x(t) = rect 1 y(t) = 0, αλλού

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Εκτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /3/6 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /4/6 Οι ασκήσεις µε [ ] (8 το πλήθος, άριστα το 8) είναι υποχρεωτικές. Οι υπόλοιπες είναι bonus, + µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι /8 σε αυτή τη σειρά.) [ ] Ασκηση - Συσχετίσεις Υπολογίστε τις ετεροσυσχετίσεις φ xy (τ), φ yx (τ) των δυο παρακάτω σηµάτων. ( t ) x(t) = rect { t, y(t) = t, αλλού Απ. : φ xy (τ) = () (), τ > και τ < 3 8 τ, τ τ + τ, 3 τ < φ yx (τ) = φ xy ( τ) [ ] Ασκηση - Περιοδική Αυτοσυσχέτιση (αʹ) Υπολογίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης φ xx (τ) του σήµατος (ϐʹ) Τι ϑα άλλαζε στο αποτέλεσµα αν το x(t) ήταν ως x(t) = A sin(πf t) + A cos(πf t + π 4 ) (3) Απ.: φ xx (τ) = A ( 5 4 ) cos(πf τ) x(t) = A sin(πf t) + A cos(f t + π )? (4) 4 Απ.: φ xx (τ) = A cos(πf τ) + A 8 cos(f τ) [ ] Ασκηση 3 - Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειας Εστω η Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειας Φ xx (f) που ϕαίνεται στο Σχήµα. Υπολογίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης φ xx (τ) (αʹ) µε χρήση της ιδιότητας της δυικότητας, και ( j ) n d (ϐʹ) µε χρήση της ιδιότητας t n n X(f) x(t) π df n Απ.: φ xx (τ) = πsinc (πτ)

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων Φ xx (f) -π π - Σχήµα : Σχήµα Άσκησης 3. [ ] Ασκηση 4 - Απεριοδικές Συσχετίσεις και Φασµατικές Πυκνότητες Εστω τα γνωστά σας σήµατα x(t) = e at ɛ(t), a > (5) y(t) = e at ɛ(t), a > (6) (αʹ) Υπολογίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης φ xx (τ) του σήµατος x(t). (ϐʹ) Υπολογίστε τη Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειάς του, Φ xx (f). Απ.: φ xx (τ) = a (e aτ ɛ(τ) + e aτ ɛ( τ)) Απ.: Φ xx (f) = a + 4π f (γʹ) Υπολογίστε τη συνάρτηση ετεροσυσχέτισης φ xy (τ) και τη ιαφασµατική Πυκνότητα Ενέργειας, Φ xy (f). Απ.: φ xy (τ) = ( e aτ ɛ( τ) + e aτ ɛ(τ) ) 3a Φ xy (f) = (a jπf)(a + jπf) Ασκηση 5 - Στασιµότητα και Εργοδικότητα Μια τυχαία διαδικασία X(t) ορίζεται ως X(t) = A cos(πf t) (7) µε το πλάτος A να αποτελεί γκαουσιανή τυχαία µεταβλητή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά σa. Αυτή η τυχαία διαδικασία δίνεται ως είσοδος σε έναν ιδανικό ολοκληρωτή της µορφής t Y (t) = X(u)du (8) (αʹ) Αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εξόδου f Y (t) (y) είναι επίσης γκαουσιανή, και δίνεται από τη σχέση ( f Y (t) (y) = exp (y µ Y ) ) (9) πσy ϐρείτε την πλήρη µορφή της (δηλ. τη µέση τιµή µ Y και τη διασπορά σ Y ). σ Y

