Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )"

Transcript

1 Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για το τι θα συµβεί αν τα προϊόντα είναι διαφοροποιηµένα. Είχαµε τις καµπύλες ζήτησης: D 1 (P 1, P 2 ) = α bp 1 + dp 2 b > d > 0 D 2 (P 1, P 2 ) = α bp 2 + dp 1 Είπαµε ότι αυτό είναι ένα άλλο παράδειγµα, στο οποίο οι παίκτες έχουν άπειρες στρατηγικές και ότι ο τρόπος επίλυσης του είναι ο ίδιος µε τον τρόπο επίλυσης που είχαµε ακολουθήσει στον ανταγωνισµό σε ποσότητες. ηλαδή κάθε παίκτης θα µεγιστοποιήσει τα κέρδη του, δεδοµένου το τι κάνει ο άλλος και στη συνέχεια θα βρούµε την συνάρτηση αντίδρασης (βέλτιστης απάντησης). Οπότε ο παίκτης Ι θα: max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) P1 µεγιστοποιήσει τα κέρδη του, δεδοµένης της τιµής του άλλου, και από αυτή την µεγιστοποίηση θα βγει η συνάρτηση βέλτιστης απάντησης: (P 1 c)( b)+(α bp 1 +dp 2 ) = 0 1 P 1 = R 1 (P 2 ) = (α + dp2 + cb) Αυτό που θα κάνουµε τώρα είναι να βάλουµε σε ένα διάγραµµα τις συναρτήσεις βέλτιστης απάντησης και να βρούµε την ισορροπία. Θα τις βάλουµε στο διάγραµµα, διότι αυτό που µας ενδιαφέρει είναι να δούµε το επόµενο παίγνιο, στο οποίο οι δύο επιχειρήσεις δεν επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιµές, αλλά τις επιλέγουν διαδοχικά. Τι θα συµβεί εδώ, και γιατί στο νέο αυτό παίγνιο, ο ακόλουθος έχει πλεονέκτηµα; Είχαµε πει, όταν συγκρίναµε το Cournot και Stackelberg, ότι όποια επιχείρηση διαλέγει πρώτα την ποσότητά της, αυτή έχει το πλεονέκτηµα και πετυχαίνει µεγαλύτερα κέρδη. Αυτό όµως δεν είναι µια γενική ιδιότητα σε αυτού του είδους τα παιγνίδια. Εξαρτάται από το παιγνίδι, εξαρτάται από τις µεταβλητές. Επιπλέον ορισµένες φορές το πλεονέκτηµα το έχει ο ηγέτης και ορισµένες πάλι το έχει ο ακόλουθος. Στη συνέχεια θα δούµε ένα παίγνιο, όπου το πλεονέκτηµα το έχει ο ακόλουθος. Πριν όµως, να δούµε πως λύνεται το πρόβληµα µας. Έχουµε βρει την συνάρτηση αντίδρασης της εταιρείας Ι: P 1 = R 1 (P 2 ) = 1 (α + dp2 + cb) και λόγω συµµετρίας έχουµε: 86

2 1 P 2 = R 2 (P 1 ) = (α + dp1 + cb) Λύνοντας τις δύο συναρτήσεις, µπορούµε να βρούµε την ισορροπία. Βέβαια στην συγκεκριµένη περίπτωση, βλέπουµε ότι όλα είναι συµµετρικά οπότε η ισορροπία επίσης είναι συµµετρική και µπορεί να χρησιµοποιηθεί καθαρά η έννοια της συµµετρίας. ηλαδή, από συµµετρία ξέρουµε ότι: P 1 * = P 2 * και µπορούµε να λύσουµε χρησιµοποιώντας µόνο µια συνθήκη πρώτης τάξης. Αντικαθιστώντας το P 2 * στην εξίσωση: 1 P 2 =R 2 (P 1 )= (α+dp1 +cb) Έχουµε: 1 P 2 * = (α + dp2 * + cb) P 2 * = α + dp 2 * + cd P 2 *( d) = α + cb α + cb P 1 *=P 2 *= d Αυτά τα είπαµε για να δούµε πως συµπληρώνεται το αρχικό πρόβληµα όπου οι δύο επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα την τιµή τους. ΙΑ ΟΧΙΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΙΜΩΝ Σε αυτό το παίγνιο, η µια επιχείρηση πρώτα εκλέγει την τιµή της, και µετά εκλέγει η άλλη. Προφανώς, η δεύτερη επιχείρηση και µε την λογική του backwards induction, ξέρει τι έχει γίνει στο παρελθόν, και αφού ξέρει τι έχει γίνει στο παρελθόν µπορεί να επιλέξει την τιµή της δίνοντας την καλύτερη απάντηση. Οπότε ξέρουµε ότι P 2 =R 2 (P 1 ) 87

