Hypothesis Testing* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü January 26, 2009
|
|
- Λαδων ŌΘωμᾶς Γούσιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Hypothesis Testing* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü January 26, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá "Mathematical Statistics" ôïõ John E. Freund êáé "Statistical Inference" ôùí George Casella êáé Roger L. Berger.
2 ÅéóáãùãéêÜ [Ð.. 1]: Ìéá öáñìáêïâéïìç áíßá åðåîåñãüæåôå ôçí áðïôåëåóìáôéêüôçôá åíüò åìâïëßïõ êáôü ôïõ êïéíïý êñõüëïãþìáôïò. Ðþò èá ìðïñýóåé íá ëüâåé ôçí áðüöáóç üôé ôï íýï åìâüëéï åßíáé êáëýôåñï áðü ôéò ðñáêôéêýò/èåñáðåßåò ðïõ áêïëïõèïýíôáé þò óþìåñá? Ï ðëýïí óùóôüò/åðéóôçìïíéêüò ôñüðïò åßíáé ï óôáôéóôéêüò ôñüðïò üðïõ Ýíá ðåßñáìá ó åäéüæåôå üðïõ ìýëç ôïõ ðëçèõóìïý åðéëýãïíôáé êáôüëçëá íá ëüâïõí ôï íýï åìâüëéï óôéò áñ Ýò ôïõ åéìþíá ìéáò êáé ôá áðïôåëýóìáôá äéýðïíôáé áðü ôïõò êáíüíåò ôçò ôý çò, Ýóôù ñ ç ðéèáíüôçôá Ýíáò åìâïëéáóìýíïò íá ìçí êñõïëïãßóåé (0 < ñ < 1), üðïõ ñ Üãíùóôç ðáñüìåôñïò êáé ïõóéáóôéêü ôï êñéôþñéï áðïôåëåóìáôéêüôçôáò ôïõ åìâïëßïõ åüí ñ = 1 ôï åìâüëéï åßíáé 100% áðïôåëåóìáôéêü ôé óõìâáßíåé üìùò üôáí ñ > 0:9 Þ ñ = 0:5; ôýôïéïõ åßäïõò õðïèýóåéò ïíïìüæïíôáé ìçäåíéêýò õðïèýóåéò (null hypothesis) êáé óõìâïëßæïíôáé ìå Ç 0 ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 1
3 ðñïöáíþò êüèå Ç 0 èá Ý åé êáé ôçí áíôßèåôþ ôçò, ðïõ ôçí ïíïìüæïõìå åíáëëáêôéêþ (alternative hypothesis) êáé óõìâïëßæïõìå ìå Ç 1 Þ Ç á [Ð.. 2]: óôù üôé åëýã ïõìå êáôü ðüóï Ýíá íüìéóìá åßíáé óùóôü (áìåñüëçðôï). ñß íïõìå ôï íüìéóìá åíáí ïñéóìýíï (ìåãüëï) áñéèìü öïñþí êáé ìåôñüìå ôéò êïñüíåò (Þ ãñüììáôá) Ýóôù ñ ç ðéèáíüôçôá íá Ýñèåé êïñüíá ç ìçäåíéêþ õðüèåóç åßíáé Ç 0 : Ç 1 : ñ 0:5 ñ = 0:5 êáé ç åíáëëáêôéêþ èá åßíáé [Ð.. 3]: ÅîåôÜæïõìå ôçí áýîçóç âüñïõò óå êïôüðïõëá ðïõ ôñýöïíôáé ìå íåï äéáôïëüãéï êáôá ôï ðñþôï ôñßìçíï ôçò æùþò ôïõò. 16 êïôüðïõëá ôñåöïíôáé ìå ôï íýï äéáôïëüãéï óõíþèùò ôá êïôüðïõëá ðáßñíïõí 500gr ôïõò ðñþôïõò 3 ìþíåò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 2
4 Üí ì ç Üãíùóôç ìýóç áýîçóç âüñïõò, ôüôå Ç 0 Ç 1 : ì 500 : ì = 500 ìå [Ð.. 4]: ÌåëåôÜìå ôçí êáôáíïìþ ýøïõò áãïñéþí çëéêßáò 5 åôþí. Ðáßñíïõìå ô.ä. áðü ìåãüëï áñéèìü ðáéäéþí. óå ðñùôç öüóç, ìðïñïýìå íá ðüñïõìå Ýíáí ðßíáêá óõ íïôþôùí ôùí õøþí (ìåôü áðü êáôüëëçëç ïìáäïðïßçóç) ìéá åéêüíá ôçò êáôáíïìþò ëáìâüíåôå áðü ôï éóôüãñáììá Þ ôï ðïëýãïíï óõ íïôþôùí áðü éóôïñéêü óôïé åßá (Üëëåò ìåëýôåò) ãíùñßæïõìå üôé ôï ýøïò áêïëïõèåß êáíïíéêþ êáôáíïìþ óõíåðþò, ìéá ìçäåíéêþ õðüèåóç ìðïñåé íá åßíáé üôé ôï ýøïò áêïëïõèåß êáíïíéêþ ìå ì = 1m êáé ó = 0:1 (Þ áêüìá êáé ìå Üãíùóôåò ôéìýò), ìå ôçí åíáëëáêôéêþ íá ðåñéëáìâüíåé Üëëåò ðéèáíýò êáôáíïìýò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 3
5 Áðü ôá ðáñáäåßãìáôá óõìðåñýíïõìå üôé üëá ôá ðñïâëþìáôá Ý ïõí ïñéóìýíá âáóéêü áñáêôçñéóôéêü Ý ïõìå Ýíáí Ä.. S ôùí áðïôåëåóìüôùí/ìåôñþóåùí ôïõ ðåéñüìáôïò Þ ôçò äåéãìáôïëçøßáò, üðïõ ãåíéêü S åßíáé Ýíáò í- äéüóôáôïò Åõêëåßäéïò þñïò ìå í 1 ôá áðïôåëýóìáôá åßíáé x = (x 1 ; x 2 ; : : : ; x í ), üðïõ x S åðßóçò Ý ïõìå ìßá Ç 0 êáé ìéá Ç 1 Ýóôù = ( 1 ; 2 ; : : : ; í ) ç ô.ì. ôçò ïðïßáò ïé ôéìýò åßíáé x. H êáôáíïìþ ôçò áíþêåé óå ìéá ïéêïãýíåéá êáôáíïìþí F êáé ôüóï ç Ç 0 üóï êáé ç Ç 1 êáèïñßæïõí åí ìýñç Þ ôåëåßùò ôçí êáôáíïìþ ôçò ôï åñþôçìá åßíáé êáôá ðüóï ç Ç 0 åßíáé áëçèéíþ Þ ü é äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò ãéá ôçí F { ÐáñáìåôñéêÞ (ðáñáäåßãìáôá 1,2,3) ÅÜí è È, Ýíá áõèáßñåôï óôïé åßï óôïí ðáñáìåôñéêü þñï, ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 4
6 ôüôå óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ç ìçäåíéêþ õðüèåóç ãñüöåôå Ç 0 : è = è 0, üðïõ è 0 ãíùóôü. ¼ôáí ç Ç 0 êáèïñßæåé ôåëåßùò ôçí êáôáíïìþ ôçò ëýãåôå áðëþ õðüèåóç (üðùò åäþ), åíþ üôáí ôçí êáèïñßæåé ìåñéêþò (üðùò Ç 0 : è È) ïíïìüæåôå óýíèåôç õðüèåóç. { Ìç ÐáñáìåôñéêÞ (ðáñüäåéãìá 4) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 5
7 Óôáôéóôéêüò ëåã ïò Ç âáóéêþ áñ Þ åßíáé üôé ðñýðåé íá ñçóéìïðïéïýìå ôá äåäïìýíá x ò áðïôýëåóìá ï Ä.. S ùñßæåôå óå äýï ðåñéï Ýò, C êáé S C. ÅÜí x C ôüôå áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 êáé Üí x S C ôüôå 'äå üìáóôå' ôçí Ç 0. Ç ðåñéï Þ ïíïìüæåôå êñßóéìç ðåñéï Þ (ê.ð.) ôïõ (ìþ ôõ áéïðïéçìýíïõ) óôáôéóôéêïý åëýã ïõ Óõíåðþò ï óôáôéóôéêüò Ýëåã ïò åßíáé Ýíáò ôñüðïò ëçøçò áðïöüóåùí (äõáäéêþò ìïñöþò). Áðü ôçí Üëëç ïé óôáôéóôéêïß Ýëåã ïé åßíáé ìýèïäïé ìå ôçí ïðïßá ó çìáôßæïõìå ãíþìç ãéá ôçí ïñèüôçôá ôçò Ç 0. ò ôýôïéåò ïíïìüæïíôáé ôýóô óçìáíôéêüôçôáò (significance tests) ôçò Ç 0. Ç êñßóéìç ðåñéï Þ äýí åßíáé áðáñáßôçôï íá äßíåôå þò õðïóýíïëï ôïõ Ä.. S, ï ïðïßïò åßíáé í-äéüóôáôïò. ÓõíÞèùò ñçóéìïðïéïýìå ìåôáó çìáôéóìïýò áðü ôïí S óôïõò ðñáãìáôéêïýò R ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 6
8 ÓöÜëìáôá Ôýðïõ I: åßíáé ôï óöüëìá ôï ïðïßï ãßíåôå üôáí áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 åíþ åßíáé áëçèþò (áðïññßðôïõìå ëáíèáóìýíá). Týðïõ II: åßíáé ôï óöüëìá ôï ïðïßï ãßíåôå üôáí äå üìáóôå ôçí Ç 0 åíþ óôçí ðñáãìáôéêüôçôá åßíáé øåõäþò (äå üìáóôå ëáíèáóìåíá). Ðñáãìáôéêüôçôá ÓõìðÝñáóìá H 0 áëçèþò H 0 øåõäþò Áðüññéøç H 0 ÓöÜëìá Týðïõ I Óùóôü (Type I error) ðïäï Þ' Ç 0 Óùóôü ÓöÜëìá Ôýðïõ ÉÉ (Type II error) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 7
