Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ii) iv) = 2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

Transcript

1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Δίνετι ρόμος ΑΒΓΔ με κέντρο Ο Ν χρκτηρίσετε τις ρκάτω ροτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) i) iii) ΑΒ ΟB - ΓΔ ΟΔ ii) iv),, Δίνετι ρλληλόρμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο Ν χρκτηρίσετε τις ρκάτω ροτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) i) BA ΓΔ ii) OA ΟΓ iii) ΔA ΓΒ iv) BΟ ΟΔ Δ v) ΟΑ ΟΓ Δίνετι ισόλευρο τρίωνο ΑΒΓ κι ΑΔ το ύψος του Ν ρείτε τις ωνίες: i), ii), iii), iv), Αν ι τ σημεί Α, Β, Γ, Δ κι Ε ισχύουν οι ισότητες: ΑΓ ΒΔ ν δείξετε ότι το Δ είνι το μέσο του ΓΕ κι ΕΒ ΔΑ, 5 Δίνετι ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ (ΑΒΑΓ) κι έστω ΒΕ κι ΓΔ τ ύψη του Φέρνουμε τ δινύσμτ ΕΗ ΒΑ κι ΔΖ ΓΑ Ν οδείξετε ότι το τρίωνο ΑΗΖ είνι ισοσκελές ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Δίνετι το τετράλευρο ΑΒΓΔ Ν οδείξετε ότι: ΑΒ + ΔΓ ΑΓ + ΔΒ Αν Ο τυχίο σημείο τριώνου ΑΒΓ, ν δείξετε ότι: ΟΑ+ ΓΟ ΓΒ + ΒΑ Σε έν τετράλευρο ΑΒΓΔ ισχύει η σχέση: ΑΒ + ΑΔ ΑΓ Ν δειχτεί ότι το ΑΒΓΔ είνι ρλληλόρμμο Αν ι τ σημεί Α, Β, Γ, Κ, Λ ισχύει η σχέση: ΑΒ + ΓΑ ΚΒ ΓΛ, ν δείξετε ότι τ σημεί Κ, Λ τυτίζοντι 5 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι τυχίο σημείο Ρ της λευράς ΒΓ Ορίζουμε το σημείο Μ ό την σχέση: ΡΜ ΑΡ ΡΒ ΡΓ Ν δείξετε ότι το ΑΒΜΓ είνι ρλληλόρμμο 6 Δίνοντι τ σημεί Α, Β κι Γ Ορίζουμε τ σημεί Δ κι Ε ό τις σχέσεις: ΓΔ + ΑΒ 0 κι ΓΕ ΒΑ 0 Ν δείξετε ότι το Γ είνι το μέσο του ΔΕ ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

2 7 Δίνετι το τρίωνο ΑΒΓ κι Μ έν τυχίο σημείο του ειέδου του τριώνου Έστω Ι έν σημείο τέτοιο ώστε: ΜΙ ΜΓ ΑΒ Ν δείξετε ότι το Ι είνι έν στθερό σημείο του ειέδου του τριώνου 8 Στις λευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ κι ΔΑ ρλληλοράμμου ΑΒΓΔ ίρνουμε τ σημεί Ε, Ζ, Η, Θ ώστε: ρλληλόρμμο ΑΕ ΗΓ κι ΖΓ ΑΘ Ν δείξετε ότι το ΗΖΕΘ είνι 9 Εξωτερικά ενός τριώνου ΑΒΓ κτσκευάζουμε τ τετράων ΑΒΔΕ, ΑΓΖΗ κι ΒΓΚΛ Ν δείξετε ότι: ΕΗ ΖΚ ΛΔ 0 0 Αν ι τ μη μηδενικά δινύσμτ,,, ν δείξετε ότι τ δινύσμτ,, ισχύει ότι: κι είνι συρμμικά ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Έστω, δύο μη συρμμικά δινύσμτ Ν ρστθεί στο είεδο η λύση: ) της εξίσωσης: ( x ) (x ) (x ), ) του συστήμτος: x y 5 x y 5 Έστω Ε, Ζ τ μέσ των λευρών ΑΒ, ΑΓ τριώνου ΑΒΓ Ν δείξετε ότι: ΕΖ ΒΓ Έστω Ο το κέντρο του ρλληλοράμμου ΑΒΓΔ Ν δείξετε ότι ι κάθε σημείο του ειέδου του ρλληλοράμμου ισχύει: ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ ΜΟ Έστω Κ, Λ τ μέσ των διωνίων ΑΓ, ΒΔ ενός τετρλεύρου ΑΒΓΔ Ν δείξετε ότι: ΑΒ ΓΒ ΓΔ ΑΔ ΚΛ 5 Δίνετι τρέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒΔΓ) στο οοίο (ΔΓ)(ΑΒ) Αν Κ, Λ τ μέσ των ΔΒ, ΑΓ ντίστοιχ, ν δείξετε ότι: i) ΚΛ ΔΓ ΒΑ ii) το τετράλευρο ΑΚΛΒ είνι ρλληλόρμμο 6 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι τ σημεί Δ, Ε τ οοί χωρίζουν σε τρί ίσ τμήμτ την λευρά ΒΓ Αν ΑΒ κι ΑΓ, ν δείξετε ότι: ΑΔ ( ) κι ΑΕ ( ) ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

