ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. .0 AB 0 A B (Α ταυτίζεται με Β).

Transcript

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα,δηλαδή ένα τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος.το διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και πέρας το σημείο Β συμβολίζεται AB. Ένα διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με Ισχύει 0. AB 0 A B (Α ταυτίζεται με Β). Η ευθεία(ε) πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα AB ονομάζεται φορέας του διανύσματος αυτού Δύο διανύσματα θα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά, όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς.για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα γράφουμε //.Το διάνυσμα θεωρείται παράλληλο προς κάθε άλλο διάνυσμα Ένα διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο,αν έχει μέτρο ίσο με 1. Είναι 0 δηλαδή a 1. Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα. Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα a και β είναι ίσα γράφουμε. 1 efstathioupetros.weebly.com

2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν τα διανύσματα είναι διαδοχικά: Β Γ + = Α + + = κ.λ.π Αν τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή: A OA OB Ο Γ B ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή OA OB BA B O A efstathioupetros.weebly.com

3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα AM BΓ και. Να δείξετε ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ. ΛΥΣΗ. Επειδή AM BΓ έχουμε :. (1) Επειδή BN AΓ, έχουμε (). Από (1) και () έχουμε ότι M Γ. Άρα ΜΓ//ΓΝ και συνεπώς τα σημεία Μ,Γ,Ν είναι συνευθειακά. Και επειδή MΓ, έπεται ότι το Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ. Άσκηση Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και ονομάζουμε Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Να δείξετε ότι : OB OΔ ΛΥΣΗ Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Άσκηση Για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ,ισχύει : AB AΓ Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο. ΛΥΣΗ efstathioupetros.weebly.com

4 Έχουμε ότι: A Δ. Άρα το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο. Άσκηση 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: i) AM // BΓ ii) // ΛΥΣΗ i)η σχέση // ισχύει μόνο όταν και οι ευθείες ΑΜ και ΒΓ είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ε, που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ. ii) Ισχύουν οι ισοδυναμίες: BM // BΓ οι ευθείες ΒΜ και ΒΓ είναι παράλληλες ή συμπίπτουν οι ευθείες ΒΜ και ΒΓ συμπίπτουν (διότι έχουν το Β κοινό σημείο) το Μ ανήκει στην ευθεία ΒΓ. Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ΒΓ. Άσκηση 5 Για τα διανύσματα a,β, ισχύουν : 0 και 6. Να δείξετε ότι: και. ΛΥΣΗ Έχουμε : 6 a γ 1 (1) Επίσης έχουμε: () Από (1) και () έπεται ότι : 4 efstathioupetros.weebly.com

5 Επειδή, έχουμε ότι ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ έπεται ότι και συνεπώς και επειδή. 5 efstathioupetros.weebly.com

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει + = -..Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: ) BA β) γ) ) ε) Αν ισχύει - = και είναι αντίθετα. + να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 4.Αν για τα σημεία Α,Β,Γ,Δ και Ε ισχύουν οι ισότητες = και =, να αποδείξετε ότι το Δ είναι μέσο του ΓΕ. 5. Έστω Α,Β,Γ,Δ είναι μη συνευθειακά σημεία και ισχύει : AB, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 6. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα: i) AB ii) AB iii) AB 7. Να γράψετε με τη μορφή ενός διανύσματος τις παρακάτω παραστάσεις: a) AB β) γ) δ) ) στ) ζ) η) 8. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα: i) ii) iii) NM 9.Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι : 6 efstathioupetros.weebly.com

7 AB 10. Αν τα Α,Β,Γ,Δ είνι σημεία του χώρου, να αποδείξετε ότι : a) AB β) 11. Να εκφράσετε το άθροισμα ως συνάρτηση των διανυσμάτων AB, 1. Έστω τα σημεία Κ,Λ,Μ,Ν Α) Να συγκρίνετε τα διανύσματα a KN, Β) Να βρείτε σημείο Α ώστε να ισχύει 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τα παρακάτω αθροίσματα: 14. Αν τα διανύσματα AB και είναι ίσα, να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο. 15.Αν ισχύει AN, να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 16. Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 17. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα BM και. Να δείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΕ. 7 efstathioupetros.weebly.com

8 18. Έστω τα Α,Β,Γ,Δ. Να βρεθεί σημείο τέτοιο ώστε AB Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να προσδιορίσετε σημείο Μ, ώστε να ισχύει : 0. Δίνονται τρία σημεία Α,Β,Γ. Να βρείτε τα σημεία Μ για τα οποία ισχύει : a) MA MB M β) ) δ) 0 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ στο επίπεδο του παραλληλογράμμου, για το οποίο ισχύει : MA. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Α) Αν και, να αποδείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του Β)Να βρείτε σημείο Μ στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε να ισχύει : AB 0. Αν Α, Β δύο γνωστά σταθερά σημεία και ισχύει : MA AB BA BM να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. 4.Αν =, = 1 και 1,να αποδείξετε ότι τα 4 4 είναι ομόρροπα. και 5.Αν Ο είναι τυχαίο σημείο τριγώνου ΑΒΓ,να αποδείξετε ότι + =. 8 efstathioupetros.weebly.com

9 6.Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να αποδείξετε ότι 7.Αν AB και να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ ταυτίζονται. 8.Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του και Λ το μέσο του ΚΓ. Δείξτε ότι: 4 9. Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία για τα οποία ισχύει: AE ZB Α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράπλευρο. Β) Να βρείτε σημείο Μ για το οποίο ισχύει 0. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδείξετε ότι : 0 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : AE AZ.Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα : και.να δείξετε ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ.. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ,Λ,Μ,Ν τυχαία σημεία. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα αθροίσματα: i) ii) AK 4.Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και ονομάζουμε Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.Να δείξετε ότι: 9 efstathioupetros.weebly.com

10 5. Αν ισχύει NB να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 6. Δίνονται τα ομόρροπα a,, a 1, a 4, 8. Να βρείτε για τα οποία ισχύουν Α) το β)το γ) το a 7.Αν =, =, 5 και - 0 να αποδείξετε ότι 8.Αν =5, =, 5 και 5 0,δείξτε ότι. 9. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα a,, για τα οποία ισχύει a 0 και, να αποδειχτεί ότι : ia ) και ii) 5 40.Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα a,, ισχύει a 0 και, να αποδειχτεί ότι : ia ) και ii) 10 efstathioupetros.weebly.com

11 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ: a // β με λ με λ 0 0 Άσκηση 1 Έστω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ OA a, O Γ και. Να εκφράσετε τα διανύσματα,, συναρτήσει των και ΛΥΣΗ ( ). Άσκηση Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και ονομάζουμε Μ το μέσο ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ και Ν του ΒΔ. Να δείξετε ότι: MN AB ΓΔ. ΛΥΣΗ Έχουμε :. 11 efstathioupetros.weebly.com

12 Προσθέτοντας κατά μέλη και επειδή 0 και 0 βρίσκουμε ότι Έχουμε : και Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε ότι: Άσκηση Θεωρούμε δύο διανύσματα διανύσματα: 6 7 Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ Έχουμε :,, ένα σημείο αναφοράς Ο και τα,, και AB ( ) Άρα και συνεπώς Άσκηση 4. Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,έναν αριθμό λ λ -1 και τα σημεία Ε και Ζ με BE και. Να λ δείξετε ότι οι ευθείες ΒΖ και ΔΕ είναι παράλληλες ΛΥΣΗ Θέτουμε: Έχουμε AB β και. 0, 1 efstathioupetros.weebly.com

