Elemente de geometrie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Elemente de geometrie"

Transcript

1 6 Elemente de geometrie ercet=m [i descoperim 1 Puncte şi linii el mai înalt vîrf de pe Pămînt este vîrful Everest (homolungma) din unţii Himalaya. El se află la altitudinea de m deasupra nivelului mării. Punctul cu cea mai mare adîncime de pe planetă, de m, este situat în Fosa arianelor din Oceanul Pacific. are este diferenţa de nivele dintre cel mai înalt punct de pe Pămînt şi cel mai adînc punct de pe planetă? Rezolvare: Pentru a soluţiona problema, reprezentăm enunţul printr-un desen: d Fie d diferenţa de nivele. tunci d = = (m). Răspuns: m. Examinaţi desenul dat. Prin ce figuri geometrice am reprezentat: a) nivelul mării; b) vîrful Everest (homolungma); c) Fosa arianelor? e semnificaţie are: a) punctul ; b) lungimea segmentului? ar lungimea segmentului? 162 apitolul 6. Elemente de geometrie

2 e [tim? e afl=m? 1. Punctul uvîntul punct provine din limba latină de la cuvîntul punctum şi semnifică înţepătură. Punctul este figura geometrică cea mai simplă. Toate celelalte figuri sînt compuse din puncte. Reprezentăm: sau Notăm: Punctele se notează cu litere mari:,,... Uneori notăm punctele cu, 2,... (citim unu, doi,...) Linia dreaptă (sau dreapta) reapta se desenează cu ajutorul riglei. e fapt, cu ajutorul acestui instrument se reprezintă doar o porţiune a dreptei. reptele sînt nemărginite, deci pot fi prelungite oricît dorim. Reprezentăm: a Notăm: reptele se notează cu litere mici: a, b,... sau prin două litere mari:,,... itim: reapta a, dreapta (sau ) Poziţii ale dreptelor: c a d orizontală b oblică verticală acă punctul aparţine dreptei a, notăm a. acă punctul nu aparţine dreptei a, notăm a. a Trei sau mai multe puncte ale unei drepte se numesc puncte coliniare. 3. Semidreapta Orice punct O al unei drepte împarte această dreaptă în două semidrepte. Punctul O se numeşte originea semidreptelor. O d apitolul 6. Elemente de geometrie 163

3 X Reprezentăm: N Y Notăm: Semidreptele se notează cu două litere mari: [ X ; [ NY,..., prima literă indicînd originea semidreptei. ouă semidrepte care au origine comună şi formează o dreaptă se numesc semidrepte opuse. [ şi [ sînt semidrepte opuse. 4. Segmentul Segmentul este o porţiune a dreptei mărginită la ambele capete. Punctele care mărginesc segmentul se numesc extremităţi sau capete. capete Reprezentăm: Notăm: [] sau [] [] sau [] Lungimea segmentului se poate determina cu ajutorul riglei gradate. Pentru a compara lungimile a două segmente, putem utiliza rigla gradată sau compasul = 3 cm ăsurăm: ăsurăm: E F Notăm: = Notăm: < EF Spunem: Lungimea segmentului este egală cu lungimea segmentului. Spunem: Lungimea segmentului este mai mică decît lungimea segmentului EF. ouă segmente şi cu lungimi egale se numesc segmente congruente. Notăm: [ ] [ ]. 164 apitolul 6. Elemente de geometrie

4 Exerciţii şi probleme 1. intre următoarele reprezentări recunoaşteţi: a) dreptele; b) semidreptele; c) segmentele. x N P V S O T Q I 2. esenaţi şi notaţi: un punct; o dreaptă; o semidreaptă; un segment. 3. are dintre următoarele desene reprezintă o figură geometrică? a) b) N c) K P a 4. esenaţi o figură geometrică compusă din: a) trei puncte; b) patru puncte; c) 10 puncte; d) nu mai puţin de 50 de puncte; e) mai mult de 100 de puncte. 5. Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: a) Punctul aparţine dreptei l şi nu aparţine dreptei q. b) reptele a şi b au un singur punct comun L. c) Punctele şi N aparţin simultan semidreptelor [ şi [. d) Punctul nu aparţine dreptei t, iar punctul aparţine acestei drepte. e) reptele c şi d nu au puncte comune. f) Semidreptele [ şi [ nu sînt semidrepte opuse. g) Segmentul PQ nu este conţinut de dreapta d şi punctul Q aparţine acestei drepte. 6. devărat sau Fals? a) Segmentul este conţinut de dreapta. b) ouă drepte diferite pot avea două puncte comune. c) ouă semidrepte diferite nu pot avea două puncte comune. d) ouă segmente diferite nu pot avea două puncte comune. e) reapta este conţinută de segmentul. L b 7. flaţi x: a) b) 14 cm 8 mm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm x 8 cm 9 mm x 6 cm 7 mm 14 cm 8 mm 12 cm 5 mm c) d) 2 x x 3 1 x 3 x 11 cm 2 mm apitolul 6. Elemente de geometrie 165

5 8. are este lungimea în realitate: a) a gardului; b) a autobuzului? 5 cm Scara 1 : Punctele, şi sînt coliniare. flaţi lungimea segmentului, dacă: a) = 7 dm, dm 3 = 4 cm; b) = 11 dm 3 cm, = 18 dm 8 cm; c) = 3 dm 7 cm 7 mm, = 2 dm 8 cm 9 mm; d) = 5 dm 5 cm 5 mm, = 5 dm 6 cm 7mm. ercetaţi toate situaţiile posibile. 10. are dintre punctele coliniare, N, K ar putea fi situat între celelalte două, dacă: a) N < K; b) K > NK; c) NK = N; d) N > K; e) NK < K; f) N = K? Justificaţi prin desene. acă scara unui desen este 1 : n, atunci obiectul desenat este în realitate de n ori mai mare. 6 cm Scara 1 : ouă puncte distincte şi determină două semidrepte: [ şi [. Fie, N, K trei puncte distincte. îte semidrepte determină ele, dacă: a), N, K sînt coliniare; b), N, K nu sînt coliniare? 12. Fie,,, patru puncte diferite, oricare trei necoliniare. îte drepte diferite se pot pune în evidenţă? 13. a) Fie 5 puncte distincte pe un cerc. îte segmente, avînd capetele în aceste puncte, pot fi construite? b) Rezolvaţi problema pentru 10 puncte distincte. 14. Un sfert din lungimea segmentului este egal cu jumătate din lungimea segmentului, care este cu 6 cm mai scurt decît segmentul. flaţi lungimea fiecărui segment. 166 apitolul 6. Elemente de geometrie

