Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

2 Συναρτήσεις Συνάρτηση: Μαθηματική σχέση μεταξύ 2 ή περισσότερων μεταβλητών. y=f(x) η μεταβλητή y εξαρτάται από τη μεταβλητή x (f:function) f: x y οι τιμές του x απεικονίζονται στις τιμές του y μέσω της συνάρτησης f. Πεδίο ορισμού: το σύνολο των τιμών της μεταβλητής x Πεδίο τιμών: το σύνολο των τιμών της μεταβλητής y x ανεξάρτητη μεταβλητή y εξαρτημένη μεταβλητή Q=f(P) η ποσότητα αγοράς Q εξαρτάται από την τιμή προϊόντος P 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

3 y άξονας ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (ΓΡΑΦΗΜΑ) Μαθηματική εξίσωση y=f(x)=100-5x Πίνακας x=6: y=100-5*6=70 x=7: y=100-5*7=65 x=8: y=100-5*8=60 x=10: y=100-5*10=50 Γραφική Παράσταση y=100-5x x άξονας 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

4 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=f(x)=k δηλ. y=f(x)=k+0*x οπότε στην μαθηματική εξίσωση δεν υπάρχει η μεταβλητή x. Ονομάζεται σταθερή συνάρτηση γιατί η τιμή του x δεν επηρεάζει την τιμή του y, στα οικονομικά αναπαριστά το σταθερό κόστος μιας επιχείρησης (το κόστος που δεν εξαρτάται από το μέγεθος της παραγωγής, π.χ. το κόστος του ενοικίου ενός κτιρίου στο οποίο γίνεται η παραγωγή, το κόστος αγοράς ενός μηχανήματος, κ.λ.π.) y=10 x y Y 10 0 Y=10 X X=5 0 5 X 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Ευθεία παράλληλη στον Χ άξονα Ευθεία παράλληλη στον Y άξονα

5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=ax+c όπου a συντελεστής κλίσης της ευθείας, c σταθερά Αν a=0 τότε y=c σταθερή συνάρτηση παράλληλη στον Χ άξονα Y Y=ax+c (a>0) Αν c=0 τότε η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων Αν a>0 τότε έχει κλίση προς τα πάνω (αύξουσα) Αν a<0 τότε έχει κλίση προς τα κάτω (φθίνουσα) Y c Y=c Y Y=ax Y 0 X Y=ax+c (a<0) 0 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: X 0 X 0 X

6 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΛΙΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η συνάρτηση y=ax+c έχει γραφική παράσταση μια ευθεία στο επίπεδο ΧΥ Συντελεστής κλίσης ευθείας ονομάζεται η μεταβολή του y όταν μεταβάλλεται το x κατά 1 μονάδα Δy Y y 2 y ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: φ Α x 1 x 2 Δx y=ax+c (a>0) Στο γράφημα η κλίση της ευθείας είναι η γωνία με τον Χ-άξονα και από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι tanφ=βγ/γα=δy/δx=a Β Γ X Έστω ευθεία y=ax+c και 2 σημεία της ευθείας Α(x1,y1) και Β(x2,y2) Η ευθεία σχηματίζει γωνία φ με τον οριζόντιο άξονα Χ Κλίση ευθείας=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 )=? (σχέση 1) Για να υπολογίσουμε την κλίση στη γενική περίπτωση πρέπει x 2 x 1 Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 1 =ax 1 +c (σχ. 2) Επειδή το σημείο B ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 2 =ax 2 +c (σχ. 3) Αντικαθιστώντας στη σχέση 1 τo y 1 από τη σχέση 2 και το y 2 από τη σχέση 3 θα έχουμε: (σχέση 1)=> κλίση=[(ax 2 +c)-(ax 1 +c)]/(x 2 -x 1 )=(ax 2 +c-ax 1 -c)/(x 2 -x 1 )= (ax 2 -ax 1 )/(x 2 -x 1 )=a(x 2 -x 1 )/(x 2 -x 1 )=a ΑΡΑ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ είναι το a

7 ΟΡΙΣΜΟΣ-ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Μια ευθεία y=ax+c (γραμμική συνάρτηση) ορίζεται: Από 2 οποιαδήποτε σημεία της Από 1 σημείο της και τον συντελεστή κλίσης ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) ΑΝ: Γνωρίζουμε 2 σημεία Α,Β Γνωρίζουμε 1 σημείο Α & κλίση a=tanφ Y Α Β Y Α φ 0 X 0 X 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