9 Ðéèáíüôçôåò ÓöáëìÜôùí Ç ðéèáíüôçôá ôïõ óöüëìáôïò Ôýðïõ É (ìýãåèïò óöáëìáôïò Ôõðïõ É) óõìâïëßæåôå ìå á. Ç ðéèáíüôçôá ôïõ óöüëìáôïò Ôýðïõ ÉÉ (ìýãåèïò óöáëìáôïò Ôõðïõ ÉÉ) óõìâïëßæåôå ìå â. ôóé Ý ïõìå á = P (Áðüññéøç ôçò Ç 0 Ç 0 ÁëçèÞò) = Ñ( C Ç 0 ÁëçèÞò) â = P (Áðïäï Þ ôçò Ç 0 Ç 0 ØåõäÞò) = Ñ( S C Ç 0 ØåõäÞò) Óçìåéþóåéò: Ôï á ïíïìüæåôå åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò (å.ó.) ôïõ åëýã ïõ. Ðñïöáíþò, üóï ìéêñüôåñá åßíáé ôá á êáé â ôüóï êáëýôåñïò ï Ýëåã ïò. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 8
10 [ÓõíÝ åéá Ð.. 1]: óôù üôé Ç 0 : ñ = 0:5 êáé Ç 1 : ñ = 0:8. Ç Ç 0 äçëþâåé üôé ôï íá êñõïüãßóåé êüðïéïò åßíáé áðëü èýìá ôý çò. í ëïéðüí ãéá ôïí áóèåíþ i óôï ðåßñáìá Ý ïõìå x i = { 0; áí äåí áññùóôþóåé; 1; Üí áññùóôþóåé. ôüôå ôï äéùíõìéêü ìïíôýëï ìå S = {0; 1; 2; ::::; 10} åßíáé ôï êáôüëçëï ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôùí áðïôåëåóìüôùí (X Bin(10; ñ). óôù ôþñá üôé ç êñßóéìç ðåñéï Þ åßíáé C = {8; 9; 10}, ôüôå á = Ñ( C ñ = 0:5) = Ñ( 8 ñ = 0:5) = 0:0547 â = Ñ( S C ñ = 0:8) = Ñ( 7 ñ = 0:8) = 0:3222 Óõíåðþò, Üí x = 9 ôüôå áðïöáéíüìáóôå üôé ç Ç 0 äåí éó ýåé ìå ðéèáíüôçôá óöüëìáôïò á = 0:0547. í üìùò x = 6 ôüôå 'äå üìáóôå' ôçí Ç 0 ìå ðéèáíüôçôá óöüëìáôïò â = 0:3222. Ãéá Üëëåò ôéìýò ôïõ ñ ôï â ñåéüæåôå íá õðïëïãéóèåß åê íýïõ. Óçìåéþóåéò: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 9
11 Áðü ôï ðáñüäåéãìá âãáßíåé üôé ôá á êáé â åîáñôþíôáé áðü ôéò ôçò ðáñáìýôñïõ è, êáé ç åîüñôçóç áõôþ óõ íü óõìâïëßæåôå ìå á(è) êáé â(è). ÅÜí ç Ç 0 Þ Ç 1 åßíáé áðëýò õðïèýóåéò, ôüôå ôá á êáé â Ý ïõí ìéá ôéìþ. ÅÜí ç Ç 0 åßíáé óýíèåôç ôüôå ôï å.ó. á ïñßæåôå áðü ôç ìýãéóôç ôéìþ ôùí áíôßóôïé ùí á áðü ôç ó Ýóç á = sup P (áðüññéøç ôçò H 0 f) f H0 ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 10
12 ÓõíÜñôçóç Éó ýïò óôù Ý ïõìå ìéá áðëþ Ç 0 Ýíáíôé ìéáò áðëþò Ç 1. Áðü ôï ðëþèïò üëùí ôùí åëýã ùí, ðïéüò Ýëåã ïò åßíáé êáëýôåñïò; ÈÝëïõìå ôá á êáé â íá åßíáé ôáõôï ñüíùò ìéêñü (åëü éóôá) åé äåé èåß ïôé ç ôáõôü ñïíç åëá éóôïðïßçóç ôïõò åßíáé áäýíáôç. Óõíåðþò, êñáôüìáé ôï á óôáèåñü êáé åëá éóôïðïéïýìå ôï â. [Ï]: Éó ýò åíüò åëýã ïõ. óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìå áðëþ Ç 1. Ôüôå, ç ðïóüôçôá ã = 1 â ëýãåôå éó ýò ôïõ åëýã ïõ. óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìå óýíèåôç Ç 1. Ôüôå, ç óõíüñôçóç ã(f) = 1 â(f) = P (Áðüññéøç ôçò Ç 0 f H 1 ) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 11
13 ëýãåôå óõíüñôçóç éó ýïò ôïõ åëýã ïõ, üðïõ f åßíáé ç êáôáíïìþ ôçò ç ïðïßá áíþêåé óôçí ïéêïãýíåéá ðïõ êáèïñßæåôå áðü ôçí Ç 1. Óôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñßðôùóç ãñüöïõìå ã(è) = 1 â(è) = P (Áðüññéøç ôçò Ç 0 è È á ) [Ð.. 5]: (óçìåéþóåéò óåë. 196) [Ï]: Éó õñüôáôïò ëåã ïò: óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìéáò áðëþò Þ óýíèåôçò Ç 0 Ýíáíôé ìéáò áðëþò Ç 1 ìå å.ó. á. ôóù ç éó èò ã = 1 â åßíáé ìýãéóôç áðü üëïõò ôïõò Üëëïõò åëýã ïõò ôïõ ßóéïõ å.ó. á. Ôüôå ï Ýëåã ïò ôçò ìýãéóôçò éó ýïò ëýãåôå éó õñüôáôïò Ýëåã ïò (I ôýóô) (Powerful Test). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 12
14 ÁðëÞ Ç 0 Ýíáíôé áðëþò Ç 1 Ôï ðéü êüôù ëþììá ëýíåé ôï ðñüâëçìá ýðáñîçò êáé êáôáóêåõþò É ôåóô. Åäþ ç áðëþ õðüèåóç óõìâïëßæåôå Ç 0 : f = f 0 Ýíáíôé ôçò H 1 : f = f á, üðïõ f F êáé F = {f 0 ; f á }. ÅÜí x ôá áñéèìçôéêü äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò, ïé ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò ðéèáíïöüíåéáò ðïõ áíôéóôïé ïýí óôéò Ç 0 êáé Ç 1 áíôßóôïé á èá åßíáé L 0 = f 0 (x) L á = f á (x): Éäéáßôåñá óôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñßðôùóç èá ãñüöïõìå Ç 0 : è = è 0 êáé Ç 1 : è = è á, êáé ìå ôõ áßï äåßãìá ìåãýèïõò ù Ý ïõìå L 0 L 0 (è 0 x) = L á L á (è á x) = í f(x i ; è 0 ) i=1 í i=1 f(x i ; è á ): [ËÞììá Neyman-Pearson]: óôù ðñüâëçìá åëýã ïõ áðëþò Ç 0 Ýíáíôé áðëþò Ç 1. ÅÜí õðüñ åé êñßóéìç ðåñéï Þ C ìåãýèïõò á êáé Ýíáò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 13
15 óôáèåñüò áñéèìüò k ôýôïéá þóôå L 0 L á k; x C L 0 L á k; x C S C ôüôå ç ðåñéï Þ C åßíáé ç ðëýïí éó õñþ ê.ð. ìåãýèïõò á. ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò õðüèåóçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1. [Áðüäåéîç]: Ìüíï ãéá óõíå åßò êáôáíïìýò. Ãíùñßæïõìå üôé á = P (X C f 0 ) = : : : C L 0 dx: óôù ôþñá ìéá Üëëç êñßóéìç ðåñéï Þ D ìåãýèïõò á. Ôüôå á = : : : D L 0 dx: Èá äåßîïõìå üôé ç ðåñéï Þ C åßíáé éó õñüôåñç áðü ôçí D, äçëáäþ éó ýò ôçò C = : : : C L á dx : : : D L á dx = éó ýò ôçò D: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 14
16 Åðßóçò åßíáé ðñïöáíýò üôé C = (C D) (C D ) D = (D C) (D C ): Ôþñá êüíïõìå ðñüîåéò ìå ôá ðéï ðüíù ïëïêëçñþìáôá. ïõìå á = = = = : : : L 0 dx C : : : L 0 dx + C D : : : L 0 dx D : : : L 0 dx + D C : : : L 0 dx C D : : : L 0 dx; D C óõíåðþò : : : C D L 0 dx = : : : D C L 0 dx: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 15