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 3 (ϐʹ) Ελέγξτε αν η Y (t) είναι στάσιµη ή όχι. (γʹ) Ελέγξτε αν η Y (t) είναι εργοδική ή όχι. Απ.: E[Y (t)] =, σy (t) = sin (πf t) (πf ) σa Ασκηση 6 - Στατιστική Ετεροσυσχέτιση Θεωρήστε ένα Ϲεύγος στάσιµων τυχαίων διαδικασιών X(t), Y (t). είξτε ότι οι στατιστικές ετεροσυσχετίσεις R XY (τ), R Y X (τ) αυτών των διαδικασιών έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες. (αʹ) R XY (τ) = R Y X ( τ) (ϐʹ) R XY (τ) (R X() + R Y ()) όπου R X (τ) και R Y (τ) είναι οι συναρτήσεις στατιστικής αυτοσυσχέτισης των τυχαίων διαδικασιών X(t), Y (t), αντίστοιχα. Υπόδειξη : (για το ϐ) ερώτηµα) Ξεκινήστε από την ποσότητα E[(X(t + τ) ± Y (t)) ]. [ ] Ασκηση 7 - Φασµατική Πυκνότητα Τυχαίων ιαδικασιών Ενα Ϲεύγος τυχαίων διαδικασιών n (t) και n (t) σχετίζονται ως n (t) = n (t) cos(πf t + θ) n (t) sin(πf t + θ) () όπου f σταθερή, και θ είναι τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Θ η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { f Θ (θ) = π, θ π (), αλλού Η τυχαία διαδιακασία n (t) είναι στάσιµη και η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος της, Φ N (f), δίνεται στο Σχήµα. Βρείτε και σχεδιάστε την αντίστοιχη Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος Φ N (f) της τυχαίας a Φ N (f) διαδικασίας n (t). W f -W Σχήµα : Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος τυχαίας διαδικασίας n (t). Απ.: Φ N (f) = Φ N (f + f ) + Φ N (f f ) [ ] Ασκηση 8 - Λευκός ϑόρυβος (White Noise) Σίγουρα έχετε ακούσει για το διάσηµο (µέχρι και ταινία έχει γίνει! ) Λευκό Θόρυβο. Τον έχετε ακούσει στο ϱαδιόφωνό σας όταν δεν µπορείτε να πιάσετε σταθµό (παράσιτα), και στην (αναλογική)

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 4 τηλεόρασή σας όταν δεν πιάνετε κανένα τηλεοπτικό σήµα ( χιόνια ) - ϐέβαια και στις δυο περιπτώσεις, ο ϑόρυβος δεν είναι απολύτως λευκός αλλά συνδυασµός πολλών ειδών ϑορύβου. Σε αυτήν την άσκηση ϑα δούµε µερικές στατιστικές και ϕασµατικές ιδιότητές του. Ας ξεκινήσουµε από τον όρο λευκή διαδικασία, που χρησιµοποιείται για να δηλώσει µια τυχαία διαδικασία της οποίας η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος είναι σταθερή για όλες τις συχνότητες, δηλ. Φ X(t) (f) = C, f, C R () Ισως εδώ να σκεφτήκατε τον παραλληλισµό µε τον όρο λευκό ϕως, στο οποίο υπάρχουν όλες οι συχνότητες του ορατού ϕωτός, δηλ. όλα τα χρώµατα του ορατού ϕάσµατος... Η σηµασία των λευκών διαδικασιών στην πράξη προέρχεται από το γεγονός ότι ο ϑερµικός ϑόρυβος, δηλ. ο ϑόρυβος που προκαλείται από την τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων µέσα σε έναν ηλεκτρικό αγωγό, και ο οποίος συµβαίνει ανεξαρτήτως της τάσης που εφαρµόζουµε στα άκρα του, µπορεί να µοντελοποιηθεί αρκετά καλά από µια λευκή διαδικασία. Οπως ϕαντάζεστε, η ανάλυση οποιουδήποτε ηλεκτρικού συστήµατος πρέπει να περιλαµβάνει την τυχαία αυτή διαδικασία που µοντελοποιεί τις επιδράσεις του ανεπιθύµητου, αλλά αναπόφευκτου, ϑερµικού ϑορύβου. Αν προσπαθήσουµε, µε ϐάση τη Σχέση (), να ϐρούµε την ισχύ P της λευκής διαδικασίας, ϑα έχουµε + + P = Φ X(t) (f)df = Cdf = (!!) (3) Προφανώς καµιά ϕυσική διαδικασία δεν µπορεί να έχει άπειρη ισχύ, και άρα µια