ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ
|
|
- Πρίσκιλλα Σουσάννα Δοξαράς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ.Π. Παπαβασιλόπουλος Γ. Ρηγάτος ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Φεβρουαρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /3/9 Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ. ΘΕΜΑ..5 ΘΕΜΑ..5 ΘΕΜΑ..5 ΘΕΜΑ.3.5 ΘΕΜΑ.4.5 ΘΕΜΑ 3..4 ΘΕΜΑ 3..4 ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 4..8 ΘΕΜΑ 4..5 ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 5..5 ΘΕΜΑ 5. ΘΕΜΑ ΣΥΝΟΛΟ Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι λύσεις των θεμάτων της εξέτασης στο μάθημα «Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο». Οι λύσεις είναι γενικές, ώστε να ισχύουν για όλες τις περιπτώσεις των διαφορετικών αριθμών Μητρώου. Επίσης δίδονται περισσότερες από μία λύσεις σε κάθε πρόβλημα για να δειχθεί ο πλουραλισμός στη λύση τους. Τέλος περιέχονται παρατηρήσεις για λάθη τα οποία έγιναν, ώστε να μην επαναληφθούν σε μελλοντικές εξετάσεις. Τρύφων Κουσιουρής
2 ΘΕΜΑ ο Για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος δίδεται ότι + _ K G(s) s+ b G(s) με b s(s+ 5)(s+ + N) όπου Ν είναι το τρίτο από το τέλος ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας. Η περιοχή μεταβολής του Κ για τα οποία το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές είναι < K<.. Να προσδιοριστεί η τιμή του b (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα. Να προσδιοριστεί η κρίσιμη κυκλική συχνότητα ω c στην οποία το σύστημα κλειστού βρόχου μεταβαίνει από την ευστάθεια σε αστάθεια. (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι εάν τεθεί an + ως ακολούθως 4 3 p(s) s (s + 5)(s + + N ) + K(s + b) s + (5 + a)s + 5as + Ks + Kb Εφαρμόζεται η διάταξη Routh s 4 5a Kb s 3 5+a K s (5 + a)5a K (5 + a) Kb s s [(5 + a)5a K]K Kb(5 + a) (5 + a) (5 + a)5a K (5 + a) Kb
3 Για να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές το σύστημα θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες, δεδομένου ότι > και 5+a> (5 + a)5a K 5a + 5a K > [(5 + a)5a K]K Kb(5 + a) > Kb> Για Κ και Κ το σύστημα μεταβαίνει από την ευστάθεια στην αστάθεια. Αυτό σημαίνει ότι για τις τιμές αυτές μία πραγματική ρίζα ή δύο μιγαδικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου διασχίζουν το φανταστικό άξονα Για Κ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει διπλή ρίζα στο s. Καθώς b, το σύστημα θα έχει διπλό πόλο στο ο οποίος εμφανίζεται στην G(s) και συνεπώς θα είναι ασταθές. Για Κ το σύστημα κλειστού βρόχου πρέπει να έχει φανταστικούς πόλους το χαρακτηριστικό πολυώνυμο φανταστικές ρίζες. Συνεπώς ο όρος που αντιστοιχεί στη γραμμή s της διάταξης Routh πρέπει να μηδενίζεται, δηλαδή [(5 + a)5a K]K Kb(5 + a) [(5 + a)5a ] b(5 + a) b 5a + 5a (5 + a) Αντικαθιστώντας τη γραμμή με τους συντελεστές της παραγώγου του βοηθητικού πολυωνύμου, λαμβάνεται η ακόλουθη διάταξη Routh s 4 5a b s 3 5+a s (5 + a)5a (5 + a) b s (5 + a)5a (5 + a) b Για b> δεν υπάρχουν αλλαγές στην πρώτη στήλη της διάταξης Routh και συνεπώς οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου θα είναι επάνω στο φανταστικό άξονα. Το βοηθητικό πολυώνυμο θα είναι s οπότε η κρίσιμη κυκλική συχνότητα θα είναι B(s) s + b (5 + a)5a (5 + a) b(5 + a) ω c 5a + 5a 5 + a Ανάλογα με το Ν τα αποτελέσματα είναι ως εξής N b ω c
