Πρόλογος Παράγοντες θνησιμότητας (α) γενεαλογικούς πίνακες θνησιμότητας

Transcript

1 Πρόλογος Η θνησιμότητα είναι ένα βιολογικό φαινόμενο με πολλές κοινωνικές και οικονομικές προεκτάσεις. Διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο, την ηλικία, την οικογενειακή κατάσταση, τον τόπο διαμονής, διάφορες επιβλαβείς συνήθειες (κατανάλωση αλκοόλ, κάπνισμα), την διατροφή, τις επικρατούσες συνθήκες ιατροφαρμακευτικής περίθαλψης και την κληρονομικότητα. Η θνησιμότητα είναι ένας από τους τρεις παράγοντες -οι άλλοι δύο είναι η γεννητικότητα και η μετανάστευση- οι οποίοι διαμορφώνουν το μέγεθος και τη σύνθεση κάθε πληθυσμού. Είναι δηλαδή ένα σημαντικό δημογραφικό φαινόμενο το οποίο επηρεάζει την εξέλιξη και τη μορφή του πληθυσμού. Οι μετρήσεις της θνησιμότητας έχουν τεράστιο ενδιαφέρον από την πλευρά της πολιτείας γιατί έτσι γίνονται μακροχρόνια σχέδια για την υγεία, την εργασία και τη κοινωνική ασφάλιση. Οι αλλαγές στα ποσοστά θνησιμότητας στην πάροδο του χρόνου πρέπει να μετρηθούν και να προβλεφθούν με ακρίβεια, προκειμένου να ενημερωθούν διάφοροι επιστημονικοί κλάδοι, όπως για παράδειγμα στον τομέα των ασφαλίσεων ζωής και των συνταξιοδοτικών (ιδιωτικών και κοινωνικών) σχημάτων. Από την αρχή του εικοστού αιώνα, έχουν σημειωθεί σημαντικές πτωτικές τάσεις στα ποσοστά θνησιμότητας, αλλά οι τάσεις αυτές δεν είναι ομοιόμορφες σε όλες της ηλικιακές ομάδες. Η αύξηση του προσδόκιμου ζωής, ιδίως στον ο αιώνα, είναι το αποτέλεσμα μιας σύνθετης σειράς αλλαγών (του βιοτικού επιπέδου, της δημόσιας υγείας της προσωπικής υγιεινής και της ιατρικής περίθαλψης), κάθε ένα εκ των οποίων παίζει είτε σημαντικό είτε δευτερεύοντα ρόλο σε διαφορετικές χρονικούς περιόδους. Παράγοντες θνησιμότητας Η ηλικία του ασφαλισμένου είναι ο σημαντικότερος ίσως παράγων θνησιμότητας. Άλλοι σπουδαίοι παράγοντες που διαφοροποιούν την θνησιμότητα είναι οι εξής : (α) Στατικοί Πίνακες (Sai ables) θνησιμότητας έναντι γενεαλογικών πινάκων(ohor life able) ή πινάκων με προβολή (projeed ables). Δυο τρόποι κατηγοριοποίησης των πινάκων θνησιμότητας είναι να θεωρήσουμε την γενιά (γενεαλογικός πίνακας) και την περίοδο (στατικός πίνακας) του πίνακα θνησιμότητας. Για την κατασκευή ενός πίνακα θνησιμότητας ανά γενιά καταγράφονται τα στοιχεία θνησιμότητας μιας ομάδας ατόμων από την γέννηση του πρώτου έως τον θάνατο του τελευταίου μέλους. Η περίοδος του πίνακα θνησιμότητας εξαρτάται πλήρως από τη τιμή θνησιμότητας που επικρατεί στη περίοδο την οποία αυτό κατασκευάστηκε. Έτσι,η προσδόκιμη ζωή βασίζεται στη περίοδο των πινάκων θνησιμότητας μέσω του αναμενόμενου αριθμού ετών ζωής εάν το άτομο υπόκειται σε ολόκληρη τη ζωή του στην ίδια θνησιμότητα που επικρατεί το παρών έτος, το οποίο σημαίνει ότι ο χρόνος δεν λαμβάνεται υπόψη σαν παράγοντας που επηρεάζει τη θνησιμότητα. Ωστόσο, η κατασκευή των περιόδων των πινάκων θνησιμότητας σε σωστές περιόδους επιτρέπει το παράγοντα χρόνο να επηρεάζει τη θνησιμότητα μετά τον υπολογισμό της προσδόκιμης ζωής με βάση μια «ιδεατή» γενιά. Στην περίπτωση συμβολαίων με ισόβιες ράντες πληρωμών, όπως είναι οι συντάξεις, όπου ο ασφαλιστής πληρώνει τον ασφαλισμένο μέχρι την αποβίωση του, ένας πίνακας θνησιμότητας, όπως τον έχουμε περιγράψει, είναι εις βάρος του ασφαλιστή γιατί δεν παίρνει υπόψη του την εξέλιξη της θνησιμότητας με το πέρασμα των χρόνων (έχει παρατηρηθεί ότι η θνησιμότητα, για τις περισσότερες ηλικίες, φθίνει ιδίως τις τελευταίες δεκαετίες). Ένας στατικός πίνακας θνησιμότητας είναι βασισμένος σε μια χρονική περίοδο και δεν λαμβάνει υπόψη τον παράγοντα χρόνο, ένας σημαντικός παράγοντας ιδίως όταν μιλάμε για ισόβιες ράντες πληρωμών που αποτελούν ένα μεγάλο και αυξανόμενο ποσοστό ασφαλιστικών εργασιών. Έτσι, πολλές εταιρίες ανά τον κόσμο προσανατολίζονται σε πίνακες θνησιμότητας με προβολή, αναγνωρίζοντας τον παράγοντα χρόνο ως ένα σημαντικό παράγοντα σε σχέση με την θνησιμότητα. Αυτού του είδους οι πίνακες θα μπορούσαμε να τους ονομάσουμε γενεαλογικούς πίνακες θνησιμότητας, γιατί εκτιμούν μέτρα θνησιμότητας ακολουθώντας μια ομάδα ατόμων που έχουν γεννηθεί την ίδια χρονιά. Η περίοδος του πίνακα θνησιμότητας είναι το πιο αποτελεσματικό μέσο ανάλυσης της θνησιμότητας και επιβίωσης του πληθυσμού. Αυτό είναι ακόμα ένα χρήσιμο εργαλείο για τη σύγκριση των στοιχείων της θνησιμότητας.

2 (β) Πίνακες θνησιμότητας καπνιστών έναντι μη καπνιστών. Ξεχωριστοί πίνακες θνησιμότητας χρησιμοποιούνται σε πολλές χώρες (ΗΠΑ, Αγγλία) για καπνιστές και μη καπνιστές, σε αναγνώριση της διαφοράς που υπάρχει μεταξύ αυτών, όσον αφορά την θνησιμότητα. Ένα παράδειγμα είναι ο παρακάτω πίνακας. Πίνακας Σχέση καπνίσματος με θνησιμότητα (πηγή: Linoln Εθνική Αντασφαλιστική) Προσδόκιμη ζωή σε έτη Κατανάλωση τσιγάρων ανά μέρα 78,7 Κανένα 76, Πρώην καπνιστής 7, < 5 69, , ,9 > 35 γ) Το φύλο : Αναλογιστικές μελέτες έχουν δείξει ότι οι γυναίκες παρουσιάζουν μεγαλύτερο δείκτη νοσηρότητας από τους άνδρες αλλά παρουσιάζουν μια αισθητά χαμηλότερη θνησιμότητα και αυτό για κάθε ηλικία. δ) Η υγιεινή κατάσταση του υποψήφιου ασφαλισμένου : ελέγχεται με σειρά υγειονομικών εξετάσεων (Medial), που κλιμακώνονται ανάλογα με την ηλικία και το ασφαλισμένο κεφάλαιο, είτε σε περιπτώσεις καλυπτόμενων κεφαλαίων μικρού ύψους και ατόμων μικρής ηλικίας με δήλωση καλής υγείας και μόνο (Non-Medial). ε) Τρόπος διαβίωσης : που μπορεί να αναφέρεται σε περιοχές που παρουσιάζουν αυξημένους κινδύνους ή στο επάγγελμα και στις διάφορες ενασχολήσεις χόμπι (π.χ. κασκαντέρ, δύτες, ανθρακωρύχοι, αξιωματικοί κ.λ.π.) καθώς επίσης ο χαρακτήρας και οι συνήθειες (ριψοκίνδυνος, υπερβολική χρήση οινοπνεύματος και καπνού, χρήση ναρκωτικών κ.λ.π.). Στην ασφαλιστική πρακτική, η στάση του ασφαλιστή για βεβαρημένους ή επαχθείς κινδύνους αντιμετωπίζεται με επιβάρυνση του ασφαλίστρου, και το επιπλέον εισπραττόμενο ασφάλιστρο ονομάζεται επασφάλιστρο (era premium). Το πρόβλημα με τους επαχθείς κινδύνους είναι να προσδιοριστεί σωστά η έκταση του επιπλέον κινδύνου. Συναρτήσεις Θνησιμότητας Έστω η μεταβλητή να δηλώνει την ηλικία ενός ατόμου. Θεωρητικά, η μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Στην πράξη όμως θεωρούμε ότι η μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από μηδέν μέχρι το ανώτατο όριο ζωής, που το συμβολίζουμε με ω, και ονομάζεται έσχατη ή οριακή ηλικία (he limiing age) και παριστάνει την ηλικία στην οποία θεωρούμε ότι ο θάνατος είναι σίγουρο γεγονός. Συνήθως στην αναλογιστική πρακτική θεωρούμε ότι ω ή ω. Επίσης, ως () θα συμβολίζουμε ένα άτομο που έχει ηλικία με ετικέτα (label). Έστω Τ η συνεχής (μη αρνητική) τυχαία μεταβλητή να δηλώνει την διάρκεια ζωής ενός ατόμου (lifeime) ή την μελλοντική ζωή ενός νεογέννητου ή ισοδύναμα να εκφράζει την ανθρώπινη ηλικία στον θάνατο (age a deah). Έτσι, η Τ έχει σύνολο τιμών R [, ] ή στην πράξη η Τ έχει σύνολο τιμών R [, ω]. Μπορούμε τώρα ως να ορίσουμε την συνεχή (μη αρνητική) τυχαία μεταβλητή να δηλώνει την απομένουσα (residual of life) ή μελλοντική ζωή (fuure lifeime) του () ή ισοδύναμα να δηλώνει τον χρόνο που απομένει μέχρι το θάνατο του (). Για έχουμε τη τυχαία μεταβλητή. Έτσι, μπορούμε να δηλώσουμε ως > με σύνολο τιμών R Τ [, ] ή στην πράξη η έχει σύνολο τιμών [, -ω]. R Τ

3 Επίσης, μπορούμε ως K να ορίσουμε τον ακέραιο αριθμός ετών που θα ζήσει ο (). Τα ακέραια χρόνια απομένουσας ζωής (urae fuure lifeime) είναι μια διακριτή (μη αρνητική) τυχαία μεταβλητή και διαφέρει από την κατά το ότι η K αγνοεί οποιοδήποτε κλάσμα έτους ζήσει πριν από το θάνατο ο (). Έτσι, έχουμε ότι K [Τ χ ] και K + S όπου η διακριτή τυχαία μεταβλητή K παίρνει ακέραιες τιμές από το σύνολο {,,,,ω--} και η συνεχής τυχαία μεταβλητή S παίρνει τιμές στο διάστημα [,), δηλαδή S <, και η S αντιπροσωπεύει το κλάσμα έτους που ζει o () κατά τη χρονιά του θανάτου του. Ορίζουμε την συνάρτηση επιβίωσης της διάρκειας ζωής (Survival disribuion funion) Τ ως S ( ): P( > ) ω, όπου S ( ) να δηλώνει την πιθανότητα ένα νεογέννητο να επιβιώσει πέρα από την ηλικία, είτε ισοδύναμα να δηλώνει την αναμενόμενη αναλογία των μελών ενός πληθυσμού νεογέννητων που επιβιώνουν πέραν της ηλικίας. Παρατηρούμε ότι η S ( ) είναι φθίνουσα συνάρτηση καθώς το αυξάνει, καθώς και ότι η συνάρτηση S ( ) είναι συνεχής συνάρτηση της. Επίσης γνωρίζουμε, εκ των προτέρων, δύο τιμές της συνάρτησης αυτής. Ισχύει ότι S () και S ( ω ). Το διάγραμμα της συνάρτησης επιβίωσης ως προς το χρόνο είναι γνωστό ως καμπύλη επιβίωσης (survival urve). Γράφημα.. : Καμπύλη Επιβίωσης πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος ,,8 S(),6,4,, Μπορούμε τώρα να ορίσουμε την συνάρτηση κατανομής της διάρκειας ζωής (Lifeime disribuion funion or failure disribuion) (της τυχαίας μεταβλητής Τ ) ως F ( ): P( ) ω να δηλώνει την πιθανότητα ένα νεογέννητο να αποβιώσει έως την ηλικία. Ισχύει ότι F () P( ) P( ), F ( ω) P( ω) καθώς και ότι S ( ) F ( ). Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας της διάρκειας ζωής (Lifeime probabiliy densiy funion) (της τυχαίας μεταβλητής Τ) ορίζεται ως d F( + d) F( ) P( < + d) f( ) F( ) lim lim ω, d d d d d με f( ) d F( + d) F( ) P ( < + d) να δηλώνει την πιθανότητα ότι ο θάνατος ενός νεογέννητου θα συμβεί στο απειροελάχιστο χρονικό-ηλικιακό διάστημα (, +d). Από τη θεωρία των πιθανοτήτων είναι γνωστό ότι το γινόμενο f( ) d df( ) δηλώνει την γνωστή απειροστή πιθανότητα ή την στοιχειώδη πιθανότητα που στην περίπτωση της ανάλυσης επιβίωσης δίνει τη μη δεσμευμένη πιθανότητα η αποτυχία, δηλαδή εδώ ο θάνατος, να συμβεί στο απειροστό διάστημα (, df ( ) +d) και η f ( ) μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί τον στιγμιαίο ρυθμό θανάτων, γι αυτό d και το διάγραμμα της συνάρτησης πυκνότητας διάρκειας ζωής f ( είναι γνωστό και ως καμπύλη θανάτων. )

4 Γράφημα.. : Καμπύλη Θανάτων πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος ,5,4 f(),3,, Ανάλογες ιδιότητες από την θεωρία πιθανοτήτων ισχύουν F( ) f ( ) u du και S( ) f( u) du Επίσης, η πιθανότητα ότι ένα νεογέννητο θα αποβιώσει μεταξύ ηλικιών και είναι P f u du F F S S < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και η δεσμευμένη πιθανότητα ότι ένα νεογέννητο θα αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών και, δεδομένου επιβίωσης στην ηλικία, είναι F( ) F( ) S( ) S( ) P ( / > ) < F ( ) S ( ) ω Έστω τώρα, d ένα πολύ μικρό διάστημα ζωής-τιμών της συνεχής τυχαίας μεταβλητής Τ. Τότε η πιθανότητα η Τ να πάρει τιμές στο διάστημα (, +d), ή ισοδύναμα, η πιθανότητα το ενδεχόμενο του θανάτου να εμφανιστεί στο διάστημα (, +d), είναι P ( + d) και μπορεί να υπολογιστεί όταν είναι γνωστή η συνάρτηση πυκνότητας διάρκειας ζωής ή η συνάρτηση κατανομής ή η συνάρτηση + d επιβίωσης : P( < + d) f () u du F ( + d) F () S () S ( + d). Αν υποθέσουμε ότι το άτομο έχει επιβιώσει (βρίσκεται εν ζωή) σε ηλικία ακριβώς τότε η πιθανότητα το ενδεχόμενο του θανάτου να εμφανιστεί στο διάστημα (, +d) αντιστοιχεί στη δεσμευμένη P ( < + d) F( + d) F() f() d πιθανότητα P ( < + d / > ). P ( > ) F( ) F ( ) Διαιρώντας τη παραπάνω δεσμευμένη πιθανότητα με το μήκος του διαστήματος (, +d), δηλαδή με P ( < + d / > ) το d παίρνουμε τον ρυθμό. Αν στη συνέχεια πάρουμε το όριο του d παραπάνω ρυθμού, καθώς το μήκος του διαστήματος d τείνει στο μηδέν, τότε ορίζουμε την συνάρτηση κινδύνου (hazard funion) ή συνάρτηση διακινδύνευσης. Έτσι, ορίζουμε ως συνάρτηση κινδύνου της διάρκειας ζωής Τ, και συμβολίζεται με h ( ) το όριο: P ( < + d / > ) h ( ) lim. Στην αναλογιστική επιστήμη, την συνάρτηση d d κινδύνου την ονομάζουμε ένταση ή ισχύς θνησιμότητας (fore of moraliy), για άτομα ηλικίας ακριβώς, και την συμβολίζουμε ως h ( ) μ ( ) μ. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι P ( < + d) df( ) F( + d) F( ) μ lim. Επειδή όμως f ( ) lim d P ( > ) d d d d P ( < + d) lim καταλήγουμε ότι d d μ f( ) f( ) P ( > ) S ( ). Δηλαδή μ d S ( ) d S ( ) ή

5 d μ ns ( ( )) και ολοκληρώνοντας έχουμε ότι μu du S ( ) e. Παρατηρούμε ότι η ένταση d f( ) f( ) θνησιμότητας μ έχει ερμηνεία δεσμευμένης μάζας πιθανότητας. Για κάθε F( ) S ( ) ηλικία, η ένταση θνησιμότητας δίνει την τιμή της δεσμευμένης μάζας πιθανότητας της διάρκειας ζωής στην ακριβή ηλικία, δεδομένου επιβίωσης ως την ηλικία αυτή, και έτσι το γινόμενο μ d δηλώνει την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας ακριβώς (δηλαδή άτομο που έχει ζήσει ως την ηλικία ) θα αποβιώσει αμέσως μετά στο διάστημα d, δηλαδή μεταξύ των ηλικιών (, +d). Η συνάρτηση κινδύνου είναι ρυθμός και όχι πιθανότητα για αυτό μπορεί και να πάρει τιμές μεγαλύτερες της μονάδας. Γράφημα..3 : Ισχύς Θνησιμότητας, σε λογαριθμική κλίμακα, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος , Ln(μ ),,, Η συσωρευτική συνάρτηση κινδύνου (Cumulaive hazard funion) ορίζεται ως ( ) Λ ( ) μu du lns ( ) ή S ( ) e Λ Ορίζουμε ως δεσμευμένη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής (Condiional Lifeime Survival Funion) την πιθανότητα επιβίωσης έως ένα χρονικό σημείο, έστω +, δοθέντος ότι υπάρχει επιβίωση έως ένα χρονικό σημείο που προηγείται, έστω, (π.χ. δοθέντος ότι ένα άτομο έχει επιβιώσει στην ηλικία των 4 ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσει ως την ηλικία των 7 ετών). Οι τιμές της συνάρτησης αυτής είναι προφανώς πιθανότητες (ή ισοδύναμα μπορεί να ερμηνευτεί ως η αναμενόμενη αναλογία των μελών ενός πληθυσμού ατόμων οι οποίοι θα επιβιώσουν έως την ηλικία, έστω +, δοθέντος ότι επιβιώνουν στην ηλικία ). Στην αναλογιστική επιστήμη την δεσμευμένη πιθανότητα αυτή ή την δεσμευμένη συνάρτηση επιβίωσης τη συμβολίζουμε ως p που ερμηνεύεται ως η πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα επιβιώσει χρόνια. Οι πιθανότητες p έχουν να κάνουν με κατανομές ενός υποσυνόλου του δειγματικού χώρου της τυχαίας μεταβλητής Τ, έτσι ώστε οι τιμές της Τ να είναι μεγαλύτερες του. Τέτοιου είδους κατανομές ονομάζονται περικομμένες κατανομές της Τ κάτωθεν της (runaed below ). Ισοδύναμα, ως δεσμευμένη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής Τ) ή ως περικομμένη συνάρτηση επιβίωσης της Τ κάτωθεν της μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση επιβίωσης απομένουσας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής ) ως p S () P( ) > ω δηλαδή την πιθανότητα άτομο ηλικίας να επιβιώσει τουλάχιστον χρόνια. Φυσικά S () και S ( ω ). Σύμφωνα με τον ορισμό της απομένουσας ζωής ( > ) έχουμε ότι

6 P ( > + ) S ( + ) S () P( ) ( / ) > P > + > ή ισοδύναμα P ( > ) S ( ) μu du S ( + ) p S (). Επίσης, από την σχέση S ( ) e καταλήγουμε ότι S ( ) p S ( n) n S ( + n) e S ( ) e + n μu du μu du + n μu Αντίστοιχα μπορούμε να ορίσουμε και τη δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής (Condiional Lifeime Disribuion Funion), συμβολίζεται ως q, δηλαδή την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα πεθάνει μέσα σε χρόνια (θα πεθάνει πριν φτάσει στην ηλικία +) ή η περικομμένη συνάρτηση κατανομής της Τ κάτωθεν του. Ισοδύναμα, ως δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής Τ) ή ως περικομμένη συνάρτηση κατανομής της Τ κάτωθεν της μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση κατανομής απομένουσας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής P ( < + ) F( + ) F( ) ): q F () P( ) ( ) < P < + > να P ( > ) F ( ) δηλώνει την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα αποβιώσει μέσα σε έτη ( ω ). Φυσικά S( ) S( + ) F () και F ( ω ). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι q. Προφανώς q S ( ) δηλώνει την πιθανότητα άτομο ηλικίας θα αποβιώσει μέσα στο επόμενο έτος ζωής. Επίσης, ισχύει q + p. Μια άλλη χρήσιμη δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας ορίζεται αν συμβολίσουμε με m/ nq την πιθανότητα άτομο ηλικίας να ζήσει m χρόνια αλλά να αποβιώσει στα επόμενα n χρόνια, ή ισοδύναμα άτομο ηλικίας να πεθάνει μεταξύ των ηλικιών +m και +m+n. Έτσι, έχουμε ότι m/ nq mp nq + m m + nq mq mp m+ np. Στην ειδική περίπτωση όπου n, συμβολίζουμε ως m/ q να δηλώνει την πιθανότητα άτομο ηλικίας θα ζήσει m χρόνια αλλά θα αποβιώσει στο επόμενο έτος δηλαδή μεταξύ των ηλικιών +m και +m+. Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας απομένουσας ζωής (Condiional Lifeime Densiy Funion) (της τυχαίας μεταβλητής ) ή η περικομμένη κάτωθεν του συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας d F( + ) F( ) μεταβλητής Τ ορίζεται ως f () F () και από την σχέση F () d έχουμε F ( ) d F( + ) F ( ) f ( + ) S ( + ) f () ω. Λόγω της σχέσης S ( ), d S ( ) S ( ) S () X f ( + ) f ( + ) ( ) παίρνουμε f () S () S ( ) και από την σχέση S ( + ) μ f S ( ) καταλήγουμε ότι f () p μ + ω, όπου μ + η ένταση θνησιμότητας στην ηλικία +. Επίσης, f () d ( p) d d μ + μ + ln( p). p p d e du

