ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Transcript

1 Β'ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΑ ΥΣΗ

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.1 και 1.2 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Η συνάρτηση/ορίζεται, όταν χ 2-3χ+2*0 Το τριώνυμο χ 2-3χ+2 έχει ρίζες: χ = 1 ή χ = 2. Επομένο^ς το πεδίο ορισμού της/είναι το σύνολο A = R-{1,2}. ii) Η συνάρτηση / ορίζεται, όταν x-l 0 και 2-χδ0, δηλαδή όταν χ>1 και χ<2. Επομένως το πεδίο ορισμού της/είναι το σύνολο Α =[1,2]. iii) Η συνάρτηση/ορίζεται, όταν 1-χ 2 >0 και χ*0. Η ανίσωση 1-χ 2 >0 αληθεύει, όταν χ 2 <1, δηλαδή όταν -Ι^χ^Ι. Επομένως το πεδίο ορισμού της / είναι το σύνολο A = [-1,0) u (0,1]. ίν) Η συνάρτηση/ ορίζεται, όταν l-e x >0»e* <1<=>χ<0. Άρα το πεδίο ορισμού της/είναι το σύνολο Α = (-οο,ο). 2. ί)η γραφική παράσταση της συνάρτησης / βρίσκεται πάνω από τον άξονα των χ για εκείνα τα χ e IR για τα οποία ισχύει /(x)>0<=>x 2-4χ+3>0 ο χ e (-σο, 1) ή χ e (3,+αο) ϋ)ομοίως έχουμε: 1 + χ - > 0 ο (1 + χ)(1 - χ) > 0 <=> -1 < χ < 1. 1-χ iii)ομοίως είναι e* -1>0 <=>e* > 1»e* >e» χ > i) Η γραφική παράσταση της / βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g για εκείινα τα xe IR για τα οποία ισχύει

3 1,1 και L2 f(x) >g(x) <=> χ 3 + 2χ + 1 > * + 1 <=> χ 3 + χ > 0<=> χ(χ 7 +1) > Ο <ξ> Χ > Ο. ii) Ομοίως: /(χ) > g(x) <=>χ 3 +χ-2>χ 2 +χ-2<=>χ 3 -χ 2 >0<=>χ 2 (χ-1)>0<=>χ>1. 4. α),4(45) = 2, ,64 = 200,69 cm β) Γ(45) = 2, ,48 = 195,23cm. 5. Το τετράγωνο έχει περίμετρο χ, οπότε η πλευρά του είναι και το 4 χ 1 εμβαδό του. 16 Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίμετρο 20-χ, οπότε η πλευρά του είναι 20 ~ χ και το εμβαδο α * του Ρ 3 Λ/3 (20-: 41, 3. χΐ /j Επομένως Ε = Ετετρ + Ετριγ = + (20-*) 2 με χ e (0,20) ί) Είναι y ι, *, (0, χ<0 /(*) = + 1 = ^ χ [2, *>0 2> y=2, χ>0 Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. y = 0, χ<0 Ο χ Το σύνολο των τιμών της / είναι το f(a) = {0,2} ii) Είναι y ' /,-x, *<0 /(*) = * Ι*Η 2 _ η χ, χ>0 Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τιμών της f είναι το /04) = R I II Ο\. Ν Ο /γ=χ ί, *>Ο χ 116

4 1,1 κο,ί 1.2 iii)h γραφική παράσταση της / δίνεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τιμών της/είναι το /(Α) = [2,+οο) y y=-x+3, *<l\ /y=jc+1, JC>1 2 Ι I Ο 1 χ ΐν)Είναι /(*) = lnx, In χ. 0<χ<1 1 < x Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο διπλανό σχήμα Το σύνολο των τιμών της/είναι το /(/4) = [Ο,+ οο). ~~q In*, 0<jt<l y= lnx, \<χ 7. ί)η συνάρτηση/έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A =IR, ενώ η g το Β = [Ο, + οο). Είναι Αφ Β και επομένως οι συναρτήσεις/ και g δεν είναι ίσες. Για κάθε χ>0 έχουμε /(χ) = y[7 = χ = (Vx) 2 = g(x). Άρα οι συναρτήσεις /, g είναι ίσες στο διάστημα [0,+ 00). ii) Οι συναρτήσεις /, g έχουν πεδίο ορισμού το R*. Για κάθε xer* έχουμε: r t, *. Μ 2-1, ( l x j - i ) ( l x + D 1 * 1-1,. g * χ 2 + χ χ ( χ + 1) χ Επομένως / = g. iii) Η συνάρτηση/έχει πεδίο ορισμού το Α = [0,1)^(1, + οο). Για κάθε xea, έχουμε /ν_λ_ χ - ] (x-l)(vx+l) (χ-1)(λ/χ +1) Γ, JW- j= = 7= τ= = ; = VX + 1. χ _ 1 Jx-l (λ/χ- 1)(Vx+1) 117

5 118 i i l i i i l i Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το 5 = [0,+οο). Επομένως οι συναρτήσεις/ και g έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, οπότε δεν είναι ίσες. Είναι όμως f(x) = g(x) για κάθε xe[0,l)u(l,+oo). Αρα οι /, g είναι ίσες στο [0,1)u (1,+ 0 ). 8. Η συνάρτηση/ορίζεται στο Λ = Κ", ενώ η g στο 5 = R-{1}. Επομένως, για κάθε xer-{0,l} έχουμε: if+g)w /1. \t \ = /(*)+g(x) f,\. / \ = *+ι + * ι-* 2 +χ 2 ι χ 1-x x(l x) x(l-x) (f-g)(x)=f(x)-g(x) = χ+1 (f-g)(x) = f(x)g(x) = χ 1 + χ χ 1-χ 1-χ χ + 1 'Λ*)=- /(χ >- * UJ g(*) _j*l ** 1-χ Χ + 1 χ _1-χ 2 -χ 2 _ ί-2χ 1 Χ 1-χ χ(1 - χ) x(l-x) ι ~ χ1 αφού για κάθε xer-{0,l} είναι g(x)*0. 9. Οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Λ = (0, + οο), οπότε για κάθε χ & Α έχουμε: if + g) (χ) = /(χ) +g{x) = 2-Jx if - g)(*) = fix) ~ gix) = -j= Vx if g)ix) = fix)gix) = χ - = x 1, X X ενώ, για κάθε x e Α μβ gix) φ 0, δηλαδή με x^l ισχύει:, X Λ/Χ+-)= ^ _Χ + 1 gj gix) ^ L χ i) Η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D f ~ R, ενώ η g το Vx

6 D g =[0,+oo). Για να ορίζεται η παράσταση g(f(x)) πρέπει (χ e D f και /(χ) e D g ) <=> (χ e IR και χ 2 > 0) ο χ e IR. Επομένως, η go f ορίζεται για κάθε xe IR και έχει τύπο: (g» /)(*) = g(/(*)) = gix 1 ) = Vx 7 =\x\- ii) Η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D f = IR, ενώ η g το D t =[-1,1]. Για να ορίζεται η παράσταση g(/(x)) πρέπει: (xed f και /(x) e D g ) ο (xe IR και /(x)e[-l,l]) <=>ημχε[-1.1]»χεκ. Επομένως, η g f ορίζεται για κάθε xer και έχει τύπο (g /)00 = (/00) = (ημχ) = χ/ϊ^ημ^χ = Vow 2 * = I συνχ iii) Ομοίως η / έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R και η g το π = R-{x x = /or +, κεζ}. Τ Για να ορίζεται η παράσταση g(/(x)) πρέπει: (xed f και /(x)ez) g )<=>(χer και -j*mr+y, (cez)oxel Επομένως, η g f ορίζεται για κάθε xe R και έχει τύπο (g /)00 = #(/00) = gf πλ π - =εφ = 1. 4 J Η /έχει πεδίο ορισμού το D f = R και η g το D g = [2,+οο). Για να ορίζεται η παράσταση g(/(x)) πρέπει: (xedy και (x 2 +1) e D g ) <=> (xe R και x 2 +l>2) <=>x 2-1>0 <=>χ>1 ή χ<-1 <=> xe (-00, l]u[ι, + οο) = A t. Επομένως, η go f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α,, και τύπο: 119

7 1 Μ κα* 1.2 ig /)(*) = gifix)) = g(x 2 +1) = V* 1-1 Για να ορίζεται η παράσταση /(g(x)) πρέπει (xed g και g(x)ed f )» (χ 2 και Vx-2 eir) ο xe[2,+oo) = β,. Επομένως, η / g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 5, και τύπο if gm = /<*<*)) = / * -2) = ( V^) 2 + l = x-2 + l = x -l. 12. i) Η συνάρτηση /(χ) = ημ(χ 2 +1) είναι σύνθεση της A(jc) = χ 2 +1 με τη (*) = ημχ ίϊ) Η συνάρτηση /(χ) = 2ημ 2 3χ+1 είναι σύνθεση των συναρτήσεων Λ(χ) = 3χ, gix) = ημχ και φ{χ) = 2χ 2 +1, iii) Η συνάρτηση /(χ) = ln(e 2 * -Ί) είναι σύνθεση των συναρτήσεων Λ(χ) = 2χ, gix) = e x -l και ^>(χ) = 1ιιχ. iv) Η συνάρτηση /(χ) = ημ 2 3χ είναι σύνθεση των συναρτήσεων hix) = 3x, gix) = ημχ και < (χ)=χ και 1.2 Β' ΟΜΑΑΑΣ 1. i) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία /4(1,0) και 5(0,1) έχει συντελεστή κατεύθυνσης λ = - ^=-1, οπότε η εξίσωσή της είναι: y-0 = ( l)(x 1) <=> y~ -χ+1. Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Γ(2,0) και /J(l, 1) έχει συντελεστή κατεύθυνσης λ = = -i- = -1, οπότε η εξίσωσή της είναι:,ν-0 = (-1)(χ-2)«>' = -χ+2. Επομένως το σχήμα μας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Γ-χ + 1, 0 < x < 1 fix) = [-χ + 2, 1 < x < 2 ii)h ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 0(0,0) και Ai 1,2) έχει λ = 2 και εξίσωση y = 2x. 120