6 2 Unghiuri ercet=m [i descoperim Unghiul este o figură geometrică formată din două semidrepte (laturile unghiului) cu originea comună (vîrful unghiului). O Reprezentăm: V N Notăm: O (sau O, sau O), VN (sau NV, sau V ). Litera din vîrful unghiului se scrie la mijloc. Uneori notăm unghiurile prin litere mici ale alfabetului grecesc: α, β, γ, δ,... (se citeşte: alfa, beta, gama, delta,...) eschiderea unghiului reprezintă măsura lui. acă un punct este situat între laturile unghiului, spunem că acest punct aparţine interiorului acestui unghi. lasificarea unghiurilor a) Unghiuri drepte: b) Unghiuri ascuţite: V O V O Pentru a desena unghiuri drepte, folosim echerul sau reţeaua caietului de matematică. Punem în evidenţă un unghi drept folosind simbolul. apitolul 6. Elemente de geometrie 167

7 c) Unghiuri obtuze: d) Unghiuri alungite: V O V e) Unghiul nul este unghiul care are laturile semidrepte identice (care coincid): este unghi nul. V V O Exerciţii şi probleme 1. esenaţi şi notaţi: a) ; b) TIK; c) U; d) V. 2. eterminaţi tipul unghiului format de direcţiile rozei-vînturilor: a) nord şi vest; b) sud şi est; c) vest şi nord-est; d) sud-vest şi sud-est; e) nord-vest şi sud-est; f) est şi nord-est; g) sud şi nord-vest; h) nord-est şi sud-vest; i) sud şi sud-est. ascuţit; b) SUR c) VR alungit; d) OPT obtuz; e) S f) RE drept; g) NUL nul. 3. esenaţi şi notaţi: a) drept; ascuţit; 4. eterminaţi unghiurile: a) drepte; b) ascuţite; c) obtuze; d) alungite. Verificaţi cu ajutorul echerului. V N - V S - V N S N - E S - E E F G E H 168 apitolul 6. Elemente de geometrie

8 5. reptele şi se intersectează în punctul V. Recunoaşteţi: a) unghiurile ascuţite; b) unghiurile obtuze; V c) unghiurile alungite. 6. Scrieţi unghiurile din desenul exerciţiului 4 în ordinea crescătoare a măsurilor lor. Folosiţi o foiţă transparentă. 7. e fel de unghi descrie minutarul unui ceas într-un interval de: a) 30 min.; b) 25 min.; c) 20 min.; d) 15 min.; e) 10 min.; f) 5 min.? 8. e fel de unghi descrie orarul unui ceas într-un interval de: a) jumătate de oră; b) o oră; c) 6 ore; d) 3 ore; e) 4 ore; f) 5 ore? 9. e fel de unghi formează orarul şi minutarul unui ceas la ora: a) 15:00; b) 17:00; c) 12:00; d) 18:00; e) 1:00? 10. Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: a) Punctul aparţine unghiului obtuz L. b) Punctul S nu aparţine unghiului ascuţit I şi punctul T aparţine semidreptei [I. c) Punctele I şi N aparţin unghiului E şi punctele, I, N sînt coliniare. d) Unghiurile L şi L sînt ascuţite. e) Unghiul L este obtuz şi unghiul L este ascuţit. 11. are puncte aparţin interiorului unghiului: a) ; b) NK? F K G E H I N L J O apitolul 6. Elemente de geometrie 169

9 12. Folosind reţeaua caietului de matematică, desenaţi şi notaţi: a) un unghi drept; b) un unghi cu măsura de două ori mai mică decît cea a unghiului drept; c) un unghi cu măsura de 1,5 ori mai mare decît cea a unghiului drept; d) două unghiuri drepte cu vîrf comun şi laturi diferite. 13. Reproduceţi şi rezolvaţi integrama. escoperiţi cuvîntul ascuns de coloana colorată. 1. Unghi cu măsura mai mică decît cea a unghiului drept. 2. Unghi cu măsura mai mare decît cea a unghiului drept. 3. Unghi cu măsura de 2 ori mai mică decît cea a unghiului alungit. 4. Instrument pentru construirea unghiului drept. 5. Nici orizontală, nici verticală. 6. ea mai simplă figură geometrică. 14. îte unghiuri diferite pot fi puse în evidenţă fiind date: a) punctele necoliniare,, ; b) punctele,,, necoliniare oricare trei? 15. îte unghiuri observi? V a) b) O N K P L Problemă pentru campioni 16. îte semidrepte trebuie să construim în interiorul unghiului pentru a obţine: a) 15 unghiuri; b) 21 de unghiuri? 170 apitolul 6. Elemente de geometrie

10 3 Poziţii relative a două drepte ercet=m [i descoperim ouă drepte se numesc drepte concurente dacă ele se intersectează, adică au un singur punct comun. În desen, punctul O este punctul de intersecţie a dreptelor l şi d. l d O ouă drepte concurente se numesc drepte perpendiculare dacă ele formează unghiuri drepte. Notăm:. ouă drepte care sînt situate pe aceeaşi suprafaţă plană se numesc drepte paralele dacă ele nu se intersectează. Notăm:. onstruim drepte paralele sau perpendiculare: a) folosind reţeaua caietului de matematică: a P Q b m n l R S d a b PQ RS m n d l b) cu ajutorul riglei şi al echerului: Observaţie. ouă semidrepte se numesc semidrepte paralele (perpendiculare) dacă dreptele care le conţin sînt paralele (perpendiculare). G F E V H U Y X [ EF [ GH [ XY [ UV apitolul 6. Elemente de geometrie 171