7 Παρατηρούμε ότι h P ( / ) () + d > f p μ+ () lim μ+ καθώς και ότι d d S () p P ( d/ > + ) h ( + ) lim μ +, >. Δηλαδή, η συνάρτηση κινδύνου d d h () της απομένουσας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής ) στο σημείο ισούται με την συνάρτηση κινδύνου της διάρκειας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής Τ) στο σημείο + ή ισοδύναμα ισχύει ότι μ () μ ( ) + μ +. Έτσι, η ένταση θνησιμότητας ενός νεογέννητου ατόμου στην ηλικία +, με χρόνο ζωής όπως περιγράφεται από την τυχαία μεταβλητή Τ, ταυτίζεται με την ένταση θνησιμότητας ατόμου ηλικίας στην ηλικία +, με χρόνο ζωής όπως περιγράφεται από την τυχαία μεταβλητή και συνεπώς και στις δύο αυτές περιπτώσεις θα την συμβολίζουμε ως μ +. Αυτή η δίχως μνήμη ιδιότητα της έντασης θνησιμότητας δεν ισχύει σε περιπτώσεις όπου υπάρχει αρχική επιλογή (iniial seleion) σε κάποιο καθεστώς με διαφορετική θνησιμότητα. Η έννοια της αρχικής επιλογής αναλύεται σε επόμενη ενότητα. Επίσης από τον ορισμό της συνάρτησης κατανομής απομένουσας ζωής έχουμε ότι () ( ) ( ) μ + q F P < < f d p d διαισθητικά ως εξής : γνωρίζουμε ότι. Η σχέση αυτή μπορεί να συναχθεί και q είναι η πιθανότητα άτομο ηλικίας να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας και +. Αν θεωρήσουμε ότι ο χρόνος αυτός ζωής αποτελείται από μια σειρά στοιχειωδών χρονικών διαστημάτων μήκους d και ότι αν το άτομο αποβιώσει μεταξύ και + τότε το γεγονός αυτό πρέπει να συμβεί μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, έστω στο στοιχειώδης διάστημα (+, ++d). Η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων : (πιθανότητα άτομο ηλικίας να επιβιώσει ως την ηλικία +)* (πιθανότητα άτομο ηλικίας + να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας + και ++d) Η δεύτερη πιθανότητα, όπως έχουμε δει, είναι η ένταση θνησιμότητας, δηλαδή πολλαπλασιασμένο με το d, δηλαδή μ + d. Έτσι, η πιθανότητα άτομο ηλικίας να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας + και ++d είναι p μ + d και η πιθανότητα ότι ο θάνατος θα συμβεί μεταξύ της ηλικίας και + είναι Ανάλογα μπορούμε να δείξουμε ότι m/ nq p μ +. lim p μ+ d p μ+ d ολων _ των _ στοιχειωδων _ χρονικων _ διαστηματων _ απο ως _ m+ n d m Στις περιπτώσεις όπου τα δεδομένα δεν είναι πλήρη για όλες τις ηλικίες, τότε κατάλληλα μοντέλα σε αυτές τις περιπτώσεις συχνά απαιτούν την χρήση των περικομμένων κατανομών κάτωθεν (below) και άνωθεν (above). Δηλαδή υποθέτουμε ότι παρατηρούμε τιμές μίας τυχαίας μεταβλητής έστω Χ μόνο στο διάστημα (a,b). Τότε, η περικομμένη συνάρτηση κατανομής είναι a FX( ) FX( a) FX ( a< X < b) α < b FX( b) FX( a) > b η περικομμένη συνάρτηση επιβίωσης είναι μ + d.

8 a SX( ) SX( b) SX ( a< X < b) α < b SX( a) SX( b) > b η περικομμένη συνάρτηση πυκνότητας είναι fx ( ) a< b fx ( a< X < b) FX( b) FX( a) αλλου και η περικομμένη συνάρτηση κινδύνου είναι fx( a< X < b) fx( ) hx ( a< X < b) S ( a< X < b) S ( ) S ( b) X Παρατηρούμε ότι η περικομμένη συνάρτηση κινδύνου εξαρτάται μόνο από το b, το άνωθεν σημείο και όχι από το α, το κάτωθεν σημείο. Έτσι, αν η κατανομή είναι περικομμένη μόνο κάτωθεν τότε η fx( a< X) fx( ) συνάρτηση κινδύνου δεν αλλάζει εφόσον hx( a< X) hx( ) και S ( a< X) S ( ) S ( b ) αν θέσουμε b. X X X X X Η συνάρτηση πιθανότητας της ακεραίας απομένουσας ζωής τυχαίας μεταβλητής K ορίζεται ως pk ( ) P( K ) ( ) P < + κ p q + pk ( ) κ q για κ,,,,ω-- Η συνάρτηση κατανομής της ακεραίας απομένουσας ζωής της τυχαία μεταβλητής K ορίζεται ως F ( ) P( K ) q K i i K ( ) F q για κ,,,,ω-- + Η προσδόκιμη ζωή (Epeaion of life), ατόμου ηλικίας, είναι η μαθηματική ελπίδα της απομένουσας ζωής, ατόμου ηλικίας, δηλαδή ο αναμενόμενος μελλοντικός χρόνος (mean residual life) μέχρι το θάνατο του (). Συμβολίζεται με e και έχουμε ότι ω ω f () p Τ e E( ) f ( ) d p μ+ d. Αλλά μ + p p p p μ +, έτσι μπορούμε να καταλήξουμε ότι ω ω ω ω e ( p) d [ p] + p d e p d Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να ερμηνευτεί διαισθητικά ως εξής : η πιθανότητα ότι η στοιχειώδης χρονική περίοδος από την διάρκεια έως την διάρκεια +d (μήκους d) θα προστεθεί στο χρόνο ζωής του () είναι p (η πιθανότητα επιβίωσης στη διάρκεια ). Τότε ο συνολικός αναμενόμενος μελλοντικός χρόνος ζωής ατόμου ηλικίας είναι μέσος αριθμός ετών που αναμένεται να ζήσει άτομο ηλικίας είναι ηλικία στον θάνατο ατόμων ηλικίας είναι + e. ω p d ω. Δηλαδή, e. Έτσι, ο p d e, οπότε η αναμενόμενη μέση

9 Γράφημα : Προσδόκιμη ζωή για κάθε ηλικία, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος Γράφημα : Μέση ηλικία στον θάνατο για κάθε ηλικία, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος , 5,, 95, 9, 85, 8, 75, Η αναμενόμενη μέση τιμή της διάρκειας ζωής, δηλαδή ή τιμή, γνωστή στη διεθνής βιβλιογραφία, και με τους όρους Μέσος Όρος Ζωής (Average Life), Μέση Ζωή (mean life), Μέσος Χρόνος Επιβίωσης (mean survival ime), Αναμενόμενη Ζωή (epeed life) ή Μέση Ζωή (life epeany), και Πλήρης Μέση (ή αναμενόμενη) Ζωή είναι ένα μέτρο κεντρικής τάσης των τιμών της διάρκειας ζωής ή ο μέσος όρος της κατανομής της διάρκειας ζωής. Οι τιμές της αναμενόμενης ζωής εκφράζονται στις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις οποίες εκφράζονται και οι τιμές της μεταβλητής της διάρκειας ζωής και ερμηνεύονται με τον ίδιο τρόπο που ερμηνεύονται οι τιμές της αναμενόμενης μέσης τιμής κάθε τυχαίας μεταβλητής. Η διασπορά της απομένουσας ζωής είναι Var( ) E( ) ( E( )) p μ d e. e ω + Από την ιδιότητα EgX ( ( )) g() g ( ) [ FX ( )] d, όπου Χ μια μη αρνητική συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F X ( ) και g(.) μια πραγματική συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε ροπές της εφόσον η παραπάνω σχέση για g( X) X n μας δίνει + ( n n EX) n [ FX ( )] d και έτσι αν θέσουμε όπου g ( ) καταλήγουμε ότι ω E ( ) p d. Οπότε Var( ) p d e ω H διάμεση τιμή της απομένουσας ζωής (median of fuure lifeime) ορίζεται εκείνη η τιμή, έστω m, της, που ικανοποιεί τη σχέση P ( > ),5 ή ισοδύναμα m S( m + ) S ( ) ( ) ( ),5 m P > m P > m + > S ( )

10 Η διάμεση τιμή της διάρκειας ζωής, δηλαδή η τιμή m, της, που ικανοποιεί τη σχέση P ( > m ),5, γνωστή και ως διάμεση ζωή ή διάμεση μελλοντική ζωή, αντιστοιχεί σε εκείνη την τιμή της πέραν της οποίας επιβιώνει ο μισός πληθυσμός. Ως εφαρμογή, αν S (5),5 τότε m 5 και συμπεραίνουμε ότι ο μισός πληθυσμός ηλικίας ετών θα επιβιώσει πέρα των 7 ετών. Ομοίως μπορούμε να ορίσουμε τιμές διαφόρων ποσοστιαίων σημείων. Γενικά το ρ ποσοστιαίο σημείο της απομένουσας ζωής, όπου p, είναι εκείνη η τιμή της και την συμβολίζουμε S( p + ) συνήθως με p, που ικανοποιεί τη σχέση S ( ) ( ) p P > p p p και S ( ) ερμηνεύεται ως τιμή της απομένουσας ζωής όπου υπάρχει πιθανότητα p % να επιβιώσει ο (). Ως εφαρμογή, αν S τότε 3, μας δίνει το 8οστό ποσοστιαίο σημείο, (ή 8 η (3),8,8 ποσοστιαία τιμή), και ερμηνεύεται ότι υπάρχει πιθανότητα 8% άτομο ηλικίας να επιβιώσει πέρα από την ηλικία των 5 ετών. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε και την επικρατούσα τιμή της απομένουσας ζωής (mode of fuure lifeime) ως την τιμή του τέτοια ώστε η τιμή f ( ) p μ+ να είναι μέγιστη. Η τιμή αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως η ηλικία (+ ) τέτοια ώστε η πιθανότητα άτομο ηλικίας () να αποβιώσει να είναι η μέγιστη. Ανάλογα, μπορούμε να ορίσουμε και την ακέραια προσδόκιμη ζωή (Curae epeaion of life), ατόμου ηλικίας, που είναι η μαθηματική ελπίδα της ακεραίας απομένουσας ζωής K, ατόμου ηλικίας δηλαδή τα αναμενόμενα μελλοντικά γενέθλια, ατόμου ηλικίας. Συμβολίζεται με e και έχουμε ω ω e E( K) κ κ p q+ κ e κ p. Η σχέση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί πιο άμεσα ως κ εξής : η πιθανότητα ότι η χρονιά από την ηλικία +κ έως την ηλικία +κ+ προστίθεται στο χρόνο ζωής που ατόμου ηλικίας είναι κ + p (δηλαδή η πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας επιβιώνει στην ηλικία +κ+). Τότε ο συνολικός ακέραιος αναμενόμενος μελλοντικός χρόνος ζωής, ατόμου ηλικίας ω ω p. θα είναι e p κ κ+ κ κ Μια χρήσιμη αναδρομική χρήσιμη σχέση της ακεραίας προσδόκιμης ζωής είναι η e E( K) P( ) E( K ) + P( < ) E( K < ) p ( + e+ ) + q e p ( + e + ).

11 Γράφημα: Ακέραια προσδόκιμη ζωή για κάθε ηλικία, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος ω Var( K ) κ κ q e κ ω ω ω ω κ κ q κ κ p κ+ p κ κ p ( κ ) κ p κ κ κ κ ω Var ( K ) κ κ p e e. κ Η διασπορά της ακέραιης απομένουσας ζωής K γίνεται αναλυτικά ( ) ω κ (κ ) κ p. Άρα καταλήγουμε ότι. Πιο Ισοδύναμα, από την ιδιότητα EgX ( ( )) g() + [ g ( + ) g ( )] [ F( )], όπου Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με σύνολο τιμών R X {,,,...} και με συνάρτηση κατανομής F X ( ), και αν g(.) μια πραγματική συνάρτηση, τότε μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε ροπές της K n n n n εφόσον η παραπάνω σχέση για g( X) X μας δίνει EX ( ) [( + ) ] [ F X ( )] και έτσι αν θέσουμε όπου Συχνά μας ενδιαφέρει η e e E S X K, για n παίρνουμε την E( K ) και για n την σχέση μεταξύ e και e. Εφόσον X K +S E K. ( ) έχουμε ότι + ( ). Σε περίπτωση αναλυτικής συνάρτησης επιβίωσης είναι δυνατός ο υπολογισμός και των δύο μαθηματικών ελπίδων e και e, επομένως και της ES ( ). Σε περίπτωση όμως της εμπειρικής κατανομής όπου τα μόνα γνωστά είναι οι τιμές των κ p για τιμές των κ (που μπορεί να επάγεται και ένας πίνακας θνησιμότητας όπως θα εξετάσουμε αργότερα) είναι δυνατός μόνο ο υπολογισμός της e και προκειμένου να βρεθεί η e απαιτείται ο υπολογισμός της ES ( ). Για να επιτευχθεί αυτό χρειάζεται κάποια υπόθεση για την κατανομή της S. Η συνηθέστερη υπόθεση είναι ότι η τυχαία μεταβλητή S ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο (,), δηλαδή ότι η S (,). Οπότε ES ( ) και Var ( S ). Συνεπώς, κάτω από την υπόθεση της ομοιόμορφης κατανομής για την τυχαία μεταβλητή S παίρνουμε ότι e e +. Επιπλέον, αν υποθέσουμε ανεξαρτησία μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών K και S έχουμε Var( ) Var( K ) + Var( ) S

12 Var( ) p e e +. ω χ κ κ κ Παράδειγμα Υποθέστε ότι το διπλάσια ένταση θνησιμότητας Λύση Γνωρίζουμε ότι q συνδέεται με την ένταση θνησιμότητας μ. Ποια είναι η σχέση μεταξύ μ+ d p e μ+ d μ+ d. Επομένως q p e ( e ) p ( q ). μ, και ότι το q και q '? q ' συνδέεται με την Παράδειγμα Για την ακόλουθη συνάρτηση επιβίωσης: S Τ (), να βρεθούν τα F Τ (), f Τ (), μ, S Τ ( ) ω, FΤ (), f Τ (), p, q, μ +. Λύση d f Τ () S Τ () FΤ (), fτ() FΤ(), ω μ, ω ω d ω S () Τ ω ω + SΤ () ( + ) S ω ω Τ, FΤ () S () F () Τ Τ, S ( ) Τ ω ω ω d fτ () F () Τ d ω, ( ) p SΤ, ( ) ωω Τ q F ω,. fτ ( ) f ( ) μ μ ω Τ + + p p ω ω ω Παράδειγμα Άτομο ηλικίας (4) υπόκειται σε έναν επιπλέον κίνδυνο θνησιμότητας για το επόμενο έτος μόνο. Αν υποθέσουμε ότι ο επιπλέον κίνδυνος μπορεί να εκφραστεί προσθέτοντας την συνάρτηση.3(-) την κανονική ένταση θνησιμότητας, για αυτό το έτος μόνο, ποια είναι η πιθανότητα επιβίωσής του στο έτος αυτό; Λύση ' Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα p 4. Εφόσον ο επιπλέον κίνδυνος (era ris) προστίθεται ' στην ισχύ θνησιμότητας γι αυτό το χρόνο, τότε θα έχουμε ένα νέο μ 4 + :

13 μ + u ' μ 4+ μ ( ) du όπου. Γνωρίζουμε ότι p e. Επομένως ' 4 ' μ 4 + d ( μ ( )) d p e e.5 p 4 e p μ 4 + d.3 ( ) d e e Παράδειγμα Η p p μ + δείχνει τη μεταβολή της πιθανότητας επιβίωσης για συγκεκριμένη ηλικία καθώς το χρονικό διάστημα αυξάνει. Η p δείχνει πώς μεταβάλλεται η πιθανότητα επιβίωσης επί συγκεκριμένο χρονικό διάστημα όταν μεταβάλλεται η αρχική ηλικία. Να δειχθεί ότι p p ( μ μ + ). Βλέπουμε ότι, όπως είναι φυσικό, για κάθε η p είναι φθίνουσα συνάρτηση του και για κάθε η p είναι φθίνουσα συνάρτηση του. Να δειχθεί ότι p p είναι ανεξάρτητο του και ίσο με μ. p Λύση Ισχύει ότι + + u du u du p e μ e μ + { μu du} p ( μ μ ) +. p p ( ) Τώρα, p μ μ + + p μ + μ. p p Παράδειγμα Θεωρούμε δύο ανεξάρτητες ως προς τη θνησιμότητα ζωές, όπου ο ένας είναι καπνιστής και ο άλλος όχι. Δεδομένου ότι: μ είναι η ισχύς θνησιμότητας για τον μη- καπνιστή, για ω, και * μ είναι η ισχύς θνησιμότητας για τον καπνιστή, για ω, όπου μια σταθερά : >. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι η προσδοκώμενη ζωή του καπνιστή είναι μεγαλύτερη από του μη- καπνιστή, δηλαδή sm την P ( ) ( ) ( ) >. Δίνεται ότι P X > Y f, y d dy. y Λύση Έστω ότι: p είναι η πιθανότητα επιβίωσης του μη- καπνιστή, είναι η απομένουσα ζωή του μηsm sm καπνιστή, p είναι η πιθανότητα επιβίωσης του καπνιστή και είναι η απομένουσα ζωή του καπνιστή. Τότε μs + ds μs + ds μs + ds sm sm ( ) ) p P ( > ) e e e p P >. Άρα sm p p. Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα ω ω sm sm sm [ ] P( > ) P( > ) f ( ) d p f ( ) d (

14 ω d d p p d [ p] ω Παράδειγμα Αν η συνάρτηση πυκνότητας της διάρκειας ζωής δίνεται από τον τύπο : f () e για, > υπολογίστε την E ( ), Var ( ), την διάμεσο της και την κορυφή της κατανομής της. Λύση o e E[ ] e d. E [ ] e d Var[ ] E[ ] E[ ]. Για την διάμεσο έχουμε median( ) m, τέτοιο ώστε m m m e d,5 e +,5 ln e ln m ln ln ln m median( ). Για την κορυφή έχουμε mod e( ) ', έτσι ώστε f, (') > f () 3 f ' e <, f '' e,. Άρα mod ( ) () () e, με f (). Εδώ έχουμε τα εξής. 3 Πίνακες Θνησιμότητας (Moraliy ables) Ένας πίνακας θνησιμότητας είναι μια στατιστική αναλογιστική μέθοδος για να εκφράσουμε συνοπτικά τις πιθανότητες επιβίωσης (ή αποβίωσης) καθώς επίσης για να περιγράψουμε τον υπολειπόμενο χρόνο ζωής μιας ομάδας ανθρώπων. Στην αναλογιστική πρακτική ο πίνακας θνησιμότητας ή ισοδύναμα ένας πίνακας ζωής (life able) κατασκευάζεται αφού εκτιμηθούν πρώτα οι δεσμευμένες πιθανότητες q, για ακέραιες ηλικίες αρχίζοντας από μια συγκεκριμένη ελάχιστη ηλικία (συνήθως από την ηλικία ), με συνέπεια ένας πίνακας ζωής να ορίζει πλήρως την κατανομή της K. Οι πιθανότητες αυτές διακρίνονται για κάθε ακέραια ηλικία. Ο πίνακας θνησιμότητας αποτελεί μια στατιστική τεχνική για την παρουσίαση και τη σύνοψη των στοιχείων θνησιμότητας ενός πληθυσμού σε μια φόρμα που επιτρέπει απαντήσεις σε ερωτήματα όπως : ποια είναι η πιθανότητα ένας άντρας ηλικίας να επιβιώσει (ή αποβιώσει) μέχρι την ηλικία y ; ή ποιος είναι ο μέσος αριθμός ετών απομένουσας ζωής για άτομο που έχει φτάσει στην ηλικία ; Οι πίνακες θνησιμότητας χρησιμοποιούνται για διάφορους σκοπούς, όπως στην δημογραφία για την πρόβλεψη πληθυσμών, στις ασφαλίσεις ζωής για τον υπολογισμό των μαθηματικών ασφαλίστρων καθώς και στον προσδιορισμό των εισφορών σε ένα συνταξιοδοτικό πρόγραμμα. Η μέθοδος ενός πίνακα θνησιμότητας είναι εφαρμόσιμη όχι μόνο στην ανάλυση της θνησιμότητας αλλά και πολλών μετρήσιμων διαδικασιών, όπως στην κλινική μελέτη των ανθρώπων ή στις εργαστηριακές μελέτες των ζώων. Η εφαρμογή της μεθόδου μπορεί να γενικευτεί, όπως για παράδειγμα στο να περιγράψεις το ιστορικό ζωής και θανάτου των αυτοκινήτων ή στην μελέτη της διάρκειας ζωής ενός λαμπτήρα. Συνεπώς ο πίνακας θνησιμότητας εξελίχθηκε σε ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τους αναλογιστές, τους βιολόγους, τους φυσικούς, τους δημογράφους, τους κατασκευαστές, τους ερευνητές δημόσιας υγείας και τους ερευνητές σε πολλά ακόμη πεδία.