8 ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΌ 2 ΣΗΜΕΙΑ Y 0 Α Ο 1 ος τρόπος απαιτεί γνώση για τον ορισμό της κλίσης ευθείας Ο 2 ος τρόπος οδηγεί σε σύστημα εξισώσεων 2Χ2 Β X Αν γνωρίζουμε 2 σημεία μπορούμε να υπολογίσουμε τη μοναδική ευθεία που ορίζεται από αυτά: Δεδομένα: έστω Α(x 1,y 1 ) και Β(x 2,y 2 ) Αναζητάμε την ευθεία (μαθηματικά!) δηλ. την εξίσωση y=ax+c 1 ος ΤΡΟΠΟΣ: Η κλίση a μιας ευθείας δίνεται από τη σχέση κλίση=a=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) επομένως από τις συντεταγμένες των Α,Β υπολογίζουμε την κλίση a, απομένει ο υπολογισμός της σταθεράς c στην εξίσωση y=ax+c Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 1 =ax 1 +c => c=y 1 -ax 1 Επομένως a=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) και c=y 1 -ax 1 Παράδειγμα: Δίνονται τα σημεία Α(3,4) και Β (5,8), βρείτε την ευθεία που ορίζουν κλίση=a=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 )=(8-4)/(5-3)=4/2=2 c=y 1 -ax 1 =4-2*3=4-6=-2 ή χρησιμοποιώντας το Β: c=y 2 -ax 2 =8-2*5=8-10=-2 Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι y=ax+c=2x-2 2 ος ΤΡΟΠΟΣ: Το καθένα από τα σημεία Α(x 1,y 1 ) και Β(x 2,y 2 ) επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας y=ax+c επομένως: y 1 =ax 1 +c και y 2 =ax 2 +c => 4=a*3+c και 8=a*5+c => 3a+c=4 και 5a+c=8 (σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους a,c) Λύνουμε και τις 2 ως προς c έχουμε c=4-3a και c=8-5a => 4-3a=8-5a => 5a-3a=8-4 => 2a=4 =>a=4/2=2 Αφού a=-2 αντικαθιστώ στην 1 η εξίσωση και έχω 3*2+c=4 => 6+c=4 => c=4-6=-2 Επομένως a=2 και c=-2 : y=2x-2

9 ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΌ 2 ΣΗΜΕΙΑ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ Y Y 0 0 Α Α Ζ(x,y) Β Β X X 3 ος ΤΡΟΠΟΣ (ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ!) Μπορούμε να αποφύγουμε τον υπολογισμό του a και c ξεχωριστά και να υπολογίσουμε απευθείας την εξίσωση της ευθείας! ΥΠΟΘΕΤΟΥΜΕ ένα 3 ο σημείο Ζ(x,y) της ευθείας Από τα σημεία Α(3,4) και Ζ(x,y) η κλίση της ευθείας θα δίνεται από την σχέση: a=δy/δx=(y-4)/(x-3) (σχ. 1) Από τα σημεία Β(5,8) και Α(3,4) η κλίση της ευθείας θα δίνεται από την σχέση: a=δy/δx=(8-4)/(5-3) (σχ. 2) Στις 2 παραπάνω σχέσεις 1 και 2 τα πρώτα μέλη είναι ίσα, άρα και τα δεύτερα! (y-4)/(x-3) =(8-4)/5-3) => (y-4)/(x-3) =4/2=2 => y-4=2(x-3) => y-4=2x-6 =>y=2x-6+4 => y=2x-2 υπολογίσαμε απευθείας την εξίσωση Και οι 3 ΤΡΟΠΟΙ είναι σωστοί και δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα!!! ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ! Έχουμε τα σημεία Α(3,4) Β(5,8) και την ευθεία y=2x-2 Μπορώ να το επαληθεύσω? Για το σημείο Α: είναι 4=2*3-2=4 άρα όντως το σημείο Α ανήκει στην ευθεία Για το σημείο Β: είναι 8=2*5-2=8 άρα όντως το σημείο Β ανήκει στην ευθεία Αριθμητικά λάθη στις πράξεις θα μπορούσαν να εντοπιστούν αν δεν ίσχυε η εξίσωση της ευθείας για μόνο το Α, μόνο το Β ή και τα 2 μαζί Α και Β

10 ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΌ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ Y 0 Α X φ Αν γνωρίζουμε 1 σημείο Α(x 1,y 1 ) και την κλίση a της ευθείας y=ax+c (γωνία φ της ευθείας με τον Χ-άξονα): 1 ος ΤΡΟΠΟΣ: Επειδή το σημείο Α(x 1,y 1 ) ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 1 =ax 1 +c επομένως αν A(3,4) και κλίση a=2 έχουμε 4=2*3+c => 4=6+c => 4-6=c => c=-2 Επομένως y=ax+c=2x-2 η εξίσωση της ευθείας 2 ος ΤΡΟΠΟΣ: Αν υποθέσουμε το σημείο Ζ(x,y) που ανήκει στην ευθεία θα έχουμε από τον ορισμό της κλίσης a: a=δy/δx=(y 1 -y)/x 1 -x)=(4-y)/(3-x)=2 => 4-y=2(3-x) => 4-y =6-2x => -y=-2x+6-4 => -y=-2x+2 => y= 2x-2 απευθείας η εξίσωση της ευθείας. ΓΡΑΦΙΚΑ Η ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΟΡΙΖΕΙ ΜΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕ ΑΠΕΙΡΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΕΊΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ, ΑΠΌ ΚΆΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΕΡΝΑΕΙ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΕΥΘΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΙΣΗ ΑΥΤΉ. 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

11 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ο πωλητής ενός προϊόντος γνωρίζει ότι όταν η τιμή του προϊόντος είναι P=2 τότε η ποσότητα αγοράς είναι Q=4, ενώ αν αυξηθεί η τιμή κατά 1 μονάδα η ποσότητα αγοράς μειώνεται κατά 2. Να βρεθεί η συνάρτηση ζήτησης Q(P) του προϊόντος και να σχεδιαστεί, υποθέτοντας ότι είναι γραμμική. ΛΥΣΗ Η γραμμική συνάρτηση ζήτησης θα είναι Q(P)=aP+c Μας δίνεται ένα σημείο της (P,Q)=(2,4) και ότι ο συντελεστής κλίσης a=-2 (γιατί είναι φθίνουσα) Άρα ψάχνουμε την ευθεία γνωρίζοντας ένα σημείο (2,4) και την κλίση a=-2. Το P,Q)=(2,4) σημείο της ευθείας επομένως θα ισχύει: Q=aP+c => 4=-2*2+c =>4=-4+c => c=4+4=8 Επομένως Q(P)=aP+c=-2P+8 (είναι ευθεία με κλίση προς τα κάτω, φθίνουσα!) Σχεδίαση συνάρτησης Q(P)=aP+c=-2P+8 Q Επειδή τα Q, P έχουν νόημα μόνο για τιμές 0 θα είναι στο θετικό τεταρτημόριο 8 η γραφική παράσταση. Άξονας Χ P (ανεξάρτητη μεταβλητή), Άξονας Υ Q (εξαρτημένη μεταβλητή) Υπολογίζουμε τα σημεία (0, Q(O)) και (P,0): Q(P)=0 =>ap+c=0 => -2P+8=0 => 2P=8 => P=4 επομένως το σημείο στον άξονα P είναι (4,0) Αντίστοιχα στον άξονα Q: Q(P=0)=aP+c=-2*0+8=8 επομένως το σημείο στον άξονα Q είναι (0,8) 4 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: 0 Q(P)=-2P+8 P

12 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΟΣΤΟΥΣ Εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων έχει στόλο 10 αυτοκινήτων με τιμή αγοράς και λειτουργικό κόστος 0.50/χλμ. Ποια είναι η συνάρτηση κόστους κάθε αυτοκινήτου? Αν συμβολίσουμε με x τα χλμ και y το κόστος κάθε αυτοκινήτου θα έχουμε: Κόστος αυτοκινήτου y=σταθ. Κόστος+μεταβλητό κόστος= x επομένως: y= x Αν κάθε έτος κάθε αυτοκίνητο πραγματοποιεί χλμ θα έχουμε ετήσιο κόστος (x=40000): y= *40000= =35000 Επειδή η εταιρία έχει 10 αυτοκίνητα το συνολικό κόστος είναι 35000*10=350000/έτος 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

13 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΒΟΛΕΣ Μια συνάρτηση με σχέση ορισμού της μορφής: y=ax 2 +bx+c με a 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση εξαιτίας του τετραγώνου x 2 και η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή. Κυρτή (convex) U (a>0) κοίλη (a<0) Άξονας συμμετρίας εφαπτομένη Κορυφή παραβολής φαπτομένη 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Κορυφή παραβολής Άξονας συμμετρίας

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η τετραγωνική συνάρτηση y=x 2-8x+7 έχει τη γραφική παράσταση: ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Παραβολή y=x 2-8x κορυφή x y=x 2-8x Επειδή η γραφική συνάρτηση είναι καμπύλη γραμμή για να την σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε πολλά σημεία (x,y)

15 ΡΙΖΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΓΡΑΦΙΚΑ) Τα σημεία που μια παραβολή τέμνει τον χ-άξονα (δηλ. είναι y=0) ονομάζονται ρίζες της τετραγωνικής συνάρτησης: Υ-άξονας Υ-άξονας Υ-άξονας Χ 1 Χ 2 X-άξονας Χ 2 πραγματικές ρίζες Χ 1, Χ 2 1 πραγματική ρίζα Χ (διπλή) 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: καμία πραγματική ρίζα

16 ΡΙΖΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ) Τα σημεία που μια παραβολή τέμνει τον X-άξονα (δηλ. είναι y=0) ονομάζονται ρίζες της τετραγωνικής συνάρτησης υπολογίζονται: y=ax 2 +bx+c=0 Εξαρτώνται από την διακρίνουσα Δ=b 2-4ac b± Δ Αν Δ>0 τότε x 1,x 2 = 2a Αν Δ=0 τότε 1 διπλή ρίζα x=-b/2a = b± b2 4ac 2a Αν Δ<0 αδύνατο (ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ) Επίσης ισχύει x 1 +x 2 =-b/a και x 1 *x 2 =c/a 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΡΙΖΩΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Υπολογισμός ριζών τετραγωνικής συνάρτησης y=x 2-8x+7 y=x 2-8x+7=0 και έχουμε a=1, b=-8 c=7 διακρίνουσα Δ=b 2-4ac=(-8) 2-4*1*7=64-28=36=6 2 Επειδή είναι Δ>0 έχουμε 2 ρίζες x 1,x 2 b± Δ x 1,x 2 = 2a = ( 8)± = 8±6 2 =>x 1=(8-6)/2=2/2=1 και x 2 =(8+6)/2=14/2=7 Επειδή υπάρχει συμμετρία η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο μέσο των x 1,x 2 (οι 2 ρίζες είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα συμμετρίας που είναι κάθετος στην κορυφή της παραβολής) η κορυφή θα έχει x k =(x 1 +x 2 )/2=(1+7)/2=4 Και y(x=4)=x 2-8x+7=4*4-8*4+7= =-9 (αναμενόμενο γιατί είναι a>0 κυρτή) 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΡΙΖΩΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ (ΓΡΑΦΗΜΑ) y=x 2-8x+7=0 και βρήκαμε ρίζες x 1 =1, x 2 =7, κορυφή x k =4, y k =-9 Επομένως η παραβολή μας είναι κυρτή U και περνάει από τα σημεία (1,0) (7,0) του Χ-άξονα με κορυφή (4,-9) -9 Υ-άξονας X-άξονας Για να σχεδιάσουμε την τετραγωνική συνάρτηση: Βρίσκουμε στο επίπεδο τις 2 ρίζες, σημεία (1,0) (7,0) Βρίσκουμε την κορυφή (4,-9) Σχεδιάζουμε μια καμπύλη με 2 καμπύλα τμήματα συμμετρικά ως προς την κορυφή 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

19 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ (ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ) Η ποσότητα ζήτησης για τριαντάφυλλα q d εξαρτάται από την τιμή p σύμφωνα με την συνάρτηση: q d =p 2-100p+2500 Ερωτήσεις: 1 Είναι κυρτή ή κοίλη παραβολή? Επειδή a=1>0 είναι κυρτή (U) 2 Ποια η ζήτηση για δωρεάν διανομή 3 Ποια η τιμή για μηδενική ζήτηση 4 Ποια η ποσότητα ζήτησης για τιμή =20 5 Σχεδιάστε την καμπύλη ζήτησης 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

20 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ q d Συνάρτηση ζήτησης q d =p 2-100p+2500 Υπολογίζω τις ρίζες: Δ=b 2-4ac=(-100) 2-4*1*2500= =0 Επειδή Δ=0 υπάρχει 1 ρίζα p=-b/2a=100/(2*1)= q d =p 2-100p ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: p Επειδή έχει μόνο 1 ρίζα αυτή βρίσκεται πάνω στον p-άξονα και είναι η κορυφή της παραβολής (p=50, q=0). Για να την σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε το σημείο που τέμνει η παραβολή τον q-άξονα, δηλ. υπολογίζουμε το q για p=0 θα έχουμε: q d (p=0)=p 2-100p+2500= *0+2500=2500 Επομένως θα σχεδιάσουμε το 1 ο τμήμα της καμπύλης από το (0,2500) προς την κορυφή (50,0) και στη συνέχεια σχεδιάζουμε το συμμετρικό τμήμα του προηγούμενο προς τα πάνω ΑΛΛΑ ΤΟ ΤΜΗΜΑ από P>50 δεν έχει νόημα στο πρόβλημα!!!

21 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ (2) q d Συνάρτηση ζήτησης q d =p 2-100p+2500 Η τετραγωνική συνάρτηση ισχύει στο πρόβλημα για 0 p 50 2 Ποια η ζήτηση για δωρεάν διανομή Δωρεάν διανομή => p=0 επομένως από τη συνάρτηση q d (p=0)=p 2-100p+2500= *0+2500=2500 η ζήτηση επομένως θα είναι q d (0)=2500 για δωρεάν διανομή 3 Ποια η τιμή για μηδενική ζήτηση q d =p 2-100p+2500 Μηδενική ζήτηση=> q d =p 2-100p+2500=0 => p=50 ρίζα παραβολής 4 Ποια η ποσότητα ζήτησης για τιμή =20 Για την τιμή p=20 από τη συνάρτηση μας => Q d (p=20)=p 2-100p+2500= * = = ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: p

22 ΚΥΒΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση με σχέση ορισμού της μορφής: y=ax 3 +bx 2 +cx+d με a 0 ονομάζεται κυβική συνάρτηση εξαιτίας του κύβου x 3 και η γραφική παράσταση είναι μια σιγμοειδής. 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΥΒΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=x 3 +2x 2 +x+2 Μπορούμε να βρούμε τις ρίζες μόνο σε ειδικές περιπτώσεις! y=x 3 +2x 2 +x+2=0 => x 2 (x+2)+x+2=(x 2 +1)(x+2)=0 παραγοντοποίηση! Άρα x 2 +1=0 ή x+2=0 => x 2 +1=0 αδύνατο στους πραγματικούς x+2=0 => x=-2 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

24 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γραμμική y=ax+c Τετραγωνική y=ax 2 +bx+c Κυβική y=ax 3 +bx 2 +cx+d πολυώνυμο 1 ου βαθμού πολυώνυμο 2 ου βαθμού πολυώνυμο 3 ου βαθμού Πολυωνυμική n βαθμού ανάλογα με τη μεγαλύτερη δύναμη που είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή x στον ορισμό της. Μια πολυωνυμική n βαθμού συνάρτηση έχει μέχρι n ρίζες (τέμνει το x-άξονα το πολύ σε n σημεία) 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.1 Έστω συνάρτηση ζήτησης Q d (P) που ορίζεται από τα σημεία (10,50) και (40,10) ενώ η συνάρτηση προσφοράς Q s (P) από τα σημεία (5,0) και (100, 100) υπολογίστε το σημείο ισορροπίας προσφοράς ζήτησης αν η ζήτηση και προσφορά είναι γραμμικές συναρτήσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ: Υπολογίζουμε τις γραμμικές συναρτήσεις Q d (P)=aP+c και Q s (P)= ap+c από τα αντίστοιχα σημεία που δίνονται. Βρίσκουμε το σημείο τομής όπου Q d (P)= Q s (P) 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

26 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.2 (Β3.3) Στη απόσβεση της αξίας ενός μηχανήματος με την ευθεία μέθοδο υποθέτουμε ότι η αξία του V μειώνεται κάθε έτος κατά σταθερό ποσό και στο τέλος η αξία του ονομάζεται υπολειμματική αξία (τιμή εκποίησης). Αν η αρχική αξία αγοράς είναι , «αποσβένεται» σε t=8 χρόνια με υπολειμματική αξία 20000, (α) δημιουργείστε την κατάλληλη μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει την διαχρονική αξία του μηχανήματος (λογιστική αξία), (β) αν η υπολειμματική αξία γίνει 0 ποια θα είναι η (νέα) συνάρτηση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Υποθέτουμε γραμμική συνάρτηση δηλ. V(t)=at+c με V(t=0)= Για να βρούμε τη συνάρτηση τα δεδομένα μας είναι. 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.3 (Β3.8) Το κόστος παραγωγής παιχνιδιού είναι 1000/κομμάτι και αν η τιμή πώλησης είναι x τότε η ποσότητα πώλησης είναι (7000-x) κάθε μήνα. Να εκφράσετε το μηνιαίο κέρδος σαν συνάρτηση της τιμής (α), να απεικονίσετε τη συνάρτηση (β) και να υπολογίσετε την τιμή που δίνει μέγιστο κέρδος (γ). ΕΠΙΛΥΣΗ: Γνωρίζουμε ότι αν P τιμή προϊόντος και Q ποσότητα τότε τα έσοδα R είναι R=P*Q τα έξοδα (κόστος) C είναι κόστος μονάδας προϊόντος * ποσότητα Q C=1000*Q Ta κέρδη Π=έσοδα-έξοδα=R-C 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.4 (Β3.12) Η συνάρτηση ζήτησης ενός προϊόντος είναι Q+P-20=0 ενώ το συνολικό κόστος (Total Cost) δίνεται από τη σχέση TC-48-4Q=0. Να βρεθεί η ποσότητα παραγωγής για να έχουμε κέρδος Π 1 =0, Π 2 =12, Π 3 =-20 ΕΠΙΛΥΣΗ: Πρέπει να δημιουργήσουμε την συνάρτηση κέρδους Π (βλέπε προηγούμενη άσκηση!) 2.5 (ΑΛ22) Έστω η συνάρτηση ζήτησης D=100-2Q και η συνάρτηση κόστους TC=3Q 2-6Q+2. Υπολογίστε το σημείο ισορροπίας Εσόδων-Εξόδων ΕΠΙΛΥΣΗ: 2.6 (Β3.5) βρείτε τις ρίζες της συνάρτησης y=x 2-10x+4 και δημιουργήστε τη γραφική παράσταση. ΕΠΙΛΥΣΗ:. 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

29 ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να οριστούν σαν πηλίκο (κλάσμα) 2 ακεραίων π.χ.: 5=5/1, 2.5=5/2, =4/3, 4/7=0, , ενώ π=3.14. άρρητος Ρητή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που είναι πηλίκο (κλάσμα) 2 πολυωνυμικών συναρτήσεων: y=f(x)= g(x) = a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x 1 +a 0 x 0 = a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 x h(x) b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x 1 +b 0 x 0 b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x+b 0 x Προφανώς η συνάρτηση δεν ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι 0 (για τις τιμές που το πολυώνυμο h x = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 x=0) Παραδείγματα ρητών συναρτήσεων: y=f(x)= 3x2 +5x+7 x 2 (δεν ορίζεται για x=2) y=f(x)= 3x2 +5x+7 x 2 +2 (ορίζεται x) 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

30 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αν στη μαθηματική σχέση μιας συνάρτησης y=f(x) η ανεξάρτητη μεταβλητή x βρίσκεται στον παρονομαστή, έχουμε συνάρτηση υπερβολής: y=k/x x 0 και k σταθερά (συντελεστής) Παραδείγματα: y=5/x, y=12/x, Είναι ρητή συνάρτηση με αριθμητή τη σταθερή συνάρτηση y=k και παρονομαστή την γραμμική συνάρτηση y=ax+c. Έχει την ιδιότητα y=k/x => y*x=k δηλ. το γινόμενο y*x είναι σταθερό. Ονομάζεται ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ εξαιτίας του σχήματος στη γραφική της παράσταση. 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

31 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αν y=1/x ο πίνακας και γραφική παράσταση είναι: Πίνακας x y=1/x -3,5-0, ,333-2,5-0, ,500-1,5-0, ,000-0,5-2,000 0 αδύνατο 0,5 2, ,000 1,5 0, ,500 2,5 0, ,333 3,5 0,286 2,0 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,0-1,5-2,0 Η γραφική παράσταση (υπερβολή) είναι 2 καμπύλες μια στα θετικά x+,y+ και μία στα αρνητικά x-,y- Κάθε μια από τις 2 καμπύλες έχει ασύμπτωτες τον x και y άξονα (για μεγάλες τιμές των x,y «πλησιάζει ασυμπτωτικά» τους άξονες αλλά δεν τους τέμνει). 31 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

32 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αν ένας καταναλωτής αποφασίσει για ένα προϊόν να διαθέτει πάντα σταθερό εισόδημα (ποσό) k τότε k=p*q (P τιμή προϊόντος, Q ποσότητα προϊόντος), η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν αυτό θα είναι Q(P)=k/P (υπερβολή) π.χ. αν k=100 θα έχουμε: Πίνακας P Q(P)=100/P 1 100, , , , , , , , , , , , , ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Q(P)=100/P Η γραφική παράσταση (υπερβολή) είναι καμπύλη με ασύμπτωτες τον x και y άξονα (για μεγάλες τιμές των x,y «πλησιάζει ασυμπτωτικά» τους άξονες αλλά δεν τους τέμνει).

33 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν στη μαθηματική σχέση μιας συνάρτησης y=f(x) η ανεξάρτητη μεταβλητή x βρίσκεται στον εκθέτη, η συνάρτηση ονομάζεται εκθετική: y=a x a>0, a 1 (a η βάση της εκθετικής συνάρτησης) Παραδείγματα: y=3 x, y=100 x, y=0.5 x, Με βάση τον ορισμό έχουμε y>0, x, δηλ. οι τιμές του y είναι θετικές ακόμα και για αρνητικές τιμές του x. π.χ. αν y=3 x για x=-5 έχουμε y=3-5 =1/3 5 θετικός αριθμός! H y=a x είναι αύξουσα αν a>1 και φθίνουσα αν a<1 33 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

34 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ- ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω οι εκθετικές συναρτήσεις y=2 x και y=2 -x =1/2 x =(1/2) x x y=2 x -5 0, , , , , ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: y=2 x Επειδή α=2>1 είναι αύξουσα x y=2 -x , , , , ,031 y=2 -x =(1/2) x Επειδή α=1/2<1 είναι φθίνουσα

35 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ e Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση το e: y=e x e= άρρητος αριθμός, e= n n όταν n x y=e x y=e 2x -1 0,368 0,135-0,5 0,607 0, ,5 1,649 2, ,718 7,389 y=e x και y=e 2x Οι τιμές της y=e 2x αυξάνονται πιο γρήγορα όταν x>0 σε σύγκριση με την y=e x 1,5 4,482 20, ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: -1-0,5 0 0,5 1 1,5

36 ΑΡΙΘΜΟΣ e ΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Αν καταθέσουμε ένα ποσό K 0 με ετήσιο επιτόκιο i% για t έτη με ετήσιο ανατοκισμό, το τελικό ποσό μετά από t έτη θα δίνεται από τη σχέση: K t =K 0 (1+i) t Αν ο ανατοκισμός (η προσθήκη του τόκου στο κεφάλαιο) γίνεται m φορές το χρόνο με «ισοδύναμο» επιτόκιο i/m τότε θα έχουμε: K t =K 0 (1+ i m )mt =K 0 Ο όρος m i m i mt = K m i m i είναι της μορφής n mti i = K m i m i ti = K 0 n και όταν n είναι m Επομένως όταν ο ανατοκισμός γίνεται συνεχώς έχουμε K t =K 0 e it ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΌΤΑΝ ΈΝΑ ΠΟΣΟ ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΤΑΙ ΣΥΝΕΧΩΣ ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΜΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ e ΑΝΑΠΑΡΙΣΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ! n i n =e m i ti 36 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

37 ΑΞΙΑ ΧΡΟΝΟΥ ΖΩΗΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ Η αξία V οποιουδήποτε μηχανολογικού εξοπλισμού μειώνεται με την πάροδο του χρόνου t συνεχώς, η κατάλληλη συνάρτηση είναι μια εκθετική με βάση το e: V=V 0 e -at Παράδειγμα: Αν η αρχική αξία μηχανήματος είναι V 0 = και μειώνεται 8%=0.08 το έτος η συνάρτηση που δίνει την αξία του μηχανήματος V κάθε χρονική στιγμή t είναι: V(t)=V 0 e -at =100000e -0.08t Αρχική αξία: V(t=0)=100000*e -0.08*0 =100000*e 0 = *1= =V 0 αξία μετά από 10 έτη: V(t=10)=100000*e -0.08*10 =100000*e -0,8 = χρόνος t αξία V(t) , , , , , , ,795 V(t+1)/V(t) 0, , , , , σταθερό! 37 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Εκθετική συνάρτηση V(t)=V 0 e -at Μεταβολή κατά σταθερό ποσοστό V(t+1)/V(t)=σταθερό Γραμμική συνάρτηση V(t)=V 0 -at Μεταβολή κατά σταθερό ποσό V(t+1)-V(t)=a

38 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν y=f(x) η αντίστροφη συνάρτηση είναι όταν «αντιστρέψουμε τη σειρά» των μεταβλητών x,y x=f -1 (y) Παράδειγμα: Αν y=2x-5 λύνουμε ως προς x: y=2x-5 => 2x=y+5 => x=(y+5)/2 Επομένως y=f(x)=2x-5 και αντίστροφη x=f -1 (y)=((y+5)/2 Αν συνάρτηση ζήτησης q=f(p)=6-3p => -3p=q-6 => p=(q-6)/(-3) => p=(6-q)/3=2-(1/3)q δηλ. q=f(p)=6-3p και p=f -1 (q)=(6-q)/3 Οι αντίστροφές συναρτήσεις γραφικά είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο του θετικού τεταρτημόριου (ευθεία y=x) 38 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

39 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν ορίσουμε x=a y τότε y είναι ο αριθμός που θα υψώσουμε τη βάση a για να μας δώσει τον x, γράφουμε y=log a x (y είναι o λογάριθμος με βάση a του x) Η συνάρτηση y=log a x ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση, από τον παραπάνω ορισμό είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x=a y Επομένως για να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της y=log a x μπορούμε να «αντιστρέψουμε» τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης x=a y ως προς τον άξονα συμμετρίας y=x 39 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

40 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η συνάρτηση y=log a x ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση, από τον παραπάνω ορισμό είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x=a y x y=e x y y=lnx -2 0,135 0, ,368 0, , ,718 2, ,389 7, ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: y=e x, y=lnx, y=x Η λογαριθμική συνάρτηση y=lnx είναι η συμμετρική της αντίστροφης εκθετικής y=e x ως προς τον άξονα συμμετρίας y=x (διχοτόμος)

41 ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν οι τιμές x είναι πολύ μεγάλοι ή πολύ μικροί αριθμοί με τη χρήση της λογαριθμικής συνάρτησης y=log a x επιτυγχάνουμε να μετατρέψουμε τους αριθμούς σε «ισοδύναμους» με λιγότερα ψηφία x y=lnx 13,816 14,286 14,604 14,691 14,947 15,096 g=log 10 x 6,000 6,204 6,342 6,380 6,491 6,556 x 0, , ,003 0, , ,00025 y=lnx -10,820-9,903-5,809-8,016-9,611-8,294 g=log 10 x -4,699-4,301-2,523-3,481-4,174-3, ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

42 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συναρτήσεις μπορούν να συνδυαστούν αλγεβρικά για να σχηματίσουν μια νέα συνάρτηση. Αν f(x)=3x-5 και g(x)=x 2-2x+1 Άθροισμα: s(x)= f(x)+g(x)=(3x-5)+(x 2-2x+1)=x 2 +x-4 Διαφορά: d(x)= f(x)-g(x)=(3x-5)-(x 2-2x+1)=-x 2 +5x-6 Γινόμενο: p(x)= f(x)*g(x)=(3x-5)*(x 2-2x+1)=3x 3-6x 2 +3x-5x 2 +10x-5= 3x 3-11x 2 +13x-5 Πηλίκο: q(x)= f(x)/g(x)= 3x 5 x 2 2x+1 (δεν ορίζεται όταν g(x)=x2-2x+1=0) 42 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

43 ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν έχουμε y=g(u) και u=h(x) τότε ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση: y=f(x)=g(h(x)) Παραδείγματα: Αν y=g(u)=lnu και u=h(x)=x-1 τότε y=g(h(x))=ln(x-1) Αν y=g(u)=2u 2 και u=h(x)=x 2-2x τότε y=g(h(x))=2(x 2-2x) 2 =2(x 4 +4x 2-4x 3 )=2x 4 +8x 2-8x 3 Αν το ημερομίσθιο ενός πωλητή δίνεται από τη συνάρτηση y(q)=20+3q όπου q η ποσότητα των πωλήσεων που πραγματοποιεί και η συνάρτηση ζήτησης είναι q(p)=10-2p (p η τιμή) τότε η σύνθετη συνάρτηση y(p)=20+3(10-2p)= p=50-6p Εκφράζει το ημερομίσθιο του πωλητή ως προς την τιμή του προϊόντος p 43 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

44 ΠΕΠΕΛΕΓΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν έχουμε την συνάρτηση y=f(x) και την μετατρέψουμε σε F(y,x)=0 τότε η F(y,x)=0 ονομάζεται πεπλεγμένη συνάρτηση (γιατί όλες οι μεταβλητές είναι στην ίδια πλευρά). Παράδειγμα: αν y=f(x)=3x 2 +2x+1 => F(x,y)=y- 3x 2-2x-1=0 Από την y=f(x) μπορούμε πάντα να βρούμε την F(x,y)=0 Το αντίστροφο δεν είναι πάντα εύκολο: F(x,y)=3x+y-2=0 => y=f(x)=-3x+2 F(x,y)=-y 3 +2y+3x 2 +1=0 => ΔΥΣΚΟΛΟ!!! 44 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

45 ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αν έχουμε μια πεπλεγμένη συνάρτηση F(y,x)=0 ονομάζουμε ισοϋψείς καμπύλες όλες τις καμπύλες (γραφικές παραστάσεις) που προκύπτουν θέτοντας F(y,x)=k για διάφορες τιμές του k. Παράδειγμα: αν F(x,y)=5+x-3y=k θα έχουμε: k=-2 : 5+x-3y=-2 => x-3y+7=0 (εξίσωση ευθείας x=3y-7) k=0: 5+x-3y=0 => x-3y+5=0 (εξίσωση ευθείας x=3y-5) k=4: 5+x-3y=4 => x-3y+1=0 (εξίσωση ευθείας x=3y-1) Οι ευθείες (καμπύλες) για διάφορες τιμές του k, επειδή έχουν την ίδια κλίση είναι παράλληλες! 45 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

