ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar. Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar Στις παραγωγικές διεργασίες μας ενδιαφέρει η παρακοούθηση της συμπεριφορά μιας κρίσιμης ποσότητας ενός μετρήσιμου χαρακτηριστικού τυχαία μεταβητή των προϊόντων που παράγονται για παράδειγμα το χαρακτηριστικό μπορεί να είναι μήκος βάρος όγκος προϊόντων κ.τ... Η διαδικασία παρακοούθησης της κρίσιμης ποσότητας βασίζεται σε μετρήσεις του χαρακτηριστικού Χ τυχαία μεταβητή όπως προκύπτουν από την επιογή τυχαίων δειγμάτων προϊόντων από την παραγωγή σε διαφορετικές χρονικές στιγμές στα οποία αντιστοιχούν τυχαία δείγματα τιμών του χαρακτηριστικού Χ μεγέθους έστω τα... όπου.... Χρησιμοποιώντας τα τυχαία δείγματα... υποογίζουμε την τιμή W... μιας κατάηης g στατιστικής συνάρτησης τυχαίας μεταβητής που εκτιμά συνήθως αμερόηπτη εκτιμήτρια την κρίσιμη ποσότητα που μας ενδιαφέρει π.χ. μέση τιμή διακύμανση κτ.. Έτσι η διαχρονική παρακοούθηση της συμπεριφοράς της κρίσιμης ποσότητας επιτυγχάνεται με την παρακοούθηση των τιμών που αμβάνει η στατιστική συνάρτηση W στα διάφορα δείγματα. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να παρακοουθήσουμε τη συμπεριφορά της μέσης τιμής της διαμέτρου Χ των κυίνδρων που παράγει μια μηχανή. Για το σκοπό αυτό επιέγονται τυχαία δείγματα μεγέθους κυίνδρων από την παραγωγή της μηχανής σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα. Έτσι είναι φυσικό να χρησιμοποιήσουμε τη στατιστική συνάρτηση W g η / οποία είναι αμερόηπτη εκτιμήτρια του μέσου της Χ για την παρακοούθηση της συμπεριφοράς της μέσης τιμής. Ένα τυπικό διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar είναι μια γραφική παράσταση με την ακόουθη μορφή.

2 Διάγραμμα.: Ένα τυπικό διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar Στο Διάγραμμα. εκτός από τις παρατηρούμενες τιμές W που έχουν απεικονιστεί με σημεία τετραγωνάκια τα οποία έχουν συνδεθεί με μια τεθασμένη γραμμή έχουν σχεδιαστεί και άες τρεις γραμμές. Η κεντρική γραμμή cr l ή μέσο επίπεδο της διεργασίας παριστάνει συνήθως τη μέση τιμή ma valu της W όπως προκύπτει από τη ειτουργία μιας εντός στατιστικού εέγχου διεργασίας δηαδή μιας διεργασίας που ειτουργεί μόνο με την παρουσία φυσικής μεταβητότητας chac cau of varao. Οι δύο άες γραμμές που εμφανίζονται στο παραπάνω διάγραμμα ονομάζονται άνω και κάτω όρια εέγχου του διαγράμματος ur ad lowr corol lm U ad. Όσο οι τιμές της W βρίσκονται εντός των ορίων εέγχου και η συμπεριφορά τους είναι τυχαία μπορούμε να υποθέσουμε ότι η διεργασία παραμένει εντός εέγχου και δεν χρειάζεται να προβούμε σε κάποια διορθωτική ενέργεια. Αν όμως κάποιο σημείο βρεθεί εκτός των ορίων εέγχου τότε έμε ότι υπάρχει ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός εέγχου και πρέπει να προχωρήσουμε σε έρευνα για να ανακαύψουμε τις ειδικές αιτίες μεταβητότητας agabl cau of varao οι οποίες είναι υπεύθυνες για αυτή τη συμπεριφορά και αν κριθεί απαραίτητο να προβούμε σε διορθωτικές ενέργειες. Ωστόσο θα πρέπει να σημειώσουμε ότι ακόμη και στην περίπτωση που όα τα σημεία του διαγράμματος βρίσκονται εντός των ορίων εέγχου αά συμπεριφέρονται με ένα συστηματικό ή μη τυχαίο τρόπο τότε και αυτό αποτεεί ένδειξη ότι η διεργασία είναι εκτός εέγχου. Ως ακραίο παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε την περίπτωση όπου όα τα απεικονιζόμενα σημεία του Διαγράμματος.

3 βρίσκονται μεταξύ την κεντρικής γραμμής και του κάτω ορίου εέγχου. Στο ακόουθο παίσιο δίνεται ένα γενικό μοντέο το μοντέο ορίων σίγμα gma lm modl για την κατασκευή ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar. οντέο ορίων σίγμα U µ W σ W r µ W µ W σ W Οι ποσότητες µ W και σ W δηώνουν τη μέση τιμή και την τυπική απόκιση της στατιστικής συνάρτησης W που απεικονίζεται στο διάγραμμα εέγχου συνήθως γίνεται η υπόθεση ότι ακοουθεί κανονική κατανομή W ~ N µ σ. Η ποσότητα δηώνει την απόσταση των ορίων εέγχου από την κεντρική γραμμή σε μονάδες τυπικής απόκισης. Συνήθως θέτουμε 3 οπότε και ομιούμε για διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar με 3 σ όρια εέγχου. Εκτός από τo μοντέο ορίων σίγμα για την κατασκευή διαγραμμάτων εέγχου τύπου Shwhar υπάρχει και το μοντέο ορίων πιθανότητας robably lm modl το οποίο παρουσιάζεται στο ακόουθο παίσιο μοντέο ορίων πιθανότητας a / για κανονική ή προσεγγιστικά κανονική κατανομή της W. W W Μοντέο ορίων πιθανότητας α/ U µ W za / σw r µ W µ W za / σ W Στις ΗΠΑ χρησιμοποιούνται αποκειστικά τα 3 σ όρια εέγχου ενώ στη Μεγάη Βρετανία και σε άες δυτικές χώρες χρησιμοποιούνται όρια με πιθανότητα. a /.. Στην παρούσα φάση θα χρησιμοποιήσουμε αποκειστικά 3 σ όρια. Στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar διακρίνουμε δύο μεγάες κατηγορίες ανάογα με το αν το χαρακτηριστικό του προϊόντος είναι συνεχής ή διακριτή τυχαία μεταβητή. Αν η τυχαία μεταβητή είναι συνεχής με μέση τιμή µ και διακύμανση σ 3

4 τότε υπάρχουν διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar για την παρακοούθηση της μέσης τιμή και της διασποράς της. Στην περίπτωση που η τυχαία μεταβητή είναι διακριτή υπάρχουν διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar για την παρακοούθηση του ποσοστού και του αριθμού των εαττωματικών προϊόντων που αποδίδει η παραγωγική διεργασία καθώς επίσης και για τον αριθμό και το μέσο αριθμό των εαττωμάτων ατεειών σε μια μονάδα εέγχου για περισσότερες επτομέρειες δείτε Αντζουάκος 3 Δαμιανoύ 996 Καφφές 996. Το πιο από και πέον διαδεδομένο διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar είναι το διάγραμμα εέγχου για την παρακοούθηση της μέσης τιμής ενός συνεχούς χαρακτηριστικού το οποίο και θα αναπτύξουμε εν συντομία στην επόμενη παράγραφο μέσω ενός παραδείγματος.. Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar για τη μέση τιμή ενός συνεχούς χαρακτηριστικού Στον Πίνακα. παρουσιάζονται μετρήσεις μιας συνεχούς τυχαίας μεταβητής Χ η οποία δηώνει την εσωτερική διάμετρο κυινδρικών εμβόων όπως προέκυψαν από την επιογή τυχαίων δειγμάτων μεγέθους δύο από την παραγωγή ενός εργοστασίου. Έστω ότι υπό συνθήκες φυσικής μεταβητότητας εντός εέγχου διεργασία η κατανομή της Χ είναι κανονική κατανομή με µ σ. 5 και ενδιαφερόμαστε να παρακοουθήσουμε τη συμπεριφορά της μέσης τιμής µ της Χ. Πίνακας.: Δεδομένα για την επίδειξη ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar Δείγμα Πρώτη μέτρηση Δεύτερη μέτρηση Μέση τιμή