15 Οι έρευνες που συνδέθηκαν με την κατασκευή των πινάκων θνησιμότητας ξεκίνησαν τον 7 ο αιώνα. Ο Βρετανός John Graun κατασκεύασε το 66 τον πρώτο πίνακα θνησιμότητας για τους κατοίκους του Λονδίνου. Αργότερα ο διάσημος μαθηματικός Wilhelm Leibniz παρουσίασε στην Βασιλική κοινότητα του Λονδίνου αξιόπιστα στατιστικά στοιχεία σχετικά με την πόλη του Wrolaw. Βασιζόμενος σε αυτά τα δεδομένα ο αστρονόμος Edmund Halley κατασκεύασε τον πρώτο αξιόπιστο πίνακα θνησιμότητας το 693 χρησιμοποιώντας την μέθοδο που έγινε γνωστή μεταγενέστερα ως η μέθοδος του Halley. Το 76 η μέθοδος του Halley συμπληρώθηκε από τον διάσημο Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler. Μεταγενέστερες τροποποιήσεις συμπεριλαμβανομένου της συμβολής των Per Wargenin (749) και Rihard Prie (783) και έπειτα το 8 ο Γάλλος επιστήμονας Pierre Laplae πρότεινε μια μέθοδο για την κατασκευή πίνακα θνησιμότητας με χρήση στατιστικών δεδομένων. Αυτό το πρώτο ιστορικό επίπεδο μπορεί να χαρακτηριστεί ως η περίοδος της περιγραφικής στατιστικής θνησιμότητας παρά ως μοντελοποίηση κάτω από ένα μοντέρνο ύφος. Οι πίνακες θνησιμότητας χρησιμοποιήθηκαν αρχικά στην αναλογιστική επιστήμη για τον υπολογισμό ασφαλίστρων στις ασφαλίσεις ζωής και στην δημογραφία για την μελέτη της δομής του πληθυσμού. Εξαιτίας των εργασιών των βιοστατιστικών (στατιστικοί υγείας στην ιατρική) στις αρχές του 95, οι πίνακες θνησιμότητας άρχισαν να τραβούν την προσοχή των βιοστατιστικών. Τα πλεονεκτήματα στην θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής και οι ομοιότητες των πινάκων θνησιμότητας με την θεωρία της αξιοπιστίας και της ανάλυσης επιβίωσης έκαναν εφικτή την παρουσίαση του πίνακα θνησιμότητας από την καθαρά στοχαστική σκοπιά μέσα σε ένα αυστηρά θεωρητικό πλάνο. Η ανάλυση του πίνακα θνησιμότητας αναδύθηκε σαν μια αυστηρή και ακριβής στατιστική μέθοδος. Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, έχουμε έναν ιδεατό πληθυσμό που τον παρατηρούμε από την στιγμή της γέννησης του, και έστω ότι έχουμε l νεογέννητα άτομα, καθώς και ότι οι l ζωές υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας. Με την πάροδο του χρόνου (ζωής) κάποιοι θα επιβιώσουν και κάποιοι όχι. Έστω l να αντιπροσωπεύει τον (αναμενόμενο) αριθμό επιζώντων της ομάδας που φτάνουν στην ακριβής ηλικία, από τους l νεογέννητους. Έτσι έχουμε l νεογέννητα άτομα, και υποθέτουμε ότι οι l ζωές υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας, έτσι ώστε j j P ( > ) P ( > ), όπου η τυχαία μεταβλητή δηλώνει την διάρκεια ζωής του j-ατόμου, για j,,,. Με την πάροδο του χρόνου (ζωής) κάποιοι θα επιβιώσουν και κάποιοι όχι. Έστω η τυχαία μεταβλητή S( ) να δηλώνει τον αριθμό των επιζώντων, από την γενιά των νεογέννητων, ηλικίας. Τότε παρατηρούμε ότι l S( ) I όπου I j η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για την j j επιβίωση της ζωής j, για j,,,, έτσι ώστε η I j θα πάρει την τιμή αν η j-ζωή θα επιβιώσει στην ηλικία ή την τιμή αν η j-ζωή δεν επιβιώσει στην ηλικία, δηλαδή j > j I j {. Επειδή όμως EI ( έχουμε j j) P( > ) P ( > ) S( ) l E( I j ) j l E( S( )/ l ) l S ( ) l p, όπου το l αριθμό επιζώντων της ομάδας που φτάνουν στην ακριβής ηλικία, από τους l έχουμε ότι l l S( ) ή S ( ). l αντιπροσωπεύει τον αναμενόμενο l νεογέννητους και έτσι Επιπλέον, κάτω από την υπόθεση ότι οι δείκτες I j είναι αμοιβαία ανεξάρτητοι (δηλαδή οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς την θνησιμότητα) τότε ο αριθμός των επιζώντων S( ) ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους τον αριθμό των δοκιμών n l και πιθανότητα επιτυχίας p P ( > ) S ( ), δηλαδή S ( ) Binomiall (, S ( )). j

16 Είδαμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης S ( ), εφόσον όπως έχουμε ορίσει η S ( ) δηλώνει την πιθανότητα ένα νεογέννητο να επιβιώσει πέρα από την ηλικία, ή ισοδύναμα να δηλώνει την αναμενόμενη αναλογία των μελών ενός πληθυσμού νεογέννητων που επιβιώνουν πέραν της ηλικίας. Επειδή η συνάρτηση επιβίωσης S ( ) είναι πιθανότητα, τότε το l είναι ο αναμενόμενος αριθμός επιζώντων της ομάδας που φτάνουν στην ακριβής ηλικία από τους l νεογέννητους. Η διαφορά μεταξύ των δύο αυτών συναρτήσεων είναι ότι, παρόλο που μαθηματικά είναι ταυτόσημοι και περιέχουν την ίδια πληροφορία, η συνάρτηση επιβίωσης S ( ) είναι πιθανότητα και έτσι έχει πιθανοθεωρητική ερμηνεία, ενώ η συνάρτηση l έχει πιθανοθεωρητική ερμηνεία (αναμενόμενος αριθμός επιζώντων ηλικίας από τους νεογέννητους) καθώς και ντετερμινιστική (deerminisi) ερμηνεία (αριθμός l επιζώντων ηλικίας από μια γενιά με + l νεογέννητους). Από τα παραπάνω έχουμε ότι S (). Όλες μαζί οι από κοινού τυχαίες μεταβλητές, S (), S (),, S( ω ), δηλαδή όλοι οι αριθμοί των επιζώντων σε κάθε ηλικία,,ω-, ακολουθούν την hain binomial disribuion, με συνάρτηση πυκνότητας ω l ( l ) + l+ l + PS ( () l, S() l,..., S( ω ) l ) ( p) ( p ) l ω, μαθηματικό μέσο E( S( )) l p, διασπορά p ) Var ( S ( )) l p ( και συνδιακύμανση Cov( S ( ), S( y)) l p ( p ) για y (Chiang, 96). y Ομοίως, αν με την τυχαία μεταβλητή Δ δηλώνουμε τον αριθμό των θανάτων μεταξύ ηλικίας και +, από τις l ζωές και με d E( Δ ) τον αναμενόμενο αριθμό θανάτων στο διάστημα μεταξύ ηλικιών και +, τότε Δ l j C j, όπου η δείκτρια τυχαία μεταβλητή η οποία παίρνει την τιμή αν η j-ζωή αποβιώσει μεταξύ ηλικιών και + ή την τιμή αν η j-ζωή δεν αποβιώσει j < + μεταξύ ηλικιών και +, δηλαδή C j {. Έτσι, ο αναμενόμενος αριθμός διαφορετικα θανάτων στο διάστημα μεταξύ ηλικιών και + γίνεται C j d E( Δ ) l j EC ( ) l P( < j + ) l P( < + n) l S ( ) S( + ) l q, εφόσον η ποσότητα l l + S( ) S( + ) q δηλώνει την αδέσμευτη πιθανότητα ότι ένα νεογέννητο θα l αποβιώσει μεταξύ ηλικίας και + (ή την αναλογία των νεογέννητων που θα αποβιώσουν μεταξύ ηλικίας και +). [ ] Επιπλέον, κάτω από την υπόθεση ότι οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς την θνησιμότητα, τότε η Δ ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n l και p P ( < j + ) q: Δ Binomial( l, q ). Όλες μαζί οι από κοινού (αδέσμευτες) τυχαίες μεταβλητές, Δ, Δ,, Δ ω, δηλαδή όλοι οι αριθμοί των θανάτων για κάθε ηλικία,,,ω-, ακολουθούν την (πολυμεταβλητή) πολυωνυμική κατανομή (mulinomial disribuion), με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας j

17 l ( ) ω P( d, d,..., d ) ( q ) Δ Δ Δ ω ω ω d d... d μαθηματικό μέσο E( Δ ) l q, διασπορά Var( Δ ) l q ( q ) και συνδιακύμανση Cov( Δ, Δ ) l q q y. y Τώρα, δεδομένου (ondiional) ότι έχουμε l επιζώντες στην ακριβής ηλικία, ο αριθμός των θανάτων μεταξύ ηλικίας και +, Δ / l, ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n l και p P ( < j + / j > ) q: Δ / l Binomial( l, q) με μέσο d E( Δ / l) l q. d Η υπό εξέταση ομάδα ατόμων, όπως παρουσιάζεται σε ένα πίνακα ζωής έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά : (Ι) Ο πληθυσμός αυτός αποτελείται αρχικά από ζωές ηλικίας ακριβώς (ΙΙ) Τα μέλη του πληθυσμού υπόκεινται σε κάθε ηλικία της ζωής τους σε ένα ετήσιο ρυθμό θνησιμότητας που προσδιορίζεται από τις q τιμές του πίνακα (ΙΙΙ) Ο πληθυσμός αυτός είναι κλειστός. Δεν επιτρέπονται καινούργιοι να μπουν στο πληθυσμό και η μόνη έξοδος από τον πληθυσμό είναι ως αποτέλεσμα του ετήσιου ρυθμού θνησιμότητας. Για την κατασκευή ενός πίνακα θνησιμότητας, στην πρώτη στήλη του πίνακα θνησιμότητας έχουμε τις τιμές (ο αριθμός των επιζώντων σε ακριβή ηλικία ). Ο πίνακας αρχίζει από ένα αυθαίρετο υποθετικό πλήθος ζώντων σε ηλικία και μηδενίζεται σε μία τερματική ηλικία ω ( ω ). Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου ένας πίνακας ζωής αρχίζει από κάποια ηλικία διαφορετική του (όπως για παράδειγμα πίνακες ζωής που αφορούν το συντάξιμο ή ασφαλισμένο πληθυσμό). Σε κάθε περίπτωση η αντίστοιχη τιμή a της νεότερης ηλικίας στον πίνακα ζωής είναι γνωστή ως βάση ή ρίζα (radi) του πίνακα. Συνήθως η τιμή που διαλέγουμε για την βάση είναι μια βολική στρογγυλευμένη τιμή όπως.. ή 5. ή είναι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός και είναι μια δύναμη του, με εκθέτη ακέραιο και θετικό δηλαδή.,.. κ.ο.κ. Έτσι υποθέτουμε μια γενιά (ohor) από νεογέννητα άτομα καθώς και ότι δεν παρατηρούμε καινούργιες γεννήσεις ούτε μετανάστευση ή αποχώρηση από αυτό τον ιδεατό πληθυσμό με την πάροδο του χρόνου. Έτσι, στην διάρκεια του χρόνου η γενιά αυτή μειώνεται στο μέγεθος εφόσον κάποια μέλη της αποβιώνουν μέχρι την ολική έκλειψη της γενιάς αυτής σε κάποια ηλικία ω:. ω Στην δεύτερη στήλη του πίνακα ζωής έχουμε τις d τιμές, που αντιπροσωπεύουν τους (αναμενόμενους) θανάτους, από τις αρχικές ζωές, κατά τη διάρκεια του -έτους ηλικίας, δηλαδή από την αρχή της ηλικίας έως την + ακριβώς. Προφανώς d + όπου ο (αναμενόμενος) αριθμός επιζώντων ηλικίας ακριβώς από τους αρχικούς. Θα πρέπει να επισημάνουμε ξανά ότι οι τιμές και d που δίνονται σε ένα πίνακα ζωής δεν έχουν καμία απόλυτη έννοια, εφόσον εξάρτιουνται από την τιμή που εκλέγουμε για βάση του πίνακα. Όμως οι τιμές αυτές αποκτούν κάποια έννοια όταν σχετίζονται μεταξύ τους. Έτσι, αν είναι και για μια ομάδα ατόμων, τότε ο λόγος p,989 παριστάνει την πιθανότητα όπως άτομο ηλικίας ετών να επιζήσει έτη, δηλαδή να φθάσει στην αρχή της ηλικίας των 3 ετών. Έτσι εφόσον οι τιμές των και d έχουν έννοια μόνον όταν διαιρούνται μεταξύ τους, όλες οι τιμές σε ένα πίνακα θνησιμότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με ένα παράγοντα και να μην απέλθει αλλαγή στην θνησιμότητα που παρίσταται από τον πίνακα.

18 Στην τρίτη στήλη του πίνακα θνησιμότητας έχουμε τις q τιμές, δηλαδή την αναλογία των ατόμων ηλικίας που θα πεθάνουν μεταξύ ηλικίας και +. Προφανώς ω ω q d / ( + )/ με qω. Επίσης, δημιουργούμε και μια τέταρτη στήλη ή οποία αποτελείται από τιμές ω e, δηλαδή από αναμενόμενους μελλοντικούς χρόνους μέχρι το θάνατο, ατόμων ηλικίας. Για παίρνουμε τον αναμενόμενο μέσο όρο ζωής του συγκεκριμένου πληθυσμού από την γέννηση (προσδόκιμο ζωής). Ο παρακάτω πίνακας θνησιμότητας αφορά γυναικείο πληθυσμό, του γενικού πληθυσμού της Ελλάδος, για την χρονική περίοδο , για κάποιες ενδεικτικές ηλικίες. Για την κατασκευή του έγινε η υπόθεση ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή σε κάθε έτος ηλικίας (Χατζόπουλος, 995). Πίνακας.3. : Ελληνικός Πίνακας θνησιμότητας Γυναικών Ηλικία σε έτη Επιζώντες στη αρχή της ηλικίας Θάνατοι κατά το έτος της ηλικίας Πιθανότητα αποβίωσης κατά το έτος της ηλικίας Έτη προσδόκιμης ζωής στην αρχή της ηλικίας () l d l - l + q d / l e 74, , ,566 75, ,8454 7, ,89 65, ,3897 6, , , , , , , , , , , ,396 3, , , ,5364, , , , , , , , , , , ,366 3, ,336446, ,498797, , , Οι ασφαλιστικές εταιρίες βασίζονται σε πίνακες ασφαλισμένου πληθυσμού, δηλαδή σε πίνακες θνησιμότητας που κατασκευάζονται από στατιστικά στοιχεία των ασφαλιστικών εταιριών μιας χώρας ή διαφορετικά αν δεν υπάρχει η υποδομή για κάτι τέτοιο τότε βασίζονται σε πίνακες θνησιμότητας που αφορούν τον γενικό πληθυσμό της χώρας με διάφορες προσαρμογές. Το βέλτιστο βέβαια είναι η χρήση ενός πίνακα θνησιμότητας βασισμένο σε ασφαλισμένο πληθυσμό διότι οι ασφαλισμένες ζωές (insured lives) παρουσιάζουν χαμηλότερη θνησιμότητα σε σχέση με τη θνησιμότητα του γενικού πληθυσμού, σε κάθε ηλικία και για τα δύο φύλλα. Ο λόγος είναι ότι ο ασφαλισμένος πληθυσμός προκύπτει για το γενικό πληθυσμό με τη διαδικασία της αυτεπιλογής (συνήθως τα άτομα που ψάχνουν μια ασφάλιση βιώνουν καλύτερες συνθήκες διαβίωσης και επίπεδο ζωής) και την διαδικασία της επιλογής (τη

19 διαδικασία underwriing από τις ασφαλιστικές εταιρίες σε συνδυασμό με ιατρικές εξετάσεις για να μπουν στο πρόγραμμα ασφάλισης). Οι πίνακες θνησιμότητας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Στην μία περίπτωση, που είναι και η ποιο συνήθης, ο πίνακας είναι πίνακες περιόδου (period life ables). Δηλαδή τα δεδομένα συλλέγονται ανά έτος. Στη δεύτερη περίπτωση τα δεδομένα συλλέγονται ανά γενιά (ohor life ables). Η γενεαλογικοί και οι περιοδικοί πίνακες θνησιμότητας είτε είναι πλήρης (δηλαδή ομαδοποιημένοι για κάθε ηλικία χωριστά) είτε συντετμημένοι (abridged life able). Σε ένα πλήρη πίνακα θνησιμότητας, οι τιμές θνησιμότητας υπολογίζονται για κάθε έτος ζωής, ενώ ένας συντετμημένος πίνακας θνησιμότητας πραγματεύεται με ομαδοποιημένα διαστήματα ηλικίας μεγαλύτερα από ένα έτος. Η ομαδοποίηση μπορεί να γίνει και στα έτη στα οποία αναφέρετε ο πίνακας θνησιμότητας. Παράδειγμα Δεδομένου ότι l ( ) για, υπολογίστε την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα πεθάνει μετά την ηλικία των 4 αλλά πριν φτάσει στα 57. Λύση Η άσκηση αυτή μας ζητάει την πιθανότητα, δηλαδή την πιθανότητα άτομο ηλικίας να ζήσει 9 7 q 9 χρόνια αλλά να αποβιώσει στα επόμενα 7 χρόνια. Γνωρίζουμε ότι l+ m l+ m+ n mn q m+ nq mq m p m+ np. Επομένως στην περίπτωσή μας έχουμε: l l l4 l57 ( 4) ( 57) 9 7q.. Άρα η πιθανότητα άτομο ηλικίας ετών να πεθάνει l l ( ) μετά την ηλικία των 4 ετών αλλά πριν φτάσει στα 57 είναι. Παράδειγμα / Έστω ότι ισχύει (Ι) Μπορεί να θεωρηθεί η παραπάνω συνάρτηση ότι εκφράζει μια συνάρτηση επιβίωσης; Αν ναι τότε προσδιορίστε την οριακή ηλικία. (ΙΙ) Βρείτε τη ακριβή μορφή του μ (ΙΙΙ) Βρείτε τη ακριβή μορφή του m (ΙV) Βρείτε τη ακριβή μορφή του f () (V) Βρείτε τη ακριβή μορφή της αναμενόμενης μέσης ηλικίας στον θάνατο ατόμων ηλικίας χ. Λύση / (I) Η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει μια συνάρτηση επιβίωσης, καθώς παρατηρούμε ότι είναι φθίνουσα καθώς το αυξάνει και επιπλέον είναι συνεχής συνάρτηση της l. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι S( ) S( ) (- ) / Μπορούμε εύκολα να l υπολογίσουμε τη οριακή ηλικία ω καθώς γνωρίζουμε ότι ω. Επομένως

20 / ω ω ω. Δηλαδή ω η οριακή ηλικία και επομένως το πεδίο τιμών του είναι. (ΙΙ) d / l d μ - d d / / (ΙΙΙ) + 3 ( ) (99 ) m 3/ 3/ d ( ) (99 ) + (IV) Γνωρίζουμε ότι για την συνάρτηση πυκνότητας απομένουσας ζωής ισχύει: + / ( ) + f () () p μ+ μ+ f ( ) / (V) Ξέρουμε ότι ο μέσος αριθμός ετών που αναμένεται να ζήσει άτομο ηλικίας είναι ω p d. Επομένως η αναμενόμενη μέση ηλικία στο θάνατο ατόμων ηλικίας είναι e Επομένως, / + / + ( ) ( ) ( ) p d + d + 3. e +. Παράδειγμα

21 Παράδειγμα 4 Συναρτήσεις θνησιμότητας για κλασματικές ηλικίες Για μια αναλυτική συνάρτηση επιβίωσης δηλαδή όταν είναι γνωστός ο μαθηματικός τύπος της (ή ισοδύναμα όταν είναι γνωστός ο μαθηματικός τύπος για μια από τις συναρτήσεις θνησιμότητας που έχουμε προαναφέρει), τότε ο υπολογισμός των τιμών των συναρτήσεων αυτών για κλασματικές ηλικίες (fraional ages) μπορούν να προσδιοριστούν με ακρίβεια. Αν όμως είναι γνωστές οι τιμές των συναρτήσεων μόνον για ακέραιες ηλικίες, όπως στην περίπτωση που διαθέτουμε έναν πίνακα θνησιμότητας, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν προσεγγιστικές μέθοδοι για να προσδιοριστούν πλήρως. Αν γνωρίζουμε την αναλυτική μορφή της συνάρτησης q τότε μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες για ένα ολόκληρο έτος ηλικίας [, +) καθώς και πιθανότητες για ένα κλάσμα έτους, <. Σε περίπτωση όμως που είναι γνωστά μόνο τα q (όπως συνήθως συμβαίνει όταν έχουμε έναν πίνακα θνησιμότητας), δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός πιθανοτήτων π.χ. των q q χωρίς 3 να κάνουμε κάποια υπόθεση για τον τρόπο μεταβολής της πιθανότητας θανάτου μέσα στο [,+). Γενικά, για την εκτίμηση των συναρτήσεων σε μη γνωστές ή μη καταγραμμένες τιμές (non abulaed) χρησιμοποιούμε την διαδικασία της παρεμβολής (inerpolaion). Οι περισσότεροι απλοί τύποι παρεμβολής επιτυγχάνονται προσαρμόζοντας ένα πολυώνυμο που να περνά ακριβώς από τις καταγραμμένες τιμές. Η βασική μέθοδος είναι ο τύπος της παρεμβολής του Lagrange ο οποίος εκφράζει την συνάρτηση, έστω f(), ως ένα πολυώνυμο βαθμού κ ως προς και για το οποίο ξέρουμε τις καταγραμμένες τιμές f( ), f( ),..., f( + ), στα σημεία,,..., + αντίστοιχα. Ο ( ) + j j i μαθηματικός τύπος είναι f ( ) f( i ). ( ) i i j j i Στην ειδική περίπτωση που έχουμε μόνο δύο καταγραμμένες τιμές,, τότε το προσαρμοσμένο πολυώνυμο είναι γραμμικό και η παρεμβολή καλείται γραμμική παρεμβολή (linear inerpolaion), η οποία παίρνει τη μορφή

22 ( ) ( ) ( ) ( ) f f + f( ) ( ) ( ) για < και αν γράψουμε ως θ ( ) τότε έχουμε ότι f ( ) ( θ ) f( ) + θ f( ) για θ < Στην περίπτωση που η καμπύλη f() είναι κοίλη και όχι γραμμική στο διάστημα (, ) και αν υποθέσουμε ότι ο λογάριθμος της f() είναι γραμμική στο διάστημα αυτό τότε εφαρμόζουμε γραμμική παρεμβολή στις τιμές ln f ( ) : ln f ( ) ( θ ) ln f( ) + θ ln f( ) για θ <. Οπότε f ( ) f( ) θ f( ) θ για θ < η οποία καλείται εκθετική παρεμβολή (eponenial inerpolaion). Τέλος, αν υποθέσουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση / f ( ) είναι γραμμική στο διάστημα (, ) τότε εφαρμόζουμε γραμμική παρεμβολή στις τιμές / f ( ) : / f ( ) ( θ ) [/ f( )] + θ [/ f( )] η οποία καλείται αρμονική παρεμβολή (harmoni inerpolaion). Γραμμική παρεμβολή (UDD μέθοδος) Η πρώτη μέθοδος υποθέτει ότι για κάθε ηλικία και για < η συνάρτηση επιβίωσης της + απομένουσας ζωής του () S () είναι γραμμική συνάρτηση του ή ισοδύναμα η συνάρτηση + είναι γραμμική συνάρτηση του. Η υπόθεση εδώ είναι ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι γραμμικές κατά τμήματα, δηλαδή γραμμικές σε κάθε έτος ηλικίας [,+) αλλά με διαφορετική κάθε φορά κλίση και έτσι μετατρέπουμε τις αντίστοιχες συναρτήσεις με μια πολυγωνική γραμμή που αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα τα οποία προκύπτουν αν ενώσουμε τα σημεία που αντιστοιχούν στις ακέραιες ηλικίες. Έτσι, αν η + είναι γραμμική για <, η τιμή της + προκύπτει από τις γνωστές τιμές και + με γραμμική παρεμβολή (linear inerpolaion) έτσι ώστε + ( ) + + ( + ) d d + από όπου φαίνεται ότι από το σύνολο, d, των θανούντων κατά την διάρκεια του έτους ηλικίας [,+), d εξ αυτών υποθέτουμε ότι αποβίωσαν κατά το τμήμα του έτους αυτής της ηλικίας. Έτσι, d + ( + ) p q q q για < και ακέραιο. Επίσης, ξέρουμε ότι p p μ +, αλλά p q q q, οπότε p μ + q. Δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της απομένουσας ζωής είναι σταθερή σε κάθε έτος ηλικίας, επειδή f () q (δηλαδή κατανέμεται ομοιόμορφα μεταξύ ακέραιων ηλικιών), καθώς και από το γεγονός ότι η συνάρτηση κατανομής της απομένουσας ζωής είναι γραμμική συνάρτηση του, επειδή F (). Δηλαδή η q q ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο (,). Δηλαδή, η πιθανοθεωρητική ερμηνεία της γραμμικότητας της για < είναι ότι οι θάνατοι μέσα στο έτος της ηλικίας [,+) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι, και έτσι προκύπτει η υπόθεση της ομοιόμορφη κατανομής των θανάτων μέσα σε κάθε έτος ηλικίας (uniform disribuion of deahs ή UDD). +

23 Ακόμη, παρατηρούμε ότι κάτω από την UDD υπόθεση η τυχαία μεταβλητή K είναι ανεξάρτητη από την τυχαία μεταβλητή S επειδή ισχύει PS ( K, ) P ( < + ) p q+ q+ FS (, ) ( ) K P S K, PK ( ) PK ( ) p q+ q+ το οποίο είναι ανεξάρτητο από το κ. Λόγω αυτής της ανεξαρτησίας μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών K και S μπορούμε να έχουμε PS ( K κ) PS ( ) για <, δηλαδή η S ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο (,). d + Λόγω της υπόθεσης γραμμικότητας, δείξαμε ότι + d. Τότε d για <, d θεωρώντας την ως σταθερή ηλικία. Οπότε, προκύπτει από την γνωστή ταυτότητα d + d q q μ + ότι ή ισοδύναμα μ +. d p q + μ + + Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι αφού + μειώνεται, η ένταση θνησιμότητας αυξάνεται σε σχέση με το, δηλαδή η μ + είναι αύξουσα συνάρτηση του (ας σημειωθεί ότι αυτό δεν είναι πάντοτε μια επιθυμητή ιδιότητα για την ένταση θνησιμότητας αφού υπάρχουν περιοχές ηλικιών όπου η θνησιμότητα μειώνεται-δες αντίστοιχο γράφημα). Ένα άλλο μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι ότι σε κάθε ακέραια ηλικία η τιμή της έντασης θνησιμότητας θα επιδεικνύει ασυνέχεια και αυτό επειδή η παράγωγος της έντασης θνησιμότητας θα είναι ασυνεχής στις ακέραιες ηλικίες. Αυτό μπορούμε να το d δούμε ως εξής : ξέρουμε ότι κάτω από τις υποθέσεις που θεωρήσαμε. Αν πάρουμε lim έχουμε lim μ + + d μ Αντίστοιχα, αν δουλέψουμε στο διάστημα - ως και αν η -+ είναι μια ηλικία σε αυτό το διάστημα ζωής, έχουμε d d lim μ lim + + μ d lim + και αν πάρουμε έχουμε ότι +, διαφορετικό αποτέλεσμα από πριν. Τέλος, στην πράξη, οι θανούντες κατά τη διάρκεια οποιοδήποτε έτους ηλικίας δεν ακολουθούν κατ ανάγκη την ομοιόμορφη κατανομή και για το λόγω αυτό, όταν είναι απαραίτητη η μεγάλη ακρίβεια, πρέπει να εξετάζεται σχολαστικά το μέγεθος του λάθους που γίνεται με την πιο πάνω υπόθεση, για παράδειγμα, περιέχει μεγάλο λάθος όταν έχουμε το πρώτο έτος ηλικίας της ανθρώπινης ζωής ή στις πολύ μεγάλες ηλικίες που η θνησιμότητα αλλάζει δραστικά μέσα σε κάθε έτος ηλικίας και έτσι η ομοιόμορφη κατανομή των θανάτων μέσα σε κάθε έτος ηλικίας απέχει πολύ από το αληθές. Εκθετική παρεμβολή (CFM μέθοδος) Σύμφωνα με την υπόθεση της εκθετικής παρεμβολής η συναρτησιακή μορφή της συνάρτησης a b επιβίωσης της τυχαίας μεταβλητής γίνεται p S () e + για < και,,, Αλλά μ + u du o a+ b p e e μ + b για <. Δηλαδή η μέθοδος αυτή υποθέτει ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή μέσα σε κάθε έτος ηλικίας (onsan fore of moraliy ή CFM). Έτσι, εδώ η ένταση θνησιμότητας είναι μια κλιμακωτή συνάρτηση με διαφορετική σταθερή τιμή σε κάθε έτος ηλικίας [,+). Δηλαδή μ μ < μ+ u du μ p e e μ n p για κάθε και. Ξέρουμε ότι + ( ). Έτσι, p e μ + u du e μ p ( p )

24 q ( p ) για κάθε <. Έτσι, η τυχαία μεταβλητή στο διάστημα [,) ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ np ( ), εφόσον η ιδιότητα που χαρακτηρίζει μια εκθετική κατανομή είναι ότι η συνάρτηση κινδύνου της (ή η ένταση θνησιμότητα) είναι σταθερή. Παρατηρούμε ότι η δεσμευμένη κατανομή της S δεδομένου ότι K είναι ( ) q+ p+ PS ( K ) δηλαδή μια περικομμένη εκθετική κατανομή καθώς και ότι q+ p+ εξαρτάται από την K, άρα οι τυχαίες μεταβλητές K και S δεν είναι ανεξάρτητες. Και σε αυτήν την περίπτωση είναι προφανές ότι η ένταση θνησιμότητας είναι ασυνεχής σε κάθε ακέραια ηλικία. Αρμονική παρεμβολή (Baldui μέθοδος) Η υπόθεση της αρμονικής παρεμβολής είναι ότι το αντίστροφο της συνάρτησης επιβίωσης S ( + ) είναι γραμμική συνάρτηση της δηλαδή ισχύει ότι [/ S( + )] a + b για < και,,, (ή ισοδύναμα η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης επιβίωσης της απομένουσας ζωής του () είναι γραμμική συνάρτηση της ). Τότε, με γραμμική παρεμβολή έχουμε ότι [/ S( + )] ( ) [/ S( )] + [/ S( + ) ] ( ) που είναι γνωστή και ως υπόθεση Baldui. Από την παραπάνω σχέση + παίρνουμε ότι p q + p q + p καθώς και ότι q p p p p + q p + q Επίσης, από τη γνωστή σχέση q p μ + μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι q μ +. p + q Εδώ έχουμε ότι το μ p μ + φθίνει συναρτήσει του στο διάστημα <. Πράγματι όταν q και όταν μ q. Επίσης παρατηρούμε ότι q + PS ( K κ ), δηλαδή εξαρτάται από το κ, άρα οι τυχαίες μεταβλητές q+ ( ) q+ K και S δεν είναι ανεξάρτητες. Επίσης, και ότι και σε αυτήν την περίπτωση η ένταση θνησιμότητας είναι ασυνεχής σε κάθε ακέραια ηλικία. Οι πιθανότητες q και + / q Μέχρι στιγμής εξετάσαμε προσεγγίσεις για τις πιθανότητες θανάτου \ επιβίωσης μέσα στο αρχικό κλάσμα ενός έτους. Πολλές φορές μας ενδιαφέρουν και πιθανότητες της μορφής q και q. Από τις παρακάτω σχέσεις μπορούμε να βρούμε τα ζητούμενα διότι από τις σχέσεις + / p p p + και q p q + για < μπορούμε να βρούμε τις ζητούμενες πιθανότητες εφόσον τότε συνεπάγεται ότι p p q p p για <. + και p

25 Συνοψίζοντας και τις τρεις υποθέσεις, για <, καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα Πίνακας: q, μ +, q+, / q και p μ + τιμές κάτω από τις υποθέσεις UDD, CFM και Baldui, για < Συναρτήσεις Υπόθεση UDD Υπόθεση CFM Υπόθεση Baldui q q ( p ) q p + q μ + q μ q q p + q q ( ) q + ( p ) ( ) q q / q ( ) q ( p ) p ( ) p q p + q p μ + q e μ μ p q [ ( ) q ] Γενίκευση σε οικογένειας υποθέσεων κλασματικών ηλικιών (FAA) Και οι τρεις παραπάνω μέθοδοι μπορούν να δοθούν κάτω από ένα γενικό πλαίσιο μιας οικογένειας υποθέσεων κλασματικών ηλικιών (family of fraional age assumpions, FAA) : a / a [ + p ] a p για < p a Με ειδικές περιπτώσεις όταν a ισοδυναμεί με την γραμμική παρεμβολή (UDD μέθοδο), όταν a ισοδυναμεί με την εκθετική παρεμβολή (CFM μέθοδο) και όταν a ισοδυναμεί με την αρμονική παρεμβολή (Balui μέθοδο). Από την παραπάνω σχέση διαπιστώνουμε ότι a p a a μ + a [ + p ] ln p a καθώς και ότι a p a a / a p μ+ a [ + p ] p ln p a Σε αυτή την γενικευμένη περίπτωση μπορούμε να έχουμε διαφορετικές τιμές a για διαφορετικές ακέραιες ηλικίες, έτσι ώστε η ένταση θνησιμότητας να είναι συνεχής συνάρτηση ως προς την ηλικία. Εξετάζοντας την από κοινού συμπεριφορά των τυχαίων μεταβλητών K και S, έχουμε δείξει ότι q FS (, ) ( ) K κ P S Kκ +, οπότε η δεσμευμένη πυκνότητα γίνεται q+ fs ( ) K κ d ( ) ( q+ f q d q + ). Αλλά γνωρίζουμε ότι ισχύει + +

26 p f f () p μ p μ ( ) + p μ Οπότε καταλήγουμε ότι p p p f ( + ) + p μ+ + p+ μ+ + fs ( ) K κ p q p q q f S K q a p ( κ) p+ ln p+ q+ Επίσης, η από κοινού κατανομή δίνεται ως f a + p+ a + / a [ + + ] a a + + P ( < S + d, K ) P ( < S + d K ) PK ( ), (, κ) lim lim d d d d S K fs, K (, κ ) fs K( κ) fk( κ) + p μ+ + p p+ μ+ + a + p ( p+ ) a a / + a + + S, (, ) [ ] K κ p+ p+ p a + f a p ln 5 Κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας Ένας άλλος δείκτης μέτρησης της θνησιμότητας είναι ο κεντρικός ρυθμός θανάτου (enral deah rae) ή ο κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας (Cenral Rae of Moraliy) ή η μέση ένταση, συμβολίζεται ως S () μ + d + μ+ d d m και ορίζεται ως m : για,,,,ω-. S () d d L Ο κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας, την πιθανότητα θνησιμότητας, m d q d +, είναι πιο σημαντικός δείκτης θνησιμότητας σε σχέση με L, διότι (α) οι αναμενόμενες τιμές θανάτων, που προέρχονται από μια έρευνα ενός πραγματικού πληθυσμού ατόμων, έχουν καλύτερες στατιστικές ιδιότητες όταν εκτιμούμε m τιμές παρά τις q ως προς την αποδοτικότητα της εκτίμησης και των ασυμπτωτικών καλών ιδιοτήτων τους όπως αναλύεται περαιτέρω, καθώς και ότι (β) η έχει την αδυναμία ότι εκφράζει μόνο το συνολικό αποτέλεσμα της θνησιμότητας μέσα στο q έτος ηλικίας έως + δηλαδή μας δίνει τελικά πόσοι πέθαναν στο τέλος του έτους και δεν επηρεάζεται από τον τρόπο που αυτοί οι θάνατοι είναι κατανεμημένοι στο αντίστοιχο έτος ζωής. Αυτό γίνεται κατανοητό από τα ακόλουθα δύο σχήματα :

27 + + και στις δύο περιπτώσεις το q είναι το ίδιο αλλά η ποσότητα L + d εμβαδόν κάτω από τις δύο καμπύλες είναι διαφορετικό). δεν είναι η ίδια (το Από τον ορισμό, το m, μπορεί να ερμηνευτεί ως ο σταθμισμένος μέσος της ποσότητας μ + στο διάστημα ως +, με τα βάρη να αναφέρονται σε πληθυσμό που είναι παρών σε ηλικίες +, δηλαδή +. Επίσης, ο κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας m είναι ο λόγος δύο ποσοτήτων. Στον αριθμητή έχουμε τους θανάτους που αναμένουμε μεταξύ ηλικιών και + να συμβούν σε ζωές που είναι παρόντες σε ηλικία. Στον παρονομαστή η ποσότητα L : + d μπορεί να ερμηνευτεί με δύο τρόπους: Ο μέσος πληθυσμός που είναι παρών μεταξύ ηλικιών και + σε έναν πίνακα ζωής, διότι + d + d d συνολικός χρόνος σε έτη που αναμένεται να ζήσουν οι ζωές μεταξύ ηλικίας και +, δηλαδή η (αναμενόμενη) κεντρική έκθεση στον κίνδυνο, εφόσον + L : + d d pd e, όπου p d e : ορίζεται ως ο αναμενόμενος μέσος χρόνος ζωής μέσα στο ηλικιακό διάστημα [,+) για άτομο ηλικίας. Πράγματι, αν ορίσουμε ως τυχαία μεταβλητή S την απομένουσα ζωή του () στο επόμενο έτος ζωής : av S, τότε e: E( S) E( S < ) P( < ) + E( S ) P( ) a ( ) av < p μ + όπου ( ) + d p μ d a + E [ / < ]. Άρα p μ d q e: a( ) q p + d / q L e: a ( ) d + + και m L / q m. e p ( ) : + q a Ερμηνεύοντας την ποσότητα a ( ), έχουμε ότι a ( ) είναι ο μέσος χρόνος ζωής μέσα στο [, +), από άτομα ηλικίας, για αυτούς που θα αποβιώσουν μέσα στο διάστημα [, +) ή ισοδύναμα το a ( ) συμβολίζει την δεσμευμένη προσδόκιμη ζωή του () στο επόμενο έτος ζωής του, δεδομένου αποβίωσης του () στο έτος αυτό. Έτσι, η σχέση : e p + q a( ) του () στο επόμενο έτος ζωής του (, +) είναι αν επιζήσει και a ( ) αν αποβιώσει, οπότε ο είναι ο αδέσμευτος μέσος ή η μέση απομένουσα ζωή του () στο επόμενο έτος ζωής του. Για την εκτίμηση του a ( ), συνήθεις υποθέσεις που έχουμε είναι οι εξής : δηλώνει ότι η προσδόκιμη ζωή : e

28 Αν θεωρήσουμε ότι οι θάνατοι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο έτος ζωής από [, +) ή ισοδύναμα, όπως έχουμε εξετάσει στην UDD μέθοδο, ότι η συνάρτηση + είναι γραμμική συνάρτηση του, για <, τότε όπως έχουμε δει d + d, οπότε d d q m m, δηλαδή m ή q. + d d q + m Σύμφωνα με την υπόθεση UDD γνωρίζουμε ότι p μ + q, οπότε a ( ) d, και από q q q τις προσεγγιστικές σχέσεις m και μ + παίρνουμε ότι μ, q q + q δηλαδή, κάτω από την υπόθεση UDD καταλήγουμε ότι m μ. Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με την ερμηνεία που δώσαμε στο m ως ο σταθμισμένος μέσος της μ + με βάρη τον πληθυσμό που είναι παρών, διότι αν η συνάρτηση +, που αντιπροσωπεύει τον παρόντα πληθυσμό, είναι γραμμική, οπότε ο σταθμισμένος μέσος του μ + θα πρέπει προσεγγιστικά να είναι ίσος με το μ. Στην περίπτωση τώρα που θεωρήσουμε ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή σε κάθε έτος + μ+ d ηλικίας (CFM μέθοδος), από την σχέση m έχουμε m μ, και λόγω της σχέσης d d q e μ e + μ, καταλήγουμε ότι m log( q ). Επίσης, έχουμε ότι + μ μ+ μ q p μ+ d + p d e d a ( ), οπότε μ e μ e μ q p μ q + p log( p) a ( ) μ e q μ q log( p ) Στην περίπτωση τώρα που θεωρήσουμε την υπόθεση την μέθοδο Baldui έχουμε d q q q m και λύνοντας m. Επίσης p + d p d d ( q ) log( q) p + q p q p μ d d + [ ( ) q ] p ισχύει ότι a ( ) ή a ( ) [ q + log p]. p μ d q q + Τέλος, αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης της απομένουσας ζωής,, ανήκει στην οικογένεια των κλασματικών ηλικιών (FAA), δηλαδή ότι η συνάρτηση επιβίωσης μπορεί να +

29 a / a [ + p ] a περιγραφεί από την σχέση p, καταλήγουμε ότι ο κεντρικός p a ρυθμός θνησιμότητας δίνεται, για διάφορες τιμές της ποσότητας a, από τον τύπο m q ( + a ) ( p ) a a a ( p + ) όταν a (πράγματι όταν a ισοδυναμεί με την UDD μέθοδο και όταν a ισοδυναμεί με την μέθοδο Balui). Για τον υπολογισμό της ποσότητας α ( ) E / <, σε αυτή την γενική περίπτωση έχουμε για α : [ ] α() α() p μ + p μ + d d p ln( p) d q α ( p ) + α p + + α q n( ) ( p ) + p p l p q ln ( p α ), για α. Αν τώρα α, έχουμε Αν δεν θεωρήσουμε καμία υπόθεση για την συνάρτηση επιβίωσης S ( + ) ή για την ένταση θνησιμότητας μ +, σε κάθε έτος ηλικίας, τότε στην γενική περίπτωση θα έχουμε, ανάλογα με τα προηγούμενα, να ισχύει L e: l+ + d a( ) ( l d ) + d a( ) l { a( )} d l L + { a( )} d, οπότε d q m και q l { a( )} d { a( )} q d d { a( )} m l L + d + { a( )} m Γενικεύοντας, ανάλογα αποτελέσματα έχουμε και για ομαδοποιημένες ηλικίες ορίζοντας ως na( ) τον αναμενόμενο (μέσο) αριθμό ετών ζωής για άτομο ηλικίας που αποβιώνει στο διάστημα ηλικίας [,+n). Επίσης, ορίζουμε ως n f na ( ) το αναμενόμενο κλάσμα (fraion) του διαστήματος n ζωής που αφορά τα τελευταία n-έτη ζωής του (). Τα αναμενόμενα έτη ζωής των l ατόμων, ηλικίας, για τα επόμενα n-έτη το ορίζουμε ως nl, το οποίο αποτελείται από (α) n-έτη για κάθε επιζώντα l + n από τα l άτομα και (β) na ( ) nd έτη για άτομα που αποβιώνουν στο διάστημα [,+n). Έτσι έχουμε ότι n L n l+ n+ na() nd n ( l nd) + n n f nd n [ l ( n f) nd] ή λύνοντας ως προς l έχουμε l [ nl + n ( n f ) nd ]. Οπότε, ορίζοντας ως nm τον n κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας για τα έτη ηλικιών [,+n), καταλήγουμε ότι nd nd nq nm nm nl n [ l ( n f) nd] n [ ( n f) nq ] καθώς και ότι

