x όπου Ε είναι η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει
|
|
- Ξένων Δασκαλόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Αν. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Σχολή Μηχανολόγων Ε.Μ.Π. ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER ιαφοετικές Γαφές των Εξισώσεων Ροής Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτυχθούν λεπτοµεώς οι S(x) µονοδιάστατες εξισώσεις οής µέσα σε έναν αγωγό, όπως αυτός του σχήµατος, που έχει διατοµή SS(x), µεταβαλλόµενη µε την απόσταση x. Οι εξισώσεις οής, που εκφάζουν τη διατήηση της παοχής µάζας, της οµής και της ενέγειας µέσα στον αγωγό, µποούν να γαφούν ως εξής: S ) S) ( S) ) S ds () dx ES ) HS) όπου Ε είναι η ολική ενέγεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει ότι ( είναι η ταχύτητα του ήχου) E e H () H h T γ vt γe (3) γ H Et, Et E (4) e vt v Rg γ γ ( γ ) Μια εναλλακτική γαφή των εξισώσεων () µποεί να ποκύψει µε την εκτέλεση των πααγωγίσεων και αυτή είναι η ds ds (5) (6)
2 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου Συνοψίζοντας τις εξισώσεις (6) σε µια µοφή όπου το διάνυσµα των εξατηµένων µεταβλητών είναι αυτό των λεγόµενων µησυντηητικών µεταβλητών, το οποίο για τη συνέχεια θα συµβολίζεται µε [ ] T V (7) µποούµε να γάψουµε σε διανυσµατική µοφή τις εξισώσεις οής ως V V A ~ Q ~ όπου το δεξιό µέλος της (8) είναι το ds Q % (9) Sdx ενώ το µητώο Α οίζεται ως (8) A ~ () Εναλλακτικός τόπος γαφής της εξίσωσης (8) είναι χησιµοποιώντας τις λεγόµενες συντηητικές µεταβλητές του πεδίου οής. Το διάνυσµα των συντηητικών µεταβλητών οίζεται ως U E E t Οι εξισώσεις () ξαναγάφονται στη συντηητική µοφή, ως εξής ) S ds dx ( ) ) ds E) H) ds H και να συνοψισθούν στη διανυσµατική γαφή f Q όπου () () (3)
3 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου 3 f H ( γ )Et ( Et ) γ E 3 γ ( γ ) t ενώ το Q πειέχει τα δεξιά µέλη των εξισώσεων (). Εισάγοντας την Iακωβιανή οίζουσα Α, (4) f A γ 3 (3 γ) ( γ ) (5) [ γe ( γ ) ] γ γe 3 γ η εξίσωση (3) µποεί να γαφεί, εφαµόζοντας τον κανόνα της αλυσωτής πααγώγισης, ως A Q (6) Eπεξεγασία της Iακωβιανής Οίζουσας Α Στη συνέχεια υπολογίζονται οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της οίζουσας Α, η οποία ποκύπτει από την ανάλυση των εξισώσεων οής µε τη χήση µησυντηητικών µεταβλητών. Για την οίζουσα Α, οι ιδιοτιµές ποκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης det λ I A ~ (7) δηλαδή την εξίσωση λ λ (8) λ Το υπεβολικό σύστηµα των εξισώσεων οής διαθέτει τεις παγµατικές ιδιοτιµές και τία γαµµικά ανεξάτητα ιδιοδιανύσµατα. Η επίλυση της (8) δίνει τις τεις παγµατικές ιδιοτιµές που είναι λ, λ, λ 3 (9) Η εύεση των αιστεών ιδιοδιανυσµάτων ποκύπτει από την παακάτω εξίσωση ~ (j) A ~ ~ (j) l λ (j) l () όπου ο δείκτης (l) δεν αθοίζεται. Η τελευταία µποεί να γαφεί αναλυτικότεα και ως ( l, l, l3) / λ( l, l, l3) ()
4 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου 4 Τα αιστεά ιδιοδιανύσµατα τα οποία ποκύπτουν είναι τα εξής ~ l () ( α α ), ~ l () β β, ~ l (3) δ δ όπου οι σταθεές α, β και δ οίζονται κατά βούληση. Μια τυπική "αδιάστατη" έκφαση για τα ιδιοδιανύσµατα () µποεί να ποκύψει αν αβγ. Για υποηχητική οή το σύστηµα διαθέτει δύο θετικές ιδιοτιµές (λ και λ ) και µια ανητική (λ 3 ). Για την υπεηχητική οή υπάχουν µόνο τεις θετικές ιδιοτιµές. Η ανάλυση αυτή ισχύει µε την υπόθεση οής που κατευθύνεται πος τα θετικά x και καθοίζει τις οιακές συνθήκες που επιβάλλονται στην είσοδο και έξοδο του πεδίου οής. () ιαγωνοποίηση της Iακωβιανής Οίζουσας A Από τη θεωία πινάκων και σύµφωνα µε τον τόπο µε τον οποίο υπολογίστηκαν ποηγούµενα οι ιδιοτιµές και τα αιστεά ιδιοδιανύσµατα, ποκύπτει ότι A ~ L Λ L (3) ή ακόµα ότι A ~ LΛ L (4) όπου ο πίνακας Λ είναι διαγώνιος µε στοιχεία τις υπολογισθείσες ιδιοτιµές του πίνακα Α και ο πίνακας L πειέχει τα ιδιοδιανύσµατα του Α (ένα ιδιοδιάνυσµα ανά σειά του πίνακα) και είναι α α β Λ L β (5) δ δ Εκλέγοντας αυθαίετα ότι αβδ, ο πίνακας L και ο αντίστοφός του γάφονται L L (6) Τα δεξιά ιδιοδιανύσµατα του Α αποτελούν τις στήλες του πίνακα L ενώ τα αιστεά ιδιοδιανύσµατα είναι οι γαµµές του πίνακα L. Μετατοπή Συντηητικών σε ΜηΣυντηητικές Μεταβλητές Η µετατοπή από έναν τόπο γαφής των εξισώσεων οής µε τη χήση των συντηητικών µεταβλητών U, σε έναν άλλο τόπο γαφής µε τη χήση των µησυντηητικών µεταβλητών Ν, διέπεται από την Iακωβιανή οίζουσα του µετασχηµατισµού
5 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου 5 ) ) ) ) ) ) M V γ γ γ και µετά την εκτέλεση των αιθµητικών πάξεων, παίνει την τελική µοφή (7) M γ, det(m) γ Ξεκινώντας από την εξίσωση οής, όπως αυτή γάφεται συνατήσει των συντηητικών µεταβλητών U, ποκύπτει διαδοχικά ότι V V A Q A Q V V V V V V M A Q ( Μ ΑΜ) M Q και τελικά η γαφή των εξισώσεων οής στη µησυντηητική µοφή τους, ως V ~ V A Q ~ όπου ποφανώς ισχύει A % Μ ΑΜ A ΜΑ% Μ Q % Μ Q Ο οισµός των µησυντηητικών Iακωβιανών δεν απαιτεί τον απ'ευθείας οισµό καταστατικών σχέσεων για το ευστό και κατά συνέπεια είναι πεισσότεο γενικός. Επειδή, τέλος, η συντηητική Α και η µησυντηητική οίζουσα Α συνδέονται από τους µετασχηµατισµούς των δύο πώτων εξισώσεων της (3), οι δυο οίζουσες έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές. Αυτό εξάλλου ποκύπτει από τη διαγωνοποίηση της οίζουσας Α, όπως φαίνεται στις παακάτω εξισώσεις A % L ΛL A(ML) Λ( L M ) PΛP (3) AM AM % δηλαδή, τελικά P ML A PΛ P (33) P L M (3) (8) (9) (3)
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ιπλωµατική Εγασία : ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΩ ΙΚΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΕ ΙΩΝ ΡΟΗΣ ΓΙΑ ΟΜΗΜΕΝΑ ΚΑΙ
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Έστω λ είναι ιδιοτιµή του ν ν πίνακα, αλγεβικής πολλαπλότητας ν > Ένα διάνυσµα τάξης x, διάφοο του µηδέν, ονοµάζεται γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα,,
Μαθηματι ά ατεύθυνσης
Β Λυκείου Μαθηματι ά ατεύθυνσης Ο Κύκλος Θεωία Μεθοδολογία -Ασκήσεις Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ί α Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Α. Κύκλος Οισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντο Ο και ακτίνα το σύνολο των
ΠΕΙΡΑΜΑ 10. Aεροδυναµική Στερεών Σωµάτων
ΠΕΙΡΑΜΑ 10 Aεοδυναµική Στεεών Σωµάτων Σκοπός του πειάµατος Σκοπός του πειάµατος αυτού είναι η µελέτη της αντίστασης που αναπτύσσεται κατά τη σχετική κίνηση ενός αντικειµένου µέσα σε ένα αέιο. Οι εξισώσεις
ΑΣΚΗΣΗ 14. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 14 έκδοση DΥΝI-EXC14-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή
B ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1}
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετικών χώων 3.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.1.1 Ανοικτά σύνολα Οισμοί 3.1.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω x 0 X. (α) Η ανοικτή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το
Απόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά
1., β R ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ a ισχύει ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ 1 συν ηµα ηµβ 1- συνα συνβ +ηµα ηµβ συν(α-β) 1 ηµα ηµβ 1- συν (α+β) + γ + δ. α, β, γ, δ (0, π ) ισχύει:
Εξισώσεις οριακού στρώματος και μη συνεκτικής ροής Το διακριτό πρόβλημα
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διάσκων: Δ. Ριζιώτης Βασίλης Εξισώσεις οιακού στώματος και μη συνεκτικής οής
Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής
Κεφάλαιο 3: Μοντέλα Θεωίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαοφαλάκης Αν. Καθηγητής Οισμός συστημάτων αναμονής Συστήματα αναμονής (Queueing Syses): Συστήματα στα οποία οι αφίξεις
Σχήµα ΒΣ-6. Προφίλ πάχους, ταχύτητας και θερµοκρασίας υµένα κατά την συµπύκνωση
υθµοί µετάοσης θεµότητας παουσιάζονται πολύ µεγαλύτεοι από τους αντίστοιχους στην συµπύκνωση τύπου υµένα. Κατά την συµπύκνωση υµένα, το υγό συµπύκνωµα ηµιουγείται αχικά στην επιφάνεια, από την οποία στην
1) Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων
1) Ηλεκτικό πεδίο φοτισμένου φύλλου απείων διαστάσεων Σε αυτό το εδάφιο θα υπολογιστεί το ηλεκτικό πεδίο παντού στο χώο ενός φοτισμένου λεπτού φύλλου απείων διαστάσεων και αμελητέου πάχους όπως αυτό που
University of Crete. School of Science Department of Mathematics. Master Thesis. Lie Groups, Lie Algebras and the Hydrogen Atom
Πανεπιστήµιο Κήτης Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Μεταπτυχιακή εγασία Le οµάδες, Le άλγεβες και το Άτοµο του Υδογόνου Νίκος Κωνσταντίνου Ανδιανός Επιβλέπων καθηγητής Μιχάλης Κολουντζάκης Ηάκλειο
Ανάλυση σε Πεπερασμένο Όγκο Αναφοράς. Τρόποι επίλυσης προβλημάτων Μηχανικής Ρευστών. Θεωρητική ανάλυση συστήματος
Ανάλυση σε Πεπεασμένο Όκο Αναφοάς Τόποι επίλυσης ποβλημάτων Μηχανικής Ρευστών Θεωητική ανάλυση συστήματος Πεπεασμένοόκοαναφοάς Διαφοική ανάλυση σε απειοστό όκο Πειαματική ανάλυση Συστήματα Οι νόμοι της
Υπολογισμός γεωστροφικών ρευμάτων με τη χρήση δεδομένων από CTD. Σύγκριση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Επιβλέπων:
H 2 + x 2 cos ϕ. cos ϕ dϕ =
. Άπειη γαμμική κατανομή ϕοτίου λ Θεωούμε την γαμμική κατανομή ϕοτίου στον άξονα των x και ζητάμε το ηλεκτικό πεδίο στο σημείο A που απέχει από την κατανομή. Το στοιχειώδες τμήμα dx της κατανομής στη θέση
Εργ.Αεροδυναμικής, ΕΜΠ. Καθ. Γ.Μπεργελές
ΠΡΟΤΥΠΑ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (Υπολογιστική Ρευστομηχανική-Πεπεασμένες διαφοές) Γ. Μπεγελές Ιανουάιος 6 C 5 4 3 Z 3 3 4 5 6 7 ZC CON:..5..5.3.35.4.45.5.55.6.65.7.75.8.85.9.95 C ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Παάδειγμα
ΔΙΑΛΕΞΗ 4 Βασικές εξισώσεις διατήρησης στη Φυσική Ωκεανογραφία
ΔΙΑΛΕΞΗ 4 Βασικές εξισώσεις ιατήησης στη Φυσική Ωκεανογαφία Πειεχόµενα: q Δυνάµεις που ουν στον ωκεανό q Εξισώσεις κίνησης q Scaling q Εξίσωση συνέχειας q Εξίσωση ιατήησης της ενέγειας q Οιακές συνθήκες
, όµως z ΚΑ =3.5 cm, αστάθεια
Άσκηση : Ένας ξύλινος κύος µε πλευά 0cm και ειδικό άος SG0.7 επιπλέει σε νεό. Να υπολογισθούν:. Το ύψος του τµήµατος του κύου που είναι υθισµένο στο νεό. Το µετακεντικό ύψος. Να µελετηθεί η ισοοπία του
Κεφάλαιο Προσοµοιώσεις
Κεφάλαιο 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Όλες οι ακιβείς επιστήµες κυιαχούνται από την ιδέα της ποσέγγισης. Bertrad Russell 4. Ποσοµοιώσεις Σκοπός του παόντος κεφαλαίου είναι η παουσίαση της υπολογιστικής ποσέγγισης
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 14.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 4. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών
ΔΙΑΛΕΞΗ 8 Kύματα βαρύτητας απουσία περιστροφής
ΔΙΑΛΕΞΗ 8 Kύματα βαύτητας απουσία πειστοφής Πειεχόμενα: Χαακτηιστικά μεγέθη τν κυμάτν Εξισώσεις τν επιφανειακών κυμάτν Ποσεγγίσεις βαχέν/μακών κυμάτν Το κυματικό φάσμα Εστεικά κύματα βαύτητας Χαακτηιστικά
Συλλογή Ασκήσεων Υδροστατικής
Συλλογή Ασκήσεων Υδοστατικής Άσκηση. ℵ Να βεθεί η τιμή της πίεσης που δείχνει το πιεσόμετο, σε mmhg. Δίνονται οι πυκνότητες υδαγύου Hg 600kg/m, νεού Ν 000 kg/m και αέα Α,9 kg/m. 0 cm cm + 0 Επίλυση Αχικά
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Ερευνητικό ενδιαφέρον. 1.2 Επισηµάνσεις από τη βιβλιογραφία. 1.3 Προσέγγιση λύσης προβληµάτων:
. Εευνητικό ενδιαφέον. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Επισηµάνσεις από τη βιβλιογαφία α) Ελλιπείς γνώσεις των πολύπλοκων φυσικών διεγασιών β) Ελάχιστα εφαµόζονται οι νόµοι της Μηχανικής των Ρευστών γ)ελάχιστα βιβλία διεθνώς
Χειμερινό εξάμηνο 2007 1
ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Πααγωγής ΜΜK 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή (r convction) Στα ποηγούμενα ύο κεφάλαια ασχοληθήκαμε
x D 350 C D Co x Cm m m
Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : Ν ΚΩΤΣΟΒΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ : Π. ΑΓΓΕΛΙ ΗΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΚΟΡ ΟΠΟΥΛΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΜ 585 ΑΣΚΗΣΗ Θαλασσινό νεό από ένα εγοστάσιο, βεβαηµένο
Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδυµα Αθήνας Μηχανές Πλοίου ΙΙ Ε Άσκηση 2 Γεώγιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις
Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως
Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στα ροϊκά φαινόμενα
Κεφάλαιο Εισαγωγή στα οϊκά φαινόμενα Σύνοψη Η έννοια του ανοικτού συστήματος (όγκος ελέγχου) Ρυθμός μεταβολής των ιδιοτήτων του συστήματος Νόμος της συνέχειας Νόμος της ομής (δυνάμεις) Γενικευμένη εξίσωση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ. Εξισώσεις Maxwell Όπως έχουµε, ήδη, αναφέει, ένα ηλεκτοστατικό πεδίο E µποεί να υφίσταται ανεξάτητα από την παουσία ή όχι µαγνητικού πεδίου H, όπως για
Διάνυσμα μετατόπισης. Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης
Στοιχεία Διανυσματικής νάλυσης Συστήματα Συντεταγμένων (D) Διανυσματικά και αμωτά Μεγέη Πάξεις και ιδιότητες διανυσμάτων Διανυσματικές συνατήσεις Πααγώγιση Διανυσματικών συνατήσεων Ολοκλήωση Διανυσματικών
Ο Νόμος του Fourier και η Εξίσωση Θερμότητας
Ο Νόμος του Foue και η Εξίσωση Θεμότητας ΜΜΚ 3 Μεταοά Θεμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Πααγωγής ΜΜΚ 3 Μεταοά Θεμότητας Κεάλαιο ΟΝόμοςτουFoue (Foue s Law) Ο νόμος του Foue είναι μία εξίσωση
1 r ολοκληρώνοντας αυτή τη σχέση έχουµε:
Σελ-- ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ Α.Σ.Ε.Π 998 ΕΡΩΤΗΜΑ ο Με βάση τα χαακτηιστικά των βαυτικών δυνάµεων, ποια µεγέθη συµπεαίνετε ότι διατηούνται κατά τη κίνηση των πλανητών υπό την επίδαση
Σημειώσεις IV: Μαθηματικά Υπολογιστικής Τομογραφίας
HY 673 - Ιατική Απεικόνιση Στέλιος Οφανουδάκης Κώστας Μαιάς Σημειώσεις IV: Μαηματικά Υπολογιστικής Τομογαφίας Σεπτέμβιος 2003-Φεβουάιος 2004 Αχές Υπολογιστικής Τομογαφίας 1. Η ανάγκη απεικόνισης στις 3-Διαστάσεις
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ.
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ. ΑΘΗΝΑ 9 Τιγωνοµετικοί αιθµοί Γωνία π 6 π 4 π 3 π si ϕ 3 3 os ϕ ϕ 3 3 3. Τιγωνοµετικές ταυτότητες. os ± y os os y si si y. si ± y si os y
Εισαγωγή στην Αστρονομία
Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 4 Εξάμηο: 7 ο Ασκήσεις: -4 Εισαγωγή στη Αστοομία Έα ομογεές μεσοαστικό έφος έχει μάζα Μ ΜΗ (μία μάζα Ηλίου) και πυκότητα ^ mp/m^ Η πείοδος αξοικής πειστοφής του είαι έτη Ποια
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Οι σχέσεις της Εγκάσιας Μεκατοικής Ποβοής στο εειψοειδές µποούν να ποκύψουν από την Εγκάσια Ισαπέχουσα Ποβοή Cassii εαµόζοντας
Bernoulli P ρ +gz Ω2 ϖ 2 2
Εθνικό και Καποιστιακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Δυναμική των Ρευστών, 6 Φεβουαίου 08 Απαντήστε σε 3 από τα 4 θέματα ιάκεια εξέτασης ώες Καλή επιτυχία = bonus εωτήματα) Θέμα ο :
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που
1. Διανυσματικός Λογισμός Επανάληψη (Vector Calculus)
. Διανυσματικός Λογισμός Επανάληψη (ecto Clculus) Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη (scl nd vecto quntities) Η διανυσματική ανάλυση είναι μαθηματικό εγαλείο με το οποίο οι ηλεκτομαγνητικές έννοιες εκάζονται
Εύρωστοι Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι Robust algorithms in Computational Geometry
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εύωστοι Γεωμετικοί Αλγόιθμοι Roust lgorithms in Computtionl Geometr Ζαχάου
Μοντέλα Ταχέως Περιστρεφόµενων Αστέρων Νετρονίων
ιπλωµατική Εγασία Μοντέλα Ταχέως Πειστεφόµενων Αστέων Νετονίων Πασχαλίδης Βασίλειος Α.Ε.Μ.: 1188 Κατεύθυνση Αστονοµίας Αστοφυσικής Επιβλέποντες Καθηγητές: Κ. Κόκκοτας, Ν. Στεγιούλας 8 Ιουλίου 3 Πλάνο Παουσίασης
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση
6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Η μέτηση της ταχύτητας οής ενός εστού μέσα σε ένα σωλήνα γίνεται με τη σσκεή Prandtl (σωλήνας Pitot) (βλέπε Σχήμα). Η σσκεή ατή αποτελείται από δο πολύ λεπτούς σωλήνες,
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #10: Λύση Εξισώσεων Εσωτερικής Κατάστασης με Χρήση Μεθόδου Ιδιοτιμών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ι- διοτιµών
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΚΛΑΣΗ & ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΟΡΔΗΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΚΛΑΣΗ & ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΟΡΔΗΣ Σγγαφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ
Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει..
Υπάχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. ( ή διαφοετικά πεί ιζών εξίσωσης ) I. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος:
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. γ Α2. δ Α3. α Α4. δ Α5. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β1. α) Σωστή απάντηση είναι η ( i. ) β)
Προσομοίωση Monte Carlo
Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Ποσομοίωση Mot Crlo Δ.Γ. Παπαγεωγίου Λίγη ιστοία 777 Gorgs Lous LClrc, Cot d Buffo: Θεωητική πόβλεψη για το πείαμα τυχαίας ίψης βελόνας. 90 Lzzr: Πειαματική επιβεβαίωση της
2 i d i(x(i), y(i)),
Κεφάλαιο 2 Σύγκλιη ακολουθιών και υνέχεια υνατήεων 2.1 Σύγκλιη ακολουθιών Στον Απειοτικό Λογιμό μελετήαμε τη ύγκλιη ακολουθιών παγματικών αιθμών. Με τον όο ακολουθία παγματικών αιθμών εννοούμε κάθε υνάτηη
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός
Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
R, B Borel σύνολο, τότε αν ο µετασχηµατισµός fourier του ν µ είναι στον L 2, (E) > 0. Η τεχνική που ανέπτυξε
ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER ΜΕΤΡΩΝ ΧΡΗΣΤΟΣ ΧΑΤΖΗΦΟΥΝΤΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Από την ϑεωεία µέτου γνωίζουµε το ϑεώηµα του stainhaus που χαακτηίζει όλα τα σύνολα ϑετικού
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α. α Α. β Α3. γ Α4. δ Α5. α. Λάθος ΘΕΜΑ Β ΦΥΣΙΚΗ Ηµεοµηνία: Μ. Τετάτη Απιλίου 07 β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος
9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε
ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ
Κεφάλαιο 5 ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εισαωή Η αυξημέη αησυχία τω σύχοω κοιωιώ ια τις καταστοφικές επιπτώσεις στη ποιότητα του πειβάλλοτος από τη ααία και άαχη αάπτυξη, που παατηείται τα τελευταία χόια,
P l+1 (cosa) P l 1 (cosa) 2δ l,0 1
Λεοντσ ίνης Στέφανος Ηλεκτομαγνητισ μός 3 η Σειά Ασ κήσ εων 3 Tο δυναμικό λόγω αζιμουθιακής σ υμμετίας θα έχει τη μοφή φ r, θ [ Al + B l r l+] l cosθ Λόγω l Φ οιακών σ υνθηκών έχω: Φ in r R Φ out r R και
Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
αριθμητή και παρονομαστή επί γ + δi. Οι γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες ισχύουν όπως και στους πραγματικούς.
Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί Μιγαδικοί αιθμοί Τα πόμνα σχόλια αναφέονται στις πααγάφους.1 ως και.3 σλ. 83 ως 100 του σχολικού βιβλίου των μαθηματικών θτικής τχνολογικής κατύθυνσης
= = σταθ. Ι. που είναι. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος μετρά την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής, έτσι όσο
Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. γ, Α. α, Α3. γ, Α4. α, Α5. Σ, Λ, Λ, Λ, Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε μία τυχαία θέση θα έχουμε: Στ = τf τ w = F g ηµθ θ F Στ = ( c + 0,5g ηµθ) g ηµ θ = c = σταθ. g Άα λοιπό
5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ ιατιβή που υπεβλήθη για την µεική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού
Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Εφαρµοσµένη Υδραυλική. 1. Εισαγωγή Οριακό στρώµα
Εφαοσένη Υδαυλική 1. Εισαγωγή Οιακό στώα Παναγιώτης Παπανικολάου Επ. Καθηγητής Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ Αντικείενο της Εφαοσένης Υδαυλικής Υπολογισός των σωληνοειδών (ονοδιάστατων) οών δύο κατηγοιών
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Πααδόσεων Αθήνα 23 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασική Δομή Ποβλημάτων Αναμονής Σύστημα Αναμονής Πηγή ποσέλευσης
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός
ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ με το HEC-RAS Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής HEC-RAS Το λογισμικό
Άσκηση 1. R y. R x. Επίλυση (2.1) (2.2) Q 1 1 = 1 1
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Άσκηση Ακοφύσιο Α εκτοξεύει κυλινδική φλέβα νεού διαµέτου d c µε υθµό l/. H φλέβα του νεού εισέχεται σε ένα διαχύτη και χωίζεται σε κυλινδικές φλέβες µε διατοµές
ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ - ΜΕΡΟΣ ΙI. Αριθμός 4312 Παρασκευή, 9 Δεκεμβρίου
N. 4(II)/016 ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ - ΜΕΡΟΣ ΙI Αιθμός 431 Παασκευή, 9 Δεκεμβίου 016 815 Ο πεί Συμπληωματικού Ποϋπολογισμού της Αχής Λιμένων Κύπου Νόμος (Α.
ΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 γ Α2 β Α3 γ Α4 β Α5. α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Σ.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΑΔΑ Β) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΕΝΟ ΑΘΗΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΑ Α Α γ Α β Α γ Α β Α5. α Σ, β Σ, γ
Μελέτη του υδατικού ισοζυγίου υδροφορέα στην περιοχή της Ελασσόνας
Μελέτη του υδατικού ισοζυγίου υδοφοέα στην πειοχή της Ελασσόνας Χήστος Τζιµόπουλος, Πλιάτσικα ήµητα Τοµέας Συγκοινωνιακών και Υδαυλικών Έγων, Τµήµα Αγονόµων & Τοπογάφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αιστοτέλειο
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα
5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες
ΡΕΥΜΑΤΑ, ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM
Q ΡΥΜΑΤΑ, ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM Ισοοπία σε αγωγό μόνον όταν στο εσωτεικό του αγωγού είναι =0 λεύθεο Ηλεκτόνιο Πείσεια ελευθέων ηλεκτονίων ξωτεικό ηλεκτικό πεδίο εσ εξ = εσ = 0 εξ σωτεικό ηλ. πεδίο Ποσθήκη εξωτεικού
Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων
Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ε Κάππος 4 εκεµβρίου 7 Περιεχόµενα Ασκήσεις στο µετασχηµατισµό Laplace Ασκήσεις στα Συστήµατα Εξισώσεων 5 3 Ασκήσεις Fourier
Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά
Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.
Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,
Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις
3. Αρμονικά Κύματα Χώρου και Επιφανείας. P, S, Rayleigh και Love
3. Αμονικά Κύματα Χώου και Επιφανείας P, S, Rayleigh και Lve ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3. Κύματα (P & S) σε ομοιογενή χώο 3. Κύματα σε ανομοιογενή μέσα με δι-επιφάνεια 3.3. Επιφανειακά κύματα Πόσθετο ιάβασμα Steven
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Πίνακας Περιεχομένων 7
Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16
Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΜΑΖΑΣ, ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
XXI ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΜΑΖΑΣ, ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Θεωούµε ένα σύστηµα µε µία είσοδο (πολλές εισόδοι είναι πιθανές ) και µία έξοδο (πολλές έξοδοι είναι επίσης πιθανές). Για να υπολογίσουµε µικολεπτοµέειες
Επανέλεγχος ηλεκτρικής εγκατάστασης
Επανέλεγχος ηλεκτικής εγκατάστασης Οδηγίες διεξαγωγής μετήσεων και δοκιμών για επανελέγχους ηλεκτικών εγκαταστάσεων με τη χήση σύγχονων ογάνων 1. Εισαγωγή στις απαιτήσεις των επανελέγχων Τα οφέλη του τακτικού