Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους"

Transcript

1 Π Δ Μ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 23 Μαΐου 216

2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Βασικοί ορισμοί Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα H κυματική εξίσωση Η εξίσωση θερμότητας Εξισώσεις plce και Poisson Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης H εξίσωση u x + bu y = H γραμμική ΜΔΕ α τάξης H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Το προβλημα Cuchy για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις β Τάξης Κατηγορίες γραμμικών ΜΔΕ β τάξης Προβλήματα Ιδιοτιμών 45 5 H Εξίσωση plce Η εξίσωση plce σε Καρτεσιανές συντεταγμένες με συνοριακές συνθήκες Dirichlet Προβλήματα με συνοριακές συνθήκες Neumnn Επίλυση της εξίσωσης plce σε πολικές συντεταγμένες H εξίσωση plce σε κυκλικό δίσκο H εξίσωση plce σε κυκλικό δακτύλιο H εξίσωση plce στο εξωτερικό κυκλικού δίσκου Ο τύπος του Poisson Σειρές και Oλοκληρώματα Fourier Εισαγωγικά Ορθογώνιες συναρτήσεις Σειρές Fourier Σειρές Fourier συναρτήσεων με άρτια συμμετρία Σειρές Fourier συναρτήσεων με περιττή συμμετρία Ολοκλήρωμα Fourier i

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 H Εξίσωση Διάχυσης Πεπερασμένος χώρος με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet Πεπερασμένος χώρος με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet Πεπερασμένος χώρος με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Neumnn Χώρος με άπειρο μέγεθος Ημιάπειρος χώρος με ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet Επίλυση σε κυκλικό δίσκο με ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet H Κυματική Εξίσωση Περίπτωση τεντωμένης χορδής με σταθερά άκρα Περίπτωση χορδής με ελεύθερα άκρα Ο τύπος D Alembert Ημιάπειρη χορδή με ένα σταθερό άκρο Μελέτη παλλόμενης μεμβράνης ii

5 1 Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Η μαθηματική μοντελοποίηση παίζει βασικό ρόλο στη περιγραφή και μελέτη ενός μεγάλου πλήθους φαινομένων και προβλημάτων των εφαρμοσμένων επιστημών, καθώς και ποικίλων τεχνικών και βιομηχανικών δραστηριοτήτων. Η χρήση του όρου μαθηματικό μοντέλο αναφέρεται σε ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων ή/και άλλων μαθηματικών σχέσεων, οι οποίες είναι ικανές να συλλάβουν τα βασικά χαρακτηριστικά περίπλοκων φυσικών ή τεχνητών συστημάτων, με στόχο την περιγραφή, την πρόβλεψη και, ενδεχομένως, τον έλεγχο της συμπεριφοράς και εξέλιξής τους. Σχεδόν πάντα, το μαθηματικό μοντέλο παρέχει μια προσεγγιστική (αλλά αξιόπιστη μαθηματική περιγραφή του πραγματικού προβλήματος. Το εύρος των επιστημών όπου τα μαθηματικά μοντέλα είναι απαραίτητα και αξιοποιούνται σε σημαντικό βαθμό είναι μεγάλο και περιλαμβάνει, για παράδειγμα, τη φυσική, τη χημεία, τα οικονομικά, τη βιολογία, την επιστήμη υπολογιστών, την οικολογία κ.α. Η διαδικασία της μοντελοποίησης βασίζεται σε γενικούς νόμους (αρχές και θεμελιώδεις σχέσεις (οι οποίες συχνά προκύπτουν από πειραματικά δεδομένα και είναι, συνήθως, μια διαφορική εξίσωση ή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Στα πλαίσια των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι λύσεις που αναζητούνται αποτελούν, όπως είναι γνωστό, συναρτήσεις μία μεταβλητής. Αν, για παράδειγμα, αυτή η μεταβλητή παριστάνει το χρόνο, τότε είναι εφικτή η παρατήρηση της εξέλιξης του υπό εξέταση μεγέθους στο χρόνο. Από την άλλη πλευρά, οι διαφορικές εξισώσεις που θα μελετηθούν από εδώ και πέρα έχουν λύσεις που είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι σε πολλές περιπτώσεις φυσικών προβλημάτων, οι λύσεις τους περιγράφουν μεγέθη που δεν είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου, αλλά ενδέχεται να εξαρτώνται επιπλέον από μία ή περισσότερες χωρικές μεταβλητές. Φυσικά θα δούμε ότι υπάρχουν και άλλα προβλήματα, των οποίων οι λύσεις δεν παρουσιάζουν κάποια μεταβολή στο χρόνο, αλλά διαφοροποιούνται μόνο ανάλογα με τη θέση στο χώρο (στατικά μοντέλα ή μοντέλα σταθερής κατάστασης. Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη αναφορά σε εισαγωγικά στοιχεία και βασικούς ορισμούς για τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, οι οποίες αποτελούν το βασικό αντικείμενο του μαθήματος. Παρουσιάζονται ομοιότητες και διαφορές σε σχέση με τις διαφορικές εξι- 1

6 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους σώσεις συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Τέλος, αναφερόμαστε πιο αναλυτικά σε συγκεκριμένες βασικές εξισώσεις που συναντώνται συχνά σε προβλήματα του μηχανικού και με την επίλυση των οποίων θα ασχοληθούμε πιο εκτενώς αργότερα. 1.1 Βασικοί ορισμοί Το αντικείμενο που θα μας απασχολήσει από εδώ και μετά είναι οι διαφορικές εξισώσεις πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Πιο συγκεκριμένα: Ορισμός 1.1 Έστω u μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών, δηλαδή u = u(x 1, x 2,..., x n. Μια μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ είναι μια εξίσωση που περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x 1, x 2,..., x n, την εξαρτημένη μεταβλητή u και μερικές παραγώγους αυτής. Συνεπώς, η γενική μορφή μιας ΜΔΕ είναι F (x 1, x 2,..., x n, u, u x1,..., u xn, u x1 x 1, u x1 x 2,... = Υπενθυμίζονται οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για τις μερικές παραγώγους: u x1 = u x 1, u xi x j = 2 u x j x i,... Μια από τις βασικές κατηγοριοποιήσεις των ΜΔΕ είναι αυτή που βασίζεται στην τάξη της εξίσωσης: Ορισμός 1.2 Η τάξη μιας ΜΔΕ προσδιορίζεται από τη μερική παράγωγο μέγιστης τάξης που εμφανίζεται στη ΜΔΕ. Αν θεωρήσουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών u = u(x, y, τότε οι ΜΔΕ α τάξης έχουν τη γενική μορφή F (x, y, u, u x, u y = ενώ η γενική μορφή των ΜΔΕ β τάξης είναι F (x, y, u, u x, u y, u xx, u yy, u xy = Στην περίπτωση συναρτήσεων τριών μεταβλητών, δηλαδή όταν u = u(x, y, z, οι ΜΔΕ α τάξης περιγράφονται γενικά ως F (x, y, z, u, u x, u y, u z = ενώ για τις β τάξης έχουμε την έκφραση F (x, y, z, u, u x, u y, u z, u xx, u yy, u zz, u xy, u yz, u zx = Στις παραπάνω περιγραφές των ΜΔΕ β τάξης υποθέσαμε ότι ισχύουν οι απαραίτητες συνθήκες συνέχειας που εξασφαλίζουν την ισότητα των μεικτών παραγώγων, π.χ. u xy = u yx. Παράδειγμα 1.1: Oι ΜΔΕ u x u y = 2 u x + uu y = 2

7 1.1 Βασικοί ορισμοί xyu x + e x u y + u z = sin(xz είναι α τάξης, οι ΜΔΕ u xx + u yy + u zz = u xx u t = u xx u tt = είναι β τάξης, ενώ η εξίσωση u t + u xxxx = είναι δ τάξης. Στη συνέχεια αναφέρονται μερικές από τις πιο χαρακτηριστικές ΜΔΕ που συναντώνται συχνά σε φυσικά και όχι μόνο προβλήματα: Η εξίσωση plce, 2 u = (1.1 όπου σε τρεις διαστάσεις η Λαπλασιανή μιας συνάρτησης u ορίζεται ως u = 2 u = u xx + u yy + u zz Η εξίσωση plce ικανοποιείται, για παράδειγμα, από το βαθμωτό ηλεκτρικό δυναμικό ενός στατικού ηλεκτρικού πεδίου σε χώρο ελεύθερο φορτίων. Οι λύσεις της (1.1 ονομάζονται αρμονικές συναρτήσεις. Η κυματική εξίσωση, 2 u 1 c 2 u tt = με c R +, η οποία περιγράφει τη διάδοση ηχητικών και ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, τη δόνηση τεντωμένη χορδής κλπ. Η εξίσωση διάχυσης, 2 u 1 σ u t = η οποία περιγράφει π.χ. τη μετάδοση θερμότητας σε στερεά σώματα. Οι εξισώσεις του Mxwell στον κενό (ελεύθερο πηγών χώρο, E = µ H t H = σe + ϵ E t E = H = οι οποίες είναι ένα σύστημα ΜΔΕ. Η εξίσωση μεταφοράς, u x + 1 c u t = 3

