ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE. za prijemni ispit na Vojnoj akademiji

Transcript

1 \URI[I] DU[AN BRKI] NADA ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE z prijemni ispit n Vojnoj kdemiji

2 MINISTARSTVO ODBRANE SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE UPRAVA ZA [KOLSTVO VOJNA AKADEMIJA

3 AUTORI Du{n \uri{i}, profesor Nd Brki}, profesor UREDNIK mr Slvi{ Svi}, pukovnik, diplin` RECENZENTI vn prof dr Nikol Tom{evi} mr Ne eqko Jnkovi} JEZI^KI REDAKTOR Gordn Bwc, profesor TEHNI^KI Hr~ek, potpukovnik

4 DU[AN \URI[I] NADA BRKI] ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNI ISPIT NA VOJNOJ AKADEMIJI Beogrd, 5

5

6 Predgovor Gr~ki lfbet Prvi deo Teorijski podsetnik iz elementrne mtemtike Logik i skupovi Relcije i funkcije5 Iskzi i logi~ke opercije 5 Skupovi6 Relcije 7 4 Funkcije 8 Skupovi brojev Proporcionlnost Relni brojevi Kompleksni brojevi 5 Proporcionlnost 7 Polinomi Rcionlni lgebrski izrzi 9 Polinomi9 Rcionlni lgebrski izrzi 4 Linerne jedn~ine i sistemi linernih jedn~in Linerne nejedn~ine 4 Linern jedn~in 4 Sistemi linernih jedn~in 4 Linerne nejedn~ine 5 5 Kvdrtne jedn~ine i nejedn~ine 6 5 Kvdrtne jedn~ine6 5 Kvdrtne nejedn~ine 8 6 Linern i kvdrtn funkcij4 6 Linern funkcij 4 6 Kvdrtn funkcij4 7 Eksponencijln funkcij Eksponencijlne jedn~ine i nejedn~ine45 7 Eksponencijln funkcij 45 7 Eksponencijlne jedn~ine45 7 Eksponencijlne nejedn~ine 46 8 Logritm Logritmsk funkcij Logritmske jedn~ine i nejedn~ine46 5

7 8 Logritm 46 8 Logritmsk funkcij 48 8 Logritmske jedn~ine Logritmske nejedn~ine 49 9 Osnovni pojmovi u trigonometriji i osnovni trigonometrijski identiteti 5 9 Ugo5 9 Uop{tewe pojm ugl i merewe ugl 5 9 Trigonometrijske funkcije o{trog ugl54 94 Definicij trigonometrijskih funkcij proizvoqnog ugl55 95 Svo ewe trigonometrijskih funkcij proizvoqnog ugl n funkcije o{trog ugl Osnovni trigonometrijski identiteti Adicione formule Trnsformcij zbir trigonometrijskih funkcij u proizvod 6 99 Trnsformcij proizvod trigonometrijskih funkcij u zbir 6 9 Grfici osnovnih trigonometrijskih funkcij6 9 Inverzne trigonometrijske funkcije 64 Trigonometrijske jedn~ine i nejedn~ine 68 Osnovne trigonometrijske jedn~ine68 Osnovne trigonometrijske nejedn~ine 69 Primen trigonometrije u plnimetriji i stereometriji77 Povr{in trougl 77 Sinusn i kosinusn teorem 77 Trigonometrijski oblik kompleksnog broj77 4 Primen trigonometrije u stereometriji 79 Vektori Podudrnost Homotetij i sli~nost 8 Vektori 8 Podudrnost 8 Homotetij i sli~nost84 Geometrij trougl, ~etvorougl i mnogougl Krug 85 Trougo85 ^etvorougo 88 Mnogougo9 4 Krug9 4 Poliedri94 4 Prizm94 4 Pirmid 95 4 Zrubqen pirmid 97 6

8 5 Obrtn tel98 5 Vqk98 5 Kup99 5 Zrubqen kup 54 Sfer i lopt 6 Anliti~k geometrij u rvni4 6 Rstojwe izme u t~k Podel du`i u dtom odnosu 4 Povr{in trougl 4 6 Prv u rvni4 6 Kru`nic (kru`n linij, krug) 6 64 Elips7 65 Hiperbol9 66 Prbol 7 Binomni obrzc Elementi kombintorike 7 Binomni koeficijenti i binomni obrzc 7 Elementi kombintorike 4 8 Relni nizovi Aritmeti~k i geometrijsk progresij7 8 Relni nizovi 7 8 Aritmeti~k progresij 8 8 Geometrijsk progresij9 9 Grni~n vrednost i neprekidnost funkcije Izvod funkcije i wegov primen Izvod i prvil diferencirw Tbli~ni izvodi5 Primen izvod 6 Drugi deo Re{eni zdci s prijemnih ispit iz mtemtike grup god (tekst zdtk) grup god (re{ew) grup god (tekst zdtk) 7 grup god (re{ew) 8 grup god (tekst zdtk) 45 grup god (re{ew) 46 4 grup god (tekst zdtk) 5 4 grup god (re{ew) 54 5 grup god (tekst zdtk) 6 5 grup god (re{ew) 6 6 grup god (tekst zdtk) 68 7

9 6 grup god (re{ew) 69 7 grup god (tekst zdtk) 78 7 grup god (re{ew) 79 8 grup god (tekst zdtk) 85 8 grup god (re{ew) 86 9 grup god (tekst zdtk) 9 9 grup god (re{ew) 9 grup god (tekst zdtk) grup god (re{ew) 4 grup god (tekst zdtk) grup god (re{ew) grup god (tekst zdtk) 8 grup god (re{ew) 9 grup god (tekst zdtk) 5 grup god (re{ew) 6 4 grup god (tekst zdtk) 4 grup god (re{ew) 4 5 grup god (tekst zdtk) 4 5 grup god (re{ew) 44 Tre}i deo Zdci s prijemnih ispit iz mtemtike (s kon~nim re{ewim i uputstvim) grup 997 god 5 grup 997 god 55 grup 997 god 57 4 grup 997 god 59 5 grup997 god 6 6 grup 997 god6 7 grup 997 god 65 grup 998 god67 grup 988 god69 grup 998 god7 4 grup 998 god7 grup 999 god75 grup 999 god77 grup 999 god79 4 grup 999 god8 grup god8 8

10 grup god85 grup god87 4 grup god89 5 grup god9 6 grup god9 7 grup god 95 8 grup god97 9 grup god 99 grup god grup god grup god5 grup god7 4 grup god9 5 grup god 6 grup god 7 grup god5 8 grup god7 9 grup god 9 grup god Litertur 9

11

12 PREDGOVOR Osnovn nmen ove zbirke je d se kndidti z Vojnu kdemiju {to uspe{nije pripreme z prijemni ispit iz mtemtike Zbirk se sstoji iz tri del U prvom delu dt je teorijski podsetnik iz elementrne mtemtike Tu se mo`e n}i pregled osnovnih pojmov, stvov i formul, ~ije je poznvwe neophodno pri izrdi zdtk n prijemnom ispitu Istovremeno, sdr`j ovog podsetnik ukzuje i n to kojim mtemti~kim oblstim je pridt ve}i zn~j U drugom delu nlzi se 5 kompletno re{enih zdtk, koji su rspore eni u 5 grup Tre}i deo ~ine zdci z koje su dt kon~n re{ew ili uputstv z wihovo re{vwe Zdci u drugom i tre}em delu su s prijemnih ispit z Vojnu kdemiju koji su odr`ni u periodu od 997 do godine Zbirk obiluje velikim brojem slik, koje ilustruju odre ene pojmove, postupke u re{vwu zdtk ili kon~n re{ew Ovom prilikom se posebno zhvqujemo recenzentim dr Nikoli Tom{evi}u i mr Ne eqku Jnkovi}u, koji su detqno pregledli tekst zbirke, ukzli n izvesne propuste i dli niz korisnih svet Autori

13 GR^KI ALFABET α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ lf bet gm delt epsilon zet et tet jot kp lmbd mi ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ ϒ Φ Χ Ψ Ω ni ksi omikron pi ro sigm tu ipsilon fi hi psi omeg

14 Prvi deo TEORIJSKI PODSETNIK IZ ELEMENTARNE MATEMATIKE

15

16 LOGIKA I SKUPOVI RELACIJE I FUNKCIJE Iskzi i logi~ke opercije Iskzi su re~enice koje su ili t~ne ili net~ne Ozn~vmo ih iskznim slovim p,q,r, Ako je iskz p t~n, ond je wegov istinitosn vrednost ("te") i pi{emo τ ( p) ; istinitosn vrednost net~nog iskz q je (''не те'') i pi{emo τ ( q) Osnovne logi~ke opercije su: negcij ( ne), konjunkcij ( i), disjunkcij( ili), implikcij( povl~i, implicir, koond) i ekvivlencij ( ekvivlentno, ko i smo ko) Definicije logi~kih opercij dte su slede}im istinitosnim tblicm: p p p q p q p q p q p q p q p q p q Polze}i od iskznih slov i primewuju}i kon~n broj put logi~ke opercije, dobijju se iskzne formule Tutologij je iskzn formul koj je t~n z sve vrednosti iskznih slov koj u woj u~estvuju Simboli i zovu se univerzlni i egzistencijlni kvntifiktor (kvntor) Zpis ( ) α ( ) 5

17 ~itmo "z svki v`i α ( ) ", ( ) α ( ) ko "postoji z koji v`i α ( ) " Skupovi Skupove nj~e{}e ozn~vmo velikim slovim ABC,,,, XY,, Z, Uobi~jeni su slede}i zpisi u vezi s skupovim: X element pripd skupu X, X element ne pripd skupu X, { α ( )} X X je skup svih element z koje v`i α ( ), przn skup, tj skup koji nem element Dv skup su jednk ko imju iste elemente Skup A je podskup skup B, u oznci A B, ko je svki element skup A istovremeno i element skup B V`i A B A B B A Z skupove A i B defini{u se unij A B, presek A B i rzlik A \ B n slede}i n~in: { } { } { } A B A B A B A B A \ B A B Ako je A B, ond z skupove A i B k`emo d su disjunktni Prtitivni skup skup X je skup svih wegovih podskupov Ozn~v se s P ( X ) Ako se rzmtrju smo podskupovi odre enog skup X, ond se X ~esto zove univerzlni skup U tom slu~ju se z A P X defini{e wegov komplement s skup ( ) c A A X \ A,, 6

18 U op{tem slu~ju, skupove obi~no predstvqmo tkozvnim Venovim dijgrmim (sl ) A B A B A B A X A B A B A \ B c A Sl Ure eni pr ( b, ) dobijmo ko elemente dvo~lnog skup { b, } pore mo u niz i pri tome precizirmo d je prvi, b drugi element tog niz Sli~no se formirju ure ene trojke, ~etvorke ili, uop{te, n -torke Dekrtov proizvod skupov A i B, u oznci A B, defini{e se s: A B {(, b) A b B} Uop{te, Dekrtov proizvod skupov A, A,, A n dt je s A A A,,, A A A Relcije {( ) } n n n n Relcij s jednog skup u neki drugi skup je svki podskup Dekrtovog proizvod tih skupov Dkle, ρ je relcij s skup A u skup B ko je ρ A B Ako je ρ A A A, ond k`emo d je ρ (binrn) relcij n A Umesto ( b, ) ρ pi{emo ρ b i k`emo d je element u relciji ρ s elementom b Nek je ρ A Td z ρ k`emo d je: ( R ) refleksivn ko ( A)( ρ), ( S ) simetri~n ko ( b, A)( ρb bρ), ( A ) ntisimetri~n ko ( b A)( ρb bρ b) ( T ) trnzitivn ko ( bc,, A)( ρb bρc ρc) 7,,

19 Z relciju k`emo d je relcij ekvivlencije ko je refleksivn, simetri~n i trnzitivn (skr}eno: RST ) Ako je ρ relcij ekvivlencije n skupu A, ond se skup C { A ρ} zove kls ekvivlencije element Svke dve klse ekvivlencije su ili disjunktne ili se poklpju Skup svih kls ekvivlencije odre enih nekom relcijom ρ n skupu A zove se koli~ni~ki skup i ozn~v s A/ ρ Relcij koj je refleksivn, ntisimetri~n i trnzitivn zove se relcij poretk (skr}eno: RAST ) 4 Funkcije Funkcij (preslikvwe) f s skup A u skup B, u oznci f : A B, je tkv relcij f A B kod koje je svki element skup A u relciji s t~no jednim elementom skup B Dkle, funkcij f : A Bje okrkterisn slede}im svojstvim: ( ) ( ) ( A)( B) (, ) f, ( )( ) ( ) ( ) A, z B, f, z f z Skup A se zove domen (oblst definisnosti) funkcije f i ~esto g ozn~vmo s D f Skup B je kodomen funkcije f Ako (, ) f, ond pi{emo f ( ) i nzivmo originlom, wegovom slikom pri preslikvwu f Preslikvwe f : A B mo`emo smtrti ure enom trojkom ( f, A, B ) pri ~emu je f prvilo tog preslikvw koje se obi~no zdje nlиti~ki (formulom), tbli~no ili grfi~ki Funkcije f : A B i g: C D su jednke ko imju iste domene, iste kodomene i isto prvilo preslikvw, tj f g A C B D f g ( ) ( ) ( ) 8

20 Preslikvwe f : A B je (injekcij) ko rzli~itim originlim odgovrju rzli~ite slike, tj f је, A f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A) f ( ) f ( ), Preslikvwe f : A B je n (surjekcij) ko svki element kodomen im svoj originl, tj f је на B A f ( ) ( )( ) ( ) Funkcij je bijekcij ko je i i n Skup vrednosti funkcije f : A B je skup Rf { f ( ) A} f ( A) Identi~no preslikvwe skup A je funkcij ia : A A z koju je A i ( ) ( ) A Kompozicij (slo`en funkcij) funkcij f : A B i g: B C je funkcij h, u oznci h g f, tkv d je ( A) (( g f )( ) g( f ( ) )) Inverzn funkcij funkcije f : A B je funkcij f : B A (ko postoji) z koju je f f i A i f f i B Funkcij im inverznu ko i smo ko je bijekcij Grf (grfik ) funkcije f : A B je skup {( ( )) } G, f A f Ako su A i B podskupovi skup relnih brojev R, ond z funkciju f : A B k`emo d je reln funkcij relne promenqive Z wu se defini{u pojmovi ndgrf ( G f ) i podgrf ( G f ) (sl ): 9

21 {( ) ( )} ( ) ( ) G, R > f, f { } G, R < f f G f G f R f D f G f Preslikvwe Umesto c f (, b) f : A A Sl zove se binrn opercij n skupu A obi~no pi{emo c fb Nj~e{}e oznke z opercije su +,,,:,,,

22 SKUPOVI BROJEVA PROPORCIONALNOST Relni brojevi Skup (poqe) relnih brojev ozn~vmo s R Wegovi v`niji podskupovi su: { } N { } { } N,,, skup prirodnih brojev, N skup nenegtivnih celih brojev, Z N,,, skup celih brojev, m Q m Z n N skup rcionlnih brojev, n Ir R\ Q skup ircionlnih brojev, tj brojev koji se ne mogu predstviti u obliku rzlomk Z,b R ( < b) defini{u se intervli: [,b] { R b} (,b) { R < < b} отворени интервал, [,b) { R < b} (,b] { R < b} (,] { R }, (,) { R < }, [, + ) { R }, (, + ) { R > }, (, + ) R затворени интервал (сегмент), полуотворени (полузатворени) интервал, полуотворени (полузатворени) интервал, Z svki m Z i n N postoje jednozn~no odre eni brojevi k,r Z z koje v`i m kn+ r, r n Broj k zove se koli~nik, broj r osttk pri deqewu broj m s n Ako je r, ond je m deqiv s n, tj n se sdr`i u m (u oznci nm)

23 Broj oblik (,b,c {,,, 9 i j k }) ( ),b b b c c c c c c,b b b c c c, m n p p m n p zove se beskon~ni periodi~ni decimlni broj s periodom c c c p Broj je rcionln ko i smo ko se mo`e predstviti u obliku beskon~nog periodi~nog decimlnog broj Beskon~ni neperiodi~ni decimlni brojevi su ircionlni brojevi Jednkost rzlomk je dt s: c d b c, ( b,d ) b d Z opercije s rzlomcim v`i: b ± b c d ± bc ± ( c ), ± ( b,d ), c c c b d bd c c c d d ( b,d ), : ( b,c,d ), b d b d b d b c b c c ( b,c ), ( b ) bc b b b b Apsolutn vrednost broj R je,, < Z psolutnu vrednost v`e slede}e osobine:,, ( ) ( ),, + +

24 Signum broj Rje, > sgn,, < V`i d je sgn Grfici funkcij i sgn dti su n slikm (sl i sl 4) sgn Sl Sl 4 Stepenovwe celobrojnim izlo`iocem je definisno s: n ( а R, n N ), n пута n ( ) ( ) n,, Z R,n N svko re{ewe jedn~ine po n (ko postoji) je n -ti koren broj Ako je n neprn broj, ond z svki R postoji t~no jedno re{ewe i ozn~v se s n Z prno n i < jedn~in nem n re{ew u R ; z prno n i jedino re{ewe je, tj Ako je n prn broj i >, td jedn~in im dv re{ew, i pozitivno re{ewe ozn~vmo s n Drugo re{ewe je n Prem tome, u ovom slu~ju v`i

25 n ± Z korenovwe v`e slede}e osobine: n n n n n n ( ) n b b, : b : b, m n n m n m nm n m np mp,,, n n ( ), R, (,b ; m,n,p N) > Stepenovwe rcionlnim izlo`iocem uvodi se s: m n Osnovne osobine stepenovw su: ( ) n m ( ) n N, m Z, > ( ) +,, b b, b b (,b > ;, R) Pribli`n broj (pribli`n vrednost) nekog t~nog broj je broj koji se od weg "nezntno" (mlo, znemrqivo) rzlikuje Ako * je pribli`n vrednost broj, ond k`emo d je * proksimirn brojem Broj ( ) * * Δ nziv se psolutn gre{k broj koji nije mwi od psolutne gre{ke broj * Bilo koji nenegtivn broj A * *, tj z koji je 4

26 * * ( ) * Δ A, * zove se grnic psolutne gre{ke Reltivn gre{k ( ) `nog broj * defini{e se s * ( ) Δ * δ ( ) ( ) 5 δ pribli- Svki nenegtivn broj R * koji nije mwi od reltivne gre{ke, tj z koji je * δ R, ( ) * zove se grnic reltivne gre{ke broj Pri odre ivwu pribli`nog broj z dti decimlni broj obvq se opercij zokrugqivw Zokrugqivwe decimlnih brojev n n deciml vr{i se po slede}im prvilim: () Ako je n + -v deciml mw od 5, ond prvih n deciml ostje nepromeweno; () Ako je n + -v deciml ve} od 5, ond se n -t deciml uve}v z, prvih n ili ostje nepromeweno (ko je n -t deciml bil mw od 9) ili se mewju n odgovrju}i n~in (ko je n -t deciml jednk 9); () Ako je n + -v deciml jednk 5 i br jedn cifr posle we nije jednk nuli, ond se n -t deciml uve}v z ; (4) Ako je n + -v deciml jednk 5 i sve cifre posle we su jednke nuli, ond se n -t deciml ne mew ko je prn, uve}v se z ko je neprn (prvilo prne cifre) U svim ovim slu~jevim izostvq se n + -v deciml i sve cifre desno od we Kompleksni brojevi Skup (poqe) kompleksnih brojev ozn~vmo s C Algebrski oblik kompleksnog broj z je z,b + bi,,b R,i, pri ~emu je: * ( ) ( )

27 ( ) i, imginrn jedinic, Rez relni deo kompleksnog broj z, b Imz imginrni deo kompleksnog broj z, bi ~isto imginrn broj (z b ) Kompleksne brojeve predstvqmo u kompleksnoj (Gusovoj) rvni (sl 5) Konjugovno kompleksni broj broj z + bi je broj z bi Moduo kompleksnog broj z + bije ρ z + b b b z z Sl 5 z + bi z bi Po{to su kompleksni brojevi definisni ko ure eni provi, to je jednkost kompleksnih brojev dt s: z z Rez Rez Imz Imz Z opercije nd kompleksnim brojevim z + bi i z c+ di v`i: z + z ( + c) + ( b+ d) i, z z ( c) + ( b d) i, z z ( + bi) ( c + di) ( c bd ) + ( d + bc) i, z + bi + bi c di c+ bd bc d + i, ( c,d ) (, ) z c + di c + di c di c + d c + d Celobrojni stepeni imginrne jedinice odre eni su s: 4k 4k+ 4k+ 4k+ ( ) i, i i, i, i i k Z Z konjugovwe i moduo kompleksnih brojev z i z v`i: 6

28 z ± z z ± z, z z z z z z n n, ( z ), ( z ) ( z ), z z z ; z z z z z z, z z z z,, z, z z z z z + z z + z ( ) Proporcionlnost Koli~nik relnih brojev i bb ( ), tj broj b :, b zove se rzmer brojev i b Jednkost dveju rzmer, tj jednkost oblik b : cd :, zove se proporcij Proporcij b : cd : (,b,c,d ) je ekvivlentn svkoj od slede}ih jednkosti: () d b c, ( ) c : bd, : ( ) b : dc, : ( 4 ) k : bk c: d ( k ), 5 k : b ck : d ( ) Z brojeve,,,,b,b,,b n n defini{e se pro{iren proporcij: : b : b : b n n Zpisujemo je i u obliku 7

29 : : : b : b : : b n Z pro{irenu proporciju v`i: n ( ) ( ) : b : b : b + + : b + + b : b n n n n Jedn posto broj R je broj, i ozn~vmo g s % od U procentnom r~unu osnovne veli~ine su: glvnic G, procentn stop p i procentni iznos P V`i proporcij GP : : p, p se pojedine veli~ine r~unju po formulm: P G p G, P, p P p G Nek su m i n dti fiksirni brojevi ( m,n ), i nepoznti brojevi Z i k`emo d su direktno proporcionlni ko je m : n : ; u slu~ju d je m : n : k`e se d su i obrnuto proporcionlni Direktno proporcionlne veli~ine i odre uju funkciju k k, ( ) obrnuto proporcionlne funkciju ( ) Grfici funkcij direktne i obrnute proporcionlnosti dti su n slici (sl 6) 8

30 k k > k k < () (b) ( > ) ( < ) (v) (g) Sl 6 POLINOMI I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI Polinomi Polinom (polinomn funkcij) stepen n je svk funkcij P : R R tkv d je n Pri tome su: ( ) n n n n n P, ( ) n N,,,,, R; n n n,,,, n n n koeficijenti polinom, njstriji (vode}i) koeficijent, 9

31 n njstriji (vode}i) ~ln, n slobodn ~ln, n stp n stepen polinom P n Z nulti polinom P ne defini{e se stepen Dv polinom su jednk ko su istog stepen i ko su im odgovrju}i koeficijenti (tj koeficijenti uz iste stepene od ) jednki Drugim re~im, ko je Q ( m m ) b + b + + b + b, td m m m v`i: P ( ) Q n m( ) n m ( i) b i i Polinomi se sbirju tko {to im se odgovrju}i koeficijenti sberu i pri tome je st ( P + Q n m ) m { n,m } Mno`ewe dv polinom obvq se primenom distributivnosti relnih brojev, tj tko {to se svki ~ln jednog polinom pomno`i svkim ~lnom drugog polinom V`i d je st P Q m + n Pri tome je Broj C ( ) n m P je nul (koren) polinom P ko je ( ) P( ) ( ) Q( ), z neki polinom Q, z koji je stq stp Broj C je nul (koren) k -tog red( k N) polinom P ko je ( ) k ( ) ( ) ( ) ( ) P Q, Q, z neki polinom Q z koji je stq stp k Fktorisni oblik polinom P je n k k ( ) ( α ) ( α ) ( α ) P, n n s k,k,,k, k k k n pri ~emu su α, α,, α sve rzli~ite nule tog polinom vi{estru- s kosti ( ) s s k s

32 Kompleksn broj z α + βi je nul polinom P n (s relnim koeficijentim) ko i smo ko je nul tog polinom i wegov konjugovno kompleksn broj z α βi Prem tome, P z P z n ( ) ( ) Z polinome P i Q postoje jednozn~no odre eni polinomi S (wihov koli~nik) i R (osttk) tkvi d je P Q S + R, ( str< stq или R ) Prethodnu relciju mo`emo zpisti u obliku P R S +, Q Q i on v`i z sve z koje je Q( ) n Ako je R( ), td je polinom P deqiv polinomom Q, tj Q je sdr`n u P Deqewe polinom obi~no se obvq tko {to se postupno dele wihovi njstriji ~lnovi, i sm postupk je sli~n deqewu vi{ecifrenih brojev P s (Bezuov stv) Osttk pri deqewu polinom P ( ) je P( ) Specijlno, ko je P( ), td je P deqiv s Njve}i zjedni~ki delilc polinom P i Q, tj NZD( P,Q ), je polinom koji im njvi{i stepen me u svim polinomim koji su sdr`ni i P i u Q Njmwi zjedni~ki sdr`lc polinom P i Q tj NZS ( P,Q ), polinomim koji su deqivi i s P i s Q Polinomi P i Q su uzjmno prosti ko je NZD( P,Q ) je polinom koji im njni`i stepen me u svim Ako kod polinom jedne promenqive u izrzim z neki stepen od oblik promenqivu zmenimo n k pozicij ( k r) r пута nekom drugom promenqivom z,,, dobijmo polinome vi{e promenqivih

33 Rcionlni lgebrski izrzi Rcionlni lgebrski izrzi su izrzi u kojim u~estvuju konstnte (relni brojevi), promenqive( z,,,, bc,,,) i opercije sbirw, oduzimw, mno`ew, deqew i stepenovw promenqivih celobrojnim izlo`iocem Srediti rcionlni lgebrski izrz zn~i svesti g n oblik P, pri ~emu su P i Q uzjmno prosti Q Z izrze A,B,Ci D v`i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B± C A B± A C, A + B C+ D A C+ B C+ A D+ B D, A B A+ B A B, A± B A ± AB+ B, A± B A ± A B+ AB ± B, ( ) ( ) A ± B A± B A A B+ B, A A C ( B,C ), B B C A C A D± B C ± ( B,D ), B D B D A C A C ( B,D ), B D B D A C A D A D : ( B,C,D ) B D B C B C

34 4 LINEARNE JEDNA^INE I SISTEMI LINEARNIH JEDNA^INA LINEARNE NEJEDNA^INE 4 Linern jedn~in Osnovni oblik linerne jedn~ine po nepozntoj je b (,b R) Pri tome v`i: jedn~in nem re{ew ko je i b ; jedn~in im beskon~no mnogo re{ew (svko R je re{ewe) ko je b ; b jedn~in im jedinstveno re{ewe ko je 4 Sistemi linernih jedn~in Sistem od dve linerne jedn~ine s dve nepoznte je konjunkcij jedn~in oblik + b c + b c, (,b,,b,c,c R;, непознате ) ( ) Ure eni pr relnih brojev ( αβ, ) je re{ewe sistem ko zmenom s α i s β svk jedn~in sistem postje numeri~ki identitet Sistem od tri linerne jedn~ine s tri nepoznte je konjunkcij jedn~in oblik + b+ cz d + b+ cz d + b+ cz d, (,b,c,d R, ( i,, );,,z непознате i i i i )