λευκή διαδικασία δεν έχει νόηµα ως ϕυσική διαδικασία. Οµως, η κβαντοµηχανική έχει δείξει ότι ο ϑερµικός ϑόρυβος έχει Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος ίση µε Φ n (f) = ĥf (e ĥf kt ) (4) µε ĥ = J s η σταθερά του Planck, k =.38 3 J/K η σταθερά του Boltzmann, και T η ϑερµοκρασία σε Κέλβιν. (αʹ) Αν σας δίνεται ότι το µέγιστο της Φ n (f) είναι για f =, ϐρείτε την τιµή του µεγίστου. Απ.: Φ n () = kt (ϐʹ) είξτε ότι η Φ n (f) τείνει στο µηδέν, όταν το f +. (γʹ) Άρα µόλις παραπάνω δείξατε ότι η Φ n (f) ΕΝ είναι σταθερή (και άρα λευκή), και µάλιστα η τιµή της ϕθίνει στο µηδέν όταν f +! Πώς τότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι µπορεί να µοντελοποιηθεί ως λευκή διαδικασία ; Το κλειδί εδώ είναι ότι ο ϱυθµός µε τον οποίο ϕθίνει στο µηδέν είναι πολύ πολύ (ΠΟΛΥ όµως!) αργός. Συγκεκριµένα, η Φ n (f) πέφτει στο 9% της µέγιστης τιµής της όταν f Hz, δηλ. περίπου στα THz! Η συχνότητα αυτή είναι αρκετά εκτός των συχνοτικών ορίων των συµβατικών ηλεκτρονικών συσκευών. Άρα µπορεί ϑεωρητικά ο ϑερµικός ϑόρυβος να µην είναι λευκός, όµως σε όλες τις πρακτικές εφαρµογές µπορεί να µοντελοποιηθεί ως τέτοιος µε Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος ίση µε kt. Η ποσότητα kt συνήθως συµβολίζεται στη ϐιβλιογραφία ως N, οπότε η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος του ϑερµικού - στο εξής, λευκού - ϑορύβου γράφεται ως Φ n (f) = N (5) Βρείτε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R n (τ), του λευκού ϑορύβου. Απ.: R n (τ) = N δ(τ)

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 5 (δʹ) Το παραπάνω αποτέλεσµα σηµαίνει ότι αν δειγµατοληπτήσουµε το λευκό ϑόρυβο τις χρονικές στιγµές t, t, µε t t, οι τυχαίες µεταβλητές που ϑα προκύψουν ϑα είναι µεταξύ τους ασυσχέτιστες. (εʹ) Εστω ότι λευκός ϑόρυβος µε Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος Φ n (f) = N περνά από ένα ΓΧΑ σύστηµα µε απόκριση σε συχνότητα H(f). Μπορεί να δειχθεί ότι στην έξοδο, ο ϑόρυβος δε ϑα είναι πια λευκός. Τα χαρακτηριστικά του ϕίλτρου είναι αυτά που καθορίζουν τις ϕασµατικές ιδιότητες της εξόδου του ΓΧΑ συστήµατος. Συγκεκριµένα, µπορεί να δειχθεί ότι η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος της εξόδου, Φ Y (f), σχετί- Ϲεται µε την αντίστοιχη της εισόδου ως Φ Y (f) = Φ X (f) H(f) = N H(f) (6) Αν ϑελήσουµε να ϐρούµε την ισχύ της εξόδου, τότε έχουµε + P Y = Φ Y (f)df = N + H(f) df (7) + Άρα για να ϐρούµε την ισχύ της εξόδου, πρέπει να υπολογίσουµε το H(f) df. Για να το κάνουµε αυτό, ορίζουµε το Ισοδύναµο Εύρος Ζώνης Θορύβου - Noise-Equivalent Bandwidth, B neq, ως + B neq = Hmax H(f) df (8) µε H max τη µέγιστη τιµή του H(f). Το Ισοδύναµο Εύρος Ζώνης Θορύβου ορίζεται ως το εύρος Ϲώνης ενός τετραγωνικού παλµού (στη συχνότητα) ο οποίος περιέχει την ίδια ισχύ ϑορύβου µε αυτήν του πραγµατικού ϕίλτρου H(f). Το Ισοδύναµο Εύρος Ζώνης Θορύβου για ένα τυπικό ϕίλτρο απόκρισης ϕάσµατος H(f) ϕαίνεται στο Σχήµα 3. Αυτό σηµαίνει ότι το εµβαδό κάτω H(f) H max B neq f Σχήµα 3: Ισοδύναµο Εύρος Ζώνης Θορύβου. από το τετραγωνικό παλµό είναι ίδιο µε το εµβαδό του H(f). Με ϐάση αυτόν τον ορισµό ϑα έχουµε P Y = N + H(f) df (9) = N B neqh max () = N B neq H max ()

