Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Transcript

1 Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22

2 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι ριο Ε, symvonis mycourses ΗΜΜΥ/ΕΜΦΕ Βοηθο ς Διδασκαλι ας: Χρυσα νθη Ραυτοπου λου Κτι ριο Ε, 2.22 } Διαλε ξεις: Δευτε ρα 3-5μμ Παρασκευη πμ Συ γγραμμα: Θεωρι α Γραφημα των Αλε ξανδρος Παπαι ωα ννου Πανεπιστημιακε ς εκδο σεις ΕΜΠ Αξιολο γηση: Γραπτε ς Ασκη σεις: 5% Γραπτο Διαγω νισμα: 85% Αι θουσα 05 Νε ο κτι ριο ΣΕΜΦΕ Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

3 Θεματικε ς Ενο τητες. Εισαγωγη -Βασικη Ορολογι α 2. Συνεκτικο τητα 3. Δε νδρα 4. Eulerian Γραφη ματα v v 5 v 6 v 2 v 7 v 4 v 8 v 3 v 9 v 0 v 5. Hamiltonian Γραφη ματα 6. Χρωματισμο ς Γραφημα των v 5 7. Ταιρια σματα v 2 v 3 v 4 v 6 8. Πλη ρη Γραφη ματα Ανεξα ρτητα Συ νολα Καλυ μματα Κορυφω ν v 7 9. Επι πεδα Γραφη ματα 0. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

4 Γρα φημα v 2 v 5 e e 2 e 4 e 7 G = (V, E) V = {v, v 2,..., v n} n 0 v e 3 v 3 e 6 v 4 e 5 v9 e8 E = {e, e 2,..., e m} m 0 e i = (u, v) i=...m u,v V u v Τα ξη: Με γεθος: n = V = V(G) e = E = E(G) Γειτονια κορυφη ς: N(u) N(u) = {v (u, v) E} N(W) = {v (u, v) E, u W, v V\W} W V Βαθμο ς κορυφη ς: Ελα χιστος βαθμο ς: Με γιστος βαθμο ς: d G (u) = N(u) δ(g) = min d G (u) u V (G) = max d G (u) u V v 7 V = {v, v 2,..., v 7 } E = {e, e 2,..., e 9 } Τα ξη: 7 Με γεθος: 9 N(v 7 ) = {v, v 2, v 6 } N(v 4 ) = {v 3, v 5 } N({v 7, v 2 }) = {v, v 6, v 3 } d(v 7 ) = 3, d(v 2 ) = 4 δ(g) = 2 (G) = 4 v 6 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

5 Ερώτηση.: Ποιος ει ναι ο με γιστος αριθμο ς ακμω ν ενο ς γραφη ματος με n κορυφε ς? n = 5 Ερώτηση.2: Πο σα γραφη ματα υπα ρχουν με n κορυφε ς? Λήμμα.: d(v) = 2E v V Λήμμα.2: Κα θε γρα φημα ε χει α ρτιο αριθμο απο κορυφε ς περιττου βαθμου Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

6 Περι πατοι-περιηγη σεις v 2 v 3 v 4 v v 5 Περίπατος: Ακολουθι α κορυφω ν [u u 2... u k ] ο που (u i, u i+ ) E, i =,..., k [v v 2 v 8 v 3 v 2 v 7 ] Μπορει να επαναλαμβα νονται κορυφε ς Μονοπάτι: Περι πατος χωρι ς επαναλαμβανο μενες κορυφε ς v 8 v 7 v 6 Περιήγηση: Περι πατος με ταυτο σημη πρω τη και τελευται α κορυφη [u u 2... u k = u ] [v v 2 v 8 v 3 v 2 v ] Κύκλος: Περιη γηση χωρι ς επαναλαμβανο μενες κορυφε ς (με εξαι ρεση την v ) Εναλλακτικα Περι πατος Περιη γηση Μονοπα τι Κυ κλος Μονοπα τι Κυ κλος Απλο Μονοπα τι Απλο ς Κυ κλος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

7 Μη κος περιπα του περιη γησης μονοπατιου κυ κλου [u u 2... u k ] = k =ο αριθμο ς των ακμω ν που περιλαμβα νει Hamiltonian γραφήματα: Τα γραφη ματα που περιε χουν κυ κλο μη κους V Κυ κλος - μονοπα τι Hamilton Eulerian γραφήματα: A A Τα γραφη ματα που περιε χουν περιη γηση μεγε θους E η οποι α περιλαμβα νει ο λες τις ακμε ς C D C D Κυ κλος - μονοπα τι euler B B Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