13 BΓ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ) Άρα ΒΖ//ΔΕ Άσκηση 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Αν είναι A Δ και, να αποδείξετε ότι. 6 ΛΥΣΗ Είναι Άρα ( ) ( ) Επειδή 1 0,, είναι αντίρροπα. 6 Άσκηση 6 Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ για τα οποία ισχύει: 5A Δ Να δείξετε ότι τα σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τα Β ως σημείο αναφοράς. Έχουμε 5(ΒΔ ) ( ) 5 5 Άρα τα 5 // 5 σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά. 1 efstathioupetros.weebly.com

14 Άσκηση 7 Θεωρούμε τέσσερα σημεία Ο,Α,Β,Γ. Να δείξετε ότι τα Α,Β και Γ είναι συνευθειακά αν,και μόνο,αν,υπάρχουν κ,λ,μ κ+λ+μ=0, κ 0 και κ 0. με ΛΥΣΗ Έστω ότι υπάρχουν αριθμοί κ,λ,μ για τους οποίους ισχύουν οι δοσμένες σχέσεις. Από τη δεύτερη σχέση, έπεται ότι ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι 0. Έστω π.χ ότι κ 0. Από την πρώτη σχέση, έχουμε μ=-κ-λ και αντικαθιστώντας στην τρίτη σχέση έχουμε: κοα (κ λ)oγ 0 ( ) ( ) 0,, κά Αντιστρόφως: Έστω ότι Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ι)έστω ότι Α=Β. Τότε OA OB και συνεπώς 1OA ( 1) OB 0OΓ 0. Έτσι κ=1,λ=-1 και μ=0. ιι)έστω ότι Α.Τότε 0 και επειδή τα, είναι συγγραμμικά, έπεται ότι υπάρχει ρ με ( ) ( 1 ) 0 Έτσι κ=ρ,λ=-1-ρ μ=1 Άσκηση 8 Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου με κέντρο Ο τέμνονται στο σημείο Σ. Ονομάζουμε Κ και Λ τα μέσα των χορδών ΑΓ και ΔΒ, αντίστοιχα. Ναδείξετε ότι: 1) ΟΣ )Το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. ΛΥΣΗ 14 efstathioupetros.weebly.com

15 Έστω Ε και Ζ τα μέσα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Προφανώς, το ΟΕΣΖ είναι ορθογώνιο. Έχουμε: ΟΣ. )Από την (1) έχουμε : ( ) ( ) παραλληλόγραμμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει : 4AB 4 7. Στην πλευρά ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ, θεωρούμε σημείο Ρ τέτοιο ώστε να ισχύει. Να αποδείξετε ότι : AB A 5.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Αν είναι να αποδείξετε ότι. 5 6 και Αν ισχύει να αποδείξετε τι A 5. Δίνονται τα διανύσματα u 4a και v a Να αποδείξετε ότι : Α) το διάνυσμα u v είναι ομόρροπο με το a. 15 efstathioupetros.weebly.com

16 Β) το διάνυσμα u v είναι αντίρροπο με το a. 6.Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε και Ζ για τα οποία είναι και ότι τα σημεία Ε,Γ και Ζ είναι συνευθειακά. 1 1,όπου 1. Να αποδείξετε 7.Δίνονται τα σημεία Α,Β και Γ.Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα u 5 8 είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ). 8.Δίνετι παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε το μέσο της πλευράς ΑΔ και Ζ σημείο της ΑΓ, ώστε : 1 EZ 1 AZ, να αποδείξετε ότι 9.Αν ισχύουν =60, = και =10,να αποδείξετε ότι Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και το σημείο Μ με: MA MB MΓ Να δείξετε ότι το Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ 11. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 5 4 σταθερό. είναι 1. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ, το διάνυσμα u 4MA 7MB M είναι σταθερό. 1.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει : 16 efstathioupetros.weebly.com

17 4AB 4 7 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 14.Αν ισχύει και να αποδείξετε ότι : 15. Αν ισχύει ότι: 5 5 να αποδείξετε ότι τα Α, Β ταυτίζονται. 16.Αν Α,Β,Γ τρία σημεία του επιπέδου, να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε να ικανοποιεί τη σχέση : 6 17.Θεωρούμε δυο διανύσματα και,ενα σημείο Ο και τα διανύσματα Να δείξετε ότι OA a β,, 5, Αν για τα διανύσματα a,, ισχύει : a 0 και να αποδείξετε ότι : 5 aa ) β) 19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε του επιπέδου του τέτοια ώστε : A 5 8 και 10. Να αποδείξετε ότι : //. 0. Δίνονται τα διανύσματα OA a, 5 4, Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. 1. Αν AK, να αποδείξετε ότι τα Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά. 17 efstathioupetros.weebly.com

18 . Δίνονται τα διανύσματα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ OA, Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β,Γ είναι συνευθειακά..αν για τα σημεία Α, Β,Γ, Δ, Ε ισχύει να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά. 4. Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι τα Μ,Γ,Δ είναι συνευθειακά. 5. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και Μ το μέσο του ΟΓ. Να αποδείξετε ότι AB A 4 6. Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχουμε : AB, 4, 5.. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 7.Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία 1 1 Μ και Ν με και 5 6 Θέτουμε και. α) Να βρείτε τα διανύσματα και συναρτήσει των και. β) Να δείξετε οτι τα σημεία Μ,Ν,Β είναι συνευθειακά 8. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε 4 A,, 5 Α) Αν AB a και να εκφράσετε τα και συναρτήσει των a, 18 efstathioupetros.weebly.com

19 Β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. 9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε 1 1, και 5 Α)Αν AB a και να εκφράσετε τα και συναρτήσει των Β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. a, 0. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Κ.Λ του επιπέδου του τέτοια ώστε 4BK, 4. Α ) Να εκφράσετε τα διανύσματα A και συναρτήσει των AB και Β) Να αποδείξετε ότι // 1.Έστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι η ΔΜ τέμνει τη ΑΓ στο Κ, να αποδείξετε ότι : 1 1 AK και.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε τέτοια ώστε και. Να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του τμήματος ΔΕ.. Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά για τα οποία ισχύει : 5AB A. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσος ΑΜ και τα σημεία Δ, Ε για 5 τα οποία ισχύει ότι : και 4 0. Να αποδείξετε 19 efstathioupetros.weebly.com

20 ότι : 4 a) AE 7 β) τα Β,Ε, Δ είναι συνευθειακά. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το μέσο Μ του ΑΓ. Θεωρούμε τα διανύσματα MK και σημεία Κ.Α,Λ είναι συνευθειακά.. Να αποδείξετε ότι τα 6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ τέτοια ώστε 1 και. AE Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. 7. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : AE AZ AB A Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα. Αν Κ είναι το μέσο του ΕΖ, να αποδείξετε ότι : a) AB 4 ) 0 9. Δίνεται κύκλος OR, και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ, που τέμνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι : a)o Β) Αν Κ.Λ είναι τα μέσα των ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. 40. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε το μέσο της πλευράς ΑΔ και Ζ σημείο της ΑΓ, ώστε 1 EZ. 1 AZ να αποδείξετε ότι 0 efstathioupetros.weebly.com

21 41. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε Α) Να αποδείξετε ότι : 4AB. Β)Αν AB, τότε τα σημεία Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι συνευθειακά. Γ)Αν EB, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα AB και είναι αντίρροπα. Δ)Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημείο Μ, το διάνυσμα u 5 είναι σταθερό. 4. Θεωρούμε τα διαφορετικά σημεία Α,Β καθώς και το σημείο Γ, για το οποίο ισχύει και. Να βρείτε την τιμή του 4.Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ,ΒΔ αντιστοίχως. Αν ισχύει ότι: 4 να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 44. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ διάμεσοι του τριγώνου, να δείξετε ότι: 0 45.Να λυθεί το σύστημα : 46.Aν ισχύει ( ) ( 5),,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 47. Αν ισχύει : O 1,λ να αποδείξετε ότι Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. 48.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: 1 1 α) ( ) β) 1 efstathioupetros.weebly.com