5 Χρησιμοποιώντας ως εκτίμηση της μέσης τιμής µ της διεργασίας σε κάθε δείγμα το δειγματικό μέσο του αντίστοιχου δείγματος W / έχουμε ότι W ~ N µ σ µ µ µ σ σ σ /.35. W W Κατασκευάζοντας ένα διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar με 3 σ όρια εέγχου όπου απεικονίζονται τα σημεία W έχουμε ότι µ U µ 3 σ. 533 και µ 3 σ W W W ενώ το διάγραμμα έεγχου που προκύπτει είναι το ακόουθο. W W -bar har for aurm -bar Subgrou U 533 TR Διάγραμμα.: Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar για τα δεδομένα του Πίνακα. Εφόσον όα τα σημεία του διαγράμματος βρίσκονται εντός των ορίων εέγχου μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ο μέσος δεν έχει αάξει μετατοπιστεί και επομένως η παραγωγική διεργασία είναι εντός στατιστικού εέγχου. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτεεί μια σειρά από εέγχους υποθέσεων το πήθος που αφορούν τη μέση τιμή ενός κανονικού πηθυσμού. Πράγματι αν... είναι ένα τυχαίο δείγμα από ένα πηθυσμό που περιγράφεται από μια κανονική κατανομή τότε για τον έεγχο της υπόθεσης : µ µ µ σ γνωστό µ : σε επίπεδο σημαντικότητας a η περιοχή απόρριψης Κ κρίσιμη περιοχή της μηδενικής υπόθεσης είναι η εξής: 5

6 σ σ K : > µ za / ή < µ za /. Επιέγοντας z 3 δηαδή a. 7 τότε για το παράδειγμά μας µ σ. 5 a / έχουμε ότι K : >.533 ή < και επομένως τα όρια του διαγράμματος εέγχου συμπίπτουν με τις δύο τιμές που καθορίζουν την κρίσιμη περιοχή K. Εφόσον τα σημεία W / βρίσκονται εντός των ορίων εέγχου αυτό σημαίνει ότι σε κάθε έεγχο ένας για κάθε δείγμα η τιμή της αντίστοιχης ποσότητας δε βρίσκεται στην κρίσιμη περιοχή και συνεπώς δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας a.7. Στη συνέχεια επιέξαμε άα 5 δείγματα από την παραγωγική διαδικασία σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές η οποία όμως όγω κάποιας εσφαμένης ρύθμισης της μηχανής που παράγει τα έμβοα εμφάνιση ειδικής μεταβητότητας παράγει κυίνδρους με µ. 5 και σ. 5. Τα επιπρόσθετα δεδομένα παρουσιάζονται στον ακόουθο πίνακα. Πίνακας.: Επιπρόσθετα δεδομένα Δείγμα Πρώτη μέτρηση Δεύτερη μέτρηση Μέση τιμή

7 Το διάγραμμα εέγχου που προκύπτει παρουσιάζεται στη συνέχεια. -bar har for aurm -bar U 533 TR Subgrou Διάγραμμα.3: Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar για τα δεδομένα των Πινάκων.. Από το παραπάνω διάγραμμα προκύπτει καθαρά ότι έχουμε ενδείξεις που δηώνουν ότι ο μέσος της διεργασίας έχει μετατοπιστεί σε υψηότερο επίπεδο και επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η διεργασία βρίσκεται εκτός στατιστικού εέγχου..3 Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου Μια βασική έννοια που σχετίζεται με τα διαγράμματα εέγχου είναι το μέσο μήκος ροής AR avrag ru lgh του διαγράμματος. Η τυχαία μεταβητή T που δηώνει το πήθος των σημείων που πρέπει να σχεδιαστούν σε ένα διάγραμμα εέγχου έως ότου πάρουμε ένδειξη εκτός εέγχου διεργασίας ονομάζεται μήκος ροής ru lgh του διαγράμματος. Το μέσο μήκος ροής AR ορίζεται ως ο αναμενόμενος αριθμός των σημείων που πρέπει να σχεδιαστούν στο διάγραμμα έως ότου άβουμε για πρώτη φορά ένδειξη εκτός εέγχου διεργασίας δηαδή AR ET. Στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar με απεικονιζόμενη ποσότητα τη W η οποία έχει εντός εέγχου μέσο µ τυπική απόκιση σ και συνάρτηση κατανομής F 7

8 έχουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός σημείου του διαγράμματος εκτός των ορίων εέγχου είναι ίση με W U F µ σ F µ σ και επομένως το εντός εέγχου μέσο μήκος ροής είναι ίσο με AR εφόσον το μήκος ροής T ακοουθεί τη γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας. Φυσικά για μια διεργασία που βρίσκεται εντός εέγχου θέουμε να έχουμε μεγάη τιμή για το AR έτσι ώστε να μειωθεί ο αριθμός των ανθασμένων ενδείξεων εκτός εέγχου διεργασίας ή αιώς ο αριθμός των ανθασμένων συναγερμών fal alarm. Για μια εκτός εέγχου διεργασία όπου η συνάρτηση κατανομή της τυχαίας μεταβητής W είναι ίση με F έχουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός σημείου εκτός των ορίων εέγχου του διαγράμματος είναι ίση με W U F µ σ F µ σ και επομένως το εκτός εέγχου μέσο μήκος ροής είναι ίσο με AR. Φυσικά για μια διεργασία που βρίσκεται εκτός εέγχου θέουμε να έχουμε μικρή τιμή για το AR έτσι ώστε να μειωθεί ο αριθμός των δειγμάτων και συνεπώς ο χρόνος που απαιτούνται για να γίνει αντιηπτό ότι η διεργασία είναι εκτός εέγχου. Αν για την τυχαία μεταβητή W είναι γνωστό ότι W ~ N µ σ τότε έχουμε ότι το εντός εέγχου μέσο μήκος ροής είναι ίσο με 8

9 9 AR Φ αφού. ~ ~ N W W N W U W Φ Φ Φ σ µ σ µ σ µ σ µ Για 3 προκύπτει ότι 37.7 AR. Αν κατά τη διάρκεια της παραγωγικής διεργασίας η μέση τιμή της τυχαίας μεταβητής W μετατοπιστεί από τη θέση µ στη θέση δσ µ µ * μετατόπιση εκφρασμένη σε μονάδες τυπικής απόκισης και η διακύμανσή της δεν αάξει τότε έχουμε: ~ ~ δ δ δ δ σ δσ µ σ µ σ µ σ δσ µ N W W N W U W Φ Φ Φ Φ και επομένως δ δ AR Φ Φ. Στο ακόουθο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση του μέσου μήκους ροής AR για το παράδειγμα που δώσαμε στην παράγραφο.3 /.5 ~ N W συναρτήσει της μετατόπισης του μέσου µ.

10 Διάγραμμα.4: Γραφική παράσταση του μέσου μήκους ροής AR για W ~ N.5 / Η χρήση του AR ως μέτρου για την περιγραφή της απόδοσης ενός διαγράμματος εέγχου έχει υποστεί αρκετή κριτική τα τεευταία χρόνια γιατί το AR που παρατηρείται στην πράξη διαφέρει συνήθως αρκετά από το θεωρητικό AR είτε είναι αρκετά μεγαύτερο είτε είναι αρκετά μικρότερο. Αυτό συμβαίνει επειδή η κατανομή του μήκους ροής T είναι μια γεωμετρική κατανομή και συνεπώς η μέση τιμή της δεν μπορεί να θεωρηθεί ως αντιπροσωπευτικό μέτρο κεντρικής τάσης της κατανομής ιδίως για μικρές τιμές του αφού σε αυτή την περίπτωση η διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής είναι αρκετά μεγάη. Έτσι κρίνεται αναγκαίο η μέση τιμή της T E T AR να συνοδεύεται από την διακύμανση της T ή ακόμα και από ποσοστιαία σημεία της..4 Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar Από μεέτες έχει διαπιστωθεί ότι για μικρές μετατοπίσεις του μέσου µ της W έως και.5σ το εκτός εέγχου μέσο μήκος ροής AR του διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar δεν είναι ικανοποιητικό είναι αρκετά μεγάος αριθμός. Για να κάνουμε περισσότερο ευαίσθητο ένα διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar με 3 σ όρια ως προς την ικανότητά του να ανιχνεύει πιο γρήγορα εκτός εέγχου διεργασίες εκτός από τη σχεδίαση των ορίων εέγχου σχεδιάζουμε επίσης και προειδοποιητικά όρια εσωτερικά των ορίων εέγχου όπως δείχνει και το διάγραμμα που ακοουθεί.

