ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι (ΧΗΜ-048) ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ. 2. Κβαντομηχανική (Γενικές έννοιες ανασκόπηση)

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι ΧΗΜ-048 ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ. Κβαντομηχανική Γενικές έννοιες ανασκόπηση ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Βιβλιογραφία για µελέτη ΑΦΧ_Κεφ.7 8 ΑΦΧ_Κεφ.3 4 R_Κεφ. -6 ΗΒ_Κεφ. 4 TR_Κεφ ΜΚΤ_Κεφ.-3

2 Ανασκόπηση Κβαντικής Μηχανικής I. Τα 30χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική II. Αξιώµατα Κβαντικής Μηχανικής III. Η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση του Scrödiger IV. Αρχή αβεβαιότητας V. Συµβολισµός Dirac bra-ke VI. Παραδείγµατα λύσης εξίσωσης του Scrödiger - ελέυθερο σωµατίδιο - σωµατίδιο σε - 3-διάστατο φρεάτιο δυναµικού - µονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής - περιστροφή σε και 3 διαστάσεις στροφορµή ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

3 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική * Ανεπίλυταpuzzeτηςκλασσικήςφυσικήςστιςαρχέςτου0 ου αιώνα - Ακτινοβολία µέλανος σώµατος - Φωτοηλεκτρικό φαινόµενο - Φαινόµενο Copo - Θερµοχωρητικότητα στερεών - Φάσµατα ατόµων - Χρώµα ορυκτών - και άλλα ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑ * G. Gaow Te 30 ears a sook Psics Dover ed. * Σ. Τραχανάς Κβαντοµηχανική Ι ΠΕΚ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

4 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική Υπόθεση Pack900: Κβάντωση της ενέργειας του φωτός Nobe Φυσικής 98 ν : σταθερά του Pack Js Ακτινοβολία µέλανος σώµατος Κλασσική Φυσική : Ε οsc k B T Ν. Wie λ a T cos. Ν. Sefa-Boza : M σt 4 σ: W/ K 4 Ν. Raeig-Jeas Υπεριώδης καταστροφή d ρdλ P.W. Akis J. de Paua Psica Ceisr ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 p:// 4 ρ 8πk BT / λ Νόµος Pack ν ν osc ν / kt e 3 8πν 8πc ρ ν T ρ λ T 3 ν / kt 5 c / λkt c e λ e

5 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική isei905: υαδική φύση του φωτός. Nobe Φυσικής 9 Κλίση : ΦΩΣ:H/Mκύµα σωµατίδιοφωτόνιο ν p λ k - Ερµηνεία φωτοηλεκτρικού φαινοµένου e ν ϕ Φ : έργο εξαγωγής - Θερµοχωρητικότητα στερεών κβάντωση ενέργειας ύλης Θυ / T CV vib / T υ Θυ e Nk B Θυ T V T e ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

6 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική Το φάσµα εκποµπής του ατόµου του Υδρογόνου Η ' La series ' 3 Baer series ' 3 4 Pasce series ' 4 5 Bracke series ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

7 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική Ruerford: Πλανητικό µοντέλο ατόµου Κίνηση ηλεκτρονίων σε τροχιές γύρω από τον πυρήνα. Nies Bor 93-6: Οι ενεργειακές καταστάσεις των ατόµων είναι κβαντισµένες Κβάντωση της στροφορµής του ηλεκτρονίου Nobe Φυσικής 4 µ e 9 R H 8 ε o - Ερµηνεία φάσµατος εκποµπής υδρογόνου R ν H Ters p://obeprize.org/obe_prizes/iss/a/ Φασµατοσκ. όροι ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 T T

8 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική Louis de Brogie: Η ύλη έχει δυαδική µορφή. 94 Συµπεριφέρεται ως κύµα µε µήκος κύµατος λ και ως σωµατίδιοµεµάζακαιταχύτηταu. Νobe Φυσικής 99 ΥΛΗ:σωµατίδιο H/Mκύµα λ p υ : σταθερά του Pack Js Πείραµα Davisso-Gerer : Περίθλαση ηλεκτρονίων από κρύσταλλο Ni ev 35 Ǻ θ? ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

9 Το άρθρο των C. Davisso και L.H. Gerer ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