22 49.Δίνονται τα διανύσματα Αν Μ και Μ είναι τα μέσα των ΑΒ και Α Β ότι : AA' BB' MM' και A' B' να αποδείξετε 50.Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: 51. Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ,ΓΔ που τέμνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι: 5.Έστω τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ τέτοια ώστε. Να δειχτεί ότι τα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο. 5.Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι αντιστοίχως τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ να αποδείξετε ότι: 1 1 α) ΜΝ ( ) ( ) β) Δίνονται τα διανύσματα a,. Να βρείτε το x, έτσι ώστε τα διανύσματα u xa και v a να είναι μεταξύ τους παράλληλα. 55.Δίνονται τα διανύσματα a,.. Να βρείτε το x έτσι ώστε τα διανύσματα u 4 xa και v a x να είναι μεταξύ τους παράλληλα. 56.Έστω τα μη συνευθειακά σημεία Α,Β,Γ,Δ και τυχαίο σημείο Ο x efstathioupetros.weebly.com

23 τέτοιο ώστε. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 57. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε του επιπέδου τέτοια ώστε 5 8 και 10. Να αποδείξετε ότι // 58.Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι του διχοτομούνται και αντιστρόφως:αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου διχοτομούνται τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο 59. Αν ισχύει Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. να αποδείξετε ότι τα 60. Δίνονται τα σημεία Ρ,Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει : 1. Α) Να αποδείξετε ότι τα Α,Β, Γ είναι συνευθειακά. Β)Να βρείτε τις τιμές του κ, για τις οποίες το Γ βρίσκεται μεταξύ των Α και Β. 61. Έστω τα μη παράλληλα διανύσματα, v a και w xa, x.. Αν Να βρεθεί ο x ώστε τα διανύσματα vw, να είναι παράλληλα. 6.Να αποδειχτεί ότι τα μέσα των πλευρών τετράπλευρου είναι κορυφές παραλληλόγραμμου 6.Να αποδειχτεί ότι οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες 64.Έστω τα σημεία Α,Β,Γ,Δ και Ε για τα οποία ισχύει ότι: efstathioupetros.weebly.com

24 . Να δειχτεί ότι τα σημεία Δ,Ε ταυτίζονται. 65.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΒΓ αντιστοίχως.θεωρούμε τα σημεία Δ,Ε τέτοια ώστε και έχουν κοινό μέσο.. Να αποδειχτεί ότι τα τμήματα ΜΔ,ΝΕ,ΑΓ 66. Έστω ότι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α,Β,Γ του επιπέδου είναι, και 5 αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. 67.Έστω σημείο Μ του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και τρίγωνο ΑΒΓ για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις: και. Να αποδείξετε ότι το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ. 68.Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα v 5MA MB M 4 σταθερό. είναι 69.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάμεσος του. Έστω τα σημεία Δ,Ε,Ζ για τα οποία ισχύει 1 1 1,, 4. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε, Ζ είναι συνευθειακά. 70.Δίνονται τα μη παράλληλα διανύσματα.να, βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε τα διανύσματα και 1 να είναι παράλληλα. 71.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Μ,Ν τέτοια ώστε x και x. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε τα Μ,Ν να συμπίπτουν. 4 efstathioupetros.weebly.com

25 7.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε έτσι ώστε 1 1 και. Να δείξετε ότι οι ευθείες ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο Ρ και να υπολογισθούν οι πραγματικοί αριθμοί λ,κ τέτοιοι ώστε και και να εκφραστεί το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. 7. Δυο κάθετες χορδές ΑΒ, ΓΔ κύκλου κέντρου Ο τέμνονται στο Ρ. Ν δείξετε ότι : ) ) 4 γ)αν Κ.Λ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΟΚΡΛ είναι παραλληλόγραμμο. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Ο ΘΕΜΑ 1.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. Μονάδες 1 β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα. Μονάδες 1.. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ σημεία τέτοια ώστε :, 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. Μονάδες 1 β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά. Μονάδες 1.Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία 5 efstathioupetros.weebly.com

26 ισχύει η σχέση: 5. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. Μονάδες 10 β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει:, όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. Μονάδες 15 4.Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α β 4γ και α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 1 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 1, συναρτήσει των 5.Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι α και β. Θεωρούμε σημεία Ε,Ζ στην ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε 1 1 και. Να αποδείξετε ότι: 1 α) α β β) α β 4 4 Μονάδες 8 και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των α,β το. γ) τα σημεία Ε,Ζ,Β είναι συνευθειακά. Μονάδες 1 Μονάδες 5 6 efstathioupetros.weebly.com

27 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Δίνονται οι κορυφές Α(1,4),Β(,-9) και Γ(-5,) του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ. ΛΥΣΗ Έστω ότι είναι Δ(χ,y). Το σημείο τομής Κ των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου έχει συντεταγμένες y y και A Γ δηλ - και Άρα Κ(-,).Επομένως επειδή το Κ είναι το μέσο της ΔΒ, θα x 9 y έχουμε: και δηλ χ=-7 και y=15 Άρα Δ(-7,15) x A x Γ Άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(-,4) συντεταγμένες του διανύσματος AB. ΛΥΣΗ Είναι και Β(,10). Να βρεθούν οι AB ( x x, yb y ) ( ( ),10 4) (5,6) B A A 7

28 Άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(,-1),Β(-,4) και Γ(κ,5). Να βρείτε το κ ώστε: ι) το A Γ // y' y ιι) τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ ι)ένα διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y y αν και μόνο αν η τετμημένη του είναι 0.Είναι A Γ (,6).Επομένως είναι // y' y αν και μόνο αν κ-=0 ή κ=. ιι)τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν τα διανύσματα AB και AΓ είναι παράλληλα, δηλαδή αν και μόνο αν det(, ) =0. Είναι (5,5) και (,6),οπότε 5 5 det( AB,ΑΓ) ( )

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1.Δίνεται το διάνυσμα ποιες τιμές του λ ισχύει : ι) 0 ιι) 0 =(λ -5λ+6,λ -λ+).να βρείτε για.δίνεται το διάνυσμα =(λ-8,λ+6).να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: ι) //χ χ ιι) //y y..δίνεται το διάνυσμα : Να βρείτε την τιμή του a / / x ' x a / / y ' y a, 1, 0 ώστε: 4. Δίνεται το A(, ), 0 το οποίο απέχει από τον άξονα y y απόσταση. Α) να βρείτε την τιμή του λ Β)να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς τον i)άξονα x x ii)άξονα y y iii)την αρχή των αξόνων Ο(0,0) iv)την διχοτόμο της 1 ης και ης γωνίας. 5.Να βρείτε για ποιες τιμές των λ.μ το διάνυσμα a ( λ μ, λ - μ 8) είναι το μηδενικό. 6.Έστω 6, 4,. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ έτσι ώστε : i) 0 ii) a με 4 1, 1 7. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε τα διανύσματα a 4, και 0, 4 8 να είναι ίσα. 9

