ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

Transcript

1 ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές s 1 και s 2, ορίστε τις έννοιες της ισχυρής και της ασθενούς κυριαρχίας της s 1 επί της s 2. Πότε µια στρατηγική λέγεται κυρίαρχη στρατηγική; Πότε µια στρατηγική λέγεται κυριαρχούµενη; β) Επιλύστε το παρακάτω παιχνίδι, δηλαδή βρείτε ποιες στρατηγικές θα επιλέξουν οι δύο παίκτες, χρησιµοποιώντας επαναλαµβανόµενη απαλοιφή κυριαρχούµενων στρατηγικών. s 1 s 2 s 3 s 1 6,6 0,10 0,8 s 2 10,0 5,5 0,8 s 3 8,0 8,0 4,4 πάντηση α) Ισχυρή κυριαρχία: Μια στρατηγική s 1 λέγεται ότι κυριαρχεί (dominates) µιας στρατηγικής s 2, όταν ισχύει: s -i : u i (s 1, s -i )>u i (s 2,s -i ) Με άλλα λόγια, µια στρατηγική s 1 κυριαρχεί µιας στρατηγικής s 2, εάν για όλους τους συνδυασµούς στρατηγικών των άλλων παικτών η στρατηγική s 1 έχει µεγαλύτερη απολαβή σε σχέση µε την s 2. Η στρατηγική s 2 χαρακτηρίζεται ως κυριαρχούµενη στρατηγική (dominated strategy). Μια στρατηγική s 1 για τον παίκτη i λέγεται κυρίαρχη στρατηγική (dominant strategy), εάν ισχύει: s i s 1, s -i : u i (s 1, s -i )>u i (s 1,s -i ) Με άλλα λόγια, µια στρατηγική s 1 είναι κυρίαρχη στρατηγική, εάν για όλους τους συνδυασµούς στρατηγικών των άλλων παικτών η στρατηγική αυτή έχει τη µεγαλύτερη απολαβή σε σχέση µε τις εναλλακτικές στρατηγικές του παίκτη i. Σε µια τέτοια περίπτωση, όλες οι εναλλακτικές στρατηγικές του παίκτη i είναι κυριαρχούµενες. σθενής κυριαρχία: Μια στρατηγική s 1 λέγεται ότι κυριαρχεί ασθενώς (weakly dominates) µιας στρατηγικής s 2, όταν ισχύει: s -i : u i (s 1, s -i ) u i (s 2,s -i ) και s -i ': u i (s 1, s -i ')>u i (s 2,s -i ') Με άλλα λόγια, µια στρατηγική s 1 κυριαρχεί ασθενώς µιας στρατηγικής s 2, εάν για όλους τους συνδυασµούς στρατηγικών των άλλων παικτών η στρατηγική s 1 έχει ίση ή µεγαλύτερη απολαβή σε σχέση µε την s 2, ενώ υπάρχει τουλάχιστον ένας συνδυασµός στρατηγικών των άλλων παικτών s1', για τον οποίο η s 1 αποφέρει µεγαλύτερη απολαβή από την s 2. Η στρατηγική s 2 χαρακτηρίζεται ως ασθενώς κυριαρχούµενη στρατηγική (weakly dominated strategy). Μια στρατηγική s 1 για τον παίκτη i λέγεται ασθενώς κυρίαρχη στρατηγική (weakly dominant strategy), εάν ισχύει: s i s 1, s -i, : u i (s 1, s -i ) u i (s i,s -i ) και s i s 1, s -i ', u i (s 1, s -i ')>u i (s i,s -i ') Με άλλα λόγια, µια στρατηγική s 1 είναι ασθενώς κυρίαρχη στρατηγική, εάν για κάθε µία από τις εναλλακτικές στρατηγικές του παίκτη i η s 1 έχει τουλάχιστον ίση απολαβή για όλους τους συνδυασµούς στρατηγικών των υπολοίπων παικτών και καλύτερη απολαβή για τουλάχιστον έναν συνδυασµό στρατηγικών των υπολοίπων παικτών. Σε µια τέτοια περίπτωση, όλες οι εναλλακτικές στρατηγικές του παίκτη i είναι ασθενώς κυριαρχούµενες. 238

