ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 = p1 +p2 και q 2 = p2 +p1. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία που τους επιτρέπει να παράγουν τα αγαθά τους µε το ίδιο κόστος ανά µονάδα προϊόντος ίσο µε 2 (δεν υπάρχει σταθερό κόστος). Η στρατηγική µεταβλητή των επιχειρήσεων είναι η τιµή και οι επιχειρήσεις παίρνουν τις αποφάσεις τους ταυτόχρονα. Προσδιορίσατε την ισορροπία του Nash του παιγνίου. Λύση q 1 =1000-2p1+p2 q 2 =1000-2p2+p1 C(qi)=2qi, i=1,2 Max P1(1000-2P1+P2)-2(1000-2P1+P2) P1 π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => Λόγω συµµετρίας προκύπτει ότι : P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) P2 P1= 1004+P2 => P1 = *4P1=1004* P1 => 16P1=5*1004+P1 => 15P1=5*1004 => P1=334,67 και P2=334,67 Συνεπώς, η ισορροπία κατά Nash είναι : (334,67, 334,67) 17

2 ΑΣΚΗΣΗ 11 Εύρεση ισορροπίας σε µεικτές στρατηγικές Βρείτε την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές των ακόλουθων παιγνίων: ` L R T 2, 1 0, 2 B 1,2 3,0 L R T -2, -1 0, 0 B 0,0-1,-2 ( q 1-q L R Λύση p T 1-p B 2,1 0,2 1,2 3,0 Παίχτης 1: Π1(Τ)=2q+0(1-q)=2q Π1(Β)=1q+3(1-q)=3-2q Αν Π1(Τ)>Π1(Β) => 2q>3-2q => 4q>3 => q>3/4 (T, B ; 1, 0) Αν Π1(Τ)<Π1(Β) => q<3/4 (T, B ; 0, 1) Αν Π1(Τ)=Π1(Β) => q=3/4 (T, B ; p, 1-p), όπου 0 < p < 1 Για τον παίχτη 2: Π2(L)=1p+2(1-p)= -p+2 18

3 Π2(R) = 2p+0(1-p) = 2p Αν Π2(L) > Π2(R) => 2-p>2p => p<2/3 (L, R ; 1, 0) Αν Π2(L) < Π2(R) => p>2/3 (L, R ; 0, 1) Αν Π2(L) = Π2(R) => p=2/3 (L, R ; q, 1-q), όπου 0 < q < 1 Τα κέρδη του παίχτη 1 είναι ίδια όταν ακολουθεί τη στρατηγική Τ ή την Β, δεδοµένης της στρατηγικής του παίχτη 2. Άρα, σύµφωνα µε την αρχή της εξίσωσης των κερδών έχω: Π1(Τ)=Π1(Β) => 2q*=3-2q* => q*=3/4 Οµοίως : Π2(L)=Π2(R) => 2-p*=2p* => p*=2/3 Συνεπώς, η ισορροπία σε µικτές στρατηγικές είναι: [(T, B ; 2/3, 1/3 ), (L, R ; 3/4, 1/4)] Ακολουθώ και για την επόµενη µήτρα την ίδια ακριβώς διαδικασία : ( p 1-p L R q T 1-q B -2,-1 0,0 0,0-1,-2 Καταλήγω : Π1(Τ) = Π1(Β) => -2p* = -(1-p) => p* =1/3 και : Π2(L) = Π2(R) => -q* = -2(1-q) => q* =2/3 Άρα, η ισορροπία σε µικτές στρατηγικές είναι : [(T, B ; 2/3, 1/3 ), (L, R ; 1/3, 2/3)] 19

4 ΑΣΚΗΣΗ 12 Το ακόλουθο διάγραµµα παριστά το δέντρο ενός παιγνίου τέλειας πληροφόρησης µεταξύ δύο παιχτών. r D e l R I N c M D II r L a m W D I L R l b M D L II L d r I l D (α) Προσδιορίσατε τα σύνολα πληροφόρησης κάθε παίχτη. (β) Ποιες είναι οι αµιγείς στρατηγικές κάθε παίχτη; Και ποιες είναι οι επιλογές κάθε παίχτη σε καθένα από τα σύνολα πληροφόρησής του; (γ) Ποιο είναι το αποτέλεσµα του συνδυασµού των στρατηγικών (rll, LM); (δ) Προσδιορίσατε όλα τα δυνατά ζευγάρια στρατηγικών που οδηγούν το παίγνιο στην πορεία rrl Λύση 20

5 r D e l R I N c M D II r L a m W D I L R l b M D L II L d r I l D Σύνολα Πληροφόρησης Παίχτης Ι : a, e, d Παίχτης ΙI : b, c Αµιγείς Στρατηγικές Παίχτης Ι : lrr, llr, lrl (Σύνολο 3*2*2=12) lll, mrr, mrl mlr, mll, rrr rrl, rlr, rll Παίχτης ΙΙ : RR, RM, RL, MR, MM, ML, LR, LL, LM Επιλογές στα σύνολα πληροφόρησης Παίχτης Ι : (a) : r, m, l (d) : r, l (e) : r, l Παίχτης ΙI : (b) : R, M, L (c) : R, M, L 21

6 Το αποτέλεσµα του συνδυασµού των στρατηγικών (rll, LM) Το παίγνιο σταµατά στον κόµβο c και το αποτέλεσµα είναι D (rrl, RR), (rll, MR), (rrl, MR), (rll, RR), (rll, LR), (rrl, LR) ΑΣΚΗΣΗ 13 ίνεται το ακόλουθο παίγνιο σε αναλυτική µορφή : A L 10, l H 0, 0 B L -1, -1 h H 3, (α) Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash του παιγνίου αυτού. (β) Παραστήσατε σε µορφή στρατηγική το παίγνιο. (γ) Είναι κάποια από τις ισορροπίες κατά Nash τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; (δ) Υποθέτοντας τώρα ότι ο παίχτης Β παρατηρεί την απόφαση του παίχτη Α πριν πάρει την απόφασή του, απαντήσατε στις τρεις προηγούµενες ερωτήσεις. Λύση Ισορροπίες κατά Nash : (l, L) (10,2) (h, H) (3,5) L H l h 10, 0,0-1,1 3, 22

