Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1"

Transcript

1 Πεξηερόκελα 7. ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ ΔΞΗΧΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Δηζαγσγή Δμίζσζε Διαζηηθήο Γξακκήο o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Διαζηηθή Γξακκή γηα κε πλερή Φνξηία o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Λύζεηο ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο Διαζηηθήο Γξακκήο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο θνξηίσλ ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΣΟΠΗΔΧΝ (MOMENT AREA METHOD) Δηζαγσγή Θεσξήκαηα o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ Δηζαγσγή Μέζνδνο ησλ Γπλάκεσλ Παξάδεηγκα Μνλόπαθηε δνθόο Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν Παξάδεηγκα ύλζεηε δνθόο ρήκαηα Υ. 7.: ΣΟΗΥΔΗΟ ΓΟΚΟΤ, ΦΟΡΣΗΖ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΤ ΟΤΓΔΣΔΡΟΤ ΆΞΟΝΑ Υ. 7.: ΤΜΠΔΡΗΦΟΡΑ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΟΚΟΤ Δ ΚΑΜΦΖ Υ. 7.: ΓΗΑΣΟΜΖ ΓΟΚΟΤ, ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΧΝ Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ ΔΛΔΤΘΔΡΟΤ ΧΜΑΣΟ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΜΖΚΟΤ DX Υ. 7.5: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.8: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.9: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.4: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.5: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΤΜΜΔΣΡΗΚΟ ΦΟΡΔΑ) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

2 Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ) Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ) Υ. 7.8: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΠΟΛΛΧΝ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΣΗ ΔΝΓΗΑΜΔΔ ΣΖΡΗΞΔΗ Υ. 7.9: ΘΔΣΗΚΔ ΦΟΡΔ ΔΝΣΑΣΗΚΧΝ ΜΔΓΔΘΧΝ ΓΗΑ ΔΝΓΟΣΗΚΔ ΣΖΡΗΞΔΗ Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ) Υ. 7.: ΤΓΚΡΗΖ ΣΔΜΝΟΤΑ Υ. 7.4: ΤΓΚΡΗΖ ΡΟΠΖ Υ. 7.5: ΤΓΚΡΗΖ ΚΛΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.6: ΤΓΚΡΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.7: ΠΡΟΟΜΟΗΧΔΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΓΤΝΑΜΖ ΚΑΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΡΟΠΖ Υ. 7.8: ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΑΟΡΗΣΗΑ ΣΤΠΗΚΔ ΜΟΡΦΔ ΟΛΟΚΛΖΡΧΖ Υ. 7.9: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔ ΔΝΓΟΣΗΚΖ ΣΖΡΗΞΖ Υ. 7.: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ Υ. 7.4: ΓΡΑΦΗΚΖ ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΖ ΜΔΘΟΓΟΤ ΣΧΝ ΓΤΝΑΣΧΝ ΔΡΓΧΝ ΣΟ ΔΜΒΑΓΟΝ ΠΟΤ ΠΔΡΗΚΛΔΗΔΣΑΗ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΟΤ ΑΞΟΝΑ Υ ΚΑΘΟΡΗΕΔΗ ΣΟ ΜΔΓΔΘΟ ΣΖ ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΓΧΝΗΑ Θ (DΘ) Υ. 7.5: ΥΔΖ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ Υ. 7.6: ΔΠΔΞΖΓΖΖ ΣΟΤ ΠΡΟΖΜΟΤ ΣΖ ΣΗΜΖ ΣΖ ΑΠΟΚΛΗΖ ΑΠΟ ΣΖΝ ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΖ Υ. 7.7: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.8: ΡΟΠΖ ΚΑΜΦΖ ΠΡΟΒΟΛΟΤ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.9: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ Μ/ΕΙ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.4: ΥΔΣΗΚΖ ΣΡΟΦΖ Θ ΚΑΗ ΥΔΣΗΚΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ Γ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ Υ. 7.4: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΚΗΝΖΔΧΝ Υ. 7.4: ΜΟΝΟΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΑ M/EΗ ΓΗΑ ΣΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΣΟΤ Υ Υ. 7.44: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.45: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Υ. 7.46: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV) Πίλαθεο ΠΗΝ. 7.: ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΓΗΑ ΓΗΑΦΟΡΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΖΡΗΞΖ ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

3 7. ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΤΠΕΡΣΑΣΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙ 7.. ΕΞΙΩΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ 7... Ειζαγυγή ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε δηακήθεο (θαηά κήθνο) ηνκή δνθνύ θαζώο θαη ε παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα (Ο.Α.). ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπκπεξηθνξά δνθνύ ζε θάκςε. ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ζε εγθάξζηα ηνκή ε δηαηνκή ηεο δνθνύ θαη ε θαηαλνκή ηάζεο. Τ p P m M k Ο.Α. m k Υ υ ζηξνθή πεξί Ζ υ κεηαθίλεζε θαηά Υ ρ. 7.: ηνηρείν Γνθνύ, Φόξηηζε θαη παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα. ρ. 7.: πκπεξηθνξά ειαζηηθήο δνθνύ ζε θάκςε. Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

4 Οη παξαδνρέο ernoulli (πνπ παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζην Κεθάιαην ), ζπλνςίδνληαη σο :. Ζ δνθόο είλαη ζπλερήο,. Ζ θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ, θαζ ύςνο ηεο δηαηνκήο, κεηαβάιιεηαη γξακκηθά ζηε δηεύζπλζε ηεο θάκςεο.. Ζ δνθόο απνηειεί από ηζόηξνπν πιηθό. 4. Σα θνξηία είλαη θάζεηα ζηελ Οπδέηεξε Γξακκή (Ο.Γ.) ηεο δνθνύ θαη δξνπλ ζε έλα θαη κόλνλ επίπεδν. 5. Δπίπεδεο δηαηνκέο πξν ηεο παξακόξθσζεο παξακέλνπλ επίπεδεο θαη ζηελ παξακνξθσκέλε θαηάζηαζε. 6. Οη παξακνξθώζεηο είλαη αξθνύλησο κηθξέο ώζηε λα είλαη δπλαηή ε ζύληαμε ησλ εμηζώζεσλ ηζνξξνπίαο ζηελ απαξακόξθσηε θαηάζηαζε ρσξίο ηελ πξόθιεζε ζεκαληηθνύ ζθάικαηνο. P, p Y Υ X V M Ο.Γ. M Ζ Ο.Γ. K.. y ε ζ = Δ*ε Καηαλνκή παξακνξθώζεσλ (ε) θαη ηάζεσλ (ζ) (πξνβνιή επηπέδνπ ΧΥ) Γηαηνκή (επίπεδν ΥΖ) ρ. 7.: Γηαηνκή Γνθνύ, Καηαλνκή ησλ ηάζεσλ θαη παξακνξθώζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκή δίδεηαη (ζύκθσλα κε ην Κεθάιαην ) σο: d d M (7.) EI ύκθσλα κε ηελ αλαιπηηθή γεσκεηξία ε θακππιόηεηα δίδεηαη ζύκθσλα κε ηε ζρέζε : Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

