Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1"

Transcript

1 Πεξηερόκελα 7. ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ ΔΞΗΧΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Δηζαγσγή Δμίζσζε Διαζηηθήο Γξακκήο o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Διαζηηθή Γξακκή γηα κε πλερή Φνξηία o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Λύζεηο ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο Διαζηηθήο Γξακκήο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο θνξηίσλ ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΣΟΠΗΔΧΝ (MOMENT AREA METHOD) Δηζαγσγή Θεσξήκαηα o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ Δηζαγσγή Μέζνδνο ησλ Γπλάκεσλ Παξάδεηγκα Μνλόπαθηε δνθόο Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν Παξάδεηγκα ύλζεηε δνθόο ρήκαηα Υ. 7.: ΣΟΗΥΔΗΟ ΓΟΚΟΤ, ΦΟΡΣΗΖ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΤ ΟΤΓΔΣΔΡΟΤ ΆΞΟΝΑ Υ. 7.: ΤΜΠΔΡΗΦΟΡΑ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΟΚΟΤ Δ ΚΑΜΦΖ Υ. 7.: ΓΗΑΣΟΜΖ ΓΟΚΟΤ, ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΧΝ Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ ΔΛΔΤΘΔΡΟΤ ΧΜΑΣΟ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΜΖΚΟΤ DX Υ. 7.5: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.8: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.9: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.4: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.5: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΤΜΜΔΣΡΗΚΟ ΦΟΡΔΑ) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

2 Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ) Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ) Υ. 7.8: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΠΟΛΛΧΝ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΣΗ ΔΝΓΗΑΜΔΔ ΣΖΡΗΞΔΗ Υ. 7.9: ΘΔΣΗΚΔ ΦΟΡΔ ΔΝΣΑΣΗΚΧΝ ΜΔΓΔΘΧΝ ΓΗΑ ΔΝΓΟΣΗΚΔ ΣΖΡΗΞΔΗ Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΤΓΚΡΗΖ ΣΔΜΝΟΤΑ Υ. 7.4: ΤΓΚΡΗΖ ΡΟΠΖ Υ. 7.5: ΤΓΚΡΗΖ ΚΛΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.6: ΤΓΚΡΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.7: ΠΡΟΟΜΟΗΧΔΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΓΤΝΑΜΖ ΚΑΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΡΟΠΖ Υ. 7.8: ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΑΟΡΗΣΗΑ ΣΤΠΗΚΔ ΜΟΡΦΔ ΟΛΟΚΛΖΡΧΖ Υ. 7.9: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔ ΔΝΓΟΣΗΚΖ ΣΖΡΗΞΖ Υ. 7.: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.4: ΓΡΑΦΗΚΖ ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΖ ΜΔΘΟΓΟΤ ΣΧΝ ΓΤΝΑΣΧΝ ΔΡΓΧΝ ΣΟ ΔΜΒΑΓΟΝ ΠΟΤ ΠΔΡΗΚΛΔΗΔΣΑΗ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΟΤ ΑΞΟΝΑ Υ ΚΑΘΟΡΗΕΔΗ ΣΟ ΜΔΓΔΘΟ ΣΖ ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΓΧΝΗΑ Θ (DΘ) Υ. 7.5: ΥΔΖ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.6: ΔΠΔΞΖΓΖΖ ΣΟΤ ΠΡΟΖΜΟΤ ΣΖ ΣΗΜΖ ΣΖ ΑΠΟΚΛΗΖ ΑΠΟ ΣΖΝ ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΖ Υ. 7.7: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.8: ΡΟΠΖ ΚΑΜΦΖ ΠΡΟΒΟΛΟΤ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.9: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ Μ/ΕΙ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.4: ΥΔΣΗΚΖ ΣΡΟΦΖ Θ ΚΑΗ ΥΔΣΗΚΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ Γ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.4: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΚΗΝΖΔΧΝ Υ. 7.4: ΜΟΝΟΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΑ M/EΗ ΓΗΑ ΣΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΣΟΤ Υ Υ. 7.44: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.45: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.46: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Πίλαθεο ΠΗΝ. 7.: ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΓΗΑ ΓΗΑΦΟΡΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΖΡΗΞΖ ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

3 7. ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΤΠΕΡΣΑΣΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙ 7.. ΕΞΙΩΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ 7... Ειζαγυγή ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε δηακήθεο (θαηά κήθνο) ηνκή δνθνύ θαζώο θαη ε παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα (Ο.Α.). ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπκπεξηθνξά δνθνύ ζε θάκςε. ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ζε εγθάξζηα ηνκή ε δηαηνκή ηεο δνθνύ θαη ε θαηαλνκή ηάζεο. Τ p P m M k Ο.Α. m k Υ υ ζηξνθή πεξί Ζ υ κεηαθίλεζε θαηά Υ ρ. 7.: ηνηρείν Γνθνύ, Φόξηηζε θαη παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα. ρ. 7.: πκπεξηθνξά ειαζηηθήο δνθνύ ζε θάκςε. Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

4 Οη παξαδνρέο ernoulli (πνπ παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζην Κεθάιαην ), ζπλνςίδνληαη σο :. Ζ δνθόο είλαη ζπλερήο,. Ζ θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ, θαζ ύςνο ηεο δηαηνκήο, κεηαβάιιεηαη γξακκηθά ζηε δηεύζπλζε ηεο θάκςεο.. Ζ δνθόο απνηειεί από ηζόηξνπν πιηθό. 4. Σα θνξηία είλαη θάζεηα ζηελ Οπδέηεξε Γξακκή (Ο.Γ.) ηεο δνθνύ θαη δξνπλ ζε έλα θαη κόλνλ επίπεδν. 5. Δπίπεδεο δηαηνκέο πξν ηεο παξακόξθσζεο παξακέλνπλ επίπεδεο θαη ζηελ παξακνξθσκέλε θαηάζηαζε. 6. Οη παξακνξθώζεηο είλαη αξθνύλησο κηθξέο ώζηε λα είλαη δπλαηή ε ζύληαμε ησλ εμηζώζεσλ ηζνξξνπίαο ζηελ απαξακόξθσηε θαηάζηαζε ρσξίο ηελ πξόθιεζε ζεκαληηθνύ ζθάικαηνο. P, p Y Υ X V M Ο.Γ. M Ζ Ο.Γ. K.. y ε ζ = Δ*ε Καηαλνκή παξακνξθώζεσλ (ε) θαη ηάζεσλ (ζ) (πξνβνιή επηπέδνπ ΧΥ) Γηαηνκή (επίπεδν ΥΖ) ρ. 7.: Γηαηνκή Γνθνύ, Καηαλνκή ησλ ηάζεσλ θαη παξακνξθώζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκή δίδεηαη (ζύκθσλα κε ην Κεθάιαην ) σο: d d M (7.) EI ύκθσλα κε ηελ αλαιπηηθή γεσκεηξία ε θακππιόηεηα δίδεηαη ζύκθσλα κε ηε ζρέζε : Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