8 Συνεκτικό Γράφημα: Υπα ρχει μονοπα τι ανα μεσα σε κα θε ζευ γος κορυφω ν του Συνεκτική Συνιστώσα: Μεγιστοτικο συνεκτικο υπογρα φημα Δένδρο: Συνεκτικο γρα φημα χωρι ς κυ κλους Λήμμα.3: Κα θε δε νδρο ε χει μια κορυφη βαθμου Θεώρημα.4: Για κα θε δε νδρο T(V, E) ισχυ ει E = V Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

9 Ειδικα Γραφη ματα Πλήρες Γράφημα Κλίκα K 5 V(K n) = n E(K n ) = n(n ) 2 d Kn (u) = n, u V(K n ) Διμερή Γραφήματα G = (A B, E) : e = (u, v) E : (u A AND v A) OR (u B AND v B) a b c a b c d d Πλήρη Διμερή Γραφήματα K 4,3 V(K m,n ) = m + n E(K m,n ) = mn Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

10 Ερώτηση.3: Να δειχθει ο τι ε να διμερε ς γρα φημα ε χει μο νο κυ κλους/περιηγη σεις α ρτιου μη κους. Ερώτηση.4: Να δειχθει (με χρη ση γραφημα των) ο τι ( m + n ) ( m ) ( n ) = + + mn Κανονικά Γραφήματα: Γραφη ματα με ι διο βαθμο για ο λες τις κορυφε ς τους k-κανονικο : d G (v) = k, v V G k-κανονικο E(G) = k V(G) 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

11 Γενικευ σεις του Ορισμου του Γραφη ματος παράλληλες \ πολλαπλές ακμές βρόγχος Απλά Γραφήματα: χωρι ς βρο γχους χωρι ς πολλαπλε ς ακμε ς Κατευθυνόμενα Γραφήματα: Κα θε ακμη ει ναι ε να διατεταγμένο ζευ γος κορυφω ν 5 ε σω-βαθμο ς: d (v) = {e : e = (u, v) E} ε ξω-βαθμο ς: d + (v) = {e : e = (v, u) E} Λήμμα.5: d (v) = d + (v) = E v V v V Ερώτηση.5: Πο σα κατευθυνο μενα γραφη ματα n κορυφω ν υπα ρχουν? Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22

12 Αναπαρα σταση Γραφημα των G Πι νακας Γειτνι ασης G Λι στα Γειτνι ασης G G G G Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

13 Ισομορφικά Γραφήματα: Δυ ο γραφη ματα G και H ει ναι ισομορφικά αν υπα ρχει και επι απεικο νιση σ : V(G) V(H) τε τοια ω στε u, v V(G), u v να ισχυ ει (u, v) E(G) (σ(u), σ(v)) E(H). G H: το G ει ναι ισομορφικο με το H Θεώρημα.6: Η σχε ση ει ναι σχε ση ισοδυναμι ας Σχε ση ισοδυναμι ας: αντανακλαστικη συμμετρικη μεταβατικη G G G H H G G H H F G F Ένα γρα φημα ει ναι ισο μορφο με α πειρο πλη θος γραφημα των (που ανη κουν στην ι δια κλα ση ισοδυναμι ας) Γραφη ματα αντιπρο σωποι (χωρι ς ονο ματα στις κορυφε ς) K n K m,n P n C n : πλη ρες γρα φημα n κορυφω ν : πλη ρες διμερε ς γρα φημα K m,n = (A B, E) με A = m και B = n : μονοπα τι με n κορυφε ς : κυ κλος με n κορυφε ς Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

14 Πρα ξεις και Τοπικοι Μετασχηματισμοι Γραφημα των Συμπλήρωμα Γραφήματος (ή Συμπληρωματικό Γράφημα): G = {VG, {(u, v) : u, v V(G) (u, v) / E(G)}} G = G Διαγραφή κορυφής [G \ v]: G \ v = {VG \ v, E(G) \ {(u, v) : (u, v) E(G)}} G \ v, ο που S V(G) Διαγραφή ακμής [G \ e]: G \ e = (u, v) = {VG, E(G) \ (u, v)} G \ A, ο που A E(G) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