3 Ξέρουµε αµέσως, ακολουθώντας την λογική του backwards induction ότι δεδοµένου οποιοδήποτε P 1, αυτό που θα κάνει η εταιρεία ΙΙ είναι να δώσει την καλύτερη δυνατή απάντηση. Οπότε, για να λύσουµε µαθηµατικά το πρόβληµα τι θα κάνουµε; Το πρόβληµα της 2 το έχουµε λύσει: 1 P 2 = R 2 (P 1 ) = (α + dp1 + cb) Πάµε πίσω στην εταιρεία Ι, η οποία θα µεγιστοποιήσει τα κέρδη της, κάτω από τον περιορισµό ότι P 2 =R 2 (P 1 ): max (P 1 c)(a bp 1 +dp 2 ) (1) 1 S.t P 2 =R 2 (P 1 )= (α+dp1 +cb) Aντικαθιστούµε το P 2 στο (1) και λύνουµε ως προς P 1. Βρίσκουµε το βέλτιστο P 1 και µετά βρίσκουµε και το P 2. Έτσι βρίσκουµε το (P 1 *, P 2 *) έτσι ώστε να αποτελεί µια ισορροπία που προκύπτει από την µέθοδο backwards induction: d max(p 1 c) α bp1 + (α + dp1 + cb) P1 dα d2 dc max(p 1 c) α bp1 + + P1 + P1 2 F.O.C. dα d2 dc d2 bp1 + + P + +(P 1 c) b + =0 2 α 1 dα d2 dc d2 α bp P1 + bp P d2 +bc =0 2 b ( Α) da dc d c 2 d P d α bc = bp1 + bp1 P1 ( A) P 1 *= 2 d b 1 P 2 *= ( A) α + d + cb d2 b Aυτό που βρίσκουµε δεν είναι το Nash equilibrium, αλλά η λύση από το backwards induction. Εδώ πέρα έχουµε την διαχρονική διάσταση του προβλήµατος. Αυτό που βρίσκουµε ουσιαστικά είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων κατά Nash που θα δούµε πιο µετά. Το καινούριο στοιχείο στο παίγνιο αυτό είναι γιατί ο ακόλουθος πετυχαίνει µεγαλύτερα κέρδη; Και για να το δούµε αυτό, πρέπει να φτιάξουµε τις συναρτήσεις αντίδρασης: 88

4 1 P 1 =R 1 (P 1 )= (α+dp2 +cb), d > 0 b > 0 1 P 2 =R 2 (P 1 )= (α+dp1 +cb) Καταρχήν, βλέπουµε ότι έχουν θετική κλίση, και ξεκινούν από το σηµείο α + cb Tι συµβαίνει τώρα, όταν διαλέγει η πρώτη επιχείρηση, και µετά διαλέγει ή άλλη; Βλέπουµε από το: max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) P1 1 S. t P 2 =R 2 (P 1 )= (α+dp1 +cb) ότι αυτή που διαλέγει πρώτη θεωρεί σαν περιορισµό την καµπύλη αντίδρασης της δεύτερης. Άρα δεδοµένης της καµπύλης αντίδρασης R 2 (P 1 ), η επιχείρηση Ι θα µεγιστοποιήσει τα κέρδη της. ηλαδή θα κινηθεί στην ψηλότερη καµπύλη ίσου κέρδους που θα µπορέσει. Για να δούµε τώρα πως συµπεριφέρονται οι καµπύλες ίσου κέρδους, και ποια είναι η ισορροπία. Η ισορροπία είναι ένα σηµείο επαφής του περιορισµού P 2 =R 2 (P 1 ) και της καµπύλης ίσου κέρδους της εταιρείας Ι. Αρχικά τι ιδιότητες έχουν οι καµπύλες ίσου κέρδους της εταιρείας Ι; 89

5 Ας πάρουµε µια κάθετη. Σε αυτή την κάθετη η τιµή της Ι είναι σταθερή, ενώ όσο πάµε προς τα πάνω η τιµή της επιχείρησης ΙΙ αυξάνεται. Όσο αυξάνεται η τιµή της ΙΙ τι συµβαίνει; Η Ι µπορεί να κερδίσει περισσότερο, όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή υποκατάστατου προϊόντος, τόσο αυξάνεται η ζήτηση της Ι: D 1 (P 1, P 2 )=α bp 1 +dp 2 d > 0 και µπορεί να αυξηθούν τα κέρδη της επιχείρησης Ι. Άρα η κατεύθυνση µας δίνει την κατεύθυνση όπου αυξάνονται τα κέρδη της Ι. Ποιες ιδιότητες έχουν οι καµπύλες ίσου κέρδους; Έχουν το πιο κάτω σχήµα. Η καµπύλη αντίδρασης της Ι στο σηµείο τοµής της µε την καµπύλη ίσου κέρδους αντιστοιχεί στο σηµείο όπου η καµπύλη ίσου κέρδους έχει κλίση µηδέν. 90

6 m: σηµείο επαφής της καµπύλης ίσου κέρδους µε την καµπύλη αντίδρασης της ΙΙ. Γιατί στο σηµείο A, B, C έχει κλίση µηδέν η καµπύλη ίσου κέρδους; ιότι είναι το µέγιστο κέρδος της εταιρίας Ι δεδοµένου µιας τιµής της ΙΙ. Η βέλτιστη αντίδραση σηµαίνει ότι η καµπύλη ίσου κέρδους πρέπει να έχει µηδενική κλίση στο σηµείο τοµής της. Άρα η καµπύλη αντίδρασης της Ι, R 1 (P 2 ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που µεγιστοποιούνται τα κέρδη δεδοµένης της τιµής του αντιπάλου. Τι βλέπουµε από το σχήµα; Ότι η επιχείρηση Ι παίρνει ως δεδοµένη - ως περιορισµό, την καµπύλη αντίδρασης της ΙΙ. Και πάει στο ψηλότερο επίπεδο κερδών που µπορεί. Ποιο είναι το ψηλότερο επίπεδο; Είναι εκεί όπου η καµπύλη ίσου κέρδους της Ι εφάπτεται µε τον περιορισµό. Άρα η ισορροπία θα είναι στο m. Τι βλέπουµε στην ισορροπία; Ποιος από τους δύο έχει µεγαλύτερη τιµή; Στο σηµείο m είναι η ισορροπία του Stackelberg µε την έννοια ότι είναι ισορροπία στο µοντέλο του ηγέτη-ακόλουθου. Το Κ είναι η ισορροπία στην περίπτωση όπου οι 2 επιχειρήσεις εκλέγουνε ταυτόχρονα τις τιµές, η τοµή των 2 καµπυλών αντίδρασης. Τι βλέπουµε από εδώ. Ποια είναι µεγαλύτερη: η PS 1 ή PS 2 ; 91

