1. Αν είναι. 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3. Αν α= 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµα.συνβ=1+συνα.ηµβ, δείξτε

Transcript

1 Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν είναι π π α < β < <, να συγκρίνετε τους αριθµούς: π π (α) συνα και συνβ, (β) συν( α ) και συν( β ) Να λύσετε τις εξισώσεις: π χ (α) συνχ=ηµ(χ+ ), (β) ηµ =συνχ ο ο εφ50 εφ5 Αν α= ο ο εφ εφ 50 5 ο εφ50 + εφ5 και β= ο + εφ50 εφ5 ο ο, να αποδείξετε ότι αβ= εφ 55 ο Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµασυνβ=+συναηµβ, δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο 5 Να λύσετε στο διάστηµα [0,π] τις εξισώσεις: (α) συν(συν(συνχ))=, (β) ( -εφχ)(+εφχ)=0, (γ) (συνχ-)(εφχ-)ηµχ=0, (δ) (ηµχ+ )(+συνχ)(+εφ χ)=0 6 Να λυθεί η εξίσωση: ηµ χ+ηµχσυν χ+συν χ=0 7 Να λυθεί η εξίσωση: εφ χ-6ηµ χ+=0 8 Να δείξετε ότι η παράσταση Α=συν χ-συνχσυνασυν(α+χ)+συν (α+χ) είναι ανεξάρτητη του χ 9 Αν ισχύει συν(α+β)=συνασυνβ, να αποδείξετε ότι ηµ (α+β)=(ηµα+ηµβ) 0 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: (α) ηµαηµ(β-γ)+ηµβηµ(γ-α)+ηµγηµ(α-β)=0, (β) ηµ α+ηµ(60 ο -α)ηµ(60 ο +α)=, (γ) συν α+συν (60 ο +α)+συν (60 ο -α)= /

2 Αν Α,Β,Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ µε εφα= αποδείξετε ότι Λ Γ =5 ο και εφβ= να Αν ισχύει ηµχ+ηµψ= και συνχ+συνψ=, να βρεθεί το συν(χ-ψ) Αν α+β+γ= π, να αποδειχθεί ότι: (α) (β) (γ) εφαεφβ+εφβεφγ+εφγεφα= σφασφβσφγ=σφα+σφβ+σφγ εφ α+εφ β+εφ γ συν ( Β Γ) (α) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση εφβ=, ηµ Α ηµ ( Β Γ) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, ηµ Α (β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση = συνγ, να αποδείξετε ηµ Β ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές α 5 Αν είναι συν, να υπολογιστεί το συνα = 6 Να αποδειχτεί ότι: (συνα+συνβ) +(ηµα+ηµβ) =συν ( 7 Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) συν χ+ηµ χ=, (β) α β (+ηµχ)σφ( π +χ)= 8 Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) ηµχσυνχ=, 9 Να αποδείξετε ότι: (α) (β) (β) συνχ=ηµ χ +, (γ) εφχ=ηµχ, χ (0,π) π π π συν α + συν ( α + ) + συν ( α + ) + συν ( α + ) = [ηµθ(+ηµθ)+συνθ(+συνθ)][ηµθ(-ηµθ)+συνθ(-συνθ)]=ηµθ 0 είξτε ότι: (α) εφ π +εφ 5π =, (β) εφ α+σφ (+ συν α ) α= συν α ) /