4 ος Τρόπος λύσεως Για τη λύση του προβλήματος μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα του Nyquist. Εάν θεωρηθεί η κλειστή διαδρομή του κατωτέρω σχήματος (α) με παράκαμψη της αρχής των αξόνων, όπως φαίνεται στο σχήμα (β), Σχήμα α. Σχήμα β. το διάγραμμα Nyquist της G(s) θα είναι όπως στο σχήμα (γ) συμπληρωμένο με την επ άπειρο περιφέρεια από τη γωνία 8 ο ε έως -8 ο +ε, ε>. Στο Σχήμα (δ) φαίνεται λεπτομέρεια του διαγράμματος στην περιοχή της αρχής των αξόνων..4 Nyquist Diagrams From: U() x -3 Nyquist Diagram Imaginary Axis To: Y(). -. Imaginary Axis - -/K A System: g Real: Imag: -8e-6 Frequency (rad/sec): Real Axis Σχήμα γ. Σχήμα δ Real Axis Καθώς το σύστημα ανοικτού βρόχου δεν έχει πόλους εντός του περιγράμματος D, το σύστημα κλειστού βρόχου θα είναι ευσταθές εάν το -/Κ είναι αριστερά του σημείου τομής Α του διαγράμματος Nyquist με τον αρνητικό πραγματικό άξονα. Δεδομένου ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές μόνο στην περιοχή <Κ<, η τετμημένη του σημείου Α θα είναι ίση με -/-.5. Η κρίσιμη κυκλική συχνότητα θα είναι η κυκλική συχνότητα η οποία αντιστοιχεί στο σημείο Α. Θα είναι jω + b (jω + b)(5 jω)(a-jω) G(jω) (jω) (jω + 5)(jω + a) ω (ω + 5)(ω + a) 3-5ba-5ω + bω aω 5bω-5aω+abω+ω +j Χ+jY ω (ω + 5)(ω + a) ω (ω + 5)(ω + a) 4
5 Θέτοντας Υ και δεδομένου ότι για ω η εικόνα είναι στο άπειρο, λαμβάνεται Αντικαθιστώντας το ω στο Χ, λαμβάνεται ω 5a-5b-ab + [ ] [ ] -5ba-5ω + bω aω -5ba b a 5 (5a-5b-ab) Χ ω (ω + 5)(ω + a) (5a-5b-ab) 5a-5b-ab+5 5a-5b-ab+a (ω + 5)(ω + a) - (5 + a)(5b 5a + ab) Από την τελευταία σχέση προκύπτει b 5a + 5a (5 + a) Αντικαθιστώντας την τιμή του b στο ω λαμβάνεται ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 5a + 5a ω c 5a b(5+ a) 5a (5+ a) (5 + a) 5 + a ΠΡΟΣΟΧΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟ ΛΑΘΟΣ Πολλοί σπουδαστές μηδενίζουν το στοιχείο της πρώτης στήλης της διάταξης Routh που αντιστοιχεί στη γραμμή s ως εξής [(5 + a)5a K]K Kb(5 + a) [(5 + a)5a K] b (5 + a) και αντικαθιστώντας τις ακραίες τιμές του Κ καταλήγουν στη σχέση [(5 + a)5a ] 5a < b < + + (5 a) 5 a Στη συνέχεια επιλέγουν μία ενδιάμεση τιμή του b και προσδιορίζουν την κρίσιμη κυκλική συχνότητα. Η διαδικασία αυτή είναι λανθασμένη. Η περιοχή μεταβολής του Κ είναι Κ min < K < K max To K min προσδιορίζεται από την αλλαγή προσήμου μεταξύ της προτελευταίας και της τελευταίας γραμμής της διάταξης Routh. Το K max προσδιορίζεται από το μηδενισμό της προτελευταίας γραμμής της διάταξης Routh και είναι οριακή περίπτωση δύο αλλαγών προσήμου μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης των γραμμών s, s και μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης των γραμμών s, s. Εκείνο το οποίο διαπράττουν οι 5
6 σπουδαστές είναι ότι θεωρούν μεταβλητό το K max στην ανωτέρω περιοχή η δε επιλογή του b καθορίζει ένα K max στην περιοχή (,) διαφορετικό από αυτό που δίδεται (K max ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Επροτάθη από σπουδαστή η χρήση του θεωρήματος του Kharitonov για τη λύση του προβλήματος. Αυτό δεν είναι σωστό για τους ακόλουθους λόγους.. Στο θεώρημα οι συντελεστές μεταβάλλονται σε κλειστά διαστήματα ενώ στην προκείμενη περίπτωση το διάστημα μεταβολής του Κ είναι ανοικτό.. Οι συντελεστές μεταβάλλονται ανεξάρτητα στα διαστήματα. Στην περίπτωση αυτή οι μόνοι μεταβαλλόμενοι συντελεστές είναι ο συντελεστής του s και ο σταθερός όρος. Το θεώρημα του Kharitonov δίνει ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ευστάθεια των πολυωνύμων που οι συντελεστές τους του s και του s βρίσκονται στο παραλληλόγραμμο ABCD του ακόλουθου σχήματος. Όμως, καθώς το b θεωρείται σταθερό, οι συντελεστές των πολυωνύμων που εξετάζονται ανήκουν στην ευθεία AC και δεν εξασφαλίζεται η ταύτιση των δύο απαντήσεων. Αυτό συμβαίνει στην προκείμενη περίπτωση, καθώς το πολυώνυμο Kharitonov a + a s+ a s + a s + a s b+ 5as + (5+ a)s + s είναι ασταθές, όπως προκύπτει από την ακόλουθη διάταξη Routh. s 4 5a b s 3 5+a s 5a b s b(5 + a) 5a s b B C A D