30 8. Δίνονται τα διανύσματα a x y y x βρείτε τα xy,, έτσι ώστε a 1, 1 και,. Να 9.Δίνονται τα διανύσματα 4,5 1 και 1, a. Να βρείτε το λ ώστε a. Υπάρχει τιμή του λ ώστε a 10.Έστω το διάνυσμα 1, 4, Α)Να βρείτε το λ ώστε το να είναι το μηδενικό διάνυσμα Β)Να βρείτε το λ ώστε 0 και / / xx ' Γ)Να βρείτε το λ ώστε // i j 11.Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το a 4, 5 6 είναι το μηδενικό διάνυσμα. να 1. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ,μ το διάνυσμα u, 8 είναι το μηδενικό. 1. Δίνεται το διάνυσμα 5 5 a x x i x j Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει: i) a / / x' x ii) a / / y' y iii) a / / x' x και 0 iv) a / / y ' y και Δίνεται το διάνυσμα a, 9 και 5, 1 Για ποιες τιμές του λ είναι : i) a ii) 0 iii) a 0 και / / x' x iv) a 0 και / / y' y 15. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα 0

31 , 1 και 4, 1 a k k k k k να είναι παράλληλα. 16.Να γράψετε το διάνυσμα των διανυσμάτων a (,1) και u (8,17) β (4,5). ως γραμμικό συνδυασμό 17.Θεωρούμε το διάνυσμα a x 1, x y και x y, y, x, y. Αν είναι a / / x' x και / / y' y τότε : i) Να βρείτε τους αριθμούς x,y ii) Να γράψετε το διάνυσμα v a σν γραμμικό συνδυασμό των, 1 και, Θεωρούμε τα διανύσματα a xi y j, y i x 6 j,x,y για τα οποία ισχύει ότι a 7, 6. Α) να βρείτε τους αριθμούς x,y Β)Να γράψετε το διάνυσμα 10i 4 j σαν γραμμικό συνδυασμό των a, 19. Δίνονται τα διανύσματα a 1, και, Α)να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και Β) Να γράψετε το διάνυσμα a σαν γραμμικό συνδυασμό των και. 0. Το σημείο Α(4,) ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ(,5). Να βρεθεί το αντιδιαμετρικό σημείο του Α. 1.Δίνονται τα σημεία Α(,4) και Β(-1,-). Να υπολογισθούν οι συντεταγμένες του σημείου Κ για το οποίο ισχύει. 1

32 . Αν AB, και 1, να βρείτε τις συντεταγμένες του. Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(-1,1) και Γ(4,-5).. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : a) AB, B, ) u AB B, v 4. Δίνονται τα σημεία Α(λ,μ+) Β(μ,λ-6) για τα οποία ισχύει AB 4, 14. Να βρείτε i) τις τιμές των λ,μ ii)τις συντεταγμένες του σημείου Μ για το οποιο ισχύει AM BM 5. Δίνονται τα σημεία Α(,5) κι Β(-1,). Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 6.Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μέσο Μ και είναι Α(,5) και Μ(-1,7),να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. 7. Δίνονται τα σημεία Α(λ,κ-4),Β(-λ-κ,λ-κ) και Μ(κ,λ- 1). Να βρείτε τις τιμές των κ,λ ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 8. Αν τα σημεία Δ(-1,4), Ε(5,4), Ζ(,-1) είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του 9. Δίνονται τα σημεία Α(λ,μ), Β(λ+μ,λ-μ), Γ(μ, μ+7)

33 και Δ(μ,λ+4). Αν Μ και Ν τα μέσα αντίστοιχα των ΑΒ και ΓΔ, να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος MN 0.Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(1,), Β(,5), Γ(4,6) είναι συνευθειακά. 1.Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(,5) ως προς το σημείο Β(,1).. Έστω το σημείο Α(,-10. Να βρείτε σημείο Β τέτοιο, ώστε : Α)το Β να είναι συμμετρικό του Α ως προς το M, Β)τα σημεία Α και Β να είναι άκρα διαμέτρου κύκλου κέντρου K,. Να βρείτε τα κ,λ ώστε τα σημείαα(-κ+1,) και Β(-λ+,λ) να είναι συμμετρικά. Α)ως προς το Ο(0,0) Β)τον άξονα y y Γ) την ευθεία y=x 4. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων i) i 1 j ii) i iii) 4 j 5. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα a,1 με τον άξονα x x. 6. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα a,1 με τον άξονα x x. 7.Δίνονται τα σημεία Α(x,x-) και Β(x-,). α)να εξετάσετε πότε ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του AB.

34 β) Να βρείτε το ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ x, ώστε το διάνυσμα σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 8. Δίνεται το διάνυσμα a, 6, 4 AB. να. Να βρείτε για ποια τιμή του λ, το διάνυσμα σχηματίζει με τον x x γωνία 4 9.Θεωρούμε τα διανύσματα (,) και ( 4, y 1).Να βρείτε τους χ,y ώστε. 40. Δίνονται τα διανύσματα a,1 και 6,. Να εξετάσετε αν είναι παράλληλα και αν αυτό συμβαίνει, να βρείτε αν είναι ομόρροπα ή αντίρροπα. 4. Να βρεθούν τα παράλληλα διανύσματα στο διάνυσμα 1, που το μέτρο τους να είναι διπλάσιο του μέτρου του u 4.Να ορίσετε τον χ Γ(χ,4) να είναι συνευθειακά. ώστε τα σημεία Α(χ,),Β(-1,χ) και 44. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε τα 4, και, να είναι παράλληλα. διανύσματα 45.Δίνονται τα διανύσματα : (,8) εκφραστεί το, (1,1 ), (,) ως συνάρτηση των και.. Να 46. Να βρεθούν τα παράλληλα διανύσματα στο διάνυσμα, που το μέτρο τους να είναι ίσο με Δίνεται το σημείο Α(,-) και το διάνυσμα ) (5,4.Να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. 4

35 48.Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός λ έτσι ώστε τα διανύσματα 4, και, 4 να είναι αντίρροπα. 49.Αν Β(,5), να βρείτε το σημείο εφαρμογής του διανύσματος AB (1,) 50.Αν το διάνυσμα AB (,8) έχει σημείο εφαρμογής Α(5,4) να βρείτε το πέρας του. 51.Να βρείτε για ποιες τιμές του χ και ( 9, ) είναι αντίρροπα. τα διανύσματα (,1) 5.Να βρείτε για ποια τιμή του χ τα διανύσματα a ( 8, x) και β (,) είναι: ι)συγγραμμικά ιι)ομόρροπα ιιι)αντίρροπα 5. Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(6,λ). Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός λ έτσι ώστε η ευθεία ΑΒ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 54.Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(-,-1),Β(-1,) και Γ(,9) είναι συνευθειακά. 55. Δίνονται τα σημεία Α(,-), Β(-1,4),Γ(5,-10). Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά. 56. Δίνονται τα σημεία Α(1,-4) και Β(4,). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x ώστε τα Α,Β,Γ να είναι συνευθειακά. 5

36 57.Να βρεθούν οι τιμές του χ για τις οποίες τα σημεία τα σημεία Α(1,χ+),Β(χ,8) και Γ(-4,-10) είναι συνευθειακά. 58. Να εξετάσεται αν τα σημεία Α(α+β,α-β) Β(α,-β) και Γ(α+β,α-β) είναι συνευθειακά. 59. Έστω Α(λ,λ-), Β(λ+1,λ-1), Γ(λ-1, λ-5). Α) να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμετρικού του Γ ως προς το μέσο Μ του ΑΒ. 60. Δίνονται τα σημεία Α(μ+4,μ+1), Β(μ+,μ+) και Γ(μ+,μ+). Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε 61.Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.Αν οι τρείς κορυφές είναι Α(1,),Β(4,5),Γ(5,6),να βρεθούν οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής. 6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-1,), Β(6,4), Γ(5,-1). Να βρείτε τις συντεταγμένες : i) του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ii)της κορυφής Δ 6.Έστω το διάνυσμα, 4, Α)Να βρείτε το λ έτσι ώστε το διάνυσμα να είναι το μηδενικό. Β)Να βρείτε το λ έτσι ώστε / / xx ' και 0 Γ)Να βρείτε το λ έτσι ώστε / / yy ' και 0 6