3 7 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι σημείο Δ της λευράς ΒΓ ώστε ν ισχύει: ΒΔΓΔ Ν εκφράσετε το διάνυσμ ΑΔ συνρτήσει των δινυσμάτων κι 8 Δίνετι ρλληλόρμμο ΑΒΓΔ με κι ΑΒ κι ισχύει:, ν εκφράσετε συνρτήσει των δινυσμάτων ΑΒ Αν Ε είνι μέσο του, τ δινύσμτ ΔΕ,, 9 Αν Α, Β, Γ, Δ με Γ Δ σημεί του ειέδου κι x Β, ν ρεθεί ο xr ν: 0 Αν τ σημεί Β, Γ είνι διφορετικά κι ισχύει + 0, ν ρεθεί ο xr ν: x Αν οι δινυσμτικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ, Δ ως ρος το Ο είνι ντίστοιχ, Αν το διάνυσμ v διάνυσμ -, -, + είνι μονδιίο κι, ν δείξετε ότι: Β είνι ντίρροο του v v u, 5v u, ν δείξετε ότι το κι ν ρείτε το μέτρο του Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι τ σημεί Δ, Ε ώστε: ΑΔ ΑΒ κι ΓΕ ΓΑ Αν Ρ το μέσο της διμέσου ΑΜ κι Κ το μέσο της ΔΕ, ν δείξετε ότι: ΡΚ ΒΓ Αν τ δινύσμτ, είνι μονδιί κι, ν δείξετε ότι: Έστω,, ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ τρί δινύσμτ του κρτεσινού ειέδου Αν ΟΑ, ΟΓ κι ΟΒ, ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά κι ότι το Γ είνι το μέσο του ΑΒ 6 Αν ισχύει: 9 ΚΑ ΚΒ 7ΚΓ 0, ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά Όμοι ν: ΟΒ ΟΓ ΟΑ 7 Δίνοντι τ σημεί Ο, Μ, Α, Β, Γ ι τ οοί ισχύει: ΟΑ ΜΑ ΜΟ ΜΓ ΟΒ Ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

4 8 Γι τ σημεί Α, Β, Γ ισχύει: κ ΟΑ ( κ)οβ ΟΓ ΟΒ, κr Ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά, ν Ο τυχίο σημείο νφοράς Ν εξετστεί ι οιες τιμές του κ, τ σημεί είνι δικεκριμέν 9 Έστω Ο, Α, Β, Γ τέσσερ σημεί του χώρου Αν υάρχουν κ, κ, κr, όχι όλοι μηδέν με κ+ κ+ κ0 κι κ ΟΑ κ ΟΒ κ ΟΓ 0, (), ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά Αντίστροφ: ν τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά, ν δείξετε ότι ι κάθε σημείο Ο του ειέδου υάρχουν κ, κ, κr με κ+ κ+ κ0, έτσι ώστε ν ισχύει η () 0 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι τ σημεί Δ, Ε, Ζ στις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ ώστε: ΑΔ ΑΒ, ΒΕ ΒΓ κι ΑΖ ΑΓ Ν δείξετε ότι τ σημεί Δ, Ε, Ζ είνι συνευθεικά 5 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι η διάμεσος ΑΜ Αν 5 οδείξετε ότι τ σημεί Β, Δ, Ε είνι συνευθεικά κι, ν Στην λευρά ΔΓ ρλληλοράμμου ΑΒΓΔ ίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε: ΔΕ ΔΓ Αν Κ σημείο του ειέδου του ρλληλοράμμου τέτοιο ώστε: ΑΚ ΑΒ ΑΔ, ν δείξετε ότι τ σημεί Ε, Κ, Β είνι συνευθεικά 5 5 Έστω ρλληλόρμμο ΑΒΓΔ κι τ σημεί Ε, Μ των ΑΔ, ΑΓ ντίστοιχ με ΑΕ ΑΔ κι ΑΜ ΑΓ Ν δείξετε ότι τ σημεί Ε, Μ, Β είνι συνευθεικά κι ΜΒ ΕΜ ΕΥΡΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν δείξετε ότι υάρχει μονδικό σημείο Κ τέτοιο ώστε ν ισχύει: ΚΑ ΚΒ ΚΓ 0 5 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν ρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε ν ισχύει: 6 Ν ρεθεί σημείο Ο του ειέδου τριώνου ΑΒΓ ι το οοίο είνι: ΟΑ ΟΒ 6ΟΓ 0 Στη συνέχει, ν δείξετε ότι ι οοιοδήοτε σημείο Μ 6 ισχύει: ΟΜ ΑΜ ΒΜ ΓΜ 7 Δίνετι τετράλευρο ΑΒΓΔ Ν ρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε ν ισχύει: ΜΑ + ΜΒ+ ΜΓ + ΜΔ 0 ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