7 Το βλέπουµε από το σχήµα. Από το αρχικό πρόβληµα ξέρουµε ότι έχουµε συµµετρία: α + cb P 1 *=P 2 *= στο Κ d Άρα ξέρουµε ότι το σηµείο Κ ανήκει στη γραµµή των 45. Αυτό σηµαίνει συµµετρία: ότι το σηµείο τοµής των καµπύλων αντίδρασης ανήκει στην γραµµή των 45 ο. Άρα η καµπύλη R 2 (P 1 ) έχει µικρότερη κλίση από την γωνιά των 45. Άρα αν µετακινηθούµε από το σηµείο Κ στο m, δεδοµένου ότι R 2 (P 1 ) έχει µικρότερη κλίση από 1, γνωρίζουµε ότι θα µεγαλώσει περισσότερο η P 1 αντί η P 2. Άρα ξεκινούµε από το σηµείο Κ, όπου οι δύο τιµές ισούνται, και φθάνουµε στο m όπου, αφού η κλίση R 2 (P 1 )είναι µικρότερη του 1 σηµαίνει ότι: PS 1 P 1 * > PS 2 P 2 * οριζόντια απόσταση κάθετη απόσταση Άρα από το σχήµα γνωρίζουµε ότι: PS 1 > P S 2 > Ρ 1 = Ρ 2 (τιµές ισορροπίας όταν επιλέγονται ταυτόχρονα οι τιµές.) 92

8 Άρα τι συµπεράσµατα βγάζουµε αµέσως; εδοµένου της αρχικής συµµετρίας, αν η µια από τις δύο επιχειρήσεις έχει ψηλότερη τιµή, θα κάνει λιγότερα κέρδη: Π 1 *=Π 2 *< Π S 1 < Π S 2 Αυτό φαίνεται και από τα γεγονός ότι καµπύλη Π 1 είναι πιο κάτω από την καµπύλη Π 1. Άρα έχουµε µετακινηθεί σε ψηλότερες καµπύλες ίσου κέρδους. ****Σηµείωση: Όλα αυτά τα αποτελέσµατα µπορεί να διαφέρουν χωρίς συµµετρία. ιότι µια ασυµµετρία υπέρ του ηγέτη µπορεί να µεταφραστεί σε µεγαλύτερα κέρδη για τον ηγέτη. Όµως, εδώ βλέπουµε την περίπτωση που τα πάντα είναι συµµετρικά. Παρόλο που τα πάντα είναι συµµετρικά, αν υπάρχει µια επιχείρηση που εκλέγει πρώτα την τιµή της και µια επιχείρηση που εκλέγει δεύτερη, έχει µεγαλύτερη κέρδη αυτή που εκλέγει δεύτερη και αυτό λέγεται πλεονέκτηµα του ακόλουθου. Άρα, υπάρχουν ορισµένα παίγνια όπου έχει πλεονέκτηµα αυτός που παίρνει πρώτος αποφάσεις, και υπάρχουν ορισµένα παίγνια που το πλεονέκτηµα το έχει ο ακόλουθος (last-mover advantage). Αντίθετα στο Stackelberg και Cournot µε ποσότητες είδαµε ότι είχαµε first-mover advantage. Και η λογική εδώ είναι η εξής: ο follower βλέπει ποια τιµή έθεσε ο leader ( PS 1 ) ( P S 2 ). oπότε πάει και θέτει µια µικρότερη τιµή Και αυτό φαίνεται µε το παράδειγµα που δώσαµε για τα οµοιογενή αγαθά. Τι είπαµε για τα οµοιογενή αγαθά; Ότι τιµή και να θέσει ο πρώτος, ο δεύτερος πάντα θα έχει την δυνατότητα να µειώνει λίγο την τιµή του, και να κερδίζει ολόκληρη την αγορά. Εδώ, το φαινόµενο δεν είναι τόσο δραµατικό. Θέτει ο πρώτος την τιµή, και ο δεύτερος κόβει λίγο από την τιµή και πετυχαίνει µεγαλύτερα κέρδη. Αυτά είναι παραδείγµατα, που βλέπουµε ποια είναι η µεθοδολογία και ποια τα συµπεράσµατα. (Στο διαγώνισµα θα µπορούσε να µπει κάτι που δεν θα έχει καµιά σχέση µε επιχειρήσεις. Απλώς θα έχει την ίδια λογική. Θα ερωτηθούµε π. χ υπάρχει first mover advantage κλπ; Θα µπορούσε να µας δωθεί ένα πρόβληµα µε στρατηγική ως προς την έρευνα και τεχνολογία ή ως προς κάτι άσχετο µε οικονοµικά). Είδαµε ότι όταν το προϊόν είναι οµοιογενές το οικονοµικό intuition είναι το ίδιο. Η δεύτερη επιχείρηση, βλέπει την τιµή της πρώτης την κόβει κατά ε και κερδίζει τα πάντα. Εδώ τα πράγµατα δεν είναι τόσο δραµατικά. Βλέπει την τιµή, την ρίχνει λίγο, κερδίζει περισσότερα αλλά όχι τα πάντα. 93