37 Δ)Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα τέτοιο ώστε να είναι παράλληλο στο διάνυσμα, 64.Οι συντεταγμένες των μέσων των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι αντίστοιχα Κ(,-1),Λ(4,-) και Μ(-,-) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α,Β,Γ. 65. Αν u (5,8) να βρεθεί διάνυσμα v το οποίο να είναι ομόρροπο προς το u και να έχει διπλάσιο μέτρο από αυτό. 66.Θεωρούμε τα σημεία Α(λ+,1-μ), Β(λ-4,4-μ), Γ(5-λ,μ+5) και Δ(-λ,μ+6).Να δείξετε ότι τα διανύσματα είναι ομόρροπα. και 67.Θεωρούμε τα σημεία Ο(0,0) και Α(, σημεία Β του επιπέδου, για τα οποία το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. ). Να βρείτε τα 68.Δίνονται τα σημεία Α(,4) Β(1,) Γ(,1) Δ(4,8) του επιπέδου. Να βρεθεί το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ. 69.Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ,του οποίου τα μέσα των πλευρών του ΒΓ,ΓΑ και ΑΒ είναι Δ(-,),Ε(4,-) και Ζ(,5) αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ. 70.Έστω τα σημεία Α(-,-),Β(-1,) και Γ(11,-1) του επιπέδου. Α)Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνο. Β)Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 7

38 Γ)Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της υποτείνουσας και το μήκος της διαμέσου που αντιστοιχεί σε αυτήν. Δ)Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ Ε)Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του τριγώνου. 71. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(,1),Β(5,) και Γ(9,-) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. 7.Για ποιες τιμές του λ Α(-1,1), Β(1,),Γ(,1) και Δ(λ,λ+1), είναι τραπέζιο. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ,με 7. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(6,-1),Β(4,),Γ(1,) και Δ(λ,λ+1) να είναι τραπέζιο. 75.Αν u =(5,1),να βρείτε το διάνυσμα παράλληλο προς το u 76. Αν a, 4 και 5, 1 v το οποίο είναι και έχει τριπλάσιο μέτρο από αυτό. να υπολογίσετε τα μέτρα i) a ii) a 77. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων : i)8i 6 j ii)i 4 j iii) i j 78. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων : i) i 8 j ii) i j iii) a i a j 79. Δίνονται τα διανύσματα a, τέτοια ώστε : 8

39 a 4,0 και, Α) Να δείξετε ότι a 1, και, Β)Να βρείτε τις γωνίες των διανυσμάτων x x Γ)Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων a, a, με τον άξονα 80. Να βρεθούν τα διανύσματα, και 1, a a, 81. Δίνεται το διάνυσμα a 0, a 1, 1 για τα οποία ισχύουν Α) Να βρείτε το μέτρο και τις συντεταγμένες του διανύσματος Β)Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα a τον x x a. 8.Δίνεται το διάνυσμα a 4 a, 8. Α) Να αποδείξετε ότι a 6, 8 Β) Να βρείτε ένα διάνυσμα, το οποίο είναι παράλληλο με το a και έχει διπλάσιο μέτρο από αυτό. 8.Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων Α,Β όταν: aa ), 6, B(,-) ) (, 4), Β(,-1) γ)α(6,-1), Β(,-1) με 84. Δίνονται τα σημεία Α(λ,1) και Β(-1,λ+). Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση (ΑΒ) είναι Δίνεται το σημείο Α(,-1). Να βρείτε σημείο Β του άξονα y y που απέχει από το Α απόσταση Δίνονται τα σημεία Α(,8) και Β(9,4). Να βρείτε σημείο Γ 9

40 του άξονα x x το οποίο ισαπέχει από τα Α,Β. 87. Δίνονται τα σημεία Α(-1,) και Β(-,0). Να βρείτε σημείο Γ του επιπέδου Οxy τέτοιο ώστε το τρίγωο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 88. Δίνονται τα διανύσματα a,, με,9 και 10, 5 1, Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a,, Β)Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων a,. 89.Να βρεθεί το εμβαδό τετραγώνου ΑΒΓΔ στο οποίο είναι Α(-,1) και Γ(0,5). 90.Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x 4 x17 0,. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη Οι τετμημένες των σημείων Α, Β είναι ριζες της x x Να βρείτε την τιμή του εξίσωσης ώστε το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 5 9. Οι τετμημένες των σημείων Α, Β είναι ρίζες της x 5 4 x 7 0 και οι τεταγμένες τους είναι εξίσωσης ρίζες της εξίσωσης y 6 y5 0. Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το τμήμα ΑΒ έχει μέσο το σημείο Μ(-1,). 40

41 9. Έστω ότι τα διανύσματα έχουν συντελεστή διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης x 1 x Να βρείτε το λ, ώστε τα a, a, να είναι συγγραμμικά. 94.Να αναλυθεί το διάνυσμα,4 σε δύο συνιστώσες που να είναι παράλληλες στα διανύσματα 1, και,1 95. Δίνονται τα διανύσματα a, 1 και 1,. Α)Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος va Β)Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον x x. Γ)Να βρείτε διάνυσμα που να είναι αντίρροπο του να έχει το διπλάσιο μέτρο του a. ua 96. Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(,-4) και Γ, για το οποίο ισχύει Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. Β)Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου. Γ)Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος Δ)Αν το σημείο Ν βρίσκεται στην πλευρά ΑΓ και ισχύει, να βρείτε την απόσταση των σημείων Α,Ν. AM a και ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Ο ΘΕΜΑ 1.Δίνονται τα διανύσματα i 4j, i j και 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα. 41

42 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και. Μονάδες 1 β) Να εξετάσετε αν τα σημεία κορυφές τριγώνου. Μονάδες 1, και μπορεί να είναι.θεωρούμε τα σημεία α 1,, α,4 και Γ (-4, 5α+4), α Α ) Να βρείτε τα διανύσματα AB και. Μονάδες 8 Β ) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 10 Γ) Αν α 1, να βρείτε αριθμό λ ώστε λ. Μονάδες 7..Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(1,1), Γ(4, ) και Δ(, ). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. Μονάδες 9 β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. Μονάδες 16 4.Θεωρούμε τα σημεία 1 α, 4α και 5α 1, α, α. α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε 10. Μονάδες 1 β) Έστω α. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Μονάδες 1 5.Δίνονται τα σημεία,, 1,5 και, 4. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. Μονάδες 8 β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. Μονάδες 10 γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. Μονάδες 7 6.Δίνονται τα διανύσματα α i j, β i 5 j και γ 7,. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ είναι συγγραμικά 4

43 ανά δύο. Μονάδες 10 β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β Μονάδες 15 Συντεταγμένες διανύσματος 7. Θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ ώστε 1,4 και,6. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. Μονάδες 15 β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου. Μονάδες 10 4

44 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω δυο μη μηδενικά διανύσματα ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ a και β. Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο ή βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με πραγματικό αριθμό: (, ) τον Επομένως (, ) Σημείωση Γίνεται φανερό,ότι αν είναι 0 ή 0 τότε είναι 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1.Είναι (, ) 0. Ο αριθμός και θα συμβολίζεται με Ετσι : θα ονομάζεται εσωτερικό τετράγωνο του...αν (, ) 0 και άρα 0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Αν =(χ 1,ψ 1 ) και =(χ,ψ ) τότε 1 ψ1 Επομένως a a aa x x 1 1 ψ Άρα 1 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. για κάθε, Αντιμεταθετική ιδιότητα. ( ) Επιμεριστική ιδιότητα. ( ) ( ) ( ) 4. 1, όχι παράλληλα στον y y 44