5 5 8 Δίνετι τετράλευρο ΑΒΓΔ Ν ρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε ν ισχύει: ΜΑ + ΜΒ+ ΜΓ ΜΔ ΣΤΑΘΕΡΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 9 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν δείξετε ότι ι οοιοδήοτε σημείο Μ το διάνυσμ u 5 είνι στθερό 0 Έστω Α, Β, Γ τρί διφορετικά σημεί μις ευθείς ε του ειέδου Οχψ Ν δείξετε ότι ι κάθε σημείο Μ του ειέδου Οχψ, το διάνυσμ u ΜΓ ΜΑ ΜΒ είνι στθερό Δίνετι τετράλευρο ΑΒΓΔ Ν δείξετε ότι το διάνυσμ u - ΜΔ είνι στθερό ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΜΗ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω, δύο μη συρμμικά δινύσμτ Αν ισχύει: κ ότι : κ λ 0 [ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ] λ, ν οδείξετε Έστω, δύο μη συρμμικά δινύσμτ ) Αν: λ +μ x +y, τότε: λx κι μy ) Ν ρείτε ι οιες τιμές του xr, τ δινύσμτ: u (x-) + w (x+) + είνι συρμμικά κι Έστω, δύο μη συρμμικά δινύσμτ Ν ρείτε ι οιες τιμές του xr, τ δινύσμτ: u (x+) + x κι w 8 +(x+) 5 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι η διάμεσός του ΑΜ Αν ισχύει: κ + λ +, ν ρείτε τ κ, λ 6 Έστω, δύο μη συρμμικά δινύσμτ του ειέδου Οχψ Αν είνι συρμμικά ΟΑ(x+), ΟΒ x (x ), ΟΓ 5 κι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά, ν ρείτε το xr 7 Θεωρούμε τ σημεί Ο, Α, Β τ οοί δεν είνι συνευθεικά Σε κάθε λr ντιστοιχίζουμε τ δινύσμτ: δείξετε ότι ι κάθε λr τ δινύσμτ ΟΔ λοα ΟΒ κι ΟΕ ΟΑ λοβ Ν ΟΔ, ΟΕ δεν είνι συρμμικά ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

6 6 8 Έστω,, κι Αν τ τρί δινύσμτ του ειέδου μη συρμμικά νά δύο Αν τ είνι συρμμικά κθώς κι τ είνι συρμμικά κι δεν είνι συρμμικά, ν δείξετε ότι: ) τ u κι w δεν είνι συρμμικά 5 ) τ x 9 5 κι y είνι συρμμικά 0 Αν τ +λ κι +, ν δείξετε ότι τ κι κι δεν είνι συρμμικά, ν ρεθεί ο λr ώστε τ δινύσμτ κι -(λ+) ν είνι συρμμικά Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι σημείο Ρ της ΒΓ τέτοιο ώστε: ΑΡ (λ )ΑΒ (λ )ΓΑ Ν ρεθεί ο λr Δίνετι το τρίωνο ΑΒΓ κι σημείο Μ της ΒΓ τέτοιο ώστε: ΒΜ ΜΓ Αν η ΑΜ τέμνει τη διάμεσο ΓΔ στο Ε κι ισχύει:, ν υολοιστεί ο λr ΓΔ λγε ) Έστω Μ, Ν τ μέσ των λευρών ΑΔ, ΒΓ τετρλεύρου ΑΒΓΔ Ν δείξετε ότι: ΜΝ (ΑΒ ΔΓ) ) Έστω Ε, Ζ σημεί των λευρών ΑΒ, ΔΓ τέτοι ώστε: ΑΕ λαβ κι ΔΖ λδγ (λ 0) Ν δείξετε ότι το μέσο Ι του ΕΖ νήκει στην ευθεί ΜΝ Έστω Ι το μέσο της λευράς ΒΓ ενός τριώνου ΑΒΓ κι Μ, Ν σημεί τέτοι ώστε: ΑΜ μαβ κι ΑΝ ναγ με μ, ν R Ν δείξετε ότι: i) ΙΜ (μ )ΑΒ ΑΓ κι ΙΝ ΑΒ (ν ) ΑΓ ii) τ σημεί Ι, Μ, Ν είνι συνευθεικά ν κι μόνον ν: μ+νμν 5 Σε τρίωνο ΑΒΓ δίνετι σημείο Ρ εί της ΒΓ ώστε: ΑΡ μαβ ναγ () με μ, νr Ν δείξετε ότι: μ+ν () Αντίστροφ, ν ισχύουν οι () κι (), ν δείξετε ότι το σημείο Ρ ρίσκετι στην ΒΓ 6 Δίνετι ρλληλόρμμο ΑΒΓΔ Μί ευθεί τέμνει τις ΑΒ, ΑΔ, ΑΓ στ σημεί Κ, Λ, Μ ντίστοιχ Αν: ΑΚ λαβ, ΑΛ λ ΑΔ κι ΑΜ λ ΑΓ, ν δείξετε ότι: ( λλλ 0) λ λ λ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 7 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν ρεθεί ο εωμετρικός τόος των σημείων Μ ι τ οοί είνι: λ + λ ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