11 Zo A Zo B Zo Zo Zo B Zo A U 3σ lm σ Warg m σ Warg m σ Warg m σ Warg m 3σ lm Διάγραμμα.5: Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar και προειδοποιητικά όρια Τα προειδοποιητικά όρια χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη κανόνων ευαισθητοποίησης zg rul οι οποίοι περιγράφουν ενδεχόμενα που σχετίζονται με την εμφάνιση ειδικών ακοουθιών σημείων ar σε ένα διάγραμμα εέγχου. Στην περίπτωση που συμβεί το ενδεχόμενο που περιγράφει ο κανόνας τότε θεωρούμε ότι η διεργασία είναι εκτός εέγχου χωρίς απαραίτητα όμως να έχουμε κάποιο σημείο του διαγράμματος εκτός των ορίων εέγχου U και. Οι σημαντικότεροι κανόνες που χρησιμοποιούνται για την ευαισθητοποίηση ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar είναι οι ακόουθοι: Κανόνας. Κανόνας. Κανόνας 3. Κανόνας 4. Κανόνας 5. Ένα σημείο εκτός των ορίων εέγχου Δύο από τρία συνεχόμενα σημεία στην Ζώνη Α σε μια από τις δύο ζώνες Α Τέσσερα από πέντε συνεχόμενα σημεία πέραν της Ζώνης σε μια από τις δύο περιοχές Οκτώ συνεχόμενα σημεία στην ίδια μεριά επάνω ή κάτω της κεντρικής γραμμής Έξι συνεχόμενα σημεία σε αύξουσα ή φθίνουσα διάταξη

12 Κανόνας 6. Κανόνας 7. Κανόνας 8. Κανόνας 9. Κανόνας. Δεκαπέντε συνεχόμενα σημεία στην οική Zώνη Δεκατέσσερα συνεχόμενα σημεία σε εναασσόμενη μορφή πάνωκάτω Οκτώ συνεχόμενα σημεία εκτός της οικής Ζώνης Οποιαδήποτε ασυνήθιστη ή μη τυχαία ακοουθία σημείων Ένα ή περισσότερα σημεία κοντά στα προειδοποιητικά όρια ή τα όρια εέγχου Οι πρώτοι τέσσερις κανόνες είναι γνωστοί ως Wr Elcrc Rul. Η χρήση ποών κανόνων ταυτοχρόνως θα πρέπει να γίνεται με ιδιαίτερη προσοχή γιατί ένας μεγάος αριθμός ανθασμένων συναγερμών συνεπάγεται και με αντίστοιχο αριθμό ανθασμένων διακοπών της παραγωγικής διαδικασίας για την ανίχνευση ειδικών αιτιών μεταβητότητας με αποτέεσμα την αύξηση του κόστους παραγωγής. Επίσης η χρήση ποών κανόνων ταυτοχρόνως καθιστά εξαιρετικά δύσκοο τον υποογισμό του μέσου μήκους ροής AR του διαγράμματος εέγχου. Η πρώτη σημαντική εργασία που αντιμετώπισε το προαναφερθέν πρόβημα με ένα ενοποιητικό τρόπο ήταν των ham και Woodall 987. Στην επόμενη παράγραφο θα αναπτύξουμε την αναγκαία θεωρία για τον υποογισμό του μέσου μήκους ροής AR ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar υπό την παρουσία κανόνων ευαισθητοποίησης χρησιμοποιώντας μια παρόμοια προσέγγιση που βασίζεται σε πρόσφατες εργασίες των Fu 996 Koura 997 και Azoulako Ανάυση του χρόνου αναμονής ενός σχηματισμού Έστω { } μια ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβητών με σύνοο τιμών A a a... a } και έστω ότι { a.

13 Η τυχαία μεταβητή θα καείται -οστή δοκιμή. Ας θεωρήσουμε επίσης ένα ενδεχόμενο Ε για το οποίο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα αν αυτό έχει συμβεί στην -οστή δοκιμή της πεπερασμένης ακοουθίας... και ότι το ενδεχόμενο Ε συμβαίνει τουάχιστον μια φορά με πιθανότητα σε μια επαρκώς μεγάη ακοουθία δοκιμών. Επίσης ας συμβοίσουμε με T την τυχαία μεταβητή που δηώνει το χρόνο αναμονής εμφάνισης του ενδεχομένου Ε για πρώτη φορά R {...}. Στην περίπτωση που το ενδεχόμενο Ε μπορεί να γραφεί αναυτικά συναρτήσει στοιχείων του συνόου A a a... a } για παράδειγμα Ε a a } που είναι ένα { T { 3a απός σχηματισμός ή E E UE a a a } U{ a a a } { a a a a a } που είναι ένας { a σύνθετος σχηματισμός η μεέτη της τυχαίας μεταβητής T μπορεί να γίνει με χρήση της μεθόδου της εμφύτευσης της τυχαίων μεταβητών σε μια ομογενή διακριτή αυσίδα arkov. Στη συνέχεια θα περιγράψουμε τη ειτουργία αυτής της μεθόδου δανειζόμενοι στοιχεία από τις εργασίες των Fu 996 Koura ad Alxadrou 997 και Azoulako..5. Η περίπτωση του απού σχηματισμού Έστω ότι A a a... a } και { E a a... a m. Αποσυνθέτουμε το ενδεχόμενο Ε στα ακόουθα m κομμάτια όσο και το μήκος του ενδεχομένου a 3 a a... m a a... a τους αριθμούς 3 m τους αποκαούμε ταμπέες των αντίστοιχων κομματιών. Ορίζουμε μια διακριτή ομογενή αυσίδα arkov { Y } με χώρο καταστάσεων Ω {... m m } όπου η κατάσταση m είναι απορροφητική. Η { } ειτουργεί παράηα με την ακοουθία { } και οι καταστάσεις στις οποίες μεταβαίνει σε κάθε βήμα της καθορίζονται σύμφωνα με τον ακόουθο κανόνα. m Y Κανόνας: Η Y βρίσκεται στην κατάσταση j j m αν το μέγιστο τεικό κομμάτι της ακοουθίας... μετρώντας προς τα πίσω αντιστοιχεί στο κομμάτι a a... a j 3

14 δηαδή j a j καθορίζουμε ως τιμή της Y την τιμή. a a. Σε οποιαδήποτε άη περίπτωση j Οι αρχικές πιθανότητες π [ π π... π π m m ] [ Y Y... Y m Y m ] και ο πίνακας πιθανοτήτων μεταπήδησης πρώτης τάξης j m m j j m m m m m m j m m mj mm m m R I R m m της αυσίδας μπορούν να προκύψουν εύκοα συναρτήσει των πιθανοτήτων a. Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα αν ισχύει ότι Y m τότε έχει συμβεί το ενδεχόμενο { T } δηαδή T Y m.... Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε ότι T Y m π m... όπου.... m 4

15 5 Επίσης... > m Y T T m π. Είναι εύκοο να διαπιστωθεί ότι... R I R οπότε μπορούμε να γράψουμε ότι... > T R α όπου ]... [ ]... [ m Y Y Y m π π π α. Για τη μέση τιμή και τη διακύμανση της τυχαίας μεταβητής T έχουμε το ακόουθο θεώρημα. Θεώρημα: Η ροπογεννήτρια η μέση τιμή T E και η δεύτερη ροπή T E της τυχαίας μεταβητής T δίνονται από τις σχέσεις ] [ R I α T E R I α T E R I R I α 3 T E Απόδειξη: Για τη ροπογεννήτρια της τυχαίας μεταβητής T έχουμε τα ακόουθα > > ] [ T T T T E > > > > T T T T

16 6 > > > > T T T T > > > T T T R α R α ] [ R I α. Η μέση τιμή T E και η δεύτερη ροπή T E της τυχαίας μεταβητής T προκύπτουν εύκοα από τις σχέσεις d d T E d d T E κάνοντας χρήση της ιδιότητας. R I R R I d d Αξίζει να σημειώσουμε ότι η μέση τιμή T E μπορεί να προκύψει και ως ακοούθως: R I α R α R α > > T T T E. Παράδειγμα: Έστω ότι } { 3 a a a A } { 3 a a a E και 3 6 / a. Τότε 4 m και a a a a a a. Στην περίπτωση που παρατηρηθεί η ακοουθία a a a a a a a τότε έχουμε ότι 5 T και

17 Y Y Y Y Y Y Y. Οι αρχικές πιθανότητες είναι ίσες με ] [5/6/6 ] [ 4] 3 [ ] [ 4 3 Y Y Y Y π π π π π και ο πίνακας πιθανοτήτων μεταπήδησης πρώτης τάξης είναι ο ακόουθος /6 5/6 3/6 /6 /6 /6 5/6 3 R I R. Επίσης ] 6 [5/6/ ] [ 3 π π π α 5/6 3/6 /6 /6 /6 5/6 R... 5/6 3/6 /6 /6 /6 5/6 ] [5/6/6 > T R α ] [ R I α 78 R I α T E 8 3 R I R I α T E.