5 d d d d Καζώο γηα ηα ειαζηηθά πξνβιήκαηα νη παξακνξθώζεηο είλαη πνιύ κηθξέο (νπόηε θαη αληίζηνηρα κηθξέο είλαη νη ηηκέο ησλ παξαγώγσλ) νπόηε ν όξνο: (7.) d d Από ηνλ νπνίν πξνθύπηεη ε ζρέζε ηεο θακππιόηεηαο σο: d d d d d d d d Ζ ηέκλνπζα δύλακε δίδεηαη σο ε ε παξάγσγνο ηεο ξνπήο: M E I (7.) (7.4) dm d V E I (7.5) d d Καη ζύκθσλα κε ηελ ηζνξξνπία ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηκήκαηνο όπσο παξνπζηάδεηαη ζην ρ p V M+dM dv=p*d dm=v*d M d V+dV ρ. 7.4: Γηάγξακκα ειεπζέξνπ ζώκαηνο ζηνηρεηώδνπο κήθνπο d. Πξνθύπηεη ε δηαθνξηθή εμίζσζε ηεο δνθνύ σο: 4 d E I p 4 (7.6) d 7... Εξίζυζη Ελαζηικήρ Γπαμμήρ Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη από ηε ζρέζε (7.6). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο νδεγεί ζε: d V ( ) E I d p d c d 4 4 (7.7) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

6 (7.8) M ( ) V ( ) d p d d c c d d E I E I M ( ) d pd d d c c c (7.9) p dddd c c c c E I 6 p H 4 (7.) Παξαηεξνύκε από ηε ζρέζε (7.) όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο εμαξηάηαη από α) ην θνξηίν ηεο δνθνύ ην νπνίν θαη απνηειεί ηε κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο θαη β) από έλα πξόζζεην πνιπώλπκν εο ηάμεο πνπ απνηειεί ηελ αληίζηνηρε νκνγελή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ε ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7.5, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: d d d q d d d E I E I p E I q (7.) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: 4 d d V ( ) q d 4 c V ( ) q c d d E I E I (7.) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: d d E I d M ( ) V ( ) d q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

7 Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I E I d d d d d E I q c c c q c c c d 6 d E I 6 (7.4) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c c 4 4 (7.5) d E I 4 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.6) (7.7) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.8) q c c c (7.9) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c E I 4 6 (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

8 4 4 q c c q c c EI E I q c c q c c Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.) q q c q c c q c (7.4) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: q q c c q q c q (7.5) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I q q q 4EI (7.6) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d d 4q 6q q 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q M q q (7.8) 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.9) Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ εκεηώλεηαη όηη ε ξνπή παξνπζηάδεηαη βάζεη ηνπ πξόζεκνπ ηεο (ζεηηθέο ξνπέο) άξα θαη κε αληίζεηε πξνζήκαλζε από απηή ηεο θιαζζηθήο ζηαηηθήο (όπνπ ε ζεηηθή ξνπή εθειθύεη ηηο θάησ ίλεο). Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). ην κέζνλ ηεο δνθνύ όπνπ θαη ε ξνπή ιακβάλεη ηε κέγηζηε ηεο ηηκή έρνπκε θαη ηελ αθξόηαηε ηηκή ηεο βύζηζεο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

9 ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.8: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

10 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.) c (7.) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.4) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.5) q c c (7.6) Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.7) q c c q (7.8) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.9) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q EI (7.4) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I (7.4) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.4) V q q (7.4) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

11 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε) κε κέγηζηε ηηκή (θαηά απόιπηε ηηκή) λα παξνπζηάδεηαη ζην ειεύζεξν άθξν ηεο δνθνύ. ρ. 7.9: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ακθίπαθηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.: Ακθίπαθηε Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.44) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

12 4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.45) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.46) c (7.47) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.48) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c EI (7.49) 4 q c c (7.5) Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I (7.5) q c c (7.5) Μέζσ ησλ (7.5) θαη (7.5) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: 4 q c c q (7.5) q q c c (7.54) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

13 4 q q q EI 6 (7.55) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I 6 (7.56) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: 6 M q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V (7.57) q q (7.58) Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζην κέζνλ ηεο δνθνύ. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ζπλερήο δνθόο δύν αλνηγκάησλ, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

14 Τ p Α Β Γ Υ ρ. 7.4: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Λόγσ ηεο ζπκκεηξίαο παξαηεξείηαη όηη ε δνθόο ζηε ζηήξημε Β πέξαλ ηεο κεδεληθήο βύζηζεο παξνπζηάδεη θαη κεδεληθή ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ην ιόγν απηό είλαη δπλαηόλ ε δνθόο απηή θαηά ηζνδύλακν ηξόπν λα ιπζεί σο ε κηζή δνθόο (ΑΒ) κε ηε πξνζνκνίσζε ηεο ζηήξημεο Β σο πάθησζεο. Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν (ζπκκεηξηθόο θνξέαο). Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.59) (7.6) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.6) q c c c (7.6) Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

15 4 q c c E I 4 6 (7.6) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 q c c E I 4 6 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c q c c Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I 6 (7.64) (7.65) (7.66) q c c (7.67) Μέζσ ησλ (7.65) θαη (7.67) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: q c 4 6 c q (7.68) q q c c (7.69) 8 48 Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I q q q 4EI (7.7) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 9 d q q 4q d 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

16 q 9 M q 9q q (7.7) 4 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: 9 V 4q 9q q q (7.7) 4 4 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζε απόζηαζε /8 από ηε ζηήξημε Α. ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (δνθόο δύν αλνηγκάησλ ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) (δνθόο δύν αλνηγκάησλ νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) Γεληθεύνληαο γηα ζπλερή δνθό πνιιώλ αλνηγκάησλ (ρσξίο θαη αλάγθε ζπκκεηξία ζην θνξέα) ε όιε δηαδηθαζία ζπλνςίδεηαη σο εμήο:. Γηαρσξηζκόο ηεο δνθνύ n αλνηγκάησλ ζε n ην πιήζνο δνθνύο κε ειαζηηθέο παθηώζεηο ζηα άθξα απηώλ.. Καηάζηξσζε n ην πιήζνο εμηζώζεσλ ειαζηηθώλ γξακκώλ γηα ηηο n ην πιήζνο δνθνύο.. Λήςε ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ (ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο απηήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ζηξνθή ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ θαη ηειηθά ίζε κε ηε ηηκή ππνρώξεζεο ηεο ζηήξημεο) θαη ησλ εληάζεσλ (ε ξνπή θάκςεο θαη θαηά ζπλέπεηα θαη ε ε παξάγσγνο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ξνπή θάκςεο ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ) ζηηο ελδηάκεζεο δνθνύο γηα ηε ιήςε ησλ επηπιένλ ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

17 i n- n i- i Ελαστική Γπαμμή τηρ i--οστήρ δοκού Ελαστική Γπαμμή τηρ i-οστήρ δοκού η Σςνθήκη i i i s η Σςνθήκη E I E I M, i i i, i i s ρ. 7.8: πλερήο δνθόο πνιιώλ αλνηγκάησλ πλνξηαθέο πλζήθεο ζηηο ελδηάκεζεο ζηεξίμεηο. o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ ηνλ Πίλ. 7., παξνπζηάδνληαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα ηνπο πιένλ δηαδεδνκέλνπο ηύπνπο ζηήξημεο. Πίλ. 7.: πλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο ζηήξημεο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Άξζξσζε Κύιηζε Πάθησζε Κπιηόκελε Πάθησζε V Διεύζεξν Άθξν M V Δζσηεξηθή Άξζξσζε M left M right Διαζηηθή Πάθησζε M Δλδνηηθή ηήξημε K V K V Κ θ ζηαζεξά ζηξνθηθνύ ειαηεξίνπ Κ V ζηαζεξά θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ην ρ. 7.9, παξνπζηάδνληαη νη ζεηηθέο θνξέο γηα ηηο ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

18 V V M V M M V M d Στήπιξη Στήπιξη ρ. 7.9: Θεηηθέο θνξέο εληαηηθώλ κεγεζώλ γηα ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε ηξηγσληθό θνξηίν p()=-q/. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p=-q/ Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: d d q d q d d d E I E I p E I (7.74) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: d d V ( ) q q 4 d 4 c V ( ) c d d E I E I (7.75) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: M ( ) V ( ) d q c c 6 (7.76) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

19 Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I 4 q c c c 4 (7.77) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 5 q c c c c4 E I 6 (7.78) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 5 q c c c c4 E I 6 Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: (7.79) c4 (7.8) M ( ) q c c (7.8) 6 c (7.8) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 5 q c c E I 6 (7.8) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 5 q c c E I 6 (7.84) q c c (7.85) 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.86) 6 Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

20 q q c c q c (7.87) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: 7 q q c c q q c q (7.88) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 5 q 7 q q E I 6 6 (7.89) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 4 7 d q q q d E I 4 6 (7.9) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: (7.9) V q q (7.9) 6 Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

21 ηξηγσληθό θνξηίν) (ακθηέξηζηε δνθόο ηξηγσληθό θνξηίν) Ζ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ ζηελ νπνία επηβάιιεηαη νκνηόκνξθε θόξηηζε κε ηελ πεξίπησζε όπνπ ε ίδηα δνθνύ εληείλεηαη από ηξηγσληθά θαηαλεκεκέλν θνξηίν παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7. σο ην ρ ρ. 7.: ύγθξηζε Σέκλνπζαο ρ. 7.4: ύγθξηζε Ρνπήο ρ. 7.5: ύγθξηζε θιίζεο ειαζηηθήο γξακκήο ρ. 7.6: ύγθξηζε Διαζηηθήο Γξακκήο Από ηελ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ παξαηεξείηαη όηη ν κεδεληζκόο ηνπ δηαγξάκκαηνο ησλ ηεκλνπζώλ δελ ηαπηίδεηαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο κε απνηέιεζκα θαη ε κέγηζηε ξνπή λα εκθαλίδεηαη ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία Ελαζηική Γπαμμή για μη ςνεσή Φοπηία ηελ πεξίπησζε ζπγθεληξσκέλσλ θνξηίσλ ή θνξηίσλ πνπ επηβάιινληαη ζε κέξνο ηεο δνθνύ πέξαλ ηεο κεζόδνπ ηνπ απινύ δηαρσξηζκνύ ηεο δνθνύ ζε κηθξόηεξεο δνθνύο θαη ηεο εθαξκνγήο ηεο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

22 κεζόδνπ ηεο άκεζεο νινθιήξσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (όπσο απηή παξνπζηάζηεθε ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν) είλαη δπλαηόλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο αζπλέρεηαο ανξηζηίαο (singularity functions) 4. Ζ ζπλάξηεζε αζπλέρεηαο (ζύκθσλα θαη κε ηνπο Macaulay- Föppl) νξίδεηαη σο: a n a n a n n, a n a n, a (7.9) όπνπ a ε ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο δηαηαξαρήο, n ν εθζέηεο ηεο ζπλάξηεζεο, δ(_) είλαη ε ζπλάξηεζε Dirac 5 θαη δ (_) ε πξώηε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο Dirac. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζπλάξηεζεο αζπλέρεηαο-ανξηζηίαο (singularity function). δηέπεηαη από ηνπο αθόινπζνπο θαλόλεο: n f a n n f a d n f a (7.94) n n o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P Έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν κπνξεί λα πξνζνκνησζεί σο έλα θαηαλεκεκέλν θνξηίν πνιύ κεγάιεο (~άπεηξεο) έληαζεο ην νπνίν δξα ζε έλα πνιύ κηθξό κήθνο ε (ρ. 7.7). Αλ ην κήθνο ε ζεσξεζεί σο ζηαζεξά ε ζρέζε πνπ δίδεη ην θνξηίν κπνξεί λα γξαθεί (ζε κνξθή νινθιεξώκαηνο) σο: ε a+ P P lim d ε (7.95) ε a- ε Ζ ηηκή ε κπνξεί λα γξαθεί κέζσ ηεο ζπλάξηεζεο ανξηζηίαο σο: a a * * (7.96) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

23 q q O a ε P/ε O a ε ε Μ/ε ρ. 7.7: Πξνζνκνηώζεηο πγθεληξσκέλεο δύλακεο θαη ζπγθεληξσκέλεο ξνπήο. Οπόηε θαη ην θαηαλεκεκέλν θνξηίν q=p/ε γξάθεηαη σο: P q P a (7.97) * Ο αζηεξίζθνο ζηε ζρέζε (7.97) δειώλεη όηη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο ζην εύξνο ε ιακβάλεη πεπεξαζκέλε ηηκή. Λόγσ θαη ηεο ηδηαίηεξεο κνξθήο ηεο ζπλάξηεζεο ε νινθιήξσζε γηα ηηκέο ηνπ εθζέηε κηθξόηεξεο ηνπ κεδελόο νξίδεηαη σο: n n f a * d f a (7.98) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.97) καο δίδεη ην θνξηίν. ηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε ηζρύεη όηη: P a * d P a (7.99) ηελ πεξίπησζε ησλ ζπλαξηήζεσλ αζπλέρεηαο γηα ηελ νινθιήξσζε όπνπ n ηζρύεη όηη: n n f a f a d (7.) n Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.99) ζα καο δώζεη ηελ παξαγόκελε ξνπή ηεο δύλακεο απηήο σο: P a d P a (7.) Σα απνηειέζκαηα ηεο νινθιήξσζεο (ζρέζεηο (7.98) θαη (7.)) παξνπζηάδνληαη ζην ρ Σν απνηέιεζκα ηεο ζρέζεο (7.) βάζεη ηεο (7.9) γξάθεηαη σο: a P a (7.) P a a Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

24 ρ. 7.8: πλαξηήζεηο Ανξηζηίαο Σππηθέο κνξθέο νινθιήξσζεο 6. o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ ε αληηζηνηρία ε ξνπή κπνξεί λα γξαθεί σο θαηαλεκεκέλν θνξηίν σο (ρ. 7.7): Σν νινθιήξσκα ηεο ζρέζεο (7.) δίδεηαη θαηά εηδηθό ηξόπν σο: q M a (7.) * 6 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

25 Καη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηε ζρέζε: M a d M a (7.4) * * M a d M a (7.5) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P. Τ a P Α Β Υ ρ. 7.9: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I P a 4 d d 4 d P a 4 d E I (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε d E I V P a c (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c c c E I d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: (7.9) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

26 P a c c c c4 E I 6 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: P a c c c c4 E I 6 6 (7.) (7.) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) M ( ) P a c c (7.) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.4) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.4) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: P a c c E I 6 6 (7.5) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: P a c c E I 6 6 (7.6) a c P 6 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.7) M ( ) P a c (7.8) P a P a c c P a c (7.9) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

27 a a a a P P P P c c (7.) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.5), (7.9) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a P a P a P a 6E I Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: a a a P P P E I 6 Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a a a a a E I 6 (7.) (7.) (7.) (7.4) (7.5) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7 P P 4EI 48EI P a P a P a P a 6E I Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: a a a P (7.6) 6E I Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a P a P a P a d d E I 6 a a a P P P d d E I 6 a a a a P P P P d d E I 6 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: P a (7.7) (7.8) (7.9) M P a (7.)

28 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: M Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a (7.) P a M P a (7.) V P a P a (7.) V V P a (7.4) P a P (7.5) o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη κία ζπγθεληξσκέλε ξνπή Μ. Τ a Α Μ Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I M a 4 * d d 4 d M a 4 d E I * (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

29 d E I V M a c * (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M M a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: c M a c c E I d d (7.9) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M a c c c c4 E I 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: M a c c c c4 E I 6 (7.4) (7.4) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο M a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε απηή θαζώο c4 (7.4) M ( ) M a c c (7.4) M a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.44) Μέζσ ησλ (7.4) θαη (7.44) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: M a c c E I 6 (7.45) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M a c c E I 6 (7.46) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

30 a c M 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.47) M ( ) M a c (7.48) Βάζεη ηεο (7.49) ε ζρέζε (7.47) γξάθεηαη σο: M M c c (7.49) a M M a M c c (7.5) 6 6 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.49) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: a M a M M E I E I M a a (7.5) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 6 E I M a Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: a M a a a E I 6 (7.5) (7.5) Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: M 6 E I 8 M 6 E I 8 4 M 6 E I 8 8 Κάηη ην αλακελόκελν ιόγσ ηεο ζπκκεηξίαο. Γηα a ε ζρέζε (7.5)γξάθεηαη σο: 6 E I M a a (7.54) (7.55) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

31 M a a 6 E I (7.56) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d M 6 a a d E I 6 (7.57) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: 6 d M d E I a d M 6 a a d E I 6 (7.58) (7.59) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M M M a (7.6) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: M M (7.6) Καη γηα a γξάθεηαη σο: M M M (7.6) Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V M M M a (7.6) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P θαη νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Τ a P p=-q Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) θαη ιακβάλνληαο ππόςε θαη ην νκνηόκνξθν θνξηίν p γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

32 4 4 d d E I q 4 E I P a q 4 d d 4 d P a q 4 d E I Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: (7.64) E I καο δίδεη ηε d E I V P a q c (7.65) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a q c c (7.66) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c q c c E I 6 d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.67) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 4 P a c c q c c4 E I Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 P a c c q c c4 E I (7.67) (7.68) (7.69) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.7) M ( ) P a q c c (7.7) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ πξνθύπηεη: c (7.7) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.7) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

33 4 P a c q c E I (7.7) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: q c Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 P a c E I (7.74) 4 a c P q c (7.75) Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) P a q c (7.76) P a P a q c c P a q c q (7.77) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: a a 4 4 a a P P q q c c P P q 6 4 (7.78) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.7), (7.77) θαη (7.78) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.79) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

34 Καη γηα a γξάθεηαη σο: 4 q 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: P a q 6 d P a q d E I P a P a q 6 4 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a q q d 6 d E I P a P a q 6 4 (7.8) (7.8) P a q 6 d P a q d E I (7.84) P a P a q 6 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

35 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a M P a q q P a M q q P a M P a q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a V P a q q P a V q q P a V P q q (7.85) (7.86) (7.87) (7.88) (7.89) (7.9) Οη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο απνηεινύλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ αληίζηνηρσλ ζπληειεζηώλ ησλ επηκέξνπο θνξηίζεσλ. Απηό ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε ιόγσ ηεο ειαζηηθήο απόθξηζεο. Άξα νη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο γηα κία ζύλζεηε θόξηηζε πξνθύπηνπλ από ην γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο απινύζηεξσλ θνξηίζεσλ. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Ζ ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7., ππνβάιιεηαη ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Β παξνπζηάδεη ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Κ Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

36 Οη ζρέζεηο ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο, ηεο ηέκλνπζαο, ηεο ξνπήο θάκςεο, ηεο ζηξνθήο ηνπ βέινπο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο δελ επεξεάδνληαη ζηε γεληθόηεηα ηνπο από ηελ ύπαξμε ηεο ελδνηηθήο ζηήξημεο άξα ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: Ζ ηέκλνπζα σο: Ζ θακπηηθή ξνπή σο: 4 d q 4 d E I (7.9) V( ) q c (7.9) M ( ) q c c (7.9) Ζ ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c E I 6 (7.94) Σέινο, ε ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.95) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.96) c (7.97) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.98) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.99) q q c q c c q c (7.) Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

37 4 V V q c c K E I 4 6 K (7.) Βάζεη ηεο ζρέζεο (7.9) θαη (7.) ε ηέκλνπζα ζηε ζηήξημε Β δίδεηαη σο: V ( ) q q q (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c q c E I E I K K 4 4 q q q 4 6 q c q q q q c E I q c E I c E I q 4 K 4 K K 4 Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: (7.) E I c q q (7.4) K 4 Πνπ ζηνλ όξν ηεο c ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε θαηαλεκεκέλν θνξηίν πξνζζέηεη ηνλ όξν Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: E I q. K 4 q E I q q q (7.5) E I 4 K 4 Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q E I q q q (7.6) d E I 6 K 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q (7.7) ε νπνία ζπκπίπηεη κε ηελ αληίζηνηρε ζρέζε γηα ηελ ακθηέξηζηε δνθό ρσξίο ελδνηηθή ζηήξημε θάηη πνπ επηβεβαηώλεηαη από ην γεγνλόο όηη νη ππνρσξήζεηο ησλ ζηεξίμεσλ (όπσο θαη νη ζεξκνθξαζηαθέο κεηαβνιέο) ζε ηζνζηαηηθνύο θνξείο δελ πξνθαινύλ εληάζεηο. Απηό θπζηθά δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε ησλ κεηαηνπίζεσλ όπνπ ε ππνρώξεζε ηεο ζηήξημεο έρεη σο απνηέιεζκα ηε κεηαβνιή ηεο κνξθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο θιίζεο απηήο. Σέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.8) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

38 4 4 q E I q q q E I 4 K q E I q q q E I 4 K 4 E I q q E I K K (7.9) Ζ ηηκή απηή αληηζηνηρεί ζηε ηηκή ηεο βύζηζεο ιόγσ ηεο ελδνηηθόηεηαο ηεο ζηήξημεο. Σν αξλεηηθό πξόζεκν θαηαδεηθλύεη όηη ζηε ζηήξημε Β ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη. o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Α παξνπζηάδεη ζηξνθηθή ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ φ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Κ θ Α Β Υ ρ. 7.: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.9) σο (7.95). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) Μέζσ ηεο (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο ηξεηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.) q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

39 Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.4) q c c q (7.5) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.6) Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q c E I Απνκέλεη κία αθόκα ζπλζήθε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Η ηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: d M d K q q q E I q q q c 6 K q c q c E I E I K K (7.7) (7.8) Άξα ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q q q q E I E I K (7.9) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q d E I K q q q E I 6 (7.) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.) V q q (7.) Παξαηεξώ όηη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ελδνηηθή ζηήξημε έηζη θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ πξνβόινπ κε ελδνηηθή ζηήξημε ε ζηξνθή ηεο ζηήξημεο δελ κεηαβάιεη ηηο εληάζεηο ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

40 7..4. Λύζειρ ηηρ διαθοπικήρ εξίζυζηρ ηηρ Ελαζηικήρ Γπαμμήρ για διάθοποςρ ηύποςρ θοπηίυν ην Πίλ. 7. θαη Πίλ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπλάξηεζε ηνπ θνξηίνπ ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο θαη νη ιύζεηο ηεο κεξηθήο δηαθνξηθήο εμίζσζεο γηα ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο, ξνπήο, θιίζεο ηνπ βέινπο θάκςεο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο ζύκθσλα κε ηηο ζρέζεηο (7.7) σο (7.). Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο Οκνηόκνξθ ν p5( ) := q q q q 6 q 4 4 Σξηγσληθό p( ) := q q q 6 q 4 4 q 5 Σξηγσληθό () p4( ) q q := q q q q 6 q q q 4 4 q 5 Σξαπεδνεηδέ ο ( qq ) p6( ) := q ( qq) q q ( qq) 6 q 6 ( qq) 4 4 q 4 4 ( qq) 5 Ζκηηνλνεηδέ ο p( ) := q sin n q cos n Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4 n q sin n n q cos n n Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. q 4 sin n n 4 4 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο πλεκίηνλ. p( ) := q cos n q sin n n q cos n n q sin n n q 4 cos n n 4 4

41 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο νπ Βαζκνύ p7( ) := q q q 4 q 5 6 q 6 6 νπ Βαζκνύ () p8( ) q q q q 4 q q 5 q 4 q 6 := q q νπ Βαζκνύ p9( ) := q q 4 4 q 5 q 6 q 7 84 νπ Βαζκνύ () p( ) q q 4 q q 5 q q 6 q 4 q 7 := q q Ν νπ Βαζκνύ p( ) := q N q N N q N ( N ) ( N ) q N ( N ) ( N ) ( N ) 4 q N ( N4 ) ( N ) ( N ) ( N ) Ν νπ Βαζκνύ () p( ) := qq N q ( N ) q N q ( N ) q ( N ) ( N ) ( N ) q q 6 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) q 4 q 4 4 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) Σπρνύζα θόξηηζε q() πξνζεγγίδεηαη σο ζεηξά Fourier δειαδή ζπλδπαζκόο θνξηίσλ εκηηνλνεηδνύο θαη ζπλεκηηνλνεηδνύο κνξθήο: n n n q q ancos bnsin n (7.) κε ηα q, a n, b n νη άγλσζηεο παξάκεηξνη. Οη ιύζεηο ηεο ειαζηηθήο πξνθύπηεη από αληίζηνηρν ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο ιύζεσλ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

42 7.. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΥΕΣΙΚΩΝ ΣΡΟΦΩΝ ΚΑΙ ΜΕΣΑΣΟΠΙΕΩΝ (MOMENT AREA METHOD) 7... Ειζαγυγή ε πνιιά πξνβιήκαηα όπνπ δεηείηαη ε ειαζηηθή γξακκή νη θνξηίζεηο είλαη πνιύπινθεο θαη ε δηαηνκή ζπλήζσο κεηαβάιιεηαη θαηά κήθνο ηνπ θνξέα. Ζ κέζνδνο ησλ Γπλαηώλ Έξγσλ αλαπηύρζεθε ηελ ίδηα πεξίνδν αλεμάξηεηα από ηνπο Greene θαη Mohr ζην ηειεπηαίν κηζό ηνπ 9 νπ αηώλα Θευπήμαηα Βάζεη ηεο ζρέζεο πνπ ζπλδέεη ηε ε παξάγσγν ηεο ειαζηηθήο γξακκήο κε ηε ξνπή θάκςεο ηεο δηαηνκήο ε ζηξνθή ηεο δνθνύ (ε θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) γξάθεηαη σο: d d d d M M d d d d d EI EI d (7.4) Γξαθηθά ε ζρέζε (7.4) παξνπζηάδεηαη ζην ρ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ ιόγνπ ηεο θακπηηθήο ξνπήο πξνο ην γηλόκελν ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο κε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο δηαηνκήο (M/EI) (ρ. 7.4a) ηζνύληαη κε ηε κεηαβνιή ηεο γσλίαο ζ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ηεο δνθνύ (ρ. 7.4b). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλνιηθήο γσλίαο ζηξνθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M M d d d EI (7.5) A EI A A A Ζ ζρέζε κεηαμύ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο πνζόηεηαο M/EI παξνπζηάδεηαη ζην ρ Ζ ζηξνθή ζε κία ζέζε Β ζε ζπλάξηεζε ηεο ζηξνθήο ηεο ζέζεο Α θαη ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI δίδεηαη σο: M A A d (7.6) EI Καζώο ιακβάλνληαη ππόςε κόλνλ κηθξέο κεηαηνπίζεηο, ε θάζεηε απόζηαζε ηνπ ρ. 7.4b dδ (ε απόθιηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν αξρήο) δίδεηαη από ηνλ ηύπν: d d (7.7) A Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

43 ρ. 7.4: Γξαθηθή Απεηθόληζε ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηνπ άμνλα Υ θαζνξίδεη ην κέγεζνο ηεο κεηαβνιήο ηεο γσλίαο ζ (dζ) 7. ρ. 7.5: ρέζε κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηεο ειαζηηθήο γξακκήο 8. Άξα βάζεη ηεο ζρέζεο (7.5) ε ζπλνιηθή κεηαβνιή ηνπ βέινπο ιόγσ θάκςεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαη εηδηθόηεξα ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β δίδεηαη σο: 7 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall 8 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

44 M M d d d d EI (7.8) A/ EI A A A A Οη ζρέζεηο (7.6) θαη (7.8) πνπ δίδνπλ ην ν θαη ν ζεώξεκα ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ αληίζηνηρα κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο θαη κεηαηόπηζεο δύν ζεκείσλ ζε κία δνθό ρσξίο λα απαηηείηαη ε γλώζε ηεο ζρέζεο πνπ δηέπεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. εκεηώλεηαη όηη:. Σα ζπγθεθξηκέλα ζεσξήκαηα εθαξκόδνληαη κεηαμύ νπνηνλδήπνηε δύν ζεκείσλ ζπλερνύο ειαζηηθήο γξακκήο γηα νπνηαδήπνηε δνθό θαη νπνηνδήπνηε θνξηίν.. Σα ζεσξήκαηα ππνινγίδνπλ κόλνλ ηε ζρεηηθή ζηξνθή κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαζώο θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ αξρήο.. Σν πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο νξίδεηαη ζύκθσλα κε ην δεμηόζηξνθν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Θεηηθή ζρεηηθή ζηξνθή έρεη σο απνηέιεζκα ηε πεξηζηξνθή ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζε θνξά αληίζεηε απηήο ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. 4. Θεηηθό πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο κεηαηόπηζεο εξκελεύεηαη σο κεηαηόπηζε θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα Τ ηνπ ζεκείνπ ηνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο αξρήο. ην ρ. 7.6, παξνπζηάδνληαη δηάθνξα παξαδείγκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε ην πξόζεκν ηεο ηηκήο. Δηδηθόηεξα παξαηεξνύκε όηη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο ηνπ ζεκείνπ Α (δ Α/Β ) από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β είλαη ζεηηθό θαζώο ην ζεκείν βξίζθεηαη ζε πεξηνρή κε ηεηαγκέλε θαηά Τ κεγαιύηεξε απηήο ηνπ αληίζηνηρνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν έρνπλ ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ (ρ. 7.6a). Αληίζηνηρα θαη ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη ζεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β από ην αληίζηνηρν ζεκείν ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ είλαη κεγαιύηεξε (άξα ε δηαθνξά απηώλ είλαη ζεηηθή). ην ρ. 7.6c παξνπζηάδεηαη ε πεξίπησζε όπνπ ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη αξλεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β είλαη κηθξόηεξε ηνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-44

45 ρ. 7.6: Δπεμήγεζε ηνπ πξόζεκνπ ηεο ηηκήο ηεο απόθιηζεο από ηελ εθαπηνκέλε 9. Ζ ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηεο ζρέζεο (7.8) κπνξεί λα γξαθεί σο: (7.9) A/ Όπνπ ε απόζηαζε ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ από ην ζεκείν Α. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ δ Β/Α ε ζρέζε δίδεηαη σο: (7.) / A Όπνπ ε απόζηαζε από ην ζεκείν Β ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ. Ζ ηηκή Φ δίδεηαη σο ην εκβαδό ηνπ ρσξίνπ κεηαμύ Α θαη Β θαη είλαη απηό πνπ θαζνξίδεη θαη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο. Οη απνζηάζεηο θαη ιακβάλεηαη σο απόιπηεο ηηκέο. Οη ζρέζεηο (7.9) θαη (7.) είλαη αλάινγεο ησλ ζρέζεσλ ηεο ζηαηηθήο ξνπήο αδξάλεηαο ηνπ απνθνπηόκελνπ ηκήκαηνο κίαο δηαηνκήο. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ Έζησ ν πξόβνινο ηνπ ρ κε ζπλνιηθό κήθνο.8m απνηεινύκελν από ηξία επηκέξνπο ηκήκαηα θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο. Τ p=-q Α 4m Β Γ 4m.8m Γ Υ Φ64./4. Φ48./. Φ48./. ρ. 7.7: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. 9 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-45

46 Σν ν ηκήκα (ΑΒ) είλαη από ράιπβα όπσο θαη ην ν ηκήκα (ΒΓ). Σν ν ηκήκα είλαη από αινπκίλην. ην ρ. 7.7 νη δηαζηάζεηο ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο παξνπζηάδνληαη ζε ρηιηνζηά. Σν θαηαλεκεκέλν θνξηίν ιακβάλεη ηηκή ίζε κε p=-.kn/m. Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ γεσκεηξηθώλ δεδνκέλσλ ηεο δηαηνκήο Γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ξνπώλ αδξάλεηαο εθαξκόδεηαη ν γλσζηόο ηύπνο: I 64 4 D D t Γηα ηηο δηαθνξεηηθέο δηαηνκέο ηα γεσκεηξηθά ζηνηρεία ζπλνςίδνληαη σο: Τμήματα Διατομή D (m) t (m) (m) Υλικό Ε (kn/m) Ι (m4) ΕΙ (kn*m) Φ64./ Φάλυβας.48E Φ48./ Φάλυβας.57E Φ48./ Αλουμίνιο 7.57E Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ Μ, Μ/ΕΙ, θ θαη δ Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: 4 M q q q Σν δηάγξακκα ηεο ξνπήο θάκςεο ηνπ πξνβόινπ παξνπζηάδεηαη ζην ρ Σν δηάγξακκα ηνπ Μ/ΔΗ ην νπνίν θαη θαζνξίδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ ύκθσλα κε ηε ζρέζε (7.6) ε γσλία ζηξνθήο δίδεηαη σο: Αληίζηνηρα ε ζρέζε (7.8) γξάθεηαη σο: M d EI / M d EI Ζ εμέιημε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθήο θαη ηεο κεηαθίλεζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ Παξαηεξνύκε όηη ε ζηξνθή έρεη ηηκή αξλεηηθή κε κέγηζηε ηηκή ζ ma =.475 rad ήηνη.7. Καζώο ε ηηκή είλαη αξλεηηθή ε θνξά είλαη απηή ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ νπόηε θαη ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη όιν θαη πεξηζζόηεξν θαζώο απμάλεηαη ε απόζηαζε από ην ζεκείν ηεο ζηήξημεο (θόθθηλε γξακκή). Άξα ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α ηεο ζηήξημεο από εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Γ (ην άθξν ηεο δνθνύ) είλαη ίζε κε -9. cm θαζώο ε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Α ζηελ εθαπηνκέλε (ίδηα ηεηκεκέλε θαηά Υ) έρεη κεγαιύηεξε ηεηαγκέλε από απηή ηνπ ζεκείνπ Α. Καζώο ε κεηαηόπηζε θαη ε ζηξνθή ηνπ ζεκείν Α (ηεο ζηήξημεο) είλαη ίζε κε ην κεδέλ θαη ε αληίζηνηρε ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α είλαη ίζε κε ην κεδέλ ην δηάγξακκα παξνπζηάδεη ην ζρεηηθή ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α (=) ζε ζρέζε κε νπνηνδήπνηε άιιν ζεκείν ηεο δνθνύ θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Α (=) από νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-46

47 θ (rad) δ (m) Μ/ΕΙ Ροπή (knm) Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΗΗ). Ροπή Κάμτηρ Υ ρ. 7.8: Ρνπή θάκςεο πξνβόινπ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ Διάγπαμμα Μ/ΕΙ -.E- -4.E- -6.E- -8.E- -.E- -.E Υ ρ. 7.9: Γηάγξακκα Μ/ΕΙ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ -5.E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -4.E- -4.5E- σεηική ηποθή θ και σεηική Μεηαηόπιζη δ θ (rad) δ (m) (=/) δ' (m) (/=) E Υ -.5 ρ. 7.4: ρεηηθή ηξνθή ζ θαη ρεηηθή Μεηαηόπηζε δ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο / ε ζρέζε γξάθεηαη σο: / M d EI Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-47