17 ÄåäïìÝíïõ üôé (L 0 =L á ) k Þ L á L 0 =k åíôüò ôçò ê.ð. C êáé L á L 0 =k åêôüò, Ý ïõìå : : : C D L á dx = : : : : : : : : : C D (L 0 =k)dx D C (L 0 =k)dx D C L á dx: Ìå âüóç áõôüí ôï óõëëïãéóìü ìðïñïýìå íá äåßîïõìå üôé éó ýò ôçò C = = : : : : : : : : : : : : C L á dx C D D C D = éó ýò ôçò D: L á dx + L á dx + L á dx : : : : : : C D L á dx D C L á dx ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 16
18 Óçìåéþóåéò: ¼ôáí åëýã ïõìå ôçí Ç 0 ñåéáæüìáóôå ê.ð. ìåãýèïõò á, Áðü áõôýò, ç C = {x : L 0 L á k} åßíáé ç éó õñüôåñç, üðïõ k Ýíáò óôáèåñüò áñéèìüò üðïõ áí õðüñ åé ðñïóäéïñßæåôå áðü ôç ó Ýóç P (C H 0 ) = á: Ðáñáôçñïýìå üôé ôï L 0 =L á åßíáé ìéá ó.ó. óôù T (x) L 0 L á = f 0(x) f á (x) êáé óõíåðþò ï Ýëåã ïò ìðïñåß íá ãñáöåß T (x) = f 0(x) f á (x) k êáé áíôß ôçò áñ éêþò ê.ð. íá Ý ïõìå ôçí ðéï ðüíù ó Ýóç. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 17
19 ÅÜí ç êáôáíïìþ óõíå Þò ôüôå ðüíôá èá õðüñ åé k ôýôïéï þóôå P (Ô(x) k H 0 ) = á [Ð.. 6]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü ôçí Í(ì; ó 2 ), ìå ó ãíùóôü êáé ìýóç ôéìþ ì íá ðáßñíåé 2 ðéèáíýò ôéìýò ì 0 êáé ì á ìå ì á > ì 0. óôù Ç 0 : ì = ì 0 Ç á : ì = ì á : Íá âñåèåß Ýíá É ôýóô ãéá ôïí ðéï ðüíù Ýëåã ï. [Ëýóç]: Ï Ä.. åßíáé ï n-äéüóôáôïò Åõêëåßäéïò þñïò, è = {ì 0 ; ì á } êáé n-äéüôóôáôï äéüíõóìá. ïõìå L 0 = ( ) { n 1 exp 1 2ð 2ó 2 ó } n (x i ì 0 ) 2 i=1 êáé L á = ( ) { n 1 exp 1 2ð 2ó 2 ó } n (x i ì á ) 2 i=1 : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 18
20 ÂÜóç ôïõ Ë.Neyman-Pearson ç ê.ð. ãéá Ýíá É ôýóô ãéá ôçí Ç 0 åßíáé C = {x : L 0 k} L á { [ = {x : exp 1 n 2ó 2 (x i ì 0 ) 2 i=1 ]} n (x i ì á ) 2 k}: i=1 Ëïãáñéèìßæïíôáò ðáßñíïõìå C = {x : 2ì 0 n i=1 x i 2ì á n x i n(ì0 2 ìá) 2 2ó 2 ln k} i=1 = {x : x 2ó2 ln k + n(ì 2 0 ì 2 á) 2n(ì 0 ì á ) = {x : x Ê}: Ê(óôáèåñï)} Èá ðñýðåé íá õðïëïãéóôåß ôï Ê. Áõôü ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß áðü ôçí ðéèáíüôçôá ôïõ óöüëìáôïò ôýðïõ É. ïõìå P (C H 0 ) = P ( X K ì = ì0 ) = á: ¼ìùò ãíùñßæïõìå üôé N(ì; ó 2 =n). ôóé üôáí Ç0 éó ýåé ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 19
21 ðáßñíïõìå P ( X K ì = ì0 ) = P ( X ì 0 ó= n K ì 0 ó= n ) = á Þ áëëéþò üðïõ z á = K ì 0 ó= n. ñá P (Z z á ) = á; Ê = ì 0 + (ó= n)z á : Óõíåðþò, ôï É ôýóô Ý åé ê.ð. ôçí {x : x ì 0 + (ó= n)z á }: Éóïäýíáìá ï Ýëåã ïò ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 ìðïñåß íá ãßíåé ìå ôçí ó.ó. êáé ê.ð. {x : x ì0 + (ó= n)z á }: ¼ôáí éó ýåé ç Ç 0 ôüôå ç êáôáíïìþ åßíáé Í(ì 0 ; ó 2 =n) êáé üôáí éó ýåé ç Ç 1 ôüôå åßíáé Í(ì á ; ó 2 =n). ëëç éóïäýíáìç ó.ó. åßíáé ç Æ = ì0 êáé ê.ð. ó= n {z : z z á }. ¼ôáí éó ýåé ç Ç 0 ôüôå ç êáôáíïìþ åßíáé Í(0; 1) áëëéþò åßíáé Í( ì á ì0 ; 1). ó= n ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 20
22 FundStat_5700.GIF (GIF Image, 577x725 pixels) - Scaled (80%) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 21
23 Áõôüò ï Ýëåã ïò ëýãåôå êáé Æ-ôÝóô. [ÃñÜöçìá]. Áðü ôï ó Þìá åßíáé ðñïöáíýò üôé üôáí ôï á ìåãáëþíåé ôüôå ôï â ìéêñáßíåé êáé ôï áíüðïäï. ñá ç ôáõôü ñïíç åëá éóôïðïßçóç åßíáé áäýíáôç. óôù ì 0 = 10 êáé ì á = 11:2 ìå ó 2 = 49, n = 100 êáé á = 0:05. Áðü ôïõò óôáôéóôéêïýò ðßíáêåò ãíùñßæïõìå üôé z 0:05 = 1:645, êáé óõíåðþò ç ê.ð. ôïõ Æ ôýóô åßíáé ç [1:645; ). Ãéá ôï óõãêåêñéìýíï ôýóô ôï â åßíáé â = P (Z 1:645 H á ) = P (Z ì á ì 0 ó= n 11:2 10 1:645 ) 100 7= = P (Í(0; 1) 0:069) = 0:472: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 22
24 Ôõ áéïðïéçìýíïé ëåã ïé [Ð.. 7]: óôù äéùíõìéêü ðåßñáìá ìå n-äïêéìýò ìå ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò p 0, êáé Ýóôù ï Ýëåã ïò üôé ç ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò åßíáé p á, üðïõ p 0 < p á. Åßíáé ðñïöáíþò Ýíá ðåßñáìá áðëþò ìçäåíéêþò ìå áðëþ åíáëëáêôéêþ. [Ëýóç]: ïõìå S = {1; 2; :::; n} êáé X Bin(100; p). ñá êáé L 0 = L á = ( n x ( n Ç ê.ð. ôïõ ðëýïí éó õñïý åëýã ïõ åßíáé x ) ) p x 0(1 p 0 ) n x p x á(1 p á ) n x : C = {x : p x 0(1 p 0 ) n x p x á(1 p á ) n x }: Ëïãáñéèìßæïíôáò Ý ïõìå C = {x : x ln k n ln[(1 p 0)=(1 p á )] ln[p 0 (1 p á )=p á (1 p 0 )] K}: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 23
25 ñá ôï É ôåóô áðïññßðôåé ôçí Ç 0 åüí x K, üðïõ Ê ôåôïéï þóôå P (x K p = p 0 ) = á: ÅðåéäÞ üìùò ç êáôáíïìþ åéíáé äéáêñéôþ, ìðïñåß íá ìçí õðáñ åé Ê þóôå íá éó ýåé ç ðéï ðüíù ðéèáíüôçôá. ÕðÜñ ïõí üìùò Ê 1 êáé Ê 2 (= Ê 1 + 1) ôýôïéá þóôå P (X K 1 p = p 0 ) = á 1 > á > á 2 = P (X K 2 p = p 0 ): Ðñïöáíþò åüí x < K 1 ç H 0 äåí ìðïñåß íá áðïññßöôåé êáé åüí x K 2 ç H 0 áðïññßðôåôáé. ñá äåí ìðïñïýìå íá êáôáóêåõüóïõìå ðåñéï Ýò óôáèåñïý åðéðýäïõ óçìáíôéêüôçôáò, êáé Üñá ôï Ë:N-P äåí åöáñìüæåôå. Ôï ðñüâëçìá ëýíåôå þò åîþò: üôáí X = K 1 êüíïõìå Ýíá éäéáßôåñï ôõ áßï ðåßñáìá, óáí íá ñß íïõìå Ýíá êýñìá ìå ðéèáíüôçôá ë = á á 2 á1 á2 íá âãåß 'ãñüììáôá', êáé áðïöáóßæïõìå íá áðïñßøïõìå ôçí Ç 0 üôáí âãåß ãñüììáôá. ôóé ç ôåëéêþ ðéèáíüôçôá áðüññéøçò ôçò Ç 0 åßíáé P (X K 2 Þ X = K 1 êáé Ýñèïõí 'ãñüììáôá') = P (X K 2 ) + P (X = K 1 )P ( ãñáììáôá = Ê 1 ) = á 2 + (á 1 á 2 )ë = á: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 24
