Αχ, πονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα

Transcript

1 Αχ, ονεμένη μου συνάρτηση ολοκλήρωμα F() f (t)dt! ) Μια σύντομη αναδρομή Ειμέλεια: Μάκης Χατζόουλος Όλα ξεκίνησαν στις 7 Ιουνίου 5 όταν ανακοινώθηκε η διδακτέα εξεταστέα ύλη για τους μαθητές της Γ Λυκείου Τότε διαιστώθηκε ότι εκτός αό το κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών αφαιρείται και η αραγώγιση της συνάρτησης ολοκλήρωσης! Υενθυμίζουμε την υόδειξη οδηγία: Υόδειξη - οδηγία: Διατυώνεται χωρίς να αοδειχτεί η ρόταση: «Αν f :R, όου Δ διάστημα, είναι μια συνεχής συνάρτηση, τότε για κάθε η συνάρτηση F() f (t)dt είναι μια αράγουσα της f», και με τη βοήθεια αυτής αοδεικνύεται το Θεμελιώδες θεώρημα της Ανάλυσης Η εισαγωγή της συνάρτησης γίνεται για να αοδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και να αναδειχθεί η σύνδεση του Διαφορικού με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό Για το λόγο αυτό δεν θα διδαχθούν ασκήσεις ου αναφέρονται στην αραγώγιση της συνάρτησης και γενικότερα της συνάρτησης g F() f (t)dt Τότε αρκετοί συνάδελφοι, blog, forum και η ΕΜΕ είχαν διαμαρτυρηθεί για την αψυχολόγητη και χωρίς λογική αόφαση Κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους 5 6 η ανησυχία των καθηγητών για το οιες ασκήσεις είναι εντός και οιες θα διδάξουν συνεχίστηκε, οι Σχολικοί Σύμβουλοι των μαθηματικών έστελνα συχνά ερωτήσεις ρος το ΙΕΠ για να δωθούν συγκεκριμένες οδηγίες Αοτέλεσμα όλων αυτών των ενεργειών είναι στις 8 Μαρτίου 6 να ανακοινωθεί η αφαίρεση ΟΛΩΝ των ασκήσεων ου εριέχουν τη συνάρτηση ολοκλήρωσης!! Ας διαβάσουμε την νέα οδηγία: «Η εισαγωγή της συνάρτησης F() f (t)dt γίνεται για να αοδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και να αναδειχθεί η σύνδεση του Διαφορικού με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό Για το λόγο αυτό δεν θα διδαχθούν ασκήσεις ου αναφέρονται στην αραγώγιση της συνάρτησης γενικότερα της συνάρτησης g F() f (t)dt» F() f (t)dt και Εειδή διατυώνονται ερωτήματα για το είδος των θεμάτων ου αναφέρονται στη συγκεκριμένη συνάρτηση και ροκειμένου να αοφευχθούν αρανοήσεις και

2 λανθασμένες ερμηνείες ου θα οδηγήσουν σε μια άσκοη «ασκησιολογία» και ως εκ τούτου σε αώλεια ολύτιμου διδακτικού χρόνου, ενημερώνουμε τους διδάσκοντες ότι: Αό το εριεχόμενο της υόδειξης οδηγίας τόσο ως ρος το σκοό όσο και ως ρος το νεύμα ου την διέει καθώς και αό το γεγονός ότι στο σχολικό εγχειρίδιο δεν εριλαμβάνονται άλλου είδους ασκήσεις, εκτός της αραγώγισης, ου να αναφέρονται στη συγκεκριμένη συνάρτηση, ροκύτει ότι τίθενται εκτός εξέτασης ασκήσεις ου αναφέρονται στη συνάρτηση Η δική μου εξήγηση είναι εξής: f t dt και γενικότερα στη συνάρτηση g f t dt Εγώ κρίνω ότι το Υουργείο Παιδείας, το ΙΕΠ και οι φορείς ου ασχολούνται με την ύλη, ροσαθούν με τον τρόο τους να διευκολύνουν τον μαθητή αό αυτό το είδος των ασκήσεων Όμως έχει αρατηρηθεί ότι όοιο εδάφιο αφαιρείται αό την ύλη χ διαφορικές εξισώσεις (αράγραφος ) το βλέουμε ως θέμα στις Πανελλαδικές εξετάσεις! Αυτό συμβαίνει αφού άλλο ειτελείο αοφασίζει για την ύλη, άλλο όργανο ανακοινώνει την ύλη και άλλοι θέτουν τα θέματα!! Τρεις διαφορετικοί φορείς ου ΔΕΝ συνεργάζονται ααραίτητα μεταξύ τους! Οότε ο φόβος των καθηγητών υφίσταται ότι κάοιο αό τα θέματα ου έμειναν εκτός εξεταστέας ύλης και υό την μορφή οδηγίας, εμφανιστεί συγκαλυμμένο στις εόμενες Πανελλαδικές εξετάσεις ) Συμέρασμα Το Θεώρημα Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F() f (t)dt,, είναι μια αράγουσα της f στο Δ, δηλαδή ισχύει: f (t)dt f (), για κάθε είναι εντός για την κατανόηση της θεωρίας και τη σύνδεσης με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, αλλά ως εφαρμογή στις ασκήσεις είναι εκτός! Για αράδειγμα δεν ειτρέεται να μας ζητήσουν ασκήσεις του στυλ: ημ tdt ή ln tdt Όμως, όοιος το χρησιμοοιήσει (αν του δοθεί η δυνατότητα) στις ασκήσεις τότε ΔΕΝ αφαιρείται καμία μονάδα!

3 ) Τελικά η συνάρτηση ολοκλήρωση είναι εκτός; Όοιος έχει μελετήσει μαθηματικά γρήγορα αντιλαμβάνεται ότι να εξαιρέσεις μία έννοια δεν σημαίνει ότι έχεις ααλλαγή τελείως αό αυτήν, όταν οι ρίζες της έννοιας αραμένουν εντός ύλης Δηλαδή δεν μορούμε να κόψουμε την έννοια της «αφαίρεσης ραγματικών αριθμών» όταν αραμένει εντός ύλης η ρόσθεση, αφού αντί να υολογίσουμε το 8 5 θα το υολογίζουμε ως εξής: Πόσο ρέει να αυξήσουμε το 5 για να φτάσουμε το 8; Έτσι και εδώ, δεν μορεί να θεωρείται εκτός η συνάρτηση ολοκλήρωσης όταν είναι εντός η έννοια της αρχικής συνάρτησης! Είναι αραλογισμός! Παρακάτω θα σας δείξουμε ώς οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου με μεταβλητό άκρο ολοκλήρωσης γίνονται εντός ύλης!! 4) Παράδοξα Εντάξει τελικά δεν έχουμε συνάρτηση ολοκλήρωμα στις εξετάσεις, άει τέλος σωστά;; Και εκεί ου νομίζεις ότι όλα τελείωσαν σου θέτει την άσκηση: Παράδοξο ο (ιδέα Βασίλη Μαυροφρύδη) Αν για την συνεχή συνάρτηση f :, R είναι υάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε: f d, να δείξετε ότι f Σημείωση: Παρατηρείστε στην εκφώνηση ΔΕΝ υάρχει μεταβλητό άκρο στο ολοκλήρωμα, άρα η άσκηση είναι εντός; Λύση με ερσινές γνώσεις: Α τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση ολοκλήρωμα F f t dt,, εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής Β τρόος: Εφαρμόζουμε το θεώρημα Roll στη συνάρτηση Άρα οι λύσεις είναι εκτός; Όχι φυσικά F f t dt,, και Λύση με γενικότερες γνώσεις του σχ βιβλίου (εκτός ύλης)!! Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού λογισμού (εειδή η f είναι συνεχής στο [, ], τότε υάρχει ένα τουλάχιστον, f f d τέτοιο, ώστε

4 Σημείωση: Στην ουσία είναι η λύση του α τρόου Λύση με φετινές γνώσεις (εντός ύλης) Α τρόος: Έστω ότι για κάθε, : f τότε η συνάρτηση g f,,, η οοία είναι μη μηδενιζόμενη στο (, ) και συνεχής ως διαφορά συνεχών, άρα θα διατηρεί σταθερό ρόσημο στο διάστημα αυτό Αοδεικνύουμε ότι η g είναι θετική (αό συνέχεια) για κάθε, Εειδή η g είναι συνεχής, μη αρνητική και όχι αντού μηδέν στο [, ] έεται ότι g d f d άτοο, άρα υάρχει τουλάχιστον ένα, : f Β τρόος: Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού λογισμού (σχολικό βιβλίο σελίδα 4), αν G μια αράγουσα της f στο [, ], τότε άρα f d G G G G G f f Σημείωση: Υάρχει ερίτωση, με όοιον τρόο και να λύσεις την άσκηση να θεωρηθεί λάθος; Παράδοξο ο (ιδέα Παύλου Τρύφωνα) Δίνεται η συνάρτηση f, R (Σημείωση: Μια χαρά άσκηση μου φαίνεται, εντός ύλης!!) Εδώ δείτε το αράδοξο και την άβολη θέση του καθηγητή όταν ο μαθητής κάνει τα εξής: f (εντός ύλης) t f dt (εντός ύλης) t (εντός ύλης) f dt t f dt (εντός ύλης) και αν θέσουμε u t τότε εύκολα βρίσκουμε ότι f u du (εκτός ύλης)!!! 4

5 5) Η αόδραση!! Παρακάτω θα δείξουμε ως οι ασκήσεις με τη συνάρτηση ολοκλήρωμα μετατρέονται εύκολα με τη βοήθεια των αρχικών συναρτήσεων Δηλαδή ώς μορούμε να αοδράσουμε αό τη συνάρτηση ολοκλήρωση και να έχουμε έννοια ου είναι εντός ύλης! Οι αρακάτω οδηγίες τηρήθηκαν στη τροοοίηση των αλαιών θεμάτων εξετάσεων ου είναι εκτός ύλης (η αραγώγιση της συνάρτησης Ολοκλήρωσης) Όλα τα ανασκευασμένα θέματα εξετάσεων μορείτε να τα βρείτε στο βιβλίο της lisari tam (Οδηγός Προετοιμασίας για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις) ο Υοψήφιο θέμα εξετάσεων Σημείωση: (ου μεταβλητό άκρο στα άκρα του ολοκληρώματος μετατρέεται σε άσκηση χωρίς μεταβλητό άκρο με τη βοήθεια της αρχικής συνάρτησης) Πέρυσι με συνάρτηση ολοκλήρωμα: Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οοία ισχύει: ft f ln dt ln για κάθε R t όου F είναι η αρχική συνάρτηση της ) Να δείξετε ότι f, R f, R όου F() = Φέτος, χωρίς συνάρτηση ολοκλήρωμα: Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οοία ισχύει: F f ln ln για κάθε R όου F είναι η αρχική συνάρτηση της ) Να δείξετε ότι f, R f, R όου F() = ο Θέμα εξετάσεων (διαγώνισμα Δ θέμα Πανελλαδικών εξετάσεων! Θέμα (ερσινή ύλη) Έστω f :, R μια αραγωγίσιμη συνάρτηση για την οοία ισχύουν: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f () 5

6 f ( 5h) f ( h) lim h h Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση Να αοδείξετε ότι: f t g dt,, και α > t Δ f (μονάδες 4) καθώς είσης ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ Η g είναι γνησίως αύξουσα στο, (μονάδες ) και στη συνέχεια, να λύσετε στο την ανίσωση gudu Δ Η g είναι κυρτή g u du (μονάδες 5) Μονάδες 8 Μονάδες 6 f t Δ4 Η εξίσωση α dt f α α, α t έχει ακριβώς μία λύση Μονάδες 4 Θέμα 6 (με τη νέα ύλη!!) μια αραγωγίσιμη συνάρτηση για την οοία ισχύουν: Έστω f :, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f () f ( 5h) f ( h) lim h h Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση F:, μια αράγουσα της συνάρτησης f () h() με Να αοδείξετε ότι: Δ f (μονάδες 4), καθώς είσης ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ Η F είναι γνησίως αύξουσα στο, (μονάδες ), και στη συνέχεια, να λύσετε την εξίσωση F F F F Δ Η F είναι κυρτή Δ4 Υάρχει ξ, (μονάδες 5) ξ 7ξ 5 F(ξ) ξ 5ξ 6 ( f (ξ)) ώστε, Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 4 6

