ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Επιμέλεια: Αλκιβιάδης Τζελέπης

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Επιμέλεια: Αλκιβιάδης Τζελέπης

2 Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Άλκης Τζελέπης Σελίδα

3 Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με τα διανύσματα x 3 3, 6, z.. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και δύο σημεία του επιπέδου Δ και Ε. Αν ισχύει 0, να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ διέρχεται από ένα σταθερό σημείο. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: ι), ιι). 4. Έστω, δύο μη μηδενικά διανύσματα και Ο ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου των διανυσμάτων. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει:,. 5. Θεωρούμε τα σταθερά σημεία Α, Β, Γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει: 3,. 6. Να λυθεί το σύστημα : 4x. Να παρασταθεί γραφικά η λύση. 3x 6 7. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος τριγώνου, διχοτομεί την ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα των δύο άλλων πλευρών του. 8. Αν ισχύει ότι 5 3 0, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 9. Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ, ΓΕ κατά τμήματα ΔΘ = ΒΔ και ΕΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Ζ, Θ είναι συνευθειακά. 0. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ, με, 7 8 και ένα σημείο Ρ, τέτοιο ώστε 3. Να αποδείξετε ότι το Ρ ανήκει στη ΒΓ.. Αν το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και 4 0, να αποδείξετε ότι:.. Δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ, Λ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΜΛ < ΑΔ + ΒΓ. 3. Να αποδείξετε ότι: (, 0 0 ). Άλκης Τζελέπης Σελίδα 3

4 Διανύσματα 4. Αν για τα διανύσματα,, ύ 0, να αποδείξετε ότι: 3 5 α) ) ) 5. Δίνονται τα διανύσματα,, 0. Να αποδείξετε ότι τα 3 4 τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά. 6. Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι (ΜΝ) = (ΑΒ) + (ΓΔ), να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 7. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι: α). β) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. 8. Θεωρούμε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. α) Να προσδιορίσετε ένα σημείο Μ, τέτοιο ώστε:. β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα u είναι σταθερό. 9. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Αν για δύο σημεία Κ, Λ ισχύει 3 3 ότι, να αποδείξετε ότι: α) MK AB 4 β) τα σημεία Κ, Μ και Λ είναι συνευθειακά. 0. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και πραγματικός αριθμός x. Για τις διάφορες τιμές του x θεωρούμε σημεία Ε και Κ τέτοια, ώστε x x. 3 3 α) Να προσδιορίσετε σε ένα σχήμα τα σημεία Ε και Κ, όταν x. β) Να αποδείξετε ότι // ά x. 3 γ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το τετράπλευρο ΕΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο.. Σε ένα τρίγωνο ΟΑΒ με OA OB, Μ είναι το μέσο της πλευράς ΟΑ και Ν είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ. Οι ΟΝ και ΒΜ τέμνονται στο σημείο Ρ. α) Να αποδείξετε ότι. β) Το διάνυσμα BN είναι ίσο με: : : : Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4 : :

5 Διανύσματα Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. γ) Να αποδείξετε ότι αν, ό. δ) Η διανυσματική ισότητα που συνδέει τις πλευρές του τριγώνου ΟΡΒ, είναι: : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ε) Με βάση την απάντηση στο ερώτημα (δ) και αν, να αποδείξετε ότι και να υπολογίσετε τα κ και λ.. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ της ΒΓ. Αν χ + ψ =. να αποδείξετε ότι 3. α) Αν τα διανύσματα, είναι μη συγγραμμικά και, να αποδείξετε ότι κ = λ = 0. β) Αν τα διανύσματα, είναι μη συγγραμμικά, να αποδείξετε ότι και τα διανύσματα 5 6, 3 είναι μη συγγραμμικά. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 5

6 Διανύσματα ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Στο επίπεδο Οχψ δίνονται τα σημεία Α(,0) και Β(3,). Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του παραλληλογράμμου ΟΑΒΓ.. Δίνονται τα σημεία Α(-,-5) και Β(3,-4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ. 3. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α(,), Β(6,4) και Γ(5,5). 4. Αν τα σημεία Κ(4,0), Λ(6,) και Μ(3,5) είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου. 5. Στο σύστημα αναφοράς Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α και Β του άξονα χ χ, των οποίων οι τετμημένες είναι ρίζες της εξίσωσης x 4 7 x 4 0. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, για την οποία το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει τετμημένη. 6. Δίνονται τα σημεία Α(6,-), Β(,3), Γ(,), Δ(-,-) και Ε(,-). α) Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε β) Να υπολογίσετε το λ, ώστε τα σημεία Γ, Δ και Μ να είναι συνευθειακά. γ) Αν τα Γ, Δ και Μ είναι συνευθειακά και ακόμη είναι,,, να αποδείξετε ότι κντ =. 7. Δίνονται τα σημεία Α(3,), Β(,0) και Γ(0,4). Αν η ΑΓ τέμνει τον άξονα χ χ στο Δ και η ΑΒ τον άξονα ψ ψ στο σημείο Ε, τότε: α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των Δ και Ε. β) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ΟΑ, ΕΔ και ΒΓ είναι συνευθειακά. 8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(5,), Β(,-3) και Γ(9,-7). Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ και το 3 σημείο Δ τέτοιο ώστε, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. Αν η 4 ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ε, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Ε Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,4), Β(,) και,. Αν ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. ( Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ). 0. Θεωρούμε τα διανύσματα (,), (3,4). Να ορίσετε τα συγγραμμικά τους διανύσματα τα οποία να έχουν άθροισμα (0,3). Άλκης Τζελέπης Σελίδα 6

7 Διανύσματα. Θεωρούμε τα διανύσματα (,), (, ). Να εκφράσετε το διάνυσμα (, 3) ως γραμμικό συνδυασμό των,.. Δίνονται τα σημεία Α(3,), Β(7, 4). Να βρεθεί σημείο του άξονα χ χ, ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι: α) ισοσκελές με κορυφή το Μ. β) ορθογώνιο στο Μ. 3. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα χ χ, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τα σημεία Α(,) και Β(3,4) να είναι ελάχιστο. 4. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα ψ ψ, ώστε η διαφορά των αποστάσεών του από τα σημεία Α( 3,) και Β(,5) να είναι μέγιστη. 5. Αν, 4, 3, 3, 3,, 3,4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες x του διανύσματος u., β) Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στα χ και ψ ώστε u //. γ) Να υπολογισθούν τα χ και ψ αν είναι u 0., τότε: 6. Τα σημεία Κ(,), Λ(5,6) και Μ(3,4) αποτελούν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ. α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β και Γ του τριγώνου. β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΒΛ και να προσδιορίσετε τη θέση της ως προς τον άξονα χ χ. 7. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει κορυφές τα σημεία Α( 4,3) και Β(, 3 ) του επιπέδου. Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ( /, /), να βρείτε τις κορυφές Γ και Δ. 8. Η διανυσματική ακτίνα ενός σημείου Α είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 3, 4) μάλιστα είναι. 0, να βρείτε: και α) το πρόσημο των συντεταγμένων του Α. β) τις συντεταγμένες του Α. 9. Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β και Γ τα οποία ορίζονται από τις ισότητες j, i 3 j 0i j. 3 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ. β) Οι συντεταγμένες του μέσου του ΒΓ είναι (5,). Συμφωνείται με αυτόν τον ισχυρισμό; γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο. δ) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Ε, ώστε να ισχύει: ε) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά. 4 3 Άλκης Τζελέπης Σελίδα 7

8 Διανύσματα 0. Θεωρούμε τα σημεία Α(,4), Β(6,4), Γ(9,) και Δ(,) του επιπέδου. α) Να αποδείξετε ότι: ι) το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο 7 ιι). 5 β) Θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο, ώστε,. Να υπολογίσετε το χ, ώστε το σημείο Μ να είναι συμμετρικό του Γ ως προς το Δ.. Μια περιοχή που πρόκειται να αναμορφωθεί αποτυπώνεται στο τοπογραφικό σχέδιο ενός εργολάβου, με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οχψ. Τα σημεία Α(0,7), Β(4,3) και Γ(6,) παριστάνουν τρία χωριά. α) Να αποδείξετε ότι ο εργολάβος μπορεί να χαράξει έναν ευθύγραμμο δρόμο που να συνδέει τα τρία χωριά. β) Να βρείτε σε ποιο σημείο του άξονα χ χ πρέπει να σχεδιάσει ένα πρατήριο βενζίνης Π, το οποίο να ισαπέχει από τα χωριά Α και Γ. γ) Στο σημείο Μ(,λ) θέλει να τοποθετήσει έναν στύλο παροχής ηλεκτρικού ρεύματος προς τα χωριά Β και Γ, ώστε το άθροισμα των μηκών των καλωδίων να είναι ελάχιστο. Να βρείτε το σημείο Μ. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 8