5 d d d d Καζώο γηα ηα ειαζηηθά πξνβιήκαηα νη παξακνξθώζεηο είλαη πνιύ κηθξέο (νπόηε θαη αληίζηνηρα κηθξέο είλαη νη ηηκέο ησλ παξαγώγσλ) νπόηε ν όξνο: (7.) d d Από ηνλ νπνίν πξνθύπηεη ε ζρέζε ηεο θακππιόηεηαο σο: d d d d d d d d Ζ ηέκλνπζα δύλακε δίδεηαη σο ε ε παξάγσγνο ηεο ξνπήο: M E I (7.) (7.4) dm d V E I (7.5) d d Καη ζύκθσλα κε ηελ ηζνξξνπία ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηκήκαηνο όπσο παξνπζηάδεηαη ζην ρ p V M+dM dv=p*d dm=v*d M d V+dV ρ. 7.4: Γηάγξακκα ειεπζέξνπ ζώκαηνο ζηνηρεηώδνπο κήθνπο d. Πξνθύπηεη ε δηαθνξηθή εμίζσζε ηεο δνθνύ σο: 4 d E I p 4 (7.6) d 7... Εξίζυζη Ελαζηικήρ Γπαμμήρ Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη από ηε ζρέζε (7.6). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο νδεγεί ζε: d V ( ) E I d p d c d 4 4 (7.7) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

6 (7.8) M ( ) V ( ) d p d d c c d d E I E I M ( ) d pd d d c c c (7.9) p dddd c c c c E I 6 p H 4 (7.) Παξαηεξνύκε από ηε ζρέζε (7.) όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο εμαξηάηαη από α) ην θνξηίν ηεο δνθνύ ην νπνίν θαη απνηειεί ηε κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο θαη β) από έλα πξόζζεην πνιπώλπκν εο ηάμεο πνπ απνηειεί ηελ αληίζηνηρε νκνγελή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ε ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7.5, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: d d d q d d d E I E I p E I q (7.) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: 4 d d V ( ) q d 4 c V ( ) q c d d E I E I (7.) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: d d E I d M ( ) V ( ) d q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

7 Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I E I d d d d d E I q c c c q c c c d 6 d E I 6 (7.4) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c c 4 4 (7.5) d E I 4 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.6) (7.7) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.8) q c c c (7.9) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c E I 4 6 (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

8 4 4 q c c q c c EI E I q c c q c c Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.) q q c q c c q c (7.4) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: q q c c q q c q (7.5) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I q q q 4EI (7.6) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d d 4q 6q q 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q M q q (7.8) 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.9) Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ εκεηώλεηαη όηη ε ξνπή παξνπζηάδεηαη βάζεη ηνπ πξόζεκνπ ηεο (ζεηηθέο ξνπέο) άξα θαη κε αληίζεηε πξνζήκαλζε από απηή ηεο θιαζζηθήο ζηαηηθήο (όπνπ ε ζεηηθή ξνπή εθειθύεη ηηο θάησ ίλεο). Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). ην κέζνλ ηεο δνθνύ όπνπ θαη ε ξνπή ιακβάλεη ηε κέγηζηε ηεο ηηκή έρνπκε θαη ηελ αθξόηαηε ηηκή ηεο βύζηζεο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

9 ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.8: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

10 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.) c (7.) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.4) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.5) q c c (7.6) Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.7) q c c q (7.8) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.9) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q EI (7.4) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I (7.4) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.4) V q q (7.4) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

11 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε) κε κέγηζηε ηηκή (θαηά απόιπηε ηηκή) λα παξνπζηάδεηαη ζην ειεύζεξν άθξν ηεο δνθνύ. ρ. 7.9: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ακθίπαθηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.: Ακθίπαθηε Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.44) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

12 4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.45) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.46) c (7.47) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.48) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c EI (7.49) 4 q c c (7.5) Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I (7.5) q c c (7.5) Μέζσ ησλ (7.5) θαη (7.5) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: 4 q c c q (7.5) q q c c (7.54) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

13 4 q q q EI 6 (7.55) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I 6 (7.56) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: 6 M q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V (7.57) q q (7.58) Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζην κέζνλ ηεο δνθνύ. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ζπλερήο δνθόο δύν αλνηγκάησλ, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

14 Τ p Α Β Γ Υ ρ. 7.4: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Λόγσ ηεο ζπκκεηξίαο παξαηεξείηαη όηη ε δνθόο ζηε ζηήξημε Β πέξαλ ηεο κεδεληθήο βύζηζεο παξνπζηάδεη θαη κεδεληθή ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ην ιόγν απηό είλαη δπλαηόλ ε δνθόο απηή θαηά ηζνδύλακν ηξόπν λα ιπζεί σο ε κηζή δνθόο (ΑΒ) κε ηε πξνζνκνίσζε ηεο ζηήξημεο Β σο πάθησζεο. Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν (ζπκκεηξηθόο θνξέαο). Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.59) (7.6) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.6) q c c c (7.6) Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

15 4 q c c E I 4 6 (7.6) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 q c c E I 4 6 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c q c c Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I 6 (7.64) (7.65) (7.66) q c c (7.67) Μέζσ ησλ (7.65) θαη (7.67) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: q c 4 6 c q (7.68) q q c c (7.69) 8 48 Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I q q q 4EI (7.7) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 9 d q q 4q d 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

16 q 9 M q 9q q (7.7) 4 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: 9 V 4q 9q q q (7.7) 4 4 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζε απόζηαζε /8 από ηε ζηήξημε Α. ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (δνθόο δύν αλνηγκάησλ ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) (δνθόο δύν αλνηγκάησλ νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) Γεληθεύνληαο γηα ζπλερή δνθό πνιιώλ αλνηγκάησλ (ρσξίο θαη αλάγθε ζπκκεηξία ζην θνξέα) ε όιε δηαδηθαζία ζπλνςίδεηαη σο εμήο:. Γηαρσξηζκόο ηεο δνθνύ n αλνηγκάησλ ζε n ην πιήζνο δνθνύο κε ειαζηηθέο παθηώζεηο ζηα άθξα απηώλ.. Καηάζηξσζε n ην πιήζνο εμηζώζεσλ ειαζηηθώλ γξακκώλ γηα ηηο n ην πιήζνο δνθνύο.. Λήςε ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ (ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο απηήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ζηξνθή ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ θαη ηειηθά ίζε κε ηε ηηκή ππνρώξεζεο ηεο ζηήξημεο) θαη ησλ εληάζεσλ (ε ξνπή θάκςεο θαη θαηά ζπλέπεηα θαη ε ε παξάγσγνο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ξνπή θάκςεο ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ) ζηηο ελδηάκεζεο δνθνύο γηα ηε ιήςε ησλ επηπιένλ ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