35 Ure en trojk relnih brojev ( αβγ,, ) je re{ewe sistem ko zmenom s α, s β i z s γ svk od jedn~in sistem postje numeri~ki identitet Sistem od m linernih jedn~in s n nepozntih mn, N je konjunkcij jedn~in oblik ( ) b n n b n n b, m m mn n m pri ~emu su: а R i,,m; j,,,n коефицијенти уз непознате, ij ( ) ( ) b R j,,,n слободни чланови, j,,, непознате n Re{ewe sistem je svk ure en n -tork relnih brojev ( α, α,, α n ) tkv d zmenom s α, s α,, n s αn svk od jedn~in sistem postje numeri~ki identitet Re{iti sistem linernih jedn~in zn~i n}i skup svih wegovih re{ew Rzmtrju}i skup re{ew, sistem linernih jedn~in mo`e biti: sglsn (mogu}) ko im br jedno re{ewe, odre en ko im smo jedno (jedinstveno) re{ewe tj po jednu vrednost z svku nepozntu, neodre en ko im beskon~no mnogo re{ew, nesglsn (nemogu}, protivre~n) ko nem re{ew su: Elementrne trnsformcije sistem linernih jedn~in () zmen mest bilo kojim dvem jedn~inm sistem, () mno`ewe bilo koje jedn~ine sistem relnim brojem rzli~itim od nule, 4

36 () dodvwe proizvoqnoj jedn~ini sistem bilo koje druge jedn~ine prethodno pomno`ene nekim relnim brojem Primenom elementrnih trnsformcij sistem linernih jedn~in ne mew skup re{ew Nek je z sistem ( ) od dve linerne jedn~ine s dve nepoznte b D b b b (determinnt sistem), D c b cb cb c b i c c D c c Td v`i: () ko je D, sistem im jedinstveno re{ewe koje se dobij formulm D D, D D (Krmerove formule); () ko je D i br jedn od determinnti D,D rzli~it od nule, sistem je nemogu}; () ko je D D D, td je sistem ili neodre en, tj im beskon~no mnogo re{ew, ili je nemogu} 4 Linerne nejedn~ine Osnovni oblici linernih nejedn~in po nepozntoj su: b, < b, b, > b (, b R) Z nejedn~inu b v`i: b z > re{ewe je svki reln broj z koji je, z i b re{ewe je svki relni broj, z i b < nejedn~in nem re{ew, 5

37 4 b z < re{ewe je svki reln broj z koji je Sli~no se re{vju i nejedn~ine < b, b i > b Pri re{vwu nejedn~in koristimo se osnovnim svojstvim relcij <,, i > Tko, n primer, z relcije i v`i:, b b b, b b c c, b + c b+ c, b c> c bc, b c< c bc, b ( b ) ( b ), b ( b ) ( b ), ( b> ) ( b < ), b ( b< ) ( b > ), (,b,c R ) b 5 KVADRATNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 5 Kvdrtne jedn~ine Osnovni oblik kvdrtne jedn~ine po nepozntoj je ( ) + b + c,,b,c R, Re{ew jedn~ine dobijmo po formuli, b± b 4c 6

38 U specijlnim slu~jevim immo: b + b ( + b), c c + c ± за, c c + c ± i за > Izrz D b 4c zove se diskriminnt kvdrtne jedn~ine U zvisnosti od znk diskriminnte rzlikujemo slede}e slu- ~jeve: () ko je D >, re{ew su reln i rzli~it, () ko je D, re{ew su reln i jednk, tj immo jedno dvostruko relno re{ewe, () ko je D <, re{ew su konjugovno kompleksni brojevi α±βi, Z re{ew kvdrtne jedn~ine v`e Vietove formule: b +, c Znk re{ew kvdrtne jedn~ine odre en je s: b c > > D > >, b c < < D < >, c R R < D > <, c R R > D > 7

39 Trinomn jedn~in je jedn~in oblik n n + b + c,,b,c R,, n N, n ( ) i on se smenom t svodi n kvdrtnu jedn~inu t + bt + c Z n trinomn jedn~in postje bikvdrtn jedn~in 4 + b + c 5 Kvdrtne nejedn~ine Osnovni oblici kvdrtnih nejedn~in su: + b + c, + b + c >, ( ) + b + c, + b + c < Ako su i reln i rzli~it re{ew kvdrtne jedn~ine + b + c, ond odgovrju}u kvdrtnu nejedn~inu re{vmo kori{}ewem fktorisnog oblik kvdrtnog trinom, tj oblik + b + c i nlizom znk dobijenog proizvod U ostlim slu~jevim v`i: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) R + b + c > > D <, R + b + c > D, R + b + c < < D <, R + b + c < D 8

40 Ako je > i D > i ko su < relni i rzli~iti koreni kvdrtnog trinom + b + c, td v`i: i ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + b + c ( ),, + Sli~no se re{vju i ostli slu~jevi kvdrtnih nejedn~in Slu~j < svodimo n slu~j > mno`ewem kvdrtne nejedn~ine s i vode}i r~un d se pri tome mew smer nejednkosti Ipk, kvdrtnu jedn~inu je njjednostvnije re{vti skicirwem odgovrju}eg grfik kvdrtne funkcije 9

41 6 LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA 6 Linern funkcij Rf Op{ti oblik linerne funkcije je f k+ n, k,n R ( ) ( ) Domen funkcije je D R f (, ), k i R { n} z k R z f + skup wenih vrednosti Grfik svke linerne funkcije je prv (sl 7) Broj k tgα je koeficijent prvc prve tj tngens ugl α koji prv zklp s pozitivnim smerom -ose Veli~in n je odse~k n -osi, tj ordint prese~ne t~ke prve s -osom n Nul linerne funkcije je z k Z k i n k funkcij nem nul Ako je k n, funkcij se svodi n i wen grfik je -os Funkcij je striktno rstu} z k >, striktno opdju} z k < i konstntn z k Nije svk prv grfik neke linerne funkcije Prve prlelne s -osom, tj prve s jedn~inom ( R) ne predstvqju grfik nijedne linerne funkcije n k α n k + n k > () k + n k < (b) n α n k n n (v) k Sl 7 (g) 4

42 6 Kvdrtn funkcij Op{ti oblik kvdrtne funkcije je f + b+ c,,b,c R, ( ) ( ) Domen funkcije je D (, ), f + skup wenih vrednosti 4c b 4c b R, f + z > i R f, z < 4 4 Grfik svke kvdrtne funkcije je prbol (sl 8) Teme b 4c b prbole je wen t~k T, 4 > T < c T c b b Sl 8 Ako je >, funkcij je konveksn, opd z b rste z, + i z b im minimum Teme prbole je wen njni` t~k Ako je <, funkcij je konkvn, rste z b opd z, + i z b im mksimum Teme prbole je wen njvi{ t~k b,, 4c b min 4 b,, m 4c b 4 f c Ordint prese~ne t~ke prbole s -osom je ( ) 4

43 Skicirwe grfik kvdrtne funkcije omogu}uje jednostvno re{vwe odgovrju}e kvdrtnie nejedn~ine Pri tome su od zn~j smo broj relnih nul funkcije i znk koeficijent а Broj relnih nul kvdrtne funkcije, tj broj relnih re{ew jedn~ine + b + c, zvisi od znk diskriminnte D b 4c Ako je D >, funkcij im dve rzli~ite relne nule i prbol u dvem t~km se~e -osu (sl 9) > T < T Sl 9 U ovom slu~ju (pod pretpostvkom d je < ) v`i: i ( ) ( ) ( ) + b + c,, +, b c,,, + + > + + b + c,, b c,, ( ) + + < ( ) ( ) ( ) + b + c,, +, b c,,, + + < + + b + c,, b c, ( ) + + > (z > ) (z < ) 4

44 Z D (sl ) kvdrtn funkcij im jednu dvostruku relnu nulu, prbol svojim temenom dodiruje -osu i v`i: i ( ) + b + c, +, b b + b + c >,, +, b + b + c, + b + c < ( нема реалних решења), b + b + c, + b + c > ( нема реалних решења), b b + b + c <,, +, + b + c (, + ) (z > ) (z < ) > < T b b T Sl Ako je D < (sl ), kvdrtn funkcij nem relnih nul i prbol se nlzi ili iznd (z > ) ili ispod (z < ) -ose i v`i: 4

45 i ( ) ( ) ( ) ( ) + b + c, +, + b + c >, +, + b + c < нема реалних решења, + b + c нема реалних решења, ( ) ( ) ( ) ( ) + b + c нема реалних решења, + b + c > нема реалних решења, + b + c <, +, + b + c, + (z > ) (z < ) > < T T Sl Knonski oblik kvdrtne funkcije je (( ) ) α +β, b 4c b pri ~emu je α β 4 44

46 7 EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA EKSPONENCIJALNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 7 Eksponencijln funkcij Eksponencijln funkcij je funkcij oblik f, а >, ( ) ( ) Domen funkcije je D R f (, ), funkcije R (, + ) f + skup vrednosti Z > funkcij je strogo rstu}, z < < strogo opdju} Grfici eksponencijlnih funkcij dti su n slici (sl ) > < < Sl 7 Eksponencijlne jedn~ine Eksponencijlne jedn~ine su jedn~ine kod kojih se nepoznt nlzi u izlo`iocu (eksponentu) stepen Pri re{vwu eksponencijlnih jedn~in koristimo se svojstvom injektivnosti eksponencijlne funkcije: 45

47 Z dte funkcije g i h, re{ewe eksponencijlne jedn~ine je { R D D g h} < z g( ) h( ) 7 Eksponencijlne nejedn~ine { g h } i R D D g( ) h( ) z Eksponencijlne nejedn~ine su nejedn~ine kod kojih se nepoznt nlzi u izlo`iocu (eksponentu) stepen Pri re{vwu eksponencijlnih nejedn~in koristimo se svojstvom stroge monotonosti eksponencijlne funkcije : r{}ew z > i opdw z < < Z dte funkcije g i h v`i: g( ) h( ) < D D g( ) < h g h ( ), ( ако је > ) g( ) h( ) > D D g g h ( ) > h( ), i g( ) h( ) < D D g g h ( ) > h( ), g( ) h( ) > D D g g h ( ) < h( ) ( ако је < < ) Sli~no se postup u slu~ju nejedn~in s, odnosno 8 LOGARITAM I LOGARITAMSKA FUNKCIJA LOGARITAMSKE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 8 Logritm Logritm broj >,, u oznci log b, je broj kojim treb stepenovti osnovu d bi se dobio broj b Broj b se zove numerus logritm b > z dtu osnovu (bzu) ( ) 46

48 odnosno Prem tome, immo d je c ( ) c log b b, >,, b>, log b b Osnovne osobine logritm su: log, log, log( b c) log b + log c, b log log b log c, c log b log b, log b c log b, log log b, log log k b log b k c b (U svim nvedenim relcijm pretpostvqmo d su osnove logritm iz (, ) (, + ), d su svi numerusi pozitivni i d su imenioci rzlomk rzli~iti od nule) Dekdni logritmi su logritmi s osnovom Po dogovoru pi{emo log log Prirodni logritmi su logritmi s osnovom e e, 7888 Uobi~jeno je pisti ( ) log ln e 47

49 8 Logritmsk funkcij Logritmsk funkcij je funkcij oblik f log, >, ( ) ( ) Domen logritmske funkcije je ( f ) vrednosti funkcije R (, + ) f D, +, skup Funkcij je strogo rstu} z >, strogo opdju} z < < Grfici tipi~nih logritmskih funkcij dti su n slici (sl ) log < < > Sl log Nul svke logritmske funkcije je, tj grfik logritmske funkcije se~e -osu u t~ki s pscisom Logritmsk funkcij log je inverzn eksponencijlnoj funkciji, i zto su wihovi grfici simetri~ni u od- nosu n prvu 8 Logritmske jedn~ine Logritmske jedn~ine su jedn~ine kod kojih se nepoznt jvq u numerusu, odnosno pod znkom logritm Pri re{vwu logritmskih jedn~in koristimo se svojstvom injektivnosti logritmske funkcije, ko i ~iwenicom d nu- 48

50 merus svke logritmske funkcije mor biti pozitivn reln broj Prem tome, z >, i z dte funkcije g i h, v`i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log g log h g h g > h > 84 Logritmske nejedn~ine Logritmske nejedn~ine su nejedn~ine kod kojih se nepoznt jvq u numerusu, odnosno pod znkom logritm Pri re{vwu logritmskih nejedn~in koristimo se svojstvom stroge monotonosti logritmske funkcije (r{}ew z > i opdw z < < ), ko i ~iwenicom d numerus svke logritmske funkcije mor biti pozitivn reln broj Ako su g i h dte funkcije, ond v`i: i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log g < log h g < h g >, log g > log h g > h h >, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log g < log h g > h h >, log g > log h g < h g > (z > ) (z < < ) Sli~no se postup u slu~ju nejedn~in s, odnosno 49

51 9 OSNOVNI POJMOVI U TRIGONOMETRIJI I OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 9 Ugo Ugo je unij dve poluprve s zjedni~kim po~etkom i jedne od dve oblsti n koje te dve poluprve dele rvn (sl 4) q q B α p α O O A p Sl 4 Zjedni~ki po~etk O je teme ugl, poluprve Op i Oq su krci ugl Oznk ugl je α, poq ili AOB, pri ~emu je A p, B q Oznk z teme ugl pi{e se izme u p i q, odnosno, izme u A i B, dok redosled oznk p i q, odnosno A i B nije bitn D bi smo nglsili koj od dve oblsti rvni je oblst ugl, ko je to potrebno, mo`emo to u~initi nvo ewem bilo koje t~ke iz unutr- {wosti te oblsti Ako se poluprve Op i Oq poklpju i ko je oblst ugl rvn bez poluprve Op, ond se dobijeni ugo nziv pun ugo, ko je oblst ugl przn skup, ond se dobijeni ugo nziv nul-ugo Ako je unij poluprvih Op i Oq prv, oblst ugl polurvn, ond se dobijeni ugo nziv opru`en ugo Dv ugl u rvni, por i roq, s zjedni~kim krkom Or nzivju se susednim uglovim (sl5), ko osim t~k zjedni~kog krk nemju drugih zjedni~kih t~k O q r r p q p Sl 5 O Sl 6 Sl 7 5

52 Ugo por je mwi od ugl poq, ko se krk Or ugl por nlzi u oblsti ugl poq, oblst ugl por je podskup oblsti ugl poq Ako je unij krkov, koji nisu zjedni~ki, prv, z uglove k`emo d su nporedni (sl 6) Ugo je prv ko je podudrn svom nporednom uglu (sl 7), o{tr ili tup ko je mwi ili ve}i od svog nporednog ugl Nek je AB du` u rvni ugl poq, tkv d je A Op i B Oq Ugo poq je konveksn (ispup~en) ko je AB poq (sl8; sl), nekonveksn (udubqen) ko je AB poq { A, B} (sl9; sl) O α B q A Sl 8 p O α B A Sl 9 q p q B α O Sl A p q B α O A Sl p Dv ugl su jednk ko se izometrijskim trnsformcijm mogu dovesti do poklpw Uglovi s prlelnim krcim su jednki ko su ob o{tr ili ob tup, ili su tkve wihove dopune do punog ugl (sl ) 5 Sl

53 Uglovi s normlnim krcim su jednki ko su ob o{tr ili ob tup, ili su tkve wihove dopune do punog ugl (sl ) Sl 9 Uop{tewe pojm ugl i merewe ugl Ako krci ugl poq ~ine ure en pr ( Op, Oq) d je ugo poq orijentisn i ozn~v se s ( Op,Oq), ond se k`e Ako se prvi krk rotir oko temen O do poklpw s drugim krkom u smeru suprotnom od kretw kzqki n ~sovniku (pozitivni smer), ugo je pozitivn ; in~e je negtivn Ako se posle rotcije od punog ugl nstvi rotcij u pozitivnom smeru do poklpw s drugim krkom, dobij se ugo ve}i od punog ugl Ako se prvo izvr{i k ( k N) rotcij z pun ugo i nstvi rotcij do poklpw s drugim krkom, dobij se proizvoqno veliki pozitivni ugo Ako se rotcije vr{e u negtivnom smeru, dobijju se negtivni uglovi Ugo koji je 9 -ti deo prvog ugl im meru jedn stepen ( ) Mwe merne jedinice su jedn minut ( ) i jedn sekund ( ), pri ~emu je: 6 i 6, odkle sledi d je i 6 5

54 Prem tome, pun ugo im 6 stepeni ( 6 ), opru`en ugo im 8 stepeni ( 8 ) q l r l O r p Sl 4 Nek je poq O, r k O,r bilo koji, wemu koncentri~n krug (sl 4) Odnos kru`nog luk u oblsti ugl i odgovrju}eg polupre~nik krug je stln l l, p se mo`e uzeti z meru ugl Ov mer se nziv r r l rdijnsk mer ugl Ako je, odgovrju}i ugo im meru jedn r rdijn ( rd ili smo ) Z kru`ni luk koji odgovr punom uglu v`i l rπ, p pun ugo im π rdijn, opru`en ugo im π rdijn Ako je polupre~nik krug r, ond se rdijnsk mer ugl svodi n merni broj du`ine odgovrju}eg kru`nog luk u oblsti ugl U nrednoj tblici nvedene su rdijnske i odgovrju}e stepene mere nekih uglov: centrlni ugo krug k ( ) i nek je ( ) rdijnsk mer ugl stepen mer ugl π π π π π π π

55 9 Trigonometrijske funkcije o{trog ugl Nek je α o{tr ugo prvouglog trougl ABC s prvim uglom kod temen C, ktetom nsprm uglα, ktetom b koj je krk uglα i hipotenuzom c (sl 5) Td je: nsprmn ktet sin α, c hipotenuz b nlegl ktet cos α, c hipotenuz nsprmn ktet tg α, b nlegl ktet А α c b Sl 5 B C b nlegl ktet ctg α nsprmn ktet Vrednosti trigonometrijskih funkcij nekih o{trih uglov dte su u nrednoj tblici, s tim u vezi treb obrtiti p`wu n slike 6 i sinα cosα tgα ctgα Sl Sl

56 94 Definicij trigonometrijskih funkcij proizvoqnog ugl Nek je k jedini~ni krug s centrom u koordintnom po~etku O p, O q orijentisni ugo, gde je prvi krk O p pozitivni i ( ) deo -ose, drugi krk O q se dobij rotcijom krk O q k M i nek su M M oko temen O Nek je { } t~ke M ( sl 8) Ako je α rdijnsk mer ugl ( p O q ) O p z ugo α и koordinte O,, td je z svko α R po definiciji: M M sinα ; cosα ; tgα, ; ctgα, M M M M M M Polo`j drugog krk O q ne}e se promeniti posle rotcije od punog ugl, odnos, ko ni odnos, kd su definisni, M M M M ne}e se promeniti posle rotcije od polovine punog ugl, p n osnovu prethodne definicije sledi d su trigonometrijske funkcije proizvoqnog ugl periodi~ne Z funkcije sin, R i cos, R osnovni period je π, z funkcije π tg, + kπ, k Z i ctg, kπ, k Z osnovni period je π M q M α p M Sl 8 t 55

57 Z funkcije sin ( ω+ ϕ) i cos( + ϕ), R ω i ω π osnovni period je T, z funkcije tg( ω+ ϕ), ω π π ω+ ϕ + kπ i ctg( ω + ϕ), ω+ ϕ + kπ osnovni period π je T ω Vrednosti trigonometrijskih funkcij nekih uglov dte su u nrednoj tblici (oznk zn~i d funkcij nije definisn z odre- eni ugo) π π π π π π 6 4 π sinα cosα tgα ctgα 56

58 95 Svo ewe trigonometrijskih funkcij proizvoqnog ugl n funkcije o{trog ugl Kko su trigonometrijske funkcije periodi~ne, to se vrednosti ovih funkcij z proizvoqn ugo mogu izrziti pomo}u vrednosti trigonometrijskih funkcij z o{tr ugo : β α q p β α q p Sl 9 Sl sin β sin( kπ + α ) sinα, k Z ; π sin β sin α cosα ; c osβ cos ( kπ + α ) cosα, k Z ; π c osβ cos α sinα ; q α q β p p α β Sl Sl sin β π sin + α cosα cosβ π cos + α sinα ; sin β sin( π α ) sinα ; ; cosβ cos ( π α ) cosα ; 57

59 q α β p q β α p Sl ( π + α ) sinα sinβ sin ; Sl 4 π sinβ sin α cosα π cosβ cos ( π + α ) cosα ; cosβ cos α sinα ; β p α q Sl 5 π sinβ sin + α cosα π cos β cos + α sinα β α p q Sl 6 ; sinβ sin( π α ) sinα ; ; c osβ cos ( π α ) cosα Z ugo α v`i : ( α ) sinα ( α ) cosα sinβ sin ; cos β cos β α p Sl 7 q 58

60 Z ostle trigonometrijske funkcije svo ewe se vr{i n osnovu prethodno nvedenih formul i trigonometrijskih identitet 96 Osnovni trigonometrijski identiteti sin α + cos α sinα π tg α, α + kπ, cos α k Z cosα ctg α sinα, α kπ, k Z 4 tg α ctgα, kπ α 5 cos α cos α cos α sin α + cos α tg α + π α + kπ, k Z 6 sin α sin α tg α sin α sin α + cos α tg α + π α + kπ, k Z 97 Adicione formule,, sin ( α + β ) sinα cos β + cosα sin β а) sin α sinα cosα sin( α β ) sinα cos β cosα sin β cos( α + β ) cosα cos β sinα sin β а) cos α cos α sin α 4 cos ( α β ) cosα cos β + sinα sin β tgα + tgβ π 5 tg( α + β ), α, β, α + β + kπ, k Z tgα tgβ tgα 5а) tgα tg α 59

61 tgα tgβ π 6 tg( α β ), α, β, α β + kπ, k Z + tgα tgβ ctgα ctgβ 7 ctg( α + β ), α, β, α + β kπ, k Z ctgα + ctgβ ctg α 7а) ctgα ctgα ctgα ctgβ + 8 ctg( α β ), α, β, α β kπ, k Z ctgβ ctgα 9 Из cos α cos α sin α cos α следи да је + cos α cos α Из cos α cos α sin α sin α следи да је cos α sin α Из претходне две формуле следи да је cos α tg α и + cos α + cos α ctg α cos α α α α sin cos tg sinα, α α α sin + cos tg + α α α cos sin tg cosα α α α sin + cos + tg Из претходне две формуле следи да је α α tg tg tgα и ctgα α α tg tg 6

62 98 Trnsformcij zbir trigonometrijskih funkcij u proizvod sinα + sin β α + β α β sin cos sinα sin β α + β α β cos sin cosα + cos β α + β α β cos cos α + β α β 4 cosα cos β sin sin sin ( α ± β ) 5 tg α ± tgβ, α, β + kπ, k Z cosα cos β 6 sin ( β ± α ) ctg α ± ctgβ, sinα sin β α, β kπ, k Z 99 Trnsformcij proizvod trigonometrijskih funkcij u zbir sinα cos β [ sin( α + β ) + sin( α β )] cosα cos β [ cos( α + β ) + cos( α β )] sinα sin β [ cos( α + β ) cos( α β )] 9 Grfici osnovnih trigonometrijskih funkcij sin - π π Основни период функције Sl 8 sin је π 6

63 cos π π - Основни период функције Sl 9 cos је π π sin cos π π - tg Sl 4 π π π π π 5π π π Sl 4 Основни период функције tg је π 6

64 4 ctg π π π π 5π π π π π π Sl4 Основни период функције ctg је π 6

65 9 Inverzne trigonometrijske funkcije rcsin π π Функција f : [ π, π ] [, ] f ( ) sin је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање) - Sl 4 π Инверзна функција функције f је функција - f : [, ] [ π, π ] f ( ) rcsin π Sl 44 π π - π Графици функција f и f су симетрични у односу на праву - π Sl 45 64

66 rccos π Sl 46 π Функција f : [, π ] [, ] f ( ) cos је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање) π π Sl 47 π Инверзна функција функције f је функција f : [, ] [,π ] f ( ) rccos π π π Графици функција f и f су симетрични у односу на праву Sl 48 65

67 rctg π π Sl 49 Функција : ( π, π ) (, ) ( ) tg f f је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање) π π Sl 5 Инверзна функција функције f је функција f f : (, ) ( π, π ) ( ) rctg π π π π Графици функција f и f су симетрични у односу на праву Sl 5 66

68 4 rcctg Функција π π Sl 5 : ( π, π ) (, ) ( ) ctg f f је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање) π π Sl 5 Инверзна функција функције f је функција f : (, ) (, π ) f ( ) rcctg π π π π Графици функција f и f су симетрични у односу на праву Sl 54 67

69 TRIGONOMETRIJSKE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE Osnovne trigonometrijske jedn~ine sin, rcsin + kπ, ili π rcsin+ kπ, k Z cos, ± rccos + kπ, k Z tg, R rctg + kπ, k Z 4 ctg, R rcctg + kπ, k Z 5 () t P n t { sin,cos,tg,ctg} 6 sin ± sinb cos ± cosb tg ± tgb ctg ± ctgb 7 sin + bcos,, b Одговарајућом сменом своде се на алгебарске једначине Трансформацијом збира и разлике тригонометријских функција у производ своде се на једначине типа,,,4 π За + kπ, k Z дељењем са cos, једначина се своди на једначину типа 8 sin + bcos c,, b, c c < + b Дељењем са + b једначина се своди на једначину типа 9 sin + bsincos + ccos sin + bsincos + ccos d За deqewem s cos своди се на једначину tg + btg + c (тип 5) Ако десну страну једначине напишемо у облику d( sin + cos ), сређивањем добијамо једначину типа 9 68

70 Osnovne trigonometrijske nejedn~ine Nejedn~ine sin i cos z < nemju re{ew, dok su z > re{ew ovih nejedn~in svi relni brojevi Nejedn~ine sin i cos z > nemju re{ew, dok su z < re{ew ovih nejedn~in svi relni brojevi Nejedn~ine sin, cos, sin i cos z, zbog periodi~nosti trigonometrijskih funkcij, mo`emo re{vti prvo u bilo kom intervlu du`ine π, ztim odrediti skup svih re{ew Osnovni intervl treb pogodno izbrti, tko d skup re{ew iz tog intervl opet bude jedn intervl Nejedn~inu sin, prvo re{vmo u intervlu π, π, (sl 55) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl π π [ α, β ],, pri ~emu je β rcsin i α π rcsin, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij intervl [ α + kπ, β + kπ ], k Z Ako u nejedn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup re{ew unij otvorenih intervl ( α + kπ, β + kπ ), k Z π α β π - Sl 55 Pri re{vwu trigonometrijskih nejedn~in, osim grfik trigonometrijskih funkcij pogodno je koristiti i trigonometrijski krug 69