26 ÁðëÞ Ç 0 Ýíáíôé óýíèåôçò Ç 1 [Ï]: óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìéáò áðëþò Þ óýíèåôçò Ç 0 Ýíáíôé ìéáò óýíèåôçò Ç 1 ìå å.ó. á. óôù åðßóçò üôé ãéá êüèå f H á, ç éó ýò ã(f) = 1 â(f) åßíáé ìåãáëýôåñç Þ ßóç ôçò éó ýïò êüèå Üëëïõ ôýóô ôçò ßäéáò Ç 0 Ýíáíôé ôçò ßäéáò Ç 1 ìå ôï ßäéï á. Ôüôå ôï ôýóô ôçò ìýãéóôçò éó ýïò ëýãåôå ïìïéïìüñöùò éó õñüôáôï (ÏÉ) ôåóô. [È]: óôù ìéá áðëþ Ç 0 êáé ìéá óýíèåôç Ç 1. óôù åðßóçò üôé ôï É ôåóô ìåãýèïõò á Ýíáíôé ôçò áðëþò åíáëëáêôéêþò f = f á, üðïõ f á Ç 1 åßíáé ôï ßäéï ãéá êüèå f á Ç 1. Ôüôå ôï ôýóô åßíáé ÏÉ ôýóô ìåãýèïõò á ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1. [Ð.. 8]: óôù ôï ðñïçãïýìåíï [ð.. 6] ìå Ç 0 : ì = ì 0 êáé Ç 1 : ì > ì 0 : óôù ì á > ì 0. Ôï É-ôÝóô ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = ì á äßíåôå éóïäýíáìá áðü ôéò {x : x ì 0 + (ó= n)z á } ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 25
27 êáé Æ = ì 0 ó= n êáé ê.ð. {z : z z á}: To ôýóô áõôü åßíáé éóïäýíáìï ãéá êüèå ì á > ì 0 ìéáò êáé äåí åîáñôüôáé áðü ôçí ôéìþ ì á. ñá åßíáé ÏÉ-ôÝóô ãéá ôçí ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò ì > ì 0. Ïìïßùò êáé ãéá ôïí Ýëåã ï Ç 0 : ì = ì 0 êáé Ç 1 : ì < ì 0 Ý ïõìå {x : x ì 0 (ó= n)z á } Þ ÁíôéèÝõùò, ãéá ôïí Ýëåã ï Æ = ì 0 ó= n êáé ê.ð. {z : z z á}: Ç 0 : ì = ì 0 êáé Ç 1 : ì ì 0 (äßðëåõñïò Ýëåã ïò) äåí õðüñ åé ÏÉ-ôÝóô. [Ð.. 9]: Äßíåôå ðáñáôþñçóç x ôçò ô.ì. áðü ðëçèõóìü ìå Åêè(è). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 26
28 (á) Íá âñåèåß ÏÉ-ôÝóô ãéá Ýëåã ï Ç 0 : è = è 0 êáé Ç 1 : è > è 0 ; êáé (â) íá âñåèåß ç óõíüñôçóç éó ýïò ôïõ åëýã ïõ. [Ëýóç]: (á) Âáóéæüìáóôå óôï ðñïçãïýìåíï åðé åßñçìá. ôóé èá âñïýìå ôçí ê.ð. ãéá ôïí Ýëåã ï Ç 0 : è = è 0 êáé Ç 1 : è = è 1 (è 1 > è 0 ); êáé Üí áíåîüñôçôç ôïõ è 1 ôüôå Ý ïõìå ÏÉ-ôÝóô. Ý ïõìå Þ ôóé ç ê.ð åßíáé L 0 L á = è 0 è 1 exp{x(è 1 è 0 )} k x ln k ln è0 è1 è 1 è 0 = k : X k : ÂÜóç ôïõ Ë:N-P ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 27
29 Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò k Ý ïõìå á = P (X k è = è 0 ) = k è 0 e è 0x dx 0 = 1 e è 0k ; áð' üðïõ âãáßíåé üôé k = ln(1 á). ñá ç ê.ð. åßíáé è0 1 è 0 ln(1 á): ñá ÏÉ-ôÝóô. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 28
30 (â) Ç óõíüñôçóç éó ýïò åßíáé 1 â(è) = 1 P ( 1 è 0 ln(1 á) è > è 0 ) = P ( 1 è 0 ln(1 á) è > è 0 ) = 1 è 0 ln(1 á) 0 = 1 e è è 0 ln(1 á) èe èx dx = 1 (1 á) è è 0 ; è > è 0 : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 29
31 Óýíèåôç Ç 0 Ýíáíôé óýíèåôçò Ç 1 Ç ðëýïí ðïëýðëïêç êáé ñþóéìç ðåñßðôùóç. Ç óýíèåôç ìïñöþ ôçò Ç 0 êáé Ç 1 ìðïñåß íá åßíáé ãíþóéá Þ íá ïöåßëåôå óå åíï ëçôéêýò ðáñáìýôñïõò (nuisance parameters). Ðáñáäåßãìáôá Ý ïõìå 1. Ç 0 : ì 0, ó 2 = 1 2. Ç 0 : ì = 0 êáé ó 2 áêáèüñéóôï (åíï ëçôéêþ ðáñüìåôñïò) 3. Ç 0 : ì = áêáèüñéóôï, êáé ó 2 = ó0 2 ðáñüìåôñïò) ãíùóôü (åíï ëçôéêþ 4. Ç 0 : ì 0 êáé ó 2 áêáèüñéóôï (åíï ëçôéêþ ðáñüìåôñïò) Ïé ê.ð. èá ðñýðåé íá éêáíïðïéïýí P (X C f) á ãéá êüèå f H 0. Óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò äåí õðüñ ïõí ÏÉôÝóô. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 30
32 [È]: óôù ìéá óýíèåôç Ç 0 êáé ìéá óýíèåôç Ç 1. óôù åðßóçò üôé õðüñ åé f 0 H 0 ãéá ôçí ïðïßá õðüñ åé Ýíá ÏÉ-ôåóô ìåãýèïõò á ôçò áðëþò Ç 0 : f = f 0 Ýíáíôé ôçò óýíèåôçò åíáëëáêôéêþò Ç 1. í áõôüò ï Ýëåã ïò åßíáé åðéðýäïõ á ãéá üëåò ôéò f Ç 0, ôüôå ï Ýëåã ïò åéíáé ÏÉ åðéðýäïõ á ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1. Ç f 0 ëýãåôå ðëýïí äõóìåíþò ìçäåíéêþ êáôáíïìþ. [ÔÝóô Ðçëßêïõ ÐéèáíïöÜíåéáò]: Ôï ðçëßêï ðéèáíïöüíåéáò áðïôåëåß ìéá áíåîüñôçôç êáé ãåíéêþ áñ Þ êáôáóêåõþò óôáôéóôéêþí åëýã ùí. ò èåùñþóïõìå ôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñßðôùóç Ç 0 : è è 0 êáé Ç 1 : è è á : Ôï ãåíéêåõìýíï ðçëßêï ðéèáíïöáíåéþí ïñßæåôå f(x; è) ë = max è è0 max è è f(x; è) ÄåäïìÝíïõ üôé è 0 è Ý ïõìå 0 ë 1, üðïõ ìéêñýò ôéìýò ôïõ ë õðïäçëþíïõí áðüññéøç ôçò Ç 0. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 31
33 Óå å.ó. á áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 üôáí ë k; üðïõ ôï k âñßóêåôå áðü ôéò ó Ýóåéò P (ë k è 0 ) = á åüí è 0 = {è 0 }, äçë. áðëþ Ç 0 êáé P (ë k è) á, è è 0, ìå éóüôçôá ãéá Ýíá ôïõëü éóôïí è è 0 áí ç Ç 0 óýíèåôç. Óõíåðþò x : ë k: To ôýóô âáóßæåôáé óôçí ãíþóç ôçò êáôáíïìþò ôïõ ë üôáí éó ýåé ç Ç 0, êáôé ðïõ åßíáé óõ íü ðïëý äýóêïëï. [È]: ÅÜí Ç 0 åðéâüëåé r ðåñéïñéóìïýò óôçí è, ôüôå ãéá ìåãüëåò ôéìåò ôïõ n ç ô.ì. 2 ln ë áêïëïõèåß êáôü ðñïóýããõóç ôçí 2 êáôáíïìþ r üôáí ç Ç 0 áëçèåýåé. ôóé ç ê.ð. åßíáé éóïäýíáìç ìå {x : 2 ln ë 2 ln k}; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 32
34 êáé ôåëéêü ôï ôýóô ãßíåôå ìå ÓÓÔ = 2 ln ë êáé ê.ð. [ 2 r;á ; ): [Ð.. 10]: (óåë. 216) [Ð.. 11]: (óåë. 219) - Ï É [Ð.. 12]: (óåë. 221) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 33
35 ÔÝóô Óçìáíôéêüôçôáò Åêôüò áðü ôï Ë:N-P ç áêüëïõèç áñ Þ ìáò äßíåé åðéðëåüí äõíáôüôçôåò êáôáóêåõçò óôáôéóôéêþí åëýã ùí. Âñßóêïõìå ìéá ó.ó. ãíùóôþò êáôáíïìþò üôáí éó ýåé ç Ç 0 êáé ìå ôç âïþèåéá áõôþò ôçò ó.ó. âñßóêïõìå ìéá ê.ð. üðïõ P (C H 0 ) á ãéá êüèå f H 0 : [Ð.. 13]: óôù 1 ; 2 ; :::; m êáé Õ 1 ; Õ 2 ; :::; Õ n áíåîüñôçôá ô.ä. áðü êáíïíéêïýò ðëçèõóìïýò Í(ì 1 ; ó 2 ) êáé Í(ì 2 ; ó 2 ), üðïõ ó 2 ãíùóôü. ÅëÝã ïõìå áí Ãíùñßæïõìå üôé ç ó.ó. Ç 0 : ì 1 = ì 2 Ç 1 : ì 1 > ì 2 : t = ( Õ ) (ì1 ì 2 ) S p 1 m + 1 n t m+n 2 ; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 34