9 Διανύσματα ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 3 3 3, να. Αν, 3 3 3, ί ό,.. Δίνονται τα διανύσματα, 3. δείξετε ότι 0., Να δείξετε ότι το μη μηδενικό διάνυσμα είναι κάθετο στο μη μηδενικό διάνυσμα u u. 4. Θεωρούμε τα διανύσματα (, ), (,), (, ). Να βρεθούν: α) Το εσωτερικό γινόμενο των,. β) Η διανυσματική προβολή του. γ) Αν, να βρεθεί το διάνυσμα, όπου ΑΓ είναι το ύψος του τριγώνου ΟΑΒ. 5. Θεωρούμε τα διανύσματα, με μέτρο ίσο με. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν, αν γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα w 5 4 u είναι κάθετα. 6. Αν τα διανύσματα, είναι κάθετα και έχουν ίσα μέτρα, τότε το ίδιο συμβαίνει και με τα διανύσματα w v. 7. Αν τα μοναδιαία διανύσματα ^, σχηματίζουν γωνία τέτοια ώστε 0, 90 ο και τα διανύσματα p q 5 4 είναι κάθετα μεταξύ τους, να αναλυθεί το διάνυσμα v v 3 ( v,^ ) 60 ο σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς τα. 8. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α =. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ) ) ) ) 9. Έστω ^, δύο διανύσματα του επιπέδου, με, 3 (, ). 3 v 3, να υπολογίσετε: α) το v ^ ^ β) τις γωνίες (, v) ( v, ). Αν είναι Άλκης Τζελέπης Σελίδα 9

10 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 0 0. Να αποδείξετε ότι:., ) 4 ) ) ό. Έστω,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν είναι ) ( ), (, να αποδείξετε ότι ). (. Έστω τα διανύσματα, του επιπέδου με 6 ), ( 3, ^. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων. 3. Να αναλύσετε το διάνυσμα ) 3, ( σε δύο συνιστώσες, από τις οποίες η μία είναι παράλληλη προς το διάνυσμα ) 3, ( και η άλλη κάθετη σε αυτό. 4. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι. 3, 4, ^ Αν Μ είναι το μέσο της ΑΒ, να υπολογίσετε τη γωνία., ^ 5. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο είναι. Αν ισχύουν επίσης ότι 3 ), ( ^, να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων του ΑΒΓΔ. 6. Να υπολογίσετε το άθροισμα 0 4, 3, ί. 7. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ) ( ) ( v u είναι κάθετα στο. 8. Αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ ισχύουν, να αποδείξετε ότι: ) ) ) 9. Αν έχουμε τρία διανύσματα του επιπέδου,,, να αποδείξετε ότι είναι.

11 Διανύσματα ^ ^ 0. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος (, ) (, ) και 4, 3 (, μη συγγραμμικά ).. Αν, είναι μοναδιαία διανύσματα και θ η μεταξύ τους γωνία, να αποδείξετε ότι:.. Αν u ( 3 3, 3) v ( 3, 3) 0 ( u,^ v), ^ να αποδείξετε ότι: ( u, v ) ^ 3. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα,,. Να βρείτε διάνυσμα x, 3 τέτοιο ώστε x // ( ) ( x). 4. Δίνονται τα διανύσματα (, 3), (3, ) (,0 ). Να βρείτε όλα τα διανύσματα v v 0 v. Στη συνέχεια να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ ώστε v. 5. Αν x ( x ) 0 να αποδείξετε ότι Στη συνέχεια να υπολογίσετε το διάνυσμα x. 6. Αν (,3) (,4 ), να βρείτε την. x. x 7. Να δείξετε ότι το διάνυσμα x είναι κάθετο στο για κάθε διάνυσμα x. 8. Δίνονται τα διανύσματα, ώ ( ) ( ),,. α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρεθεί το, ό ^ 9. Αν, (, ) 45 ο ^, να βρείτε τη γωνία (, ). 30. Θεωρούμε τα συγγραμμικά διανύσματα,,. Να δείξετε ότι η σχέση συνεπάγεται ότι δύο από τα διανύσματα είναι αντίρροπα. Άλκης Τζελέπης Σελίδα

12 Διανύσματα 3. Θεωρούμε τα διανύσματα, 3, 6. Να οριστεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε ( 3 ) (3 ). 3. Αν για τα διανύσματα, ύ, να αποδείξετε ότι. 33. α) Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα, ό, 0. β) Δίνονται τα διανύσματα,, τέτοια, ώστε να ισχύουν: 0 3 ι) Να αποδείξετε ότι ιι) Να υπολογίσετε το ως συνάρτηση του λ ιιι) Να υπολογίσετε το διάνυσμα. 34. Α. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα,, ύ. β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του ; γ) Πότε το παίρνει την ελάχιστη τιμή του; Β. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α = 6 x 8 ψ αν x 36. Γ. Να αποδείξετε ότι 6 x 8 x Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα. α) Να αποδείξετε ότι β) Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι 3 γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά την ισότητα του ερωτήματος (α). 36. Θεωρούμε δύο διανύσματα, τέτοια ώστε 4 α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε τα διανύσματα u, v να είναι κάθετα. ^ β) Αν για τη μικρότερη τιμή του λ που θα βρείτε ισχύει ( u v, u v), 3 να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο 37. Έστω ΑΒΓΔ τετράγωνο με κέντρο Ο και πλευρά (ΑΒ) = 6. Α. Να υπολογίσετε τα παρακάτω εσωτερικά γινόμενα: ) ) ) ) ) ) Άλκης Τζελέπης Σελίδα

13 Διανύσματα Β. α) Να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων Λ, Μ και Κ που ορίζονται από τις ισότητες, β) Να αποδείξετε ότι: ι) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά ιι) το τετράπλευρο ΚΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο ιιι) Δίνεται τετράγωνο ΟΑΓΒ με Ο(0,0), Α(α,0) και Β(0, β) ( α, β > 0 ). α) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες του σημείου Γ με τη βοήθεια των α και β. β) Αν Κ είναι το κέντρο του τετραγώνου και Μ το μέσο του τμήματος ΚΓ, να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ως συνάρτηση των α και β. γ) Αν Λ είναι το μέσο του τμήματος ΟΑ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΛ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 39. Οι διανυσματικές ακτίνες, των σημείων Α, Β και Γ είναι τέτοιες, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: 3, α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. β) Να υπολογίσετε: ι) τα εσωτερικά γινόμενα, ιι) τη γωνία των διανυσμάτων. γ) Αν για το διάνυσμα x ισχύουν οι σχέσεις x // ( ) ( x ) ( ) ι) να αποδείξετε ότι x ( ) 4 ιι) να υπολογίσετε το x. 40. Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ^ 90 ο. Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) ) ), ό 4. Σε μια περιοχή υπάρχουν τρεις πόλεις Α, Β και Γ. Οι πόλεις Α και Β απέχουν μεταξύ τους 4 km. Από την πόλη Α αναχωρεί ένας ποδηλάτης, ο οποίος κινούμενος ευθύγραμμα φθάνει στην πόλη Β. Τη διαδρομή ΑΓ τη συμβολίζουμε με το διάνυσμα και για την πόλη Γ. ισχύει ότι 6 α) Να αποδείξετε ότι η διαδρομή ΓΒ είναι κάθετη στη διαδρομή ΑΒ. β) Ο ποδηλάτης, φθάνοντας στην πόλη Β, αναχωρεί με κατεύθυνση κάθετη στη διαδρομή Άλκης Τζελέπης Σελίδα 3