11 Exerciţii şi probleme 1. esenaţi două drepte: a) concurente într-un punct ; b) perpendiculare; c) paralele şi verticale. 2. Folosind rigla şi echerul, determinaţi: a) dreptele perpendiculare; b) dreptele paralele. a b c h d e f g 3. Folosind reţeaua caietului de matematică, desenaţi şi notaţi două drepte: a) oblice paralele; b) oblice perpendiculare; c) concurente, una dintre care este verticală; d) concurente, una dintre care este orizontală. 4. Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: a) reptele a şi b sînt concurente şi b. b) reptele a, b şi c sînt concurente fiecare două. c) şi. d) reptele a, b şi c sînt concurente fiecare două şi punctul aparţine tuturor acestor drepte. e) şi punctul aparţine dreptei. f) şi sînt concurente, EF şi punctul aparţine tuturor acestor drepte. g) [ şi [ nu sînt nici perpendiculare, nici paralele. h),, [ ] [ ] şi [ ] [ ]. 5. devărat sau Fals? a) O dreaptă orizontală şi una verticală sînt drepte perpendiculare. b) ouă drepte perpendiculare sînt şi drepte concurente. c) O dreaptă orizontală şi una oblică nu sînt concurente. d) acă a b şi b c, atunci a c. e) acă a b şi b c, atunci a c. 172 apitolul 6. Elemente de geometrie

12 6. Reproduceţi desenul. Folosind rigla şi echerul, prin punctul duceţi: 1) drepte paralele cu dreapta ; 2) drepte perpendiculare pe dreapta. Trageţi concluzia. a) b) 7. ercetaţi desenul şi scrieţi dreptele: a) paralele cu dreapta a; b) concurente cu dreapta b; c) perpendiculare pe dreapta l; d) perpendiculare pe dreapta c; e) concurente cu dreapta m; f) paralele cu dreapta g. e m f g n l k b d c h a 8. îte perechi de drepte paralele pot fi construite prin 3 puncte necoliniare? 9. îte perechi de drepte perpendiculare pot fi duse prin 3 puncte necoliniare? 10. acă o dreaptă d intersectează două drepte paralele, obţinem un segment. îte segmente se vor obţine la intersecţia dreptei d cu: a) 3 drepte paralele; b) 5 drepte paralele; c) 10 drepte paralele? 11. În desen, un cub este reprezentat în 3 poziţii. esenaţi în caiet figura geometrică de pe faţa opusă feţei pe care sînt reprezentate două drepte paralele. d apitolul 6. Elemente de geometrie 173

13 4 Triunghiuri şi patrulatere. ria unei figuri 1. Triunghiuri şi patrulatere ercet=m [i descoperim Fie,, trei puncte necoliniare. onstruim toate segmentele ale căror extremităţi sînt aceste puncte. Figura geometrică obţinută este un triunghi. Notăm:. Punctele,, se numesc vîrfurile triunghiului, iar segmentele, şi laturile triunghiului. Unghiurile,, se numesc unghiuri ale triunghiului. Porţiunea suprafeţei plane mărginită de triunghiul se numeşte interiorul triunghiului, iar cealaltă porţiune exteriorul triunghiului. Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor lui. }nv=\=m [i construim (opţional) exteriorul triunghiului interiorul triunghiului un vîrf al triunghiului un unghi al triunghiului o latură a triunghiului a) esenaţi cu ajutorul riglei gradate şi al compasului un triunghi cu laturile de 3 cm, 3 cm şi 4 cm. b) flaţi perimetrul triunghiului. Rezolvare: onstruim [. arcăm cu ajutorul compasului [] de 4 cm. Fixăm acul compasului în punctul şi construim un arc cu raza de 3 cm. 174 apitolul 6. Elemente de geometrie

14 Fixăm acul compasului în punctul şi construim un arc cu raza de 3 cm. Obţinem punctul. Triunghiul are laturile = 4 cm, = = 3 cm. b) Perimetrul triunghiului este egal cu 4 cm + 3 cm + 3 cm = 10 cm. ercet=m [i descoperim În desen este reprezentat un patrulater, notat. Un patrulater are: 4 laturi; 4 vîrfuri; 4 unghiuri; 4 perechi de laturi alăturate; 2 diagonale; 2 perechi de laturi opuse. Fiecare trei vîrfuri ale patrulaterului sînt necoliniare. Perimetrul patrulaterului este suma lungimilor laturilor lui. Numiţi elementele patrulaterului PTR. P interiorul patrulaterului un unghi al patrulaterului un vîrf al patrulaterului T o diagonală a patrulaterului o latură a patrulaterului reptunghiul este un patrulater cu unghiurile drepte:,,, unghiuri drepte. Laturile opuse ale dreptunghiului sînt paralele şi congruente. R Pătratul este un patrulater cu laturile congruente şi unghiurile drepte. EF = FG = GH = EH, E, F, G, H unghiuri drepte. Pentagonul are 5 laturi. Hexagonul are 6 laturi. F E G H apitolul 6. Elemente de geometrie 175

15 2. ria figurii Examinaţi desenele şi determinaţi care dintre figuri ocupă o suprafaţă mai mare: a) b) c) Rezolvare: În cazul desenelor a) şi c), prin observare sau prin suprapunerea figurilor, tragem concluzia că figura ocupă o suprafaţă mai mare decît suprafaţa figurii a doua. Pentru a compara mărimile suprafeţelor figurilor din desenul b), avem nevoie de măsurări. Unitatea de măsură standard pentru suprafaţă este metrul pătrat. Un metru pătrat este suprafaţa unui pătrat cu latura de 1 m. Notăm: 1 m 2. Similar, un centimetru pătrat este suprafaţa unui pătrat cu latura de 1 cm. Notăm: 1 cm 2. 1 cm 1 cm 2 ria figurii din imagine este egală cu 5 cm 2, deoarece este formată din 5 pătrate cu latura de 1 cm. Notăm: = 5 cm 2. Fiecare figură a desenului b) din problema anterioară are aria de 4 cm 2, deoarece cuprinde 4 pătrate cu latura de 1 cm. eci, ele ocupă aceeaşi suprafaţă. Exers=m Observaţi desenele şi calculaţi aria fiecărei figuri (latura pătrăţelelor reţelei este de 0,5 cm): odel: = 3 cm 2 a) b) c) 176 apitolul 6. Elemente de geometrie