45 ΓΙΑ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν a x 1, y ) και (, y ) τότε: ( 1 β aβ (, ) (, ) x 1 x 1 x y 1 y 1 x y y ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Για να υπολογίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος,θα υπολογίζουμε το τετράγωνο του μέτρου του,δηλαδή: Για να υπολογίσουμε το a θα υπολογίσουμε το a Για να υπολογίσουμε το a β θα υπολογίζουμε το Για να υπολογίσουμε το θα υπολογίζουμε το ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Αν είναι η προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα,τότε το θα συμβολίζεται με. Ετσι ΟΜ ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕ ΟΤΙ : aβ ( ) Ομοίως αποδεικνύεται ότι Με τη βοήθεια της προβολής διανύσματος σε διάνυσμα,μπορούμε να αναλύουμε ένα διάνυσμα σε δύο κάθετες μεταξύ των συνιστώσες,εκ των οποίων η μία να έχει την διεύθυνση του ενός εξ αυτών 45

46 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΟΜΟΡΡΟΠΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.Αν τα διανύσματα a και β είναι ομόρροπα,τότε : συν( α, ) 0 και ( 0) οπότε: (, ) 0 ( ) λ>0. Αν τα a και β είναι αντίρροπα,τότε: (, ) και ( 0) οπότε (, ) ( ) λ<0,, ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α.ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο διανύσματα και λέγονται συγγραμμικά όταν έχουν την ίδια διεύθυνση. Ειδικώτερα δύο συγγραμμικά διανύσματα λέγονται: Ομόρροπα,αν έχουν την ίδια φορά Αντίρροπα,αν έχουν αντίθετη φορά Β.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 46

47 Για να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα συγγραμμικά, αποδεικνύουμε την σχέση: με (1) det(, ) 0 () () και είναι ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αν δίνεται σχέση μεταξύ των μέτρων των διανυσμάτων,η συγγραμμικότητα αυτών αποδεικνύεται με την χρήση του εσωτερικού γινομένου ή με χρήση των μέτρων τους. Ισχύουν τα παρακάτω: Αν ισχύει:,τότε τα διανύσματα είναι ομόρροπα Αν ισχύει:,τότε τα διανύσματα είναι ομόρροπα Αν ισχύει: τότε τα διανύσματα είναι αντίρροπα Αν ισχύει:,τότε τα διανύσματα είναι αντίρροπα ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ(για διανυσματική Γεωμετρία) Α.Ορισμός Τρία σημεία Α,Β,Γ λέγονται συνευθειακά όταν τα σημεία αυτά ανήκουν στην ίδια ευθεία Β.Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά,θα αποδεικνύουμε ότι: AB λαγή ή (1) ή οποιαδήποτε άλλη γραμμική σχέση των διανυσμάτων των σχέσεων (1) 47

48 Οι σχέσεις (1) αποδεικνύονται είτε λαμβάνοντας ένα σημείο Ο του επιπέδου σαν σημείο αναφοράς,είτε λαμβάνοντας ένα άλλο σημείο από την δοσμένη σχέση σαν σημείο αναφοράς Άσκηση 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θεωρούμε τα διανύσματα a και β,τέτοια ώστε:,. 1, 4, Να υπολογίσετε τα: i) ii) iii) iv) 4 v) ΛΥΣΗ 1 i) a β ii) iii) 17 1 iv)( )( 4 ) v)a β Άσκηση Αν a β και 8 να αποδείξετε ότι a β 48

49 ΛΥΣΗ 8 (, ) (, ) 8 4 (, ) (, ) 8 (, ) (, ) (, ) 1, (, ) 1. Αρα και,αφού έχουν και ίσα μέτρα είναι. Άσκηση Θεωρούμε δύο διανύσματα και τέτοια ώστε,,,. Αν να υπολογίσετε τις γωνίες. a,,, β ΛΥΣΗ Είναι φανερό ότι η ΟΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας π AOB.Επομένως η γωνία, είναι μη κυρτή, ενώ η, είναι κυρτή. 6. Έχουμε Άρα 6,οπότε (, ). Συνεπώς 6 49

50 5,.Ομοίως, Άσκηση 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Να λυθεί η εξίσωση x aβ 5, όπου ( 1,4), ( 1,), ( 0,5). ΛΥΣΗ Αν (, ), τότε και 4 1, 4, 8 Οπότε 5 4 4, 1 Η εξίσωση γράφεται 4α-4β=-0 α+1β=5 Και α=-,β= οπότε x (,) Άσκηση 5 Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ονομάζουμε Ε και Ζ τις προβολές του Γ στις πλευρές ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: ΛΥΣΗ A Γ AB AE AB AΓ και Γιατί και. Άρα 50

51 Άσκηση 6 Δίνονται τα διανύσματα a (,),β (,1 ). Να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο. ΛΥΣΗ Έστω 1 και β 1, και επειδή δύο διανύσματα τέτοια ώστε 1 με //. β Το //,, Όμως είναι είναι η προβολή του θα υπάρχει λ ( ) Αρα Οπότε Άσκηση 7 Αν ισχύει , ,1 1 1 στο τέτοιο ώστε,,1,, 8 1 1, a β τότε να δείξετε ότι: 1 ΛΥΣΗ Είναι: 0 Έχουμε λοιπόν: 51

52 Και άρα: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ) Άσκηση 8 α)αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει: a β και β)χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α=6x-8y αν x +y =6 γ)με τη βοήθεια του (α) ερωτήματος αποδείξτε ότι ΛΥΣΗ α) (, ) (, ) (, ) διότι: (, ) 1 β)έστω ( 6, 8) και ( x, y). Τότε: α 6x 8y a β 6 x 8 y Από το α) ερώτημα παίρνουμε: aβ 6x 8y Άρα Α max =60 και Α min = x 8y 60 γ) Έστω a ( 6, 8) και β (, ). Τότε: 6 8 5

53 Από α) ερώτημα παίρνουμε: Άσκηση 9 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με 0, 4 και,.αν ΑΔ είναι το ύψος του, να βρεθεί το διάνυσμα ΛΥΣΗ Αρχικά, έχουμε ότι:, 0, 4, 1 Έστω xy, το διάνυσμα. Επειδή το ΑΔ είναι ύψος ισχύει:. 0 x, y, 1 0 x y 0 y x (1) Ισχύει ακόμα ότι: x, y 0,4 x, y 4. x y-4 Ά, / / det, 0 0 x y 8 0 () -1 Από (1) και () 8 x y x y x 5 x y 8 0 5x 8 16 y Ά,, 5 5 5

54 1.Δίνονται τα διανύσματα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ a, 0 a, και, 15 για τα οποία ισχύει. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων στις επόμενες περιπτώσεις: a, a) a 4,,, β), 1,, 4. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων στις επόμενες περιπτώσεις: a, aa ) 1, 1,, β) 1,, 1, 1 4.Έστω ότι: =, = και (, ) = γινόμενα: i) ii) ( )( ).Να βρείτε τα εσωτερικά 5.Δίνονται τα διανύσματα a 4,,,5, 1,. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: a) A a β)β= ) δ)δ= ) στ)ζ= 6.Έστω ότι =1, και διανυσμάτων και. 7. Έστω τα μοναδιαία διανύσματα, με.να βρείτε τα μέτρα των, βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και wa 4 8. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύει : a,,,. Να βρείτε: 6. Να 54

55 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ i) a ii) a iii) a iv) a Δίνονται τα διανύσματα, με a 1, u a και v a 4, να υπολογίσετε i)το εσωτερικό γινόμενο ii) τα μέτρα των διανυσμάτων iii) τη γωνία των διανυσμάτων a u u,, v v a,. Αν 10.Δίνονται τα διανύσματα, με a, 4 και,. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 11. Αν a 1 και,, να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων 4 και u a v a 1. Έστω a, δύο διανύσματα του επιπέδου με a,,,. Αν v a, να υπολογίσετε : a) v β) τις γωνίες, v και v,. 1. Δίνονται τα διανύσματα a, με 1, 4 και, Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα a και x είναι κάθετα. 14.Δίνοντα τα διανύσματα, αποδείξετε ότι a, 15. Αν a 1, και 1, a με και a να υπολογίσετε τα : i) a ii) a iii) a. Να 16. Αν για τα διανύσματα, ισχύει ότι : a να 55

56 αποδείξετε ότι η γωνία των, είναι αμβλεία. 17.Δίνονται τα διανύσματα, a, a, και 5 Α)Να αποδείξετε ότι Β) να υπολογίσετε το 6 a για τα οποία ισχύει 18. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(1,), Β(-,1) και Γ(,6). Να βρείτε τη γωνία Â. 19.Σ ένα επίπεδο Οχy,θεωρούμε τα σημεία Α(-1,4) και Β(,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα χ χ,για το οποίο το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ. 0.Για δύο διανύσματα, και, ισχύουν : =4 και (8 ) ( 9 ). Να δείξετε ότι:. 1. Αν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα, να αποδείξετε ότι και τα διανύσματα και είναι κάθετα και έχουν ίσα μέτρα..για τρία διανύσματα 1 a,,, ενός επιπέδου,ισχύουν: και +5 =8. Να δείξετε ότι:..αν είναι και 9, να αποδείξετε ότι. 56

57 8.Έστω τα διανύσματα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, με 1,,,. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων v, w a 4.Αν είναι 10 του διανύσματος, 4 4. και (, ) =10 0,να βρείτε το μέτρο 5.Έστω ότι η γωνία των διανυσμάτων και 10 0 και και.,. Αν είναι ίση με,να υπολογιστεί η γωνία των 6.Αν a 1, και η γωνία των διανυσμάτων 4 a και - είναι 4 να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a 7. Δίνονται τα διανύσματα ισχύει a a 8 να βρείτε : Α) το εσωτερικό γινόμενο Β)το, a με a 4, a, Γ)το εσωτερικό γινόμενο a. Αν 8.Για τα διανύσματα,, ισχύει ότι 0 και 1, 1,. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των. 9.Τα διανύσματα και είναι τέτοια ώστε και 1 και σχηματίζουν γωνία διανυσμάτων v α και u a β..να βρείτε τη γωνία των 6 57

58 0.Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο έχουν μέτρο. 14 (,4) και 1.Αν για τα διανύσματα, ισχύει ότι:, 1,, να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. Αν για τα διανύσματα, ισχύει ότι a, και 6 να αποδείξετε ότι : a και.να βρείτε το αν 1, 1 και (, ) 1,, και 7 4. Αν να βρείτε το a 5. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύει : και,. Να βρείτε διάνυσμα για το οποίο ισχύει : / / και 6. Για τα μη μηδενικά διανύσματα, ισχύει a και ότι a για τα οποία να αποδείξετε 7. Έστω a,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν a και, να αποδείξετε ότι 8.Αν και =8 να δείξετε ότι. 58

59 9.Αν για τα διανύσματα,, ισχύει ότι, 4, 5 και 5 να αποδείξετε ότι τα διανύσματα, είναι κάθετα. 40. Αν για τα διανύσματα a,, ισχύουν a 1, και 0 να δείξετε ότι a. 41. Δίνονται τα διανύσματα 5i 1 j a i j, i j, 5 i 5 j Α)Αν τα διανύσματα Β)Αν τα διανύσματα γωνία που σχηματίζουν. 4. Αν 5 5 a a, a, είναι παράλληλα, τότε. δεν είναι παράλληλα, να βρείτε τη, να δείξετε ότι a 4. Για τα μη μηδενικά διανύσματα a και a a a,. Να δείξετε ότι : a δίνεται ότι 44. α)αν για τα διανύσματα a, ισχύει η ισότητα: a τότε. Β)Αν για τα διανύσματα και 8 τότε ισχύει η ισότητα Γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος a. 45. Δίνονται τα διανύσματα a,, 5, 7 και 5. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και. με 59

60 46. Αν a,, x 1, και x, x πραγματικό αριθμό να βρείτε τον x ώστε a 47. Για τα μη μηδενικά διανύσματα ισοδυναμίες:, a) a β) να δείξετε τις ) δ) 48. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(,5), Β(x,x-4) και Γ(-5,11). για τα οποία ισχύει AB A Α)να βρείτε το x. Β) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AM 49. Αν a x 1,x 0,1 x να αποδείξετε ότι a 50. Δίνονται τα διανύσματα a τα οποία ισχύει ότι a 1.. Να βρείτε :, και 8,1, λ για Α)το λ Β) το εσωτερικό γινόμενο a 51.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με και 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο. 5.Εστω, δύο διανύσματα του επιπέδου με συν(, )=150 0.Αν είναι,να υπολογίσετε: i)το ii)τη γωνία (, )., και 60

61 5.Έστω τα διανύσματα,, 1,,. Να βρεθεί η γωνία 54.Αν 0 και 1, 6, Αν a υπολογίσετε Α)το Β)την παράσταση a Γ) τη γωνία, τέτοια ώστε,να υπολογίσετε τα 1,,, και 0, να 4 a, 56.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Έστω AB, A και, συνημίτονο της γωνίας AB, Να υπολογίσετε το Αν για τα διανύσματα, ισχύουν τα εξής: 6 Να βρείτε το 58.Να βρείτε τα μέτρα των και,αν είναι γνωστό ότι και ( ) ( ),. 59. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο είναι : AB a,.. Αν τα διανύσματα a, είναι 61

62 τέτοια ώστε ν ισχύει : a 1 και, τα μήκη των διαγώνιων του ΑΒΓΔ. 60.Έστω τα διανύσματα να υπολογίσετε και με 6, 8, 0. Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα μεταξύ τους. 61.Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα. Να βρεθεί η γωνία 4,. και με, 6.Αν εσωτερικό γινόμενο 9 με, 1 να βρείτε το 6.Αν ( ) και ( ) να αποδείξετε ότι ( ) 64.Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία. Να αποδείξετε ότι ισχύει ότι 65.Αν να δείξετε ότι : 66.Αν για τα μη μηδενικά και μη παράλληλα διανύσματα, με ισχύει ότι:, τότε: α)να αποδείξετε ότι β)να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και δεν είναι κάθετα. 6

63 67.Έστω τα μοναδιαία διανύσματα τους γωνία. Να αποδείξετε ότι: i) a ii) a, και θ η μεταξύ 68.Αν ισχύει τότε να δείξετε ότι 69.Αν για τα διανύσματα a,,, 5 να δείξετε ότι : ισχύουν a 0 και a) 5 β) 70. Δίνονται τα διανύσματα : a,1 a,, Να βρείτε Α) το εσωτερικό γινόμενο a Β)τη γωνία των διανυσμάτων,. 71. Έστω τα διανύσματα, τέτοια ώστε a, 1 και Α) Να δείξετε ότι : a 1 Β)Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων Γ)Να δείξετε ότι a, 7. Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύει, 4. Να αποδείξετε ότι a 6