7 Οι δύο ισορροπίες κατά Nash είναι και τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων. Αυτό συµβαίνει διότι όταν δεν υπάρχουν υποπαίγνια υπάρχει απόλυτη αντιστοιχία µεταξύ του αριθµού των ισορροπιών κατά Nash και των τέλειων ισορροπιών υποπαιγνίων. Αν ο Β γνωρίζει την ιστορία του παιγνίου, τότε αυτό µπορεί να παρασταθεί σε µορφή δέντρου ως εξής : L 10,2 l H 0,0 A h B L -1,-1 H 3,5 Και σε µορφή µήτρας : LL LH HL HH l h, 2, 2,0 0,0-1, -1 3, 5-1, -1, 5 Οι ισορροπίες κατά Nash είναι: (l, LL), (l, LH), (h, HH) και τα αποτελέσµατά τους: (10,2), (10,2), (3,5) (l, LL): Σηµαίνει ότι ο παίχτης 2 επιλέγει L σε κάθε περίπτωση. Είναι διαχρονικά ασυνεπής διότι, αν ο π. 1 κάνει λάθος και αντί για l επιλέξει h, ο π. 2 θα επιλέξει L, που δεν έχει νόηµα. Στηρίζεται σε µη αξιόπιστη απειλή. Ο π. 2 λεει Θα επιλέξω L σε κάθε περίπτωση, ότι και αν γίνει. Αν ο π. 1 τον πιστέψει θα επιλέξει l, αν όµως δεν τον πιστέψει και επιλέξει h, τότε ο π. 2 θα αλλάξει την συµπεριφορά του επιλέγοντας Η. Η ισορροπία (h, HH) αποτελεί επίσης µη αξιόπιστη απειλή και είναι διαχρονικά ασυνεπής. (Η αιτιολόγηση οµοίως µε προηγουµένως. ) Μόνο η ισορροπία κατά Nash (l, LH) είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων, καθώς ο π. 2 επιλέγει L όταν το παίγνιο πάει προς τα πάνω και Η αν (από λάθος του π. 1) πάει προς τα κάτω. 23

8 ΑΣΚΗΣΗ 14 ίνεται το ακόλουθο παίγνιο σε αναλυτική µορφή: I II U 2 10, U 1 D 2 0, 0 u 2-1, -1 D 1 II d 2 3, (α) Προσδιορίσατε ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε παίχτη και βρείτε όλες τις τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων. (β) Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή και βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash. Λύση Στρατηγικές π. 1: U 1 ή D 1 Στρατηγικές π. 2: U 2 u 2, U 2 d 2, D 2 u 2, D 2 d 2 Σε αυτό το παίγνιο υπάρχουν δύο υποπαίγνια τα οποία αν αποµονώσουµε θα βρούµε τις ισορροπίες κατά Nash: (1,2) U 2 (0,3) 1 ο *ο π. II θα επιλέξει D2 II D 2 (0,3) (2,1) u 2 (0,3) 2 ο *ο π. II θα επιλέξει d2 ΙΙ d 2 (0,3) 24

9 Το επόµενο βήµα είναι η αντικατάσταση των υποπαιγνίων µε τη σχετική ισορροπία κατά Nash: (0,3) U 1 I D 1 (0,3) Ο π. 1 είναι αδιάφορος µεταξύ U 1 και D 1. Και αν αποκλείσουµε την περίπτωση των µεικτών στρατηγικών, θα έχουµε άπειρες τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων, οι οποίες είναι της µορφής: [(U 1, D 1 ; p,1-p), (D 2, d 2 )],όπου 0 < p < 1 B U 2 u 2 U 2 d 2 D 2 u 2 D 2 d 2 U 1 D 1 1, 2, 2 0, 3, 3, 1 0, 3, 1, 3 Άρα, οι ισορροπίες κατά Nash είναι: [U 1, (D 2,d 2 )] και [D 1, (D 2,d 2 )]. Το αποτέλεσµά τους είναι (0,3). Οι ισορροπίες κατά Νash σε µεικτές στρατηγικές είναι άπειρες και δίδονται ως εξής: [[(U 1, D 1 ; p, (1-p)], (D 2,d 2 )] ΑΣΚΗΣΗ 15 Ας θεωρήσουµε το παίγνιο στο οποίο ο παίχτης Ι επιλέγει πρώτος µεταξύ 0 και 1. Κατόπιν εκλέγει η Τύχη µεταξύ 0 και 1 µε ίσες πιθανότητες. Τέλος ο παίχτης ΙΙ επιλέγει µεταξύ 0 και 1 µη γνωρίζοντας την επιλογή του παίχτη Ι αλλά γνωρίζοντας ποια ήταν η εκλογή της Τύχης. Αν το άθροισµα των τριών επιλογών είναι ίσο µε 1, ο παίχτης Ι πληρώνει τον παίχτη ΙΙ µια λίρα. Στην αντίθετη περίπτωση ο παίχτης ΙΙ πληρώνει τον παίχτη Ι µια λίρα. (α) Σχεδιάστε το δέντρο του παιγνίου. (β) είξατε ποια είναι τα σύνολα πληροφόρησης κάθε παίχτη. (γ) Ποιες είναι οι αµιγείς στρατηγικές κάθε παίχτη; Ποιες είναι οι επιλογές κάθε παίχτη σε καθένα από τα σύνολα πληροφόρησής του; (δ) Αν επιλέγονταν ο συνδυασµός των στρατηγικών: 0 για τον παίχτη Ι και (1, 0) για τον παίχτη ΙΙ, δηλ. [0 (1, 0)], σε ποιο τελικό κόµβο του δέντρου θα φτάναµε; και µε ποια πιθανότητα; 25