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 6 Ετσι ο υπολογισµός της ισχύος της εξόδου είναι απλή υπόθεση, γιατί συνήθως το B neq δίδεται από τους κατασκευαστές των ϕίλτρων. (ϛʹ) Υπολογίστε το Ισοδύναµο Εύρος Ζώνης Θορύβου για ένα RC κύκλωµα µε απόκριση σε συχνότητα H(f) = RC RC + jπf () Απ.: B neq = 4RC [ ] Ασκηση 9 - Τυχαίες διαδικασίες Η τυχαία διαδικασία W (t) ορίζεται ως W (t) = X cos(πf t) + Y sin(πf t) (3) όπου X, Y είναι δυο ανεξάρτητες Γκαουσιανές τυχαίες µεταβλητές µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά σ η καθεµιά. (αʹ) Βρείτε τη µέση τιµή της τυχαίας διαδικασίας W (t), µ W (t) = E[W (t)]. (ϐʹ) Βρείτε τη στατιστική αυτοσυσχέτισή της, R W (t) (t + τ, t). Είναι η W (t) στάσιµη ; (γʹ) Βρείτε την ισχύ P W της διαδικασίας. (δʹ) Απαντήστε στα παραπάνω ερωτήµατα στην περίπτωση που σ X σ Y. Απ.: µ W (t) = Απ.: R W (t) (t + τ, t) = σ cos(πf τ) Απ.: P W = σ Απ.: µ W (t) =, R W (t) (t + τ, t) = σ X + σ Y cos(πf τ) + σ X σ Y cos(πf (t + τ)), P x = Ασκηση - Αφαίρεση ηχούς - MATLAB Σε προηγούµενη σειρά ασκήσεων, προσθέσατε µε τη ϐοήθεια του MATLAB ηχώ σε µια ηχογράφηση. Ενα πολύ σηµαντικό - και ακόµα ερευνητικά ενεργό - πρόβληµα στην Επεξεργασία Σήµατος είναι η αφαίρεση της ηχούς - (echo cancellation) από µια ηχογράφηση. Σε αυτήν την άσκηση ϑα προσπαθήσουµε να αφαιρέσουµε την ηχώ µε τη ϐοήθεια της αυτοσυσχέτισης. (αʹ) Σας δίνονται δυο αρχεία της µορφής echo-type_echo.wav, στα οποία ξεκινά η ηχώ από ένα χρονικό σηµείο. Σε καθένα από αυτά η ηχώ καθυστερεί όλο και περισσότερο, κάνοντας το αποτέλεσµα πολύ ενοχλητικό. Φορτώστε τα στο MATLAB και ακούστε τα - διαδοχικά, εκτελώντας τις εντολές ανά Ϲεύγος - µε τις εντολές [s,fs] = wavread( medium_echo.wav ); soundsc(s,fs); [s,fs] = wavread( heavy_echo.wav ); soundsc(s,fs);

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 7 (ϐʹ) Στη συζήτηση που ακολουθεί ϑα αναφερόµαστε σε ένα αρχείο εξ αυτών, για λόγους απλότητας. Εσείς πρέπει να επαναλάβετε τη διαδικασία που ϑα ακολουθήσουµε για όλα. (γʹ) Γνωρίζετε από άσκηση προηγούµενης σειράς ασκήσεων ότι το σύστηµα που µοντελοποιεί την ηχώ δίνεται ως h(t) = δ(t) + aδ(t t d ) (4) του οποίου η κρουστική απόκριση H(f) είναι H(f) = + ae jπft d (5) Εµείς ϑέλουµε ένα σύστηµα που να ακυρώνει το παραπάνω σύστηµα, δηλ. ένα λεγόµενο αντίστροφο σύστηµα h inv (t), το οποίο αν το συνδέσουµε σε σειρά µε το παραπάνω σύστηµα h(t) (ή αλλιώς, αν πάρουµε την έξοδο του h(t) και την ϐάλουµε είσοδο στο h inv (t)), ϑα ακυρώνει την επίδραση του h(t) σε µια οποιαδήποτε είσοδο x(t). Αυτή η διαδικασία περιγράφεται µε όρους συστηµάτων