48 Ζ καύξε γξακκή δίδεη ηελ εμέιημε ηεο πνζόηεηαο /. Καζώο δ(=)= όπσο θαη θ(=)= ε πνζόηεηα απηή ηαπηίδεηαη κε ηε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. To βέινο θάκςεο κεηξηέηαη ζε. cm ζην άθξν ηεο δνθνύ. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν Έζησ ην παξάδεηγκα ηνπ ρ. 7.4a. Να βξεζεί ε ζρεηηθή κεηαθίλεζε ζην θέληξν ηεο δνθνύ εμαηηίαο ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ ζε απόζηαζε a=/4 από ηε ζηήξημε Α. Ζ ηηκή ΔΗ είλαη ζηαζεξή ρ. 7.4: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P Τπνινγηζκόο ρεηηθώλ ηξνθώλ θαη Μεηαθηλήζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: P a M P a Σν δηάγξακκα ησλ ξνπώλ παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4b. Καζώο ην γηλόκελν ΕΙ είλαη ζηαζεξό ε κνξθή ηνπ δηαγξάκκαηνο Μ/ΕΙ είλαη αληίζηνηρε ηνπ δηαγξάκκαηνο ηνπ ρ. 7.4b. ην ρ. 7.4c παξνπζηάδεηαη ε κνξθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο κεηαηόπηζεο ππάξρνπλ ελαιιαθηηθέο πξνζεγγίζεηο. Ζ πξώηε πξνζέγγηζε παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4c. Ζ απόζηαζε πνπ δεηείηαη δίδεηαη σο: Σα κήθε CC θαη CC δίδνληαη σο: C CC CC CC Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-48

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2

5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 Πεπιεσόμενα 5. ΔΡΠΤΜΟ - ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 5.1.1. Δηζαγσγή... 5-2 5.1.2. Πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell... 5-2 5.1.3. Πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin Voigt... 5-6 5.1.4. Πξνζνκνίσκα Σππηθνύ Γξακκηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.)

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) x t t Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (ρωξίο αξρηθ θάζε) Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (κε αξρηθ θάζε) Γύλακε ζηελ Α.Α.Σ. a a t α ρέζε επηηάρπλζεο απνκάθξπλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο:

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: x = 8ημ(πt+π/6) 1. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. 2. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ απνκάθξπλζή ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη Ιμαντοκίνηςη Μεηάδνζε θίλεζεο θαη κεηαθνξά ηζρύνο κεηαμύ αηξάθησλ ζε κεγάιε απόζηαζε Μεηαθνξά ηζρύνο κέζσ ηξηβήο ζην ζύζηεκα ηκάληα ηξνραιία Είδε ηκάλησλ: επίπεδνη (γηα κεγάιεο απνζηάζεηο αηξάθησλ θαη

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005 Δξγαζηεξηαθή άζθεζε : Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: /5/005 ΕΙΑΓΩΓΗ Ζ εξγαζηεξηαθή άζθεζε πεξηιακβάλεη έλα πείξακα θαη ζθνπόο ηεο είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα:

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα: ηηο πξνζνκνηώζεηο πνπ αθνινπζνύλ εμεηάδεηαη ε πεξίπησζε ηνπ θπιίλδξνπ δηπιαζίσλ δηαζηάζεσλ θαη γίλεηαη εμέηαζε θάζε θπιίλδξνπ μερσξηζηά (εμσηεξηθνύ θαη εζσηεξηθνύ). Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

Περηετόκελα. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-1. 1.Equation Chapter 1 Section 1 ΣΑΔΗ

Περηετόκελα. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-1. 1.Equation Chapter 1 Section 1 ΣΑΔΗ 1.Equation Chapter 1 Section 1 ΣΑΔΗ Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθψλ (Μεραληθή ΗΗ) Περηετόκελα ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ... 1-4 1.1. Μνλάδεο... 1-4 1.. Οξηζκφο ηάζεο Παξακφξθσζεο Διαζηηθφηεηαο - Πιαζηηθφηεηαο...

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ

Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ ΣΜΖΜΑ ΓΔΩΛΟΓΗΑ ΔΡΓΑΣΖΡΗΟ ΣΔΥΝΗΚΖ ΓΔΩΛΟΓΗΑ ΜΑΘΖΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΗΓΑΚΟΝΣΔ: Β. ΥΡΖΣΑΡΑ, Καθ. ΔΞΑΜΖΝΟ: 7 ο Β. ΜΑΡΗΝΟ, Δπ.Καθ. Φεβροσάριος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθψλ (Μεραληθή ΗΗ)Σ.Δ.Η. Πεηξαηά.Σ.ΔΦ. Π.Γ.Δ. ΣΥΝΟΨΗ - ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΝΟΦΖ 1-1

Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθψλ (Μεραληθή ΗΗ)Σ.Δ.Η. Πεηξαηά.Σ.ΔΦ. Π.Γ.Δ. ΣΥΝΟΨΗ - ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΝΟΦΖ 1-1 ΣΥΝΟΨΗ - ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΝΟΦΖ 1-1 1. Equa tio n C hap ter 1 Se cti on 1ΣΑΕΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΕΙ ΤΛΙΚΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕ ΜΕΘΟΔΟΙ 1.1. Μνλάδεο Οη κνλάδεο ησλ δηαθφξσλ πνζνηήησλ δίδνληαη ζην ζχζηεκα SI (Sstème International d'unités).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΘΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΘΑ ΤΠΟΤΡΓΕΘΟ ΟΘΚΟΝΟΜΘΚΩΝ ΓΕΝΘΚΗ ΔΘΕΤΘΤΝΗ ΔΗΜΟΘΑ ΠΕΡΘΟΤΘΑ & ΕΘΝΘΚΩΝ ΚΛΗΡΟΔΟΣΗΜΑΣΩΝ ΔΘΕΤΘΤΝΗ ΣΕΥΝΘΚΩΝ ΤΠΗΡΕΘΩΝ & ΣΕΓΑΗ ΣΜΗΜΑ

ΕΛΛΗΝΘΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΘΑ ΤΠΟΤΡΓΕΘΟ ΟΘΚΟΝΟΜΘΚΩΝ ΓΕΝΘΚΗ ΔΘΕΤΘΤΝΗ ΔΗΜΟΘΑ ΠΕΡΘΟΤΘΑ & ΕΘΝΘΚΩΝ ΚΛΗΡΟΔΟΣΗΜΑΣΩΝ ΔΘΕΤΘΤΝΗ ΣΕΥΝΘΚΩΝ ΤΠΗΡΕΘΩΝ & ΣΕΓΑΗ ΣΜΗΜΑ ΕΛΛΗΝΘΚΗ ΔΗΜΟΚΡΣΘ ΤΠΟΤΡΓΕΘΟ ΟΘΚΟΝΟΜΘΚΩΝ ΓΕΝΘΚΗ ΔΘΕΤΘΤΝΗ ΔΗΜΟΘ ΠΕΡΘΟΤΘ & ΕΘΝΘΚΩΝ ΚΛΗΡΟΔΟΣΗΜΣΩΝ ΔΘΕΤΘΤΝΗ ΣΕΥΝΘΚΩΝ ΤΠΗΡΕΘΩΝ & ΣΕΓΗ ΣΜΗΜ ΝΣΘΚΕΘΜΕΝΘΚΟΤ ΠΡΟΔΘΟΡΘΜΟΤ ΦΟΡΟΛΟΓΗΣΕ ΞΘ ΚΘΝΗΣΩΝ ΠΘΝΚΕ ΣΘΜΩΝ ΝΣΘΚΕΘΜΕΝΘΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο.

Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο. Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο. Καξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο ζην ρώξν. Σην ζύζηεκα θαξηεζηαλώλ (ή νξζνγώλησλ) ζπληεηαγκέλσλ θάζε ζεκείν P(,, z ) νξίδεηαη από κία ηξηάδα αξηζκώλ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Δηαθνξηθέο Εμηζώζεηο.

Γ. Δηαθνξηθέο Εμηζώζεηο. Γ. Δηαθνξηθέο Εμηζώζεηο. Γ.1. Γεληθά. Μία δηαθνξηθή εμίζσζε (δ.ε.) είλαη κία εμίζσζε ε νπνία δίλεη πιεξνθνξίεο γηα ηηο παξαγώγνπο κηαο άγλσζηεο ζπλάξηεζεο θαη δεηά ηνλ ππνινγηζκό απηήο ηεο άγλσζηεο ζπλάξηεζεο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ )

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Τν πξόβιεκα - Γηαξξνή λεξνύ Αθόκε θαη κηα κηθξή δηαξξνή λεξνύ κπνξεί λα πξνθαιέζεη θαηαζηξνθή αλ δελ αληρλεπζεί εγθαίξσο Δηαξξνή κπνξεί λα πξνέιζεη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγμαηα Νέας έκδοζης με διαζηαζιολόγηζη καηαζκεσών από οπλιζμένο Σκσρόδεμα, Χάλσβα ή Ξύλο, ζύμθωνα με Εσρωκώδικες 2, 3 και 5

Παραδείγμαηα Νέας έκδοζης με διαζηαζιολόγηζη καηαζκεσών από οπλιζμένο Σκσρόδεμα, Χάλσβα ή Ξύλο, ζύμθωνα με Εσρωκώδικες 2, 3 και 5 Παραδείγμαηα Νέας έκδοζης με διαζηαζιολόγηζη καηαζκεσών από οπλιζμένο Σκσρόδεμα, Χάλσβα ή Ξύλο, ζύμθωνα με Εσρωκώδικες 2, 3 και 5 Copyright RUNET Software www.runet.gr 1 1. Παραδείγματα 1.1 Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ Πεξηερόκελα Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά Καηαγξαθή Ώξαο πγρξνληζκόο πζηήκαηνο Παξνπζίαζε πζηήκαηνο Πηζαλά ελάξηα Υξήζεο 2 Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

Intel Accelerate Your Code

Intel Accelerate Your Code Intel Accelerate Your Code Semester Project at Parallel & Distributed systems Dimitrios S. Tsiktsiris University of Western Macedonia Department of Informatics & Telecommunications Engineering Kozani,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money)

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money) Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Te Value of Moey) Εηζαγωγή Η έλλνηα όηη ην ρξήκα έρεη ρξνληθή αμία είλαη κία από ηηο θεθαιαηώδεηο έλλνηεο ζηελ αλάιπζε θάζε πξντόληνο ηεο Κεθαιαηαγνξάο. Σν ρξήκα έρεη ρξνληθή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

4 Σχεδιαζμός για ζηαηική ανηοχή

4 Σχεδιαζμός για ζηαηική ανηοχή 4 Σχεδιαζμός για ζηαηική ανηοχή Όηαλ δπλάκεηο επηδξνύλ επί ελόο ζηνηρείνπ ηόηε αλαπηύζζνληαη ζ απηό ηάζεηο πνπ είλαη κνλναμνληθέο, δηαμνληθέο ή ηξηαμνληθέο. Η πεξίπησζε ηεο κνλναμνληθήο θαηαπόλεζεο είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ, ΔΙΟΔΟΣ Χ. Λαμππόποςλορ, Χειμεπινό εξάμηνο 2013-2014

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ, ΔΙΟΔΟΣ Χ. Λαμππόποςλορ, Χειμεπινό εξάμηνο 2013-2014 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ηνηρεία Φπζηθήο Ηκηαγσγώλ Η δίνδνο p-n. Ηκηαγσγνί Μπνξνύλ λα άγνπλ ξεύκα πην εύθνια απ όηη νη κνλσηέο, αιιά όρη ηόζν όζν νη αγσγνί. Σν πην δηαδεδνκέλν πιηθό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική Ρευςτϊν ΙΙ Ενότητα 4): Επανάληψη ενοτήτων και 2 Δ. Μισηρλής Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χρήςησ Creative

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ 1. 10078, 9136, 10821 Β 1. Η ζέζε ελόο ζώκαηνο, πνπ θηλείηαη επζύγξακκα θαηά κήθνο ελόο πξνζαλαηνιηζκέλνπ άμνλα x'x, δίλεηαη ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή από ηελ εμίζσζε x =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

(άρθρο 8 Ν.1599/1986)

(άρθρο 8 Ν.1599/1986) Ν. 1599/1986, δειώλσ όηη : εθρσξώ ην δηθαίσκα πνπ απνξξέεη από ηελ απόζπξζε ηνπ απηνθηλήηνπ κνπ, κε αξηζκό θπθινθνξίαο θαη άδεηα θπθινθνξίαο αξηζκ. / ζύκθσλα κε ηελ αξηζκ Πξάμε νξηζηηθήο δηαγξαθήο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

Γπαμμικά ζθάλμαηα γπαμμοαηαξίερ / εξαπμόζειρ / διαηαπασέρ

Γπαμμικά ζθάλμαηα γπαμμοαηαξίερ / εξαπμόζειρ / διαηαπασέρ Γπαμμικά ζθάλμαηα γπαμμοαηαξίερ / εξαπμόζειρ / διαηαπασέρ Κενόηηηερ Σθάλμαηα επιζηοίβαζηρ Γπαμμοαηαξίερ ακμήρ και έλικα Χαπακηηπιζηικά ηων γπαμμοαηαξιών Oλίζθηζη ζε κπςζηάλλοςρ Πλαζηική παπαμόπθωζη μεηάλλων

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Οξηζκόο Δύξεζε Δπηθαιύπηνληνο Γέλδξνπ κε Διάρηζην Βάξνο, δειαδή ειάρηζην άζξνηζκα βαξώλ αθκώλ Αιγόξηζκνη Prim, Kruskal, Baruvka Βαζίδνληαη ζηελ ηερληθή ηεο Απιεζηίαο Η νξζόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα.

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα. Καηαζηάζεηο ηεο ύιεο 1 ΔΚΦΔ ΥΑΝΗΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΟΗ ΦΤΗΚΔ ΔΠΗΣΖΜΔ ΣΖΝ ΠΡΟΥΟΛΗΚΖ ΑΓΧΓΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 1: ΔΗΑΓΧΓΖ ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4: ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ 1 ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ ΝΟΗΠΚΝΠ 2 Τν πεηξέιαην, πνπ κεξηθέο θνξέο ζηελ θαζεκεξηλή γιώζζα απνθαιείηαη θαη μαύπορ σπςσόρ ή τσάι τος Ρέξαρ, είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Οδηγίες για ηη διδαζκαλία ηων θιλολογικών μαθημάηων ζηο Ενιαίο Λύκειο (απόζπαζμα) Αθήνα 2001 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α. Τν πεξηερόκελν ηεο πεξίιεςεο (0-12

Διαβάστε περισσότερα

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk)

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Σεκηλάξην Τνκέα Λνγηζκηθνύ Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Περίιευε παροσζίαζες Τη είλαη ηα «Γίθηπα πνπ παξέρνληαη

Διαβάστε περισσότερα