16 Examinaţi desenele, apoi calculaţi aria dreptunghiului şi a pătratului: Exers=m 1 cm 1 cm 2 = 3 5 = 15 (cm ); = = (cm ). ria dreptunghiului este egală cu produsul lungimilor dimensiunilor lui. = l L ria pătratului este egală cu pătratul lungimii laturii lui. = l alculaţi aria unui dreptunghi cu laturile de: 1 a) 4 cm şi 8 cm; b) 3,2 cm şi 5 cm; c) 2 cm şi 6,4 cm alculaţi aria unui pătrat cu latura de: 1 a) 5 cm; b) 4,7 cm; c) 3 cm. 2 Exerciţii şi probleme 1. onstruiţi un triunghi şi notaţi-l prin trei litere din numele propriu. Numiţi: a) laturile triunghiului; b) unghiurile triunghiului; c) vîrfurile triunghiului. 2. Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: a) Punctul aparţine interiorului triunghiului. b) Triunghiurile şi N au laturile şi N paralele. c) Pentru triunghiurile PQS şi QRS avem PQ = RS, PQ RS. d) Punctul aparţine laturii, iar punctul N aparţine laturii a triunghiului. 3. alculaţi perimetrul unui triunghi cu laturile de: a) 7 dm 8 cm 9 mm, b) 11 dm 9 cm 4 mm, 6 dm 9 cm 7 mm, 5 dm 6 cm 7 mm, 5 dm 5 cm 5 mm; 6 dm 8 cm 9 mm. 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm apitolul 6. Elemente de geometrie 177

17 4. flaţi perimetrul figurii: 30 m 30 m 30 m 38 m 35 m a) b) 5. Un sportiv aleargă pe un traseu de forma unui hexagon cu laturile congruente, pornind din spre. Observaţi desenul şi spuneţi în ce punct se va afla sportivul după ce va parcurge: a) 360 m; b) 810 m; c) 1440 m? 18 m 6. flaţi lungimea laturii pătratului, dacă perimetrul lui este de: a) 20 cm; b) 12 dm; c) 5 cm 6 mm; d) 3 dm; e) 6 dm 8 cm. F 45 m 7. Un dreptunghi are perimetrul de cm şi o dimensiune de 1238 cm. flaţi cealaltă dimensiune. 8. flaţi aria unui dreptunghi cu laturile de: 1 a) 7 cm şi 18 cm; b) 9,2 cm şi 3 cm; c) 2,45 cm şi 8,8 cm m E 9. oncurs. are figură are perimetrul mai mare? 120 cm 900 mm 30 cm 18 dm a) b) c) 10. u ajutorul riglei gradate şi al compasului, desenaţi un triunghi cu laturile: a) de 4 cm, 4 cm şi 5 cm; b) congruente şi perimetrul de 12 cm; c) de 4 cm, 5 cm şi 6 cm. 178 apitolul 6. Elemente de geometrie

18 11. Lungimile laturilor unui triunghi reprezintă numere naturale consecutive. flaţi lungimea fiecărei laturi, dacă perimetrul triunghiului este egal cu 21 cm. 12. Încercaţi să construiţi un triunghi cu laturile de: a) 3 cm, 4 cm, 7 cm; b) 2 cm, 2 cm, 5 cm; c) 4 cm, 1 cm, 6 cm. Trageţi concluzia şi folosiţi această concluzie pentru a rezolva problemele ouă laturi ale unui triunghi sînt de 5 cm şi 6 cm. treia latură măsoară un număr întreg de centimetri. are poate fi lungimea ei? 14. ea mai mare latură a unui triunghi este de 8 cm. elelalte două laturi măsoară fiecare un număr întreg de centimetri. are pot fi lungimile lor? 15. devărat sau Fals? a) Există un triunghi cu laturile de 2 cm, 4 cm, 5 cm b) Există un triunghi cu laturile de m, m, m c) Există un triunghi pentru care lungimile a două laturi ale lui reprezintă 3 3 respectiv şi din lungimea laturii a treia d) Există un triunghi pentru care lungimile a două laturi ale lui reprezintă 2 3 respectiv şi 1 din lungimea laturii a treia îte diagonale pot fi duse într-un: a) patrulater; b) pentagon; c) hexagon? 17. flaţi lungimea laturii pătratului cu aria de: a) 49 cm 2 ; b) 6,25 cm 2 ; c) 9,61 cm a) flaţi perimetrul unui patrulater, dacă sumele lungimilor fiecărei combinaţii de 3 laturi sînt egale cu 41 cm, 39 cm, 37 cm, 33 cm. b) flaţi lungimile laturilor patrulaterului. 19. iferenţa dintre lungimea şi lăţimea unui dreptunghi este egală cu 58 cm, iar suma lor cu 132 cm. flaţi lungimea şi lăţimea dreptunghiului. 20. flaţi lungimea unui dreptunghi: a) cu lăţimea de 8 cm şi aria de 116 cm 2. b) cu lăţimea de 2 ori mai mică şi aria de 112,5 cm Lungimea laturii unui pătrat este cu 20 cm mai mică decît jumătatea perimetrului pătratului. flaţi lungimea laturii. 22. acă micşorăm cu 7 cm lungimea unui dreptunghi, obţinem un pătrat cu perimetrul de 56 cm. are este perimetrul dreptunghiului? apitolul 6. Elemente de geometrie 179

19 23. acă mărim cu 11 cm lăţimea unui dreptunghi, obţinem un pătrat cu perimetrul de 112 cm. are este perimetrul dreptunghiului? 24. Lungimea unui dreptunghi este de 50 cm, iar perimetrul de 160 cm. u cît trebuie să mărim lăţimea pentru a obţine un dreptunghi cu perimetrul de 174 cm? 25. Lungimea unui dreptunghi este de 4 ori mai mare decît lăţimea, iar perimetrul său este de 210 cm. flaţi dimensiunile dreptunghiului. 26. Perimetrul unui teren dreptunghiular este de 240 m, lungimea fiind dublul lăţimii. În afara terenului, la aceeaşi distanţă de laturile lui, se plantează pomi din 5 în 5 m. îţi pomi s-au plantat? 27. flaţi lungimile laturilor dreptunghiului, dacă: a) lungimea unei laturi reprezintă 3 2 din lungimea celeilalte laturi şi perimetrul dreptunghiului este de 30 cm; 2 b) lungimea unei laturi reprezintă din lungimea celeilalte laturi şi perimetrul 5 dreptunghiului este de 14 cm. 28. Perimetrul unui triunghi este de 99 cm. O latură este cu 9 cm mai lungă decît alta şi de 2 ori mai lungă decît a treia. flaţi lungimile laturilor triunghiului. 29. Perimetrul unui triunghi este de 60 cm. O latură este cu 8 cm mai lungă decît alta, iar a treia are lungimea egală cu jumătatea sumei lungimilor primelor două laturi. flaţi lungimile laturilor triunghiului. 30. Perimetrul unui triunghi este de 58 cm. flaţi lungimile laturilor triunghiului, 3 2 dacă lungimile laturilor mai mici reprezintă respectiv şi din lungimea 4 3 laturii mai mari. 31. Perimetrul unui triunghi este de 61 cm. Lungimile a două laturi reprezintă 4 1 respectiv şi 1 din lungimea laturii a treia. flaţi lungimile laturilor 5 4 triunghiului. 32. Examinaţi desenul. onfecţionaţi din hîrtie un triunghi. Prin pliere, arătaţi că suma măsurilor unghiurilor triunghiului este egală cu măsura unghiului alungit. 180 apitolul 6. Elemente de geometrie