15 Σύμπτυξη ακμής (edge contraction) G/e = (u, v): G/e = (u, v) = {V(G) \ {u, v} {v N }, E(G) \ (u, v) {(v N, x) : x N(u) N(v)}} G G/e u e v v N Διάλυση κορυφής v, d G (v) = 2 [G/v]: G/v = {V(G) \ {v}, E(G) \ {(u, v), (v, x)} {(u, x)} : (u, v), (v, x) E(G)} G G/v u v x u x Έστω N G (v) = {u, x}. Το τε G/v = G/(v, u) = G/(v, x) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

16 Υποδιαίρεση ακμής [G e], e = (u, v): G (u, v) = {V(G) {v N }, E(G) \ {(u, v)} {(u, v N ), (v, v N )}} G u e G (u, v) u v N v v Το γρα φημα H ει ναι υποδιαι ρεση του γραφη ματος G αν το H προκυ πτει απο το G με διαδοχικε ς υποδιαιρε σεις ακμη ς. Διακεκριμένα γραφήματα (ξένα μεταξύ τους): G, H ει ναι διακεκριμένα εα ν V(G) V(H) = Ένωση: G H = (V(G) V(H), E(G) E(H)) Διακεκριμένη ένωση: G + H αν G, H διακεκριμε να Τομή: G H = (V(G) V(H), E(G) E(H)) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

17 Σύνδεση διακεκριμένων γραφημάτων [G H]: G H = {V(G) V(H), E(G) E(H) {(u, v) : u V(G), v V(H)}} G H G H Γινόμενο διακεκριμένων γραφημάτων [G H]: G H : V(G H) = {(u, v) : u V(G), v V(H)} E(G H) = {{((u, x), (v, x)) : (u, v) E(G), x V(H)} {((u, x), (u, y)) : u V(G), (x, y) E(H)}} G H G H Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

18 Η ε νωση, η συ νδεση και το γινο μενο γραφημα των ει ναι πρα ξεις προσεταιριστικε ς και αντιμεταθετικε ς (a b) c = a (b c) a b = b a kg def = G} G {{ G} k φορε ς G (k) def = G} G {{ G} k φορε ς G [k] def = G G G }{{} k φορε ς Σημείωση: Για τις πρα ξεις της ε νωσης και της συ νδεσης υποθε τουμε ο τι συμμετε χουν k διακεκριμε να ισομορφικα με το G γραφη ματα. Υπογράφημα [H G]: H G εα ν V(H) V(G) και E(H) E(G) Το G ει ναι υπεργρα φημα του H Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

19 Επαγόμενο υπογράφημα: Το γρα φημα H ει ναι επαγόμενο υπογράφημα του G εα ν V(H) V(G) και u, v V(H), (u, v) E(H) (u, v) E(G) Κα θε επαγο μενο υπογρα φημα προκυ πτει απο διαγραφε ς κορυφω ν G H Παραγόμενο υπογράφημα: Το γρα φημα H ει ναι παραγόμενο υπογράφημα του G εα ν V(H) = V(G) και E(H) E(G) Κα θε παραγο μενο υπογρα φημα προκυ πτει απο διαγραφε ς ακμω ν G H Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

20 Πλε γμα R p,q V(R p,q) = {{u, u 2..., u p} {v, v 2,..., v q}} E(R p,q ) = {{ ((u i, v j ), (u i, v j )) } : i i + j j = } V(R p,q ) = pq E(R p,q) = p(q )+q(p ) R 3,4 R p,q = P p P q Torus: T p,q = C p C q Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

21 Υπερκυ βος [Q r ] Hyper-cube Q 0 0 Q 0 Q n = P 2 Q n V(Q n ) = 2 n E(Q n ) = n2 n δια μετρος(q n ) = n Q Q Ερώτηση.6: hamiltonian? Ερώτηση.7: eulerian? Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22

22 Ερώτηση.8: Σε ε να δε νδρο προσθε τουμε k ακμε ς ε τσι ω στε να προκυ ψει ε να απλο γρα φημα. Δει ξτε ο τι το γρα φημα περιε χει k κυ κλους. Ερώτηση.9: Έστω G ε να απλο συνεκτικο γρα φημα με n κορυφε ς και m 2n 2 ακμε ς. Δει ξτε ο τι το G περιε χει δυ ο κυ κλους ι σου μη κους. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 22