30 nd nd nm nq nq l [ nl + n ( n f) nd] [ + n ( n f) nm ] n n αποτελέσματα σημαντικά για την κατασκευή ενός συντετμημένου (abridged) πίνακα θνησιμότητας, δηλαδή πίνακα θνησιμότητας για ομαδοποιημένες ηλικίας. Ως εφαρμογή, αν υποθέσουμε την ομοιόμορφη κατανομή του χρόνου ζωής στο θάνατο, στο διάστημα [,+n), UDD μέθοδο στο διάστημα [,+n), έχουμε na( ) n/ (ή n f / ) και έτσι nq nm καταλήγουμε στους τύπους nm ή nq. n n ( nq) ( + nm ) n Οι παραπάνω σχέσεις έχουν εφαρμογές σε περίπτωση που γνωρίζουμε τις τιμές του na( ) από στατιστικές έρευνες ή από παρατηρήσεις μας ή από κάποιο πίνακα θνησιμότητας, με γνωστές na ( ) τιμές, που πιστεύουμε ότι είναι συναφής με την θνησιμότητα του πληθυσμού που εξετάζουμε (δες Πίνακα Chiang). Τέτοιου είδους τιμές μας δίνει ο Chiang κατόπιν έρευνας, από θανάτους στην California το 96 και από το % του δείγματος από τους συνολικούς θανάτους το 963 στην Αμερική. Και στις δυο έρευνες μελέτησε τον ακριβή αριθμό ημερών που έζησαν άτομα ηλικίας () οι οποίοι αποβιώσαν μεταξύ ηλικίας και +n, έτσι ώστε να εκτιμήσει τις na ( ) τιμές και έτσι να λάβει εκτιμήσεις για τις n f na ( ) τιμές, που δηλώνουν το αναμενόμενο κλάσμα (fraion) του n διαστήματος ζωής που αφορά τα τελευταία n-έτη ζωής του (). Και οι δύο έρευνες έδωσαν όμοια αποτελέσματα, όπως εκθέτονται στο παρακάτω πίνακα Πίνακας Chiang ς εμπειρικές n f τιμές, για ομάδες ηλικιών από μέχρι +n Ομάδα ηλικιών από Chiang ς Εμπειρικές μέχρι +n τιμές για n f -, -5,39 5-,46-5,54 5-,57-5,49 5-3,5 3-35,5 35-4, , , , ,5 6-65,5 65-7,5 7-75,5 75-8,5 8-85,48

31 6 Έκθεσης στον κίνδυνο (eposed o ris) και ενδεικτικές τιμές θνησιμότητας (rude raes) Σε μια μελέτη θνησιμότητας (moraliy invesigaion), αρχικά ομαδοποιούμε το πληθυσμό με βάση την ηλικία, το φύλλο και κάθε άλλον πιθανό παράγοντα που επηρεάζει την θνησιμότητα (όπως κοινωνικό και πολιτιστικό προφίλ, απασχόληση, φυσικό περιβάλλον, συνθήκες ζωής, εκπαίδευση και γνώση, τρόπος ζωής ή διάρκεια από την αρχή της ασφάλισης). Αυτό που χρειαζόμαστε είναι ένα ομογενοποιημένο πληθυσμό με τον οποίο όλα τα άτομα θα έχουν όσο το δυνατόν κοινή ένταση θνησιμότητας, με σκοπό να πετύχουμε ακριβή αποτελέσματα. Βέβαια, οι πρακτικές προσεγγίσεις απαιτούν, οι σταθερές να τοποθετούνται στο βαθμό της υποδιαίρεσης των δεδομένων έτσι ώστε να υπάρχουν επαρκή δεδομένα διαθέσιμα σε κάθε κατηγορία με σκοπό να παράγουμε πιστά στατιστικά αποτελέσματα. Το παρακάτω Leis διάγραμμα (Leis diagram) αναπαριστά την εξέλιξη ενός υποθετικού πληθυσμού στην διάρκεια του χρόνου. Το Leis γράφημα είναι ένας κατάλληλος τρόπος να περιγράφουμε την ροή και την πορεία ενός πληθυσμού καθώς και να περιγράφουμε διάφορα δημογραφικά συμβάντα που συμβαίνουν σε σχέση με το χρόνο και την ηλικία. Το παρακάτω γράφημα δείχνει ένα μικρό μέρος ενός Leis γραφήματος, το οποίο έχει διαιρεθεί σε ορθογώνια κελιά (δηλαδή ανά έτη και ανά ηλικία). Κάθε γραμμή 45 μοιρών αντιπροσωπεύει μια ατομική ζωή, η οποία μπορεί να τερματίσει είτε από θάνατο (γραμμές και e, τελειώνουν στο διάγραμμα με κύκλο), είτε από αποχώρηση του ατόμου από την έρευνα (ou-migraion, τελειώνουν στο διάγραμμα με τετράγωνο, γραμμή b). Ένα άτομο μπορεί επίσης να εισέλθει κατά την διάρκεια της έρευνας (migraion) (γραμμές d και g, αρχίζουν στο γράφημα με τετράγωνο). Άλλες γραμμές-ζωής μπορεί απλά μα περάσουν από το παραπάνω Leis διάγραμμα (γραμμές a και f), δηλώνοντας ότι βρίσκονται εν ζωή κατά την διάρκεια της έρευνας. Γράφημα: Leis διάγραμμα Ηλικία a + d + e b f - g - + Χρόνος

32 Ο αριθμός των θανάτων, σε έναν πληθυσμό υπό μελέτη, κατά κανόνα είναι διαθέσιμος ανά ηλικία () και έτος θανάτου, ή ανά ηλικία () και έτος γέννησης. Συνήθως, με ηλικία () εννοούμε τα άτομα που έχουν ηλικία η οποία ανήκει μέσα στο ηλικιακό διάστημα [,+) ή ισοδύναμα άτομα ηλικίας τελευταίων γενεθλίων. Στην πρώτη περίπτωση, όπου ο αριθμός των θανάτων είναι διαθέσιμος ανά ηλικία () και ημερολογιακό έτος θανάτου, τότε εκτιμούμε πίνακες θνησιμότητας περιόδου (period life able), ενώ στην δεύτερη περίπτωση, όπου ο αριθμός των θανάτων είναι διαθέσιμος ανά ηλικία () και έτος γέννησης, τότε εκτιμούμε γενεαλογικούς πίνακες θνησιμότητας (ohor life able). 6. Ενδεικτικές τιμές θνησιμότητας περιόδου (period rude moraliy raes) Σε ασφαλιστικές έρευνες (ή κλινικές έρευνες) θνησιμότητας καθώς και σε αρκετές εθνικές έρευνες, συνήθως έχουμε εκτιμήσεις θνησιμότητας ανά περίοδο (period life ables). Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε τον πληθυσμό σε μια ορισμένη χρονική περίοδο (period of invesigaion), που συνήθως είναι ένα έτος, και καταμετράμε στο έτος αυτό τους αριθμούς των θανάτων που συμβαίνουν βάση των παραγόντων θνησιμότητας που έχουν προκαθοριστεί (όπως φύλλο, ηλικία κ.λ.π.). Έτσι, σε μια έρευνα θνησιμότητας περιόδου, μετράμε τους αριθμούς θανάτων σε κάθε ηλικιακή ομαδοποίηση (π.χ., όπως πριν, άτομα ηλικίας τελευταίων γενεθλίων) που συνέβησαν κατά την διάρκεια ενός ημερολογιακού έτους. Την χρονική περίοδο, κατά τη διάρκεια της οποίας όλες οι ζωές θα έχουν την ίδια ηλικιακή «ετικέτα», ονομάζεται διάστημα κατάταξης (rae inerval). Στο παραπάνω Leis διάγραμμα, οι ζωές με γραμμές b,,d,e κατά την διάρκεια του έτους όλες έχουν ηλικία τελευταίων γενεθλίων, με τις ζωές,e να αποβιώνουν. Ωστόσο, μόνο η ζωή θα καταμετρηθεί ως θάνατος κατά την διάρκεια του έτους με ηλικία τελευταίων γενεθλίων (η ζωή e αποβίωσε στο ημερολογιακό έτος + και θα προσμετρήσει ως θάνατος ηλικίας τελευταίων γενεθλίων κατά την διάρκεια του + έτους). Σε ένα διάστημα κατάταξης, ο πιο συνήθης ορισμός, όταν δηλώνουμε ότι κάποιος έχει ηλικία (), είναι να εννοούμε ότι είναι ηλικίας τελευταίων γενεθλίων (age las birhday), δηλαδή ότι η ηλικία είναι μεταξύ και +. Αυτός ο ορισμός για την ηλικία μας δίνει το ένα ηλικιακό διάστημα κατάταξης (life year rae inerval) για να κατηγοριοποιήσουμε την ηλικία. Μια συνήθη παραλλαγή ενός ηλικιακού διαστήματος ομαδοποίησης, είναι να θεωρήσουμε ότι κάποιος έχει ηλικία (), αν είναι ηλικίας κοντινότερων γενεθλίων (age neares birhday), δηλαδή ότι έχει ηλικία μεταξύ -/ και +/. Ένας άλλος τρόπος όταν ορίζουμε ότι κάποιος είναι ηλικίας () είναι να εννοούμε ότι είναι ηλικίας σε ένα συγκεκριμένο ημερολογιακό έτος (age a alendar year τ), δηλαδή από //τ έως 3//τ όπου τ το έτος που αναφέρεται, έτσι ώστε να αλλάζει η ηλικία του με την αλλαγή του έτους. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ημερολογιακό διάστημα κατάταξης (alendar year rae inerval) για τον ορισμό της ηλικίας, και μας επαρκεί το έτος γέννησης για την ομαδοποίηση αυτή. Τέλος, σε πολλές ασφαλιστικές εφαρμογές άτομο ηλικίας () δηλώνεται ηλικίας στην έναρξη της ασφάλισης (age a poliy anniversary), έτσι ώστε η ηλικία να αλλάζει σε κάθε επέτειο της ασφάλισης, δηλαδή μετά από ένα χρόνο ασφάλισης ο ασφαλισμένος θα έχει ηλικία +. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ασφαλιστικό διάστημα κατάταξης (poliy year rae inerval) για τον ορισμό της ηλικίας. Οι παραπάνω ηλικιακοί ορισμοί θα μας επιτρέψουν να καταμετράμε τους θανάτους καθώς και τον πληθυσμό με έναν συγκεκριμένο τρόπο που πρέπει σαφώς να συμφωνεί. Η σχέση αυτή καλείται αρχή της αντιστοιχίας (Priniple of orrespondene) σύμφωνα με την οποία ζωές και θάνατοι πρέπει να ομαδοποιηθούν κάτω από την ίδια ετικέτα. Από τους ορισμούς είναι φανερό ότι για την εκτίμηση των ρυθμών θνησιμότητας δεν είναι επαρκή να γνωρίζουμε μόνο τους αριθμούς των θανάτων που συνέβησαν στις διάφορες ηλικιακές κατηγορίες, αλλά πρέπει να γνωρίζουμε και πόσο χρόνο ήταν εκτεθειμένοι στον κίνδυνο οι διάφορες ομάδες, κατά την διάρκεια του έτους. Έτσι, στη διαδικασία της κατασκευής των ρυθμών θνησιμότητας χρειαζόμαστε να ξέρουμε και το χρόνο που οι ζωές υπό παρατήρηση και έχουν «εκτεθεί» στο κίνδυνο του θανάτου. Αυτή η ποσότητα διαμορφώνει τον διαιρέτη των ρυθμών (ή πιθανοτήτων) θνησιμότητας είναι γνωστή ως έκθεση στο κίνδυνο (eposed o ris). Για παράδειγμα, στο παραπάνω Leis διάγραμμα, οι ζωές με

33 γραμμές b,,d,e κατά την διάρκεια του έτους, όπου όλες έχουν ηλικία τελευταίων γενεθλίων, συνεισφέρουν στην έκθεση στον κίνδυνο. Α) Κεντρική έκθεση στον κίνδυνο Υπάρχουν δύο είδη έκθεσης στον κίνδυνο, η κεντρική (enral eposed o ris) και η αρχική έκθεση στον κίνδυνο (iniial eposed o ris). Ο υπολογισμός της κεντρικής έκθεσης στον κίνδυνο θα μας δώσει ρυθμούς θνησιμότητας και ο υπολογισμός της αρχικής έκθεσης στον κίνδυνο θα εκτιμήσει πιθανότητες θνησιμότητας. Η μέθοδος που περιγράφεται στα επόμενα βασίζεται στον υπολογισμό της κεντρικής έκθεσης στον κίνδυνο και βάση αυτής εκτιμούμε την αρχική έκθεση στον κίνδυνο κάτω από κάποιες υποθέσεις. Η προσέγγιση αυτή έχει συγκριτικά πλεονεκτήματα όπως αναλύονται παρακάτω. Υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι υπολογισμού της κεντρικής έκθεσης στον κίνδυνο, η ακριβής και η απογραφική μέθοδος. Ακριβής Μέθοδος (Εa mehod) θεωρούμε μια ομάδα ατόμων ανάμεσα στις ηλικίες και + (ηλικίας τελευταίων γενεθλίων) που παρατηρούνται κατά τη διάρκεια της περιόδου της έρευνας (period of invesigaion). Στο Leis διάγραμμα η περίοδος της έρευνας είναι κάθε ημερολογιακό έτος. Υποθέτοντας ότι το i άτομο εισέρχεται στην έρευνα στη ηλικία + a, για <. Αν a > αυτό μπορεί για παράδειγμα να i συμβεί σε ασφαλιστικές περιπτώσεις όπου το άτομο εισέρχεται στην ασφάλιση σε κλασματικές διάρκειες ηλικιών (Leis διάγραμμα, ζωές b,), αν τότε το i άτομο εισέρχεται στην έρευνα με ηλικία ακριβώς (Leis διάγραμμα, ζωή e). Επίσης, υποθέτουμε ότι το i άτομο αποχωρεί από την έρευνα στην ηλικία + b i για < bi, είτε από θάνατο, αποχώρηση ή επιβίωση. Αν b i τότε το i άτομο αποχωρεί από την έρευνα με ηλικία ακριβώς + λόγω επιβίωσης (Leis διάγραμμα, ζωές d,e) και αν b < τότε το i άτομο εξέρχεται από την έρευνα λόγω αποβίωσης (Leis διάγραμμα, ζωή ) ή i λόγω αποχώρησης (Leis διάγραμμα, ζωή b). Τότε για κάθε i άτομο ο πραγματικός χρόνος που είναι υπό επιτήρηση (που είναι εκτεθειμένοι στον κίνδυνο αποβίωσης) είναι b. Το άθροισμα όλων των ατομικών εκθέσεων διαμορφώνουν την i a i κεντρική έκθεση στο κίνδυνο και συμβολίζεται με. Αυτή η υπολογιστική προσέγγιση καλείται ακριβής μέθοδος. Η μέθοδος μπορεί να είναι δύσκολη στο χειρισμό και στην πράξη, επειδή απαιτεί αυστηρό και ακριβό μηχανογραφικό εξοπλισμό, αλλά μετρά με ακρίβεια την έκθεση στον κίνδυνο. Σε εθνικούς πληθυσμούς, ακριβής γραμμές-ζωής όπως στο Leis διάγραμμα, για όλες τις ηλικίες, σπάνια είναι γνωστές. Από συνήθης αναλογιστικές αρχές, έχουμε ότι η συνεισφορά στην πιθανοφάνεια του i ατόμου που + bi επιβιώνει είναι b ep i a p i + a i ( μ a u du + ) i + bj αποβιώνει είναι f ( b ) a j aj b j j a p j a μ ep j b μ j a u du μ bj. Τώρα αν υποθέσουμε j ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή μέσα σε κάθε έτος ζωής (CFM μέθοδος) με την ίδια ετικέτα () και ισούμε με μ, τότε η συνεισφορά στην πιθανοφάνεια του i ατόμου που επιβιώνει είναι ( μ ( b a )) a i a i R i και η συνεισφορά στην πιθανοφάνεια του j ατόμου που b ep i i και η συνεισφορά στην πιθανοφάνεια του j ατόμου που αποβιώνει i a p i + ai είναι b a p + a μ+ b ep( μ bj aj ) μ. Η συνολική πιθανοφάνεια, έστω L( μ ), θα είναι j j j j ( ) τότε το γινόμενο όλων των ατομικών συνεισφορών στην πιθανοφάνεια: L( μ ) ep( μ ( bi ai) ) ep( μ ( bj aj) ) μ, i j

34 όπου το πρώτο γινόμενο δίνει την συνεισφορά από όλα τα άτομα που επιβιώνουν ενώ το δεύτερο δίνει την συνεισφορά από όλα τα άτομα που αποβιώνουν. Έτσι, L( μ) ep( μ ( bi ai) ) μ ϑ ep( μ R) μ, all deahs όπου η μεταβλητή ϑ είναι οι παρατηρούμενοι θάνατοι κατά την διάρκεια της έρευνας, για άτομα με ετικέτα ηλικίας (). Η πρώτη παράγωγος της ολικής (λογαριθμικής) πιθανοφάνειας, ως προς την ϑ ένταση θνησιμότητας, μηδενίζεται όταν η ένταση θνησιμότητας πάρει την τιμή (επιβεβαιώστε ότι η δεύτερη παράγωγος της ολικής πιθανοφάνειας είναι αρνητική για να έχουμε μεγιστοποίηση). Οπότε, ο παρατηρούμενος αριθμός θανάτων διαιρεμένος με την αντίστοιχη κεντρική έκθεση στον κίνδυνο ϑ είναι μια εκτίμηση της πραγματικής έντασης θνησιμότητας: μ, όπου μ δηλώνει την παρατηρούμενη ένταση θνησιμότητας και ορίζει μια εκτιμήτρια για την ένταση θνησιμότητας. Επίσης κάτω από την CFM μέθοδο, όπου m μ, παίρνουμε και μια εκτίμηση του κεντρικού ρυθμού ϑ θνησιμότητας, δηλαδή m, όπου m δηλώνει τον παρατηρούμενο κεντρικό ρυθμό R θνησιμότητας όπου και ορίζει μια εκτιμήτρια για τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας. Η εκτιμήτρια αυτή είναι αμερόληπτη, με εκτιμούμενη διασπορά μ /. Απογραφική Μέθοδος (ensus mehod) R Μια εναλλακτική, πιο πρακτική προσέγγιση είναι η απογραφική μέθοδος. Έστω P () ο πληθυσμός τη στιγμή για ζωές με ηλικία ετικέτα () (για παράδειγμα η ηλικία ετικέτας () μπορεί να ορίζει ομάδες ηλικιών τελευταίων γενεθλίων), κατά την διάρκεια της περιόδου έρευνας. Αν κάποιος από τον πληθυσμό P () τη στιγμή αποβιώσει τότε θα καταμετρηθεί στους παρατηρούμενους θανάτους, έστω ϑ, ως ηλικία τελευταίων γενεθλίων την στιγμή του θανάτου. Δηλαδή το P (), την χρονική στιγμή, αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό που είναι εκτεθειμένο στον κίνδυνο το οποίο συνεισφέρει στους θανάτους ϑ (ζωές και θάνατοι πρέπει να ομαδοποιηθούν κάτω από την ίδια ετικέτα σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας). Θεωρούμε ένα αρκετά μικρό διάστημα d κατά την διάρκεια της έρευνας, τότε το διάστημα P ()d αντιπροσωπεύει το χρόνο συνεισφοράς στην κεντρική έκθεση στον κίνδυνο στο μικρό χρονικό διάστημα d (υποθέτουμε ότι σε αυτό το μικρό διάστημα το P( παραμένει σταθερό). Το άθροισμα όλων αυτών των διαστημάτων, κατά την διάρκεια της έρευνας, θα μας δώσει την συνολική κεντρική έκθεση στον κίνδυνο για άτομα ηλικίας με ετικέτα (). Όσο μικρότερο θα είναι το χρονική διάστημα d τόσο η παραπάνω προσέγγιση θα είναι κοντύτερα στην ακριβή τιμή. Καθώς το d παίρνουμε το όριο αθροισμάτων κατά Riemann, δηλαδή το ολοκλήρωμα () P d έκθεση στο κίνδυνο μπορεί να γραφτεί σαν ολοκλήρωμα του πληθυσμού ηλικία ετικέτα (): () d P d, το οποίο ορίζει και την κεντρική έκθεση στον κίνδυνο. Έτσι, η κεντρική R R R τη στιγμή για ζωές με P ( ) d. Αυτή η ισότητα δίνει το συνολικό χρόνο έκθεσης σε χρόνο, κατά o τη διάρκεια της περιόδου έρευνας (,Τ) πληθυσμού ηλικίας (). Κάθε άτομο συνεισφέρει στον κεντρικό χρόνο έκθεσης, στο παραπάνω ολοκλήρωμα, μόνο αν και μόνα αν είναι εν ζωή στην ηλικία με ετικέτα (). P () )

35 Για τον υπολογισμό της κεντρικής έκθεσης στο κίνδυνο, συνήθως γνωρίζουμε τον πληθυσμό κάποια διακριτά χρονικά σημεία (απογραφές πληθυσμού), για τις ομαδοποιημένες ηλικίες με ετικέτα ηλικίας (), και κάτω από κάποιες υποθέσεις για την εξέλιξη του πληθυσμού () μεταξύ δύο διαδοχικών απογραφών εκτιμούμε την κεντρική έκθεση στον κίνδυνο. Ως εφαρμογή, αν υπάρχουν διαθέσιμες απογραφές στην αρχή κάθε έτους κατά την διάρκεια της έρευνας και υποθέτοντας ότι ο πληθυσμός P () (όπου P () είναι ο πληθυσμός την χρονική στιγμή ηλικίας τελευταίων γενεθλίων κατά την διάρκεια της έρευνας) μεταβάλλεται γραμμικά μεταξύ των διαδοχικών απογραφών (καθώς και ότι ο πληθυσμός στις απογραφές κατανέμεται ομοιόμορφα στο ηλικιακό διάστημα [,+)), ο κανόνας του τραπεζίου δίνει μια προσέγγιση για το παραπάνω ολοκλήρωμα: R ( P() +P( + ) ) P() + P() + P( ). Αν η περίοδος της έρευνας είναι ένα έτος τότε προφανώς R ( P () P ()). Διαφορετικά, αν γνωρίζαμε την τιμή του P στο μέσο κάθε έτους, τότε η προσέγγιση της κεντρικής έκθεσης στον κίνδυνο γίνεται () R P ( + /) (δηλαδή εδώ η κεντρική έκθεση στον κίνδυνο προσεγγίζεται από τον πληθυσμό στο μέσο του έτους). Προσοχή ωστόσο χρειάζεται στην προσέγγισή μας όταν το ηλικιακό διάστημα (rae inerval) είναι ημερολογιακό (alendar year), όπως για παράδειγμα όταν ορίζουμε ότι κάποιος είναι ηλικίας τελευταίων γενεθλίων την Ιανουαρίου του τρέχοντος ημερολογιακού έτους (age las birhday a he previous s January). Σύμφωνα με αυτό τον ορισμό αλλάζει η ηλικία του με την αλλαγή του έτους, αν κάποιος κατά την διάρκεια ενός έτους έχει ηλικία τελευταίων γενεθλίων την Ιανουαρίου του τρέχοντος ημερολογιακού έτους τότε το επόμενο έτος θα είναι ηλικίας + τελευταίων γενεθλίων την Ιανουαρίου του επόμενου ημερολογιακού έτους. Έτσι, η προσέγγιση της κεντρικής έκθεσης στον κίνδυνο γίνεται R ( P() + P+ ( + ) ), και αν η περίοδος της έρευνας είναι ένα έτος προφανώς R ( P () P + ()). Αν η τυχαία μεταβλητή Θ συμβολίζει τον αριθμό των θανάτων για άτομα ηλικίας με ετικέτα () κατά την διάρκεια της έρευνας και θεωρήσουμε ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή μέσα σε κάθε έτος ζωής (CFM μέθοδος), τότε η τυχαία μεταβλητή Θ ακολουθεί την Poisson κατανομή με μέσο και διασπορά ίση με R μ : Θ Poisson( R μ) (Sverdrup, 965). Η πιθανότητα να συμβούν ϑ R μ ϑ e ( R μ) θάνατοι, σύμφωνα με την Poisson κατανομή είναι P ( Θ ϑ), και έτσι ϑ! μια εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας για την ένταση θνησιμότητας στην ηλικία (), είναι το πηλίκο ϑ των παρατηρούμενων θανάτων με την αντίστοιχη κεντρική έκθεση στον κίνδυνο: μ. Από ιδιότητες της Poisson κατανομής, η εκτιμήτρια αυτή είναι αμερόληπτη, με ελάχιστη διασπορά. Την ίδια εκτίμηση θα είχαμε αν αντί της μέγιστης πιθανοφάνειας κάναμε χρήση της μεθόδου των ροπών, όπου σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να εξισώσουμε τους πραγματικούς θανάτους με τους ϑ αναμενόμενους θανάτους, δηλαδή E ( Θ ) ϑ ή R μ ϑ μ. R P P R () σε