8 : r 1.,1 Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ^4(1,2) και Β(2,0) έχει -2 ' λ = = -2 και εξίσωση y-0 = -2(χ-2) <=>>> =-2x + 4. Επομένως το σχήμα μας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης /(*) = 2χ, 0 < jc < 1-2Χ + 4, LEX <2 iii) Ομοίως έχουμε /(*) = 1, χ e [0,1)^(2,3) 0, χ e [L,2)u[3,4) 2. Το εμβαδόν των δύο βάσεων είναι 2ηχ', ενώ το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 2nxh, όπου h το ύψος του κυλίνδρου. Έχου- εμβαδόν της παράπλευ με ν = wx'h = 628, οπότε Α = 7 = Τ πχ, χ και το *,, ρης επιφάνειας γίνεται: 2πχ =. Επομένως, το κόστος Κ(χ) είναι: Κ (χ) = 2πχ π 1,25 = 8jdc + 500π με χ> 0. Το εμβαδόν των βάσεων του κουτιού είναι π = 50π, ενώ το κόστος τους είναι 50 ττ 4 = 200π (δραχμ.) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 2^ 5 8 = 80π, ενώ το κόστος της είναι 80π 1.25 = 1007Γ. Επομένως το συνολικό κόστος είναι 300τγ ξ 942 λεπτά =9,42 ευρώ. 3. Αν 0<χ<1, τότε: Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ABE είναι όμοια, οπότε χ (ΜΝ) χ (ΜΝ) <=> = - (ΑΒ) (BE) 1 2 <=> (ΜΝ) = 2.r Α "-γ^μβ Επομένως, το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου, δίνεται από τον τύπο 121

9 122 1,1 και 1,2 Ε(χ) = χ (ΜΝ) = χ 2χ = χ 2, 2 2 με 0<χ<1. Αν Ι2χ<3, τότε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου είναι ίσο με Ε Ν Ε(χ) = (χ 1)2 = l + 2x-2 = 2x-l, με 1 < χ < 3. Αρα β Ά/ Ε(χ)-- χ, 0 < χ S1 2χ-ί, let <3 4. Από τα όμοια τρίγωνα ΛΒΓ και ΑΝΜ, έχουμε: Επομένως, ΒΓ ΑΔ 10 5 ΤΤ7 = 77^777 = < ΜΝ ΑΕ ΜΝ 5-χ ^2(5-χ)=ΜΝ. Ε = Ε(χ) = ΜΝ ΚΝ = 2(5- χ)χ=-2χ *, 0<χ<5 και Ρ = Ρ(χ)=2ΜΝ + 2ΚΝ = 2 2(5-χ) + 2 χ = 20-2χ, 0<χ<5. 5. i) Αν λγ<-1, τότε /(*) ft, = -x-1-x+l = χ Αν -1< χ<1, τότε / ω = ±1^1ί = Ι Αν 1 5χ, τότε,,. x+1 + x-l /(*) = = *. Αρα /(*) = -χ, χ<-1 1» -15 χ <1. χ, χ>\

10 ΙΛ και 1.2 Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο διπλανό σχήμα. Από τη γραφική παράσταση τ1 ΐς / φαίνεται ότι το σύνολο τιμών της / είναι το σύνολο [1,+ 00) y -1<jc<1 y=χ, χ>\ ii) Έχουμε /(*) = ημ*, xe[0,jr] Ο, χ ε (π,2π] Η γραφική παράσταση της / δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το σύνολο τιμών της / είναι το [0,1], ι Ο >»=ημχ, 0<χ<π y=ο, π<χ<2π 2π χ 6. ί) Έχουμε: f(g(x)) = x 2 +2χ+2, δηλαδή f(x+l) = x 2 +2x+2. Αν θέσουμε ω = * + 1 ή, ισοδύναμα, χ = ω-1, τότε /(ω) = (ω-1) 2 +2(ω-1) + 2 = ω 2-2ω ω = ω Επομένως f(x) = x ii) /( (*)) = Vl + * 2, δηλαδή f(-x 2 ) = -\ll + x 2. Θέτουμε ω = ~χ 2, οπότε /(ω) = -Jl-co, ω<0. Επομένως f(x) = -Jl-x, *<0 iii) g(/(x))= ouvx o φ -f 2 (x) = σ«νχ <=>\-f 2 {x) = m>v 2 x ^/ 2 (*) = 1-συν 2 χ <=> / 2 (^)=ημ 2 * <=> I /(*) I=I ημ* Μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. η συνάρτηση /(jc) = ηιιν-1, ή η συνάρτηση f(x) = ημχ ή η συνάρτηση /(χ) = -ημχ κ.τ.λ. 123

11 1.1 και Οι συναρτήσεις/ και g ορίζονται στο Κ. Για να ορίζεται η παράσταση f(g(x)) πρέπει: (χ e IR και g(x) e IR) <=> χ e IR. Επομένως ορίζεται η (f g)(x) και είναι (/ g)(*) = /( (*)) =/(α*+ 2) = ax l = ax + 3. Για να ορίζεται η παράσταση g(/(x)) πρέπει: (xer και f(x) e IR) <=> χ e R. Επομένως ορίζεται η (g f)(x) και είναι (g ο /)(*) = g(f( x )) = g(x + l) = a(x + l) + 2 = ax + (a + 2). Θέλουμε να είναι / g = g /, που ισχύει μόνο όταν (αχ+3 = αχ + α + 2, για κάθε xer)ofl + 2 =3t>a=l. 8. Η συνάρτηση/ορίζεται στο D f =R\{a}, ενώ η g στο D g = [0, + <χ>). α) Για να ορίζεται η /(/(χ)) θα πρέπει: (xed f και f(x)ed,)o(x*a και ' αχ + ^ * α) χ-α <=>(χ*α) και ^-ci J )oxed /. Επομένως, η f of έχει πεδίο ορισμού το R\{a} και τύπο f ( f( η η ) ) w-- αχ + β - χ ~ α _ χ ( 2+β)- χ αχ + β αχ + r β-αχ + α 2 α 2 + β a χ-α β) Για να ορίζεται η g(g(x)) θα πρέπει: (xeflj και x-2-jx + le D g ) ο (χ>0 και x-2-jx +12.0)»(χ>0 και (y[x-l) 2 >0) Επομένως η g g <=> x> 0 o xed g. έχει πεδίο ορισμού το [0,+οο) και τύπο g(g(x)) = (yig(x)-l) 2 =(VCV^-1) 2 -Ι) 2 = ( >/ΐ-1-1) 2 = = (1-4χ-ΐ) 2 =(~Jx) 2 -χ, αφού OSxSl. 124

12 1*1 κ(κι i) Έχουμε: N(t) = 10^2((7/+4^+^/+4] = 10^2(/+8-^ + yft+20) = 10^2(/ + 9-^ + 20) ίί)έχουμε: 10^2(/ + 9Λ/7 + 20) = 120» ^2(/ + 9>// + 20) = 12 2(/+ 9-χ//+20) = 144 <=> / + 9>// + 20 = 72 <=> / + 9λ/7-52 = 0 <=> Λ// = 4 ή (V/ = -13, απορ.) <=> / = 16. Επομένιος μετά από 16 χρόνια τα αυτοκίνητα θα είναι JL3 Α' ΟΜΑΑΑΣ 1. ί) Η συνάρτηση /(x) = Vl-x έχει πεδίο ορισμού το ζί = ( οο, 1]. Έστω x,.x 2 e *ι <χ 2 Τότε έχουμε διαδοχικά: 1-χ, > 1-χ 2 -y/l-x, > tj\~x 2 /(Χ, ) > /(χ 2 ). Αρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-«.1]. ii) Η συνάρτηση /(χ) = 21η(χ-2)-1 έχει πεδίο ορισμού το J = (2. + οο). Έστω x,.x 2 ε J με χ, < ν,. Τότε έχουμε διαδοχικά: χ, - 2 < χ, - 2 ln(x, -2) < ln(x, -2) ln(x, - 2) -1 < ln(x 2-2)-1 Αρα η / /(x,) < f(x 2 ). είναι γνησίως αύξουσα στο (2,+ οο). 125

13 iii) Η συνάρτηση /(x) = 3e l χ +1 έχει πεδίο ορισμού το Κ. Έστω x,, jc 2 eir με χ, <χ 2. Τότε έχουμε διαδοχικά: -χ, > -χ 2 1-χ, >1-χ 2 e' " >e'-* 2 3χ'- χ > > 3e'~" 2 3e'-*> +1 > 3e 1 '" 2 +1 /(^1 ) > /(^2 ) Άρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο IR. iv)h συνάρτηση /(χ) = (χ-1) 2-1 έχει πεδίο ορισμού το J = (-oo,l], Έστω x,,x 2 ezl με χ, <χ 2. Τότε έχουμε διαδοχικά: x, -1 < x 2-1 < 0. (χ,-1) 2 >(χ 2-1) 2 (χ, -I) 2-1 >(χ 2 -I) 2-1 /(χ,) > /(χ 2 ). Άρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο στο ( οο, 1]. 2. i) Η/έχει πεδίο ορισμού το IR Έστω x,,x 2 er με /(χ,) = /(χ-) Άρα η / είναι 1-1 στο IR. 3χ, - 2 = 3χ 2-2 3χ, =3χ 2 χ, = χ 2. Τότε έχουμε διαδοχικά: Για να βρούμε την αντίστροφη της/ θέτουμε y = /(χ) και λύνουμε ως προς χ. Έχουμε, λοιπόν: /(χ) =y<=> 3x-2 -y ο 3χ = y + 2 <=>χ = - -V ί y ^ Επομένως / (y) = -. οπότε η αντίστροφη της / είναι η συνάρ-. χ + 2 τηση / (χ) = 126