10 Ασκήσεις α Να παρασταθεί γραφικά Grap Origi ce η εξάρτηση της πυκνότητας ακτινοβολίας που εκπέµπεται από µέλαν σώµα ως συνάρτηση του µήκους κύµατος λ γιά Τ Α Α και 4Α Κ Α: ο αριθµός µητρώου σας. β Από το νόµο του Pack να εξαγάγετε το νόµο µετατόπισης του Wie και το νόµο Sefa-Boza. Το έργο εξαγωγής για τα στοιχεία Ni και Na είναι αντίστοιχα 50 και 3 ev. Ποιό έιναι το µέγιστο µήκος κύµατος φωτός το οποίο επαρκεί για την εξαγωγή ηλεκτρονίου από τα δύο αυτά στοιχεία ; Ποιά θα είναι η κινητική ενέργεια του ελεύθερου ηλεκτρονίου στις δύο περιπτώσεις αν χρησιµοποιηθεί ακτινοβολία µήκους κύµατος A/5 ; Α: ο αριθµός µητρώου σας. Ηλεκτρόνιο επιταχύνει σε ηλεκτρικό δυναµικό V 00 Vos. Ποιό είναι το µήκος κύµατος De Brogie του ηλεκτρονίου ; ΗΒ παρ.-3 λ 6 Ǻ Στο πείραµα Davisso-Gerer το οποίο επιβεβαίωσε την υπόθεση de Brogie ηλεκτρόνια επιταχυνόµενα σε δυναµικό V 54 Vos σκεδάζονται στην επιφάνεια κρυστάλλου Ni. Αν η απόσταση µεταξύ των ατόµων Ni είναι d 5 Ǻ να υπολογισθεί η γωνία κατά την οποία εµφανίζει µέγιστο η ης τάξης περίθλαση του «κύµατος» των ηλεκτρονίων. ΗΒ -8 θ 509 ο Υπόδειξη: Να αποδείξετε µε βάση απλό γεωµετρικό σχήµα τη συνθήκη περίθλασης Νόµος του Bragg. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

11 Τα 30 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική. Scrödiger96: Περιγραφή συστήµατος σωµατιδίων µε βάση την κυµατική εξίσωση κυµατοσωµατιδιακός δυϊσµός Νobe Φυσικής 933 ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ W. Heiseberg96: ΚBANΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Νobe Φυσικής 93 Χρονικώς εξαρτώµενη εξίσωση Scrödiger i z Ĥ z Doad Sadowa@ MIT ope uiversi ecures 5 6 p://ocw.i.edu/courses/aerias-sciece-ad-egieerig/3-09-iroducio-o-soid-sae-ceisrfa-004/video-ecures/ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

12 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Κυµατική εξίσωση Scrödiger Πλάτος κύµατος: υ si si k A T A ω λ π Εξίσωση κύµατος: Εστω κυµατοσυνάρτηση: cos ω ψ 0 0 ψ υ ω ψ υ De Brogie 4 4 λ p π λ π υ ω ω πυ ν υ V p 0 8 V ψ π ψ Χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση Scrödiger

13 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής. Συνάρτηση καταστάσεως ή ΚυµατοσυνάρτησηWavefucio Όλη η πληροφορία σχετικά µε την κατάσταση ενός φυσικού συστήµατος περιγράφεται πλήρως από την κυµατοσυνάρτηση: r r Η r είναι πεπερασµένη και συνεχής Η r είναι µονότιµη Η r έχει συνεχή η παράγωγο και «καλή» η παράγωγο. Αξίωµα του Bor Ερµηνεία της Κοπεγχάγης97 Εάν r είναι η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει κάποιο σωµατίδιο / κύµα τότε *rrdr είναι η πιθανότητα ότι την χρονική στιγµή σωµατίδιο βρίσκεται µεταξύ της θέσεως r και rdr. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

14 Παράδειγµα πυκνότητα πιθανότητας Έστω σωµατίδιο που περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση: Η πιθανότητα το σωµατίδιο να βρίσκεται στη θέση d είναι γενικά: Στιςθέσεις0και: / / e P P 0 π * a e π P 0.607P 0 Ηπιθανότητατοσωµατίδιοναβρίσκεταισεόλοτοχώροείναι:Ρ / * P d π Κανονικοποίηση κυµατοσυνάρτησης / e d ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

15 Παράδειγµα πιθανότητα P P P / / e * 0 Κατανοµή πιθανότητας Συνάρτηση Gauss π a e π 0.607P / 0 D.C. Harris M. D. Beroucci Ser ad Specroscop Dover 978 * P d π / e d ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