10 Λύση (α) 0 0 b 1 (1, -1) (-1, 1) 0 (-1, 1) 0 1 α 1 (1, -1) Ι 1 0 (-1, 1) 0 Τ 1 (1, -1) 1 c 0 (1, -1) ΙΙ 1 (1, -1) (β) Ο παίχτης Ι αποφασίζει στο σύνολο πληροφόρησης α. Ο παίχτης ΙΙ δε γνωρίζει την επιλογή του παίχτη Ι αλλά γνωρίζει την επιλογή της τύχης Τ. Αυτό σηµαίνει ότι ο παίχτης ΙΙ αποφασίζει σε δύο κόµβους πληροφόρησης, τους b και c. (γ) Οι αµιγείς στρατηγικές του Ι είναι: I(0, 1) κόµβος α Οι αµιγείς στρατηγικές του ΙΙ είναι: ΙΙ(0,0, 0,1, 1,0, 1,1) κόµβος b κόµβος c Ο παίχτης Ι στο σύνολο πληροφόρησης α αποφασίζει µεταξύ 0 και 1, ενώ ο παίχτης ΙΙ αποφασίζει στους κόµβους πληροφόρησης b και c µεταξύ 0 και 1. (δ) Αν ο παίχτης Ι επιλέξει 0, τότε το παιχνίδι πηγαίνει προς τα πάνω. Αν τώρα ο παίχτης ΙΙ ακολουθήσει στρατηγική (1, 0) τότε εξαιτίας του παράγοντα τύχη έχουµε: Πιθανότητα ½ εάν η τύχη αποφασίσει 0 να καταλήξουµε στον κόµβο b Πιθανότητα ½ εάν η τύχη αποφασίσει 1 να καταλήξουµε στον κόµβο c Όµως και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει το ίδιο αποτέλεσµα (-1, 1) 26

11 ΑΣΚΗΣΗ 16 Σε ένα κλάδο υπάρχει µια καθιερωµένη επιχείρηση, ενώ µια νέα επιχείρηση σκέφτεται να εισέλθει στον κλάδο. Αν η τελευταία αποφασίσει να εισέλθει, η καθιερωµένη επιχείρηση έχει δύο επιλογές: να αποδεχτεί την είσοδο της νέας επιχείρησης χάνοντας έτσι ένα µέρος των πελατών της ή να διεξάγει πόλεµο τιµών στη νεοεισερχόµενη. Αν αποδεχτεί την είσοδο της αντιπάλου, τα κέρδη της καθιερωµένη επιχείρησης θα είναι 10 εκατ., ενώ αν διεξάγει πόλεµο τιµών θα έχει απώλειες 10 εκατ. Από την άλλη, η νεοεισερχόµενη θα κερδίσει 10 εκατ. Αν δεν δεχτεί τον πόλεµο τιµών, ενώ θα έχει απώλειες 20 εκατ. Στην αντίθετη περίπτωση. Τέλος, αν η αντίπαλος αποφασίσει να µην εισέλθει στον κλάδο, η καθιερωµένη επιχείρηση θα συνεχίσει να πετυχαίνει τα κέρδη του µονοπωλίου που είναι 30 εκατ. Σχεδιάστε την αναλυτική µορφή του παιγνίου. Προσδιορίσατε κατόπιν τη στρατηγική µορφή του και βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. Ποιες απ αυτές είναι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων; Λύση α είσοδος b αποδοχή (10, 10) υποπαίγνιο Ι όχι II πόλεµος τιµών (-20, -10) (0, 30) (II) a b αποδοχή πόλεµος (Ι) είσοδος 10, 10-20, -10 όχι 0, 30 0, 30 Για να βρω τις ισορροπίες κατά Nash λειτουργώ ως εξής: Εάν ο Ι αποφασίσει είσοδος ο ΙΙ αποφασίζει αποδοχή Εάν ο Ι αποφασίσει όχι o II είναι αδιάφορος µεταξύ εισόδου και πολέµου τιµών. Εάν ο ΙΙ αποφασίσει αποδοχή o I αποφασίζει είσοδος Εάν ο ΙΙ αποφασίσει πόλεµος ο Ι αποφασίζει όχι. Οι ισορροπίες κατά Nash που προκύπτουν είναι: (είσοδος, αποδοχή) = (10,10) (όχι, πόλεµος τιµών) = (0,30) 27