7 7 8 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν ρεθεί ο εωμετρικός τόος των σημείων Μ ι τ οοί είνι: ΑΜ ( λ)αβ λαγ, λr 9 Δίνετι τετράλευρο ΑΒΓΔ Ν ρεθεί ο εωμετρικός τόος των σημείων Μ ι τ οοί είνι: ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ 50 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν ρεθεί ο εωμετρικός τόος των σημείων Μ ι τ οοί το διάνυσμ v ΜΑ ΜΒ ΜΓ είνι ράλληλο στο ΒΓ 5 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι η διάμεσός του ΓΔ με Ν ρεθεί ο εωμετρικός τόος των σημείων Μ ι τ οοί είνι: 5 Έστω τρίωνο ΑΒΓ κι τυχίο σημείο Μ του ειέδου του ) Ν δείξετε ότι υάρχει μονδικό σημείο Δ της λευράς ΑΒ ώστε: ΜΑ ΜΒ ΜΔ ) Ν ρείτε το εωμετρικό τόο των σημείων Μ ν: ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΓ 5 Έστω ορθοώνιο ΑΒΓΔ κι τυχίο σημείο Μ Αν u ΜΒ ΜΔ ΜΑ κι v ΜΑ ΜΒ ΜΓ μετλητά δινύσμτ με ρχή το Μ, ν ρεθεί ο εωμετρικός τόος των σημείων Μ ι τ οοί είνι: ) u v ) u v ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Δίνοντι τ σημεί Α(0,), Β(5,-) κι Γ(-,-) Ν ρείτε τις συντετμένες του σημείου Δ, ν ΑΒ ΓΔ Έστω το σημείο Α(-,)Ν ρείτε: ) το διάνυσμ ΑΒ, ότν Β(-,0) ) το σημείο Γ, ότν ΑΓ (-,-5) ) το σημείο Δ, ότν 0 κι Ε(,-) Δίνοντι τ σημεί Α(λ+,-λ), Β(λ+,5λ) κι το διάνυσμ ΓΔ (,) Ν ρεθεί ο λr, ώστε: ΑΒ ΓΔ Έστω ΟΑ(,), ΟΒ(,) κι ΟΓ(5,-5) Ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

8 8 5 Δίνοντι τ σημεί Α(,), Β(0,) κι Γ(-,8) Ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά κι ν ρεθεί ο λr, ώστε: ΑΓ λγβ 6 Δίνοντι τ σημεί Α(-6,κ), Β(λ -5λ, κ +κ+) κι Γ(λ --κ,κ +κ-7λ+) Ν ρεθούν οι κ, λ R, ώστε: ΑΒ ΑΓ 7 Δίνοντι τ σημεί Α(,-) κι Β(,-) Ν ρείτε τις συντετμένες του συμμετρικού σημείου Μ του Α ως ρος το Β 8 Αν τ σημεί Κ(,5), Λ(,8) κι Μ(,6) είνι τ μέσ των λευρών ΑΒ, ΒΓ κι ΑΓ τριώνου ΑΒΓ, ν ρείτε τις συντετμένες των κορυφών του 9 Αν οι τρεις κορυφές ρλληλοράμμου ΑΒΓΔ είνι: Α(-,6), Β(,) κι Γ(,), ν ρείτε τις συντετμένες της κορυφής Δ 0 Δίνοντι τ σημεί Β(,) κι Γ(5,7) Ν ρεθεί σημείο Α του άξον xx ώστε το τρίωνο ΑΒΓ ν είνι ισοσκελές με κορυφή το Α Δίνοντι τ σημεί Α(,) κι Β(,5) Ν ρεθεί σημείο Γ του άξον yy ώστε το τρίωνο ΑΒΓ ν είνι ορθοώνιο στο Β Ν ρεθεί το ερίκεντρο του τριώνου ΑΒΓ, ν Α(6,), Β(0,) κι Γ(7,) Σ έν σύστημ συντετμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α κι Β είνι ρίζες της εξίσωσης: x -(λ -5λ+)x-70, ενώ οι τετμένες ρίζες της: y -(λ +λ+)y-50 Ν ρεθεί ο λr ώστε το μέσο του ΑΒ ν είνι το σημείο Μ(,6) ΑΒ (,-) κι ΑΓ (-5,-) Αν Μ σημείο του ειέδου Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ με 8 του τριώνου με ΑΜ,, ν δείξετε ότι το Μ νήκει στην λευρά ΒΓ 5 Έστω τ δινύσμτ (,) κι (-,) Αν: ΟΑ (λ+) +, ΟΒ λ (λ ) κι ΟΓ 5, ν ρεθεί ο λr, ώστε τ σημεί Α, Β, Γ ν είνι συνευθεικά 6 Έστω τ δινύσμτ (,), (5,) κι (7,) ) Ν δείξετε ότι τ δινύσμτ,, νά δύο δεν είνι συρμμικά ) Ν ράψετε το διάνυσμ ως ρμμικό συνδυσμό των κι 7 Ν νλυθεί το διάνυσμ v (,) σε δύο συνιστώσες κτά τη διεύθυνση των δινυσμάτων (-,), (,) 8 Έστω ΟΑ(x+,x), ΟΒ(x-,x-) κι ΟΓ(-,) Ν δείξετε ότι τ σημεί Α, Β, Γ είνι κορυφές τριώνου ι κάθε xr ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

9 9 9 N ρεθεί διάνυσμ ου έχει το ίδιο μέτρο με το διάνυσμ διεύθυνση του δινύσμτος (, ) (, ) κι τη 0 Ν ρείτε τ δινύσμτ τ οοί έχουν μέτρο 5 κι είνι ράλληλ ρος το διάνυσμ (,) N ρεθεί διάνυσμ ομόρροο με το (,-) ου ν έχει μέτρο N ρεθεί διάνυσμ ντίρροο του (,) με μέτρο 7 Ν ρείτε τις συντετμένες του δινύσμτος, ι το οοίο ισχύει η σχέση: (-,-) + (,) Ν ρείτε τις συντετμένες των δινυσμάτων (, ) κι ( -,0), ι τ οοί ισχύουν: 5 Δίνοντι τ δινύσμτ u (x,) κι v (, x) ) Ν ρεθούν οι τιμές του xr, ώστε: ( u v ) ( u 5v ) ) Γι οι ό τις ράνω τιμές του xr είνι u v ; ) ι την ράνω τιμή του x, ν ρεθεί διάνυσμ συρμμικό με το u ου ν έχει μέτρο το μισό του v 6 Aν i j, i j κι ισχύει: 0, ν ρείτε το μέτρο του 7 Ν ρείτε τη ωνί ου σχημτίζει το διάνυσμ ΑΒ με τον άξον xx σε κάθε ερίτωση: ) Α(,0) Β(0,- ) ) Α(,5) Β(-,5) ) Α(,-) Β(,) 8 Αν,, ν ρεθεί: ) το μέτρο του ) η ωνί ου σχημτίζει το διάνυσμ με τον άξον xx 9 Δίνοντι τ σημεί Α(λ-,) κι Β(λ,λ-) Ν ρεθεί ο λ, ώστε το διάνυσμ 7 ΑΒ ν σχημτίζει με τον άξον xx ωνί ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