14 Διανύσματα ΑΓ και συναντά την ΑΓ στο σημείο Δ. Αν είναι (ΑΔ) = km, να υπολογίσετε την απόσταση των πόλεων Α και Γ. 4. Α. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα,. α) Να αποδείξετε ότι β) Αν (,3) (,4), να βρεθεί η προβολή του. Β. Δίνονται τα διανύσματα, 3,., τότε η γωνία των διανυσμάτων, είναι ίση με: ι) π/6 ιι) π/3 ιιι) π/4 ιv) π Γ. Αν, v 3 και η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι ίση με π/6, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v ά. 43. Δίνονται τα σημεία Α(4,0), Β(0,5) στο ορθοκανονικό σύστημα Οχψ. α) Να βρεθεί σημείο Μ του ΑΒ τέτοιο, ώστε β) Αν Κ είναι το μέσο του ΟΑ και Λ το μέσο του ΟΒ, τότε το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με: ι) ιι) MO ιιι) ιv) Αν, 3, 5 0, να αποδείξετε ότι: α) 5 β) Το τρίγωνο με πλευρές τα μήκη των διανυσμάτων,, είναι ορθογώνιο γ) Υπολογίσατε το άθροισμα 45. Έστω τα διανύσματα (,), (,) (, 3). α) Να γράψετε το διάνυσμα με μοναδικό τρόπο, ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων,. β) Να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες, ώ // //. ^ ^ 46. Αν για τα μοναδιαία διανύσματα,, έ (, ) (, ), 3 4 να λύσετε την εξίσωση: Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4

15 Διανύσματα ^ 47. Αν 3, 4 (, ), να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε να ισχύει: 6 ( ) 48. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓΔ με (ΑΒ) = 30 και τα διανύσματα. Να βρεθεί το γινόμενο. 5 3 Άλκης Τζελέπης Σελίδα 5

16 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 6 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Ι. Συνθήκες Παραλληλίας:. // (αν λ>0 είναι ομόρροπα, ενώ αν λ<0 είναι αντίρροπα ). ι) ιι) 3. Αν, &, x x, τότε: 0, det // ι) 0, ^ και ιι) ^, ΙΙ. Συνθήκες Καθετότητας:. 0. Αν, &, x x, τότε: 0 x x 3., 0, ^ ^ ΙΙΙ. Παρατηρήσεις:. Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά AB // (β.λ.π. συνθήκες παραλληλίας). Το v είναι συνεπίπεδο των, υπάρχουν R, : v 3. Για να υπολογίσουμε το v, συνήθως υπολογίζουμε το v 4. Αν δύο διανύσματα του επιπέδου ΔΕΝ είναι συγγραμμικά, τότε έχουμε: αν 0 τότε ισχύει κ = λ = 0, όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί 5. ΔΕΝ ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, δηλαδή: 6. ΔΕΝ ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, έτσι: ι) u u (δεν ισχύει το αντίστροφο) ιι) 0 0 ή ή

17 Διανύσματα IV. Γεωμετρικοί Τόποι:. Σχέση: MA, όπου Α σταθερό σημείο, κ > 0 Τα σημεία Μ ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα κ.. Σχέση: MA MB, όπου Α, Β σταθερά σημεία Τα σημεία Μ ανήκουν στη μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 3. Σχέση:, όπου Α, Β, Γ σταθερά σημεία, λ πραγματικός αριθμός Τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία, που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ. 4. Σχέση: 0, όπου Α, Β, Γ σταθερά σημεία Τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην προς την ευθεία ΒΓ. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 7

18 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 8

19 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 9

20 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 0

21 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα

22 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα

23 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 3

24 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4

25 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 5

26 Διανύσματα Άλκης Τζελέπης Σελίδα 6

27 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

28 Εξίσωση ευθείας Ι. Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ». Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, ) έχει συντελεστή διεύθυνσης 0.. Υπάρχουν δύο ευθείες ε, ε, με συντελεστές διεύθυνσης λ, λ αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύει συγχρόνως λ = λ και λλ = Οι ευθείες με εξισώσεις, είναι κάθετες για κάθε λ διάφορο του μηδενός. 4. Οι ευθείες χ+ψ= και χ-ψ= τέμνονται. 5. Οι ευθείες ψ=-κ/3χ+ και ψ=-λχ+ είναι παράλληλες. Τότε ισχύει κ=3λ. 6. Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, έχουν εξισώσεις ψ = χ, ψ = - χ και τέμνονται κάθετα. 7. Τα σημεία Α(-,-), Β(,4), Γ(-4,) είναι συνευθειακά. 8. Τα σημεία Α(α+β,γ), Β(β+γ,α), Γ(γ+α,β) είναι συνευθειακά με Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (,) και είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ=-3χ+4, έχει εξίσωση : ψ-=-3(χ-). 0. Η ευθεία ΑΒ με Α(,-4) και Β(-,-5) είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ=/χ+3.. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (,) και σχηματίζει με τον χ χ γωνία ίση με 35 ο, είναι η χ+ψ=0.. Η ευθεία ψ-3χ+4=0, τέμνει τον χ χ στο σημείο (4/3,0). 3. Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωσή της είναι Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον χ χ, είναι 0 ο. 5. Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 με Α 0, είναι πάντα ευθεία. 6. Αν Α Β, τότε η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0, είναι πάντα ευθεία. 7. Στην ευθεία με εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Ισχύει Β=0. 8. Κάθε εξίσωση ευθείας γράφεται στη μορφή Αχ+Βψ=0. 9. Δύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσματα (Α,Β) και τους κάθετες. (-Β,Α) αντίστοιχα, είναι μεταξύ 0. Μία ευθεία κάθετη στο διάνυσμα (Α,Β) με Β 0, έχει εξίσωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ=0.. Η ευθεία, 0, σχηματίζει πάντα αμβλεία γωνία με τον άξονα χ χ.. Η ευθεία χ+λ(χ-ψ)-λ=0 τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας χοψ, για κάθε τιμή του λ. 3. Οι ευθείες ψ=χ+, ψ=χ-, χ+ψ+=0 και χ+ψ+=0, τεμνόμενες ορίζουν ορθογώνιο παρ/μο. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 8

29 Εξίσωση ευθείας 4. Η απόσταση των ευθειών :, : δίδεται από τον τύπο d,. 5. Οι ευθείες χ-3ψ= και 4ψ+3χ+9=0, έχουν κοινό σημείο το (-,3). 6. Η εξίσωση χψ = χ παριστάνει μία μόνο ευθεία του επιπέδου. 7. Το σημείο Α(ημθ,0) με θ=π/7 ανήκει στην ευθεία χ+κψ=3. 8. Η εξίσωση, παριστάνει οικογένεια ευθειών, παράλληλων με την ευθεία ψ=χ. 9. Ορίζεται τρίγωνο με πλευρές, που έχουν εξισώσεις: 3χ-ψ=4, ψ=-5χ-4, ψ=3χ Η συμμετρική της ευθείας ψ=3χ ως προς άξονα χ χ, έχει εξίσωση ψ=3χ Η εξίσωση του ύψους ΓΔ τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές Α(5,) Β(6,3) και Γ(,) είναι: ψ-=-/(χ-). 3. Το εμβαδόν του τριγώνου, που ορίζεται από την ευθεία χ+5ψ=0 και τους άξονες, είναι 5τ.μ. 33. Όλες οι ευθείες της οικογένειας: (χ+ψ+)+λ(3χ-ψ-4)=0 περνούν από το σημείο (,). 34. Το σύστημα των εξισώσεων δύο παράλληλων ευθειών, είναι αδύνατο. 35. Η εξίσωση της ευθείας Αχ+Βψ+Γ=0, μπορεί να γραφεί στη μορφή 0, όπου,,,. 36. Τα σημεία Α(,) Β(-,) και Γ(,-) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 37. Οι ευθείες 0, 0 είναι κάθετες. Ισχύει. παριστάνει ευθεία για κάθε. 38. Η εξίσωση Άλκης Τζελέπης Σελίδα 9

30 ΙΙ. Ερωτήσεις «ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ» Εξίσωση ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον ψ ψ, ισούται με : Α. Β. Γ. 0 Δ. εφ(π/4) Ε. δεν ορίζεται. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας, που διέρχεται από τα σημεία,, πάντα, όταν :, Α. Β., Γ., Δ., Ε., ορίζεται 3. Στο σχήμα η εξίσωση της ευθείας ΟΑ, είναι 3. Η γωνία φ ισούται με : ψ Α φ Α. π/6 Β. π/3 Γ. π/4 Δ. π/ Ε. 3π/4 Ο Β x 4. Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 παριστάνει πάντα ευθεία με : Α. Α=0 και Β=0 Β. Α=0 ή 0 Γ. 0 Δ. 0 Ε Το κοινό σημείο του άξονα χ χ και της ευθείας ΑΒ με Α(0,4) και Β(,5) είναι : Α. (4,0) Β. (0.0) Γ. (5,0) Δ. (-4,0) Ε. (0,-3) 6. Η ευθεία ψ=λχ+3 : Α. είναι κάθετη στον χ χ για κάποια τιμή του λ Β. είναι κάθετη στον ψ ψ για κάποια τιμή του λ Γ. για 0 περνάει από το σημείο,5 Δ. περνάει από την αρχή των αξόνων Ε. για λ= είναι κάθετη στη ευθεία ψ=χ 7. Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα ψ ψ αμβλεία γωνία, είναι : Α. Β. ψ= Γ. ψ=3χ+ Δ., με λ<0 Ε. κάθετη στην χ-3ψ+=0 8. Οι ευθείες χ+ψ+=0 και χ+λψ-=0 : Α. τέμνονται για κάθε λ Β. είναι και οι δύο κάθετες στην ψ=χ Γ. είναι κάθετες για λ=- Δ. είναι παράλληλες για λ= Ε. τέμνονται στο σημείο (-,0) για λ= Άλκης Τζελέπης Σελίδα 30

31 Εξίσωση ευθείας 9. Έστω ε: Αχ+Βψ+Γ=0 ( με 0 ή 0 ), τότε: Α. το διάνυσμα, Β. το διάνυσμα, Γ. το διάνυσμα, Δ. το διάνυσμα, Ε. το διάνυσμα, είναι κάθετο στην ε. είναι παράλληλο στην ε. είναι παράλληλο στην ε. είναι παράλληλο στην ε. είναι κάθετο στην ε. 0. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (-,5) και είναι κάθετη στην ευθεία ψ=/3χ-7, έχει εξίσωση: Α. ψ=-3χ+7 Β. ψ+=-3(χ-5) Γ. ψ-5=-3(χ+) Δ. ψ-5=3(χ+) Ε. ψ+=3(χ+5). Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες χ χ, ψ ψ στα Α(α,0), Β(0,β) αντίστοιχα με α=β, τότε: Α. η (ε) σχηματίζει γωνία 60 ο με τον χ χ Β. η (ε) σχηματίζει γωνία 90 ο με τον χ χ Γ. η (ε) σχηματίζει οξεία γωνία με τον χ χ Δ. η (ε) σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον χ χ Ε. ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι ½. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση: ψ (ε) 3 3 Α. Β. Γ Δ. ψ=/χ+ Ε. ψ=/χ- O - 60 ο x x 3. Αν το σημείο (3,κ) ανήκει στην (ε):, τότε: 3 Α. κ=0 Β. κ= Γ. κ=3 Δ. κ=5 Ε. κ= 4. Στο καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση παριστάνει: Α. μια ευθεία κάθετη στον χ χ Β. τη διχοτόμο της γωνίας χοψ Γ. τη διχοτόμο της γωνίας ψοχ Δ. τις διχοτόμους των γωνιών χοψ και ψοχ Ε. μια ευθεία κάθετη στον ψ ψ Άλκης Τζελέπης Σελίδα 3

32 Εξίσωση ευθείας 5. Αν Α(,3) και Β(5,3), το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ, ως προς τον άξονα χ χ, είναι το: Α. (,3) Β. (,-3) Γ. (3,-3) Δ. (-3,3) Ε. (-3,-3) 6. Δίδεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(0,0), Β(3,), Γ(5,3) και Δ(κ,κ). Η τιμή του κ, είναι: Α. 3 Β. Γ. Δ. Ε Τα σημεία Α(α,α+), Β(α+,α+) και Γ(α+,α+3), είναι: Α. συνευθειακά Β. κορυφές ορθογωνίου τριγώνου Γ. κορυφές ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου Δ. κορυφές ισοπλεύρου και ορθογωνίου τριγώνου Ε. κορυφές ισοσκελούς και οξυγωνίου τριγώνου 8. Οι ευθείες χ-3ψ+4=0 και 3ψ-χ+=0, είναι: Α. συμμετρικές ως προς τον άξονα χ χ Β. συμμετρικές ως προς τον άξονα ψ ψ Γ. συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων 9. Για την ευθεία (ε): (λ-)χ+(3-λ)ψ-(λ-)=0 ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Τότε ισχύει: Α. λ=3 Β. λ Γ. λ= Δ. λ 3 Ε. λ Άλκης Τζελέπης Σελίδα 3

33 Εξίσωση ευθείας ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-,), Β(3,-) και Γ(,4). Να βρεθούν: α) οι εξισώσεις των πλευρών του β) οι εξισώσεις δύο υψών του γ) οι εξισώσεις δύο διαμέσων του δ) οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του ε) οι συντεταγμένες του ορθόκεντρου, του βαρύκεντρου, του έγκεντρου και του περίκεντρου.. Θεωρούμε τα σημεία του επίπεδου Α(κσυνφ, λημφ), Β(κημφ, -λσυνφ) και Γ(κ, λ), όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί και 0 < φ < π. Βρείτε για ποιες τιμές του φ τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 3. Τα σημεία Κ(, ), Λ(, ) και Μ(3, -) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές ενός παραλληλόγραμμου. Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του β) τις συντεταγμένες του κέντρου του γ) το εμβαδόν του 4. Μία κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των ευθειών με εξισώσεις x-3ψ+0=0 και 3x+5ψ-7=0 και η μία διαγώνιος του βρίσκεται επί της ευθείας x+7ψ-6=0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου, καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του. 5. Να βρείτε τις εξισώσεις ευθειών, που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: x-3ψ-=0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού ίσο με τ.μ. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-8, ), Β(7, 4) και ορθόκεντρο Η(5, ). Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ γ) τις εξισώσεις των πλευρών του 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, ) και εξισώσεις δύο διαμέσων του τις x-3ψ+=0 και ψ-=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του. 8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: α) ε: 3x-ψ+=0 και ζ: -6x+ψ-3=0 β) ε: x = 4 και x+6=0 γ) ε: ψ = x και ψ = x-3 9. Δίνονται οι ευθείες ε: (μ+) x + (μ+) ψ = 0 και ζ: μ x (3μ+) ψ + 7 = 0. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, ώστε η γωνία των δύο ευθειών να είναι 90 ο Άλκης Τζελέπης Σελίδα 33

34 Εξίσωση ευθείας 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(ημω, συνω) και Β( ημφ, συνφ), Να βρείτε επιπλέον την απόσταση του σημείου Ο(0, 0) από αυτήν.. Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(6, 4) και Γ(9/, 6). α) να δείξετε ότι β) να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογώνιου ΑΒΓΔ γ) να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνονται τα σημεία Α(λ, 0), Β(λ, 3λ), λ. Αν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α τέμνει την ευθεία x = λ στο Γ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 3. Δίνονται οι ευθείες ε: x-3ψ+=0, ζ: -x+4ψ+3=0 και το σημείο Α(, -). Να βρείτε σημείο Μ της ζ, ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην ε. 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Στη συνέχεια να βρείτε τη σχετική θέση αυτών των ευθειών. 5. Δίνονται τα σημεία Α(4, ), Β(3, -) και η ευθεία ε: ψ = -3x. Να βρείτε σημείο Γ της ευθείας, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β. 6. Δίνεται η ευθεία ε: x + ψ =. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ(, 3) ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ε. 7. Να εξετάσετε αν η ευθεία λx + λψ + 5λ = 3ψ x + 7 διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε πραγματικό αριθμό λ. 8. Δίνονται τα σημεία Α(, 4) και Β(-, -5). α) να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ β) να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του γ) να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης του ΑΒ δ) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στο ΑΒ ε) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου, που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία Α, Β. 9. Θεωρούμε τις ευθείες και Να δείξετε ότι: α) η είναι συμμετρική της, ως προς άξονα συμμετρίας τον χ χ β) η είναι συμμετρική της, ως προς άξονα συμμετρίας τον ψ ψ γ) η είναι συμμετρική της, ως προς κέντρο συμμετρίας το Ο(0, 0) 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία, η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 34