36 üðïõ S p = 1 m + n 2 i (x i x) 2 + j (y j ȳ) 2 = (m 1)S2 1 + (n 1)S 2 2 m + n 2 ¼ôáí éó ýåé ç Ç 0 Ý ïõìå : t = ( Õ ) S p 1 m + 1 n t m+n 2 : Ìéá ê.ð. ìåãýèïõò á åßíáé t > t m+n 2;á : Óçìåéþóåéò: Óõ íü óå ðñïâëþìáôá, åíþ ç Ç 0 åßíáé óáöþò êáèïñéóìýíç, ç Ç 1 äåí Ý åé êüðïéá ìïñöþ. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 35
37 óôù ó.. Ô ãíùóôçò êáôáíïìþò õðü ôçí Ç 0, êáé Ýóôù üôé ìåãüëåò ôéìýò ôçò ó.ó. ìáñôõñïýí ïôé äåí éó ýåé ç Ç 0. Õðüëïãßæïõìå ôçí ôéìþ p = P (T > T ðáñ H 0 ): ÅÜí p < á ôüôå Ç 0 óôáôéóôéêþò óõìáíôéêþ. Ôï p åßíáé ôï ëåãüìåíï p-value êáé ìðïñåß íá åßíáé êáé äéðëåõñï. Áõôü õðïëïãßæåé ôï å.ó. ôïõ åëýã ïõ. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 36
38 Ãíùóôïß ëåã ïé (A) [z-test]: ëåã ïò ìýóïõ, áðëþ åíáëëáêôéêþ (ó-ãíùóôü) óôù 1 ; 2 ; :::; n iid áðü Í(ì; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. Íá ãßíåé ï Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = ì 1, üðïõ ì 1 > ì 0. ïõìå Þäç äåß áõôüí ôïí Ýëåã ï. ôóé üôáí Ç 0, ç ê.ð. ïñßæåôå C = {x : x ì 0 + (ó= n)z á }: Ãéá ôïí ßäéï Ýëåã ï, åüí ì 1 < ì 0 ôüôå ç ê.ð. èá ãéíüôáí C = {x : x ì 0 (ó= n)z á }: [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n iid áðü Í(ì; ó 2 ) êáé èýëïõìå íá åëýãîïõìå ìå á = 0:05 ôçí õðüèåóç Ç 0 : ì = 5 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = 6, üðïõ ó 2 = 1 ãíùóôü. Ôá äåäïìýíá åßíáé x = {5:1; 5:2; 4:9; 5:3}. ïõìå: x = 5:1 + 5:2 + 4:9 + 5:3 4 = 5:2; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 37
39 ïðüôå ÂëÝðïõìå üôé z = x ì 0 = 5:2 5 = 0:4: ó= n 4 1= z < z 0:05 = 1:645 ïðüôå äåí áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0. Óçìåßùóç: Áíôßóôïé ïõò õðïëïãéóìïýò ðñáãìáôïðïéïýìå êáé ãéá ôïõò åëýã ïõò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì > ì 0 Þ Ç 0 : ì ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì > ì 0 ïé ïðïßïé Ýéíáé ìïíüðëåõñïé Ýëåã ïé. óôù ï äß-ðëåõñïò Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì ì 0. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 38
40 Ôï Ã.Ð.Ð. åßíáé ë = max ì f(x; ì; ó 2 ) f(x; ì 0 ; ó 2 ) = (2ðó2 ) n=2 exp[ i (x i x) 2 =2ó 2 ] (2ðó 2 ) n=2 exp[ i (x i ì 0 ) 2 =2ó 2 ] [ ] 1 = exp {(x i ì 0 ) 2 (x i x) 2 } 2ó 2 [ ] 1 = exp 2ó 2n( x ì 0) 2 i Ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 èá ðñýðåé ôï ë íá åßíáé ìåãüëï. ñá èá ðñýðåé ( x ì 0 ) 2 íá åßíáé ìåãüëï. ÊÜôù áðü ôçí Ç 0 üìùò Ý ïõìå N(ì 0 ; ó 2 =n) êáé óõíåðþò : Æ = ì 0 ó= n N(0; 1): ñá ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 ãéá á = 0:05 èá ðñýðåé z > z á=2 = z 0:025 Þ z < z á=2 = z 0:025, üðïõ z á=2 åßíáé ôï Üíù á=2 ðïóïóôéáßï óçìåßï ôçò Í(0; 1). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 39
41 (B) [t-test]: ëåã ïò ìýóïõ, áðëþ åíáëëáêôéêþ (ó-üãíùóôï) óôù 1 ; 2 ; :::; n iid áðü Í(ì; ó 2 ), ìå ó 2 Üãíùóôï. Íá ãßíåé ï Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = ì 1, üðïõ ì 1 > ì 0. Ï Ýëåã ïò åßíáé áíôßóôïé ïò ôïõ (Á), ìå ôç äéáöïñü üôé ç êáôáíïìþ ðïõ áêïëïõèåéôáé ðëýïí äåí åßíáé ç êáíïíéêþ áëëü ç Student-t ìå n 1 âáèìïýò åëåõèåñßáò. Ç ê.ð. ëïéðüí åßíáé C = {x : x ì 0 + (s= n)t n 1;á }; üðïõ s = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2. [Ð..]: óôù ïôé Ý ïõìå ôï ýøïò áðü ñïíá áãüñéá áðü ôçí Jamaica ìå homozygous sickle cell disease (SS) To ìýóï ýøïò ãéá áíôßóôïé á ðáéäßá áðü ôçí Ì.Â. åßíáé 86.5cm. Åßíáé ôï ðéü ðüíù äåßãìá ìå áãïñüêéá ìå SS äéáöïñåôéêü þò ðñüò ôï ýøïò áðü ôá õãéþ 2- ñïíá áãïñüêéá; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 40
42 [Ëýóç]: ïõìå x = 84:4 + 89:9 + ::: + 81:9 24 = 84:1cm; s = 3:11cm, n = 24 êáé s= n = 3:11= 24 = 0:63cm. O Ýëåã ïò åßíáé Ç 0 : ì = 86:5 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = 84:1 Þ áêüìá Ç 1 : ì < 86:5. ïõìå t = x ì 0 s= n = 84:1 86:5 0:63 = 3:81; ìå ÂÅ = 23 êáé t 23;0:05 = 1:71 êáé áêüìá t 23;0:001 = 3:48. ñá P < 0:001. ñá Ý ïõìå áñêåôþ ðëçñïöïñßá ãéá íá äïýìå üôé ôá 2- ñïíá áãüñéá áðü Jamaica Ý ïõí ýøïò óçìáíôéêü ìéêñüôåñï áðü ôï áíôßóôïé ï ýøïò ôùí õãéþí ðáéäéþí áðü Ì.Â. Óçìåéþóåéò: ÓþóôÞ óýãêñéóç èá Þôáí ãéá áãüñéá ìå SS áðü Jamaica ìå õãéþ áãüñéá åðßóçò áðü Jamaica. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 41
43 Ï äßðëåõñïò Ýëåã ïò áêïëïõèåß ôá ßäéá âþìáôá ìå ôïí Ýëåã ï (Á), ìå ôçí ðñïöáíþ ñþóç ôçò t-êáôáíïìþò áíôß ôçò Í(0; 1). [Ð..]: Ôï åñþôçìá ðïõ Ý ïõìå áõôç ôç öïñü åßíáé 'ìðïñåß ôï jogging íá ïäçãþóåé óå ìåßùóç ôùí óöõãìþí'; ËáìâÜíïõìå ôïõò óöõãìïýò áðü 8 åèåëïíôýò ðïõ äåí êüíïõí êáèüëïõ jogging êáé Ý ïõìå óöõãìïß ðñßí óöõãìïß ìåôü äéáöïñü Ï ôñüðïò ðïõ Ý åé ôåèåß ôï ðñüâëçìá ìáò ïäçãåé íá áó ïëçèïýìå ìå ôéò äéáöïñýò. óôù ëïéðüí üôé ïé äéáöïñýò x 1 ; :::; x 8 áêïëïõèïýí Í(ì; ó 2 ) ìå Üãíùóôï ó 2. Ôüôå Ç 0 : ì = 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì 0. Õðïëïãßæïõìå: i x i = 22, x = 2:75, i x2 i = 326 êáé i (x i x) 2 = i x2 i 8 x = 265:5: Ïðüôå t = x 0 s 2 =n = 2: :5=(8 1) 8 = 1:263: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 42