8 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους η οποία έχει ως λύσεις κύματα που διαδίδονται κατά +x, αν c >. Η ΜΔΕ που περιγράφει το πρόβλημα της ελάχιστης επιφάνειας, ( 1 + u 2 y uxx 2u x u y u xy + ( 1 + u 2 x uyy = η λύση της οποίας είναι επιφάνεια με το μικρότερο εμβαδόν, όταν το σύνορό της είναι μια συγκεκριμένη καμπύλη. Όπως διαπιστώνεται, αν u x, u y << 1, δηλαδή στην περίπτωση μικρών κλίσεων, η συγκεκριμένη εξίσωση πρακτικά απλοποιείται στην εξίσωση plce. Η εξίσωση Korteweg-de Vries (KdV, u t 6uu x + u xxx = που συναντάται στη μελέτη κυμάτων νερού σε ρηχά στρώματα. Η εξίσωση Burger, u t + uu x = νu xx που συναντάται στη μη γραμμική κυματική διάδοση στη μηχανική ρευστών. Οι εξισώσεις Euler, u t + (u u + 1 ρ p = που σχετίζουν το πεδίο ταχυτήτων u και την πίεση p κατά τη ροή ενός ρευστού χωρίς ιξώδες. 1.2 Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων Ορισμός 1.3 Λύση μιας ΜΔΕ αποτελεί κάθε συνάρτηση η οποία, όταν αντικατασταθεί στη ΜΔΕ μαζί με τις παραγώγους της, τότε η ΜΔΕ γίνεται ταυτότητα. Παράδειγμα 1.2: Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση u(x, y = ln x 2 + y 2 (1.2 αποτελεί λύση της εξίσωσης plce. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: u x = 1 x 2 + y 2 x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 u xx = x2 + y 2 2x 2 (x 2 + y 2 2 = y2 x 2 (x 2 + y 2 2 u y = 1 x 2 + y 2 y x 2 + y 2 = y x 2 + y 2 u yy = x2 + y 2 2y 2 (x 2 + y 2 2 = x2 y 2 (x 2 + y 2 2 Τελικά συμπεραίνουμε ότι, όντως, η (1.2 ικανοποιεί την εξίσωση u xx + u yy = 4

9 1.2 Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων Όταν η λύση μιας ΜΔΕ αποτελεί μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, δηλαδή u = u(x, y, γεωμετρικά παριστάνει μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο xyu. Αν, για παράδειγμα, η u περιγράφει τη θερμοκρασιακή κατανομή σταθερής κατάστασης στα σημεία (x, y ενός επίπεδου χωρίου, η τιμή της θερμοκρασίας σε ένα τυχαίο σημείο (x, y ισούται με το ύψος u(x, y του αντίστοιχου σημείου πάνω στη λύση, το οποίο προβάλλεται στο (x, y, του χώρου xyu. Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που η μία μεταβλητή αντιστοιχεί σε χρόνο, δηλαδή κάθε λύση της μορφής u(x, t (π.χ. θερμοκρασία κατά μήκος μιας μπάρας είναι μια επιφάνεια του χώρου x, t, u. Ωστόσο, εναλλακτικά σε αυτές τις περιπτώσεις, μια γεωμετρική απεικόνιση της λύσης προκύπτει από διαδοχικά στιγμιότυπα της λύσης σε διάφορες χρονικές στιγμές t 1, t 2,.... Τα γραφήματα των επίπεδων καμπυλών u = u(x, t i, i = 1, 2,... είναι οι τομές της επιφάνειας u = u(x, t με τα επίπεδα t = t 1, t = t 2,... Όπως συμβαίνει στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ, έτσι και οι γενικές λύσεις των ΜΔΕ δεν προσδιορίζονται με μοναδικό τρόπο, δεδομένου ότι για να είναι αυτό εφικτό, είναι απαραίτητες επιπρόσθετες συνθήκες. Μια βασική διαφοροποίηση είναι ότι, ενώ στις ΣΔΕ η γενική λύση εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές, οι γενικές λύσεις των ΜΔΕ εμπεριέχουν αυθαίρετες συναρτήσεις. Αυτό γίνεται άμεσα κατανοητό από τα παραδείγματα που ακολουθούν. Παράδειγμα 1.3: Θα δείξουμε ότι η γενική λύση της ΜΔΕ u x + u y = (1.3 είναι της μορφής u(x, y = ϕ(x y (1.4 όπου ϕ αυθαίρετη παραγωγίσιμη συνάρτηση. Παραγωγίζοντας την (1.4, παίρνουμε: u x = ϕ (x y x (x y = ϕ (x y u y = ϕ (x y y (x y = ϕ (x y Συνεπώς, με απλή αντικατάσταση διαπιστώνεται ότι η (1.4 ικανοποιεί την (1.3. Αυτό σημαίνει ότι, για παράδειγμα, οι συναρτήσεις e x y, sin(x y και (x y 3 είναι λύσεις της (1.3. Όπως διαπιστώνεται στη συνέχεια, ορισμένες ΜΔΕ μπορούν να επιλυθούν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, με απλές ολοκληρώσεις. Το σημείο που χρειάζεται προσοχή έχει να κάνει με τις σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες στην περίπτωση των ΜΔΕ είναι συναρτήσεις. Ωστόσο, είναι μάλλον φανερό ότι δεν υπάρχει κάποια γενική θεωρία που να αναφέρεται στην επίλυση όλων των ΜΔΕ. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια τέτοια θεωρία είναι αδύνατο να βρεθεί, αν λάβουμε υπόψη τη μεγάλη ποικιλία των φαινομένων που μοντελοποιούνται από τις ΜΔΕ. Συνήθως επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας σε ΜΔΕ που είναι σημαντικές στα πλαίσια διάφορων εφαρμογών και επιδιώκουμε να προσδιορίσουμε κάποια στοιχεία που θα διευκολύνουν την επίλυσή τους, μέσω της κατανόησης της προέλευσης αυτών των ΜΔΕ. Παράδειγμα 1.4: Ας θεωρήσουμε τη ΜΔΕ u xx = (1.5 5

10 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους όπου u = u(x, y. Ολοκληρώνοντας μία φορά ως προς x, θα εμφανιστεί στο β μέλος μια σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία, όμως, μπορεί να εξαρτάται από το y. Συνεπώς, θα είναι u x = ϕ 1 (y Ολοκληρώνοντας δεύτερη φορά ως προς x και λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη εξήγηση, τελικά παίρνουμε τη γενική λύση της (1.5: u(x, y = ϕ 1 (yx + ϕ 2 (y Εύκολα γίνονται αντιληπτές οι ομοιότητες και η διαφορές με την περίπτωση που η u είναι συνάρτηση μίας μεταβλητής και ικανοποιεί τη ΣΔΕ u =, με αποτέλεσμα η γενική λύση να έχει τη μορφή u(x = c 1 x + c 2, c 1, c 2 R. Παράδειγμα 1.5: Θεωρώντας ότι u = u(x, y, z, θα λύσουμε τη ΜΔΕ u xy = y + z (1.6 Ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς y, αντιμετωπίζουμε τις δύο άλλες μεταβλητές ως σταθερές, οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης θα είναι πρακτικά οποιαδήποτε συνάρτηση των x, z: u x = 1 2 y2 + yz + ϕ 1 (x, z Ολοκληρώνοντας πάλι ως προς x, προκύπτει η γενική λύση της (1.6: u(x, y, z = 1 2 xy2 + xyz + ˆ x ϕ 1 (t, z dt + ϕ 2 (y, z (1.7 Φυσικά, η παραπάνω έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, δεδομένου ότι ο όρος του ολοκληρώματος δεν αποτελεί τίποτε άλλο, παρά μια νέα συνάρτηση των x και z. Τα επόμενα παραδείγματα αντιμετωπίζουν το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή το πώς μπορεί να προσδιοριστεί μια ΜΔΕ, εάν είναι διαθέσιμη η γενική λύση της. Παράδειγμα 1.6: Αναζητούμε τη ΜΔΕ που έχει γενική λύση συναρτήσεις της μορφής u = f ( x 2 + y 2 (1.8 Αυτό που επιδιώκουμε σε τέτοια προβλήματα είναι να απαλείψουμε τις αυθαίρετες συναρτήσεις και να καταλήξουμε σε μια σχέση μεταξύ των μερικών παραγώγων της λύσης. Παραγωγίζοντας την (1.8, παίρνουμε: u x = f ( x 2 + y 2 2x u y = f ( x 2 + y 2 2y Διαιρώντας κατά μέλη, προκύπτει u x u y = x y 6