18 .5. Η περίπτωση του σύνθετου σχηματισμού Στην περίπτωση που το ενδεχόμενο Ε είναι σύνθετο δηαδή όπου τα ενδεχόμενα E E U E U... U E r E r είναι απά μπορούμε να εφαρμόσουμε τη γενική μέθοδο που περιγράψαμε στην Παράγραφο.5. με την ακόουθη διαφοροποίηση ως προς την αποσύνθεση του ενδεχομένου Ε σε κομμάτια η υπόοιπη φιοσοφία παραμένει η ίδια. Αποσυνθέτουμε κάθε από ενδεχόμενο σε κομμάτια. Από το σύνοο των κομματιών που προκύπτουν απομακρύνουμε τυχόν επαναήψεις δηαδή από τα κομμάτια που εμφανίζονται περισσότερες από μια φορές κρατάμε μόνο ένα. Επίσης για να μειωθούν οι ταμπέες που θα χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή του πίνακα πιθανοτήτων μεταπήδησης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κοινή ταμπέα μια ταμπέα για τις r το πήθος ταμπέες που οδηγούν στην εμφάνιση του ενδεχομένου Ε κάθε μια από αυτές αντιστοιχεί στο πήρες μήκος του ενδεχομένου E r. Η εφαρμογή της παραπάνω μεθοδοογίας θα παρουσιαστεί στην επόμενη παράγραφο όπου θα μεετήσουμε το μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar με χρήση κανόνων ευαισθητοποίησης..6 Υποογισμός του μέσου μήκους ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar υπό την παρουσία κανόνων ευαισθητοποίησης. Οι κανόνες ευαισθητοποίησης ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar στο οποίο απεικονίζεται μια τυχαία μεταβητή W με εντός εέγχου μέσο µ και τυπική απόκιση σ µ σ U µ σ μπορούν να κωδικοποιηθούν με τον ακόουθο τρόπο σύμφωνα με τους ham και Woodall 987. Ο συμβοισμός T k m a b θα δηώνει ότι k από m διαδοχικά σημεία του διαγράμματος βρίσκονται στο διάστημα µ a σ µ bσ a < b. Έτσι στο σύνηθες διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar 3 ο Κανόνας της Παραγράφου.4 ο οποίος είναι ο κασικός κανόνας ήψης ένδειξης εκτός εέγχου διεργασίας μπορεί να γραφεί στη μορφή { T 3 T 3 } 8

19 και ο Κανόνας της Παραγράφου.4 μπορεί να αποδοθεί ως { T3 3 33}. T Οι ham και Woodall 987 μεέτησαν τους ακόουθους κανόνες ευαισθητοποίησης: ος Κανόνας: { T 3 T 3 } ος Κανόνας: { T3 3 33} T 3 ος Κανόνας: { T } 3 T 4 ος Κανόνας: { T } 4 T 5 ος Κανόνας: { T 3 3} 5 T 6 ος Κανόνας: { T } 6 T 7 ος Κανόνας { T 3.9 T 3.9 } 7 8 ος Κανόνας: { T T } 8 9 ος Κανόνας: { T }. 9 T Με το συμβοισμό j... k... j k δηώνεται ένα διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar το οποίο δίνει ένδειξη εκτός εέγχου διεργασίας όταν συμβεί τουάχιστον ένα ενδεχόμενο από αυτά που περιγράφουν οι κανόνες j... k. Ο κανόνας j... k ονομάζεται σύνθετος κανόνας. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τον πίνακα που έδωσαν οι ham και Woodall 987 για το μέσο μήκος ροής ενός διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar µ 3 σ U µ 3σ υπό την παρουσία κανόνων ευαισθητοποίησης και υπό την υπόθεση ότι η απεικονιζόμενη τυχαία μεταβητή W ακοουθεί κατανομή N µ δσ σ εντός εέγχου μέσος και τυπική απόκιση µ και σ αντιστοίχως. 9

20 Πίνακας.3. Μέσο μήκος ροής για διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar με χρήση κανόνων ευαισθητοποίησης AR δ: Μετατόπιση του εντός εέγχου μέσου µ σε μονάδες τυπικής απόκισης

21 Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι το μέσο μήκος ροής μειώνεται για μικρές μετατοπίσεις του μέσου στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε τον κανόνα ή τον ισοδύναμο κανόνα 7 μαζί με ένα τουάχιστον επιπρόσθετο κανόνα ευαισθητοποίησης σε σχέση με την αποκειστική χρησιμοποίηση του κασικού κανόνα. Παρατηρούμε επίσης ότι σε αυτή την περίπτωση μειώνεται και το εντός εέγχου μέσο μήκος ροής που ισοδυναμεί με αύξηση των ανθασμένων συναγερμών. Ωστόσο μπορούμε να επιτύχουμε οποιοδήποτε εντός εέγχου μέσο μήκος ροής αυξάνοντας απά το πάτος των ορίων εέγχου. Στη συνέχεια θα επιδείξουμε τη μεθοδοογία της Παραγράφου.5 για την εξαγωγή των τιμών του μέσου μήκους ροής του Πίνακα.3 που αντιστοιχούν στους κανόνες και 4. Επιπρόσθετα θα δώσουμε και τη διακύμανση του μήκους ροής..6. Μεέτη του σύνθετου κανόνα Ας θεωρήσουμε ένα διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar με 3 σ όρια εέγχου στο οποίο απεικονίζονται διαδοχικές τιμές { W } της τυχαίας μεταβητής W η οποία έχει εντός εέγχου κατανομή N µ σ. Ο σύνθετος κανόνας μπορεί να γραφεί ως U { T 3 T 3 T }. T Χωρίζουμε το διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar με 3 σ όρια εέγχου στις ζώνες που φαίνονται στο ακόουθο διάγραμμα.

22 Τιμή της : 4 µ 3σ U Τιμή της : 3 µ σ Τιμή της : µ σ Τιμή της : µ 3σ Τιμή της : 4 Διάγραμμα.6: Ζώνες του διαγράμματος εέγχου Shwhar για τον κανόνα. Για κάθε τιμή της τυχαίας μεταβητής W που απεικονίζεται στο διάγραμμα εέγχου για την οποία υποθέτουμε ότι ακοουθεί κατανομή N µ δσ σ για δ έχουμε εντός εέγχου διεργασία ορίζουμε μια διακριτή τυχαία μεταβητή καθορίζονται στον ακόουθο παίσιο δείτε επίσης Διάγραμμα.6. με τιμές που Τιμή της W Τιμή της µ 3σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ 3σ 3 µ 3σ U µ 3σ 4

23 Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβητής καθορίζεται από τις ακόουθες σχέσεις: µ 3σ < W < µ σ Φ δ Φ 3 δ µ σ < W < µ σ Φ δ Φ δ 3 3 µ σ < W < µ 3σ Φ3 δ Φ δ 4 4 < W < µ 3σ µ 3σ < W < Φ 3δ Φ3 δ. Είναι προφανές από την παραπάνω ανάυση ότι η διαδικασία απεικόνισης των σημείων { W } στο διάγραμμα εέγχου είναι ισοδύναμη με μια ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβητών { } που κατανέμονται όπως η τυχαία μεταβητή που ορίσαμε παραπάνω. Ο αριθμός των σημείων που πρέπει να απεικονιστούν στο διάγραμμα εέγχου έως ότου πάρουμε ένδειξη εκτός εέγχου διεργασίας ισοδυναμεί με τον αριθμό T των δοκιμών της ακοουθίας { } που πρέπει να εκτεεστούν έως ότου συμβεί για πρώτη φορά το σύνθετο ενδεχόμενο οπότε και θα έχουμε ότι AR ET. E { } Για τη μεέτη της τυχαίας μεταβητής T ακοουθούμε τη μεθοδοογία της Παραγράφου.5. Αποσυνθέτοντας το ενδεχόμενο Ε παίρνουμε τα ακόουθα κομμάτια Απομακρύνουμε τα κομμάτια που επανααμβάνονται καταήγουμε στα ακόουθα Εισάγουμε το κομμάτι είναι το κομμάτι που αντιστοιχήθηκε στην ταμπέα της γενικής μεθοδοογίας και καταήγουμε στα ακόουθα κομμάτια Στα παραπάνω κομμάτια αντιστοιχούμε τις ταμπέες { } όπου στην ταμπέα 8 η οποία θα παίξει το ρόο της απορροφητικής κατάστασης αντιστοιχούμε όα τα κομμάτια που οδηγούν στην εμφάνιση του ενδεχομένου Ε. 3

24 4 Για την αντίστοιχη αυσίδα arkov } { Y έχουμε ότι οι αρχικές πιθανότητες είναι οι ακόουθες ] [ 8] 7... [ ]... [ Y Y Y Y π π π π π και ο πίνακας πιθανοτήτων μεταπήδησης πρώτης τάξης είναι ίσος με R I R Εφαρμόζοντας το Θεώρημα της Παραγράφου.5 αμβάνουμε τον ακόουθο πίνακα δείτε Παράρτημα Πρόγραμμα.

25 Πίνακας.4: Μέση τιμή και διακύμανση του μήκους ροής για τον κανόνα.6. Μεέτη του σύνθετου κανόνα 4 Ο σύνθετος κανόνας 4 μπορεί να γραφεί ως U { T 3 T 3 T }. 4 4 T Χωρίζουμε το διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar με 3 σ όρια εέγχου στις ζώνες που φαίνονται στο ακόουθο διάγραμμα. 5

26 Τιμή της : 3 µ 3σ U Τιμή της : µ Τιμή της : µ 3σ Τιμή της : 3 Διάγραμμα.7: Ζώνες του διαγράμματος εέγχου τύπου Shwhar για τον κανόνα 4. Για κάθε τιμή της τυχαίας μεταβητής W που απεικονίζεται στο διάγραμμα εέγχου για την οποία υποθέτουμε ότι ακοουθεί κατανομή N µ δσ σ για δ έχουμε εντός εέγχου διεργασία ορίζουμε μια διακριτή τυχαία μεταβητή καθορίζονται στον ακόουθο παίσιο δείτε επίσης Διάγραμμα.7. με τιμές που Τιμή της W Τιμή της µ 3σ µ µ µ 3σ µ 3σ U µ 3σ 3 Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβητής καθορίζεται από τις σχέσεις µ 3σ < W < µ Φ δ Φ 3 δ µ < W < µ 3σ Φ3 δ Φ δ 3 3 < W < µ 3σ µ 3σ < W < Φ 3 δ Φ3δ. 6

27 Είναι προφανές από την παραπάνω ανάυση ότι η διαδικασία απεικόνισης των σημείων { W } στο διάγραμμα εέγχου είναι ισοδύναμη με μια ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβητών { } που κατανέμονται όπως η τυχαία μεταβητή που ορίσαμε παραπάνω. Ο αριθμός των σημείων που πρέπει να απεικονιστούν στο διάγραμμα εέγχου έως ότου πάρουμε ένδειξη εκτός εέγχου διεργασίας ισοδυναμεί με τον αριθμό T των δοκιμών της ακοουθίας { } που πρέπει να εκτεεστούν έως ότου συμβεί για πρώτη φορά το σύνθετο ενδεχόμενο E {3 }. Αποσυνθέτοντας το ενδεχόμενο Ε παίρνουμε τα ακόουθα 7 κομμάτια 3. Στα παραπάνω κομμάτια αντιστοιχούμε τις ταμπέες {3 } όπου η ταμπέα 5 θα παίξει το ρόο της απορροφητικής κατάστασης. Για την αντίστοιχη αυσίδα arkov { } έχουμε ότι οι αρχικές πιθανότητες είναι οι ακόουθες Y π [ π π... π π π... π π [ Y Y [ Y... 3 ] 4 5 ] 7 Y 8 Y 9... Y 4 Y 5] 7

28 8 ενώ ο πίνακας πιθανοτήτων μεταπήδησης πρώτης τάξης είναι ίσος με R I R Εφαρμόζοντας το Θεώρημα της Παραγράφου.5 αμβάνουμε τον ακόουθο πίνακα δείτε Παράρτημα Πρόγραμμα.

29 Πίνακας.5: Μέση τιμή και διακύμανση του μήκους ροής για τον κανόνα 4 Κείνοντας το παρόν κεφάαιο τονίζουμε ότι οι Πίνακες.4 και.5 βρίσκονται σε πήρη συμφωνία με αντίστοιχα αποτεέσματα του Πίνακα.3 των ham και Woodall 987. Επίσης η μεέτη των υπόοιπων σύνθετων κανόνων του Πίνακα.3 μπορεί να γίνει με αντίστοιχο τρόπο. 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου USU. Διάγραμμα συσσωρευμένων αποκίσεων Προτού δώσουμε τον ορισμό ενός διαγράμματος εέγχου συσσωρευμένων αθροισμάτων cumulav um corol char or USU corol char κρίνεται αναγκαίο να δώσουμε ένα παράδειγμα για να περιγράψουμε την ανάγκη εισαγωγής ενός τέτοιου τύπου διαγράμματος εέγχου. Ας θεωρήσουμε μια εντός εέγχου διεργασία η οποία παράγει προϊόντα στα οποία η τιμή ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού τους ακοουθεί την κατανομή N. Στον Πίνακα. δίνονται 3 τιμές δείτε ogomry της τυχαίας μεταβητής για τις οποίες γνωρίζουμε ότι οι πρώτες προέρχονται από την κατανομή N ενώ οι υπόοιπες προέρχονται από την κατανομή N. Μπορούμε οιπόν να ισχυριστούμε τα πρώτα δεδομένα προέρχονται από μια εντός εέγχου διεργασία με εντός εέγχου μέσο µ και τυπική απόκιση σ ενώ τα υπόοιπα προέρχονται από την ίδια διεργασία η οποία όμως είναι πέον εκτός εέγχου όγω μετατόπισης του μέσου στη θέση µ. Πίνακας.: Δεδομένα για την επίδειξη ενός διαγράμματος Παρατήρηση συσσωρευμένων αποκίσεων Παρατήρηση

31 Κατασκευάζοντας το διάγραμμα εέγχου Διάγραμμα. για την παρακοούθηση του μέσου επιπέδου της διεργασίας µ U µ 3 σ 3 µ 3σ 7 παρατηρούμε ότι το διάγραμμα εέγχου δε δίνει ένδειξη ότι το μέσο επίπεδο της διεργασίας μετατοπίστηκε σε υψηότερο επίπεδο. Το γεγονός αυτό δικαιοογείται επειδή η μετατόπιση του μέσου της διεργασίας είναι της τάξης μιας τυπικής απόκισης µ µ σ και όπως γνωρίζουμε τα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar είναι αποτεεσματικά για μετατοπίσεις του μέσου της τάξης τουάχιστον δύο τυπικών αποκίσεων. Ωστόσο θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι από τα τεευταία σημεία του διαγράμματος τα 9 από αυτά βρίσκονται υπεράνω της κεντρικής γραμμής. har for Daa Obrvao U 3 TR 7 Διάγραμμα.: διάγραμμα εέγχου για τα δεδομένα του Πίνακα. Όταν μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε μικρές μετατοπίσεις του μέσου της διεργασίας τότε χρησιμοποιούμε διαγράμματα συσσωρευμένων αποκίσεων. Στα διαγράμματα των συσσωρευμένων αποκίσεων η ανίχνευση μετατοπίσεων του μέσου επιπέδου της διεργασίας επιτυγχάνεται με την απεικόνιση των σημείων D τα οποία έχουν ως τεταγμένες δηαδή D συσσωρευμένες αποκίσεις των παρατηρήσεων από μια τιμή D D. D 3

32 Στον ακόουθο πίνακα δίνονται οι τεταγμένες µ. D για τα δεδομένα του Πίνακα. για Πίνακας.: Συσσωρευμένες αποκίσεις των δεδομένων του Πίνακα. για µ Παρατήρηση D Παρατήρηση D Έτσι οιπόν το διάγραμμα των συσσωρευμένων αποκίσεων που προκύπτει είναι το ακόουθο. lo of cumulav dvao v aml umbr Dvao Saml umbr Διάγραμμα.: Διάγραμμα συσσωρευμένων αποκίσεων των δεδομένων του Πίνακα. για µ 3

33 Επειδή η τιμή είναι ίση με τον εντός εέγχου μέσο µ της διεργασίας αναμένουμε ότι όσο η διεργασία παραμένει εντός εέγχου οι συσσωρευμένες αποκίσεις θα πρέπει να κινούνται γύρω από την τιμή. Από τη στιγμή που ο μέσος μετατοπιστεί στη θέση µ > µ ή στη θέση µ < µ τότε οι συσσωρευμένες αποκίσεις D αναμένεται να παρουσιάσουν μια ανοδική καθοδική κίνηση. Συνεπώς η μετατόπιση του μέσου της διεργασίας στα διαγράμματα των συσσωρευμένων αποκίσεων ανιχνεύεται από την εμφάνιση ανοδικής ή καθοδικής τάσης των σημείων του διαγράμματος. Ωστόσο πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το παραπάνω διάγραμμα δεν έχει όρια εέγχου. Για την κατασκευή παρόμοιων διαγραμμάτων με όρια εέγχου έχουν προταθεί δύο προσεγγίσεις. Η προσέγγιση μέσω διαστημάτων απόφασης dco rval aroach η οποία θα παρουσιαστεί στην επόμενη παράγραφο και η προσέγγιση μέσω της V-μάσκας V-mak aroach η οποία δεν θα παρουσιαστεί αφού έχει αρκετά μειονεκτήματα δείτε ogomry. Για τη μέθοδο της V-μάσκας ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στις εργασίες των Barard 959 Joho 96 Oaklad 997 και ogomry Διαγράμματα εέγχου τύπου USU Ας θεωρήσουμε μία εντός εέγχου διεργασία η οποία παράγει προϊόντα στα οποία η τιμή ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού τους την οποία θέουμε να παρακοουθήσουμε έχει μέση τιμή µ και τυπική απόκιση σ. Από τη διεργασία αμβάνονται μεμονωμένες παρατηρήσεις και μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε μετατοπίσεις του μέσου της διεργασίας της μορφής µ µ ± δσ δ >. Τα δίπευρα συμμετρικά διαγράμματα εέγχου τύπου USU wo-dd USUS με διαστήματα απόφασης εισήχθησαν από τον ag 954. Στα διαγράμματα αυτά απεικονίζονται ταυτοχρόνως οι δύο ακόουθες στατιστικές συναρτήσεις S max[ µ K S ] S S m[ µ K S ] S. 33

34 Οι τιμές των ποσοτήτων S και S ονομάζονται τιμές εκκίνησης hadar valu. Η ποσότητα K ονομάζεται τιμή αναφοράς rfrc valu και η πιο συνηθισμένη τιμή της δίνεται από τη σχέση δσ µ µ K kσ k δ /. Η ποσότητα S συσσωρεύει τις αποκίσεις των παρατηρήσεων από την ποσότητα µ K από τη στιγμή που θα εμφανιστεί θετική απόκιση και συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί κατάηη για τον έεγχο της υπόθεσης µ µ : µ µ δσ : µ δ > αφού μεγάες θετικές τιμές της S οδηγούν στην αποδοχή της υπόθεσης. Ανάογα η ποσότητα S συσσωρεύει τις αποκίσεις των παρατηρήσεων από την ποσότητα µ K από τη στιγμή που θα εμφανιστεί αρνητική απόκιση και συνεπώς η ποσότητα S μπορεί να θεωρηθεί κατάηη για τον έεγχο της υπόθεσης : µ µ : µ µ µ δσ δ > αφού μικρές αρνητικές τιμές της S οδηγούν στην αποδοχή της υπόθεσης. Η απόφασή μας για το ποια από τις δύο εναακτικές υποθέσεις και θα αποδεχθούμε ή όχι σε κάθε βήμα της διαδικασίας θα εξαρτηθεί από το αν ισχύει η σχέση S > όπου μια θετική σταθερά >. ή η σχέση S < Η πιο συνηθισμένη τιμή της είναι η εξής hσ h

35 Η ποσότητα ονομάζεται διάστημα απόφασης dco rval. Φυσικά αν μία από τις δύο εναακτικές υποθέσεις ή γίνει αποδεκτή τότε θεωρούμε ότι η διεργασία είναι εκτός εέγχου όγω μετατόπισης του μέσου της διεργασίας σε υψηότερο ή χαμηότερο επίπεδο αντίστοιχα. Για τα δεδομένα του Πίνακα. έχουμε τα ακόουθα αποτεέσματα για τις ποσότητες S και S για K µ µ / /. 5 επίσης k

36 Πίνακας.3: Συσσωρευμένα αθροίσματα των δεδομένων του Πίνακα. για K. 5 Παρατήρηση µ K S µ K S Για 5 σ 5 επίσης h 5 το διάγραμμα εέγχου τύπου USU S και διάγραμμα είναι το ακόουθο. S στο ίδιο 36

37 5 Ur USU 5 umulav Sum -5 owr USU 3 Subgrou Numbr -5 Διάγραμμα.3: Διάγραμμα εέγχου τύπου USU για τα δεδομένα του Πίνακα. για K. 5 και 5 Από το παραπάνω διάγραμμα προκύπτει ότι S 5 και συνεπώς η διεργασία είναι εκτός εέγχου όγω της μετατόπισης του μέσου της διεργασίας σε υψηότερο επίπεδο. Στη γενική περίπτωση τόσο η τιμή αναφοράς K όσο και το διάστημα απόφασης μπορούν να διαφέρουν σε ένα δίπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU. Τότε έμε ότι έχουμε ένα μη συμμετρικό διάγραμμα εέγχου τύπου USU. Επίσης οι τιμές εκκίνησης 9 > S και S δεν είναι υποχρεωτικό να είναι ίσες με το. Όταν < S < ή/και < S < μιάμε για εφαρμογή της μεθόδου της άμεσης αρχικής αντίδρασης fa al ro. Συνεπώς στη γενική περίπτωση σε ένα δίπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU απεικονίζονται οι ποσότητες S max[ µ K S ] S < S m[ µ K S ] < S όπου K > > K < <. 37

38 Το μη συμμετρικό διάγραμμα εέγχου τύπου USU δίνει σήμα εκτός εέγχου διεργασίας τη χρονική στιγμή αν S > > ή < <. Φυσικά αν μας ενδιαφέρει να ανιχνεύσουμε αποκειστικά μετατοπίσεις του μέσου σε υψηότερο χαμηότερο επίπεδο στο διάγραμμα εέγχου τύπου USU θα απεικονιστεί μόνο η ποσότητα S S και το διάστημα απόφασης S. Σε αυτή την περίπτωση έμε ότι έχουμε μονόπευρα διαγράμματα εέγχου συσσωρευμένων αθροισμάτων o-dd USU. Στη βιβιογραφία αναφέρονται επίσης και τα τυποποιημένα διαγράμματα εέγχου USU όπου χρησιμοποιούνται οι τυποποιημένες τιμές Y µ. σ Σε αυτή την περίπτωση είναι εύκοο να διαπιστωθεί ότι σε ένα δίπευρο συμμετρικό διάγραμμα εέγχου τύπου USU απεικονίζονται οι στατιστικές συναρτήσεις S S max[ Y k S ] m[ Y k S ] και αν S > h < h τότε ο μέσος της διεργασίας έχει μετατοπιστεί σε υψηότερο S χαμηότερο επίπεδο. Τα διαγράμματα εέγχου τύπου USU μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στην περίπτωση που δεν έχουμε μεμονωμένες παρατηρήσεις αά δείγματα μεγέθους >. Σε αυτή την περίπτωση η ποσότητα θα πρέπει να αντικατασταθεί με την ποσότητα δηαδή με το μέσο του δείγματος και η ποσότητα σ με την ποσότητα σ /. Έτσι στο δίπευρο συμμετρικό διάγραμμα εέγχου τύπου USU απεικονίζονται οι στατιστικές συναρτήσεις S max[ µ K S ] S m[ µ K S ] 38

39 όπου σ σ K k h..3 Αντιστοιχία διαγραμμάτων εέγχου τύπου USU και ακοουθιακών εέγχων Έστω... ένα τυχαίο δείγμα από ένα πηθυσμό f x; ϑ. Ο ακοουθιακός έεγχος όγου πιθανοφάνειας qual robably rao που πρότεινε ο Wald 947 για τον έεγχο της υπόθεσης ϑ ϑ : ϑ : ϑ όπου τα σφάματα a τύπου Ι και β τύπου ΙΙ είναι προκαθορισμένα έχει ως ακοούθως: Σχηματίζουμε σε κάθε βήμα εέγχου το όγο των πιθανοφανειών x x; ϑ x; ϑ f x ; ϑ f x ; ϑ και στη συνέχεια με τη βοήθεια δύο κατάηων κρίσιμων τιμών A και B με A < < B αποφασίζουμε για την αποδοχή ή την μη αποδοχή της σε κάθε βήμα εέγχου σύμφωνα με το ακόουθο παίσιο. Κατάσταση στο -οστό βήμα εέγχου Απόφαση A < < B Η δειγματοηψία συνεχίζεται A Αποδοχή της B Αποδοχή της 39

40 4 Για τις κρίσιμες τιμές A και B μπορεί να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν τις σχέσεις a B a A β β ενώ στην πράξη χρησιμοποιούνται οι τιμές a B a A β β. Για τον έεγχο : : > δ δσ µ µ µ µ µ με προκαθορισμένα σφάματα a και β που αφορά το μέσο ενός κανονικού πηθυσμού με γνωστή διακύμανση σ έχουμε ότι x δ µ σ δ. Συνεπώς αποφασίζουμε για τον έεγχο σύμφωνα με αυτά που δίνονται στο ακόουθο παίσιο. Κατάσταση στο -οστό βήμα εέγχου Απόφαση < < l l δ δ σ µ δ δ σ B A Η δειγματοηψία συνεχίζεται A l δ δ σ µ Αποδοχή της B l δ δ σ µ Αποδοχή της

41 Για σδ K το παραπάνω παίσιο παίρνει την ακόουθη μορφή. Κατάσταση στο -οστό βήμα εέγχου σ δ l A < σ µ K < l B δ Απόφαση Η δειγματοηψία συνεχίζεται σ µ K l A Αποδοχή της δ σ µ K l B Αποδοχή της δ Στον ποιοτικό έεγχο δεν μας ενδιαφέρει η αποδοχή της αφού μας ενδιαφέρει να ανιχνεύουμε μόνο εκτός εέγχου διεργασίες. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι στον ακοουθιακό έεγχο έχουμε ότι β οπότε l B l/ a l a. σ Έτσι οιπόν θέτοντας l a έχουμε ότι η δ εέγχου όταν για πρώτη φορά γίνεται δεκτή στο -οστό βήμα µ K. Είναι πέον προφανές ότι το άνω μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU μπορεί να θεωρηθεί σαν μια σειρά από Y το πήθος ακοουθιακούς εέγχους όγου πιθανοφάνειας με άνω όριο το και κάτω όριο το όπου όοι οι όροι της σειράς εκτός από τον τεευταίο καταήγουν στο κάτω όριο δείτε Διάγραμμα.3. Ανάογα συμπεράσματα ισχύουν και για το δίπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU όπου ο ακοουθιακός έεγχος που μας ενδιαφέρει είναι : µ µ µ δσ : µ µ : µ µ µ δσ δ > ο οποίος και μεετήθηκε από τον Armag 95 για περισσότερες επτομέρειες δείτε Αντζουάκος 3. 4