10 0 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ορισμός Αν, κι (, ), ν υολοίσετε τις ρστάσεις: ) ) ) ( )( ) δ) ( ) Αν, κι (, ), ν ρεθεί το μέτρο του δινύσμτος: Η ωνί των δινυσμάτων ( )( )5 Αν < κι είνι Είσης είνι, ν ρείτε το κι Αν ι τ δινύσμτ ρείτε το κι είνι:, (, ) κι, ν 5 Έστω ότι ι τ δινύσμτ κι είνι:, ν ρείτε τη ωνί ω(, ), κι (, ) Αν 6 Αν 5, (, ) 0 0 κι v, ν υολοίσετε: ) το v ) τις ωνίες (, v ), ( v, ) 7 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι: ωνί των δινυσμάτων v + κι u -, κι (, ) 6, ν ρείτε τη 8 Γι τ δινύσμτ κι ισχύει: κι Ν δείξετε ότι: ) - + ) 9 Γι τ δινύσμτ κι ισχύει:, κι Ν ρεθούν τ μέτρ των δινυσμάτων κι 0 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι:, κι ( 5 ) ( + ), ν ρείτε τη ωνί των δινυσμάτων κι ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

11 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι: + ν ρεθούν τ μέτρ των δινυσμάτων κι -, 7 κι (, ), Αν,, 5 κι + + 0, ν δείξετε ότι: Αν,, κι - + 0, ν ρεθεί η τιμή της ράστσης: + + Αν, κι + + 0, τότε: ) ν ρείτε το ) ν υολοίσετε τη ωνί των δινυσμάτων κι κι ) ν δείξετε ότι: νλυτική έκφρση του εσωτερικού ινομένου 5 Αν ) (-,) κι (,), ν ρεθούν τ εσωτερικά ινόμεν: ) (- )( ) ) δ) ( )( ) 6 Έστω τ δινύσμτ: (,) κι (-,) Ν ρεθούν: ) οι ρστάσεις: ( )( ), ( ), ( ), ) τ δινύσμτ v ου είνι κάθετ στο 7 ) Έστω τ δινύσμτ (,) κι (,0) Ν ρεθεί ο λr ώστε (λ ) ( λ ) ) Έστω τ δινύσμτ ώστε ( ) ( λ ), με, κι (, ) Ν ρεθεί ο λr, 8 Έστω τ δινύσμτ: (,) κι (,) Ν ρεθεί η ωνί των δινυσμάτων κι Όμοι ν: (, ) κι (-,) 9 Αν Α(,), Β(8,) κι Γ(,), ν δείξετε ότι η ωνί των ΑΒ, είνι μλεί 0 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ με Α(,), Β(, + ), Γ(-, 8- ) Αν ΑΜ διάμεσος του τριώνου ΑΒΓ, ν υολοίσετε τη ωνί BAM ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

12 Έστω τ δινύσμτ ) ) (,) κι ) ( (,λ) Ν ρεθεί ο λr, ώστε:, ) Ν ρείτε τ δινύσμτ ου είνι κάθετ στο διάνυσμ (,) κι έχουν μέτρο Έστω το διάνυσμ (-,) ) Ν ρείτε το διάνυσμ v ώστε: v κι v 5 ) Ν ρείτε το διάνυσμ u ώστε: u // κι u 5 Δίνοντι τ δινύσμτ (-,), (5,) Ν ρείτε διάνυσμ u 7 κι u + u τέτοιο ώστε: 5 Δίνοντι τ δινύσμτ (,), (,) Ν ρείτε δινύσμτ ικνοοιούν τις σχέσεις: u + w, u κι w u, w ου 6 Αν (5,) κι (7,-), ν ρείτε το διάνυσμ x ώστε: x 8 κι x 0 7 Ν ρείτε το διάνυσμ με ου διχοτομεί την κυρτή ωνί των ημιευθειών ΟΑ κι ΟΒ, ου ορίζουν τ δινύσμτ ΟΒ (-,-) ΟΑ (,) κι θεωρητικές 8 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι: 0, ν δείξετε ότι: 9 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι: κι 5, ν δείξετε ότι: 0 Αν κι μη μηδενικά δινύσμτ του ειέδου, ν δείξετε ότι: ) συν(, ) ( ) ) Αν -, τότε είνι : συν(, ) Ν οδείξετε τις ισοδυνμίες: ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

13 ) ) + ) Ν εξετστεί ότε ισχύει ο νόμος της διρφής στο εσωτερικό ινόμενο, δηλδή ότε ι τ μη μηδενικά δινύσμτ,, ό τη σχέση:, έετι ότι: ) Αν,, x, y ράλληλ κι ισχύουν: μη μηδενικά δινύσμτ του ίδιου ειέδου, με x, y κι x y, τότε είνι: x y μη Έστω τρίωνο ΑΒΓ με ΑΒ, ΑΓ κι ( ΑΒ,ΑΓ ) Ν υολοιστεί η ωνί ου σχημτίζει η ΑΒ με τη διάμεσο ΑΜ του τριώνου ΑΒΓ Έστω τ μη μηδενικά δινύσμτ ρκάτω δινυσμάτων: ) Το ( ) με το, ( ) ) Το με το, ) Το με το,, Ν οδειχτεί η κθετότητ των 5 Αν ι τ δινύσμτ,, του ειέδου ισχύουν: κι + +,ν δείξετε ότι: Εξετάστε τι συμίνει ν: - 6 Έστω, δινύσμτ του ειέδου Αν κι ι κάθε κ, λr τ δινύσμτ u κ λ κι v λ κ είνι κάθετ, ν ρεθούν τ μέτρ των δινυσμάτων κι w 7 Αν ι τ δινύσμτ,, ισχύουν:, 5, 8 κι 50, ν δείξετε ότι: - 8 Έστω τ δινύσμτ, με κι Αν υάρχει xr τέτοιο ώστε ν ισχύει: x x, ν δείξετε ότι: ροολές 9 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι:, κι (, ), ν δείξετε ότι: ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

14 ρο () 8 0 Δίνοντι τ δινύσμτ (5,), (-,) Υολοίστε: () ρο, ρο (), ρο ( ) Αν ισχύουν οι σχέσεις: ρο (), κι () ρο -, ν ρεθεί η Έστω τ μη μηδενικά δινύσμτ κι ώστε ν ισχύει: ρο ( ) Ν δείξετε ότι: ) ) Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι ΑΜ η διάμεσός του Αν (ΑΒ)(ΑΓ) κι υολοίσετε την ροολή του AM στο AΓ A 60 0, ν Αν ι τ δινύσμτ κι ισχύουν: ρείτε τη ωνί των δινυσμάτων κι ρο () κι () ρο, ν 5 Δίνοντι τ δινύσμτ (-,), (,-) κι u (,) ) Ν ρείτε την ρο () ) Ν νλυθεί το u μί έχει τη διεύθυνση του σε δύο μη μηδενικές κάθετες συνιστώσες ό τις οοίες η 6 Ν νλυθεί το διάνυσμ (,) σε δύο κάθετες συνιστώσες u, w w (,-) ώστε: 7 Δίνοντι τ μη μηδενικά δινύσμτ, τ οοί δεν είνι συρμμικά Ν ρείτε δύο δινύσμτ u, w τέτοι ώστε: u - w, w κι u 8 Αν (-,-), (,), ν ρεθούν δύο δινύσμτ, δ τέτοι ώστε: δ, δ κι 9 Αν ι τ δινύσμτ κι είνι:, κι (, ), ν ρεθεί διάνυσμ τέτοιο ώστε: - κι ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

15 5 50 Έστω: (,), (-,) κι (,5) Ν ροσδιορίσετε το διάνυσμ x οοίο ισχύει: ( x ) x ι το 5 Αν, ν ροσδιορίσετε το διάνυσμ x x -( x ) 5 Αν τ δινύσμτ ) ν δείξετε ότι: ( )( x) ) Αν ι το οοίο ισχύει:,,, x ικνοοιούν τη σχέση: x x, ν εκφρστεί το διάνυσμ x, συνρτήσει των,, 5 Αν ι τ δινύσμτ,, του ειέδου ισχύουν: κι + + -, ν δείξετε ότι δύο υτά είνι ντίθετ 5 Έστω τρίωνο ΑΒΓ με ΑΒ κι ΑΓ τριώνου ΑΒΓ δίνετι ό τον τύο: Ε ρμτικός ριθμός λ, τέτοιος ώστε ν ισχύει Ε Ν δείξετε ότι το εμδό του Κτόιν, ν υάρχει λ, ν δείξετε ότι: 55 Αν ι τ μονδιί μη συρμμικά δινύσμτ κι ισχύει ότι: (, )5 0, ν δείξετε ότι: (, ) Αν κι x, xr, ν ρεθεί η τιμή του x ώστε το ν ίνετι ελάχιστο Γι την τιμή υτή, ν δείξετε ότι: 57 ) Αν ι τ μη μηδενικά δινύσμτ κι,, ισχύουν:,, ( 0, ν ρεθούν οι x,yr ι τους οοίους τ μέτρ των u x κι v y ίνοντι ελάχιστ ) Γι τις τιμές υτές ν υολοιστεί η ωνί ( u, v ) ) Κτόιν ν οδειχτεί ότι: 6, ) 58 Έστω τρίωνο ΑΒΓ με AB (0,-) κι ΑΓ (,0) Ν υολοιστούν τ μήκη της διμέσου ΑΜ, του ύψους ΑΔ κι της διχοτόμου ΑΕ ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