9 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Υπάρχουν πολλά προβλήµατα που έχουν ασυνεχείς καµπύλες αντίδρασης. Έχοντας τώρα όλα τα εργαλεία στα χέρια µας, µπορούµε να λύσουµε προβλήµατα, όπου δεν υπάρχουν ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές, άρα πρέπει να βρούµε την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές ή προβλήµατα στα οποία υπάρχουν ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές αλλά υπάρχει επίσης κάποια ή κάποιες ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές. Ο λόγος για τον οποίο είπαµε ότι τα προβλήµατα σε µεικτές στρατηγικές είναι κατά κάποιο τρόπο ισοδύναµα µε τα προβλήµατα στα οποία οι παίκτες έχουν ένα άπειρο αριθµό στρατηγικών είναι ο εξής: όταν ένας παίκτης επιλέγει µεικτή στρατηγική, βασικά εκλέγει µια κατανοµή πιθανοτήτων πάνω στις αµιγείς στρατηγικές. ηλαδή, θα δούµε ότι το σύνολο στρατηγικών που έχει το άτοµο, είναι το σύνολο των πιθανοτήτων. Η πιθανότητα µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από [0, 1]. Ας πούµε ότι έχουµε ένα άτοµο που έχει δύο στρατηγικές. Μια µεικτή στρατηγική ορίζεται σαν την κατανοµή πιθανότητας πάνω στις δύο αυτές στρατηγικές. Άρα πόσες στρατηγικές έχει το άτοµο στα χέρια του; Έχει άπειρες. Παράδειγµα: Ένα άτοµο µπορεί να πάει αριστερά ή δεξιά. Άρα έχει δύο στρατηγικές στα χέρια του: (Α, ) Ποια είναι µια µεικτή στρατηγική στην περίπτωση αυτή; Μια µεικτή στρατηγική, είναι να πάει δεξιά µε πιθανότητα p και αριστερά µε (1 p). (A, ) (p, 1 p) Άρα, ποιο είναι το σύνολο των στρατηγικών που έχει στα χέρια του; 0 p 1. Αυτό που θα επιλέξει δεν είναι πλέον αριστερά ή δεξιά. Θα επιλέξει την πιθανότητα µε την οποία θα πάει αριστερά (p). Άρα βλέπουµε ότι έχουµε ένα παίγνιο, όπου ο αριθµός των στρατηγών του παίχτη είναι άπειρο. Αλλά υπάρχει µια αντιστοιχία µεταξύ του υπολογισµού των µεικτών στρατηγικών και του παιγνίου µε άπειρες στρατηγικές. Η στρατηγική θα γραφτεί ως (A, ; p, 1 p). Παράδειγµα: Αν ένα άτοµο έχει τρεις στρατηγικές: αριστερά (Α), δεξιά ( ), ίσια (Ι) τι θα συµβεί; (Α, Ι, ) Εδώ χρειαζόµαστε 2 πιθανότητες. (Α, Ι, ) (P 1, P 2, 1 P 1 P 2 ) 94

10 Και βλέπουµε ότι αντί να έχουµε το διάστηµα 0 1, έχουµε ένα τρίγωνο. Σηµείωση: Το πρώτο που κοιτάζει κανείς είναι για ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Αν υπάρχει ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές, τότε µετρούµε τις ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Αν είναι 2 σηµαίνει ότι υπάρχει ακόµα µια σε µεικτές στρατηγικές. Αλλά υπάρχουν άλλα παίγνια που δεν έχουν ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Θα δούµε ένα κλασσικό παίγνιο που δεν έχει ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές. ΠΕΤΡΑ ΧΑΡΤΙ ΚΑΙ ΨΑΛΙ Ι Έχουµε δύο παίκτες. Ο ένας κερδίζει και ο άλλος χάνει. Αυτός που κερδίζει παίρνει 1 και αυτός που χάνει δεν παίρνει τίποτα. Απλώς παίρνουν πόντους. Η πέτρα σπάει το ψαλίδι. Το χαρτί τυλίγει την πέτρα. Το ψαλίδι κόβει το χαρτί. Π Χ Ψ Π 0, 0 0, 1 1, 0 Χ 1, 0 0, 0 0, 1 Ψ 0, 1 1, 0 0, 0 Eίναι λοιπόν ξεκάθαρο ότι αν ο ένας ακολουθεί µια συγκεκριµένη στρατηγική, θα χάσει. Αν συνέχεια παίζει (χαρτί, χαρτί) ο άλλος θα τον ανακαλύψει, θα παίξει ψαλίδι, ψαλίδι και τελείωσε. Πως φαίνεται αυτό το πράγµα εδώ; Η καλύτερη απάντηση στην πέτρα είναι το χαρτί. Η καλύτερη απάντηση στο χαρτί είναι το ψαλίδι. Η καλύτερη απάντηση στο ψαλίδι είναι η πέτρα. 95

11 Π Χ Ψ Π 0, 0 0, 1 1, 0 Χ 1, 0 0, 0 0, 1 Ψ 0, 1 1, 0 0, 0 Σε αµιγείς στρατηγικές δεν υπάρχει ισορροπία. Είναι ξεκάθαρο ότι η ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές είναι (Ρ π, Ρ x, Ρ ψ )=(1/3, 1/3, 1/3). Αλλά αυτό πρέπει να βρεθεί µε ένα συγκεκριµένο τρόπο. Απλώς κάναµε αυτό το παίγνιο, για να δούµε ότι υπάρχουν διάφορα παίγνια που δεν έχουν ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Ένα άλλο παίγνιο το οποίο δεν έχει ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές είναι το Matching Pennis. Κ Γ Κ -1, 1 1, -1 Γ -1, -1-1, 1 Εδώ πέρα δεν υπάρχει ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές. p 1-p q 1-q Κ Κ -1, 1 1, -1 Γ 1, -1-1, 1 Γ Θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. Εδώ, επειδή το παιγνίδι είναι πολύ συµµετρικό, υπάρχει µια µοναδική ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. Τώρα, θα χρησιµοποιήσουµε µια γενική µέθοδο που µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε οποιαδήποτε παίγνιο. Η στρατηγική του παίκτη I είναι: (Κ, Γ; p, (1 p)) και του παίκτη II: (Κ, Γ; q, (1 q)) Για να δούµε τώρα ποια είναι η συνάρτηση αντίδρασης του παίχτη I, δεδοµένου ότι ο παίκτης II ακολουθεί την στρατηγική (K, Γ ; q, (1 q)) 96

12 Ο παίκτης I µπορεί να ακολουθήσει την στρατηγική Κ, Γ ή µια οποιαδήποτε ενδιάµεση στρατηγική. Αν ακολουθήσει την στρατηγική Κ, θα έχει κέρδη: Π 1 (Κ)=( 1)q+(1 q)1=1 2q Π 1 (Γ)=q( 1)+( 1)(1 q)=2q 1 H λογική είναι απλή: αν Π 1 (Κ) > Π 1 (Γ), αν δηλαδή 1 2q > 2q 1 q < ½ τότε Κ=(Κ, Γ; 1, 0) αν Π 1 (Κ) < Π 1 (Γ), αν δηλαδή 1 2q < 2q 1 q > ½ τότε Γ=(Κ, Γ; 0, 1) αν Π 1 (Κ) = Π 2 (Γ), αν δηλαδή 1 2q=2q 1 q = ½ τότε Γ=(Κ, Γ; p,1 p), 0 p 1, δηλαδή οποιαδήποτε απάντηση είναι βέλτιστη, ακόµα και p=0 ή p=1. Με p=0 σηµαίνει ότι δίνει απάντηση γράµµατα και p=1 κορώνα. Άρα ήδη έχουµε την καµπύλη αντίδρασης του Ι. Η καµπύλη αντίδρασης του Ι, R 1 (q) ορίζει για κάθε στρατηγική του ΙΙ, τι είναι το καλύτερο να κάνει ο παίκτης Ι. Τι είναι το διάγραµµα; Είναι ένα τετράγωνο που στον οριζόντιο άξονα εµφανίζεται η πιθανότητα p και στον άλλο q. Μόνο µε την πιθανότητα µπορούµε να χαρακτηρίσουµε ολόκληρη την στρατηγική του παίχτη Ι (µε πιθανότητα p) και του παίκτη ΙΙ (µε πιθανότητα q). Με µόνο ένα νούµερο δεν χρειαζόµαστε παραπάνω! Πως χαρακτηρίζεται η στρατηγική του παίχτη Ι; Από το p, όπου 0 p 1. Άρα η στρατηγική του παίχτη 1 είναι το ΑΒ. Η στρατηγική του παίκτη ΙΙ είναι το AC. Από τα παραπάνω, υπάρχει ένα q που είναι κρίσιµο: το q=½. 97

13 Αν το q > ½, τότε το p=1 (κορώνα). Αν το q < ½, τότε το καλύτερο για τον Ι είναι το p=0 (γράµµατα). Αν q=½, οτιδήποτε p είναι εντάξει (0 p 1). Άρα βρίσκουµε την συνάρτηση αντίδρασης του παίχτη Ι, R 1 (q). Την ίδια ανάλυση µπορούµε να κάνουµε και για τον παίχτη 2. Λόγω του ότι όλα είναι συµµετρικά, µπορούµε εύκολα να βρούµε την καµπύλη αντίδρασης του 2. Π 2 (Κ)=(1)p+(1 p)( 1)=2p 1 Π 2 (Γ)=( 1)p+(1)(1 p)=1 2p Αν Π 2 (Κ) > Π 2 (Γ) 2p 1 > 1 2p p > ½ τότε Κ=[Κ, Γ; 1, 0] Αν Π 2 (Κ) < Π 2 (Γ), αν δηλαδή 2p 1 < 1 2p p < ½ τότε Γ=[Κ, Γ; 0, 1] Αν Π 2 (Κ)=Π 2 (Γ), αν δηλαδή 2p 1=1 2p p=½ τότε (K, Γ; q, 1 q), 0 q 1 98

14 Ποια είναι η λύση; Το σηµείο τοµής των καµπυλών αντίδρασης. Άρα ποια είναι η ισορροπία, πως γράφουµε την ισορροπία και ποιο το αποτέλεσµα της ισορροπίας; Η ισορροπία κατά Nash σε µεικτές στρατηγικές είναι: [(Κ, Γ; ½, ½), (Κ, Γ; ½, ½)] Για τον παίχτη 1 Για τον παίχτη 2 Το p*=q*=½ δεν είναι η ισορροπία. Άρα βρήκαµε την ισορροπία, όµως ποιο είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας; Θα βρούµε τα αναµενόµενα κέρδη, τα οποία θα είναι µηδέν, για κάθε παίχτη. Γιατί θα είναι µηδέν; Υπάρχουν δύο τρόποι για να το δούµε: (1) ο πρώτος τρόπος είναι να πούµε: µε τι πιθανότητα θα παιχτεί ο κάθε συνδυασµός; ½ (2) Κ ½ Γ ½ (1) ½ Κ Γ ½ x ½ = ¼ -1, 1 ½ x ½ = ¼ 1, -1 ½ x ½ = ¼ 1, -1 ½ x ½ = ¼ -1, 1 Mε πιθανότητα 1/4. Άρα, οποιοσδήποτε συνδυασµός στρατηγικών, θα παιχτεί µε πιθανότητα ίση µε 1/4. Άρα κάθε παίκτης µε πιθανότητα 1/4 θα κερδίσει 1, θα χάσει 1 µε 1/4, θα κερδίσει 1 µε 1/4 και θα χάσει 1 µε πιθανότητα 1/4. Οπότε θα έχει αναµενόµενα κέρδη µηδενικά. 99

15 (2) Ένας πιο εύκολος τρόπος να βρούµε τα αναµενόµενα κέρδη είναι να πούµε το εξής: δεδοµένου ότι ο παίκτης ΙΙ ακολουθεί την στρατηγική ισορροπία q*=½, τι κέρδη κάνει ο παίκτης Ι όταν παίξει την στρατηγική κορώνα ή την στρατηγική γράµµατα; Είναι διαφορετικά τα κέρδη του όταν ακολουθεί γράµµατα ή όταν ακολουθεί κορώνα; ΟΧΙ. εδοµένου ότι ο παίκτης ΙΙ ακολουθεί την στρατηγική q*=½, τι κέρδη δίνει στον Ι η στρατηγική γράµµατα ή κορώνα; Του δίνει το ίδιο: Άρα ότι αναµένει να κερδίσει µε γράµµατα, αναµένει να κερδίσει και µε κορώνα όπως και µε οποιοδήποτε συνδυασµό των δύο. Άρα δεν είναι ανάγκη να αναλύσουµε για να δούµε µε τι πιθανότητα θα παιχτεί κάθε τετραγωνάκι. Μπορούµε να πάρουµε µια συγκεκριµένη στρατηγική (οποιαδήποτε από τις αµιγείς στρατηγικές χρησιµοποιείται στη µεικτή στρατηγική) και να υπολογίσουµε τα κέρδη στην στρατηγική αυτή; Απορία: Γιατί τα κέρδη θα είναι ίδια και µε Κ και µε Γ; ιότι και η Κ και τα Γ είναι βέλτιστη αντίδραση. Όπως επίσης βέλτιστη αντίδραση είναι και οποιοσδήποτε συνδυασµός των Κ και Γ. Τι σηµαίνει η καµπύλη αντίδρασης; 100

16 Όταν ο παίκτης 2 ακολουθεί µια στρατηγική q*=½, το καλύτερο που µπορεί να κάνει ο παίκτης Ι τι είναι; Ο,τιδήποτε και να παίξει είναι το καλύτερο. Τι σηµαίνει ο,τιδήποτε και να παίξει είναι το καλύτερο; Ότι τα κέρδη του, ο,τιδήποτε και να κάνει είναι τα ίδια. Άρα τα κέρδη του µε το να παίξει Γ είναι τα ίδια µε το να παίξει Κ. Άρα µπορούµε απλώς να υπολογίσουµε τα κέρδη του όταν για παράδειγµα παίξει Γ και να βρούµε τα κέρδη του τα αναµενόµενα, από την στρατηγική του. Το ίδιο ισχύει και για τον παίχτη ΙΙ, όταν ο Ι τηρεί τον κανόνα p*=½. Προσοχή, διότι αυτό είναι το κλειδί για να λυθούν πιο δύσκολα προβλήµατα µε µεικτές στρατηγικές. Σε µια µεικτή στρατηγική δεν είναι απαραίτητο να είναι όλες οι αµιγείς στρατηγικές. Για παράδειγµα είπαµε ότι µια στρατηγική που είναι αυστηρά κυριαρχούµενη, ποτέ δεν θα µπει σε µια ισορροπία κατά Nashο. Οπότε ορισµένες µόνο από τις αµιγείς στρατηγικές θα χρησιµοποιούνται στην µεικτή στρατηγική. Αυτές αποτελούν το support της κατανοµής των πιθανοτήτων. Ας πάρουµε αυτές τις αµιγείς στρατηγικές που χρησιµοποιούνται µε θετική πιθανότητα σε µια µεικτή στρατηγική. Όλες αυτές οι αµιγείς στρατηγικές θα δίνουνε τα ίδια κέρδη στον παίχτη. Εδώ είδαµε ότι και οι δύο αµιγείς στρατηγικές (Κ, Γ) χρησιµοποιούνται µε θετική πιθανότητα. Άρα και οι δύο αµιγείς στρατηγικές ανήκουν στο support της µεικτής στρατηγικής. Άρα και οι δύο αµιγείς στρατηγικές θα δίνουν στον παίχτη τα ίδια κέρδη. ****Σηµείωση: Αυτή είναι µια ιδιότητα πολύ πιο γενική που θα την χρησιµοποιήσουµε αργότερα, για να λύσουµε πολύ πιο δύσκολα προβλήµατα σε ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές. Είπαµε ότι σε µια µεικτή στρατηγική χρησιµοποιούνται µε πιθανότητα θετική κάποιες αµιγείς στρατηγικές. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα και η κορώνα και τα γράµµατα χρησιµοποιούνται µε θετική πιθανότητα (½). Μεικτή στρατηγική σηµαίνει κατανοµή πιθανοτήτων πάνω σε αµιγείς στρατηγικές. Μια 101

17 µειχτή στρατηγική µπορεί να είναι κατανοµή πιθανοτήτων σε όλες τις αµιγείς στρατηγικές ενός παίχτη, ή σε ένα υποσύνολο τους. Ας πούµε ότι είναι σε ένα υποσύνολο. Τα κέρδη ενός παίχτη στην ισορροπία κατά Νash σε µειχτές στρατηγικές, όταν χρησιµοποιούµε µια οποιαδήποτε από τις αµιγείς στρατηγικές που ανήκουνε στο υποσύνολο των στρατηγικών που χρησιµοποιούνται στην µεικτή στρατηγική, είναι τα ίδια. Επίσης τα κέρδη του είναι µικρότερα αν χρησιµοποιήσει οποιαδήποτε αµιγή στρατηγική που δεν ανήκει στο support της µεικτής στρατηγικής. 102