17 i n- n i- i Ελαστική Γπαμμή τηρ i--οστήρ δοκού Ελαστική Γπαμμή τηρ i-οστήρ δοκού η Σςνθήκη i i i s η Σςνθήκη E I E I M, i i i, i i s ρ. 7.8: πλερήο δνθόο πνιιώλ αλνηγκάησλ πλνξηαθέο πλζήθεο ζηηο ελδηάκεζεο ζηεξίμεηο. o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ ηνλ Πίλ. 7., παξνπζηάδνληαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα ηνπο πιένλ δηαδεδνκέλνπο ηύπνπο ζηήξημεο. Πίλ. 7.: πλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο ζηήξημεο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Άξζξσζε Κύιηζε Πάθησζε Κπιηόκελε Πάθησζε V Διεύζεξν Άθξν M V Δζσηεξηθή Άξζξσζε M left M right Διαζηηθή Πάθησζε M Δλδνηηθή ηήξημε K V K V Κ θ ζηαζεξά ζηξνθηθνύ ειαηεξίνπ Κ V ζηαζεξά θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ην ρ. 7.9, παξνπζηάδνληαη νη ζεηηθέο θνξέο γηα ηηο ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

18 V V M V M M V M d Στήπιξη Στήπιξη ρ. 7.9: Θεηηθέο θνξέο εληαηηθώλ κεγεζώλ γηα ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε ηξηγσληθό θνξηίν p()=-q/. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p=-q/ Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: d d q d q d d d E I E I p E I (7.74) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: d d V ( ) q q 4 d 4 c V ( ) c d d E I E I (7.75) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: M ( ) V ( ) d q c c 6 (7.76) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

19 Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I 4 q c c c 4 (7.77) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 5 q c c c c4 E I 6 (7.78) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 5 q c c c c4 E I 6 Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: (7.79) c4 (7.8) M ( ) q c c (7.8) 6 c (7.8) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 5 q c c E I 6 (7.8) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 5 q c c E I 6 (7.84) q c c (7.85) 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.86) 6 Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

20 q q c c q c (7.87) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: 7 q q c c q q c q (7.88) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 5 q 7 q q E I 6 6 (7.89) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 4 7 d q q q d E I 4 6 (7.9) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: (7.9) V q q (7.9) 6 Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

21 ηξηγσληθό θνξηίν) (ακθηέξηζηε δνθόο ηξηγσληθό θνξηίν) Ζ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ ζηελ νπνία επηβάιιεηαη νκνηόκνξθε θόξηηζε κε ηελ πεξίπησζε όπνπ ε ίδηα δνθνύ εληείλεηαη από ηξηγσληθά θαηαλεκεκέλν θνξηίν παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7. σο ην ρ ρ. 7.: ύγθξηζε Σέκλνπζαο ρ. 7.4: ύγθξηζε Ρνπήο ρ. 7.5: ύγθξηζε θιίζεο ειαζηηθήο γξακκήο ρ. 7.6: ύγθξηζε Διαζηηθήο Γξακκήο Από ηελ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ παξαηεξείηαη όηη ν κεδεληζκόο ηνπ δηαγξάκκαηνο ησλ ηεκλνπζώλ δελ ηαπηίδεηαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο κε απνηέιεζκα θαη ε κέγηζηε ξνπή λα εκθαλίδεηαη ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία Ελαζηική Γπαμμή για μη ςνεσή Φοπηία ηελ πεξίπησζε ζπγθεληξσκέλσλ θνξηίσλ ή θνξηίσλ πνπ επηβάιινληαη ζε κέξνο ηεο δνθνύ πέξαλ ηεο κεζόδνπ ηνπ απινύ δηαρσξηζκνύ ηεο δνθνύ ζε κηθξόηεξεο δνθνύο θαη ηεο εθαξκνγήο ηεο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

22 κεζόδνπ ηεο άκεζεο νινθιήξσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (όπσο απηή παξνπζηάζηεθε ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν) είλαη δπλαηόλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο αζπλέρεηαο ανξηζηίαο (singularity functions) 4. Ζ ζπλάξηεζε αζπλέρεηαο (ζύκθσλα θαη κε ηνπο Macaulay- Föppl) νξίδεηαη σο: a n a n a n n, a n a n, a (7.9) όπνπ a ε ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο δηαηαξαρήο, n ν εθζέηεο ηεο ζπλάξηεζεο, δ(_) είλαη ε ζπλάξηεζε Dirac 5 θαη δ (_) ε πξώηε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο Dirac. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζπλάξηεζεο αζπλέρεηαο-ανξηζηίαο (singularity function). δηέπεηαη από ηνπο αθόινπζνπο θαλόλεο: n f a n n f a d n f a (7.94) n n o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P Έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν κπνξεί λα πξνζνκνησζεί σο έλα θαηαλεκεκέλν θνξηίν πνιύ κεγάιεο (~άπεηξεο) έληαζεο ην νπνίν δξα ζε έλα πνιύ κηθξό κήθνο ε (ρ. 7.7). Αλ ην κήθνο ε ζεσξεζεί σο ζηαζεξά ε ζρέζε πνπ δίδεη ην θνξηίν κπνξεί λα γξαθεί (ζε κνξθή νινθιεξώκαηνο) σο: ε a+ P P lim d ε (7.95) ε a- ε Ζ ηηκή ε κπνξεί λα γξαθεί κέζσ ηεο ζπλάξηεζεο ανξηζηίαο σο: a a * * (7.96) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

23 q q O a ε P/ε O a ε ε Μ/ε ρ. 7.7: Πξνζνκνηώζεηο πγθεληξσκέλεο δύλακεο θαη ζπγθεληξσκέλεο ξνπήο. Οπόηε θαη ην θαηαλεκεκέλν θνξηίν q=p/ε γξάθεηαη σο: P q P a (7.97) * Ο αζηεξίζθνο ζηε ζρέζε (7.97) δειώλεη όηη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο ζην εύξνο ε ιακβάλεη πεπεξαζκέλε ηηκή. Λόγσ θαη ηεο ηδηαίηεξεο κνξθήο ηεο ζπλάξηεζεο ε νινθιήξσζε γηα ηηκέο ηνπ εθζέηε κηθξόηεξεο ηνπ κεδελόο νξίδεηαη σο: n n f a * d f a (7.98) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.97) καο δίδεη ην θνξηίν. ηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε ηζρύεη όηη: P a * d P a (7.99) ηελ πεξίπησζε ησλ ζπλαξηήζεσλ αζπλέρεηαο γηα ηελ νινθιήξσζε όπνπ n ηζρύεη όηη: n n f a f a d (7.) n Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.99) ζα καο δώζεη ηελ παξαγόκελε ξνπή ηεο δύλακεο απηήο σο: P a d P a (7.) Σα απνηειέζκαηα ηεο νινθιήξσζεο (ζρέζεηο (7.98) θαη (7.)) παξνπζηάδνληαη ζην ρ Σν απνηέιεζκα ηεο ζρέζεο (7.) βάζεη ηεο (7.9) γξάθεηαη σο: a P a (7.) P a a Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

24 ρ. 7.8: πλαξηήζεηο Ανξηζηίαο Σππηθέο κνξθέο νινθιήξσζεο 6. o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ ε αληηζηνηρία ε ξνπή κπνξεί λα γξαθεί σο θαηαλεκεκέλν θνξηίν σο (ρ. 7.7): Σν νινθιήξσκα ηεο ζρέζεο (7.) δίδεηαη θαηά εηδηθό ηξόπν σο: q M a (7.) * 6 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

25 Καη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηε ζρέζε: M a d M a (7.4) * * M a d M a (7.5) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P. Τ a P Α Β Υ ρ. 7.9: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I P a 4 d d 4 d P a 4 d E I (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε d E I V P a c (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c c c E I d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: (7.9) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

26 P a c c c c4 E I 6 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: P a c c c c4 E I 6 6 (7.) (7.) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) M ( ) P a c c (7.) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.4) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.4) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: P a c c E I 6 6 (7.5) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: P a c c E I 6 6 (7.6) a c P 6 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.7) M ( ) P a c (7.8) P a P a c c P a c (7.9) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

27 a a a a P P P P c c (7.) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.5), (7.9) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a P a P a P a 6E I Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: a a a P P P E I 6 Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a a a a a E I 6 (7.) (7.) (7.) (7.4) (7.5) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7 P P 4EI 48EI P a P a P a P a 6E I Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: a a a P (7.6) 6E I Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a P a P a P a d d E I 6 a a a P P P d d E I 6 a a a a P P P P d d E I 6 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: P a (7.7) (7.8) (7.9) M P a (7.)

28 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: M Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a (7.) P a M P a (7.) V P a P a (7.) V V P a (7.4) P a P (7.5) o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη κία ζπγθεληξσκέλε ξνπή Μ. Τ a Α Μ Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I M a 4 * d d 4 d M a 4 d E I * (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

29 d E I V M a c * (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M M a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: c M a c c E I d d (7.9) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M a c c c c4 E I 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: M a c c c c4 E I 6 (7.4) (7.4) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο M a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε απηή θαζώο c4 (7.4) M ( ) M a c c (7.4) M a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.44) Μέζσ ησλ (7.4) θαη (7.44) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: M a c c E I 6 (7.45) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M a c c E I 6 (7.46) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

30 a c M 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.47) M ( ) M a c (7.48) Βάζεη ηεο (7.49) ε ζρέζε (7.47) γξάθεηαη σο: M M c c (7.49) a M M a M c c (7.5) 6 6 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.49) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: a M a M M E I E I M a a (7.5) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 6 E I M a Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: a M a a a E I 6 (7.5) (7.5) Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: M 6 E I 8 M 6 E I 8 4 M 6 E I 8 8 Κάηη ην αλακελόκελν ιόγσ ηεο ζπκκεηξίαο. Γηα a ε ζρέζε (7.5)γξάθεηαη σο: 6 E I M a a (7.54) (7.55) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

31 M a a 6 E I (7.56) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d M 6 a a d E I 6 (7.57) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: 6 d M d E I a d M 6 a a d E I 6 (7.58) (7.59) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M M M a (7.6) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: M M (7.6) Καη γηα a γξάθεηαη σο: M M M (7.6) Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V M M M a (7.6) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P θαη νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Τ a P p=-q Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) θαη ιακβάλνληαο ππόςε θαη ην νκνηόκνξθν θνξηίν p γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

32 4 4 d d E I q 4 E I P a q 4 d d 4 d P a q 4 d E I Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: (7.64) E I καο δίδεη ηε d E I V P a q c (7.65) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a q c c (7.66) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c q c c E I 6 d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.67) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 4 P a c c q c c4 E I Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 P a c c q c c4 E I (7.67) (7.68) (7.69) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.7) M ( ) P a q c c (7.7) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ πξνθύπηεη: c (7.7) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.7) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

33 4 P a c q c E I (7.7) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: q c Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 P a c E I (7.74) 4 a c P q c (7.75) Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) P a q c (7.76) P a P a q c c P a q c q (7.77) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: a a 4 4 a a P P q q c c P P q 6 4 (7.78) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.7), (7.77) θαη (7.78) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.79) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-

34 Καη γηα a γξάθεηαη σο: 4 q 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: P a q 6 d P a q d E I P a P a q 6 4 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a q q d 6 d E I P a P a q 6 4 (7.8) (7.8) P a q 6 d P a q d E I (7.84) P a P a q 6 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

35 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a M P a q q P a M q q P a M P a q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a V P a q q P a V q q P a V P q q (7.85) (7.86) (7.87) (7.88) (7.89) (7.9) Οη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο απνηεινύλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ αληίζηνηρσλ ζπληειεζηώλ ησλ επηκέξνπο θνξηίζεσλ. Απηό ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε ιόγσ ηεο ειαζηηθήο απόθξηζεο. Άξα νη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο γηα κία ζύλζεηε θόξηηζε πξνθύπηνπλ από ην γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο απινύζηεξσλ θνξηίζεσλ. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Ζ ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7., ππνβάιιεηαη ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Β παξνπζηάδεη ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Κ Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5

36 Οη ζρέζεηο ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο, ηεο ηέκλνπζαο, ηεο ξνπήο θάκςεο, ηεο ζηξνθήο ηνπ βέινπο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο δελ επεξεάδνληαη ζηε γεληθόηεηα ηνπο από ηελ ύπαξμε ηεο ελδνηηθήο ζηήξημεο άξα ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: Ζ ηέκλνπζα σο: Ζ θακπηηθή ξνπή σο: 4 d q 4 d E I (7.9) V( ) q c (7.9) M ( ) q c c (7.9) Ζ ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c E I 6 (7.94) Σέινο, ε ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.95) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.96) c (7.97) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.98) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.99) q q c q c c q c (7.) Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6

37 4 V V q c c K E I 4 6 K (7.) Βάζεη ηεο ζρέζεο (7.9) θαη (7.) ε ηέκλνπζα ζηε ζηήξημε Β δίδεηαη σο: V ( ) q q q (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c q c E I E I K K 4 4 q q q 4 6 q c q q q q c E I q c E I c E I q 4 K 4 K K 4 Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: (7.) E I c q q (7.4) K 4 Πνπ ζηνλ όξν ηεο c ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε θαηαλεκεκέλν θνξηίν πξνζζέηεη ηνλ όξν Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: E I q. K 4 q E I q q q (7.5) E I 4 K 4 Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q E I q q q (7.6) d E I 6 K 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q (7.7) ε νπνία ζπκπίπηεη κε ηελ αληίζηνηρε ζρέζε γηα ηελ ακθηέξηζηε δνθό ρσξίο ελδνηηθή ζηήξημε θάηη πνπ επηβεβαηώλεηαη από ην γεγνλόο όηη νη ππνρσξήζεηο ησλ ζηεξίμεσλ (όπσο θαη νη ζεξκνθξαζηαθέο κεηαβνιέο) ζε ηζνζηαηηθνύο θνξείο δελ πξνθαινύλ εληάζεηο. Απηό θπζηθά δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε ησλ κεηαηνπίζεσλ όπνπ ε ππνρώξεζε ηεο ζηήξημεο έρεη σο απνηέιεζκα ηε κεηαβνιή ηεο κνξθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο θιίζεο απηήο. Σέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.8) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7

38 4 4 q E I q q q E I 4 K q E I q q q E I 4 K 4 E I q q E I K K (7.9) Ζ ηηκή απηή αληηζηνηρεί ζηε ηηκή ηεο βύζηζεο ιόγσ ηεο ελδνηηθόηεηαο ηεο ζηήξημεο. Σν αξλεηηθό πξόζεκν θαηαδεηθλύεη όηη ζηε ζηήξημε Β ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη. o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Α παξνπζηάδεη ζηξνθηθή ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ φ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Κ θ Α Β Υ ρ. 7.: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.9) σο (7.95). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) Μέζσ ηεο (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο ηξεηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.) q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8

39 Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.4) q c c q (7.5) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.6) Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q c E I Απνκέλεη κία αθόκα ζπλζήθε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Η ηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: d M d K q q q E I q q q c 6 K q c q c E I E I K K (7.7) (7.8) Άξα ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q q q q E I E I K (7.9) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q d E I K q q q E I 6 (7.) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.) V q q (7.) Παξαηεξώ όηη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ελδνηηθή ζηήξημε έηζη θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ πξνβόινπ κε ελδνηηθή ζηήξημε ε ζηξνθή ηεο ζηήξημεο δελ κεηαβάιεη ηηο εληάζεηο ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9

40 7..4. Λύζειρ ηηρ διαθοπικήρ εξίζυζηρ ηηρ Ελαζηικήρ Γπαμμήρ για διάθοποςρ ηύποςρ θοπηίυν ην Πίλ. 7. θαη Πίλ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπλάξηεζε ηνπ θνξηίνπ ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο θαη νη ιύζεηο ηεο κεξηθήο δηαθνξηθήο εμίζσζεο γηα ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο, ξνπήο, θιίζεο ηνπ βέινπο θάκςεο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο ζύκθσλα κε ηηο ζρέζεηο (7.7) σο (7.). Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο Οκνηόκνξθ ν p5( ) := q q q q 6 q 4 4 Σξηγσληθό p( ) := q q q 6 q 4 4 q 5 Σξηγσληθό () p4( ) q q := q q q q 6 q q q 4 4 q 5 Σξαπεδνεηδέ ο ( qq ) p6( ) := q ( qq) q q ( qq) 6 q 6 ( qq) 4 4 q 4 4 ( qq) 5 Ζκηηνλνεηδέ ο p( ) := q sin n q cos n Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4 n q sin n n q cos n n Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. q 4 sin n n 4 4 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο πλεκίηνλ. p( ) := q cos n q sin n n q cos n n q sin n n q 4 cos n n 4 4

41 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο νπ Βαζκνύ p7( ) := q q q 4 q 5 6 q 6 6 νπ Βαζκνύ () p8( ) q q q q 4 q q 5 q 4 q 6 := q q νπ Βαζκνύ p9( ) := q q 4 4 q 5 q 6 q 7 84 νπ Βαζκνύ () p( ) q q 4 q q 5 q q 6 q 4 q 7 := q q Ν νπ Βαζκνύ p( ) := q N q N N q N ( N ) ( N ) q N ( N ) ( N ) ( N ) 4 q N ( N4 ) ( N ) ( N ) ( N ) Ν νπ Βαζκνύ () p( ) := qq N q ( N ) q N q ( N ) q ( N ) ( N ) ( N ) q q 6 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) q 4 q 4 4 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) Σπρνύζα θόξηηζε q() πξνζεγγίδεηαη σο ζεηξά Fourier δειαδή ζπλδπαζκόο θνξηίσλ εκηηνλνεηδνύο θαη ζπλεκηηνλνεηδνύο κνξθήο: n n n q q ancos bnsin n (7.) κε ηα q, a n, b n νη άγλσζηεο παξάκεηξνη. Οη ιύζεηο ηεο ειαζηηθήο πξνθύπηεη από αληίζηνηρν ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο ιύζεσλ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