36 Αν η ένταση θνησιμότητας δεν είναι σταθερή σε κάθε ηλικιακό έτος, τότε η υπόθεση του Poisson μοντέλου εξακολουθεί να ισχύει (κάτω από την υπόθεση ότι ο αριθμός των ατόμων που είναι εκτεθειμένοι στον κίνδυνο παραμένει σταθερός, δηλαδή κάθε άτομο που αποβιώνει η αποχωρεί από την έρευνα αντικαθιστάτε αμέσως από ένα άλλο άτομο με ακριβώς την ίδια ηλικία) αλλά ο λόγος εκτιμά το ολοκλήρωμα + από τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας μ du μεταβάλλεται δραστικά στο έτος ζωής [,+). u ϑ R (So, 98). Το ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι πολύ διαφορετικό m + u + u μ du u du δεδομένου ότι η συνάρτηση Ως εφαρμογή, έστω ότι στις παρακάτω ημερομηνίες έχουμε καταγράψει τον πληθυσμό με ηλικία τελευταίων γενεθλίων. Θέλουμε να εκτιμήσουμε τον κεντρικό ρυθμό θνησιμότητας αν έχουμε παρατηρήσει ότι κατά την διάρκεια του έτους είχαμε 364 θανάτους ηλικίας με ετικέτα (): ( ) 56 // 56 /4/ 67 /7/ 689 // 835 // Εδώ, έχουμε ότι P, P (,5) 67, P (.5) 689, P (.75) 835, P () 977. Αν υποθέσουμε ότι το P() είναι γραμμικό σε κάθε χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γνωστών τιμών τότε η κεντρική έκθεση στον κίνδυνο προσεγγίζεται ως,5,75 Pd () Pd () + + Pd () ( ) (,5),5 (,75) ( ),5 P + P + + P P Pd () 79,9 m,33. 79,9 u δεν Η εκτίμηση του ρυθμού θνησιμότητας, βάση της απογραφικής μεθόδου, είναι συνεπώς λιγότερο ακριβής, και αυτό έγκειται στην απουσία της πληροφορίας των ατομικών γραμμών ζωής όπως έχουμε στο Leis διάγραμμα. Ωστόσο, η μέθοδος αυτή είναι αρκετά ευσταθής και αποτελεσματική για μεγάλους πληθυσμούς (π.χ. σε εθνικούς πληθυσμούς). Β) Αρχική Έκθεση στον Κίνδυνο Εάν στην περίπτωση θανάτου συνεχίσουμε να προσμετρούμε τον χρόνο έκθεσης στον κίνδυνο μέχρι τον χρόνο όπου το άτομο θα άλλαζε ετικέτα από ηλικία () σε (+) και προσθέσουμε τον επιπλέον χρόνο στην κεντρική έκθεση στον κίνδυνο, παίρνουμε την αρχική έκθεση στον κίνδυνο, που γράφεται i ως R. Η παραπάνω αρχική έκθεση στον κίνδυνο προσεγγίζει τον χρόνο ζωής που θα προέκυπτε αν i υποθέταμε ότι R άτομα εισέρχονται κατά την διάρκεια της έρευνας ηλικίας ακριβώς και συνεχίζουν να συνεισφέρουν στην έκθεση στον κίνδυνο ώσπου να φτάσουν στην ηλικία ακριβώς + ή μέχρι να αποβιώσουν αν αυτό γίνει μέσα στο έτος (,+), δηλαδή δεν επιτρέπουμε κάποιον να μπει στην

37 έρευνα σε ηλικία μεγαλύτερη του ούτε να βγει για οποιοδήποτε λόγω σε ηλικία πριν + εκτός αν αποβιώσει (κλειστός πληθυσμός). Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα αποβίωσης για τον κάθε ένα από τα R άτομα, μέσα σε αυτό το έτος ζωής, θα είναι q και αν ο θάνατος ή η επιβίωση καθενός i είναι ανεξάρτητος από τον θάνατο ή την επιβίωση των άλλων, τότε το κατάλληλο πιθανοθεωρητικό μοντέλο είναι αυτό των ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli. Έτσι, η τυχαία μεταβλητή Θ που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των θανάτων που συμβαίνουν κατά την διάρκεια του έτους ζωής () i ακολουθεί μια δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους τον αριθμό των δοκιμών και πιθανότητα θανάτου q, δηλαδή Θ Binomial( R i, q ). Έτσι, από ιδιότητες της δυωνυμικής κατανομής, μια αμερόληπτη εκτίμηση της πιθανότητας θανάτου είναι η παρατηρούμενη πιθανότητα θανάτου: o q θ / i R R Στην πράξη, η παραπάνω περίπτωση κλειστού πληθυσμού αποτελεί μια ιδεατή περίπτωση. Αν όμως ο πληθυσμός της έρευνας, εισέρχεται στην έρευνα στη ηλικία + ai, για ai <, και αποχωρεί από την έρευνα στην ηλικία + b i για < bi, είτε από θάνατο ή επιβίωση ή αποχώρηση, όπως πριν, τότε στην περίπτωση που έχουμε αποχωρήσεις κατά την διάρκεια της έρευνας, διάφορες προσομειώσεις (simulaions) έχουν δείξει ότι οι εκτιμήτριες πιθανοτήτων θανάτου είναι μη συνεπής και αρνητικά μεροληπτική (Broffi, 984). Επίσης, αν εκτιμήσουμε πρώτα την αρχική έκθεση στον κίνδυνο από τα δεδομένα και έπειτα μετατρέψουμε τις εκτιμώμενες πιθανότητες θανάτου σε κεντρικούς ρυθμούς θανάτων, τότε οι εκτιμημένοι κεντρικοί ρυθμοί θανάτων δεν θα μας δώσουν το ίδιο αποτέλεσμα αν ξεκινούσαμε πρώτα από αυτούς. Για την εκτίμηση πιθανοτήτων θανάτου, εκτιμούμε πρώτα τους αντίστοιχους ρυθμούς θανάτων και κάτω από την υπόθεση ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή μέσα σε κάθε έτος ζωής (CFM μέθοδος), έχουμε μια εκτίμηση για την πιθανότητα θανάτου: o o ep( m ep( θ R q ) / ) Υπάρχει έλλειψη πληροφορίας από το γεγονός ότι δεν λαμβάνουμε υπόψη τον χρόνο αναμονής, όπως o i στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε q θ / R, και το σφάλμα είναι μεγαλύτερο αν εκτιμήσουμε πιθανότητες θανάτου υπολογίζοντας την αρχική έκθεση στον κίνδυνο σε σύγκριση με το σφάλμα i εκτίμησης των από κεντρικούς ρυθμούς, δηλαδή se{ θ / R }/ se{ ep( θ / R )} >, όπου se συμβολίζει το τυπικό σφάλμα (sandard error) (Sverdrup 965). Οι κεντρικοί ρυθμοί είναι πολύ αποτελεσματικοί (με μικρή έλλειψη πληροφορίας) και αν οι παρονομαστές είναι ορθός υπολογισμένοι, το βασικό επιχείρημα για την εισαγωγή τους ήταν η βεβαιότητα της αμεροληψίας. Επιπλέον, όπως παρατηρήσαμε σε σχέση με τους ρυθμούς θνησιμότητας, το q έχει την αδυναμία ότι αντανακλά την συνολική επίδραση της θνησιμότητας για ένα χρόνο, π.χ. πόσοι απεβίωσαν στο τέλος ενός χρόνου, χωρίς να δίνει πληροφορίες για το πως κατανέμονται οι θάνατοι αυτοί μέσα στον χρόνο. Συχνά, για τον υπολογισμό πιθανοτήτων θανάτου από ρυθμούς θνησιμότητας, χρησιμοποιείται η επιπλέον υπόθεση της ομοιόμορφης κατανομής των θανάτων μέσα σε κάθε έτος ηλικίας (UDD m υπόθεση). Κάτω από αυτή την υπόθεση, έχουμε δείξει ότι q και έτσι μια εκτίμηση της + m

38 πιθανότητας θανάτου είναι η q o o m o + m. Στην περίπτωση αυτή, η σχέση μεταξύ της κεντρικής και i θ αρχικής έκθεσης στον κίνδυνο ισοδυναμεί με R R +. Η σχέση αυτή πολλές φορές ερμηνεύεται και διαισθητικά, εφόσον αν υποθέσουμε την ομοιόμορφη κατανομή των θανάτων μέσα σε κάθε έτος ηλικίας, τότε η περαιτέρω έκθεση στον κίνδυνο που χρειαζόμαστε από την κεντρική έκθεση για τον ορισμό της αρχικής έκθεσης μπορεί να προσεγγιστεί από τους μισους θανάτους που παρατηρήσαμε στο διάστημα αυτό και έτσι να προκύψει η παραπάνω προσεγγιστική σχέση. Οι εκτιμήτριες θνησιμότητας, q o ή m o καλούνται ενδεικτικές τιμές θνησιμότητας (rude moraliy raes). Όποια μέθοδος και να χρησιμοποιήσουμε για την εκτίμηση της πιθανότητας θανάτου, το διάστημα κατάταξης στο οποίο θα αναφέρεται θα εξαρτάται από τον ορισμό της ηλικίας. Αν π.χ. ορίσουμε ως () τις ηλικίες τελευταίων γενεθλίων (age las birhday) τότε εκτιμούμε την πιθανότητα q, δηλαδή την δεσμευμένη πιθανότητα κάποιος να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας και +, επειδή είναι η μικρότερη ηλικία που μπορεί να έχει κάποιος αν καταμετρηθεί στους θανάτους ή στην έκθεση στον κίνδυνο και + είναι η αντίστοιχη μεγαλύτερη δυνατή ηλικία που μπορεί να έχει κάποιος σύμφωνα με την ομαδοποίηση αυτή. Ανάλογα, αν ορίσουμε ως () τις ηλικίες κοντινότερων γενεθλίων (age neares birhday) τότε -/ είναι η μικρότερη ηλικία που μπορεί να έχει κάποιος αν καταμετρηθεί στους θανάτους ή στην έκθεση στον κίνδυνο ως κοντινότερων γενεθλίων και +/ είναι η αντίστοιχη μεγαλύτερη δυνατή ηλικία που μπορεί να έχει κάποιος σύμφωνα με την ομαδοποίηση αυτή. Έτσι, οι αντίστοιχες πιθανότητες θανάτου θα αφορούν άτομα ηλικίας [-/,+/), με συνέπεια την εκτίμηση της q /. Γενικά, δεδομένου ενός ορισμού της ηλικίας θα εκτιμώνται οι πιθανότητες θανάτου q + f, όπου f θα προσδιορίζεται από τον εκάστοτε ορισμό. Σε περιπτώσεις που το διάστημα ομαδοποίησης είναι διάστημα ηλικιακό (alendar year rae inerval) το f θα προσδιορίζεται από την ηλικία στην αρχή του διαστήματος ομαδοποίησης (όπως εξετάσαμε μόλις τώρα). Αν όμως το διάστημα κατάταξης είναι διάστημα ημερολογιακό (alendar year rae inerval) ή ασφαλιστικό (poliy year rae inerval), τότε το f θα προσδιορίζεται από την κατανομή της ηλικίας (ή η μέση αναμενόμενη ηλικία) των ατόμων στην αρχή του διαστήματος ομαδοποίησης. Ως εφαρμογή, αν προσμετράμε θανάτους και έκθεση στον κίνδυνο για άτομα που έχουν ηλικία τελευταίων γενεθλίων την Ιανουαρίου του τρέχοντος ημερολογιακού έτους, τότε όπως έχουμε δει, ορίζουμε ένα διάστημα ημερολογιακό (alendar year rae inerval) για τον ορισμό της ηλικίας (και όχι διάστημα ηλικιακό όπως είχαμε πριν). Σε αυτή την περίπτωση, στην αρχή του διαστήματος ομαδοποίησης (δηλαδή την Ιανουαρίου) η μικρότερη ηλικία που μπορεί να έχει κάποιος αν καταμετρηθεί στους θανάτους ή στην έκθεση στον κίνδυνο είναι και η μεγαλύτερη δυνατή ηλικία που μπορεί να έχει κάποιος σύμφωνα με την ομαδοποίηση αυτή είναι +. Αν υποθέσουμε ότι οι γεννήσεις των ατόμων αυτών είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα ομαδοποίησης, τότε η μέση ηλικία στην αρχή του διαστήματος ομαδοποίησης θα είναι +/ και έτσι θα έχουμε μια εκτίμηση της πιθανότητας θανάτου q + /. Ανάλογα αποτελέσματα μπορούμε να έχουμε και για ασφαλιστικό διάστημα ομαδοποίησης (poliy year rae inerval).

39 Παράδειγμα

40 Παράδειγμα 6. Ενδεικτικές τιμές θνησιμότητας γενιάς (ohor rude moraliy raes) Όπως αναφέραμε, όταν ο αριθμός των θανάτων σε έναν πληθυσμό υπό μελέτη, είναι διαθέσιμος ανά ηλικία () και έτος θανάτου τότε εκτιμούμε πίνακες θνησιμότητας ανά περίοδο (period life able), ενώ όταν είναι διαθέσιμος ο αριθμός των θανάτων ανά ηλικία () και έτος γέννησης τότε εκτιμούμε γενεαλογικούς πίνακες θνησιμότητας (ohor life able). Στη δεύτερη περίπτωση τα δεδομένα συλλέγονται ανά γενιά. Για την κατασκευή ενός πίνακα θνησιμότητας ανά γενιά καταγράφονται τα στοιχεία θνησιμότητας μιας ομάδας ατόμων από την γέννηση του πρώτου έως τον θάνατο του τελευταίου μέλους. Η κατασκευή τέτοιον πινάκων είναι δύσκολη από την άποψη της έλλειψης χρόνου για να παρατηρήσουμε μια ολόκληρη γενιά. Ωστόσο οι πίνακες θνησιμότητας ανά γενιά έχουν εφαρμογές στην μελέτη της ανθρώπινης θνησιμότητας και ειδικά σε εθνικούς πίνακες θνησιμότητας, στην θνησιμότητα των ζώων και στον προσδιορισμό της αντοχής των μηχανικών αντικειμένων. Ο πίνακας θνησιμότητας περιόδου είναι πιο πρακτικό μέσο ανάλυσης της θνησιμότητας και επιβίωσης του πληθυσμού. Η περίοδος του πίνακα θνησιμότητας εξαρτάται πλήρως από την τιμή θνησιμότητας που επικρατεί στη περίοδο την οποία αυτό κατασκευάστηκε. Έτσι, η προσδοκώμενη ζωή βασίζεται στη περίοδο των πινάκων θνησιμότητας, μέσω του αναμενόμενου αριθμού ετών ζωής, εάν το άτομο υπόκειται σε ολόκληρη τη ζωή του στην ίδια θνησιμότητα που επικρατεί το παρών έτος, το οποίο σημαίνει ότι ο χρόνος δεν λαμβάνεται υπόψη σαν παράγοντας που επηρεάζει τη θνησιμότητα. Στο παρακάτω Leis διάγραμμα, το παραλληλόγραμμο με το έντονο περίγραμμα, απεικονίζει το χώρο στον οποίο οι ζωές έχουν κοινή ηλικία τελευταίων γενεθλίων και έχουν όλοι γεννηθεί το ίδιο έτος. Έτσι, αν συμβεί κάποιος θάνατος μέσα σε αυτό το παραλληλόγραμμο τότε θα προσμετρήσει στους θανάτους για άτομα ηλικίας τελευταίων γενεθλίων με κοινό έτος γέννησης και, όπως παρατηρούμε στο γράφημα, αυτό μπορεί να συμβεί μέσα στο έτος ή μέσα στο έτος +. Τα δύο τρίγωνα που χωρίζει το παραλληλόγραμμο ορίζει δυο ομάδες θανάτων: τους D ( L, ) θανάτους που ανήκουν στο κάτωτρίγωνο θανάτων που παρατηρήθηκαν σε άτομα ηλικίας τελευταίων γενεθλίων το έτος, και τους DU (, + ) θανάτους που ανήκουν στο πάνω-τρίγωνο θανάτων που παρατηρήθηκαν σε άτομα ηλικίας τελευταίων γενεθλίων το έτος +. Προφανώς, DL(, ) + DU(, ) ϑ ( ), όπου ϑ () συμβολίζει τον αριθμό των θανάτων για άτομα ηλικίας τελευταίων γενεθλίων στην διάρκεια του έτους, ακριβώς όπως ορίζεται στους περιοδικούς πίνακες θνησιμότητας. Συχνά όμως οι αριθμοί των θανάτων είναι διαθέσιμοι σε Leis τετράγωνα (δηλαδή ανά έτος και ηλικία). Ωστόσο, μια κατάλληλη διαδικασία σε πολλές περιπτώσεις είναι απλά να υποθέσουμε ότι οι μισοί θάνατοι, από το Leis τετράγωνο, θα συμβούν στο κάτω-τρίγωνο και οι άλλοι μισοί θάνατοι στο πάνω-τρίγωνο: DL(, ) DU(, ) ϑ( )/, εφόσον τα σφάλματα που μπορεί να προκύψουν από την υπέρ-εκτίμηση στο ένα τρίγωνο τυπικά αυτοαναιρούνται από την υπό-εκτίμηση του άλλου τριγώνου σε σχεδόν όλες τις επακόλουθες πράξεις. Προσοχή χρειάζεται όμως, στην παραπάνω υπόθεση της ισοκατανομής των θανάτων στα δυο τρίγωνα, (α) στην περίπτωση θανάτων του πρώτου έτους ζωής όπου οι θάνατοι έχουν παρατηρηθεί να συγκεντρώνονται στο πρώτο τρίγωνο και (β) στην περίπτωση D (, ), D (, ) να εμπεριέχουν ένα όπου οι δυο διαδοχικές γενιές που αφορούν τα δύο τρίγωνα ( ) L U

41 είδος ασυνέχειας (όπως συμβαίνει π.χ. στην αρχή και στο τέλος ενός πολέμου όπου παρατηρείται μια ασυνέχεια στους ρυθμούς γεννήσεων). Κάτω από την υπόθεση της ομοιόμορφης κατανομής των θανάτων σε κάθε Leis τρίγωνο η πιθανότητα επιβίωσης γενιάς, από την ηλικία στην ηλικία +, ισούται με την πιθανότητα επιβίωσης από την ηλικία έως το τέλος του έτους επί την πιθανότητα επιβίωσης από την αρχή του επόμενου έτους έως την ηλικία +: P( + ) P( + ) DU(, + ) P( + ) DU(, + ) p P( + ) + DL(, ) P( + ) P( + ) + DL(, ) Επίσης, κάτω από την ίδια υπόθεση, ο κεντρικός ρυθμός θνησιμότητας γενιάς γίνεται: DL(, ) + DU(, + ) m P ( + ) Και οι δύο παραπάνω ποσότητες έχουν τις ίδιες ιδιότητες και δεν προτιμάτε κάποιος (όπως στους περιοδικούς πίνακες όπου ο ρυθμός έχει συγκριτικά πλεονεκτήματα). Ο υπολογισμός της μιας ποσότητας μας υπολογίζει την άλλη όμοια, δηλαδή αν αρχίσουμε από ρυθμούς θνησιμότητας θα πάρουμε τις ίδιες πιθανότητες θνησιμότητας όπως ορίστηκαν πριν, κάτω από την υπόθεση της ομοιόμορφης κατανομής των θανάτων σε κάθε Leis τρίγωνο (Wilmoh, ). Γράφημα: Δεδομένα για γενεαλογικούς ρυθμούς και πιθανότητες θνησιμότητας Ηλικία P ( + ) + D (, ) D (, + ) U U D (, ) L + + Χρόνος