44 Áðü ðßíáêåò Ý ïõìå t 7;0:025 = 2:365 êáé óõíåðþò ôá äåäïìýíá äåí ðáñý ïõí éêáíþ ðëçñïöïñßá ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0. Áõôüò ï Ýëåã ïò ëýãåôå æåõãáñùôü t-test (paired t-test). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 43
45 (C) [z-test]: ëåã ïò äýï ìýóùí (ßäéï ó êáé ó-ãíùóôü) óôù 1 ; 2 ; :::; m iid áðü Í(ì 1 ; ó 2 ) êáé Õ 1 ; Õ 2 ; :::; Õ n iid áðü Í(ì 2 ; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. ÈÝëïõìå ôïí Ýëåã ï Ç 0 : ì 1 = ì 2 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì 1 ì 2 ïõìå ôï Ã.Ð.Ð. ðïõ ðáßñíåé ôç ìïñöþ ë = max ì1;ì2 f(x; ì 1; ó 2 )f(y; ì 2 ; ó 2 ) max ì f(x; ì; ó 2 )f(y; ì; ó 2 ) = = exp (2ðó 2 ) m+n 2 e (2ðó 2 ) m+n 2 e { m 2ó 2 ( x i (x i x)2 2ó 2 i (x i m x+nȳ m+n )2 2ó 2 e m x + nȳ m + n { } mn = exp 2ó 2 ( x ȳ)2 (m + n) e i (y i ȳ)2 2ó 2 ) 2 + n : i (y i m x+nȳ m+n )2 2ó 2 2ó 2 ( ȳ m x + nȳ m + n ) 2 } Óõíåðþò, ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 èá ðñýðåé ( x ȳ) 2 íá åßíáé ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 44
46 ìåãüëï êáé óõíåðþò ôï x ȳ íá åßíáé ìåãüëï. ¼ìùò N(ì 1 ; ó 2 =m) êáé Õ N(ì2 ; ó 2 =n). Ïðüôå õðü ôçí Ç 0 Ý ïõìå: ïðüôå ( Õ 2 1 N(0; ó + 1 ) m n ( Õ ) ( 1 m + 1 n ) 1 1 ó ); N(0; 1): Óõíåðþò Ýíáò äßðëåõñïò Ýëåã ïò ìå á = 0:05 áðïññßðôåé ôçí Ç 0 üôáí z > z á=2 Þ z < z á=2. Åðßóçò 2 log ë = Æ ; Üñá åäù ï Ýëåã ïò åßíáé áêñéâþò êáé ü é êáôá ðñïóýããõóç. Óçìåéþóåéò: Áí ïé äéáóðïñýò åßíáé ãíùóôýò áëëü ü é ßóåò ôüôå Õ N(ì1 ì 2 ; ó2 1 + ó 2 2 m n ); ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 45
47 êáé Üí ç Ç 0 áëçèþò ôüôå Õ N(0; ó ó 2 2 m n ); í ïé äéáóðïñýò åßíáé Üãíùóôåò áëëü ßóåò ôüôå Ô m+n 2 = ( Õ ) (ì1 ì 2 ) S p 1 m + 1 n t m+n 2 ; üðïõ: S p = 1 m + n 2 i (x i x) 2 + j (y j ȳ) 2 = (m 1)S2 1 + (n 1)S 2 2 m + n 2 : Áõôü éó ýåé üôáí Ý ïõìå ìéêñü äåéãìáôá. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 46
48 í ôá äåßãìáôá åßíáé áíåîüñôçôá ìå n; m, ôüôå Æ m;n = ( Õ ) (ì1 ì 2 ) S S2 2 m n N(0; 1): [Ð..]: ïõìå äåäïìýíá ãéá ôï âüñïò áðï 14 íåïãýííçôá ôùí ïðïßùí ç ìçôýñá êáðíßæåé êáé 15 ôùí ïðïßùí ç ìçôýñá äåí êáðíßæåé. ÌÞ ÊáðíéóôÝò ÊáðíéóôÝò x = s = n = ïõìå ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 47
49 Ïðüôå êáé s = Ç 0 : ì 1 = ì 2 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì 1 ì : : t = :5933 3:2029 0: ìå Â:Å: = = 27. t 27;0:025 = 2:05, ïðüôå = 0:4337kg = 0:3904 0:1612 = 2:42 Áðü ôïõò ðßíáêåò âñßóêïõìå üôé t > t 27;0:025 = 2:05; ïðüôå ãéá äßðëåõñï Ýëåã ï ìå á = 0:05 áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 êáé óõìðåñáßíïõìå üôé ôá ìþñá ôùí ìç êáðíéóôþí ãåííéïýíôáé âáñýôåñá. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 48
50 (D) [ 2 -test]: ëåã ïò ãéá äéáóðïñü (ì-üãíùóôï) óôù 1 ; 2 ; :::; m iid áðü Í(ì; ó 2 ) êáé ì Üãíùóôü. ÈÝëïõìå ôïí Ýëåã ï Ïðüôå Ç 0 : ó 2 = ó 2 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ó 2 ó 2 0. ë = max ó 2 f(x; ì; ó2 ) f(x; ì; ó0 2) = [ 2ð i (x i x) 2 n ] n=2 exp[ n 2 ] (2ðó 2 0 ) n=2 exp [ i (x i x) 2 =2ó 2 0 ]: Ìå ðñüîåéò ìðïñïýìå íá äïýìå üôé ôï ë ìåãáëþíåé üóï ìåãáëþíåé ôï i (x i x) 2 =nó0 2 áðü ôï 1. ¼ìùò, ãíùñßæïõìå üôé õðü ôçí Ç 0 Ý ïõìå (n 1)S 2 ó 2 0 = i (x i x) 2 ó n 1 : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 49
51 Ïðüôå ï äéðëåõñïò Ýëåã ïò áðïññßðôåé ôçí Ç 0 üôáí w > F (n 1) á=2 Þ w < F (n 1) (n 1) 1 á=2, üðïõ F á=2 êáé F (n 1) 1 á=2 åßíáé ôá êüôù êáé Üíù á=2 ðïóïóôéáßá óçìåßá ôçò n 1 2, äçëáäç ôá óçìåßá üðïõ P ( 2 n 1 < F (n 1) 1 á=2 ) = P ( 2 n 1 > F (n 1) á=2 ) = á=2: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 50
52 (E) [F -test]: ëåã ïò ãéá óýãêñéóç äýï äéáóðïñþí óôù 1 ; 2 ; :::; m iid áðü Í(ì 1 ; ó 2 1) êáé Õ 1 ; Õ 2 ; :::; Õ n iid áðü Í(ì 2 ; ó 2 2). ïõìå Ç 0 : ó 2 1 = ó 2 2 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ó 2 1 > ó2 2. Åßôå áðü ôï Ã.Ð.Ð. Þ áðëü áðü êïéíþ ëïãéêþ âãáéíåé üôé F = ˆó2 1 ˆó 2 2 = (xi x) 2 =(m 1) (yi ȳ) 2 =(n 1) ó2 1 2 m 1 =(m 1) ó2 2 2 n 1 =(n 1) = ó2 1 ó2 2 F m 1;n 1 : ñá õðü ôçí Ç 0 Ý ïõìå F F m 1;n 1. ñá üôáí Ç 1 áëçèþò ôüôå F èá åßíáé ìåãüëï, Üñá áðïññßðôïõìå Ç 0 üôáí F ìåãüëï. íáò Ýëåã ïò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 51
53 ãéá á = 0:05 åßíáé üôáí f > F (m 1;n 1) á, üðïõ F (m 1;n 1) á á ðïóïóôéáßï óçìåßï ôçò êáôáíïìþò. ôï Üíù ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 52
54 ÄéáóôÞìáôá Åìðéóôïóýíçò [Ð..]: óôù Ýíáò íýïò êëéíéêüò Ýëåã ïò ãéá ôç äéüãíùóç êáôåóôñáìýíùí áñèñþóåùí (damaged joints) áðï øïñéáôéêþ áñèñßôéäá. ÅëÝã ïõìå ôçí áðïôåëåóìáôéêüôçôá ôïõ íýïõ ôñüðïõ äéüãíùóçò ìå ôï íá óõãêñßíïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ìå x-rays ôùí áíôßóôïé ùí áñèñþóåùí. ÂëÝðïõìå üôé óå 100 êáôåóôñáìýíåò áñèñþóåéò ï êëéíéêüò Ýëåã ïò äéýãíùóå ôéò 80. Ôé ìðïñïýìå íá ðïýìå ãéá ôçí Üãíùóôç ðáñüìåôñï p = ðéèáíüôçôá íá ãßíåé óùóôþ äéüãíùóç: ïõìå ëïéðüí i = { 0; Üí äåí ãßíåé óùóôü ç äéüãíùóç; 1; Üí ãßíåé óùóôü ç äéüãíùóç. üðïõ p = P (X i = 1), 1 p = P (X i = 0) êáé öõóéêü X i b(p). ò åêôéìþôñéá ôïõ p ëáìâüíïõìå = i x i 100 = = 0:8: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 53
55 ¼ìïßùò åêôéìïýìå ôï ó 2 ìå ôï S 2 = (Xi X) 2 n 1 = X 2 i 100 X 99 = Xi 100 X 99 = 0:1616 [Ï]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü ó.ð.ð. f(x; è), üðïõ è Üãíùóôç ðáñüìåôñïò êáé á (0; 1). ÕðüèÝôïõìå üôé õðüñ ïõí äýï ó.ó. (åêôéìþôñéåò) L = L( 1 ; 2 ; :::; n ) = L(X) êáé ãéá ôéò ïðïßåò P (L U) = 1 U = U( 1 ; 2 ; :::; n ) = U(X); P (L è U) = 1 á êáëåßôáé äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò (ä.å.) ãéá ôçí è, ç äå ðéèáíüôçôá ïíïìüæåôáé óõíôåëåóôþò åìðéóôïóýíçò (ó.å.) ôïõ äéáóôþìáôïò. Óçìåéþóåéò: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 54
56 Ôï ôõ áßï äéüóôçìá [L(X); U(X)] åßíáé åêôéìçôþò óå äéüóôçìá. ÓõíÞèùò ìéëüìå ãéá êëåéóôü äéáóôþìáôá L; U, áëëü óå ìåñéêýò ðåñéðôþóåéò åßíáé äõíáôüí íá ìéëüìå êáé ãéá Üëëåò ìïñöýò äéáóôçìüôùí (ð.. áíïéêôü). [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü Í(ì; 1), êáé Ýóôù Ýíá äéüóôçìá åêôßìçóçò ãéá ôï ì åßíáé ôï [ 1; + 1]; äçëáäþ 1 < ì < + 1: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 55
57 P (ì [ 1; + 1]) = P ( 1 < ì < + 1) = P ( 1 < ì < 1) = P ( 2 < ì 1=4 < 2) = P ( 2 < Z < 2) (Z N(0; = 0:9544: [Å]: Ðïéü ôï êýñäïò; [Á]: Ç ìåôáôñïðþ ôïõ óçìåéáêïý åêôéìçôþ óå äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò Ý åé þò áðïôýëåóìá íá Üíïõìå áêñßâåéá óôçí åêôßìçóç (Ý ïõìå äéüóôçìá áíôß ãéá ìéá ôéìþ) áëëü êåñäßæïõìå óå óéãïõñßá ãéá ôï üôé ç ðñáãìáôéêþ ôéìþ èá ðåñéëáìâüíåôáé óôï äéüóôçìá. Ïýôùò Þ Üëëùò, ç óéãïõñéü ìáò ãéá ôïí óçìåéáêü åêôéìçôþ åßíáé ìçäåíéêþ áöïý P (ì = ì 0 ) = 0: [Ï]: Ãéá Ýíáí äéáôçìáôéêü åêôéìçôþ [L(X); U(X)] ìéáò ðáñáìýôñïõ è, êáëõðôéêþ ðéèáíüôçôá (coverage probability) ôïõ [L(X); U(X)] ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 56
58 åßíáé ç ðéèáíüôçôá ôï ôõ áßï äéüóôçìá íá êáëýðôåé ôçí ðñáãìáôéêþ ôéìþ ôïõ è, äçëáäþ P (è [L(X); U(X)]): ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 57
59 ÌÝèïäïé Åýñåóçò Ä.Å. Á. ÁíôéóôñÝöïíôáò Ýíá ôýóô (ôçí ó.ó. åíüò åëýã ïõ õðüèåóçò) ÕðÜñ åé éó õñþ ó Ýóç ìåôáîý åëýã ïõ õðïèýóåùí êáé äéáóôçìüôùí åìðéóôïóýíçò. Èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå üôé ãéá êüèå ä.å. áíôéóôïé åß êáé Ýíáò Ýëåã ïò õðüèåóçò êáé áíôßóôñïöá. [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü Í(ì; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. óôù ï Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì ì 0. Ç ðåñéï Þ áðüññéøçò ôïõ åëýã ïõ åßíáé ì0 > z á=2 ó n : Óõíåðþò, äåí ìðïñïýìå íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 Üí ì0 z á=2 ó n ; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 58
60 Þ z á=2 ó n ì0 z á=2 ó n z á=2 ó n ì 0 + zá=2 ó n : Ôï åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò ôïõ ôýóô åßíáé á, ïðüôå P (áðüññéøçò ôçòç 0 ì = ì 0 ) = á Üñá P (áðïäï Þò ôçòç 0 ì = ì 0 ) = 1 á; P ( zá=2 ó n ì 0 + zá=2 ó n ) = 1 á: Áöïý ôï ðéü ðüíù éó ýåé ãéá êüèå åðéëïãþ ôïõ ì 0 ôüôå ôï [ z á=2 ó n ; + zá=2 ó n ] åßíáé Ýíá ä.å. ãéá ôï ì. í Á(ì 0 ) ðåñéï Þ áðïäï Þò ôçò Ç 0 : ì = ì 0 ôüôå Á(ì 0 ) = { (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) : ì 0 z á=2 ó n ì0 + z á=2 ó n } : óôù C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) Ýíá ä.å. ãéá ôçí ì ôï ïðïßï ðñïýêõøå áðü ôïí ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 59
61 Ýëåã ï C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = { ì 0 : zá=2 ó n ì 0 + zá=2 ó n } : Ç ðåñéï Þ Á(ì 0 ) åßíáé óôï Ä.. åíþ ôï ä.å. óôïí ðáñáìåôñéêü þñï È. Éó ýåé ôüôå C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) åßíáé (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) Á(ì 0 ) ì 0 C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ): [È]: Ãéá êüèå è 0 È, Ýóôù Á(è 0 ) ç ðåñéï Þ áðïäï Þò ôçò Ç 0 : è = è 0 ìå å.ó. á. Ãéá êüèå (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (X 1 ; X 2 ; :::; X n ) ïñßæïõìå ôï äéüóôçìá C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) óôïí ðáñáìåôñéêü þñï óáí C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = {è 0 : (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) Á(è 0 )} : Ôüôå ôï ôõ áßï äéüóôçìá C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) åßíáé Ýíá 1 á ä.å. Áíôßóôñïöá, Ýóôù C(X) Ýíá 1 á ä.å. Ãéá êüèå è 0 È ïñßæïõìå Á(è 0 ) = {x : è 0 C(x)} : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 60
62 Ôüôå Á(è 0 ) åßíáé ç ðåñéï Þ áðïäï Þò ìå å.ó. á ôçò õðüèåóçò Ç 0 : è = è 0. Ó üëéá: Ôï ñþóéìï ìýñïò ôïõ È. åßíáé ôï ðñþôï, áöïý åßíáé ðéï åõêïëï íá êáôáóêåõüæïõìå åëýã ïõò ðáñü ä.å. ÁíÜëïãá ìå ôçí åíáëëáêôéêþ ôçò Ç 0 èá åßíáé êáé ôï ä.å. [L; ) ãéá Ç 1 : ì > ì 0 Þ áêüìá ( ; U] ãéá Ç 1 : ì < ì 0. Ð.. [Ð..]: Ä.Å. ãéá ôï áñ éêü ðáñüäåéãìá (PsA). Ðáßñíïõìå ôçí êáíïíéêþ (ðñïóýããéóç) ìéáò êáé n = 100 áñêåôü ìåãüëï. ïõìå = 0:8 êáé S = 0:16162 = 0:402. ñá Ýíá 95% Ä.Å. (á = 0:05) äßíåôå áðü L = zá=2 S n = 0:8 (1:96) 0: = 0:7212 êáé U = + zá=2 S n = 0:8 + (1:96) 0: = 0:8788 ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 61
