126) ) = (s + Ω c )(s 2 + Ω c s + Ωc 2 ). s 3 H(s) = = tan( π 6 ) = , Ω s 2. = tan( π 4 ) = 1. c) 3
|
|
- Φοίβος Αλιβιζάτος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÈÅÌÁ 1: Ó åäéüóôå Ýíá áíáëïãéêü áíùðåñáôü ößëôñï Butterworth ôüîçò L = 3 êáé óõ íüôçôáò áðïêïðþò 3 db Ω c = 2. Ðñïôåßíåôå áíáëïãéêü êýêëùìá ðïõ íá åßíáé óå èýóç íá õëïðïéþóåé ôï ößëôñï áõôü. Ëýóç: Åöáñìüæïõìå ôç èåùñßá ôïõ Åäáößïõ ìå ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò s = 1 s. Óýìöùíá ìå ôïí åí ëüãù ìåôáó çìáôéóìü ç óõ íüôçôáò áðïêïðþò 3 db Ω c ìåôáó çìáôßæåôáé óôçí Ω c = 1 Ω c. Ôï êáôùðåñáôü ößëôñï Butterworth ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò Ω c äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (âëýðå Óåëßäá 126) H κ (s (Ω ) = c) 3 (s + Ω c)((s ) 2 + Ω cs + (Ω c) 2 ). ÊÜíïíôáò áíôéêáôüóôáóç s 1 s êáé Ω c 1 Ω c âñßóêïõìå ôï ôåëéêü áíùðåñáôü ößëôñï ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï s 3 H(s) = (s + Ω c )(s 2 + Ω c s + Ωc 2 ). Ôï áíáëïãéêü êýêëùìá ðïõ ìðïñåß íá õëïðïéþóåé ôï ùò Üíù ößëôñï âñßóêåôáé óôç Óåëßäá 141, Ó Þìá 7.17 êáé üðïõ ôá Z i (s) èá åßíáé ðçíßá êáé èá ñåéáóôïýìå ôñåéò âáèìßäåò. ÈÅÌÁ 2: óôù üôé åðéèõìåßôå íá ó åäéüóåôå Ýíá øçöéáêü IIR ößëôñï Chebyshev 1ïõ ôýðïõ, áðïêïðþò æþíçò, ìå ôç ìýèïäï ôïõ äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý. Ïé ðñïäéáãñáöýò ôïõ ößëôñïõ åßíáé: æþíç áðïêïðþò [ π π 3 2 ], æþíåò äéüâáóçò [0 0.9 π 3 ] êáé [1.1 π 2 π] êáé δ p = δ s = ÁíáöÝñåôå ôïõò ìåôáó çìáôéóìïýò ðïõ èá ñåéáóôåß íá åöáñìüóåôå, ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ ôåëéêïý êáôùðåñáôïý ößëôñïõ ðïõ ïõóéáóôéêü èá ó åäéüóåôå êáèþò êáé ôï ôñüðï åðéëïãþò ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ ößëôñïõ áõôïý. Ìçí õðïëïãßóåôå ôïõò óõíôåëåóôýò ôïõ ößëôñïõ!!!. Ëýóç: Êáô' áñ Üò èá ðñýðåé íá ìåôáôñýøïõìå ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ øçöéáêïý ößëôñïõ óôéò áíôßóôïé åò åíüò áíáëïãéêïý ößëôñïõ áðïêïðþò æþíçò ñçóéìïðïéþíôáò ôç ó Ýóç Ω = tan ω 2. Åöáñìüæïíôáò, Ý ïõìå üôé Ω p1 = tan(0.9 π 6 ) = , Ω s 1 = tan( π 6 ) = , Ω s 2 = tan( π 4 ) = 1 êáé Ω p2 = tan(1.1 π 4 ) = Óôç óõíý åéá èá åöáñìüóïõìå ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò ãéá íá ìåôáó çìáôßóïõìå ôï ößëôñï áðïêïðþò æþíçò óå Ýíá êáôùðåñáôü ößëôñï. Ï ìåôáó çìáôéóìüò åßíáé ï s s = ðïõ óôç Ω0 2+s2 óõ íüôçôá áíôéóôïé åß óå Ω Ω =. ÅðéëÝãïõìå Ω Ω0 2 0 = Ω Ω2 s1 Ω s2 = ðñïêåéìýíïõ íá áðåéêïíßóïõìå áêñéâþò ôéò æþíåò áðïêïðþò áöïý áõôýò ìáò åíäéáöýñïõí ðåñéóóüôåñï óôçí ðåñßðôùóç áõôþ. Ìå åöáñìïãþ ôïõ ðáñáðüíù ìåôáó çìáôéóìïý ïé ôýóóåñéò óõ íüôçôåò ôïõ ößëôñïõ áðïêïðþò æþíçò , , 1, ìåôáó çìáôßæïíôáé óôéò åîþò óõ íüôçôåò ãéá ôï ôåëéêü êáôùðåñáôü ößëôñï: , , , ÅÜí ôïðïèåôþóïõìå ôéò ðñïçãïýìåíåò óõ íüôçôåò êáôü áýîïõóá óåéñü ôüôå Ý ïõìå , , , Ðáñáôçñïýìå üôé ïé óõ íüôçôåò áðïêïðþò , áðåéêïíßæïíôáé óõììåôñéêü, äåí óõìâáßíåé üìùò ôï ßäéï ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôùí óõ íïôþôùí äéüâáóçò , ÅðåéäÞ ôï êáôùðåñáôü ößëôñï åßíáé óõììåôñéêü èá ðñýðåé ìéá áðü ôéò äýï áõôýò óõ íüôçôåò íá áëëüîåé þóôå íá Ý ïõìå óõììåôñßá. ÅÜí åðéëýîïõìå ôéò , , , ôüôå áõôýò åßíáé åéêüíåò ôùí 1, Ω , , (ðñïýñ ïíôáé áðü ëýóç ôçò åîßóùóçò = Ω ùò ðñïò Ω) ôéò ïðïßåò åüí Ωo 2 ôïðïèåôþóïõìå óå áýîïõóá óåéñü êáôáëþãïõìå , , Ω2 1, Ðáñáôçñïýìå üôé ìå ôçí åðéëïãþ áõôþ ÄÅÍ éêáíïðïéïýíôáé ïé ðñïäéáãñáöýò áöïý Ý ïõìå ìåéþóåé ôçí ðñþôç æþíç äéüâáóçò áðü [0,0.5095] óå [0,0.4932]. ÅÜí åðéëýîïõìå , , , ôüôå ïé óõ íüôçôåò áõôýò åßíáé åéêüíåò ôùí 1, , , ïé ïðïßåò áí ôïðïèåôçèïýí óå áýîïõóá óåéñü êáôáëþãïõí , , 1, Ðáñáôçñïýìå üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éêáíïðïéïýíôáé ïé ðñïäéáãñáöýò áöïý Ý ïõìå áðëþò ìåéþóåé ôç æþíç ìåôüâáóçò (1, ) óå (1, ). Óõíïøßæïíôáò, ãéá ôï êáôùðåñáôü ößëôñï Ý ïõìå æþíç äéüâáóçò [0,1.6032], æþíç ìåôüâáóçò (1.6032,2.3663) êáé æþíç áðïêïðþò (2.3663, ). ïíôáò ðñïóäéïñßóåé ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ êáôùðåñáôïý ößëôñïõ Chebyshev èá ðñýðåé íá åðéëý- 1
2 îïõìå ôéò ðáñáìýôñïõò ɛ, L, Ω c. ïõìå üôé Ω c = Ω p = Ïé ðáñüìåôñïé ɛ êáé L õðïëïãßæïíôáé âüóåé ôùí ôýðùí (7.10) êáé (7.11) óôéò Óåëßäåò 130, 131 êáé Ý ïõìå üôé ɛ = , L = 11. Áöïý ó åäéüóïõìå ôï êáôùðåñáôü ößëôñï H κ (s ) åöáñìüæïõìå ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò s = s Ω 2 0 +s2, ãéá íá âñïýìå ôï áíáëïãéêü ößëôñï áðïêïðþò æþíçò êáé ôýëïò äéãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü s = 1 z 1 1+z 1 ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ôåëéêïý øçöéáêïý ößëôñïõ. ÈÅÌÁ 3: óôù üôé åðéèõìåßôå íá ó åäéüóåôå Ýíá øçöéáêü IIR ößëôñï Butterworth áðïêïðþò æþíçò ìå ôç ìýèïäï ôïõ äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý. Ïé ðñïäéáãñáöýò ôïõ ößëôñïõ åßíáé [0 ω p1 ], [ω p2 π] ïé äýï æþíåò äéüâáóçò ìå áíôßóôïé á åðéôñåðôü óöüëìáôá δ p1, δ p2 êáé [ω s1 ω s2 ] ç æþíç áðïêïðþò ìå åðéôñåðôü óöüëìá δ s, üðïõ ω p1 < ω s1 < ω s2 < ω p2. ÐåñéãñÜøôå ôïõò ìåôáó çìáôéóìïýò ôïõò ïðïßïõò èá ñçóéìïðïéþóåôå ðñïêåéìýíïõ íá êáôáëþîåôå óôï åðéèõìçôü ößëôñï. Íá åßóáóôå éäéáßôåñá ðñïóåêôéêïß óôï óçìåßï ôçò áíôéóôïß éóçò ôùí æùíþí áðü æùíïðåñáôü óå êáôùðåñáôü êáèþò êáé ôçò áíôéóôïß éóçò ôùí