ως εξής y final (t) = x(t) h(t) h inv (t) = x(t) (6) Από αυτήν την σχέση εύκολα ϐλέπουµε ότι για να ισχύει, ϑα πρέπει h(t) h inv (t) = δ(t) (7) Το αντίστροφο σύστηµα µπορεί εύκολα να ϐρεθεί στο χώρο της συχνότητας. Εχουµε και άρα Οµως ξέρουµε ότι και άρα h(t) h inv (t) = δ(t) H(f)H inv (f) = (8) H inv (f) = H(f) = + ae jπft d H(f) = Y (f) X(f) Y (f) X(f) = + ae jπft Y (f) + ay (f)e jπft d = X(f) (3) d και εύκολα ϐρίσκουµε, µε χρήση ιδιοτήτων µετασχ. Fourier, ότι (9) (3) y(t) + ay(t t d ) = x(t) (3) Αυτό είναι λοιπόν το σύστηµα που αν πάρει ως είσοδο x(t) ένα σήµα µε ηχώ που ξεκινά τη χρονική στιγµή t d, ϑα αναλάβει να την ακυρώσει, και να µας επιστρέψει ως έξοδο y(t) ένα σήµα καθαρό από ηχώ! (δʹ) Οµως για να µπορέσουµε να το υλοποιήσουµε, χρειαζόµαστε να ξέρουµε πότε ξεκινά η ηχώ στο σήµα µας, δηλ. τη χρονική στιγµή t d. Παρατηρώντας το σήµα στο χρόνο, είναι αδύνατο να ϐρού- µε πότε ξεκινά η ηχώ. Οµως, γνωρίζουµε από τη ϑεωρία ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι µια συνάρτηση που συγκρίνει ένα σήµα µε τον εαυτό του και µας ϐοηθά να ϐρούµε οµοιότητες. Επίσης γνωρίζουµε ότι η αυτοσυσχέτιση λειτουργεί συγκρίνοντας µετατοπισµένες εκδόσεις ενός σήµατος µε τον εαυτό του, και δίνει µεγάλες τιµές όταν υπάρχουν µεγάλες οµοιότητες. Θα µπορούσε κανείς λοιπόν να σκεφτεί ότι η ηχώ, ως καθυστερηµένο και µικρότερου πλάτους αντίγραφο του σήµατος, σίγουρα ϑα έχει οµοιότητες µε το τµήµα του σήµατος που δεν έχει ηχώ (αυτό το µικρό κοµµάτι στην αρχή της ηχογράφησης που ακούτε ότι είναι καθαρό - δηλ. δεν του έχει προστεθεί ηχώ γιατί ακόµα δεν έχει ϕτάσει στο µικρόφωνο). Οπότε αν εκτελέσουµε την πράξη της αυτοσυσχέτισης, σίγουρα ϑα ϐρούµε µια υψηλή τιµή της όταν το κοµµάτι του σήµατος πριν αρχίσει η ηχώ συµπέσει µε το κοµµάτι του σήµατος που αρχίζει η ηχώ. Πότε συµβαίνει αυτό όµως ; Μα ϕυσικά τη χρονική στιγµή t d!

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 8 (εʹ) Η συνάρτηση xcorr του MATLAB υπολογίζει την αυτοσυσχέτιση δυο (διακριτών) σηµάτων, και επιστρέφει τις τιµές της αυτοσυσχέτισης για τις διάφορες µετατοπίσεις τ. Γράψτε doc xcorr για να δείτε το documentation, και χρησιµοποιήστε τη για να ϐρείτε το αποτέλεσµα της αυτοσυσχέτισης. (ϛʹ) Στη γραφική παράσταση που σας εµφανίζεται, αναζητήστε κάποιο ισχυρό peak, που να ξεχωρίζει από τα άλλα, για κάποια ϑετική χρονική στιγµή. Χρησιµοποιήστε τον Data Cursor για να ϐρείτε τη χρονική στιγµή αυτού του ισχυρού peak. Θα χρειαστεί να κάνετε µεγέθυνση κοντά στην αρχή των αξόνων. Να η χρονική στιγµή t d της ηχούς! (Ϲʹ) Η συχνότητα δειγµατοληψίας του σήµατος είναι f s = 6 Hz. Αυτό σηµαίνει ότι σε ένα δευτερόλεπτο ήχου, έχουν καταγραφεί στον υπολογιστή 6 δείγµατα-τιµές του αναλογικού σήµατος που ακούτε. Σε ποιό δείγµα n d αντιστοιχεί η χρονική στιγµή t d που ϐρήκατε ; (ηʹ) Το σύστηµα y(t) + ay(t t d ) = x(t) (33) είναι ένα αναδροµικό σύστηµα. Για