Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1"

Transcript

1 Πεξηερόκελα 7. ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ ΔΞΗΧΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Δηζαγσγή Δμίζσζε Διαζηηθήο Γξακκήο o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Διαζηηθή Γξακκή γηα κε πλερή Φνξηία o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Λύζεηο ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο Διαζηηθήο Γξακκήο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο θνξηίσλ ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΣΟΠΗΔΧΝ (MOMENT AREA METHOD) Δηζαγσγή Θεσξήκαηα o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ Δηζαγσγή Μέζνδνο ησλ Γπλάκεσλ Παξάδεηγκα Μνλόπαθηε δνθόο Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν Παξάδεηγκα ύλζεηε δνθόο ρήκαηα Υ. 7.: ΣΟΗΥΔΗΟ ΓΟΚΟΤ, ΦΟΡΣΗΖ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΤ ΟΤΓΔΣΔΡΟΤ ΆΞΟΝΑ Υ. 7.: ΤΜΠΔΡΗΦΟΡΑ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΟΚΟΤ Δ ΚΑΜΦΖ Υ. 7.: ΓΗΑΣΟΜΖ ΓΟΚΟΤ, ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΧΝ Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ ΔΛΔΤΘΔΡΟΤ ΧΜΑΣΟ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΜΖΚΟΤ DX Υ. 7.5: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.8: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.9: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.4: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.5: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΤΜΜΔΣΡΗΚΟ ΦΟΡΔΑ) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

2 Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ) Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ) Υ. 7.8: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΠΟΛΛΧΝ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΣΗ ΔΝΓΗΑΜΔΔ ΣΖΡΗΞΔΗ Υ. 7.9: ΘΔΣΗΚΔ ΦΟΡΔ ΔΝΣΑΣΗΚΧΝ ΜΔΓΔΘΧΝ ΓΗΑ ΔΝΓΟΣΗΚΔ ΣΖΡΗΞΔΗ Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΤΓΚΡΗΖ ΣΔΜΝΟΤΑ Υ. 7.4: ΤΓΚΡΗΖ ΡΟΠΖ Υ. 7.5: ΤΓΚΡΗΖ ΚΛΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.6: ΤΓΚΡΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.7: ΠΡΟΟΜΟΗΧΔΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΓΤΝΑΜΖ ΚΑΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΡΟΠΖ Υ. 7.8: ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΑΟΡΗΣΗΑ ΣΤΠΗΚΔ ΜΟΡΦΔ ΟΛΟΚΛΖΡΧΖ Υ. 7.9: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔ ΔΝΓΟΣΗΚΖ ΣΖΡΗΞΖ Υ. 7.: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.4: ΓΡΑΦΗΚΖ ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΖ ΜΔΘΟΓΟΤ ΣΧΝ ΓΤΝΑΣΧΝ ΔΡΓΧΝ ΣΟ ΔΜΒΑΓΟΝ ΠΟΤ ΠΔΡΗΚΛΔΗΔΣΑΗ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΟΤ ΑΞΟΝΑ Υ ΚΑΘΟΡΗΕΔΗ ΣΟ ΜΔΓΔΘΟ ΣΖ ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΓΧΝΗΑ Θ (DΘ) Υ. 7.5: ΥΔΖ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.6: ΔΠΔΞΖΓΖΖ ΣΟΤ ΠΡΟΖΜΟΤ ΣΖ ΣΗΜΖ ΣΖ ΑΠΟΚΛΗΖ ΑΠΟ ΣΖΝ ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΖ Υ. 7.7: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.8: ΡΟΠΖ ΚΑΜΦΖ ΠΡΟΒΟΛΟΤ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.9: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ Μ/ΕΙ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.4: ΥΔΣΗΚΖ ΣΡΟΦΖ Θ ΚΑΗ ΥΔΣΗΚΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ Γ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.4: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΚΗΝΖΔΧΝ Υ. 7.4: ΜΟΝΟΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΑ M/EΗ ΓΗΑ ΣΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΣΟΤ Υ Υ. 7.44: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.45: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.46: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Πίλαθεο ΠΗΝ. 7.: ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΓΗΑ ΓΗΑΦΟΡΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΖΡΗΞΖ ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

3 7. ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΤΠΕΡΣΑΣΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙ 7.. ΕΞΙΩΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ 7... Ειζαγυγή ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε δηακήθεο (θαηά κήθνο) ηνκή δνθνύ θαζώο θαη ε παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα (Ο.Α.). ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπκπεξηθνξά δνθνύ ζε θάκςε. ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ζε εγθάξζηα ηνκή ε δηαηνκή ηεο δνθνύ θαη ε θαηαλνκή ηάζεο. Τ p P m M k Ο.Α. m k Υ υ ζηξνθή πεξί Ζ υ κεηαθίλεζε θαηά Υ ρ. 7.: ηνηρείν Γνθνύ, Φόξηηζε θαη παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα. ρ. 7.: πκπεξηθνξά ειαζηηθήο δνθνύ ζε θάκςε. Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

4 Οη παξαδνρέο ernoulli (πνπ παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζην Κεθάιαην ), ζπλνςίδνληαη σο :. Ζ δνθόο είλαη ζπλερήο,. Ζ θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ, θαζ ύςνο ηεο δηαηνκήο, κεηαβάιιεηαη γξακκηθά ζηε δηεύζπλζε ηεο θάκςεο.. Ζ δνθόο απνηειεί από ηζόηξνπν πιηθό. 4. Σα θνξηία είλαη θάζεηα ζηελ Οπδέηεξε Γξακκή (Ο.Γ.) ηεο δνθνύ θαη δξνπλ ζε έλα θαη κόλνλ επίπεδν. 5. Δπίπεδεο δηαηνκέο πξν ηεο παξακόξθσζεο παξακέλνπλ επίπεδεο θαη ζηελ παξακνξθσκέλε θαηάζηαζε. 6. Οη παξακνξθώζεηο είλαη αξθνύλησο κηθξέο ώζηε λα είλαη δπλαηή ε ζύληαμε ησλ εμηζώζεσλ ηζνξξνπίαο ζηελ απαξακόξθσηε θαηάζηαζε ρσξίο ηελ πξόθιεζε ζεκαληηθνύ ζθάικαηνο. P, p Y Υ X V M Ο.Γ. M Ζ Ο.Γ. K.. y ε ζ = Δ*ε Καηαλνκή παξακνξθώζεσλ (ε) θαη ηάζεσλ (ζ) (πξνβνιή επηπέδνπ ΧΥ) Γηαηνκή (επίπεδν ΥΖ) ρ. 7.: Γηαηνκή Γνθνύ, Καηαλνκή ησλ ηάζεσλ θαη παξακνξθώζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκή δίδεηαη (ζύκθσλα κε ην Κεθάιαην ) σο: d d M (7.) EI ύκθσλα κε ηελ αλαιπηηθή γεσκεηξία ε θακππιόηεηα δίδεηαη ζύκθσλα κε ηε ζρέζε : Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

5 d d d d Καζώο γηα ηα ειαζηηθά πξνβιήκαηα νη παξακνξθώζεηο είλαη πνιύ κηθξέο (νπόηε θαη αληίζηνηρα κηθξέο είλαη νη ηηκέο ησλ παξαγώγσλ) νπόηε ν όξνο: (7.) d d Από ηνλ νπνίν πξνθύπηεη ε ζρέζε ηεο θακππιόηεηαο σο: d d d d d d d d Ζ ηέκλνπζα δύλακε δίδεηαη σο ε ε παξάγσγνο ηεο ξνπήο: M E I (7.) (7.4) dm d V E I (7.5) d d Καη ζύκθσλα κε ηελ ηζνξξνπία ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηκήκαηνο όπσο παξνπζηάδεηαη ζην ρ p V M+dM dv=p*d dm=v*d M d V+dV ρ. 7.4: Γηάγξακκα ειεπζέξνπ ζώκαηνο ζηνηρεηώδνπο κήθνπο d. Πξνθύπηεη ε δηαθνξηθή εμίζσζε ηεο δνθνύ σο: 4 d E I p 4 (7.6) d 7... Εξίζυζη Ελαζηικήρ Γπαμμήρ Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη από ηε ζρέζε (7.6). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο νδεγεί ζε: d V ( ) E I d p d c d 4 4 (7.7) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

6 (7.8) M ( ) V ( ) d p d d c c d d E I E I M ( ) d pd d d c c c (7.9) p dddd c c c c E I 6 p H 4 (7.) Παξαηεξνύκε από ηε ζρέζε (7.) όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο εμαξηάηαη από α) ην θνξηίν ηεο δνθνύ ην νπνίν θαη απνηειεί ηε κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο θαη β) από έλα πξόζζεην πνιπώλπκν εο ηάμεο πνπ απνηειεί ηελ αληίζηνηρε νκνγελή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ε ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7.5, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: d d d q d d d E I E I p E I q (7.) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: 4 d d V ( ) q d 4 c V ( ) q c d d E I E I (7.) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: d d E I d M ( ) V ( ) d q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

7 Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I E I d d d d d E I q c c c q c c c d 6 d E I 6 (7.4) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c c 4 4 (7.5) d E I 4 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.6) (7.7) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.8) q c c c (7.9) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c E I 4 6 (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

8 4 4 q c c q c c EI E I q c c q c c Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.) q q c q c c q c (7.4) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: q q c c q q c q (7.5) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I q q q 4EI (7.6) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d d 4q 6q q 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q M q q (7.8) 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.9) Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ εκεηώλεηαη όηη ε ξνπή παξνπζηάδεηαη βάζεη ηνπ πξόζεκνπ ηεο (ζεηηθέο ξνπέο) άξα θαη κε αληίζεηε πξνζήκαλζε από απηή ηεο θιαζζηθήο ζηαηηθήο (όπνπ ε ζεηηθή ξνπή εθειθύεη ηηο θάησ ίλεο). Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). ην κέζνλ ηεο δνθνύ όπνπ θαη ε ξνπή ιακβάλεη ηε κέγηζηε ηεο ηηκή έρνπκε θαη ηελ αθξόηαηε ηηκή ηεο βύζηζεο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

9 ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.8: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

10 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.) c (7.) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.4) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.5) q c c (7.6) Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.7) q c c q (7.8) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.9) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q EI (7.4) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I (7.4) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.4) V q q (7.4) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

11 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε) κε κέγηζηε ηηκή (θαηά απόιπηε ηηκή) λα παξνπζηάδεηαη ζην ειεύζεξν άθξν ηεο δνθνύ. ρ. 7.9: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ακθίπαθηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.: Ακθίπαθηε Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.44) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

12 4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.45) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.46) c (7.47) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.48) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c EI (7.49) 4 q c c (7.5) Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I (7.5) q c c (7.5) Μέζσ ησλ (7.5) θαη (7.5) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: 4 q c c q (7.5) q q c c (7.54) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

13 4 q q q EI 6 (7.55) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I 6 (7.56) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: 6 M q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V (7.57) q q (7.58) Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζην κέζνλ ηεο δνθνύ. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ζπλερήο δνθόο δύν αλνηγκάησλ, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

14 Τ p Α Β Γ Υ ρ. 7.4: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Λόγσ ηεο ζπκκεηξίαο παξαηεξείηαη όηη ε δνθόο ζηε ζηήξημε Β πέξαλ ηεο κεδεληθήο βύζηζεο παξνπζηάδεη θαη κεδεληθή ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ην ιόγν απηό είλαη δπλαηόλ ε δνθόο απηή θαηά ηζνδύλακν ηξόπν λα ιπζεί σο ε κηζή δνθόο (ΑΒ) κε ηε πξνζνκνίσζε ηεο ζηήξημεο Β σο πάθησζεο. Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν (ζπκκεηξηθόο θνξέαο). Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.59) (7.6) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.6) q c c c (7.6) Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

15 4 q c c E I 4 6 (7.6) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 q c c E I 4 6 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c q c c Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I 6 (7.64) (7.65) (7.66) q c c (7.67) Μέζσ ησλ (7.65) θαη (7.67) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: q c 4 6 c q (7.68) q q c c (7.69) 8 48 Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I q q q 4EI (7.7) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 9 d q q 4q d 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

16 q 9 M q 9q q (7.7) 4 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: 9 V 4q 9q q q (7.7) 4 4 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζε απόζηαζε /8 από ηε ζηήξημε Α. ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (δνθόο δύν αλνηγκάησλ ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) (δνθόο δύν αλνηγκάησλ νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) Γεληθεύνληαο γηα ζπλερή δνθό πνιιώλ αλνηγκάησλ (ρσξίο θαη αλάγθε ζπκκεηξία ζην θνξέα) ε όιε δηαδηθαζία ζπλνςίδεηαη σο εμήο:. Γηαρσξηζκόο ηεο δνθνύ n αλνηγκάησλ ζε n ην πιήζνο δνθνύο κε ειαζηηθέο παθηώζεηο ζηα άθξα απηώλ.. Καηάζηξσζε n ην πιήζνο εμηζώζεσλ ειαζηηθώλ γξακκώλ γηα ηηο n ην πιήζνο δνθνύο.. Λήςε ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ (ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο απηήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ζηξνθή ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ θαη ηειηθά ίζε κε ηε ηηκή ππνρώξεζεο ηεο ζηήξημεο) θαη ησλ εληάζεσλ (ε ξνπή θάκςεο θαη θαηά ζπλέπεηα θαη ε ε παξάγσγνο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ξνπή θάκςεο ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ) ζηηο ελδηάκεζεο δνθνύο γηα ηε ιήςε ησλ επηπιένλ ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

17 i n- n i- i Ελαστική Γπαμμή τηρ i--οστήρ δοκού Ελαστική Γπαμμή τηρ i-οστήρ δοκού η Σςνθήκη i i i s η Σςνθήκη E I E I M, i i i, i i s ρ. 7.8: πλερήο δνθόο πνιιώλ αλνηγκάησλ πλνξηαθέο πλζήθεο ζηηο ελδηάκεζεο ζηεξίμεηο. o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ ηνλ Πίλ. 7., παξνπζηάδνληαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα ηνπο πιένλ δηαδεδνκέλνπο ηύπνπο ζηήξημεο. Πίλ. 7.: πλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο ζηήξημεο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Άξζξσζε Κύιηζε Πάθησζε Κπιηόκελε Πάθησζε V Διεύζεξν Άθξν M V Δζσηεξηθή Άξζξσζε M left M right Διαζηηθή Πάθησζε M Δλδνηηθή ηήξημε K V K V Κ θ ζηαζεξά ζηξνθηθνύ ειαηεξίνπ Κ V ζηαζεξά θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ην ρ. 7.9, παξνπζηάδνληαη νη ζεηηθέο θνξέο γηα ηηο ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

18 V V M V M M V M d Στήπιξη Στήπιξη ρ. 7.9: Θεηηθέο θνξέο εληαηηθώλ κεγεζώλ γηα ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε ηξηγσληθό θνξηίν p()=-q/. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p=-q/ Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: d d q d q d d d E I E I p E I (7.74) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: d d V ( ) q q 4 d 4 c V ( ) c d d E I E I (7.75) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: M ( ) V ( ) d q c c 6 (7.76) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

19 Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I 4 q c c c 4 (7.77) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 5 q c c c c4 E I 6 (7.78) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 5 q c c c c4 E I 6 Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: (7.79) c4 (7.8) M ( ) q c c (7.8) 6 c (7.8) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 5 q c c E I 6 (7.8) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 5 q c c E I 6 (7.84) q c c (7.85) 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.86) 6 Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

20 q q c c q c (7.87) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: 7 q q c c q q c q (7.88) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 5 q 7 q q E I 6 6 (7.89) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 4 7 d q q q d E I 4 6 (7.9) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: (7.9) V q q (7.9) 6 Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

21 ηξηγσληθό θνξηίν) (ακθηέξηζηε δνθόο ηξηγσληθό θνξηίν) Ζ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ ζηελ νπνία επηβάιιεηαη νκνηόκνξθε θόξηηζε κε ηελ πεξίπησζε όπνπ ε ίδηα δνθνύ εληείλεηαη από ηξηγσληθά θαηαλεκεκέλν θνξηίν παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7. σο ην ρ ρ. 7.: ύγθξηζε Σέκλνπζαο ρ. 7.4: ύγθξηζε Ρνπήο ρ. 7.5: ύγθξηζε θιίζεο ειαζηηθήο γξακκήο ρ. 7.6: ύγθξηζε Διαζηηθήο Γξακκήο Από ηελ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ παξαηεξείηαη όηη ν κεδεληζκόο ηνπ δηαγξάκκαηνο ησλ ηεκλνπζώλ δελ ηαπηίδεηαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο κε απνηέιεζκα θαη ε κέγηζηε ξνπή λα εκθαλίδεηαη ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία Ελαζηική Γπαμμή για μη ςνεσή Φοπηία ηελ πεξίπησζε ζπγθεληξσκέλσλ θνξηίσλ ή θνξηίσλ πνπ επηβάιινληαη ζε κέξνο ηεο δνθνύ πέξαλ ηεο κεζόδνπ ηνπ απινύ δηαρσξηζκνύ ηεο δνθνύ ζε κηθξόηεξεο δνθνύο θαη ηεο εθαξκνγήο ηεο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

22 κεζόδνπ ηεο άκεζεο νινθιήξσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (όπσο απηή παξνπζηάζηεθε ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν) είλαη δπλαηόλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο αζπλέρεηαο ανξηζηίαο (singularity functions) 4. Ζ ζπλάξηεζε αζπλέρεηαο (ζύκθσλα θαη κε ηνπο Macaulay- Föppl) νξίδεηαη σο: a n a n a n n, a n a n, a (7.9) όπνπ a ε ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο δηαηαξαρήο, n ν εθζέηεο ηεο ζπλάξηεζεο, δ(_) είλαη ε ζπλάξηεζε Dirac 5 θαη δ (_) ε πξώηε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο Dirac. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζπλάξηεζεο αζπλέρεηαο-ανξηζηίαο (singularity function). δηέπεηαη από ηνπο αθόινπζνπο θαλόλεο: n f a n n f a d n f a (7.94) n n o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P Έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν κπνξεί λα πξνζνκνησζεί σο έλα θαηαλεκεκέλν θνξηίν πνιύ κεγάιεο (~άπεηξεο) έληαζεο ην νπνίν δξα ζε έλα πνιύ κηθξό κήθνο ε (ρ. 7.7). Αλ ην κήθνο ε ζεσξεζεί σο ζηαζεξά ε ζρέζε πνπ δίδεη ην θνξηίν κπνξεί λα γξαθεί (ζε κνξθή νινθιεξώκαηνο) σο: ε a+ P P lim d ε (7.95) ε a- ε Ζ ηηκή ε κπνξεί λα γξαθεί κέζσ ηεο ζπλάξηεζεο ανξηζηίαο σο: a a * * (7.96) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

23 q q O a ε P/ε O a ε ε Μ/ε ρ. 7.7: Πξνζνκνηώζεηο πγθεληξσκέλεο δύλακεο θαη ζπγθεληξσκέλεο ξνπήο. Οπόηε θαη ην θαηαλεκεκέλν θνξηίν q=p/ε γξάθεηαη σο: P q P a (7.97) * Ο αζηεξίζθνο ζηε ζρέζε (7.97) δειώλεη όηη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο ζην εύξνο ε ιακβάλεη πεπεξαζκέλε ηηκή. Λόγσ θαη ηεο ηδηαίηεξεο κνξθήο ηεο ζπλάξηεζεο ε νινθιήξσζε γηα ηηκέο ηνπ εθζέηε κηθξόηεξεο ηνπ κεδελόο νξίδεηαη σο: n n f a * d f a (7.98) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.97) καο δίδεη ην θνξηίν. ηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε ηζρύεη όηη: P a * d P a (7.99) ηελ πεξίπησζε ησλ ζπλαξηήζεσλ αζπλέρεηαο γηα ηελ νινθιήξσζε όπνπ n ηζρύεη όηη: n n f a f a d (7.) n Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.99) ζα καο δώζεη ηελ παξαγόκελε ξνπή ηεο δύλακεο απηήο σο: P a d P a (7.) Σα απνηειέζκαηα ηεο νινθιήξσζεο (ζρέζεηο (7.98) θαη (7.)) παξνπζηάδνληαη ζην ρ Σν απνηέιεζκα ηεο ζρέζεο (7.) βάζεη ηεο (7.9) γξάθεηαη σο: a P a (7.) P a a Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

24 ρ. 7.8: πλαξηήζεηο Ανξηζηίαο Σππηθέο κνξθέο νινθιήξσζεο 6. o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ ε αληηζηνηρία ε ξνπή κπνξεί λα γξαθεί σο θαηαλεκεκέλν θνξηίν σο (ρ. 7.7): Σν νινθιήξσκα ηεο ζρέζεο (7.) δίδεηαη θαηά εηδηθό ηξόπν σο: q M a (7.) * 6 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

25 Καη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηε ζρέζε: M a d M a (7.4) * * M a d M a (7.5) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P. Τ a P Α Β Υ ρ. 7.9: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I P a 4 d d 4 d P a 4 d E I (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε d E I V P a c (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c c c E I d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: (7.9) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

26 P a c c c c4 E I 6 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: P a c c c c4 E I 6 6 (7.) (7.) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) M ( ) P a c c (7.) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.4) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.4) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: P a c c E I 6 6 (7.5) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: P a c c E I 6 6 (7.6) a c P 6 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.7) M ( ) P a c (7.8) P a P a c c P a c (7.9) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

27 a a a a P P P P c c (7.) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.5), (7.9) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a P a P a P a 6E I Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: a a a P P P E I 6 Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a a a a a E I 6 (7.) (7.) (7.) (7.4) (7.5) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7 P P 4EI 48EI P a P a P a P a 6E I Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: a a a P (7.6) 6E I Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a P a P a P a d d E I 6 a a a P P P d d E I 6 a a a a P P P P d d E I 6 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: P a (7.7) (7.8) (7.9) M P a (7.)

28 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: M Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a (7.) P a M P a (7.) V P a P a (7.) V V P a (7.4) P a P (7.5) o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη κία ζπγθεληξσκέλε ξνπή Μ. Τ a Α Μ Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I M a 4 * d d 4 d M a 4 d E I * (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

29 d E I V M a c * (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M M a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: c M a c c E I d d (7.9) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M a c c c c4 E I 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: M a c c c c4 E I 6 (7.4) (7.4) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο M a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε απηή θαζώο c4 (7.4) M ( ) M a c c (7.4) M a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.44) Μέζσ ησλ (7.4) θαη (7.44) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: M a c c E I 6 (7.45) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M a c c E I 6 (7.46) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

30 a c M 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.47) M ( ) M a c (7.48) Βάζεη ηεο (7.49) ε ζρέζε (7.47) γξάθεηαη σο: M M c c (7.49) a M M a M c c (7.5) 6 6 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.49) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: a M a M M E I E I M a a (7.5) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 6 E I M a Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: a M a a a E I 6 (7.5) (7.5) Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: M 6 E I 8 M 6 E I 8 4 M 6 E I 8 8 Κάηη ην αλακελόκελν ιόγσ ηεο ζπκκεηξίαο. Γηα a ε ζρέζε (7.5)γξάθεηαη σο: 6 E I M a a (7.54) (7.55) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

31 M a a 6 E I (7.56) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d M 6 a a d E I 6 (7.57) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: 6 d M d E I a d M 6 a a d E I 6 (7.58) (7.59) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M M M a (7.6) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: M M (7.6) Καη γηα a γξάθεηαη σο: M M M (7.6) Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V M M M a (7.6) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P θαη νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Τ a P p=-q Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) θαη ιακβάλνληαο ππόςε θαη ην νκνηόκνξθν θνξηίν p γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

32 4 4 d d E I q 4 E I P a q 4 d d 4 d P a q 4 d E I Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: (7.64) E I καο δίδεη ηε d E I V P a q c (7.65) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a q c c (7.66) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c q c c E I 6 d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.67) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 4 P a c c q c c4 E I Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 P a c c q c c4 E I (7.67) (7.68) (7.69) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.7) M ( ) P a q c c (7.7) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ πξνθύπηεη: c (7.7) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.7) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