11 1.3 Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές και, τελικά, η ζητούμενη ΜΔΕ: yu x xu y = (1.9 Παράδειγμα 1.7: Τώρα προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη ΜΔΕ που έχει ως λύσεις συναρτήσεις της μορφής u(x, y = f(x + y + g(x y (1.1 όπου f, g συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμες. Με διαδοχικές παραγωγίσεις παίρνουμε: u x = f (x + y + g (x y u xx = f (x + y + g (x y u y = f (x + y g (x y u yy = f (x + y + g (x y Συνεπώς η ζητούμενη ΜΔΕ είναι η u xx u yy = ( Γραμμικοί διαφορικοί τελεστές Μια ΜΔΕ μπορεί να γραφεί και ως (u = f, όπου ένας διαφορικός τελεστής¹. Ορισμός 1.4 O διαφορικός τελεστής ονομάζεται γραμμικός, αν έχει την ιδιότητα (c 1 u 1 + c 2 u 2 = c 1 (u 1 + c 2 (u 2 όπου c 1, c 2 πραγματικές σταθερές και u 1, u 2 πραγματικές συναρτήσεις. Κάθε διαφορικός τελεστής που δεν είναι γραμμικός, ονομάζεται μη γραμμικός. Παράδειγμα 1.8: O τελεστής 2 = 2 x y z 2 είναι γραμμικός διότι: (c 1 u 1 + c 2 u 2 = 2 (c 1 u 1 + c 2 u 2 x (c 1 u 1 + c 2 u 2 y (c 1 u 1 + c 2 u 2 z 2 2 u 1 = c 1 x 2 + c 2 u 1 1 y 2 + c 2 u 1 1 ( 2 u 1 = c 1 x u 1 y u 1 z 2 = c 1 (u 1 + c 2 (u 2 z 2 + c 2 2 u 2 x 2 + c 2 u 2 2 y 2 + c 2 u 2 2 z 2 ( 2 u 2 + c 2 x u 2 y u 2 z 2 ¹Υπενθυμίζεται ότι οι τελεστές απεικονίζουν συναρτήσεις σε συναρτήσεις. Για παράδειγμα, ο διαφορικός τελεστής α + β + γ απεικονίζει μια συνάρτηση u στη συνάρτηση αu x y x + βu y + γu 7

12 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Παράδειγμα 1.9: Ο τελεστή που ορίζεται ως εξής: δεν είναι γραμμικός, διότι: (u = u t + u u x (1.12 (u + v (u + v (u + v = + (u + v t x = u t + v t + uu x + uv x + vu x + vv x και (u + (v = u t + uu x + v t + vv x δηλαδή (u + v (u + (v Άρα ο τελεστή (1.12 δεν ικανοποιεί τις απαιτήσεις που εξασφαλίζουν τη γραμμικότητα. Ορισμός 1.5 Αν είναι ένας γραμμικός διαφορικός τελεστής, τότε κάθε ΜΔΕ της μορφής (u = ονομάζεται ομογενής γραμμική, ενώ κάθε ΜΔΕ της μορφής (u = f ονομάζεται μη ομογενής γραμμική. Παράδειγμα 1.1: H ΜΔΕ xyu x + ( x 2 + 2y u y = e x cos y είναι μη ομογενής γραμμική εξίσωση α τάξης, ενώ η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση είναι η xyu x + ( x 2 + 2y u y = Οι γραμμικοί διαφορικοί τελεστές παίζουν σημαντικό ρόλο στις ΜΔΕ και μια από τις πιο βασικές ιδιότητές τους αναφέρεται στην αρχή της υπέρθεσης, η οποία θα αξιοποιηθεί ιδιαίτερα στην επίλυση ΜΔΕ με τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών: Θεώρημα 1.1 Αν είναι ένας γραμμικός διαφορικός τελεστής και ϕ i, i = 1,..., n είναι λύσεις των γραμμικών εξισώσεων (u i = f i, τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός v = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ c n ϕ n αποτελεί λύση της ΜΔΕ (u = c 1 f 1 + c 2 f c n f n 8

13 1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα T( x + Dx, t q ( x + Dx, t T( x, t q( x, t x x + Dx Σχήμα 1.1: Δυνάμεις σε στοιχειώδες τμήμα μιας τεντωμένης χορδής. Ουσιαστικά το παραπάνω θεώρημα επιτρέπει την κατασκευή περίπλοκων λύσεων από απλούστερες μορφές. Από το ίδιο θεώρημα προκύπτει άμεσα ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός n λύσεων μιας ομογενούς γραμμικής ΜΔΕ αποτελεί και αυτός λύση της ίδιας ΜΔΕ. Επιπλέον, αν u 1, u 2 αποτελούν λύσεις της μη ομογενούς γραμμικής ΜΔΕ (u = f, τότε η διαφορά τους u 1 u 2 αποτελεί λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης (u =. Τέλος, η γενική λύση της γραμμικής ΜΔΕ (u = f προκύπτει από το άθροισμα της γενικής λύσης V h της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης (u = και μιας λύσης v p της μη ομογενούς εξίσωσης, δηλαδή u = V h + v p. Είναι σημαντικό το γεγονός το ότι πολλές από τις ΜΔΕ που αποτελούν αντικείμενο ενδιαφέροντος και μελέτης για τους μηχανικούς είναι γραμμικές εξισώσεις β τάξης, χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι δεν εμφανίζονται συχνά και άλλου τύπου ΜΔΕ. Σε γενικές γραμμές, η πολυπλοκότητα της λύσης μια γραμμικής ΜΔΕ εξαρτάται, πέρα από την τάξη της, και από το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. 1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα H κυματική εξίσωση Θεωρούμε μια λεπτή τεντωμένη οριζόντια χορδή με σταθερή γραμμική πυκνότητα μάζας ρ, με τη συνάρτηση u(x, t να περιγράφει την κατακόρυφη μετατόπιση ενός τυχαίου σημείου της χορδής στη θέση x τη χρονική στιγμή t. Θεωρούμε πως α δεν είναι δυνατή η κίνηση της χορδής κατά τη διαμήκη διεύθυνση και β σε κατάσταση ηρεμίας, η χορδή βρίσκεται πάνω στον άξονα των x. Για να προσδιορίσουμε τη ΜΔΕ που ικανοποιεί η u, εξετάζουμε ένα μικρό τμήμα της χορδής που αντιστοιχεί σε οριζόντια απόσταση ίση με x. Τότε το μήκος του συγκεκριμένου τμήματος είναι περίπου ίσο με x 2 + u 2, όπου u = u(x + x, t u(x, t. Λαμβάνοντας υπόψη ότι x 2 + u 2 x x u2 σε συνδυασμό με το ότι θεωρούμε μόνο πολύ μικρές κατακόρυφες μετατοπίσεις, διαπιστώνουμε ότι το μήκος αυτό μπορεί να θεωρηθεί ίσο με x (πρακτικά δεχόμαστε πως το μήκος της χορδής δεν αλλάζει, παρά την παραμόρφωση που υφίσταται. Άρα η μάζα του θα είναι ίση με m = ρ x. Επιπλέον, θεωρούμε αμελητέα τη βαρυτική δύναμη, οπότε δεν τη λαμβάνουμε υπόψη. Εφαρμόζοντας το β νόμο του Νεύτωνα κατά το x-άξονα και απαιτώντας μηδενική οριζόντια επιτάχυνση (σχήμα 1.1, παίρνουμε: T (x, t cos[θ(x, t] + T (x + x, t cos[θ(x + x, t] = 9

14 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους οπότε T (x, t cos[θ(x, t] = T (x + x, t cos[θ(x + x, t] = T (1.13 όπου T (x, t η τάση της χορδής, η οποία είναι εφαπτομενική στη χορδή. Εφόσον η κατακόρυφη επιτάχυνση των σημείων της χορδής ισούται με u tt, κατά τον κατακόρυφο άξονα θα έχουμε: ή, με αντικατάσταση της (1.13, T (x, t sin[θ(x, t] + T (x + x, t sin[θ(x + x, t] = m u tt T tn[θ(x, t] + T tn[θ(x + x, t] = m u tt Όμως, σε κάθε σημείο της χορδής είναι tn θ = u x (από την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας, με αποτέλεσμα να είναι u x (x + x, t u x (x, t T = ρu tt x Θεωρώντας ότι x, προκύπτει T u xx = ρu tt και αν θέσουμε T /ρ = c 2, παίρνουμε την εξίσωση κύματος σε μία διάσταση: u xx = 1 c 2 u tt (1.14 Όπως μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, η σταθερά c έχει διαστάσεις ταχύτητας. Παράδειγμα 1.11: Θα δείξουμε ότι συναρτήσεις της μορφής u(x, t = f(x ct + g(x + ct (1.15 αποτελούν λύσεις της κυματικής εξίσωσης (1.14. Παραγωγίζοντας, παίρνουμε τα ακόλουθα: u x = f (x ct + g (x + ct u xx = f (x ct + g (x + ct u t = cf (x ct + cg (x + ct u tt = c 2 f (x ct + c 2 g (x + ct Mε απλή αντικατάσταση διαπιστώνεται η επαλήθευση της κυματικής εξίσωσης. Οι συναρτήσεις (1.15 παριστάνουν κύματα που διαδίδονται κατά ±x με ταχύτητα c Η εξίσωση θερμότητας Θα μελετήσουμε το πρόβλημα της μετάδοσης θερμότητας κατά μήκος μιας ράβδου ομοιόμορφης διατομής εμβαδού A. Θεωρούμε ότι η ράβδος είναι πλήρως μονωμένη από το περιβάλλον (με πιθανώς εξαιρούμενα τα δύο άκρα της, έτσι ώστε να μην είναι δυνατή η ανταλλαγή θερμότητας μέσω των τοιχωμάτων. Πρακτικά θεωρούμε πως η θερμοκρασία μεταβάλλεται μόνο ως προς τη 1

15 1.4 Παραδείγματα ΜΔΕ σε φυσικά προβλήματα A q( x, t q( x + Dx, t Dx Σχήμα 1.2: Ροή θερμότητας σε στοιχειώδες τμήμα ράβδου. θέση κατά μήκος της ράβδου και ως προς το χρόνο. Αν το συνολικό μήκος της ράβδου είναι l, η θέση κατά μήκος της ράβδου περιγράφεται από τη μεταβλητή x με x [, l] (σχήμα 1.2. Έστω ένα λεπτό τμήμα της ράβδου πάχους x, στο οποίο θα εφαρμόσουμε τη διατήρηση της ενέργειας, θεωρώντας απουσία εξωτερικών πηγών θερμότητας. Στη γενική περίπτωση (πρόβλημα σε τρεις διαστάσεις, η ροή της θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου περιγράφεται από την εξίσωση q = k T (1.16 όπου T η θερμοκρασία και k > η θερμική αγωγιμότητα. H εξίσωση (1.16 απλά δηλώνει την ιδιότητα της θερμικής ενέργειας να ρέει προς σημεία με χαμηλότερες θερμοκρασίες. Μάλιστα, όσο μεγαλύτερες είναι οι θερμοκρασιακές μεταβολές, τόσο εντονότερη είναι η θερμική ροή (αν, από την άλλη πλευρά, δεν υπάρχει χωρική μεταβολή της θερμοκρασίας, τότε η κλίση της είναι μηδενική, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει ροή θερμότητας, δηλαδή q =. Στην περίπτωση του προβλήματός μας που είναι χωρικά μονοδιάστατο, θα ισχύει q = k T x Λαμβάνουμε υπόψη, επιπλέον, τη σύνδεση μεταξύ της μεταβολής θερμότητας και της αντίστοιχης προκαλούμενης αλλαγής στη θερμοκρασία: Q = mc T (1.17 Από την (1.17 προκύπτει ότι ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η θερμότητα στο στοιχειώδες τμήμα της ράβδου είναι Q t = ρa xc T t όπου ρ είναι, όπως και πριν, η πυκνότητα μάζας της ράβδου. To παραπάνω μέγεθος θα πρέπει να είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του ρυθμού μεταβολής εισερχόμενης και εξερχόμενης θερμότητας στο στοιχειώδες τμήμα. Συνεπώς, μπορούμε να γράψουμε [ k T (x, t x ( k T (x + x, t x ] A = ρa xc T t ή T x (x + x, t T x (x, t x = ρc k T t Παίρνοντας την οριακή περίπτωση όπου x, καταλήγουμε στην εξίσωση θερμότητας, απουσία πηγών: T xx = 1 σ T t 11

16 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Σε τρεις διαστάσεις, η αντίστοιχη εξίσωση που περιγράφει τη μετάδοση θερμότητας θα έχει τη μορφή 2 T = 1 σ T t (1.18 Σημειώνεται ότι πέρα από τη θερμοκρασία, υπάρχουν και άλλα μεγέθη που ικανοποιούν τη συγκεκριμένη εξίσωση. Για το λόγο αυτό, η (1.18 είναι γνωστή και ως εξίσωση διάχυσης (για παράδειγμα, η εξίσωση διάχυσης μπορεί να περιγράφει τη μεταβολή της συγκέντρωσης μιας ουσίας που διαλύεται Εξισώσεις plce και Poisson Αν στο πρόβλημα της προηγούμενης υποενότητας δεχτούμε την απουσία χρονικής μεταβολής της θερμοκρασίας (σταθερή κατάσταση, τότε προκύπτει ότι η θερμοκρασία ικανοποιεί την εξίσωση plce, η οποία σε τρεις διαστάσεις έχει τη μορφή 2 T = 2 T x T y T z 2 = (1.19 Ας αναφερθούμε τώρα σε ένα διαφορετικό πρόβλημα, αυτό του στατικού (ως προς το χρόνο ηλεκτρικού πεδίου. Αν E είναι η ηλεκτρική πεδιακή ένταση και ϕ το βαθμωτό ηλεκτρικό δυναμικό, τότε είναι γνωστό ότι ισχύει E = ϕ δεδομένου ότι το διανυσματικό πεδίο είναι συντηρητικό. Αν θεωρήσουμε μια κλειστή επιφάνεια S που περικλείει όγκο V, το συνολικό φορτίο που περικλείεται από την S είναι Q totl = ρ dv Το ίδιο φορτίο υπολογίζεται και από την εξερχόμενη από την επιφάνεια S ηλεκτρική ροή: Q totl = ϵe ds S V απ όπου, εφαρμόζοντας το θεώρημα Guss, παίρνουμε: Q totl = ϵ E dv = V V ϵ 2 ϕ dv Από τους δύο τρόπους υπολογισμού του φορτίου προκύπτει ότι ( ρ + ϵ 2 ϕ dv = V Εφόσον η επιφάνεια S είναι αυθαίρετη, η παραπάνω εξίσωση συνεπάγεται ότι η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι μηδενική. Συνεπώς το βαθμωτό δυναμικό ικανοποιεί τη ΜΔΕ 2 ϕ = ρ ϵ που ονομάζεται εξίσωση Poisson. Όπως διαπιστώνεται, σε περιοχές όπου δεν υπάρχουν φορτία, το δυναμικό ικανοποιεί την εξίσωση plce 2 ϕ =. 12

17 1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών 1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών Είναι φανερό ότι όταν χρειάζεται να προσδιοριστεί με μοναδικό τρόπο μια συγκεκριμένη λύση κάποιας ΜΔΕ, είναι απαραίτητη η ύπαρξη επιπλέον πληροφοριών, πέρα από την ίδια τη ΜΔΕ. Αυτές οι πληροφορίες παρέχονται από βοηθητικές (συμπληρωματικές συνθήκες. Μια ΜΔΕ που υπόκειται σε συγκεκριμένους περιορισμούς με τη μορφή αρχικών συνθηκών χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα αρχικών τιμών, ενώ όταν πρέπει να ικανοποιούνται συγκεκριμένες συνθήκες στο σύνορο της περιοχής επίλυσης, τότε αποτελεί πρόβλημα συνοριακών τιμών. Ενδέχεται να απαιτείται ο συνδυασμός και των δύο τύπων συνθηκών, οπότε τότε κάνουμε λόγο για προβλήματα αρχικώνσυνοριακών τιμών. Όπως διαπιστώνεται από τις παραπάνω ονομασίες, οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται από την άγνωστη συνάρτηση ή/και της παραγώγους της σε ένα σημείο που χαρακτηρίζεται ως αρχικό, ενώ οι συνοριακές συνθήκες ικανοποιούνται στα σημεία του συνόρου του τόπου όπου αναζητείται η λύση της ΜΔΕ. Σε σύγκριση με τις ΣΔΕ, η εύρεση της λύσης μιας ΜΔΕ που ικανοποιεί βοηθητικές συνθήκες είναι δυσκολότερη διαδικασία, κυρίως λόγω της εξάρτησης των γενικών λύσεων από αυθαίρετες συναρτήσεις και όχι απλώς από σταθερές. Σε τέτοιες περιπτώσεις βασικό ρόλο παίζουν μεθοδολογίες που χτίζουν τη ζητούμενη λύση της ΜΔΕ γύρω από τις εκάστοτε συμπληρωματικές συνθήκες. Παράδειγμα 1.12: To πρόβλημα { u xx + u yy =, x 2 + y 2 < 1 u(x, y = 1, x 2 + y 2 = 1 αποτελεί ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών. Στη συγκεκριμένη περίπτωση αναζητούμε εκείνη τη συνάρτηση δύο μεταβλητών που ικανοποιεί την εξίσωση plce σε κυκλικό δίσκο ακτίνας 1 και, ταυτόχρονα, έχει μοναδιαία τιμή στα σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Παράδειγμα 1.13: To πρόβλημα u xx u t =, x (, 1, t (, + u(x, = f(x, x (, 1 u(, t = g 1 (t, t (, + u(1, t = g 2 (t, t (, + (1.2 αποτελεί ένα πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών. Θα μπορούσε να περιγράφει το πρόβλημα προσδιορισμού της θερμοκρασίας κατά μήκος μιας ράβδου μήκους 1, όταν είναι γνωστή αρχικά (για t = η θερμοκρασία κατά μήκος της ράβδου και, επιπλέον, είναι γνωστή (κάθε χρονική στιγμή η θερμοκρασία στα άκρα της ράβδου. Αν Ω ο τόπος στον οποίο αναζητείται η λύση της ΜΔΕ, τότε οι συνοριακές συνθήκες ανήκουν γενικά σε μία από τις παρακάτω κατηγορίες: Συνθήκες Dirichlet, οι οποίες προδιαγράφουν την τιμή της συνάρτησης u στο σύνορο του Ω: u(x, y, z = f(x, y, z, (x, y, z Ω όπου f γνωστή συνάρτηση. 13

18 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους ˆn W W Σχήμα 1.3: Τυπική περιοχή Ω και το κάθετο διάνυσμα στο σύνορό της. Συνθήκες Neumnn, οι οποίες προδιαγράφουν την τιμή της παραγώγου της u κατά την κάθετη στο σύνορο του Ω διεύθυνση (σχήμα (1.3: όπου g γνωστή συνάρτηση. u (x, y, z = g(x, y, z, n (x, y, z Ω Συνθήκες Robin, οι οποίες προσδιορίζουν ένα συνδυασμό της u και της κάθετης παραγώγου στα σημεία του συνόρου του Ω: όπου h γνωστή συνάρτηση. A u (x, y, z + Bu(x, y, z = h(x, y, z, n (x, y, z Ω Σε αυτό το σημείο εισάγουμε την έννοια του καλά τοποθετημένου προβλήματος, παραθέτοντας τις ιδιότητες που συνήθως είναι επιθυμητό να διαθέτουν τα προβλήματα ΜΔΕ. Ορισμός 1.6 εάν: Ένα πρόβλημα αρχικών/συνοριακών τιμών χαρακτηρίζεται καλά τοποθετημένο, έχει τουλάχιστον μία λύση, έχει ακριβώς μία λύση, μικρές αλλαγές στις αρχικές/συνοριακές συνθήκες προκαλούν αντίστοιχα μικρές μεταβολές στη λύση, δηλαδή υπάρχει συνεχής εξάρτηση της λύσης από τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες. Είναι πολύ σημαντικό και σε κάποιες περιπτώσεις απαραίτητο τα μαθηματικά μοντέλα να έχουν τις παραπάνω ιδιότητες, αφού η ύπαρξη λύσεων εξασφαλίζει εν μέρει το γεγονός ότι το μοντέλο περιγράφει με λογικό τρόπο το αντίστοιχο πρόβλημα, ενώ η μοναδικότητα και ευστάθεια (η τρίτη ιδιότητα των λύσεων αυξάνουν τις πιθανότητες τα αποτελέσματα που προκύπτουν να είναι αξιόπιστα. Από την οπτική γωνία της επίλυσης ΜΔΕ με αριθμητικές μεθόδους, τόσο ο χώρος επίλυσης, όσο και τα δεδομένα που σχετίζονται με τις αρχικές και συνοριακές συνθήκες του προβλήματος, δεν αναπαράγονται με ακριβή τρόπο στο προσεγγιστικό μοντέλο. Επιπρόσθετη πηγή σφαλμάτων αποτελεί η πεπερασμένη ακρίβεια σε αναπαραστάσεις και πράξεις που συνδέεται με τη λειτουργία των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ωστόσο, αν ένα πρόβλημα είναι καλά τοποθετημένο, τότε είναι πιθανό να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε μια ικανοποιητική προσέγγιση της ακριβούς λύσης, 14

19 1.5 Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών με την προϋπόθεση ότι τα δεδομένα του προβλήματος προσεγγίζονται και αυτά ικανοποιητικά. Μια τέτοια προοπτική δεν είναι καθόλου αυτονόητη, αν το πρόβλημα υπό μελέτη δεν είναι καλά τοποθετημένο. 15

20 1. Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους 16

21 2 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Μια ΜΔΕ α τάξης μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από μια διπαραμετρική οικογένεια επιφανειών του R 3. Όντως, αν μια τέτοια οικογένεια περιγράφεται ως όπου, b R, τότε με παραγώγιση παίρνουμε: u = f(x, y,, b (2.1 u x = f x (x, y,, b u y = f y (x, y,, b (2.2α (2.2β Απαλείφοντας τις παραμέτρους από τις (2.1 και (2.2, καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής F (x, y, u, u x, u y = η οποία είναι η γενική περιγραφή των ΜΔΕ α τάξης. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τις γραμμικές ΜΔΕ α τάξης. Όπως ειπώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η έννοια της γραμμικότητας σε μια ΜΔΕ αναφέρεται στην άγνωστη συνάρτηση u και τις παραγώγους αυτής. Συνεπώς, αν u = u(x, y, τότε η γενική μορφή μιας γραμμικής ΜΔΕ α τάξης είναι (x, yu x + b(x, yu y = c(x, yu + d(x, y Όταν d(x, y =, η εξίσωση είναι ομογενής, ενώ είναι μη ομογενής όταν d(x, y. Μια ΜΔΕ που είναι γραμμική μόνο ως προς τις μερικές παραγώγους με τη μέγιστη τάξη (η οποία, υπενθυμίζεται, είναι και η τάξη της ΜΔΕ και οι συντελεστές των παραγώγων αυτών εξαρτώνται μόνο από τις ανεξάρτητες μεταβλητές ονομάζεται ημιγραμμική. Η γενική μορφή μιας ημιγραμμικής ΜΔΕ α τάξης είναι (x, yu x + b(x, yu y = c(x, y, u Τέλος, μια ΜΔΕ που είναι γραμμική ως προς τις παραγώγους μέγιστης τάξης (έστω m, αλλά οι συντελεστές αυτών εξαρτώνται όχι μόνο από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά και από την εξαρτημένη μεταβλητή, όπως και από παραγώγους αυτής με τάξη μικρότερη του m, ονομάζεται σχεδόν 17

22 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης γραμμική. Άρα, η σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης έχει τη γενική μορφή (x, y, uu x + b(x, y, uu y = c(x, y, u Είναι φανερό ότι τόσο οι γραμμικές, όσο και οι ημιγραμμικές ΜΔΕ μπορούν να θεωρηθούν ότι αποτελούν υποπεριπτώσεις σχεδόν γραμμικών εξισώσεων. Παράδειγμα 2.1: Από τις ΜΔΕ α τάξης, xu x + y 2 u y = xyu + e x 3u x + 1 y u y = u 2 + 2x xuu x + (x + 3u y = ye u (u x 2 + u x u y + u x = xyu 2 η πρωτη είναι γραμμική, η δεύτερη ημιγραμμική, η τρίτη σχεδόν γραμμική και η τέταρτη πλήρως μη γραμμική. 2.1 H εξίσωση u x + bu y = Στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με την επίλυση της ομογενούς γραμμικής ΜΔΕ u x + bu y = (2.3 όπου, b πραγματικές σταθερές και u = u(x, y. Aν v = i + bj, τότε η (2.3 παίρνει τη μορφή v u = αφού u = u x i + u y j. Η παραπάνω σχέση πρακτικά δηλώνει ότι η παράγωγος της λύσης u κατά την κατεύθυνση που προσδιορίζεται από το διάνυσμα v είναι μηδενική. Ορισμός 2.1 Αν u : A R 2 R είναι μια λύση της ΜΔΕ, τότε η επιφάνεια με εξίσωση u = u(x, y ονομάζεται ολοκληρωτική επιφάνεια. Δεδομένου ότι το v είναι σταθερό διάνυσμα, η διεύθυνσή του προσδιορίζει ευθείες γραμμές με κλίση ίση με b/¹, δηλαδή τις λύσεις της ΣΔΕ dy dx = b Αυτές οι ευθείες έχουν εξίσωση y = (b/x + c 1, ή bx y = c Οι συγκεκριμένες ευθείες αποτελούν τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ (2.3. Επομένως, η (2.3 ουσιαστικά υπονοεί ότι η συνάρτηση u είναι σταθερή πάνω στις χαρακτηριστικές της, αφού κατά μήκος ¹Αν = και b, τότε u y δίνουμε στη συνέχεια. = u(x, y = f(x. Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνεται στη γενική λύση που 18

23 2.1 H εξίσωση u x + bu y = τους μηδενίζεται η παράγωγος της u. Άρα η ζητούμενη λύση εξαρτάται μόνο από την παράσταση bx y, με αποτέλεσμα να έχει τη μορφή u(x, y = f(bx y (2.4 όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. Από τη γενική λύση διαπιστώνεται ότι για τη συγκεκριμένη ΜΔΕ, οι χαρακτηριστικές καμπύλες δεν είναι άλλες από τις ισοσταθμικές καμπύλες της επιφάνειας u = u(x, y. Εναλλακτικά, στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε πραγματοποιώντας μια κατάλληλη αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων. Αν ξ, η είναι οι μεταβλητές του νέου συστήματος, μια κατάλληλη επιλογή είναι { ξ = bx y η = x + by ώστε και οι νέοι άξονες να είναι κάθετοι μεταξύ τους. Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης, υπολογίζονται οι μερικές παράγωγοι: Αντικαθιστώντας στη (2.3, παίρνουμε: u x = u ξ ξ x + u η η x = bu ξ + u η u y = u ξ ξ y + u η η y = u ξ + bu η bu ξ + 2 u η bu ξ + b 2 u η = ( 2 + b 2 u η = Θεωρώντας την προφανή περίπτωση όπου οι συντελεστές, b δε μηδενίζονται ταυτόχρονα, η ΜΔΕ παίρνει τελικά την απλή μορφή u η = u = f(η δηλαδή και πάλι καταλήγουμε στο αποτέλεσμα u(x, y = f(bx y. Είναι φανερό ότι αυτή η επιλογή των νέων μεταβλητών μετατρέπει τη ΜΔΕ πρακτικά σε ΣΔΕ (αφού εμφανίζεται η παράγωγος μόνο ως προς τη μία μεταβλητή, η οποία επιλύεται εύκολα. Συνεπώς, μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι η συγκεκριμένη μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση που η ΜΔΕ (2.3 περιέχει και μη ομογενή όρο. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι, αν και είναι απαραίτητο να επιλέξει κάποιος ως μία από τις νέες μεταβλητές εκείνη που προσδιορίζεται από τις χαρακτηριστικές καμπύλες, έχει περισσότερη ελευθερία ως προς την επιλογή της δεύτερης. Με άλλα λόγια, δεν είναι απαραίτητο οι άξονες του νέου συστήματος συντεταγμένων να είναι κάθετοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε { ξ = bx y τότε παίρνουμε η = y u x = bu ξ u y = u ξ + u η με αποτέλεσμα η ΜΔΕ να παίρνει τώρα τη μορφή bu η = 19

24 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης u y x Σχήμα 2.1: Η λύση του παραδείγματος 2.2. Mε έντονη γραμμή απεικονίζεται η καμπύλη που αντιστοιχεί στη συνθήκη (2.6. Υπό την προϋπόθεση ότι b, προκύπτει, προφανώς, η ίδια λύση με πριν (αν είναι b =, τότε οι δύο νέοι άξονες είναι παράλληλοι μεταξύ τους, οπότε οι νέες μεταβλητές δεν αποτελούν ορθή επιλογή. Παράδειγμα 2.2: Στο παράδειγμα αυτό αναζητούμε τη λύση της ΜΔΕ 3u x 2u y = (2.5 που ικανοποιεί τη συνθήκη u(x, = x (2.6 Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε, οι χαρακτηριστικές της (2.5 είναι οι ευθείες 2x 3y = c οπότε η γενική λύση έχει τη μορφή f(2x + 3y = Εφαρμόζοντας τη συνθήκη (2.6, παίρνουμε Συνεπώς, η ζητούμενη λύση (σχήμα 2.1 είναι η f(2x = x f(x = 1 4 x2 + 1 u(x, y = 1 4 (2x + 3y2 + 1 (2.7 Στο παράδειγμα που προηγήθηκε λάβαμε υπόψη τη βοηθητική συνθήκη (2.6. Ουσιαστικά απαιτήσαμε η ζητούμενη λύση να παίρνει συγκεκριμένες τιμές (ίσες με x 2 +1 κατά μήκος μιας επίπεδης δοθείσας καμπύλης (αυτής που παραμετροποιείται ως x = x, y =, δηλαδή του άξονα των x. Από γεωμετρική άποψη, προσδιορίστηκε η ολοκληρωτική επιφάνεια που περιλαμβάνει μια συγκεκριμένη καμπύλη, αυτή που περιγράφεται παραμετρικά στον τρισδιάστατο χώρο ως x = s, y =, u = s

25 2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης 3 2 t u 1. 5 x Σχήμα 2.2: Αντιπροσωπευτική λύση του παραδείγματος 2.3. H κόκκινη καμπύλη παριστάνει τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος και η μπλε ευθεία αντιστοιχεί σε μία χαρακτηριστική της εξίσωσης μεταφοράς. Παράδειγμα 2.3: H εξίσωση μεταφοράς u t + u x =, R (2.8 περιγράφει φαινόμενα μεταφοράς με σταθερή ταχύτητα (ίση με, στην περίπτωση που δεν υφίσταται κάποιος όρος που να αντιστοιχεί σε πηγή. Οι χαρακτηριστικές της (2.8 είναι οι ευθείες x t = c Όπως μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, στην περίπτωση που η (2.8 συμπληρώνεται από κάποια βοηθητική συνθήκη, τότε τα αρχικά δεδομένα διαδίδονται κατά τα θετικά x, χωρίς να μεταβάλλεται καθόλου το σχήμα τους. Ας θεωρήσουμε ότι = 2 και ότι η ζητούμενη λύση u(x, t πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη u(x, = e (x 52 (2.9 Δεδομένου ότι η γενική λύση έχει τη μορφή u(x, t = f(x 2t διαπιστώνεται πως η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος θα είναι η u(x, t = e (x 2t 52 (2.1 Στο σχήμα 2.2 απεικονίζεται η συνάρτηση (2.1, καθώς και η καμπύλη που αντιστοιχεί στα αρχικά δεδομένα (2.9. Όπως μπορεί να διαπιστωθεί, η αρχική καμπύλη μεταφέρεται παράλληλα προς τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ, διατηρώντας αμετάβλητο το σχήμα της. 2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης Στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με την επίλυση της ΜΔΕ α τάξης (x, yu x + b(x, yu y = c(x, yu + d(x, y (

26 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Θα επιχειρήσουμε να απλοποιήσουμε τη (2.11 και να τη φέρουμε σε μια μορφή που μπορούμε να διαχειριστούμε ευκολότερα. Ας θεωρήσουμε τον άγνωστο προς το παρόν μετασχηματισμό { ξ = ξ(x, y η = η(x, y Με εφαρμογή της αλυσιδωτής παραγώγισης, παίρνουμε: Με αντικατάσταση στη (2.11, η εξίσωση γίνεται: u x = u ξ ξ x + u η η x u y = u ξ ξ y + u η η y (ξ x + bξ y u ξ + (η x + bη y u η = cu + d Είναι φανερό ότι ένας τρόπος για να απλοποιηθεί η παραπάνω εξίσωση είναι να επιλέξουμε τη συνάρτηση ξ με τέτοιον τρόπο, ώστε να ισχύει ξ x + bξ y = (2.12 Όπως μπορεί να διαπιστωθεί εύκολα, μια κατάλληλη επιλογή είναι να θεωρήσουμε ότι η ξ(x, y = c παριστάνει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης dy b(x, y = dx (x, y (2.13 Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση που ικανοποιούν οι χαρακτηριστικές της (2.11. Όντως, αν οι καμπύλες ξ(x, y = c επαληθεύουν την (2.13, τότε λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι ξ x dx + ξ y dy =, προκύπτει άμεσα ότι θα ισχύει και η (2.12. Συνεπώς, επιλέγοντας με το συγκεκριμένο τρόπο τη συνάρτηση ξ, η ΜΔΕ παίρνει τη μορφή ή, πιο απλά, (η x + bη y u η = cu + d (2.14 A(ξ, ηu η = C(ξ, ηu + D(ξ, η (2.15 η οποία μπορεί να αντιμετωπιστεί όπως μια γραμμική ΣΔΕ α τάξης. Η μετάβαση από τη (2.14 στη (2.15 προϋποθέτει την αντικατάσταση των x, y από συναρτήσεις x(ξ, η, y(ξ, η, δηλαδή την αντιστροφή του μετασχηματισμού (2.2. Για να είναι αντιστρέψιμος ο μετασχηματισμός, θα πρέπει η Ιακωβιανή ορίζουσα (ξ, η J = (x, y = ξ x ξ y να είναι μη μηδενική. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι υπάρχει ελευθερία ως προς την επιλογή της μεταβλητής η, αρκεί να εξασφαλίζεται ότι J. η x η y Παράδειγμα 2.4: Έστω η ΜΔΕ u x + 3u y = u + 2 (2.16 Για τις χαρακτηριστικές της (2.16 έχουμε: dy dx = 3 y = 3x + c y 3x = c 1 22

27 2.2 H γραμμική ΜΔΕ α τάξης Επιλέγουμε το μετασχηματισμό { ξ = y 3x η = y για τον οποίο βρίσκουμε: { ξx = 3, ξ y = 1 η x =, η y = 1 Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι: 3 1 J = 1 = 3 οπότε είναι αντιστρέψιμος. Με αλυσιδωτή παραγώγιση, προκύπτει ότι: { ux = 3u ξ u y = u ξ + u η Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις στη (2.16, παίρνουμε τα εξής: Άρα η γενική λύση της (2.16 είναι 3u ξ + 3u ξ + 3u η = u + 2 u η u + 2 = 1 3 (ln u + 2 = η η ( 1 3 η ln u + 2 = 1 3 η + ϕ 1(ξ u + 2 = e η/3+ϕ 1(ξ u = ϕ(ξe η/3 2 η οποία μπορεί να πάρει εναλλακτικά τη μορφή u(x, y = ϕ(y 3xe y/3 2 (2.17 u(x, y = ψ(y 3xe x 2 (2.18 Παράδειγμα 2.5: Ας θεωρήσουμε τη ΜΔΕ yu x 2xyu y = 2xu (2.19 για την οποία αναζητείται εκείνη η λύση που ικανοποιεί τη συνθήκη Προσδιορίζουμε αρχικά της χαρακτηριστικές καμπύλες: dx y = u(, y = y 3 (2.2 dy 2xy 2x dx = dy x2 = y + c 23

28 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης δηλαδή y + x 2 = c Εφαρμόζουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό: } ξ = y + x 2 ξ x = 2x, ξ y = 1 η = y η x =, η y = 1 οπότε u x = 2xu ξ, u y = u ξ + u η Αντικαθιστώντας, παίρνουμε yu η = u ηu η = u Την εξίσωση αυτή την επιλύουμε ως εξής: με αποτέλεσμα u η η = 1 η ln u = ln η + ln ϕ 1(ξ ln u = ln ϕ 1(ξ η u = ϕ(ξ η Αναιρώντας την αλλαγή μεταβλητών, τελικά προκύπτει ότι Τέλος, εφαρμόζεται η βοηθητική συνθήκη: u(x, y = ϕ(y + x2 y u(, y = y 3 ϕ(y y = y 3 δηλαδή ϕ(y = y 4 Άρα η ζητούμενη λύση της (2.19 είναι (σχήμα 2.3 u(x, y = (y + x2 4 y (2.21 Παράδειγμα 2.6: τη μορφή Οι χαρακτηριστικές της (2.22 είναι: Θα ασχοληθούμε με την εξίσωση μεταφοράς με απόσβεση, η οποία έχει Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό } ξ = x t u t + u x = λu,, λ R (2.22 dt = dx t = x + c 1 x t = c η = x ξ x = 1, ξ t = η x = 1, η t = 24

29 2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης u.1.5. x. y.5.5 Σχήμα 2.3: Η λύση του παραδείγματος 2.5. Mε έντονη γραμμή απεικονίζεται η καμπύλη που αντιστοιχεί στη συνθήκη (2.2. παίρνουμε u x = u ξ + u η, u t = u ξ οπότε η (2.22 απλοποιείται ως ακολούθως: Άρα η γενική λύση της (2.22 είναι u η = λ u u η u = λ ln u = λ η + f 1(ξ u = f(ξe λ η u(x, t = f(x te λ x και, όπως είναι φανερό, μπορεί να γραφεί και με τη μορφή u(x, t = g(x te λt Ας υποθέσουμε ότι λ = = 1 και ότι η λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη u(x, = ϕ(x, όπου ϕ γνωστή συνάρτηση. Τότε η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος θα είναι u(x, t = ϕ(x te t Στο σχήμα 2.4 απεικονίζεται μια τέτοιου είδους λύση, όπου μπορεί να διαπιστωθεί ότι τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος μεταφέρονται με βάση τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ, αλλά ταυτόχρονα υφίστανται και απόσβεση. 2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την επίλυση της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ α τάξης (x, y, uu x + b(x, y, uu y = c(x, y, u (

30 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1. u t x Σχήμα 2.4: Μια αντιπροσωπευτική λύση του παραδείγματος 2.6 (μεταφορά με απόσβεση. H κόκκινη καμπύλη παριστάνει τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος και η μπλε ευθεία αντιστοιχεί σε μία χαρακτηριστική της εξίσωσης μεταφοράς με απόσβεση. u ( u, u,-1 x y Διεύθυνση (, b, c x O Χαρακτηριστική καμπύλη Εφαπτόμενο επίπεδο u = u( x, y y Σχήμα 2.5: Γεωμετρική ερμηνεία της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί και ως εξής: (i + bj + ck (u x i + u y j k = δηλαδή τα διανύσματα i + bj + ck και u x i + u y j k είναι κάθετα μεταξύ τους. Aν η συνάρτηση u = u(x, y αποτελεί λύση της (2.23 και F (x, y, u = u(x, y u, τότε η ζητούμενη λύση σε πεπλεγμένη μορφή θα είναι F (x, y, u =. Κατά τα γνωστά, το διανυσματικό πεδίο F = F x i + F y j + F u k = u x i + u y j k είναι κάθετο στην ισοσταθμική επιφάνεια F (x, y, u =. Η τελευταία, βέβαια, δεν είναι άλλη από την επιφάνεια που αντιστοιχεί στη λύση u = u(x, y. Άρα η ΜΔΕ δηλώνει ότι το διανυσματικό πεδίο i + bj + ck είναι εφαπτομενικό στις ολοκληρωτικές επιφάνειες. H διεύθυνση που προσδιορίζεται από το διάνυσμα (x, y, ui + b(x, y, uj + c(x, y, uk σε ένα τυχαίο σημείο (x, y, u αποτελεί τη χαρακτηριστική διεύθυνση της ΜΔΕ στο σημείο αυτό, η οποία, προφανώς, παίζει σημαντικό ρόλο στον προσδιορισμό της λύσης. Συνοψίζοντας, διαπιστώνουμε ότι μια επιφάνεια u = u(x, y αποτελεί λύση της (2.23, αν και μόνο αν το πεδίο διευθύνσεων i+bj+ck βρίσκεται στο εφαπτομενικό επίπεδο της επιφάνειας F (x, y, z =, σε κάθε σημείο στο οποίο είναι F (σχήμα

31 2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Έστω τώρα μια τυχαία καμπύλη r(t = x(ti + y(tj + u(tk πάνω σε μια ολοκληρωτική επιφάνεια. Είναι γνωστό ότι για μια συγκεκριμένη τιμή του t, το διάνυσμα r (t = x (ti + y (tj + u (tk είναι εφαπτομενικό στην καμπύλη αυτή, στο σημείο που προκύπτει για τη δεδομένη τιμή του t, άρα και στην επιφάνεια. Κάθε καμπύλη της οποίας το εφαπτομενικό διάνυσμα σε κάθε σημείο ταυτίζεται με τη χαρακτηριστική διεύθυνση της ΜΔΕ αποτελεί χαρακτηριστική καμπύλη της ΜΔΕ. Όπως διαπιστώνεται, σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, οι χαρακτηριστικές καμπύλες των σχεδόν γραμμικών ΜΔΕ εξαρτώνται από τις λύσεις, με αποτέλεσμα να είναι πλήρως καθορισμένες μόνο μετά την επίλυση της ΜΔΕ. Ορισμός 2.2 Οι καμπύλες μιας ολοκληρωτικής επιφάνειας που ικανοποιούν τις συνθήκες x (t = (x, y, u y (t = b(x, y, u (2.24 u (t = c(x, y, u αποτελούν τις χαρακτηριστικές καμπύλες της (2.23 και το παραπάνω σύστημα αποτελείται από τις χαρακτηριστικές εξισώσεις της σχεδόν γραμμικής εξίσωσης. Είναι φανερό ότι το χαρακτηριστικό σύστημα (2.24 είναι αυτόνομο, δηλαδή η παράμετρος t δεν εμφανίζεται στο β μέλος των εξισώσεων. Επιπλέον, αν οι συντελεστές, b, c έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους, τότε εξασφαλίζεται ότι από κάθε σημείο (x, y, u διέρχεται μία και μοναδική χαρακτηριστική καμπύλη. Αυτό σημαίνει ότι δύο διαφορετικές χαρακτηριστικές καμπύλες δε μπορούν να τέμνονται. Αν δύο ολοκληρωτικές επιφάνειες έχουν ένα κοινό σημείο, τότε αναγκαστικά τέμνονται κατά μήκος της χαρακτηριστικής καμπύλης που διέρχεται από το σημείο αυτό. Εναλλακτικά, το σύστημα εξισώσεων που ικανοποιούν οι χαρακτηριστικές καμπύλες μπορεί να πάρει και τη μορφή dx (x, y, u = dy b(x, y, u = du c(x, y, u στην οποία δεν εμφανίζεται η παράμετρος t. Είναι φανερό ότι, σε αντίθεση με τις γραμμικές και ημιγραμμικές ΜΔΕ, δε μπορούν να λυθούν στη γενική περίπτωση οι δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος ανεξάρτητα από την τρίτη. Στην πράξη υπάρχουν μόνο δύο ανεξάρτητες ΣΔΕ στο σύστημα (2.24. Συνεπώς, η λύση του συστήματος αποτελείται από μια διπαραμετρική οικογένεια καμπυλών στο χώρο (x, y, u. Αν μια επιφάνεια S αποτελεί την ένωση χαρακτηριστικών καμπυλών, τότε είναι ολοκληρωτική επιφάνεια της (2.23. Αντίστροφα, κάθε ολοκληρωτική επιφάνεια της (2.23 αποτελείται από χαρακτηριστικές καμπύλες. Η προβολή μιας χαρακτηριστικής καμπύλης στο επίπεδο u = αποτελεί μια χαρακτηριστική βάσης ή απλά χαρακτηριστική της σχεδόν γραμμικής εξίσωσης. Κάθε χαρακτηριστική είναι επίπεδη καμπύλη με κλίση dy b(x, y, u = dx (x, y, u Άρα, στην περίπτωση που οι συντελεστές, b είναι σταθεροί αριθμοί, οι χαρακτηριστικές έχουν σε κάθε σημείο σταθερή κλίση, δηλαδή είναι ευθείες (γεγονός που έχουμε ήδη επιβεβαιώσει σε προηγούμενη παράγραφο. Από το χαρακτηριστικό σύστημα διαπιστώνεται επιπλέον ότι, όταν είναι c(x, y, u =, oι λύσεις είναι σταθερές κατά μήκος των χαρακτηριστικών. Για τον προσδιορισμό της γενικής λύσης μιας σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ αξιοποιείται το ακόλουθο θεώρημα: 27

32 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Θεώρημα 2.1 H γενική λύση της ΜΔΕ (2.23 είναι F (ϕ, ψ = όπου F είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση δύο μεταβλητών και οι ϕ(x, y, u = c 1, ψ(x, y, u = c 2 αποτελούν λύσεις των χαρακτηριστικών εξισώσεων dx = dy b = du c Απόδειξη Αν θεωρήσουμε ότι οι ϕ(x, y, u = c 1, ψ(x, y, u = c 2 ικανοποιούν το σύστημα των χαρακτηριστικών εξισώσεων, λαμβάνοντας υπόψη ότι δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί ότι ισχύει Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι dϕ = ϕ x dx + ϕ y dy + ϕ u du = dψ = ψ x dx + ψ y dy + ψ u du = ϕ x + bϕ y + cϕ u = ψ x + bψ y + cψ u = (ϕ,ψ (y,u = b (ϕ,ψ (u,x = c (ϕ,ψ (x,y (2.25 όπου υπενθυμίζεται ότι οι όροι στους παρανομαστές συμβολίζουν Ιακωβιανές ορίζουσες. Από την άλλη πλευρά, αν θεωρήσουμε ότι f(ϕ, ψ =, όπου f αυθαίρετη συνάρτηση και ϕ = ϕ(x, y, u, ψ = ψ(x, y, u (χωρίς απαραίτητα οι ϕ, ψ να έχουν την ιδιότητα που δεχτήκαμε παραπάνω, τότε με παραγώγιση ως προς x και y παίρνουμε f ϕ (ϕ x + ϕ u u x + f ψ (ψ x + ψ u u x = f ϕ (ϕ y + ϕ u u y + f ψ (ψ y + ψ u u y = Για να έχει το συγκεκριμένο σύστημα μη τετριμμένες λύσεις, θα πρέπει ϕ x + ϕ u u x ψ x + ψ u u x ϕ y + ϕ u u y ψ y + ψ u u y = Αναπτύσσοντας την ορίζουσα, οδηγούμαστε στην εξίσωση (ϕ, ψ (y, u u (ϕ, ψ x + (u, x u (ϕ, ψ y = (x, y (2.26 Αν οι ϕ(x, y, u = c 1, ψ(x, y, u = c 2 είναι και λύσεις του χαρακτηριστικού συστήματος, τότε θα ισχύει η (2.25, η οποία σε συνδυασμό με τη (2.26 οδηγεί στη σχεδόν γραμμική εξίσωση (x, y, uu x + b(x, y, uu y = c(x, y, u 28

33 2.3 H σχεδόν γραμμική ΜΔΕ α τάξης Παράδειγμα 2.7: Θα χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο θεώρημα για να προσδιορίσουμε τη γενική λύση της γραμμική ΜΔΕ xu x + yu y = 2u (2.27 Oι χαρακτηριστικές καμπύλες προκύπτουν από τις εξισώσεις dx x = dy y = du 2u Έχουμε: dx x = dy y ln y = ln x + ln c 1 y = c 2 x y x = c 2 και du 2u = dx x ln u = 2 ln x + ln c 3 u = c 4 x 2 u x 2 = c 4 Άρα η γενική λύση της (2.27 είναι ( y F x, u x 2 = (2.28 ή, ισοδύναμα, u ( y ( y x 2 = f u(x, y = x 2 f x x Παράδειγμα 2.8: Αναζητούμε τώρα τη λύση της ΜΔΕ x(y uu x + y(u xu y = (x yu (2.29 που περιέχει την καμπύλη με την παραμετρική περιγραφή x = s, y = s, u = s Κατά τα γνωστά, θα πρέπει να προσδιοριστούν ολοκληρώματα του συστήματος dx x(y u = dy y(u x = Αξιοποιώντας τις ιδιότητες των αναλογιών, παίρνουμε dx x(y u = dy y(u x = du (x yu du d(x + y + u yu dx + xu dy + xy du = = = d(xyu (x yu Οι όροι με τα μηδενικά στους παρανομαστές ερμηνεύονται ως d(x + y + u dt =, Άρα οι ζητούμενες οικογένειες επιφανειών είναι d(xyu dt = x + y + u = c 1, xyu = c 2 και η γενική λύση είναι xyu = f(x + y + u 29

34 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1. x y 1..5 u 1. Σχήμα 2.6: Η λύση του παραδείγματος 2.8. Με έντονη γραμμή σχεδιάζεται η καμπύλη με τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος. Αντικαθιστώντας τις παραμετρικές περιγραφές της καμπύλης που δόθηκε, παίρνουμε f(s = s 3 Άρα η ζητούμενη ολοκληρωτική επιφάνεια (σχήμα 2.6 είναι η xyu = (x + y + u 3 ( Το προβλημα Cuchy για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ Έστω ότι η σχεδόν γραμμική εξίσωση (2.23 συμπληρώνεται από μια συνθήκη της μορφής u(x (s, y (s = u (s Αυτό σημαίνει ότι αναζητούμε εκείνη την ολοκληρωτική επιφάνεια της σχεδόν γραμμικής εξίσωσης, η οποία περιέχει την καμπύλη x = x (s, y = y (s, u = u (s την οποία συμβολίζουμε με Γ(s. Μέχρι τώρα, για να αντιμετωπίσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα, υπολογίζουμε τη γενική λύση και, στη συνέχεια, προσδιορίζεται εκείνη η λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. Στην ενότητα αυτή, για να βρεθεί απευθείας η ζητούμενη επιφάνεια, αρκεί να προσδιοριστούν οι χαρακτηριστικές καμπύλες που διέρχονται από τα σημεία της Γ(s (σχήμα 2.7. Το πρόβλημα προσδιορισμού της u με δεδομένη τη Γ(s αποτελεί πρόβλημα Cuchy². Συνεπώς, η ζητούμενη λύση μπορεί να προσδιοριστεί από την επίλυση του συστήματος x t = y t = b u t = c ²Ένα πρόβλημα αρχικών τιμών μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική μορφή προβλήματος Cuchy, όπου η μεταβλητή y ερμηνεύεται ως χρόνος, με αποτέλεσμα η καμπύλη Γ(s να έχει την περιγραφή x = x (s, y =, u = u (s. 3

35 χαρακτηριστικές καμπύλες x z 2.4 Το προβλημα Cuchy για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ αρχική καμπύλη y Σχήμα 2.7: Διαδικασία προσδιορισμού της ολοκληρωτικής επιφάνειας στο πρόβλημα Cuchy, με τη βοήθεια της αρχικής καμπύλης. θεωρώντας τις αρχικές συνθήκες x(, s = x (s, y(, s = y (s και u(, s = u (s. Με άλλα λόγια, ερμηνεύουμε το πρόβλημα Cuchy ως ένα πρόβλημα αρχικών τιμών. Όπως φαίνεται, επιλέξαμε την παράμετρο t με τέτοιο τρόπο, ώστε για t = να προκύπτουν σημεία των χαρακτηριστικών καμπυλών που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη Γ(s. Η Γ(s αποτελεί την αρχική καμπύλη. Η διανυσματική συνάρτηση x(t, si + y(t, sj + u(t, sk περιγράφει τη ζητούμενη ολοκληρωτική επιφάνεια³. Η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης ενός προβλήματος Cuchy αποτελεί το αντικείμενο του επόμενου θεωρήματος. Θεώρημα 2.2 Έστω ότι οι συντελεστές της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ (2.23 έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους και ότι η αποτελεί μια λεία αρχική καμπύλη. Αν ισχύει x = x (s y = y (s u = u (s (x (s, y (s, u (sy (s b(x (s, y (s, u (sx (s τότε υπάρχει μία και μοναδική λύση u = u(x, y που ορίζεται σε μια περιοχή της αρχικής καμπύλης και ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u (s = u(x (s, y (s H γεωμετρική ερμηνεία της συνθήκης που εμφανίζεται στο παραπάνω θεώρημα είναι ότι η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος Cuchy εξασφαλίζεται, όταν η προβολή της αρχικής καμπύλης στο επίπεδο u = δεν ταυτίζεται με χαρακτηριστική ή δεν εφάπτεται σε χαρακτηριστικές βάσης. Αν ισχύει (x(s, y(s, u(sy (s b(x(s, y(s, u(sx (s =, τότε υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: το πρόβλημα είτε έχει άπειρες λύσεις (όταν η Γ ταυτίζεται με χαρακτηριστική καμπύλη, είτε δεν έχει καμία λύση. ³Το ότι η συγκεκριμένη περιγραφή αντιστοιχεί σε ολοκληρωτική επιφάνεια επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι οι καμπύλες με εξίσωση s = σταθ. είναι οι χαρακτηριστικές καμπύλες, αφού το εφαπτομενικό διάνυσμα σε οποιοδήποτε σημείο τους είναι x t i + y t j + u t k = i + bj + ck. 31

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du = ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης

Ενότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης Μηχανική των Ρευστών Ενότητα 9: Ασκήσεις Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

MΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (πανεπιστημιακές παραδόσεις)

MΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δ ΑΚΡΙΒΗΣ Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων e-mail: akrivis@csuoigr ΝΙΚΟΛΑΟΣ Δ ΑΛΙΚΑΚΟΣ Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών e-mail: nalikako@mathuoagr MΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (πανεπιστημιακές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος /8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΧΥΣΗ Α ΡΑΝΩΝ ΡΥΠΩΝ ΙΑΧΥΣΗ Α ΡΑΝΩΝ ΡΥΠΩΝ Στην αρχική περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 12: Συνάρτηση Green από ιδιοσυναρτήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την συνάρτηση Green από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα