ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ"

Ἥβη Στεφανόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ 1.1 ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÁ ÔÅÓÔ - ÐÑÙÔÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ Óêïðüò ôïõ ðáñüíôïò êåöáëáßïõ åßíáé íá ðáñïõóéüóåé ãåíéêýò éäýåò ãéá ôïí Ýëåã ï õðïèýóåùí. ôóé ð.. èá ìéëþóïõìå ãéá ôï ðùò äéáôõðþíïõìå ìéá óôáôéóôéêþ õðüèåóç, ãéá ôï ðùò ôçí åëýã ïõìå êáé ôýëïò ãéá ôï ðùò äéáôõðþíïõìå ôá óõìðåñüóìáôü ìáò. Èá îåêéíþóïõìå ìå Ýíá ðáñüäåéãìá ðïõ ðåñéý åé üëá ôá óôïé åßá ôïõ èýìáôïò. Áò õðïèýóïõìå üôé êüðïéïò éó õñßæåôáé üôé Ý åé ôçí éêáíüôçôá, äïêéìüæïíôáò Ýíá öëõôæüíé êáöý, íá ðåé áí, óôï öëõôæüíé, âüëáìå ðñþôá ôçí æü áñç êáé ìåôü ôïí êáöý Þ áíôßóôñïöá. Áí óå Ýíá ïðïéïäþðïôå Üôïìï äþóïõìå Ýíá öëõôæüíé êáöý ôüôå ç ðéèáíüôçôá p íá âñåé ôçí óùóôþ áðüíôçóç åßíáé 1/2. Óõíåðþò ãéá íá ìðïñýóïõìå íá åëýãîïõìå üôé ôï óõãêåêñéìýíï Üôïìï Ý åé áõôþ ôçí éêáíüôçôá èá ðñýðåé íá ôïõ äþóïõìå ðåñéóóüôåñá áðü Ýíá öëõôæüíéá êáöý. Ç éêáíüôçôü ôïõ áõôþ èá ãßíåé áðïäåêôþ áí p > 1/2. Ðéï óõãêåêñéìýíá, áò õðïèýóïõìå üôé óôï Üôïìï áõôü äßíïõìå ãéá äïêéìþ n = 10 öëõôæüíéá êáöý, ãéá ôá ïðïßá åìåßò êáé ìüíï åìåßò ãíùñßæïõìå ôçí óåéñü ìå ôçí ïðïßá âüëáìå óå êüèå öëõôæüíé ôçí æü áñç êáé ôïí êáöý. Ôßèåôáé ôþñá ôï åñþôçìá : ðïéïò èá

2 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ ðñýðåé íá åßíáé ï áñéèìüò ôùí óùóôþí áðáíôþóåùí þóôå ç éêáíüôçôá áõôïý ôïõ áôüìïõ íá ìçí ìðïñåß íá áðïññéöèåß ; Ðñïöáíþò Ýíáò óùóôüò áñéèìüò áðáíôþóåùí ìéêñüôåñïò Þ ßóïò ôïõ 5 äåí áñêåß ãéá íá óôçñßîåé ôïí éó õñéóìü ôïõ áôüìïõ áõôïý. Êáé áõôü äéüôé, üðùò ðñïáíáöýñáìå, ãéá íá äå èïýìå ôçí éêáíüôçôá áõôïý ôïõ áôüìïõ èá ðñýðåé ç ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò ôïõ íá åßíáé p > 1/2. Èá ðñýðåé ëïéðüí ï áñéèìüò ôùí óùóôþí áðáíôþóåùí íá åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ßóïò ôïõ 5. Áò èåùñþóïõìå äýï ôýôïéåò ðåñéï Ýò. Ôçí ðåñéï Þ ìå áñéèìü óùóôþí áðáíôþóåùí ìåãáëýôåñï Þ ßóï ôïõ 5, óõìâïëéêü C 5 = 5, 6, 7, 8, 9, q 10, êáé ôçí ðåñéï Þ ìå áñéèìü óùóôþí áðáíôþóåùí ìåãáëýôåñï Þ ßóï ôïõ 8, óõìâïëéêü, C 8 = l 8, 9, 10. Åßíáé öáíåñü üôé ïé ðåñéï Ýò C 5 êáé C 8 äåí åßíáé ïé ìïíáäéêýò. Ãéá ôï ðïéá áðü üëåò åßíáé ç êáëýôåñç äåí åßíáé åýêïëï íá áðïöáíèïýìå. 'Åíáò ôñüðïò ãéá ôçí åêëïãþ ôçò êáëýôåñçò ðåñéï Þò åßíáé íá ñçóéìïðïéþóïõìå ìåèüäïõò óôáôéóôéêþò ãéá ôïí Ýëåã ï õðïèýóåùí. Èá ðñýðåé íá óçìåéùèåß üôé äåí ìðïñïýìå íá åëýãîïõìå êüèå åßäïò õðüèåóçò ìå óôáôéóôéêýò ìåèüäïõò. Ïé õðïèýóåéò ðïõ åëýã ïíôáé ìå ôçí âïþèåéá ôùí óôáôéóôéêþí ìåèüäùí ïíïìüæïíôáé ó ô á ô é ó ô é ê Ý ò õ ð ï è Ý ó å é ò. Óôïí Ýëåã ï óôáôéóôéêþí õðïèýóåùí äéáêñßíïõìå : 1. _ Ôçí ì ç ä å í é ê Þ Þ á ñ é ê Þ õ ð ü è å ó ç Ç ï. H ëïãéêþ óôïí ó çìáôéóìü ôçò Ç ï âáóßæåôáé óôïí ôñüðï ðïõ ç óôáôéóôéêþ èåùñßá ìåôá åéñßæåôáé ôçí ìçäåíéêþ õðüèåóç. ÃåíéêÜ èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå üôé ç üëç óôáôéóôéêþ èåùñßá åëýã ïõ õðïèýóåùí âáóßæåôáé óôçí áðïäï Þ Þ áðüññéøç ôçò Ç ï. Ãé' áõôü óáí ìçäåíéêþ õðüèåóç ðáßñíïõìå ôçí Üñíçóç åíüò éó õñéóìïý Þ, äéáöïñåôéêü, ôï áíôßèåôï áðü áõôü ðïõ èá èýëáìå íá éó ýåé.. Êáé áõôü äéüôé áí ðñïóðáèþíôáò íá áðïññßøïõìå êüôé ôåëéêü ôï áðïäå èïýìå ç áîßá ôïõ åßíáé ìåãáëýôåñç. 'Åôóé, óôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá, óáí ìçäåíéêþ õðüèåóç èá ðýñíáìå ôçí Ç ï : p 2 q l

3 1/2. ÅðåéäÞ, ôþñá, óôçí óôáôéóôéêþ êáôü êáíüíá, äåí ìðïñïýìå óôçí ìçäåíéêþ õðüèåóç íá Ý ïõìå ôï óýìâïëï ôçò áíéóüôçôáò ãé' áõôü ç áñ éêþ õðüèåóç óôï ðáñüäåéãìü ìáò èá ãñáöåß óáí Ç ï : p = 1/2. 2. _ Ôçí å í á ë ë á ê ô é ê Þ õ ð ü è å ó ç Ç á. Óáí åíáëëáêôéêþ õðüèåóç ðýñíïõìå ôçí Üñíçóç ôçò Ç ï. Óôï ðáñüäåéãìü ìáò ç åíáëëáêôéêþ õðüèåóç èá åßíáé Ç á : p > 1/2. 