33 4 P a c q c E I (7.7) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: q c Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 P a c E I (7.74) 4 a c P q c (7.75) Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) P a q c (7.76) P a P a q c c P a q c q (7.77) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: a a 4 4 a a P P q q c c P P q 6 4 (7.78) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.7), (7.77) θαη (7.78) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.79) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

34 Καη γηα a γξάθεηαη σο: 4 q 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: P a q 6 d P a q d E I P a P a q 6 4 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a q q d 6 d E I P a P a q 6 4 (7.8) (7.8) P a q 6 d P a q d E I (7.84) P a P a q 6 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

35 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a M P a q q P a M q q P a M P a q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a V P a q q P a V q q P a V P q q (7.85) (7.86) (7.87) (7.88) (7.89) (7.9) Οη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο απνηεινύλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ αληίζηνηρσλ ζπληειεζηώλ ησλ επηκέξνπο θνξηίζεσλ. Απηό ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε ιόγσ ηεο ειαζηηθήο απόθξηζεο. Άξα νη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο γηα κία ζύλζεηε θόξηηζε πξνθύπηνπλ από ην γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο απινύζηεξσλ θνξηίζεσλ. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Ζ ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7., ππνβάιιεηαη ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Β παξνπζηάδεη ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Κ Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

36 Οη ζρέζεηο ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο, ηεο ηέκλνπζαο, ηεο ξνπήο θάκςεο, ηεο ζηξνθήο ηνπ βέινπο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο δελ επεξεάδνληαη ζηε γεληθόηεηα ηνπο από ηελ ύπαξμε ηεο ελδνηηθήο ζηήξημεο άξα ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: Ζ ηέκλνπζα σο: Ζ θακπηηθή ξνπή σο: 4 d q 4 d E I (7.9) V( ) q c (7.9) M ( ) q c c (7.9) Ζ ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c E I 6 (7.94) Σέινο, ε ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.95) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.96) c (7.97) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.98) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.99) q q c q c c q c (7.) Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

37 4 V V q c c K E I 4 6 K (7.) Βάζεη ηεο ζρέζεο (7.9) θαη (7.) ε ηέκλνπζα ζηε ζηήξημε Β δίδεηαη σο: V ( ) q q q (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c q c E I E I K K 4 4 q q q 4 6 q c q q q q c E I q c E I c E I q 4 K 4 K K 4 Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: (7.) E I c q q (7.4) K 4 Πνπ ζηνλ όξν ηεο c ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε θαηαλεκεκέλν θνξηίν πξνζζέηεη ηνλ όξν Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: E I q. K 4 q E I q q q (7.5) E I 4 K 4 Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q E I q q q (7.6) d E I 6 K 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q (7.7) ε νπνία ζπκπίπηεη κε ηελ αληίζηνηρε ζρέζε γηα ηελ ακθηέξηζηε δνθό ρσξίο ελδνηηθή ζηήξημε θάηη πνπ επηβεβαηώλεηαη από ην γεγνλόο όηη νη ππνρσξήζεηο ησλ ζηεξίμεσλ (όπσο θαη νη ζεξκνθξαζηαθέο κεηαβνιέο) ζε ηζνζηαηηθνύο θνξείο δελ πξνθαινύλ εληάζεηο. Απηό θπζηθά δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε ησλ κεηαηνπίζεσλ όπνπ ε ππνρώξεζε ηεο ζηήξημεο έρεη σο απνηέιεζκα ηε κεηαβνιή ηεο κνξθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο θιίζεο απηήο. Σέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.8) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

38 4 4 q E I q q q E I 4 K q E I q q q E I 4 K 4 E I q q E I K K (7.9) Ζ ηηκή απηή αληηζηνηρεί ζηε ηηκή ηεο βύζηζεο ιόγσ ηεο ελδνηηθόηεηαο ηεο ζηήξημεο. Σν αξλεηηθό πξόζεκν θαηαδεηθλύεη όηη ζηε ζηήξημε Β ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη. o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Α παξνπζηάδεη ζηξνθηθή ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ φ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Κ θ Α Β Υ ρ. 7.: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.9) σο (7.95). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) Μέζσ ηεο (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο ηξεηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.) q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

39 Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.4) q c c q (7.5) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.6) Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q c E I Απνκέλεη κία αθόκα ζπλζήθε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Η ηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: d M d K q q q E I q q q c 6 K q c q c E I E I K K (7.7) (7.8) Άξα ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q q q q E I E I K (7.9) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q d E I K q q q E I 6 (7.) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.) V q q (7.) Παξαηεξώ όηη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ελδνηηθή ζηήξημε έηζη θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ πξνβόινπ κε ελδνηηθή ζηήξημε ε ζηξνθή ηεο ζηήξημεο δελ κεηαβάιεη ηηο εληάζεηο ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

40 7..4. Λύζειρ ηηρ διαθοπικήρ εξίζυζηρ ηηρ Ελαζηικήρ Γπαμμήρ για διάθοποςρ ηύποςρ θοπηίυν ην Πίλ. 7. θαη Πίλ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπλάξηεζε ηνπ θνξηίνπ ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο θαη νη ιύζεηο ηεο κεξηθήο δηαθνξηθήο εμίζσζεο γηα ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο, ξνπήο, θιίζεο ηνπ βέινπο θάκςεο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο ζύκθσλα κε ηηο ζρέζεηο (7.7) σο (7.). Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο Οκνηόκνξθ ν p5( ) := q q q q 6 q 4 4 Σξηγσληθό p( ) := q q q 6 q 4 4 q 5 Σξηγσληθό () p4( ) q q := q q q q 6 q q q 4 4 q 5 Σξαπεδνεηδέ ο ( qq ) p6( ) := q ( qq) q q ( qq) 6 q 6 ( qq) 4 4 q 4 4 ( qq) 5 Ζκηηνλνεηδέ ο p( ) := q sin n q cos n Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4 n q sin n n q cos n n Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. q 4 sin n n 4 4 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο πλεκίηνλ. p( ) := q cos n q sin n n q cos n n q sin n n q 4 cos n n 4 4

41 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο νπ Βαζκνύ p7( ) := q q q 4 q 5 6 q 6 6 νπ Βαζκνύ () p8( ) q q q q 4 q q 5 q 4 q 6 := q q νπ Βαζκνύ p9( ) := q q 4 4 q 5 q 6 q 7 84 νπ Βαζκνύ () p( ) q q 4 q q 5 q q 6 q 4 q 7 := q q Ν νπ Βαζκνύ p( ) := q N q N N q N ( N ) ( N ) q N ( N ) ( N ) ( N ) 4 q N ( N4 ) ( N ) ( N ) ( N ) Ν νπ Βαζκνύ () p( ) := qq N q ( N ) q N q ( N ) q ( N ) ( N ) ( N ) q q 6 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) q 4 q 4 4 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) Σπρνύζα θόξηηζε q() πξνζεγγίδεηαη σο ζεηξά Fourier δειαδή ζπλδπαζκόο θνξηίσλ εκηηνλνεηδνύο θαη ζπλεκηηνλνεηδνύο κνξθήο: n n n q q ancos bnsin n (7.) κε ηα q, a n, b n νη άγλσζηεο παξάκεηξνη. Οη ιύζεηο ηεο ειαζηηθήο πξνθύπηεη από αληίζηνηρν ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο ιύζεσλ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

42 7.. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΥΕΣΙΚΩΝ ΣΡΟΦΩΝ ΚΑΙ ΜΕΣΑΣΟΠΙΕΩΝ (MOMENT AREA METHOD) 7... Ειζαγυγή ε πνιιά πξνβιήκαηα όπνπ δεηείηαη ε ειαζηηθή γξακκή νη θνξηίζεηο είλαη πνιύπινθεο θαη ε δηαηνκή ζπλήζσο κεηαβάιιεηαη θαηά κήθνο ηνπ θνξέα. Ζ κέζνδνο ησλ Γπλαηώλ Έξγσλ αλαπηύρζεθε ηελ ίδηα πεξίνδν αλεμάξηεηα από ηνπο Greene θαη Mohr ζην ηειεπηαίν κηζό ηνπ 9 νπ αηώλα Θευπήμαηα Βάζεη ηεο ζρέζεο πνπ ζπλδέεη ηε ε παξάγσγν ηεο ειαζηηθήο γξακκήο κε ηε ξνπή θάκςεο ηεο δηαηνκήο ε ζηξνθή ηεο δνθνύ (ε θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) γξάθεηαη σο: d d d d M M d d d d d EI EI d (7.4) Γξαθηθά ε ζρέζε (7.4) παξνπζηάδεηαη ζην ρ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ ιόγνπ ηεο θακπηηθήο ξνπήο πξνο ην γηλόκελν ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο κε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο δηαηνκήο (M/EI) (ρ. 7.4a) ηζνύληαη κε ηε κεηαβνιή ηεο γσλίαο ζ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ηεο δνθνύ (ρ. 7.4b). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλνιηθήο γσλίαο ζηξνθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M M d d d EI (7.5) A EI A A A Ζ ζρέζε κεηαμύ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο πνζόηεηαο M/EI παξνπζηάδεηαη ζην ρ Ζ ζηξνθή ζε κία ζέζε Β ζε ζπλάξηεζε ηεο ζηξνθήο ηεο ζέζεο Α θαη ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI δίδεηαη σο: M A A d (7.6) EI Καζώο ιακβάλνληαη ππόςε κόλνλ κηθξέο κεηαηνπίζεηο, ε θάζεηε απόζηαζε ηνπ ρ. 7.4b dδ (ε απόθιηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν αξρήο) δίδεηαη από ηνλ ηύπν: d d (7.7) A Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

43 ρ. 7.4: Γξαθηθή Απεηθόληζε ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηνπ άμνλα Υ θαζνξίδεη ην κέγεζνο ηεο κεηαβνιήο ηεο γσλίαο ζ (dζ) 7. ρ. 7.5: ρέζε κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηεο ειαζηηθήο γξακκήο 8. Άξα βάζεη ηεο ζρέζεο (7.5) ε ζπλνιηθή κεηαβνιή ηνπ βέινπο ιόγσ θάκςεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαη εηδηθόηεξα ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β δίδεηαη σο: 7 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall 8 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

44 M M d d d d EI (7.8) A/ EI A A A A Οη ζρέζεηο (7.6) θαη (7.8) πνπ δίδνπλ ην ν θαη ν ζεώξεκα ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ αληίζηνηρα κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο θαη κεηαηόπηζεο δύν ζεκείσλ ζε κία δνθό ρσξίο λα απαηηείηαη ε γλώζε ηεο ζρέζεο πνπ δηέπεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. εκεηώλεηαη όηη:. Σα ζπγθεθξηκέλα ζεσξήκαηα εθαξκόδνληαη κεηαμύ νπνηνλδήπνηε δύν ζεκείσλ ζπλερνύο ειαζηηθήο γξακκήο γηα νπνηαδήπνηε δνθό θαη νπνηνδήπνηε θνξηίν.. Σα ζεσξήκαηα ππνινγίδνπλ κόλνλ ηε ζρεηηθή ζηξνθή κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαζώο θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ αξρήο.. Σν πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο νξίδεηαη ζύκθσλα κε ην δεμηόζηξνθν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Θεηηθή ζρεηηθή ζηξνθή έρεη σο απνηέιεζκα ηε πεξηζηξνθή ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζε θνξά αληίζεηε απηήο ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. 4. Θεηηθό πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο κεηαηόπηζεο εξκελεύεηαη σο κεηαηόπηζε θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα Τ ηνπ ζεκείνπ ηνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο αξρήο. ην ρ. 7.6, παξνπζηάδνληαη δηάθνξα παξαδείγκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε ην πξόζεκν ηεο ηηκήο. Δηδηθόηεξα παξαηεξνύκε όηη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο ηνπ ζεκείνπ Α (δ Α/Β ) από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β είλαη ζεηηθό θαζώο ην ζεκείν βξίζθεηαη ζε πεξηνρή κε ηεηαγκέλε θαηά Τ κεγαιύηεξε απηήο ηνπ αληίζηνηρνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν έρνπλ ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ (ρ. 7.6a). Αληίζηνηρα θαη ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη ζεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β από ην αληίζηνηρν ζεκείν ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ είλαη κεγαιύηεξε (άξα ε δηαθνξά απηώλ είλαη ζεηηθή). ην ρ. 7.6c παξνπζηάδεηαη ε πεξίπησζε όπνπ ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη αξλεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β είλαη κηθξόηεξε ηνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-44

45 ρ. 7.6: Δπεμήγεζε ηνπ πξόζεκνπ ηεο ηηκήο ηεο απόθιηζεο από ηελ εθαπηνκέλε 9. Ζ ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηεο ζρέζεο (7.8) κπνξεί λα γξαθεί σο: (7.9) A/ Όπνπ ε απόζηαζε ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ από ην ζεκείν Α. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ δ Β/Α ε ζρέζε δίδεηαη σο: (7.) / A Όπνπ ε απόζηαζε από ην ζεκείν Β ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ. Ζ ηηκή Φ δίδεηαη σο ην εκβαδό ηνπ ρσξίνπ κεηαμύ Α θαη Β θαη είλαη απηό πνπ θαζνξίδεη θαη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο. Οη απνζηάζεηο θαη ιακβάλεηαη σο απόιπηεο ηηκέο. Οη ζρέζεηο (7.9) θαη (7.) είλαη αλάινγεο ησλ ζρέζεσλ ηεο ζηαηηθήο ξνπήο αδξάλεηαο ηνπ απνθνπηόκελνπ ηκήκαηνο κίαο δηαηνκήο. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ Έζησ ν πξόβνινο ηνπ ρ κε ζπλνιηθό κήθνο.8m απνηεινύκελν από ηξία επηκέξνπο ηκήκαηα θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο. Τ p=-q Α 4m Β Γ 4m.8m Γ Υ Φ64./4. Φ48./. Φ48./. ρ. 7.7: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. 9 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-45

46 Σν ν ηκήκα (ΑΒ) είλαη από ράιπβα όπσο θαη ην ν ηκήκα (ΒΓ). Σν ν ηκήκα είλαη από αινπκίλην. ην ρ. 7.7 νη δηαζηάζεηο ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο παξνπζηάδνληαη ζε ρηιηνζηά. Σν θαηαλεκεκέλν θνξηίν ιακβάλεη ηηκή ίζε κε p=-.kn/m. Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ γεσκεηξηθώλ δεδνκέλσλ ηεο δηαηνκήο Γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ξνπώλ αδξάλεηαο εθαξκόδεηαη ν γλσζηόο ηύπνο: I 64 4 D D t Γηα ηηο δηαθνξεηηθέο δηαηνκέο ηα γεσκεηξηθά ζηνηρεία ζπλνςίδνληαη σο: Τμήματα Διατομή D (m) t (m) (m) Υλικό Ε (kn/m) Ι (m4) ΕΙ (kn*m) Φ64./ Φάλυβας.48E Φ48./ Φάλυβας.57E Φ48./ Αλουμίνιο 7.57E Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ Μ, Μ/ΕΙ, θ θαη δ Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: 4 M q q q Σν δηάγξακκα ηεο ξνπήο θάκςεο ηνπ πξνβόινπ παξνπζηάδεηαη ζην ρ Σν δηάγξακκα ηνπ Μ/ΔΗ ην νπνίν θαη θαζνξίδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ ύκθσλα κε ηε ζρέζε (7.6) ε γσλία ζηξνθήο δίδεηαη σο: Αληίζηνηρα ε ζρέζε (7.8) γξάθεηαη σο: M d EI / M d EI Ζ εμέιημε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθήο θαη ηεο κεηαθίλεζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ Παξαηεξνύκε όηη ε ζηξνθή έρεη ηηκή αξλεηηθή κε κέγηζηε ηηκή ζ ma =.475 rad ήηνη.7. Καζώο ε ηηκή είλαη αξλεηηθή ε θνξά είλαη απηή ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ νπόηε θαη ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη όιν θαη πεξηζζόηεξν θαζώο απμάλεηαη ε απόζηαζε από ην ζεκείν ηεο ζηήξημεο (θόθθηλε γξακκή). Άξα ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α ηεο ζηήξημεο από εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Γ (ην άθξν ηεο δνθνύ) είλαη ίζε κε -9. cm θαζώο ε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Α ζηελ εθαπηνκέλε (ίδηα ηεηκεκέλε θαηά Υ) έρεη κεγαιύηεξε ηεηαγκέλε από απηή ηνπ ζεκείνπ Α. Καζώο ε κεηαηόπηζε θαη ε ζηξνθή ηνπ ζεκείν Α (ηεο ζηήξημεο) είλαη ίζε κε ην κεδέλ θαη ε αληίζηνηρε ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α είλαη ίζε κε ην κεδέλ ην δηάγξακκα παξνπζηάδεη ην ζρεηηθή ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α (=) ζε ζρέζε κε νπνηνδήπνηε άιιν ζεκείν ηεο δνθνύ θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Α (=) από νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-46

47 θ (rad) δ (m) Μ/ΕΙ Ροπή (knm) Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΗΗ). Ροπή Κάμτηρ Υ ρ. 7.8: Ρνπή θάκςεο πξνβόινπ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ Διάγπαμμα Μ/ΕΙ -.E- -4.E- -6.E- -8.E- -.E- -.E Υ ρ. 7.9: Γηάγξακκα Μ/ΕΙ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ -5.E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -4.E- -4.5E- σεηική ηποθή θ και σεηική Μεηαηόπιζη δ θ (rad) δ (m) (=/) δ' (m) (/=) E Υ -.5 ρ. 7.4: ρεηηθή ηξνθή ζ θαη ρεηηθή Μεηαηόπηζε δ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο / ε ζρέζε γξάθεηαη σο: / M d EI Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-47

48 Ζ καύξε γξακκή δίδεη ηελ εμέιημε ηεο πνζόηεηαο /. Καζώο δ(=)= όπσο θαη θ(=)= ε πνζόηεηα απηή ηαπηίδεηαη κε ηε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. To βέινο θάκςεο κεηξηέηαη ζε. cm ζην άθξν ηεο δνθνύ. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν Έζησ ην παξάδεηγκα ηνπ ρ. 7.4a. Να βξεζεί ε ζρεηηθή κεηαθίλεζε ζην θέληξν ηεο δνθνύ εμαηηίαο ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ ζε απόζηαζε a=/4 από ηε ζηήξημε Α. Ζ ηηκή ΔΗ είλαη ζηαζεξή ρ. 7.4: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P Τπνινγηζκόο ρεηηθώλ ηξνθώλ θαη Μεηαθηλήζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: P a M P a Σν δηάγξακκα ησλ ξνπώλ παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4b. Καζώο ην γηλόκελν ΕΙ είλαη ζηαζεξό ε κνξθή ηνπ δηαγξάκκαηνο Μ/ΕΙ είλαη αληίζηνηρε ηνπ δηαγξάκκαηνο ηνπ ρ. 7.4b. ην ρ. 7.4c παξνπζηάδεηαη ε κνξθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο κεηαηόπηζεο ππάξρνπλ ελαιιαθηηθέο πξνζεγγίζεηο. Ζ πξώηε πξνζέγγηζε παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4c. Ζ απόζηαζε πνπ δεηείηαη δίδεηαη σο: Σα κήθε CC θαη CC δίδνληαη σο: C CC CC CC Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-48

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα:

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα: ηηο πξνζνκνηώζεηο πνπ αθνινπζνύλ εμεηάδεηαη ε πεξίπησζε ηνπ θπιίλδξνπ δηπιαζίσλ δηαζηάζεσλ θαη γίλεηαη εμέηαζε θάζε θπιίλδξνπ μερσξηζηά (εμσηεξηθνύ θαη εζσηεξηθνύ). Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Intel Accelerate Your Code

Intel Accelerate Your Code Intel Accelerate Your Code Semester Project at Parallel & Distributed systems Dimitrios S. Tsiktsiris University of Western Macedonia Department of Informatics & Telecommunications Engineering Kozani,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγμαηα Νέας έκδοζης με διαζηαζιολόγηζη καηαζκεσών από οπλιζμένο Σκσρόδεμα, Χάλσβα ή Ξύλο, ζύμθωνα με Εσρωκώδικες 2, 3 και 5

Παραδείγμαηα Νέας έκδοζης με διαζηαζιολόγηζη καηαζκεσών από οπλιζμένο Σκσρόδεμα, Χάλσβα ή Ξύλο, ζύμθωνα με Εσρωκώδικες 2, 3 και 5 Παραδείγμαηα Νέας έκδοζης με διαζηαζιολόγηζη καηαζκεσών από οπλιζμένο Σκσρόδεμα, Χάλσβα ή Ξύλο, ζύμθωνα με Εσρωκώδικες 2, 3 και 5 Copyright RUNET Software www.runet.gr 1 1. Παραδείγματα 1.1 Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk)

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Σεκηλάξην Τνκέα Λνγηζκηθνύ Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Περίιευε παροσζίαζες Τη είλαη ηα «Γίθηπα πνπ παξέρνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Οξηζκόο Δύξεζε Δπηθαιύπηνληνο Γέλδξνπ κε Διάρηζην Βάξνο, δειαδή ειάρηζην άζξνηζκα βαξώλ αθκώλ Αιγόξηζκνη Prim, Kruskal, Baruvka Βαζίδνληαη ζηελ ηερληθή ηεο Απιεζηίαο Η νξζόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Εμπορική Air Sport Gun 777 Ονομαζία: Διανομέας: V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 Χώρα Προέλεσζης:

Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Εμπορική Air Sport Gun 777 Ονομαζία: Διανομέας: V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 Χώρα Προέλεσζης: 1 Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Air Sport Gun 777 V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 2 Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER LH V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: ΧΚ918Α 3 Airsoft Gun κε Φσηεηλό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΣΙΜΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΣΑΗ

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΣΙΜΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΣΑΗ ΗΡΩΝ ΘΕΡΜΟΗΛΕΚΣΡΙΚΗ Α.Ε. ΜΕ ΙΧΤ ΣΗΝ ΑΓΟΡΑ ΣΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2011 ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΣΙΜΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΧΑΜΗΛΗ ΣΑΗ Ρο εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στη Θήβα ΔΙΕΤΘΤΝΗ ΠΩΛΗΕΩΝ 1/1/2011 TA ΔΚΞΝΟΗΘΑ ΡΗΚΝΙΝΓΗΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 Σν ΚΔ.ΔΛ.Π.ΝΟ., Γξαθείν Θεζζαινλίθεο θαη ε Γηεύζπλζε Γεκόζηαο Τγείαο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

H ΑΦΑΛΗΖ ΠΗΣΧΔΧΝ (ΔΝΑ ΚΛΑΓΟ ΑΦΑΛΗΖ, ΚΤΡΗΧ ΣΖ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΚΡΗΖ) Γεώξγηνο Ναπ. Ξαλζνύιεο Γηθεγόξνο, Γξ. Ννκηθήο Ννκηθόο ύκβνπινο

H ΑΦΑΛΗΖ ΠΗΣΧΔΧΝ (ΔΝΑ ΚΛΑΓΟ ΑΦΑΛΗΖ, ΚΤΡΗΧ ΣΖ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΚΡΗΖ) Γεώξγηνο Ναπ. Ξαλζνύιεο Γηθεγόξνο, Γξ. Ννκηθήο Ννκηθόο ύκβνπινο H ΑΦΑΛΗΖ ΠΗΣΧΔΧΝ (ΔΝΑ ΚΛΑΓΟ ΑΦΑΛΗΖ, ΚΤΡΗΧ ΣΖ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΚΡΗΖ) Γεώξγηνο Ναπ. Ξαλζνύιεο Γηθεγόξνο, Γξ. Ννκηθήο Ννκηθόο ύκβνπινο 1 ΑΦΑΛΗΕΟΜΔΝΟΗ α. ΔΛΛΖΝΗΚΔ & ΞΔΝΔ ΔΠΗΥΔΗΡΖΔΗ ΜΔ ΔΓΡΑ ΣΖΝ ΔΛΛΑΓΑ θαζώο θαη β.

