Λογική και Γεωμετρία

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Λογική και Γεωμετρία (Το Δυαδικό Σύστημα στη Φύση) Πάντοτε ο άνθρωπος αντλούσε πληροφορία από τη Φύση, με σκοπό να την αξιοποιήσει. Την αρχαία εποχή γινότανε κυρίως με την χρήση της κλασικής Γεωμετρίας. Τη σημερινή εποχή γενικά γίνεται μέσω των φυσικών επιστημών. Οι επιστήμες με τις οποίες ασχολήθηκαν επισταμένα οι αρχαίοι Έλληνες είναι: H θεωρητική θεμελίωση της κλασικής Γεωμετρίας, και της Λογικής. Μια επιστήμη, άμεσα συνδεδεμένη με τη Φύση, είναι η κλασική Γεωμετρία, που διδάσκεται στο Γυμνάσιο. Η άμεση σύνδεση της κλασικής Γεωμετρίας με τη Φύση, επιδεικνύει και τη σημασία του μαθήματος αυτού. Ο Γαλιλαίος επίσης προώθησε τη σύνδεση με τη Φύση, από διαφορετική όμως σκοπιά. Ο Γαλιλαίος πρόβαλλε την άποψη ότι Επιστημονική πραγματικότητα είναι η Φυσική πραγματικότητα. Ο προσανατολισμός προς τη Φύση δηλώνει ότι το μόνο που έχουμε για σύγκριση είναι η Φύση. Επομένως, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τη βασική της συμπεριφορά. Για το σκοπό του άρθρου θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά της Φύσης, και ειδικά μας ενδιαφέρει η βασική της συμπεριφορά, που επιτυγχάνεται με το να εξετάσουμε τις βασικές της ιδιότητες, όσο και τον αριθμό κατάληψης της κάθε ιδιότητας. Τα δύο αυτά θέματα τα αντιμετωπίζουμε ξεχωριστά. Δεν θα μελετήσουμε σε λεπτομέρεια το σύστημα, αλλά θα δούμε μερικές γενικές ιδιότητες της Φύσης, που προσδιορίζουν και τη γενική της συμπεριφορά που θέλουμε να βρούμε. Σε προηγούμενα μου άρθρα υποστηρίχθηκε ότι η Λογική είναι η Θεμελιώδης Επιστήμη. Είναι επομένως σημαντικό να τη συνδέσουμε με τη θεμελιώδη συμπεριφορά της Φύσης, την οποία τελικά εκφράζει. Η διαχρονική προσπάθεια του ανθρώπου είναι να βρει γενικές ιδιότητες της Φύσης. Μια τέτοια ιδιότητα είναι και η Συμπληρωματικότητα, η οποία αρχικά επισημάνθηκε από τον Ηράκλειτο. Η ιδιότητα αυτή έχει πολλές εφαρμογές, αλλά η κορυφαία της εφαρμογή γίνεται στη Λογική, θα δούμε δε πως αυτή εφαρμόζεται στη 1

2 Λογική. Ένα από τα θέματα που διαδραμάτισαν σημαντικό ρόλο στην αρχαιότητα ήταν η επιλογή μεταξύ δύο δυνατοτήτων. Η περίπτωση των δύο δυνατοτήτων εμφανίζεται συχνά σε μύθους της αρχαιότητας. Την επιλογή μεταξύ δύο δυνατοτήτων τη συναντάμε επίσης σε μια διχάλα του δρόμου. Η επιλογή αυτή εκφράζει τη Συμπληρωματικότητα, και αποτελεί τη βάση της Λογικής. Η πληροφορία αποτελεί δύναμη, και η απόκτηση της δημιουργεί πλεονέκτημα. Το μέγεθος της πληροφορίας που υπάρχει στη Φύση είναι τεράστιο. Για να αντιμετωπιστεί η πληθώρα αυτή, υπάρχουν οι διάφορες ειδικότητες, και το αποτέλεσμα είναι: «έκαστος στο είδος του». Οι ειδικότητες αυτές αλλάζουν με το χρόνο, με βάση την υπάρχουσα γνώση για τη συμπεριφορά της Φύσης, και την υπάρχουσα τεχνολογία. Η αξιοποίηση της πληροφορίας που αποκτάτε από τη Φύση είναι διαχρονική προσπάθεια του ανθρώπου, και οδηγεί στην ανάπτυξη ορισμένων τεχνολογιών. Στο παρόν άρθρο θα κάνω μια αναδρομή στη διαδικασία αυτή, με σημερινές όμως γνώσεις, και όχι της αρχαιότητας. Δεν θα κάνω μια ιστορική αναδρομή της διαδικασίας αυτής, μόνο θα αναφέρω ότι η εμπειρική Γεωμετρία αξιοποιείτο από τους αρχαίους Αιγύπτιους για το προσδιορισμό των κτημάτων τους, η δε εμπειρική Λογική αξιοποιήθηκε από τον Θαλή το Μιλήσιο για την εισαγωγή της επιστημονικής μεθοδολογίας. Είναι δε περιττό να λεχθεί ότι η παρούσα παρουσίαση εκφράζει τον γράφοντα, και δεν έχει την έκταση ενός βιβλίου. Περί Συμπληρωματικότητας Μια από τις σπουδαίες ιδιότητες της Φύσης είναι και η Συμπληρωματικότητα, που είναι θεμελιώδης συμπεριφορά της Φύσης και τη συναντάμε σε πολλούς κλάδους. Την απαντάμε με διάφορα ονόματα, που σε κάθε κλάδο της έχουν δόση. Η Συμπληρωματικότητα στη Φύση αρχικά επισημάνθηκε από τον Ηράκλειτο, και είναι θεμελιώδης για τη συμπεριφορά της Φύσης. Το σύστημα που συνάγεται είναι το σύστημα της Φύσης Οι περιπτώσεις εφαρμογής της Συμπληρωματικότητας είναι πολλές, (π.χ. στη Λογική, στη φυσική, στα μαθηματικά, στη φιλοσοφία, στη μουσική, ). Μια διερεύνηση του θέματος στο διαδίκτυο το επιδεικνύει!. Σημειώνεται ότι σύμφωνα με την Ιστορία, ο Ηράκλειτος καταγόταν από αριστοκρατική οικογένεια, αποποιήθηκε όμως όλα τα κληρονομικά δικαιώματα που είχε, και πήγε να ζήση στα βουνά, (οικολόγος με πρακτική εξάσκηση. Ο κορυφαίος οικολόγος!). Ο Ηράκλειτος, ζώντας κοντά στη Φύση, είχε όλο το χρόνο να τη παρατηρεί, και να επισημάνει βασικές πτυχές της συμπεριφοράς της. Σύμφωνα με ρήσεις του Ηράκλειτου, που είναι ο κορυφαίος φιλόσοφος της Φύσης, (οι οικολόγοι έχουν το φιλόσοφο τους),: 2

3 ΤΟ ΑΝΤΙΡΡΟΠΟ ΕΙΝΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟ, ΚΑΙ Η ΩΡΑΙΟΤΕΡΗ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ. Η ΑΣΘΕΝΕΙΑ ΕΙΝΑΙ ΠΟΥ ΚΑΝΕΙ ΤΗΝ ΥΓΕΙΑ ΓΛΥΚΙΑ ΚΑΙ ΚΑΛΗ, Η ΠΕΙΝΑ ΤΟΝ ΚΟΡΕΣΜΟ, Η ΚΟΥΡΑΣΗ ΤΗΝ ΑΝΑΠΑΥΣΗ. ΤΑ ΨΥΧΡΑ ΘΕΡΜΑΙΝΟΝΤΑΙ, ΤΑ ΘΕΡΜΑ ΨΥΧΡΑΙΝΟΝΤΑΙ, ΤΑ ΥΓΡΑ ΞΕΡΑΙΝΟΝΤΑΙ, ΤΑ ΞΕΡΑ ΥΓΡΑΙΝΟΝΤΑΙ. Που προέρχονται από ότι οι βασικές ποσότητες της Φύσης πάνε δυο-δυο μαζί. Η συμπεριφορά αυτή είναι παρατήρηση του Ηράκλειτου, και αφορά τη «Συμπληρωματικότητα» στις ποσότητες της Φύσης. Επειδή ο όρος «αντίθετο» συνήθως προκαλεί σύγχυση, χρησιμοποιείται ο όρος «Συμπληρωματικότητα». Για μια ιδιότητα Α, η συμπληρωματική της συμβολίζεται με A. Η κορυφαία εφαρμογή της Συμπληρωματικότητας γίνεται στη Λογική. Τον αριθμό κατάληψης που εμφανίζει κάθε μια ιδιότητα (κατάσταση) του συστήματος, το διαπραγματεύεται η κοινή αριθμητική. Για Στοχαστικά συστήματα, έχουμε να κάνουμε με τη πιθανότητα κατάληψης της κάθε κατάστασης. Το πρωταρχικό όμως βήμα έχει να κάνει με τη διαπραγμάτευση των ιδιοτήτων ενός συστήματος. Το δεύτερο βήμα είναι η διαπραγμάτευση της πιθανότητας κατάληψης της κάθε ιδιότητας. Από τις ρήσεις του Ηράκλειτου συνάγεται ότι: Όταν υπάρχει μια ιδιότητα, υπάρχει και η Συμπληρωματικής της. Θα πρέπει όμως να έχουμε έναν τρόπο προσομοίωσης της Συμπληρωματικότητας. Αυτό γίνεται και με τις λογικές πύλες. Οι λογικές πύλες προσομοιάζουν τη Συμπληρωματικότητα Μια λογική πύλη έχει τη συμπεριφορά μιας διχάλας στο δρόμο. Η ιστορία των λογικών πυλών (logc gates) είναι μεγάλη, και δεν είναι ο σκοπός του άρθρου να κάνει μια επισκόπηση της διαδικασίας αυτής, αναφέρω μόνο ότι του Walther Bothe του απονεμήθηκε το μισό βραβείο Nobel το 1954 για τη υλοποίηση των ηλεκτρονικών λογικών πυλών, (το άλλο μισό δόθηκε στον Max Born για τη συμβολή του στην ανάπτυξη της κβαντομηχανικής. Μια μεγάλη συμβολή του Born ήταν η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης). Το βασικό πλεονέκτημα των ηλεκτρονικών πυλών είναι ότι έχουν μικρό χρόνο απόκρισης. Οι ηλεκτρονικές πύλες χρησιμοποιούν ατομικά φαινόμενα. Για σύγκριση αναφέρεται ότι ο χρόνος απόκρισης του οφθαλμού 1 είναι της τάξεως του 10 sec, ενώ οι ατομικοί χρόνοι είναι της τάξεως του sec. Στο χρόνο απόκρισης του οφθαλμού στηρίζεται ο κινηματογράφος, έτσι όταν εικόνες εναλλάσσονται γρηγορότερα δίνουν την εντύπωση συνέχειας. Ομοίως η μακροσκοπική συμπεριφορά της Φύσης είναι βραδύτερη από τους ατομικούς χρόνους, έτσι έχουμε τη δυνατότητα χρησιμοποιώντας τους να προηγηθούμε της Φύσης. Στόχος των ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι η αξιοποίηση των ατομικών 3