2 β) Η στρατηγική s 1 κυριαρχείται από τη στρατηγική s 3 και για τους δύο παίκτες, οπότε απαλείφεται. s 2 s 3 s 2 5,5 0,8 s 3 8,0 4,4 Στη συνέχεια, η στρατηγική s 2 κυριαρχείται από τη στρατηγική s 3 (κάτι που δεν συνέβαινε εξαρχής!) οπότε απαλείφεται. s 3 s 3 4,4 Άρα η λύση του παιχνιδιού είναι ο συνδυασµός στρατηγικών (s 3, s 3 ). ΘΕΜ 2 ο (2.5) Έστω το παιχνίδι «Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί» (παρόµοιο του «µονά-ζυγά») όπου η πέτρα κερδίζει το ψαλίδι, το ψαλίδι κερδίζει το χαρτί και το χαρτί κερδίζει την πέτρα. α) Γράψτε τον πίνακα στρατηγικής µορφής του παιχνιδιού. β) ρείτε το σηµείο µικτής ισορροπίας Nash του παιχνιδιού (εκτελέστε όλους τους υπολογισµούς). Ποιο είναι το αναµενόµενο όφελος ανα γύρο για κάθε έναν από τους δύο παίκτες στο σηµείο αυτό; γ) Ποιο είναι το αναµενόµενο όφελος (ανά γύρο) για τον παίκτη, εάν επιλέξει να παίζει κατά 50% πέτρα, κατά 25% ψαλίδι και κατά 25% χαρτί (θεωρείστε ότι ο αντίπαλος θα επιλέξει την καλύτερη για αυτόν απάντηση). πάντηση α) Πέτρα Ψαλίδι Χαρτί Πέτρα 0,0 1,-1-1,1 Ψαλίδι -1,1 0,0 1,-1 Χαρτί 1,-1-1,1 0,0 β) Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι δεν υπάρχει κανένα σηµείο καθαρής ισορροπίας Nash, οπότε θα αναζητήσουµε σηµεία µικτής ισορροπίας. Έστω ότι ο παίκτης επιλέγει τη µικτή στρατηγική (a,b,c), όπου a η πιθανότητα να επιλέξει πέτρα, b η πιθανότητα να επιλέξει ψαλίδι και c η πιθανότητα να επιλέξει χαρτί. Προφανώς ισχύει a+b+c=1. Για να είναι αυτή η στρατηγική σηµείο µικτής ισορροπίας, θα πρέπει το αναµενόµενο όφελος του παίκτη να είναι το ίδιο και για τις τρεις καθαρές στρατηγικές του. Έχουµε λοιπόν: Εάν ο επιλέξει πέτρα, το αναµενόµενο όφελός του είναι: a 0+b 1+c (-1)=b-c Εάν ο επιλέξει ψαλίδι, το αναµενόµενο όφελός του είναι: a (-1)+b 0+c 1=c-a Τέλος, εάν ο επιλέξει χαρτί, το αναµενόµενο όφελός του είναι: a 1+b (-1)+c 0=a-b Πρέπει λοιπόν να ισχύει a-b=b-c=c-a. Πρόκειται για οµογενές σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους, από το οποίο εύκολα µπορούµε να καταλήξουµε στις εξισώσεις a=b=c. Λαµβάνοντας τέλος υπόψη και τη σχέση a+b+c=1 προκύπτει ότι a=b=c=1/3. Τις ίδιες ακριβώς πιθανότητες βρίσκουµε εάν εκτελέσουµε τους ίδιους υπολογισµούς για τον παίκτη. Άρα ο συνδυασµός µικτών στρατηγικών ( (0.3, 0.3, 0.3), (0.3, 0.3, 0.3) ) αποτελεί σηµείο µικτής ισορροπίας Nash για το συγκεκριµένο παιχνίδι. ντικαθιστώντας τις τιµές που βρήκαµε για τα a, b, c στις σχέσεις παραπάνω που µας δίνουν το αναµενόµενο κέρδος ανά γύρο του (εντελώς όµοια και για τον ) προκύπτει ότι το αναµενόµενο κέρδος κάθε παίκτη ανά γύρο είναι µηδέν. γ) Έστω ότι ο επιλέγει τη µικτή στρατηγική (0.5, 0.25, 0.25). Θα προσπαθήσουµε να βρούµε τη στρατηγική εκείνη του που µεγιστοποιεί το κέρδος του. 239

3 Έστω ότι ο επιλέγει την καθαρή στρατηγική πέτρα. Το αναµενόµενο κέρδος του ανα γύρο είναι: (-1)=0. Έστω ότι ο επιλέγει την καθαρή στρατηγική ψαλίδι. Το αναµενόµενο κέρδος του ανα γύρο είναι: 0.5 (-1) = Έστω τέλος ότι ο επιλέγει την καθαρή στρατηγική χαρτί. Το αναµενόµενο κέρδος του ανα γύρο είναι: (-1) =025. Άρα ο θα επιλέξει την καθαρή στρατηγική χαρτί, έχοντας αναµενόµενο κέρδος ανά γύρο Το αντίστοιχο αναµενόµενο κέρδος ανά γύρο για τον είναι: 0.5 (-1) =-0.25 ΘΕΜ 3 ο (2.5) Έστω δύο εταιρείες που παράγουν το ίδιο ακριβώς προϊόν σε µια αγορά. Η εταιρεία που θα τιµολογήσει το προϊόν φθηνότερα κερδίζει ολόκληρη την αγορά, αλλιώς οι δύο εταιρείες µοιράζονται την αγορά εξίσου. Έστω ότι η καµπύλη ζήτησης είναι Q=6-p. Θεωρούµε ότι το κόστος κατασκευής είναι µηδέν και ότι οι εταιρείες µπορούν να τιµολογήσουν το προϊόν τους µόνο σε ακέραιες τιµές. α) Γράψτε την κανονική µορφή του παιχνιδιού. Υπάρχουν σηµεία ισορροπίας Nash; β) Έστω ότι το παιχνίδι επαναλαµβάνεται άπειρα (π.χ. κάθε µέρα) και ότι ο παράγοντας προεξόφλησης είναι δ. Έστω η ακόλουθη στρατηγική: Οι εταιρείες συµφωνούν να τιµολογούν το προϊόν στις 2 µονάδες. Εάν σε κάποιο γύρο µια εταιρεία «σπάσει» τη συµφωνία, τότε στη συνέχεια και οι δύο εταιρείες θα τιµολογούν το προϊόν στη 1 µονάδα (στρατηγική ενεργοποίησης). Κάτω από ποιες συνθήκες αποτελεί η συµφωνία αυτή σηµείο τέλειας ισορροπίας Nash για υποπαίγνια; γ) Ποια είναι η µέγιστη τιµή πώλησης που µπορεί να εµφανιστεί σε ένα σηµείο τέλειας ισορροπίας Nash για υποπαίγνια και για ποιες τιµές του δ; πάντηση α) , 2.5 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 2 0,5 4,4 8,0 8,0 8,0 8,0 3 0,5 0,8 4.5, 4.5 9,0 9,0 9,0 4 0,5 0,8 0,9 4,4 8,0 8,0 5 0,5 0,8 0,9 0,8 2.5,2.5 5,0 6 0,5 0,8 0,9 0,8 0,5 0,0 Το σηµείο (1,1) είναι το µοναδικό σηµείο ισορροπίας Nash. β) Έστω ότι είµαστε σε κάποιον γύρο και η συµφωνία δεν έχει ακόµη σπάσει. φού πρόκειται για άπειρο παιχνίδι, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το παιχνίδι ξεκινά µόλις τώρα (είµαστε δηλαδή στον πρώτο γύρο). Η συµφωνία των εταιρειών (βασισµένη στη στρατηγική ενεργοποίησης) θα αποτελεί σηµείο τέλειας ισορροπίας Nash για υποπαίγνια, εάν το κέρδος για οποιονδήποτε παίκτη σπάσει τη συµφωνία στον τρέχοντα γύρο είναι µικρότερο από τη ζηµιά του σε όλους τους επόµενους γύρους. Εάν η συµφωνία δεν σπάσει, τότε το αναµενόµενο κέρδος κάθε παίκτη για το υπόλοιπο του παιχνιδιού είναι: 4+4 δ+4 δ 2 +4 δ = 4 (1+δ+δ 2 +δ )=4/(1-δ) Εάν η συµφωνία σπάσει, ο παίκτης που τη σπάει θα επιλέξει στον πρώτο γύρο να καθορίσει τιµή πώλησης ίση µε 1, ώστε να κερδίσει ολόκληρη την αγορά. Το βραχυπρόθεσµο όφελός του θα είναι 5. Ωστόσο, από τον επόµενο γύρο και οι δύο παίκτες θα καθορίζουν τιµή πώλησης ίση µε 1, οπότε το όφελός τους για κάθε έναν από τους επόµενους γύρους θα είναι 2.5. Άρα το συνολικό όφελος του παίκτη που έσπασε τη συµφωνία θα είναι: δ+2.5 δ δ = δ (1+δ+δ 2 +δ ) = δ/(1-δ) Για να είναι λοιπόν η συµφωνία σηµείο τέλειας ισορροπίας Nash για υποπαίγνια θα πρέπει να ισχύει 4/(1-δ)>5+4 δ/(1-δ) ή τελικά µετά από λίγες πράξεις δ>0.4. γ) πό τον πίνακα του παιχνιδιού γύρου είναι φανερό ότι η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να προκύψει για το προϊόν είναι η 3. Για ακόµη µεγαλύτερες τιµές το κέρδος των παικτών µειώνεται (µιας και µειώνεται η ζήτηση). Θα µπορούσαµε λοιπόν να σχεδιάσουµε µια ισορροπία, κατά την οποία και οι δύο παίκτες θα καθορίζουν τιµή ίση µε 3 και εάν ένας αθετήσει τη συµφωνία, και οι δύο θα επιλέγουν στο εξής και για πάντα την τιµή

4 Εργαζόµενοι όπως και στο ερώτηµα β, βρίσκουµε ότι το µακροπρόθεσµο κέρδος για κάθε παίκτη εάν δεν σπάσει η ισορροπία είναι: δ+4.5 δ δ = 4.5 (1+δ+δ 2 +δ ) = 4.5/(1-δ) Εάν ένας παίκτης σπάσει την ισορροπία, προφανώς θα επιλέξει να καθορίσει την τιµή 2, κερδίζοντας βραχυπρόθεσµα 8. Όµως από τον επόµενο γύρο το κέρδος του ανά γύρο θα είναι 2.5. Το συνολικό του κέρδος λοιπόν θα είναι: δ+2.5 δ δ = δ (1+δ+δ 2 +δ )=8+2.5 δ/(1-δ). Για να είναι αυτός ο συνδυασµός στρατηγικών σηµείο τέλειας ισορροπίας Nash για υποπαίγνια θα πρέπει να ισχύει: 4.5/(1-δ)>8+2.5 δ/(1-δ) ή τελικά µετά από λίγες πράξεις δ>3.5/5.5 ή δ>0.636 Άρα για δ>0.636 οι εταιρείες µπορούν να συµφωνήσουν να καθορίσουν την τιµή σε 3. ΘΕΜ 4 ο (2.5) Έστω µια δηµοπρασία µε έναν πωλητή A και έναν αγοραστή B, όπου θα πουληθεί ένα προϊόν. Το κόστος του προϊόντος για τον πωλητή είναι c ενώ η αξία για τον αγοραστή είναι v. Η διαδικασία της δηµοπρασίας έχει ως εξής: Ο πωλητής καθορίζει µια ελάχιστη τιµή πώλησης p A, όπου p A >c (θεωρούµε ότι ο πωλητής προτιµά να µην πουλήσει στο κόστος). Ταυτόχρονα ο αγοραστής καθορίζει µια µέγιστη τιµή αγοράς p B, όπου p B <v (θεωρούµε ότι ο αγοραστής προτιµά να µην αγοράσει στην µέγιστη για αυτόν αξία). Εάν p A p B, τότε πραγµατοποιείται η αγοροπωλησία στην τιµή (p A +p B )/2, ειδάλλως η αγοροπωλησία ακυρώνεται. α) Έστω ότι οι δυνατές τιµές του c είναι {1,2} και οι δυνατές τιµές του v είναι {3,4}. Οι τιµές p A και p B είναι µόνο ακέραιες. Γράψτε τους πίνακες του παιχνιδιού για τους διάφορους συνδυασµούς τύπων παικτών (για απλοποίηση θα πρέπει να αποκλείσετε τις τιµές εκείνες για τις p A και p B, οι οποίες δεν έχουν νόηµα σε καµία περίπτωση). β) Έστω ότι οι διάφορες τιµές των c και v είναι ισοπίθανες, και αυτό είναι γνωστό και στους δύο παίκτες (φυσικά κάθε παίκτης γνωρίζει τον «δικό» του τύπο µε βεβαιότητα). ρείτε τα σηµεία ισορροπίας Bayes-Nash του παιχνιδιού µε καθαρές στρατηγικές. πάντηση α) Υπάρχουν δύο τύποι για κάθε παίκτη, ανάλογα µε τις τιµές του c και v, άρα υπάρχουν τέσσερις συνδυασµοί τύπων παικτών. Οι πίνακες για κάθε συνδυασµό παικτών είναι οι παρακάτω: p B =2 p B =3 p A =2 1,2 1.5, 1.5 p A =3 0,0 2,1 c=1, v=4 p B =2 p A =2 1,1 p A =3 0,0 c=1, v=3 p B =2 p B =3 p A =3 0,0 1,1 c=2, v=4 p B =2 p A =3 0,0 c=2, v=3 Στους παραπάνω πίνακες δεν λάβαµε υπόψη τις τιµές p A =4 και p B =1, αφού σε αυτές τις τιµές είναι εξασφαλισµένο ότι δεν θα πραγµατοποιηθεί η αγοροπωλησία και άρα το αναµενόµενο όφελος και των δύο παικτών είναι µηδέν. β) Ένα σηµείο καθαρής ισορροπίας Bayes-Nash θα έχει τη µορφή (s* A1, s* A2, s* B3, s* B4 ), όπου s* A1 µια επιλογή του παίκτη όταν c=1, s* A2 µια επιλογή του παίκτη όταν c=2, s* B3 µια επιλογή του παίκτη όταν v=3 και s* B4 µια επιλογή του παίκτη όταν v=4. Ήδη όµως γνωρίζουµε ότι όταν c=2 η µοναδική λογική επιλογή για τον είναι η p A =3, ενώ για v=3 η µοναδική λογική επιλογή για τον είναι η p B =2. Άρα η µορφή των σηµείων ισορροπίας Bayes-Nash είναι 241

5 (s* A1, 3, 2, s* B4 ). Με δεδοµένο ότι υπάρχουν δύο ενδεχόµενες στρατηγικές για την s* A1 και άλλες δύο για την S* B4, υπάρχουν τέσσερις δυνατοί συνδυασµοί στρατηγικών που πρέπει να ελέγξουµε. Έστω ότι (s* A1 =2, s* A2 =3). Εάν ο αγοραστής τύπου v=4 επιλέξει s* B4 =3, τότε το αναµενόµενο όφελός του είναι: =1.25 Εάν ο αγοραστής επιλέξει S* B4 =2, τότε το αναµενόµενο όφελός του είναι: =1 Άρα η καλύτερη απάντηση του αγοραστή στην επιλογή (s* A1 =2, s* A2 =3) του πωλητή είναι (s* B3 =2, s* B4 =3). Για να είναι όµως το σηµείο (2,3,2,3) σηµείο ισορροπίας, αποµένει να δούµε εάν η καλύτερη απάντηση του πωλητή στην επιλογή (s* B3 =2, S* B4 =3) του αγοραστή είναι η (s* A1 =2, s* A2 =3). Έστω λοιπόν ότι ο αγοραστής επιλέγει (s* B3 =2, S* B4 =3). Εάν ο πωλητής επιλέξει s* A1 =2 τότε το αναµενόµενο όφελός του είναι: =1.25 Έστω τώρα ότι ο πωλητής επιλέγει s* A1 =3 τότε το αναµενόµενο όφελός του είναι: =1 Άρα όντως η επιλογή (s* A1 =2, s* A2 =3) είναι η καλύτερη απάντηση του πωλητή στις επιλογές (s* B3 =2, s* B4 =3) του αγοραστή και άρα το σηµείο (s* A1 =2, s* A2 =3, s* B3 =2, s* B4 =3) αποτελεί σηµείο καθαρής ισορροπίας Nash για το παιχνίδι. Πρέπει να ελέγξουµε εάν υπάρχει και άλλο σηµείο ισορροπίας. Έστω ότι ο επιλέγει (s* A1 =3, s* A2 =3). Έστω ότι ο επιλέγει s* B4 =3, τότε το αναµενόµενο όφελος του είναι: =1 Εάν ο επιλέγει s* B4 =2, τότε το αναµενόµενο όφελός του είναι: =0. Άρα οι επιλογές (s* B3 =2, s* B4 =3) είναι οι καλύτερες απαντήσεις του στις επιλογές (s* A1 =3, s* A2 =3). Ήδη όµως γνωρίζουµε ότι η καλύτερη απάντηση του στις επιλογές (s* B3 =2, s* B4 =3) είναι η (s* A1 =2, s* A2 =3). Άρα δεν υπάρχει δεύτερο σηµείο καθαρής ισορροπίας. Θέµα 5 ο (2.5) Έστω ένα παιχνίδι ενός παίκτη µε δύο τύπους, θ και µ. Έστω ότι ένας µηχανισµός παρέχει στον παίκτη δύο στρατηγικές, s θ και s µ, µία για τον τύπο θ και µια για τον τύπο µ. α) Πότε οι στρατηγικές s θ και s µ είναι συµβατές µε τα κίνητρα; β) Ποιοι είναι οι περιορισµοί ατοµικής ορθολογικότητας; γ) ιατυπώστε την αρχή της αποκάλυψης για παιχνίδια µε έναν παίκτη (revelation principle). Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τον συµβολισµό π(s,θ) για να δηλώσετε το αναµενόµενο όφελος του παίκτη τύπου θ από την επιλογή της στρατηγικής s. πάντηση: α) Για να είναι οι στρατηγικές s θ και s µ συµβατές µε τα κίνητρα θα πρέπει να ισχύει: π(s θ,θ) π(s,θ) για κάθε εναλλακτική στρατηγική s που παρέχει ο µηχανισµός π(s µ,µ) π(s,µ) για κάθε εναλλακτική στρατηγική s που παρέχει ο µηχανισµός β) Οι περιορισµοί ατοµικής ορθολογικότητας είναι οι εξής: π(s θ,θ) π 0 π(s µ,µ) π 0 όπου π 0 το όφελος από το να µην συµµετάσχει καθόλου ο παίκτης στο παιχνίδι. γ) Η αρχή της αποκάλυψης για παιχνίδια µε έναν παίκτη διατυπώνεται ως εξής: Για οποιοδήποτε µηχανισµό και µια ανάθεση στρατηγικών για τους διάφορους τύπους του παίκτη η οποία είναι συµβατή µε τα κίνητρα και ατοµικά ορθολογική, µπορεί να κατασκευαστεί ένας µηχανισµός που βασίζεται απλά στην αποκάλυψη εκ µέρους του παίκτη του τύπου του και ο οποίος παράγει την ίδια ακριβώς αντιστοίχιση όταν οι παίκτες λένε την αλήθεια. Έτσι ο σχεδιαστής µηχανισµών µπορεί να ασχοληθεί µόνο µε µηχανισµούς άµεσης αποκάλυψης. ΠΝΤΗΣΤΕ 4 ΠΟ Τ ΠΡΠΝΩ 5 ΘΕΜΤ 242