7 ΘΕΜΑ ο + _ K G(s) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς s+ 3 G(s) s + s+ a με Κ> και a Ν + όπου Ν το τελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας.. Να δειχθεί ότι τμήματα του γεωμετρικού τόπου είναι τόξα περιφέρειας με κέντρο το σημείο -3 της οποίας ζητείται να προσδιοριστεί η ακτίνα.. Να ευρεθούν τα τμήματα του πραγματικού άξονα που ανήκουν στον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της G(s) και λαμβάνοντας υπόψη το ερώτημα () να σχεδιαστεί αυτός. 3. Να προσδιοριστεί η περιοχή μεταβολής του Κ ώστε η επί τοις εκατό υπερπήδηση να είναι μικρότερη του % για βηματική είσοδο. 4. Να προσδιοριστεί η περιοχή μεταβολής του Κ ώστε ο χρόνος κορυφής να είναι μικρότερος των sec για βηματική είσοδο. Λύση Ας θεωρηθεί G(s) s+ b + + s s a Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι Έστω x+jy μία ρίζα του p(s). Θα είναι p(s) s + s+ a+ K(s+ b) s + (+ K)s+ a+ Kb (x+ jy) + (+ K)(x+ jy) + a+ Kb x y + (+ K)x+ a+ Kb+ j[xy + (+ K)y] Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος με το μηδέν λαμβάνονται οι σχέσεις Από τη δεύτερη σχέση λαμβάνεται x y + (+ K)x+ a+ Kb xy + ( + K)y που οδηγεί στα τμήματα του γεωμετρικού τόπου που βρίσκονται επάνω στον πραγματικό άξονα είτε K x y 7
8 Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή του Κ στην πρώτη σχέση, λαμβάνεται x y + ( x)x+ a + ( x )b x y xb+ a b (x + b) + y b + a b η οποία είναι η εξίσωση περιφέρειας με κέντρο το σημείο b, δηλαδή το 3 και ακτίνα R b + a b 6+ a ος Τρόπος λύσεως Μ Ο 3 Π Ο Ζ Ο Π Ο Μ Έστω Μ σημείο του Γεωμετρικού τόπου των Ριζών. Θα είναι Γωνία (ΟΖ Μ )- Γωνία (Ο Π Μ )- Γωνία (Ο Π Μ ) -8 ο Καθώς θα είναι Γωνία (Ο 3 Μ Ζ )8 ο - Γωνία (ΟΖ Μ ) Γωνία (Ο 3 Μ Π )8 ο - Γωνία (Ο Π Μ ) Γωνία (Ο 3 Μ Π )8 ο - Γωνία (Ο Π Μ ) Γωνία (Ο 3 Μ Ζ )Γωνία (Ο 3 Μ Π )+Γωνία (Ο 3 Μ Π ) Γωνία (Ο 3 Μ Π )Γωνία(Ζ Μ Π ) Κατασκευάζεται η Μ Π κάθετος στην Μ Π και έστω Μ το σημείο τομής της με την προέκταση της Μ Ζ. Το τετράπλευρο Μ Π Π Μ είναι εγγράψιμο σε κύκλο καθώς για τις απέναντι γωνίες του ισχύει 8
9 Γωνία (Π Μ Μ )+Γωνία(Μ Π Π )9 ο - Γωνία(Ζ Μ Π ) +9 ο + Γωνία (Ο 3 Μ Π )8 ο Το Μ Μ είναι διάμετρος του κύκλου επειδή η γωνία Μ Π Μ είναι ορθή. Ο κύκλος διέρχεται από τα γνωστά σημεία Π, Π και το κέντρο του θα ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος Π Π. Καθώς το σημείο Ζ είναι το σημείο τομής της Μ Μ και της μεσοκαθέτου του μήματος Π Π θα είναι το κέντρο του κύκλου και η πρόταση αποδείχτηκε. Η ακτίνα του κύκλου θα είναι Καθώς θα είναι RZ Π + j 4a Π Ζ -3+j 4a 4a R ZΠ a ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η ακτίνα του κύκλου μπορεί να προσδιοριστεί ανεξάρτητα από την απόδειξη της μορφής του γεωμετρικού τόπου τη στιγμή που είναι γνωστό το κέντρο και ένα σημείο επάνω στην περιφέρεια (το Π ή το Π ). Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί σαν σημείο της περιφέρειας το σημείο θλάσης του γεωμετρικού τόπου. Τα τμήματα του πραγματικού άξονα που είναι τμήματα του γεωμετρικού τόπου έχουν εκ δεξιών τους περιττό αριθμό πόλων και μηδενικών του συστήματος ανοικτού βρόχου. Συνεπώς τμήμα του γεωμετρικού τόπου είναι το διάστημα (-,-3] Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα για Ν. 9
10 6 4 ωdπ/ A Root Locus ζ.456 B Imaginary Axis Real Axis 3. Η επί τοις εκατό υπερπήδηση για σύστημα με δύο πόλους χωρίς μηδενικό δίνεται από τη σχέση ζπ Mp exp <. ζ Για επικρατούντες πόλους η τελευταία σχέση δίνει ζπ < ln(.).6 ζ.6 ζ> π Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου γίνεται από την οποία προκύπτει p(s) s + ζω s +ω s + ( + K)s + a + 3K n n +Κ ζ >.456 a+ 3Κ Καθώς το Κ είναι θετικό, από την τελευταία σχέση προκύπτει ( + Κ ) > 4*.8*(a + 3 Κ )