14 127 IBlllll ii) Η συνάρτηση /(x) = x 2 +1, δεν έχει αντίστροφη, γιατί δεν είναι 1-1, αφού /(1) = /(-1), με 1*-1. iii) Έχουμε /(1) = /(2) = 1 με 1*2. Άρα η / δεν είναι 1-1 στο R. Συνεπώς δεν έχει αντίστροφη. iv) Η συνάρτηση /(x) = \ll-x έχει πεδίο ορισμού το Δ = (-οο, 1]. Έστω x,,x 2 εδ, με /(x,) = /(* 2 ) Τότε,έχουμε διαδοχικά: V 1 "*! =0-^2 1 jr, = 1-χ 2 Άρα η / είναι 1-1 στο R. Για να βρούμε την αντίστροφη θέτουμε ν = /(χ) και λύνουμε ως προς χ. Έτσι έχουμε: /(x) =yo Vl-x = ν <=> 1 - x = y 3, y S 0 <=>x = l-y 3, y>0. Επομένως /~'(y) = l-y 3, y S 0, οπότε η αντίστροφη της / είναι η /"'(Χ) = 1-Χ 3, χ> 0. ν) Η συνάρτηση /(x) = ln(l-x) έχει πεδίο ορισμού το (-oo,l) = zl. Έστω x,,x 2 ezl με /(χ,) = /(χ 2 ). Τότε έχουμε διαδοχικά ΙΠ(Ι-Χ,) = 1π(1-χ 2 ) 1-χ, = 1 - χ 2 -χ, = -χ 2 χ, = χ 2. Άρα η / είναι 1-1 στο/1. Για να βρούμε την αντίστροφη της / θέτουμε y = /(χ) και λύνουμε ως προς χ. Έτσι έχουμε:

15 /(χ) - y <=> ln(l- x) = y <=> 1 χ = e y <^x = l-e y Επομένως f~ l (y) = l-e y, yer, οπότε η αντίστροφη της/είναι η /"'(x) = l-e", xer. vi) Η συνάρτηση f(x) = e " +1 έχει πεδίο ορισμού το R. Έστω χ ι,χ ϊ er με /(x,) = /(x 2 ). Τότε έχουμε διαδοχικά: «Γ* 1 + \ = e~ x2 +1 Αρα η/είναι 1-1 στο R. Για να βρούμε την αντίστροφη της/θέτουμε y = f(x) και λύνουμε ως προς χ. Έχουμε λοιπόν: f(x)=y<=>e x +l = y ο y-\ = e' x <=>ln(y-l) = -x, 0^ = -111(^-1), y>l y>l Επομένως /^(^) = -111(^-1), y> 1, οπότε η αντίστροφη της/είναι η /'(*) = -ln(x-l), χ>1. e" -1 νιι) Η συνάρτηση /(χ) = έχει πεδίο ορισμού το R. e χ +1 Έστω x,,x 2 er με /(x,) = /(x 2 ) Τότε έχουμε διαδοχικά: e'i -ι _ e Xl -1 e x> +1 e" 2 +1 _ e *2 +e*l _ e 'l +e*2 _! 2e x ' =2e" 2 X, x 2. Αρα η / είναι 1-1 στο R. Για να βρούμε την αντίστροφη της/θέτουμε y = /(x), οπότε έχουμε: 128

16 ι"ι ι» ι ι i i i ' * "] Β '~ 1 f(x)=y<*- =y,v Λ e" +1 <=>e* -1 = ye* +y <=> e x -ye x = _y + l 3.^(1-^) = ^ + 1 l + y oe =- 1 - y με i+y l-y >0. Επομένως / l <=>x = ln,. y με -l<y<l. ι ι l-y 1 l+y Cv) = In, ye (-1,1), οπότε η αντίστροφη της/ l-y είναι η /"' (χ) = 1ηί^-, χ ε (-1,1). 1-χ viii)η /δεν είναι 1-1, γιατί /(0) = /(2) = 0 με 2*0. Άρα η / δεν αντιστρέφεται. 3. Οι συναρτήσεις /,φ και ψ αντιστρέφονται, αφού οι παράλληλες προς τον άξονα των χ τέμνουν τις γραφικές τους παραστάσεις το πολύ σ' ένα σημείο. Αντίθετα η g δεν αντιστρέφεται. Οι γραφικές παραστάσεις των αντίστροφων των παραπάνω συναρτήσεων φαίνονται στα σχήματα. y\ y=f(x)i y=f\x) ν=φ(χ) }'=φ (χ) ν=ψ(χ) y=ψ~ (χ) 4. ί) Η / είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, οπότε για κάθε x t,x 2 ea με χ, <χ 2 έχουμε διαδοχικά: 129

17 /(*,)< /(*2 ) -/(*ι)>-/(* 2 ) ("/)(*, )>(-/)(*,) Επομένως η -/ είναι γνησίως φθίνουσα στο ii) Έστω χ,,χ 2 ελ με χ, < χ 2. Επειδή οι f,g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ θα ισχύει /(*ι)</(* 2 ) Kc «g(*i)<g(* 2 )> οπότε θα έχουμε ή, ισοδύναμα, /(*, ) + g(*,)< /(*2 ) + g(*2 ). (/+ )(*, )<(/+g)(* 2 ) Άρα, η /+g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. ίϋ)έστω χ ι,χ 2 βδ με x, <χ 2 Επειδή οι /,g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ, θα ισχύει /(x,)</(x 2 ) και g(x,)<g(* 2 ) και επειδή, επιπλέον, είναι /(χ,)>0 και g(x,)>0, θα έχουμε οπότε /(*ι ) (*,)</(* 2 )g(x 2 ), (./?)(*, )<0&)(x 2 ). Άρα η fg είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. ΙΑ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Από τα σχήματα βρίσκουμε ότι: i) lim /(x) = 0 και /(3) = 2 χ >3 ii) lim/(x) = 2 και /(2) = 4 χ->2 iii) lim/(x) = 2 και lim /(x) = l, οπότε η / δεν έχει όριο στο 1, *->1 *-»1 + ενώ είναι /(1) =

18 i lim /(x) = Ο και lim /(*) = 1, οπότε η / δεν έχει όριο στο 2. *->2 ι->2* Επιπλέον, η / δεν ορίζεται στο 2 iv) lim /(x) /0) = 0 και lim /(x) = l, οπότε η / δεν έχει όριο στο 1, χ >1 *->1 *-»1 + ενώ είναι /(1) = 1. lim /(x) = 1 και lim /(x) = 2, οπότε η / δεν έχει όριο στο 2, *->2~ *_>2 + ενώ είναι /(2) = 2. lim /(x) = lim /(x) = 2, ενώ η/δεν ορίζεται στο 3. χ->3 2. i) Η συνάρτηση/έχει πεδίο ορισμού το IR {2} και γράφεται <*-2^-3,^3. χ-2 Από τη γραφική παράσταση της / (διπλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim/(x) = -l. χ->2 y ϊϊ)ομοίως από τη γραφική παράσταση της / (διπλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim /(x) = 1. χ->1 1 1 y = - ι χ 1 Ο 1 χ /y=x \ yi II iii) Ομοίως από τη γραφική παράσταση της/(διπλανό σχήμα) βρίσκουμε lim /(x) = l και lim /(χ) = 0, *->ι *->ι + οπότε, η / δεν έχει όριο στο x 0 =1. \ 1./. Ο ls. χ y=-x< l\. 131

19 iv)h συνάρτηση / στο πεδίο ορισμού της IR {0} γράφεται /(χ) = χ+χ +1, χ > 0 χ -1, χ < 0 οπότε από τη γραφική παράσταση της f Cf (διπλανό σχήμα) βρίσκουμε: lim f (x) = -1 και lim f(x) = 1..τ >0" ' jr->0 + Επομένως, η /δεν έχει όριο στο χ 0 = i)h/στο πεδίο ορισμού της IR { 1.1} γράφεται: /( χ ) = χ ( χ 2-1 ) +.ν- 1 ) = (^-1)(χ + 3 ) = χ + 3 * 1 χ' ι Από τη γραφική παράσταση της / που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκουμε: y=x+ 3 lim/(x) = 2 και lim/(x) = 4. χ-»-1 jt >1 " ii) Η / στο πεδίο ορισμού της γραφεται: (x + l)^/(3x-l) 2 (χ + 1) 3χ-1 /(*) = 3χ-1 3χ-1 οπότε y 4 3 Τ 1 /(*) = -(χ + 1), αν χ< -ι\ Ο 1 Χ 3 χ +1, αν χ > Από τη γραφική παράσταση της / που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκουμε: -Γ

20 ΙΑ 4 4 lim /(χ) = και lim /(x) = r 3 ι* Επομένως, η/δεν έχει όριο στο χ 0 =-^-. 4. i) Είναι αληθής, αφού lim f(x)= lim /(x) = 2 *-*-2 *->-2 + ii) Δεν είναι αληθής, αφού lim /(x) = 2 *-»ι + iii) Δεν είναι αληθής, αφού lim /0) = 1 και lim /0) = 2, που σηχ νγ ' Λ->1 + μαίνει ότι η / δεν έχει όριο στο χ 0 = 1. iv) Αληθής, αφού lim /0)= lim /0) = 3- x->2~ ι->2 + ν) Δεν είναι αληθής, αφού lim /(x) = 3 x->3 vi) Αληθής, αφού lim /0)= lim /0) = 3. x->4 *-* To lim /0) υπάρχει, αν και μόνο αν lim /(x) = lim /(x) <=> Λ 2-6 = Λ» λ = 3 ή ^ = Α ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Έχουμε lim(x 5-4x 3-2x + 5) = = 5 *->0 ii) limo 10-2x 3 + x-l) = = -1 x ->1 iii) limo 8 + 2x + 3) 20 = [lim(x 8 +2x + 3) = *->-1 > 1 J iv) lim[(x-5) 3 1 x 2-2x-31] = lim(x-5) 3 lim x 2-2x-31= (-2) 3-0 = 0. x-*3 x->3 x >3 v) lim X4 +2*-5_! (* +2X-5) 2 _ l * - x + 3 lim(x + 3) 4 2,. x 2 3x + x 21 lim( x 2-3x + x-2 ) 2 vi) lim 1 1! i = = - = 2 *-» x +x + l lim(x 2 +x + l) 1 x >0 133