63 ñá ôï äéüóôçìá [0:7212; 0:8788] åßíáé Ýíá 95 % Ä.Å. (ðñïóåããéóôéêü) Â. ¾ðáñîç áíôéóôñåðôþò ðïóüôçôáò (pivotal quantity) [O]: Ç ô.ì. Q(X 1 ; X 2 ; :::; X n ; è) åßíáé ìéá áíôéóôñåðôþ ðïóüôçôá Üí ç êáôáíïìþ ôçò äåí åîáñôüôáé áðü ôçí ðáñüìåôñï è. [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü Í(ì; ó 2 ). í ôï ó 2 åßíáé ãíùóôü, ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôï pivot ãéá óôáèåñá á P ( á X ì ó= n á) = P ( á Z á) êáé ìå ðñüîåéò ðáßñíïõìå ôï äéüóôçìá { } ì : x á ó ì x + á ó n n : í ó 2 Üãíùóôï ôüôå ñçóçìïðïéïýìå ãéá pivot ôï X ì s= n ôçí t-êáôáíïìþ. Óõíåðþò ðïõ áêïëïõèåß P ( á X ì S= n á) = P ( á T n 1 á); ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 62
64 êáé Üí ãéá á = t n 1;á=2 Ý ïõìå { } s s ì : x t n 1;á=2 ì x + t n 1;á=2 n n ; ôï ïðïßï êáé åßíáé Ýíá êëáóéêü 1 á ä.å. ãéá ôï ì. í ôþñá åðéèõìïýìå Ýíá ä.å. êáé ãéá ôï ó 2 êüíïõìå ñþóç pivot ôïõ (n 1)S 2 Ïðüôå ó 2 2 n 1 : P (a (n 1)S2 ó 2 b) = P (a 2 n 1 b) = 1 á: Ìå ðñüîåéò ðáßñíïõìå {ó : (n 1)S2 b ó 2 } (n 1)S2 a Þ { (n 1)S 2 } (n 1)S 2 ó : b ó a : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 63
65 Ç ðñïöáíþò åðéëïãþ åßíáé a = n 1;1 á=2 2 êáé b = 2 n 1;á=2 (ìå êüðïéá ðñïâëþìáôá). [È]: Ä.Å. ãéá ì 1 ì 2 (ÄÐ, óåë.242) [È]: Ä.Å. ãéá ó 2 1 =ó2 2 (ÄÐ, óåë.241) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 64
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραHypothesis Testing Exercises
Hypothesis Testing Exercises Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr January 28, 2011 1. Óôá ðëáßóéá åíüò ðñïãñüììáôïò ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò öõìáôßùóçò, ó åäéüóôçêå ï øåêáóìüò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραB ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ
E π A π π ª π B ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ TfiÌÔ B' Iˆ ÓÓË KÔ ÙÚÔ ÏË Èı ÓfiÙËÙÂ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ II ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÂÉÏÓÔÁÔÉÓÔÉÊÇ ÄéäÜóêïõóá: Â. Ðéðåñßãêïõ 30/05/2017. æùíôáíü íåïãíü ÐëÞèïò ãåííþí =
ÔÌÇÌÁ ÂÉÏËÏÃÉÁÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÅÐÁÍÁËÇØÇÓ ÂÉÏÓÔÁÔÉÓÔÉÊÇ ÄéäÜóêïõóá: Â. Ðéðåñßãêïõ 30/05/07 Äßäïíôáé 0:) 0:579; 0:4) 0:655; 0:5) 0:69; 0:8) 0:788; ) 0:84; :) 0:885; :4) 0:99; :5) 0:933; :645) 0:95; :96) 0:975;
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅà ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ 1.1 ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÁ ÔÅÓÔ - ÐÑÙÔÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ Óêïðüò ôïõ ðáñüíôïò êåöáëáßïõ åßíáé íá ðáñïõóéüóåé ãåíéêýò éäýåò ãéá ôïí Ýëåã ï õðïèýóåùí. ôóé ð.. èá ìéëþóïõìå ãéá ôï ðùò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ 4.1 ÃÅÍÉÊÁ Ìå ôïí ôßôëï "Ýëåã ïò êáëþò ðñïóáñìïãþò" (goodness-of-fit) åííïïýìå ôçí äéáäéêáóßá (Þ ôéò äéáäéêáóßåò) åêåßíåò ìå ôéò ïðïßåò ìðïñïýìå íá åëýãîïõìå áí ôá
Διαβάστε περισσότεραÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότερα245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÁíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ
ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότερα¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα5Ô Ô ÚÓÔ. ðüóï 15 ðüóï 1/ ðüóï 2/ ðüóï 4/ ðüóï ðüóï ðüóï. 13 ðüóï 33 ðüóï ðüóï ðüóï. ðüóï 26 ðüóï 2XA ðüóï 3XA ¼ëïé ðüóï
5Ô Ô ÚÓÔ ª ıëùòó Bã ÎÏÔ ¼ëïé óôçí ðñþôç / K 2 Ìïßñáóå ï  3 Q 10 6 2 6 J 8 7 6 3 5 7 2 / 10 8 5 4 / A J 9 7 3 A 9 7 3 K J 5 6 Q 4 6 K 10 5 A Q 9 3 5 J 10 5 4 / Q 6 3 3 8 4 3 6 A 9 5 2 5 K 8 6 ðüóï 15 ðüóï
Διαβάστε περισσότεραB ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ
E π A π π ª π B ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ TfiÌÔ A' Iˆ ÓÓË KÔ ÙÚÔ ÏË Èı ÓfiÙËÙÂ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ I ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ
ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á - Á ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ Ç ÅÕÄÏÓ ÁÂÅÅ êáôáóêåõüæåé õäñïëçøßåò Üñäåõóçò ôýðïõ SCHLUMBERGER ïé ïðïßåò áíôáðïêñßíïíôáé ðëþñùò ðñïò ôéò äéåèíåßò ðñïäéáãñáöýò, êáôáóêåõüæïíôáé ìå Þ ùñßò
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
Διαβάστε περισσότεραÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò
ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότερα10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
Διαβάστε περισσότεραÁñéÜäíç ÉÜóïíáò Ñßêé ÐÜïëï. Åêåß âëýðù ìéá óðçëéü. ÐÜìå íá ôçí åîåñåõíþóïõìå; Ñßêé, öýãáìå. Åóåßò, ðáéäéü, èá ìáò áêïëïõèþóåôå;
Αυτό το καλοκαίρι η παρέα των παιδιών βρέθηκε στην παραλία, αναζητώντας ξεχωριστές... μαγικές... περιπέτειες. ÁñéÜäíç ÉÜóïíáò Ñßêé ÐÜïëï Åêåß âëýðù ìéá óðçëéü. ÐÜìå íá ôçí åîåñåõíþóïõìå; Ñßêé, öýãáìå.
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Εισαγωγή Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραÌåôñÞóåéò êáé ÓöÜëìáôá
ÌåôñÞóåéò êáé ÓöÜëìáôá ÅðéìÝëåéá : Ê. ÊáñáôÜóïò ÁñéóôïôÝëåéï ÐáíåðéóôÞìéï Èåóóáëïíßêçò ÔìÞìá çìéêþí Ìç áíéêþí - ÅñãáóôÞñéï ÖõóéêÞò çìåßáò 1 Åõóôï ßá êáé Áêñßâåéá 3 2 Åßäç Ðåéñáìáôéêþí ÓöáëìÜôùí 4 2.1 Áêïýóéá
Διαβάστε περισσότερα