ìýãéóôùí åðéôñåðôþí óöáëìüôùí. Äßíåôáé üôé ï ìåôáó çìáôéóìüò óõ íüôçôáò óôïí áíáëïãéêü êüóìï áðü áðïêïðþò æþíçò óå êáôùðåñáôü åßíáé: s = s s 2 +Ω 2 0 â) óôù üôé åðéèõìåßôå íá ó åäéüóåôå Ýíá ðïëõðåñáôü ößëôñï ìå æþíåò äéüâáóçò [0 ω p0 ] êáé [ω p1 ω p2 ]. Ïëïêëçñþóôå ôïí ïñéóìü ôùí ðñïäéáãñáöþí êáé åîçãåßóôå ìå ðïéï ôñüðï èá ó åäéüóåôå ôï ößëôñï áõôü ñçóéìïðïéþíôáò ôç ìýèïäï ôùí ìåôáó çìáôéóìþí. Íá åßóáóôå éäéáßôåñá ðñïóåêôéêïß óôï èýìá ôùí ìýãéóôùí áðïäåêôþí óöáëìüôùí áíü ößëôñï ðïõ èá ó åäéüóåôå. Ëýóç: Ôï á) åßíáé ãíùóôü áðü ôç èåùñßá. â) Ãéá ôï äåýôåñï åñþôçìá èá ó åäéüóïõìå ôï ðïëõðåñáôü ößëôñï óõíäõüæïíôáò Ýíá êáôùðåñáôü ðáñüëëçëá ìå Ýíá æùíïðåñáôü. ÅðåéäÞ óôéò æþíåò áðïêïðþò èá áèñïßæïíôáé ôá óöüëìáôá ðñïóýããéóçò êáé ôùí äýï ößëôñùí èá ðñýðåé íá öñïíôßóïõìå þóôå ôï ìýãéóôï åðéôñåðôü óöüëìá óå êüèå ößëôñï íá åßíáé ôï ìéóü ôïõ ìýãéóôïõ åðéôñåðôïý óöüëìáôïò óôç æþíç áðïêïðþò. Óôéò æþíåò äéüâáóçò áðü ôçí Üëëç ðëåõñü èá óõíäõüæåôáé ôï óöüëìá ôùí æùíþí äéüâáóçò êüèå ößëôñïõ ìå ôï óöüëìá ôçò æþíçò áðïêïðþò ôïõ Üëëïõ ößëôñïõ. ÅðïìÝíùò êáé óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ðñýðåé íá öñïíôßóïõìå þóôå ôï åí ëüãù Üèñïéóìá íá ìçí õðåñâáßíåé ôï ìýãéóôï åðéôñåðôü óöüëìá. ÈÅÌÁ 4: óôù ðåñéïäéêü óþìá x α (t) ìå ðåñßïäï 1 ôï ïðïßï óôçí ðñþôç ðåñßïäï ïñßæåôáé ùò åîþò: { 1 0 t< 0.5 x α (t) = t< 1. Ôï áíáëïãéêü óþìá äåéãìáôïëçðôåßôáé ìå ðåñßïäï T s = 0.25 êáé óôï øçöéáêü óþìá åöáñìüæåôáé Ýíá éäáíéêü êáôùðåñáôü ößëôñï ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò 0.3π. Âñåßôå ôé ìïñöþ èá Ý åé ôï óþìá åîüäïõ. Õðüäåéîç: Ãéá åõêïëßá ðñþôá áíáëýóôå óå óåéñü Fourier ôï ðåñéïäéêü óþìá êáé ìåôü äåéãìáôïëçðôåßóôå êüèå üñï ôçò óåéñüò êáé åöáñìüóôå ôï êáôùðåñáôü ößëôñï. Ëýóç: Áíáëýïõìå ôï óþìá óå óåéñü Fourier x α (t) = k= a k e j2πkt, üðïõ a k = 1 0 x α (t)e j2πkt dt = j 1 ( 1)k. πk Ðáñáôçñïýìå üôé ôï óþìá Ý åé ôçí âáóéêþ óõ íüôçôá f 0 = 1 êáé ôéò áñìïíéêýò f k = k. ÅÜí äåéãìáôïëçðôþóïõìå ìå f s = 1/T s = 4 ôüôå ïé óõ íüôçôåò ãßíïíôáé λ k = k/4 ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìýò λ k = áêýñáéïò + 0 Þ 1 4 Þ 1 2 Þ 3 4 êáé ïé ïðïßåò áíáäéðëþíïíôáé óôéò 0, 1 4, 1 2, 1 4. Ìå Üëëá ëüãéá ìåôü ôç äåéãìáôïëçøßá ôï óþìá èá Ý åé ôñåéò ìüíï óõ íüôçôåò 0, 1 4, 1 2. ÌåôÜ áðü ôï öéëôñüñéóìá èá áèïýí ïé 1 4, 1 2 (áöïý óå êõêëéêýò áíôéóôïé ïýí óôéò π 2, π). ÅðïìÝíùò ç Ýîïäïò ôïõ ößëôñïõ èá åßíáé ç ìçäåíéêþ óõ íüôçôá, äçëáäþ ìéá óôáèåñü. Ç óôáèåñþ óõ íüôçôá üìùò ðñïýñ åôáé áðü ôéò áñìïíéêýò ôçò ìïñöþò f k = k = 4m ç åíýñãåéá ôùí ïðïßùí åßíáé a 4m = 0. ÄçëáäÞ ïé áñìïíéêýò ôéò 2
3 ìïñöþò f k = k = 4m äåí Ý ïõí êáèüëïõ åíýñãåéá, óõíåðþò ç óôáèåñü ðïõ èá ðüñïõìå óôçí Ýîïäï ôïõ ößëôñïõ èá åßíáé ìçäýí. ÈÅÌÁ 5: Äßíåôáé ôï ðáñáêüôù óõ íïôéêü ðåñéå üìåíï åíüò áíáëïãéêïý óþìáôïò ðåðåñáóìýíïõ åýñïõò æþíçò. Áí ç ðëçñïöïñßá ðïõ ìáò åíäéáöýñåé åßíáé óôï óõ íïôéêü äéüóôçìá [0 5KHz] âñåßôå KHz ðïéá åßíáé ç ìéêñüôåñç äõíáôþ óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò ðïõ ìðïñåßôå íá ñçóéìïðïéþóåôå þóôå íá ìçí áëëïéùèåß ç ðëçñïöïñßá. Ìå âüóç ôçí óõ íüôçôá áõôþ êáèïñßóôå ôéò ðñïäéáãñáöýò åíüò øçöéáêïý ößëôñïõ ôï ïðïßï íá áðïêáèéóôü ôï óþìá ðëçñïöïñßáò. Ëýóç: Ãíùñßæïõìå üôé üôáí äåéãìáôïëçðôïýìå ìå óõ íüôçôá f s, ü,ôé åíýñãåéá õðüñ åé óå óõ íüôçôåò ìåãáëýôåñåò ôïõ f s /2 áíáäéðëþíåôáé êáé åìöáíßæåôáé óôçí ðåñéï Þ óõ íïôþôùí [0, f s /2] áëëïéþíïíôáò ôï áíôßóôïé ï óõ íïôéêü ðåñéå üìåíï. Óýìöùíá ìå ôï èåþñçìá Nyquist, èá ìðïñïýóáìå íá äåéãìáôïëçðôþóïõìå ìå óõ íüôçôá f s = 15 ãåãïíüò ðïõ èá Üöçíå áíáëëïßùôï ïëüêëçñï ôï óþìá ìáò. Ìðïñïýìå üìùò íá äåéãìáôïëçðôþóïõìå êáé ìå ìéêñüôåñç óõ íüôçôá. Ðáñáôçñïýìå üôé åüí ñçóéìïðïéþóïõìå f s = ( ) = 12.5 ôüôå èá áíáäéðëùèïýí ïé óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [12.5/2,7.5] êáé èá ìåôáöåñèïýí óôï äéüóôçìá [5,12.5/2], ìå áðïôýëåóìá íá áëëüîïõí ôï ðåñéå üìåíï ìüíï ôïõ èïñýâïõ åíþ ç ðëçñïöïñßá ðáñáìýíåé áíýðáöç. ÅÜí ëïéðüí ñçóéìïðïéþóïõìå f s = 12.5 ôüôå óôï äåéãìáôïëçðôçìýíï óþìá ç óõ íüôçôá f s /2 = 6.25 áíôéóôïé ßæåôáé óôï π ìå áðïôýëåóìá ç 5 íá áíôéóôïé ßæåôáé óôï π5/6.25. Óõíåðþò ôï éäáíéêü êáôùðåñáôü ößëôñï ðïõ ðñýðåé íá ó åäéüóïõìå Ý åé óõ íüôçôá áðïêïðþò ω c = π5/6.25 êáé åßíáé óå èýóç íá áðïìáêñýíåé åíôåëþò ôï èüñõâï. ÈÅÌÁ 6: óôù üôé óáò äéáôßèåôáé Ýíá áíáëïãéêü óþìá x α (t) ôï ïðïßï ðåñéý åé óþìá öùíþò ìå èüñõâï. Óáò äéáôßèåôáé åðßóçò êáé Ýíáò ìåôáôñïðýáò áíáëïãéêïý óå øçöéáêü ï ïðïßïò Ý åé ìýãéóôç óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò 20KHz. Ôé Üëëá óôïé åßá èá ñåéáóôåßôå êáé ìå ðïéåò ðñïäéáãñáöýò, ðñïêåéìýíïõ íá öéëôñüñåôå øçöéáêü ôï åðéèõìçôü óþìá öùíþò êáé ìåôü íá ôï áêïýóåôå; ÁÉÔÉÏËÏÃÅÉÓÔÅ. Ëýóç: Áöïý åðéèõìïýìå íá áêïýóïõìå ôï åðåîåñãáóìýíï øçöéáêü óþìá áõôü óçìáßíåé üôé èá áðáéôçèåß íá ãßíåé áíáêáôáóêåõþ. Ãéá êáëýôåñç ðïéüôçôá áíáêáôáóêåõþò ùò ãíùóôüí ðñýðåé íá äåéãìáôïëçðôþóïõìå ìå ôç ìýãéóôç äõíáôþ óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò, äçëáäþ 20KHz. Áöïý ç óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò èá åßíáé 20KHz áõôü óçìáßíåé üôé èá õðüñîåé áíáäßðëùóç ôùí óõ íïôþôùí ðüíù áðü 10KHz. Ôï óþìá öùíþò ùò ãíùóôüí Ý åé óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [0 5KHz], åðïìýíùò üëåò ïé Üëëåò óõ íüôçôåò åßíáé èüñõâïò. Èá ðñýðåé åðïìýíùò ôéò óõ íüôçôåò ðüíù áðü 10KHz íá ôéò öéëôñüñïõìå ìå Ýíá áíáëïãéêü êáôùðåñáôü ößëôñï áíôéáíáäßðëùóçò. Ôï ößëôñï áõôü èá Ý åé ôéò åîþò ðñïäéáãñáöýò: æþíç äéüâáóçò [0 5KHz], æþíç áðïêïðþò [10KHz ) êáé æþíç ìåôüâáóçò [5KHz 10KHz]. Èá ìðïñïýóáìå åíáëëáêôéêü íá åðéôñýøïõìå áíáäßðëùóç óôç æþíç 3
4 èïñýâïõ ïðüôå ôï áíôßóôïé ï áíáëïãéêü ößëôñï èá åß å ôçí ßäéá æþíç äéüâáóçò áëëü æþíç áðïêïðþò ôçí [15KHz ). Ç äåýôåñç ðåñßðôùóç Ý åé ìåãáëýôåñç æþíç ìåôüâáóçò (äçëáäþ [5KHz 15KHz]), åðïìýíùò èá áðáéôåß ìéêñüôåñç åí ãýíåé ôüîç áíáëïãéêïý ößëôñïõ. ÌåôÜ ôï áíáëïãéêü öéëôñüñéóìá äåéãìáôïëçðôïýìå, ôï øçöéáêü óþìá ðïõ èá ðñïêýøåé èá Ý åé óþìá ðëçñïöïñßáò (öùíþ) óôç æþíç [ π], åíþ óôéò óõ íüôçôåò [ 10π π] èüñõâï (ðïõ èá ðåñüóåé ëüãù ôçò æþíçò ìåôüâáóçò ôïõ áíáëïãéêïý ößëôñïõ). Ôïí èüñõâï áõôü èá áðïìáêñýíïõìå ìå Ýíá øçöéáêü êáôùðåñáôü ößëôñï ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò ω c = π 2. Ãéá ôï óêïðü áõôü ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå FIR Þ IIR ößëôñï áöïý äåí ìáò åßíáé áðáñáßôçôç ç ãñáììéêþ öüóç. Ôï øçöéáêü ößëôñï èá åßíáé ðïëý ðéï áðüôïìï (ìéêñüôåñç æþíç ìåôüâáóçò) áðü üôé ôï áíáëïãéêü, áñêåß íá åðéëýîïõìå áñêåôü ìåãüëç ôüîç Þ ìþêïò, êáé èá áðïìáêñýíåé äß ùò ðñüâëçìá ôï èüñõâï ðïõ Üöçóå íá ðåñüóåé ôï áíáëïãéêü. ÌåôÜ ôçí øçöéáêþ åðåîåñãáóßá èá áðáéôçèåß Ýíáò ìåôáôñïðýáò øçöéáêïý óå áíáëïãéêü (ÌØÁ) êáé êáôüðéí Ýíá áíáëïãéêü êáôùðåñáôü ößëôñï áíáêáôáóêåõþò ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò 5KHz ôï ïðïßï èá åîïìáëýíåé ôï êëéìáêùôü áíáëïãéêü óþìá ôïõ ÌØÁ. ÈÅÌÁ 7: Äßíåôáé ç óõíüñôçóç D(e jω ) = { jω π 2 ω π 2 0 áëëïý Âñåßôå ôçí åîßóùóç ðïõ ðñïóäéïñßæåé ôïõò âýëôéóôïõò óõíôåëåóôýò êáôü ôçí Ýííïéá ôïõ ìýóïõ ôåôñáãùíéêïý óöüëìáôïò åíüò FIR ößëôñïõ ãñáììéêþò öüóçò ôçò ìïñöþò h N, h N 1,..., h 2, h 1, 0, h 1, h 2,..., h N 1, h N. Õðüäåéîç: Ôç ãñáììéêþ öüóç äåí ôçí ðáßñíïõìå õðüøç óôçí ðñïóýããéóç ôçò óõíüñôçóçò. Ëýóç: Ç áðüêñéóç óõ íüôçôáò åíüò ößëôñïõ ôçò ìïñöþò ôïõ ðñïâëþìáôïò åßíáé: H(e jω ) = h N +h N 1 e jω + +h 1 e j(n 1)ω h 1 e j(n+1)ω h N 1 e j(2n 1)ω h N e j(2n)ω. ÂãÜæïõìå êïéíü ðáñüãùíôá ôçí ðïóüôçôá e jnω êáé ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóüôçôá e jx e jx = j2 sin x, ïðüôå êáôáëþãïõìå } H(e jω ) = je jnω {2h 1 sin ω + + 2h N sin Nω. Óõãêñßíïíôáò ôçí H(e jω ) ìå ôçí D(e jω ) êáé ìç ëáìâüíïíôáò õðüøç ôç ãñáììéêþ öüóç e jnω äéáðéóôþíïõìå üôé ðñýðåé íá ðñïóåããßóïõìå ôç óõíüñôçóç { D i (e jω ω π ) = 2 ω π 2 0 áëëïý, ìå ôçí R(e jω ) = 2h 1 sin ω + + 2h N sin Nω. Åöáñìüæïíôáò åëü éóôá ôåôñüãùíá åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôþóïõìå üôé ïé âýëôéóôïé óõíôåëåóôýò åßíáé ðüëé ïé üñïé ôçò óåéñüò Fourier äçëáäþ π π h n = D i(e jω ) sin nωdω π π 2 = 1 π 2 ω sin nωdω = 1 { π cos(nπ/2) + 2n } sin2 nωdω 2π π 2πn sin(nπ/2). 2 ÈÅÌÁ 8: óôù ç Üðåéñç áêïëïõèßá x 0, x 1, x 2,... ôçí ïðïßá èýëïõìå íá öéëôñüñïõìå ìå ôç âïþèåéá åíüò ãñáììéêïý ñïíéêü óôáèåñïý ößëôñïõ. 4
5 á) ÅÜí ôï ößëôñï ðïõ ñçóéìïðïéïýìå åßíáé ðåðåñáóìýíçò êñïõóôéêþ áðüêñéóçò ãñüøôå ðïéá åßíáé ç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôçí Ýîïäï ìå ôçí åßóïäï êáé ôçí êñïõóôéêþ áðüêñéóç ãéá n N üðïõ N ôï ìþêïò ôçò êñïõóôéêþò áðüêñéóçò. â) ÅÜí óôï ðáñáðüíù ößëôñï åöáñìüóïõìå ôç ìýèïäï åðéêüëõøçò êáé Üèñïéóçò, ðïéá åßíáé ôá õðýñ ôçò ìåèüäïõ áõôþò ãéá õðïëïãéóìü ôçò óõíýëéîç óå óýãêñéóç ìå ôç ó Ýóç ôïõ ðñïçãïýìåíïõ åñùôþìáôïò; ã) ÅÜí áíôß ãéá ðåðåñáóìýíçò êñïõóôéêþò áðüêñéóçò ößëôñï åß áìå Ýíá IIR (üðïõ ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò åßíáé ëüãïò ðïëõùíýìùí) ãñüøôå ôç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôçí åßóïäï ìå ôçí Ýîïäï (êáé áðáéôåß ðåðåñáóìýíï áñéèìü ðñüîåùí ãéá ôïí õðïëïãéóìü êüèå äåßãìáôïò åîüäïõ!). ä) Óôï ðñïçãïýìåíï åñþôçìá ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí ìýèïäï åðéêüëõøçò êáé Üèñïéóçò ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí Ýîïäï; ÁÉÔÉÏËÏÃÅÉÓÔÅ ÊÁÈÅ ÁÐÁÍÔÇÓÇ!!! Ëýóç: á) Ç Ýîïäïò åßíáé ç óõíýëéîç ôçò åéóüäïõ ìå ôçí êñïõóôéêþ áðüêñéóç åðïìýíùò y n = k= h k x n k áöïý ç êñïõóôéêþ áðüêñéóç Ý åé üñïõò h 0, h 1,..., h N 1 ôï ðáñáðüíù Üèñïéóìá ãßíåôáé ãéá n N y n = h 0 x n + h 1 x n h N 1 x n N+1. â) Ç ìýèïäïò åðéêüëõøçò êáé Üèñïéóçò õðïëïãßæåé ãéá êüèå ìðëïê N äåéãìüôùí åéóüäïõ N åîüäïõò ìå óõíïëéêþ ðïëõðëïêüôçôá ôçò ôüîçò N log N. Áõôü óçìáßíåé üôé áíü äåßãìá åîüäïõ ç ðïëõðëïêüôçôá åßíáé ôüîçò log N. Ç ðáñáðüíù ó Ýóç áðáéôåß ôüîçò N ðñüîåéò áíü äåßãìá åîüäïõ ðïõ åßíáé óçìáíôéêü ìåãáëýôåñç áðü áõôþí ôçò overlap and add. ã) Áí ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò åßíáé ôüôå ç ó Ýóç åéóüäïõ-åîüäïõ ùò ãíùóôüí åßíáé H(z) = b 0 + b 1 z b k z k 1 + a 1 z a N z N y n = a 1 y n 1 a N y n N + b 0 x n + + b k x n k. ä) Ç åðéêüëõøç êáé Üèñïéóç ñçóéìïðïéåß N åéóüäïõò ãéá íá õðïëïãßóåé óõã ñüíùò üëåò ôéò N åîüäïõò. Ùóôüóï áðü ôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ðáñáôçñïýìå üôé ãéá íá õðïëïãéóôåß ìéá Ýîïäïò êáôü ôç ñïíéêþ óôéãìþ n ðñýðåé íá åßíáé ãíùóôýò ïé Ýîïäïé ôùí N ðñïçãïýìåíùí ñïíéêþí óôéãìþí. ÅðïìÝíùò äåí ìðïñåß íá åöáñìïóôåß ç ìýèïäïò. ÈÅÌÁ 9: Ìå ñþóç äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý ó åäéüóôå Ýíá øçöéáêü ÁÍÙÐÅÑÁÔÏ ößëôñï Butterworth ôüîçò ôñßá (3), ôï ïðïßï íá Ý åé óõ íüôçôá áðïêïðþò 3db ω c = π 2. ÕëïðïéÞóôå ôç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò ðïõ âñþêáôå ñçóéìïðïéþíôáò ôï ìéêñüôåñï äõíáôü áñéèìü êáèõóôåñçôþí. Ëýóç: Êáô' áñ Üò ìåôáôñýðïõìå ôéò øçöéáêýò ðñïäéáãñáöýò óå áíáëïãéêýò ìå ôï ìåôáó çìáôéóìü óõ íüôçôáò Ω = tan(ω/2). Ïðüôå Ω c = tan(π/2) = 1. Êáôüðéí ìåôáôñýðïõìå ôéò ðñïäéáãñáöýò ôïõ áíùðåñáôïý óå ðñïäéáãñáöýò ôïõ êáôùðåñáôïý. Ç óõ íüôçôá áðïêïðþò 3db ôïõ êáôùðåñáôïý èá åßíáé Ω c = 1/Ω c = 1. Óôç óõíý åéá ó åäéüæïõìå ôï êáôùðåñáôü Butterworth ôüîçò 3. Áðü ôï âéâëßï Ý ïõìå üôé H 3 (s ) = 1 (s + Ω c)(s 2 + Ω cs + (Ω c) 2 ) = 1 (s + 1)(s 2 + s + 1). 5
6 Óôç óõíý åéá êüíïõìå ôçí áíôéêáôüóôáóç s 1 s êáé ôï áíáëïãéêü áíùðåñáôü ößëôñï ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ôï H 3(s) s 3 = H 3 (1/s) = (s + 1)(s 2 + s + 1). ÔÝëïò åöáñìüæïõìå äéãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü s = 1 z z 1 ãéá íá ìåôáôñýøïõìå ôï áíáëïãéêü óå øçöéáêü ößëôñï. ÌåôÜ áðü áíôéêáôüóôáóç ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý ôï øçöéáêü ößëôñï ãñüöåôáé óáí ôï ïðïßï õëïðïéåßôáé üðùò óôï ðáñáêüôù ó Þìá H(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b 3 z a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z y + n b 0 b 1 b 2 b 3 x n + z 1 z 1 z 1 a 1 a 2 a ÈÅÌÁ 10: á) Ó åäéüóôå Ýíá FIR ößëôñï ãñáììéêþò öüóçò ìå ôç âïþèåéá ôåôñáãùíéêïý ðáñáèýñïõ. Ôï ößëôñï íá åßíáé ìþêïõò 5 êáé íá ðñïóåããßæåé Ýíá éäáíéêü êáôùðåñáôü ößëôñï ìå óõ íüôçôá áðïêïðþò ω c = π/3. â) Åóôù üôé Ý åôå Ýíá áíáëïãéêü çìéôïíéêü óþìá ìå óõ íüôçôá Ω = 2πf êáé ôï äåéãìáôïëçðôåßôå ìå óõ íüôçôá f s = 1. Ôï øçöéáêü óþìá ðïõ ðñïêýðôåé ôï åðåîåñãüæåóôå ìå ôï éäáíéêü ößëôñï ôïõ ðñïçãïýìåíïõ åñùôþìáôïò. Âñåßôå ðïéá èá åßíáé ç áðüêñéóç óõ íüôçôáò ôïõ ößëôñïõ óáò ãéá üëåò ôéò ôéìýò ôçò óõ íüôçôáò f. Ëýóç: á) ÅÜí α 2, α 1, α 0, α 1, α 2 ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ößëôñïõ, ôüôå Ý ïõìå üôé α k = 1 π D(e jω )e jkω dω = 1 π/3 2π π 2π π/3 Ïðüôå α 0 = 1/3, α 1 = 3/2π, α 2 = 3/4π. e jkω dω = sin(kπ/3), k 0. α 0 = 1/3. kπ â) Ãíùñßæïõìå üôé ôï ößëôñï ðåñíüåé øçöéáêýò êõêëéêýò óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [ π/3, π/3] êáé êüâåé ôéò óõ íüôçôåò [ π, π/3] [π/3, π]. Ïé óõ íüôçôåò áõôýò ðñýðåé íá äïýìå óå ðïéåò áíáëïãéêýò óõ íüôçôåò áíôéóôïé ïýí. Ãíùñßæïõìå üôé ç π áíôéóôïé åß óôçí f s /2 = 0.5, óõíåðþò ç π/3 áíôéóôïé åß óôçí (f s /2)/3 = 1/6. Óõìðåñáßíïõìå åðïìýíùò üôé ãéá ôéò áíáëïãéêýò óõ íüôçôåò óôï äéüóôçìá [ f s /2, f s /2] = [ 0.5, 0.5] Ý ïõìå ôá åîþò: ïé óõ íüôçôåò óôï [ 1/6, 1/6] Ý ïõí áðüêñéóç óõ íüôçôáò 1 (ðåñíïýí), åíþ ïé óõ íüôçôåò óôá äéáóôþìáôá [ 0.5, 1/6] [1/6, 0.5] Ý ïõí áðüêñéóç 0 (êüâïíôáé). Ãéá üëåò ôéò õðüëïéðåò óõ íüôçôåò Ý ïõìå ðåñéïäéêþ åðáíüëçøç (ìå ðåñßïäï f s = 1) ôçò åí ëüãù óõìðåñéöïñüò ëüãù áíáäßðëùóçò ôçò óõ íüôçôáò. Ð.. óôï äéüóôçìá óõ íïôþôùí [0.5, 1.5] åðáíáëáìâüíåôáé áõôü ôï ïðïßï óõìâáßíåé óôï äéüóôçìá [ 0.5, 0.5] ê.ë.ð. 6
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Äåéãìáôïëçøßá
ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Äåéãìáôïëçøßá óêçóç.0 (Åêôüò Âéâëßïõ) óôù x n cos(π k mn) üðïõ k êáé m ðñþôïé ìåôáîý ôïõò. Íá âñåèåß ç óõíèþêç ðïõ åîáóöáëßæåé ôçí ðåñéïäéêüôçôá ôïõ óþìáôïò x n. Ëýóç: Åßíáé ãíùóôü üôé
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότερα6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότερα1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÓåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Óõìðëçñþóôå ìå ôç óùóôþ Þ ôéò óùóôýò ðñïôüóåéò ôçí ðáñáêüôù öñüóç: Ç çëåêôñéêþ ðçãþ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÅëåãêôÞò-PI ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü
ÅëåãêôÝò Ç åðéêñáôïýóá åîßóùóç ôïõ åëåãêôþ-d åßíáé ôçò ìïñöþò: u = D d dt êáé ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò: G u = s D u = = D s óõíüñôçóç ìåôáöïñüò 4.5 ÅëåãêôÞò-I ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Διαβάστε περισσότερα¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότεραÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ:  ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò
62 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ êáëïýíôáé ïé ìáèçôýò íá ìåëåôþóïõí ôéò óõíáñôþóåéò çìßôïíï (y=çìx) êáé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα272. = V 1 V 2. + V í. = n 2. n 1. > c 2 > V 1 V 1. = c 2. c 1
271. 4.4 ÓõãêÝíôñùóç äéáëýìáôïò Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ÓõãêÝíôñùóç Þ ìïñéáêüôçôá êáô üãêï äéáëýìáôïò Þ Ìïlarity: Åßíáé ç Ýêöñáóç ôçò ðåñéåêôéêüôçôáò ðïõ åêöñüæåé ôïí áñéè ìü ôùí mol ôçò äéáëõìýíçò
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραÁíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ
ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,
Διαβάστε περισσότερα10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ
ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότερα9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Διαβάστε περισσότερα