7 6) Προβληματισμοί ) Άρα η συνάρτηση ολοκλήρωμα έχει βγει τελείως εκτός αό την φετινή εξεταστέα ύλη όταν μορεί να δοθεί άσκηση, χωρίς μεταβλητό άκρο και η λύση να μας αραέμει σε αυτήν (δες ρώτη άσκηση);; ) Η αρχική συνάρτηση είναι εντός ύλης και η συνάρτηση ολοκλήρωση ου είναι αυτή αρχική συνάρτηση είναι εκτός; ) Η συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι εκτός, γιατί ΔΕΝ αφαιρούσαν και την αόδειξη του Θεμελιώδες Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού και μερδεύουν τους μαθητές ότε είναι γνωστό και ότε άγνωστο; Πότε ειτρέεται να το χρησιμοοιούμε και ότε όχι; 4) Άρα οι ασκήσεις με μεταβλητό άκρο μετατρέονται εύκολα σε αρχικές συναρτήσεις, οότε τελικά τα καταφέραμε να αφαιρέσουμε την ύλη μας τη συνάρτηση ολοκλήρωμα; 5) Πολύ φοβάμαι ότι αν αυτή τη σκέψη την κοινοοιήσουμε τότε κινδυνεύει να αφαιρεθεί αό την ύλη και η αρχική συνάρτηση! Δηλαδή ξηλώνουν την ύλη μέχρι να φτάσουν ου;; Ακολουθεί το β μέρος ου όλες οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου μετατρέονται σε ασκήσεις εντός!! 7

8 Πριν (με συνάρτηση ολοκλήρωμα) ΕΦΑΡΜΟΓH /σελ 5 Δίνεται η συνάρτηση F t dt i) Να βρεθεί το εδίο ορισμού της F ii) Να μελετηθεί ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα η F Nα υολογίσετε τα ολοκληρώματα: Α ΟΜΑΔΑΣ Μετά (με αρχική συνάρτηση) ΕΦΑΡΜΟΓH /σελ 5 Δίνεται η F :, Rαρχική συνάρτηση της i) ( ) d ii) d με F Να μελετηθεί η F ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα (Ειλέον μορεί να ζητηθεί και η κυρτότητα και τα σημεία καμής της F) iii) / (συν ημ) d iv) d Nα αοδείξετε ότι 7 d d 5 5 Να αοδείξετε ότι β f ( ) f ( ) d ( f ( β)) ( f ( α)) α 4 Αν η γραφική αράσταση της συνάρτησης f διέρχεται αό τα σημεία A (, ) και B (,), να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος f ( ) d, εφόσον η f είναι συνεχής στο [,] Α5 i) Αν F :, R μια αρχική Α5 Να βρείτε τις αραγώγους των συναρτήσεων συνάρτηση της τότε υολογίστε την αράγωγο της F i) ii) συν F() t dt F() συν d ii) Αν F :, Rμια αρχική συνάρτηση της συν τότε υολογίστε την αράγωγο της F Α6 i) Να βρείτε την αράγωγο της συνάρτησης f ( ) ln( ) 8

9 ii) Να αοδείξετε ότι d ln( ) Β Αν 4 6 tg(t)dt για κάθε R, να βρείτε το g() Β Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση συν f () t dt είναι σταθερή Β Αν F η αρχική συνάρτηση της F για g() στο R και 4 6 κάθε R να βρείτε το g() (Ειλέον ερώτημα: Αν η g είναι συνεχής τότε υολογίστε το g ()) B Να αοδείξετε ότι η αρχική συν συν συνάρτηση της είναι σταθερή (Διαφορετική εκφώνηση: Να δείξετε συν συν ότι ) t ΒΑν f () dt, να t ροσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοικά ακρότατα της f Β4 Aν F() f (t)dt, να βρείτε την F () Β5 Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση / F() dt dt t t είναι σταθερή στο (, ) και να βρείτε τον τύο της B Αν G: R Rαρχική συνάρτηση της με G()= να ροσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοικά ακρότατα f G της (Ειλέον ερώτημα: Αν G () = 6, υολογίστε τα διαστήματα κυρτότητα και τα σημεία καμής της f) B4 Αν G αρχική της f και F G, να βρείτε την F B5 Δίνεται G :, R αρχική της με G()= Αν F G G, για κάθε,, να δείξετε ότι η F είναι σταθερή και να βρείτε τον τύο της B6 Να βρείτε το h h lim 5 t dt h B6 Δίνεται G: R της το όριο 5 με G R αρχική G, να βρείτε lim 9

10 Β ΟΜΑΔΑΣ 7 Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα 6 i) 4 d 4 ii) / [ημ(συν )ημ ημ(συν )] d 8 Nα υολογίσετε τα ολοκληρώματα i) ( ) d ii) iii) d f ( ) d, αν, f ( ) ημ, 9 Nα υολογίσετε τα ολοκληρώματα i) ln d ii) d iii) ln( 9 ) d iv) / συνd / Αν I ημ d, J / συν d, να υολογίσετε τα ολοκληρώματα I J, I J, Ι, J Έστω μια συνάρτηση f με f συνεχή και για την οοία ισχύει ( f ( ) f ( ) ) ημd Αν f ( ), με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά αράγοντες, να υολογίσετε το f () Έστω οι συναρτήσεις f, g f ( β) g( β), να αοδείξετε ότι α β, με f, g συνεχείς στο [ α, β] Αν f ( α) g( α) και Ι ( f ( ) g( ) f ( ) g( ) ) d g( β)( f ( β) g( β)) Γ ΟΜΑΔΑΣ i) Να χρησιμοοιήσετε την αντικατάσταση u για να αοδείξετε ότι f ( ημ) d f (ημ) d ημ ii) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα d ημ i) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα ii) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα / / / ημ d d Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα du ( u )( u )

11 και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα: συν i) d (ημ )(ημ ) ii) ( d )( ) ν 4 Αν I ν t t dt, N, i) Να υολογίσετε το άθροισμα I ν Ι ν, N ii) Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα I, I, I Γ5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, να αοδείξετε ότι u f (u)( u)du f (t)dt du Γ6 Δίνεται η συνάρτηση Γ5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και φ αρχική συνάρτηση της f στο R F αρχική συνάρτηση της φ G αρχική συνάρτηση της F G τότε να αοδείξετε ότι G F f (Ειλέον ερώτημα: Να δείξετε ότι η F() είναι αρχική της F() + G()) όου F() f (t)dt, t f (t) u du i) Να βρείτε το εδίο ορισμού των συναρτήσεων f και F ii) Να αοδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή Γ6 Δίνεται η συνάρτηση F :, R αρχική της f Η f :, R με f() = είναι αρχική συνάρτηση της Να αοδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο, Γ7 Δίνονται τα ολοκληρώματα F() και G() t συν tdt t ημ tdt, R i) Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα F() G() και F() G() και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα F() και G() ii) Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα Γ7 Δίνονται τα ολοκληρώματα t συν tdt Ι και J t ημ tdt i) Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα I Jκαι I J Στη συνέχεια να υολογίσετε τα ολοκληρώματα I και J ii) Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα t t I συν tdt και J ημ tdt

12 I t συν tdt και J t ημ tdt Γ8 Το χωρίο ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f ( ) και την ευθεία y 5 χωρίζεται αό την ευθεία y α, α, σε δύο ισεμβαδικά χωρία Να βρείτε την τιμή του α Γ9 i) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε (λ) του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f ( ), τον άξονα των και τις ευθείες, λ, λ ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε iii) Nα βρεθούν τα lime( λ) και lim E( λ) λ λ Ε ( λ) Γ Έστω f, g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [ α, β] Να αοδείξετε ότι: i) Αν f ( ) g( ) για κάθε [ α, β], τότε ) d α β f ( g( ) d ii) Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο [ α, β], τότε iii) Με τη βοήθεια της ανισότητας ότι η συνάρτηση αοδείξετε ότι: β m ( β α) f ( ) d M ( β α) α α β εφ για κάθε,, να αοδείξετε ημ f ( ),, είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να α) ημ για κάθε, και 6 4 / ημ β) d / 6 iv) Nα αοδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότητας να αοδείξετε ότι: α) για κάθε [,] και β) d για κάθε R,