42 .4 Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου USU Για τον υποογισμό του μέσου μήκους ροής AR στα διαγράμματα εέγχου τύπου USU έχουν προταθεί δύο μεθοδοογίες α η μέθοδος των οοκηρωτικών εξισώσεων και β και η μέθοδος των Μαρκοβιανών αυσίδων. Η μέθοδος των οοκηρωτικών εξισώσεων καταήγει σε μια ακριβή οοκηρωτική εξίσωση που ικανοποιεί το AR η οποία ύνεται με προσεγγιστικές μεθόδους. Η μέθοδος των Μαρκοβιανών αυσίδων ξεκινάει με μια προσεγγιστική εξίσωση που ικανοποιεί το AR για την οποία βρίσκεται ακριβής ύση..4.. Η μέθοδος των οοκηρωτικών εξισώσεων Στη μέθοδο των οοκηρωτικών εξισώσεων ως μέσο για τον υποογισμό του AR σε ένα άνω μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU έχουν αναφερθεί διάφοροι συγγραφείς. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε αυτή τη μέθοδο ήταν ο ag 954. Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε στις βασικότερες προσεγγίσεις που έχουν γίνει με αυτή τη μέθοδο. Οι συμβοισμοί που θα χρησιμοποιήσουμε είναι οι ακόουθοι: z : Μέσο μήκος ροής ενός άνω μονόπευρου διαγράμματος εέγχου τύπου USU με τιμή εκκίνησης z z < z : Πιθανότητα κατάηξης ενός μονοπατιού που ξεκινά από την τιμή z σε τιμή μικρότερη ή ίση με το N z : Μέσος αριθμός δείγματος avrag aml umbr ενός μονοπατιού που ξεκινά από την τιμή z. Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο ένας ακοουθιακός έεγχος που ξεκινά από την τιμή z είναι ένα μονοπάτι ah σημείων του άνω μονόπευρου διαγράμματος εέγχου τύπου USU που το πρώτο σημείο του μονοπατιού ξεκινά από τη τιμή z και το μονοπάτι καταήγει είτε στο κάτω όριο είτε στο άνω όριο. Συνεπώς στην ποσότητα z αντιστοιχούν μια σειρά από Y το πήθος μονοπάτια 4

43 όπου το πρώτο μονοπάτι ξεκινά από την τιμή z και τα υπόοιπα ξεκινούν από τη τιμή εκτός από το τεευταίο που καταήγει στο άνω όριο. Αρχικά θα αναφερθούμε στην προσέγγιση που ακοούθησε ο Wahrll 977. Η προσέγγιση του Wahrll 977 Ο Wahrll 977 χρησιμοποίησε άνω μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU με απεικονιζόμενη ποσότητα την S max[ S ] S z z < αναγνωρίζουμε σύμφωνα με αυτά που έχουμε ήδη αναφέρει ότι ο Wahrll 977 έθεσε µ K. Ο κανόνας απόφασης βάσει του οποίου μία διεργασία ανακηρύσσεται εκτός εέγχου όγω μετατόπισης του μέσου σε υψηότερο επίπεδο είναι η στιγμή κατά την οποία το συσσωρευμένο άθροισμα S για πρώτη φορά υπερβαίνει το άνω όριο εέγχου. Αν σε κάποια χρονική στιγμή το συσωρευμένο άθροισμα έχει τιμή ίση με z z < και η επόμενη παρατήρηση είναι η τότε το συσωρευμένο άθροισμα την επόμενη χρονική στιγμή θα είναι ίσο με αν z. z c αν z > ή θα είναι ίσο με Ας θεωρήσουμε ένα ακοουθιακό έεγχο που ξεκινά από την τιμή z. Τότε υπάρχουν οι κάτωθι περιπτώσεις για την κατάσταση που θα βρεθεί ο ακοουθιακός έεγχος στο επόμενο βήμα εέγχου. Ενδεχόμενο Συσσωρευμένο άθροισμα Αποτέεσμα z Ο έεγχος καταήγει στο κάτω όριο z < < z z z Ο έεγχος βρίσκεται σε εξέιξη Ο έεγχος καταήγει στο άνω όριο 43

44 Χρησιμοποιώντας τα ενδεχόμενα του παραπάνω πίνακα ο Wahrll 977 κατέηξε σε οοκηρωτικές εξισώσεις που ικανοποιούν οι ποσότητες z N z και z. Ακοούθως θα επιδείξουμε την οοκηρωτική εξίσωση που ικανοποιεί η πιθανότητα z. Συμβοίζοντας με f x και F x τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της αντίστοιχα έχουμε ότι το πρώτο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα ίση με F z να πραγματοποιηθεί. Αν συμβεί το δεύτερο ενδεχόμενο τότε υπάρχει μια επιπέον πιθανότητα ίση με z για κάθε z < < z να καταήξει ο έεγχος στο κάτω όριο. Το τρίτο ενδεχόμενο δεν έχει σχέση με την πιθανότητα z. Συνοψίζοντας έχουμε ότι σε ένα ακοουθιακό έεγχο που ξεκινά από την τιμή z ισχύει ότι ή ισοδύναμα z z F z z x f x dx z z F z y f y z dy. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν οι οοκηρωτικές εξισώσεις και N z N y f y z dy z F z y f y z dy. Αφού βρεθούν οι ύσεις για τα και N τότε το δίνεται από τη σχέση N. Η παραπάνω σχέση για το μπορεί να δικαιοογηθεί και ως ακοούθως: Έχουμε ήδη αναφέρει ότι το άνω μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU μπορεί να θεωρηθεί σαν μια σειρά από Y το πήθος ακοουθιακούς εέγχους όγου πιθανοφάνειας με άνω όριο το και κάτω όριο το. Ο αριθμός Y των ακοουθιακών 44

45 εέγχων που θα γίνουν όοι ξεκινούν από την τιμή ακοουθεί τη γεωμετρική κατανομή με Y y { } y { } y.... Συνεπώς κατά μέσο όρο θα πραγματοποιηθούν { } ακοουθιακοί έεγχοι εκ των οποίων μόνο ο τεευταίος καταήγει στο άνω όριο. Ο μέσος αριθμός δείγματος κάθε ακοουθιακού εέγχου είναι ίσος με N ο οποίος μπορεί να γραφεί στη μορφή N { } N N όπου N είναι ο μέσος αριθμός δείγματος ενός ακοουθιακού εέγχου που καταήγει στο άνω όριο και N είναι ο μέσος αριθμός δείγματος ενός ακοουθιακού εέγχου που καταήγει στο κάτω όριο. Άρα οιπόν μπορούμε να γράψουμε ότι {[ ] } N N [{ } N N ] N. Η προσέγγιση του Va Dobb d Bruy 968 Ο Va Dobb d Bruy 968 έδωσε τη δική του εκδοχή για την οοκηρωτική εξίσωση η οποία ικανοποιεί το μέσο μήκος ροής z. Χρησιμοποίησε μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU με απεικονιζόμενη την παρακάτω ποσότητα S max[ µ K S ] max[ Y S ] S z z. < 45

46 Ο κανόνας απόφασης βάσει του οποίου μια διεργασία ανακηρύσσεται εκτός εέγχου είναι η στιγμή κατά την οποία το συσσωρευμένο άθροισμα S για πρώτη φορά υπερβαίνει το άνω όριο εέγχου. Η οοκηρωτική εξίσωση που παρουσίασε ο Va Dobb d Bruy 968 για την ποσότητα z είναι z z z df y z y df y z όπου F συμβοίζει τη συνάρτηση κατανομής των παρατηρήσεων Y µ K και τα οοκηρώματα θεωρούνται οοκηρώματα Slj. Στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις Y προέρχονται από μια συνεχή τυχαία μεταβητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f έχουμε ότι η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή z z z f y d y f y z y dy. z Ο Va Dobb d Bruy 968 έδωσε την ακόουθη ερμηνεία στην παραπάνω οοκηρωτική εξίσωση: το μέσο μήκος ροής z είναι ίσο με η επόμενη παρατήρηση συν την πιθανότητα ότι η επόμενη παρατήρηση Y θα επιστρέψει το μονοπάτι κάτω από το δηαδή όταν η επόμενη παρατήρηση Y βρεθεί στο διάστημα z ποαπασιασμένη με το μέσο μήκος ροής από τη θέση δηαδή συν το οοκήρωμα πάνω στην πιθανότητα ότι το μονοπάτι στην επόμενη παρατήρηση θα βρεθεί στο σημείο < z y < δηαδή όταν η επόμενη παρατήρηση Y βρεθεί στο διάστημα z z ποαπασιασμένη με το μέσο μήκος ροής από τη θέση z y δηαδή z y. Η παραπάνω οοκηρωτική εξίσωση μπορεί να γραφεί επίσης στη μορφή z F z f x z x dx z < η οποία δεν είναι άη από την οοκηρωτική εξίσωση που διατύπωσε ο ag

47 Ο Va Dobb d Bruy 968 έδωσε τα κάτω και άνω φράγματα για το τα οποία είναι τα ακόουθα. F F Επίσης παρουσίασε και τις οοκηρωτικές εξισώσεις για τις ποσότητες N z και z που είναι οι ακόουθες z F z x f x z dx z < και N z N x f x z dx z <. Η προσέγγιση των Ewa και Km 96 Οι Ewa ad Km 96 χρησιμοποίησαν άνω μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU με απεικονιζόμενη ποσότητα την S max[ S ] S z z. < Ο κανόνας απόφασης βάσει του οποίου μια διεργασία ανακηρύσσεται εκτός εέγχου είναι η στιγμή κατά την οποία το συσσωρευμένο άθροισμα άνω όριο εέγχου. Παρατηρούμε ότι η στατιστική προσέγγισης του Whrll 977. S για πρώτη φορά υπερβαίνει το S είναι ίδια με αυτή της Οι Ewa ad Km 96 εξέτασαν την περίπτωση που οι παρατηρήσεις προέρχονται από μια διακριτή μη αρνητική τυχαία μεταβητή με συνάρτηση πιθανότητας f και συνάρτηση κατανομής F. Σε αυτή την περίπτωση οι εξισώσεις που ικανοποιούν οι ποσότητες z N z και z για ακέραιες τιμές των ποσοτήτων z c και είναι οι ακόουθες: 47

48 48 y z y f y z F z y z y f y N z N y z y f y z F z. Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ουσιαστικά οι εξισώσεις του Whrll 977 εκφρασμένες στη διακριτή περίπτωση. Για τον υποογισμό του μέσου μήκους ροής που δίνεται από τη σχέση N οι Ewa ad Km 96 έδωσαν την ακόουθη προσεγγιστική ύση K K K K K K N K K K K K F K F β β όπου w w w G G c F F K ] * [ ] * [ w w F F G G K ] * ] * [ w w w G G F F K ] * [ * { 3 w w G G F F K ] * [ * 4 m F F K ] * [ * β

49 β K * [ F * F ] m 4 F a a x f x a a x xf x G a a x wx f x F a* F a a* a G a* G a. Σημειώνουμε ότι τιμή m είναι η διάμεσος της ενώ η ποσότητα w είναι μια πραγματική μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης x ux u f x. Οι Ewa ad Km 96 έδωσαν επίσης και τις ακόουθες προσεγγιστικές σχέσεις για τις ποσότητες z και N z w [ ] [ z w wz ] w wz N N N N z m m N z. w m Οι παραπάνω τύποι ισχύουν και στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις προέρχονται από μια κανονική κατανομή δείτε Km 958. Φυσικά σε αυτή την περίπτωση οι εξισώσεις που ικανοποιούν οι ποσότητες z N z και z είναι οι εξισώσεις του Whrll 977 οπότε και οι ποσότητες F a a και G a δίνονται από τις σχέσεις a a wx F a f x dx a xf x dx G a f x dx. a Ακόμα έχουμε F a* F a a* a G a* G a 49

50 όπου ποσότητα w έχουμε μια πραγματική μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης ux u f x dx..4. Η μέθοδος των αυσίδων arkov Ο υποογισμός του μέσου μήκους ροής AR σε ένα διάγραμμα εέγχου τύπου USU με χρήση αυσίδων arkov προτάθηκε από τους Brook και Eva 97. Oι Brook και Eva 97 χρησιμοποίησαν άνω μονόπευρο διάγραμμα εέγχου τύπου USU με απεικονιζόμενη ποσότητα την S max[ S ] S z z. < Ο κανόνας απόφασης βάσει του οποίου μια διεργασία ανακηρύσσεται εκτός εέγχου είναι η στιγμή κατά την οποία το συσσωρευμένο άθροισμα S υπερβαίνει για πρώτη φορά το άνω όριο εέγχου. Η μέθοδος που πρότειναν οι Brook και Eva 97 μπορεί να εφαρμοστεί για διακριτές αά και για συνεχείς τυχαίες μεταβητές. Οι δύο περιπτώσεις θα παρουσιαστούν ξεχωριστά και ειδικά για τη συνεχή περίπτωση θα αναπτυχθούν τύποι που αναφέρονται στην εργασία των ham και Rdgo 99. Για περαιτέρω βετιώσεις της μεθόδου των Brook και Eva 97 ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στις εργασίες των uca ad ror 98 και Woodall Α. Διακριτές τυχαίες μεταβητές - Brook και Eva 97 Σε αυτή την περίπτωση θεωρούμε ότι οι ποσότητες και είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί και ότι οι παρατηρήσεις μας κατανέμονται όπως η διακριτή τυχαία μεταβητή. Η διεργασία θεωρείται ότι είναι εντός εέγχου για όσο διάστημα oι παρατηρούμενες τιμές της Χ παραμένουν μικρότερες από την τιμή και επομένως S S. Από τη στιγμή όμως που θα παρατηρηθεί θετική διαφορά j για κάποιο j τότε προβαίνουμε στον υποογισμό του συσσωρευμένου αθροίσματος 5

51 j S j. Αν το συσσωρευμένο άθροισμα επιστρέψει στην τιμή τότε η διεργασία θεωρείται εντός στατιστικού εέγχου. Aν όμως το συσσωρευμένο άθροισμα φθάσει ή ξεπεράσει το άνω όριο εέγχου τότε η διεργασία θεωρείται εκτός στατιστικού εέγχου. Συνεπώς οι τεταγμένες του τυχαίου περιπάτου που ακοουθεί το συσσωρευμένο άθροισμα S του διαγράμματος εέγχου τύπου USU με αρχική τιμή S ανήκουν στο σύνοο {... } εκτός από την τεευταία τεταγμένη που είναι τουάχιστον ίση με. Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα παραπάνω συνιστούν μια διακριτή αυσίδα arkov με χώρο καταστάσεων το σύνοο {... } ενώ οι πιθανότητες μεταπήδησης j από την κατάσταση στην κατάσταση j δίνονται από τις ακόουθες σχέσεις: j j j... j.... Σημειώνουμε ότι η κατάσταση είναι απορροφητική κατάσταση. Έτσι οιπόν ο πίνακας των πιθανοτήτων μεταπήδησης διαστάσεων είναι ο ακόουθος j j j j και σε αναυτική μορφή γίνεται 5

52 5 j j j j Θέτοντας r r και r F r ο παραπάνω πίνακας παίρνει τη μορφή που έδωσαν οι Brook και Eva 97 η οποία είναι η ακόουθη 3 F F F F F F F F j j j j. Έστω N τυχαία μεταβητή η οποία δηώνει τον αριθμό των βημάτων που απαιτούνται για να μεταβεί το παραπάνω σύστημα από την κατάσταση στην απορροφητική κατάσταση δηαδή } : m{ S S N. Έστω ] [ ] [ N N N E N E µ η καθοδική παραγοντική ροπή -τάξης της τυχαίας μεταβητής N. Για... 3 έχουμε ότι r j j r r N r r N r µ j j j j j r j j r N r µ µ.

53 παραπάνω σχέση σε μορφή γινομένου πινάκων είναι η ακόουθη I R μ Rμ 3... δηαδή μ { I R R} μ { I R I} μ 3... όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας διαστάσεων και R O E[ N E[ N ] μ. E[ N ] ] Ο πίνακας R διαστάσεων τεευταίας γραμμής και της τεευταίας στήης. δηαδή όπου προκύπτει από τον πίνακα με διαγραφή της Για μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι I R μ μ I R E[ N E[ N E[ μ μ N ] ] ]. Το πρώτο στοιχείο του διανύσματος μ μας δίνει το μέσο μήκος ροής του διαγράμματος εέγχου τύπου USU για S ενώ τα υπόοιπα στοιχεία του διανύσματος μ μας δίνουν το μέσο μήκος ροής για S z z... E N ] [] E[N ] []...E[N ] [ -]. [ - Η μέθοδος που ανέπτυξαν οι Brook και Eva 97 επιτρέπει και τον υποογισμό της κατανομής του μήκους ροής ru lgh του διαγράμματος εέγχου. 53