12 Για να βρω την τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων, αποµονώνω το µοναδικό υποπαίγνιο που υπάρχει (αυτό που αντιστοιχεί στο σύνολο πληροφόρησης b). Εδώ παίζει µόνο η καθιερωµένη επιχείρηση (παίχτης ΙΙ). Ο ΙΙ δεδοµένου ότι ο Ι εισέρχεται στον κλάδο, θα αποφασίζει να τον αποδεχτεί ώστε να µεγιστοποιήσει τα κέρδη του (10 > -10). Άρα, το παίγνιο µπορεί να γραφτεί ως εξής: a I είσοδος (10, 10) όχι (0, 30) Εδώ παίζει µόνο η νέα επιχείρηση (παίχτης ΙΙ) η οποία φυσικά επιλέγει να εισέλθει στον κλάδο ώστε να µεγιστοποιήσει τα κέρδη της (10 > 0) Άρα, η (είσοδος, αποδοχή) είναι η ισορροπία κατά Nash που είναι επίσης και η ισορροπία υποπαιγνίων. Οπότε, είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Προφανώς, η ισορροπία (όχι, πόλεµος τιµών) δεν µπορεί να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων, γιατί το κοµµάτι της ισορροπίας που αντιστοιχεί στο υποπαίγνιο (δηλ. πόλεµος τιµών ) δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. ΑΣΚΗΣΗ 17 Στον κλάδο της πληροφορικής υπάρχουν συνήθως ορισµένες εταιρίες που έχουν ηγετικό ρόλο και άλλες που αναµένουν τις πρώτες να πάρουν τις αποφάσεις τους και κατόπιν προσαρµόζουν κατάλληλα τις αποφάσεις τους. Ας υποθέσουµε ότι στον κλάδο η εταιρία ΙΤΜ παίζει το ρόλο του ηγέτη κατά Stackelberg και η εταιρία MIGA είναι ακόλουθος κατά Stackelberg. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία και το κόστος παραγωγής τους είναι c(qi) = cqi, όπου c > 0. Η καµπύλη ζήτησης του προϊόντος είναι p(q) = 120 Q, (0 < Q < 120), όπου Q είναι η συνολική ποσότητα που προσφέρεται στην αγορά. Το παίγνιο µεταξύ των δύο εταιριών είναι το εξής: ΙΤΜ ανακοινώνει την ποσότητα του νέου προϊόντος που θα παράγει. Αφού παρατηρήσει αυτή την απόφαση, η MIGA αποφασίζει αν θα εισάγει το νέο προϊόν, και αν το εισάγει πόσο θα παράγει. Τα κέρδη της είναι µηδέν αν δεν το εισάγει. Αν το εισάγει τα κέρδη και των δύο εταιριών εξαρτώνται τόσο από την απόφαση της ΙΤΜ όσο και της MIGA. Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική µορφή. Ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε εταιρίας; ποια είναι τα κέρδη τους σε κάθε ενδεχόµενο; Προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Stackelberg του παιγνίου αυτού. Θα εισέλθει ή όχι η MIGA στον κλάδο; Λύση 28

13 q 2 εισαγωγή (120 c) 2, (120 - c) 2 q 1 MIGA 8 16 ΙΤΜ MIGA όχι (120 c) 2, 0 4 Οι στρατηγικές της ΙΤΜ είναι: ITM(q1), όπου 0 < q 1 < 120 a Οι στρατηγικές της MIGA είναι: MIGA(εισαγωγή, q 2, όχι), όπου 0 < q 2 < 120 b c Για να βρω τα κέρδη των εταιριών λειτουργώ ως εξής: q 2 = R 2 (q 1 ) = 120 c q 1 2 Οπότε, λύνω το πρόβληµα µεγιστοποίησης: max(120 q 1 q 2 )q 1 cq 1 q1 υπό τον περιορισµό: q 2 = 120 c q 1 2 Άρα : max (120 q c q1)q 1 cq 1 => max(120 q 1 c 120 q 1 c)q 1 q1 q1 2 2 => max1/2 (120 c q 1 )q 1 q1 Συνθήκη α τάξης: (60q 1 ½ cq 1 ½ q 1 2 ) = 0 => 60 ½ c q 1 = 0 => q 1 q 1 s = 120 c c q2 = 120 c q1 => q2 = 120 c - 2 => 2 2 q 2 s = 120 c 2 Οπότε: P c = 120 Q c => p s c = (120 c ) 120 c c => p s = 2 4 4(120 c) 2(120 c) (120 c) = 120 c => 4 4 p s c = 120 c 4 29

14 Τα κέρδη είναι: Π 1 s = p s q 1 s cq 1 s => Π 1 s = (p s c)q 1 s => Π 1 s = 120 c 120 c =>Π 1 s = (120 c) Π 2 s = p s q 1 s cq 1 s => Π 1 s = (p s c)q 1 s => Π 1 s = 120 c 120 c =>Π 1 s = (120 c) Στην περίπτωση που η εταιρία MIGA δεν εισάγει το νέο προϊόν, τότε: Q = q 1 Άρα : Π 1 = (120 q 1 )q 1 cq 1 Οπότε τίθεται το πρόβληµα µεγιστοποίησης: max(120q 1 q 2 cq 1 ) q1 Συνθήκη α τάξης: (120q 1 q 2 1 cq 1 ) = 0 => 120 2q 1 c = 0 =>2q 1 = 120 c => q 1 q 1 = 120 c 2 Για να βρω τα κέρδη λειτουργώ ως εξής: P s c = c c => 2 p s c = 120 c 2 Π 1 = c 120 c - c 120 c => Π1 = 120 c 120 c 120 c => Π 1 = 120 c 2 2 => Π 1 = (120 c ) 2 4 Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι η ισορροπία κατά Stackelberg είναι η εξής: (q 1, εισαγωγή, q 2 ) = ( 120 c 2, 120 c ) Η επιλογή της MIGA θα είναι να εισέλθει στον κλάδο, αφού έτσι µεγιστοποιεί τα κέρδη της. ηλαδή 120 c 2 >