35 . Θεωρούμε την εξίσωση Για ποιές τιμές του λ παριστάνει ευθεία; Εξίσωση ευθείας. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο σημείων Μ του επιπέδου, με 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(, κ), Β(κ, κ) και Γ(κ, κ), όπου κ πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου βάρους του τριγώνου. 4. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες με εξισώσεις 3x ψ + 4 = 0 και 3x ψ + 6 = 0 5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Στη συνέχεια να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο ευθειών. 6. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων τα τετράγωνα των αποστάσεών τους από τα σημεία Α(3, ) και Β(, ) έχουν σταθερή διαφορά κ, είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ. 7. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση x + 998ψ = 4 ανήκει στην οικογένεια ευθειών με εξίσωση 8. Μία φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Α(, 3) και προσπίπτουσα στην ευθεία με εξίσωση x + ψ + = 0, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλώμενης ακτίνας. 9. Ένα σημείο Ρ του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία ψ = x. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο του Ρ ως προς την ευθεία x + ψ = 0, κινείται πάνω στην ευθεία 7 x ψ = Οι συντεταγμένες δύο πλοίων είναι σε κάθε χρονική στιγμή στιγμή t > 0. α) Να βρεθούν οι πορείες των δύο πλοίων β) Να βρεθεί αν υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία θα συναντηθούν τα δύο πλοία γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = 3 3. Η πορεία δύο κινητών που κινούνται ευθύγραμμα με αφετηρία τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, φαίνεται στο διπλανό σχήμα: α) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σημείων Α και Β β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Γ γ) Να βρεθεί η απόσταση του Β από την ευθεία στην οποία κινείται το άλλο κινητό δ) Να εξετασθεί αν τέμνονται οι διευθύνσεις των δύο κινητών Β(-5,). 60 ο Γ ψ Ο. Α(-3,-) x Άλκης Τζελέπης Σελίδα 35

36 Εξίσωση ευθείας 3. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων, η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο Α(, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο. α) Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του Α; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι, όταν η πορεία του είναι ευθύγραμμη γ) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 33. Μια τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει τρεις εισόδους, μία σε κάθε κορυφή. Ο αρχηγός της κατασκήνωσης (του οποίου η σκηνή βρίσκεται στο εσωτερικό της κατασκήνωσης) θέλοντας να υπολογίσει το εμβαδόν της κατασκήνωσης, στέλνει τρεις κατασκηνωτές να μετρήσουν τις αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του. Ο πρώτος προχωρά km βόρεια και στη συνέχεια km ανατολικά, όπου συναντά την πρώτη είσοδο. Ο δεύτερος προχωρά 3km ανατολικά και km νότια και εκεί συναντά τη δεύτερη είσοδο. Ο τρίτος προχωρά km δυτικά και συναντά την τρίτη είσοδο. α) Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες των τριών εισόδων σε αυτό το σύστημα β) Να βρείτε το εμβαδόν της κατασκήνωσης 34. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxψ ένα πλοιάριο ξεκινά από ένα λιμάνι Α και κατευθύνεται προς το λιμάνι Ο. Το ραντάρ θέσης για κάθε χρονική στιγμή t, δίνει τις εξής συντεταγμένες για το πλοιάριο: α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; β) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο λιμάνια; γ) Είναι σωστή η πορεία του πλοιαρίου; Ποιά είναι η εξίσωσή της; 35. Σε ένα εργοστάσιο ο νέος διευθυντής ζήτησε να ενημερωθεί για την οικονομική πορεία της επιχείρησης από το έτος ίδρυσής της. Ο υπεύθυνος των οικονομικών του παράδωσε το παρακάτω σχεδιάγραμμα: ψ η ευθεία των εσόδων η ευθεία των εξόδων Οx: ο άξονας των ετών λειτουργίας Οψ: ο άξονας των εκατοντάδων χιλιάδων ευρώ 3 Ο 4 x α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και β) Να βρείτε πόσα έτη μετά την έναρξη της λειτουργίας της, η επιχείρηση αρχίζει να έχει κέρδη γ) Να βρείτε τα κέρδη της επιχείρησης το τέταρτο έτος της λειτουργίας της δ) Πότε η επιχείρηση θα παρουσιάσει κέρδη 300 χιλιάδες ευρώ; Άλκης Τζελέπης Σελίδα 36

37 Εξίσωση ευθείας 36. Να βρείτε εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(, 3) και τα σημεία Β(3, ) και Γ(, ) ισαπέχουν από αυτήν. 37. Να βρείτε εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Γ(, ) και σχηματίζει με την ευθεία x + ψ + = 0 γωνία 45 ο 38. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(, ) ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Β(, ) και Γ( 3, 5). 39. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία είναι συμμετρική της ε: x + ψ = 0 ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ζ: x ψ + = Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ, ώστε οι ευθείες με εξισώσεις ε: x +μψ + = 0, ζ: x + ψ +μ = 0 και η: μx + ψ + = 0 να διέρχονται από το ίδιο σημείο. 4. Μια ακτίνα φωτός ακολουθεί την πορεία της ευθείας ε: x ψ + 5 = 0 και ανακλάται πάνω στην ευθεία η: 3x ψ +7 = 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας την οποία ακολουθεί η ευθεία μετά την ανάκλαση. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β(-4, -5) και οι ε: 5x + 3ψ 4 = 0, ζ: 3x +8ψ + 3 = 0 είναι οι εξισώσεις δύο υψών του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των υπόλοιπων κορυφών του και τις εξισώσεις των πλευρών του. 43. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου, το οποίο έχει το Β(, -6) κορυφή και οι x = 0, x +7ψ 9 = 0 είναι αντίστοιχα οι εξισώσεις ενός ύψους και μιας διχοτόμου από την ίδια κορυφή. 44. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(3, 0) και ορίζει με τις ευθείες ε: x ψ = 0 και ζ: x + ψ = 3 = 0 ευθύγραμμο τμήμα που έχει μέσον το Ρ. 45. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(, -), Β(, 3) και εμβαδόν ίσο με 8. Να βρείτε τις συντεταγμένες της τρίτης κορυφής Γ, αν αυτή ανήκει σε ευθεία με εξίσωση x +ψ = Τα σημεία Α(-, 3) και Γ(6, ) είναι απέναντι κορυφές τετραγώνου. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών. 47. Το σημείο Ε(, -) είναι το κέντρο παραλληλόγραμμου, του οποίου η μία πλευρά ανήκει στην ευθεία ε: x ψ + = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των υπόλοιπων πλευρών του. 48. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(4, -), οι x = 0 και x ψ = 0 είναι οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. 49. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η μία κορυφή έχει συντεταγμένες (, 3) και οι x ψ + = 0, ψ = 0 είναι οι εξισώσεις δύο διαμέσων του. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 50. Να βρείτε εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τις ευθείες ε: x ψ + = 0 και ζ: x +ψ + 9 = 0 ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το σημείο τομής των ε, ζ. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 37

38 Εξίσωση ευθείας 5. Δίνονται τα σημεία Α(α, 0), Β(0, β), Γ(-α, 0), Δ(0, -β). Αν Μ είναι σημείο της ΑΒ με τετμημένη x και Ρ σημείο της ΒΓ με τετμημένη x, να αποδειχθεί ότι η διεύθυνση της ευθείας ΡΜ είναι ανεξάρτητη του x. Αν Ν είναι σημείο της ευθείας ΑΔ με τετμημένη x, να αποδειχθεί ότι η ΝΡ διέρχεται από σημείο ανεξάρτητο του x. 5. Δίνονται τα σημεία Α(-4, 0) και Β(0, 6). Από το μέσο του ΑΒ διέρχεται μία ευθεία (ε) η οποία τέμνει τον άξονα χ χ στο Κ και τον ψ ψ στο Λ. Να βρεθεί η εξίσωση της (ε) αν (ΟΚ) = (ΟΛ). 53. Να βρεθεί εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και μαζί με τις ευθείες ζ: x + ψ = α και η: x = 0 σχηματίζει τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 54. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη στην ζ: x +3ψ + = 0 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού ίσου με Οι εξισώσεις δύο διαδοχικών πλευρών ρόμβου είναι ψ = x + 4 και 3ψ = x. Αν το σημείο Α(4, 6) είναι μία κορυφή του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 56. Μία πλευρά ρόμβου βρίσκεται στην ευθεία ε: 5x + 7ψ = και μία κορυφή του στο Α(3, -). Αν μία διαγώνιος του βρίσκεται στην ευθεία ζ: x + = 3ψ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. 57. Να βρεθούν οι εξισώσεις ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(, 7) και η απόστασή τους από το σημείο Β(, ) είναι ίση με Δίνονται οι ευθείες α) Να υπολογίσετε την τιμή του λ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες β) Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε οι παράλληλες ευθείες να έχουν απόσταση ίση με 59. Θεωρούμε τα σημεία Α(0, ), Β(-, ) και Γ(, ). Να βρεθεί ένα σημείο Μ, ώστε τα τρίγωνα ΜΟΑ και ΜΒΓ να είναι ισοσκελή με κορυφή το σημείο Μ. 60. Θεωρούμε τις ευθείες Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν τρίγωνο, του οποίου το ορθόκεντρο ανήκει σε σταθερή ευθεία. 6. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(6,6), Β(-3, 0) και Γ(3μ-, μ+3). α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ β) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό. 6. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων αν γνωρίζουμε ότι η ευθεία διέρχεται από το κοινό σημείο των ευθειών ζ: x + ψ = 0 και η: x ψ + 4 = 0. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 38

39 B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

40 Κωνικές τομές ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Α. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Ο κύκλος (χ-α) +(ψ-β) =α ι) εφάπτεται στον χ χ, ιι) εφάπτεται στον ψ ψ, ιιι) διέρχεται από το Α(α,0), ιv) διέρχεται από το Β(0,β).. Οι κύκλοι C : (χ-) +ψ =, C : χ +(ψ-) =4 i) εφάπτονται εσωτερικά, ii) εφάπτονται εξωτερικά, iii) τέμνονται, iv) δεν έχουν κοινά σημεία. 3. Δίνονται οι κύκλοι C : (χ-) + (ψ-) =9, C : (χ+) + (ψ+) =9. Το σημείο Α(,0) είναι: i) εσωτερικό και των δύο κύκλων, ii) εξωτερικό και των δύο κύκλων, iii) εσωτερικό του ενός και εξωτερικό του άλλου, iv) τίποτα από αυτά. 4. Η ευθεία ε: ψ = χ- και ο κύκλος C: χ + ψ = 4 i) εφάπτονται, ii) τέμνονται, iii) δεν έχουν κοινά σημεία. 5. Ο κύκλος με παραμετρικές εξισώσεις χ = 3συνφ, ψ = 3ημφ, φ[ 0,π ) και η ευθεία (ε): ψ = χ 3, i) εφάπτονται, ii) τέμνονται, iii) δεν έχουν κοινά σημεία. 6. Ο κύκλος χ + ψ = 9 και η έλλειψη x y 5 9 i) εφάπτονται, ii) τέμνονται, iii) δεν έχουν κοινά σημεία. x 7. Η Β(0,β) είναι μία κορυφή της έλλειψης C: και Ε, Ε οι εστίες της. Στο τρίγωνο ΒΕ Ε είναι: i) ΒΕ > β, ii) ΒΕ = α, iii) ΒΟ = α γ 8. Στη διπλανή παραβολή C: ψ pχ, με εστία το Ε και διευθετούσα την ευθεία (δ), είναι : i) ΑΒ = p, ii) AB >p, iii) AB = p. 9. Στην παραβολή ψ px, το σημείο Μ( p/, p) βρίσκεται: i) στο εσωτερικό της, ii) στο εξωτερικό της, iii) πάνω σε αυτήν. 0. Δίνεται ο κύκλος με παραμετρικές εξισώσεις: χ=3συνφ, ψ=3ημφ φ[ 0,π). Το σημείο Α(,5) είναι : ι) εσωτερικό του κύκλου, ιι) εξωτερικό του κύκλου, ιιι) σημείο του κύκλου.. Ο κύκλος (χ-α) + (ψ-β) = ρ, ρ > 0, εφάπτεται στους δύο άξονες συντεταγμένων. Είναι τότε: i) α = β = ρ, ii) α = β = 0, iii) Άλκης Τζελέπης Σελίδα 40

41 Κωνικές τομές. Ο κύκλος (χ-α) ( ψ-β) ρ, ρ > 0 διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Είναι τότε : i) α +β ρ, ii) α = β= 0, iii) α = β = ρ B. Να ελέγξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες ψευδείς:. Ο κύκλος χ +(ψ-) = 9 έχει το κέντρο του στον άξονα χ χ. Η έλλειψη x y έχει τις εστίες στον άξονα χ χ Η υπερβολή y x 9 6 έχει τις κορυφές της στον άξονα ψ ψ. 4. Η παραβολή χ =py έχει τη διευθετούσα της κάθετη στον άξονα χ χ. 5. Το σημείο Μ(,) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (χ-) +(ψ+3) =4. 6. H έλλειψη x y 5 9 και η υπερβολή x y 9 7 έχουν ίδιες εστίες. Γ. Να απαντήσετε στις ερωτήσεις:. Είναι δυνατόν από το σημείο Α(,) να αχθεί εφαπτομένη προς τον κύκλο (χ-) +(ψ-3) =6;. Να βρεθεί το κέντρο του κύκλου, που περνά από τα σημεία Ο(0,0), Α(0,α) και Β(β,0) όπου α > 0, β > 0 3. Θεωρούμε τα σημεία Μ(α, α), Κ(α, -α), Λ(-α, -α), Ν(-α, α), με 0.Τα σημεία αυτά: Ι) ανήκουν στον ίδιο κύκλο, ΙΙ) είναι κορυφές τετραγώνου, ΙΙΙ) είναι κορυφές ορθογωνίου. 4. Θεωρούμε τον κύκλο χ +ψ =. Τι παριστάνει η εξίσωση χ+ψ= ; 5. Η σχέση (χ-α) +(ψ-β) p παριστάνει: Ι) κύκλο, ΙΙ) εξωτερικό κύκλου και κύκλο, αν 0 εξωτερικό κύκλου, αν 0, ΙV) είναι αδύνατη, αν ρ=0. 6. Ο κύκλος (χ-α) +(ψ-β) = β, α β, εφάπτεται: Ι) στον ψ ψ, ΙΙ) στην ευθεία ψ = χ, ΙΙΙ) στον χ χ. 7. Οι εξισώσεις χ = α + ρσυνθ, ψ = β +ρημθ, με θ[0,π] παριστάνουν: Ι) ευθεία, ΙΙ) κύκλο, ΙΙΙ) ζεύγος ευθειών., ΙΙΙ) Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4

42 Κωνικές τομές 8. Πως θα βρούμε την εξίσωση του κύκλου που περνά : α) από ένα σημείο β) από δύο σημεία που δεν είναι αντιδιαμετρικά γ) από τρία σημεία 9. Πως συνδέονται οι ευθείες (ε): χ+ψ=5, (ε ): χ-ψ=5, με τον κύκλο χ +ψ =5 ; 0. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(+3συνθ, 5+3ημθ), όπου θ μεταβλητή γωνία, είναι: Ι) ευθεία, ΙΙ) κύκλος, ΙΙΙ) τόξο κύκλου.. Είναι σωστός ή λάθος ο ισχυρισμός ότι η εξίσωση της παραβολής ψ = px, με p > 0 αποτελεί συνάρτηση ;. Ομοίως για την χ =py ; 3. Είναι σωστός ή λάθος ο ισχυρισμός ότι αν η εστία της παραβολής Ε έχει συντεταγμένες (0,p/), τότε είναι ψ 0 ; 4. Αν p είναι η παράμετρος της παραβολής, τότε ο p παριστάνει : Ι) την απόσταση της εστίας από την κορυφή ΙΙ) την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα ΙΙΙ) την τετμημένη της εστίας. 5. Αν ρ είναι η παράμετρος της παραβολής, τότε η διευθετούσα έχει εξίσωση : Ι) ψ = -ρ/, ΙΙ) χ = -ρ/. 6. Δίνεται η παραβολή ψ =ρχ, (ρ>0) και το σημείο Α(,). Τότε : Ι) το σημείο Α ανήκει στην παραβολή, ΙΙ) το σημείο Α δεν ανήκει στην παραβολή, ΙΙΙ) το σημείο Α ανήκει στην παραβολή, μόνο αν ρ=. 7. Μία παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ χ και ρ = / έχει εξίσωση: Ι) ψ = χ, ΙΙ) χ =8ψ, ΙΙΙ) ψ =/ χ. 8. Μία παραβολή που έχει άξονα συμμετρίας τον χ χ και περνά από το σημείο Α(-,3) έχει εξίσωση : Ι) χ =-9/ψ, ΙΙ) ψ =-9/χ, ΙΙΙ) ψ =9χ. 9. Είναι σωστό ή λάθος ότι για την εξίσωση της παραβολής ψ =ρχ, με ρ>0 ισχύουν: Ι) x 0, y ΙΙ) y 0, x ΙΙΙ) χ < 0, ψ > 0 0. Είναι σωστό ή λάθος ότι αν το σημείο Μ(α,β) ανήκει στην παραβολή ψ =ρχ, τότε το σημείο Μ (α,-β) ανήκει στην παραβολή ;. Θεωρούμε την παραβολή ψ =ρχ, ρ > 0. Θεωρούμε και τα σημεία της Α(6ρ, ρ ), Β(6ρ, - ρ ). Τότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι: Ι) ορθογώνιο, ΙΙ) ισοσκελές, ΙΙΙ) ισόπλευρο. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4

43 Κωνικές τομές. Αν μία παραβολή έχει κορυφή Ο(0,0) και διευθετούσα την ευθεία χ+4=0, τότε η εξίσωσή της είναι : Ι) ψ = 8χ, ΙΙ) χ = 8ψ, ΙΙΙ) ψ = -8χ. 3. Ποιες συναρτήσεις προκύπτουν από την εξίσωση της έλλειψης ; 4. Αν το σημείο Μ(,) της έλλειψης έχει την ιδιότητα (ΜΕ ) + (ΜΕ) =8, όπου Ε, Ε οι εστίες της, τότε είναι: ι) α = 4, β= ιι) α =, β = 3 ιιι) τα α, β δεν υπολογίζονται Η έλλειψη με α β περιέχεται: ι) σε ρόμβο, ιι) σε τετράγωνο, ιιι) σε ορθογώνιο. x y 6. Είναι σωστό ή λάθος ότι η εξίσωση: παριστάνει έλλειψη ; ( 5) 3 7. Η υπερβολή δεν έχει κέντρο συμμετρίας. Σωστό ή λάθος ; 8. Η υπερβολή τέμνει τον άξονα ψ ψ. Σωστό ή λάθος ; x y 9. Η ευθεία βχ-αψ=0 και η υπερβολή έχουν κοινά σημεία. Σωστό ή λάθος ; 30. Η έλλειψη x y 4 και η υπερβολή x y έχουν τις ίδιες εστίες. Σωστό ή λάθος; Τι μπορεί να σημαίνει μία ισότητα της μορφής α > 0, β> 0; Άλκης Τζελέπης Σελίδα 43

44 Κωνικές τομές ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που έχει κέντρο Κ(,-) και κόβει από την ευθεία 3χ-4ψ=-0 χορδή μήκους 6.. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(,-6), Β(,7) και το κέντρο του είναι σημείο της ευθείας 3χ+ψ=0. 3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που τέμνει την ευθεία χ-ψ+6=0 στα σημεία Α(,0), Β(-,) και την ευθεία χ+ψ=8 στα Γ(,7) και Δ(-3,). 4. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3,), Β(7,6) και εφάπτεται στον άξονα χ χ. 5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου χ y 9, η οποία : Ι) Είναι παράλληλη στην ευθεία ψ=χ-. ΙΙ) Είναι κάθετη στην ευθεία ψ= -/3χ+. ΙΙΙ) Διέρχεται από το σημείο Α(,4). 6. Δίνεται ο κύκλος κ: χ y x 6y 6 0. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε: 3χ-4ψ+5=0. 7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται της ευθείας ε: χ-ψ+4=0 στο σημείο Α(3,0) και διέρχεται από το Β(7,). 8. Δίνεται η εξίσωση : 9 x y 4 x y / 0,. Ι) Να δείξετε ότι για κάθε παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΙΙ) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία βρίσκονται τα κέντρα των κύκλων για κάθε ΙΙΙ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. 9. Δίνεται η εξίσωση χ +ψ -4αχ+0βψ+4α +6β =0, () με β 0. Ι) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο. ΙΙ) Να δείξετε ότι το σημείο Α(, ) ανήκει στον κύκλο. ΙΙΙ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του αντιδιαμετρικού του Α. 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση (χ-α)(χ-β) + (ψ-γ)(ψ-δ) = 0 παριστάνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α(α, γ), Β(β, γ), Γ(β, δ), Δ(α, δ) και ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι διάμετροι του κύκλου. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 44

45 Κωνικές τομές. Δίνονται δύο κύκλοι που διέρχονται από το σημείο Α(4,) έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία χ-ψ=0 και εφάπτονται στον άξονα χ χ. Να βρείτε: ι) Τις εξισώσεις τους ιι) Την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτομένης τους.. Δίνεται ο κύκλος κ: x y 5 και το σημείο Α(3,). Να βρείτε : Ι) Τη θέση του σημείου Α ως προς τον κύκλο. ΙΙ) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων από το Α προς τον κύκλο. ΙΙΙ) Τη γωνία των εφαπτομένων. 3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες ε: χ-3ψ+6=0, ε : -4χ+6ψ+4=0 και το ένα από τα σημεία επαφής είναι το Α(3,4). 4. Δίνεται ο κύκλος x y 6 και το σημείο Α(,). Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το Α. 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο κ: x y είναι κάθετες. 6. Δίνεται ο κύκλος κ: x y 4x 6y 3 0 και η ευθεία ε: ψ=χ+. Ι) Να δείξετε ότι η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο. ΙΙ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου της χορδής που ορίζει η ευθεία στον κύκλο. 7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες ε: χ-ψ+4=0 και ε : χ-ψ-8=0 και διέρχεται από το σημείο Α(4,-). 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία Α(-,5), Β(4,-) είναι σταθερός και ίσος με Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου κ: x y, που διέρχονται από το σημείο Α(α, β) με. 0. Από το σημείο Μ(-3,-8) φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο κ: x y 8x y 8 0 και έστω Α, Β τα σημεία επαφής. Ι) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ΜΑ, ΜΒ. ΙΙ) Να βρείτε το μήκος των ΜΑ, ΜΒ. ΙΙΙ) Αν Κ το κέντρο του κύκλου, να δείξετε ότι η ΜΚ είναι μεσοκάθετη στο ΑΒ Άλκης Τζελέπης Σελίδα 45

46 Κωνικές τομές. Δίνεται ο κύκλος κ: x y, 0. Για τυχαίο σημείο Α(χ,ψ ) του κύκλου θεωρούμε το σημείο Β(χ 0), που αποτελεί την ορθή προβολή του Α στον χ χ, και στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο ώστε MB, 0 < β < α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του AB σημείου Μ όταν το Α γράφει τον κύκλο κ.. Δίνεται η εξίσωση κ: x y x y 0 () και η ευθεία ε: ψ = χ + 3 (). Ι) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο. ΙΙ) Να βρείτε τα,ώστε η ευθεία να τέμνει τον κύκλο κ. ΙΙΙ) Να εξετάσετε αν υπάρχει, ώστε η χορδή που ορίζεται από την τομή της ( ε ) και του ( κ ) να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο σημείων του επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερός και διαφορετικός της μονάδας. 3. Δίνεται η εξίσωση x y 6 y 4 0 (). Ι) Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο για κάθε. ΙΙ) Να δείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η () διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. ΙΙΙ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής αυτών των κύκλων. 4. Δύο κινητά αναχωρούν την ίδια στιγμή από ένα σημείο Κ(,-) ενός κύκλου, κινούνται δε επί του κύκλου με αντίθετη φορά. Αν οι ταχύτητές τους είναι αντίστοιχα 46m/sec και 3m/sec, να βρεθεί μετά πόσα λεπτά από την αναχώρησή τους θα συναντηθούν για πρώτη φορά. Δίνεται ότι ο κύκλος περνά από τα σημεία Λ(-,-3) και Μ(-,4). 5. Θεωρούμε ένα χάπι κυκλικής διατομής με εξίσωση x y 0. Με μία λαβίδα κρατάμε το χάπι. Αν η κορυφή της λαβίδας έχει συντεταγμένες (4,), να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα δύο σκέλη της λαβίδας. 6. Η πόλη Ρωμανία που κατασκευάζεται στη Θράκη θα έχει μία σύγχρονη ρυμοτομία. Συγκεκριμένα θα έχει 300 κάθετους και 00 οριζόντιους δρόμους. Στη διασταύρωση της 60ης με την 0η οδό έχει προγραμματιστεί να ανοίξει ένα σχολείο. Θέλουμε να ανοίξουμε ένα άλλο σχολείο σε απόσταση 00 και άνω μέτρων από το πρώτο. Ι) Να περιγραφεί η περιοχή που μπορούμε να αναζητήσουμε τη στέγη. ΙΙ) Η διασταύρωση της 65 ης με την 30 η οδό προσφέρεται; Άλκης Τζελέπης Σελίδα 46

47 Κωνικές τομές 7. Σε ένα δοκιμαστικό σωλήνα υπάρχουν μικροοργανισμοί, οι οποίοι με την προσθήκη ενός φαρμάκου ελαττώνονται συνεχώς. Έστω ψ ο αριθμός των μικροοργανισμών αυτών και χ ο χρόνος μείωσης του αριθμού αυτού σε ημέρες. Αν χ = α / συνφ, ψ = εφφ όπου α σταθερά και φ γωνία έτσι ώστε φ [0, π/) (π/, 3π/) (3π/, π], τότε: Ι) Να καθοριστεί η καμπύλη που διαγράφει το φαινόμενο. ΙΙ) Να προσδιοριστεί το α αν μετά 00 ημέρες οι μικροοργανισμοί είναι 0 0. ΙΙΙ) Να βρεθεί ο αριθμός των μικροοργανισμών 000 ημέρες μετά από την προηγούμενη παρατήρηση. 8. Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό n=,,3,,999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οχψ διαγράφοντας μία τροχιά με εξίσωση: (χ-) + ψ = n ( χ+ψ-). Να δειχθεί ότι: Ι) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του. ΙΙ) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α ( που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; ΙΙΙ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας χ+ψ-=0 στο σημείο Α. 9. Υποθέτουμε ότι σε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων Οχψ, στο σημείο Ο βρίσκεται ο πυρήνας ενός ατόμου και ότι τα ηλεκτρόνια διαγράφουν τροχιές, που καθορίζονται από τις εξής εξισώσεις : χ = n συνφ και ψ = n ημφ, όπου n =,,3, και φ (0, π). Ι) Να δειχθεί ότι τα ηλεκτρόνια διαγράφουν κύκλους, των οποίων να καθοριστούν το κέντρο και η ακτίνα. ΙΙ) Να δειχθεί ότι οι κύκλοι αυτοί δεν έχουν κοινό σημείο. ΙΙΙ) Να εξετασθεί αν ο κύκλος, που αντιστοιχεί στην τιμή n =0 τέμνει την ευθεία χ+ψ-=0. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 47

48 Κωνικές τομές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Α. Δίνονται τα διανύσματα,,0 με Ο την αρχή των αξόνων. Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο Α, που διέρχεται από το Β. Β. Δίνονται οι γραμμές με εξισώσεις : C : 0 C : 0 0,,. α) Να αποδείξετε ότι οι γραμμές είναι κύκλοι β) Να βρείτε τα κέντρα τους Κ, Λ και τις ακτίνες τους γ) Να αποδείξετε ότι τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β, τα οποία και να βρείτε δ) Να αποδείξετε ότι οι γωνίες είναι ορθές.. Α. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α (-α,0) και Β (α,0) και το μεταβλητό σημείο Μ (χ,ψ) του επιπέδου, τέτοιο ώστε. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το σημείο Α (, 0) και εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο με εξίσωση Α. Δίνεται η υπερβολή. Αν οι εφαπτόμενές της στις κορυφές Α και Α τέμνουν την 6 9 ασύμπτωτη με θετικό συντελεστή διεύθυνσης στα σημεία Γ, Γ : α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Γ β) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο Γ Γ γ) Να δείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης Β. Δίνονται οι κύκλοι με εξισώσεις : : 3 5 : 3 3 και η ευθεία με εξίσωση : :3 4 0, 0. α) Να βρείτε τις αποστάσεις των κέντρων των κύκλων από την ευθεία ως συνάρτηση του α β) Να βρείτε το α αν η ευθεία εφάπτεται του πρώτου κύκλου γ) Για την τιμή του α που βρήκατε, να εξετάσετε αν η ευθεία εφάπτεται στον δεύτερο κύκλο και στη συνέχεια βρείτε τη σχετική θέση των δύο κύκλων. 4. Δίνονται οι γραμμές με εξίσωση : : 879 0, α) Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό λ, οι γραμμές παριστάνουν κύκλους, οι οποίοι είναι όλοι ίσοι β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι εφάπτονται δύο ευθειών, των οποίων τις εξισώσεις να βρείτε. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 48

49 Κωνικές τομές 5. Δίνεται η έλλειψη c : ί :,. α) Να δείξετε ότι η ευθεία τέμνει πάντα την έλλειψη σε δύο σημεία β) Αν Κ, Λ τα κοινά σημεία της ε με την c, να βρείτε την εξίσωση της ε, όταν 90 ο. 6. Α. Θεωρούμε την παραβολή c: 5 και το σημείο Μ (,-3). α) Να δείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο της παραβολής β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει την παραβολή στα σημεία Α, Β και το Μ είναι το μέσο του ΑΒ. Β. Δίδεται η παραβολή 8. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής, οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία με εξίσωση ε: ψ = χ Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οχψ. Στο Ο έχουμε τοποθετήσει έναν προβολέα και στο σημείο Α (, ) ένα εμπόδιο. Φωτίζουμε το Α και το φως ανακλώμενο τέμνει τον άξονα χ χ στο Β και σχηματίζει με τον χ χ γωνία 35 ο. Να βρείτε: α) Το σημείο Β β) Το σημείο Μ της ΑΒ που δέχεται τον ισχυρότερο φωτισμό γ) Τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΟΜΒ. 8. Θεωρούμε τα σημεία Μ (λ, μ) και τις ευθείες : : 5 5 0, : 5 5 0,, Αν οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. 9. α) Δίνεται η εξίσωση , Για ποιο λ η () είναι εξίσωση κύκλου; β) Θεωρούμε την εξίσωση (). 0, (). 4 ι) Να δείξετε ότι για κάθε μ η () είναι εξίσωση κύκλου ιι) Οι κύκλοι με εξίσωση την () διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, από τα οποία το ένα είναι το κέντρο του κύκλου του α) ερωτήματος ιιι) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον χ χ η κοινή χορδή του β) ερωτήματος. 0. Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο Κ (-,0) που διέρχεται από το σημείο α) Να βρείτε: ι) Την εξίσωση του κύκλου ιι) Την εφαπτομένη ε του κύκλου στο Α. 3,. β) Αν η ε διέρχεται από την εστία της παραβολής, που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον θετικό ημιάξονα Οχ, τότε: ι) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής ιι) Αν η διευθετούσα της παραβολής τέμνει τον κύκλο στα σημεία Μ, Ν, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΝ. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 49