16 6 59 Έστω τ δινύσμτ,, με, κι (, ) Αν ( + ) ( 5 ), ν νλυθεί το σε δύο μη μηδενικές συνιστώσες ράλληλες των κι 60 Έστω τ δινύσμτ, με κι 0<(, )< Δίνοντι κόμη τ δινύσμτ p, q 5 κι u με u κι ( u, )60 0 Αν p q, ν νλυθεί το u σε δύο συνιστώσες ράλληλες ρος τ δινύσμτ, 6 ) Αν, δινύσμτ του ειέδου, ν δείξετε ότι: Πότε ισχύει η ισότητ; ) i) Αν x +y 5, ν ρείτε το μέιστο κι το ελάχιστο της ράστσης: Α5x-y ii) Aν ι τ σημεί Μ(x,y) ισχύει ότι x +9y 5, ν ρεθούν η ελάχιστη κι η μέιστη τιμή ου μορεί ν άρει η ράστση Π8x-9y κθώς κι τ σημεί Μ ου υτές ειτυχάνοντι εωμετρικά θέμτ 6 Έστω Α, Β σημεί του ειέδου με AB Αν Μ σημείο του ειέδου με ΑΜ ΑΒ 6, ν δείξετε ότι: ΜΒ ΑΒ 6 Αν ΑΒΓΔ είνι ρλληλόρμμο, ν δείξετε ότι: ΑΓ ΔΒ ΒΓ ΑΒ 6 Ν δειχτεί ότι η διάμεσος κι η διχοτόμος ου ντιστοιχεί στη άση ισοσκελούς τριώνου είνι κι ύψος 65 Δίνετι ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ κι Δ τυχίο σημείο της άσης ΒΓ Ν δείξετε ότι: AB AΔ ΔΒ ΔΓ 66 Αν σε τρίωνο ΑΒΓ η ΑΜ είνι διάμεσος κι ΑΔ ύψος του, ν δείξετε ότι: ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΜΔ 67 Δίνετι ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ(Α90 0 ) Ν δείξετε ότι: i) ΒΓ ΑΒ ΑΓ ii) ΑΒ ΒΔ ΒΓ iii) ΑΔ ΒΔ ΔΓ 68 Δίνετι τρέζιο ΑΒΓΔ (ΑΔ ΒΓ) με ΑΒ90 0 στο οοίο ισχύει: ΑΒ ΒΓ ΑΔ Αν Μ το μέσο της ΑΒ, ν δείξετε ότι: ΓΜΔ Δίνετι ρλληλόρμμο ΑΒΓΔ κι ΓΕ ΑΒ, ΓΖ ΒΔ Ν δείξετε ότι: ΒΔ ΒΖ ΑΒ ΒΕ ΒΓ ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

17 7 70 Σε ορθοώνιο ΑΒΓΔ είνι ΑΒΑΔ κι έστω σημείο Μ τέτοιο ώστε: ΔΜ ΜΓ Αν είνι ΑΒ κι ΑΔ ) ν εκφράσετε τ δινύσμτ ΑΓ κι ΒΜ ως συνάρτηση των ) Ν δείξετε ότι: ΑΓ ΒΜ :, 7 Δίνετι ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ (Α90 0 ) με (ΑΒ) κι (ΑΓ) Θεωρούμε σημείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ λβγ 0 ) Ν ρεθεί ο λr, ν ΑΚ 5 ) Γι την ράνω τιμή του λ, ν δείξετε ότι το ΑΚ είνι ύψος του ΑΒΓ 7 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ με Α60 0 κι Β5 0 Αν Ο το κέντρο του εριερμμένου κύκλου του τριώνου: ) ν ρείτε τ ινόμεν: κι ) ν υολοίσετε τις λευρές του τριώνου ΑΒΓ ΟΒΟΓ, ΟΓΟΑ ΟΑ ΟΒ εωμετρικοί τόοι 7 Δίνετι το ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ (ΑΒΑΓ) Ν δείξετε ότι τ σημεί Μ του ειέδου του τριώνου ι τ οοί ισχύει: ευθεί χαχ ΒΓ AB AM AΓ ΑΜ 0 ρίσκοντι σε 7 Δίνοντι τ στθερά σημεί Α, Β με AB Ν ρείτε το εωμετρικό τόο των σημείων Μ ώστε: MA MB 5 75 Δίνοντι τ στθερά σημεί Α, Β με AB Ν ρείτε το εωμετρικό τόο των σημείων Μ ώστε: AM AM AB 5 76 Δίνετι το τρίωνο ΑΒΓ κι το διάνυσμ u ΜΑ ΜΒ ΜΓ όου Μ σημείο του ειέδου του τριώνου Βρείτε το εωμετρικό τόο του Μ στις ρκάτω εριτώσεις: ) u ΒΓ ) u ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

18 8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λάθος) σε κθεμί ό τις ρκάτω ροτάσεις: i) Αν, τότε: ii) Aν 0, τότε το - έχει μέτρο - iii) Αν ΑΒ ΒΓ,τότε ΑΒ ΒΓ iv)αν, τότε (λ v) Είνι ( i,i j) ), λr vi) Αν (x, y), (-y,x), τότε ( vii) Αν, 0, τότε: viii) Γι τ μη μηδενικά δινύσμτ ισχύει μόνον ότν είνι ix) Αν λ, τότε είνι (,), ) 0, τότε είνι x) Αν det ( xi) Γι τ δινύσμτ του διλνού σχήμτος, ισχύει: ΑΒ ΓΔ ΑΒ ΕΖ, )90 0 <0 xii) Η ωνί (, ) είνι μλεί ν κι μόνον ν <0,, xiii) Τ δινύσμτ u (, ) κι v (, δ) είνι κάθετ ν κι μόνον ν τ δινύσμτ x (-, δ) κι y (, -) είνι κάθετ xiv) Τ ντίθετ δινύσμτ έχουν ντίθετους συντελεστές διεύθυνσης η ισότητ Γ Δ Α Ε Β Ζ Στο διλνό ρλληλόρμμο τ σημεί Α κι Β έχουν δινύσμτ θέσης ως ρος το Ο, ντίστοιχ Τ σημεί Δ κι Ε είνι τ μέσ των ΒΓ κι ΑΓ Εστω,δ,ε τ δινύσμτ θέσης των Γ, Δ, Ε ντίστοιχ i) Ν εκφράσετε το ως συνάρτηση των, κι το δ ως συνάρτηση των, Ο Β Δ Γ Α Ε ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