11 Κ + >.496K.83a Επειδή το Κ είναι θετικό και οι ρίζες του τριωνύμου είναι Κ, η προδιαγραφή θα ισχύει όταν Κ>.496 ±.496 4(.83a) (.83a) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η λύση μπορεί να δοθεί και γραφικά υπολογίζοντας το Κ που αντιστοιχεί στο σημείο Β του γεωμετρικού τόπου των ριζών (η μαύρη ευθεία αντιστοιχεί σε ζ.456). Για τα διάφορα a οι τιμές είναι όπως στον ακόλουθο πίνακα. Ν Κ> Για τον χρόνο κορυφής θα ισχύει π π tp < ωn ζ +Κ a+ 3K a+ 3Κ Καθώς οι ρίζες του τριωνύμου είναι ίσες με π 4(a + 3 Κ) ( +Κ).467 < 4 Κ Κ+ <.868 4a ± 4(.868 4a) Κ, και το Κ είναι θετικό, η προδιαγραφή θα ισχύει για + 4(.868 4a) <Κ< ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η λύση μπορεί να δοθεί και γραφικά υπολογίζοντας το Κ που αντιστοιχεί στο σημείο Α του γεωμετρικού τόπου των ριζών (η μαύρη ευθεία αντιστοιχεί σε ω d π/). Για τα διάφορα a οι τιμές είναι όπως στον ακόλουθο πίνακα. Ν <Κ< `
12 ΘΕΜΑ 3 o Για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος δίδεται ότι + _ K G(s) 5(s + ) G(s) (s )(s + N + 3) όπου Ν είναι το προτελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας. ) Να προσδιοριστούν τα σημεία τομής της G(jω) με τον πραγματικό άξονα ) Να προσδιοριστούν τα σημεία τομής της G(jω) με το φανταστικό άξονα 3) Να σχεδιαστεί το διάγραμμα Nyquist της G(s). 4) Εάν εφαρμοστεί ο έλεγχος του Σχήματος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Nyquist να ευρεθεί για ποιές τιμές του Κ το αντισταθμισμένο σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές 5) Εάν έχει ληφθεί ονομαστική τιμή του κέρδους Κ να προσδιοριστούν τα όρια μεταβολής του περιθωρίου κέρδους. του περιθωρίου φάσης. Λύση Ας τεθεί H G(s) για sjω λαμβάνει τη μορφή an +3 5( jω+ ) 5( jω+ )( jω )( jω+ a) 5( ω + j ω)(a j ω) G(j ω ) (jω )(jω+ a) ( +ω )(a +ω ) ( +ω )(a +ω ) Για 5[a( ω ) + ω ] 5[a ω ω( ω )] + j Χ+ jy ( +ω )(a +ω ) ( +ω )(a +ω ) την εύρεση των σημείων τομής με τον πραγματικό άξονα τίθεται 5[a ω ω( ω )] 5 ω[a +ω ] Y ( +ω )(a +ω ) ( +ω )(a +ω ) Η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις τις για την οποία προκύπτει ω Χ -5/a
13 και για την οποία προκύπτει ω Χ. Για την εύρεση των σημείων τομής με τον φανταστικό άξονα τίθεται Η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις τις για την οποία προκύπτει και 5[a( ω ) + ω ] 5[a + ( a) ω ] Χ ( +ω )(a +ω ) ( +ω )(a +ω ) ω a a a a a (a ) 5 a 5 a a a a 5 a Y a a a (a ) a a a + + a a a a a για την οποία προκύπτει ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ω Υ Πολλοί σπουδαστές επιλύουν τις εξισώσεις Re{G(jω)} (αντίστοιχα Im{G(jω)}) αλλά δεν αντικαθιστούν τις λύσεις στο Im{G(jω)} (αντίστοιχα στο Re{G(jω)}) για να προσδιορίσουν τα σημεία τομής με τον φανταστικό άξονα ((αντίστοιχα τον πραγματικό άξονα). Στην ουσία προσδιορίζουν τα ω στα οποία συμβαίνουν οι τομές αλλά όχι τις τομές οι οποίες είναι τα ζητούμενα. 3. Το διάγραμμα Nyquist της G(s) για N 5 φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα 3
14 8 Nyquist Diagram 6 4 Imaginary Axis Real Axis 4. Το σύστημα ανοικτού βρόχου έχει ένα ασταθή πόλο στο s. Από το ανωτέρω διάγραμμα Nyquist προκύπτουν τα ακόλουθα. Εάν -/Κ<-5/a a < K< 5 ο αριθμός των περιτριγυρισμάτων Ν του σημείου -/Κ είναι ίσος με και συνεπώς το σύστημα κλειστού βρόχου έχει ασταθή πόλο. Εάν Ν cl N ol + N -5/a<-/Κ a K 5 < ο αριθμός των περιτριγυρισμάτων Ν του σημείου -/Κ είναι ίσος με - και συνεπώς το σύστημα κλειστού βρόχου έχει Ν cl N ol + N 4