3 ηµ α συν α συνα α είξτε ότι: = εφ + συν α + συν α + συνα χ Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) ηµχ εφ = συνχ, (β) (γ), Να λυθεί η εξίσωση: ηµ (χ+5 ο )-ηµ (χ-5 ο )= ηµ χ+5συν χ- ηµχ=, +ηµχ+συνχ+ηµχ+συνχ=0 π π π Να αποδειχτεί ότι: (α) συν συν συν =, 7 (β) ηµ0 ο συν0 ο συν0 ο = 8, (γ) συν0 ο συν0 ο συν60 ο συν80 ο = 6 5 (α) είξτε ότι για κάθε γωνία α ισχύει : συνα=συν α-συνα, (β) Να λυθεί η εξίσωση: +ηµχ=σφχ Να λυθεί η εξίσωση: ηµχ-ηµχ=(-συνχ) 7 (α) Αν για τις γωνίες α,β ισχύει ηµ β=ηµασυνα, να αποδείξετε ότι π συν + α = συν β ( ) (β) Αν για τις γωνίες α,β ισχύει εφ α=+εφ β, να αποδείξετε ότι συν β=+συνα 8 (α) είξτε ότι για κάθε γωνία α ισχύει : ηµα=ηµα-ηµ α, ηµα ηµβ ηµγ (β) Αν ηµα+ηµβ+ηµγ=0, να δείξετε ότι = ηµ α ηµ β ηµ γ 9 (α) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµ Α=ηµ Β+ηµ Γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, (β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ=, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Να δείξετε ότι: = ο ο ηµ 0 συν0 /

4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ίνονται τα πολυώνυµα P(χ)=(α+)χ +χ +βχ+γ- και Q(χ)=χ +δχ +6χ+ Να βρείτε τις τιµές των α,β,γ,δ R για τις οποίες το πολυώνυµο F(x)= P(χ)+ Q(χ) είναι: (α) βαθµού, (β) βαθµού, (γ) βαθµού 0, (δ) το µηδενικό πολυώνυµο (α) Να βρείτε τις τιµές των α,β,γ R ώστε τα πολυώνυµα P(χ)=χ +χ+9 και Q(χ)=α(χ+)(χ+)+βχ(χ-)+γ να είναι ίσα (β) Υπάρχουν τιµές α,β,γ R ώστε τα πολυώνυµα f(χ)=χ +χ + και g(χ)= α(χ+)(χ+)+βχ(χ-)+γ να είναι ίσα; Να βρείτε πολυώνυµο P(χ) τρίτου βαθµού το οποίο να έχει ρίζα το 0 και να ικανοποιεί την σχέση P(χ-)=P(χ)-χ, χ R Αν το πολυώνυµο P(χ)=χ +χ -χ +αχ+β είναι τέλειο τετράγωνο πολυωνύµου, να δειχτεί ότι α+β=0 5 Αν είναι α +β +γ =αβγ και α+β+γ=0, όπου α,β,γ R, να δείξετε ότι το πολυώνυµο Q(χ)=(α-β)χ 9 +(β-γ)χ -(γ-α) είναι το µηδενικό (Χρησιµοποιήστε την ταυτότητα του Euler ) 6 (α) Αν το πολυώνυµο P(χ) έχει παράγοντα το χ+, να δείξετε ότι το πολυώνυµο Q(χ)=P(χ+)+χ -5 έχει παράγοντα το χ+5 (β) Αν P(χ) είναι ένα µη µηδενικό πολυώνυµο και το χ-α διαιρεί ακριβώς το πολυώνυµο f(χ)=p(χ)-χ, να δείξετε ότι το χ-α διαιρεί ακριβώς το πολυώνυµο g(χ)= P(P(χ))-χ 7 (α) Να βρείτε πολυώνυµο το οποίο όταν διαιρεθεί µε το χ +χ+ δίνει πηλίκο χ+ και υπόλοιπο χ+ (β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(χ)=α χ +(α -α+)χ-(α+) δια του χ+, είναι ανεξάρτητο του α 8 Να προσδιορίσετε το θ (0,π) ώστε το χ- να είναι παράγοντας του πολυωνύµου P(χ)=χ -(συν θ)χ +(ηµθ)χ +χ- /

5 9 Αν το πολυώνυµο P(χ)=χ +αχ -χ+β έχει ως παράγοντα το χ -χ-6, να προσδιορίσετε τα α,β R 0 Το πολυώνυµο P(χ) διαιρούµενο µε τα πολυώνυµα χ+ και χ+ αφήνει υπόλοιπο και αντίστοιχα Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(χ):(χ+)(χ+) ν ( x ) Αν είναι f ( x) και g ( x) = x+ να δείξετε ότι η διαίρεση ν = ν f ( x) : g( x) είναι τέλεια (ν φυσικός αριθµός) Αν το πολυώνυµο P(χ)=-νχ ν+ +(ν+)χ ν +α διαιρείται µε το χ-, τότε να δείξετε ότι διαιρείται και µε το (χ-) Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) χ -9χ +8χ=0, (β) χ -χ -χ+=0, (γ) χ -χ +χ-9=0, (δ) χ +χ +8χ+=0 Έστω οι ακέραιοι α,β και το πολυώνυµο P(χ)=χ +αχ +βχ+ Αν το πολυώνυµο P(χ) έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες, να βρείτε τους α,β 5 Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) χ 6-9χ +8=0, (β) (χ+) -5(χ+) +=0 6 ίνονται τα πολυώνυµα P(χ)=χ -χ +αχ+β, Q(χ)=χ -χ- Αν το Q(χ) διαιρεί ακριβώς το P(χ), να λυθεί η ανίσωση P(χ)<0 7 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση χ ν -=0 (ν φυσικός αριθµός) έχει ακριβώς δύο ακέραιες ρίζες, όταν ν-άρτιος και έχει ακριβώς µια ακέραια ρίζα, όταν ν-περιττός 8 Να λυθεί η ανίσωση: χ -χ +6<0 5/

6 9 Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθµοί τέτοιοι, ώστε ο κύβος του µεγαλύτερου να ισούται µε το τριπλάσιο του αθροίσµατος των κύβων των δύο άλλων χ + χ 50 Να λυθεί η ανίσωση: χ 5 Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) χ + = χ+, (β) χ + = 6( χ + ) χ χ χ χ 5 Να λυθεί η εξίσωση: ( χ + ) χ+ 5 = ( χ+ ) χ+ χ + 9 χ 5 Να λυθεί η εξίσωση: + = χ χ+ 9 5 Να λυθεί η εξίσωση: + χ 5 = χ 55 Να λυθούν οι ανισώσεις: (α) χ χ + (β) χ χ+ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 56 Σε µια αριθµητική πρόοδο η διαφορά ω και ο δεύτερος όρος είναι η µικρότερη και η µεγαλύτερη ρίζα αντίστοιχα της πολυωνυµικής εξίσωσης χ -6χ +χ-6=0 Να βρεθεί το 0 ος όρος της προόδου 57 Αν οι αριθµοί συν ( π -χ), συν χ, συν ( π +χ) µε χ [0,π], είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να βρεθεί το χ 58 Να βρεθούν τρεις αριθµοί που είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, αν το άθροισµά τους είναι και τι γινόµενό τους 5 59 Σε µια αριθµητική πρόοδο (α ν ) ισχύει: α +α 5 +α 8 =5 και S 5 =α 7 +0 Να βρείτε την πρόοδο και το άθροισµα S 0 60 Αν οι αριθµοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να δειχθεί ότι (α-β) +(α-γ) +(β-γ) =6(β -αγ) 6/

7 6 Να βρεθούν οι συντελεστές α,β του τριωνύµου χ +αχ+β, αν οι συντελεστές,α,β είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθµητικής προόδου και το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών του είναι 6 6 Σε µια αύξουσα αριθµητική πρόοδο µε 00 όρους, οι δύο µεσαίοι όροι είναι οι αριθµοί 50 και 5 Να βρείτε την πρόοδο και το άθροισµα των όρων της προόδου που είναι µεταξύ του 0 ου και του 0 ου όρου 6 Ένας γυµναστής τοποθετεί τους 6 µαθητές µιας τάξης σε σχήµα τριγώνου έτσι, ώστε ο πρώτος στίχος να έχει µαθητή, ο δεύτερος στίχος να έχει µαθητές, ο τρίτος µαθητές κοκ Να βρεθεί πόσους στίχους έχει ο σχηµατισµός 6 Αν οι αριθµοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, δείξτε ότι και οι αριθµοί β+γ+δ, γ+δ+α, δ+α+β, α+β+γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου 65 (α) Να βρεθεί το χ ώστε τα τετράγωνα των αριθµών χ+,χ+ και χ+9 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου (β) Αν οι αριθµοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να δειχθεί ότι και οι αριθµοί α -βγ, β -αγ και γ -αβ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου 66 (α) Αν τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να δείξετε ότι τα µήκη αυτά είναι ανάλογα των αριθµών,,5 (β) Αν οι τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε διαφορά 6, να βρεθούν οι πλευρές του τριγώνου 67 Σε µια αριθµητική πρόοδο το άθροισµα των 0 πρώτων όρων είναι 00 και η διαφορά του τρίτου από τον δέκατο όρο είναι 5 Να βρεθούν οι 5 πρώτοι όροι της προόδου 68 Αν S, S, S είναι αντίστοιχα τα αθροίσµατα των ν πρώτων όρων τριών αριθµητικών προόδων, που έχει κάθε µια πρώτο όρο το και διαφορά 7/

8 ,, αντίστοιχα, να δείξετε ότι ι αριθµοί S, S, S είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου 69 Να αποδειχτεί ότι αν οι πλευρές α,β,γ τριγώνου και η ηµιπερίµετρός του είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 70 Μεταξύ των αριθµών και α παρεµβάλλονται 8 αριθµοί έτσι, ώστε οι 0 συνολικά αριθµοί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε διαφορά 5 Να βρεθεί ο αριθµός α και η πρόοδος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 7 Το γινόµενο τριών φυσικών αριθµών είναι 000 και το άθροισµά τους είναι 5 Αν τα τετράγωνά τους σχηµατίζουν γεωµετρική πρόοδο, να βρεθούν οι αριθµοί 7 Να βρείτε τη γεωµετρική πρόοδο (α ν ) για την οποία ισχύει: S =0 και S 8 = Σε µια γεωµετρική πρόοδο (α ν ) ισχύει ότι: α =, ακ =6 και S κ = (για κάποιο κ φυσικό αριθµό) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και το κ 7 Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί αριθµοί γεωµετρικής προόδου οι οποίοι να έχουν άθροισµα και γινόµενο 6 x Να λυθεί η εξίσωση: = 5 (x φυσικός αριθµός) 76 Αν οι αριθµοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί αριθµοί γεωµετρικής προόδου να αποδείξετε ότι: α (β+γ)(β +γ )=β (α+β)(α +β ) 77 Να βρεθεί ο πρώτος όρος και ο λόγος γεωµετρικής προόδου (α ν ) αν ισχύουν οι σχέσεις: α +α +α +α +α 5 =9 και α +α +α +α 5 +α 6 =86 8/

9 78 Μεταξύ των αριθµών 5 και 60 να παρεµβληθούν τέσσερις αριθµοί έτσι, ώστε όλοι µαζί οι αριθµοί να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου 79 Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας (α ν ) για την οποία ισχύει: α = και 6α ν++α ν =8α ν+ α ν (ν=,, ) 80 Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας (α ν ) για την οποία ισχύει: α = και α ν =α ν+ - (ν=,, ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f(χ)= χ -χ (χ R) (α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ) (β) Να λύσετε την εξίσωση: f(χ)=0 + 8 Αν α >0, να συγκρίνετε τους αριθµούς Α=, α και Β= α χ χ χ χ 8 Να αποδείξετε ότι για κάθε χ R ισχύει: ( + 9 ) ( + ) Πότε ισχύει η ισότητα; χ χ 8 Για ποια τιµή του χ R οι αριθµοί χ χ, 6, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου; 85 Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) χ+ 6 = (β) χ+ 6 = 8 8 χ+ 8 χ Αν η εξίσωση χ -( θ +)χ+9=0 έχει πραγµατικές ρίζες, να προσδιορίσετε το θ 87 Να λυθούν οι εξισώσεις: ηµ (α) 7 χ ηµχ 7 = 9 ηµ χ συν χ (β) 5 = 9 9/

10 88 Να λυθεί το σύστηµα: χ ψ = - χ ψ χ = Να λυθεί το σύστηµα: χ =5 ψ 5 χ = ψ 90 Να λυθούν οι εξισώσεις: χ ( χ+ ) χ (α) 7 = χ χ+ χ χ+ (β) = 6 χ +χ+ 5 9 Να λυθεί η ανίσωση: < χ+ χ χ 9 Να λυθεί η ανίσωση: e e< e e χ χ χ 9 Να λυθεί η ανίσωση: + 9 > 5 6 x x 9 Να λυθεί η ανίσωση: 0 > Να λυθούν οι εξισώσεις: χ χ+ (α) = χ 6 χ χ (β) ((5 ) ) = (γ) χ χ = ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 96 Να δειχθεί ότι οι αριθµοί log 7 και log 5 log 7 5 είναι αντίστροφοι 97 Να συγκριθούν οι αριθµοί Α= log (8 ) 98 Αν 7 = log ( α) α να δειχθεί ότι log 6 6= + α 99 Αν 0<, β, χ β αβ και Β= log (7 9) α και αβ, να αποδειχθεί ότι: + = log χ log χ log χ a 0/

11 00 Να βρεθεί το χ R ώστε να ισχύει: (log 8) log 6+ log 8= 9 χ + χ χ 0 Να αποδειχθεί ότι: (α) log log log 5 log 0= (log 9 ) log 5 log5 6 log6 7 log7 8 log 9= (β) 0 Να αποδειχθεί ότι: (α) log log 5 9 log 8 = 5 (β) log 7 log 6+ log 5= α + β logα + logβ 0 Αν α,β>0 και ισχύει η σχέση: log( ) =, να αποδειχθεί ότι οι αριθµοί α, 7αβ, β είναι όροι αριθµητικής προόδου 0 Αν για τους διαφορετικούς ανά δύο θετικούς αριθµούς α,β,γ ισχύει: logα logβ logγ α β γ = =, να δειχθεί ότι α β γ = β γ γ α α β 05 Αν 0<, β, γ, χ α και οι αριθµοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, να δειχθεί ότι οι αριθµοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου log χ log χ log χ a β log5 log5 06 Να αποδειχθεί ότι: 5 = 0 γ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 07 Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f µε τύπο: (α) f(x)= log (+ x ) (β) f(x)= log(logx ) (γ) f(x)= log x (x+ ) (δ) f(x)= log( x x + ) 08Να βρεθεί το πρόσηµο των αριθµών: (α) log ( ) (β) log 5 (γ) ( ) log 5 e /

12 09 Να λυθούν οι ανισώσεις: (α) lnx (lnx) (β) ln( x ) < ln + lnx 0 Να λυθεί η εξίσωση: (+ log 5) (log x) x 5 = Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) logx + ( x + x 6) = log5x (β) (log x ) 5 = Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) ln x 6 ln x+ lnx 6= 0 ln (β) x ln + x = 5 Να λυθεί η ανίσωση: ln x lnx< 0 Να λυθούν οι ανισώσεις: (α) ( 5) > 7 log x x log ( x ) log (β) ( x ) > 5 Για ποιες τιµές του θ R η ανίσωση: x (+ logθ ) x+ 5 (logθ ) 0 αληθεύει για κάθε χ R; 6 Να λυθεί η ανίσωση: log x + logx 7 Να λυθεί η ανίσωση: > + logx+ logx 8 Να λυθεί η ανίσωση: ln x 5lnx log + log x 9 Να λυθεί η εξίσωση: (x) = 00 0 Να λυθεί η εξίσωση: log x 6 log x x = x Να λυθεί η εξίσωση: (log x ) = log (log ) log x /

13 Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα: (α) log( xψ ) = x log( ) = ψ (β) log( x + ψ ) = + log8 log( x ψ ) + log= log( x+ ψ ) Να λυθεί το σύστηµα: log x + log ψ = ψx x + ψ = Να λυθεί το σύστηµα: logx logx + 9 logψ logψ = = 5 log x 5 Να λυθεί η εξίσωση: x = /