19 9 ii) Ν δείξετε ότι: δ ε Αν κι 0, ν ντιστοιχίσετε κάθε σχέση της στήλης Α με τις τιμές του κ στη στήλη Β ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β κ ) ) κ ) ) κ - ) < ) κ < - ή κ > δ) - < κ < ε) κ - ή κ Έστω ΑΒΓΔ τετράωνο λευράς κι κέντρου Ο Ν ντιστοιχίσετε τ εσωτερικά ινόμεν της στήλης Α με τις ντίστοιχες τιμές τους στη στήλη Β ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β i) ii) iii) iv) ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΓΔ ) 0 ) 6 ) -8 ΑΒ ΟΔ δ) -6 v) ΟΔ ΟΒ ε) 8 vi) vii) ΟΓ ΟΔ ζ) ΑΟ ΟΓ η) - 5 Σε ορθοώνιο ΑΒΓΔ είνι ΑΒΑΔ κι έστω σημείο Μ τέτοιο ώστε: ΔΜ ΜΓ Αν είνι ΑΒ κι ΑΔ : ) ν εκφράσετε τ δινύσμτ ΑΓ κι ΒΜ ως συνάρτηση των ) Ν δείξετε ότι: ΑΓ ΒΜ, 6 Στο κρτεσινό είεδο Οχψ δίνοντι τ σημεί Α(,), Β(5,5), Γ(,) κι έστω Η(x,y) σημείο του ειέδου Αν AH BΓ κι ΒΗ ΑΓ, ν ρείτε τ x,y 7 Σε ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ η υοτείνουσ ΒΓ έχει μήκος Ν υολοίσετε το άθροισμ: ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΒΑ ΓΑ ΓΒ 8 Έστω ΑΒΓΔ τρέζιο (ΑΒ ΔΓ) με (ΑΒ)5 κι (ΔΓ)7 Έστω σημείο Μ τέτοιο ώστε: ΑΜ λαβ ΑΔ, λr Ν ρεθεί ο λ, ώστε το Μ ν είνι το συμμετρικό του Γ ως ρος το Δ 9 Το σημείο Ο ισέχει ό τις κορυφές του τριώνου ΑΒΓ κι έστω: ΟΑ, ΟΒ κι ΟΓ Αν Δ, Ε, Ζ τ μέσ των ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ: ) ν συμληρώσετε τις ισότητες: ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

20 0 ) Με τη οήθει της άντησης στο ροηούμενο ερώτημ, ν δείξετε ότι: ΟΔ ΒΓ, ΟΕ ΓΑ κι ΟΖ ΑΒ 0 Δίνετι ότι: λ, όου τ μη μηδενικά δινύσμτ, λ>0 κι ) Ν δείξετε ότι: λ ) Αν, φ, τότε: συνφ λ είνι κάθετ, Αν x, y,z 0 κι z xy x yz x y z, ν δείξετε ότι: x x y z y z Δίνετι ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ (Α90 0 ) με (ΑΒ) κι (ΑΓ) Θεωρούμε σημείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ λβγ 0 ) Ν ρεθεί ο λr, ν ΑΚ 5 ) Γι την ράνω τιμή του λ, ν δείξετε ότι το ΑΚ είνι ύψος του τριώνου ΑΒΓ Έστω τ δινύσμτ, με κι Αν υάρχει xr τέτοιο ώστε ν ισχύει: x x, ν δείξετε ότι: Αν ΑΔ διάμεσος τριώνου ΑΒΓ κι ισχύει η ισότητ: AB AΓΑΓ ΑΔ ΒΓΑΒ ισοσκελές, ν δείξετε ότι το τρίωνο ΑΒΓ είνι ορθοώνιο κι 5 Αν ι τ δινύσμτ,, ισχύουν:, 5, 8 κι δείξετε ότι: - 50, ν 6 Ν ρείτε το διάνυσμ με ου διχοτομεί την κυρτή ωνί των ημιευθειών ΟΑ κι ΟΒ, ου ορίζουν τ δινύσμτ ΟΒ (-,-) ΟΑ (,) κι 7 Δίνετι το τρίωνο ΟΑΒ με ΟΑ κι ΟΒ Αν κι, τότε: ) ν υολοίσετε τις ωνίες του τριώνου ΟΑΒ ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

21 ) Ν νλυθεί το διάνυσμ ι το οοίο ισχύουν: δύο συνιστώσες ράλληλες ρος τ κι κι, 6, σε 8 Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ με ΓΑ κι ΓΒ y κτσκευάζουμε τ τετράων ΑΓΔΕ κι ΒΓΖΗ Αν δείξετε ότι: ) y x 0 Εξωτερικά του τριώνου ΓΔ ) ΒΔ ΑΖ 0 ) Η διάμεσος ΓΝ του τριώνου ΑΒΓ είνι κάθετη στη ΖΔ κι ΓΖ x, ν ειμέλει: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