20 ercet=m [i descoperim 5 ercul Observaţi traiectoria descrisă de vîrful minutarului ceasornicului. a) um se numeşte figura geometrică obţinută? b) omparaţi lungimile segmentelor O, O, O, O. c) Prin ce se aseamănă şi prin ce se deosebesc segmentele: şi E, şi F? Re\ine\i! ercul este figura geometrică ce constă din toate punctele unei suprafeţe plane egal depărtate de un punct, numit centru. Segmentul care uneşte centrul cercului cu un punct al cercului se numeşte rază. Segmentul care uneşte două puncte de pe cerc se numeşte coardă. Segmentul care uneşte două puncte de pe cerc şi conţine centrul cercului se numeşte diametru. ercul împreună cu interiorul său se numeşte disc. Fixînd vîrful de metal al compasului într-un punct, rotiţi-l şi construiţi un cerc. u ce este egală raza cercului? Exerciţii şi probleme E F O interiorul cercului diametru centru exteriorul cercului coardă rază 1. esenaţi un cerc a cărui rază este egală cu lungimea segmentului din desen: a) b) 2. Observaţi cercul şi scrieţi: centrul, razele, diametrele, coardele. a) K N b) Y E N P T W X F Z R S V apitolul 6. Elemente de geometrie 181

21 3. esenaţi un cerc cu raza de: a) 4 cm; b) 6 cm. 4. esenaţi un cerc cu diametrul de: a) 10 cm; b) 9 cm. 5. Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: a) Punctele şi aparţin cercului cu centrul. b) Punctele E şi F aparţin diametrului al cercului cu centrul O. c) PQ şi QR sînt raze ale aceluiaşi cerc. d) Punctul S aparţine cercului cu centrul T şi punctele S, T, U sînt coliniare. 6. devărat sau Fals? a) acă [F] este un diametru al cercului cu centrul H, atunci punctele F, H, G sînt coliniare. b) acă [] este diametru, [O] rază, atunci = 2 O. c) acă [] este diametru şi 2 O =, atunci [O] este rază. 7. În desen, [] este un diametru, iar, N, K sînt puncte ale cercului. Stabiliţi cu ajutorul echerului care dintre unghiurile puse în evidenţă de punctele,,, N, K sînt drepte. Trageţi concluzia. 8. um putem desena un cerc avînd un creion, o aţă şi un ac? 9. Reproduceţi desenul. Luînd în consideraţie concluzia problemei 7, construiţi un cerc astfel încît vîrfurile triunghiului desenat să aparţină acestui cerc. K O N 10. are este numărul maxim de puncte ce se obţin la intersecţia a: a) 2 cercuri diferite; b) 3 cercuri diferite; c) 4 cercuri diferite? 11. are este numărul maxim de puncte ce se obţin la intersecţia a 50 de cercuri diferite? 12. onstruiţi: a) 5 puncte, necoliniare oricare trei; b) 20 de puncte, necoliniare oricare trei. 182 apitolul 6. Elemente de geometrie

22 1. uboidul, cubul, piramida ercet=m [i descoperim 6 orpuri geometrice Examinaţi desenele. e corpuri geometrice studiate sugerează aceste obiecte? uboidul (paralelipipedul dreptunghic) are 8 vîrfuri, muchii, 6 feţe dreptunghiulare, dintre care 2 baze şi feţe laterale. F G vîrfuri E H muchii baze [ ] [ ] [ EF ], [E], []. in fiecare vîrf al cuboidului pornesc 3 muchii. Lungimile acestor muchii se numesc dimensiunile cuboidului, mai exact lungimea, lăţimea şi înălţimea cuboidului. um construim un cuboid? onstruim un dreptunghi, apoi din centrul lui spre dreapta-sus construim alt dreptunghi identic cu primul (vezi desenul). lungime Unim vîrfurile corespunzătoare ale celor două dreptunghiuri. u guma de şters întrerupem muchiile care nu se văd în spaţiu. înălţime lăţime apitolul 6. Elemente de geometrie 183

23 ubul este un cuboid cu toate muchiile congruente. F G E H [ ] [ ] oar una dintre feţele piramidei poate să nu fie triunghiulară. ceastă faţă se numeşte baza piramidei. V muchii bază Piramida triunghiulară are bază triunghiulară. Piramida patrulateră are drept bază o suprafaţă patrulateră. 2. ilindrul, conul, sfera ercet=m [i descoperim V vîrful piramidei Examinaţi desenele. e corpuri geometrice studiate vă sugerează aceste obiecte? ilindrul are două discuri identice paralele, numite baze. O [O] raza bazei (O este centrul bazei) baze 184 apitolul 6. Elemente de geometrie

24 onul este format dintr-un disc, numit bază, un punct exterior discului, numit vîrf, şi toate segmentele care unesc punctele bazei cu vîrful. V [O] raza bazei (O este centrul bazei) bază O V vîrful conului Sfera este formată din toate punctele spaţiului egal depărtate de un punct, numit centru. N P [O], [ON], [OP] raze O O centrul sferei 3. Volumul unui corp ercet=m [i descoperim Vasul din imagine a fost umplut cu lichid. u o parte din lichidul acestui vas a fost umplut vasul. Spunem că volumul vasului este mai mare decît volumul vasului. Unitatea de măsură standard a volumului este metrul cub. Un metru cub este volumul unui cub cu muchia de 1 m. Notăm: 1 m 3. Similar, un centimetru cub este volumul unui cub cu muchia de 1 cm. Notăm: 1 cm 3. 1 cm 1 cm 2 1 cm 3 Volumul se notează cu litera V. Volumul corpului din imagine este de 4 cm 3, deoarece este format din 4 cuburi cu muchia de 1 cm. apitolul 6. Elemente de geometrie 185

25 Exers=m Observaţi imaginile şi calculaţi volumul fiecărui cuboid. 5 cm 3 cm 1 cm 1 cm 4 cm Volumul cuboidului este egal cu produsul celor trei dimensiuni ale lui. Volumul cubului este egal cu cubul lungimii muchiei lui. h L l V = L l h Exers=m alculaţi volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 7 cm; 6,4 cm; 5 cm. Exerciţii şi probleme 1. Examinaţi desenul şi numiţi: a) toate muchiile cuboidului; b) toate vîrfurile cuboidului; c) toate feţele cuboidului. 2. Examinaţi desenul şi numiţi: a) baza piramidei; b) toate muchiile piramidei; c) toate vîrfurile piramidei; d) toate feţele piramidei. 3. esenaţi o piramidă: a) triunghiulară; b) patrulateră; c) pentagonală. V K L N 186 apitolul 6. Elemente de geometrie

26 4. opiaţi şi completaţi adecvat cu una dintre noţiunile cubul, cuboidul, piramida triunghiulară, piramida patrulateră, cilindrul, conul, sfera: a) are exact 6 feţe pătratice; b) are exact 4 feţe triunghiulare; c) are exact 8 muchii şi 5 vîrfuri; d) are doar un vîrf; e) nu are vîrfuri; f) are baze, care nu sînt poligoane; g) nu are nici o bază. 5. flaţi suma lungimilor tuturor muchiilor unui cuboid cu dimensiunile de: a) 3 cm, 4 cm, 5 cm; 1 2 b) 4 cm, 2 cm, 6 cm alculaţi aria suprafeţei totale a unui cub cu muchia de: a) 4 cm; b) 1,4 cm. 7. alculaţi aria suprafeţei totale a unui cuboid cu dimensiunile de: a) 4 cm; 6,5 cm; 8 cm; b) 5 cm; 7,2 cm; 10 cm. 8. devărat sau Fals? a) Orice cub este cuboid. b) Orice cuboid este cub. c) ouă feţe ale unui cuboid pot avea cel mult o muchie comună. d) Trei feţe ale unui cuboid pot avea cel mult o muchie comună. 9. Sala de matematică are lungimea de 10 m, lăţimea de 5 m şi înălţimea de 2,85 m. e volum de aer se află în sală? 10. flaţi lungimea muchiei unui cub, dacă volumul cubului este de: a) 64 cm 3 ; b) 343 cm 3 ; c) 729 cm îte vîrfuri, muchii şi feţe are o piramidă: a) triunghiulară; b) patrulateră? 12. flaţi lungimea muchiei unui cub, dacă: a) aria unei feţe este egală cu 64 cm 2 ; b) volumul cubului este egal cu 125 cm flaţi suma lungimilor muchiilor unei piramide triunghiulare, ştiind că perimetrul unei feţe este de 16 cm şi toate muchiile piramidei sînt congruente. apitolul 6. Elemente de geometrie 187

27 14. O faţă a unui cub are perimetrul de 2 m. flaţi: a) lungimea muchiei cubului; b) aria suprafeţei totale a cubului. 15. flaţi înălţimea unui cuboid cu aria bazei de 18 m 2 şi volumul de 108 m Lungimea unui cuboid este de 10 cm, lăţimea este cu 3 cm mai mică decît lungimea, iar înălţimea de 3 ori mai mare decît lăţimea. flaţi volumul cuboidului. 17. îte cuburi cu muchia de 2 cm sînt necesare pentru a construi un cub cu muchia de: a) 4 cm; b) 8 cm; c) 10 cm? 18. îte cuburi încap în cutia din imagine? 19. Vasul din imaginea alăturată are formă de cuboid şi conţine apă. O bilă a fost introdusă în acest vas. are este volumul bilei, dacă apa a acoperit bila şi nivelul apei în vas a crescut cu 5 cm? 10 cm 8 cm 20. e cîtă vopsea este nevoie pentru a vopsi cuboidul din imagine, dacă pentru 100 cm 2 de suprafaţă sînt necesare 3 g de vopsea? 30 cm 1,2 m 0,5 m 21. Notăm cu a, b, h lungimea, lăţimea şi respectiv înălţimea unui cuboid. e semnificaţie au expresiile: a) ab; b) ah; c) abh; d) ( + )? 2 ab ah + bh 22. riile a trei feţe ale unui cuboid sînt egale cu 28 m 2, 32 m 2, 56 m 2. flaţi lungimile muchiilor bazelor, dacă înălţimea cuboidului este de 8 cm. 188 apitolul 6. Elemente de geometrie

28 S= recapitul=m 1. are este cea mai simplă figură geometrică? 2. are puncte se numesc puncte coliniare? 3. e este semidreapta? are semidrepte se numesc semidrepte opuse? 4. Pentru ce se utilizează rigla gradată? ar echerul? ompasul? 5. um putem determina tipul unui unghi (ascuţit, drept, obtuz)? 6. Numiţi elementele unghiului. 7. are drepte se numesc concurente? ar paralele? Perpendiculare? 8. Explicaţi cum pot fi construite drepte paralele cu ajutorul riglei şi al echerului. ar cu ajutorul reţelei de pătrate a caietului de matematică? 9. e este triunghiul? Numiţi elementele lui. 10. e este patrulaterul? Numiţi elementele lui. 11. îte laturi are un pentagon? ar un hexagon? 12. um se numeşte patrulaterul cu toate unghiurile drepte? ar patrulaterul cu toate unghiurile drepte şi toate laturile congruente? 13. e înseamnă a afla perimetrul unui patrulater? 14. e înseamnă a afla aria unei figuri? 15. e este cercul şi cum poate fi construit el? 16. Numiţi elementele cercului. 17. Prin ce se deosebeşte cercul de disc? 18. um se calculează volumul unui cuboid? ar al unui cub? apitolul 6. Elemente de geometrie 189