42 7.. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΥΕΣΙΚΩΝ ΣΡΟΦΩΝ ΚΑΙ ΜΕΣΑΣΟΠΙΕΩΝ (MOMENT AREA METHOD) 7... Ειζαγυγή ε πνιιά πξνβιήκαηα όπνπ δεηείηαη ε ειαζηηθή γξακκή νη θνξηίζεηο είλαη πνιύπινθεο θαη ε δηαηνκή ζπλήζσο κεηαβάιιεηαη θαηά κήθνο ηνπ θνξέα. Ζ κέζνδνο ησλ Γπλαηώλ Έξγσλ αλαπηύρζεθε ηελ ίδηα πεξίνδν αλεμάξηεηα από ηνπο Greene θαη Mohr ζην ηειεπηαίν κηζό ηνπ 9 νπ αηώλα Θευπήμαηα Βάζεη ηεο ζρέζεο πνπ ζπλδέεη ηε ε παξάγσγν ηεο ειαζηηθήο γξακκήο κε ηε ξνπή θάκςεο ηεο δηαηνκήο ε ζηξνθή ηεο δνθνύ (ε θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) γξάθεηαη σο: d d d d M M d d d d d EI EI d (7.4) Γξαθηθά ε ζρέζε (7.4) παξνπζηάδεηαη ζην ρ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ ιόγνπ ηεο θακπηηθήο ξνπήο πξνο ην γηλόκελν ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο κε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο δηαηνκήο (M/EI) (ρ. 7.4a) ηζνύληαη κε ηε κεηαβνιή ηεο γσλίαο ζ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ηεο δνθνύ (ρ. 7.4b). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλνιηθήο γσλίαο ζηξνθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M M d d d EI (7.5) A EI A A A Ζ ζρέζε κεηαμύ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο πνζόηεηαο M/EI παξνπζηάδεηαη ζην ρ Ζ ζηξνθή ζε κία ζέζε Β ζε ζπλάξηεζε ηεο ζηξνθήο ηεο ζέζεο Α θαη ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI δίδεηαη σο: M A A d (7.6) EI Καζώο ιακβάλνληαη ππόςε κόλνλ κηθξέο κεηαηνπίζεηο, ε θάζεηε απόζηαζε ηνπ ρ. 7.4b dδ (ε απόθιηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν αξρήο) δίδεηαη από ηνλ ηύπν: d d (7.7) A Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

43 ρ. 7.4: Γξαθηθή Απεηθόληζε ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηνπ άμνλα Υ θαζνξίδεη ην κέγεζνο ηεο κεηαβνιήο ηεο γσλίαο ζ (dζ) 7. ρ. 7.5: ρέζε κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηεο ειαζηηθήο γξακκήο 8. Άξα βάζεη ηεο ζρέζεο (7.5) ε ζπλνιηθή κεηαβνιή ηνπ βέινπο ιόγσ θάκςεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαη εηδηθόηεξα ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β δίδεηαη σο: 7 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall 8 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4

44 M M d d d d EI (7.8) A/ EI A A A A Οη ζρέζεηο (7.6) θαη (7.8) πνπ δίδνπλ ην ν θαη ν ζεώξεκα ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ αληίζηνηρα κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο θαη κεηαηόπηζεο δύν ζεκείσλ ζε κία δνθό ρσξίο λα απαηηείηαη ε γλώζε ηεο ζρέζεο πνπ δηέπεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. εκεηώλεηαη όηη:. Σα ζπγθεθξηκέλα ζεσξήκαηα εθαξκόδνληαη κεηαμύ νπνηνλδήπνηε δύν ζεκείσλ ζπλερνύο ειαζηηθήο γξακκήο γηα νπνηαδήπνηε δνθό θαη νπνηνδήπνηε θνξηίν.. Σα ζεσξήκαηα ππνινγίδνπλ κόλνλ ηε ζρεηηθή ζηξνθή κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαζώο θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ αξρήο.. Σν πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο νξίδεηαη ζύκθσλα κε ην δεμηόζηξνθν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Θεηηθή ζρεηηθή ζηξνθή έρεη σο απνηέιεζκα ηε πεξηζηξνθή ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζε θνξά αληίζεηε απηήο ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. 4. Θεηηθό πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο κεηαηόπηζεο εξκελεύεηαη σο κεηαηόπηζε θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα Τ ηνπ ζεκείνπ ηνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο αξρήο. ην ρ. 7.6, παξνπζηάδνληαη δηάθνξα παξαδείγκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε ην πξόζεκν ηεο ηηκήο. Δηδηθόηεξα παξαηεξνύκε όηη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο ηνπ ζεκείνπ Α (δ Α/Β ) από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β είλαη ζεηηθό θαζώο ην ζεκείν βξίζθεηαη ζε πεξηνρή κε ηεηαγκέλε θαηά Τ κεγαιύηεξε απηήο ηνπ αληίζηνηρνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν έρνπλ ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ (ρ. 7.6a). Αληίζηνηρα θαη ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη ζεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β από ην αληίζηνηρν ζεκείν ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ είλαη κεγαιύηεξε (άξα ε δηαθνξά απηώλ είλαη ζεηηθή). ην ρ. 7.6c παξνπζηάδεηαη ε πεξίπησζε όπνπ ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη αξλεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β είλαη κηθξόηεξε ηνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-44

45 ρ. 7.6: Δπεμήγεζε ηνπ πξόζεκνπ ηεο ηηκήο ηεο απόθιηζεο από ηελ εθαπηνκέλε 9. Ζ ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηεο ζρέζεο (7.8) κπνξεί λα γξαθεί σο: (7.9) A/ Όπνπ ε απόζηαζε ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ από ην ζεκείν Α. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ δ Β/Α ε ζρέζε δίδεηαη σο: (7.) / A Όπνπ ε απόζηαζε από ην ζεκείν Β ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ. Ζ ηηκή Φ δίδεηαη σο ην εκβαδό ηνπ ρσξίνπ κεηαμύ Α θαη Β θαη είλαη απηό πνπ θαζνξίδεη θαη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο. Οη απνζηάζεηο θαη ιακβάλεηαη σο απόιπηεο ηηκέο. Οη ζρέζεηο (7.9) θαη (7.) είλαη αλάινγεο ησλ ζρέζεσλ ηεο ζηαηηθήο ξνπήο αδξάλεηαο ηνπ απνθνπηόκελνπ ηκήκαηνο κίαο δηαηνκήο. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ Έζησ ν πξόβνινο ηνπ ρ κε ζπλνιηθό κήθνο.8m απνηεινύκελν από ηξία επηκέξνπο ηκήκαηα θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο. Τ p=-q Α 4m Β Γ 4m.8m Γ Υ Φ64./4. Φ48./. Φ48./. ρ. 7.7: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. 9 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-45