21 Vii) \imll(x + 2) 2 = 3/lim(x+2) 2 = \ΙΪ* =\j9. *->1 V x-+\... <Jx 2 +X lim(vx 2 +X vm) lim = = = o. *->' χ + 4x + 3 lim(x 2 +4x + 3) 8 *->1 2. Έχουμε: i) limg(x) = lim(3(/(x)) 2-5] = = 43 x->2 *->2 lim 2/(x)-ll,, 1 ii) 1ώ^(ι)=" - lim(/(x)) 2 +l x->2 iii) lim g(x) = lim(/(x) + 2) lim(/(x) - 3) = (4 + 2)(4-3) = 6 x->2 x->2 x->2 3. i) Για x = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Για χ*2 έχουμε: Επομένως, /(x)_x 4-16 (χ 2-4)(χ 2 +4) (Χ + 2)(Χ 2 +4) χ 3-8 (χ-2)(χ 2 +2χ + 4) χ 2 +2χ + 4..,..,. (χ+ 2)(χ 2 +4) lim /(x) = lim- - - = = -. *->2 +2χ ii) Ομοίως για χ*1 έχουμε: οπότε. 2χ 2-3χ + 1 (2χ-1)(χ-1) 2χ-1 χ 2-1 (χ-1)(χ + 1) χ + 1 iii) Ομοίως για χ*1 έχουμε: lim f{x) = lim - =. *-»>»- > χ Επομένως, ι-- /(*) = * ι-ι Χ 1 ΗΗ ' ι + Ι Χ lim / (x) = lim^ = *-»' *-»> χ

22 M i l iv) Ομοίως για x*0 έχουμε: fix) (x + 3) 3-27 (x + 3-3)[(x + 3) 2 + (x + 3)-3+9] χ \ 2 = (x + 3) + 3(x + 3) + 9. Επομένως, lim fix) = lim[(x + 3) + 3(x+3) + 9] = 27. x->0 x->0 4. Έχουμε:,. 3-λ/χ,. I) lim = lim 3-y[x,. = = lim 3 fx -= = Inn 1 1 = 9-x ^93 J _(Vx) 2 (3 +λ/χ)(3-λ/χ) x_>9 3 + V* 6..,.. l-yll-x 2.. (1-Vl-* 2 )(1 + V*-* 2 ),. l-(l-x 2 ) II) lim - = lim- - η = = lim * 2 x\l + yll-x 2 ) I->0 x*h + Jl-x 2 ) 1 1 = lim-, I->0 l + \/l-x ,,. Jx + 2-2,. iyix + 2-2)(λ/χ )(Vx ) 111) lim = = lim == = - = ~ 2 ylx ^ 2 (V* )(λ/χ )(λ/χ ),. (x-2)(vx ) = 11m *- 2 (JC 2-4)(Vx + 2+2) λ/χ = lim - >2 (x+2)(vx+2+2) 16 8.,,. λ/χ - 2,. (λ/χ-2),. vi-2 iv) lim = lim = lim *^"x 2-5x + 4 (x-l)(x-4) ^4(x-l)[(Vx) ] λ/χ-2 1 (x-l)(vi + 2)(Vi-2) 1 1 = 1lim = = (χ-1)(λ/χ + 2)

23 5. ΐ)Για χ<1 είναι /(χ) = χ, οπότε lim /(χ) = 1. χ->γ Για χ > 1 είναι /(χ) = 5χ, οπότε lim /(χ) = 5. χ->1 + Επομένως δεν υπάρχει όριο της/στο 1. ii) Για χ < -1 είναι /(x) = -2χ, οπότε lim /(χ) = 2. *->-Γ Για χ>-1 είναι /(χ) = χ 2 +1, οπότε lim /(χ) = 2. *->-ι + Επομένως lim/(x) = 2. * Έχουμε: Λ ι * ημ 3 * ο, ΠΜ 3 *,,, ι) lim = 3 lim 11 = 3-1 = 3 *-> χ 3χ ii) = = lim^^ lim = 1 1 = 1 χ χ συνχ, *-> χ *-»<> συνχ iii) lim ε^ Χ ημ4χ 1 = lim w0 ημ2χ νημ2χ συν4χ iv) l i m f = limf 1 χ J x^oy ημ* χ ' ημ4χ = 2 lim 4x 1 x-*0 ημ2χ συν4χ "^Γ :1_ lim W =1 _ 1 = 0 *->0 χ,, = 2 = ν, = l i m B H i = 11 = 1 *-» χ + χ χ *-» χ +1 ημ5χ vi) lim χ ~* V5χ ημ5χ( \/5χ ) = lim χ_>0 5Χ = lim *1^* -lim(v5x ) = 1-4 = 4. χ-»ο 5jc 7. i) Έχουμε, lim- ημ2 χ ^-«Ι + συνχ lim 1 - συν χ,. (1 - συνχ)(1 + συνχ),.,, = lim- = lim(l - συνχ) = 2. *->* l + συνχ (1 + συνχ) ii) Έχουμε,,. 1-συν 2 χ ημ 2 χ,. ημτ lim = lim = lim ' = 0 ημ2χ *-> 2ημχσυνχ * >0 2συνχ 136

24 iii) Έχουμε, l.m-st^lim g = lim - =. *-* ημ2χ»- >0 2ημχσυνχ 2συνχ 2 8. i) Είναι, lim(l-x 2 ) = l και lim(l + x 2 ) = l, οπότε από το θεώρημα χ->0 χ >0 της παρεμβολής είναι lim /(χ) = 1. *->0 * ii)ομοίως, lim(l-x 4 ) = l και lim χ->0* ' *->0 (jy 2 = 1, οπότε lim/(x) = l. V χ χ->0 ' 9. Είναι: lim/(x) = 10 <=> lim f(x)= lim /(χ) =10 *->3 v->3~ x->}* <=> lim (2αχ + /?) = lim (αχ + 3β) = 10 *->3 *->3 + <=> 6a + β = 3a + 3/2 = 10 ' 6α + β = 10 ^ [3α+3^ =10 4 <=>«= και β = Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Για χ = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Με το σχήμα του Horner βρίσκουμε x 3 -x 2 -x-2 = (x-2)(x 2 + χ+1), οπότε,. χ 3 -χ 2 -χ-2,. (x-2)(x 2 +χ + 1),. χ 2 +χ lim = lim = lim = *- 2 χ 3-8 ~ 2 (χ-2)(χ 2 +2χ + 4) *-> 2 χ +2χ χ ν+1 (ν + 1)χ + ν χ ν+1 -wr-x + v χ(χ ν 1) ν(χ 1) ιι) lim = lim = hm - - = *->ι JC 1 x-1 *-*Ι x-1 (x - l)[x(x v ~' + x v ~ χ +1) - v] *->' x-1 = limlx(x v l +x v ~ 2 η hx + l)-v] = v-v = 0 x-»l iii) Θέτουμε -Jx = t, οπότε 137

25 lim * * = lim-^ = lim ^ +1^ (Σχήμα Horner),_>l + 2 /+/-2 (/-1)(/ 2 +/ + 2) / = lim = =. '-» / 2 +/ i) Έχουμε: οπότε x < - 5., ^ ylx 2 +10x + 25 V(*+ 5 ) 2 ί -1 ' αν /00 = - x + 5 x + 5 [ 1, αν x>-5' lim /(x) = -l και lim /00 = 1. x->-5 x-»-5 + Επομένως δεν υπάρχει όριο της/στο 5. ίΐ)για χ<5 είναι: x lx-51 + x 2-4χ-5 -(χ-5) + χ 2-4χ-5 χ 2-5χ /(Χ) = ^ = 7 = Γ" = Χ χ-5 χ-5 χ-5 Επομένως lim f(x) = lim χ = 5. χ-»5~.χ->5~ iii)για χ>5 είναι: χ-5 + χ 2-4χ-5 χ 5 + χ 2 4χ 5 χ 2-3χ-10. /(χ) = ί! = = = χ + 2 χ-5 χ-5 χ-5 Επομένως lim /(χ) = lim (χ+2) = 7. χ->5 + χ->5* iv) Θέτουμε Vx = /, οπότε έχουμε x->l Jx -\ '->1 /-1»" ' /-1 = lim/(/ 2 +/ + 1) = 3. /-»1 3. i) Είναι α = - και β = ζφθ = -ΠΗ^- οπότε συν# σννθ lim (α - β) = lim ί - jj m 1 e->ir/2 ->*<\σ\)νθ συχθ β->χΐ 2 συνο,. 1-ημ 2 0 συν0 = lim = lim = 0. β^πΐι συν6>(1+ημ0) 0->* /2 1 + ημ0 138

