 3! Ορισµός. Την εκθετική συνάρτηση µε εκθέτη ένα ϕανταστικό αριθµό την ορίζουµε µε τη ϐοή- ϑεια της προηγούµενης σχέσης, ϑέτοντας όπου το i. Ετσι e i + i! + (i + (i3 + i <, <! 3! Η σχέση αυτή γράφεται ακόµη ηλαδή e i! + 4 4! 6 6! + }{{} cos ( + i! 3 3! + 5 5! 7 7! + }{{} sin

7 e i cos + i sin ( Επίσης e i cos i sin Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουµε cos (ei +e i, sin i (ei e i (3 `Ασκηση. Να αποδείξετε αυτήν την πρόταση µε διαφορετικό τρόπο. Ασκηση 4/σελ.68. Να δειχτεί ότι e imz όταν Im z και m. e imz e im(+i e im e m e m Οι σχέσεις (3 λέγονται τύποι του Euler. Ορισµός. Η εκθετική συνάρτηση e z µε z µια µιγαδική µεταβλητή (z + i ορίζεται από τη σχέση e z e +i e e i e (cos + i sin Παρατήρηση. Το µέτρο της µιγαδικής συνάρτησης e z είναι e z e. Το όρισµα της Μ.Σ. e z είναι arg e z + k, k, ±, ±, Που απεικονίζονται τα σηµεία αυτά όταν m < ; Ιδιότητες. e z e z e z +z, e z e z ez z, (e z n e nz Ασκηση. Να αποδειχτούν οι παραπάνω ιδιότητες. Ασκηση. Που ϐρίσκονται στο w-επίπεδο οι τιµές της συνάρτησης f(z e z όταν z z + iπ/, z z 5 + iπ/4, z z 3 iπ.. z3 iπ z-επιπεδο z +i(π/. z 5+i(π/4. f(ze z w-επιπεδο w e 5 e iπ/4 w i e. w 3 - v.. e π/4 e 5 f(z e +i π e e i π ie f(z e 5+i π 4 e 5 e i π 4 f(z 3 e +iπ e e iπ Παρατήρηση. Επειδή e z e e i e e i e και επειδή η πραγµατική συνάρτηση e δεν µηδενίζεται πουθενά (εκτός από το, η Μ.Σ. e z δεν έχει καµµία ϱίζα για z <. u 3 Για και m ισχύει e m e m. ηλαδή, όλα τα σηµεία του επάνω z-ηµιεπιπέδου απεικονίζονται στο µοναδιαίο κύκλο του w-επιπέδου. z-επιπεδο Im z > f(ze imz m> v w-επιπεδο W < w Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι σχέσεις (3 µας ϐοηθούν να ορίσουµε τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µετα- ϐλητής. Ορισµός. cos z (eiz +e iz, sin z i (eiz e iz (4 Παράδειγµα. Για z 5π + i το cos z είναι cos(5π + i ] [e i(5π+i + e i(5π+i [ ] e i5π }{{} e + e} i5π {{} e (e + e cosh cos(5π + i cosh >! Προσοχή! Το µέτρο των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων µπορεί να είναι µεγαλύτερο της µονάδας. Σηµείωση. Για τις Μ.Σ. cos z και sin z ισχύουν όλες οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες. Παραδείγµατα. sin z + cos z [ ] [ i (eiz e iz + (eiz + e ] iz [ ] (e iz + e iz e + (e iz + e iz + e 4 4 4e u

8 sin(z + π [ e i(z+π e i(z+π] [e iz e iπ e iz e iπ] i i i ( (eiz e iz i (eiz e iz sin z Ορισµοί. tan z sin z cos z, cos z cot z sin z sinh z (ez e z, cosh z (ez + e z, tanh z sinh z cosh z ez e z + Οι υπερβολικές συναρτήσεις sinh και cosh συνδέονται µε τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µέσω των σχέσεων Πρέπει να γίνει προσπάθεια να λυθούν αυτές στο σπίτι, ώστε να µην υπάρχουν πολλές απορίες στο µάθηµα. Οι ασκήσεις: β έως ε, 4α, 5β έως 5δ, 6α 8 και 9γ του ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες την Παρασκευή sinh z (ez e z (e i(iz e i(iz i i (ei(iz e i(iz i sin(iz cosh z (ez +e z (e i(iz +e i(iz cos(iz Παράδειγµα. Για τις υπερβολικές συναρτήσεις ισχύει η ταυτότητα cosh z sinh z. Ξεκινώντας από το πρώτο µέλος έχουµε cosh z sinh z 4 (ez + e z 4 (ez e z Σηµείωση. Οι τριγωνοµετρικές και οι υπερ- ϐολικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µεταβλητής είναι µονότιµες συναρτήσεις. Οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές και οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις που ορίζονται µε τον ίδιο τρόπο που ορί- Ϲονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις είναι πλειότιµες συναρτήσεις. Σηµείωση. Οι Μ.Σ. sin z, cos z, e z µπορούν να οριστούν απευθείας από τις σειρές: sin z cos z e z n n n ( n (n +! zn+, z < ( n (n! z n, n! zn, z < z < Στο επόµενο µάθηµα ϑα λυθούν οι ασκήσεις έως 8 και η της σελίδας 68 του ϐιβλίου. 4

9 ΜΜΦ Ι 3/6-3-8 z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ S z f(z.. w f(z u(, + iv(, R(, e iφ(, e z e +i e e i,. T w e i cos + i sin e z e, arg(e z + k, k, ±, ±, cos z (eiz + e iz, sin z i (eiz e iz cosh z (ez + e z, sinh z (ez e z cosh z cos(iz, Η συνάρτηση" ln z. ln, sinh z i sin(iz ln δεν υπάρχει ln(?, ln( + i? Ορισµός. Ο ϕυσικός λογάριθµος του Μ.Α. z είναι εκείνη η δύναµη στην οποία πρέπει να υψω- ϑεί το e για να µας δώσει τον αριθµό z Στις προηγούµενες σχέσεις ϑέσαµε n r και όχι ln r για να δηλώσουµε το λογάριθµο του πραγ- µατικού αριθµού r. Παρατηρούµε ότι σε κάθε Μ.Α. z αντιστοιχούν άπειροι αριθµοί ln z. ηλαδή άπειροι αριθµοί οι οποίοι όταν το e υψωθεί σε αυτούς τους αριθµούς µας δίνει ως αποτέλεσµα το Μ.Α. z. Ο λογάριθµος µιας µιγαδικής µεταβλητής είναι πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων. Αν ϑέσουµε k και θ < τότε η πρωτεύουσα τιµή ή ο πρωτεύων κλάδος της συνάρτησης ln z είναι n z n r + iθ Παράδειγµα. Για z, οπότε θ Arg( π, έχουµε ln( n + i(π + k i(k + π, k, ±, ±... ή διαφορετικά e i(k+π. Για z + i, θ Arg( + i π/4 έχουµε ln( + i n + i + i( π 4 + k n 8 + i ( k + 4 π, k, ±, ±, wln z z e w ( v w-επιπεδο z-επιπεδο Επειδή z + i r(cos θ + i sin θ re iθ και w u + iv ϑα έχουµε i5π re iθ e u+iv re iθ e u e iv ( Επειδή δύο Μ.Α. είναι ίσοι όταν τα πραγµατικά µέρη είναι ίσα και τα ϕανταστικά µέρη είναι ίσα, ή ακόµα όταν τα µέτρα τους είναι ίσα και τα ορίσµατα τους είναι ίσα ή διαφέρουν κατά ένα ακέ- ϱαιο πολλαπλάσιο του, η σχέση ( µας οδηγεί στις σχέσεις - +i i3π iπ iπ i(+/4π π /4 n&8+ n&8+ i u n&8 e u r u n r n z lnz i3π και v θ + k, k, ±, ±,... ηλαδή wln z n r + i(θ + kπ, k, ±, ±,... Μη ϱητές δυνάµεις µιας µιγαδικής µεταβλητής Η µη ϱητή δύναµη c µιας µιγαδικής µεταβλητής, όπως και στις πραγµατικές µεταβλητές, ορίζεται µε τη ϐοήθεια του λογαρίθµου

10 Ορισµός. z c e c ln z όπου c και z εν γένει µιγαδικοί αριθµοί. Η σχέση αυτή γράφεται ακόµη z c e c[n z +i(θ+k] e c[n z +iθ] e ick k, ±, ±, r z -i όπου z c e cn z και arg (z c c(θ + k. Η δύναµη z c είναι : µονότιµη συνάρτηση όταν c ακέραιος αριθµός πλειότιµη συνάρτηση µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων όταν c m/n ακέραιος και m, n ακέ- ϱαιοι αριθµοί πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων όταν c άρρητος αριθµός (πραγµατικός ή µιγαδικός. `Ασκηση. Να αποδειχτούν οι παραπάνω τρεις πε- ϱιπτώσεις για τη δύναµη µιας µιγαδικής µετα- ϐλητής. Υπόδειξη. Ο αριθµός των κλάδων καθορίζεται από τον παράγοντα e ick. `Οταν c m ακέραιος, ο πα- ϱάγοντας e ick είναι µονάδα. `Οταν c m/n ϱητός ακέραιος, ο παράγοντας αυτός παίρνει n διαφορετικές τιµές (που προκύπτουν για k,,,, n. `Οταν c άρρητος αριθµός ο παράγοντας αυτός παίρνει άπειρες τιµές. z + i z ( i Γενικά η σχέση z z R παριστάνει όλα τα σηµεία του z επιπέδου που απέχουν από το ση- µείο z απόσταση ίση µε R. ηλαδή παριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο z και ακτίνα R. Σηµείωση. Η σχέση z z + R e iθ, θ [, ] παριστάνει επίσης τον ίδιο κύκλο. `Ασκήσεις β, γ, ε, και στ του ϐιβλίου (σελ. 68 (`Ασκηση β (Ασκηση ε Im z < z-επίπεδο (Ασκηση γ z-επίπεδο z - z* i (Ασκηση στ Arg zπ/3 z-επίπεδο. z-επίπεδο Re z > Παράδειγµα, Ασκηση 5.β του ϐιβλίου (σελ. 69. Να ϐρεθούν οι τιµές της δύναµης i i. π/3 i i e i ln i e i[n i +i( π +k] e (k+ π k, ±, ±, Στο παρακάτω σχήµα ο άξονας u του w επιπέδου είναι σε λογαριθµική κλίµακα. z-επίπεδο v. i e -9π/ w-επίπεδο e -π/ e 5π/ k k k k- k- f(zz i u `Ασκήση του ϐιβλίου (σελ. 68. α e z+ki e z e ik e z e z ηλαδή η e z είναι περιοδική µε περίοδο i. ϐ e z e (+i e i και (e z [e +i ] e i Άρα e z (e z. Επίσης, επειδή e iz e i( i e e i και (e iz [e i(+i ] e i( i e e i γενικά ισχύει e iz (e iz. Η ισότητα ισχύει (δηλαδή e iz (e iz όταν Ασκήσεις Ασκήση.α του ϐιβλίου (σελ. 68. και i i + n nπ

11 ηλαδή η ισότητα ισχύει όταν z nπ, n, ±, ±,. Ασκηση 5 του ϐιβλίου (σελ. 68. e z < z? z-επίπεδο v n+i3π f(ze z n+iπ w- n-iπ w-επίπεδο u v z-επίπεδο f(ze z n+i7π/3 n+iπ/3 n-i5π/3 n-iπ/3 w-επίπεδο w+i3 / u n-i3π e z < e e i < e e i < e < > Επειδή + i 3 και Arg ( + i 3 π 3 οι ϱίζες της εξίσωσης είναι z-επίπεδο v w-επίπεδο z n + iπ(k +, k, ±, ±, 3 > f(ze -z w < u Ασκηση 9. Να ϐρεθούν τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη των συναρτήσεων α f(z sin z ϐ f(z cos z sin z i [eiz e iz ] i [ei e e i e ] i [e (cos + i sin e (cos i sin ] i [(e e cos + i(e + e sin ] Ασκηση 6 του ϐιβλίου (σελ. 68. Να δειχτεί ότι e z+i + e iz e + e. Γνωρίζουµε ότι ισχύει η ανισότητα Αλλά e z+i + e iz e z+i + e iz e z+i e e i(+ e e i(+ e και e iz e i( +i e e i( e Εποµένως ισχύει η ανισότητα που ϑέλουµε να δείξουµε. Ασκηση 7. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων α e z ϐ e z + i 3 `Αρα i (e e cos + (e + e sin cosh sin + i sinh cos u Re [sin z] cosh sin v Im [sin z] sinh cos Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκεται ότι και cos z cosh cos i sinh sin u Re [cos z] cosh cos v Im [cos z] sinh sin Ασκηση. Να δειχθεί ότι : γ cos z cos + sinh δ sin z sin + sinh α e z z ln( z n + i(π + k z n + i(k + π, k, ±, ±, ϐ e z + i 3 z ln( + i 3 n + i 3 + i(θ + k cos z (cosh cos + ( sinh sin cosh cos + sinh sin cosh cos + sinh ( cos cosh cos + sinh sinh cos sinh + (cosh sinh cos }{{} sinh + cos 3

12 `Οµοια ϐρίσκεται ότι ισχύει sin z sinh + sin Σηµείωση. Επειδή sinh τα µέτρα των συναρτήσεων cos z και sin z µπορούν να παίρνουν τιµές στο διάστηµα [,!!! Ασκηση. sin z, z? sin z i (eiz e iz e iz e iz e iz iz ln iz n + i( + k k, ±, ±, iz ik z kπ, k, ±, ±, Σηµείωση. Ολα τα σηµεία z kπ µε το µετασχηµατισµό f(z sin z απεικονίζονται στο w- επίπεδο στο σηµείο w. Οµοια ϐρίσκεται ότι η συνάρτηση f(z cos z µηδενίζεται στα σηµεία z (k+ π, k, ±, Σηµείωση. Οι µιγαδικές συναρτήσεις sin z και cos z µηδενίζονται εκεί που µηδενίζονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις. Ασκηση 3. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων : α sinh z, ϐ cosh z, γ cos z α sinh z (ez e z e z z ln z n + i( + k z ikπ, k, ±, ±, ϐ cosh z (ez + e z e z z ln( z n ( + i(π + k z i(k + π, n, ±, ±,... Σηµείωση 3. Ενώ η πραγµατική συνάρτηση sinh έχει µόνο µια ϱίζα (το σηµείο και η πραγ- µατική συνάρτηση cosh δεν έχει καµµία ϱίζα, οι µιγαδικές συναρτήσεις sinh z και cosh z έχουν άπειρες ϕανταστικές ϱίζες. γ cos z (eiz + e iz e iz + e iz 4 e iz + 4e iz (e iz 4e iz + 4 Με το µετασχηµατισµό e iz ω η τελευταία εξίσωση γράφεται ω 4ω + ω 4 ± 6 4 Για ω + 3 έχουµε ± 3 e iz + 3 iz n i( + k z k in( + 3, k, ±, ±,... Για ω 3 έχουµε e iz 3 iz n 3 + i( + k z k in( 3, k, ±, ±,... Ασκηση. Να παρασταθούν οι ϱίζες της εξίσωσης cos z στο z επίπεδο. Ποιές είναι οι εικόνες αυτών των σηµείων στο w επίπεδο όταν επιδράσει ο µετασχηµατισµός f(z cos z; Ασκηση 5. i ; i e i ln e i[n +i(+k] e in e k k, ±, ±, Ασκηση. Να παρασταθούν οι τιµές της w i στο w επίπεδο. Παράγωγος µιγαδικής συνάρτησης Πριν προχωρήσουµε στον ορισµό της παραγώγου µιας Μ.Σ πρέπει να δώσουµε τους ορισµούς του ορίου και της συνέχειας µιας Μ.Σ. Οι ορισµοί αυτοί είναι όµοιοι µε τους αντίστοιχους ορισµούς µιας πραγµατικής συνάρτησης. Ορισµός. Ο πραγµατικός αριθµός f λέγεται το όριο της πραγµατικής συνάρτησης f( στο ση- µείο και γράφουµε lim f( f όταν ε > δ(, ε > : µε < δ f( f < ε Ορισµός. Ο Μ.Α. w λέγεται το όριο της Μ.Σ. f(z στο σηµείο z z και γράφουµε όταν lim z z f(z w ε > δ(z, ε > : z µε z z < δ f(z w < ε