να το υλοποιήσετε στο MATLAB, το µετατρέπουµε σε διακριτό σύστηµα ως y(n) + ay(n n d ) = x(n) y(n) = x(n) ay(n n d ) (34) όπου n είναι ακέραιοι αριθµοί, x(n) είναι ο πίνακας - διάνυσµα της ηχογράφησης που έχετε (µε ηχώ), y(n) ένας πίνακας - διάνυσµα που ϑα παράξετε και ϑα περιέχει το καθαρό σήµα, και n d η χρονική στιγµή σε δείγµατα που ϐρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα. (ϑʹ) Χρησιµοποιήστε ένα ϐρόχο επανάληψης για να υλοποιήσετε το παραπάνω σύστηµα. Θεωρήστε ότι y(n) =, n < n d και ότι το πλάτος της ηχούς, a, είναι a =.5. Θυµηθείτε ότι η αρίθµηση των πινάκων στο MATLAB ξεκινά από το (ένα). Ενδεικτικός ψευδοκώδικας παρατίθεται παρακάτω : N = length(shma_me_hxw); nd = % INSERT CODE HERE a =.5; y = zeros(, N); for n = nd+:n %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % INSERT CODE HERE % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% end (ιʹ) Υλοποιήστε τη διαδικασία και για τα δυο σήµατα που σας δίνονται. Ακούστε το αποτέλεσµα και σχολιάστε. Παραδώστε κώδικα MATLAB που να καθαρίζει την ηχώ και από τα δυο σήµατα. [ ] Ασκηση - Εύρεση ϑεµελιώδους συχνότητας στην ανθρώπινη ϕωνή - MATLAB Ενα πολύ σηµαντικό - και ερευνητικά ενεργό - πρόβληµα στην επεξεργασία σήµατος ϕωνής είναι η ακριβής εκτίµηση της ϑεµελιώδους συχνότητας f της ανθρώπινης ϕωνής. Μια απλή τέτοια µέθοδος εκτίµησης είναι η µέθοδος της αυτοσυσχέτισης, που δίνεται ως γνωστόν ως φ xx (τ) = + x(t)x(t + τ)dt

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 9 Ας πούµε όµως µερικές ενδιαφέρουσες λεπτοµέρειες πριν περάσουµε στην άσκηση. Η ανθρώπινη ϕωνή - και συγκεκριµένα, ο έµφωνος λόγος - µπορεί να παρασταθεί ως ένα σύστηµα, που στην είσοδό του υπάρχει ενέργεια (προερχόµενη από τους πνεύµονες) σε µορφή µιας περιοδικής σειράς από παλµούς, x(t), η οποία καθορίζεται από τις ϕωνητικές χορδές µας, όπως στο Σχήµα 4. Η είσοδος αυτή περνά σε ένα σύστηµα h(t), το οποίο περιγράφει τη ϕωνητική µας οδό, x(t) y(t) T t h(t) Σχήµα 4: Μοντέλο παραγωγής ϕωνής. t δηλ. τη ϑέση του στόµατος, της γλώσσας, και των δοντιών, ανάλογα µε το ϕώνηµα που ϑέλουµε να εκφέρουµε. Η έξοδος αυτού του συστήµατος y(t), είναι το σήµα ϕωνής που παράγεται, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 4. Η απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών παλµών της εισόδου x(t) ονοµάζεται περίοδος T του σήµατος εισόδου. Ο λόγος f = T ονοµάζεται ϑεµελιώδης συχνότητα της ϕωνής µας, και αντιπροσωπεύει το ϱυθµό µε τον οποίο ανοιγοκλείνουν οι ϕωνητικές µας χορδές.. Βλέπετε ότι η περιοδικότητα των ϕωνητικών χορδών διατηρείται και στο τελικό σήµα ϕωνής. Παρ ολο που καταλαβαίνετε ότι τα σήµατα δεν είναι αυστηρώς περιοδικά, µπορούµε να τα ϑεωρήσουµε ως τέτοια, ϑεωρώντας ότι συνεχίζονται επ άπειρο, αλλά εµείς έχουµε κόψει ένα τµήµα τους (όπως κάνατε στην Άσκηση της 4ης σειράς ασκήσεων) µε χρήση ενός τετραγωνικού παλµού. Επιστρέφοντας στην