4 χρόνων, και τη χρήση των λογικών πυλών. Έτσι, με τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών υπάρχει η δυνατότητα διεκπεραίωσης διαδικασιών που πριν από λίγο καιρό φαινόταν ότι ήταν αδύνατο να γίνουν, και γρήγορης διεκπεραίωσης διαδικασιών που μέχρι τώρα ήταν χρονοβόρες. Έκτοτε παραμένει η ηλεκτρονική επιλογή, προσπαθούμε όμως να βελτιώσουμε το χρόνο απόκρισης των λογικών πυλών. Με τις λογικές πύλες μπορούμε επίσης να υλοποιήσουμε το δυαδικό σύστημα της Αριθμητικής, έτσι: Έχουμε ένα φυσικό τρόπο υλοποίησης της δυαδικής Αριθμητικής Οι δυαδικές ερωτήσεις σκοπό έχουν να διαπιστώσουν σε πια από δύο καταστάσεις βρίσκεται το σύστημα, και αποτελούν επίσης καίριο στοιχείο της θεωρίας της Πληροφορίας. Ο κλασικός ορισμός της Συμπληρωματικότητας αναφέρεται σε ποσότητες που έχουν δύο μόνο επιλογές. Επεκτείνεται δε και σε ποσότητες με περισσότερες επιλογές. Στο παρόν άρθρο κυρίως θα εξετάσουμε παραδείγματα που αναφέρονται σε συστήματα με δύο Συμπληρωματικές ιδιότητες. Γνωρίζουν όλοι ότι το άθροισμα των γωνιών ενός επιπέδου τριγώνου είναι 180 μοίρες. Έχουμε δηλαδή τρείς γωνίες με άθροισμα 180 μοίρες. Σε ορθογώνια επίπεδα τρίγωνα, η περίπτωση αυτή ανάγεται σε δύο οξείες γωνίες με άθροισμα 90 μοίρες. Η διαπραγμάτευση συναρτήσεων των γωνιών αυτών γίνεται στη τριγωνομετρία. Διαφορετικά τρίγωνα, με τις ίδιες όμως γωνίες, μπορούν να προκύψουν με την αλλαγή του μεγέθους των πλευρών. Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια, έτσι μπορούμε να τα μελετήσουμε χρησιμοποιώντας τη θεωρία της Ομοιότητας. Μια διχάλα στο δρόμο μπορεί να πει κανείς ότι είναι κατασκεύασμα του ανθρώπου. Η εύρεση όμως περισσοτέρων από δύο κλάδους σε ένα δένδρο, που να ξεκινούν από το ίδιο σημείο, είναι δύσκολο να βρεθούν. Σε μερικές περιπτώσεις συναντάμε την ύπαρξη της τριάδας. Σε μια τέτοια περίπτωση οι δύο καινούργιοι κλάδοι αποτελούν ισορροπία του κεντρικού κλάδου, όμως είναι πολύ δύσκολο να βρεθούν περισσότεροι κλάδοι. Μια περίπτωση των τριών γωνιών την συναντάμε επίσης στα επίπεδα τρίγωνα, που αναφέρθηκε παραπάνω, όπου το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες. Για άθροισμα 180 μοίρες, χρησιμοποιείται ο όρος παραπληρωματικές. Πρέπει δε να επισημανθεί ότι ο όρος αφορά τις γωνίες, και δεν χρησιμοποιείται για όλες τις περιπτώσεις. Συμπληρωματικότητα στα Χρώματα Μια περίπτωση που συναντάμε στη Φύση είναι η Συμπληρωματικότητα στα χρώματα, ότι δηλαδή μια συγκεκριμένη ανάμιξη των χρωμάτων αυτών δίνει το λευκό. Η απλούστερη περίπτωση είναι η μείξη τριών χρωμάτων, (κόκκινο, πράσινο, και μπλε). Στο ουράνιο τόξο όμως έχουμε τη μείξη πολλών. Έτσι στη γενική περίπτωση της μείξεως των χρωμάτων γνωρίζουμε το σύνολο, όχι όμως το πλήθος τους, που μπορεί να είναι και άπειρο. 4

5 Περί Κατηγοριών Εξετάζουμε τη περίπτωση κατηγοριών ιδιοτήτων. Πρώτα θα δούμε μερικά παραδείγματα περιπτώσεων που απαντώνται στη Φύση. Κατηγορίες στους αριθμούς Το διαχωρισμό σε δύο κατηγορίες την έχουμε στους αριθμούς. Η περίπτωση αυτή είναι πιθανώς η αρχαιότερη χρονικά που παρατηρήθηκε, όπου έχουμε τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Οι δύο αυτές κατηγορίες είναι διαφορετικές. Διακρίνονται από το ότι οι ρητοί αριθμοί είναι της μορφής p/q, με p και q ακεραίους, ενώ οι άρρητοι δεν μπορούν να εκφραστούν ως λόγος ακεραίων αριθμών. Οι αριθμοί αναφέρονται στο χώρο της κοινής αριθμητικής, και όχι της Λογικής. Μια ουσιαστική διαφορά μεταξύ Λογικής και κοινής Αριθμητικής είναι ότι στο χώρο της Λογικής δεν υπάρχει πολλαπλότητα, ενώ στο χώρο της κοινής Αριθμητικής υπάρχει. Οι αριθμοί, όπως είπαμε παραπάνω, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, αυτή των ρητών και των άρρητων. Όμως οι πράξεις της κοινής Αριθμητικής δεν διαχωρίζουν τις δύο αυτές κατηγορίες, αλλά τις αντιμετωπίζουν ενιαία. Το γεγονός αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε με το εξής απλό παράδειγμα: 2 2 2, δηλαδή το γινόμενο δύο άρρητων αριθμών μπορεί να είναι ρητός. Σε αντίθεση, οι πράξεις της Λογικής δεν αναμειγνύουν τις δύο αυτές κατηγορίες, δεν υπάρχει δηλαδή η δυνατότητα με πράξεις της Λογικής να περάσει το σύστημα από τη μια κατηγορία στη άλλη, που το εκφράζουν τα αξιώματα: A A A και A A A, δηλαδή μια ιδιότητα με την ίδια, πάντα δίνει την ίδια. Τα παραπάνω δείχνουν ότι οι πράξεις της Λογικής είναι Δυικές, όχι όμως της κοινής Αριθμητικής. Μποζόνια & Φερμιόνια Τα στοιχειώδη σωμάτια χωρίζονται επίσης σε δύο μεγάλες κατηγορίες: Τα Μποζόνια και τα Φερμιόνια. Τα Μποζόνια έχουν ακέραιο σπιν, ενώ τα Φερμιόνια ημιακέραιο. Έτσι άρτιος αριθμός ταυτόσημων Φερμιονίων δίνει Μποζόνιο. Σε αντίθεση όμως, από ένα συνδυασμό Μποζονίων δεν μπορούμε να πάρουμε Φερμιόνιο. Περί της Λογικής Η μεγάλη συνεισφορά του Αριστοτέλη είναι στη Λογική. Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε τη συμπεριφορά της Φύσης, πρέπει πρώτα να βρούμε τη Λογική της. Η λογική της Φύσης είναι η Αριστοτέλεια Λογική. Η βάση της Αριστοτέλειας Λογικής είναι οι ιδιότητες της Φύσης Οι προτάσεις της Αριστοτέλειας Λογικής πηγάζουν από τις ιδιότητες της Φύσης, και ΟΧΙ το ανάποδο, (δηλαδή δεν βασιζόμαστε στις προτάσεις). Συνήθως χρησιμοποιούμε τις προτάσεις για να περιγράψουμε τις ιδιότητες. Έτσι δημιουργείται σύγχυση για το ποια είναι η βάση της Αριστοτέλειας Λογικής. Ο Αριστοτέλης όμως 5

6 ήταν σαφής, η βάση της Λογικής του είναι οι ιδιότητες της Φύσης (η ουσία), και με τον τρόπο αυτό έκανε τη σύνδεση της θεωρίας του με την Φύση απαιτώντας οι προτάσεις να εκφράζουν ιδιότητες της Φύσης. Τελικά, η βάση της θεωρίας του Αριστοτέλη είναι οι ιδιότητες της Φύσης, και όχι οι προτάσεις. Έτσι αποκλείεται η περίπτωση να χρησιμοποιηθεί μια πρόταση που δεν αντιστοιχεί σε μια ιδιότητα της Φύσης. Με αυτό το τρόπο η συμβατότητα της Αριστοτέλειας Λογικής με τη Φύση πάντοτε εξασφαλίζεται. Άρα, με βάση το σκεπτικό αυτό, η Αριστοτέλεια Λογική εντάσσεται στο χώρο των Θετικών Επιστημών. Στόχος της Αριστοτέλειας Λογικής είναι η διαπραγμάτευση των ιδιοτήτων της Φύσης. Το θέμα των πράξεων σχολιάστηκε σε προγενέστερο μου άρθρο: «Από τη κοινή Αριθμητική, στη Λογική: Αριστοτέλης». Με την συνεισφορά του Αριστοτέλη, διαχωρίζεται η αριθμητική σε δύο περιοχές, η πρώτη διαπραγματεύεται την Ταξινόμηση των Ειδών (ιδιοτήτων), και η δεύτερη το πλήθος που υπάρχει σε κάθε ιδιότητα. Το πρώτο μέρος το αντιμετώπισε ο ίδιος (σε πρώτη φάση), το δε δεύτερο μέρος αποτελεί την κοινή Αριθμητική, και οδηγεί κάτω από ορισμένες συνθήκες στη θεωρία της Πληροφορίας. Στόχος είναι να ταξινομήσουμε τα είδη σε ανεξάρτητες ομάδες. Η Λογική που κυρίως μας ενδιαφέρει είναι η Λογική της Φύσης. Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις Λογικής, που γενικά δεν είναι μεταξύ τους συμβατές. Κάθε π.χ. φιλοσοφικό δόγμα έχει και τη δικιά του Λογική. Όμως: Η Αριστοτέλεια Λογική είναι η Λογική της Φύσης. Η Αριστοτέλεια Λογική στηρίζεται στη «Συμπληρωματικότητα» στις ιδιότητες, για τις οποίες τίθεται το αξίωμα: εάν μια ιδιότητα ικανοποιείται, τότε η Συμπληρωματική της δεν ικανοποιείται. Στη Προσδιοριστική περίπτωση ικανοποιείται με βεβαιότητα η ίδια πάντα ιδιότητα, που καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Όταν όμως υπάρχει αβεβαιότητα, τότε η κατάσταση είναι διαφορετική. Υπάρχει δηλαδή η περίπτωση να ικανοποιείται η μία ιδιότητα με μια πιθανότητα, και η Συμπληρωματική της ιδιότητα να ισχύει με τη συμπληρωματική πιθανότητα. Η περίπτωση αυτή οδηγεί στα Στοχαστικά μαθηματικά. Επίσης, πρέπει να αναφερθεί ότι η Φύση δεν μπορεί να περιγραφεί με πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων. Άρα η Αριστοτέλεια Λογική ανήκει στο χώρο του πλουραλισμού. Το συμπέρασμα είναι ότι η Αριστοτέλεια Λογική δεν είναι συμβατή με δυικές Λογικές. Οι δυικές Λογικές (δύο μόνο αξιώματα), παρότι είναι περισσότερο κατανοητές από τον άνθρωπο, όμως δεν μπορούν να περιγράψουν τη Φύση. Για να κάνουν τη περιγραφή της, καταφεύγουν σε μύθους. Ξεκινώντας από μια αυστηρή δυαδική Λογική, δεν μπορεί η δυάδα να γίνει τριάδα, και μετά τετράδα κ.ο.κ.. Η διαδικασία αυτή είναι πρακτικά αδιέξοδη. Η πρακτική λύση είναι οι πολλές (άπειρες) δυάδες. 6

7 Για να περιγραφή η Φύση πρέπει να χρησιμοποιηθούν άπειρες δυάδες Επικράτησε να χρησιμοποιείται ο όρος της «Λογικής» για την Αριστοτέλεια Λογική. Εφόσον έχουμε πολλές δυάδες, δύο ιδιότητες μπορεί να είναι Συμπληρωματικές, μπορεί και όχι. Όταν δεν είναι, τότε δεν υπάρχει μεταξύ τους περιορισμός. Δηλαδή, όταν ΔΕΝ είναι Συμπληρωματικές, τότε μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα. Για την αντιμετώπιση διαφορετικών ιδιοτήτων εισάγονται οι πράξεις. Στόχος είναι η Ταξινόμηση σε Είδη, και αυτό γίνεται αφενός με τη Συμπληρωματικότητα και αφετέρου με την αξιοποίηση των πράξεων της Λογικής. Τις πράξεις της Λογικής τις αποκαλούμε «ένωση» και «τομή», και συμβολίζονται με και αντίστοιχα. Τα Είδη αντιστοιχούν στις διάφορες ιδιότητες της Φύσης. Η Συμπληρωματικότητα και οι πράξεις, είναι βάση της Αριστοτέλειας Λογικής Αρχή της Έλλογης Σκέψης Η Αριστοτέλεια Λογική (Μαθηματική Λογική) στηρίζεται στην αρχή: «εάν ικανοποιείται μία πρόταση, τότε η Συμπληρωματική της δεν ικανοποιείται». Δεν υπάρχει δηλαδή η περίπτωση να ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο Συμπληρωματικές καταστάσεις. Εάν δεν βρίσκεται το σύστημα σε μία από αυτές, θα βρίσκεται στη Συμπληρωματική της. Για δύο καταστάσεις, την Α και τη Συμπληρωματική της Α, ο πίνακας της έλλογης σκέψης δίνεται παρακάτω: Α Α True False False True Επομένως η Λογική του Αριστοτέλη στηρίζεται στο δυαδικό σύστημα. Ο παραπάνω πίνακας είναι ισοδύναμος με τις επιλογές που υπάρχουν σε μια διχάλα στο δρόμο, και μας δίνει ότι είτε επιλέγεται η πρώτη διαδρομή, είτε η δεύτερη. Η επιλογή είναι πρωτοβουλία του ατόμου. Η θέση αυτή μεταφέρεται και στη Λογική. Τελικά: Όταν δεν υπάρχει επιλογή, δεν υπάρχει Λογική Με βάση τον πίνακα αυτόν έχουμε την εξέλιξη του συστήματος, και έχουμε ένα «δένδρο» εξέλιξης του συστήματος. Περί των Πράξεων Στο άρθρο μου «Από τη κοινή Αριθμητική, στη Λογική: Αριστοτέλης» παρουσιάστηκαν οι πράξεις της «ένωσης» και της «τομής» της Μαθηματικής 7

8 Λογικής. Εκτός από τις παραπάνω πράξεις, μεγάλη σημασία στη Μαθηματική Λογική έχει και η πράξη του «συνεπάγεται». Με τη πράξη αυτή θα βρούμε τις συνέπειες των υποθέσεων που γίνονται. Η πράξη αυτή δηλώνεται με την σχέση A B, και όταν το σύνολο Β είναι υποσύνολο του συνόλου Α, τότε οι ιδιότητες του Α είναι και ιδιότητες του Β. Μια τέτοια σχέση πάντα ισχύει για τυχαία σύνολα A και C, για τα οποία πάντα ισχύει: C A A Από τη Γεωμετρία στην Αριθμητική Στο δεύτερο μέρος στόχο έχουμε να βρούμε τον αριθμό κατάληψης για τις διάφορες ποσότητες, τόσο ως προς το πλήθος τους όσο και τη θέση τους. Ακρογωνιαίος λίθος της αριθμητικής αντιμετώπισης είναι ότι υπάρχουν ποσότητες που δεν εξαρτώνται από το χώρο, οπότε ο χώρος μπορεί να αγνοηθεί. Στη περίπτωση αυτή το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί σημειακό. Κλασικό παράδειγμα είναι το σωμάτιο. Επίσης, μπορεί να αναφερθεί ότι ένα βιβλίο είναι το ίδιο, είτε το δει κανείς στο βιβλιοπωλείο είτε στη βιβλιοθήκη του. Όμως η αντιμετώπιση του πλήθους δεν μπορεί πάντα να γίνει με μόνο την Αριθμητική. Υπάρχουν δηλαδή ποσότητες που η τιμή τους εξαρτάται και από το χώρο. Κλασικό παράδειγμα είναι το κύμα. Ο προσδιορισμός της θέσης μιας ποσότητας γίνεται με τη χρήση της κλασικής Γεωμετρίας. Η θέση της προσδιορίζεται από την εξίσωση: c a b Στην βασική μας εκπαίδευση αντιμετωπίζουμε τις δύο παραπάνω περιπτώσεις ξεχωριστά. Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνει για τα κύματα, τα οποία ήταν γνωστά από την αρχαιότητα. Στη σύγχρονη εποχή, ήταν ο James Clerk Maxwell ( ) που βρήκε ότι το Ηλεκτρομαγνητικό κύμα δεν χρειάζεται μέσον για να υπάρξει, υπάρχει και στο κενό. Έχουμε εξοικειωθεί με τον αριθμητικό τρόπο άθροισης. Όμως ο άνθρωπος για να λύση συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα που προέκυψαν, και συγκεκριμένα για να εντοπίσουν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι τα σύνορα των κτημάτων τους μετά την απόσυρση των υδάτων του Νείλου, ανακάλυψε και το γεωμετρικό τρόπο άθροισης. Έτσι προκύπτει το θεμελιώδες ερώτημα, το κατά πόσον οι δύο αυτοί τρόποι άθροισης είναι ανεξάρτητοι ή συνδέονται, και ποιος είναι ο βασικότερος. Θα αντιμετωπίσουμε το ερώτημα αυτό με σημερινές γνώσεις, και όχι της αρχαιότητας. Ξεκινάμε με τον γεωμετρικό τρόπο άθροισης. Τη σημασία της Γεωμετρίας το προβάλει η πλατωνική ρήση «ουδείς αγεωμέτρητος». Οι βασικές ποσότητες που διαπραγματευόμαστε στη Φύση μπορούν γενικά να χωρισθούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τις βαθμωτές (scalar) και τις ανυσματικές (vector). Η ιδιότητα που τις ξεχωρίζει είναι η διεύθυνση, οι βαθμωτές δεν την έχουν, ενώ οι ανυσματικές την περιέχουν. Παραδείγματα βαθμωτών ποσοτήτων είναι η 8

9 θερμοκρασία, η πυκνότητα, κ.α. Παραδείγματα ανυσματικών ποσοτήτων είναι η θέση στο χώρο, η δύναμη, η ταχύτητα κ.α. Βασικό παράδειγμα είναι η θέση στο χώρο, η οποία καθορίζεται από ένα άνυσμα. Το άνυσμα προσδιορίζεται τόσο από το μήκος του (που μετράτε με το διαβήτη), όσο και τη διεύθυνση του (που καθορίζεται από τη γωνία. Άρα απαιτείτε μοιρογνωμόνιο). Βασικό όμως στοιχείο του ορισμού του είναι ότι, στο άνυσμα η αρχή δεν είναι καθορισμένη, και μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Το άνυσμα καθορίζεται μόνο από τη διεύθυνση του και το μήκος του. Δηλαδή, δύο ανύσματα με διαφορετική αρχή, που όμως έχουν την ίδια διεύθυνση και μήκος, είναι ίσα. Το επόμενο βήμα είναι να ορίσουμε τις πράξεις τους, τόσο με αριθμούς όσο μεταξύ τους. Οι πράξεις αυτές πρέπει να είναι όσο το δυνατόν κοντά στις πράξεις της αριθμητικής, που έχουμε εμπειρία. Το άθροισμα ανυσμάτων, και ο πολλαπλασιασμός τους επί μια αριθμητική ποσότητα, είναι πράξεις παρόμοιες με αυτές της αριθμητικής. Τα αξιώματα της πρόσθεσης δύο ανυσμάτων (που συμβολίζεται με +), και του πολλαπλασιασμού αριθμού με άνυσμα, είναι: ab b a, ( a b) c a( b c), xa ( b) xaxb Ο πολλαπλασιασμός όμως μεταξύ ανυσμάτων είναι διαφορετικός, και τότε έχουμε τη δυνατότητα να πάρουμε είτε Αριθμητική, είτε Γεωμετρική ποσότητα. Εισάγονται έτσι δύο ειδών πολλαπλασιασμου μεταξύ ανυσμάτων, ο ένας δίνει Αριθμητικό αποτέλεσμα, και ο άλλος Γεωμετρικό. Με τα σημερινά δεδομένα, για τον πολλαπλασιασμό ανυσμάτων, ορίζεται αφενός το εσωτερικό γινόμενο (που συμβολίζεται με ) και δίνει Αριθμητική ποσότητα, και αφετέρου το εξωτερικό γινόμενο (που συμβολίζεται με ) και δίνει Γεωμετρική ποσότητα. Τα αξιώματα του πολλαπλασιασμού αυτού είναι: ab a bcos( ), ab ba, a( b c) ab ac, ab a bsn( ) eˆ, ab ba, a( b c) ab ac, a( bc) ( ac) b ( ab) c Άρα το εξωτερικό γινόμενο στα ανύσματα δεν υπακούει στην ιδιότητα της αντιμετάθεσης, μια ιδιότητα που ισχύει στην αριθμητική και στο εσωτερικό γινόμενο. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι προσδιόριζαν τα κτήματα τους, με τρόπο που ισοδυναμούσε με τη χρήση των ανυσμάτων. Η κλασική Γεωμετρία αντιμετωπίζει 9

10 προβλήματα που μπορούν να λυθούν με κανόνα και διαβήτη. Με τα όργανα όμως αυτά, φέρνουμε ευθείες και μετράμε αποστάσεις. Επίσης με αυτά μπορούμε να δημιουργήσουμε ορθές γωνίες, όχι όμως κάθε γωνία. Είναι όμως γνωστό σε όλους ότι, όλα τα γεωμετρικά προβλήματα δεν μπορούν να λυθούν με τον τρόπο αυτό. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ότι: Η γεωμετρική άθροιση είναι γενικότερη της αριθμητικής Οι βαθμωτές ποσότητες μπορούν να συνδεθούν με δύο ποσότητες των ανυσμάτων, αφενός το μήκος του ανύσματος, και αφετέρου το εσωτερικό γινόμενο ανύσματος με τον εαυτόν του. Το εσωτερικό γινόμενο ενός ανύσματος με τον εαυτόν του, που τη σύγχρονη εποχή έχει εισαχθεί, είναι θετικός αριθμός χωρίς διεύθυνση, και η ποσότητα αυτή συνδέεται με την Αριθμητική. Το μήκος ενός ανύσματος, είναι η θετική τιμή της τετραγωνικής ρίζας του εσωτερικού του γινομένου. Χρησιμοποιείται όμως το πρόσημο που δηλώνει τη κατεύθυνση σε μια διάσταση. Άρα ο συνδυασμός του μήκους με το πρόσημο ισοδυναμεί με ανυσματικό προσδιορισμό σε μια διάσταση. Έτσι: Αντιστοιχούμε το εσωτερικό γινόμενο ενός ανύσματος με τον εαυτόν του, σε αριθμητική ποσότητα Γενικά οι βαθμωτές ποσότητες μπορεί να είναι και θετικές και αρνητικές, όχι όμως οι αριθμητικές. Οι αριθμητικές δεν μπορεί να είναι αρνητικές. Όταν η αρχή ορίζεται αυθαίρετα, πρέπει να χρησιμοποιηθούν και οι αρνητικοί αριθμοί. Όμως η εισαγωγή τους έγινε σε νεώτερη εποχή. Τελικά η συμπεριφορά της Φύσης, που βρέθηκε εμπειρικά την αρχαιότητα από τον άνθρωπο, είναι ότι οι νόμοι της Φύσης πρέπει να παραμένουν οι ίδιοι σε αυθαίρετη επιλογή της αρχής. Βάση της απαίτησης αυτής είναι ότι, όλα τα στατικά συστήματα αναφοράς είναι ισοδύναμα: Δεν υπάρχει προνομιακό σύστημα αναφοράς Από μια άλλη οπτική γωνία: Η Γεωμετρική άθροιση περιλαμβάνει και τις γωνίες. Δηλαδή, το άνυσμα περιέχει περισσότερη πληροφορία από το μήκος του. Για να μελετήσουμε το θέμα, εξετάζουμε την περίπτωση όπου η θέση καθορίζεται από δύο μόνο ανύσματα, και όπως είπαμε παραπάνω η συνολική θέση ισούται με: c a b Τίθεται επίσης το ερώτημα, του προσδιορισμού του αριθμητικού μέρους που περιέχεται στο συνολικό αυτό άνυσμα. Αυτό μπορεί να βρεθεί με το εσωτερικό γινόμενο του ανύσματος με τον εαυτόν του, όπως θα λέγαμε σήμερα, που δίνει τη σχέση: c a b 2ab Στο δεύτερο μέρος, έχουμε τόσο όρους που εξαρτώνται μόνο από τα εσωτερικά γινόμενα ανυσμάτων με τους εαυτούς τους (ιδιο-γινόμενα, που είναι αριθμητικές 10

11 ποσότητες), όσο και όρο που εξαρτάται από το εσωτερικό γινόμενο δύο διαφορετικών ανυσμάτων (ετερο-γινόμενο, που είναι κυματική ποσότητα). Ο τελευταίος όρος προσδιορίζεται και από τις διευθύνσεις των ανυσμάτων, μπορεί δε να είναι τόσο θετικός αριθμός όσο και αρνητικός. Επειδή όμως το σύνολο δεν είναι αρνητικός αριθμός, έπεται ότι ( a b ) 2ab a b 2, μια ιδιότητα που πάντα ισχύει. Στο δεύτερο μέρος έχουμε τόσο τους όρους των τετραγώνων, όσο και τον όρο 2 a b, που είναι ο όρος της συμβολής. Θα εξετάσουμε ξεχωριστά τις δύο αυτές περιπτώσεις. Επίσης, η περίπτωση χωρίς αβεβαιότητα εξετάστηκε επισταμένα την αρχαιότητα. Υπενθυμίζεται ότι οι πιθανότητες δεν ήταν γνωστές τη περίοδο της αρχαιότητας, (τη σύγχρονη εποχή όμως είναι). Περί της Καθετότητας Ένας τρόπος μηδενισμού του όρου της συμβολής είναι με τη καθετότητα των επιμέρους ανυσμάτων, a b. Στη περίπτωση αυτή έχουμε: 2 2 c a b 2 Τότε η άθροιση γίνεται αριθμητικά. Δηλαδή, τα τετράγωνα των ανυσμάτων αθροίζονται με το γνωστό τρόπο της αριθμητικής, και όχι ανυσματικά. Έτσι, τα τετράγωνα έχουν την αριθμητική άθροιση, που επιτυγχάνεται με τη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Η κορυφαία εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος είναι η αναγωγή, κάτω από ορισμένες συνθήκες, του Γεωμετρικού αθροίσματος σε Αριθμητικό. Η σχέση αυτή συνεπάγεται επίσης ότι το εσωτερικό γινόμενο ανυσμάτων αντιστοιχεί σε Αριθμητική ποσότητα. Η ίδια σχέση δίνει ότι οι κανονικές συντεταγμένες του συστήματος δίνονται από τους ορθογώνιους άξονες. Το Στατιστικό πρόβλημα Στόχος της περίπτωσης αυτής είναι ο μηδενισμός του όρου της συμβολής κατά μέσο όρο. Η περίπτωση αυτή δεν μπορούσε να επεξεργαστεί την αρχαιότητα, μια και δεν είχαν τότε αναπτυχθεί οι πιθανότητες. Το θέμα της αβεβαιότητας εξετάστηκε στο άρθρο μου «Περί της Αβεβαιότητας: Ηράκλειτος». Ο άνθρωπος προτιμά τη προσδιοριστική περίπτωση, και όχι τη στοχαστική. Επομένως η προσπάθεια του είναι να ανάγει τη στοχαστική περίπτωση σε προσδιοριστική. Αυτό επιτυχαίνεται κάτω από ορισμένες συνθήκες: όταν η κατανομή έχει «ροπές», τότε το μακροσκοπικό σύστημα μπορεί να περιγραφή χωρίς αβεβαιότητα. Όμως, η κατανομή μπορεί να έχει «ροπές», μπορεί και όχι. Στη γενική περίπτωση που για τη κατανομή δεν μπορεί να εξασφαλιστεί ότι έχει «ροπές», οι τεχνικές είναι διαφορετικές. Εξετάζουμε πρώτα τη παλιά περίπτωση (ύπαρξη των «ροπών»), και μετά τη καινούργια. 11

12 Όταν υπάρχουν οι «ροπές», υπάρχουν και οι μέσες τιμές, και παίρνοντας τη μέση τιμή του εσωτερικού γινομένου καταλήγουμε στην: c a b 2 ab Όταν τα ανύσματα είναι ανεξάρτητα, μπορούν να γίνουν έτσι ώστε να έχουν ab 0, οπότε παίρνουμε τη σχέση: c a b Δηλαδή, κατά μέσο όρο έχουμε άθροιση τετραγώνων. Προϋπόθεση ύπαρξης αυτής της σχέσης, είναι η ύπαρξη των μέσων τιμών των τετραγώνων. Η ίδια σχέση επίσης δίνει ότι, στους μέσους όρους οι κανονικές συντεταγμένες του συστήματος είναι οι ορθογώνιοι άξονες. Δηλαδή, όταν υπάρχουν οι «ροπές» της κατανομής αυτής, σε μακροσκοπικό επίπεδο μπορούμε να περιγράψουμε το σύστημα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αβεβαιότητα. Στη περίπτωση αυτή, μακροσκοπικά είναι δύσκολο να ξεχωρίσουμε τη περίπτωση αυτή από τη προσδιοριστική. Οπότε μακροσκοπικά μπορεί να περιγραφεί το σύστημα σαν να μην υπάρχει αβεβαιότητα. Όταν η κατανομή έχει «ροπές», τότε αυτή χαρακτηρίζεται τόσο από τη μέση της τιμή, όσο και τη διακύμανση της περί αυτήν. Σαν παράδειγμα, αναφέρεται η κανονική κατανομή, που δίνεται από τη σχέση: Px ( ) exp ( x x ) /(2 ) 2 2 Στη κανονική δηλαδή κατανομή αρκούν οι παράμετροι αυτοί για να ορισθεί πλήρως η κατανομή. Το αποτέλεσμα αυτό δείχνει και τη σημασία που έχουν οι δύο αυτοί παράμετροι, και στόχος των πειραματικών τεχνικών είναι να προσδιοριστούν. Όταν υπάρχουν οι «ροπές» της κατανομής, εξασφαλίζεται ότι και η διακύμανση είναι πεπερασμένη, μια και ισούται με x x x. Το «μέτρο» της κατανομής ορίζεται τότε με βάση τη διακύμανση της. Στη κανονική κατανομή υπάρχουν οι «ροπές» της, επομένως η διακύμανση της είναι πεπερασμένη. Στη γενική περίπτωση, οι «ροπές» ενδέχεται να μην υπάρχουν. Στη περίπτωση αυτή, θα πρέπει να ορισθεί μια άλλη συνάρτηση που να είναι πεπερασμένη και να εκφράζει την αβεβαιότητα που υπάρχει στο σύστημα. Η συνάρτηση αυτή είναι η Εντροπία (ή Πληροφορία) του συστήματος, ορίζεται ως: H Η συνάρτηση αυτή είναι πάντα πεπερασμένη, είτε υπάρχουν οι «ροπές», είτε δεν υπάρχουν. Μπορεί επομένως να χρησιμοποιηθεί και στις δύο αυτές περιπτώσεις. Τελικά, η Εντροπία (ή Πληροφορία) δίνει την αβεβαιότητα που υπάρχει στο σύστημα. Συμπερασματικά, η βασική συνάρτηση είναι η κατανομή μιας στοχαστικής μεταβλητής, από την οποία μπορούν να προκύψουν οι άλλες. Από τη συνάρτηση αυτή μπορεί να προκύψει η αβεβαιότητα που υπάρχει στο σύστημα. p ln p 12

13 Περί Πληρότητας Όταν η εξέλιξη του συστήματος προσδιορίζεται πλήρως, τότε έχουμε τη προσδιοριστική περίπτωση, η οποία περιγράφεται με τα Προσδιοριστικά μαθηματικά. Στη προσδιοριστική περίπτωση η θέση του σωματίου είναι μονοσήμαντα καθορισμένη, όπως επίσης και η διαδρομή που ακολουθεί το σύστημα, που τη λέμε Τροχιά. Η εξέλιξη του συστήματος περιγράφεται τότε με μια τροχιά και μία εξίσωση κίνησης. Όταν όμως υπάρχει αβεβαιότητα στο σύστημα, η περίπτωση είναι διαφορετική. Υπάρχει δηλαδή μια πιθανότητα να συμβεί η κάθε δυνατή επόμενη κατάσταση (θέση του συστήματος), και έχουμε τη Στοχαστική περίπτωση η οποία περιγράφεται με τα Στοχαστικά μαθηματικά. Στη περίπτωση αυτή η θέση του συστήματος δεν είναι μονοσήμαντα καθορισμένη και περιγράφεται με μια κατανομή πιθανότητας. Τότε, αντί της τροχιάς, έχουμε τη Διαδρομή. Επίσης έχουμε την εξέλιξη της κατανομής πιθανότητας. Η κατανομή αυτή μπορεί να έχει «ροπές», μπορεί και όχι. Στη περίπτωση όμως που υπάρχουν οι «ροπές» της κατανομής, τότε μακροσκοπικά μπορούμε να περιγράψουμε το σύστημα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αβεβαιότητα. Στη στοχαστική περίπτωση η διαδρομή δεν είναι μονοσήμαντα καθορισμένη. Με την επανάληψη της διαδικασίας, μπορεί να προκύψει διαφορετική διαδρομή, με την ίδια αρχική κατάσταση. Έτσι εκ των προτέρων δεν μπορούμε να γνωρίζουμε πια διαδρομή θα ακολουθήσει το σύστημα. Στη περίπτωση αυτή, οι τελικές καταστάσεις του συστήματος μπορεί να έχουν την ίδια πιθανότητα να εμφανιστούν, μπορεί και όχι. Τελικά χρειάζεται μία συνάρτηση, που να δίνει την αβεβαιότητα που υπάρχει στο σύστημα, και με τη σύγχρονη ορολογία η συνάρτηση αυτή ονομάζετε Πληροφορία (Εντροπία), και είναι: H pln p Ένα βασικό αποτέλεσμα της Μαθηματικής Λογικής είναι ότι μια ιδιότητα είτε υπάρχει στο σύστημα, είτε δεν υπάρχει. Απαίτηση της Ύπαρξης των «Ροπών» Όταν δεν υπάρχει αβεβαιότητα, ή όταν υπάρχει αβεβαιότητα και να υπάρχουν οι «ροπές» της κατανομής, τότε μακροσκοπικά έχει παρόμοια συμπεριφορά, και μπορεί να αγνοηθεί η αβεβαιότητα. Στη περίπτωση αυτή το σύστημα μπορεί μακροσκοπικά να περιγραφή χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αβεβαιότητα. Ένα κριτήριο είναι η ισχύς του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Το θεώρημα αυτό στην απλούστερη του μορφή, όπως διδάσκεται στο Γυμνάσιο, αντιμετωπίζει την επίπεδη Γεωμετρία. Για να το υπενθυμίσω, οι πλευρές a και b ενός ορθογωνίου τριγώνου συνδέονται με τη υποτείνουσα c με τη σχέση: 2 2 c a b 2 13

14 Στη σχέση αυτή ο ένας ορθογώνιος άξονα μπορεί να περιγράφει το χώρο, και ο άλλος το χρόνο. Επομένως οι δύο αυτές ποσότητες είναι σε ξεχωριστούς ορθογώνιους άξονες, και δεν αναμιγνύονται. Τη παραπάνω σχέση μπορούμε επίσης να τη λύσουμε ως προς μία ορθογώνια πλευρά, και παίρνουμε: a c b Στη σχέση αυτή, ο ένας ορθογώνιος άξονας μπορεί να περιγράφει το χρόνο, και η υποτείνουσα το χώρο. Όμως η υποτείνουσα μπορεί να αναλυθεί στους δύο ορθογώνιους άξονες, τότε ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι σε ανεξάρτητους ορθογώνιους άξονες και δεν διαχωρίζονται. Τη σχέση αυτή την έχουμε στην σχετικότητα, η οποία για απειροστές μεταβολές δίνει: ( ds ) ( dr ) c ( dt) a Στη περίπτωση όπου η Γεωμετρία αναφέρεται σε χώρο με πολλές διαστάσεις, έχουμε μια ορθοκανονική βάση, στην οποία αναπτύσσουμε ένα άνυσμα του χώρου αυτού, και έχουμε τη σχέση: c aeˆ Από την οποία παίρνουμε: c 2 2 a Η σχέση αυτή εκφράζει τη πληρότητα της βάσης, και μια τέτοια βάση, στην γενική περίπτωση, είναι άπειρη. Ορίζοντας την πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στη συνιστώσα, ως πιθανότητα: p a / c 2 2, παίρνουμε τη σχέση πληρότητας για την ολική p 1 Επομένως, η πληρότητα είναι διατυπωμένη με άλλον τρόπο. Εάν έχουμε δύο μόνο καταστάσεις, και η μία να έχει πιθανότητα κατάληψη p, τότε η πιθανότητα της άλλης είναι 1-p. Γενικά, οι περιπτώσεις που υπάρχουν στη φύση μπορούν να προκύψουν είτε με αλλαγή του συνολικού αριθμού των καταστάσεων και των πιθανοτήτων τους, είτε με το να παραμένουν οι καταστάσεις οι ίδιες. Στη δεύτερη περίπτωση μπορεί είτε να έχουμε αλλαγή του συνολικού αριθμού των σωματίων, με το να παραμένουν οι πιθανότητες κατάληψης οι ίδιες, είτε να υπάρχει αλλαγή των πιθανοτήτων κατάληψης των καταστάσεων αυτών. Στη πρώτη περίπτωση η πληροφορία του συστήματος μένει η ίδια, μια και αυτή δίνεται από τη σχέση H pln p, και μπορεί η περίπτωση να μελετηθεί με τη θεωρία της Ομοιότητας. Όταν υπάρχει αλλαγή στις πιθανότητες κατάληψης, η περίπτωση αυτή μπορεί να μελετηθεί με τη θεωρία της Πληροφορίας. Ο νόμος της Φύσης που διέπει την ισορροπία είναι: Η κατάσταση ισορροπίας της Φύσης είναι αυτή που με τις υπάρχουσες συνθήκες μεγιστοποιεί την Πληροφορία της (Εντροπία της). 14

15 Παρατηρώντας τη Φύση, και αντιστοιχώντας τα αξιώματα με τα Είδη του Αριστοτέλη, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι στη Φύση υπάρχουν «άπειρα» Είδη. Επομένως τα αξιώματα που απαιτούνται για τη περιγραφή της Φύσης είναι άπειρα. Αυτό το αποτέλεσμα δηλώνει ότι: Η Φύση δεν μπορεί να περιγραφεί με πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων Τίθεται δε το ερώτημα, εάν ένα σύστημα μπορεί να περιγραφεί με πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων, παρότι η Φύση έχει άπειρο. Προσεγγιστικά υπάρχει. Όταν τα υπόλοιπα αξιώματα σε μια περιοχή δεν επιδρούν σημαντικά, τότε μπορούν να αγνοηθούν. Όμως θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι αγνοήσαμε ένα σύνολο αξιωμάτων, και η προσέγγιση που κάνουμε ισχύει σε μια περιοχή. Όταν βγούμε από τη περιοχή αυτή, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω πεπερασμένο σύνολο των αξιωμάτων. Τη τεχνική αυτή την εφαρμόζουν εκτενώς οι Φυσικοί, ότι δηλαδή οι φυσικές θεωρίες ισχύουν στην αντίστοιχη περιοχή. Ένα τέτοιο παράδειγμα έχει να κάνει με την υπόθεση της συνέχειας της ύλης. Η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να επεκταθεί σε πολύ μικρές αποστάσεις. Τελικά, προσπαθούμε να υπολογίσουμε τη βάση με τον καλύτερο τρόπο. Στα πλαίσια αυτής της μελέτης ορίζεται το σύνολο των δυνητικών ιδιοτήτων του συστήματος. Με το σύνολο των ιδιοτήτων αυτών, δημιουργείται ένα γενικό σύνολο, το οποίο συνήθως συμβολίζουμε με Ω, και θεωρούμε ότι είναι πλήρες. Είδαμε επίσης ότι μικροσκοπικά έχουμε πάντα αβεβαιότητα, που προέρχεται από το γεγονός ότι πάντα υπάρχει επιλογή. Τροχιά και Ευκλείδειος Χώρος Η περίπτωση αντιμετωπίζει τη περίπτωση να μην έχει επίδραση η αβεβαιότητα. Όταν όμως έχει επίδραση, η κατάσταση μπορεί να είναι διαφορετική. Όταν η κατανομή πιθανότητας έχει «ροπές» τότε μακροσκοπικά μπορούμε να αγνοήσουμε την αβεβαιότητα. Αντί για τις «ροπές», μπορούμε να έχουμε ένα άλλο κριτήριο που να μας δείχνει τη συμπεριφορά της μακροκατάστασης. Ένα κριτήριο είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το ίδιο θεώρημα ξεχωρίζει τον Ευκλείδειο χώρο από τον μορφοκλασματικό. Ο Ευκλείδειος χώρος συνεπάγεται μακροσκοπικά την ύπαρξη τροχιών, ενώ ο μορφοκλασματικός όχι. Στη περίπτωση του μορφοκλασματικού χώρου πρέπει να περιγράψουμε το σύστημα με μια κατανομή πιθανότητας. Έτσι αντί των εξισώσεων κίνησης, έχουμε την εξέλιξη της κατανομής πιθανότητας. Η μακροσκοπική εξίσωση για το σκοπό αυτό είναι η εξίσωση Fokker-Planck. Σε μικροσκοπικό επίπεδο έχουμε επίσης την εξίσωση Schrödnger. 15

16 Μη-απαίτηση της Ύπαρξης των «Ροπών» Η ανάλυση για πληρότητα σε χώρο με «ροπές» μπορεί να γίνει θεωρώντας ότι ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Η παρούσα περίπτωση αναφέρεται σε χώρο χωρίς να απαιτείται η ύπαρξη των «ροπών». Τότε, αντί να έχουμε άθροισμα σε ανεξάρτητες συντεταγμένες ενός ανύσματος, έχουμε άθροισμα στις ανεξάρτητες στοχαστικές μεταβλητές. Οπότε, αντί να έχουμε το συνηθισμένο γεωμετρικό χώρο, έχουμε ένα χώρο από τις ανεξάρτητες στοχαστικές μεταβλητές. Αντικαθιστούμε δε το μήκος ενός ανύσματος, με το «σημαντικό» εύρος της κατανομής. Γίνεται έτσι η διερεύνηση του σημαντικού εύρους του αθροίσματος: yn x1x2... xn x. Εξετάζουμε ειδικά τη περίπτωση όπου οι κατανομές των μεταβλητών αυτών είναι οι συμμετρικές ευσταθείς κατανομές. Βρέθηκε δε ότι ο μετασχηματισμός Fourer των συμμετρικών ευσταθών κατανομών δίνεται από τη σχέση, Pk ( ) k e, με 0, 0 2. Η περίπτωση που μελετάμε αφορά τη περίπτωση όπου όλες οι στοχαστικές μεταβλητές έχουν κατανομές με το ίδιο α, αλλά μπορούν να έχουν διαφορετικό. Επίσης, στη περίπτωση του αθροίσματος ανεξάρτητων μεταβλητών, ο μετασχηματισμός Fourer του αθροίσματος ισούται με το γινόμενο των επιμέρους μετασχηματισμών. Εφόσον η παράμετρος α παραμένει η ίδια, η σταθερά γ στο μετασχηματισμό Fourer του αθροίσματος ανεξάρτητων μεταβλητών, ισούται με το άθροισμα των επιμέρους σταθερών, και συνεπάγεται τη σχέση για το συνολικό εύρος, ( ) ( ). με 0 2. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφή και ως: 1. Η σχέση αυτή υποδεικνύει ότι η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στη στοχαστική μεταβλητή είναι p ( /. ). Με αυτή την αντιστοιχία έχουμε τη ίδια σχέση πληρότητας: p 1. Η τιμή α=1 είναι η μέση επιτρεπτή τιμή, και δίνει τη Λορεντζιανή κατανομή. Τελικά, το Πυθαγόρειο θεώρημα παραβιάζεται, και έχουμε την άθροιση με τα εύρη για τις επιμέρους κατανομές,, να υψώνονται στη δύναμη α. Όταν το α έχει τη τιμή 2, τότε έχουμε μια σχέση αντίστοιχη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, και ο χώρος αντιστοιχεί στον Ευκλείδειο. Τότε υπάρχουν όλες οι «ροπές» της κατανομής. Όταν όμως α<2, τότε ΔΕΝ ισχύει το «Πυθαγόρειο θεώρημα» για τις ανεξάρτητες αυτές στοχαστικές μεταβλητές, και ο χώρος λέγεται μορφοκλασματικός. Σημειώστε, ότι στη περίπτωση αυτή δεν έχουμε πλέον άθροισμα 16

17 τετραγωνικών όρων. Στη περίπτωση αυτή δεν υπάρχουν όλες οι ροπές, μπορεί όμως να υπάρχουν μερικές, όχι όμως όλες. Μπορεί δε να μην υπάρχει και καμία. Περί της απροσδιοριστίας Παραπάνω είδαμε δύο τρόπους περιγραφής της Φύσης, αφενός το Προσδιοριστικό, και αφετέρου τον Στοχαστικό. Στόχος του προσδιοριστικού τρόπου είναι να περιγράψουμε το σύστημα με απόλυτη ακρίβεια, κάτι που δεν μπορεί να γίνει με Στοχαστικά συστήματα. Το ουσιαστικό σημείο είναι εάν μπορούμε να περιγράψουμε τη Φύση με απόλυτη ακρίβεια. Εάν αυτό μπορεί να γίνει, τότε μπορούμε να περιγράψουμε τη Φύση με τη κλασική φυσική. Η «αρχή της απροσδιοριστίας» δηλώνει ότι αυτό γενικά δεν μπορεί να γίνει. Έτσι η «αρχή της απροσδιοριστίας» είναι βασικό στοιχείο της συμπεριφοράς της Φύσης, και ισοδυναμεί με το ότι αυτή δεν μπορεί μικροσκοπικά να περιγραφεί με τη κλασική φυσική. Περί της Κοινής Αριθμητικής Η κοινή Αριθμητική αποβλέπει στο να διαπραγματευτεί το αριθμό κατάληψης των καταστάσεων του συστήματος. Σε ένα Στοχαστικό σύστημα, η κατάληψη προσδιορίζεται με μια πιθανότητα. Για Στοχαστικά συστήματα, οι πιθανότητες έχουν τις ιδιότητες: PA ( B) PAPB ( ) ( A), P( AB) P( A) P( B) P( AB) Για ανεξάρτητες ιδιότητες, δηλαδή για ιδιότητες που η μία δεν επηρεάζει την άλλη, η πρώτη σχέση από αυτές γίνεται: P( A B) P( A) P( B) Για πολλές δε ανεξάρτητες ιδιότητες παίρνουμε: P( A) P( A) Η σχέση αυτή είναι αντίστοιχη της σχέσης για συναρτήσεις: f ({ x}) f ( x ) Η σχέση αυτή σημαίνει ότι οι μεταβλητές είναι χωριζόμενες, και η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται εκτενώς για τη λύση διαφορικών εξισώσεων. Η κοινή αριθμητική στόχο έχει να βρει τη πληθώρα που υπάρχει σε κάθε ιδιότητα. Για Στοχαστικά συστήματα, η πληθώρα αυτή εκφράζεται με τη πιθανότητα κατάληψης της κάθε κατάστασης. Στόχος μας είναι να βρούμε τον νόμο κατάληψης για τη περιγραφή του συστήματος. Στοχεύουμε να αξιοποιήσουμε τις δυαδικές ερωτήσεις στην διαπραγμάτευση της θεωρίας στο χώρο της κοινής αριθμητικής. Τελικά καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και η θεωρία της Πληροφορίας στηρίζεται στις δυαδικές ερωτήσεις. Στη θεωρία Πληροφορίας, η βασική ποσότητα είναι η αβεβαιότητα 17

18 (Πληροφορία ή Εντροπία) που υπάρχει στο σύστημα. Η αβεβαιότητα προέρχεται από το γεγονός ότι σε μια μακροκατάσταση υπάρχουν πολλές μικροκαταστάσεις. Για τον προσδιορισμό της αβεβαιότητας, μελετούμε το πρόβλημα αντιστοιχώντας το σύστημα να έχει W ιδιότητες. Τις ιδιότητες αυτές τις προσομοιάζουμε με W κουτιά, θεωρούμε δηλαδή ότι το σύστημα αποτελείται από W κουτιά, σε ένα δε από αυτά, που επιλέγεται με τυχαίο τρόπο, τοποθετείται ένα αντικείμενο. Στόχος είναι να το βρούμε χρησιμοποιώντας μόνο δυαδικές ερωτήσεις. Για το σκοπό αυτό διαιρούμε το σύστημα σε δύο ίσα μέρη, και θέτουμε το ερώτημα σε ποιο μέρος βρίσκεται το αντικείμενο. Έτσι προχωράμε μέχρι τον εντοπισμό του αντικειμένου. Η διαδικασία αυτή, περαιτέρω επεξεργασμένη, δίνει ότι το πλήθος των δυαδικών ερωτήσεων που πρέπει να γίνουν για να προσδιοριστεί η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα, δίνεται από τη σχέση: με H pln p p τη πιθανότητα κατάληψης της στάθμης. Η ποσότητα αυτή προσδιορίζεται από τις πιθανότητες κατάληψης των ιδιοτήτων του συστήματος. Συνάγεται έτσι ότι η πιθανότητα αποτελεί μέρος της κοινής αριθμητικής και όχι της Λογικής. Η πιθανότητα σε μία κατάσταση δίνεται από τον εμπειρικό τύπο: Με βάση τη σχέση αυτή παίρνουμε ότι: p lm N N N p / p lm( N / N j j N Ο λόγος δηλαδή των πιθανοτήτων ισούται με το λόγο των σχετικών πληθυσμών. Με βάση τη θεωρία της Πληροφορίας μελετάμε ένα το σύστημα κάτω από τους περιορισμούς του. Οι περιορισμοί του προβλήματος μπορεί να είναι η θερμοκρασία του, ή το χημικό του δυναμικό. Με τον τρόπο αυτό παίρνουμε τα αποτελέσματα της Στατιστικής Φυσικής στις διάφορες συλλογές, χρησιμοποιώντας τη θεωρία της Πληροφορίας. Τελικά ο αριθμός των απαιτούμενων δυαδικών ερωτήσεων ορίζεται ως η Πληροφορία που υπάρχει στο σύστημα. Ο νόμος κατάληψης, που είναι βασικός νόμος της Φύσης, και είναι: Η κατάσταση ισορροπίας του συστήματος είναι αυτή, που με τις υπάρχουσες συνθήκες η ολική αβεβαιότητα είναι μέγιστη (Πληροφορία ή Εντροπία). ) 18

19 Νόμοι της Φύσης από την Αρχαιότητα Ο θεμελιώδης νόμος της Φύσης είναι Ο νόμος της ταξινόμησης των ειδών. Επίσης είδαμε το νόμο: Δεν υπάρχει προνομιακό σύστημα αναφοράς. Οι διάφοροι νόμοι της Φύσης εκφράζουν την συμπεριφορά της, και πολλές φορές διατυπώθηκαν με διαφορετικό τρόπο σε διαφορετικές εποχές, εκφράζοντας φαινομενικά διαφορετική συμπεριφορά της Φύσης. Όμως σε αυτές τις περιπτώσεις η αιτία που προκαλεί τη συμπεριφορά του συστήματος είναι η ίδια, και ο νόμος της Φύσης είναι ο ίδιος, διαφορετικά διατυπωμένος. Όλοι π.χ. γνωρίζουν ότι στη μετάδοση, η περιγραφή του συστήματος στο δέκτη, δεν μπορεί να γίνει με μικρότερη αβεβαιότητα απ ότι στον πομπό. Στη προκειμένη περίπτωση, τη πιο διάσημη διατύπωση την έδωσε ο Λουκιανός που την εξέφρασε με εντυπωσιακό τρόπο, ότι δηλαδή: «Ουκ αν λάβεις παρά του μη έχοντος» Μια άλλη περίπτωση είναι ότι οι νόμοι της Φύσης είναι οι ίδιοι σε όλες τις κλίμακες, δηλαδή είναι ανεξάρτητοι της μονάδος που χρησιμοποιείται, και διατυπώνεται με την έκφραση: Οι νόμοι της Φύσης είναι οι ίδιοι σε όλες τις μονάδες που το θεωρούμε δεδομένο. Είναι όμως ο νόμος της ομοιότητας του Θαλή. Τέλος αναφέρω ότι, o Ηράκλειτος αντιμετώπισε την ύλη σε λεπτομέρεια, (αντιστοιχεί στην αντιμετώπιση της Στατιστικής Φυσικής), σε αντίθεση με το Θαλή που την εξέτασε μακροσκοπικά, (αντιστοιχεί στην αντιμετώπιση της Θερμοδυναμικής). Οι θεωρίες αυτές μπορούν να ενοποιηθούν. Μετά δε γίνεται ενοποίηση με τη θεωρία της Πληροφορίας. Περί της Ψηφιακής Μετάδοσης Οι λογικές πύλες είναι η βάση της λειτουργίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Με κάθε μια από τις Λογικές πύλες δημιουργούνται δύο καταστάσεις. Οι δύο δε καταστάσεις δεν χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά με την κατασκευή των ηλεκτρονικών υπολογιστών, η χρήση τους είναι αρχαία. Μια από αυτές τις χρήσεις έγινε στον ψηφιακό οπτικό τηλέγραφο της αρχαιότητας. Η πτώση της Τροίας μεταδόθηκε στις Μυκήνες με τη χρήση του ψηφιακού οπτικού τηλέγραφου. Η μετάδοση έγινε με τη χρήση δύο καταστάσεων, όπως λέμε σήμερα ψηφιακά. Οι δύο αυτές καταστάσεις δημιουργούνται με τη χρήση Φυσικών φαινομένων. Η μία κατάσταση δημιουργείται με τη φωτιά, και η άλλη με τον καπνό. Σε ψυχολογικό επίπεδο, το λαμπερό εκφράζει τη χαρά (και την εξουσία), και το σκοτεινό τη λύπη. Όπως μας λέει και ο Καβάφης: «19

20 - Γιατί οι δύο ύπατοι κ οι πραίτορες εβγήκαν σήμερα με τες κόκκινες, τες κεντημένες τόγες. γιατί βραχιόλια φόρεσαν με τόσους αμεθύστους, και δακτυλίδια με λαμπρά, γυαλιστερά σμαράγδια. γιατί να πιάσουν σήμερα πολύτιμα μπαστούνια μ ασήμια και μαλάματα έκτακτα σκαλισμένα; Γιατί οι βάρβαροι θα φθάσουν σήμερα. και τέτοια πράγματα θαμπόνουν τους βαρβάρους. - Γιατί ν αρχίσει μονομιάς αυτή η ανησυχία κ η σύγχυσις. (Τα πρόσωπα τι σοβαρά που εγίναν). Γιατί αδειάζουν γρήγορα οι δρόμοι κ η πλατέες, κι όλοι γυρνούν στα σπίτια τους πολύ συλλογισμένοι; Γιατί ενύχτωσε κ οι βάρβαροι δεν ήλθαν.». Στην αρχαιότητα, για απλότητα χρησιμοποιούσαν το ψηφιακό τηλέγραφο. Μετά από διάφορες περιπλανήσεις καταλήξαμε στην επιλογή της αρχαιότητας. Οι ταχύτητες εναλλαγής όμως που σήμερα έχουμε είναι διαφορετικές, πολύ μεγαλύτερες. Δηλαδή, οι πολύπλοκες επιλογές δεν είναι πάντα οι καλύτερες. Με τη χρήση πολλών λογικών πυλών δημιουργείται επίσης το δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Νόμος των Μοχλών Ένας αρχαίος νόμος είναι αυτός των μοχλών. Εικάζεται ότι για να κατασκευάσουν τις πυραμίδες, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι τον είχαν εμπειρικά εντοπίσει. Έτσι τα πειραματικά δεδομένα βρέθηκαν από τους αρχαίους Αιγύπτιους, δεν τους ενδιέφερε όμως να βρουν τη θεωρητική του ερμηνεία, με βάση τη Γεωμετρίας. Την ερμηνεία την έδωσε ο Αρχιμήδης. Η διατύπωση που δόθηκε από τον Αρχιμήδη, εκφράζεται με την ιστορική του φράση: Δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω Σύγχρονη διατύπωση του Νόμου της Εντροπίας (Πληροφορίας) Δυο είναι οι βασικές ποσότητες μιας Στοχαστικής μεταβλητής, η μέση της τιμή και η διακύμανση της. Η αβεβαιότητα εκφράζει τη διακύμανση της. Η Φύση έχει την ιδιότητα να αξιοποιεί τις επιτρεπτές καταστάσεις. Το ίδιο βλέπουμε και στους οργανισμούς που ζουν στη Φύση. Η προσπάθεια του ανθρώπου είναι να προσδιορίσει τη κατάσταση ισορροπίας με ένα νόμο. Όταν υπάρχουν οι «ροπές» της κατανομής, οι 20

21 διακυμάνσεις για ένα μακροσκοπικό σύστημα είναι αμελητέες σε σχέση με τη μέση τιμή της κατανομής, και η ισορροπία είναι: H κατάσταση ισορροπίας δίνεται από το μέγιστο της Εντροπίας, κάτω από τις υπάρχουσες συνθήκες Μελετώντας διάφορες περιπτώσεις, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση αυτή είναι η: H pln p την οποία ονομάζουμε Εντροπία ή Πληροφορία του συστήματος. Για να μπορέσουμε να αγνοήσουμε τις διακυμάνσεις, πρέπει το μέγιστο να είναι οξύ, που σημαίνει ότι το εύρος της κατανομής να είναι αμελητέο σε σχέση με τη μέση της τιμή. Νόμος του Συντονισμού Στη γενική περίπτωση με πολλά ανύσματα έχουμε: c a1a2... an 2 2 Στον συντονισμό έχουμε a1 a2... an, οπότε το c είναι ανάλογο του n. Που είναι: Ο νόμος του Συντονισμού Το εύρος της δέσμης είναι ανάλογο του 1/n, έτσι το συνολικό άθροισμα είναι ανάλογο του n, και δεν παράγεται ενέργεια εκ του μηδενός. Στη σύγχρονη φυσική, η ακτινοβολία Laser οφείλεται σε συντονισμό των ατόμων που ακτινοβολούν. Βρήκαμε (βλέπε παρακάτω) επίσης ότι η ενέργεια που διέρχεται μέσα από δύο οπές είναι ανάλογη του αριθμού των οπών, (το ίδιο ισχύει για περισσότερες οπές). Όμως η ολική ενέργεια δεν αλλάζει στο φαινόμενο της συμβολής, όμως με τη συμβολή συγκεντρώνεται αυτή σε μία στενή δέσμη, και η ένταση της είναι ανάλογη του τετραγώνου του αριθμού των οπών. Μακροσκοπικά, το φαινόμενο αυτό εμφανίζεται με τη διέλευση ενός αγήματος από μία γέφυρα. Όταν οι στρατιώτες είναι συντονισμένοι, η δύναμη που προκαλούν στη γέφυρα είναι ανάλογη του τετραγώνου του αριθμού τους, για την οποία η γέφυρα δεν έχει τις προδιαγραφές αντοχής. Όταν όμως δεν υπάρχει συντονισμός, η δύναμη είναι ανάλογη του αριθμού τους, και η γέφυρα έχει τις προδιαγραφές αντοχής. Ανάλογο φαινόμενο το έχουμε στα Laser, όπου ο συντονισμός επιτυγχάνεται με άλλον τρόπο. Οι τυχαίες επιλογές του καθενός καταστρέφουν το συντονισμό. Σε κοινωνικό επίπεδο, είναι η κινητήριος δύναμη για να δημιουργήσουν οι οργανισμοί ομάδες. Έτσι η Εντροπία είναι η κινητήριος δύναμη για την αποδιοργάνωση και οι συντονισμοί για την οργάνωση. Οι δύο αυτές περιπτώσεις αποτελούν ζευγάρι. 21

22 Η Γεωμετρική (κυματική) Άθροιση Στόχος της περίπτωσης αυτής είναι να αντιμετωπίσει τη περίπτωση που υπάρχει και ο όρος της συμβολής και να μην μηδενίζεται κατά μέσον όρο. Μία σχέση που να περιέχει μόνο τετραγωνικούς όρους δεν είναι πάντα εφικτή. Όπως είπαμε παραπάνω, η θέση στο χώρο καθορίζεται από ένα άνυσμα. Είναι επομένως ουσιαστική η άθροιση των ανυσμάτων, και είναι: c a b Το τετράγωνο του μέτρου (εσωτερικό γινόμενο) του συνολικού ανύσματος είναι, c a b 2a b Στο δεύτερο μέρος έχουμε τόσο όρους που εξαρτώνται από το εσωτερικό γινόμενο ενός μόνο ανύσματος, όσο και όρο που αντιπροσωπεύει το γινόμενο των ανυσμάτων, που εξαρτάται και από τις διευθύνσεις τους. Μηδενίζοντας εναλλακτικά το ένα άνυσμα, μπορούμε να πάρουμε τους αριθμητικούς όρους του δευτέρου μέρους. Όμως, από την αριθμητική άθροιση δεν μπορούμε να πάρουμε τη συνολική. Ο μηδενισμός του όρου a b επίσης επιτυγχάνεται όταν τα επιμέρους ανύσματα είναι κάθετα ή ανεξάρτητα. Γενικά, ο όρος a b μπορεί να γίνει αρνητικός, επομένως μπορεί να δώσει και αρνητικούς αριθμούς. Το φαινόμενο της συμβολής το έχουμε όταν υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των ανυσμάτων. Στη περίπτωση που τα μέτρα των ανυσμάτων είναι ίσα, a b, και η μεταξύ τους γωνία, έχουμε: c 2a 2a cos( ) Όταν γωνία είναι τυχούσα, μεταξύ 0 και 2π, το cos έχει μέσο όρο μηδέν, ώστε το συνολικό άθροισμα να διατηρείται κατά μέσο όρο. Δηλαδή, η γωνία προκαλεί τροποποίηση της κατανομής του 2 c, χωρίς όμως να αλλάζει τη μέση του τιμή. Έτσι 2 2 δεν έχουμε παραγωγή ενέργειας εκ του μηδενός. Η μέγιστη τιμή του c είναι 4a, 2 και όχι 2a. Ο συσχετισμός των ανυσμάτων επιτυγχάνεται στο πείραμα της συμβολής, που έγινε για πρώτη φόρα από τον Young το Το φαινόμενο της συμβολής χαρακτηρίζει τα κύματα, υπάρχει όμως και στη κβαντική περίπτωση. Στη περίπτωση της κυματικής (περιλαμβανομένης και της κβαντικής), η κυματοσυνάρτηση αντιστοιχεί στο άνυσμα. Το άθροισμα των κυματοσυναρτήσεων αντιστοιχεί στη ανυσματική άθροιση, δηλαδή τη Γεωμετρική άθροιση τους. Οπότε αθροίζονται οι κυματοσυναρτήσεις και έχουμε: Συμμετρία Σύμφωνα με τα παραπάνω, η αριθμητική ποσότητα ενός ανύσματος είναι το εσωτερικό του γινόμενο. Σε ένα κυματικό φαινόμενο, είναι το τετράγωνο του μέτρου 22

23 της κυματοσυνάρτησης του, 2, που δίνει τη πυκνότητα πιθανότητας (ερμηνεία Max Born), και είναι αριθμητικό μέγεθος. Για περιοδικές οριακές συνθήκες έχουμε τη συνθήκη: ( r 2 ˆ ) ( r) 2 2 Η εξίσωση αυτή έχει δύο λύσεις, τις: ( r 2 ˆ ) ( r), ( r 2 ˆ) ( r) Η πρώτη αντιστοιχεί σε ακέραια στροφορμή και τα Μποζόνια, ενώ η δεύτερη σε ημιακέραια στροφορμή και τα Φερμιόνια. Επίσης, μια από τις βασικές αρχές των στοιχειωδών ταυτόσημων σωματείων είναι η μη διακρισιμότητα τους, θα εξετάσουμε την αρχή αυτή στη περίπτωση δύο σωματίων. Η τελική θέση του συστήματος είναι a b, επομένως είναι η ίδια με την 2 2 b a. Το εσωτερικό γινόμενο της ποσότητας είναι hab (, ) a b 2ab. Η ποσότητα αυτή μένει η ίδια όταν γίνει εναλλαγή στη σειρά των ανυσμάτων, hab) (, hba (, ). Έστω δε μια τυχούσα συνάρτηση f ( r1, r 2), η οποία μπορεί να γραφεί: f ( r1, r2) 1 f( r1, r2) f( r2, r1) 1 f( r1, r2) f( r2, r1) fs( r1, r2) fa( r1, r2) 2 2 Το πρώτο μέρος είναι το συμμετρικό, ενώ το δεύτερο το αντσυμμετρικό. Έτσι μια τυχούσα συνάρτηση μπορεί να χωριστεί στα δύο αυτά κομμάτια. Το συμμετρικό εκφράζει τα Μποζόνια, ενώ το αντισυμμετρικό τα Φερμιόνια. Επίσης για το αντισυμμετρικό ισχύει ότι fa(,) r r 0, δηλαδή η πιθανότητα να έχουμε δύο από αυτά τα σωμάτια στην ίδια θέση είναι μηδέν. Το αποτέλεσμα αυτό εκφράζει την «Απαγορευτική Αρχή Paul». Η Γεωμετρική άθροιση έχει γενικά διαφορετική λογική από αυτή της Αριθμητικής. Η αρχαιότερη άθροιση, με την οποία έχουμε εξοικειωθεί, είναι η αριθμητική. Το συμπέρασμα είναι, Η Αριθμητική άθροιση είναι υποπερίπτωση της Γεωμετρικής Για τους ενδιαφερόμενους να μελετήσουν το θέμα, μπορούν να απευθυνθούν στη σχετική βιβλιογραφία. Για την ιστορία αναφέρεται ότι, τα αρχέγονα κύματα είναι μακροσκοπικά. Το φαινόμενο των μακροσκοπικών κυμάτων είχε παρατηρηθεί από την αρχαιότητα, δεν είχε όμως επισημανθεί η σημασία των κυμάτων σε μικροσκοπικό επίπεδο. Η σύγχρονη φυσική περιγράφει τα κύματα σε μικροσκοπικό επίπεδο. Έτσι: 23