46 Σν ν ηκήκα (ΑΒ) είλαη από ράιπβα όπσο θαη ην ν ηκήκα (ΒΓ). Σν ν ηκήκα είλαη από αινπκίλην. ην ρ. 7.7 νη δηαζηάζεηο ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο παξνπζηάδνληαη ζε ρηιηνζηά. Σν θαηαλεκεκέλν θνξηίν ιακβάλεη ηηκή ίζε κε p=-.kn/m. Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ γεσκεηξηθώλ δεδνκέλσλ ηεο δηαηνκήο Γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ξνπώλ αδξάλεηαο εθαξκόδεηαη ν γλσζηόο ηύπνο: I 64 4 D D t Γηα ηηο δηαθνξεηηθέο δηαηνκέο ηα γεσκεηξηθά ζηνηρεία ζπλνςίδνληαη σο: Τμήματα Διατομή D (m) t (m) (m) Υλικό Ε (kn/m) Ι (m4) ΕΙ (kn*m) Φ64./ Φάλυβας.48E Φ48./ Φάλυβας.57E Φ48./ Αλουμίνιο 7.57E Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ Μ, Μ/ΕΙ, θ θαη δ Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: 4 M q q q Σν δηάγξακκα ηεο ξνπήο θάκςεο ηνπ πξνβόινπ παξνπζηάδεηαη ζην ρ Σν δηάγξακκα ηνπ Μ/ΔΗ ην νπνίν θαη θαζνξίδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ ύκθσλα κε ηε ζρέζε (7.6) ε γσλία ζηξνθήο δίδεηαη σο: Αληίζηνηρα ε ζρέζε (7.8) γξάθεηαη σο: M d EI / M d EI Ζ εμέιημε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθήο θαη ηεο κεηαθίλεζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ Παξαηεξνύκε όηη ε ζηξνθή έρεη ηηκή αξλεηηθή κε κέγηζηε ηηκή ζ ma =.475 rad ήηνη.7. Καζώο ε ηηκή είλαη αξλεηηθή ε θνξά είλαη απηή ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ νπόηε θαη ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη όιν θαη πεξηζζόηεξν θαζώο απμάλεηαη ε απόζηαζε από ην ζεκείν ηεο ζηήξημεο (θόθθηλε γξακκή). Άξα ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α ηεο ζηήξημεο από εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Γ (ην άθξν ηεο δνθνύ) είλαη ίζε κε -9. cm θαζώο ε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Α ζηελ εθαπηνκέλε (ίδηα ηεηκεκέλε θαηά Υ) έρεη κεγαιύηεξε ηεηαγκέλε από απηή ηνπ ζεκείνπ Α. Καζώο ε κεηαηόπηζε θαη ε ζηξνθή ηνπ ζεκείν Α (ηεο ζηήξημεο) είλαη ίζε κε ην κεδέλ θαη ε αληίζηνηρε ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α είλαη ίζε κε ην κεδέλ ην δηάγξακκα παξνπζηάδεη ην ζρεηηθή ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α (=) ζε ζρέζε κε νπνηνδήπνηε άιιν ζεκείν ηεο δνθνύ θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Α (=) από νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-46

47 θ (rad) δ (m) Μ/ΕΙ Ροπή (knm) Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΗΗ). Ροπή Κάμτηρ Υ ρ. 7.8: Ρνπή θάκςεο πξνβόινπ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ Διάγπαμμα Μ/ΕΙ -.E- -4.E- -6.E- -8.E- -.E- -.E Υ ρ. 7.9: Γηάγξακκα Μ/ΕΙ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ -5.E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -4.E- -4.5E- σεηική ηποθή θ και σεηική Μεηαηόπιζη δ θ (rad) δ (m) (=/) δ' (m) (/=) E Υ -.5 ρ. 7.4: ρεηηθή ηξνθή ζ θαη ρεηηθή Μεηαηόπηζε δ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο / ε ζρέζε γξάθεηαη σο: / M d EI Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-47

48 Ζ καύξε γξακκή δίδεη ηελ εμέιημε ηεο πνζόηεηαο /. Καζώο δ(=)= όπσο θαη θ(=)= ε πνζόηεηα απηή ηαπηίδεηαη κε ηε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. To βέινο θάκςεο κεηξηέηαη ζε. cm ζην άθξν ηεο δνθνύ. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν Έζησ ην παξάδεηγκα ηνπ ρ. 7.4a. Να βξεζεί ε ζρεηηθή κεηαθίλεζε ζην θέληξν ηεο δνθνύ εμαηηίαο ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ ζε απόζηαζε a=/4 από ηε ζηήξημε Α. Ζ ηηκή ΔΗ είλαη ζηαζεξή ρ. 7.4: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P Τπνινγηζκόο ρεηηθώλ ηξνθώλ θαη Μεηαθηλήζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: P a M P a Σν δηάγξακκα ησλ ξνπώλ παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4b. Καζώο ην γηλόκελν ΕΙ είλαη ζηαζεξό ε κνξθή ηνπ δηαγξάκκαηνο Μ/ΕΙ είλαη αληίζηνηρε ηνπ δηαγξάκκαηνο ηνπ ρ. 7.4b. ην ρ. 7.4c παξνπζηάδεηαη ε κνξθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο κεηαηόπηζεο ππάξρνπλ ελαιιαθηηθέο πξνζεγγίζεηο. Ζ πξώηε πξνζέγγηζε παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4c. Ζ απόζηαζε πνπ δεηείηαη δίδεηαη σο: Σα κήθε CC θαη CC δίδνληαη σο: C CC CC CC Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-48

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2

5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 Πεπιεσόμενα 5. ΔΡΠΤΜΟ - ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 5.1.1. Δηζαγσγή... 5-2 5.1.2. Πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell... 5-2 5.1.3. Πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin Voigt... 5-6 5.1.4. Πξνζνκνίσκα Σππηθνύ Γξακκηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοηικός έλεγτος καρεκλών γραθείοσ - διαζηαζιακές μεηρήζεις ΔΗΖΓΖΣΖ : ΝΣΑΛΟ ΓΔΧΡΓΗΟ

Ποιοηικός έλεγτος καρεκλών γραθείοσ - διαζηαζιακές μεηρήζεις ΔΗΖΓΖΣΖ : ΝΣΑΛΟ ΓΔΧΡΓΗΟ Ποιοηικός έλεγτος καρεκλών γραθείοσ - διαζηαζιακές μεηρήζεις ΔΗΖΓΖΣΖ : ΝΣΑΛΟ ΓΔΧΡΓΗΟ ΖΜΔΗΟ Α Τν νκνίσκα πξέπεη λα ηνπνζεηείηαη ζηελ επηθάλεηα ηνπ θαζίζκαηνο ζπκκεηξηθά ζην ελδηάκεζν επίπεδν κε ηέηνην ηξόπν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΛΙΚΩΝ

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΛΙΚΩΝ Άδειεσ Χρήςησ -Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςτην άδεια χρήςησ Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά - Μη εμπορική

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.)