άσκηση, η εκτίµηση της απόστασης T, δηλ. της περιόδου, και κατά συνέπεια της ϑεµελιώδους συχνότητας f, µπορεί να γίνει µε πολλούς τρόπος και σε πολλούς χώρους (χρόνο, συχνότητα, άλλους). Εµείς ϑα χρησιµοποιήσουµε τη γνωστή µας αυτοσυσχέτιση ώστε να ϐρούµε οµοιότητες του σήµατος της ϕωνής µε τον εαυτό του. Οι χρονικές ϑέσεις οµοιότητας ϑα συµβαίνουν σε πολλαπλάσια της T, αφού ένα τµήµα περιοδικού σήµατος παρουσιάζει οµοιότητες σε πολλαπλάσια της περιόδου του. Άρα η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης περιµένουµε να παρουσιάζει τοπικά µέγιστες τιµές (δηλ. οµοιότητα) σε αυτές τις χρονικές στιγµές. Ας δούµε πως ϑα υπολογίσουµε αυτήν την τιµή της ϑεµελιώδους συχνότητας. (αʹ) Ηχογραφήστε ένα σήµα της ϕωνής σας όταν εκφέρετε ένα σταθερό ϕώνηµα /α/ για περίπου τρια (3) δευτερόλεπτα. Εναλλακτικά, χρησιµοποιήστε την ηχογράφησή σας από προηγούµενη σειρά ασκήσεων. (ϐʹ) Φορτώστε το σήµα στο MATLAB µε την εντολή [s,fs] = wavread( myvoice.wav );. (γʹ) Κόψτε ένα τυχαίο τµήµα από τη ϕωνή σας, διάρκειας 4 ms. Αυτό µπορεί να γίνει ως % As paroume ena tmhma apo th mesh % tou shmatos middle = round(length(s)/); % Diarkeias 4 ms T = round(4*ˆ(-3)*fs); % To apo8hkeuoume sto dianysma tmhma tmhma = s(middle:middle + T); όπου εδώ κόψαµε ένα τµήµα που ξεκινούσε από τη µέση του σήµατος. (δʹ) Κάντε τη γραφική παράσταση αυτού του τµήµατος µε χρήση της συνάρτησης plot, ορίζοντας κατάλληλα τον άξονα του χρόνου. Αν το κάνετε σωστά, ϑα πρέπει να δείτε κάτι σαν το Σχήµα 5.

10 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων Σχήµα 5: Σήµα (ανδρικής) ϕωνής για το ϕώνηµα /α/. Οι γυναίκες ϑα έχουν περισσότερες περιόδους µέσα σε αυτά τα 4 ms απ αυτές που ϕαίνονται στο Σχήµα 5. Οι άνδρες ϑα έχουν περίπου τρεις µε τέσσερις, όπως δείχνει και το σχήµα.. Είναι ϕυσιολογικό, µην ανησυχείτε. :-) Τυπώστε και παραδώστε ένα τµήµα του δικού σας σήµατος ϕωνής. (εʹ) Μετρήστε µε τον Data Cursor την απόσταση µεταξύ δυο περιόδων του σήµατός σας. Για το σήµα του παραδείγµατος, έχουµε τις τιµές του Σχήµατος X:.875 Y:.4778 X:.794 Y: Σχήµα 6: Υπολογισµός περιόδου. Βλέπετε ότι η απόσταση είναι T =.9 s. Άρα η ϑεµελιώδης συχνότητα f είναι f = /T = 8 Hz. Ποιά η ϑεµελιώδης συχνότητα στο δικό σας τµήµα ϕωνής ; (ϛʹ) Ας δούµε πως µπορούµε να αυτοµατοποιήσουµε τη διαδικασία εύρεσης της ϑεµελιώδους συχνότητας. Υπολογίστε την αυτοσυσχέτιση φ xx (τ) µε χρήση της συνάρτησης του MATLAB xcorr ως

11 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων % Autosysxetish Dt = /fs; r = Dt*xcorr(tmhma); % A3onas xronou t_r = % INSERT CODE HERE % Grafikh parastash plot(t_r, r); Αν το κάνετε σωστά, ϑα πρέπει να ϐρείτε κάτι σαν το Σχήµα 7. Τυπώστε και παραδώστε την -4 8 X:.988 Y: Σχήµα 7: Αυτοσυσχέτιση σήµατος (ανδρικής) ϕωνής. αυτοσυσχέτιση του δικού σας σήµατος ϕωνής. (Ϲʹ) Παρατηρήστε στο Σχήµα 7 ότι το πρώτο µέγιστο (πλην της τιµής φ xx (), όπου ξέρετε