15 ασταθείς πόλους, δηλαδή είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Εάν <-/Κ K< ο αριθμός των περιτριγυρισμάτων Ν του σημείου -/Κ είναι ίσος με και συνεπώς το σύστημα κλειστού βρόχου έχει Ν cl N ol + N ασταθή πόλο. Επομένως το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εάν a K 5 < 5. Εάν η ονομαστική τιμή Κ N του Κ είναι ίση με το περιθώριο κέρδους g m προς τα κάτω θα είναι οπότε a KNg 5 g m a Το περιθώριο κέρδους προς τα πάνω είναι απεριόριστο. Καθώς το Κ Ν, το περιθώριο φάσεως θα ευρίσκεται από το όρισμα της G(jω) στην κυκλική συχνότητα ω θ στην οποία τέμνει την περιφέρεια με κέντρο την αρχή και ακτίνα /Κ Ν.5 Θα είναι οπότε 5( jω + ) 5 G(j ω ) θ m θ (jω )(j a) θ ω θ + ω a θ + ω a θ Καθώς για την τιμή αυτή του ω το πραγματικό μέρος της G(jω) είναι θετικό, το όρισμα της G(jω) θα είναι 5[a ω ω( ω )] Im[ G(j )] ( )(a ) ω +ω +ω ϕ Arg{ G(j ω )} τοξεϕ τοξεϕ Re[ G(j ω) ] 5[a( ω ) + ω ] ( +ω )(a +ω ) τοξεϕ τοξεϕ [a ωθ ωθ( ωθ)] a [a + a ] [a( ω θ) + ω θ] a + ( a)( a) 5
16 Το περιθώριο φάσεως θα είναι o θ m 8 +ϕ Για τα διάφορα a οι τιμές είναι όπως στον ακόλουθο πίνακα. Ν θ m 9.57 o 9.5 o 9.7 o 9.9 o 9.87 o o 94. o o 95.6 o o ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η λύση μπορεί να δοθεί και γραφικά με τη χρήση μοιρογνωμονίου, σχεδιάζοντας τον κύκλο με κέντρο την αρχή και ακτίνα.5 και βρίσκοντας την τομή του με το διάγραμμα Nyquist. ΘΕΜΑ 4 ο Δίδεται σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως.5 x(k+) x(k)+ u(k) y(k) [ ] x(k) x() -.5. Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα, η παρατηρησιμότητα και η ευστάθεια του συστήματος.. Είναι επιθυμητό το σύστημα να οδηγηθεί στην κατάσταση x(m) Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός βημάτων Μ για να επιτευχθεί ο στόχος και η αντίστοιχη είσοδος. Εάν σαν κόστος της οδήγησης θεωρηθεί το M- J(M)(N +)u ()+ όπου Ν το προτελευταίο ψηφίο του αριθμού μητρώου σας, να ευρεθεί η τιμή του J. 3. Εάν ληφθεί Μ3 (το σύστημα επιτυγχάνει το στόχο σε τρία βήματα), να προσδιοριστούν οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούν οι είσοδοι u(), u() και u() ώστε να επιτυγχάνεται ο στόχος και να ευρεθεί η είσοδος η οποία ελαχιστοποιεί το κριτήριο J(3). Λύση Η μήτρα ελεγξιμότητος θα είναι Καθώς [ ] i P c B AB u (i) det(p c)det 6
17 ο βαθμός της μήτρας ελεγξιμότητος είναι ίσος με την τάξη της περιγραφής και η περιγραφή είναι ελέγξιμη. Η μήτρα παρατηρησιμότητος θα είναι Καθώς C P o CA.5 det(p o)det.5 ο βαθμός της μήτρας παρατηρησιμότητος είναι ίσος με την τάξη της περιγραφής και η περιγραφή είναι παρατηρήσιμη. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της περιγραφής είναι και έχει ρίζες εντός του μοναδιαίου κύκλου αφού z-.5 - p(z)det(zi-a)det.5 z Επομένως η περιγραφή είναι ευσταθής. z -.5z *.5.5±j.75 ± z,.5±j.75 z, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ-ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟ ΛΑΘΟΣ Πολλοί σπουδαστές χρησιμοποίησαν το θεώρημα Routh για να εξετάσουν την ευστάθεια της περιγραφής. Το κριτήριο Routh εφαρμόζεται για να ελεγχθεί εάν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι στο αριστερό ημιεπίπεδο. Καθώς το σύστημα είναι διακριτού χρόνου, απαιτείται οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου να είναι στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. Για τον έλεγχο της θέσης των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου πρέπει να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο Jury. Η χρήση του κριτηρίου Routh μπορεί να γίνει μετά από απεικόνιση του εσωτερικού του μοναδιαίου κύκλου στο αριστερό ημιεπίπεδο μέσω της σύμμορφης απεικόνισης δηλαδή εξετάζεται το πολυώνυμο +s z -s +s +s ψ(s)(-s) *p(z) +s (-s) s +.5s+.75 z -s -s -s. Καθώς 7
18 .5 x() x()+ u() u() -.5 ο στόχος δεν μπορεί να επιτευχθεί σε ένα βήμα. Καθώς.5 u() u() x() x()+ u() [ B AB ] -.5 u() u() οστόχος επιτυγχάνεται πάντα σε δύο βήματα. Η λύση είναι μοναδική και προκύπτει Tο κόστος της οδήγησης προκύπτει u() u() J()(N +)u ()+u ()5 Για τα διάφορα Ν οι τιμές είναι όπως στον ακόλουθο πίνακα. Ν J() Εάν η μετάβαση γίνει σε τρία βήματα, θα είναι u() u() u() u() x(3) B AB A B u() u() Η λύση δεν είναι μοναδική. Εάν θεωρηθεί θα είναι Το κόστος της οδήγησης θα είναι u()q u()-.5*q u()+.5*q J(3)(N +)u ()+u ()+u ()(N +)q +(-.5q) +(+.5q) (N +.35)q -.5q+5 Για την ελαχιστοποίηση του κόστους πρέπει Από την τελευταία σχέση προκύπτει οπότε dj (N +.65)q-.5 dq.5 qu() N
19 Το ελάχιστο κόστος της οδήγησης θα είναι.5 u ().5* N u( ) +.5* N J(3)(N +) +.5* + +.5* N +.65 N +.65 N +.65 Για τα διάφορα Ν οι τιμές είναι όπως στον ακόλουθο πίνακα. Ν u() u() u() J(3) ΘΕΜΑ 5 ο Η εξίσωση κινήσεως εκκρεμούς δίδεται από τη σχέση d θ + ημθ dt. Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς το διάνυσμα T x θ θ& και να προσδιοριστούν τα σημεία ισορροπίας του συστήματος.. Να ευρεθούν τα γραμμικοποιημένα μοντέλα του συστήματος στις περιοχές των δύο διαφορετικών σημείων ισορροπίας. Τί συμπεράσματα εξάγετε από την ευστάθεια ή την αστάθεια των ανωτέρω γραμμικών μοντέλων ως προς την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας του συστήματος; 3. Για το σημείο ισορροπίας όπου θ να χρησιμοποιηθεί σαν συνάρτηση Lyapunov η Λύση V(x).5x + συν (x ) Τί συμπέρασμα εξάγεται για την ευστάθεια ή την αστάθεια του σημείου αυτού ισορροπίας;. Οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς το διάνυσμα που δίδεται θα είναι x& x x & ημ(x ) Τα σημεία ισορροπίας προκύπτουν από τις λύσεις των εξισώσεων 9
20 οι οποίες δίδουν x ημ (x ) x n π, nακεραιο & ς x Αξίζει να παρατηρηθεί ότι δύο είναι τα διαφορετικά σημεία ισορροπίας ως εξής και x e x e π. Για τα γραμμικοποιημένα μοντέλα στα σημεία ισορροπίας θα ισχύει Σημείο ισορροπίας x e f f x x f f Α συν(x ) x x x x x x Σημείο ισορροπίας x e f f x x f f Α συν(x ) x π x x x x π x Οι ιδιοτιμές της μήτρας Α είναι οι ρίζες του s s p(s) det(si Α ) det s οι οποίες ευρίσκονται επάνω στο φανταστικό άξονα. Συνεπώς δεν μπορεί να εξαχθεί συμέρασμα για την ευστάθεια του μη γραμμικού συστήματος. Οι ιδιοτιμές της μήτρας Α είναι οι ρίζες του s p(s) det(si Α ) det s s Η μία ρίζα του p (s) ευρίσκεται στο δεξιό ημιεπίπεδο και συνεπώς το γραμμικοποιημένο μοντέλο είναι ασταθές. Σύμφωνα με την πρώτη μέθοδο Lyapunov το σημείο ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος θα είναι ασταθές. +
21 3. Στην περιοχή του σημείου ισορροπίας x e η V(x) είναι θετικά ορισμένη καθώς είναι θετική ή μηδέν και μηδενίζεται μόνο όταν xx. Θα είναι dv V V x& + x& x ημ (x ) + x [ ημ (x )] dt x x Επειδή η dv/dt είναι αρνητικά ημιορισμένη και οι μερικές παράγωγοι V/ x ι είναι συνεχείς, το θεώρημα ευσταθείας της δεύτερης μεθόδου του Lyapunov ισχύει και το σημείο ισορροπίας θα είναι ευσταθές. Η ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου ισορροπίας δεν μπορεί να συναχθεί από αυτή τη συνάρτηση Lyapunov (και δεν υπάρχει).
10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)
ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο
Διαβάστε περισσότεραΣτα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Σεπτεμβρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7/0/009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες Αριθμός Μητρώου
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:
1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑκαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα
Διαβάστε περισσότεραΠαραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 005-006 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδονται τα συστήµατα Σ, Σ µε συναρτήσεις µεταφοράς s+ -s+ G (s)= G (s)= s +s+ s +s+ α) Να προσδιοριστεί η βηµατική απόκριση
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Κριτήριο Nyquist Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ
Ύλη µαθήµατος. Lead-Lag ελεγκτές 2. PID ελεγκτές (95%) (εκτός διαγράµµατα Nyquist-Nichols) ιακριτός & Ψηφιακός Αυτόµατος Έλεγχος ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εργαστήριο Matlab LABview : συλλογή και αποστολή
Διαβάστε περισσότεραΕυστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΑκαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Μ. Σφακιωτάκης msfak@staff.teicrete.gr Χειµερινό εξάµηνο 18-19
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #4: Ευστάθεια Συστημάτων Κλειστού Βρόχου με τη Μέθοδο του Τόπου Ριζών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα
Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα
Διαβάστε περισσότεραΕυστάθεια συστημάτων
1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή
Διαβάστε περισσότεραΚανονική Εξέταση στο Mάθημα: "ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΚΤΥΩΝ" (5 ο εξάμηνο) ΟΜΑΔΑ A ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Κανονική Εξέταση στο Mάθημα: "ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΚΤΥΩΝ" (5 ο εξάμηνο) (Διάρκεια: ώρες) ΟΜΑΔΑ A Ημερομηνία: 5 Μαρτίου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ο (.5,.) δ Σχήμα R Ι C i R g v R 5 v - r i R 4 v out R δ - v
Διαβάστε περισσότερα. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και
ο ΘΕΜΑ [6. βαθμοί] 5 u x x + u Ax + Bu Έστω συνεχές σύστημα 4 5 3 u3 y [ ] x. [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; 5 Με το ακόλουθο partinioning του πίνακα A οι ιδιοτιμές του είναι 4 5 eig(a) eig(
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Θεωρία Δικτύων
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ Εφαρμ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα
Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΒαθμολογία Προβλημάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2
1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Ιουνίου 008 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Ιουνίου 008 Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεμάτων (υπογεγραμμένη από
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #7: Αρμονικά κριτήρια ευστάθειας κατά Nyquist και BODE 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΖητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =
. Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID
Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1
Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID
Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο
1.1. ΜΕΛΕΤΗ ΣΑΕ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (ΠΟΛΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ) 1.1.1. Γενικά Το κριτήριο Nyquist είναι μια γραφική μέθοδος με την οποία προσδιορίζεται η συμπεριφορά ενός συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου. Το κριτήριο
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις 1 ου Θέματος [8 Χ 0.25= 2.0 β.] Οι απαντήσεις πρέπει υποχρεωτικά νε βρίσκονται εντός του περιγεγραμμένου χώρου G()
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τελική εξέταση Ιουνίου Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεμάτων υπογεγραμμένη από τον εξεταστή ΕΠΩΝΥΜΟ εξεταζόμενου/ης ΟΝΟΜΑ εξεταζόμενου/ης Αριθμός Μητρώου Έτος π.χ. ΓΔΕΕκ.λ.π.
Διαβάστε περισσότεραlnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Τρύφων Κουσιουρής