29 Exerciţii şi probleme recapitulative 1. Realizaţi un desen pentru care să fie adevărată propoziţia: a) Punctul aparţine dreptei a şi nu aparţine dreptei b, care intersectează dreapta a în punctul. b) Patrulaterul are perimetrul de 12 cm. c) Unghiurile triunghiului sînt ascuţite şi vîrfurile lui aparţin aceluiaşi cerc. 2. esenaţi un dreptunghi cu lungimea de 1,5 ori mai mare decît lăţimea lui, care trebuie să fie de 6 cm. flaţi aria dreptunghiului construit. 3. u ajutorul beţişoarelor şi a plastilinei se pot modela corpuri geometrice. e cîte beţişoare avem nevoie pentru a modela: a) un cub; b) un cuboid; c) o piramidă triunghiulară; d) o piramidă patrulateră? 4. îte cuburi mici cu muchia de 1 cm sînt necesare pentru a construi un cub mai mare cu muchia de: a) 3 cm; b) 6 cm? 5. flaţi lungimea laturii unui pătrat cu aria de: a) 361 cm 2 ; b) 5,76 cm 2 ; c) 9,61 cm Pentru a vopsi 10 m 2 de suprafaţă sînt necesare 2 kg de vopsea. e cîtă vopsea este nevoie pentru a acoperi un perete cu lungimea de 16 m şi înălţimea de 2,75 m? 7. Examinaţi desenul. flaţi aria dreptunghiului, dacă aria porţiunii haşurate este egală cu 12,8 cm Examinaţi desenul. flaţi aria pătratului, dacă pătratul EF are latura de 8 cm. E 9. imensiunile unui dreptunghi, exprimate în centimetri, reprezintă numere naturale. flaţi aceste dimensiuni, dacă aria dreptunghiului este egală cu 24 cm 2. îte soluţii are problema? F 190 apitolul 6. Elemente de geometrie

30 10. ihai a desenat planul apartamentului familiei sale. Examinaţi desenul şi aflaţi aria suprafeţei totale a apartamentului. 4 m 4,5 m 4,4 m ucătărie ormitor ameră 7 m 3 m aie Hol 2 m 5,7 m 11. Reproduceţi desenul. Notaţi pe dreapta a punctul, iar pe dreapta b punctul astfel încît punctele,,, să fie coliniare. a b 12. Perimetrul unui triunghi este de 102 cm. O latură este cu 8 cm mai scurtă decît alta şi are lungimea cu 2 cm mai mare decît dublul lungimii celei de-a treia. flaţi lungimile laturilor triunghiului. 13. Perimetrul unui patrulater este de 104 cm. Lungimea primei laturi este cu 12 cm mai mare decît lungimea laturii a treia, care este cu 10 cm mai mare decît lungimea laturii a doua. Lungimea laturii a patra este cu 10 cm mai mare decît lungimea primei laturi. flaţi lungimea fiecărei laturi a patrulaterului. 14. Perimetrul unui patrulater este de 181 cm. acă prima latură o micşorăm de 4 ori, a doua o micşorăm cu 29 cm, iar a treia o înjumătăţim, acestea devin congruente cu latura a patra. flaţi lungimile laturilor patrulaterului. 15. Perimetrul unui patrulater este de 637 cm. acă o latură ar fi mai scurtă cu din ea, a doua cu din ea, a treia cu din ea, iar a patra cu din ea, atunci toate laturile ar fi congruente. flaţi lungimile laturilor patrulaterului. apitolul 6. Elemente de geometrie 191

31 16. Perimetrul unui dreptunghi este de 208 cm. acă împărţim lungimea la lăţime, obţinem cîtul 3 şi restul 16. flaţi lungimea şi lăţimea dreptunghiului. 17. Un ţăran a măsurat un lot dreptunghiular şi a obţinut 96 de paşi în lungime şi 84 de paşi în lăţime. are este perimetrul lotului, dacă: a) 6 paşi măsoară 4 m; b) 8 paşi măsoară 6 m? 18. Perimetrul unui dreptunghi este de 184 cm. alculaţi dimensiunile dreptunghiului, ştiind că dacă mărim cu 2 cm jumătate din lăţimea lui, obţinem un sfert din lungime. 19. vînd la dispoziţie 12 chibrituri, construiţi 6 pătrate. Probleme pentru campioni 20. Fie x, y şi z lungimile laturilor unui triunghi. flaţi aceste lungimi, dacă: 2 x + y + z = 71 cm, x + 2 y + z = 72 cm, x + y + 2 z = 73 cm. 21. Lungimile laturilor unui triunghi reprezintă numere naturale consecutive. flaţi aceste lungimi, dacă perimetrul triunghiului este cu 1 m mai mare decît lungimea unei laturi. 22. Suma lungimilor a două laturi congruente ale unui triunghi reprezintă 10 7 din perimetru şi este cu 48 cm mai mare decît lungimea laturii a treia. flaţi lungimile laturilor triunghiului. 192 apitolul 6. Elemente de geometrie

32 Test sumativ Timp efectiv de lucru: 45 de minute 1. Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: Punctele, aparţin unghiului ascuţit UNG şi segmentele [N] şi [N] sînt congruente. 2. onstruiţi: a) un dreptunghi cu laturile de 3 cm şi 5 cm; b) un cerc cu diametrul de 10 cm. 3. Examinaţi desenul. Varianta I E Realizaţi un desen pentru care va fi adevărată propoziţia: reptele şi sînt paralele, dreptele şi sînt concurente, unghiul este ascuţit. 2. onstruiţi: a) un dreptunghi cu laturile de 4 cm şi 6 cm; b) un cerc cu raza de 4 cm. 3. Examinaţi desenul. Varianta II E I J G H F I J G H F a) flaţi perimetrul figurii EFGHIJ. b) flaţi aria figurii EFGHIJ. 4. reptunghiul are dimensiunile 1 9,4 cm şi 5 cm. 2 a) flaţi aria dreptunghiului. b) u cît trebuie să mărim lungimea dreptunghiului pentru a obţine un dreptunghi cu aria de 3 ori mai mare? c) flaţi aria suprafeţei totale şi volumul unui cuboid cu înălţimea de 10 cm şi o bază a) flaţi perimetrul figurii EFGHIJ. b) flaţi aria figurii EFGHIJ. 4. reptunghiul NKP are dimensiunile 1 6,4 cm şi 10 cm. 2 a) flaţi aria dreptunghiului. b) u cît trebuie să micşorăm lăţimea drepunghiului pentru a obţine un dreptunghi cu aria de 4 ori mai mică? c) flaţi aria suprafeţei totale şi volumul unui cuboid cu înălţimea de 20 cm şi o bază NKP. aremul de notare Nota Nr. puncte apitolul 6. Elemente de geometrie 193

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Teste de evaluare finala. Planse de desen

Teste de evaluare finala. Planse de desen Tanaviosoft 2008 Teste de evaluare sumativa Teste de evaluare finala Planse de desen 2008 profesor Tănase Viorel Tanaviosoft 2008 2008 Standarde fundamentale NOTA: Numele: Prenumele: Standarde fundamentale

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC Noţiuni de bază Galaţi - 2007 PREFAŢĂ În această lucrare sunt prezentate noţiunile de bază necesare însuşirii desenului tehnic industrial utilizat în construcţia de maşini.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM Alocare în medie 4 minute/subiect. Punctaj: 1/4 judecata, 1/4 formula finală, 1/4 rezultatul numeric, 1/4 aspectul. EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] IM 1. Un automobil cu dimensiunile H=1.5m, l=2m, L=4m, puterea

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice 4 Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ 6.1 Considerații teoretice O instalaţie care asigură transportul şi distribuţia fluidelor (lichide, gaze) între o sursă şi un consumator

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

FORMULE ŞI RELAŢII FOLOSITE ÎN ELECTROTEHNICĂ

FORMULE ŞI RELAŢII FOLOSITE ÎN ELECTROTEHNICĂ CAPITOLUL FORMULE ŞI RELAŢII FOLOSITE ÎN ELECTROTEHNICĂ.. FORMULE FOLOSITE ÎN ELECTROSTATICĂ Sarcina electrică e,6 x 0 9 [C] coulomb q q F 4 π ε r Forţa lui Coulomb q,q sarcini electrice ε 0 permitivitatea

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI

Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI Lucrarea 18 133 Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI 18.A. OBIECTIVE 1. Studiul adaptării prin circuite în T. 2. Studiul comportării în frecvenţă a adaptorilor în T. 18.B. CONSIDERAŢII TEORETICE

Διαβάστε περισσότερα

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM 1 CUPRINS 1. Desen tehnic......3. Mecanică...0 3. Rezistenţa Materialelor...3

Διαβάστε περισσότερα

Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VIII-a» Attempt 1. Continue

Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VIII-a» Attempt 1. Continue Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VIII-a 1 of 2 4/14/2008 12:19 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VIII-a» Attempt 1 1 Un pahar cu inaltimea h = 20cm si raza bazei r = 5cm, este plin

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS. A) DIVIZIA OTEL CARBON pag 09. B) DIVIZIA OTEL INOXIDABIL pag 107. C) DIVIZIA CONSTRUCTII pag 135. D) ERIDIAN pag 169

CUPRINS. A) DIVIZIA OTEL CARBON pag 09. B) DIVIZIA OTEL INOXIDABIL pag 107. C) DIVIZIA CONSTRUCTII pag 135. D) ERIDIAN pag 169 societatea Kueryo Steel a luat nastere in noiembrie 2007 din firma Kueryo Import- Export SRL si comercializa urmatoarele produse: Panouri sandwich, Tabla cutata, Accesorii Profile de aluminiu Policarbonat

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

5)Sa se afiseze suma cifrelor unui numar n )Sa se afle daca un numar este perfect )Sa se afle cifra maxima a unui numar (cea mai mare

5)Sa se afiseze suma cifrelor unui numar n )Sa se afle daca un numar este perfect )Sa se afle cifra maxima a unui numar (cea mai mare Cuprins ALGORITMI. NOTIUNI GENERALE... 4 Etapele rezolvarii unei probleme:... 5 SCHEMA LOGICA... 8 Descrierea algoritmilor cu ajutorul schemelor logice... 9 1. De start şi de stop... 9 2. De citire şi

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS LUCRARE DE DISERTAȚIE

CUPRINS LUCRARE DE DISERTAȚIE CUPRINS 1. Introducere...5 2. Reverse Engineering...7 2.1. Realizarea ingineriei inverse...7 2.2. Factorii care influențează tehnica Reverse Engineering...8 2.3. Diferențe între scanare și digitizare...9

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

ORGANE DE MAŞINI ŞI MECANISME

ORGANE DE MAŞINI ŞI MECANISME Viorica CONSTANTIN Vasile PALADE ORGANE DE MAŞINI ŞI MECANISME VOLUMUL II TRANSMISII MECANICE EDITURA FUNDAŢIEI UNIVERSITARE Dunărea de Jos GALAŢI Viorica CONSTANTIN Vasile PALADE ORGANE DE MAŞINI ŞI MECANISME

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

Microscopie optica. Masuratori cu microscopul optic

Microscopie optica. Masuratori cu microscopul optic . Masuratori cu microscopul optic Tehnici de microscopie de transmisie Microscopie de baleiaj utilizand lasere Microscopie confocala Microscopie in camp apropiat Microscopie electronica Microscopie Microscopie

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

Antene verticale - pentru banda de 5MHz.

Antene verticale - pentru banda de 5MHz. Antene verticale - pentru banda de 5MHz. MOTTO: Legile electrotehnicii nu pot fi contestate și nici aprobate de parlament. YO4UQ Cristian COLONATI În continuarea propunerilor deja făcute pentru antenele

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V)

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V) SINTEZE DE BACALAUREAT ELECTRICITATE www.manualdefizica.ro NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE UNITATEA DE MĂSURĂ 1. Lungimea (l) metrul (m). Masa (m) kilogramul (kg) ELECTRICITATEA. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI REACŢIA CHIMICĂ STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI Reacţia de titrare a unui acid tare respectiv a unui acid slab (notat în general HA) cu o bază tare se reprezintă prin echilibrul:

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

FILTRELE SI UTILIZAREA LOR

FILTRELE SI UTILIZAREA LOR Tema XII-a FILTRELE SI UTILIZAREA LOR 12.0 Descriere, generalitati Filtrele, sunt elemente optice auxiliare, montate in drumul razelor de lumina, in scopul schimbarii caracteristicilor acestora. Filtrele

Διαβάστε περισσότερα