26 ii) lim (α 2 -β 1 )- lim (1) = 1 θ->χι2 θ->πι 2 ο iii) lim = lim (ημ#) = 1. β-»*/2 a 4. i) Θέτουμε g(x) = 4/(x) + 2-4x, οπότε fix) = g(x) + x~ 4 2 Επειδή limg(x) = -10, έχουμε *->1 lim f(x) X->1 =5s(7«M«- ) = i ( - 10>+1 -l = - 2 fix) ii) Θέτουμε g(x) = -, οπότε /(x) = (x-l)g(x), x*l. x-1 Επειδή limg(x) = 1, έχουμε *- 1 lim/(x) = lim(x-l)-limg(x) = 0-1 = 0. χ! x >1 x >1 1.6 Α ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Επειδή lim(x 4 + 3x 2 ) = 0 και x 4 +3x 2 >0 για x*0, είναι lim = +oo. Επειδή, επιπλέον, lim(x+5) = 5, έχουμε *-» x + 3x *-> x+5 lim >-* x 4 +3x = lim] x-+0 (x + 5). x 4 +3x 2 = +00 ii) Επειδή lim4(x-l) =0 και 4(x-l) >0 κοντά στο 1, είναι *- 1 lim- *-»1 ίγ - (x-1) = +οο. Επειδή, επιπλέον, lim(2x - 3) = -1 < 0, έχουμε.. 2χ-3,. 1 lim = lim (2χ-3) *-»> 4(χ-1) 4(χ 1) iii) Η / στο πεδίο ορισμού της 1R {0} γράφεται /(*) = '2 -, αν χ<0 0, αν χ > 0 οπότε έχουμε 139

27 _ lim /(χ) = lim = -oo, ενώ lim f(x) = 0. *->0 x->0~ X x-+0* Επομένως δεν υπάρχει όριο της/στο χ 0 = i) Η/στο πεδίο ορισμού της R { 1,1} γράφεται: 3 4 3(x + 1)-4 3χ-1 f(x) = l-χ 1-χ 1-χ 1-χ 2 Επειδή χ 0 =1 περιοριζόμαστε στο υποσύνολο (0,1)«^>(1,+οο) του πεδίου ορισμού της/ Αν xe(0,l) έχουμε 1-χ 2 >0 και lim(l-x 2 ) = 0, οπότε ι->γ lim : = +οο. Επιπλέον είναι lim (3χ-1) = 2 > Ο, οπότε έχουμε *->r 1-χ' lim ^Χ } = lim *-»r 1-χ *-»Γ (3χ-1)- 1-χ = +00. Αν χ e (1, + οο) έχουμε 1-χ 2 <0 και lim(l-x 2 ) = 0, οπότε 1 lim - *-»ι + 1-χ 2 *-»1 + : -οο. Επιπλέον είναι lim (3χ-1) = 2 > Ο, οπότε,. 3χ-1 lim = lim χ *-»ι* (3χ 1) 1 1-χ Επομένως, δεν υπάρχει όριο της/στο x 0 = 1. ii) Η/ στο πεδίο ορισμού της [R {()} γράφεται: /(*) = χ +3χ-2 2 > Χ <0 χ 2 +3χ- 2 χ > Ο Αν χ<0 έχουμε -χ 2 <0, lim(-x 2 ) = 0 *->0" και lim (χ 2 +3χ-2) = -2 <0, οπότε lim *-*0 -χ και αρα lim /(χ) = lim χ->0" *->0 (χ 2 +3χ-2) ί -χ = +οο. 140

28 Αν χ>0 έχουμε x 2 >0, limx 2 =0 και lim(x 2 +3x-2) =-2 <0, *-><) *->0 + οπότε lim = +00 και άρα *->ο* χ 1 lim /(χ) = lim x-*0 + ι->0* (χ 2 +3Χ-2) -^- = 00. Επομένως, δεν υπάρχει όριο της/στο χ 0 = 0. iii) Η/στο πεδίο ορισμού της R-{0} γράφεται: 1.3. Λ /(x) = x 2 1+-γ = x 2 ' * +1 χ+1 Αν χ < 0 έχουμε χ < 0, lim χ - 0 και lim (χ +1) = 1 > 0, οπότε *->0~ *->0~ lim = -οο και άρα *-><Γ Χ lim /(x) = lim (χ 3 +1) = -ΟΟ. Αν χ>0 έχουμε x>0, lim χ = 0 και lim(x 3 +1) = 1 >0, οπότε jr-»0 + jc-»0 + lim = +οο και άρα *->ο + χ lim f (χ) = lim χ_>0 + (χ3 +1).1 = +00. Επομένως, δεν υπάρχει όριο της/στο χ 0 = Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: /(*) = -9-9 xvx 2χ - 4-Jx + 8 χ(λ/χ-2)-(4λ/χ-2) (χ-4)(λ/χ-2) (Λ/Χ-2) 2 -Jx+ 2 Το πεδίο ορισμού της/είναι το σύνολο Α = [0,4)<^(4, + οο). Για xea είναι ( >/χ-2) 2 >0 και lim(vx-2) 2 = 0, οπότε ι. ι

29 "Γ , lim = = +00. Επιπλέον είναι lim-7= =, οποτε χ_>4 (V* -2) χ^*λ/χ+2 4 lim /(χ) = lim χ->4 χ-»4 ι -9 (Vx-2) 2 Vi ί) Έχουμε 1ΐηισυνχ = 0 και συνχ > Ο για xe χ~ χ > 2 lim ί = -κ». Επιπλέον είναι lim (ημχ) = 1, οπότε συν*:,»" Λΐ οποτε lim (εφχ) = lim ημχ συντ = +00. Ομοίως, lim (συνχ) = Ο και συνχ: < Ο για χ e, π, οποτε 1 2 lim = -00. Επιπλέον είναι lim (ημχ) = 1, οπότε ι* συνχ ** lim (εφχ) = lim ημχ συνχ Επομένως, η /(χ) = εφχ δεν έχει όριο στο ii) Έχουμε lim (ημχ) = Ο και ημχ>0 για xe 0, χ->ο* I 2 οπότε lim = +00. Επιπλέον είναι lim (συνχ) = 1, οπότε *-»ο + ημχ χ-*ο + lim σφχ = lim χ->0 + χ-*0* συνχ ημχ = +00. Ομοίως, lim (ημχ) = Ο και ημχ<0 για xel-,0, *-><γ \ 2 ) οποτε lim ί = -οο. Επιπλέον είναι lim (συνχ) = 1, οπότε *-><>- ημχ *->ο~ lim (σφχ) = lim χ-*0~ χ-*0~ συνχ- ημχ. Επομένως, η /(χ) = σφχ δεν έχει όριο στο 0. = -οο. 142

30 illllll 3. Έχουμε lim(x 2-1) = 0 και lim[(a-l)x 2 +x-2] = λ-2. x->\ x->l Αν λ-2>0 δηλαδή αν λ>2, τότε lim /(x) = +oo και *->1* lim /0:) = -οο, οπότε δεν υπάρχει όριο της/στο 1. χ >1 - Αν λ - 2 < Ο δηλαδή αν λ <2, τότε lim f (x) = -οο και *->ι + ' lim /(x) = +οο, οπότε δεν υπάρχει όριο της/στο 1. or >1 α, -, γ, \ χ 2 +χ-2 (χ-1)(χ + 2) χ + 2 Αν λ = 2, τοτε /(χ) = - = - - = με χ*1, χ -1 (χ-1)(χ + 1) χ οπότε lim/(χ) = e IR. *->ι 2 Επομένως το lim/(x) υπάρχει στο IR μόνο αν λ = 2. χ >1 Ομοίως, έχουμε: limx = 0 και lim(x 2 +2χ + μ) = μ. Λ->0 χ->0 Αν μ > Ο, τότε lim g(x) = +οο και lim g(x) = -w, οπότε δεν υ- *->0 + χ yo _ πάρχει όριο της g στο 0. Αν μ < Ο τότε lim g(x) = -οο και lim g(x) = +αο, οπότε δεν υ- χ->0 + πάρχει όριο της g στο 0. λ->0~ χ^ +2* Αν μ = 0, τότε g(x) = = x + 2 με χ*0, οπότε χ limg(x) = 2 e IR. χ->0 Επομένως, το limg(x) υπάρχει στο IR μόνο αν μ = 0. χ 4 4. i) Θέτουμε g(x) =. Επειδή limg(x) =+οο, είναι g(x)^0 κο- /(χ) *-ι ντά στο 1. Επομένως /(χ) =, κοντάστοΐ. g(x) Επειδή lim(x-4) = -3 <0 και limg(x) = +oo έχουμε Λ->1 χ >1 143

31 lim/(χ) = lim - or-l g( X) = linj (χ-4) ϊ Ά g(x) = 0. /(x) ii) Θέτουμε g(x) = -, οπότε /(χ) = (x+2)g(x) κοντά στο 1. χ+2 Επειδή lim(x+2) = 3>0 και limg(x) = -οο, έχουμε: χ-+1 χ-*\ lim/(χ) = lim (x + 2)g(x)] = -οο χ->\ χ-+1 iii)θέτουμε g(x) = /(x)(3x 2-2), οπότε /(χ) = τ^γ~τ κοντά στο 1. 3χ -2 1 Επειδή limg(x) = +<χ> και lim *-»' 3χ -2 1 >0, έχουμε: lim/(χ) χ->1 1 3x 2-2 = +οο. 1.7 Α'ΟΜΑΔΑΣ 1. i) lim(-10x 3 + 2χ-5) = lim(-10χ 3 ) = -10 lim χ 3 =-οο Χ->-<*> χ >+co x-y+ao ii) lim (5x 3-2x+1) = lim (5x 3 ) = 5 lim x 3 = -oo iii) lim ρ = lim 4r = 0. *-+-<» x +8 *-»-«> x i. X 4-5X 3 +2X-1.. x 4,. iv) lim ; : = lim = lim χ = +oo Χ-» Η» χ 3-3X + 2 JT->+oO X->+oO 2x 3 +x-l ^2x 3^ v) lim = lim *->+oo 4^3 +2 *->+ 2..,. χ+2 χ,. 1 vi) lim - = lim - = lim = 0 X_>+0O X-++0O χ >+0O j 9 vii) lim *-» ,' + 2*-5 x 2 +1 X+2J *-*+- (x 2 +l)(x+2) "«x 3 +2x 2 +x + 2-4χ 2 = lim jr++«= lim =

32 Ii f x 2 +5 χ x 2 + 2x + 10,. 2x 2 viii) lim lim = lim = 2. χ x + 2 *-»+«> x 2 +2x x 2 V 2. i) Επειδή Λ = <0 το πεδίο ορισμού της /(x) = V4x 2-2χ+3 είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0, + οο) όπου η/γράφεται: /(x) = V4χ 2-2χ + 3 ' Α 2 3 ^ 4 + v x x /, [γ~2 3 - γ 2 γ = x J 4 + ~T =X J 4 + V χ χ V χ χ Επομένως lim /(χ) = lim ΓΊ Γ ί 4 + ~τ ν χ χ = +00. ii) Οι ρίζες του τριωνύμου χ 2 +10χ+9 είναι -9 και -1, οπότε το πεδίο ορισμού της /(χ) = Vx 2 +10χ+9 είναι Α = (-οο,-9]ν^[-1,+οο). Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,-9] όπου η/γράφεται: /(x) = Vx 2 +10x + 9^jx 2, χ χ Επομένως, χ χ lim /(χ) = lim Ι ίο "'V Τ" = +00. iii) Το πεδίο ορισμού της /(χ) = \/χ Vx 2-3χ+2 είναι Λ = (-οο,1]u[2,+οο). Περιοριζόμαστε στο διάστημα [2,+οο) όπου η/ γράφεται: Επομένως lim /(χ) = lim 3 2 x + 7" :

33 iv) To πεδίο ορισμού είναι το σύνολο A = (- ο,ρ,]u[p 2,+ ), όπου ρ,, ρ 2 οι ρίζες της εξίσωσης (χ + α)(χ + β) = 0, που είναι οι αριθμοί -α,- β. Άρα, η/ ορίζεται σε διάστημα της μορφής (-<χ>,γ) με γ <0. Περιοριζόμαστε στο διάστημα αυτό, οπότε έχουμε: Επομένως /(χ)=^χ 1 +(α + β)χ + αβ-χ=\χ\ιΐ+ξ± +3ξ.- χ V χ χ Γ α + β ~αβ = -χ,1+ -+-^-+1-2 V χ χ. lim /(*)= lim -χ Ί ι + ± + Μ Μ χ χ +1 /_ = +00 ν) Το πεδίο ορισμού της /(x) = 2χ-1-^4χ 2-4χ+3 είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0,+οο), οπότε η /(χ) γράφεται: \2 /-λ 2 / (χ) = (2Χ-1) 2 ~(4Χ 2-4Χ+3) = - 2 2Χ-1+λ/4Χ 2-4Χ + 3 2Χ-1 + Λ/4Χ 2-4Χ Επομένως " - i - ' f r? f - r f - lim /(χ)) = lim Γ Ι lim jr->+oo Jt >+<ol j J χ->+<30 = ^ i-jn χ v χ = χ " +_ χ γ vx 2 +ι 3. i) Το πεδίο ορισμού της /(χ) = χ μαστέ στο διάστημα (0,+αο), οπότε είναι το R*. Περιοριζόf(x) = χ χ f? Επομένως lim /(χ) =

34 ii) To πεδίο ορισμού της f(x) = y/x χ είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (0,+οο), οπότε, (V* xxvx χ) _ χ 2 +1-χ 2 ί. χ +1 + χ + χ ί" ν χ J XJ1 + +χ χ 'if? Επομένως lim /(χ) = 0. f*? + 1 iii) Το πεδίο ορισμού της /(χ) = + 1 είναι το R*. Περιοριζό- μαστέ στο διάστημα (-<»,0), οπότε /(*) = Επομένως lim /(χ) =-1. ιη'*?) ~ί ι+λ iv) Το πεδίο ορισμού της /(x) = Vx 2 +1+χ είναι το R. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-<»,0), οπότε / (Χ ) = (Vx 2 +l + x)(vx χ) Λ χ +1 -χ * Χ - χ Λ 1 + -τ-χ -Χ ( Β + 1 Επομένως lim /(χ) = 0. r~i ν) Το πεδίο ορισμού της /( x )= llf = ±i είναι x-vx 2-1 = (-^,-1)^(1,+0 ). Περιοριζόμαστε στο διάστημα (1, + οο), οπότε 147

35 /(*) = (x-vx2 + l)(x + Vx 2 + l)(x+vx 2-1) (-l)(x + Vx J -1) (x-vx -l)(x+vx 2 -l)(x+vx +1) l-(x + Vx 2 +1) : f l' + v 1+ f? { 1+ /+J) ' + f~r Επομένως, lim /(x)= lim i+ if?, = vi)to πεδίο ορισμού της /(χ) = xvx 2 +2χ+2 -χ 2 είναι το IR. Περιοριζόμαστε στο διάστημα (Ο, + οο), οπότε ρττγττ..... ( ^ + 2, ^ + 2 ^2+,) Vx 2 +2χ χ) = χ- 2χ+2 = χ- Λ/Χ χ Επομένως, lim /(χ) = +οο. 2+1 λ* (fi^n ι, 2 2 χ χ H+-+ +ι, 1.7 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,ο), οπότε Επειδή lim (-χ) και lim = 1-/«, 148

36 έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν 1-μ>0 δηλαδή μ <1, τότε lim/(x) = +oo Χ > <Λ Αν 1 - μ < 0 δηλαδή μ > 1, τότε lim /(*) = -οο Χ->-οθ Αν μ = \, τότε /(Χ) = Λ]Χ *, οπότε ι,, ν.., / 2, ν,. (ν* χ)(\χ χ) lim /(x) = lim (\χ +1 + χ) = lim ι χ +1 χ lim /ί ===== = lim + χ 2 χ = lim I (-*) >ν + ' F? ν = lim (μ-1)χ 3 +2χ 2 +3 ϋ)έστω /(*) μχ 2-5χ+6 2χ 2 +3 Αν μ = 1, τότε f(x) = οποτε χ 2-5* + 6 2x +3 lim /(.r) = lim *-»+»> *-»+«> χ 2 = lim 2χ2 5χ + 6 *->+» χ 2 *->+«X i -χ 3 +2χ 2 +3 Αν // = 0, τότε /(x) = οποτε -5r = 0 - = x 3 + 2x ,. -χ",. χ lim lim = lim = +οο. x->+oo _5χ4 6 *-»+*> 5χ *->+οο 5 Αν μ Φ 0, 1, τότε lim f{x) = lim (/ '"~' )r? Χ >+0 x >+CO //Χ _ (/<-!) +, αν // ε ( οο,ο) (1, + οο) μ -οο, αν με (0,1) 2. Περιοριζόμαστε στο (0, + οο), οπότε: /(x) = v* 2 + 5χ + 10-λχ = ^χ 2^1+^ + ^ - λ χ = χ ^ ^) 149

37 1,7 Επειδή f I lim χ = +00 και lim jl + _+. λ = 1-a. *->+οο \ x x. *->+oo / ι \ Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν 1 Α > Ο δηλαδή Α < 1, τότε lim f(x) = +«Αν 1 Α<Ο δηλαδή Α>1,τότε lim /(*) = -οο. *->+αο Αν τέλος Α = 1, τότε: /(x) = Vx 2 5χ x+10-x = V* 2 + 5x+10 + λ" οποτε I, 5 10, Τ+1 χ χ FI ι. lim /(x) = Λ= - = e R. *->«> vt Ώστε το lim /(χ) υπάρχει στο R μόνο αν λ = Είναι /(χ) χ 2 +1 χ + 1 -αχ Λ- β = χ2 +1-αχ 2 +βχ-αχ+β χ + 1 (1-α)χ 2 +(β-α)χ + \ + β ~~~ χ + 1 Αν α ^ 1, τότε + οο, αν α<1 lim /(χ) = lim ^ α^χ = lim(l-a)x = - %->+«χ χ->+π [-οο, αν α> 1 Αν α = 1 και α * β, τότε lim /(χ) = lim = /?-α*0. * >+οο *->

38 fill Αν α = β = \, τότε lim f(x)^ lim -1^1 = 0. * +<*> jr >+oo j^ _j_ Ώστε lim f(x) = 0 <=> a = β = 1. είναι το IR {1,2>. Πε- 4. i) To πεδίο ορισμού της f(x) = I x2-5x + x x 2-3x+2 ριοριζόμαστε στο διάστημα (-οο,ο), οπότε Επομένως /(*) = χ2-5χ+χ Χ 1 -ΑΧ χ -3χ+2 χ 2-3χ + 2 lim f(x) = lim = 1 Ι 2 ii) To πεδίο ορισμού της /(*)= είναι το R Περιοριζόμαστε στο (-οο,ο), χ+λ[α + 3Χ 2 οπότε "Ί /(*) = X -χ. χ " x i χ jc +3 [\ χ χ 1, 5, Χ Χ JP 1 ) I +3-1 Επομένως lim /(*)= lim V ί +, χ χ ϊ χ Λ/3-1 ~ Λ/3-1 2(Λ/3+1) = λ/

39 iii) Περιοριζόμαστε στο διάστημα (!, + <»), οπότε Επομένως / ω = ΐζ = ίϊ^) =,. χ-1 χ-1 lim /(χ) = lim χ = +<». Χ Η Χ-> Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η / δεν είναι συνεχής στο χ 0 = 1, αφού 2 = lim / (χ) Φ lim /(χ) = -1 χ-»γ χ->1 + Στα υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται από το σχήμα, η/είναι συνεχής. ii) Η / δεν είναι συνεχής στο 1, αφού lim/(x) = 2* /(1) = 3. Στα υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται από το σχήμα, η/είναι συνεχής. 2. i) Είναι: lim /(x) = lim(x 2 +4) = 8, lim /(x) = limx 3 =8 και /(2) = 8, x >2~ x->2~ x->2 + x->2 + οπότε lim/0) =/(2). x->2 Επομένως η/είναι συνεχής στο χ 0 = 2. ii) Είναι: lim/(x) = lim(x 2 +1) = 2, lim /(x) = lim -Jl + χ = 2 και /(1) = 2, jr->r χ-»γ Χ- >]' x->l + οπότε lim f{x) = /(1). x->l Επομένως η/είναι συνεχής στοι.... Γ -,.. χ 2 + x-2 (x-l)(x + 2) ιιι)για χ φ-2 ισχύει /(x) = = = (χ-1), χ+2 χ+2 οποτε lim fix) = lim(x-l) = -3 = /(-2). χ->-2 χ-»-2 Επομένως η /είναι συνεχής στο x 0 =

40 Ill: 3. i) Η /(χ) γράφεται /(χ) = 2 χ 2x\ 2 9 X X< - ι -l<x; 1. x> 1 Στο διάστημα (-1,1) η /είναι συνεχής ως πολυωνυμική συνάρτηση ενώ στα διαστήματα ( οο, 1) και (1, + οο) η/είναι συνεχής ως ρητή συνάρτηση. Στο χ 0 = -1 έχουμε: lim f(χ) = lim = -2, lim /(x) = lim 2x =2 και /(-1) = 2. χ» 1~ χ > 1 Χ χ -1 + χ 1 + Επομένως η /δεν είναι συνεχής στο -1. Στο χ = 1 έχουμε: lim /(x) = lim 2x = 2, χ >1 χ >1" lim / (χ) = lim = 2 ϊ-»1 + ί->1 + χ /(1) = 2. και Επομένως η / είναι συνεχής στο 1. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ίί)για χ φ 2 έχουμε <ν ii y 2 Κ 2 \ / 1 = χ τ // 1 ι / i ι 0 χ χ-2 χ-2 οπότε η / είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (-οο,2) και (2,+οο), ως πολυωνυμική συνάρτηση. Για χ = 2 ισχύει lim /(x) = lim(x-3) = -1 * /(2) = 5, χ->2 χ >2 οπότε η / δεν είναι συνεχής στο x = 2. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. )" 5 j v=j^-3/ / Ο 2i 3/ -1 y j ^ x -3, 153

41 ii i 1111 iii) Στο διάστημα (-οο,ι) η/είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο διάστημα (Ι, + οο) η/είναι συνεχής ως λογαριθμική. Στο χ 0 = 1 έχουμε: lim f(x) = lim χ = 1,.r-»l~ χ >1 lim f(x) = lim (In χ) = 0 *->ι + *->γ /(1) = 0. και Επομένως η / δεν είναι συνεχής στο χ 0 = 1. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. y=y y y=\x\x^- 1 "7? 0 / \/ 1 χ ϊν)στο διάστημα (-<»,0) η/έχει τύπο f(x)=e x Στο διάστημα (0,+αο) η/έχει τύπο /(x) = -x 2 ως πολυωνυμική. Στο χ 0 =0 έχουμε: lim /(x) = lim e" = 1, x >0" χ->0~ lim /(*) = lim(-x 2 +1) = 1 χ->0* χ +0* και /(0) = 1. Επομένως η / είναι συνεχής στο *ο=0. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται στο διπλανό σχήμα. και είναι συνεχής. +1 και είναι συνεχής y ο ι. + \ ^ Α χ 4. i) Στο διάστημα (-«>,1) η/είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Στο διάστημα (1, + ) η/είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο χ 0 =1 έχουμε: lim f(x) = lim(2x 2-3) = -1, *-»1 _ χ-»γ lim /(χ) = lim * - = lim Μ Ξ. + ^ = lim(vx +1) = 2 και x->r χ->\ " v*-l χ I /(1) = -1. Επομένως η /δεν είναι συνεχής στο χ 0 =

42 ii) Στο διάστημα (-<»,0) η/είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στο διάστημα (0, + αο) η/είναι συνεχής. Στο χ 0 =0 έχουμε: lim f(x) = lim = 1, lim /(*) = lim συνχ = 1 και /(0) = 1. ι-»0~ *-»0~ χ *->0 + μο* Επομένως η/είναι συνεχής και στο χ 0 = i)h / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = ημ«και u = συν*. ii)h / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = \nu και u=x 2 +x +1. iii)h / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 1 y = ημ«και u =. χ +1 iv)h / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = e" και w = ημχ. ν) Η / είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων y = \nu και u = lnx. 6. Η συνάρτηση f(x) = ημχ:-χ + 1 είναι συνεχής στο [Ο,π] και ισχύει /(1)/(7Γ) = 1(1 ΤΓ) < 0, δηλαδή πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Επομένως, η εξίσωση /(*) = 0, δηλαδή η εξίσωση ημχ-χ+1 = 0, έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (Ο,π). 7. ί) Παρατηρούμε ότι: /(0) = -] και /(1) = 1, οπότε η /(x) = x 3 +x-l στο [0,1] πληρεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Bolzano. Επομένως, η εξίσωση /(*) = 0, δηλαδή η εξίσωση χ 1 + * -1 = 0, έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (0,1). Άρα, ένας από τους ζητούμενους ακεραίους είναι ο α = 0. ii) Ομοίως, ένας από τους ζητούμενους ακέραιους είναι ο α = -1 iii) Ομοίως, ο α = -1 iv) Ομοίως, ο α =

43 Ml 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση /(χ) = α(χ - μ)(χ -ν) + β(χ~ Λ)(χ - ν) + γ(χ - λ)(χ - μ). Η/είναι συνεχής στο [λ,μ\ και ισχύει /(Λ)/(μ)<0, αφού /(Λ) = α(λ-//)(λ-ν)> 0 και f(μ) = β(μ-λ)(μ-v)< 0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ϊ, e(a,/i) τέτοιο, ώστε /(jc, )=0. Ανάλογα βρίσκουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, χ 2 ε(μ,ν) τέτοιο ώστε f(x 2 ) = 0. Επειδή η/είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο, δεν έχει άλλες ρίζες. 9. ί) Έχουμε: /(χ) = χ 3 +2χ 2 -χ-2 = χ 1 (χ + 2)-(χ + 2) =(x + 2)(x 2-1) = (* + 2ΧΧ + 1Χ*-1), οπότε f(x) = 0 <=> χ = -2 ή χ = -1 ή χ = 1. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πρόσημο της/σε κάθε διάστημα. Διάστημα (-<*>-2) (-2,-1) (-1,1) (!, + <») Επιλεγμένος αριθμός χ 0-3 /(*) -8 Πρόσημο της/ ii)έχουμε /(x) = x 2 (x 2-9) = χ 2 (χ-3)(χ + 3), οπότε /(χ) = 0<=>χ = 0 (διπλή) ή χ = 3 ή χ = -3. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το πρόσημο της/σε κάθε διάστημα. Διάστημα (~ -3) (-3,0) (0.3) (3, + οο) Επιλεγμένος Αριθμός χ /(* ο) Πρόσημο της/

44 1.8 iii) Έχουμε: εφ* = ^ θ ϊ = - γ ή χ ~~^> αφού χ e (-π, π). Ο παρακάτω πίνακας δίνει το πρόσημο της σε κάθε διάστημα Διάστημα Kf) Επιλεγμένος 3π αριθμός χ 0 4 /(* ) -1-S ί 2π πλ (~Τ~2) Ίπ 12 2 (-!!) (Η) (f *) 0-5π 3τγ Ϊ ι-fi Πρόσημο της/ ίν) Υπολογίζουμε τις ρίζες της /(*) = 0 στο [0,2π] έχουμε ημ* + συνχ = 0 ο ημχ = -συν* <ϊ> εφ* = -1 3π, Ίπ <=> χ = η χ. 4 4 Ο παρακάτω πίνακας δίνει το πρόσημο της f(x) = ημχ+συνχ σε κάθε διάστημα: Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός ι ο' ι ί3π Ίπλ U ' 4 J (Η 0 π 2π /(*ο) Πρόσημο της/ i) Η συνάρτηση /(x) = lnx-l είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [1,e]. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [/(1)./(01 = [-ιο]. ii) Η συνάρτηση f(x) = -x+2 είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (0,2). Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0,2), αφού lim f(x) = 0 και lim f(x) = 2. χ->2 χ >0 157

45 iii) Η συνάρτηση f(x) = 2ημχ+1 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχης στο 0, 6). (Αφού η συνάρτηση του #(*) = ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο πρώτο τεταρτημόριο). Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [1,2), αφού /(0) = 1 και lim/(*) = 2. iv)h συνάρτηση f(x) = e' +1 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (-οο,0], Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (1,2], αφού lim f(x) = \ και /(0) = Β 'ΟΜΑΔΑΣ 1. Η/είναι συνεχής στο χ 0 = 2, αν και μόνο αν lim f(x) = lim /(*) = / (2)ο lim(x 2 -κ 2 ) = lim(jct + 5) = 4-x: 2 x-+2 x->2 + x-+2~ x->2 +»4-jt 2 = 2*: + 5 = 4-κ 2 ο κ 2 + 2jc + 1 = 0 <=> AC = Η /είναι συνεχής στο x 0 =1, αν και μόνο αν lim / (x) = lim/(χ) =/(1) ο lim (α 2 * 2 +βχ-12)~ \ϊτη(σχ + β) = 5 *-»γ *->1 + λγ-»1~ *-»1* ο α 2 + β-12 = α + β = 5. Από την επίλυση του τελευταίου συστήματος βρίσκουμε («= 4, β = 1) ή (α = -3, β = 8). 3. i) Η συνάρτηση/είναι συνεχής στο χ 0 =0. Συνεπώς, f/rw ι* f, \, συνχ-1 συν 2 *-1,. -ημ 2 χ /(0) = lim f(x) = lim = lim = lim Λ-> ο χ-*ο χ αγ-»ο *(συν+1) χ(1 + συνχ) = lim jr»0 (-ημ*) 'ημ*ν συνν = = 0. 2 ϋ)επειδή η g είναι συνεχής στο 0 θα ισχύει g(0) = lim g(x) = lim g(x). *->0 + *->0" 158