3. _ Ôçí ó ô á ô é ó ô é ê Þ ó õ í Ü ñ ô ç ó ç Þ áðëþò ôï ó ô á ô é ó ô é ê ü. Ôï óôáôéóôéêü åßíáé, ãåíéêþò, ìéá ìáèçìáôéêþ ó Ýóç, Ýíáò ôýðïò, ç ôéìþ ôçò ïðïßáò õðïëïãßæåôáé ìüíïí áðü ôéò ôéìýò ôïõ äåßãìáôüò ìáò. Óôï ðáñüäåéãìü ìáò ôï óôáôéóôéêü åßíáé ìéá ôõ áßá ìåôáâëçôþ ç ïðïßá ìåôñü ôïí áñéèìü ôùí óùóôþí áðáíôþóåùí ôïõ áôüìïõ. 4. _ Ôçí ê ñ ß ó é ì ç ð å ñ é ï Þ Þ ð å ñ é ï Þ á ð ü ñ ñ é ø ç ò ôçò Ç ï. Ãéá êüèå óôáôéóôéêü Ýëåã ï ç ðåñéï Þ áõôþ åßíáé ìßá êáé óõãêåêñéìýíç êáé ìáò äßíåôáé áðü ôïí óôáôéóôéêü Ýëåã ï ðïõ åöáñìüæïõìå. 'Åôóé, óôï ðáñüäåéãìü ìáò, áí óáí êñßóéìç ðåñéï Þ ðüñïõìå, ð.., ôçí C 8 êáé ôï õðü åîýôáóç Üôïìï ìáò äþóåé = 6 óùóôýò áðáíôþóåéò ôüôå ôï óõìðýñáóìü ìáò èá åßíáé üôé ç Ç ï áðïñßðôåôáé Þ ìå Üëëá ëüãéá ï éó õñéóìüò ôïõ áôüìïõ áõôïý äåí éó ýåé. 5. _ Ôï å ð ß ð å ä ï ó ç ì á í ô é ê ü ô ç ô á ò á.. Ãéá íá åîçãþóïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ åðéðýäïõ óçìáíôéêüôçôáò áò èåùñþóïõìå ôïí ðßíáêá 1.1. Óôéò ãñáììýò ôïõ ðßíáêá áõôïý Ý ïõìå ôéò äýï äõíáôýò ðåñéðôþóåéò ðïõ ìðïñåß íá éó ýïõí óôçí ðñáãìáôéêüôçôá ó åôéêü ìå ôéò Ç ï êáé Ç á. Óôéò óôþëåò Ý ïõìå ôá äýï äõíáôü óõìðåñüóìáôá óôá ïðïßá ìðïñåß íá êáôáëþîåé Ýíáò óôáôéóôéêüò. Åßíáé öáíåñü üôé ï óôáôéóôéêüò äåí îýñåé ôé éó ýåé óôçí ðñáãìáôéêüôçôá.. Áí ï óôáôéóôéêüò áðïäå èåß ôçí Ç ï êáé ç Ç o áëçèåýåé ôüôå Ý ïõìå Ýíá ìçäåíéêü óöüëìá. Áí áðïññßøïõìå ôçí Ç ï êáé ç Ç ï áëçèåýåé ôüôå êüíïõìå Ýíá óöüëìá. Ôï óöüëìá áõôü ôï ïíïìüæïõìå ó ö Ü ë ì á ô ý ð 3

4 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ ï õ I. Áí óõìâïëßóïõìå ìå á ôçí ðéèáíüôçôá íá êüíïõìå ôï óöüëìá ôýðïõ É ôüôå á = ðéè máðüññéøçò Ç ï Ç o áëçèåýåér. To óýìâïëï " " äéáâüæåôáé " äïèýíôïò üôé... ". Áí ôþñá áðïäå èïýìå ôçí Ç ï êáé ç Ç á áëçèåýåé ôüôå êüíïõìå Ýíá Üëëï óöüëìá ôï ïðïßï ïíïìüæïõìå ó ö Ü ë ì á ô ý ð ï õ ÉÉ. Áí óõìâïëßóïõìå ìå â ôçí ðéèáíüôçôá íá êüíïõìå ôï óöüëìá ôýðïõ ÉÉ, ôüôå â = ðéè náðïäïχþò Ç ï Ç á áëçèåýåés. Ðßíáêáò 1.1. Ó çìáôéêþ áðåéêüíçóç ôùí óöáëìüôùí ðïõ ìðïñïýí íá óõìâïýí óôïí Ýëåã ï õðïèýóåùí ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÏÓ áðïäý åôáé ôçí Ç ï áðïññßðôåé ôçí Ç ï Áðü ôïí ðáñáðüíù ðßíáêá ãßíåôáé öáíåñü üôé ôá óõìðåñüóìáôü ìáò èá åßíáé ôüóï êáëýôåñá üóï ðéï ìéêñýò åßíáé ïé ðéèáíüôçôåò á êáé â. Äõóôõ þò, ãéá ìáèçìáôéêïýò ëüãïõò, ïé ðéèáíüôçôåò áõôýò äåí ìðïñïýí íá åëá éóôïðïéçèïýí óõã ñüíùò. Ãé' áõôü, óôçí ðñüîç, áõôü ðïõ êüíïõìå åßíáé íá åëá éóôïðïéïýìå ôçí ðéèáíüôçôá á. Ç åíýñãåéü ìáò áõôþ Ý åé óáí áðïôýëáóìá ôï óõìðýñáóìá ðïõ èá ðñïêýøåé áðü ôïí óôáôéóôéêü Ýëåã ï íá áöïñü ìüíïí ôçí ìçäåíéêþ õðüèåóç Ç ï. Ç ðéèáíüôçôá á, ôïõ óöüëìáôïò ôýðïõ É, ïíïìüæåôáé áëëéþò êáé å ð ß ð å ä ï 4

5 ó ç ì á í ô é ê ü ô ç ô ï ò. ÓõíçèéóìÝíåò ôéìýò ãéá ôï åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò á åßíáé ïé 0,05 ( Þ 5%) êáé 0,01 (Þ 1%). 1.2 ÃÅÍÉÊÅÓ ÐÁÑÁÔÇÑÇÓÅÉÓ Åßíáé öáíåñü üôé ðïôý äåí ìðïñïýìå íá åßìáóôå óßãïõñïé ãéá ôçí áðïäï Þ Þ áðüññéøç ìéáò óôáôéóôéêþò õðüèåóçò. ÐñÝðåé âýâáéá íá åîáéñýóïõìå ôåôñéììýíåò Þ åîåæçôçìýíåò ðåñéðôþóåéò ðïõ ìå ôçí åêôýëåóç åíüò Þ ðåñéóóïôýñùí ðåéñáìüôùí áðïêáëýðôåôáé ï Üãíùóôïò áñáêôþñáò ôïõ ðëçèõóìïý Þ ôçò öýóçò. Ïìïßùò èá ðñýðåé íá åîáéñýóïõìå êáé ðåñéðôþóåéò ðïõ äåí êõâåñíþíôáé áðü ôïõò íüìïõò ôçò ôý çò. Ç èýóç ôçò öýóçò åßíáé Üãíùóôç êáé ïðïéóäþðïôå ðåéñáìáôéóìüò åßíáé áäýíáôï íá ôçí áðïêáëýøåé. Ç áðïäï Þ Þ ç áðüññéøç ôçò Ç ï åîáñôüôáé áðü ôïõò êéíäýíïõò ðïõ åßìáóôå äéáôåèåéìýíïé íá äå èïýìå. ÅîáñôÜôáé äçëáäþ áðü ôéò ôéìýò ôùí á êáé â. ÁëëÜæïíôáò ð.. ôçí ôéìþ ôïõ á ìðïñåß íá áëëüîåé ç áðüöáóç Þ ôï óõìðýñáóìá. Óôçí óõíý åéá èá ðáñïõóéüóïõìå äéüöïñïõò ôýðïõò åëýã ïõ óôáôéóôéêþí õðïèýóåùí. 5

Σχετικά έγγραφα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)