ότι αντιπροσωπεύει την ενέργεια του σήµατος) ϐρίσκεται τη ϑετική χρονική στιγµή τ =.988 s. Αυτή η χρονική στιγµή είναι µια στιγµή µεγάλης οµοιότητας του σήµατος µε τον εαυτό του, άρα σίγουρα ϑα συµβαίνει όταν το x(t + τ) της αυτοσυσχέτισης έχει µετατοπιστεί κατά διάστηµα τ διάρκειας µιας περιόδου. Αντίστοιχα, το δεύτερο µέγιστο ϐρίσκεται τη χρονική στιγµή τ =.837 s, όπου αντιστοιχεί σε µετατόπιση του x(t + τ) κατά διάστηµα τ δυο περιόδων, κ.ο.κ. (ηʹ) Η ϑεµελιώδης συχνότητα f µε χρήση της τιµής του πρώτου µεγίστου είναι f = /.988 = 8 Hz, που συµφωνεί µε τη µέτρησή µας στην αρχική κυµατοµορφή. (ϑʹ) Οµως η µέθοδος της αυτοσυσχέτισης, όπως τη δείξαµε, ϐασίζεται ξανά σε χειροκίνητη εύρεση του πρώτου µεγίστου, µέσω του Data Cursor. Επίσης, παρατηρήστε ότι υπάρχουν κι άλλες σηµαντικές κορυφές (peaks) πριν το πρώτο µέγιστο που επιλέξαµε. Πώς ϑα επιλέξουµε αυτόµατα το σωστό peak; Γράψτε κώδικα MATLAB που χρησιµοποιεί τη συνάρτηση max του MATLAB και ϐρίσκει το σωστό peak της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, αν γνωρίζετε ότι τα όρια ϑεµελιωδών συχνοτήτων στους ενήλικες είναι στο διάστηµα [7, 6] Hz. Υπόδειγµα κώδικα δίνεται παρακάτω : % Oria syxnothtwn Fr_limits = [7, 6];

12 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων % Metatroph se seconds Time_limits = fliplr(./fr_limits); % Dinei [.4.43] % Metatroph seconds se deigmata % Se sec antistoixoun fs deigmata % Se.43 h.4 sec, posa deigmata? Sample_limits = % INSERT CODE HERE % Mono to 8etiko miso ths % autosysxetishs mas endiaferei middle = round(length(r)/); % Koboume to diasthma pou brhkame tr_new = tr(middle + [Sample_limits():Sample_limits(end)]); r_new = r(middle + [Sample_limits():Sample_limits(end)]); % As to doume plot(tr_new, r_new); % Xrhsh ths max gia na broume to megisto kai th 8esh tou % sto do8en diasthma-tmhma ths r_new % Grapste doc max gia na deite pws na th xeiristeite %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % INSERT CODE HERE % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Αν το κάνετε σωστά, ϑα πρέπει να ϐρείτε ένα τµήµα όπως στο Σχήµα 8, και αν γράψετε σωστά τον κώδικα που λείπει, ϑα πρέπει να έχετε σε µια µεταβλητή τη σωστή χρονική στιγµή X:.988 Y: Σχήµα 8: Τµήµα αυτοσυσχέτισης που ανταποκρίνεται στα όρια συχνοτήτων. (ιʹ) Τα όρια που δόθηκαν παραπάνω αφορούν τους ενήλικες. Μια πιο ακριβής τµηµατοποίηση του εύρους της ϑεµελιώδους συχνότητας f είναι [7 5] Hz για τους άνδρες.

13 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/ Εκτη Σειρά Ασκήσεων 3 [5 5] Hz για τις γυναίκες. Η συχνότητα που ϐρήκατε εσείς ανταποκρίνεται στο σωστό διάστηµα του ϕύλου σας ; Παραδώστε κώδικα MATLAB που να υπολογίζει αυτόµατα τη ϑεµελιώδη συχνότητα f του δικού σας σήµατος ϕωνής, µαζί µε όσα σχετικά plots Ϲητούνται στα υποερωτήµατα παραπάνω. Γράψτε όποιες απαντήσεις Ϲητούνται σε σχόλια µέσα στον MATLAB κώδικα.