13 δ f( ε f ε lim z z f(z F (z lim z z f(z lim z z F (z w W, W Ορισµός. Η συνάρτηση f(z λέγεται συνεχής στο σηµείο z z εάν και µόνο εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω τρεις συνθήκες: z-επίπεδο z δ f(z v δ w-επίπεδο Σηµείωση. Στις πραγµατικές συναρτήσεις το σηµείο µπορούµε να το πλησιάσουµε µε δύο τρόπους, από δεξιά και από αριστερά. Στις Μ.Σ η µιγαδική µεταβλητή z µπορεί να πλησιάσει το σηµείο z µε άπειρους τρόπους. Η ύπαρξη του ορίου απαιτεί όταν το z τείνει στο z, µε οποιονδήποτε τρόπο, η f(z να τείνει στον αριθµό w. Αυτή είναι µια χαρακτηριστική διαφορά µεταξύ των πραγµατικών και µιγαδικών συναρτήσεων και σε αυτήν τη διαφορά οφείλονται ορισµένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των Μ.Σ. που δεν υπάρχουν στις πραγµατικές συναρτήσεις.. Σηµείωση. `Οταν λέµε ότι το σηµείο z + i τείνει σε ένα σταθερό σηµείο z + i αυτό σηµαίνει ότι και. Θεώρηµα. Η ύπαρξη του ορίου µιας συνάρτησης f(z u(, + iv(, στο σηµείο z + i, δηλαδή w lim z z f(z w u + iv ικανοποιείται εάν και µόνο εάν lim u(, u και lim (, (, Θεώρηµα. Αν lim f(z w z z lim F (z W τότε z z ε u (, (, v(, v και lim [f(z±f (z] lim f(z± lim F (z w ±W z z z z z z lim [f(z F (z] lim f(z lim F (z w W z z z z z z 5. Η f(z ορίζεται στο σηµείο z. ηλαδή υπάρχει η f(z..το όριο της f(z στο σηµείο z υπάρχει. ηλαδή lim z z f(z w 3. lim z z f(z w f(z Παράδειγµα. ίνεται η συνάρτηση { z z i f(z z i Το όριο της f(z στο σηµείο z i είναι : lim z i z. Η τιµή της f(z στο σηµείο z i είναι : f(i. Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο z i αφού lim z i z f(i Ορισµός. Η f(z λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισµού της S όταν είναι συνεχής z ɛs. Θεώρηµα. Αν η f(z u(, + iv(, είναι συνεχής στο σηµείο z +i τότε οι συναρτήσεις u(, και v(, είναι συνεχείς στο σηµείο (, και αντίστροφα. Ιδιότητες της συνέχειας Αν οι συναρτήσεις f(z και g(z είναι συνεχείς στο z τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις f(z ± g(z, f(z g(z και f(z/g(z εφόσον ϐέβαια ισχύει g(z. Αν η f(z είναι συνεχής z του πεδίου ορισµού της S τότε είναι ϕραγµένη στο S. ηλαδή υπάρχει µια σταθερά για την οποία ισχύει : f(z < R z ɛs Αν η f(z είναι συνεχής στο πεδίου ορισµού της, S, τότε είναι οµοιόµορφα συνεχής στο S. Για τον ορισµό της οµοιόµορφης συνέχειας ϐλέπε σελ.74 του ϐιβλίου.

14 ΜΜΦ Ι 4/9-3-9 ικανοποιείται εάν και µόνο εάν z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ S z f(z.. w f(z u(, + iv(, R(, e iφ(, Παράγωγος µιγαδικής συνάρτησης Ορισµός. Ο Μ.Α. w λέγεται το όριο της Μ.Σ. f(z στο σηµείο z z και γράφουµε όταν. T w lim z z f(z w ε > δ(z, ε > : z µε z z < δ f(z w < ε z-επίπεδο z δ f(z v w-επίπεδο Σηµείωση. Στις πραγµατικές συναρτήσεις το σηµείο µπορούµε να το πλησιάσουµε µε δύο τρόπους, από δεξιά και από αριστερά. Στις Μ.Σ η µιγαδική µεταβλητή z µπορεί να πλησιάσει το σηµείο z µε άπειρους τρόπους. Η ύπαρξη του ορίου απαιτεί όταν το z τείνει στο z, µε οποιονδήποτε τρόπο, η f(z να τείνει στον αριθµό w. Αυτή είναι µια χαρακτηριστική διαφορά µεταξύ των πραγµατικών και µιγαδικών συναρτήσεων και σε αυτήν τη διαφορά οφείλονται ορισµένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των Μ.Σ. που δεν υπάρχουν στις πραγµατικές συναρτήσεις.. Σηµείωση. `Οταν λέµε ότι το σηµείο z + i τείνει σε ένα σταθερό σηµείο z + i αυτό σηµαίνει ότι και. Θεώρηµα. Η ύπαρξη του ορίου µιας συνάρτησης f(z u(, + iv(, στο σηµείο z + i, δηλαδή w lim z z f(z w u + iv ε u lim u(, u και lim v(, v (, (, (, (, Θεώρηµα. Αν lim f(z w z z lim F (z W τότε z z και lim [f(z±f (z] lim f(z± lim F (z w ±W z z z z z z lim [f(z F (z] lim f(z lim F (z w W z z z z z z lim z z f(z F (z lim z z f(z lim z z F (z w, W W Ορισµός. Η συνάρτηση f(z λέγεται συνεχής στο σηµείο z z εάν και µόνο εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω τρεις συνθήκες:. Η f(z ορίζεται στο σηµείο z. ηλαδή υπάρχει η f(z..το όριο της f(z στο σηµείο z υπάρχει. ηλαδή lim z z f(z w 3. lim z z f(z w f(z Ορισµός. Η f(z λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισµού της S όταν είναι συνεχής z ɛs. Θεώρηµα. Αν η f(z u(, + iv(, είναι συνεχής στο σηµείο z +i τότε οι συναρτήσεις u(, και v(, είναι συνεχείς στο σηµείο (, και αντίστροφα. Ιδιότητες της συνέχειας Αν οι συναρτήσεις f(z και g(z είναι συνεχείς στο z τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις f(z ± g(z, f(z g(z και f(z/g(z εφόσον ϐέβαια ισχύει g(z. Αν η f(z είναι συνεχής z του πεδίου ορισµού της S τότε είναι ϕραγµένη στο S. ηλαδή υπάρχει µια σταθερά για την οποία ισχύει : f(z < R z ɛs Αν η f(z είναι συνεχής στο πεδίου ορισµού της, S, τότε είναι οµοιόµορφα συνεχής στο S. Για τον ορισµό της οµοιόµορφης συνέχειας ϐλέπε σελ.74 του ϐιβλίου. Ορισµός της παραγώγου

15 Ας είναι w f(z µια συνεχής συνάρτηση στον τόπο D S του z-επιπέδου µε πεδίο τιµών στον τόπο D T του w-επιπέδου. Τα σηµεία z και z z + z του z-επιπέδου απεικονίζονται στα σηµεία w και w w + w του w-επιπέδου. Στη µεταβολή z αντιστοιχεί η µεταβολή w w w f(z + z f(z της συνάρτησης. D S z-επίπεδο zz + z z z f(z v ww + w w-επίπεδο Ορισµός. Ονοµάζουµε παράγωγο της f(z ως προς την ανεξάρτητη µεταβλητή z στο σηµείο z ɛ D S το όριο του λόγου w w w z f(z + z f(z z (όταν z εφόσον για το σηµείο z το όριο του λόγου w υπάρχει και είναι ένας πεπερασµένος z αριθµός f w (z lim z z lim f(z + z f(z z z ( Σηµείωση. Το όριο του λόγου w/ z πρέπει να υπάρχει και να είναι ένας πεπερασµένος αριθ- µός ανεξάρτητα µε ποιον τρόπο το z τείνει στο µηδέν. Το z µπορεί να πλησιάσει στο µηδέν κατά µήκος ενός οποιουδήποτε από τους άπει- ϱους δρόµους που ενώνουν τα σηµεία z και z. Η συνθήκη αυτή επιβάλλει αυστηρούς περιο- ϱισµούς στις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο. Αυτός είναι ο λόγος που οι παραγωγίσι- µες Μ.Σ. έχουν κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες που δεν έχουν οι πραγµατικές συναρτήσεις. Μια Μ.Σ. µπορεί να έχει παράγωγο µόνο σε ένα σηµείο (π.χ. η f(z z έχει παράγωγο µόνο στο σηµείο στο z, κατά µήκος µιας καµπύλης ή σε έναν τόπο. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση είναι συνεχής συνάρτηση. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν συνεχείς Μ.Σ. που δεν είναι παραγωγίσιµες (π.χ. η f(z z D T u Παράδειγµα. Για την συνάρτηση w f(z z i έχουµε : w z z z f(z + z f(z z i + i (z + z z z Ενα τυχαίο σηµείο z µπορούµε να το πλησιάσου- µε µε άπειρους τρόπους.. Αν z έτσι ώστε και τότε το όριο του λόγου w/ z είναι w lim z lim. Αν z έτσι ώστε και τότε το όριο του λόγου w/ z είναι w lim z lim i i Επειδή για δύο διαφορετικούς τρόπους, για τους οποίους το z, παίρνουµε διαφορετική τιµή του ορίου του λόγου w/ z (ανεξάρτητα από το σηµείο z, η f(z δεν είναι πουθενά παραγωγίσι- µη. Παράδειγµα. Για τη συνάρτηση w f(z z z z έχουµε : w lim z z w f(z + z f(z (z + z(z + z zz z z + z z + z z w z z z z + z + z lim z z + lim z z z z + lim z + z lim z z z z z

16 Αν z έτσι ώστε και, τότε w lim z z lim w z z +z lim z+z Αν z έτσι ώστε και, τότε w lim z z w lim z z + z i z + z lim i Για z η τιµή του ορίου εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το z. Ετσι η f(z z δεν είναι παραγωγίσιµη για z. Το σηµείο z πρέπει να εξεταστεί χωριστά. Για z έχουµε lim z w z w z z z z lim ( i (, ανεξάρτητα από το πως το z. ηλαδή η παράγωγος της f(z z στο σηµείο z υπάρχει. Παράδειγµα 3. Για την συνάρτηση w f(z z n (n ϕυσικός αριθµός έχουµε : w [ f(z + z f(z (z + z n z n ] z n + nz n z + n(n+! z n ( z + + ( z n z n και w z nz n + n(n+! z n ( z + + ( z n Παρατηρούµε ότι εκτός από τον όρο nz n όλοι οι άλλοι όροι µηδενίζονται όταν z. Ετσι : dz n dz lim w z z nzn όπως και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Οι Μ.Σ που δεν έχουν παράγωγο ή έχουν πα- ϱαγώγους µόνο σε αποµονωµένα σηµεία του z- επιπέδου παρουσιάζουν µικρότερο ενδιαφέρον σε σύγκριση µε τις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο στην περιοχή ενός σηµείου. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z έχει παράγωγο στο σηµείο z καθώς και σε κάθε σηµείο µιας περιοχής του z λέγεται αναλυτική ή ολόµορφη στο σηµείο z. 3 Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική σε κάθε σηµείο ενός τόπου λέγεται αναλυτική στον τόπο. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική για κάθε z: z <, λέγεται ακέραια συνάρτηση (π.χ. η συνάρτηση f(z z n. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική σε ένα σηµείο, το σηµείο λέγεται οµαλό ή κανονικό σηµείο της f(z. Ορισµός. Ανώµαλο σηµείο της f(z λέγεται ένα σηµείο στο οποίο η συνάρτηση δεν είναι αναλυτική, ενώ αυτή µπορεί να είναι αναλυτική σε κάθε άλλο σηµείο µιας περιοχής του ϑεωρούµενου ση- µείου. Για παράδειγµα τα σηµεία z και z i είναι ανώµαλα σηµεία της f(z /[z(z i]. Κανόνες παραγώγισης Για τις αναλυτικές συναρτήσεις ισχύουν οι κανόνες παραγώγισης των πραγµατικών συναρτήσεων.. d dz [f(z ± g(z] f (z ± g (z. d dz [af(z] af (z a σταθερά 3. d dz [f(z g(z] f (z g(z + f(z g (z 4. d f(z dz g(z f (zg(z g (zf(z [g(z] 5. d dz f( g(z df dg dg dz 6. f(z lim z z g(z lim f (z z z g (z f (z g (z κανόνας Hospital Θεώρηµα auch-riemann Αν µια συνάρτηση f(z είναι αναλυτική στο ση- µείο z z τότε ισχύουν οι συνθήκες auch- Riemann u v και u v ( Επιπλέον ισχύει και ο τύπος υπολογισµού της f (z f (z u + i v f v i u i f (3

17 Αντίστροφα. Αν ισχύουν οι συνθήκες auch- Riemann και οι πρώτες µερικές παράγωγοι των u(, και v(, ως προς και είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε η f(z είναι αναλυτική και η f (z ϐρίσκεται από την (3. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε µόνο το πρώτο µέρος του ϑεω- ϱήµατος. Το αντίστροφο υπάρχει στο ϐιβλίο (σελ. 79. Επειδή η f(z είναι αναλυτική υπάρχει η παράγωγός της που είναι f w (z lim z z lim f(z + z f(z z z u( +, + u(, lim z + i v( +, + v(, + i lim (4 z + i Οταν z έτσι ώστε και η (4 γράφεται f u( +, u(, (z lim + i lim u + i v v( +, v(, (5 Οταν z έτσι ώστε και η (4 γράφεται f u(, + u(, (z lim i + i lim i u + v v(, + v(, i (6 Επειδή η συνάρτηση είναι αναλυτική, δηλαδή το όριο του λόγου w/ z δεν εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το z, πρέπει να ισχύει f (z u + i v v i u και επειδή τα πραγµατικά µέρη πρέπει να είναι ίσα και τα ϕανταστικά µέρη πρέπει να είναι ίσα, οδηγούµαστε στις εξισώσεις της (. Παράδειγµα. Να δειχθεί ότι d dz eaz ae z zɛm. Θα δείξουµε την άσκηση για a πραγµατικός αριθµός. f(z e az e a e ia e a cos a + ie a sin a u e a cos a, v e a sin a u aea cos a, u aea sin a, Εποµένως u v, v aea cos a v aea sin a u v Ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann και u, v, u, v είναι συνεχείς συναρτήσεις zɛm. Εποµένως η f(z είναι αναλυτική συνάρτηση zɛm (εκτός από το σηµείο z και η παράγωγος της είναι f (z u + i v f aea+ia ae az Παράδειγµα (άσκηση 4δ σελ.88 του ϐιβλίου. Να δειχτεί ότι d sin z cos z. dz Θα χρησιµοποιήσαµε το παράδειγµα και έναν κανόνα παραγώγισης. d dz sin z d [ dz i (eiz e ] iz [ d i dz eiz d dz e iz] i (ieiz + ie iz (eiz + e iz cos z `Οµοια ϐρίσκεται ότι d cos z sin z dz Παράδειγµα 3 (άσκηση 4στ σελ. 88 του ϐιβλίου. d dz tan z d sin z dz cos z (sin z cos z sin z(cos z cos z sin z + cos z cos z cos z Παρακάτω δίνουµε τις εκφωνήσεις δύο ασκήσεων ως συµπλήρωµα της ϑεωρίας. 4

18 Συµπλήρωµα της ϑεωρίας, Ασκηση (άσκηση 5 σελ. 88 του ϐιβλίου. Να δειχθεί ότι αν χρησιµοποιήσουµε πολικές συντεταγµένες (z re iθ, η παράγωγος µιας αναλυτικής συνάρτησης µπο- ϱεί να ϐρεθεί από τη σχέση f (z f iz θ r f (8 z r και οι συνθήκες auch-riemann γράφονται : u r v r θ, v r u r θ (9 Συµπλήρωµα της ϑεωρίας, Ασκηση. Να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(z είναι αναλυτική τότε f z f f (z και z ηλαδή, οι αναλυτικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z. Σηµείωση. Για την εύρεση της παραγώγου µιας µιγαδικής συνάρτησης µπορούµε να ακολουθήσουµε τους παρακάτω τρόπους: Από τον ορισµό της παραγώγου (σχέση (. Από το Θεώρηµα auch-riemann (σχέσεις (3 και (8. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ χρήσιµο και στη διαπίστωση της µη αναλυτικότητας µιας µιγαδικής συνάρτησης. Αν γνωρίζουµε τις παραγώγους µερικών ϐασικών συναρτήσεων µπορούµε να ϐρούµε τις πα- ϱαγώγους άλλων συναρτήσεων που προκύπτουν από αυτές χρησιµοποιώντας τους κανόνες παραγωγίσεως, όπως ακριβώς και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Αυτός είναι ο λόγος που δε ϑα ασχοληθούµε πάρα πολύ µε την εύρεση των πα- ϱαγώγων πολλών συναρτήσεων. Αν οι συναρτήσεις f(z και g(z είναι αναλυτικές σε έναν τόπο τότε είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις f(z ± g(z, f(z g(z και f(z/g(z εφόσον g(z. Οι ασκήσεις: α, δ, ε, α, δ, και 7 του 3ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες τη ευτέρα

19 ΜΜΦ Ι 5/-3-9 f w (z lim z z lim f(z + z f(z z z Θεώρηµα auch-riemann Α. Καρτεσιανές συντεταγµένες u v, u v f (z u v +i v i u f Β. Πολικές συντεταγµένες u r v r θ f (z ( u iz θ + i v θ f iz θ r f z r, v r u r θ ( ( i f (3 (4 ( u e iθ r + i v r ισχύουν οι ίδιοι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν και στις πραγµατικές συναρτήσεις καθώς και ο κανόνας Hospital Αν οι συναρτήσεις f(z και g(z είναι αναλυτικές σε έναν τόπο τότε είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις f(z±g(z, f(z g(z και f(z/g(z εφόσον g(z. (5 Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες auch - Riemann σε πολικές συντεταγµένες f(z z r e iθ (cos θ i sin θ r u r cos θ, v r sin θ, r u r r cos θ, v r r sin θ, Εποµένως u r v r θ, v θ r cos θ u θ r sin θ v r u r θ, r Ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann και οι πρώτες µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτήσεις για r. Ετσι η παράγωγος είναι f (z f iz ος τρόπος. d dz iz θ iz ( i e iθ r ( θ r e iθ ( r e iθ z z z z z z z Αν η συνάρτηση f(z είναι αναλυτική τότε f z f (z και f z (6 ηλαδή, οι αναλυτικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z. Η παρατήρηση αυτή ϐοηθάει στην εύρεση της µορφής της αναλυτικής συνάρτησης αν είναι γνωστό το πραγ- µατικό και το ϕανταστικό µέρος της f(z. Για παράδειγµα η µορφή της αναλυτικής συνάρτησης f(z + i ( µπορεί να ϐρεθεί ϑέτοντας z (δηλαδή f(z z [ + i ( ] i και στην συνέχεια ϑέτοντας z f( z f(z i z Ασκηση 6 ( σελ. 88. Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(z z. Ασκηση 8β (σελ. 88 του ϐιβλίου. Να ϐρεθεί η πα- ϱάγωγος της συνάρτησης f(z n z για r και θ < (θ Arg z. Λύση. Η f(z ln z είναι πλειότιµη συνάρτηση. Αν διαλέξουµε όµως τον κλάδο για k και θ < η w n z nr + iθ είναι συνάρτηση. Το πραγµατικό µέρος, το ϕανταστικό µέρος και και οι µερικές παράγωγοι u r, u θ, v v r και θ είναι u(r, θ nr, u r r, u θ, v(r, θ θ v r, v θ Ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann σε πολικές συντεταγµένες (σχέσεις (4 και οι µερικές παράγωγοι u r, u θ, v v r και θ είναι συνεχείς συναρτήσεις για r. Εποµένως η παράγωγος τη συνάρτησης nz για r, σύµφωνα µε τη σχέση (5 είναι d dz nz iz nz θ iz i z, r Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε για όλους τους κλάδους της συνάρτησης f(z ln z.

20 Θεώρηµα: Το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος µιας αναλυτικής συνάρτησης ικανοποιούν την εξίσωση aplace σε δύο διαστάσεις. Απόδειξη. Επειδή η f(z είναι αναλυτική ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann u v u v u v u v Αν η συνάρτηση v(, έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους τότε ισχύει v v. `Ετσι από τις δύο προηγούµενες εξισώσεις έχουµε u + u που είναι η εξίσωση aplace στο επίπεδο. `Οµοια ϐρίσκεται ότι v + v Σηµείωση. Επειδή η εξίσωση του aplace είναι µια από τις σπουδαιότερες εξισώσεις της ϕυσικής, από το προηγούµενο ϑεώρηµα µπορούµε να καταλάβου- µε την χρησιµότητα των µιγαδικών συναρτήσεων στη Φυσική. Βλέπε για µια εφαρµογή στο εδάφιο 3.5 στη σελίδα 85 του ϐιβλίου. Ορισµός. Η πραγµατική συνάρτηση u(, που έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους σε ένα τόπο και ικανοποιεί την εξίσωση του aplace στο επίπεδο λέγεται αρµονική συνάρτηση. Ορισµός. ύο αρµονικές συναρτήσεις u(, και v(, λέγονται συζυγείς αρµονικές όταν η µιγαδική f(z u(, + iv(, είναι αναλυτική συνάρτηση. Σηµείωση. Αν δοθεί µια αρµονική συνάρτηση, ορισµένη σε ένα τόπο, τότε µπορεί να προσδιοριστεί η αρµονική συζυγής της η οποία ϑα περιέχει µια στα- ϑερά ολοκλήρωσης. Ασκηση (σελ.89 του ϐιβλίου. Να δειχθεί ότι κάθε αρµονική συνάρτηση u(, σε έναν απλά συνεκτικό τόπο R έχει µια οικογένεια αρµονικών συζυγών συναρτήσεων που διαφέρουν µεταξύ τους κατά µια στα- ϑερά. Συγκεκριµένα να δειχθεί ότι η οικογένεια των αρµονικών συζυγών δίδεται από την σχέση v(, (, (, u d + u d + c Απόδειξη. Αν u(, είναι αρµονική συνάρτηση και v(, η συζυγής αρµονικής της, τότε η f(z u + iv είναι αναλυτική και ισχύουν οι συνθήκες auch- Riemann. u v και καθώς και οι εξισώσεις του aplace u v u + u, v + v Το ολικό διαφορικό της v(, είναι από την (9 και ( έχουµε (9 dv v v d + d ( dv u }{{} P (, d + u d ( }{{} Q(, P Λόγω της εξίσωσης aplace ισχύει : Q. Ετσι η εξίσωση ( είναι µια πλήρης εξίσωση διαφορικών και εποµένως v (, (, u d + u d + c ( Το ολοκλήρωµα της ( είναι ανεξάρτητο του δρόµου ολοκλήρωσης αφού οι P (, και Q(, είναι συνεχείς µε συνεχείς πρώτες µερικές παραγώγους (δηλαδή συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους της u(, στον απλά συνεκτικό τόπο R. Παράδειγµα. Η συνάρτηση u(, είναι αρµονική συνάρτηση αφού u + u. Επειδή u και u η v(,, σύµφωνα µε την προηγούµενη άσκηση, είναι όπου v (, (, u d + u d + c d + + d + c + c ( + ( + c ( + c c c+ + µια νέα αυθαίρετη σταθερά.

21 Η αναλυτική συνάρτηση είναι f(z u + iv + i ( + i c Για z ( f( i + i c. Για z f(z i z + i c. Ασκηση 8 (σελ.89 του ϐιβλίου. ίνεται η συνάρτηση u(, 3 +a. Να προσδιοριστεί η παράµετρος a ώστε u(, Ref(z και f(z αναλυτική. Ποιά είναι η συνάρτηση f(z όταν f( ; Λύση. Η u(, πρέπει να είναι αρµονική Επειδή u 3 + a u 6 u a u a u + u 6 + a a 3 Η συνάρτηση u(, 3 +a για a 3 είναι αρµονική (,. Οι µερικές παράγωγοι της u είναι u 3 + 3, u 6 Η συζυγής αρµονική συνάρτηση της u σύµφωνα µε την άσκηση είναι v (, u (, d + u d + c (, 6 d + ( d + c (, B d Η αναλυτική συνάρτηση είναι f(z i( ic f(z 3 + ic f(z z z 3 + ic Επειδή f(, έχουµε + + ic c i και εποµένως η f(z είναι f(z + z z 3. Ασκηση (σελ.89 του ϐιβλίου. Η συνάρτηση f(z u(, + iv(, είναι αναλυτική. Να δειχτεί ότι οι καµπύλες u(, c και v(, c είναι ορθογώνιες εφόσον f (z, όπου z το σηµείο τοµής των u c και v c. Λύση Οι σχέσεις u(, c και v(, c µε c και c δύο σταθερές παριστάνουν δύο καµπύλες στο z- επίπεδο. Στο σηµείο τοµής z τα εφαπτόµενα διανύσµατα αυτών σχηµατίζουν µια γωνία. Πρέπει να δείξουµε ότι αυτά τέµνονται κάθετα. Αρκεί να δείξουµε ότι τα κάθετα διανύσµατα στις εφαπτόµενες, που είναι u και v, τέµνονται κάθετα. z-επιπεδο z uc u v ( u i + u u v + u v vc ( v j i + v j d Το ολοκλήρωµα αυτό είναι ανεξάρτητο του δρόµου ολοκλήρωσης. ιαλέγουµε το δρόµο ΟΑΒ του σχή- µατος v 6 d + ( d OA }{{}}{{} d + 6 d + ( d +c AB }{{}}{{} d ( d + c c A 3 Χρησιµοποιούµε τις συνθήκες auch-riemann u v u ( u + u ( u u v Αυτό ισχύει εφόσον στο σηµείο z ισχύει f (z. Αν f (z τότε u u v v u v Ολοκλήρωση Μιγαδικής Συνάρτησης Επειδή η ολοκλήρωση µιας Μ.Σ. ορίζεται κατά µήκος µιας καµπύλης ϑα αναφέρουµε µερικούς ορισµούς από την ανάλυση.

22 Ενα σύνολο σηµείων (, του επιπέδου λέµε ότι αποτελούν µια συνεχή καµπύλη αν οι συναρτήσεις της πραγµατικής µεταβλητής t(t a t t b (t, (t, t a t t b είναι συνεχείς συναρτήσεις Η συνεχής καµπύλη λέγεται απλά κλειστή καµπύλη αν (t a (t b και (t a (t b και δεν υπάρχουν άλλες τιµές του t που αντιστοιχούν στο ίδιο σηµείο. Η συνεχής καµπύλη λέγεται λεία ή οµαλή όταν οι συναρτήσεις (t, (t και (t, (t είναι συνεχείς και οι παράγωγοι (t, (t δεν µηδενίζονται συγχρόνως για κανένα t. Αν η συνεχής καµπύλη είναι κατά τµήµατα λεία (δηλαδή (t, (t συνεχείς συναρτήσεις και (t, (t κατά τµήµατα συνεχείς τότε λέγεται δρόµος. Το µήκος του δρόµου είναι ta t a [ (t] + [ (t] dt Ορισµός του ολοκληρώµατος Η καµπύλη του σχήµατος είναι ένας δρόµος για τον οποίο γνωρίζουµε τις παραµετρικές του εξισώσεις (t, (t, t a t t b Τα σηµεία (, ((t, (t του δρόµου ορίζουν τη µιγαδική συνάρτηση της πραγµατικής µεταϐλητής t, z z(t (t + i(t Αυτή είναι συνεχής συνάρτηση του t. ζ ζ 3 z ζ z az z 3 bz n Θεωρούµε τη µιγαδική συνάρτηση f(z που ορίζεται zɛ και σχηµατίζουµε το άθροισµα S n n f(ζ j z j, z j z j z j (3 j Τα σηµεία z,..., z n είναι τυχαία σηµεία του δρό- µου που τον χωρίζουν σε τµήµατα και αντιστοιχούν σε αυξανόµενες τιµές της παραµέτρου t(t j+ > t j. Τα σηµεία ζ j είναι τυχαία σηµεία του δρόµου µεταξύ των σηµείων z j και z j. Σηµείωση: Η τιµή του αθροίσµατος S n εξαρτάται από τον τρόπο που χωρίσαµε τον δρόµο σε n τµήµατα και από τον τρόπο εκλογής των τυχαίων σηµείων ζ j. Ορισµός: Αν για z j j υπάρχει το όριο του αθροίσµατος S n και είναι ανεξάρτητο του τρόπου µε τον οποίο έχουν εκλεγεί τα σηµεία z j και ζ j, τότε το όριο αυτό λέγεται ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου και συµβολίζεται S lim S n S f(zdz (4 z j Επειδή f(z u + iv και z j ( j j + i( j j j + i j το άθροισµα S n της (3 γράφεται : S n + i n [u(ζ j j v(ζ j j ] j n [v(ζ j j + u(ζ j j ] (5 j Οταν υπάρχει το όριο της (3 για z j υπάρχουν και τα όρια της (5 για j και j j. Ετσι το ολοκλήρωµα της (4 γράφεται S f(zdz ud vd+i vd+ud (6 Τα δύο ολοκληρώµατα της σχέσης (6 υπάρχουν όταν οι πραγµατικές συναρτήσεις και u(, u((t, (t u(t v(, v((t, (t v(t της πραγµατικής µεταβλητής t είναι κατά τµήµατα συνεχής. Εποµένως το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου υπάρχει όταν η f(z είναι κατά τµήµατα συνεχής επάνω στο δρόµο. Μια άλλη µορφή του ολοκληρώµατος Επειδή z z(t (t + i(t dz dt d dt + id dt 4

23 η (6 γράφεται Παράγουσα συνάρτηση S ηλαδή tb t a tb t a (u d dt v d dt dt + i tb t a (u + iv( d dt + id dt dt S tb t a (v d dt + ud dt dt f ( z(t dz(t dt (7 dt Η µορφή αυτή του ολοκληρώµατος είναι πολύ χρήσι- µη επειδή µπορούµε να ολοκληρώσουµε µια Μ.Σ. κατά µήκος ενός δρόµου όπως και τα ορισµένα ολοκλη- ϱώµατα των πραγµατικών συναρτήσεων, αφού ϐρούµε πρώτα τις παραµετρικές εξισώσεις του δρόµου. Σηµείωση. Οταν η παράµετρος t αυξάνει από µια αρχική τιµή t a στην τελική τιµή t b ο δρόµος πρέπει να διαγράφεται από το σηµείο a στο σηµείο b Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα (z z n dz όταν ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι ο κύκλος : z z + re iθ, θɛ[, ] και όταν n. z re iθ z (z z n dz (z z n+ ( π r e iθ n+ n + π n + Επειδή dz dθ ireiθ το ολοκλήρωµα γράφεται rn+ ( e i(n+π e n + (z z n dz [re iθ ] n ire iθ dθ rn+ n + (( n+ ir n+ e i(n+θ dθ ir n+ r n+ i(n + ei(n+θ όταν n k + n + r n+ όταν n k (n + [ei(n+ e ] Ποιά είναι η τιµή του ολοκληρώµατος όταν n ; Το ολοκλήρωµα αυτό για n δίνει (z z dz r e iθ ire iθ dθ i dθ i Η τιµή του ολοκληρώµατος για n και για n και για το δοσµένο δρόµο είναι { (z z n n dz i n Σε επόµενο µάθηµα ϑα δούµε ότι το αποτέλεσµα αυτό ισχύει για κάθε κλειστό δρόµο που περικλείει το σηµείο z z. 5 Το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος ενός δρόµου µπορεί να υπολογιστεί όπως και ένα ολοκλήρωµα µιας πραγµατικής συνάρτησης όταν σε έναν τόπο του z επιπέδου, που περιέχει το δρόµο, η f(z µπορεί να εκφραστεί ως η παράγωγος µιας άλλης συνάρτησης F (z. ηλαδή f(z F (z. Η F (z λέγεται παράγουσα συνάρτηση της f(z. Ετσι αν f(z F (z f(z dz dt df (z dz dz dt df (z(t dt η σχέση (7 γράφεται tb ( df z(t S dt F (b F (a (8 dt t a ηλαδή, όταν υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z, το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο από το δρόµο που ενώνει τα σηµεία a και b. Παράδειγµα. Να υπολογιστεί πάλι το ολοκλήρωµα (z z n dz όταν ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι το τόξο του κύκλου : z z + re iθ, θɛ[, π] και όταν n. Επειδή d(z z n dz n+ (z z n+ και z z r e iθ το ολοκλήρωµα γράφεται

24 ΜΜΦ Ι 6/6-3-9 Ολοκλήρωση Μιγαδικής Συνάρτησης z z(t (t + i(t, t a t t b, συνεχής συνάρτηση z και f(z ορίζεται πάνω στον δρόµο. ζ ζ 3 z ζ z az z 3 bz n Αν το όριο του αθροίσµατος S n n f(ζ j (z j z j j υπάρχει ανεξάρτητα από τον τρόπο εκλογής των z j και ζ j, όταν z j z j j, το όριο αυτό λέγεται ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου και συµβολίζεται S lim S n f(z dz z j z j Η τιµή του ολοκληρώµατος εξαρτάται από τη συνάρτηση, το δρόµο και τη ϕορά διαγραφής του. Το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου µπορεί να γραφεί µε τις µορφές S tb t a f(zdz f ( z(t dz(t dt ud vd + i vd + ud dt ( Το ολοκλήρωµα της f(z υπάρχει όταν η f(z είναι συνεχής ή κατά τµήµατα συνεχής επάνω στο δρόµο. Αν f(z F (z. Η F (z λέγεται παράγουσα συνάρτηση της f(z, τότε tb ( df z(t S dt F (b F (a ( dt t a ηλαδή, όταν υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z, το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο από το δρόµο που ενώνει τα σηµεία a και b. Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες του ολοκληρώµατος µιας Μ.Σ κατά µήκος ενός δρόµου. Η απόδειξη των ιδιοτήτων είναι απλή και στηρίζεται στον ορισµό του ολοκληρώµατος. b a f(zdz f(z dz a b af(zdz a f(zdz, (a σταθερά f(zdz + f(zdz f(z dz + [f(z + g(z]dz f(zdz + g(z dz b f (zg(zdz f(zg(z b b f(zg (zdz a a (οι συναρτήσεις f(z, g(z είναι αναλυτικές f(zdz f(z dz M M ma z f(z και το µήκος του δρόµου Η τελευταία σχέση λέγεται ανισότητα του Darbou και χρησιµοποιείται στον εύρεση ενός άνω ϕράγµατος του ολοκληρώµατος. Σηµείωση. Η τιµή ενός ολοκληρώµατος εξαρτάται από τη ϕορά διαγραφής του δρόµου. Αν αλλάξουµε τη ϕορά διαγραφής του δρόµου το ολοκλήρωµα αλλάζει πρόσηµο. Οταν ο δρόµος είναι κλειστός λαµβάνεται ως ϑετική ϕορά η ϕορά διαγραφής του δρόµου που είναι αντί- ϑετη µε την κίνηση των δεικτών του ϱολογιού. Το ολοκλήρωµα τότε το συµβολίζουµε f(zdz ή πιο απλά f(zdz + Την ολοκλήρωση κατά την αρνητική ϕορά τη συµ- ϐολίζουµε f(zdz `Ασκηση 3. (σελ. 7 του ϐιβλίου. Να υπολογιστεί ένα άνω ϕράγµα για το µέτρο του ολοκλη- ϱώµατος nz dz z όπου nz n z + iθ, θ [, και : z re iθ, θ (,. Λύση Επειδή f(z n z + iθ z (nr + θ r a

25 η µέγιστη τιµή της ολοκληρωτέας συνάρτησης για z είναι (nr + 4π M r Σύµφωνα µε την ανισότητα του Darbou και επειδή το µήκος του δρόµου είναι r, ένα άνω ϕράγµα του µέτρου του ολοκληρώµατος είναι 3 nz dz (nr + 4π z r r (nr + 4π r Λύση Ασκηση 4 (σελ. 7 του ϐιβλίου. Η άσκηση S z dz z dz + z dz + z dz αυτή Ϲητάει τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος 3 +4i z dz κατά µήκος τριών δρόµων (ϐλέπε εκ- +i ϕώνηση του ϐιβλίου. : z, ɛ[, ], dz d Λύση Επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική : z e iθ, θɛ[, π ], dz dθ ieiθ z (z, η τιµή του ολοκληρώµατος 3 : z i, ɛ[, ], dz id ϑα είναι µόνο µια, όποιο δρόµο και αν χρησιµοποιήσουµε. Ετσι +4i z dz +4i +i 3 z3 ] z [( dz d + 4i 3 ( + i 3 +i 3 π 86 3 i6 z dz (e iθ ie iθ dθ Προσπαθήστε να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα κατά µήκος των τριών δρόµων της εκφώνησης και ελέγξτε ότι παίρνετε το ίδιο αποτέλεσµα. Ασκηση 5 (σελ. 7 του ϐιβλίου. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα zeiz dz, όπου η ευθεία που ενώνει τα σηµεία z i και z i. Λύση Επειδή οι συναρτήσεις z και e iz είναι αναλυτικές z και υπάρχουν οι παράγουσες συναρτήσεις αυτών, µπορούµε να εφαρµόσουµε τον κανόνα της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης ze iz dz z d i dz (eiz dz (ze iz i i z e iz dz i i i ( i ie + ie e iz dz i i (ie + ie i i i eiz i e + e + (e e e `Ασκηση 6 (σελ.7 του ϐιβλίου. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα S z dz όπου ο κλειστός δρόµος του σχήµατος. 3 z dz i4 π Εποµένως S e iθ e iθ dθ i (i id d z dz + i i Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα z dz όταν : z re iθ, θ [, ]. S z re iθ, z re iθ, dz dθ ireiθ ir z dz re iθ ire iθ dθ ir dθ Από το παράδειγµα και την άσκηση 6 ϐλέπουµε ότι η τιµή ενός ολοκληρώµατος εξαρτάται από το δρόµο ολοκλήρωσης.

26 Θεώρηµα του auch για απλά συνεκτικό τόπο. Αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική επάνω στον κλειστό δρόµο και σε κάθε σηµείο του απλά συνεκτικού τόπου που περικλείεται από το δρόµο, τότε f(zdz (3 Η απόδειξη" του ϑεωρήµατος υπάρχει στη σελίδα του ϐιβλίου. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ ϐασικό στη ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων. Άµεση συνέπεια του ϑεωρήµατος είναι το παρακάτω πόρισµα. Πόρισµα. Το ολοκλήρωµα της f(z µεταξύ δύο σηµείων a και b είναι ανεξάρτητο από το δρό- µο ολοκλήρωσης, εφόσον η f(z είναι αναλυτική στον τόπο που περικλείεται από δύο διαφορετικούς δρόµους που ενώνουν τα σηµεία a και b και επάνω στους δρόµους αυτούς. Αν η f(z είναι αναλυτική επάνω στους δρόµους και και σε κάθε σηµείο του τόπου που περικλείεται από αυτούς, τότε αν ορίσουµε τον κλειστό δρόµο + (, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του auch ϑα έχουµε : a f(zdz f(zdz + f(zdz f(zdz f(zdz f(zdz f(zdz ανεξάρτητο του δρόµου Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα ez dz όταν Επειδή η f(z e z είναι αναλυτική z (z, η τιµή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη του b δρόµου που ενώνει τα σηµεία z και z 5. Μπορεί εποµένως να υπολογιστεί όπως το ολοκλήρωµα της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης αν διαλέξουµε ως δρόµο ολοκλήρωσης το ευ- ϑύγραµµο τµήµα του άξονα που ενώνει τα ση- µεία και 5. e z dz 5 5 e d e e 5 Σηµείωση. Πριν από τον υπολογισµό ενός ολοκληρώµατος πρέπει να εξετάζουµε που είναι και που δεν είναι αναλυτική η ολοκληρωτέα συνάρτηση. Αν υπάρχει κάποιος τόπος που πε- ϱικλείει το δρόµο ολοκλήρωσης και στον οποίο η ολοκληϱωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε διαλέγουµε ως δρόµο ολοκλήρωσης τον πιο απλό δρόµο του τόπου, όπως έγινε στο προηγούµενο παράδειγµα. Ασκηση για το σπίτι. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα dz όταν ο δρόµος είναι το τόξο z του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων, ακτίνα r και που ενώνει τα σηµεία z + i και z i. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία z και z ; Σηµείωση : Οταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει παράγουσα συνάρτηση ο υπολογισµός του ολοκληϱώµατος γίνεται όπως και στα ολοκληρώ- µατα των πραγµατικών συναρτήσεων. Θεώρηµα του auch για πολλαπλά συνεκτικό τόπο. Αν η f(z είναι αναλυτική συνάρτηση σε έναν κλειστό πολλαπλά συνεκτικό τόπο, που περιορίζεται εξωτερικά από το δρόµο και εσωτερικά από τους δρόµους,,..., n τότε f(zdz f(zdz + + n f(zdz (4 Η απόδειξη ϐρίσκεται στο ϐιβλίο στη σελίδα. 3

27 n Ασκηση. Ποιά είναι η τιµή του ολοκληρώµατος (z z n dz όταν ο δρόµος δεν περικλείει το σηµείο z z ; Παράδειγµα 4. Να { δειχτεί ότι n (z z n dz όταν n ακέ- i n ϱαιος και ένας δρόµος που περικλείει το ση- µείο z. Λύση Οταν n η f(z (z z n είναι αναλυτική επάνω στο δρόµο και στο εσωτερικό του και σύµφωνα µε το Θεώρηµα του auch για απλά συνεκτικό τόπο έχουµε (z z n dz για n Οταν n < περικλείουµε το σηµείο z µε τον κύκλο : z z r. Σχηµατίζεται ο διπλά συνεκτικός τόπος στον οποίο η f(z (z z n είναι η αναλυτική. Το µόνο ανώµαλο σηµείο της f(z είναι το σηµείο z z που δεν ανήκει στον τόπο. Ετσι σύµφωνα µε το Θεώρηµα του auch για πολλαπλά συνεκτικό τόπο έχουµε (z z n dz (z z n dz Το τελευταίο ολοκλήρωµα το υπολογίσαµε στο προηγούµενο µάθηµα και είδαµε ότι για : z z + re iθ, θ [, ] ισχύει { n (z z n dz i n Ετσι για κάθε δρόµο που περικλείει το σηµείο z και για n ακέραιος ισχύει η σχέση { n (z z n dz (5 i n z r Θεώρηµα - Τύπος του auch. Αν η f(z είναι µια αναλυτική συνάρτηση επάνω σε έναν κλειστό δρόµο και σε κάθε σηµείο του τόπου που περικλείεται από το δρόµο, τότε για κάθε εσωτερικό σηµείο z του δρόµου ισχύει f(z i f(z z z dz (6 Η απόδειξη ϐρίσκεται στο ϐιβλίο στη σελίδα 6. Παρατήρηση. Σύµφωνα µε τον τύπο του auch, αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική σε έναν τόπο και οι τιµές της είναι γνωστές στο σύνορο του τόπου τότε οι τιµές της συνάρτησης στο εσωτερικό του τόπου µπορούν να ϐρεθούν µέσω του τύπου (6 από τις τιµές της στο σύνορο του τόπου. Με άλλα λόγια αν η f(z είναι αναλυτική σε έναν τόπο, τότε οι τιµές της f(z στο σύνορο του τόπου καθορίζουν πλήρως τις τιµές της σε όλα τα σηµεία του τόπου. ηλαδή, δεν υπάρχουν περιθώρια εκλογής στον καθορισµό της f(z στο εσωτερικό του τόπου όταν δοθούν οι τιµές της στο σύνορο του τόπου. Ασκηση 9 (σελ. 8 του ϐιβλίου. Να δειχθεί ότι dz, : z R > z + z Η f(z είναι παντού αναλυτική z +z z(z+ εκτός των σηµείων z και z. Αποµονώνουµε τα σηµεία z και z µε τους κλειστούς δρό- µους και. Στον πολλαπλά συνεκτικό τόπο, µε σύνορα τους δρόµους,, η f(z είναι αναλυτική. Ετσι z z 4