71 π π α β Sl 56 π π N slici 56 oznke α, β,, su rdijnske mere uglov Nejedn~inu sin, prvo re{vmo u intervlu π π,,(sl 57) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl π π [ α, β ],, pri ~emu je α rcsin i β π rcsin, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij intervl [ α + kπ, β + kπ ], k Z Ako u nejedn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup re{ew unij otvorenih intervl ( α + kπ, β + kπ ), k Z π α β - π Sl 57 7

72 β α π π Sl 58 π π N slici 58 oznke α, β,, su rdijnske mere uglov Nejedn~in cos, prvo se re{v u intervlu [ π,π ] [ α, β ] [ π, π ],(sl 59) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl, pri ~emu je α rccos i β rccos, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij intervl [ α + kπ, β + kπ ], k Z Ako u nejedn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup re{ew unij otvorenih intervl ( α + kπ, β + kπ ), k Z π α β - π Sl 59 7

73 β π π α Sl 6 N slici 6 oznke α, β, π, π su rdijnske mere uglov 4 Nejedn~inu cos, prvo re{vmo u intervlu [,π ],(sl 6) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl [ α, β ] [, π ], gde je α rccos i β π rccos, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij intervl [ α + kπ, β + kπ ], k Z Ako u nejedn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup re{ew unij otvorenih intervl ( α + kπ, β + kπ ), k Z - α β π Sl 6 7

74 α π β Sl 6 N slici 6 oznke αβ,, и π su rdijnske mere uglov Nejedn~ine tg, ctg, tg i ctg imju re{ew z svko relno Ove nejedn~ine prvo se re{vju u nekom (pogodnom) intervlu du`ine π, ztim se nlze i sv ostl re{ew 5 Nejedn~in tg, R prvo se re{v u π π intervlu,, (sl 6) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine π π π intervl, α,, pri ~emu je α rctg, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij π intervl + kπ, α + kπ, k Z Ako u nejedn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup π re{ew unij otvorenih intervl + kπ, α + kπ, k Z 7

75 π π π π π 5π α π π Sl 6 π α π Sl 64 74

76 π π N slici 64 oznke α,, su rdijnske mere uglov 6 Nejedn~in tg, R prvo se re{v u intervlu,, (sl 6) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl π π π π π α,,, pri ~emu je α rctg,ond je skup svih re{ew π dte nejedn~ine unij intervl α + k π, + k π, k Z Ako u nejdn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup π re{ew unij otvorenih intervl α + kπ, + kπ, k Z 7 Nejedn~in ctg, R prvo se re{v u intervlu (,π ), (sl 65) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl [ α, π ), pri ~emu jeα rcctg, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij intervl [ α + k π, π + kπ ), k Z Ako u nejdn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup re{ew unij otvorenih intervl ( α + kπ, π + kπ ), k Z π π π π π π π α π π 5π Sl 65 75

77 α π - Sl 66 N slici 66 oznke α, и π su rdijnske mere uglov 8 Nejedn~in ctg, R prvo se re{v u intervlu (,π ) Ako je skup re{ew ove nejedn~ine intervl (,α ], pri ~emu je α rcctg, ond je skup svih re{ew dte nejedn~ine unij intervl ( k π, α + kπ ], k Z Ako u nejdn~ini stoji znk stroge nejednkosti, ond je skup re{ew unij otvorenih intervl ( kπ, α + kπ ), k Z 76

78 PRIMENA TRIGONOMETRIJE U PLANIMETRIJI I STEREOMETRIJI Povr{in trougl h Kko je sin β, to je h csin β, p je c (sl 67) Sli~no se dobij d je A P ABC h csin β P P ABC ABC chc cbsinα i bhb b sinγ Sinusn i kosinusn teorem B c β h Sl 67 b C Ako su, b i c nsprmne strnice uglov α, β i γ proizvoqnog trougl ABC, R polupre~nik opisnog krug oko tog trougl (sl 68), ond v`i : b c ) R sinα sin β sin γ (sinusn teorem) b) b + c bc cosα b + c c cos β c + b bcosγ (kosinusn teorem) Trigonometrijski oblik kompleksnog broj Kompleksni broj z + bi, ko t~k u Gusovoj rvni (sl69), odre en je relnim brojevim i b, z (, b) (,) mo`emo g odrediti i pomo}u rstojw ρ t~ke z od koordintnog po~etk i ugl ϕ koji rdijus-vektor t~ke z grdi s pozitivnim delom -ose : 77 A b α C γ R c O Sl 68 β B

79 Kko iz ρ z + b ( ρ moduo kompleksnog broj), b, tgϕ, ϕ [, π ) (ϕ rgument kompleksnog broj) Sl 69 b sinϕ sledi d je sin ρ b ρ ϕ, iz cosϕ sledi d je ρ ρ cosϕ, to je z ρ cosϕ iρsinϕ z ρ cosϕ+ isinϕ {to predstvq trigonometrijski oblik kompleksnog broj z π π Z i b> je ϕ (sl 7), z i b< je ϕ (sl 7) z bi b ϕ ρ z + bi +, tj ( ) Ako je z ρ( cosϕ + i sinϕ ) i z ρ ( cosϕ + sinϕ ) z z ρ ρ ( cos( ϕ + ϕ ) + i sin( ϕ + ϕ )), z ( ( ϕ ϕ ) + sin( ϕ ϕ )), ρ z n z bi Sl 7 Sl 7 ρ ρ n cos z ( cos nϕ + i sin nϕ), n N,, td je: ρ, (Muvrov formul) ϕ + kπ ϕ + kπ n ρ cos + sin, k,,,, n n n n 4 z { } 78

80 4 Primen trigonometrije u stereometriji Ako je H visin, h potem, r polupre~nik upisnog, R polupre~nik opisnog krug osnove prvilne pirmide, i ψ ngibni ugo bo~ne strne pirmide (sl 7), ond v`i: H r H r sin ψ ; cos ψ ; tgψ ; ctgψ h h r H H O r h ψ d O Sl 7 Sl 7 Ako je s bo~n ivic pirmide (sl 7), ϕ ngibni ugo bo~ne ivice prem rvni osnove, ond je : H R H R sin ϕ ; cos ϕ ; tgϕ ; ctgϕ s s R H H s R ϕ Ako je r polupre~nik osnove kupe (sl74), H visin kupe, s izvodnic, ϕ ngibni ugo izvodnice prve kupe prem rvni osnove, ond je: H r H r sin ϕ ; cos ϕ ; tgϕ ; ctgϕ s s r H s ϕ H O r Sl 74 79

81 VEKTORI, PODUDARNOST, HOMOTETIJA I SLI^NOST Vektori Z du` AB k`emo d je usmeren (orijentisn) ko je precizirno {t je wen po~etn, odnosno krjw t~k Ako je A wen po~etn B krjw t~k, td se t usmeren du` ozn~v s AB i zove se vektor Svki vektor krkteri{u prvc, smer i intenzitet Prvc vektor je odre en prvom (nos~em) kojoj vektor pripd Z vektore koji le`e n istoj prvoj ili n prlelnim prvim, k`e se d imju isti prvc ili d su kolinerni Smer vektor je odre en izborom po~etne, odnosno krjwe t~ke vektor Z dti prvc postoje dv me usobno rzli~it (suprotn) smer Intenzitet (du`in) vektor je rstojwe izme u wegovih krjwih t~k Intenzitet vektor AB ozn~v se s AB Dv vektor su jednk ko imju isti prvc, smer i intenzitet Jednkost vektor je relcij ekvivlencije u skupu svih vektor u prostoru Zbog tog, vektor AB mo`emo poistovetiti s wegovom klsom ekvivlencije, tj s skupom svih vektor koji su s wim jednki Iz definicije jednkosti proizlzi d se rdi o slobodnim vektorim, odnosno o vektorim koji se ne mewju ko se prlelno pomerju kroz prostor Suprotn vektor vektoru AB, u oznci AB BA, je vektor koji im isti prvc i intenzitet ko vektor AB, li suprotn smer Nul vektor, u oznci, je vektor ~ij se po~etn t~k poklp s krjwom Nul vektor nem odre en ni prvc ni smer i wegov intenzitet je nul Jedini~ni vektor (ort) je vektor intenzitet jedn Tri ili vi{e vektor su komplnrni ko le`e u istoj rvni Zbir vektor i b, u oznci + b, je vektor koji se od vektor i b dobij po prvilu ndovezivw ili po prvilu prlelogrm (sl 75) 8

82 + b b b + b Sl 75 Po prvilu ndovezivw n krj vektor stvq se po~etk vektor b, p vektor + b im po~etk u po~etku vektor krj u krju vektor b Po prvilu prlelogrm vektor + b je odre en dijgonlom prlelogrm koji obrzuju vektori i b Proizvod sklr (broj) k R i vektor je vektor, u oznci k, odre en s: () k i su kolinerni, () k k, () z k > vektori i k su istosmerni, z k < suprotnih smerov, (4) Podudrnost Du`i AB i CD su podudrne (jednke), u oznci AB CD, ko su wihove du`ine (rstojw izme u krjwih t~k) jednke Izometrijsko preslikvwe (izometrij) je svko bijektivno preslikvwe figure F u figuru F koje du`i preslikv u wim podudrne du`i Ako postoji izometrij koj figuru F prevodi u figuru F, k`e se d je figur F podudrn figuri F i pi{e se F F 8

83 Dv ugl α i β su podudrn (jednk), u oznci α β, ko su im jednke wihove mere (npr u stepenim) Z podudrnost trouglov (sl 76) v`e slede} prvil: () (Prvilo SSS) Dv trougl su podudrn ko i smo ko imju odgovrju}e strnice jednke, tj ΔABC ΔABC b b c c () (Prvilo SUS) Dv trougl su podudrn ko i smo ko imju jednke po dve odgovrju}e strnice i ugo zhv}en wim, tj ΔABC ΔABC b b c c α α () (Prvilo USU) Dv trougl su podudrn ko i smo ko imju jednku po jednu strnicu i ob odgovrju} ugl nlegl n tu strnicu, tj ΔABC Δ A B C c c α α β β (4) (Prvilo SSU) Dv trougl su podudrn ko i smo ko imju jednke po dve odgovrju}e strnice i ugo nsprm jedne od wih, uglovi nsprm druge strnice u ob trougl su ili ob o{tr ili ob prv ili ob tup Prem tome, ΔABC ΔA B C b b α α β и β су оба или оштра или права или тупа C γ C γ b b A α β α β c A c B B Sl 76 Dv mnogougl su podudrn ko su im sve odgovrju}e strnice jednke i svi odgovrju}i uglovi jednki Dv krug su podudrn ko imju jednke polupre~nike 8

84 Osn simetrij (sl 77) u odnosu n prvu (osu) s je preslikvwe rvni koje svku t~ku A te rvni preslikv u t~ku A koj je simetri~n s A u odnosu n prvu s Centrln simetrij (sl 77b) rvni π s centrom S je preslikvwe koje svku t~ku A rvni π preslikv u t~ku A koj je simetri~n s A u odnosu n t~ku S Rotcij (sl 77v) s centrom u t~ki S z orijentisni ugo α je preslikvwe koje svku t~ku A rvni preslikv u t~ku A iste rvni, tko d je SA SA i ASA α Trnslcij (sl 77g) rvni z vektor v je preslikvwe te rvni kojim se svk t~k A te rvni preslikv u t~ku A tko d je AA v A A s S () A A (b) v A v A α A A S (v) (g) Sl 77 Osn simetrij, centrln simetrij, rotcij i trnslcij su izometrije 8

85 Homotetij i sli~nost Homotetij s centrom S i koeficijentom k je preslikvwe rvni koje svku wenu t~ku A prevodi u t~ku A iste rvni, tko d je SA ksa Sli~nost (trnsformcij sli~nosti) s koeficijentom k > je preslikvwe rvni koje svke dve wene t~ke A i B prevodi u t~ke A i B iste rvni, tko d je A B kab Figure F i F su sli~ne, u oznci F F, ko postoji trnsformcij sli~nosti koj figuru F prevodi u figuru F Z sli~nost trouglov (sl 78) v`e slede} prvil: () Dv trougl su sli~n ko i smo ko su im po dve odgovrju}e strnice proporcionlne, uglovi zhv}eni tim strnicm jednki, tj ΔABC ΔA B C b: c b : c α α () Dv trougl su sli~n ko i smo ko su im odgovrju}e strnice proporcionlne, tj ΔABC ΔABC : b: c : b : c () Dv trougl su sli~n ko i smo ko imju jednk po dv odgovrju} ugl, tj ΔABC ΔABC α α β β (4) Dv trougl su sli~n ko i smo ko su im po dve odgovrju}e strnice proporcionlne, uglovi nsprm dveju od tih odgovrju}ih strnic jednki, uglovi nsprm drugih dveju strnic u ob trougl su ili ob o{tr ili ob prv ili ob tup Prem tome, ΔABC ΔA B C : b : b α α β и β су оба или оштра или права или тупа b C γ C γ b A α β α c B A c Sl 78 β B 84

86 GEOMETRIJA TROUGLA, ^ETVOROUGLA I MNOGOUGLA KRUG Trougo Nvodimo neke osnovne elemente trougl Sredw linij trougl je du` koj spj sredi{t dveju strnic trougl On je prleln tre}oj strnici i upol je kr} od we Te`i{n du` je du` koj spj teme trougl s sredi{tem nsprmne strnice Sve te`i{ne du`i se seku u t~ki koj se zove te- `i{te trougl Te`i{te deli svku te`i{nu du` u odnosu : (r~unju}i od temen) Visin trougl je du` koj spj teme trougl s podno`jem normle iz tog temen n nsprmnu strnicu Sve visine se seku u t~ki koj se zove ortocentr trougl ^esto se termin visin koristi i z du`inu visine Presek simetrl strnic trougl je centr opisnog krug trougl Centr upisnog krug trougl nlzi se u preseku simetrl (bisektris, rspolovnic) unutr{wih uglov trougl Zbir unutr{wih uglov trougl je8, zbir spoq{wih 6 Svki spoq{wi ugo trougl jednk je zbiru dv unutr{w wemu nesusedn ugl Nsprm ve}e strnice trougl le`i ve}i ugo i obrnuto, nsprm ve}eg ugl le`i ve} strnic trougl Svk strnic trougl mw je od zbir ve} od rzlike druge dve strnice trougl Jednkokrki trougo je trougo koji im dve strnice jednke Jednke strnice zovu se krci, tre} strnic je osnovic trougl Jednkostrni~ni trougo im sve strnice i sve unutr{we i spoq{we uglove jednke Svki unutr{wi ugo jednkostrni- ~nog trougl im 6 Kod jednkostrni~nog trougl se poklpju centr opisnog krug, centr upisnog krug, te`i{te i ortocentr Prvougli trougo je trougo koji im jedn unutr{wi ugo prv Njdu` strnic prvouglog trougl, koj se nlzi nsprm prvog ugl, zove se hipotenuz, dok su preostle dve ktete Obim trougl je zbir du`in wegovih strnic 85

87 Uobi~jene su slede}e oznke z elemente trougl (sl 79):,b,c du`ine strnic, αβγ unutr{wi,, uglovi, α, β, γ spoq{wi uglovi, h,h,h visine (du`ine visin), b c s полуобим, r полупречник уписаног круга, R полупречник описаног круга A α α c h b β β γ B C Sl 79 Z obim i povr{inu trougl v`e slede}e formule: О + b+ c s, h b h c h b c P, ( )( )( ) ( Херонов образац) P s s s b s c, bc P r s, 4R P b sin γ c sinβ b c sin α γ 86

88 Z prvougli trougo (sl 8) s ktetm а i b i hipotenuzom c v`i d je: + b c, (Pitgorin teorem) c c p, h p q c b c q, R Sl 8 U slu~ju jednkostrni~nog trougl strnice immo: O, h, r, R r, 6 P 4 Z sli~ne trouglove v`i d se obimi odnose ko du`ine wihovih odgovrju}ih strnic, povr{ine ko kvdrti tih du`in (i ko kvdrti visin) Prem tome, ko su,b,c i h, odnosno,b,c i h odgovrju}i elementi sli~nih trouglov, td je: A b C p h c O b c O b c и P b c h P b c h c q B 87

89 ^etvorougo Nvodimo neke osnovne pojmove i ~iwenice u vezi ~etvorouglov Zbir unutr{wih uglov svkog ~etvorougl je 6 Zbir spoq{wih uglov konveksnog ~etvorougl je6 Prlelogrm (sl 8) je ~etvorougo ~ije su nsprmne strnice prlelne I svki od slede}ih uslov mo`e se uzeti z definiciju prlelogrm: nsprmne strnice ~etvorougl su jednke, nsprmni uglovi ~etvorougl su jednki, dve nsprmne strnice ~etvorougl su jednke i dv nsprmn ugl su jednk, dijgonle ~etvorougl se me usobno polove Romb je prlelogrm ~ije su sve strnice jednke Dijgonle romb se me usobno polove pod prvim uglom Prvougonik je prlelogrm ~iji su svi unutr{wi uglovi prvi Kvdrt je prvougonik s jednkim strnicm A D D C B h h b C b A h d d B b Sl 8 Trpez (sl 8) je ~etvorougo s jednim prom prlelnih strnic Prlelne strnice su osnovice, ostle dve su krci trpez Trpez je jednkokrk ko im jednke krke Sredw linij 88

90 trpez je du` koj spj sredi{t krkov On je prleln osnovicm i jednk wihovom poluzbiru Deltoid (sl 8b) je ~etvorougo koji im dv pr jednkih susednih strnic Dijgonle deltoid su me usobno normlne D D b C A d C A c h m () d B b d (b) Sl 8 B Tngentni ~etvorougo (sl 8) je ~etvorougo u koji se mo`e upisti krug ^etvorougo je tngentn ko i smo ko su mu zbirovi nsprmnih strnic jednki Tetivni ~etvorougo (sl 8b) je ~etvorougo oko kog se mo- `e opisti krug ^etvorougo je tetivn ko i smo ko su mu zbirovi nsprmnih uglov jednki C C c γ D d O r b D δ O R β B A () B Sl 8 α A (b) Nek su i b du`ine strnic prlelogrm, h i 89 h b odgovrju}e visine i α jedn wegov unutr{wi ugo Td z obim i povr{inu prlelogrm v`e slede}e formule:

91 O + b, P h b h bsin α b U specijlnim slu~jevim v`i: z romb O 4, d d P h ( d,d дужине дијагонала ); z prvougonik O + b, P b; z kvdrt O 4, P Ako su i b du`ine osnovic trpez, m du`in sredwe linije i h visin (rstojwe izme u osnovic), td je + b + b m, P m h h Povr{in deltoid, ~ije su du`ine dijgonl d i d, r~un se po formuli d d P Mnogougo Zbir unutr{wih uglov n -tougl je ( ) n 8 Zbir spoq{wih uglov konveksnog n -tougl je 6 n( n ) Broj dijgonl konveksnog n -tougl je Mnogougo je prviln ko su mu sve strnice i svi unutr- {wi uglovi jednki Tngentni mnogougo je mnogougo u koji se mo`e upisti krug Tetivni mnogougo je mnogougo oko kojeg se mo`e opisti krug 9

92 Svki prvilni mnogougo je i tngentn i tetivn Kod weg se poklpju centri upisnog i opisnog krug Ako je du`in strnice prvilnog n -tougl i r polupre- ~nik upisnog krug, td se wegov obim i povr{in r~unju po formulm: r O n, P n 4 Krug Krug (kru`nic, kru`n linij) (sl 84) je skup svih t~k u rvni koje se nlze n podjednkom odstojwu od jedne fiksirne t- ~ke Kru`n povr{ (ili jednostvno krug) je deo rvni ogrni~en kru`nom linijom Fiksirn t~k je centr krug, du` koj spj centr s nekom t~kom n krugu je polupre~nik krug Termin polupre~nik ~esto koristimo i z du`inu polupre~nik Du` koj spj dve rzli~ite t~ke n krugu je tetiv Simetrl svke tetive sdr- `i centr krug Njdu` tetiv, tj tetiv koj sdr`i centr je pre~nik krug Prv koj se~e krug u dvem rzli~itim t~km je se~ic krug Tngent krug je prv koj s krugom im smo jednu zjedni~ku t~ku Polupre~nik koji odgovr dodirnoj t~ki tngente je normln n tu tngentu Kroz svku t~ku vn krug mo`emo povu}i dve tngente Tngentn du` je odse~k tngente od t~ke iz koje je on konstruisn n dti krug do t~ke dodir Tngentne du`i konstruisne iz iste t~ke vn dtog krug su jednke A C s O r C M Sl 84 B t MAMB Kru`ni luk je deo kru`ne linije izme u dve wene rzli~ite t~ke Deo kru`ne povr{i ogrni~en tetivom i odgovrju}im 9

93 kru`nim lukom je kru`ni odse~k (sl 85) Dv rzli~it polupre- ~nik i odgovrju}i kru`ni luk odre uju kru`ni ise~k (sl 85b) r r r O O () (b) Sl 85 Ugo pod kojim se iz centr krug vidi neki luk (tetiv) je centrlni ugo koji odgovr tom luku (tetivi) Ugo pod kojim se iz neke t~ke n krugu vidi luk, kojem ne pripd t t~k, zove se periferijski ugo nd tim lukom Svi periferijski uglovi nd istim lukom su jednki Svkoj tetivi odgovrju dv periferijsk ugl koji su suplementni (u zbiru dju opru`en ugo) (sl 86) Centrlni ugo je dv put ve}i od odgovrju}eg (nd istim lukom) periferijskog ugl Periferijski ugo nd pre~nikom je prv O{tr (tup) ugo koji je odre en tetivom i tngentom u krjwoj t~ki tetive krug jednk je o{trom (tupom) periferijskom uglu nd tom tetivom (sl 86b) α O α O 8 α () Sl 86 (b) 9

94 Krugovi neke rvni su koncentri~ni ili ekscentri~ni u zvisnosti od tog d li im se centri poklpju ili ne Deo rvni izme u dv nejednk koncentri~n krug (kru`ne linije) zove se kru`ni prsten (sl 87) r O r Sl 87 Obim i povr{in krug polupre~nik r r~unju se po formulm O r π, P r π Nek kru`nom luku odgovr centrlni ugo ~ij mer u stepenim iznosi α, u rdijnim ϕ Td je du`in luk dt s rπα l, l r ϕ, 8 povr{in odgovrju}eg kru`nog ise~k je r πα P, P r ϕ 6 Povr{in kru`nog prsten odre enog krugovim polupre~nik r i r ( r > r ) jednk je ( ) P r r π 9

95 4 POLIEDRI 4 Prizm Svk prizm (sl 88) im dve osnove (bze) i omot~ Osnove ~ine dv podudrn mnogougl koji se nlze u prlelnim rvnim, omot~ je skup bo~nih strn prizme, pri ~emu je svk bo~n strn prlelogrm Ako su osnove neke prizme n -touglovi, ond je re~ o n -tostrnoj prizmi Strnice osnov su osnovne ivice, dok su ostle ivice bo~ne ivice prizme Dijgonl prizme je du` koj spj teme jedne osnove prizme s nesusednim temenom druge osnove Prizm je prv ko su bo~ne ivice normlne n rvni osnov; u protivnom je prizm kos Sl 88 Prviln prizm je prv prizm ~ije su osnove prvilni mnogouglovi Ako su osnove prizme prlelogrmi, ond se t prizm zove prlelepiped Kvdr (sl 89) je prvi prlelepiped ~ije su osnove prvougonici Kock (prvilni heksedr) (sl 9) je kvdr ~ije su sve ivice jednke c b Sl 89 Sl 9 94

96 Koristimo se stndrdnim oznkm: B povr{in bze prizme, M povr{in omot~ prizme, H visin prizme (rstojwe izme u osnov) Povr{in i zpremin prizme r~unju se po formulm: P B+ M, V B H Ako su, b i c du`ine ivic kvdr, ond su povr{in i zpremin kvdr dte s: ( ) P b+ c+ b c, V bc Z kocku, ~ij je du`in ivice, v`i: P 6 i V 4 Pirmid Svk pirmid (sl 9) im jednu osnovu (bzu) i omot~ Osnov pirmide je mnogougo, omot~ je skup bo~nih strn pirmide Svk bo~n strn je neki trougo Ako je osnov pirmide n -tougo, ond je re~ o n -tostrnoj pirmidi Strnice osnove su osnovne ivice, dok su ostle ivice bo~ne ivice pirmide Zjedni~k t~k svih bo~nih strn je vrh pirmide H Sl 9 95

97 Pirmid je prviln ko joj je osnov prviln mnogougo i ko se podno`je normle kroz wen vrh n rvn osnove poklp s sredi{tem osnove Sve bo~ne ivice prvilne pirmide su jednke Visine bo~nih strn prvilne pirmide zovu se poteme Trostrn pirmid zove se i tetredr Prvilni tetredr je tetredr ogrni~en s ~etiri jednkostrni~n trougl Koristimo se slede}im stndrdnim oznkm: B povr{in bze pirmide, M povr{in omot~ pirmide, H visin pirmide (odstojwe vrh pirmide od rvni osnove), s du`in bo~ne ivice prvilne pirmide, h potem prvilne pirmide Povr{in i zpremin pirmide r~unju se po formulm: P B+ M, V B H Z prvilnu n -tostrnu pirmidu (sl 9) v`i: B n r, M n h, s H + R, pri ~emu su r i R polupre~nici upisne, odnosno opisne kru`nice osnove pirmide Z prvilni tetredr (sl 9) ivice immo d je: P i V H s h R Sl 9 Sl 9 96

98 4 Zrubqen pirmid (sl 94) Ako pirmidu prese~emo nekom rvni prlelnom s rvni osnove i koj ne sdr`i vrh pirmide, ond se deo pirmide s one strne rvni s koje nije vrh zove zrubqen pirmid Svk zrubqen pirmid im dve osnove (bze) i omot~ Osnove (dow i gorw) su sli~ni mnogouglovi koji se nlze u prlelnim rvnim Omot~ je skup bo~nih strn, pri ~emu je svk od wih neki trpez Strnice osnov su osnovne ivice, ostle su bo~ne ivice zrubqene pirmide Zrubqen pirmid je n -tostrn ko su joj osnove n -touglovi Sl 94 Zrubqen pirmid je prviln ko je tkv pirmid od koje je on nstl Z zrubqenu pirmidu obi~no se koriste slede}e oznke: B povr{in dowe bze, B povr{in gorwe bze, M povr{in omot~, H visin (rstojwe izme u osnov) Povr{in i zpremin zrubqene pirmide r~unju se po slede}im formulm: P B + B + M, V H ( B + BB + B ) 97

99 5 OBRTNA TELA 5 Vqk Svki (kru`ni) vqk (sl 95) im dve osnove (bze) i omot~ Osnove vqk su podudrni krugovi koji le`e u prlelnim rvnim, izvodnice su mu ili normlne n rvn osnove (prvi vqk) ili nisu (kosi vqk) Omot~ prvog vqk (u rzvijenom obliku) je prvougonik ~ije su dimenzije odre ene obimom osnove i du`inom izvodnice (visine) Uobi~jene su slede}e oznke: R polupre~nik osnove (bze) vqk, H visin vqk, B povr{in bze vqk, M povr{in omot~ vqk R H H R Sl 95 Z svki vqk je B R π, z prvi vqk M Rπ H Povr{in i zpremin vqk r~unju se po formulm: P B+ M, V B H R π H Ako je vqk prv, ond je P R π+ Rπ H Rπ R+ H ( ) 98

100 Prvi vqk je prviln (sl 96) ko je R H, tj ko je wegov osni presek kvdrt R HR Sl 96 5 Kup Svk (kru`n) kup (sl 97) im jednu osnovu (bzu) i omot~ Osnov kupe je krug, wene izvodnice zklpju s rvni osnove ili konstntn ugo (prv kup) ili ne (kos kup) Omot~ prve kupe (u rzvijenom obliku) je kru`ni ise~k ~iji je polupre~nik odgovrju}eg krug jednk du`ini izvodnice, du`in luk jednk obimu osnove Kod prve kupe se podno`je normle kroz vrh kupe n rvn osnove poklp s centrom osnove Koristimo se slede}im stndrdnim oznkm: R polupre~nik osnove (bze) kupe, H visin kupe, s du`in izvodnice prve kupe, B povr{in bze kupe, M povr{in omot~ kupe 99

101 H s H R R Z svku kupu je z prvu kupu B R π, Sl 97 M Rπ s Povr{in i zpremin kupe r~unju se po formulm: P B+ M, B H R π H V Ako je kup prv, ond je P R π+ Rπ s Rπ R+ s Prv kup je prviln (sl 98) ko je R s, tj ko je wen osni presek jednkostrni~ni trougo ( ) H R sr s Sl 98

102 5 Zrubqen kup Zrubqen (kru`n) kup (sl 99) nstje presecwem (kru`ne) kupe nekom rvni koj je prleln s osnovom kupe Im dve osnove (bze) i omot~ Osnove su krugovi koji se nlze u prlelnim rvnim Zrubqen kup mo`e biti prv ili kos, u zvisnosti od tog d li je nstl presecwem prve ili kose kupe Obi~no se koristimo slede}im oznkm z zrubqenu kupu: B povr{in dowe bze, B povr{in gorwe bze, M povr{in omot~, R polupre~nik dowe osnove, r polupre~nik gorwe osnove, H visin zrubqene kupe (rstojwe izme u osnov), s du`in izvodnic prve zrubqene kupe r r H s H R Sl 99 R Z svku zrubqenu kupu je z prvu zrubqenu kupu B R π, B r π, M π s( R+ r ) Povr{in i zpremin zrubqene kupe r~unju se po formulm:

103 P B + B + M, Hπ ( ) ( ) V B + BB + B R + Rr+ r Ako je zrubqen kup prv, ond je P R π+ r π+π s R+ r ( ) 54 Sfer i lopt Sfer (sfern povr{) je skup svih t~k u prostoru koje su n podjednkom odstojwu od jedne fiksirne t~ke Fiksirn t~k je centr sfere, pomenuto odstojwe je polupre~nik sfere Deo prostor ogrni~en sferom zove se lopt (kugl) (sl ) Nek je R polupre~nik lopte Td su wen povr{in i zpremin dte formulm: P 4R π, 4 V R π R Sl Ako loptu presec nek rvn, ond se deo lopte s jedne strne rvni zove loptin odse~k, odgovrju}i deo sferne povr{i je kpic ili klot (sl ) Nek je h visin klote Td je povr{in klote P Rπ h, zpremin loptinog odse~k V πh ( R h) πh( r + h 6 ), pri ~emu je r polupre~nik osnove (prese~nog krug) loptinog odse~k O h r Сл R

104 Ako se lopt prese~e s dve prlelne rvni, ond se deo lopte izme u tih rvni nziv loptin sloj, odgovrju}i deo sferne povr{i je loptin (sferni) pojs (sl ) Nek je h visin sloj i nek su r i r polupre~nici prese~nih krugov Td je povr- {in sfernog pojs P Rπ h, zpremin loptinog sloj V π h ( r + r + h 6 ) h O r r R Sl

105 6 ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI 6 Rstojwe izme u t~k Podel du`i u dtom odnosu Povr{in trougl Rstojwe izme u t~k A(, ) i ( ) Ako t~k ( ) ( ) ( ) + ( ) B, dto je s d A,B AB C, deli du` AB u odnosu λ, tj ko je AC λ, td BC je +λ +λ, +λ +λ U specijlnom slu~ju, z λ, tj ko je C sredi{te du`i AB, v`i + +, Povr{in trougl s temenim A(, ),B (, ),C(, ) r~un se po formuli P ( ) + ( ) + ( ) 6 Prv u rvni Op{ti (implicitni) oblik jedn~ine prve je A+ B+ C, A + B > ( ) Eksplicitni (glvni) oblik jedn~ine prve je k+ n, pri ~emu je k koficijent prvc prve, n odse~k n -osi Jedn~in prve koj prolzi kroz t~ku M(, ) i ~iji je koeficijent prvc k dt je s ( ) k 4

106 Jedn~in prve koj prolzi kroz t~ke M(, ) i M (, ) je ( ), ( ) Segmentni oblik jedn~ine prve je +, ( m,n ), m n pri ~emu su m i n odse~ci koje prv ~ini n koordintnim osm M, od prve A + B + C Odstojwe t~ke ( ) r~unmo po formuli A + B + C d A + B Nek su A+ B+ C i A + B + C jedn~ine dve prve koje se seku u t~ki S Sve prve koje prolze kroz S dte su jedn~inom oblik α ( A + B + C ) +β ( A + B + C ), ( α, β) (, ) To je jedn~in prmen prvih s centrom u t~ki S Jedn~inu prmen mo`emo zpisti i u obliku ( ) A + B + C+λ A + B + C A + B + C, λ R Z prve l : k + n i ( ) tg l,l tg ϕ, + kk l : k + n v`i: ( ) l l k k, услов паралелности k k ( ) l l k k, услов нормалности 5

107 6 Kru`nic (kru`n linij, krug) Jedn~in kru`nice s centrom u t~ki C(,b ) polupre~nikom r dt je s ( ) ( ) + b r Specijlno, kru`nic s centrom u koordintnom po~etku i polupre~nikom r im jedn~inu + r Sve t~ke unutr kru`nice + r zdovoqvju relciju + < r, dok z t~ke vn te kru`nice v`i d je + > r Jedn~in oblik + + m+ n+ p predstvq jedn~inu kru`nice u rvni ko je m + n 4p > Uslov dodir prve k+ n i kru`nice ( ) ( ) + b r je ( + ) ( + ) Specijlno, ko je re~ o kru`nici Ako je ( ) r k k b n ( ) r + k n + r, tj uslov glsi + b r, td je jedn~in tngente kru`nice u toj t~ki M, t~k kru`nice ( ) ( ) ( )( ) + ( )( ) b b r, koj u slu~ju kru`nice + r postje + r i 6

108 64 Elips Elips (sl ) je skup svih t~k u rvni ~iji je zbir odstojw od dve fiksirne t~ke konstntn Fiksirne t~ke zovu se `i`e ili fokusi elipse Ako je tj zbir odstojw i ko su F c, < c<, td je jedn~in elipse `i`e ( ) i F ( c, ), ( ) pri ~emu je b + b ili +, b b c To je tzv knonski oblik jedn~ine elipse Sve t~ke unutr elipse + <, dok z t~ke vn te elipse v`i d je b + zdovoqvju relciju b + > b b r < d M d r r r F F ε ε Sl 7

109 Prmetri i b su du`ine velike, odnosno mle poluose elipse Du`ine poteg (foklni rdijusi) t~ke M (, ) n elipsi su: c c r +, r, ( r + r ) Linerni ekscentricitet (rstojwe `i`e od centr elipse) je prmetr c b c b Numeri~ki ekscentricitet je prmetr ε < Direktrise elipse su prve i, tj i ε ε c c r Osnovno svojstvo direktris je d v`i ε<, pri ~emu je r d foklni rdijus proizvoqne t~ke elipse, d odstojwe te t~ke od odgovrju}e (istostrne) direktrise Uslov dodir prve k+ n i elipse k + b n + je b Jedn~in tngente elipse u wenoj t~ki M (, ) je + Povr{in del rvni ogrni~enog elipsom b P b π + je b Ako je centr elipse u t~ki S(, ) i ko su wene poluose (du`in i b ) prlelne koordintnim osm, ond je wen jedn~in ( ) ( ) + b 8

110 65 Hiperbol Hiperbol (sl 4) je skup svih t~k u rvni ~ij je psolutn vrednost rzlike odstojw od dve fiksirne t~ke konstntn Fiksirne t~ke zovu se `i`e ili fokusi hiperbole Ako je psolu- F c, i tn vrednost rzlike odstojw i ko su `i`e ( ) F ( c, ), ( < < c ), td je jedn~in hiperbole b b ili, b pri ~emu je b c To je tzv knonski oblik jedn~ine hiperbole M d r > d r b r r F F Sl 4 Prmetri i b su du`ine relne, odnosno imginrne poluose hiperbole Du`ine poteg (foklni rdijusi) t~ke M (, ) n hiperboli su: 9

111 c c r +, r, ( r r ) (z desnu grnu), c c r, r +, ( r r ) (z levu grnu) Linerni ekscentricitet (rstojwe `i`e od centr hiperbole) je prmetr c + b c + b Numeri~ki ekscentricitet je prmetr ε > Direktrise hiperbole su prve i, tj i ε ε c r Osnovno svojstvo direktris je d v`i ε>, pri ~emu c d je r foklni rdijus proizvoqne t~ke hiperbole, d odstojwe te t~ke od odgovrju}e (istostrne) direktrise b Jedn~ine simptot hiperbole su: i Uslov dodir prve k+ n i hiperbole k b n b je b Jedn~in tngente hiperbole u wenoj t~ki M (, ) je b Ako je centr hiperbole u t~ki S(, ) i ko su wene poluose (du`in i b ) prlelne koordintnim osm, ond je wen jedn~in ( ) ( ) b

112 66 Prbol Prbol (sl 5) je skup svih t~k u rvni koje su podjednko udqene od jedne fiksirne t~ke i fiksirne prve koj ne sdr`i tu t~ku Fiksirn t~k je `i` (fokus), fiksirn prv direktris prbole p Ako je `i` prbole u t~ki F,, direktris prv p, td je jedn~in prbole p To je tzv knonski oblik jedn~ine prbole s prmetrom p R\ { } Ekscentricitet prbole je ε r d r d p > p < d M r F p F p p Sl 5

113 Uslov dodir prve k+ n i prbole p kn pje Jedn~in tngente prbole p u wenoj t~ki M (, ) je p ( ) p Prbol, ~ij je `i` u t~ki F, i direktris prv p, im jedn~inu p (sl 6) p< p> Sl 6 D R

114 7 BINOMNI OBRAZAC ELEMENTI KOMBINATORIKE 7 Binomni koeficijenti i binomni obrzc Fktorijel prirodnog broj n, u oznci n!, je proizvod svih uzstopnih prirodnih brojev od do n Dkle, n! n Po definiciji je! Binomni koeficijenti se defini{u s: ( ) ( ) n n! n n n k+ ( n,k N, n k ), k k! ( n k)! k! α α α ( α ) ( α k + ), ( α R,k N ) k k! Z binomne koeficijente v`e slede}e osobine: n n n n, n, n n n n, k n k n n n+ + k k+ k+ + b,b C prirodnim brojem n Z stepenovwe izrz ( ) v`i tzv binomni obrzc (Wutnov binomn formul): n n n n n n n n n b b b b b n n n n n k b k k ( + ) k

115 U specijlnim slu~jevim dobijmo: ( ) ( ) ( ) ( ) + b + b, + b + b+ b, + b + b+ b + b, b + 4 b+ 6 b + 4b + b 7 Elementi kombintorike Neprzn skup A je kon~n ko z neko n N postoji bijektivno preslikvwe f: {,,, n} A U tom slu~ju skup A im n element, tj wegov krdinlni broj je n K`emo i d je A jedn n -skup Krdinlni broj skup A ozn~v se s A Przn skup je kon~n i v`i (Formul ukqu~ivw-iskqu~ivw) Z kon~ne skupove A,A,,A v`i d je n n A A A A A A + A A A n i i j i j k i i< j i< j< k n + ( ) A A A n U specijlnim slu~jevim (z n i n ) immo: A B A + B A B A B C A + B + C A B A C B C + A B C (Prvilo zbir) Ako su A,A,,A n me usobno disjunktni A A i j, td je skupovi, tj ko je ( ) i j A A A A + A + + A n n 4

116 je (Prvilo proizvod) Z kon~ne skupove A,A,,A v`i d n A A A A A A n n Prtitivni skup skup A je skup svih wegovih podskupov i P A V`i A n P A ozn~vmo g s ( ) ( ) n Multiskup veli~ine m (m -multiskup ), ~iji je nos~ u A,,,, je kolekcij skupu { } n,, ; а,,а ;; а n,, n, pri ~emu se jvq k put, ( i,,n; k i i i N; k+ + kn m ) Z multiskup k`emo d im specifikciju k k k n n Dv multiskup su jednk ko imju istu specifikciju Kombincij bez ponvqw k -te klse nekog n -skup je svki wegov podskup od k element Wihov ukupn broj je C k n n k Kombincij s ponvqwem k -te klse nekog n -skup je svki k -multiskup ~iji je nos~ u tom n -skupu Ukupn broj kombincij bez ponvqw k -te klse n -skup je C k n n+ k k Vrijcij bez ponvqw k -te klse nekog n -skup je svk ure en k -tork (ure eni niz du`ine k ) rzli~itih element iz tog skup Wihov ukupn broj je k V n! n n n k n! + ( n k) ( ) ( ) 5

117 Vrijcij s ponvqwem k -te klse nekog n - skup je svk ure en k -tork (ne obvezno rzli~itih) element iz tog skup Wihov ukupn broj je V k n k n Permutcij n -skup je svk wegov vrijcij bez ponvqw n -te klse Zto je wihov ukupn broj n n ( ) P V n n n! n Permutcij s ponvqwem je permutcij m -multiskup s specifikcijom k k k n n Wihov ukupn broj je P ( k,k,,k! ) m m n ( k k k m ) k! k! k! n n Isk Wutn

118 8 REALNI NIZOVI ARITMETI^KA I GEOMETRIJSKA PROGRESIJA 8 Relni nizovi Relni (beskon~ni) niz je svko preslikvwe N : R Slik broj n N ozn~v se s i zove se op{ti ili n -ti ~ln n niz Prirodn broj n je indeks ~ln n Niz se ozn~v s ( n ) n N ili ( ) n Niz ( n ) je:, smtrju}i d su wegovi ~lnovi,,,, n n N, rstu}i ko ( ) n+ n N >, strogo rstu}i ko ( ) n+ n N, opdju}i ko ( ) n+ strogo opdju}i ko ( ) n+ n n N < Niz je monoton ko je rstu}i ili opdju}i, strogo monoton ko je strogo rstu}i ili strogo opdju}i d je Niz ( n ) je konstntn ko postoji tkv reln broj c R ( n N) c n Niz ( n ) je ogrni~en ko postoje tkvi relni brojevi m,m R d je lim n n ( n N) m M n Reln broj je grni~n vrednost niz ( n ), u oznci ili ( n ), ko se skoro svi ~lnovi niz ( ) n nlze u proizvoqno zdtoj okolini broj Preciznije: ( )( )( )( n ) lim ε> n N n n n <ε n n n n n n 7

119 Ako je lim n n, td se k`e d je niz ( ) konvergentn i d konvergir k broju Ako niz ne konvergir nijednom relnom broju, ond se k`e d je divergentn defini{e se Pojm beskon~ne grni~ne vrednosti niz ( ) n n slede}i n~in: lim + K > n N n n n K, n n n n ( )( )( )( n ) ( )( )( )( n ) + ili lim, z niz ( ) lim K > n N n n n K U slu~ju d je lim n n n d odre eno divergir b konvergentni nizovi Td v`i: Nek su ( ) n i ( ) n ( ) lim ± b lim ± lim b, n n n n n n n n n ( ) n n ( ) lim c c lim c R, lim b lim lim b, n n n n n n n lim n ( ) n n n lim b, b n n b limb n n n n k`e se i n 8 Aritmeti~k progresij Kon~n ili beskon~n niz ( n ) je ritmeti~k progresij (ili ritmeti~ki niz) ko se svki ~ln tog niz (osim prvog) dobij tko {to se prethodnom ~lnu dod uvek isti broj Tj broj se zove rzlik ritmeti~ke progresije Rzlik ritmeti~ke progresije obi~no se ozn~v s d Aritmeti~k progresij je jednozn~no odre en svojim prvim ~lnom i rzlikom d 8

120 Z ritmeti~ki niz ( n ) v`i: n ( ) + n d, ( општи члан низа) n ( ) d n, n n + n n+ ( n n ) (Svki ~ln ritmeti~kog niz (osim prvog) je ritmeti~k sredin svojih susednih ~lnov) Zbir prvih n ~lnov ritmeti~kog niz ( n ), u oznci S, n r~un se po formuli n n S ( + ) ( + ( n n n ) d) Aritmeti~ki niz je rstu}i z d >, opdju}i z d < i konstntn z d 8 Geometrijsk progresij Kon~n ili beskon~n niz ( n ) je geometrijsk progresij (ili geometrijski niz) ko se svki ~ln tog niz (osim prvog) dobij tko {to se prethodni ~ln pomno`i uvek istim brojem Tj broj se zove koli~nik geometrijske progresije Koli~nik geometrijske progresije obi~no ozn~vmo s q Dkle, geometrijsk progresij je jednozn~no odre en svojim prvim ~lnom i koli~nikom q Z geometrijski niz ( n ) v`i: n n q, ( општи члан низа) n n n ( ) q n, 9

121 n n n+ ( ) n, n n n+ n ( ) (Svki ~ln geometrijskog niz (osim prvog) je geometrijsk sredin svojih susednih ~lnov) Zbir prvih n ~lnov geometrijskog niz ( n ), u oznci S, r~un se po formuli n n q S ( q n ), q S n ( q n ) Ako je < q <, ond postoji lim S, tj zbir svih ~lnov n n geometrijskog niz je (kon~n) reln broj Ozn~vju}i g s S, immo d je n S lim S + q+ q + + q + ( за < q < n ) n q

122 9 GRANI^NA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE Pod ε -okolinom ( ε> ) t~ke R podrzumev se svki intervl oblik ( ε, +ε ) T~k R je t~k ngomilvw skup D R ko postoji ε -okolin te t~ke z koju je ε,+ε D ( ) { } Nek f: D R i nek je t~k ngomilvw skup D Broj A R je grni~n vrednost (limes) funkcije f kd te`i ko v`i ε> δ> D < <δ f A <ε i pi{emo ( )( )( ) ( ) ( ) ili ( ) lim f A Nek je lim f ( ) A i ( ) f A (kd ) lim g B Td v`i: ( ( )) ( ) ( ( ) ± ( )) ± ( ( ) ( )) f ( ) A ( ( ) ) g( ) B lim c f c A, c R lim f g A B, lim f g A B, lim g,b Funkcij f: D R je neprekidn u t~ki D ko je lim f f ( ) ( ) Funkcij f: D R je neprekidn n D ko je neprekidn u svim t~km iz D Sve elementrne funkcije su neprekidne u svim t~km svojih domen

123 Nvodimo osnovne (tbli~ne) grni~ne vrednosti: sin cos lim, lim ±, lim, lim, ± n n n ( ) ( n n n n ) lim lim, n n n n n n m m m m m m lim lim,,b n m b b b b b ( ) lim + ± ( ) lim + e, ( + ) ( + ) log ln lim log e, lim, e lim ln, lim

124 IZVOD FUNKCIJE I WEGOVA PRIMENA Izvod i prvil diferencirw Nek je dt funkcij f: (,b) R i nek ( ) ~n vrednost (ko postoji) ( ) ( ) f +Δ f Δ Δ Δ lim lim Δ Δ,b Grni- je prvi izvod ili izvod funkcije f u t~ki i ozn~v se s f ( ) Z funkciju f k`emo d je diferencijbiln u t~ki Funkcij f je diferencijbiln u intervlu (,b ) ko je diferencijbiln u svkoj t~ki tog intervl Izvod funkcije f u t~ki geometrijski predstvq koeficijent prvc tngente grfik funkcije f u t~ki z (sl 7) f ( + Δ) M t f ( ) M Δ Δ + Δ Sl 7 Postupk nl`ew izvod nziv se diferencirwe

125 Ako su funkcije f i g diferencijbilne u t~ki, td v`e slede} prvil diferencirw: f ± g f ± g, ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( c f ( ) ) c f ( ) ( c const ), ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) + ( ) ( ) f g f g f g, f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( g( ) ) g( ) g ( ) (Izvod slo`ene funkcije) Nek je funkcij u: (,b) ( c,d) diferencijbiln u t~ki (,b ), funkcij f :( c,d) R ~ki u( ) Td je slo`en funkcij f u: (,b) R diferencijbiln u t~ki i v`i ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) f u f u f u u u t- (Izvod inverzne funkcije) Nek je funkcij f neprekidn i strogo monoton u nekoj okolini t~ke Ako f im izvod f, td wen inverzn funkcij f im izvod u t~ki ( ) ( ) f i v`i ( f ( )) f ( ) Izvodi proizvoqnog red defini{u se s: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ( ) ) ( ) ( n ( ) ( )) f f, f f,, f f 4

126 Tbli~ni izvodi изводи основних функција изводи сложених функција f ( ), d du f ( ) u u( ), u u ( ) d d ( c) ( c const) α ( α α α ) α ( α R) ( u ) αu u ( α R) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e ) ; u u u u u u ( ) u u ln < u ln ( < ) u u e ( ) ( ) ( ) e e u log < log u u < ln uln ( ln ) ( ln u ) u u sin cos sin u u cos u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos u u sin u tg tgu u cos cos u ctg ctgu u sin sin u ( rcsin ) ( rcsin u) u u rccos rccos u u u ( rctg) ( rctgu) u + + u ( rcctg) ( rcctgu) u + + u ( ) ( ) 5

127 Primen izvod Ako funkcij f im pozitivn (negtivn) izvod u intervlu (,b ), ond je f strogo rstu} (strogo opdju}) u ( ) Funkcij f: (,b) R u t~ki (,b),b posti`e loklni mksimum (loklni minimum) ko postoji okolin oko u kojoj je f ( ) njve} (njmw) vrednost funkcije f Loklni mksimum i loklni minimum zovu se loklni ekstremumi funkcije (sl 8) f ( ) m f ( ) min -ε + ε -ε + ε Sl 8 (Fermov teorem) Ako f: (,b) R u t~ki (,b) im loklni ekstremum i ko je diferencijbiln u toj t~ki, td je f ( ) T~ke u kojim je izvod funkcije jednk nuli nzivju se stcionrne t~ke te funkcije Nek je stcionrn t~k funkcije f >, td funkcij f u posti`e loklni mini- f Ako je ( ) mum; ko je f ( ) <, td f u im loklni mksimum U slu- ~ju d je f ( ), ispitivwe prirode t~ke vr{i se pomo}u izvod vi{eg red ili ispitivwem monotonosti funkcije f 6

128 Z odre ivwe grni~nih vrednosti funkcij ~esto se koristi slede} teorem f,g:,b R (Lopitlov teorem) Nek su funkcije ( ) diferencijbilne i nek je g ( ) z sve (,b) lim f ( ) lim g ( ) (ili lim f ( ) lim g ( ) f ( ) lim, td je g ( ) ( ) ( ) Ako je ) i ko postoji ( ) ( ) f f lim, lim g g (Lopitlov prvil) 7

129

130 Drugi deo RE[ENI ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA IZ MATEMATIKE

131

132 grup god ) Izr~unti b) Uprostiti : : + log, ( ) 4 4 Re{iti jedn~ine: ), 5 4 b) ( f ( ) ) + f ( ), ko je f ( ) +, <, Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos sin cos 4 Re{iti nejedn~inu log log + < 8 5 N}i jedn~ine zjedni~kih tngenti prbole 8 i kru`nice + 6 Izr~unti obim i povr{inu jednkokrkog trpez opisnog oko krug ko je du`in ve}e osnovice cm, jedn wegov unutr{i ugo je 6 7 Povr{in prve kupe je 96π cm Izr~unti zpreminu kupe, du`in izvodnice je cm 8 Zbir svih ~lnove beskon~ne geometrijske progresije je 6, zbir kvdrt ~lnov te iste progresije je 5,6 N}i peti ~ln i koli~nik te progresije 9 Izr~unti cos cos 4 cos 6 cos8 Od 5 oficir, 4 podoficir i vojnik treb formirti grupu od 4 osobe u kojoj }e biti br po jedn oficir i podoficir N koliko n~in je to mogu}e u~initi?

133 grup god (re{ew) 9 7 ) + : : + log, log ( 5, ) + log, log + 4( ) b) + ( ) ( ) 4 4 ( ) uz uslov ( )( ) ( )( + ) ( + ) ( ) + + ( + )( + ) ( + )( + ) +, ) Ako se dt jedn~in pomno`i s NZS (, 4,5), tj s 6, dobij se: ( + ) 5 ( + ) ( 5 + ) b) Ako je <, jedn~in glsi ( + ) + ( + ) Td je ( + ) + ( + ) < + + < ( ) < Ako je, jedn~in glsi ( ) + Td je ( ) + ( ) ( ) (jedn~in nem re{ew)

134 Re{ew jedn~ine su ili π Z cos ili sin, tj z k, k Z nemogu} Dqe, dt jedn~in je ekvivlentn s: cos sin cos cos + sin cos cos + sin + cos sin cos cos + sin sin cos дељењем са cos ( ) jedn~in je + tg tg tg t t t + tg t ( t t ) tg tg π rctg + k π, k Z + l π, l Z 4 log log 4 Nejedn~in + < 8 im smisl z > Ako uvedemo t smenu log t, ond je, p dobijmo: t t ( ) t+ < 8 t t + t < t t + t < t t + t < + < ( ) ( ) t t t ( t ) ( t ) + < t < Prem tome, log <, tj log < log, odkle sledi d je < 8 i, kko je >, skup re{ew nejedn~ine je intervl (,8)

135 5 Uslov dodir prve k + n i kru`nice ( k ) r n + r je + Uslov dodir prve k + n i prbole p je p kn Kko je r i p 4, re{vwem sistem ( + k ) n dobij se d je 4 kn n i k ili n i k Prem tome, jedn~ine tr`enih zjedni~kih tngenti su: t : + t : t t - Sl 6 A Dkle, D b C Nek je E podno`je visine h iz temen D (sl ) Td je r c AE c cos 6 c h c r Trpez je jednkokrki, p je b c b, odnosno, E F B Sl kko je trpez tngentni, to je c + b c b c + b, i, odkle je c + b c b 6 b + b c b b b c b c Visinu h dobijmo iz prvouglog trougl AED : c h c sin 6 To zn~i d je obim trpez O c+ + b cm, povr{in trpez + b + P h cm 4

136 7 N osnovu formule z povr{inu kupe P B+ M πr + πrs dobijmo d je 96 π π r r +, odnosno, d je ( ) r + r 96 i r 6cm Kko je H s r, to je H 8cm Zpreminu kupe izr~unvmo po formuli V B H, p je V π 6 8, tj V 96π cm H r Sl s 8 Prem uslovu zdtk je + q + q + 6 i q <, jer progresij im sumu Kvdrti ~lnov geometrijske progresije obrzuju, tko e, geometrijsku progresiju s koli~nikom q, < q < i prvim ~lnom z koju je 4 + q + q + 5,6 Zbir svih ~lnov progresije izr~unv se po formuli S, p iz 6 и 5, 6 sledi: q q q 6( q) 6( q) 56( q) 5,6 q 56( q) 5,6( + q) Dkle, q i 4 6( q),4 49,6q q 4 4 q Znju}i d je je cosα sin α sinα i sin( 8 α) sinα, dobijmo d cos cos 4 cos 6 cos8 5

137 sin 4 sin8 sin sin6 sin sin 4 sin6 sin8 sin sin6 6 sin6 sin ( 8 6 ) sin( 8 ) sin 6 sin6 sin 6 Mogu}e sstve grup prik`imo pomo}u skupov (jer redosled nije bitn): { O O, O, P}, { O, O, P, P}, { O, P, P, P}, { O, P, V, V}, { O, P, P, V},{ O, O, P, V},, gde O ozn~v oficir, P podoficir i V vojnik Od 5 oficir mo`emo izbrti oficir n 5 54 n~in ^etvrti ~ln grupe mor biti podoficir, z ~iji izbor 4 4 immo 4 mogu}nosti Svkom izboru tri oficir od pet oficir odgovrju ~etiri izbor podoficir, p z ovu kombinciju immo 4 4 mogu} n~n formirw grupe Sli~no rsu ivwe primewuje se i u ostlim slu~jevim Ukupn broj tr`enih n~in je

138 grup god 5 4 ) Izr~unti + : b b b) Uprostiti + b b b b Re{iti jedn~ine: 4 + ) + +, b) ( 4) + 7( 4 ) 4 6 Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos + sin cos Re{iti nejedn~inu log( ) < log 4 5 T~k A (,) polovi tetivu kru`nice Odrediti jedn~inu prve kojoj pripd tetiv nvedene kru`nice 6 Strnice trougl su, b 4 i c 5 Dve od wih ( i b) su tngente krug ~iji je centr n tre}oj strnici Odrediti polupre~nik krug 7 Izvodnic prve zrubqene kupe je s 5cm, polupre~nici osnov su R 5cm i r cm U kupu je upisn prviln zrubqen ~etvorostrn pirmid tko d je dow osnov pirmide upisn u dowu osnovu kupe, gorw osnov pirmide u gorwu osnovu kupe Izr~unti zpreminu zrubqene pirmide 8 Odrediti du`ine strnic trougl ko se zn d one obrzuju ritmeti~ku progresiju s rzlikom d 4 i ko jedn unutr{wi ugo trougl im 9 Dt je funkcij f ( ) ( ),, ln, (, ] [, ) ) Skicirti grfik funkcije f b) U zvisnosti od relnog prmetr, odrediti broj relnih re{ew jedn~ine f ( ) 7

139 Izr~unti grni~ne vrednosti: ) log+ log4+ + log n lim, b) lim n n + + grup god (re{ew) ) : ( 6 ) + ( 6+ ) 4( + 6) ( 6+ ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( 6 ) ( 6 + ) b b + + b b) + b b b b b b( b) ( b) ( )( ) + b b + b + b b b + b b( b) b( b) b( b ), uz uslov, b i b b( b) ) Ako dtu jedn~inu pomno`imo s (,,4,6 ) NZS,tj s, dobijmo: ( ) ( ) ( ) ( ) b) Ako uvedemo smenu 4 t, dobijmo d je b 8

140 ( 4) + 7( 4 ) 4 t t + 7t + ( t t 4) t Koriste}i identitete: ( + b)( b b ) 4 + b ( + b ) b + b +, 4 b, sin cos sin i sin cos, trnsformi{imo levu strnu jedn~ine n slede}i n~in: 6 6 cos + sin ( cos ) + ( sin ) ( cos sin 4 4 )( cos cos sin sin ) sin cos ( ) cos + sin cos sin 4 sin ( cos ) Dt jedn~in sd im oblik ( cos ) cos, 4 8 odkle se sre ivwem dobij ekvivlentn jedn~in, odnosno cos 5cos + Uvo ewem smene cos t dobij se jedn~in t 5t +, ~ij su re{ew t ili t Jedn~in cos je nemogu}, jedn~in cos im re{ew π ± + kπ, k Z 6 9

141 4 Nejedn~in ( ) + i >, 4 + log < log im smisl ko je > 4 odnosno ko je (,) Kko je log logn bi}e log log log log Osnov logritm je ve} od, p je logritmsk funkcij rstu}, 4 nejedn~in log( ) < log se svodi n nejedn~inu < Odvde dobijmo d je <, odnosno > ( ) ili > Re{ew posledwe nejedn~ine su + + svi brojevi ve}i od i rzli~iti od Ako uzmemo u obzir d je,,, ( ), kon~no re{ewe dte nejedn~ine je ( ) ( ) 5 Knonski oblik jedn~ine krug je ( ) + ( + ) 4 krug je t~k (, ) odre ene t~km A i C, prem formuli ( ) 4 n Centr C, polupre~nik je r Jedn~in prve l,, glsi ( ), odnosno Prv l i prv p, kojoj pripd tetiv, su ortogonlne {to sledi iz podudrnosti trouglov PAC i QAC (sl 4) Koeficijent prvc prve l je k l, p P l prve p je k p Iz uslov ortogonlnosti prvih k k sledi d je k p l Jedn~in prve p kojoj pripd t~k (,) s koeficijentom prvc k je ( ), odnosno + p p A, Sl4 6 Kko su poznte sve tri strnice trougl, wegovu povr{inu mo`emo izr~unti pomo}u Heronovog obrsc r C A r Q

142 + b + c P s( s )( s b)( s c), pri ~emu je s poluobim trougl ~ije su strnice, b i c U ovom zdtku je s, p je ( )( 4)( 5) 84 P N osnovu uslov zdtk, ABC povr{inu trougl ABC mo`emo dobiti i ko zbir povr{in trouglov AOC i BOC, gde je O centr upisnog polukrug(sl5) C Dkle, P ABC PAOC + PBOC, br r odnosno P ABC +, b r odkle je ( + 4) 84, r r 56 p je r A c O B 9 Sl5 7 N osnovu Pitgorine teoreme (sl 6) dobijmo d je ( R ) s r H, tj H 4 Pre~nik dowe osnove zrubqene kupe je R, kko je i dijgonl D dowe osnove upisne zrubqene pirmide tko e jednk R (sl 7), to }e biti D R, p je 5 Sli~no se iz d r 4 b dobij d je b Povr{ine bz zrubqene pirmide su : B 5cm i B b 8cm, p je zpremin zrubqene H 4 pirmide V ( B + BB + B ) ( ) 4cm b r H R H R-r s R D R Sl6 Sl7 Sl8 4

143 8 Nek su strnice trougl, b 4 i c + 4 S slike 8 vidi se d je i Prem Pitgorinoj teorimi je + ( + 4 ) ( + 4 ), p je ( + 4), odkle se sre ivwem dobij jedn~in, ~ij su re{ew ili Dkle, strnice trougl su, b 6 i c 4 Do jedn~ine smo mogli do}i i n drugi n~in N osnovu kosinusne teoreme v`i (sl 9): ( + 4) + ( 4) ( 4) cos Kko je cos (sl 6), sre ivwem prethodne jedn~ine dobij se jedn~in Sl 9 ln ln ln ln 9 Kko je ( ) funkcij f bi}e zdt formulom i,,, < ( ) ln, f ( ),, ln, ( ) Grfik funkcije f je prikzn n slici 4

144 -e - e - Sl U istom koordintnom sistemu, n slici, predstvqeni su grfici funkcij g ( ), R i f ( ) ( ) ln, ln, ( ), (, ) A B -e - e - Sl Apscise zjedni~kih t~k grfik funkcij f i g predstvq}e re{ew dte jedn~ine N slici 8 to su t~ke A i B To zn~i, z < jedn~in nem re{ew, z (, ) { } im re{ew, z, jedn~in im 4 re{ew jedn~in im re{ew, z ( ) 4

145 log+ log 4+ + log ) lim n n ( n ) n lim n n n ( 48 ) log ( ) log n log lim lim n n n n n( n+ ) + n + n n lim lim lim n n n n n b) lim + ( ) lim ( ) ( ) + lim ( + ) lim ( )

146 grup god ) [t je ve}e: % od ili % od 9? + b + b b b) Uprostiti izrz : + b b b Re{iti jedn~ine: + 5 ) 4 + ; b) log ( + ) Dokzti identitet + 4cosα + cos4α 8cos α Re{iti nejedn~inu ( + ) + ( ) 5 Odrediti jedn~ine tngenti elipse + 4 povu~enih iz t~ke A (,7) 6 Dijgonle jednkokrkog trpez su uzjmno normlne Izr~unti wegovu povr{inu ko je krk c 5cm, odnos osnovic je : 7 Osnov pirmide je trougo ~ije su strnice cm, b 6 cm и c cm, bo~ne ivice su jednke i imju du`inu 6 cm Izr~unti zpreminu pirmide 8 Deveti ~ln ritmeti~ke progresije je pet put ve}i od drugog ~ln, pri deqewu trinestog ~ln s {estim ~lnom dobij se koli~nik i osttk 5 O kojoj progresiji je re~? 9 Odrediti njmwu i njve}u vrednost funkcije f ( ), + 8 +, > n segmentu [,8 ] Skicirti grfike funkcij: ) sin ; b) cos ; v) log ; g) 45

147 grup god (re{ew) ) 6 < b b b b) : b b b + b b b + + b b b b + b b ( b)( + b) b + b ( b)( + b) + b + b b b( + b) + b ( b) b b b, uz uslov b, b, b + 5 ) Ako jedn~inu 4 + pomno`imo s 4 4 NZS (,4), tj s, dobijmo ekvivlentnu jedn~inu odkle sre ivwem dobijmo d je, odnosno d je 4 b) Jedn~in im smisl z + >, tj z i, kko je,, <, bi}e ( ) + + log ( + > ) ( < ) (( ) > ) ( ) < Koriste}i formule cos α cos α sin α, sin α sinαcosα, sin α + cos α i ( + b ) b + b, dobijmo d je

148 + 4cos α + cos 4α + 4 cos α sin α + cos α sin α ( ) + 4( cos α sin α) + ( cos α sin α) ( sinαcosα) ( + ) + ( ) ( + ) 6 sin α cos α 4 cos α sin α cos 4 α sin 4 α 6sin αcos α cos α sin α cos α sin α cos α sin α sin αcos α 7cos α sin α + 8sin αcos α 7cos α sin α + sin α + cos α 8sin αcos α 8cos α 8sin αcos α 8cos α sin α ( ) 8cos αcos α 4 8cos α 4 Zdtk im smisl ko je Td je : 6 ( ) ( ) 6 6 ( + ) + ( + ) ( ) 6 + ( + ) + ( osnov eksponencijlne funkcije je ve} od jedn ) ( + )( + ) (videti slike i i tblicu) Sl 47

149 ( ] [ ),, + (, ) (,) (,) (, + ) Sl 4 5 Nek je k + n jedn~in tngente elipse +, ~iji je knonski oblik + Uslov dodir ove elipse i 5 prve k + n je + 5 T~k (,7) k n A pripd prvoj k + n, p je 7 k + n Re{vwem sistem jedn~in k + 5 n 7 k + n dobijmo d je k i 8 n 5, ili d je 4 k i n 5, p su jedn~ine tr`enih tngenti: t : i t : Trouglovi ABO i CDO su sli~ni jer su im svi odgovrju}i uglovi jednki, p su im provi odgovrju}ih strnic proporcionlni Kko je AB : CD OB : OC, tj : OB : OC,bi}e OB OC Ozn~imo du`iob, OC i BC redom s, i c (sl 4) 48

150 D b C c O c A Sl 4 B Trougo BOC je prvougli, p je: ( 5) + ( ) c +, iz ~eg sledi d je Dijgonle jednkokrkog trpez su uzjmno normlne i jednke, p, ko ozn~imo dijgonle AC i BD s d, sledi d je ( + ) ( + ) ( 4 ) d P ABCD 6cm 7 Iz podudrnosti trouglovvob, VOC i VOA (sl 5; podudrne su po dve odgovrju}e strnice i ugo nsprm ve}e od wih) zkqu~ujemo d se podno`je visine pirmide nlzi u centru opisnog krug oko trougl ABC Povr{in bze mo`e se izr~unti pomo}u Heronovog obrsc: ( s )( s b)( s c) cm B PABC s bc bc 6 PΔ, to je R cm 4R 4P 4 96 Δ 49 Kko je

151 V V d d H d d H B c A R C O b Sl 5 B R Sl 6 O Visinu pirmide (sl 6) izr~unvmo pomo}u Pitgorine teoreme: H d R 6 ( 6 )( 6 + ) Sd mo`emo izr~unti zpreminu pirmide: V BH cm Npomen: Ako uo~imo d je bzni trougo prvougli, jer je + 6, mo`emo koristiti formulu c R 8 Nek je prvi ~ln, d rzlik dte ritmeti~ke progresije Prem uslovu zdtk sledi d je d 5( + d ) d d + d + 5 d 5 5

152 d 4 d 5 ( d 5) d 4 Prvih nekoliko ~lnov progresije 7 T je, 7,, 5, 9, 9 Funkcij je rstu} i f ( ), f ( ) Koordinte temen prbole su : b 4 D T i T Sl 7 8 Grfik funkcije prikzn je n slici 7 Njmw vrednost funkcije je i posti`e se u t~ki, njve} vrednost dte funkcije je 7 i posti`e se u t~ki 4 ) sin, sin sin sin, sin < sin - - Sl 8 π π sin sin sin sin 5

153 b) Osnovni period funkcije cos je T π π 4π ω π π π 4π π π π π Grfik funkcije prikzn je n slici 9 - π π π 4π Sl 9 v) log, > 4 4 Sl g),, > < Sl 5

154 ) Izr~unti: : 4 grup god b) Z, i b 5, 994 odrediti vrednost izrz I (, b) b Re{iti jedn~ine: + 4 ) 7 + b + 6b 9b b : ( + b) 9b + 5 ; log, b) ( f ( ) ) + f ( ) ko je f ( ), < Re{iti trigonometrijsku jedn~inu sin + sin 4 Z koje vrednosti relnog prmetr k jedn~in ( k ) k + k im pozitivn re{ew? 5 N krivoj 4 7 odrediti t~ku njbli`u prvoj U trouglu ABC je BC 5, AC 8, BAC i ABC < 9 Odrediti AB 7 Izr~unti zpreminu prve zrubqene kupe ko su povr{ine wenih osnov 5π cm i 4π cm, povr{in omot~ 5π cm 8 Hipotenuz jednkokrkog prvouglog trougl je Nd wegovom ktetom, ko nd hipotenuzom, konstruisn je novi jednkokrki prvougli trougo Nd ktetom novog trougl, ko nd hipotenuzom, konstruisn je, opet, jednkokrki prvougli trougo, itd do beskrj Koliki je zbir povr{in svih tko dobijenih trouglov (ukqu~uju}i i polzni)? log + log 9 Re{iti sistem jedn~in U O -rvni z k R skicirti linije odre ene jedn~inm: ) + k, b) +, v) k k + k + 5

155 4 grup god (re{ew) ) : : + b ( b) + 6b 9b b b) I(, b) 9b b + b b + b b,, b + b I (, ; 5,994), + 5,994 6 ( ) ( ) ) Ako jedn~inu pomno`imo s 7 NZS,tj s, dobijmo ekvivlentnu jedn~inu ( 7,) ( + ) 7( ) , koj se sre ivwem svodi n jedn~inu 9 + 9, weno re{ewe je b) Z log f log je ( ) + log log ( log ) p je, zbog uslov Z < + log log,, jedino re{ewe ove jedn~ine je f ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) +, p je, zbog uslov <, jedino re{ewe ove jedn~ine, Dkle, skup re{ew dte jedn~ine je { } Koriste}i identitete: 54

156 cos α + β α β sin i cosα + cos β cos cos dobij se: cos 4 cos 6 sin + sin + cos 4 + cos 6 cos 5 cos cos 5 cos π π 5 + kπ, k Z + lπ, l Z π π π + k, k Z + lπ, l Z 5 4D bi re{ew i jedn~ine + b + c bil pozitivn, treb d budu ispuweni slede}i uslovi: +, i D > > b k k k,, c k k k,, () +,tj ( k ) > > p je ( ) ( ) k, ( ),tj ( )( k ) > > k, p je ( ) ( ) ( ) D b c k ( k ) ( k ) 4 4 4, 4k 4k + k 8 4( k ) k, Presek skupov re{ew uslov (),() i () je tr`eno re{ewe i nlzimo g koriste}i sliku : Sl 55

157 Prem tome, k, k (,) (, ) k (,) (, ) k (, ) 5 Dt kriv je hiperbol ~iji je knonski oblik 4 8 Dodirn t~k hiperbole i wene tngente, prlelene dtoj prvoj bi}e tr`en t~k Dt prv im koeficijent prvc k p Tngent mor biti prleln s prvom p, p je k t Uslov dodir prve k + n i hiperbole je k b n Iz b dobij se d je 6 jedn~ine 4 8 n n ili n 6 Tngente hiperbole, prlelne prvoj p, imju jedn~ine: t : + i t : Re{vwem sistem i dobijju se t~ke P ( 6, ) i P ( 6, ) Prem formuli z rstojwe t~ke od prve sledi d je (, ) d P p 6 + d P, p 9+ 4 P 6, je tr`en t~k Dkle, t~k ( ) i ( ) N osnovu sinusne teoreme v`i (sl ) N osnovu implikcije b, tj 5 8 sinα sin β sin β 56

158 4 π 6 sin β < β < cos β β i n osnovu kosinusne teoreme v`i A c B b + c ccosβ, odnosno Sl c 5 c, odkle je c 6c 9 Re{vwem 5 kvdrtne jedn~ine i uzimju}i u obzir d je c >, proisti~e d je c Kko je poznto d je B 4π cm i B 5π cm, to se mogu odrediti polupre~nici bz: r π π r cm, 4 r π 5π r 5cm 8 C 5 Sd, iz M 5π cm mo`e se odrediti izvodnic zrubqene kupe: ( r + r ) s 5π s 5cm π Pomo}u Pitgorine teoreme (sl) nlzi se visin zrubqene kupe: ( r r ) 5 9 cm H s 4 N osnovu pozntog obrsc z zpreminu zrubqene kupe sledi d V H B 4 + BB + B 5π + 5π 4π + 4π 5 je ( ) ( ) π cm 8 +, p je P 4 +, p je P P 8 57

159 +, p je P P 6 Indukcijom se mo`e dokzti d je niz P P, P, P,, n geometrijski niz s koli~nikom q Kko je n Sn P + P + P n n, 4 Sl 4 prelskom n grni~nu vrednost, kd se n neogrni~eno uve}v, dobijmo d je lim S n n lim n n 9 Sistem im smisl z >, >, i log + log log + log log + log ( log ) log Iz druge jedn~ine se dobij d je ili Prem uslovu zdtk, jedino re{ewe sistem je, 58

160 ) Linije u O rvni odre ene jedn~inm + k, k R su prve prlelne s prvom, (sl 5) b) Jedn~inu k k + k + npi{imo u obliku ( + ) + k, odnosno u obliku k( ) + Sd se vidi d su linije odre ene ovim jedn~inm prbole koje prolze kroz t~ku (, ) M z k, i prv, z k, (sl6) Sl5 k > k - k < - Sl 6 Sl 7 v) Kko je,, to jedn~in + z, < glsi +, linij koj joj odgovr je deo kru`nice u 59

161 prvom i drugom kvdrntu (sl 7) Z < dobij se deo hiperbole u tre}em i ~etvrtom kvdrntu 6

162 ) [t je ve}e: 64 5 ili? b) Izr~unti :, : grup god Re{iti jedn~ine: ) +, 7 + b) Z koje vrednosti relnog prmetr jedn~in sin + cos im reln re{ew? + 4 Re{iti nejedn~inu 5 > ( 5 ) 5 Odredtiti koordinte t~ke B simetri~ne t~ki A (, ) u odnosu n prvu koj prolzi kroz t~ke C (5,) i D( 8, ) 6 Oko krug polupre~nik cm opisn je jednkokrki trpez povr{ine cm Odrediti du`ine strnic tog trpez 7 Izvodnice prve kupe grde s rvni osnove ugo od 6 U kupu je upisn lopt polupre~nik r Izr~unti povr{inu i zpreminu kupe Re{iti jedn~inu cos + cos + cos + 9 Re{iti sistem jedn~in Skicirti grfike funkcij: ), b) sin, v) ln 6

163 5 grup god (re{ew) 5 5 ) ( ) ( ) b) < :, : ( 4 ) ) Ako jedn~inu + pomno`imo s 7 NZS (,,7 ), tj s 4, dobijmo d je ( 5 ) 6( + ) ( 5) b) Jedn~in im smisl z + i, tj z Re{ewe jedn~ine je Koristi}emo identitete: b ( + b)( b b ), b ( + b ) b + sin sin cos + i

164 6 6 Kko je sin + cos ( sin ) + ( cos ) ( sin cos 4 4 )( sin sin cos cos ) ( ) sin + cos sin cos + + ( ) sin cos sin, 4 4 to se dt jedn~in svodi n jedn~inu 4 sin, tj n 4 jedn~inu ( ) sin, ~ij su re{ew reln, ko je ( ) Iz ( ) dobijmo d je, iz ( ) dobijmo d je, odnosno d je Dkle, i, p je, Deqewem nejedn~ine 5 > ( 5 ) s ( >) dobijmo d je >, odnosno >, odkle je >, ili > 9 Osnov eksponencijlne funkcije j e ve} od, p je funkcij rstu}, iz ~eg proisti~e d je > 5 Jedn~in prve p, odre ene dvem t~km je, ( ) p je z t~ke C ( 5,) i ( 8, ) D jedn~in odgovrju}e prve ( 5), 8 5 6

165 odnosno + 5 Koeficijent prvc prve p je k p Prv n koj prolzi kroz t~ku A (, ) i normln je n prvu p im jedn~inu ( ) kn ( ), pri ~emu je k n, p k p jedn~in prve n glsi: A + ( ), odnosno + 5 S + 5 B n Re{vwem sistem 5 p dobij se t~k S (,) koj je presek Sl 8 prvih n i p Koordinte t~ke B dobijju se iz uslov d je S A + B sredi{te du`i AB (sl 8) Dkle, iz s dobij se d je A + B B 4, iz s d je B + 4 Tr`en t~k je t~k B (,4) 6 Nek su i b osnovice, c krk i h visin trpez, r polupre~nik krug Krug je upisn u trpez (sl 9), p je h r Kko je r cm, to je h 4cm Iz formule z povr{inu trpez + b + b P h dobijmo d je 4, tj d je + b Trpez je tngentni, p je c + b N osnovu prethodnog zkqu~ujemo d je c 5cm Kko je trpez jednkokrki, b b D C to je AE, gde je E podno`je r visine spu{tene iz temen D n osnovicu AB Prem Pitgorinoj c h c teoremi, z trougo AED v`i: r b c h 5 6 9, A b E F B odnosno b 6 Sl 9 64

166 Re{vwem sistem + b b 6 dobij se d je 8cm i b cm 7 Iz podudrnosti trouglov ADO i AEO (sl ) zkqu~ujemo d ( r) je: DAO i AOD 6, p je AO r i R r Trougo ACB je jednkokrki s uglom n osnovici od 6, p je R s AC AB BC R r i H R r Dkle, P B + M π R + πrs πr( R + s) π r ( r + r ) 9π r cm i V BH π r r π r cm Npomen: C r tg R r R H R Sl 8 Jedn~in cos + cos + cos + im smisl z kπ, k Z Lev strn jedn~ine predstvq zbir ~lnov beskon~ne geometrijske progresije z koju je cosi q cos Kko je q <, bi}e π cos + cos + cos + cos cos cos Iz jedn~ine cos dobijmo d je cos cos, odnosno cos, π ili cos Re{vwem posledwe jedn~ine Sl s 6 r O A R D B r 65

167 b) Kko je, sin( ) sin( ) immo d je sin( ),, to }e z biti, < sin( ) sin, dok z < ( ) ( ( )) Grfik funkcije je prikzn n slici sin sin sin π π π π - Sl v) Funkcij ln im smisl z ln, > Kko je ln, to }e biti ln z ln( ), < (, ] [, ), z (, ) (,) }e biti ln < (vidi sliku 4)Sd mo`emo detqno zdti funkciju ln Dkle, ln ln, ln, < < ln( ), < < ln( ), -e - e Sl4 Grfik funkcije je prikzn n slici 4 67

168 ) [t je ve}e: 5 5 ili? b) Izr~unti :,7 : 7 Re{iti jedn~ine: ) +, 4 b) grup god Re{iti trigonometrijsku jedn~inu 4 4 cos + sin cos 4 4 Z koje vrednosti relnog prmetr p jedn~in 6 log p im ob pozitivn re{ew? 4 5 Odrediti jedn~inu kru`nice koj prolzi kroz t~ke A(,6), B(7,), C(5,5) 6 U trpsez s krcim c i d 5 upisn je krug polupre~nik 6 Izr~unti du`ine onovic tog trpez 7 T~ksti izvor svetlosti udqen je 4m od centr lopte polupre~nik m Izr~unti povr{inu neosvetqenog del lopte 8 Zbir svih ~lnov beskon~ne geometrijske progresije je, 4 zbir kvdrt ~lnov iste progresije je Koj je to progresij? 9 Izr~unti + i + i (i je imginrn jedinic) U O -rvni predstviti skupove t~k odre ene relcijm: ) ( )( + 4), b) ( )( e ) v) ( )( + ), 68

169 5 6 grup god (re{ew) > 4 5 ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 7 7 ) Ako jedn~inu , tj s, dobijmo ekvivlentnu jedn~inu NZS (,,4,) ( + ) 6( ) 4( 7 ) + 9 pomno`imo s Sre ivwem ove jedn~in dobij se d je 7, odnosno b) Jedn~in + im smisl ko je + i, tj ko je i Dkle, re{ew tr`imo z sve ( 4 ) ( 4) cos sin cos 4 + ( ) cos + sin cos sin cos sin sin sin kπ kπ, k Z, k Z sin sin 69

170 4 Jedn~in 6 log4 p im smisl z p > Prem b 6 c log4 p Vietovim formulm je +, Zdtk se svodi n re{vwe sistem nejedn~in + >, >, D i p >, tj 6 > log 4 p < < p < < p < log4 p > log 4 p p 4 p 8 6 4log 4 p p + > p > p > p > Dkle, p, 8 5 Koordinte t~k A, B i C zdovoqvju jedn~inu krug ( p) + ( 6 q) r ( p) + ( q) r, p je: ( 7 p) + ( q) r ( 5 p) + ( 5 q) r Re{vwem ovog sistem dobijmo d je p, q, r 5 Jedn~in krug je ( ) ( ) + 5 II n~in (sl 5) Odrediti jedn~ine simetrl s i s tetiv AC i BC Presek simetrl je t~k O - centr krug Polupre~nik krug je rstojwe 5 6 t~ke O od t~ke A Jedn~in prve AC je: 6 ( ), 5 odnosno 6 ( ) Koeficijent prvc prve AC je k AC, p }e koeficijent prvc prve s ( s je normln n AC ) biti Jedn~in prve CB je: 7

171 5 5 ( 5), odnosno 5 ( 5) Koeficijent prvc 7 5 prve CB je k, p }e koeficijent prvc prve s ( s je CB normln n CB ) biti Prv s prolzi kroz sredi{te du`i AC, tj kroz t~ku M,, 7 odnosno M,, prv s prolzi kroz sredi{te du`i CB, tj kroz t~ku N,, odnosno N ( 6,) Jedn~ine prvih s i s su : A s C M N O Sl 5 B s 7 s : ; s : ( 6) Presek prvih s : 5 i s : dobijmo re{vwem 5 sistem Iz druge jedn~ine je, p se zmenom u prvu jedn~inu, dobij d je 5, odnosno d je Dkle, koordinte t~ke O su i Du`in du`i OA je polupre~nik krug, p je r ( ) + ( 6 ) 5 tr`enog krug je ( ) ( ) Kko je trpez tngentni, to }e zbir osnovic biti jednk zbiru krkov, tj + b c + d 8, visin trpez h bi}e jednk r (sl 6) Du`ine osnovic nlzimo re{vwem sistem: 7 c, jedn~in b r r Sl 6 d

172 + b c + d c d + + b + b 8 ( r) 5 + b 8 ( ) r b b 4 + b 7 Nek je R polupre~nik lopte, h visin loptinog odse~k i R h Povr{in lopte je P L 4π R Povr{in loptinog odse~k je Pod π Rh Kko je Δ OBC ~ ΔOAB (trouglovi OBC ioab su prvougli i uglovi kod temen O su im jednki, OC OB sl 7), to je, p je OB OA, B 4 odnosno m Iz h R R sledi d je h m h O C D A Sd mo`emo izr~unti povr{inu neosvetqenog del lopte: Sl 7 P R Rh m NO 4π π 6π 4π π 8 Zbir svih ~lnov geometrijske progresije postoji ko je q < Kvdrti ~lnov tkve geometrijske progresije tko e ~ine geometrijsku progresiju ~iji je koli~nik q q, prvi ~ln i zbir svih ~lnov te progresije je isto kon~n Zto je ( q) q ( ) 4 q q q q q q q 7

173 ( q) ( q) ( q+ q ) q 4 q q Iz druge jedn~ine dobijmo d je q ili q Prem uslovu zdtk, q mor biti mwe od, p je re{ewe zdtk q i Prvih nekoliko ~lnov progresije je,,,, Odredimo trigonometrijski oblik kompleksnih brojev z + i i z i (sl 8) π π tgϕ, < ϕ < π, ϕ, r +, π 4, π, tgϕ π < ϕ < ϕ r + Primenom Muvrove formule dobij se: π π 4π 4π cos + i sin + cos + i sin π π π π cos + i sin + cos + i sin π π π π cos + i sin + cos i sin cos 667π cos 667 π ( ) ( ) 7

174 z 4π π π z Sl 8 ) ( )( + 4) ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4) ( + 4) Sl 9 Sl 4 Sl 4 N slici 9 predstvqen je skup t~k z ~ije koordinte v`i + 4, n slici 4 je predstvqen skup t~k z ~ije koordinte v`i + 4 Skup t~k koji zdovoqvju dtu relciju predstvqen je n slici 4 b) ( )( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 74

175 e e e Sl 4 Sl 4 Sl44 Skup t~k z koje je predstvqen je n slici 4, skup t~k z koje je e predstvqen je n slici 4, wihov presek n slici 44 e e e Sl 45 Sl 46 Skup t~k z koje je predstvqen je n slici 45, skup t~k z koje je e predstvqen je n slici 46, wihov presek n slici 47 e Sl 47 - Sl48 Unij skupov s slik 44 i 47, tj tr`eno re{ewe, prikzno je n

176 slici 48 + v) ( )( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) Sl49 Sl5 Sl5 N slici 5 predstvqen je presek skupov prikznih n slikm 49 i Sl5 Sl5 Sl54

177 N slici 54 predstvqen je presek skupov prikznih n slikm 5 i 5 - ( )( + ) Sl 55 N slici 55 prikzn je unij skupov predstvqenih n slikm 54 i 5, {to je i re{ewe zdtk

178 ) [t je ve}e 49 5 ili? b) Izr~unti Re{iti jedn~ine: :,6 4 7 : 8 7 grup god 9 ) 6, b) 4 4 sin α + sinαcosα cos α Dokzti identitet cos α tgα 4 Re{iti nejedn~inu log < 5 Odrediti t~ku krive koj je njbli` prvoj 6 U jednkostrni~ni trougo strnice tri podudrn krug su upisn tko d se me usobno dodiruju i d svki od wih dodiruje dve strnice tog trougl Odrediti polupre~nike tih krugov 7 Prv kru`n kup je opisn oko prvilne ~etvorostrne pirmide Visin pirmide je 7cm, zpremin 7cm Izr~unti povr{inu i zpreminu kupe 8 Odrediti zbir svih ~lnov beskon~ne opdju}e geometrijske progresije ko je zbir prvog i ~etvrtog ~ln 54, zbir drugog i tre}eg 6 9 U zvisnosti od relnog prmetr odrediti broj relnih re{ew jedn~ine 9 Ne koriste}i se izvodim, izr~unti slede}e grni~e vrednosti: ) lim +, b) lim cos cos, v) lim sin 78

179 ) 5 49 <, jer je 7 grup god (re{ew) 5 ( 7 ) 7 < 8 ( ) 5 49 b) :,6 4 7 : ( ) ) Ako se jedn~in 6, tj s 6, sledi d je NZS (,) pomno`i s 9 6 ( ) ( 9) ( ) 6 b) Jedn~in im smisl z i, tj z Td je ( 5 ) sin α + sinαcosα cos α tgα ( )( ) sin α cos α sin α + cos α + sinαcosα tgα 79

180 α α α cos α + sin α sin α + cos α tgα tgα sin α cos α sin α + cos α cos α cos α cos α sin α sin cos + sin ( ) 4 Nejedn~in log < im smisl, ko je, i > tj ko je (,) (,), ) Z (,) (,) osnov logritm je ve} od, p je logritmsk funkcij rstu} Prem tome, log < (, ) (,) log < log ( ) (, ) < (,) (,) + < (,) (,) ( )( + ) < (,) (,) (, ) (,) (,) (,) (,) - ) Z, osnov logritm je pozitivn i mw od, p je logritmsk funkcij opdju} Dkle, u ovom slu~ju je log <, ( ) ( ) log < log, >, + >, ( )( + ) >, - 8

181 (, ) (, ),, Skup re{ew nejedn~ine je (,) (,), 5 Knonski oblik hiperbole je Koeficijent prvc dte prve p je k p Tngent krive koj je prleln dtoj prvoj dodiriv}e krivu u tr`enoj t~ki Zn~i, k t Uslov dodir prve t : k + n i hiperbole h : je b k b n, odkle sledi d je n, tj n ili n Jedn~ine tngenti su: t :, i t : +, odgovrju}e dodirne t~ke su P (, ) i P (, ) Primenom formule z rstojwe t~ke od prve dobij se d je d ( P p) < d( P, p) 9 + ( ) +, 9 + Tr`en t~k je (, ) P 6 Nek je rstojwe od temen ugl trougl do dodirne t~ke krug upisnog u tj ugo Td je r + (vidi sliku 56) Kko je ctg, to je r r r +, odkle, p je ( ) ( ) je r, odnosno ( + ) 4 r 8 r r r r r Sl 56 r

182 7 Nek je H p visin i osnovn ivic pirmide, H k visin i r polupre~nik osnove kupe Prem uslovu zdtk je Hp Hk 7cm, kvdrt strnice je upisn u krug polupre~nik r (sl57) Iz formule z zpreminu pirmide Vp BpHp Hp sledi d je V p 7 cm, tj cm H 7cm p r D H s r Sl 57 Sl 58 r Pre~nik krug r je dijgonl kvdrt strnice, p je r, iz ~eg se kvdrirwem dobij d je 4r Kko je, to je r 5, p je zpremin kupe Vk Bk Hk π r Hk π 5 7 5π cm Prem Pitgorinoj teoremi je s r + H (sl 58), odkle dobijmo d je s 8cm P π r r+ s π cm Povr{in kupe je ( ) ( ) k 8 Prem uslovu zdtk v`i: ( + q)( q+ q ) 54 + q ( q ) q ( + q) 6 ( ) q q q q ( q ) 54 8

183 6q 9q+ 6 Iz prve jedn~ine dobijmo d je q ili + 54 ( q ) q Progresij je opdju}, p je 48 S 96 q q Td je 48 i 9 Anlizir}emo krivu ( ) ( 9) f ) Df R, 9 ) f ( ), 9 ) lim f ( ) lim, 9 lim f ( ) lim, f 6 8 6, 4) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) f 9/ g( ) f f f ( ) (,) (,) (, ) ( ) ( ) Sl 59 5) f ( ) 8 f ( ) 8, p f im loklni mksimum ( ) f ( ) 8, p f im loklni minimum ( ) f f 7 Grfik funkcije f prikzn je n slici 59 Nek je g ( ) Grfik funkcije g je prv prleln s -osom Apscise prese~nih t~k grfik funkcij f i g su re{ew jedn~ine Prem tome, 8

184 ) z > ili < 7 f g im jedno re{ewe, ) z ili 7 jedn~in im dv re{ew, ) z 7 < < jedn~in im tri re{ew jedn~in ( ) ( ) ) ( + )( + + ) ( + + ) ( + + ) + + lim lim lim sin sin sin lim, sin ( ) jer je lim lim sin sin + sin sin cos cos b) lim lim sin sin lim ( sin ) sin lim v) lim lim + + lim + lim ( )( + ) ( )( + + ) 84

185 8 grup god ) Izr~unti b) Uprostiti 7 :,7 +,7 :,5 + 4,,4 : 4 ( b) b b + : b b b Re{iti jedn~ine: ) + ; b) f ( f ( ) ) ko je f ( ) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu 5sin 4sin cos cos 4 4 Z koje vrednosti relnog prmetr p nejednkost + p < + v`i z svki relni? 5 Odrediti t~ku krive 8 koj je n njkr}em odstojwu od prve + 4 Koliko iznosi to odstojwe? 6 Du`in osnovice jednkokrkog trougl je 6cm, polupre~nik upisnog krug 5cm Izr~unti povr{inu ovog trougl 7 N}i visinu trostrne jednkoivi~ne pirmide zpremine V 8 Zbir prvog i sedmog ~ln ritmeti~ke progresije je, rzlik izme u {estog i drugog ~ln je 8 Koliko ~lnov progresije treb sbrti d bi wihov zbir bio 6? 9 Re{iti sistem jedn~in 576 log ( ) 4 U O -rvni z k R skicirti linije odre ene jedn~inm: ) k, b), v) k + k + k + 85

186 8 grup god (re{ew) ) 7 :,7+,7:,5+ 4,,4: b) ( b) b b + : b b b b+ b + b b b b b b + b+ b ( + b+ b )( b)( + b) ( + b+ b )( b) ( )( ) + b, uz uslov d je b, b ) Kko je +,, + i, ( + ), < ( ), < jedn~inu + }emo re{vti u svkom od tri intervl:(, ),, i, + Dkle, ) < ( ( + ) ) ( ( ) ), 4,, ) < + +,, ) + +,, ( ) ( ) 4 Skup re{ew jedn~ine je { } 86

187 b) Kko je f ( ), to je f ( f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f ( ) ( ), p je f,, Skup re{ew jedn~ine f ( ( )) je { } ( ) 5sin 4 sin cos cos 4 5sin 4 sin cos cos 4( sin cos ) + sin 4 sin cos 5cos tg 4tg tg tg tg 5 tg π rctg5 + kπ, k Z + lπ, l Z 4 4 Trinom + je pozitivn z svko R, jer je > i D 4 <, p je + p + ( p+ ) 4 < < + ( p + ) 4 < + + p > ( ) D bi kvdrtni trinom ( p + ) + 4 bio pozitivn z svki relni broj, D, mor biti ( p + ) 6 < odnosno p + 4 p <, tj ( p )( p ) + 6 < (sl 6) 87 6 Sl 6

188 Re{ew ove nejedn~ine su svi brojevi iz intervl ( 6,) 5 4 l t p Tr`en t~k je dodirn d t~k prbole 8 4 i P tngente te prbole koj je prleln dtoj prvoj l (sl 6) l : + 4 kl t : k + n k Uslov dodir prbole p k + n je p kn Sl 6 p 4 Dkle, n k Jedn~in tngente je + + Re{vwem sistem dobijju se koordinte, 4 8 dodirne t~ke P Rstojwe t~ke P (,4) od prve l: + 4 je, prem formuli z rstojwe t~ke od prve, + ( ) d + + ( ) r 5 6 Kko je, prem slici 6, tg α, to je prem formuli z tngens α tg 4 dvostrukog ugl tg α α tg 4 b h r Sl 6 α 88

189 h h 6 4 Iz tgα sledi d je h 4cm, p je P Δ cm II n~in Nek je AB osnovic, ACBCb krk i CDh visin koj odgovr osnovici (sl 6) i nek je O centr upisnog krugiz sli~nosti trouglov OCE i BCD sledi d je b : r h :, odnosno h, p je ( b ) h 5 C Povr{inu trougl ABC izr~un}emo n dv n~in: r br 5 6 ( I) PΔ + + b b h b h 6 ( ) ( b ) E II PΔ 6( b ) r O Re{vwem jedn~ine b 6( b ) r dobijmo d je 45b 5, odnosno b 5cm, D α p je P cm A B Δ Sl 6 7 Nek je ivic dte pirmide (sl 64) Kko je h i H h h, to je 8 8 H h, odnosno H N osnovu formule z zpreminu pirmide dobijmo d je V V BH, iz ~eg sledi d je, tj 4 V 6 V Sd se mo`e izrziti visin H preko zpremine V : h h 89 H Sl 64 h H

190 4V V H 6 V 8 Prem uslovu zdtk v`i: d + 6d + 5d d 8 4d 8 5 d Kko je zbir prvih n ~lnov ritmeti~ke progresije n Sn + ( n ) d, n N, n to je 6 + ( n ), iz ~eg sledi d je n 6n 6, odnosno n 8 ili n Dkle, treb sbrti osm ~lnov dte progresije d bi wihov zbir bio 6 9 Zdtk im smisl ko je > Td je ( ) ( ) log ) Grfici funkcij k,k R su prve rvni O koje prolze kroz t~ku A(, ), pri ~emu -os ne pripd ovom prmenu prvih (sl 65) k< k A k > 9

191 b) Kko je,, to je, <, i < + < Odgovrju} linij je prikzn n slici 66 Sl 66 v) Jedn~inu k k k,k R npi{imo u obliku k( +) + Grfici ovih linij su prbole koje imju teme u t~ki T (,), kd je k, z k, to je prv (sl 67) k > k T k < Sl 67 9

192 ) Izr~unti ( ) ( + b) log b) Uprostiti b + b : b b b Re{iti jedn~ine: 4 ), b) grup god Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos sin cos + 4 Re{iti nejedn~inu > + 5 Odrediti t~ku krive + koj je n njkr}em odstojwu od prve Kroz proizvoqnu t~ku u dtom trouglu povu~ene su prve prlelne strnicm i tko dobijen tri mw trougl ~ije su povr- {ine P, P i P Kolik je povr{in dtog trougl? 7 U prvu kru`nu kupu s polupre~nikom osnove r 4cm i visinom H 6cm upisn je vqk mksimlne zpremine Izr~unti tu zpreminu 8 Tre}i ~ln ritmeti~ke progresije je 9, rzlik izme u sedmog i drugog ~ln je Koliko ~lnov progresije treb sbrti d bi wihov sum bil 9? 9 Re{iti sistem jedn~in U O-rvni predstviti skupove odre ene relcijm: ) ( + ) ( + ) ln,, b) ( ) ( ) v) ( + ) ( + ) 9

193 ) ( ) 9 grup god (re{ew) 4 log log ( + b) b) b ( ): + b b b b b b b b b b b + b 4 ( ) 4 ( b b )( b )( b ) + + b, uz uslov b, b ( + b)( b+ b ) ) Kko je,,, i, ( ), < ( ), > jedn~inu }emo re{vti posebno u slede}im intervlim:,,,, + i ( ) < + + < I) ( ) II) ( ) III) [ > ( ( + ) ) ] [ > ] Prem tome, skup re{ew dte jedn~ine je {,} 9

194 b) Kko zbir ~lnov beskon~ne geometrijske progresije postoji smo z q <, kvdrtni koren postoji z nenegtivne brojeve, to }e, s obzirom n to d lev strn ne mo`e biti, jedn~in 4 imti smisl z 4 > i <, tj z < < Kko je q pozitivno, to }e biti S 4, p v`i: 4 4 4( ) Prem uslovu zdtk, re{ewe jedn~ine je smo cos + sin cos cos sin + sin cos cos cos cos cos ( ) cos cos π + kπ, k Z lπ, l Z 4 Nejedn~in > + im smisl z i > > > ( ) + > ( + )( ) ( )( ) ( )( ) + <, 5 Tr`en t~k je dodirn t~k elipse + i wene tngente koj je prleln dtoj prvoj p :

195 Koeficijent prvc tngente jednk je koeficijentu prvc prve p Eksplicitni oblik jedn~ine prve p je + 4, iz ~eg sledi d je k p, p je i k t Iz knonskog oblik jedn~ine elipse e : + nlzimo d je i b, p iz uslov dodir n k + b prve k + n i elipse +, gde je b k, dobijmo d je n 9 Jedn~ine tngenti su: Re{vwem sistem t : i t : + + dodirne t~ke P ( ) i P (, ), p : + 4 su: ( ) + 4 d ( P, p) i ( P, p) i dobijmo Rstojw ovih t~k do prve d Dkle, t~k P (, ) je t~k elipse koj je njbli` dtoj prvoj p 6 C A B B M A A C C Sl 68 B 95

196 Trouglovi MB B, A MA i C C M su sli~ni trouglu ABC (sl 68), jer su im svi odgovrju}i uglovi jednki ko uglovi s prlelnim krcim Ako je CB, BM, AA i AB, prem uslovu zdtk sledi d je + + Povr{ine sli~nih trouglov se odnose ko kvdrti odgovrju}ih strnic, p je P P P P P () P P P P P P () P P P P P P P () Iz (), () i () se dobij d je P P + P P P P + + P P iz ~eg sledi d je ( ), 7 Nek je H visin vqk upisnog u kupu (sl 69) Prem uslovu zdtk, visin kupe je H 6cm, polupre~nik osnove kupe je r 4 cm N osnovu sli~nosti trouglov osen~enih n slici 69, 6 H H 4 6r sledi d je H Zpremin vqk je r 4 r 4 funkcij od r, tj V f ( r ) i Vv BH π r H π r 6 r π r + 6π r 9 8 Iz f ( r) rπ + rπ i f ( r) r r 8 sledi d funkcij f prim svoju mksimlnu vrednost z r, p je Vm 64 8π π cm

197 H s 6 H r H r Sl 69 r 4 r 8 Zbir prvih n ~lnov ritmeti~ke progresije izr~unv se po n formuli S n [ + ( n ) d ], n N Kko je po uslovu zdtk 7 + 6d d 5d d 4, 9 + d 9 + d 9 n to je 9 + ( n ) 4, odnosno n n 9 Re{ew 7 jedn~ine su n 7 ili n Dkle, treb uzeti 7 ~lnov 4 progresije d bi wihov zbir bio 9 9 Sistem im smisl z Kko je ( ) , to je

198 ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 Re{vwem druge jedn~ine sistem dobijmo d je 8 ili 8,,,8 Skup re{ew sistem je {( ) ( )} II n~in: Kko je ( ) ekvivlentn + + +, to }e dti sistem biti sistemu: +, b dobij se d je ( + ) 84 Uvo ewem smene + b 4 + b 4 + b 4 b 84 ( b)( + b) 84 b 6 b 4 Prelskom n stre promenqive, jednostvno se dolzi do re{ew sistem ) ( )( ) + + ( + + ) ( + + ) ( ) ( ) 98

199 - - - Sl 7 Sl 7 Sl 7 Presek skupov prikznih n slikm 7 i 7 predstvqen je n slici Sl 7 Sl 74 Sl 75 Presek skupov prikznih n slikm 7 i 74 predstvqen je n slici 75 99

200 - ( ) ( ) Sl 76 Unij skupov prikznih n slikm 7 i 75,tj kon~no re{ewe, prikzno je n slici 76 b) ln ln ln ( )( ) ( ) ( ) ( ln ) ( ln ) e ln e e ln Sl 77 Sl 78 ln Sl 79 Presek skupov prikznih n slikm 77 i 78 predstvqen je n slici 79 e e e Sl 8 ln Sl 8 ln Sl 8

201 Presek skupov prikznih n slikm 8 i 8 predstvqen je n slici 8 e ( ln ) ( ln ) Sl 8 Unij skupov prikznih n slikm 79 i 8 predstvqen je n slici 8, {to je i kon~no re{ewe zdtk v) ( + )( + ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + ) + + Sl 84 Sl 85 + Sl 86 Presek skupov prikznih n slikm 84 i 85 predstvqen je n slici 86

202 - + Sl 87 - Sl Sl 89 Presek skupov prikznih n slikm 87 i 88 predstvqen je n slici 89 Unij skupov prikznih n slikm 86 i 89 predstvqen je n slici 9, {to je i kon~no re{ewe zdtk - ( + ) ( + ) Sl 9

203 (sl ) dobij se d je π + kπ, k Z ili π + lπ, l Z Koristi}emo identitet ( ) ( ) ( 7 ) ( ) Iz prve jedn~ine, uvo ewem smene t, dobijmo se jedn~in t 5t + 44 ~ij su re{ew t 6 i t 9, odkle sledi d je { 4, 4,, } Kko je, to }e skup re{ew dtog sistem biti 4,, 4,,,4,, 4 {( ) ( ) ( ) ( )}, ) Kko je, to je, <, z, i ( ) ( ) + ( + ), z < Grfik je prikzn n slici - Sl 66

204 grup god 7 ) Izr~unti % broj : + + : 7 8 b) Uprostiti + + : Re{iti jedn~ine: 6 log ( + ) ),, b) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos cos 6 + cos 5 4 Z koje vrednosti prmetr R relni koreni i jedn~ine + + zdovoqvju uslov + < 7 5 Odrediti t~ku krive + koj je njvi{e udqen od prve Tri krug polupre~nik r me usobno se dodiruju u t~km M, N i P Izr~unti povr{inu krivolinijskog trogul MNP 7 Izr~unti povr{inu i zpreminu kupe upisne u jednkoivi~nu ~etvorostrnu pirmidu du`ine ivice cm 8 Zbir prv tri ~ln ritmeti~ke progresije je 8, zbir slede} tri ~ln je Odrediti zbir prvih dvdeset ~lnov te progresije 9 Dte su relne funkcije: f ( ), f ( ), f ( ), 4 ( ) log f i f 5 ( ) Ispitti d li me u dtim funkcijm im jednkih, ztim skici- f f rti grfik funkcije ( ) ( ) ( ) f Odrediti sve prirodne brojeve koji su deqivi brojem 8, ~iji je zbir cifr jednk 7, proizvod cifr jednk 6

205 7 ) + : + : 7 8, grup god (re{ew) b) Zdtk im smisl z >, + > > tj z > + + : ( ) ( ) + : + ( ) ),, +, II n~in N desnoj strni jedn~ine je beskon~n geometrijsk progresij, z koju je:,q < i S q, p je 4

206

207 lπ, l Z (nime, z l 5 k, k Z dobijju se svi brojevi iz skup 5 sπ, s Z ) 4 Koreni i kvdrtne jedn~ine + + su relni, ko je 4 +, odnosno D tj ko je ( )( ) (, ] [ ), (sl 9) Prem Vietovim formulm je ( + ) Kko je + < 7 + i < 7, to je - Sl 9 7 <, odnosno 9<, tj( )( + ) <,, (sl 9) p je ( ) - Sl 9 Dkle, ((, ] [, ) ) (,), odnosno, (, ] [,) 5 Videti 5 zdtk 9 grupe godine Re{ewe: t : +, P (, ), d ( P p) t :,, P (, ), d ( P p), Njudqenij t~k elipse od dte prve je t~k (, ) P 6 Centri krugov su temen jednkostrni~nog trougl strnice r (sl 9) Povr{inu krivolinijskog trougl MNP dobijmo kd od povr{ine trougl OOO oduzmemo povr{ine podudrnih kru`nih ise~k OMN, ONP i OPM Prem tome,

208 ( ) r π r P 6 MNP PO O O PO MN O 4 6 4r π r P M 4 π r π O r r N O Sl 9 7 Bz pirmide je kvdrt strnice cm, bz upisne kupe je krug upisn u tj kvdrt, p je polupre~nik r cm (sl 96) Visin pirmide H i visin kupe se poklpju Kko je pirmid jednkoivi~n, wene bo~ne ivice su jednke osnovnim Iz prvouglog trougl (sl 94 i sl 95) ~ij je jedn ktet visin pirmide, drug ktet polovin dijgonle bze i hipotenuz bo~n ivic pirmide, n osnovu Pitgorine teoreme, nlzimo d je H, tj H, odnosno H Visin h bo~ne strne pirmide je izvodnic s kupe,p, kko je bo~n strn jednkostrni~ni trougo, to je h Sd mo`emo d izr~unmo povr{inu i zpreminu kupe: B π r π cm ; M π rs π π cm P B+ M π ( + ) cm, V BH π cm H h h H r O r Sl 94 Sl 95 Sl 96 7

209 8 Nek je prvi ~ln, d rzlik dte ritmeti~ke progresije Prem uslovu zdtk je ( d) ( d) ( ) ( ) ( ) d + + 4d + + 5d + d 8 + d d 579 9TmBT>5 d m d T848 5ET685j8 8

210 4 ( ) f, > log Grfik funkcije f 4 prikzn n slici Sl ( ) f 5, R Grfik funkcije f 5 prikzn n slici Me u dtim funkcijm nem jednkih Sl, > f ( ) f ( ) f( ), < Grfik funkcije f dt je n slici - Sl Posledw cifr tr`enog prirodnog broj n mor biti prn, jer je n 8 k, k N prn broj Posledw cifr ne mo`e biti 8, jer je zbir cifr 7, ne mo`e biti ni, jer je proizvod cifr 6 Jedine mogu}nosti su: 6,, i Kko nije deqiv s 8, re{ewe zdtk su brojevi : 6, i 9

211 Izr~unti: ) : 7 5,5 : + :, 4 5, b) ( ) grup god log Re{iti jedn~ine: log ( + ) ) +, b) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu: tg + ctg 4 Re{iti nejedn~inu ( ) 5 log, + > 5 N krivoj + 9 odrediti t~ku njbli`u prvoj 4 6 Izr~unti povr{inu prlelogrm ~iji je obim cm, o{tr ugo, visine se odnose ko : 7 Visin H i izvodnic s prve kupe odnose se ko : 5, wen zpremin je 8π cm Izr~unti povr{inu kupe 8 Re{iti jedn~inu sin sin + sin 9 U zvisnosti od relnog prmetr k odrediti broj relnih re- {ew jedn~ine k Izr~unti grni~ne vrednosti: ) lim, b) lim 5 5 tg sin, v) lim

212 grup god (re{ew) ) :7 5,5: + :, : : + : log 4 b) ( ) ( ) ( ) log ( ) ) Pomno`imo levu i desnu strnu jedn~ine s NZS (,,5) b) Jedn~in im smisl z Td je ( ) ( ) ( ) log + log ( ) ( ) log ( + ) + ( 5 ) 5( 7 )

213 ( ) ( ) ( ) > t t t t t t t t t t Jedn~in im smisl z Z l l Z k k +,, π π π Td je: 4 + ctg tg 4 + tg tg 4 + tg tg 4 + t t t tg 4 + t t t tg t t t tg tg tg, 6, Z s s Z l l + + π π π π 4 Nejedn~in im smisl z > +, odnosno z ( )( ) + >, tj z ( ),,, (sl ) - / Sl

214 log log + + ( ) ( ) ( ),, 5 > 5 > 5 (osnov eksponencijlne funkcije je iz intervl (, ) ) log <, (osnov logritmske funkcije + je iz intervl (, ) ) > + > + > + ( )( + ) > (, ) (, ) Re{ewe nejedn~ine je presek skupov (, ), i (, ) (, ) - - Sl 4 Dkle, skup re{ew dte nejedn~ine je skup (, ) (, + ) 5 Knonski oblik elipse + 9 je + Dodirn t~k 9 9 elipse i wene tngente, prlelne dtoj prvoj bi}e tr`en t~k Dt prv 4 im koeficijent prvc k p Tngent 4 je prleln s prvom p, p je k t Uslov dodir prve 4 k + n i elipse + je k + b n Dkle, b

215 n, p je n ili n Jedn~ine tngenti elipse, prlelnih dtoj prvoj su: 9 t : + ili t : ili Re{vwem sistem i dobijju se 9 dodirne t~ke P (, ) i P (, ), n osnovu formul z pstojwe t~ke od prve sledi d je d ( P, p) i d( P, p) P, dte elipse je njbli` prvoj p T~k ( ) 6 Kko je O + b, to je ( + b), p je + b h hb Iz sin h b i cos6 hb, (sl 5) b b dobij se d je h : hb : b : : ili b + b Re{vwem sistem dobij se d je 6 i b 4, p je b h i h b b h b Povr{in prleloggrm je : 6 P h b hb cm h b Sl 5 4

216 7 Kko je H : s : 5, to je s H 5 p }e n osnovu Pitgorine teoreme biti 9 s r s H, odnosno r s, H s 5 6 r tj r s Iz formule z zpreminu 5 kupe V r π H, prem dtim podcim Sl 6 dobij se d je 8π π r H, odnosno 8 r H, 6 s s 6 tj 8 s ili 8, iz ~eg sledi d je s 8 5, tj s Sd nlzimo d je H 6 i r 8 Povr{in kupe je P B + M π r r + s π π cm ( ) 8 Lev strn jedn~ine predstvq zbir svih ~lnov beskon~ne geometrijske progresije ( n ) z koju je sin i q sin Ako je q sin <, ond je tj zbir kon~n, p }e n osnovu formule S biti sin sin + sin sin q + sin sin Prem uslovu zdtk je, + sin odkle dobijmo d je sin, re{ew ove / jedn~ine (sl 7) su svi brojevi oblik π 5π + kπ, k Z ili + lπ, l Z 6 6 Sl 7 5

217 9Anlizir}emo krivu ( ) ) D f R ) f ( ) ( ) ) lim f ( ) lim ( + + ) lim f ( ) lim ( ) f + 4) f ( ) 6 f ( ) ( ) Prvi izvod funkcije je pozitivn z (,) (, + ) negtivn z (,) (,) i (,+ ), opdju} u intervlu (,) (sl 8) -4,, p je funkcij rstu} u intervlim f Sl 8 ( ) 5) f ( ) 6 6 f ( ) f ( ) 6 m ( ) f ( ) f 6 4 min f ( ) g ( ) k -4 Prv g ( ) k je prleln s -osom Sl 9 Apscise prese~nih t~k grfik funkcij f i g su re{ew jedn~ine Sd je jsno (sl 9) d jedn~in k, k R im: 6

218 ) jedno re{ewe, ko je k (, 4) (, ), ) dv re{ew, ko je k { 4,}, ) tri re{ew, ko je k ( 4,) ), (videti VII grupu iz god) ( )( + ) b) lim lim ( 5)( + ) lim ( 5) ( + ) ( lim sin ) ( ) sin tg sin cos в) lim lim lim sin cos cos sin sin sin lim sin lim sin cos cos sin lim sin lim lim cos 7

219 8 grup god ) Koje su od slede}ih jednkosti t~ne: () i sin sin, ( ii ) ( ), ( iii ) 6, π ( iv ) log ( ) + log ( ) log 6, () v rcsin? b) Izr~unti Re{iti jedn~ine: ), b) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu sin sin 4 Re{iti nejedn~inu 4 5 Odrediti t~ku B simetri~nu t~ki A (, ) u odnosu n prvu + 6 Oko krug polupre~nik cm opisn je jednkokrki trpez povr{ine cm Odrediti du`ine strnic trpez 7 Povr{in omot~ prve prvilne trostrne pirmide i povr{in wene osnove odnose se ko : Odrediti kosinus ugl pod kojim je strn pirmide ngnut prem osnovi 8 Zbir prv 4 ~ln rstu}eg ritmeti~kog niz je 6, proizvod drugog i tre}eg ~ln je 4 O kojem nizu je re~? π 4π 9 Izr~unti cos + cos 5 5 Dte su funkcije: ln f ( ), f ( ), f ( ) e, f 4( ), ( ) f 5 Ispitti d li me u wim im jednkih, ztim skicirti grfike z f + f 5 i f f5 +

220 grup god (re{ew) ) (i) Dt jednkost nije t~n, jer 9 π π sin sin sin sin 6 8 (ii) Jednkost ( ) je t~n, jer ( ) (iii) Jednkost 6 nije t~n, jer (iv) Jednkost log( ) + log( ) log 6 nije t~n, jer izrz n levoj strni nije definisn π π π (v) Jednkost rcsin je t~n, jer je sin rcsin b)( ) ( 7 6) ( 7+ 6) ) Ako se dt jedn~in pomno`i s NZS (,4,),tj s, dobij se: 4( 5 4) ( + ) 6( 4) b) t t + 8 t 5 4 sin sin ( cos cos 4) cos cos 4 cos + cos 4 cos cos ( )

221 ( cos) cos cos cos π π + kπ, k Z ± + lπ, l Z π π π + k, k Z ± + lπ, l Z Sl 4 6 +, 4Uzimju}i u obzir d je + i d je osnov, < eksponencijlne funkcije iz intervl (,), p je on opdju} (sl ), sledi d je < < ( ) ( 6 4 < ) ( 5 5 ) ( 7 < ) 7 ( ) < - -,, [ ) [ ) 5 T~k B bi}e n prvoj n koj je normln n dtu prvu p, prolzi kroz t~ku A, presek prve p i prve n je sredi{te du`i AB (sl ) Eksplicitni oblik prve p je se dobij d je k p +, iz ~eg Koeficijent prvc normle n n dtu Sl /7

222 prvu je k n Kko prv n prolzi kroz t~ku k p A, + ili 7 jedn~in prve n bi}e ( ) Presek prvih p i n nlzimo re{vwem sistem jedn~in: A S + + B n p Sl Sredi{te du`i AB je t~k S (, ) Ako s i ozn~imo koordinte t~ke B, bi}e prem formulm z sredi{te du`i: + + i, iz ~eg sledi d je 4 i B 4, Dkle, tr`en t~k je t~k ( ) 6 Videti 6 zdtk iz -te godine 7 U prvouglom trouglu VOS (sl) je: OS cos α, OS, VS h VS Kko z bzu i omot~ dte pirmide v`e formule B 4 i h M, prem uslovu zdtk }e biti S h M : B :, odnosno : : 4 h Odvde dobijmo d je, tj h 4 Dkle, 6 cosα h α V H O Sl

223 8 Nek je prvi ~ln, d > rzlik rstu}eg ritmeti~kog niz Prem uslovu zdtk bi}e i 4 4 Z ~lnove ritmeti~kog niz v`i d je n ( ) + n d, n N, n osnovu ~eg iz prethodnih jedn~in dobijmo sistem ( ) ( ) ( ) ( d) ( d) + + d + + d + + d 6, koji je d 6 ekvivlentn sistemu Iz prve jedn~ine je + d + d 4 d, {to,zmenom u drugu, dje jedn~inu 9 d Kko je d >, jedino re{ewe sistem je d, Dkle,, 5, 8, itd 9 Koriste se formule: α + β α β ) cosα + cos β cos cos, ) sinαcosα sin α, 6π π π ) sin sin π + sin (sl 4), π π π 4) sin sin π sin (sl 5) Dkle, dobijmo d je π 4π π 4π + π 4π cos + cos cos 5 5 cos π π π π cos cos cos cos π 5 π 5 Sl4 π 5 π 5 Sl 5

224 π π π π cos sin cos sin π π sin sin 5 5 6π π π π sin sin sin 5 5 sin 5 5 π π π π sin sin sin sin Funkcije f : A B i g : C D su jednke ko i smo ko je f, A, B g, C, D ( ) ( ) f ( ),, odnosno, > f ( ), < Grfik funkcije f prikzn je n slici 6 Sl 6 ( ), R f, odnosno, f ( ), < Grfik funkcije f prikzn je n slici 7 Sl 7 ( ) ln f e, > Grfik funkcije f prikzn je n slici 8 Sl 8

225 ( ) f 4 ( ), Grfik funkcije f 4 prikzn je n slici 9 f 5 ( ), Grfik funkcije f 5 prikzn je n slici Me u dtim funkcijm nem jednkih Sl 9 Sl ( + f )( ) f ( ) + f ( ) +, f, 5 5 odnosno, < +, > ( f f ) ( ) 5 Grfik funkcije f+ f5 prikzn je n slici Sl ( f )( ) f ( ) f ( ), f, 5 5 odnosno ( f f 5 )( ), >, < Grfik funkcije f f5 prikzn je n slici Sl 4

226 Izr~unti: ) 4 : : ; b) v) ( ) 4 5, + log grup god ; Re{iti jedn~ine: ) 7 6 ; b) + 9 Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos + sin + sin cos 4 Re{iti nejedn~inu log ( 4) log ( ) 5 N prvoj + + odrediti t~ku podjednko udqenu od, B,6 t~k A ( ) i ( ) 6 Podno`je visine koj odgovr hipotenuzi prvouglog trougl deli tu hipotenuzu n odse~ke du`in 5,6cm i 4,4cm Izr~unti povr{inu krug upisnog u tj trougo 7 U sferu polupre~nik R upisn je vqk mksimlne zpremine Koliki je polupre~nik osnove tog vqk? 8 Odrediti opdju}i ritmeti~ki niz kod kojeg je zbir drugog i petog ~ln, proizvod ~etvrtog i {estog ~ln 6 9 Re{iti sistem jedn~in 7 77 U O - rvni skicirti linije ~ije su jedn~ine: ) k + k +, k R; b) ; v) ln( ) e 5

227 grup god ( re{ew) 4 ) : : : : b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v) ( ) 4 4 5, + log + log ( ) 4 4 log 6 5 )Ako dtu jedn~inu pomno`imo s NZS (,7,6) 4, dobijmo d je ( + 5) 6( 5) 7( + ) b) Jedn~in im smisl z i 9, tj z ( 7) 9 7 6

228 cos + sin + sin cos ( ) cos + sin + sin + sincos sin + cos ( cos ) sin sin + sin sin+ cos ( ) sin tg cos π π kπ, k Z + lπ, l Z + sπ, s Z π kπ, k Z, l Z Z cos dt jedn~in bil bi nemogu} N primer, z dobili bismo d je sin π, {to je net~no π 4 Logritmsk funkcij s osnovom je opdju} Dkle, ( 4) ( ) log log 4 4 > > (, ) ( ) [,] (, ) ( ),, (, ) (, ),, [, ) (,] Npomen: ), R, ) t t t 7

229 ( )( ) t [,] t t+ t t (sl ) (, ) [,] [,] 5 I n~in: (Vidi sliku 4) Tr`en t~k M je presek simetrle s du`i AB i dte prve p Sredi{te du`i AB je t~k (,) S ~ije koordinte dobijmo ko poluzbirove odgovrju}ih koordint krjwih t~k du`i A i B Simetrl s sdr`i t~ku S i normln je n prvoj l koj je odre en t~km A i B ( ) 6 Iz uslov k l k s i k l dobijmo d je k s Dkle, 4 jedn~in prve s je ( ), odnosno Re{vwem sistem jedn~in dobijmo koordinte + + t~ke M : 6, 4 II n~in: (Vidi sliku 5) Proizvoqn t~k P n prvoj p im koordinte P i Iz uslov d ( P A) d( P, B) P ( ) + ( + ) ( ) + ( 6 ), dobijmo d je: odkle sledi d je 6 Dkle, t~k P im koordinte: 6, 4 p p f ( t) - Sl t M A S B l P (, ) Sl 4 Sl 5 8

230 6 Nek je D podno`je visine iz temen B (sl 6) n hipotenuzu AC, AD 4, 4cm i DC 5, 6cm i nek je r polupre~nik upisnog krug dtog trougl Td iz sli~nosti trouglov ADB i ABC sledi d je AB : AD AC : AB, odnosno AB AD AC, iz sli~nosti trouglov BCD i ABC sledi d je BC : DC AC : BC, odnosno BC DC AC Kko je AC AD + DC 4cm, AB AD AC 4cm i BC DC AC cm, AB + BC + AC to je s 48cm AB BC Povr{inu trougl mo`emo izr~unti n dv n~in: PΔ tj P Δ 84cm ili PΔ r s Iz tog proisti~e d je r 8cm, povr{in krug je P r π, odnosno P 64π cm II n~in: Iz sli~nosti trouglov ABD i BCD sledi d je BD : AD DC : BD, odnosno BD AD DC, odkle dobijmo d je BD AD + DC 9, cm Kko je BC BD + DC i AB AD + BD, to je BC cm i AB 4 cm III n~in: Kd se odrede strnice AB i BC, prem oznkm s slike AE, EC bi}e: ( ) A r B r h r r r D E Sl 6 C + r 4 + r r r r 8cm 9

231 7 Nek je r polupre~nik osnove vqk, H visin vqk upisnog u sferu polupre~nik R ( R je konstnt) Primenom Pitgorine teoreme izrzimo H u funkciji od r (sl 7) H R r H R r (jer je H > ) H R r H H r R Zpremin vqk je funkcij od r, tj () r B H r R r V V π Sl 7 ( ) r r V r π r R r + r π r R r R r R r ( ) r R r r rr r π π R r R r R 6 V ( r) z r 4Rrπ 6rπ V ( r) R r ( ) ( r 4R π 8r π R r 4R rπ 6r π) R r R r R 6 Budu}i d je V R 6 <, z r vqk }e imti mksimlnu zpreminu

232 8 Nek je prvi ~ln i < d rzlik opdju}eg ritmeti~kog niz Td v`i: ( )( ) d d d d d d d d d d d d d d d 7 d Tr`eni opdju}i niz je:, 5,,4,, 7 9 Uvedimo smene: u i v Td }e biti: 77 7 v u v u ( )( ) v u v u v u + 7 v u v u 8 7 u v u 9 u v Dkle, 9 ) Jedn~inu R k k k + +, npi{imo u obliku ( ) R k k +, Sve prve ovog skup prolze kroz t~ku ) (, M Prv je jedin prv dte rvni koj prolzi kroz t~ku M, li nije iz zdtog skup(sl 8) - M k k> k< Sl 8

233 b) Grfik funkcije,, < - - Sl 9 prikzn je n slici 9 v) Sl ln( ) Funkcij e definisn je z > i v`i: ( ) ln ( ) ( ) e, > Grfik funkcije prikzn je n slici

234 ) Izr~unti 5 % broj A, ko je 4,5 7 5 A ( 56) : + : 9 5 b + b b) Uprostiti b b + b b + + b b Re{iti jedn~ine: ) ; b) grup god ( R) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu: cos cos8 + cos 6 4 Re{iti nejedn~inu log ( ) Odrediti jedn~ine tngenti krive + 6 konstruisnih iz t~ke A ( 4, ) 6 Izr~unti povr{inu trpez ko su du`ine wegovih osnovic 44 cm i 6 cm krkov 5 cm i 7 cm 7 Izr~unti zpreminu prve zrubqene kupe ko su povr{ine wenih osnov 64π cm i 4π cm, povr{in omot~ π cm 8 N}i rstu}i ritmeti~ki niz u kome je zbir prv tri ~ln 7, zbir wihovih kvdrt 75 9 Re{iti sistem jedn~in ( ) ( ) U O - rvni predstviti skupove odre ene relcijm: ; b) ( + 4)( ) < ) ( )( + ) v)( )( )( ln) 4 > ;

235 4 grup god (re{ew) ) Ozn~imo dti broj s A Td je : A 4 ( ) ( 56) 4 + : : : : + : A 5 % A,65 b) b + b b b + b b+ + b b ( ) ( ) ( ) ( )( ) b + b+ b + b b+ b + b b b + b ( ) + b b ( b ) ( + b+ b ) ( b ) ( b+ b ) + b+ b b+ b b + b pod uslovom d je ± b, dobijmo d je 6( 5 ) 4( 7 4) ( ) ) Ako dtu jedn~inu pomno`imo s NZS (,,4) 4

236 b) 4 4 t t 4 t t t t ( t 4 t ) t 4 (jer je R ) + cos cos ( cos ) cos cos8 cos cos4cos cos 4 cos 4( cos cos 4) cos 4( sin sin ) cos 4 sin sin π 4 + kπ lπ sπ, k, l, s Z π kπ lπ +, k Z, l Z 8 4 lπ (Re{ew oblik s π, s Z ukqu~en su u skup,l Z z l s, s Z ) 4 4 +, f ( ) , < - - 5

237 Dt nejedn~in im smisl ko je 4 + > 4 + > [( 4 + > ) ( < > ) ] ( (,) (, ) ) ( < (, ) (, ) ) [,) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Nek je (, ) (, ) (, ) D log ( 4 + ) log ( 4 + ) log D (osnov logritm mw od ) 4 + D < ( ) ( ) D ( 4 5 ) ( < ) D ( [,5] D ) ( [ 5, + ] D < ) [,) (,5] [ 5, ) (, ) [ 5, ) (, ) (,5] 5 Knonski oblik jedn~ine elipse + 6 je + 6 Uslov dodir prve k + n i elipse + je b k + b n, p je k 6 n A 4, pripd prvoj + T~k ( ) k + n, p je 4k + n Re{vwem sistem k + 6 n 4k n 6

238 5, n, Jedn~ine tr`enih tngenti su: t : i t : + dobijmo d je ( k ), i ( k n ) (,) 6 Nek je AB 44 cm, DC 6cm, AD 7cm, CB 5cm, F podno- `je visine h iz temen D i E t~k osnovice AB tkv d je DE CB (sl) Td je DE 5cm i AE 8cm Kko su poznte sve tri strnice trougl AED, wegovu povr{inu nlzimo primenom Heronovog obrsc Poluobim trougl AED je5 cm, p je ( 5 7) ( 5 5) ( 5 8) P AED 5 cm S druge strne je P AED DF h 5cm Povr{in trpez je AE DF, iz ~eg sledi d je D C h + b P ABCD h 5 45cm A F Sl E B 7 Nek je r polupre~nik gorwe bze B, R polupre~nik dowe bze B zrubqene kupe (sl ) Td iz B R π i B 64 π dobijmo d je R 8cm, iz B r π i B 4 π dobijmo d je r cm Povr{in omot~ zrubqene kupe izr~unv se po formuli M π s( r+ R), p, kko je M π, odvde dobijmo d je s cm Visinu zrubqene kupe izr~unvmo primenom Pitgorine teoreme Prem podcim s slike immo d je H ( R ) s r, odnosno H 8cm Sd mo`emo izr~unti zpreminu zrubqene kupe: 7

239 8 ( ) B B B B H V + +, tj ( ) V cm π π π π π Nek je > d (jer je niz rstu}i) i d, i d + Td: ( ) ( ) d d d d d d 6 9 d Kko je > d, bi}e 9 i 4 d Prvih nekoliko ~lnov niz glsi:, 5,9,,7, 9 ( ) ( ) Re{ew sistem su ure eni provi ( ), i ( ), ) ( )( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + + H s R r H R-r Sl

240 Sl Sl 4 Sl 5 N slici osen~en je skup t~k rvni O z ~ije koordinte v`i Ovj skup se nziv podgrf grf (ili grfik ) funkcije N slici 4 je prikzn podgrf grf funkcije +, n slici 5 je prikzn presek ov dv skup Sl 6 Sl 7 Sl 8 N slici 6 osen~en je skup t~k rvni O z ~ije koordinte v`i Ovj skup se nziv ndgrf grf (ili grfik) funkcije N slici 7 je prikzn ndgrf grf funkcije +, n slici 8 je prikzn presek ov dv skup Kon~no re{ewe, unij skupov prikznih n slikm 5 i 8, je prikzno n slici 9 9

241 - ( + ) ( + ) Sl 9 b) ( + 4)( ) < ( + 4 < > ) ( + 4 > < ) ( + < > ) ( + > < ) N slici 4 prikzn je presek skupov osen~enih n slikm 4 i 4, n slici 45 prikzn je presek skupov osen~enih n slikm 4 i 44 Kon~no re{ewe, unij skupov prikznih n slikm 4 i 45, prikzn je n slici 46 + < > + < > Sl 4 Sl 4 Sl 4 4

242 + > < + > < Sl 4 Sl 44 Sl 45 ( + < > ) ( + > < ) Sl 46 Grnice osen~ene oblsti ozn~ene su isprekidnom linijom i ne pripdju tr`enoj oblsti, jer relcij kojom je opisn tr`eni skup sdr`i znk stroge nejednkosti v) Funkcij ln je definisn z > ( 4) ( ) ( ln) > ( ( 4) ( ) ln ) (( 4) ( ) ln ) > > < < { ( ( > 4 > ) ( < 4 < ) ) > ln (( 4 ) ( 4 ) ) ln } < > > < < 4

243 e 4 e 4 e 4 ( < 4 < ) ( > 4 > ) > ln Sl 47 Sl 48 Sl 49 e 4 e 4 e 4 ( > 4 < ) ( < 4 > ) < ln Sl 5 Sl 5 Sl 5 N slici 49 prikzn je presek skupov osen~enih n slikm 47 i 48, n slici 5 prikzn je presek skupov osen~enih n slikm 5 i 5 Kon~no re{ewe, unij skupov prikznih n slikm 49 i 5, prikzn je n slici 5 e 4 Sl 5 4

244 5 grup god ) Izr~unti 4 od rzlike kvdrt brojev A i B, ko je A + : : 5 5 i B b) Uporediti brojeve () i 49 i ; ( ) 8 ii 4 5 : ; i 5 4 Re{iti jedn~ine: + ) ; b) ( ) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu sin + cos sin 4 Re{iti nejedn~inu Odrediti jedn~inu tetive prbole koj prolzi kroz t~ku A (,5) i podeqen je tom t~kom n dv jednk del 6 Strnice trougl ABC su AB 8, BC 5 i AC 7 Odrediti polupre~nike opisnog i upisnog krug tog trougl 7 Izr~unti zpreminu prve zrubqene kupe ~ij je povr{in omot~ jednk zbiru povr{in bz, polupre~nici bz su r cm i R 6cm 8 Re{iti jedn~inu log4 log4 + log4 9 U zvisnosti od relnog prmetr k odrediti broj relnih re{ew jedn~ine + 4 k Rzmtrmo ~etvorocifrene brojeve u dekdnom zpisu ) Koliko ih ukupno im? b) Koliko wih u zpisu im smo jednu cifru? v) Koliko ih je deqivo s 5? 4

245 ) Kko je 5 grup god(re{ew) 7 : : A i B + : , to je ( A B ) ( 5 ) ( 5 9) b) () 49 ( 7 ) < ( 8 ) 8 ( ) ( ) 8 ( ) < ( ) 4 i ; ii ) Ako dtu jedn~inu pomno`imo s ( 8,7,4) dobijmo d je ( ) 8( ) 4( ) 7 + NZS,odnosno s 56, b) ( ) ( ) 8( ) + t t 8t + t t 6 t ( ) 6 6 Jedn~in im smisl z sin, odnosno z kπ, k Z sin + cos sin + sin cos sin sin + sin cos sin + cos sin cos cos ( ) π sin sin cos

246 π π cos sin cos 4 4 π π k π, k Z + l π, l Z 4 π π + k π, k Z + l π, l Z 4 +, 4Uzimju}i u obzir d je + i d je osnov ( + ), < eksponencijlne funkcije iz intervl (,), p je funkcij opdju}(sl 54), sledi d je + + ( ) ( ) ( ( + ) 4 6 < ) ( 9 ) ( 5 < ) 5 ( ) < < < Sl Nek su M (, ) i (, ) [,] (, ) (,] N prese~ne t~ke prve l ~ij je jedn- ~in k+n, i prbole p, ~ij je jedn~in Sredi{te du + `i MN je t~k A ( 5, ), p je 5 (sl 55) Ako izrzimo iz jedn~ine prve i tu vrednost uvrstimo u jedn~inu prbole, dobijmo kvdrtnu jedn~inu + Prem Vietovim for- n k k 45

247 mulm, z re{ew i ove jedn~ine v`i + Dkle, k, tj k Kko t~k A(,5) pripd prvoj +n, bi}e k + n 5, tj n Jedn~in tr`ene prve je + l C M A N b r R A c B p Sl 55 Sl 56 6 Poluobim trougl je + b + c s 5 Povr{inu trougl P s s s b s c mo`emo n}i pomo}u Heronovog obrsc ( )( )( ) Dkle, 5 ( 5 7) ( 5 5) ( 5 8) P P Δ, p iz rs (sl 56) sledi d je 5r, odnosno r 6, iz d je R 85 6 Δ bc PΔ sledi 4R 7 Povr{inu omot~ zrubqene kupe dobijmo prem obrscu M π s( r+ R) Prem uslovu zdtk je M B + B, odnosno π ( + ) Dkle, π( r R ) π s( r R) M r R + +, iz ~eg dobijmo d 46

248 je s 5cm Primenom Pitgorine teoreme (sl 57) nlzimo H s R r 4cm visinu : ( ) Zpremin zrubqene kupe je r ( B + B B B ) H V +, odnosno H R H s R-r ( 9π + 9π 6π + 6π ) 84 4 V π cm Sl 57 8 Lev strn jedn~ine je zbir beskon~no mnogo ~lnov geometrijskog niz z koji je log4 i q log 4, pri ~emu je Z log4 < zbir svih ~lnov niz postoji i Prem uslovu zdtk v`i: 4 log4 + log4 S log 4 log4 + log 4 9 Nek je ( ) + 4 f Anlizirjmo ovu funkciju i skicirjmo wen grfik ) D f R ) f () ( ) f ( ) f - ( ) + 4 ( ) ( )( ) f + ; ( ) f -4 Sl 58 47

249 4 lim + 4 lim + ) ( ) 4 lim ( + 4) lim + 4) f ( ) + 6 ( + ) ; f ( ) Prvi izvod funkcije f pozitivn je z (, ) (, ) negtivn z (,) (, ) i (, ), opdju} u intervlu (,) 5) f ( ) ( ) f ( ) min ( ) f ( ) f 6 4 f 6 m Grfik funkcije f je prikzn n slici 58,, p je funkcij f rstu} u intervlim Nek je g( ) k, k R Grfik funkcije g je prv prleln s O -osom, pscise prese~nih t~k grfik funkcij f i g su re{ew jedn~ine f ( ) k, k R (sl 59) Prem tome, jedn~in f ( ) k im: ) jedno re{ewe, ko je k (, 4) (, ), ) dv re{ew, ko je k {, 4}, ) tri re{ew, ko je k ( 4,) f ( ) g ( ) k -4 Sl 59 48

250 ) ^etvorocifreni brojevi n mestu hiqd mogu imti bilo koju cifru iz skup {,,,4,5,6,7,8,9 }, n mestu stotin, desetic ili jedinic bilo koju cifru iz skup {,,,,4,5,6,7,8,9 } Dkle, rzli~itih ~etvorocifrenih brojev im 9 9 b) Cifr mo`e biti smo n jednom od ~etiri dekdn mest, ostle tri cifre mogu biti iz skup {,,4,5,6,7,8,9 } ili iz skup {,,,4,5,6,7,8,9 } Dkle, ~etvorocifrenih brojev koji u dekdnom zpisu imju smo jednu cifru im v) Nek je bcd ~etvorocifren broj s dekdnim cifrm,b,c i d, pri ~emu nije bcd + b + c + d ( + b) + c + d ( + b) c + d Broj bcd bi}e deqiv s 5 ko je c + d jedn od brojev, 75, 5 ili 5, tj ko se broj bcd zvr{v s, 5, 5 ili 75 Z svku od te ~etiri mogu}nosti cifr mo`e uzeti vrednosti iz skup,,,4,5,6,7,8,9 cifr b iz skup {,,,,4,5,6,7,8,9 } { } Dkle, ~etvorocifrenih brojev koji su deqivi s 5 im

251

252 Tre}i deo ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA IZ MATEMATIKE (s kon~nim re{ewim i uputstvim)

253

254 ,75 :,75 : 8 7,5 : 4 8 Izr~unti: : ( 6,79 :,7 +,) Re{iti jedn~inu grup 997 god Dokzti jednkost sin6 4 4 ( ) sin cos 4 sin 4 4 Re{iti sistem jedn~in: ( + ) + ( ) log log log log ( ) ( ) log + log + log 5 Odrediti t~ku prbole 4 koj je njbli` prvoj + 6 Izr~unti povr{inu prlelogrm ko su mu strnice 5cm i 4cm i jedn dijgonl 5cm 7 Osnovne ivice prvilne trostrne zrubqene pirmide su i b, ( > b), bo~ne ivice zklpju s ve}om osnovom ugo α Izr~unti zpreminu te zrubqene pirmide 8 Aritmeti~k progresij im ~lnov Sum ~lnov n prnim mestim je 5, n neprnim mestim Odrediti dv sredw ~ln progresije 9 U sferu polupre~nik R upisn je vqk mksimlne zpremine Koliki je polupre~nik osnove tog vqk? Ne koriste}i se izvodim, izr~unti: ) lim + +, b) sin5 lim sin 5

255 grup 997 god (re{ew) 5 sin6 sin sin cos sin cos cos 4 sin 4 cos8 sin 4 9, 7 5 M (,) 6 P 54cm 7 V ( b ) tgα 8, 5 9 r R 6 ) limf( ) +, limf( ) + 5 b) L 54

256 grup 997 god Izr~unti :, 9 + 4, 8 8, Re{iti nejedn~inu + > Odrediti relne brojeve i tko d v`i ( 4 + i ) ( i) i 4 Re{iti trigonometrijsku jedn~inu sin + cos + tg cos 4 5 Odrediti t~ku elipse + koj je njbli` prvoj Zbir ktet prvouglog trougl je cm Ako se mw ktet uve} z 4cm, ve} umwi z 5cm, td se povr{in trougl ne mew Odrediti strnice tog trougl 7 Metlnu {upqu loptu, ~iji je spoq{wi pre~nik r 8cm, debqin d cm, treb pretopiti u msivnu loptu Koliki je wen polupre~nik? 8 Re{iti jedn~inu log + ( + ) 9 Odrediti geometrijski niz,,, z koji v`i: Skicirti grfike funkcij: ) f ( ) k +, ( k R), b) f ( ), v) f() log 55

257 grup 997 god (re{ew) 7 (, ) (, ), 4 4 kπ, k Z A 6 cm, b cm, c 4 4cm 5 ( 4,) 7 r , q (sl ) ) b) k > k k < (-os ne pripd skupu tr`enih prvih) v) 4 Sl 56

258 grup 997 god 7 Izr~unti: ) :,7 +,7 :,5 + (,4 : ) (4, ) 4 9 b) Re{iti jedn~inu Odrediti relni prmetr k tko d re{ew jedn~ine ( ) k + ( k 5) ( k + ) zdovoqvju uslov + > 4 Ako su α, β i γ unutr{wi uglovi nekog trougl, ond je: sin sin sin cos cos cos α + β + γ α β γ Dokzti! 5 Odrediti jedn~ine tngenti hiperbole, koje su 5 6 prlelne prvoj Oko krug polupre~nik cm opisn je jednkokrki trpez povr{ine cm Odrediti strnice tog trpez 7 N odstojwu d od centr lopte polupre~nik R ( R < d ), nlzi se svetl t~k S Koliki deo povr{ine lopte osvetqv t~k S? 8 Re{iti jedn~inu log 4+ log4 4+ log6 4 9 Du`ine ivic kvdr ~ij je dijgonl D 6m, povr{in P 7m, obrzuju geometrijski niz Odrediti du`ine ivic Skicirti grfike slede}ih funkcij: ) f ( ), b) f ( ), v) ( ) 57 f log

259 grup 997 god (re{ew) ) b) 6 Dt jedn~in nem re{ew k ( 9, ) 4 5 +, 6 8 cm, b cm, c 5cm 7 P o d R Pl d 8 i 8 9 b c m (sl ) b) ) v) 4 4 Sl 58

260 4 grup 997 god (,6) (,) Izr~unti: ) b) (,5) :, 5 + Odrediti relni prmetr tko d re{ew jedn~ine + + zdovoqvju uslov + < 7, (, R) Re{iti sistem jedn~in ( ) log + 4 Ako su α, β i γ unutr{wi uglovi nekog trougl, ond je: cos α + cos β + cos γ + cosαcos β cosγ Dokzti! 5 Odrediti jedn~ine tngenti hiperbole 5 6 prlelene prvoj koje su 6 Strnice trougl su 5 cm, 4 cm i 7 cm Izr~unti polupre~nik upisnog i opisnog krug tog trougl 7 N kojoj udqenosti od centr neprozirne lopte polupre~nik 4 m treb d bude svetlosni izvor koji osvetqv povr{i lopte? π π 8 Dokzti jednkost cos + cos Zbir prv tri ~ln geometrijskog niz je 9 Ako tim ~lnovim dodmo redom 5, 7 i dobi}emo tri broj koji obrzuju ritmeti~ki niz Odrediti sedmi ~ln dtog geometrijskog niz Ne koriste}i se izvodim, izr~unti: 8 ) lim ; b) + cos lim sin 59

261 ), 5 b), 5 4 grup 997 god (re{ew) Videti re{ewe 4 zdtk grupe iz g, 4 5 +, 6 r cm, R, 5cm 7 m 8 π π 4π sin sin sin π π π 5 π 5 5 cos cos cos cos π sin 5 π π sin sin o g 7 5 z g 7 i q o g 7 z g 6 i 8 q ) 6 b) 8 6

262 Izr~unti: ),5 :, 5 4, b) ( ) + + ( ) 5 grup 997 god Re{iti nejedn~inu < + + Odrediti funkciju f ko je f ( ) + f, ( ) 4 Dokzti identitet sinα + cosα + cos α sinα cosα cos α + tgα ( tg α ) 5 Odrediti jedn~ine onih tngenti kru`nice koje prolze kroz koordintni po~etk (slik!) 6 Uglovi trougl ~ine ritmeti~ku progresiju Koliki su ti uglovi + ko je zbir wihovih kosinus jednk? 7 Knl z vodu dug~k je 5m i mo`e prihvtiti 44l vode Popre~ni presek knl je jednkokrki trpez (s kr}om osnovicom pri dnu) ~iji je krk 5cm, visin 48cm Koliko litr vode prihvt knl do polovine svoje visine? 8 Re{iti sistem jedn~in log4 log U numerisni red od sedi{t treb d sedne {est devojk i {est mldi} N koliko rzli~itih n~in oni mogu d se rsporede tko d nikoje dve osobe istog pol ne sede jedn pored druge? U O - rvni skicirti linije ~ije su jedn~ine: ) +, b) k, ( k R) 6

263 ) 9 5 grup 997 god (re{ew) b) (, ) (, ) 4 f ( ) 4 8 π π π 5, 6,, 6 7 6l 8 ( 4,) i (, ) 9 ( 6! ) 68 (sl ) ) b) ) + + k b) ) b) ) k k k k k > k < Sl 6

264 6 grup 997 god Izr~unti: ( ) ) ( 5 ): ( 5 ), b) Re{iti nejedn~inu > + 4 Odrediti funkciju f ko je f ( ) + f, ( ) 4 4 sin α + cos α 4 Dokzti identitet 6 6 sin α + cos α 5 Dte su prve p : i p : + 9 ) Izr~unti povr{inu trougl koji odre uju prve p i p i -os b) Odrediti jedn~inu prve p koj prolzi kroz presek prvih p i p i normln je n prvoj p 6 Izr~unti povr{inu trpez ko su mu osnovice 8 i b 4, unutr{wi uglovi n ve}oj osnovici 45 i 7 Ako su, b i c du`ine ivic, P povr{in kvdr, td v`i k implikcij + b + c k P Dokzti! 8 Re{iti jedn~inu ( ) + ( 5 + ) ( 5 + 5) ( log log ) log log log 9 Tri broj obrzuju ritmeti~ki niz i wihov zbir je 5 Ako prvom dodmo, drugom 4 i tre}em 9, ond se dobijju brojevi koji ~ine geometrijsku progresiju Odrediti te brojeve Skicirti linije u rvni ~ije su jedn~ine: ) 4 k, ( k R), b), v) log ( log log ) 6

265 ) 5 6 grup 997 god (re{ew) b) ( 4, ) f ( ) 4 5 ) P 6 b), Δ 7 P ( b + c + bc) ( b) ( c) ( b c) 6 P ( ) ( + b+ c) + b + c + ( b+ c+ bc) 9, 5, 8 z d 6, 5, 6 z d (sl 4) ) k k k k k k > k < b) v) 4 Sl

266 7 grup 997 god ) Odrediti broj ~ijih je % jednko 4,% broj b) Izr~unti ( ) , :, :,, 5 ( 7 ) Z koje vrednosti relnog prmetr k jedn~in 6 log4 k im: ) reln re{ew, b) ob pozitivn re{ew? log997 log Re{iti jedin~inu + 4 Odrediti on re{ew jedn~ine cos sin7 cos sin5 koj se nlze u [,π ] 5 Dte su t~ke A (,5), B(, ) i prv l : Odrediti jedn~inu krug koji sdr`i t~ke A i B i dodiruje prvu l, ztim odrediti koordinte zjedni~ke t~ke prve l i tr`enog krug 6 Du`in osnovice jednkokrkog trougl je cm, polupre~nik upisnog krug 7,5cm Izr~unti povr{inu ovog trogul 7 Izr~unti zpreminu prve zrubqene kupe ko su povr{ine wenih osnov 5π cm i 4π cm i povr{in omot~ 5π cm 8 Re{iti sistem jedn~in Odrediti prirodn broj n ko se zn d je zbir n trocifren broj ~ije su sve cifre jednke 65

267 Dte su relne funkcije: f() log, f() log, f(), f() 4 log, log log f() 5 log ) Ispitti d li me u dtim funkcijm im jednkih Odgovor obrzlo`iti log log b) Skicirti grfike funkcij f i f 4 ( ) ) 6 b) , 7 grup 997 god (re{ew) 997 ) π π π 5π,, π, 4, 5, 6, ( + ) + 5 ili ( + ) + ( + ) 65 P (,4) P( 7,9) 6 cm 7 8 {(,4),(, 4),( 4, ), ( 4, ) } s k b) k 8, 8 7π 8 V 5πcm R 9 n 6 (sl 5) ) f f 5 b) Sl 5 66

268 ) Izr~unti 5 5 : 7:, :, Re{iti jedn~ine: ) ; b) log ( + ) b) Uprostiti ( ) ( ) Dokzti identitet 4 Re{iti nejedn~inu sin α tg α 6 tg α cos α ctg α grup 998 god 5 Kvdrt i jednkostrni~ni trougo imju jednke obime Povr{in trougl je 4 Kolik je dijgonl kvdrt? 6 N}i povr{inu prve kru`ne kupe koj je opisn oko lopte pre~nik R, ~ij je visin dv put ve} od pre~nik lopte 7 N krivoj 4 7 odrediti t~ku njbli`u prvoj Zbir prvih pet ~lnov ritmeti~kog niz je 5, wegov drugi ~ln je Koliki je zbir prvih dvdeset ~lnov tog niz? 9 Re{iti sistem jedn~in U -rvni predstviti skupove t~k odre ene relcijm: ) ( + )( ) ; b) ( )( ln) ; v) + 67

269 ) A b) grup 998 god (re{ew) B 6 ) 5 b), sin cos α tg α α ctg α 7 4,+ 5 5 b 4, d sin α sin α ( sin α) 6 cos α tg α tg α cos α cos α( cos α) sin α 6 P 8R π 7 P( 6,) 8 S 4 9 {(,4),(, 4),( 4, ), ( 4, ) } R s (sl 6) ) b) v) e ln Sl 6 68

270 Izr~unti: 7 8 log 4 5 ) 5,8: +,4, b) ( ) Re{iti jedn~ine: ), b) π α sinα Dokzti identitet tg + 4 cosα 4 Re{iti nejedn~inu log < ( log log ) + grup 998 god 5 Odrediti t~ku B simetri~nu t~ki A(,) u odnosu n prvu Strnice trougl su 5cm, 6cm i 9 cm Izr~unti polupre~nike upisnog i opisnog krug tog trougl 7 Prvougli trpez s osnovicm cmi b cmrotir oko mweg krk Izr~unti povr{inu i zpreminu nstlog tel ko je visin trpez h 5cm 8 Odrediti sumu svih ~lnov beskon~ne opdju}e geometrijske progresije ko je poznto d je sum prvog i ~etvrtog ~ln 54, sum drugog i tre}eg 6 9 U zvisnosti od relnog prmetr odrediti broj relnih re{ew jedn~ine 6 + Ispitti d li me u funkcijm : ln f( ) e, f( ),f( ) lne, f4( ), f5( ), im jednkih, ztim skicirti grfike funkcij f f i g( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f + 69

271 grup 998 god (re{ew) 4 ) b) ) b), 5 π α π α sin cos + cos sin π α sinα tg sinα 4 cosα π α π α α α cos cos sin sin cos sin 4 4 α α cos + sin sinα sinα α α α α α α sinα cos sin cos sin cos + sin 4, 5 B(,4) 7 6 r cm, R cm 7 P 78π cm, V 65π cm 8 8 S 96 9 Jedn~in im: ) jedno re{ewe z > ) dv re{ew z {,} ) tri re{ew z (,) 4) nem re{ew z ostle vrednosti (sl 7) Me u dtim funkcijm nem jednkih,, f( ) + f( ) f( ) f( ), <, < Sl 7 7

272 grup 998 god 4 5 ) Izr~unti + : 4 ; ( + b) ( + b) b b) Uprostiti 4 : b b b Re{iti jedn~ine: 5 4 ) + + ; b) Odrediti on re{ew jedn~ine sin + cos + sin koj se π π nlze u intervlu, log 4 Re{iti nejedn~inu < 5 N krivoj + 4 odrediti t~ku njbli`u prvoj Oko krug polupre~nik cm opisn je jednkokrki trpez povr{ine cm Odrediti du`ine strnic trpez 7 U sferu polupre~nik R upisn je vqk mksimlne zpremine Koliki je polupre~nik osnove tog vqk? 8 Re{iti jedn~inu 8 9 Izr~unti π π 5π cos cos cos Skicirti grfike funkcij: ) f () log ; b) f ( ) e ; v) f() log 7

273 ) b) grup 998 god (re{ew) b b ) b) π π,, 4 4 (, ) (, + ) 5 P( 4,) 6 Osnovice su 8cm, b cm, krk c 5cm 7 R 6 r (sl 8) ) f ( ) log log ( ) log b) f ( ) e v) f ( ) ( > ) e e Sl 8 7

274 4 grup 998 god Izr~unti: ) 5% broj,5 :,5 : (,) ; 4 b) ( ) 4 log Re{iti jedn~ine: ( + ) ( 7) ) 4 ; b) 5 π cos N}i on re{ew jedn~ine koj se nlze + cos cos u intervlu [,π ] 4 Re{iti nejedn~inu log + > 5 N krugu + 4 n}i t~ku A njbli`u prvoj i izr~unti odstojwe t~ke A od te prve 6 Izr~unti povr{inu jednkokrkog trpez ko su mu du`ine osnovic 9cm i cm krk 4cm 7 Odrediti prostornu dijgonlu zrubqene prvilne ~etvorostrne pirmide ko su povr{ine wenih osnov B 8, B i zpremin V 8 8 U zvisnosti od relnog prmetr odrediti broj relnih re{ew jedn~ine 9 Ako brojevi,,, obrzuju ritmeti~ku progresiju, td je n n Dokzti! n n Ne koriste}i se izvodim, izr~unti slede}e grni~ne vrednosti: sin5 ) lim + ; b) tg sin lim n 7

275 4 grup 998 god (re{ew) ) A, 5% A 5 b) 4 ) 7 b) π 5π,, π, 4 (,4) 5 A(, ), d 4 6 P cm 7 D 5 8 (sl 9) Jedn~in im: re{ew z < re{ew z > 4 re{ew z (,) re{ew z Sl 9 n n n n n n n n d n n d n n ) b) 74

276 grup 999 god Izr~unti: ) :, 4 ; b) Re{iti jedn~ine: + ) + ; b) log ( 4 + ) 5 Re{iti trigonometrijsku jedn~inu sin + cos 4 Re{iti nejedn~inu > 4 5 N prvoj odrediti t~ku podjednko udqenu od t~k A (,6 ) i B (,4) 6 N}i obim jednkokrkog trpez opisnog oko krug ko je ve} osnovic cm i o{tr ugo 6 7 Trougo s temenim A (,), B (,4) i C (, ) rotir oko -ose Izr~unti povr{inu i zpreminu tko nstlog tel 8 Tri broj obrzuju geometrijski niz ~iji je zbir 65 Ako se sredwi ~ln uve} z, niz postje ritmeti~ki Odrediti niz 9 Ispitti d li me u relnim funkcijm ln f, f, f e, f4, f 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) im jednkih log Odrediti njmwi prirodn broj deqiv brojem 7 koji prilikom deqew brojevim,, 4, 5 i 6 dje osttk 75

277 grup 999 god (re{ew) ) b) 5 ) b) ± π + k π,k Z π + l π,l Z 6 4 4, 5 5 M ( 5,8) 6 O cm 7 P π ( ) +, V 4π 8 ( 5,5, 45) ili ( 45,5,5) 9 f f 5 n 76

278 grup 999 god 8 ) Izr~unti ; 4 b) [t je ve}e: ili? Obrzlo`iti Re{iti jedn~ine: ) + ; b) 64 6 Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos sin sin ( log ) 4 Re{iti nejedn~inu log + > ( log log ) 5 Odrediti jedn~ine tngenti konstruisnih iz t~ke A (,) n hiperbolu Zbir ktet prvouglog trougl je 7, du`in wegove hipotenuze je Kolik je povr{in trougl? 7 Prv + grdi s koordinntnim osm trougo N}i povr{inu i zpreminu tel koje nstje rotcijom trougl oko dte prve + 8 Izr~unti Skicirti grfike funkcij: ) f ( ) + ; b) f ( ) e ; v) f ( ) ln Ne koriste}i se Lopitlovim prvilom, izr~unti: 4+ ) lim ; b) + sin sin lim tg 77

279 ) b) ) b) ± grup 999 god (re{ew) π π π 4 rctg( ) + l, l Z + k, k Z 4 > 5, + 6 P 7 P π, V π 6 8 S (sl ) ) b) v) 5 e e e e 4 Sl ) b) 78

280 ) Izr~unti 4 : ; grup 999 god b) Cigl je te{k kilogrm i pol cigle Koliko je te{ko pet cigl? Re{iti jedn~ine: ) Re{iti trigonometrijsku jedn~inu Re{iti nejedn~inu < ; b) log ( ) sin + cos sin 4 5 Odrediti t~ku n elipsi + 4 njbli`u prvoj + 6 Izr~unti povr{inu trpez ~ije su prlelne strnice 44cm i 6cm, neprlelne 7cm i 5cm 7 Trougo s temenim A (,), B(4,) i C (,) rotir oko -ose N}i povr{inu i zpreminu tko nstlog tel 8 Re{iti jedn~inu 4 9 U sferu polupre~nik R upisn je vqk mksimlne zpremine Odrediti polupre~nik osnove vqk u funkciji od R U -rvni predstviti skupove t~k odre ene relcijm: ) ( + 4) ( ) ; b)( e ) ( ) 79

281 ) 8 9 b) kg grup 999 god (re{ew) ) b) ± Videti re{ewe zdtk 5 grupe godine 4, (, + ) 5 8 P, P 45cm 7 P π ( + ), V 4π 8 9 r R 6 (sl ) ) b) e e Sl 8

282 4 grup 999 god ) Izr~unti 6 ( ) :6 b) [t je ve}e: 5% od ili % od 8? ; Re{iti jedn~ine: + ) + 4 ; b) 9 Re{iti trigonometrijsku jedn~inu cos cos sin 4 Re{iti nejedn~inu + 5 N}i jedn~ine tngenti krug koje su normlne n prvu 6 Osnovic jednkokrkog trougl je cm, polupre~nik upisnog krug 7,5cm Kolik je povr{in ovog trougl? 7 Izr~unti zpreminu prve zrubqene kupe ~ij je povr{in omot~ jednk zbiru povr{in bz, polupre~nici bz su r i R 6 8 Re{iti jedin~inu log log log U zvisnosti od relnog prmetr odrediti broj relnih re{ew jedn~ine + Od 5 in`ewer, 4 mtemti~r i tehni~r treb formirti ekspertski tim od 4 ~ln u kojem }e biti br po jedn in`ewer i mtemti~r N koliko n~in je to mogu}e u~initi? 8

283 ) 4 b) % od 8 ) b) ± 4 grup 999 god (re{ew) kπ,k Z π + l π,l Z π + s π,s Z 4 4, 5 + 5, P Δ cm H 4cm, V 84π cm 8 9 (sl ) Jedn~in im: ) tri re{ew, ko je (,) ) dv re{ew, ko je ) jedno re{ewe, ko je > < Sl N9 n~in 8

284 grup god ) Izr~unti b) Uporediti brojeve i 4,8 : 5 4 : : :,4,64 5 Re{iti jedn~ine: ) +, b) log ( + ) Ako su α, β и γ unutr{wi uglovi trougl, td je tgα + tgβ + tgγ tgα tgβ tgγ, ( α, β, γ 9 ) Dokzti! Re{iti nejedn~inu Odrediti t~ku B simetri~nu t~ki A( 5, ) u odnosu n prvu koj prolzi kroz t~ke M (, ) i M ( ), 6 6 Du`in mwe ktete prvouglog trougl je cm, nd ve}om ktetom ko nd pre~nikom konstruisn je krug ~ij je prese~n t~k s hipotenuzom ( koj nije teme trougl) udqen od temen prvog ugl 4cm Izr~unti obim tog krug 7 Oko lopte opisn je prv kup ~ij je izvodnic jednk pre~niku osnove Odrediti odnos povr{in lopte i kupe 8 Tri broj ~iji je zbir 9 ~ine gemetrijski niz Ako se posledwi broj smwi z, dobij se ritmeti~ki niz Koji su to brojevi? 9 Odrediti sve kompleksne brojeve z + i z koje je 5 i + i z z + ( z je konjugt od z ) ( )( ) ( ) U -rvni predstviti skupove t~k odre ene relcijm: ) + sin ; v) ( )( + 4 4) ; b) ( )( ) 8

285 а) б) < а) 5 б) {,} grup god (re{ew) tgα + tgβ tgα + tgβ + tgγ tgα + tgβ tg( α + β ) tgα + tgβ tgαtgβ tgα + tgβ tg α tgβ ( ) tgα tgβ tgγ tgαtgβ 4 (,] ( 4,5] 5 B(, ) 6 O 4π cm 7 P L : P K 4 : 9 8 4, b 6, c 9 или 9, b 6, c 4 9 z 4 i, z i (сл) б) а) π Сл в) 84

286 4, 8 : ) Izr~unti : b) Uporediti brojeve i 8 ) Odrediti prmetr tko d jedn~in ( + ) im beskon~no mnogo re{ew i n}i t re{ew b) Re{iti jedn~inu grup god + cosα + cos α + cos α Dokzti identitet cos α cosα + cos α 4 Re{iti nejedn~ine: ) 4, b) log ( ) > 5 Odrediti t~ku n krugu njbli`u t~ki A (, 4) Kko glsi jedn~in tngente krug u tr`enoj t~ki? 6 Osnovic jednkokrkog trougl je 48cm, polupre~nik upisnog krug 8cm Izr~unti obim i povr{inu tog trougl 7 U sferu polupre~nik 6 upisn je vqk mksimlne zpremine Izr~unti povr{inu i zpreminu tog vqk 8 Odrediti rstu}i geometrijski niz,, z koji je, i 68 9 Re{iti sistem jedn~in: U -rvni predstviti skupove odre ene relcijm: ) ( )( e ), b) ( )( ), v) + < 85

287 7 ) 7 b) ) 7 > 8 grup god (re{ew) ; R\ {, } (, ) (,) (, + ) б) cos α + cosα + cos α cos α + cosαcos α cosα + cos α cosα + cos α cosα( cosα + cos α) cos α cosα + cos α 4 а) (, ) [,], б) < < 4 5 M (,), 6 O + b 8cm, 5 + P h 4cm 7 P 8 π ( + ), V 8 π 8,6,8,54, 9, 4 (сл 4) а) б) в) Сл 4 86