42 7 Ασφαλιστικοί Πίνακες Επιλογής Ο ασφαλιστής πριν την έκδοση του ασφαλιστηρίου συμβολαίου, πρέπει να είναι βέβαιος ότι ο υποψήφιος για ασφάλιση πληρή όλα τα απαιτούμενα κριτήρια, για να επιλεγεί ως συνήθης (sandard) ή κανονικός (normal) για την έκδοση του ασφαλιστηρίου έπειτα από την διαδικασία του underwriing. Σαν αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαδικασίας επιλογής, μια ομάδα ασφαλισμένων ατόμων βάσει κάποιου κριτηρίου δεν συνιστούν μια τυχαία ομάδα, αλλά τουναντίον μια ομάδας επιλογής όλα τα μέλη της οποίας πληρούν αρχικός μερικά κριτήρια ασφαλίσεως. Στη συνέχεια, η θνησιμότητα σε μια τέτοια ομάδα θα μεταβάλλεται όχι μόνο βάσει της ηλικίας, αλλά και βάσει της διάρκειας παραμονής στην ασφάλιση. Για παράδειγμα, μια ομάδα ατόμων, τα οποία μόλις ασφαλίστηκαν βάσει κάποιου κριτηρίου σε ηλικία 3 ετών θα παρουσιάσει μικρότερο δείκτη θνησιμότητας κατά τη διάρκεια του έτους που ακολουθεί, από μια άλλη ομάδα ατόμων ηλικίας 3 ετών τα οποία ασφαλίστηκαν με όμοιο τρόπο πριν ένα χρόνο και βρίσκονται στο δεύτερο χρόνο ασφάλισης. Επιπλέον οι δύο αυτές ομάδες ατόμων θα έχουν μικρότερο δείκτη θνησιμότητας από μια τρίτη ομάδα ατόμων ηλικίας 3 ετών, τα οποία ασφαλίστηκαν πριν έτη, σε ηλικία 8 χρονών. Έτσι, ο αριθμός των θανάτων από. ασφαλισμένους ηλικίας 3 ετών που μόλις έχουν περάσει ιατρικές εξετάσεις αναμένεται να είναι λιγότεροι από τους θανάτους. ατόμων ηλικίας 3 ετών, που πρώτο-ασφαλίστηκαν σε ηλικίες μικρότερες των 3 ετών. Οπότε, όσο πάμε πίσω στο χρόνο, από την ηλικία των 3 ετών, όπου πρώτοασφαλίστηκαν τόσο πιο μεγάλη θνησιμότητα θα έχουν οι ζωές αυτές στην ηλικία των 3 ετών, μέχρι ενός σημείου όπου τα άτομα ηλικίας 3 ετών όλοι θα υπακούσουν στην ίδια θνησιμότητα, ανεξάρτητα αν είναι ασφαλισμένοι για r ή περισσότερα χρόνια. Μπορούμε να o δούμε αυτό διαγραμματικά ως εξής Γράφημα : Εξέλιξη της θνησιμότητας με βάση τον παράγοντα έτη ασφάλισης, για σταθερή ηλικία, με περίοδο επιλογής r δείκτης θνησιμότητας για την ηλικία... [-r]+r... r χρόνος σε έτη από την στιγμή της επιλογής-ασφάλισης Έτσι, υπάρχει μια ύστατη θνησιμότητα (ulimae moraliy) στην ηλικία, όπου η θνησιμότητα βάσει της διάρκειας παραμονής στην ασφάλιση σταθεροποιείται ή ισοδύναμα το αποτέλεσμα της επιλογής λέμε ότι έχει φθαρεί - περάσει (wear off), και είναι σαν να έχουμε μια τυχαία ομάδα ατόμων ηλικίας (φυσικά αυτό συμβαίνει για όσο περνά ο καιρός, από μια αρχική ιατρική επιλογή, μερικές ζωές θα εμφανίσουν προβλήματα υγείας και έπειτα από κάποια χρόνια το αποτέλεσμα της αρχικής επιλογής θα έχει φθαρεί από το χρόνο). Η περίοδος του χρόνου κατά τη διάρκεια κατά της οποίας τα αποτελέσματα της επιλογής είναι ακόμη σημαντικά ονομάζεται περίοδος επιλογής (sele period) και είναι η χρονική περίοδος όπου η διάρκεια από την στιγμή της ασφάλισης είναι παράγοντας (faor) για την θνησιμότητα. Η διάρκεια της περιόδου επιλογής εξαρτάται από τη φύση των στοιχείων που υπάρχουν και τα αποτελέσματα της επιλογής μπορούν να εξακολουθούν να είναι αξιόλογα για πολλά έτη. Παραδείγματα πινάκων επιλογής έχουμε στους Αμερικάνικους πίνακες, όπου έχουν περίοδο επιλογής 5 έτη, ενώ ο Αγγλικός πίνακας ασφαλίσεων ζωής Α967/7 έχουν περίοδο επιλογής έτη (r). Οι πίνακες θνησιμότητας οι οποίοι δείχνουν τη διαφορά θνησιμότητας βάσει της ηλικίας και συγχρόνως

43 βάσει της διάρκειας παραμονής στην ασφάλιση ονομάζονται ασφαλιστικοί πίνακες επιλογής (sele moraliy ables). Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι εκτός από τους πίνακες επιλογής υπάρχουν και οι συνθετικοί ή συνενωμένοι (aggregae) πίνακες θνησιμότητας, οι οποίοι κατασκευάζονται βάσει της ηλικίας μόνον, δηλαδή ο παράγοντας διάρκεια ασφάλισης δεν λαμβάνεται υπόψη όσον αφορά τη θνησιμότητα. Συμβολίζουμε τις επίλεκτες τιμές θνησιμότητας, για άτομα ηλικίας, έως εξής : (α) για ζωές που μόλις έχουν επιλεγεί, στην ηλικία, γράφουμε ως q [ ] την πιθανότητα άτομο που όταν έγινε η έναρξη της ασφάλισης ήταν ηλικίας, να αποβιώσει στο έτος ηλικίας ως +. (β) για ζωές που έχουν επιλεγεί στην ηλικία -s, s έτη πριν, για s< r και r η περίοδος επιλογής, γράφουμε ως q[ s] + s την πιθανότητα άτομο που έχει συμπληρώσει στην ασφάλιση s ακέραια έτη, να αποβιώσει στο έτος ηλικίας ως + (το s θα παίρνει τις ακέραιες τιμές s,,.., r- και για s έχουμε φυσικά q[ ] όπως πριν). (γ) για ζωές που έχουν επιλεγεί στην ηλικία -s, s έτη πριν για s r και r η περίοδος επιλογής, γράφουμε απλά ως q να συμβολίζει την ύστατη (ulimae) πιθανότητα άτομο ηλικίας, που έχει συμπληρώσει στην ασφάλιση s ακέραια έτη, να αποβιώσει στο έτος ηλικίας ως +. Είναι φανερό από τα προηγούμενα ότι ισχύει q[ ] < q[ ] <... < q [ r ] < q r με τις διαφορές q[ ] q s s [ s ] να φθίνουν γρήγορα και να γίνονται αμελητέες μετά την πάροδο r ετών (όπως s φαίνεται και στο παραπάνω γράφημα). Ο παρακάτω πίνακας μας περιγράφει την διαδικασία (οι τιμές αφορούν ποσά θνησιμότητας,, πολλαπλασιασμένα επί ) q[ s] + s Πίνακας : Υποθετικές τιμές θνησιμότητας, με περίοδο επιλογής r5 έτη Έτος ασφάλισης Ηλικία στην έκδοση συμβολαίου > 5 5,7,8,88,93,97, 6,7,8,89,96,, ,73,83,9,99,5,,74,84,93,8,,3,74,84,,6,3,44,74,86,,6,3,44 Οι υπογραμμισμένες τιμές θνησιμότητας δείχνουν πως τα ποσοστά θνησιμότητας διαφέρουν ανά διάρκεια ασφάλισης αν και όλες οι τιμές αυτές θεωρούν άτομα με την ίδια ηλικία, 3. Η περίοδος επιλογής εδώ είναι r5 έτη. Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε τις εξής τιμές, που αφορούν την ίδια ηλικία: q [ ], 74, q 3 [ ] q 3 [ 9 ], 84, q + + [ ] q[ ], 99, q[ ] q, q q ] q 5 3, [ 6], + 4 [ ] [

44 Κατασκευή ασφαλιστικού πίνακα επιλογής (sele moraliy able) και ύστατου πίνακα θνησιμότητας (ulimae moraliy able) ο στάδιο : Χρησιμοποιώντας τις ύστατες τιμές των q κατασκευάζουμε έναν πίνακα ζωής όσον αφορά την ύστατη θνησιμότητα, διαλέγοντας μια αυθαίρετη τιμή ως βάση ή ρίζα (radi) για τη νεότερη ηλικία. Το στάδιο αυτό δεν είναι διαφορετικό από την κατασκευή ενός απλού πίνακα ζωής, αλλά έχει αναλυθεί νωρίτερα. ο στάδιο : Αν η περίοδος επιλογής είναι r τότε έχουμε διαθέσιμες τις τιμές q[ ], q[ ],..., q [ ] και + +r από το προηγούμενο στάδιο θα έχουμε διαθέσιμες και τις τιμές, για κάθε ηλικία. Οι τιμές [ ], [ + ] κ.λ.π. υπολογίζονται κατά αντίστροφη τάξη. Έτσι, έχουμε + r [ ] + r + r [ ] + [ ], [ ], r r [ ]. Οι τιμές των d + + [ ], d[ ],..., d + [ ] +r p[ ] q [ ] q [ ] q + r + r + r [ ] βρίσκονται από τις σχέσεις d [ ] [ ] [ ], d + [ ] [ ] + + [ ] κ.λ.π. + Ως εφαρμογή, αν θέλουμε τις τιμές επιλογής, όταν η ηλικία ετών εισέρχεται στην ασφάλιση και η 4 περίοδος επιλογής είναι r3 έτη, τότε από την q [ ] + υπολογίζουμε την ως [ ] + [ ]. + q[ ] + [ ] + [ ] + Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε την [ ] καθώς και την + [ ]. q[ ] + q[ ] Πίνακας : Ύστατες και επίλεκτες τιμές θνησιμότητας, του Αγγλικού πίνακα θνησιμότητας Α967-7, για επίλεκτες ηλικίες, με περίοδο επιλογής r έτη Ηλικία [] q [ ] q [ + ] q + Ηλικία +,73,68,58,6,63 5,39,4,4 7,3,33,4 5,49,73,55 7,66,737,797 5,47,57, ,437,573, ,6,84, ,6,35, ,74,35, ,86,3888, ,4865,6844, ,6699,97, ,9689,469, ,363,59, ,8748,35, ,53,43997, , , , , ,

45 Παράδειγμα Οι ακόλουθες πιθανότητες ισχύουν για έναν πίνακα επιλογής με περίοδο επιλογής r έτη : q [ 85 ], q [ 85 ] + 6, q [ 86 ] 8, [ ] 5 q 86 +, 85 υπολογίστε: l [ 85], l [ 85 ] +, l [ 86], l[ 86 ] +, l86, l87, l88. Λύση Πρώτα θα κατασκευάσουμε τις ύστατες τιμές των «l» l l l ( ) q, 86 5 q, 87 4 l l ( 9 ) 56 4 και l l ( 9 ) Τώρα θα κατασκευάσουμε τις επίλεκτες τιμές των «l» l 4 87 l [ 85 ] + 54, l [ ] 9[ ] 85 + l l [ 86 ] + 35, l [ ] 9[ ] 86 + Συνοπτικά έχουμε 5 l[ 85] q. Αν l 7, [ ] l[ 86] [ ] [ ] l [ ] [ ] + l l Εξομάλυνση (Graduaion) 8. Η φύση της Εξομάλυνσης Οι εκτιμήτριες θνησιμότητας που περιγράψαμε στα προηγούμενα, δηλαδή οι ενδεικτικές τιμές θνησιμότητας (rude moraliy raes) υποβάλλονται σε δειγματικά λάθη δίνοντας μια μη ομαλή πρόοδο από ηλικία σε ηλικία. Υποθέτουμε αρχικά ότι τα λάθη αυτά οφείλονται μόνο στην τυχαία μεταβλητότητα, που είναι έμφυτη στο πεπερασμένο δείγμα που παρατηρούμε. Δηλαδή, αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος οδηγούμαστε σε μείωση των λαθών και οι ενδεικτικές τιμές παρουσιάζουν ομαλή πρόοδο κατά μήκος των ηλικιών. Έτσι η θνησιμότητα μπορεί να υποθέτουμε ότι είναι μια συνεχής και ομαλή συνάρτηση της ηλικίας. Η διαδικασία εξάλειψης των τυχαίων λαθών είναι γνωστή ως εξομάλυνση (graduaion). Εξομάλυνση πρακτικά σημαίνει να επανορθώνεις την έλλειψη της δυνατότητας ύπαρξης ενός δείγματος άπειρου μεγέθους με μια εναλλακτική εκτίμηση των

46 πραγματικών τιμών θνησιμότητας με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια γίνεται. Οι Copas και Haberman (983), αναφέρουν ότι η βασική δικαιολογία για την εξομάλυνση ενός συνόλου από q πιθανότητες που έχουν παρατηρηθεί, όπως, είναι η πρόταση ότι, αν ο αριθμός των ατόμων μιας ομάδας, όπως θ, στων οποίων την εμπειρία βασίστηκαν τα δεδομένα είναι λογικά μεγάλος, το σύνολο των παρατηρούμενων πιθανοτήτων θα πρέπει να δίνει μια πολύ πιο τακτική πρόοδο σε σχέση με την ηλικία. Οι Benjamin και Pollard (98) ορίζουν ότι η τέχνη της ομαλοποίησης των ξεχωριστών τιμών μέγιστης πιθανοφάνειας εκτιμητριών, για να αποκτάς τις καλύτερες δυνατές εκτιμήσεις των τιμών του υπό μελέτη πληθυσμού ονομάζεται εξομάλυνση. Διαφορετικά, η εξομάλυνση είναι η διαδικασία εκτίμησης της προσδοκώμενης θνησιμότητας υπό την προϋπόθεση ότι οι τελικές τιμές θνησιμότητας θα πρέπει να δείχνουν μια ομαλή τάση ή ότι κάθε ομάδα από γειτονικές τιμές που έχουν υποστεί εξομάλυνση θα πρέπει να ικανοποιεί τα μαθηματικά κριτήρια ομαλότητας, διαφορισιμότητας και συνέχειας. Η εξομάλυνση θα πρέπει να εξαλείφει μόνο τυχαίες διακυμάνσεις. Οι εκτιμήτριες θνησιμότητας μπορούν επίσης να περιέχουν ανωμαλίες οι οποίες δεν οφείλονται σε δειγματικά λάθη. Σε αυτή την περίπτωση ο πραγματικός ρυθμός θνησιμότητας σε ένα συγκεκριμένο εύρος ηλικιών κληρονομεί ένα ειδικό χαρακτηριστικό το οποίο δεν είναι πολύ ομαλό και το οποίο ονομάζεται εγγενής τραχύτητα (inrinsi roughness). Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτού του φαινόμενου είναι το aiden hump (καμπούρα ατυχημάτων) που παρατηρείται στους ρυθμούς θνησιμότητας που αναφέρεται σε άτομα ηλικίας γύρω από τα 8 που ζουν σε χώρες της δυτικής Ευρώπης. Η θνησιμότητα είναι αυξημένη, σε σχέση με τις γειτονικές ηλικίες, κοντά σε αυτή την ηλικία επειδή η ηλικιακή ομάδα αυτή του πληθυσμού παρουσιάζει αυξημένους θανάτων, κυρίως λόγω τροχαίων ατυχημάτων ή λόγω χρήσης ναρκωτικών. Εξαλείφοντας μόνο τα τυχαία δειγματικά σφάλματα είναι διαφορετικό από την διαδικασία με την οποία οι ρυθμοί που έχουν εξομαλυνθεί έχουν μια (μη αναμενόμενη) εξαιρετικά καλή ομαλή τάση, με συνέπεια πολλές φορές την μη διάκριση της εγγενής τραχύτητας (inrinsi roughness) ή την μη διάκριση από κάθε άλλης ιδιαιτερότητα που οι ενδεικτικές τιμές ίσως περιλαμβάνουν. Η περίπτωση αυτή καλείται υπό-εξομάλυνση (undergraduaion). Το αντίθετο, δηλαδή η πολύ καλή προσαρμογή στα δεδομένα χωρίς ομαλότητα, δημιουργεί την υπέρ-εξομάλυνση (overgraduaion). Η διαδικασία εξομάλυνσης ουσιαστικά εμπλέκει μια αλληλεπίδραση, μια ανταλλαγή, μια αλληλεξουδετέρωση (rade off) ανάμεσα στην ομαλότητα και την πολύ καλή προσαρμογή στις ενδεικτικές τιμές. Μπορεί να διατυπωθεί ότι τα βάρη της αλληλεπίδρασης αυτής εξαρτώνται βασικά από την ποιότητα των δεδομένων. 8. Μέθοδοι εξομάλυνσης Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εξομάλυνση. Οι κυριότερες από αυτές είναι: Η γραφική μέθοδος Στη μέθοδο αυτή προσπαθούμε να εξομαλύνουμε τα δεδομένα σε μία καμπύλη που να περνά μέσα από «διάδρομο» που δημιουργείτε από το διάστημα εμπιστοσύνης 95% που βασίζεται στις ενδεικτικές τιμές θνησιμότητας. Η γραφική μέθοδος είναι χρήσιμη όταν τα δεδομένα μας είναι ανεπαρκής (sany) ή όταν οι άλλες μέθοδοι δεν εφαρμόζονται. Η συγκεκριμένη μέθοδος σήμερα έχει μόνο ιστορική σημασία και δεν χρησιμοποιείτε πια. Η Spline μέθοδος Η spline μέθοδος προσαρμόζει μια σειρά διαφορετικών πολυωνυμικών συναρτήσεων n-βαθμού σε προεπιλεγμένα ηλικιακά διάστημα, έτσι ώστε τα πολυώνυμα να έχουν συνεχής παραγώγους (n-)- βαθμού σε όλα τα σημεία. Τα σημεία στα οποία τα πολυώνυμα αλλάζουν παραμέτρους ονομάζονται κόμποι (nos). Συνήθης spline είναι τα πολυώνυμα τρίτου βαθμού (ubi spline) και ορίζονται:

47 n j j 3 j y a + a + a + b < > 3 3 όπου η συνάρτηση < j > ( j) ( > a ). Με αυτό τον τρόπο η συνάρτηση παρεμβολής spline περνάει από τους j κόμπους. Εξομάλυνση με αναφορά σε πρότυπο πίνακα θνησιμότητας Η μέθοδος αυτή είναι χρήσιμη όταν η θνησιμότητα που μελετούμε πιστεύουμε ότι έχει σχέση με έναν γνωστό πίνακα θνησιμότητας. Παραδείγματα τέτοιων σχέσεων μπορεί να είναι: s s s s s q a q +b ή μ a μ + b ή q q ( a + b), όπου q και μ συμβολίζουν θνησιμότητες από έναν πρότυπο και γνωστό πίνακα θνησιμότητας. s Μια άλλη γνωστή μέθοδος είναι η Brass μέθοδος: Y( ) α + β Y ( ), όπου q Y()Logi ( q ). q Εξομάλυνση μέσω παραμετρικών μαθηματικών τύπων Η πιο σπουδαία μέθοδος εξομάλυνσης είναι όταν ένα παραμετρικό μαθηματικό μοντέλο προσαρμόζεται για να περιγράψει την θνησιμότητα που μελετάτε και σε σχέση με τις παραμέτρους ( β ) που περιέχονται στο μοντέλο αυτό η παραμετρική συνάρτηση εκτιμάται με κάποιο κριτήριο βελτιστοποίησης. Βελτιστοποίηση μπορεί να επιτευχθεί με τους εξής τρόπους: Α) Με το κριτήριο ελαχιστοποίησης τετραγώνων, που περιέχουν κάποια βάρη σημαντικότητας, μέσω o της ποσότητας Q w z zˆ ( β ). Η ποσότητα αυτή ελαχιστοποιείται σε σχέση με το ( β ), όπου Z q ή μ ή m, και w είναι τα βάρη. Β) Μεγιστοποιώντας την ολική log-πιθανοφάνεια: L * ( β ) : log( L ( β )) log( L ( z ( ))) β, των ενδεικτικών τιμών πιθανοτήτων, που είναι το άθροισμα των log-πιθανοφανειών log( Lz ( ( β ))) για κάθε παρατήρηση (ηλικία ()), αφού ορίσουμε μια κατάλληλη κατανομή στις παρατηρούμενες τιμές θνησιμότητας. Οι μερικές παράγωγοι της ολικής logπιθανοφάνειας ως προς τις άγνωστες παραμέτρους ( β ) εξισώνοντας τες με μηδέν θα μας δώσουν το σύστημα των εξισώσεων για την εκτίμηση των παραμέτρων αυτών. Σε περιπτώσεις όπου το μαθηματικό-στατιστικό μοντέλο, που περιγράφει την θνησιμότητα, μπορεί να πάρει την μορφή ενός Γενικευμένου Γραμμικού Μοντέλου (Generalized Linear Model), τότε έχουμε μοναδιαία λύση για την εκτίμηση των παραμέτρων. o ˆ z z( β ) C) Ελαχιστοποιώντας την τιμή X : X :. Η ελαχιστοποίηση μπορεί π.χ. να o Var( z ) επιτευχτεί με την μέθοδο downhill simple του Nelder & Mead (965). Αν και το κριτήριο της πιθανοφάνειας και της ελαχιστοποίησης της δίνουν παρόμοιες εξομαλύνσεις, τα δυο κριτήρια παράγουν διαφορετικές εκτιμήσεις για τις παραμέτρους. Ωστόσο, το κριτήριο της πιθανοφάνειας έχει συγκριτικά πλεονεκτήματα, διότι μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση X

48 για τον πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης του διανύσματος των παραμέτρων: * ˆ L ( β ) L Cov( β ) / E, όπου βi β ( ) * ( β ) E Hij ( β ) E j ο informaion mari, καθώς και βi β j ότι οι εκτιμώμενοι παράμετροι ˆβ ασυμπτωτικά είναι αμερόληπτοι με ελάχιστη διασπορά που ακολουθούν μια πολυμεταβλητή κανονική κατανομή. Παρατηρούμε ότι ο πίνακας διακύμανσηςσυνδιακύμανσης περιέχει το άγνωστο διάνυσμα ( β ). Μια καλή προσέγγιση είναι να αντικαταστήσουμε το άγνωστο διάνυσμα ( β ) με το αντίστοιχο εκτιμημένο ˆ L * ( β ) Cov( β ) / E. ˆ β ˆ i β j ( ˆ β ), δηλαδή Ως εφαρμογή, αν μας ενδιαφέρει η εξομάλυνση ρυθμών θνησιμότητας, δηλαδή αν z( β ) μ( β), τότε επειδή η Poisson κατανομή μας περιγράφει κατάλληλα την τυχαία μεταβλητή Θ που συμβολίζει τον αριθμό των θανάτων για άτομα ηλικίας με ετικέτα (), η ολική log-πιθανοφάνεια στην περίπτωση αυτή είναι το άθροισμα των log-πιθανοφανειών για κάθε ηλικία. Για την ηλικία () η log-πιθανοφάνεια όπως έχουμε δει είναι ίση με R μ ( β) + ϑ log( R μ ( β)) log( ϑ!) και η ολική logπιθανοφάνεια γίνεται: log( L( β)) { R μ ( β) + ϑ log( R μ ( β)) log( ϑ!) }. Επειδή τα και ϑ δεν εξαρτώνται από το διάνυσμα των παραμέτρων ( β ), η μεγιστοποίηση της ολικής logπιθανοφάνειας ως προς ( β ) είναι ισοδύναμο με την μεγιστοποίηση της συνάρτησης { R } L * ( β ): μ ( β) + ϑ log( μ ( β)) R. Η μέση τιμή της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης αυτής, ως προς β i, β j, θα μας δώσει τον informaion mari καθώς και τον πίνακα διακύμανσηςσυνδιακύμανσης των παραμέτρων. 8.3 Στατιστικά τεστ εξομάλυνσης Ορίσουμε ως σχετική απόκλιση για κάθε ηλικία, (relaive deviaion) την διαφορά μεταξύ του πραγματικού αριθμό των θανάτων ϑ και της αναμενόμενης τιμής του, διαιρεμένη με την αντίστοιχη ϑ E( ϑ ) τυπική απόκλιση: z :. Var( ϑ ) Ως εφαρμογή, αν έχουμε εξομαλυμένους ρυθμούς θνησιμότητας, δηλαδή ˆ μ ή m ˆ τιμές, τότε μπορούμε, κάτω από την υπόθεση της Poisson κατανομής, να έχουμε τα εξής: E( ϑ ) R ˆ μ και Var ( ϑ ) ˆ R μ. Αν σε κάθε ηλικία έχουμε (αναμενόμενους) θανάτους τουλάχιστον 5 τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι σχετικές αποκλίσεις, για όλες τις ηλικίες, ακολουθούν προσεγγιστικά μια τυπική κανονική κατανομή. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση, διάφορα στατιστικά κριτήρια χρησιμοποιούνται για την μελέτη της καταλληλότητας των εκάστοτε προτεινομένης μεθόδου εξομάλυνσης. Συνήθως εξετάζουμε το χ-τετράγωνο τεστ, το τεστ των ατομικών τυποποιημένων αποκλίσεων (Individual Sandardized Deviaions es), το τεστ των πρόσημων (Sign es) και το τεστ των συστάδων (Runs es). Κάθε ένα από τα παραπάνω τεστ εξετάζει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά της εξομάλυνσης και η αποτυχία του καθενός από αυτά θα έχει ως αποτέλεσμα την επανεξέταση του εκάστοτε μοντέλου.