15 ΑΣΚΗΣΗ 18 Υποθέσατε ότι το παίγνιο είναι ακριβώς το ίδιο µε την άσκηση 17, εκτός του ότι το κόστος της MIGA είναι c(qi) = cqi + K, όπου Κ παριστά το σταθερό κόστος (π.χ. το κόστος του να αποκτήσει την απαραίτητη τεχνολογία). Υπάρχει κάποια τιµή της παραµέτρου Κ, πάνω απ την οποία η MIGA δεν θα εισάγει το προϊόν στην αγορά στην ισορροπία του παιγνίου; Λύση c q 2 [(120 c) 2 k, (120 c) 2 k ] εισαγωγή 8 16 a q 1 b όχι [(120 c) 2 k, k ] 4 Από την προηγούµενη άσκηση παίρνουµε q s 1 = 120 c και 2 q 2 s = 120 c 4 (Αφού το k είναι σταθερό κόστος αφαιρείτε από τα κέρδη) Για να βρω την τιµή του k πάνω απ την οποία δεν θα εισαχθεί νέο προϊόν, βρίσκω τα κέρδη της. ηλαδή: Π 1 s = (p 5 c)q1 s k => Π 1 s = (120 c) 2 k 8 Άρα, Π s 2 = (120 c) 2 k => Για k > (120 c) η MIGA δεν θα εισάγει προϊόν Στην περίπτωση που η MIGA δεν εισάγει το νέο προϊόν τότε: Q = q 1 Έτσι, τα κέρδη της ΙΤΜ γίνονται: Π 1 = (120 c) 2 k, ενώ στη MIGA αντιστοιχεί µόνο κόστος k. 4 31

16 ΑΣΚΗΣΗ 19 Στο ακόλουθο παίγνιο διαπραγµάτευσης, µια επιχείρηση (Ε) και ένα συνδικάτο (S) προσπαθούν να µοιράσουν µεταξύ τους τα κέρδη που δηµιουργούνται από την οικονοµική δραστηριότητά τους. Υποθέσατε ότι τα κέρδη αυτά είναι 20 εκατ. Η διαδικασία διαπραγµάτευσης περιλαµβάνει τρία στάδια προσφορών αντιπροσφορών. Η εταιρία κάνει την πρώτη προσφορά, κατόπιν το συνδικάτο κάνει µια αντιπροσφορά και τέλος κάνει µια νέα προσφορά η εταιρία. Σε κάθε στάδιο, αυτός που λαµβάνει την προσφορά έχει την δυνατότητα να την δεχτεί ή να την απορρίψει. Αν την δεχτεί, η διαπραγµάτευση παίρνει τέλος, ενώ αν την απορρίψει κάνει την αντιπροσφορά του. Αν δεν φτάσουν σε καµία συµφωνία µετά το τρίτο στάδιο και οι δύο κερδίζουν µηδέν. (α) Ποια είναι η πιθανή συµφωνία µεταξύ της εταιρίας και του συνδικάτου αν ο κοινός συντελεστής προεξόφλησης είναι δ = ¼; (β) Ποια είναι η πιθανή συµφωνία αν ο συντελεστής προεξόφλησης της εταιρίας είναι δ Ε = ¼ και του συνδικάτου δ S = ½; (γ) Συγκρίνατε τις παραπάνω συµφωνίες και σχολιάσατε αν και γιατί είναι λογικά τα παραπάνω αποτελέσµατα. (δ) Υποθέσατε τώρα ότι αλλάζει η διαδικασία διαπραγµάτευσης κατά τον εξής τρόπο: Είναι η ίδια όπως και τα προηγούµενα, αλλά τώρα εισάγεται η δυνατότητα ενός τέταρτου σταδίου (αν δεν επιτευχθεί καµία συµφωνία µέχρι και το τρίτο στάδιο), όπου παρέχεται η δυνατότητα στην εταιρία και στο συνδικάτο να απαιτήσουν ταυτόχρονα ένα µερίδιο των κερδών. Αν το άθροισµα των απαιτήσεων είναι µικρότερο ή ίσο από 20 εκατ., κάθε µέρος κερδίζει όσο ζήτησε. Στην αντίθετη περίπτωση, κανέµας δεν λαµβάνει τίποτα. Αναλύσατε το παίγνιο όταν ο συντελεστής προεξόφλησης είναι ίσος µε 1. Τι αναµένεται να συµβεί σε αυτήν την περίπτωση; Ποια είναι η διαφορά µε την περίπτωση που δεν υπάρχει το τέταρτο στάδιο; Λύση αποδοχή (x, 20 x) a b (20δ 2, 20δ 20δ 2 ) E x S αποδοχή [δy, δ(20 y)] όχι c (20δ 2, 20δ 20δ 2 ) d [δ 2 z, δ 2 (20 z)] (20δ 2, 0) αποδ. S y S e (20δ 2, 0) f z όχι (0, 0) (a) Ξεκινάµε απ τον κόµβο f όπου το S αποφασίζει µεταξύ αποδοχής και όχι Η στρατηγική του είναι: 32

17 S: [αποδέχοµαι z, 0 < z < 20] Άρα, η Ε δίνει στο S z* = 20 και το αποτέλεσµα του κόµβου f γίνεται: (20δ 2, 0) Στον κόµβο d η Ε αποφασίζει µεταξύ αποδοχής και όχι Η στρατηγική της είναι: Ε : αποδέχοµαι y,δy > 20δ 2 => y > 20δ απορρίπτω y,δy < 20δ 2 => y < 20δ Άρα, το S δίνει στην Ε y* = 20δ και το αποτέλεσµα του κόµβου d γίνεται: (20δ 2, 20δ 20δ 2 ) Στον κόµβο b το S αποφασίζει µεταξύ αποδοχής και όχι Η στρατηγική του είναι: S : αποδέχοµαι x, 20 - x > 20δ(1 δ) απορρίπτω x, 20 - x < 20δ(1 δ) δ = ¼ Άρα η Ε δίνει στο S: x* = 20 20δ + 20δ2 ======>x* = 16, 25 Οπότε, το παίγνιο παίρνει την εξής µορφή: απόδοχή (16,25, 3,75) Άρα, (x* = 16,25, αποδοχή) είναι a b η πιθανή συµφωνία µεταξύ της εταιρίας και του συνδικάτου Ε x όχι (1,25, 3,75) Η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων γράφεται ως εξής: x* = 16,25 Αποδέχοµαι y, 1/4y > 20/16, z* = 20, Απορρίπτω y, 1/4y < 20/16 Αποδέχοµαι x, 20 x > 3,75, y* = 5, Αποδέχοµαι Απορρίπτω x, 20 x < 3,75 z, 0 < z < 20 (b) Για δ Ε = ¼ και δ S = ½ το παίγνιο παίρνει την εξής µορφή: 33

18 αποδοχή (x, 20 x) a b E x S (5/4, 15/2) (5/4, 15/2) αποδοχή [1/4y, ½(20 z)] όχι f d [1/16z, ¼(20-z)] S y E (20/16, 0) αποδοχ. Όχι e (20/16, 0) f Ε z S όχι (0, 0) Οι στρατηγικές των Ε και S εξελίσσονται διαδοχικά ως εξής: (κόµβος f): S: [Αποδέχοµαι z, 0 < z < 20] Άρα η Ε του δίνει z* = 20 (κόµβος d): E: Αποδέχοµαι y, ¼y > 20/16 Άρα, το S δίνει στην Ε Απορρίπτω y, ¼y < 20/16 y* = 4 (20/16) => y* = 5 (κόµβος b): S: Αποδέχοµαι x, 20 x > 15/2 Απορρίπτω x, 20 x < 15/2 Άρα, x* = 25/2 Άρα, (x* = 25/2, αποδοχή) είναι η πιθανή συµφωνία µεταξύ εταιρίας και συνδικάτου (c) εδοµένης της ορθολογικότητας της εταιρίας και του συνδικάτου, η ισορροπία στην αποδοχή της πρώτης προσφοράς είναι λογική, γιατί αυτή οδηγεί στα υψηλότερα κέρδη. Αυτή οφείλεται στην ύπαρξη του συντελεστή προεξόφλησης. Στην περίπτωση που δs >δ Ε (όταν δηλαδή το συνδικάτο είναι πιο υποµονετικό) τότε τα κέρδη του συνδικάτου είναι περισσότερα (7,5 > 3,75) και τα κέρδη της εταιρίας είναι λιγότερα (12,5 < 16,25) (d) To παίγνιο παίρνει την εξής µορφή: αποδοχή [x, 20 x] a b x [y, (20 y)] E S (20,0) αποδοχή όχι c (20, 0) d (z, 20 z) S E (20, 0) αποδοχή όχι e (20, 0) f E z S όχι 4ο στάδιο 34

19 Εάν η εταιρία και το συνδικάτο δεν συµφωνήσουν µέχρι το τρίτο στάδιο διαπραγµάτευσης, τότε περνούν στο τέταρτο στάδιο, όπου λαµβάνει µέρος ένα παιχνίδι το οποίο καθορίζει τον τρόπο διανοµής των κερδών. Η διανοµή των κερδών θα εξαρτηθεί από το άθροισµα των απαιτήσεων που κάνουν ταυτόχρονα η εταιρία και το συνδικάτο, δηλαδή απ την ισορροπία του 4 ου σταδίου. Στο 4 ο στάδιο το παίγνιο έχει άπειρες ισορροπίες της µορφής: (e 1, 20 e 1 ) ηλαδή, ισορροπίες κατά Nash θα είναι όλες εκείνες που δίνουν άθροισµα 20. Επειδή ισχύει δ = 1, η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων στην διαπραγµάτευση των 4 ων σταδίων, οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσµα µε την ισορροπία κατά Nash του 4 ου σταδίου, δηλαδή (e 1, 20 e 1 ) Εάν το 4 ο στάδιο δεν υπήρχε οι στρατηγικές των S και Ε θα εξελίσσονταν ως εξής: (κόµβος f): S: [Αποδέχοµαι z, 0 < z < 20] Άρα, η Ε δίνει z* = 20 (κόµβος d): E: Αποδέχοµαι y, y > 2 Άρα, το S δίνει y* = 20 Απορρίπτω y, y < 20 (κόµβος b): S: Αποδέχοµαι x, 20 x > 0 Απορρίπτω x, 20 x < 0 Άρα, x* = 20 Αυτό σηµαίνει ότι όλα τα κέρδη τα παίρνει η εταιρία, αφού η πιθανή συµφωνία εταιρίας και συνδικάτου είναι η (x* = 20, αποδοχή) Όµως, µε την παρουσία του τέταρτου σταδίου τα τρία προηγούµενα στάδια δεν παίζουν κανένα ρόλο στο αποτέλεσµα της διαπραγµάτευσης, το οποίο ταυτίζεται µε την ισορροπία του τέταρτου σταδίου (x* = e 1, 1 e 1 ) Άρα συµφέρει και τις δύο πλευρές να συµφωνήσουν στο πρώτο στάδιο (Αυτά ισχύουν για δ = 1, εάν δ=1 το παίγνιο εξελίσσεται διαφορετικά) ΑΣΚΗΣΗ 20 Ας εξετάσουµε το ακόλουθο παίγνιο µεταξύ δύο παιχτών αθροίσµατος µηδέν (δηλ. το άθροισµα των κερδών των δύο παιχτών είναι µηδέν; όσο κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος) που έχει τρία στάδια: -στο πρώτο στάδιο, ο παίχτης Α εκλέγει a {-1, 2}. -στο δεύτερο στάδιο, η Τύχη εκλέγει b {1, -1}, µε αντίστοιχες πιθανότητες 1/3 και 2/3. -στο τρίτο στάδιο, ο παίχτης Β εκλέγει c {-1, 1} χωρίς να γνωρίζει την εκλογή της Τύχης, αλλά γνωρίζοντας την απόφαση του συµπαίχτη του. Τα κέρδη του παίχτη Α δίνονται από (ac) b. Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική και σε στρατηγική µορφή. Βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash στην στρατηγική µορφή του παιγνίου. 35