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη θέρμανση ενός δωματίου είναι οι εξής: x 4. 7. x 7. u w x = + 7.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ Εισαγωγή - Έννοιες Ένα ασταθές αντικείμενο προκαλεί γενικά ανεπιθύμητες παρενέργειες ή και καταστροφές Γενικά ένα ευσταθές σύστημα έχει μία οριοθετημένη τιμή στην απόκρισή
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότερα1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1
Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I-
Διαβάστε περισσότεραΥποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.
ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΘέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,
Πανελληνίων Θέμα Α Α. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 53 σχολικού βιβλίου. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι. Πράγματι, στο διάστημα, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, Επειδή, οπότε έχουμε και,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραx 2 + y 2 x y
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Τρύφων Κουσιουρής
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6 ΜΑΡΤΙΟΣ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη θέρµανση ενός δωµατίου είναι οι εξής: x 4. 7. x 7. u w x = +
Διαβάστε περισσότερα(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.
Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #7: Αρμονικά Κριτήρια Ευστάθειας Κατά Nyquist και BODE Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #6: Σχεδιασμός Ελεγκτών με Χρήση Αναλυτικής Μεθόδου Υπολογισμού Παραμέτρων Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ)
ΑΣΚΗΣΗ 7-2-27 Για τα µαθήµατα: Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο (5 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Σχεδίαση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (6 ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ) Ακαδηµαϊκό Έτος: 27-28 ιδάσκων:γ. Π. Παπαβασιλόπουλος Επιµέλεια
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #6: Σχεδιασμός ελεγκτών με χρήση αναλυτικής μεθόδου υπολογισμού παραμέτρων 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΘωμάς Ραϊκόφτσαλης 01
0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )
Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο
1.1. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο Ένα από τα βασικά πρακτικά προβλήματα της επιστήμης των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου είναι η σχεδίαση ενός συστήματος τέτοιου ώστε η έξοδος του να
Διαβάστε περισσότεραΕυστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα
1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας
Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο Ακαδ. Έτος: ιδάσκοντες: Τ. Κουσιουρής, Ν. Μαράτος, Κ. Τζαφέστας Λύση ου Θέµατος Κανονικής
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το
Διαβάστε περισσότερα( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:
ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη
Διαβάστε περισσότεραv a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.
ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΒαθµολογία Προβληµάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2. G(s)
ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ 3 Σεπτεµβρίου 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεµβρίου 4 Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεµάτων (υπογεγραµµένη από τον εξεταστή) ΕΠΩΝΥΜΟ
Διαβάστε περισσότερα1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΘέματα από τους μιγαδικούς
6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)
A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές
Διαβάστε περισσότερα