49 Τα τεστ αυτά εξετάζουν την πιθανή ύπαρξη: a. ενός μεγάλου αριθμού υπερβολικά μεγάλων αποκλίσεων b. μιας μεγάλης συσωρευτικής απόκλισης σε διαστήματα του ηλικιακού φάσματος. μεγάλου πλήθους θετικών (ή αρνητικών) αποκλίσεων σε όλο το ηλικιακό φάσμα d. ενός υπερβολικού όγκου αποκλίσεων της ίδιας περίπου τιμής σε όλο το ηλικιακό φάσμα. χ-τετράγωνο τεστ Το χ-τετράγωνο τεστ εκτιμά την συνολικά καλή προσαρμογή της εξομάλυνσης. Αυτό εμπλέκει το στατιστικό X το οποίο ορίζεται σαν το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων X n ( z ). Σύμφωνα με την υπόθεση της κανονικής κατανομής για τις αποκλίσεις η X τιμή ακολουθεί μια χ- τετράγωνο κατανομή με n- βαθμούς ελευθερίας, αν έχουμε n ηλικίες και το μοντέλο μας περιέχει παραμέτρους. τεστ των ατομικών τυποποιημένων αποκλίσεων o τεστ των ατομικών τυποποιημένων αποκλίσεων (Individual Sandardised Deviaions es) σχεδιάστηκε για να επαληθεύσει κατά πόσον οι σχετικές αποκλίσεις, z, είναι προσεγγιστικά κατανεμημένα όπως η Ν(,). Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση, οι αριθμοί των αναμενόμενων σχετικών αποκλίσεων στα διαστήματα (-,-3), (3,-), (-,-), (-,), (,), (,), (,3), (3, ) δίνονται από: % n, % n, 4% n, 34% n, 34% n, 4% n, % n, % n αντίστοιχα, όπου n είναι ο αριθμός των ηλικιών. Η διαφορά μεταξύ της παρατηρούμενης σχετικής απόκλισης και της αναμενόμενης σχετικής απόκλισης σε αυτά τα διαστήματα, διαιρεμένη με την αναμενόμενη σχετική απόκλιση μας ορίζει μια καινούργια z-τιμή και το άθροισμά τους προσεγγίζει ένα χ-τετράγωνου τεστ. τεστ των πρόσημων Το τεστ των πρόσημων (Sign Τes) σχεδιάστηκε για τον έλεγχο ενός μεγάλου πλήθους θετικών (ή αρνητικών) σχετικών αποκλίσεων σε όλο το ηλικιακό φάσμα. Κάτω από την μηδενική υπόθεση ότι τα πρόσημα των σχετικών αποκλίσεων είναι τυχαία κατανεμημένα, αναμένουμε ότι ο αριθμός των θετικών (ή αρνητικών) αποκλίσεων Ν να κατανέμεται διωνυμικά N Bin( n, / ), όπου n το ηλικιακό εύρος. Αυτό προσεγγιστικά μας δίνει ότι N N(n/, n/4) N n/ N n N (,) και έτσι n/ 4 n N n ελέγχουμε αν η στατιστική : ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή. n τεστ των συστάδων Το τεστ των συστάδων (Runs Τes) ελέγχει την ύπαρξη συστάδων σχετικών αποκλίσεων, δηλαδή ομάδες από σχετικές αποκλίσεις ίδιου πρόσημου σε γειτονικές ηλικίες. Κάτω από την υπερ-γεωμετρική κατανομή (hypergeomeri), ο αριθμός ομάδων (G) με σχετικές αποκλίσεις ίδιου πρόσημου σε γειτονικές ηλικίες έχει μέση τιμή και διασπορά: E(G) n ( n + ) ( n n) G E( G) & Var(G), με προσέγγιση : N(,) 3 ( n+ n) ( n+ n) Var( G) όπου n και ορίζουν τον παρατηρούμενο αριθμό των θετικών και αρνητικών σχετικών αποκλίσεων n (Benjamin & Pollard, 98).

50 8.4 Παραμετρικά μαθηματικά μοντέλα εξομάλυνσης Τα παραμετρικά μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται για να περιγράφει μαθηματικά μια συνάρτηση θνησιμότητας, όπως είναι για παράδειγμα η S ( ), η, η q ή η μ. Οι παραμετρικές συναρτήσεις συνήθως καλούνται ως νόμοι θνησιμότητας. Αυτοί περιγράφουν την θνησιμότητα, με μαθηματικές συναρτήσεις, σε σχέση με την ηλικία. Η χρησιμότητα τους έγκειται στο ότι παράγουν ομαλοποιημένες τιμές θνησιμότητας, συνήθως δίνουν πληροφορίες για ελλιπή δεδομένα, και συχνά παρέχουν μεγάλη ευκολία στο να συγκριθούν πίνακες θνησιμότητας. Οι νόμοι θνησιμότητας εξελίχθηκαν σε έρευνα από το πρώτο μισό του 8 ου αιώνα. Οι πιο σημαντικές παραμετρικές συναρτήσεις θνησιμότητας είναι οι εξής. De Moivre (75) Μια πρώτη προσπάθεια να περιγραφεί ένας πίνακας ζωής από έναν μαθηματικό νόμο δόθηκε από τον Abraham de Moivre κάτω από μια υπόθεση γραμμικότητας. Στο βιβλίο του Annuiies upon lives παρέχει μια εκτενή αναφορά στην αποτίμηση των ραντών ζωής, αλλά η υπόθεση του για την ανθρώπινη θνησιμότητα είναι ανεπαρκής και δεν έχει καμία εφαρμογή σήμερα. Η βασική του μαθηματική σχέση αναφέρεται στη συνάρτηση και υποθέτει ότι η είναι γραμμική συνάρτηση του : κ ( ω ) με ω, όπου ω δηλαδή η οριακή ηλικία, και κ θετική σταθερά. Έτσι, έχουμε S ( ) ω () S p και μ για < ω. ω ω Παρατηρούμε ότι σύμφωνα με τον νόμο De Moivre η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, ω ) καθώς και ότι limμ Gomperz s (85) Μια σημαντική βελτίωση στη μαθηματική ανάλυση ενός νόμου για τη θνησιμότητα ανθρώπινων ζωών χρονολογείται το 85 όταν ο Εγγλέζος αναλογιστής Benjamin Gomperz έδωσε μια θεωρητική βάση ότι η ένταση θνησιμότητας αυξάνει με την ηλικία. Ο νόμος του έγινε θεμέλιο για τη βιολογία της ανθρώπινης ζωής. Ο Gomperz έθεσε ότι ο ρυθμός με τον οποίο η ικανότητα αντίστασης στο θάνατο (resisiviy o deah) μειώνεται είναι ανάλογη με την ίδια αντίσταση στο θάνατο. Επειδή όμως η ένταση θνησιμότητας λειτουργεί ως ένα μέτρο για την ανθρώπινη δεκτικότητα στο θάνατο, ο Gomperz πήρε d την αντιστροφή της ως ένα μέτρο αντίστασης, δηλαδή έθεσε ότι ( ) a, όπου α θετική d μ μ σταθερή ποσότητα. Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση έχουμε ω. e a μ Α ή χ μ Α B, όπου οι τιμές των σταθερών Α και Β κυμαίνονται μεταξύ των 6 < A < 3 και, 8 < B <,. Παρατηρούμε ότι ένας λογαριθμικός μετασχηματισμός του παραπάνω τύπου μας δίνει log( μ) log( A) + log( B) β + α, δηλαδή η γραφική του απεικόνιση σε λογαριθμική κλίμακα της έντασης θνησιμότητας πρέπει να είναι γραμμική κατά μήκος των ηλικιών. Επίσης η παραπάνω σχέση μπορεί να τεθεί ως μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, αφού ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση f '( ) + a f( ), όπου f ( ) να δηλώνει την αντίσταση στο θάνατο. Ακόμη, παρατηρούμε ότι ο νόμος αυτός βασίζεται στην υπόθεση ότι μ+ / μ B. Ο νόμος αυτός βασίζεται σε θεωρητικές βάσεις με ελάχιστο αριθμό παραμέτρων και μας δίνει μια περιγραφή της ανθρώπινης θνησιμότητας για ηλικίες μεγαλύτερες των 3, όπου η θνησιμότητα είναι μια μονότονα αύξουσα συνάρτηση της ηλικίας. Τέλος, για να εκφράσουμε το νόμο σε σχέση με τις Από την σχέση και p συναρτήσεις εργαζόμαστε ως εξής. μ Α Β ολοκληρώνοντας παίρνουμε ότι

51 AB d A B d n g nb μ [ ] μ d e g B ή ( B ) ( ) A, όπου ng ( ) nb ( ) ( ) B p g B B κ g όπου κ. Οπότε,. g. Τότε Gomperz - Maeham (86) Ο Gomperz σημείωσε ότι συνάμα με το νόμο της θνησιμότητας, που περιγράψαμε πριν, πρέπει να υπάρχει και ένα στοιχείο θνησιμότητας που δεν εξαρτάται από την ηλικία. Εξηγεί ότι είναι πιθανό ότι ο θάνατος είναι συνέπεια δύο γενικών συνυπάρχων αιτίων : το ένα είναι το τυχαίο, χωρίς προηγούμενη προδιάθεση ή χειροτέρευση ή αύξουσα ανικανότητα να ανθίσταται στη φθαρτότητα (Gomperz, 85). Η παρατήρηση αυτή του Gomperz λήφθηκε υπόψη το 86 από τον Εγγλέζο αναλογιστή William Maeman, που έθεσε ότι η ένταση θνησιμότητας είναι ένα άθροισμα μιας σταθεράς (όρος Maeman) και μιας εκθετικής συνάρτησης (συνάρτηση Gomperz). Η μαθηματική έκφραση έτσι έχει την ακόλουθη μορφή: μ A + B. Ολοκληρώνοντας έχουμε ότι A ns ng μ d ( A B ) d B B + n n + μ d τ ns + ng S B n e, όπου g και s e A. Τότε ( ) e e g ή κs g, οπότε και p S g. Επίσης, η τιμή της σταθεράς Α κυμαίνεται μεταξύ των.< A <.3. Ακόμη, παρατηρούμε ότι ο νόμος αυτός βασίζεται στην υπόθεση ότι ( μ μ )/( μ μ ). + Περαιτέρω τροποποιήσεις που έγιναν στο νόμο του Gomperz-Maeman έχουμε για παράδειγμα, ένα δεύτερο νόμο μ A + H + B που συνδυάζει ένα γραμμικό και ένα εκθετικό στοιχείο. Έκτοτε, έχει γίνει χρήση γενικευμένων Maeman της μορφής μ φ( ) + B όπου φ ( ) είναι πολυώνυμο βαθμού τουλάχιστον ή κάποια άλλη συνάρτηση. Opperman (87) Ο Opperman πρότεινε την ακόλουθη μορφή a μ + b+ για την ένταση θνησιμότητας η οποία είναι κατάλληλη μόνο για τα πρώτα χρόνια ζωής. hiele και Seffensen (87) Διαφοροποιήσεις στο νόμο του Opperman έγιναν από τον hiele και Seffensen σε μια προσπάθεια εύρεσης μιας μαθηματικής έκφρασης που να είναι έγκυρη για όλες τις ηλικίες. Ο hiele (87) είχε την άποψη ότι μια τέτοια έκφραση θα έπρεπε να έπαιρνε υπόψη τις διαφορές στη συμπεριφορά της θνησιμότητας κατά τη διάρκεια των κυρίων εποχών της ζωής: την παιδική, την ενήλικη και τα γερατειά. Έτσι ήθελε την διαμέριση της έντασης θνησιμότητας (οπότε και της καμπύλης επιβίωσης) σε b τρία μέρη μ μ + μ + μ3 όπου μ a e η ένταση θνησιμότητας για την παιδική, b ( ) μ a e για τα γερατειά. b 3 η ένταση θνησιμότητας για την ενήλικη και μ a e η ένταση θνησιμότητας 3 3 Per (87) A+ BC A+ BC μ και μ + DC κc + + DC Οι παραπάνω τύποι είναι οι κύριοι τύποι του Per και αποτέλεσαν μια ικανοποιητική προσπάθεια να προσαρμοστεί μια μοναδική καμπύλη σε ολόκληρο το εύρος ηλικιών. Beard (95)

52 BC Ο Beard πρότεινε μια απλοποιημένη έκδοση του νόμου του Per, με Α : μ + DC Weibull (95) Σύμφωνα με τον Gavrilov και Ganrilova (99) η κατανομή του Weibull χρησιμοποιείται ευρέως και είναι ξακουστή στη θεωρία της αξιοπιστίας. Προτάθηκε από τον Weibull το 95 και είναι διαφορετική σε αρχές από την κατανομή του Gomperz αφού ένταση θνησιμότητας περιγράφεται ως μια συνάρτηση δύναμης σε σχέση με την ηλικία : μ λ γ γ. Έτσι, για γ > η μ είναι αύξουσα συνάρτηση της ηλικίας, για γ η μ είναι σταθερή συνάρτηση της ηλικίας (εκθετική κατανομή για την τυχαία μεταβλητή Τ) και για < γ < η μ είναι φθίνουσα συνάρτηση της ηλικίας. Σε αναλογία με τον νόμο του Gomperz, ο παραπάνω νόμος μπορεί να περιγραφεί ως μια γραμμική διαφορική εξίσωση με μεταβλητούς συντελεστές, τέτοια ώστε η ένταση θνησιμότητας να ικανοποιεί γ την ακόλουθη έκφραση f '( ) + f( ) όπου η f( ) δηλώνει την αντίσταση στο μ θάνατο. Η κατανομή Weibull είναι έγκυρη σε ένα ευρύ πεδίο φυσικών φαινόμενων καθώς έχει και σημαντικές εφαρμογές στις γενικές ασφαλίσεις. Η συνάρτηση πιθανότητας πυκνότητας της Weibull γ γ λ είναι f ( ) λγ e. Ο περιορισμός που επιβάλλεται από το νόμο Weibull είναι σε λογαριθμική κλίμακα η ένταση θνησιμότητας πρέπει να είναι στην ακόλουθη μορφή λ n( μ ) n( Β ) + n( ). Επίσης, παρατηρούμε ότι S ( ) e για. χ Ο Gavrilov και Gavrilova (99) χρησιμοποίησαν μια γενικευμένη μορφή του νόμου Weibull : μ A + B X, και έναν άλλο νόμο που τον ονόμασαν γενικευμένο δυωνυμικό νόμο : μ A + ( b+ ) n Barne q A H + B C. Χρησιμοποιήθηκε για να περιγράψει την θνησιμότητα των ασφαλισμένων p ζωών που εκδόθηκαν στο Ενωμένο Βασίλειο (UK) στο διάστημα και για ηλικίες άνω των 7 ετών έως την ηλικία των 89. Wilκie F( ) e q, όπου F() είναι ένα πολυώνυμο του. Η παραπάνω φόρμουλα χρησιμοποιήθηκε για να F( ) + e περιγράψει την θνησιμότητα των συντάξιμων ζωών που εκδόθηκαν στο Ενωμένο Βασίλειο (UK) στο χρονικό διάστημα Heligman και Pollard (98) q ( + B) E ( n nf) A + De + G H. Ο νόμος του Heligman και Pollard είναι η πιο γνωστή p έκφραση για την περιγραφή της θνησιμότητας για όλες τις ηλικίες. Wisein (883) n n ( m ) ( M ) q a + a m Seffenson (93) log s ( ) A B + C γ

53 Harper (936) log ( ) B + s A C + + D Van der Maen(943) μ A + B + C + N ή μ A + B + N Πολυωνυμική (γνωστή και ως Unnamed) ( a+ a + a ) q y ( ) e όπου y ( ) q,, μ, ή e() (Keyfiz 98). Τα πολυώνυμα είναι p γνωστές τεχνικές εξομάλυνσης και συμπερασμάτων. Ένας καλός λόγος για χρήση πολυωνύμων στη μοντελοποίηση της θνησιμότητας είναι ότι οι περισσότερες συναρτήσεις προσεγγίζονται από πολυώνυμο κάθε βαθμού ακρίβειας σε μορφή των δυναμοσειρών aylor. Επίσης, τα πολυώνυμα συνδέονται άμεσα με τα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα (Generalized Linear Model). Brillinger (96) C ( ) i Ai μ Hi Bi + + E C i d ( b ) i + i Berd (96) u Be μ ( ) + u De i i Siller (979) b μ ae + a + ae b3 3 Broos e al.(98) μ μ ( ) + μ ( ) + μ ( ) A S (ln ln A ) όπου Q για δ μ, ( ) μ γ A ( ) QAe και Q > S QSe μ S ( ) S + QS e Perioli (98) s ( ) a b + d ( ω ) e + Harman(98) ηλικίες έως 5 ετών: ηλικίες 5 έως 35 ετών: ηλικίες 35 έως 6 ετών: όπου y()logi(l) y( ) A + B ln y( ) A + B ln y ) A B ln ( Mode and Busby (98) ηλικίες έως ετών: μ ( a β e β ) ) γ ( ) a γ e ηλικίες 5 έως 3 ετών: μ ( ) a β ( γ ηλικίες 3 και πάνω : μ + β

54 Rogers and Plan (983) q λ a a e ( μ ) ( μ ) ( ) A + Ae + Ae + Briish auaries (98s) q( ) A H + b p( ) Marinelle (987) A+ B e μ + e + D e A e 3 a3 Kosai (99) C ( ) (log F ) q + A + De + GH C p ( ) (log + F ) A + De + GH B E B E F > F Rogers and Lile (993) y ( ) a + m ( ) + m ( ) + m3( ) + m4 ( ) όπου m ( ) aep( a ), m ( ) aep( a ( μ) ep( λ( μ))), m3( ) a3ep( a3( μ3) ep( λ3( μ))), m4( ) a4ep( a4 ), q με y ( ) q,, μ p Παράδειγμα Υποθέτουμε ότι η θνησιμότητα ακολουθεί το νόμο του De Moivre και ότι την Var( Τ6). Λύση ΕΤ ( ) 36. Υπολογίστε Εφόσον η θνησιμότητα ακολουθεί το νόμο του De Moivre γνωρίζουμε ότι SΤ () p ω για ω. Την διασπορά θα την υπολογίσουμε από την σχέση Var( Τ ) Ε( Τ ) ( Ε( Τ )), οπότε αρκεί να υπολογίσουμε την ποσότητα ΕΤ ( ). Γνωρίζουμε ότι ΕΤ ( ) p d. 6 6 ω Επομένως ω ω ω ω ΕΤ ( ) ( ) d ( ) d ω d ω d ω 3 ω 3 3 ( ω ) ( ω ) ( ) ω ( ω ) ω 3 ( ω ) 3 3 ( ω ) ( ω ) ΕΤ ( ) ω ω ω

55 Επίσης γνωρίζουμε ότι όταν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο (α,β) έχουμε α + β ότι ΕΧ ( ). Επειδή η Τ ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο [, ω ) έχουμε ότι + ω ω Ε( Τ ) Ε( Τ ). Επομένως Ε( Τ 6 ) 36 ω 6 36 ω 6 7 ω ω 88. Άρα Ε( Τ 6 ) , , ,33 78 και ( ) ( ) ( ) Var ΕΤ ( ) Ε Τ Παράδειγμα