46 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) 2.7 (Β3.7) Η αξία V ενός μηχανήματος παραγωγής μειώνεται ως συνάρτηση του χρόνου σύμφωνα με την εκθετική συνάρτηση: V(t)= (2.5) -0,1t (a) Ποια είναι η αρχική αξία του μηχανήματος, (b) ποια η αξία μετά από 5 έτη, (c) μετά από πόσα έτη η αξία του θα είναι η μισή της αρχικής ΕΠΙΛΥΣΗ: (a) και (b) εφαρμογή της συνάρτησης (c) Αν t* το ζητούμενο θα έχουμε V(t*)=V(0)/2 46 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (2) 2.8 (Β3.10) Το κόστος παραγωγής δίνεται από τη συνάρτηση: C(x)=3x+(100/x) όπου x οι μονάδες παραγωγής. (a) Σχεδιάστε τη συνάρτηση κόστους, (b) από τη γραφική παράσταση βρείτε το ελάχιστο κόστος ΕΠΙΛΥΣΗ: η συνάρτηση C(x) είναι άθροισμα γραμμικής +υπερβολής, για x=0 δεν ορίζεται, άρα x 0 Αν υπολογίσουμε το C(x) για τιμές του x 0 x 0,1 0, C(x)= 3x+(100/x) 1000,3 201,5 103,0 56,00 42,33 37,00 35,00 34,67 35,29 36,50 38,11 40,00 42,09 44,33 46,69 47 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

48 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (3) 2.9 (Β3.11) Η αποδοτικότητα (παραγωγικότητα) εργαζόμενου που δουλεύει για t εβδομάδες δίνεται από την εξίσωση x(t)=50-ae -kt. Στην αρχή ο εργαζόμενος παρήγε 10 μονάδες ενώ την 1 η εβδομάδα 20. Πόσες μονάδες θα παράγει ο εργαζόμενος την 5 η εβδομάδα. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς την 5 η εβδομάδα θα παράγει x(t=5) αλλά δεν γνωρίζουμε στη συνάρτηση το Α και k που είναι οι άγνωστοι που πρέπει να υπολογίσουμε Στην αρχή (εβδομάδα 0) έχουμε x(t=0)=10, ενώ την 1 η εβδομάδα 48 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (4) 2.10 (Β3.13) Μια τεχνολογική καινοτομία παραγωγής διαδίδεται στην 20 οικονομία σύμφωνα με την εξίσωση Ν(t)= 3+2e 0.05t όπου Ν οι παραγωγοί που «υιοθετούν» την καινοτομία. (a) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση, (b) πόσο είναι το Ν αρχικά και πόσο μετά από 5 έτη, (c) τελικά πόσοι θα υιοθετήσουν την καινοτομία. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς την 5 η εβδομάδα θα παράγει x(t=5) αλλά δεν γνωρίζουμε στη συνάρτηση το Α και k που είναι οι άγνωστοι που πρέπει να υπολογίσουμε Στην αρχή (εβδομάδα 0) έχουμε x(t=0)=10, ενώ την 1 η εβδομάδα 49 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

50 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (5) 2.11 Έστω συνάρτηση ζήτησης q d (p)=1/p και συνάρτηση προσφοράς q s (p)=3p+2, βρείτε το σημείο ισορροπίας προσφοράς ζήτησης ΕΠΙΛΥΣΗ: Ισορροπία σημαίνει προσφορά=ζήτηση, επομένως Απάντηση: (3,1/3) 50 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

51 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (6) 2.12 Έστω συνάρτηση ζήτησης q d (p)=22/p 2 και συνάρτηση προσφοράς q s (p)=p 2 +9, βρείτε το σημείο ισορροπίας προσφοράς ζήτησης ΕΠΙΛΥΣΗ: Ισορροπία σημαίνει προσφορά=ζήτηση, επομένως Απάντηση: ( 2,11) 51 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

52 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (7) 2.13 Έστω συνάρτηση κόστους C(x)=4000x (1/3) και συνάρτηση εσόδων R(x)=10x. Βρείτε το νεκρό σημείο (Κέρδος Π=0). ΕΠΙΛΥΣΗ: Π(x)=0 => R(x)-C(x)=0 Απάντηση: 0 και 2 52 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω συνάρτηση y=f(x) Όριο L (limit) της συνάρτησης y=f(x) είναι ο αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Επιχειρησιακά Μαθηματικά Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στα όρια. Γενικά

Σχόλια στα όρια. Γενικά Σχόλια στα όρια. Γενικά Η αναζήτηση του ορίου έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται κοντά στο x, δηλαδή σε διάστημα (α,x ) (x,β) ή φυσικά σε (α,β) με x (α,β) και όχι κατ ανάγκη στο ίδιο το x. Για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα:

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα: Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 2 ο Μάθημα: Σύνολα αριθμών-συναρτήσεις Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σύνολα Σύνολο: Μία συλλογή διακριτών αντικειμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Συνάρτηση ονομάζεται η αλληλεξάρτηση (ή η σχέση) δυο μεταβλητών εις τρόπον ώστε για κάθε τιμή της μιας

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2 Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα