ΑΛΓΔΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΣΡΩΝ

Transcript

1 ΑΛΓΔΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ή ΜΗΣΡΩΝ Η άιγεβξα πηλάθσλ καο επηηξέπεη: Να γξάςνπκε κε πεξηεθηηθό ηξόπν έλα κεγάιν ζύζηεκα γξακκηθώλ εμηζώζεσλ Να ειέγμνπκε ηελ ύπαξμε ιύζεο ζε έλα ζύζηεκα γξακκηθώλ εμηζώζεσλ κε ηε ρξεζηκνπνίεζε ηεο νξίδνπζαο θαη, Μέζσ κίαο κεζόδνπ πνπ καο δίλεη, λα βξνύκε ηε ιύζε ελόο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο, (εάλ ππάξρεη). Η άιγεβξα πηλάθωλ είλαη εθαξκόζηκε κόλν ζε γξακκηθά ζπζηήκαηα εμηζώζεωλ

2 Έζησ έλα γξακκηθό ζύζηεκα m εμηζώζεσλ α x +α x +.+α x =d α x +α x +.+α x =d α m x +α m x + +α m x =d m Σύλνιν ησλ ζπληειεζηώλ α ij Σύλνιν ησλ κεηαβιεηώλ x Σύλνιν ησλ ζηαζεξώλ όξσλ Τν ζύζηεκα κπνξεί ηώξα λα γξαθηεί κε ηελ βνήζεηα πηλάθσλ σο: Αx=d

3 Ο Πίλαθαο ή Μήηξα νξίδεηαη σο κία δηάηαμε αξηζκώλ ηνπνζεηεκέλσλ ζε γξακκέο θαη ζε ζηήιεο Ο πίλαθαο γξάθεηαη σο εμήο: Η παξαπάλσ δηάηαμε αξηζκώλ νλνκάδεηαη πίλαθαο ή κήηξα m γξακκώλ θαη ζηειώλ Δάλ m()= έρνπκε πίλαθα γξακκή (ζηήιε) Δάλ m= ηόηε έρνπκε ηνλ ηεηξαγωληθό πίλαθα θαη ηα ζηνηρεία α, α,.α m ζα απνηεινύλ ηελ θύξηα δηαγώλην ηνπ πίλαθα ελώ ηα ζηνηρεία α, α -, α m απνηεινύλ ηα ζηνηρεία ηεο δεπηεξεύνπζαο δηαγωλίνπ.

4 ΔΙΓΙΚΔ ΜΟΡΦΔ ΠΙΝΑΚΩΝ Μνλαδηαίνο Πίλαθαο Άλω ηξηγωληθόο Κάηω ηξηγωληθόο Γηαγώληνο Πίλαθαο Αλάζηξνθνο Πίλαθαο πκκεηξηθόο Πίλαθαο σο πξνο ηελ θύξηα δηαγώλην αλ ηζρύεη α ij =α ji

5 ΠΡΑΞΔΙ ΜΔΣΑΞΤ ΠΙΝΑΚΩΝ Πξόζζεζε θαη Αθαίξεζε Πηλάθσλ Γύν πηλάθεο κπνξνύλ λα πξνζηεζνύλ εάλ θαη κόλν εάλ έρνπλ ηελ ίδηα δηάζηαζε Πνιιαπιαζηαζκόο κε βαζκσηό

6 Πνιιαπιαζηαζκόο Πηλάθσλ Έζησ δύν πίλαθεο Αmx θαη Βcxd. Μπνξεί λα γίλεη ν πνιιαπιαζηαζκόο ησλ δύν πηλάθσλ εάλ θαη κόλν εάλ =c Τν γηλόκελν ησλ δύν πηλάθσλ είλαη έλαο λένο πίλαθαο F δηαζηάζεσλ mxd ηνπ νπνίνπ ηα ζηνηρεία δίλνληαη από ηελ ζρέζε: Παξάδεηγκα: f ij d a id * dj

7 Γηαδηθαζία Πνιιαπιαζηαζκνύ A a a,, ΑΒ=C=[c. c, c 3 ] c =a +a c =a +a c =a 3 +a 3 B ΠΡΟΟΥΗ ΑΒ ΒΑ 3 c c c 3 k k k a a a 3 3 k k k k k k 3 AB () 3() (6) 4(6) ( 3( ) ) (7) 4(7) BA () 6() (3) 7(3) () 6() (4) 7(4)

8 ΜΔΣΑΘΔΣΙΚΗ, ΠΡΟΔΣΑΙΡΙΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΠΙΜΔΡΙΣΙΚΗ ΙΓΙΟΣΗΣΑ Αξηζκεηηθή Άιγεβξα Μεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηεο πξόζζεζεο Μεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο πξόζζεζεο Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ Δπηκεξηζηηθή ηδηόηεηα α+β=β+α αβ=βα (α+β)+γ=α+(β+γ) (αβ)γ=α(βγ) α(β+γ)=αβ+αγ Άιγεβξα Πηλάθωλ Μεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηεο πξόζζεζεο Μεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ δελ ηζρύεη Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο πξόζζεζεο Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ Δπηκεξηζηηθή ηδηόηεηα Α+Β=Β+Α ΑΒ ΒA (Α+Β)+Γ=Α+(Β+Γ) (ΑΒ)Γ=Α(ΒΓ) Α(Β+Γ)=ΑΒ+ΑΓ

9 Πάληα ηεηξαγσληθόο πίλαθαο ΙΑ=ΑΙ=Α ΣΑΤΣΟΣΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΔ Η παξνπζία ή ε απνπζία ελόο ηαπηνηηθνύ πίλαθα δελ αιινηώλεη ην γηλόκελν δύν πηλάθσλ Τν ηεηξάγσλν ελόο ηαπηνηηθνύ πίλαθα είλαη ίζν κε ηνλ ίδην ( ), ά,( ) k I

10 ΜΗΓΔΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΔ Σε αληίζεζε κε ηνλ ηαπηνηηθό πίλαθα, έλαο κεδεληθόο πίλαθαο κπνξεί δελ πεξηνξίδεηαη λα είλαη κόλν ηεηξαγσληθόο Ιδηόηεηεο κεδεληθώλ Πηλάθσλ

11 ΙΓΙΟΡΡΤΘΜΙΔ ΣΗ ΑΛΓΔΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ ΒΑ αβ= ηόηε α= ή β=. γηα ηνπο πίλαθεο δελ ηζρύεη ην αλάινγν cd=ce (κε c ) ηόηε d=e ην ίδην δελ ηζρύεη γηα ηνπο πίλαθεο C 6 3 9, D, E 3 CD CE , D E

12 ΑΝΑΣΡΟΦΟΙ ΠΙΝΑΚΔ Γύν πίλαθεο είλαη αλάζηξνθνη όηαλ νη γξακκέο θαη νη ζηήιεο ηνπο αληηκεηαηίζεληαη δειαδή ε πξώηε γξακκή ηνπ ελόο είλαη ε πξώηε ζηήιε ηνπ άιινπ θ.ν.θ. Σπκβνιίδεηαη κε Α ή Α Τ ΙΓΙΟΣΗΣΔ: ΑΝΣΙΣΡΟΦΟΙ ΠΙΝΑΚΔ Δάλ ππάξρεη ζπκβνιίδεηαη κε Α - θαη νξίδεηαη κόλν εάλ ν Α είλαη ηεηξαγσληθόο πίλαθαο θαη ζε απηή ηελ πεξίπησζε ηθαλνπνηεί ηελ ζπλζήθε: ΑΑ - =Α - Α=Ι Δάλ έλαο πίλαθαο δελ έρεη αληίζηξνθν θαιείηαη ιδιάζων Οη Α θαη Α - είλαη κεηαμύ ηνπο αληίζηξνθνη Γύν αληίζηξνθνη πίλαθεο έρνπλ αθξηβώο ηελ ίδηα δηάζηαζε θαη ην γηλόκελν ηνπο είλαη έλαο ηαπηνηηθόο πίλαθαο ηεο απηήο δηάζηαζεο Δάλ ν αληίζηξνθνο ππάξρεη ηόηε είλαη κνλαδηθόο ΙΓΙΟΣΗΣΔ:

13 Πεπεξαζκέλεο Αιπζίδεο Markov Οη αιπζίδεο Markov ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα κεηξήζνπλ ή λα εθηηκήζνπλ δηαρξνληθέο θηλήζεηο. Κάζε ζηνηρείν ηνπ πίλαθα Markov είλαη ε πηζαλόηεηα κεηάβαζεο από ηελ κία θαηάζηαζε (ηνπνζεζία, εξγαζία θιη.) ζε κία άιιε. Υπάξρεη επίζεο έλα δηάλπζκα πνπ πεξηέρεη ηελ αξρηθή θαηαλνκή ησλ δηαθόξσλ θαηαζηάζεσλ.

14 Πεπεξαζκέλεο Αιπζίδεο Markov Αλ ζπκβνιίζνπκε κε Α t θαη B t ηνπο πιεζπζκνύο ηεο Α θαη Β επηρείξεζεο αληίζηνηρα ζε θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή t, νξίδνπκε ηηο πηζαλόηεηεο κεηάβαζεο ωο εμήο: AA Η πηζαλόηεηα έλαο ππάιιεινο ηνπ Α λα παξακείλεη ζην Α AΒ Η πηζαλόηεηα έλαο ππάιιεινο ηνπ Α λα κεηαβεί ζην Β ΒA Η πηζαλόηεηα έλαο ππάιιεινο ηνπ Β λα κεηαβεί ζην Α ΒΒ Η πηζαλόηεηα έλαο ππάιιεινο ηνπ Β λα παξακείλεη ζην Β Αλ παξαζηήζνπκε ηελ θαηαλνκή ησλ ππαιιήισλ ζηνπο δύν θιάδνπο ηε ρξνληθή ζηηγκή σο δηαλπζκαηηθή κνξθή θαη ηηο πηζαλόηεηεο κεηάβαζεο ζε κνξθή πίλαθα Τόηε ε θαηαλνκή ησλ ππαιιήισλ ζηνπο δύν θιάδνπο ηελ επόκελε ρξνληθή πεξίνδν t+ είλαη:

15 Πεπεξαζκέλεο Αιπζίδεο Markov Γηα αλ βξνύκε ηελ θαηαλνκή ηωλ ππαιιήιωλ κεηά από δύν πεξηόδνπο: Γεληθώο γηα πεξηόδνπο:

16 Απνξξνθώζεο Αιπζίδεο Markov Δπεθηείλνληαο ην ππόδεηγκα πξνζζέηνληαο κηα Τξίηε επηινγή: Οη ππάιιεινη κπνξνύλ λα εγθαηαιείςνπλ ηελ εηαηξεία/ηνκέα κε AE ε πηζαλόηεηα έλαο ππάιιεινο ηεο Α λα επηιέμεη ηελ Έμνδν Δ ΒΔ ε πηζαλόηεηα έλαο ππάιιεινο ηεο Β λα επηιέμεη ηελ Έμνδν Δ ΔΑ, ΔΒ θαη ΔΔ είλαη νη πηζαλόηεηεο έλαο ππάιιεινο πνπ είλαη ηώξα ζηελ θαηάζηαζε Δ λα πάεη ζηελ Α, Β ή Δ, αληίζηνηρα θαη είλαη ίζεο κε,, θαη αληίζηνηρα. Με άιια ιόγηα θαζέλαο πνπ θεύγεη δελ επηζηξέθεη.. Απηνί νη πεξηνξηζκνί ζπλεπάγνληαη όηη ε εηαηξεία πνηέ δελ αληηθαζηζηά έλαλ ππάιιειν πνπ θεύγεη (δελ ππάξρνπλ λέεο πξνζιήςεηο) A A B B E E AA BA EA AA BA AB BB EB AB BB AE BE EE AE BE [ A B [ A B E E ] ]