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) x t t Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (ρωξίο αξρηθ θάζε) Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (κε αξρηθ θάζε) Γύλακε ζηελ Α.Α.Σ. a a t α ρέζε επηηάρπλζεο απνκάθξπλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο:

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: x = 8ημ(πt+π/6) 1. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. 2. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ απνκάθξπλζή ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλσση παλινδρόμησης

Ανάλσση παλινδρόμησης ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς Το ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης Tο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο κεηπραίνο παξάγνληαο ηπραίνο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Εςθύγπαμμη κίνηζη

1.1 Εςθύγπαμμη κίνηζη . Εςθύγπαμμη κίνηζη.. Ύλη και κίνηζη Η ύιε βξίζθεηαη ζε κία δηαξθή θίλεζε. Η θίλεζε είλαη ζρεηηθή, δελ ππάξρεη ηίπνηε ζην ζύκπαλ ην νπνίν λα είλαη αθίλεην. Οξίδεηαη ωο ηξνρηά νη δηαδνρηθέο ζέζεηο πνπ παίξλεη

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

Τκήκα : ΓΘΕΤΘΚΗΣ Ηκ/ληα : 30 / 11 / 2016

Τκήκα : ΓΘΕΤΘΚΗΣ Ηκ/ληα : 30 / 11 / 2016 Τκήκα : ΓΘΕΤΘΚΗΣ Ηκ/ληα : 30 / 11 / Ολνκαηεπώλπκν : ΘΔΜΑ Α : Σηηο παξαθάησ εξσηήζεηο Α1 Α4 λα επηιέμεηε ηε ζσζηή απάληεζε Δηάξθεηα 3h Α1. Έλα ζύζηεκα κάδαο ειαηεξίνπ εθηειεί εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε. Η

Διαβάστε περισσότερα

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ 1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο

Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall Macroeconomics, 5/e Olivier Blanchard 1 of 43 IS-LM: Μηχανισμός προσαρμογής μετά

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( ) 1. Άζξνηζκα Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Θέινπκε λα εθθξάζνπκε ην άζξνηζκα ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ. Δπνκέλσο έρνπκε: 2. Άζξνηζκα Ξεθηλάκε κε δύν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Παλεπηζηήκην Κξήηεο Τκήκα Επηζηήκεο θαη Τερλνινγίαο Υιηθώλ Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Δηδάζθσλ: Δεκήηξεο Παπάδνγινπ Email: dpapa@materials.uc.gr Άλυτες Ασκήσεις: 1. Να πξνζδηνξίζεηε αλ νη αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. y ημω= y π M(,y) ζςνω= π ξ σ εθω= y, 0 ζθω=, y 0 y.σπιγωνομεηπικοί απιθμοί γωνίαρ

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Νόκνο ηεο Φ/Α ηζρύεη κόλν ζηε καθξνρξόληα πεξίνδν παξαγωγήο θαη εμεγεί ηελ πνξεία

Ο Νόκνο ηεο Φ/Α ηζρύεη κόλν ζηε καθξνρξόληα πεξίνδν παξαγωγήο θαη εμεγεί ηελ πνξεία Αρχές Οικονομικθς Θεωρίας Καιηγητθς, Παναγιώτης Φουτσιτζθς, Οικονομολόγος. Κευάλαιο: Παραγωγή Κόστος Παραγωγής Προτάσεις Σωστού / Λάθοσς 1 Καζώο κεηαβάιιεηαη ε παξαγωγή ην κέζν ζηαζεξό θόζηνο κεηαβάιιεηαη.

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη Ιμαντοκίνηςη Μεηάδνζε θίλεζεο θαη κεηαθνξά ηζρύνο κεηαμύ αηξάθησλ ζε κεγάιε απόζηαζε Μεηαθνξά ηζρύνο κέζσ ηξηβήο ζην ζύζηεκα ηκάληα ηξνραιία Είδε ηκάλησλ: επίπεδνη (γηα κεγάιεο απνζηάζεηο αηξάθησλ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη :

Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη : Ονομαηεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Δπιμέλεια διαγωνίζμαηος: Αξιολόγηζη : Θέμα Α. Σηιρ επωηήζειρ πολλαπλήρ επιλογήρ πος ακολοςθούν ζημειώζηε ζηο γπαπηό ζαρ ηον απιθμό ηηρ επώηηζηρ και δίπλα ηην ένδειξη ηηρ ζωζηήρ

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:

Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο: Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα. Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο

Διαβάστε περισσότερα

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. ) Έλα ζώκα εξεκεί ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν. Σε κηα ζηηγκή αζθείηαη πάλσ ηνπ κηα νξηδόληηα ζηαζεξή δύλακε F, όπσο ζην ζρήκα. i) Σε πνηα δηεύζπλζε ζα θηλεζεί ην ζώκα;

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005 Δξγαζηεξηαθή άζθεζε : Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: /5/005 ΕΙΑΓΩΓΗ Ζ εξγαζηεξηαθή άζθεζε πεξηιακβάλεη έλα πείξακα θαη ζθνπόο ηεο είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ 1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ 1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ 1 ΟΝΟΜΑ : ΒΡΤΩΝΗ ΥΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΑΕΜ : 12781 ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ν Άσκηση 1: ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (α) Έλα αζηέξη θηλείηαη παξάιιεια κε ηνλ ηζεκεξηλό θαη δεκηνπξγεί έλα ζθαηξηθό ηξίγσλν

Διαβάστε περισσότερα

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη 5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα:

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα: ηηο πξνζνκνηώζεηο πνπ αθνινπζνύλ εμεηάδεηαη ε πεξίπησζε ηνπ θπιίλδξνπ δηπιαζίσλ δηαζηάζεσλ θαη γίλεηαη εμέηαζε θάζε θπιίλδξνπ μερσξηζηά (εμσηεξηθνύ θαη εζσηεξηθνύ). Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

Κατοίκον Εργασία Σε ειεύζεξν ρώξν, ην Ε= 20 cos (σt 50x)a y V/m. Να ππνινγίζεηε (α) ην J d (β) ην Η (γ) ην σ. (sd p.e 9.4 p425) e jx.

Κατοίκον Εργασία Σε ειεύζεξν ρώξν, ην Ε= 20 cos (σt 50x)a y V/m. Να ππνινγίζεηε (α) ην J d (β) ην Η (γ) ην σ. (sd p.e 9.4 p425) e jx. Κατοίκον Εργασία 4 1. Έλαο καγλεηηθόο ππξήλαο (magnetic core) πνπ έρεη δηαηνκή 4 cm 2 είλαη ελσκέλνο ζε γελλήηξηα ησλ 120 V θαη 60 Hz όπσο θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Να ππνινγίζεηε ην emf V 2, πνπ δεκηνπξγήζεθε

Διαβάστε περισσότερα