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΣΡΑΝΖΙΣΟΡ ΕΠΑΦΗ. ΜΕΡΟ Α: Απαραίτητεσ γνώςεισ

ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΣΡΑΝΖΙΣΟΡ ΕΠΑΦΗ. ΜΕΡΟ Α: Απαραίτητεσ γνώςεισ ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΣΡΑΝΖΙΣΟΡ ΕΠΑΦΗ ΜΕΡΟ Α: Απαραίτητεσ γνώςεισ Σν ηξαλδίζηνξ είλαη ην ζεκαληηθόηεξν «ελεξγό» ειεθηξνληθό εμάξηεκα. Είλαη κία δηάηαμε ε νπνία κπνξεί ζηελ έμνδν ηεο λα δώζεη ζήκα κεγαιύηεξεο

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων): o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

10 Ημέρες / 07 Διανσκηερεύζεις Ανατωρήζεις 12/11, 26/11, 10/12, 07/01, 21/01, 11/02, 25/02, 10/03, 24/03

10 Ημέρες / 07 Διανσκηερεύζεις Ανατωρήζεις 12/11, 26/11, 10/12, 07/01, 21/01, 11/02, 25/02, 10/03, 24/03 10 Ημέρες / 07 Διανσκηερεύζεις Ανατωρήζεις 12/11, 26/11, 10/12, 07/01, 21/01, 11/02, 25/02, 10/03, 24/03 1 η ημέρα: ΑΘΗΝΑ ΜΠΑΝΓΚΟΚ πγθέληξσζε ζην αεξνδξόκην Διεπζέξηνο Βεληδέινο, θαη αλαρώξεζε γηα Μπαλγθόθ.Γηαλπθηέξεπζε

Διαβάστε περισσότερα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα 4. ΑΝΑΠΝΟΗ Η δηάζπαζε ηεο γιπθόδεο γίλεηαη κέζα ζηα θύηηαξα, νλνκάδεηαη θπηηαξηθή αλαπλνή θαη εμαζθαιίδεη ηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απαξαίηεηε ζην θύηηαξν. Η δηάζπαζε γίλεηαη κε ηελ παξνπζία νμπγόλνπ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΣΑΦΡΑΗ SUPER SEAL PRO

ΜΔΣΑΦΡΑΗ SUPER SEAL PRO ΜΔΣΑΦΡΑΗ SUPER SEAL PRO -Γηα επαγγεικαηηθή ρξήζε κόλν. Όηαλ ην ρξεζηκνπνηείηε θνξέζηε πξνζηαηεπηηθά γπαιηά θαη γάληηα. -Να κελ ρξεζηκνπνηείηε ζε θιεηζηνύ ηύπνπ ζπκπηεζηέο. ΗΜΑΝΣΙΚΗ ΗΜΔΙΩΗ Δμαηηίαο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΜΟΡΦΩΣΙΚΟ ΔΜΙΝΑΡΙΟ ΔΞΔΣΑΣΩΝ ΣΟΤΡΚΙΚΗ ΓΛΩΑ ΔΞΔΣΑΗ ΣΟ ΓΙΑΒΑΘΜΙΜΔΝΟ ΔΠΙΠΔΓΟ Β (Β1 & Β2) άββατο 3 Μαρτίου 2012 Αθήνα

ΔΠΙΜΟΡΦΩΣΙΚΟ ΔΜΙΝΑΡΙΟ ΔΞΔΣΑΣΩΝ ΣΟΤΡΚΙΚΗ ΓΛΩΑ ΔΞΔΣΑΗ ΣΟ ΓΙΑΒΑΘΜΙΜΔΝΟ ΔΠΙΠΔΓΟ Β (Β1 & Β2) άββατο 3 Μαρτίου 2012 Αθήνα ΚΡΑΣ ΙΚΟ ΠΙΣ ΟΠΟΙ ΗΣΙΚ Ο ΓΛΩ ΟΜΑΘΔΙΑ ΔΠΙΜΟΡΦΩΣΙΚΟ ΔΜΙΝΑΡΙΟ ΔΞΔΣΑΣΩΝ ΣΟΤΡΚΙΚΗ ΓΛΩΑ ΔΞΔΣΑΗ ΣΟ ΓΙΑΒΑΘΜΙΜΔΝΟ ΔΠΙΠΔΓΟ Β (Β1 & Β2) άββατο 3 Μαρτίου 2012 Αθήνα τόχοι του σεμιναρίου Με ην παξόλ ζεκηλάξην απνζθνπνύκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΒΔΣΔΙΣ - ΜΔΘΟΓΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΠΟΣΒΔΣΔΙΣ - ΜΔΘΟΓΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΟΣΒΔΣΔΙΣ - ΜΔΘΟΓΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ πόσβεση είλαη ε βαζκηαία κείσζε ηεο αμίαο ησλ πάγησλ πεηνπζηαθώλ ζηνηρείσλ ιόγσ ιεηηνπγηθήο θζνάο, νηθνλνκηθήο απαμίσζεο (ηερλνινγηθήο παιαίσζεο) ή θαη απιήο παόδνπ ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΚΑΣΑΣΑΗ ΜΔΣΑ ΑΠΟ ΑΡΘΡΟΚΟΠΗΗ ΙΥΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ 6 ΔΒΓΟΜΑΓΩΝ

ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΚΑΣΑΣΑΗ ΜΔΣΑ ΑΠΟ ΑΡΘΡΟΚΟΠΗΗ ΙΥΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ 6 ΔΒΓΟΜΑΓΩΝ ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΚΑΣΑΣΑΗ ΜΔΣΑ ΑΠΟ ΑΡΘΡΟΚΟΠΗΗ ΙΥΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ 6 ΔΒΓΟΜΑΓΩΝ (Τπεύζπλνο Ιαηξόο : Α. Παπαβαζηιείνπ) (Τπεύζπλνη Φπζ/ηέο: Ισαθεηκίδεο ηαύξνο θηλ. 6977223666, Καξακέξε Καηεξίλα θηλ. 6944701324)

Διαβάστε περισσότερα

Γραφεύα Επικοινωνύασ & Ενημϋρωςησ ϋρρεσ, Τψηλϊντου 4 3οσ Όροφοσ ΣΗΛ 2321023640 ΥΑΦ 2321051861

Γραφεύα Επικοινωνύασ & Ενημϋρωςησ ϋρρεσ, Τψηλϊντου 4 3οσ Όροφοσ ΣΗΛ 2321023640 ΥΑΦ 2321051861 Οπγάνωζη και διοίκηζη ηοςπιζηικών επισειπήζεων (ξενοδοσεία, ηοςπιζηικά γπαθεία ) Α) ΑΔΙ ΣΔΙ και Β) ΑΠΟΦΟΙΣΟΙ ΤΠΟΥΡΔΩΣΙΚΗ ΓΔΤΣΔΡΟΒΑΘΜΙΑ και ΜΔΣΑΓΔΤΣΔΡΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ Ρν πξόγξακκα απηό ζρεδηάζηεθε γηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT Οπηηθέο Δπηθνηλσλίεο Μαγδάιεο Δκκαλνπήι ΑΔΜ: 1621 e-mail: emagdali@csd.auth.gr

PROJECT Οπηηθέο Δπηθνηλσλίεο Μαγδάιεο Δκκαλνπήι ΑΔΜ: 1621 e-mail: emagdali@csd.auth.gr PROJECT Οπηηθέο Δπηθνηλσλίεο Μαγδάιεο Δκκαλνπήι ΑΔΜ: 1621 e-mail: emagdali@csd.auth.gr Τν ζύζηεκά καο, θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: H εξγαζία έγηλε ρξεζηκνπνηώληαο ένα κήθνο θύκαηνο. Θα κπνξνύζακε λα βάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγτος Ορθογραθίας - Γραμμαηικής. Ορθογραθικός και Γραμμαηικός Έλεγτος

Έλεγτος Ορθογραθίας - Γραμμαηικής. Ορθογραθικός και Γραμμαηικός Έλεγτος 3.6 Έλεγτος Ορθογραθίας - Γραμμαηικής Ορθογραθικός και Γραμμαηικός Έλεγτος Πνιιέο θνξέο, θαζώο γξάθνπκε ζην Word, βιέπνπκε θπκαηηζηέο θόθθηλεο θαη πξάζηλεο ππνγξακκίζεηο λα εκθαλίδνληαη θάησ από νξηζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ηέθαλνο Κεΐζνγινπ, Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ M.ed *www.geogebra.org ΤΠΕΠΘ / ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΕΠΙΦΕΙΡΗΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ» Γ ΚΟΙΝΟΣΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Α Γ Ο Ρ Δ Τ Δ Σ Α Ι Η Υ Ρ Η Η Η Λ Δ Κ Σ Ρ Ι Κ Ο Τ Κ Α Σ Α Β Ι Γ Ι Ο Τ

Α Π Α Γ Ο Ρ Δ Τ Δ Σ Α Ι Η Υ Ρ Η Η Η Λ Δ Κ Σ Ρ Ι Κ Ο Τ Κ Α Σ Α Β Ι Γ Ι Ο Τ ΟΓΗΓΙΔ ΔΓΚΑΣΑΣΑΗ ΔΝΘΔΣΟΤ Α Π Α Γ Ο Ρ Δ Τ Δ Σ Α Ι Η Υ Ρ Η Η Η Λ Δ Κ Σ Ρ Ι Κ Ο Τ Κ Α Σ Α Β Ι Γ Ι Ο Τ Τνπνζεηήζηε ηα θιηπ ηνπ λεξνρύηε ζηηο εγθνπέο πνπ βξίζθνληαη θάηω από ην λεξνρύηε (Σρ. 1). ημείωζη: αλάινγα

Διαβάστε περισσότερα

Πλεόναςμα Καταναλωτι

Πλεόναςμα Καταναλωτι Ηιτθςθ τθσ αγοράσ Πλεόναςμα Καταναλωτι Η ατομική καμπύλη ζήτησης παρουσιάζει τις μέγιστες ποσότητες από ένα αγαθό/υπηρεσία που ένας καταναλωτής είναι διατεθειμένος να πληρώσει Η τιμή της αγοράς προσδιορίζει

Διαβάστε περισσότερα

Διιεληθά Σειρά Moov Δγτειρίδιο τρήζηη Δνημέρφζης ταρηών Web Αλαζεώξεζε: R00 (2010/05) Πώς να ενημερώζφ ηοσς τάρηες; Υπάξρνπλ ηέζζεξα βήκαηα γηα ηελ ελεκέξσζε ηνπ ράξηε. Βήκα

Διαβάστε περισσότερα

Γεώξγηνο Π. Καξακαλώιεο Ννζνθνκείν Αηηηθόλ 9 ε Εθπαηδεπηηθή δηεκεξίδα ΕΠΕΓΕ, Αζήλα 24-25 Σεπηεκβξίνπ 2011 πνηεο νη βαζηθέο αξρέο ηεο κεζόδνπ; θαηαγξαθή ελδναπιηθώλ πηέζεσλ ζηαηηθέο πηέζεηο αξρέο ηεο κεζόδνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ.

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΓΑΘΡΙΑ Π. 1,2, ΓΑΘΡΙΑΠ Θ. 1, ΚΖΡΠΗΝ- ΓΑΘΡΙΑ Γ. 1,3,4, ΘΑΡΠΗΑΟΓΑΛΖΠ Ι. 1,5, Α ΛΑΠΡΑΠΗΝ Α. 1,4,6, ΛΗΘΝΙΑΝΠ ΠΘΔΛΡΔΟΖΠ 6. 1. Δ Ρ Α Η Ο Δ Η Α Φ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Η Νοζηλεςηική Γιεπγαζία ζε Αζθενείρ με Κ.Ν.Μ.

Η Νοζηλεςηική Γιεπγαζία ζε Αζθενείρ με Κ.Ν.Μ. Η Νοζηλεςηική Γιεπγαζία ζε Αζθενείρ με Κ.Ν.Μ. ΜΠΙΛΙΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ Νοσηλεύτρια Σ.Δ. ΜSc Προϊσταμένη τμήματος ΦΙΑπ Γ.Ν. ΚΑΣ ΜΟΥΙΓΗ ΘΔΜΙΣΟΚΛΗ Νοσηλεστής Σ.Δ. τμήματος ΦΙΑπ Γ.Ν. ΚΑΣ ΒΟΤΡΛΔΓΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΣΑ Νοσηλεύτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κώζηαο Γαβξίιεο, Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ Γεπηεξνβάζκηαο Δθπαίδεπζεο *www.geogebra.org ΤΠΕΠΘ / ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΕΠΙΦΕΙΡΗΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε

Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε 1 ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΑ ΑΕΡΙΑ.1 ΓΔΝΗΚΑ Δίδακε όηη ηα ηδαληθά αέξηα ππαθνύνπλ ζηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε P = RT (γηα έλα ol) Από ηε ζρέζε απηή παίξλνπκε Ζ = P / RT = 1 Γειαδή ν ιόγνο Ζ, πνπ νλνκάδεηαη παπάγονηαρ ζςμπιεζηόηηηαρ,

Διαβάστε περισσότερα

Η επζεία πνπ πξνζαξκόζηεθε είλαη ηεο κνξθήο y=ax+b, (1) κε a=(-0.0072±0.0004)cm 2 /mg θαη b=8.61±0.25 δειαδή y=-0.0072x+8.61

Η επζεία πνπ πξνζαξκόζηεθε είλαη ηεο κνξθήο y=ax+b, (1) κε a=(-0.0072±0.0004)cm 2 /mg θαη b=8.61±0.25 δειαδή y=-0.0072x+8.61 Εξγαζηεξηαθή άζθεζε ζηελ Ππξεληθή Φπζηθή: 3 Απνξξόθεζε ζσκαηηδίσλ β Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 3/1/01 ΕΙΑΓΩΓΗ Σθνπόο ηεο άζθεζεο είλαη ε κειέηε ηεο εκβέιεηαο ησλ ζσκαηηδίσλ β, δειαδή ησλ ειεθηξνλίσλ πνπ εθπέκπνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Ομείεο θαη ρξόληεο επηδξάζεηο ηεο ζσκαηηθήο άζθεζεο ζε αζεξνγελεηηθνύο παξάγνληεο θηλδύλνπ

Ομείεο θαη ρξόληεο επηδξάζεηο ηεο ζσκαηηθήο άζθεζεο ζε αζεξνγελεηηθνύο παξάγνληεο θηλδύλνπ Ομείεο θαη ρξόληεο επηδξάζεηο ηεο ζσκαηηθήο άζθεζεο ζε αζεξνγελεηηθνύο παξάγνληεο θηλδύλνπ Βαζίιεο Μνύγηνο Καζεγεηήο βηνρεκείαο ηεο άζθεζεο ΤΔΦΑΑ ΑΠΘ http://users.auth.gr/mougios Η άζθεζε κεηώλεη ηνπο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET)

ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET) ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET) 1 Έλλνηα ηνπ Ιζνινγηζκνύ Ο Ιζνινγηζκόο είλαη έλαο πίλαθαο πνπ δείρλεη ηελ νηθνλνκηθή θαηάζηαζε ηεο επηρείξεζεο ζε κηα δεδνκέλε ζηηγκή Σηνλ

Διαβάστε περισσότερα

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code)

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Page 1 Υποπλοίαρτος Ν. Πεηράκος ΠΝ Αηδένηα Γνύξεηνη Ίππνη (Trojan Horses) Ινί (Viruses) Worms Root-kit Page 2 Γνύξεηνο Ίππνο (Trojan Horse) Οξηζκόο: Πξόγξακκα

Διαβάστε περισσότερα

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ DOM Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ Σηόρνο ηεο ώξαο Δμνηθείωζε κε ην DOM Γέληξν DOM: Γηάζρηζε Τξνπνπνίεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕ ΤΜΠΛΗΡΩΗ ΣΩΝ ΤΠΟΔΕΙΓΜΑΣΩΝ Ε01, Ε02 ΚΑΙ Ε03: ΣΟΙΥΕΙΑ ΓΙΑ ΣΑ ΜΕΓΑΛΑ ΥΡΗΜΑΣΟΔΟΣΙΚΑ ΑΝΟΙΓΜΑΣΑ ΣΩΝ ΑΕΠΕΤ

ΟΔΗΓΙΕ ΤΜΠΛΗΡΩΗ ΣΩΝ ΤΠΟΔΕΙΓΜΑΣΩΝ Ε01, Ε02 ΚΑΙ Ε03: ΣΟΙΥΕΙΑ ΓΙΑ ΣΑ ΜΕΓΑΛΑ ΥΡΗΜΑΣΟΔΟΣΙΚΑ ΑΝΟΙΓΜΑΣΑ ΣΩΝ ΑΕΠΕΤ ΟΔΗΓΙΕ ΤΜΠΛΗΡΩΗ ΣΩΝ ΤΠΟΔΕΙΓΜΑΣΩΝ Ε01, Ε02 ΚΑΙ Ε03: ΣΟΙΥΕΙΑ ΓΙΑ ΣΑ ΜΕΓΑΛΑ ΥΡΗΜΑΣΟΔΟΣΙΚΑ ΑΝΟΙΓΜΑΣΑ ΣΩΝ ΑΕΠΕΤ Σα ππνδείγκαηα πνπ αθνξνύλ ηα Μεγάια Υξεκαηνδνηηθά Αλνίγκαηα είλαη ηα αθόινπζα ηξία: Τπόδεηγκα

Διαβάστε περισσότερα

Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή

Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή Δέζπνηλα Μηραήι Τπ. Δξ. Πιεξνθνξηθήο Εξεπλεηηθό Εξγαζηήξην: Γξαθηθώλ Τπνινγηζηώλ & Εηθνληθήο Πξαγκαηηθόηεηαο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο - Παλεπηζηήκην Κύπξνπ

Διαβάστε περισσότερα

Ανίτνεσζη Kσκλοθορούνηων Kαρκινικών Kσηηάρων (KKK) με ηην ηετνική ηης

Ανίτνεσζη Kσκλοθορούνηων Kαρκινικών Kσηηάρων (KKK) με ηην ηετνική ηης Ανίτνεσζη Kσκλοθορούνηων Kαρκινικών Kσηηάρων (KKK) με ηην ηετνική ηης multiplex PCR ΜΘΥΑΛΗ ΚΟΤΣΘΛΘΕΡΗ, MD, Ph.D Καθηγηηής Πειραμαηικης Φσζιολογίας, Θαηρική τολή, Παν/μίοσ Αθηνών Η αλίρλεπζε ηεο ύπαξμεο

Διαβάστε περισσότερα

Fysiotek Treatment. Μυοσκελετικοί πόνοι; Βγάλτε τους από τη μέση... Fysiotek Πρότυπη μηχανική αξιολόγηση και θεραπεία

Fysiotek Treatment. Μυοσκελετικοί πόνοι; Βγάλτε τους από τη μέση... Fysiotek Πρότυπη μηχανική αξιολόγηση και θεραπεία Μυοσκελετικοί πόνοι; Βγάλτε τους από τη μέση... Fysiotek Πρότυπη μηχανική αξιολόγηση και θεραπεία Πρώτη φορά στην Ελλάδα η επεμβατική φυσικοθεραπεία Στόχος: το μηχανικό αίτιο του μυοσκελετικού προβλήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Οινθιεξωκέλεο ιύζεηο γηα ηελ γαιαθηνβηνκεραλία

Οινθιεξωκέλεο ιύζεηο γηα ηελ γαιαθηνβηνκεραλία ΧΗΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ Α.Ε Οινθιεξωκέλεο ιύζεηο γηα ηελ γαιαθηνβηνκεραλία Πνηνί είκαζηε Η ΜΙΝΔΡΑΛ ΥΗΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΣΑ Α.Δ. μεθίλεζε ηελ πνξεία ηεο ην 1976. Από ηελ αξρή ζπλεξγαζηήθακε κε πξωηνπόξνπο εηαηξείεο ζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

Πληροθορίες για ηο μικροζκόπιο

Πληροθορίες για ηο μικροζκόπιο Πληροθορίες για ηο μικροζκόπιο Η επηινγή ηεο θαηάιιειεο κεγέζπλζεο ζην κηθξνζθόπην εμαξηάηαη από ην πξνο παξαηήξεζε αληηθείκελν. Η δπλαηόηεηα δηάθξηζεο ηωλ δηαθόξωλ ηκεκάηωλ ηνπ θπηηάξνπ νθείιεηαη ζην

Διαβάστε περισσότερα

ΧΟΡΗΓΟΙ 2010-2011 ΟΛΤΜΠΙΑΚΟΤ ΛΕΤΚΩΙΑ 14-15 ΜΑΙΟΤ 2011. Γιώργο θα είσαι πάντα στις καρδιές μας ΗΛΙΚΙΕ 1998-1999 & 2000-2001

ΧΟΡΗΓΟΙ 2010-2011 ΟΛΤΜΠΙΑΚΟΤ ΛΕΤΚΩΙΑ 14-15 ΜΑΙΟΤ 2011. Γιώργο θα είσαι πάντα στις καρδιές μας ΗΛΙΚΙΕ 1998-1999 & 2000-2001 ΧΟΡΗΓΟΙ 2010-2011 ΛΑΙΚΗ ΑΥΑΛΙΣΙΚΗ MTN ΚΟΠ ΠΕ ΣΡΟΒΟΛΟΤ ΑΗΚ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΡΠΕΖΑ METLIFE ALICO ΠΕΣΡΟ ΑΒΒΑ ΚΟΝΣΡΑΞΙΟΝ ΛΣΔ ΠΕΡΓΑΜΟ ΣΟΤΡΣΟΔΙΑΚΟΜΗΕΙ ΠΕΡΓΑΜΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΓΕΩΡΓΙΟ ΠΕΣΡΟΤ ΛΣΔ TOP KINISIS ΚΟΚΟΜΙΦ ΚΟΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα

1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ

1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ 1 ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάημε θηλεηηθώλ δεμηηήησλ θαη ηθαληεηηθή εθηέιεζε ξηζκέλσλ α αηέ Σηχ :1 και 4 Γλώζε ηε άζα κε δάηια ζηελ εηζθαίξηζε. Ειδιώξει Πειεχμεα Χ 1. Τα αηδηά λα κάζλ ηελ άζα κε δάηια. 1.

Διαβάστε περισσότερα

H "FRIGOGLASS ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΑ ΦΤΚΣΙΚΧΝ ΘΑΛΑΜΧΝ ΑΝΧΝΤΜΟ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΔΜΠΟΡΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ" (ε «Εηαιρεία»), πιεξνθνξεί ην θνηλό αλαθνξηθά κε ηα εμήο:

H FRIGOGLASS ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΑ ΦΤΚΣΙΚΧΝ ΘΑΛΑΜΧΝ ΑΝΧΝΤΜΟ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΔΜΠΟΡΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ (ε «Εηαιρεία»), πιεξνθνξεί ην θνηλό αλαθνξηθά κε ηα εμήο: H "FRIGOGLASS ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΑ ΦΤΚΣΙΚΧΝ ΘΑΛΑΜΧΝ ΑΝΧΝΤΜΟ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΔΜΠΟΡΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ" (ε «Εηαιρεία»), πιεξνθνξεί ην θνηλό αλαθνξηθά κε ηα εμήο: 1. Γηα ηεο από 14 Μαΐνπ 2010 απόθαζεο ηεο Γεληθήο πλέιεπζεο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΗΥΩΚΑΡΓΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΝ ΔΚΣΙΜΗΗ ΣΗ ΤΣΟΛΙΚΗ ΛΔΙΣΟΤΡΓΙΑ ΣΗ ΑΡΙΣΔΡΗ ΚΟΙΛΙΑ

Η ΗΥΩΚΑΡΓΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΝ ΔΚΣΙΜΗΗ ΣΗ ΤΣΟΛΙΚΗ ΛΔΙΣΟΤΡΓΙΑ ΣΗ ΑΡΙΣΔΡΗ ΚΟΙΛΙΑ Η ΗΥΩΚΑΡΓΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΝ ΔΚΣΙΜΗΗ ΣΗ ΤΣΟΛΙΚΗ ΛΔΙΣΟΤΡΓΙΑ ΣΗ ΑΡΙΣΔΡΗ ΚΟΙΛΙΑ ΙΩΑΝΝΗ Ν.ΒΛΑΔΡΟ ΚΑΡΓΙΟΛΟΓΙΚΟ ΣΜΗΜΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΔΙΟ Γ.Ν.ΑΘΗΝΩΝ ΤΣΟΛΙΚΗ ΛΔΙΣΟΤΡΓΙΚΌΣΗΣΑ ΣΗ ΑΡΙΣΔΡΗ ΚΟΙΛΙΑ θαηξηθή Σκεκαηηθή ηνηρωκαηηθή

Διαβάστε περισσότερα

Καρκίνος του μαστού: Παράγοντες Κινδύνου και Οικογενής Προδιάθεση

Καρκίνος του μαστού: Παράγοντες Κινδύνου και Οικογενής Προδιάθεση Καρκίνος του μαστού: Παράγοντες Κινδύνου και Οικογενής Προδιάθεση Ioanna Tzoulaki MSc PhD Lecturer in Epidemiology University of Ioannina School of Medicine & Imperial College School of Medicine Καρκίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ Νέος τρόπος έκδοσης αδειών δόμησης & ελέγχου κατασκευών

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ Νέος τρόπος έκδοσης αδειών δόμησης & ελέγχου κατασκευών ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ Νέος τρόπος έκδοσης αδειών δόμησης & ελέγχου κατασκευών Αθήνα, Ινύληνο 2011 Τα νθέιε ηνπ σχεδίου νόμου o Απλοποίηση, εκσυγχρονισμός και μείωση του χρόνου έγκρισης και έκδοσης οικοδομικών αδειών.

Διαβάστε περισσότερα

Σργγεμέπ ζροίγγιξ ζηελέςξρπ αοιζηεοάπ ζηεθαμιαίαπ αοηηοίαπ ποξπ ηξ δενιό κόλπξ. Διαγμωζηική ποξζπέλαζη και θεοαπερηική αμηιμεηώπιζη.

Σργγεμέπ ζροίγγιξ ζηελέςξρπ αοιζηεοάπ ζηεθαμιαίαπ αοηηοίαπ ποξπ ηξ δενιό κόλπξ. Διαγμωζηική ποξζπέλαζη και θεοαπερηική αμηιμεηώπιζη. Γ. Αηδονίδηρ¹, Θ. Ζαγκλαβάπα ¹, Τ. Χπιζηοθοπίδος ¹, Γ. Κονηόποςλορ ¹, Π. Τόζζιορ² 1 Κλινική Euromedica- «Κςανούρ Σηαςπόρ», Θεζζαλονίκη 2 Παν. Καπδιοσειποςπγική Κλινική Α.Π.Θ., Παν. Νοζοκομείο Α.Χ.Ε.Π.Α.,

Διαβάστε περισσότερα

Από ηε κεραλνξγάλσζε ησλ ππεξεζηώλ ζηε ςεθηαθή πόιε. Μηα λέα καηηά ζην ηξόπν ζρεδηαζκνύ παξνρήο ππεξεζηώλ

Από ηε κεραλνξγάλσζε ησλ ππεξεζηώλ ζηε ςεθηαθή πόιε. Μηα λέα καηηά ζην ηξόπν ζρεδηαζκνύ παξνρήο ππεξεζηώλ Από ηε κεραλνξγάλσζε ησλ ππεξεζηώλ ζηε ςεθηαθή πόιε. Μηα λέα καηηά ζην ηξόπν ζρεδηαζκνύ παξνρήο ππεξεζηώλ Μνρηαλάθεο Κσλ/λνο Πξντζηάκελνο Πιεξνθνξηθήο Γήκνπ Ηξαθιείνπ Η κεραλνξγάλσζε ησλ ππεξεζηώλ 1990-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜE TO GeoGebra * Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ηέθαλνο Κεΐζνγινπ, Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ M.ed *www.geogebra.org ΤΠΕΠΘ / ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΕΠΙΦΕΙΡΗΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ» Γ ΚΟΙΝΟΣΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έργο: «ταθμός E/K Ελ. Βενιζέλος στο Ν. Ικόνιο Κατασκευή Ν. Προβλήτα I» ΚΤΡΙΟ ΔΡΓΟΤ: Ο.Λ.Π. Α.Δ.

Έργο: «ταθμός E/K Ελ. Βενιζέλος στο Ν. Ικόνιο Κατασκευή Ν. Προβλήτα I» ΚΤΡΙΟ ΔΡΓΟΤ: Ο.Λ.Π. Α.Δ. Έργο: «ταθμός E/K Ελ. Βενιζέλος στο Ν. Ικόνιο Κατασκευή Ν. Προβλήτα I» ΚΤΡΙΟ ΔΡΓΟΤ: Ο.Λ.Π. Α.Δ. ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2007 ΠΡΟΫΠΑΡΧΟΤΑ ΚΑΣΑΣΑΗ 2005 ΚΟΠΟ ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΣΟΤ ΕΡΓΟΤ Δπέθηαζε ησλ ρεξζαίσλ ρώξσλ απνζήθεπζεο

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική ζήμανζη Δπώνσμο 10/8/2014 8:34:45 ΑΡΖΒΑΗΛΔΗΟΤ ΥΑΡΑΛΑΜΠΟ 10/8/2014 11:02:50 Γνκνπρηζή Διέλε 10/9/2014 11:55:41 Σδειέπε Αλαζηαζία 10/9/2014

Χρονική ζήμανζη Δπώνσμο 10/8/2014 8:34:45 ΑΡΖΒΑΗΛΔΗΟΤ ΥΑΡΑΛΑΜΠΟ 10/8/2014 11:02:50 Γνκνπρηζή Διέλε 10/9/2014 11:55:41 Σδειέπε Αλαζηαζία 10/9/2014 Χρονική ζήμανζη Δπώνσμο Όνομα 10/8/2014 8:34:45 ΑΡΖΒΑΗΛΔΗΟΤ ΥΑΡΑΛΑΜΠΟ 10/8/2014 11:02:50 Γνκνπρηζή Διέλε 10/9/2014 11:55:41 Σδειέπε Αλαζηαζία 10/9/2014 15:00:19 Λαηίλεο Αλδξέαο 10/9/2014 17:59:31 ΜΑΓΔΜΣΕΟΓΛΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

2o ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΤΝΔΓΡΙΟ ΣΗ ΔΒΙΠΑΡ ΘΔΜΑ: ΑΞΙΟΠΟΙΗΗ ΣΩΝ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΠΡΟΪΟΝΣΩΝ

2o ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΤΝΔΓΡΙΟ ΣΗ ΔΒΙΠΑΡ ΘΔΜΑ: ΑΞΙΟΠΟΙΗΗ ΣΩΝ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΠΡΟΪΟΝΣΩΝ 2o ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΤΝΔΓΡΙΟ ΣΗ ΔΒΙΠΑΡ ΘΔΜΑ: ΑΞΙΟΠΟΙΗΗ ΣΩΝ ΒΙΟΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΠΡΟΪΟΝΣΩΝ Αιανή, 1-3/06/2009 Σίηλορ Διζήγηζηρ: Καηλνηόκεο πξνζεγγίζεηο ζηα πιαίζηα ηεο LEADER Επηρεηξεκαηηθά ζελάξηα γηα ηελ αμηνπνίεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΣΟΚΡΑΣΟΡΙΚΟ ΜΑΡΟΚΟ

ΑΤΣΟΚΡΑΣΟΡΙΚΟ ΜΑΡΟΚΟ ΑΤΣΟΚΡΑΣΟΡΙΚΟ ΜΑΡΟΚΟ 7εκέξεο Εβδνκαδηαίεο αλαρσξήζεηο Ιαλνπάξηνο-Φεβξνπάξηνο 2012 1 ε εκέξα Αζήλα-Καδακπιάλθα-Μαξξαθέο πγθέληξσζε ζην αεξνδξόκην θαη πηήζε γηα ηελ Καδακπιάλθα κέζσ ζηαζκνύ. Άθημε θαη αθνινπζεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑ ΣΕΦ ΣΜΗΜΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΕΡΟΚΑΦΩΝ εκεηώζεηο εξγαζηεξίνπ «Αλαινγηθά Ηιεθηξνληθά», πγγξαθέαο: Χ. Λακπξόπνπινο, Έθδνζε 1ε

ΣΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑ ΣΕΦ ΣΜΗΜΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΕΡΟΚΑΦΩΝ εκεηώζεηο εξγαζηεξίνπ «Αλαινγηθά Ηιεθηξνληθά», πγγξαθέαο: Χ. Λακπξόπνπινο, Έθδνζε 1ε ΑΚΗΗ 2 σνέτεια ζηη γνωριμία με ηα όργανα και ηην διαδικαζία καηαζκεσής ηων κσκλωμάηων ηοσ εργαζηηρίοσ 2.. Πείξακα: ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟ ΓΔΝΝΗΣΡΙΑ ΚΤΜΑΣΟΜΟΡΦΩΝ 2... Έλλνηεο απαξαίηεηεο γηα ηελ εθηέιεζε ηνπ Πεηξάκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΜΑΣΑ ΚΔΦ. 2 Ο ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ - ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ - ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ. ΜΗΥΑΝΙΚΟ ή ΔΛΑΣΙΚΟ ΚΤΜΑ Θεκειηώδεο ηύπνο ηεο θπκαηηθήο Δμίζσζε αξκνληθνύ θύκαηνο.

ΚΤΜΑΣΑ ΚΔΦ. 2 Ο ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ - ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ - ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ. ΜΗΥΑΝΙΚΟ ή ΔΛΑΣΙΚΟ ΚΤΜΑ Θεκειηώδεο ηύπνο ηεο θπκαηηθήο Δμίζσζε αξκνληθνύ θύκαηνο. ΚΥΜΑΤΑ 1 ΚΔΦ. 2 Ο ΚΤΜΑΣΑ ΔΡΩΣΗΔΙ ΘΔΩΡΙΑ 1. Να δνζεί ν νξηζκόο ηνπ θύκαηνο. Πνην θύκα νλνκάδεηαη αξκνληθό; Πνηεο είλαη νη δπν βαζηθέο θαηεγνξίεο θπκάησλ; 2. ε πνηεο θαηεγνξίεο δηαθξίλνπκε ηα ειαζηηθά θύκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) TETAPTH 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΔΗΛΑΣΙΑ. Ισάλλεο Παπαληθνιάνπ

ΠΟΔΗΛΑΣΙΑ. Ισάλλεο Παπαληθνιάνπ ΠΟΔΗΛΑΣΙΑ Ισάλλεο Παπαληθνιάνπ Η πνδειαζία είλαη κηα επράξηζηε δξαζηεξηόηεηα κε πνιιά πιενλεθηήκαηα, δηαδεδνκέλε παγθνζκίσο. Ωζηόζν, ππάξρνπλ παξάγνληεο πνπ ζέηνπλ ηελ ζσκαηηθή καο αθεξαηόηεηα ζε θίλδπλν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο. Ηιεθηξνληθά ΙΙ

ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο. Ηιεθηξνληθά ΙΙ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Ηιεθηξνληθά ΙΙ Γεπηέξα 14/3/2011 Δηδάζθσλ: Γηώξγνο Χαηδεησάλλνπ Τειέθσλν: 99653828 Ε-mail: georghios.h@cytanet.com.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦAΛΑΗΟ 4 ΣΟ ΓΗΠΟΛΗΚΟ ΣΡΑΝΕΗΣΟΡ (BJT) 4.1. Σο Σρανδίζηορ

ΚΔΦAΛΑΗΟ 4 ΣΟ ΓΗΠΟΛΗΚΟ ΣΡΑΝΕΗΣΟΡ (BJT) 4.1. Σο Σρανδίζηορ ΚΔΦAΛΑΗΟ 4 ΣΟ ΓΗΠΟΛΗΚΟ ΣΡΑΝΕΗΣΟΡ (BJT) 4.1. Σο Σρανδίζηορ Η εμέιημε ηεο ηερλνινγίαο ηεο ειεθηξνληθήο κέρξη ηα ηέιε ηεο δεθαεηίαο ηνπ 1940, αθνινπζνύζε ηνπο ξπζκνύο αλάπηπμεο όισλ ησλ άιισλ θιάδσλ ηεο βηνκεραλίαο.

Διαβάστε περισσότερα

Χορήγηζη ΗΧΜΒ ζε ορθοπαιδικό τειροσργείο σπό περιοτική αναιζθηζία

Χορήγηζη ΗΧΜΒ ζε ορθοπαιδικό τειροσργείο σπό περιοτική αναιζθηζία Χορήγηζη ΗΧΜΒ ζε ορθοπαιδικό τειροσργείο σπό περιοτική αναιζθηζία Δρ Σηαμάηιος Α. Παπαδάκης Ορθοπαιδικός Χειροσργός Επιμεληηής Α - Ε.Σ.Υ. Δ Ορθοπαιδική Κλινική Γ.Ν.Α. KAT Αγαπεηέ Γηαηξέ.. Υειρόγραθο κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Θξήηε & Δμαγωγέο Κ Α Λ Α Μ Π Ο Κ Η Α Λ Κ Ι Β Ι Α Γ Η Π Ρ Ο Δ Γ Ρ Ο Γ..

Θξήηε & Δμαγωγέο Κ Α Λ Α Μ Π Ο Κ Η Α Λ Κ Ι Β Ι Α Γ Η Π Ρ Ο Δ Γ Ρ Ο Γ.. Θξήηε & Δμαγωγέο Κ Α Λ Α Μ Π Ο Κ Η Α Λ Κ Ι Β Ι Α Γ Η Π Ρ Ο Δ Γ Ρ Ο Γ.. Ο ύλδεζκνο Δμαγωγέωλ Θξήηεο Από ηελ ίδξπζή ηνπ ην 1995 πξνβαίλεη ζε ελέξγεηεο πνπ πξωηαξρηθό ζθνπό έρνπλ ηελ πξνώζεζε ηωλ εμαγωγώλ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΝΗΜΗ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΕΛΕΓΚΤΕΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΝΗΜΗ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΕΛΕΓΚΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΝΗΜΗ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΕΛΕΓΚΤΕΣ Η ζεκεξηλή ξαγδαία εμέιημε ηεο ηερλνινγίαο ηεο κηθξνειεθηξνληθήο επέηξεςε ηελ θαηαζθεπή εηδηθώλ νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ απνζήθεπζεο δεδνκέλσλ θαη πιεξνθνξηώλ θαηαιακβάλνπλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΔΑ ΚΑΘ ΠΡΟΜΗΘΕΘΕ ΣΡΑΠΕΖΘΚΩΝ ΕΡΓΑΘΩΝ

ΕΞΟΔΑ ΚΑΘ ΠΡΟΜΗΘΕΘΕ ΣΡΑΠΕΖΘΚΩΝ ΕΡΓΑΘΩΝ AEGEAN BALTIC BANK Α.Ε. 0,20% ειαρ. 20-κεγ. 150 3 3 πιένλ 5-15 1 ATTICA BANK ΑΝΩΝΤΜΗ ΣΡΑΠΕΖΘΚΗ ΕΣΑΘΡΕΘΑ ΜΕΩ ΑΝΣΑΠΟΚΡΘΣΩΝ 0,30% κε ειαρ. 15 + έμνδα SWIFT 10 0 0 3 15/10/2010 page 1 of 19 BANK SADERAT IRAN

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Διζαγφγή ζηη Φφηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Διζαγφγή ζηη Φφηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Διζαγφγή ζηη Φφηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑ 1 ον ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΧΔΙΡΙΜΟ ΣΗ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ Δξαζηηέρλεο Φσηνγξαθίδσ Σι είναι θφηογραθική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΣΖΡΑ ΒΗΟΜΑΕΑ EKOPAL ΠΔΡΗΓΡΑΦΖ. Ο θαπζηήξαο UNIVERSΑL είλαη έλαο «απηνθαζαξηδόκελνο» θαπζηήξαο θαηάιιεινο γηα θαύζε ζηεξεώλ θαπζίκσλ βηνκάδαο, όπσο:

ΚΑΤΣΖΡΑ ΒΗΟΜΑΕΑ EKOPAL ΠΔΡΗΓΡΑΦΖ. Ο θαπζηήξαο UNIVERSΑL είλαη έλαο «απηνθαζαξηδόκελνο» θαπζηήξαο θαηάιιεινο γηα θαύζε ζηεξεώλ θαπζίκσλ βηνκάδαο, όπσο: ΠΔΡΗΓΡΑΦΖ Ο θαπζηήξαο UNIVERSΑL είλαη έλαο «απηνθαζαξηδόκελνο» θαπζηήξαο θαηάιιεινο γηα θαύζε ζηεξεώλ θαπζίκσλ βηνκάδαο, όπσο: Ο θαπζηήξαο είλαη θαηαζθεπαζκέλνο εμ νινθιήξνπ από ρπηνζίδεξν (καληέκη). Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΔΒΡΑ ΚΑΙ ΣΟΙΥΔΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ Α ΣΑΞΗ ΗΜΔΡΗΙΟΤ ΓΔΝΙΚΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ. Γιδακηέα ύλη. Από ην βηβιίν «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γεληθνύ Λπθείνπ»

ΑΛΓΔΒΡΑ ΚΑΙ ΣΟΙΥΔΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ Α ΣΑΞΗ ΗΜΔΡΗΙΟΤ ΓΔΝΙΚΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ. Γιδακηέα ύλη. Από ην βηβιίν «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γεληθνύ Λπθείνπ» ΑΛΓΔΒΡΑ ΚΑΙ ΣΟΙΥΔΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ Α ΣΑΞΗ ΗΜΔΡΗΙΟΤ ΓΔΝΙΚΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ Γιδακηέα ύλη Από ην βηβιίν «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γεληθνύ Λπθείνπ» Διζαγωγικό κεθάλαιο E.2. ύλνια Κεθ.1 ο : Πιθανόηηηερ 1.1

Διαβάστε περισσότερα

233 Π Α Ρ Α Ρ Σ Η Μ Α

233 Π Α Ρ Α Ρ Σ Η Μ Α 233 Π Α Ρ Α Ρ Σ Η Μ Α 234 235 Yποτροφίες για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες του Σμήματος Φ.Π.Ψ. Οη θνηηεηέο/ηξηεο ηνπ Τκήκαηνο Φηινζνθίαο, Παηδαγσγηθήο θαη Χπρνινγίαο ηνπ Παλεπηζηεκίνπ Ισαλλίλσλ έρνπλ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Σμήμα Πληροθορικής

Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Σμήμα Πληροθορικής Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Σμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών ποσδών «Γιδακηική ηης Σετνολογίας & Φηθιακά σζηήμαηα» Μεηαπηστιακή Γιαηριβή Σίηλος Γιαηριβής Ονομαηεπώνσμο Φοιηηηή Αριθμός Μηηρώοσ Καηεύθσνζη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΟΣΔΛΔΙΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΓΔΩΛΟΓΙΑ Δπγαζηήπιο Σεσνικήρ Γεωλογίαρ και Τδπογεωλογίαρ ΓΟΚΙΜΑΣΙΚΔ ΑΝΣΛΗΔΙ ΚΩΣΑ ΒΟΤΓΟΤΡΗ

ΑΡΙΣΟΣΔΛΔΙΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΓΔΩΛΟΓΙΑ Δπγαζηήπιο Σεσνικήρ Γεωλογίαρ και Τδπογεωλογίαρ ΓΟΚΙΜΑΣΙΚΔ ΑΝΣΛΗΔΙ ΚΩΣΑ ΒΟΤΓΟΤΡΗ ΑΡΙΣΟΣΔΛΔΙΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΓΔΩΛΟΓΙΑ Δπγαζηήπιο Σεσνικήρ Γεωλογίαρ και Τδπογεωλογίαρ ΓΟΚΙΜΑΣΙΚΔ ΑΝΣΛΗΔΙ ΚΩΣΑ ΒΟΤΓΟΤΡΗ Δπίθνπξνο Καζεγεηήο, Τκήκα Γεσινγίαο Α.Π.Θ. ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ 2011 2 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. 10077, 10793 Β 2. Έλα απηνθίλεην θηλείηαη επζύγξακκα νκαιά. Έλα αθίλεην πεξηπνιηθό, κόιηο πεξλά ην απηνθίλεην από κπξνζηά ηνπ, αξρίδεη λα ην θαηαδηώθεη κε ζηαζεξή επηηάρπλζε. Α)

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ. Σμήμα Μησανολογίαρ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Θέμα: «ΜΔΛΔΣΗ ΠΔΡΙΠΣΩΔΩΝ ΣΙ ΤΓΚΡΟΤΔΙ ΟΥΗΜΑΣΩΝ»

Σ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ. Σμήμα Μησανολογίαρ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Θέμα: «ΜΔΛΔΣΗ ΠΔΡΙΠΣΩΔΩΝ ΣΙ ΤΓΚΡΟΤΔΙ ΟΥΗΜΑΣΩΝ» Σ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Σμήμα Μησανολογίαρ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ Θέμα: «ΜΔΛΔΣΗ ΠΔΡΙΠΣΩΔΩΝ ΣΙ ΤΓΚΡΟΤΔΙ ΟΥΗΜΑΣΩΝ» ποςδαζηήρ : Ειζηγηηήρ : Αλεξανδπήρ Γεώπγιορ ηάμορ πςπίδων Καβάλα 009 ΠΡΟΛΟΓΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γράφτηκε από τοσς: Μαρία Αμδρέοσ B1 Αθημά Σταύροσ B1 Κσριακή Παπαμικολάοσ B1 Νικόλα Παπαδούρη B2 Κάλλη Χριστουή B3

Γράφτηκε από τοσς: Μαρία Αμδρέοσ B1 Αθημά Σταύροσ B1 Κσριακή Παπαμικολάοσ B1 Νικόλα Παπαδούρη B2 Κάλλη Χριστουή B3 Γράφτηκε από τοσς: Μαρία Αμδρέοσ B Αθημά Σταύροσ B Κσριακή Παπαμικολάοσ B Νικόλα Παπαδούρη B2 Κάλλη Χριστουή B3 Υπεύθσμος Καθηγητής: Εμμαμοσήλ Κσριακάκης Λύθεην νιέαο ρνιηθή Χξνληά 2 22 ΝΔΟΙ ΓΗΜΟΙΟΓΡΑΦΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Καλοληζκός REACH - Αζθάιεηα θαη σγεία ζηελ εργαζία. Δρ Δήκεηρα Δαληήι, τεκηθός Προϊζηακέλε ηες Δ/λζες Περηβάιιοληος ηοσ Γ.Χ.Κ.

Καλοληζκός REACH - Αζθάιεηα θαη σγεία ζηελ εργαζία. Δρ Δήκεηρα Δαληήι, τεκηθός Προϊζηακέλε ηες Δ/λζες Περηβάιιοληος ηοσ Γ.Χ.Κ. Καλοληζκός REACH - Αζθάιεηα θαη σγεία ζηελ εργαζία Δρ Δήκεηρα Δαληήι, τεκηθός Προϊζηακέλε ηες Δ/λζες Περηβάιιοληος ηοσ Γ.Χ.Κ. 1 Κοηλοηηθή λοκοζεζία REACH - OSH REACH (Registration, Evaluation, Authorization

Διαβάστε περισσότερα

Τν θόζηνο κεηαθνξάο ελόο πξνϊόληνο από 2 ρώξεο παξαγωγήο (Α,Β) πξνο 5 ρώξεο θαηαλάιωζεο (1,2,3,4,5) δίλεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα:

Τν θόζηνο κεηαθνξάο ελόο πξνϊόληνο από 2 ρώξεο παξαγωγήο (Α,Β) πξνο 5 ρώξεο θαηαλάιωζεο (1,2,3,4,5) δίλεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα: ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΥΟΛΗ ΝΑΤΠΗΓΧΝ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΧΝ ΜΗΥΑΝΙΚΧΝ ΥΑΡΙΛΑΟ Ν. ΦΑΡΑΤΣΗ, ΚΑΘΗΓΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΑΛΑΙΧΝ ΜΔΣΑΦΟΡΧΝ Ι (7 ο ΔΞΑΜΗΝΟ) ΓΡΑΠΣΗ ΔΞΔΣΑΗ 26/1/2010 ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 2 ΧΡΔ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ: 3 ΜΔΓΙΣΟ ΒΑΘΜΟ:

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Γενικού Λυκείου

Φυσική Α Γενικού Λυκείου Φυσική Α Γενικού Λυκείου Λύσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή λύσεων: Άρης Ασλανίδης ΘΕΜΑΤΑ (9654-10108) Χρησιμοποιείτε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση

Διαβάστε περισσότερα