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3 Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot -To υπόδειγμα Cournot έχει υποστεί τρία είδη κριτικής: () Το υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y Κεφάλαιο 1 Το τελευταίο που κάναµε ήταν µια ιαπραγµάτευση στην οποία υπάρχουν ύο παίκτες, κάνει ο ένας µια προσφορά, ο άλλος τη έχεται ή όχι. Αν εν την εχτεί κάνει αντιπροσφορά την οποία ο πρώτο παίχτης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1

Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1 Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1 Βασική ιάκριση: Προϊόντα κάθετα διαφοροποιηµένα (κοινός δείκτης ποιότητας) Προϊόντα οριζόντια διαφοροποιηµένα (δεν υπάρχει κοινός δείκτης ποιότητας) Προϊόντα Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Οµοιογενή Προϊόντα Ισορροπία Courot-Nash Έστω δυοπώλιο µε συνάρτηση ζήτησης: ( ) a b a, b > 0 () Βέβαια ισχύει ότι: + () Ακόµα υποθέτουµε ότι η τεχνολογία παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4

ΑΣΚΗΣΗ 10. Λύση. π/ P1 =0 => P1+P2+4=0 => 4P1=1004+P2 => P1= 1004+P2 = R1(P2) 4 P2= 1004+P1 = R2(P1) 4 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 = 1000 2p1 +p2 και q 2 = 1000 2p2 +p1. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία Ολιγοπωλιακή Ισορροπία - Χρησιμοποιούμε τις βασικές αρχές της θεωρίας παιγνίων για να εξετάσουμε τη στρατηγική αλληλεπίδραση των επιχειρήσεων σε ατελώς ανταγωνιστικές αγορές, εστιάζοντας την προσοχή μας

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand 3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Ολιγοπώλιο και αρχιτεκτονική των επιχειρήσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Ολιγοπώλιο και αρχιτεκτονική των επιχειρήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ολιγοπώλιο και αρχιτεκτονική των επιχειρήσεων Ολιγοπώλιο Υπάρχουν ελάχιστοι πωλητές ενός προϊόντος Ο ανταγωνισµός δεν στηρίζεται µόνο στην τιµή Υπάρχουν εµπόδια εισόδου (στον κλάδο) υοπώλιο:

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση 0/3/7 HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 8 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των Spence-Dixit

Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των Spence-Dixit Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των pence-dixit pence, Michael 977, Entry, apacity, Investment and Oligopolisting Pricing Dixit, Avinash 979, A Model of Duopoly uggesting a Theory of Entry Barriers - Στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης (ilgrom, Paul and John Roberts 98, imit Pricing and Entry under Incomplete Information) - Μια επιχείρηση ακολουθεί πολιτική οριακής τιμολόγησης (limit pricing) όταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Mικροοικονοµικές Πολιτικές της ΕΕ. Χρυσοβαλάντου Μήλλιου Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Mικροοικονοµικές Πολιτικές της ΕΕ. Χρυσοβαλάντου Μήλλιου Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Mικροοικονοµικές Πολιτικές της ΕΕ Χρυσοβαλάντου Μήλλιου Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών 2. Οικονοµική Θεµελίωση: Δοµές Αγοράς Χ. Μήλλιου - ΟΠΑ 2 Αγορά Τι είναι η αγορά; Στην αγορά κάθε προϊόντος υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευάσει 0, , 0 Όχι 20, 10 30, 0

Κατασκευάσει 0, , 0 Όχι 20, 10 30, 0 ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων: Β1 Β2 Β3 Β4 Α1 100,50 60,60 30,70 0,80 Α2 60,60 50,70 60,60 0,60 Α3 50,50 40,40 70,30 0,20 Α4 0,0 0,0 50,0 1,1 B1 B2 B3 A1 10,4 1,5 98,4 A2 9,9 0,3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος . Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος - Ορισμός. Αν η αύξηση του επιπέδου ενός χαρακτηριστικού που διαφοροποιεί τα προϊόντα των επιχειρήσεων ωφελεί κάποιους καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ. Ολιγοπώλιο Κλωνάρης Στάθης

ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ. Ολιγοπώλιο Κλωνάρης Στάθης ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ Ονομάζεται η δομή της αγοράς που χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη σχετικά μικρού αριθμού επιχειρήσεων αλλά μεγάλες σε μέγεθος σχετικά με την αγορά που εξυπηρετούν. Οι ολιγοπωλιακές επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Διάλεξη 6 ΖΗΤΗΣΗ Συγκριτική στατική ανάλυση των συναρτήσεων της κανονικής ζήτησης είναι η µελέτη του πώς οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης (, 2,) και (, 2,) αλλάζουν όταν οι τιµές,

Διαβάστε περισσότερα

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος () Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος - Στα χωροθετικά υποδείγματα διαφοροποιημένου προϊόντος, οι καταναλωτές είναι ετερογενείς (δηλαδή έχουν διαφορετικές προτιμήσεις μεταξύ τους ή βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση ΙΙ

Μικροοικονομική Ανάλυση ΙΙ Κατ επιλογήν υποχρεωτικό, 3 ώρες εβδομαδιαίως, Θεωρία, Διδάσκον: Περιλαμβάνει: 1. Θεωρία Βιομηχανικής Οργάνωσης 2. Θεωρία Γενικής Ισορροπίας 1 Ορισμοί και βασικές έννοιες Βιομηχανικής Οργάνωσης Ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη.

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. 4. Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. Η αγορά ασφαλιστικών συµφωνιών είναι µία ιδιαίτερη περίπτωση αγοράς δικαιωµάτων. Αντικείµενο της αγοράς αυτής είναι να δώσει την ευκαιρία µεταβίβασης εισοδήµατος από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 11. Μεγιστοποίηση κέρδους. Οικονοµικό κέρδος. Η ανταγωνιστική επιχείρηση

Διάλεξη 11. Μεγιστοποίηση κέρδους. Οικονοµικό κέρδος. Η ανταγωνιστική επιχείρηση Οικονοµικό κέρδος Διάλεξη Μεγιστοποίηση Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί εισροές j,m για να παραγάγει n προϊόντα i, n. Τα επίπεδα του προϊόντος είναι,, n. Τα επίπεδα των εισροών είναι,, m. Οι τιµές των προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι 3. Θεωρία της Επιχείρησης 3. Η Ανταγωνιστική Επιχείρηση. Το τµήµα αυτό έχει δύο στόχους. Πρώτα να δείξει ότι αν υπάρχει ουδετερότητα απέναντι στον κίνδυνο, τότε η µέση αξία ενός αβέβαιου γεγονότος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού

Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού Ενότητα 1: Νικόλαος Χαριτάκης Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Περιεχόμενα Ορισμοί Ισορροπία Nash

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ

ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ 1 ΚΦΑΛΑΙΟ 6 ΖΗΤΗΣΗ, ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΚΑΙ ΙΣΣΟΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ Οι καµπύλες ζήτησης και προσφοράς είναι αναγκαίες για να προσδιορίσουν την τιµή στην αγορά. Η εξοµοίωσή τους καθορίζει την τιµή και τη ποσότητα ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 5.1 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ Ο κλάδος των Τηλεπικοινωνιών είναι από τους ταχέως αναπτυσσόµενους κλάδους σχεδόν σε κάθε χώρα. Οι υπηρεσίες τέτοιου είδους αποτελούν το πιο απλό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων-Ολιγοπώλιο σε ποσότητες

Θεωρία Παιγνίων-Ολιγοπώλιο σε ποσότητες Θεωρία Παιγνίων-Ολιγοπώλιο σε ποσότητες Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 4 Μαρτίου 214 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Παιγνίων-Ολιγοπώλιο σε ποσότητες 4 Μαρτίου 214 1 / 14 Ενα απλούστατο παίγνιο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Χ Γ Χ Γ Β Χ Β Α Β Γ Χ Α =100 Ψ 10 0 Α Β 0,25 4 0,

Χ Γ Χ Γ Β Χ Β Α Β Γ Χ Α =100 Ψ 10 0 Α Β 0,25 4 0, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 16 ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑ Α ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. α. Λ β.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ. Κεφάλαιο 2. Οικονοµικά των Επιχειρήσεων Ε.Σ.Σαρτζετάκης 2

Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ. Κεφάλαιο 2. Οικονοµικά των Επιχειρήσεων Ε.Σ.Σαρτζετάκης 2 Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΑΓΟΡΩΝ Άντε πάλι.. Για να δούµε πόσες φορές θα κάνουµε αυτή τη δουλειά Κεφάλαιο 2 Οικονοµικά των Επιχειρήσεων Ε.Σ.Σαρτζετάκης 1 Εισαγωγή! Η λειτουργία των αγορών προσδιορίζεται από δύο

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 1 / 44 ύο Ϲητήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Συνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto Συνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

0 χ1 χ2 Ι2 χ3 Ι5 Ι3 χ

0 χ1 χ2 Ι2 χ3 Ι5 Ι3 χ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ - ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ Ι1 χ/ Ρ=0 χ/ Ρ>0 χ/ Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

25. Μία τυπική επιχείρηση που λειτουργεί σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού, στη μακροχρόνια θέση ισορροπίας της: α. πραγματοποιεί θετικά οικονομικά κέρδη. β. πραγματοποιεί μηδενικά οικονομικά κέρδη. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας Πολιτικής Οικονομίας

Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας Πολιτικής Οικονομίας Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας Πολιτικής Οικονομίας Άσκηση στο μάθημα «Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση» Νίκος Θεοχαράκης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις . Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις Α. Ενημερωτική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακά Ανταγωνιστική Αγορά (Butters, Gerard 977, Equilibrium Distribution of Prices and Advertising) -To υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Οι οικονοµολόγοι ενδιαφέρονται να µετρήσουν ορισµένες µεταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψεις και για να εκτιµήσουν µε σχετική ακρίβεια τι αποτέλεσµα θα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2016-17 Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων Άσκηση 1 1. α) Αν βάλουµε την ποσότητα του αγαθού X στον οριζόντιο και την ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 8. Ολιγοπώλιο VA 27

Διάλεξη 8. Ολιγοπώλιο VA 27 Διάλεξη 8 Ολιγοπώλιο VA 27 Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι μια αγορά που αποτελείται από μια και μόνο επιχείρηση. Ένα δυοπώλιο είναι μια αγορά που αποτελείται από δυο επιχειρήσεις. Ένα ολιγοπώλιο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων 1. Πρώτη άσκηση 2. Δεύτερη άσκηση 3. α) Για τη συνάρτηση κέρδους έχουµε Π=P f(x)

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1 Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική 2 η έκδοση Chapter 1 Κεφάλαιο 1 Χωροθέτηση δραστηριοτήτων Περιεχόμενα διάλεξης Υπόδειγμα για τη χωροθέτηση της παραγωγής Weber και Moses Ανάλυση της περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5 Κεφάλαιο 3 Δυναμικά παίγνια 3.1 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε αναλύσει παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Αυτή η υπόθεση όμως δεν είναι πάντα κατάλληλη. Σε πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενα Μαθήµατα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαµβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα