x όπου Ε είναι η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει

Transcript

1 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Αν. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Σχολή Μηχανολόγων Ε.Μ.Π. ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER ιαφοετικές Γαφές των Εξισώσεων Ροής Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτυχθούν λεπτοµεώς οι S(x) µονοδιάστατες εξισώσεις οής µέσα σε έναν αγωγό, όπως αυτός του σχήµατος, που έχει διατοµή SS(x), µεταβαλλόµενη µε την απόσταση x. Οι εξισώσεις οής, που εκφάζουν τη διατήηση της παοχής µάζας, της οµής και της ενέγειας µέσα στον αγωγό, µποούν να γαφούν ως εξής: S ) S) ( S) ) S ds () dx ES ) HS) όπου Ε είναι η ολική ενέγεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει ότι ( είναι η ταχύτητα του ήχου) E e H () H h T γ vt γe (3) γ H Et, Et E (4) e vt v Rg γ γ ( γ ) Μια εναλλακτική γαφή των εξισώσεων () µποεί να ποκύψει µε την εκτέλεση των πααγωγίσεων και αυτή είναι η ds ds (5) (6)

2 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου Συνοψίζοντας τις εξισώσεις (6) σε µια µοφή όπου το διάνυσµα των εξατηµένων µεταβλητών είναι αυτό των λεγόµενων µησυντηητικών µεταβλητών, το οποίο για τη συνέχεια θα συµβολίζεται µε [ ] T V (7) µποούµε να γάψουµε σε διανυσµατική µοφή τις εξισώσεις οής ως V V A ~ Q ~ όπου το δεξιό µέλος της (8) είναι το ds Q % (9) Sdx ενώ το µητώο Α οίζεται ως (8) A ~ () Εναλλακτικός τόπος γαφής της εξίσωσης (8) είναι χησιµοποιώντας τις λεγόµενες συντηητικές µεταβλητές του πεδίου οής. Το διάνυσµα των συντηητικών µεταβλητών οίζεται ως U E E t Οι εξισώσεις () ξαναγάφονται στη συντηητική µοφή, ως εξής ) S ds dx ( ) ) ds E) H) ds H και να συνοψισθούν στη διανυσµατική γαφή f Q όπου () () (3)

3 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου 3 f H ( γ )Et ( Et ) γ E 3 γ ( γ ) t ενώ το Q πειέχει τα δεξιά µέλη των εξισώσεων (). Εισάγοντας την Iακωβιανή οίζουσα Α, (4) f A γ 3 (3 γ) ( γ ) (5) [ γe ( γ ) ] γ γe 3 γ η εξίσωση (3) µποεί να γαφεί, εφαµόζοντας τον κανόνα της αλυσωτής πααγώγισης, ως A Q (6) Eπεξεγασία της Iακωβιανής Οίζουσας Α Στη συνέχεια υπολογίζονται οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της οίζουσας Α, η οποία ποκύπτει από την ανάλυση των εξισώσεων οής µε τη χήση µησυντηητικών µεταβλητών. Για την οίζουσα Α, οι ιδιοτιµές ποκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης det λ I A ~ (7) δηλαδή την εξίσωση λ λ (8) λ Το υπεβολικό σύστηµα των εξισώσεων οής διαθέτει τεις παγµατικές ιδιοτιµές και τία γαµµικά ανεξάτητα ιδιοδιανύσµατα. Η επίλυση της (8) δίνει τις τεις παγµατικές ιδιοτιµές που είναι λ, λ, λ 3 (9) Η εύεση των αιστεών ιδιοδιανυσµάτων ποκύπτει από την παακάτω εξίσωση ~ (j) A ~ ~ (j) l λ (j) l () όπου ο δείκτης (l) δεν αθοίζεται. Η τελευταία µποεί να γαφεί αναλυτικότεα και ως ( l, l, l3) / λ( l, l, l3) ()

4 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου 4 Τα αιστεά ιδιοδιανύσµατα τα οποία ποκύπτουν είναι τα εξής ~ l () ( α α ), ~ l () β β, ~ l (3) δ δ όπου οι σταθεές α, β και δ οίζονται κατά βούληση. Μια τυπική "αδιάστατη" έκφαση για τα ιδιοδιανύσµατα () µποεί να ποκύψει αν αβγ. Για υποηχητική οή το σύστηµα διαθέτει δύο θετικές ιδιοτιµές (λ και λ ) και µια ανητική (λ 3 ). Για την υπεηχητική οή υπάχουν µόνο τεις θετικές ιδιοτιµές. Η ανάλυση αυτή ισχύει µε την υπόθεση οής που κατευθύνεται πος τα θετικά x και καθοίζει τις οιακές συνθήκες που επιβάλλονται στην είσοδο και έξοδο του πεδίου οής. () ιαγωνοποίηση της Iακωβιανής Οίζουσας A Από τη θεωία πινάκων και σύµφωνα µε τον τόπο µε τον οποίο υπολογίστηκαν ποηγούµενα οι ιδιοτιµές και τα αιστεά ιδιοδιανύσµατα, ποκύπτει ότι A ~ L Λ L (3) ή ακόµα ότι A ~ LΛ L (4) όπου ο πίνακας Λ είναι διαγώνιος µε στοιχεία τις υπολογισθείσες ιδιοτιµές του πίνακα Α και ο πίνακας L πειέχει τα ιδιοδιανύσµατα του Α (ένα ιδιοδιάνυσµα ανά σειά του πίνακα) και είναι α α β Λ L β (5) δ δ Εκλέγοντας αυθαίετα ότι αβδ, ο πίνακας L και ο αντίστοφός του γάφονται L L (6) Τα δεξιά ιδιοδιανύσµατα του Α αποτελούν τις στήλες του πίνακα L ενώ τα αιστεά ιδιοδιανύσµατα είναι οι γαµµές του πίνακα L. Μετατοπή Συντηητικών σε ΜηΣυντηητικές Μεταβλητές Η µετατοπή από έναν τόπο γαφής των εξισώσεων οής µε τη χήση των συντηητικών µεταβλητών U, σε έναν άλλο τόπο γαφής µε τη χήση των µησυντηητικών µεταβλητών Ν, διέπεται από την Iακωβιανή οίζουσα του µετασχηµατισµού

5 Μέθοδοι Αεοδυναµικής Βελτιστοποίησης Κ. Γιαννάκογλου 5 ) ) ) ) ) ) M V γ γ γ και µετά την εκτέλεση των αιθµητικών πάξεων, παίνει την τελική µοφή (7) M γ, det(m) γ Ξεκινώντας από την εξίσωση οής, όπως αυτή γάφεται συνατήσει των συντηητικών µεταβλητών U, ποκύπτει διαδοχικά ότι V V A Q A Q V V V V V V M A Q ( Μ ΑΜ) M Q και τελικά η γαφή των εξισώσεων οής στη µησυντηητική µοφή τους, ως V ~ V A Q ~ όπου ποφανώς ισχύει A % Μ ΑΜ A ΜΑ% Μ Q % Μ Q Ο οισµός των µησυντηητικών Iακωβιανών δεν απαιτεί τον απ'ευθείας οισµό καταστατικών σχέσεων για το ευστό και κατά συνέπεια είναι πεισσότεο γενικός. Επειδή, τέλος, η συντηητική Α και η µησυντηητική οίζουσα Α συνδέονται από τους µετασχηµατισµούς των δύο πώτων εξισώσεων της (3), οι δυο οίζουσες έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές. Αυτό εξάλλου ποκύπτει από τη διαγωνοποίηση της οίζουσας Α, όπως φαίνεται στις παακάτω εξισώσεις A % L ΛL A(ML) Λ( L M ) PΛP (3) AM AM % δηλαδή, τελικά P ML A PΛ P (33) P L M (3) (8) (9) (3)