64 7.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με 0, 4,, 60. Αν Μ είναι το μέσον της ΒΓ να βρείτε το, 74.Έστω τα διανύσματα ότι: 1,,, και για τα οποία ισχύουν, Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο ισχύει ότι 75.Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα διανύσματα 5, 4,,, 76.Αν για τα διανύσματα, 6 και καθώς και τα. Να βρεθεί η γωνία και ισχύει ότι 1 και 5, 4,, τότε να αποδείξετε ότι, 77.Το διάνυσμα (4,) να αναλυθεί σε δύο μη μηδενικές συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στο διάνυσμα (,1 ). 78.Έστω Ο και Α δύο σταθερά σημεία με.να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( )=7. 79.Αν ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ είναι οι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι A Δ 0 80.Δείξτε ότι στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) η διάμεσος ΑΔ είναι και ύψος. 64

65 81.Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ρόμβου τέμνονται κάθετα. 8.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει AB AM ΑΓ Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύει a, 1,,. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με AB a και 6. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου. 84. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB a,. Έστω σημείο Δ για το οποίο ισχύει και το μέσο Μ της ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ; 1 ) β) 85.Άν ισχύουν a β 0 και, να 5 αποδείξετε ότι: i) ii) 5 και 86.Για τα διανύσματα a β (4, ) και ( 7,8). a,β ισχύουν οι σχέσεις i) Να αποδείξετε ότι (1,) και (,) ii)να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα κa β και να είναι κάθετα. iii)να αναλυθεί το διάνυσμα γ (, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες,από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. 65

66 87. Δίνεται το i)να βρεθεί το ii)να υπολογιστεί η γωνία 5 a 4, 5,. 8.,. iii)αν ua να υπολογίσετε το u. iv)να υπολογίσετε το κ ώστε v όταν v ( a ). 88.Αν i j και i 4 j να βρεθεί η 89.Αν ισχύει ότι 1 1,, 90.Αν για τα διανύσματα, 1,,, να βρεθεί η,. ισχύει ότι να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ έτσι ώστε και 91. Δίνονται τα διανύσματ a,, με 1. Να αποδείξετε ότι a 9. Δίνονται τα διανύσματα a 1 1, Να αποδείξετε ότι a για τα οποια ισχύει : 9. Δίνονται τα διανύσματα a,,. Να αποδείξετε: ) a β) 66

67 94.α)Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τρίγωνο, είναι ορθογώνιο ΑΒΓ με Α(1,1), Β(,λ+) και στο Α. Β) Για λ=1 : i)να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελες. ii) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει : MB 0 Π.95.Δίνονται τα διανύσματα a και ώστε : 1, και. Να βρεθούν: α)το εσωτερικό γινόμενο β)η γωνία των διανυσμάτων.,. Π.96.Δίνονται τα διανύσματα (1,), (,1). α)να βρείτε την γωνία θ των διανυσμάτων,. β)να βρείτε το λ ώστε το διάνυσμα κάθετο στο γ)αν να βρείτε την. (, 1) να είναι Π.97.Αν ( 1,1), (,), (, ) : α)να υπολογιστεί το. β)να υπολογιστεί το αν και Π.98.Δίνονται τα σημεία Α(-1,),Β(,4), Γ(,1), Δ(1,1).Αν Κ μέσο του τμήματος ΑΒ και τότε: α)να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Κ,Λ. 67

68 β)να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ όταν το ΒΚΜΛ είναι παραλληλόγραμμο. Π.99.Δίνονται τα διανύσματα: (,4), (1,), ( 4,7) α)να γραφεί το σαν γραμμικός συνδυασμός των β)να βρεθεί η. Π.100.Α.Αν,. Κ,Α,Β,Γ τέσσερα σημεία του επιπέδου τέτοια ώστε να ισχύει , να αποδείξετε ότι τα Α,Β,Γ δεν ορίζουν τριγωνο. Β.Να βρεθεί το είναι κάθετο στο να ώστε το διάνυσμα ( 1, ), όπου Α(1,-) και Β(4,-6). Π.101.Δίνονται τα διανύσματα,, με (,1), ( 5,0),,. α)να βρείτε για κάθε τιμή του χ τις συντεταγμένες του διανύσματος. β)αν τα διανύσματα και ότι χ=. γ)για χ= να βρείτε το μέτρο του γωνίας των,. είναι κάθετα να αποδείξετε και το συνημίτονο της Π.10. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (,4). Να βρείτε τον ώστε να ισχύει: α) 0 β) // γ),. 4 68

69 Π.10.Έστω uv, διανύσματα με, 1. u v α)αν τα διανύσματα a u v, u 5v είναι κάθετα, να βρείτε την β)αν επιπλέον uv, v (1,0) να βρεθούν οι συντεταγμένες του u. Π.104.Δίνονται τα σημεία Α(1,κ),Β(κ-1,),Γ(κ,κ+) k Α)Να δείξετε ότι AB ( k, k) ( 1,) Β)Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα Α,Β,Γ να είναι συνευθειακά. Γ)Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε. Π.105.Δίνονται τα διανύσματα : a (, 1) και (, 6). Να βρείτε: α)το μέτρο του διανύσματος β)τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον χ χ. γ)το ώστε το διάνυσμα συγγραμμικό προς το. u ( k, k 1) να είναι Π.106.Δίνονται τα διανύσματα, 0,, 60 Α)Να βρεθεί το Β)Αν 4 να υπολογίσετε το με Γ)Να υπολογίσετε το (, ) Π.107.Δίνονται τα διανύσματα p και q με 1 και και, Α) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων pq, 69

70 Β)Να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο Γ)Να υπολογίσετε το pq, p q Δ)Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία του ερωτήματος Γ σε σχέση με τα διανύσματα a, 70

71 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 1.Αν a, ό Σ Λ.Αν 0, ό 0 Σ Λ.Αν, ό ΑΒ 0 Σ Λ 4.Το διάνυσμα, είναι παράλληλο με το, Σ Λ 5.Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα Σ Λ 6.Αν 0, ό (, ) είναι οξεία Σ Λ 7.Το παριστάνει διάνυσμα Σ Λ 8.Για τα ομόρροπα διανύσματα, ισχύει Σ Λ 9.Αν 0, τότε οπωσδήποτε 10.Αν, ό για κάθε διάνυσμα 11.Αν 0 και α, μη συγγραμμικά 0. Σ Λ Σ Λ τότε λ=μ=0 Σ Λ 1.Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα a,, ώστε α 0 ορίζεται τρίγωνο Σ Λ 1.Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. Σ Λ 15.Μπορούμε να γράφουμε: Σ Λ 16.Δύο διανύσματα με ίσους συντελεστές διεύθυνσης είναι ομόρροπα Σ Λ 17.Αν,, ό 0 Σ Λ 18.Αν τότε Σ Λ 19.Αν τότε Σ Λ 0.Αν 0 0 ή 0 Σ Λ 71

72 1.Αν, ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου τότε ισχύει. Σ Λ.Για τα διανύσματα, ισχύει η ισοδυναμία // det a, 0 Σ Λ 7

73 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Ο ΘΕΜΑ 1.Δίνονται τα διανύσματα α με και,. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ. Μονάδες 8 β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα, να βρείτε την τιμή του κ. Μονάδες 10 γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. Μονάδες 7,β α, β π α.σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AB 4, 6, A, 8. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ˆ β,όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι οξεία. Μονάδες 10 γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Μονάδες 8.Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει : α β και α, β 60. α) Να αποδείξετε ότι α β Μονάδες 10 β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και Μονάδες 15 α β 4.Δίνονται τα διανύσματα κ 6κ 9, κ και 1,6, όπου κ. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. Μονάδες 8 β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. Μονάδες 9 γ) Για κ =1 να βρείτε το διάνυσμα. Μονάδες 8 7