16 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής. ΤελεστέςOperaors Σε κάθε µετρήσιµη/παρατηρήσιµη φυσική ιδιότητα Α αντιστοιχεί ένας κβαντοµηχανικός τελεστής Â. Πειραµατική µέτρηση ισοδυναµεί µε δράση του τελεστή Â επί της κυµατοσυνάρτησης. Εξίσωση ιδιοτιµής : Â α : ιδιοσυνάρτηση α : ιδιοτιµή Για α є R Â : Ερµιτιανός τελεστής eriia Ερµιτιανός τελεστής * - Πραγµατικές ιδιοτιµές i jd - Πλήρες σύνολο ορθοκανονικών ιδιοσυναρτήσεων ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 * j d i 0

17 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Παράδειγµατα τελεστών ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f If idei I f Mf M f f f Df D ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z z i zp p V H r V i p z po ki r Επιλέγουµε τους τελεστές φυσικών µεγεθών κατ αντιστοιχία µε την κλασσική µηχανική - Θέση : πολλαπλασιασµός επί - Ορµή p : παράγωγος ως προς - τα υπόλοιπα µεγέθη ως συνάρτηση των και p

18 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής 3. Μέτρηση φυσικής ιδιότητας Μεµονωµένη µέτρηση φυσικής ιδιότητας συστήµατος η οποία αντιστοιχεί σε τελεστή Â έχει ως µόνο αποτέλεσµα µία ιδιοτιµή τουτελεστήσύµφωναµετηνεξίσωσηιδιοτιµής:âα π.χ. Μέτρηση ενέργειας στο άτοµο του Η Οι τιµές που λαµβάνονται ανήκουν στις ιδιοτιµές που προκύπτουν από τη λύση της εξ. Scrödiger. ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

19 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής 4. Μέσος όρος φυσικής ιδιότητας Αναµενόµενη τιµή τελεστή Η µέση τιµή πλήθος µεµονωµένων µετρήσεων σε ταυτόσηµες καταστάσεις παρατηρήσιµης ιδιότητας συστήµατος το οποίο περιγράφεται από δεδοµένη κυµατοσυνάρτηση ισούται µε την αναµενόµενη τιµή του αντίστοιχου τελεστή. A r r r * Â dr r r r * dr ιασπορά τυπική απόκλιση της µέσης τιµής A δa Α Α Α. Αν i ιδιοσυνάρτηση του Â τότε κάθε µέτρηση θα δώσει ως αποτέλεσµατηνιδιοτιµήα i Τότε προφανώς: <Α>α i καισ Α 0 σ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

20 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής 4. Μέσος όρος φυσικής ιδιότητας Αναµενόµενη τιµή τελεστή Β. Αν η δεν αποτελεί ιδιοσυνάρτηση του Â είναι εφικτό να εκφρασθεί ως γραµµικός συνδυασµός ιδιοσυναρτήσεων του τελεστήâ. Γενικα:Σc ι ι Μέτρηση Προβολή συστήµατος σε ιδιο-κατάσταση Mέτρηση του Α δηλαδή δράση του τελεστή Â επί της κυµατοσυνάρτησης παράγει µίαιδιοτιµή α i µε πιθανότητα c i Tο σύστηµα οδηγείται προβάλλεταιστην κατάσταση που περιγράφεται από την ιδιοσυνάρτηση i r r r * Â dr A r r r c i a i * dr i ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

21 Παράδειγµα αναµενόµενη τιµή θέσης Έστω σωµατίδιο που περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση: / / e π Να υπολογιστούν:. ηµέσητιµήτηςθέσηςτου. ηµέσητιµήτουτετραγώνουτηςθέσηςτου 3. η διασποράτυπική απόκλιση της µέσης τιµής της θέσης π π π π e e e... ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 / / e d d / / d d 0 σ δ...

22 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής 5. Χρονική εξέλιξη κυµατοσυνάρτησης Η χρονική εξέλιξη ενός συστήµατος περιγράφεται από την χρονικώς εξαρτώµενη εξίσωση του Scrödiger: V Ĥ i Εστω κυµατοσυνάρτηση η οποία αποτελεί στάσιµη κατάσταση του συστήµατος: ϕ ψ Ĥ i i e / ψ Όταν VV δηλ. ανεξάρτητο του χρόνου τότε είναι εφικτός ο διαχωρισµός µεταβλητών

23 Αξιώµατα της Κβαντικής Μηχανικής 6. Απαγορευτική αρχή του Paui Κυµατοσυναρτήσεις οι οποίες περιγράφουν πολυ-ηλεκτρονιακό σύστηµα είναι απαραίτητα αντι-συµµετρικές στην εναλλαγή ηλεκτρονίων. [ z ; z ]-[ z ; z ] Παράδειγµα: ναελέγξετεοτιηακόλουθηψ He είναιαντισυµµετρική ψ He s s s φs φs [ α β α β ] ψ φ α φ β φ α φ β He spi ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 s

24 Η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση του Scrödiger ˆ r r Η Ε Λύση της εξίσωσης: - Κυµατοσυνάρτηση z ιδιοσυνάρτηση - Ενέργεια Ε ιδιοτιµές - Κάθε φυσική ιδιότητα Α που περιγράφεται από αντίστοιχο τελεστή Â r r r * Â dr < A > r r r * dr Ĥ: Χαµιλτωνιανή του συστήµατοςhaio ΚλασσικήΜηχανική: ΗΚ.Ε..Ε. r [ p ] Κβαντική Μηχανική: Ĥ r [ p ] r V ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 V r

25 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση του Scrödiger ˆ r r r r Η Ε Μονο-διάστατα συστήµατα-d: Τρισ-διάστατα συστήµατα3-d: Συστήµατα µε σφαιρική συµµετρία: z rθφ ˆ V d d ˆ ˆ V Λ V r r r r ˆ ˆ z θ θ θ θ ϕ θ d si si si Λ Lapacia Legedria

26 Η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση του Scrödiger ˆ r r Η Ε Χαρακτηριστικά των ιδιοσυναρτήσεων της εξίσωσης Scrödiger. Άπειρεςιδιοσυναρτήσεις i µεαντίστοιχεςιδιοτιµέςε i. Αν i j και i j τοτεοι i και j ονοµάζονταιεκφυλισµένες 3. c i :αποτελείεπίσηςλύσητηςεξίσωσης 4. a i b j : αποτελούν λύση της εξίσωσης όταν i και j : εκφυλισµένες 5. Οι µη εκφυλισµένες ιδιοσυναρτήσεις είναι ορθογώνιες * i j d * j d i 0 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

27 ιασπορά µέτρησης Μέσος όρος φυσ. ιδιότητας Αναµενόµενη τιµή τελεστή Η µέση τιµή παρατηρήσιµης ιδιότητας Α συστήµατος το οποίο περιγράφεται από δεδοµένη κυµατοσυνάρτηση r ισούται µε την αναµενόµενη τιµή του αντίστοιχου τελεστή. < A > r r r * Â dr r r r * dr ιασποράτυπική απόκλιση της µέσης τιµής σ A δa Α Α ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

28 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Αρχή αβεβαιότητας W. Heiseberg εν είναι δυνατή η ταυτόχρονη µέτρηση δύο συµπληρωµατικών φυσικών ποσοτήτων χωρίς πεπερασµένη αβεβαιότητα. i i i p i i i p p δ δ ] [ δ δ δ δ ] [ δ δ P.W. Akis J. de Paua Psica Ceisr

29 Συµβολισµός Dirac ή Bra-Ke bracke Συµβολίζουµε το ολοκλήρωµα του γινοµένου δύο καταστατικών συναρτήσεωνκαιφωςεξής: * Φ Φ d < : bra-vecor Φ> : ke-vecor Έστω α:µιγαδικόςαριθµός και Ισχύουν οι κανόνες :. aφ. a Φ a a * * Φ Φ d Φ < 3. Φ * Φ 4. Φ Φ 5. Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

30 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Συµβολισµός Dirac ή Bra-Ke bracke j i j i V ij ij ij j i j i i i για δ για δ δ 0 0 Η Ε Ε Η Η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση του Scrödiger Αναµενόµενη τιµή τελεστή Κανονικοποίση i Ορθογωνικότητα i j Συνθήκη ορθοκανονικότητας δ ij : δέλτα Kroecker

31 Ασκήσεις Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις ψe ia ψcosb και ψsib αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις της εξίσωσης Scrödiger µε Vc σταθερό. Να δείξετε οτι η συνάρτηση ψep- / αποτελεί ιδιοσυνάρτηση του τελεστή: -d /d. Ποιά είναι η αντίστοιχη ιδιοτιµή ; ΗΒ - Ποιές από τις καµπύλες του σχήµατος είναι δυνατό να αποτελούν κυµατοσυνάρτηση ενός συστήµατος; Να αιτιολογήσετε. Έστω η κυµατοσυνάρτηση σωµατιδίου: ψ [ep- /a ] /. α Να κανονικοποιηθεί η συνάρτηση ψ. β Να υπολογισθεί η πιθανότητα P εύρεσης του σωµατιδίου στο στοιχειώδες διάστηµα d. Για ποιά τιµή του εµφανίζει µέγιστο η κατανοµή πιθανότητας P ; γ Να υπολογισθούν επίσης οι αναµενόµενες τιµές <> < > <> <p > <p > και οι αντίστοιχες τιµές διασποράς σ και σ p. Έστω : 4 υπέρθεση καταστάσεων µε και 4 κυµατοσυναρτήσεις σωµατιδίου σε µονοδιάστατο φρέαρ δυναµικού εύρους L. Να υπολογισθεί η αναµενόµενη τιµή της ενέργειας <Ε>. Τι παρατηρείτε; ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

32 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Εφαρµογές. Ελεύθερο σωµατίδιο free parice σε µία διάσταση D d d d d ik ik e i A e i A ep ep Για ένα ελεύθερο σωµατίδιο ισχύει : V 0 Παρατηρήσεις. Η τιµές του k έχουν ένα συνεχές φάσµα το σωµατίδιο είναι ελεύθερο.. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P να βρεθεί το σωµατίδιο σε τυχαία θέση. 0 * * ± ± ± ± A V Ĥ Ιδιοσυναρτήσεις : Επίπεδα κύµατα κατευθυνόµενα προς τα δεξιά ή αριστερά - p k ± : ορµή κανονικοποίηση ορθογωνικότητα

33 Εφαρµογές. Ελεύθερο σωµατίδιο free parice σε µία διάσταση D Ae P A ik A cos k i si k PTR ATKINS JULIO D PAULA ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΠΕΚ 04 P 4A ik ik e A e cos k Acos k ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

34 Εφαρµογές. Σωµατίδιο σε µονoδιάστατο φρεάτιο δυναµικού D d V 0 V d 8L L π si L 0<<L <0 >L 3... Ενέργεια Παρατηρήσεις. Πιθανότητα θέσης του σωµατιδίου για 3. Επίδραση εύρους φρέατος L στις ενεργειακές στάθµες L * X si L V Η κβάντωση της ενέργειας είναι συνέπεια του περιορισµού του σωµατιδίου σε πεπερασµένο χώρο π L ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

35 Εφαρµογές. Σωµατίδιο σε µονoδιάστατο φρεάτιο δυναµικού D Αρχή της αβεβαιότητας. Να υπολογιστούν : <> < > <p > <p > δδp Τι παρατηρείτε για τον τελεστή p?. Έστω : 4 Να υπολογιστεί η αναµενόµενη τιµή της ενέργειας <Ε> Τι παρατηρείτε? 3. Γενίκευση για : Σc i i 4. Να δείξετε οτι οι ιδιοσυναρτήσεις i και j είναι ορθογώνιες για i j ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

36 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Εφαρµογές 3. Σωµατίδιο σε τρισδιάστατο φρεάτιο δυναµικού 3D z z z L L L z z z z z z Εάν οι το φρεάτιο είναι κυβικό τότε έχουµε εκφυλισµένα µε την ίδια ενέργεια ενεργειακά επίπεδα π.χ. Ε 3 Ε 3 Ε 3 Συµµετρία φρεατίου και εκφυλισµός Προβλήµατα. Στην περίπτωση φρεατίου D µε διαστάσεις 5 και 4 να προσδιοριστεί η ενέργεια που αντιστοιχεί στις 0 χαµηλότερες καταστάσεις και να παρασταθεί διαγραµµατικά. Εργαστηριακή άσκηση Β7 : Μελέτη φασµάτων απορρόφησης και χρώµατος συζυγιακών διενίων καροτένια πολυµεθίνια... z z z

37 Εφαρµογές 4. Μονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής ξίσωση του Scrödiger για -D A.T. Η p V d d k a υ υ υ N k υ / ω H υ a [ a ] / ep / ω υ k Ενέργεια υ3 υ υ υ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 X

38 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Εφαρµογές 5. Σωµατίδιο σε δακτύλιο Περιστροφή D... 0 π φ φ και π φ φ Φ Φ ± ± Φ i I e 4 ReΦφ ϕ ϕ ϕ Φ Φ d d r Ιr : Ροπή Αδράνειας Κβάντωση ενέργειας περιστροφής Συνοριακή συνθήκη π φ φ * Φ Φ z L Κβάντωση στροφορµής

39 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Εφαρµογές 6. Σωµατίδιο σε επιφάνεια σφαίρας Περιστροφή 3D si si si θ θ θ θ φ θ Λ Λ r r r r z z z z z Για τη λύση : rθφθθφφ dr0 : Τελεστής Lapace Λ : Legedria

40 Y Θ Φ Εφαρµογές 6. Σωµατίδιο σε επιφάνεια σφαίρας Περιστροφή 3D θ ϕ Θ θ Φ ϕ! θ P cosθ! iϕ ϕ e 0 ± ±... ± π θ ϕ θ : Σφαιρικές αρµονικές : Πολυώνυµα Legedre Y 00 Y 0 Y 0 Y Y Y Θ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

41 Y Θ Φ Εφαρµογές 6. Σωµατίδιο σε επιφάνεια σφαίρας Περιστροφή 3D θ ϕ Θ! θ P cosθ! iϕ ϕ e 0 ± ±... ± π θ Φ ϕ θ ϕ θ : Σφαιρικές αρµονικές : Πολυώνυµα Legedre 0... Κβάντωση ενέργειας περιστροφής I Y Θ L 0... Lz 0 ± ±... Κλασσική µηχανική : Ε L /Ι Κβάντωση στροφορµής L z Lcosθ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

42 Εφαρµογές 6. Σωµατίδιο σε επιφάνεια σφαίρας Περιστροφή 3D Y Θ θ ϕ θ : Σφαιρικές αρµονικές : Πολυώνυµα Legedre ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

43 Εφαρµογές 6. Σωµατίδιο σε επιφάνεια σφαίρας Περιστροφή 3D ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06

44 ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ Ι : ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Γ εξ. 06 Ασκήσεις Το µόριο 35 εξατριένιο εµφανίζει εκτεταµένη συζυγία οπότε θεωρούµε ότι τα π ηλεκτρόνια έχουν τη δυνατότητα να κινούνται ελεύθερα και ανεξάρτητα µεταξύ τους καθ όλο το µήκος του. Είναι ως εκ τούτου εφικτό να περιγραφεί ικανοποιητικά η κίνηση των π ηλεκτρονίων µε βάση το µοντέλο του σωµατιδίου σε πηγάδι δυναµικού απείρου βάθους. βλέπε επίσης Εργ. Άσκηση Β7 α Να προσδιορίσετε τη συνολική ενέργεια του συστήµατος των π ηλεκτρονίων του µορίου στη θεµελιώδη στάθµη θεωρώντας ότι κάθε ενεργειακή στάθµη δέχεται µέχρι ηλεκτρόνια. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την ενέργεια που αντιστοιχεί στην η και η διεγερµένη κατάσταση και το αντίστοιχο µήκος κύµατος της ακτινοβολίας που απαιτείται για τη διέγερση. β Τι αναµένετε να προκύψει όσον αφορά στο µήκος κύµατος διέγερσης αν αυξηθεί το µήκος του συζυγιακού πολυενίου; Να αιτιολογήσετε. γ Να επεκτείνετε την απάντησή σας στο β δίνοντας διάγραµµα Ε ως συνάρτηση του αριθµού διπλών δεσµών για τιµές του : 3-7. Mέσο µήκος δεσµού µεταξύ γειτονικών ατόµων C στην αλυσίδα : R 4 Å Για τις καταστάσεις υ0 και υ του απλού αρµονικού ταλαντωτή να υπολογίσετε τα ακόλουθα. <> < > <p > <p > και τη διασπορά σ της µέσης θέσης και της µέσης ορµής. Επίσης να επιβεβαιώσετε την ισχύ της αρχής της αβεβαιότητας στον αρµονικό ταλαντωτή. Έστω σωµάτιο που περιφέρεται σε επιφάνεια σφαίρας 3D. Να υπολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος της τροχιακής στροφορµής αν ο κβαντικός αριθµός είναι : 0 3. Στην συνέχεια να υπολογίσετε τη γωνία που σχηµατίσουν οι προβολές του διανύσµατος µε τον άξονα κβάντωσης της στροφορµής.