20 Λύση -1 (1, -1) p=1/3 1 B 1 (-1, 1) -1 T -1-1 (1, -1) p=2/3 1 (-1, 1) A -1 (-2, 2) p=1/ (2, -2) T -1 B -1 (-½, ½) p=2/3 1 ( ½,-½) Το παραπάνω παίγνιο είναι γνωστό ως παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος. Η στρατηγική του µορφή έχει ως εξής: B (-1, -1) (-1, 1) (1, -1) (1, 1) A -1 1, -1 1, -1-1, -1, 2-1, 1, -1-1, 1, -1 Αξίζει να σηµειωθεί ότι τα ποσά που συµπληρώνουν τη µήτρα αποτελούν τα προσδοκώµενα κέρδη. Αυτό γιατί στο παραπάνω παίγνιο είναι ενεργός ο παράγοντας της τύχης. Για παράδειγµα το 1, +1 της αγκύλης υπολογίζεται ως εξής: {1/3(-1, 1) + 2/3(-1, 1)} => {-1/3 2/3, 1/3 + 2/3} = {-1, 1} Οι ισορροπίες κατά Nash που προκύπτουν είναι οι εξής: [-1 ; (1, -1)] και [-2 ; (1, -1)] Παρατήρηση: Κριτικό σηµείο στην παραπάνω ανάλυση είναι το γεγονός ότι η τύχη παίζει µεταξύ των παιχτών. Σε τέτοιες περιπτώσεις υπολογίζουµε τα αναµενόµενα κέρδη. 36

21 ΑΣΚΗΣΗ 21 Υποθέσατε ότι δύο κατασκευαστικές εταιρίες, UNOSA και DOSSA, λαµβάνουν µέρος σε µια δηµοπρασία για την απόκτηση ενός ηλιακού συστήµατος. Για απλοποίηση ας υποθέσουµε ότι και οι δύο σχεδιάζουν τρεις δυνατές προσφορές, που θα τις καλέσουµε, υψηλή, µέση και χαµηλή. Το σύστηµα δίνεται στην εταιρία που θα κάνει την υψηλότερη προσφορά, και σε περίπτωση ισοπαλίας, θα δοθεί για ιστορικούς λόγους στην UNOSA. Τα προσδοκόµενα κέρδη της εταιρίας που έχει το ηλιακό σύστηµα εξαρτώνται προφανώς από την προσφορά που έκανε και είναι ίσα µε 10 αν η προσφορά είναι υψηλή, 30 αν είναι µέση και 40 αν είναι χαµηλή. Αν δεν κερδίσει την δηµοπρασία, τα κέρδη της εταιρίας είναι µηδέν. Υποθέσατε ότι κάθε εταιρία κάνει την προσφορά της µυστικά και τη στέλνει µέσα σε ένα σφραγισµένο φάκελο. (α) Προσδιορίσατε τη στρατηγική µορφή του παιγνίου. (β) Βρείτε την ισορροπία του παιγνίου απαλοίφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές, δείχνοντας την ακριβή σειρά µε την οποία κάνετε την απαλοιφή. (γ) είξατε αν οι στρατηγικές που προσδιορίσατε στο (β) µια κατά Nash ισορροπία. (δ) Υπάρχει κάποιος άλλος συνδυασµός στρατηγικών που να οδηγεί σε καλύτερα αποτελέσµατα για τον νικητή της διαπραγµάτευσης; Είναι ισορροπία κατά Nash; (ε) είξατε αν η ισορροπία αυτή είναι αποτελεσµατική κατά Pareto ή όχι. Αν όχι, δείξατε ποιος συνδυασµός στρατηγικών θα οδηγούσε σε µια αποτελεσµατική κατανοµή των πόρων. (στ) Υποθέσατε τώρα ότι η εταιρία DOSSA έχει την δυνατότητα να µάθει αν η προσφορά που έκανε η αντίπαλός της είναι χαµηλή ή όχι, άλλα δεν µπορεί να έχει πληροφόρηση που να µπορεί να διακρίνει µεταξύ µέσης και υψηλής προσφοράς. Σχεδιάσατε την αναλυτική µορφή του παιγνίου. (ζ) Προσδιορίσατε πόσες στρατηγικές έχει τώρα κάθε µία από τις εταιρίες, εξηγώντας µε λεπτοµέρειες όλα τα απαιτούµενα βήµατα. (θ) Προσδιορίσατε αν οι συνδυασµοί στρατηγικών (Υψηλή, Υψηλή, Χαµηλή) και (Μέση, Μέση, Χαµηλή) αποτελούν µια επιχειρηµατική συµπεριφορά που δεν είναι πιστευτή. Είναι κανένας από τους δύο συνδυασµούς τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων; Λύση α) Η στρατηγική µορφή του παιγνίου έχει ως εξής: DOSSA Υψηλή Μέση Χαµηλή UNOSA Υψηλή 10, 0 10, 0 10, 0 Μέση 0, 10 30, 0 30, 0,, Μορφή 1 Χαµηλή 0, 10 0, 30 40, 0 37

22 β) Στο συγκεκριµένο παίγνιο δεν υπάρχουν αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές, συνεπώς απαλείφουµε τις ασθενώς κυριαρχούµενες. Με τον τρόπο αυτό όµως, η ισορροπία µας εξαρτάται από τον δρόµο που θα ακολουθήσουµε. Επίσης είναι πιθανόν να χαθούν κάποιες ισορροπίες κατά Nash. Συγκεκριµένα έχουµε: Η χαµηλή στρατηγική για την Dossa είναι ασθενώς κυριαρχούµενη από τις υψηλή και µέση. Συνεπώς µπορεί να παραλειφθεί. Η χαµηλή για την Unosa είναι ασθενώς κυριαρχούµενη από τις υψηλή και µέση. Συνεπώς µπορεί και αυτή µε τη σειρά της να παραλειφθεί. Η µέση για την Dossa είναι ασθενώς κυριαρχούµενη από την υψηλή. Η µέση για την Unosa είναι αυστηρά κυριαρχούµενη από την υψηλή. Το παίγνιο δηλαδή εξελίσσεται ως εξής: DOSSA Υψηλή Μέση Υψηλή 10, 0 10, 0 UNOSA Μέση 0, 10 30, 0, Μορφή 2 Χαµηλή 0, 10 0, 30 DOSSA Υψηλή Μέση Υψηλή 10, 0 10, 0 UNOSA Μέση 0, 10 30, 0, Μορφή 3 DOSSA Υψηλή Υψηλή 10, 0 UNOSA Μέση 0, 10, Μορφή 4 Άρα η ισορροπία που προκύπτει απ την απαλειφή των ασθενώς κυριαρχούµενων στρατηγικών είναι η (Υψηλή, Υψηλή) (10, 0) γ) Από τη µορφή 1 του παιγνίου προκύπτει ότι η λύση (Υψηλή, Υψηλή) αποτελεί ισορροπία κατά Nash. 38

23 δ) Στο σηµείο ισορροπίας (Υψηλή, Υψηλή) νικητής της διαπραγµάτευσης είναι η εταιρία Unosa. Ωστόσο, οι συνδυασµοί (Μέση, Μέση), (Μέση, Χαµηλή) και (Χαµηλή, Χαµηλή) δίνουν καλύτερα αποτελέσµατα για την Unosa, αν και καµία από τις στρατηγικές αυτές δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash. ε) Η ισορροπία (Υψηλή, Υψηλή) δεν είναι άριστη κατά Pareto γιατί υπάρχουν άλλες ισορροπίες {όπως οι : (Μέση, Μέση), (Μέση, Χαµηλή) και (Χαµηλή, Χαµηλή)}, που βελτιώνουν τη θέση του ενός χωρίς να ζηµιώνεται η θέση του άλλου. Οι στρατηγικές που αναφέραµε δηλαδή καθιστούν τουλάχιστον τον νικητή better-off. Το Pareto optimum είναι η στρατηγική (Χαµηλή, Χαµηλή) (40, 0) στ) Η αναλυτική µορφή του παιγνίου σε αυτήν την περίπτωση έχει ως εξής: (10, 0) b Υψηλή d Μέση (10, 0) Υψηλή Χαµηλή (10, 0) (0, 10) a Μέση e Υψηλή Μέση (30, 0) UNOSSA Χαµηλή (30, 0) Χαµηλή c Υψηλή (0, 10) DOSSA Μέση (0, 30) Χαµηλή (40, 0) Στην παραπάνω περίπτωση το πλεονέκτηµα της Dossa είναι το γεγονός ότι κινείται δεύτερη και συνεπώς γνωρίζει αν η προσφορά της Unosa είναι υψηλή ή χαµηλή. ζ) Η Unosa αποφασίζει σε έναν κόµβο, συνεπώς οι στρατηγικές της είναι 3 (3 1 = 3), οι εξής : (Υψηλή, Μέση, Χαµηλή) Η Dossa αντίθετα αποφασίζει ουσιαστικά σε 3 κόµβους, συνεπώς οι στρατηγικές της είναι 9 (3 3 = 3), οι εξής: {(Υψηλή, Υψηλή), (Υψηλή, Μέση), (Υψηλή, Χαµηλή), (Μέση, Υψηλή), (Μέση, Μέση), (Μέση, Χαµηλή), (Χαµηλή, ), (Χαµηλή, Μέση), ( Χαµηλή, Χαµηλή ) Για να ακριβολογούµε όµως οι κόµβοι d και l αποτελούν ένα σύνολο πληροφόρρησης το b, άρα η DOSSA ουσιαστικά αποφασίζει στους κόµβους πληροφόρησης b και c µε τις πιο πάνω στρατηγικές. θ). Η στρατηγική ( Υψηλή ; Υψηλή, Χαµηλή) είναι µη ορθολογική γιατί η DOSSA επιλέγει στον κόµβο C τη στρατηγική χαµηλή που τις δίνει π=0, ενώ αν επέλεγε Μέση θα έπαιρνε π=30. Συνεπώς η στρατηγική Υψηλή, Χαµηλή δεν είναι πιστευτή απειλή από τη DOSSA. 39

24 Η στρατηγική Mέση ; Μέση, Χαµηλή είναι µη ορθολογική γιατί η Dossa επιλέγει στον κόµβο c τη χαµηλή που της δίνει π = 0, ενώ θα ήταν σε καλύτερη θέση αν επέλεγε τη µέση στρατηγική. Στη συγκεκριµένη άσκηση η µοναδική περίπτωση υποπαιγνίου είναι η µορφή 5, η οποία όµως δεν αποτελεί τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων για τον εξής λόγο: Στον τελευταίο κόµβο η καλύτερη επιλογή της DOSSA είναι η µέση. Αφού το χαµηλή στον κόµβο c δεν είναι πιστευτή απειλή δεν µπορεί να είναι ισορροπία κατά Nash. Υψηλή (0, 10) C Μέση (0, 30), Μορφή 5 DOSSA Χαµηλή (40, 0). 40