46 Επομένως, αρκεί να υπολογίσουμε το lim g(x). *->ο + Για χ>0 έχουμε διαδοχικά: Αλλά χ#(χ)-ημχ <χ 2 -x 2 ^ χ#(χ)-ημχ< χ 2 -χ 2 +ημχ<χ (χ)<χ 2 + ημχ. ημχ.. ημχ Χ + -!ϊ - <, g(x) < Χ +-IS χ χ lim ' χ + ^ = 1 και l i J x + ^ = l, x-»0 + οπότε, από το θεώρημα παρεμβολής, είναι g(0) = 1. lim g(x) = 1. Επομένως χ-, 0* 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) = f (χ)-g(x). Η ψ είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει φ(ϋ)φ(\) < 0, αφού 9>(0)==/(0)-g(0)<0 και fkl) = /(l)-g(l)>0 Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, e(0,l) τέτοιο, ώστε ψ(ξ) = 0, οπότε /( )=#( ). 5. α) Στο ανοικτό διάστημα (1,2) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (Χ 4 +1)(Χ-2) + (ΑΓ 6 + l)(x -1) = 0. Επομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = (χ 4 +l)(x-2)+(x 6 +1)(χ-1) έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). Πράγματι Η / είναι συνεχής στο [1,2] και Ισχύει /(1)/(2) = (-2)(65) < 0. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η/έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). 159

47 β) Στο ανοιχτό διάστημα (1,2) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (x-2)e* + (x-l)lnx = 0 Επομένως, έχουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = (x-2)e x + (x-l)lnx έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). Πράγματι Η / είναι συνεχής στο [1,2] και Ισχύει /(1)/(2) = (-e) In 2 < 0 Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Bolzano, η/έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2). 6. ΐ) Αναζητούμε λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) στο σύνολο ( οο,0)kj(ο,+οο). Επειδή όμως f(x) = e*>0 για κάθε χεκ'και #(*) = >0 με χ>0, ενώ #(*) = <0 με χ<0, η εξίσωση, χ χ f(x) = g(x), αν έχει κάποια λύση, αυτή θα ανήκει στο (0,+οο). Συνεπώς, αναζητούμε λύση της f(x) = g(x) στο (0,+οο) ή, ισοδύναμα, της εξίσωσης /(x) - g(x) = 0 στο (0,-κ»). Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) - f(x)-g(x) = e* -, xe(0,+oo). Η χ συνάρτηση αυτή είναι: συνεχής στο (0,+οο). γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Πράγματι, έστω x 1; x 2 e(0,+oo) με χ, <x 2. Τότε: e' 1 <e Xl 1 1 οποτε > Χ \ x 2 e' <e ' 1 1 ^ j j, και αρα e ' < e 2 < χ, χ2 χ, χ 2 δηλαδή φ(χ,)<φ(χ 2 ). Επομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (-oo, + oo) = R, αφού lim φ(χ) = -οο και lim ^>(χ) = -κ». Αρα η φ έχει μια, τουλάχιχ->0 + *->+<» στον, ρίζα στο (0,+οο). Επειδή, όμως, η ψ γνησίως αύξουσα στο (0,+αο), η ρίζα αυτή είναι μοναδική. 160

48 Ι Λ Άρα, η εξίσωση /(*) = (*) στο (0,+αο) έχει ακριβώς μια ρίζα. ii)αναζητούμε λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) στο (Ο.+οο) ή, ισοδύναμα, της εξίσωσης lnx = στο (0,+αο). * Θεωρούμε τη συνάρτηση 9>(x) = lnx-, xe(0,+oo). Η συνάρτηση χ αυτή: Είναι συνεχής στο (0,+οο). Είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+οο). Πράγματι Έστω x,,x 2 e(0,+oo) με x, <χ 2. Τότε: In χ, < In χ 1 1, οποτε *1 *2 δηλαδή φ(χ ι )<φ(χ 1 ). lnx, <lnx, , και άρα lnx, < lnx 2 < x. *2 Επομένως, το σύνολο τιμών της φ είναι το διάστημα (-oo,+oo) = IR, αφού lim <ρ(χ) = -οο και lim φ(χ) = +οο. Άρα η φ έχει μια, τουλάχι-,-»0 + *-»«> στον, ρίζα στο (0,+οο). Επειδή, επιπλέον, η ψ είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Άρα η εξίσωση f(x) = g(x) στο (0,+οο) έχει ακριβώς μια ρίζα. 7. i) Για κάθε xe[-l,l] έχουμε / 2 (*) = 1-χ 2 (1) α) Η εξίσωση /(x) = 0 στο [-1,1] γράφεται ισοδύναιια: (1) /(x) = 0 o / (χ) = 0ο1-ϊ =0οχ=-1 ή χ = 1. Επομένως, λύσεις της /(χ) = 0 στο [ - U] είναι μόνο οι -1 και 1. β) Η /στο (-1,1) είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται σ' αυτό. Επομένως, στο (-1,1) η/διατηρεί πρόσημο. Αν /(χ)> 0 στο (-1,1), τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι /(x) = Vl-x 2 και επειδή /(-1) = /(1)=0, έχουμε 161

49 nil /(χ) = ν Γν, xe[-l,l] Αν /(x)< Ο στο (-1,1), τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι /(x) = \/l-x 2 και επειδή /(-1) = /(1) = 0, έχουμε /(χ) = ->/ΐ-χ 2 r, χ e [-1,1] y Η γραφική παράσταση της / σε κάθε περίπτωση φαίνεται στο διπλανό 0 σχήμα. -1\ Τ ' )ι " '. / ν χ J -'y=f{x>-4 i-χ 1 ii) α) Έχουμε /(χ) = 0» / 2 (χ) = 0 <=>χ 2 =0 <=> χ = 0. Επομένως, η εξίσωση /(χ) = 0 έχει στο R μοναδική ρίζα την x = 0. β) Η συνάρτηση/στο (-οο,ο) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σ' αυτό. Επομένως η/διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-<»,0). Έτσι: αν /(χ)<0 στο (-<»,0), τότε στο διάστημα αυτό είναι / 2 (x) = χ 2 ο /(x) = χ, αφού x < 0, ενώ αν /(χ)> 0 στο (-οο,ο), τότε στο διάστημα αυτό είναι / 2 (χ) = χ 2 <=>/(χ) = -χ, αφού χ<0. Επειδή, επιπλέον /(0) = 0, έχουμε /(χ) = χ, για κάθε x e (-οο, 0] ή /(χ) = -χ, για κάθε χ e (-οο, 0]. Ομοίως, έχουμε /(χ) = χ, για κάθε x e [ 0,+οο) ή /(χ) = -χ, για κάθε χ e [ 0,+οο). Συνδυάζοντας τα παραπάνω, η / έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: α) /(x) = x, xeir, β) /(χ) = -χ, xer 162

50 1.8 γ) /(*) = δ) /(*) = -Χ, χ <0 χ, χ>0 χ, χ<0 -χ, χ> 0 ή, πιο απλά, /(χ) = χ ή, πιο απλά, /(χ) = - χ. Η γραφική παράσταση της / φαίνεται σε κάθε περίπτωση στα παρακάτω σχήματα (α), (β), (γ), (δ) αντιστοίχως. fy=x Ο Ο (α) (β) (γ) (δ) 8. ί)η εξίσωση της διαγωνίου Ο Β είναι η ^-0 = - (x-0) <=> ν = χ. 1-0 Ομοίως η εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ είναι η y-0 = - (χ-1) <=> y =-χ+]. 0-1 ϋ)η συνάρτηση/είναι συνεχής στο [0,1] και η γραφική της παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο. Επομένως, το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του [0,1]. Είναι δηλαδή 0 < /(χ) <, 1 για κάθε χ e [0,1]. 163

51 Θα αποδείξουμε, πρώτα, ότι η C f τέμνει την διαγώνιο y = x. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στον [0,1]. Θεωρούμε την συνάρτηση φ(χ) = f(x) - x η οποία είναι συνεχής στο [-1,1] και ισχύει φ(0) = /(0)>0 και φ(1) = /(1) -1 < 0. Αν 9(0) = 0, τότε /(0) = 0, οπότε η εξίσωση /(x) = x έχει ως ρίζα τον χ = 0 και η Cf τέμνει την ΟΒ στο 0(0,0). Αν ^(1) = 0, τότε /(1) = 1, οπότε η εξίσωση /(χ) = x έχει ως ρίζα τον χ = 1 και η C { τέμνει την Ο Β στο >1(1,1). Αν 9(0) 9(1) < 0, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x 0 e (0,1) τέτοιο, ώστε φ(χ 0 ) = 0, οπότε /(χ 0 ) = χ 0 και η C f τέμνει την ΟΒ στο σημείο Ρ(χ 0,χ 0 ). Επομένως σε κάθε περίπτωση η C f τέμνει την ΟΒ. Για την άλλη διαγώνιο εργαζόμαστε ομοίως. 9. ί)έστω Μ (χ, /(χ)) τυχαίο σημείο της Cf. Τότε d = d(x) = J(x-x 0 ) 2 +(/00-¼) 2 με χ&[α,β\. ii) Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α, β] ως ρίζα αθροίσματος συνεχών συναρτήσεων. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, θα υπάρχει κάποιο x, e [α, β] για το οποίο η d θα πάρει τη μέγιστη τιμή της και κάποιο χ 2 e [α, β] για το οποίο η d θα πάρει την ελάχιστη τιμή της. 164