DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Francesco Brioschi POLITECNICO DI MILANO

Transcript

1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Francesco Brioschi POLITECNICO DI MILANO C k,α -regularity of solutions to quasilinear equations structured on Hörmander s vector fields Bramanti, M.; Fanciullo, M. S. Collezione dei Quaderni di Dipartimento, numero QDD 54 Inserito negli Archivi Digitali di Dipartimento in data Piazza Leonardo da Vinci, Milano (Italy)

2 Χ κ; ρεγυλαριτψοφσολυτιονστο θυασιλινεαρ εθυατιονσ στρυχτυρεδ ον Η ρmανδερ σϖεχτορ ελδσ Μαρχο Βραmαντι, Μαρια Στελλα Φανχιυλλο Απριλ 8, 203 Αβστραχτ Φορ α λινεαρ νονϖαριατιοναλ οπερατορ στρυχτυρεδ ον σmοοτη Η ρmαν δερ σ ϖεχτορ ελδσ, ωιτη Η λδερ χοντινυουσ χοε χιεντσ, ωε προϖε α ρεγυ λαριτψρεσυλτιντηεσχαλεοφχ κ; Ξ σπαχεσ. Wεδεδυχεαναναλογουσρεγυλαριτψ ρεσυλτ φορ νονϖαριατιοναλ δεγενερατε θυασιλινεαρ εθυατιονσ. Ιντροδυχτιον ΛετΞ ;Ξ 2 ;:::;Ξ θ βεασψστεmοφσmοοτηη ρmανδερ σϖεχτορ ελδσιναβουνδεδ σmοοτηδοmαινοφρ ν,ωιτηθ<ν(σεε.φορπρεχισεδε νιτιονσ). Νονϖαρι ατιοναλ οπερατορσ οφ τηε κινδ Λ= α (ξ)ξ ι Ξ ϕ + β ι (ξ)ξ ι +χ(ξ); ωιτηφα γρεαλσψmmετριχυνιφορmλψποσιτιϖεmατριξ,ηαϖεβεενστυδιεδβψσεϖ εραλ αυτηορσ, εσταβλισηινγ ιν παρτιχυλαρ λοχαλ α πριορι εστιmατεσ ον Ξ ι Ξ ϕ υ ιν Η λδερ ορ Λ π σπαχεσ, ιν τερmσ οφ Λυ ανδ υ; ανδ ασσυmινγ τηε χοε χιεντσ α βουνδεδ ανδ, ρεσπεχτιϖελψ, Η λδερ χοντινυουσ ορ ςμο: σεε [], [3] φορ Λ π εσ τιmατεσ ανδ [2], [3], [4] φορ Σχηαυδερ εστιmατεσ. Ιν παρτιχυλαρ, ιν [2] εϖολυτιον οπερατορσ οφ τηε κινδ ι= Η= τ α (τ;ξ)ξ ι Ξ ϕ + β ι (τ;ξ)ξ ι +χ(τ;ξ) ι= ηαϖε βεεν στυδιεδ, ανδ λοχαλ α πριορι Σχηαυδερ εστιmατεσ οφ τηε φολλοωινγ κινδ ηαϖε βεεν προϖεδ: ιφ α ;β ι ;χ 2 Χ κ; (Υ) φορ σοmε ιντεγερ κ > 0 ανδ σοmε 2000 ΑΜΣ Χλασσι χατιον: Πριmαρψ 35Η20. Σεχονδαρψ: 35ϑ62, 35Β65,42Β20. Κεψ ωορδσ: Η ρmανδερ σ ϖεχτορ ελδσ,θυασιλινεαρ εθυατιονσ,χ κ; ρεγυλαριτψ.

3 2(0;);τηενφορεϖερψδοmαινΥ 0 βυ,υ2χ κ+2; λοχ (Υ)ωιτηΗυ2Χ κ; (Υ); ο κυκ Χ κ+2; (Υ 0 ) νκηυκ 6χ Χ κ; (Υ) +κυκ Λ (Υ) : Ηερε τηε Η λδερ σπαχεσ Χ κ; αρε τηοσε δε νεδ βψ mεανσ οφ δεριϖατιϖεσ ωιτη ρεσπεχττοτηεξ ι σανδτηεδιστανχεινδυχεδβψτηεϖεχτορ ελδσ(mορεπρεχισελψ, τηε παραβολιχ ϖερσιον οφ τηεσε σπαχεσ, ωιτη τηε τιmε δεριϖατιϖε ωειγητινγ ασ α σεχονδ ορδερ δεριϖατιϖε, σεε. ανδ 4 φορ πρεχισε δε νιτιονσ). Νοτε τηατ τηε πρεϖιουσ εστιmατε ασσυmεσ α πριορι τηατ υ2χ κ+2; λοχ (Υ). Α mορε συβτλε προβλεm ισ τηατ οφ προϖινγ α ρεγυλαριτψ ρεσυλτ οφ τηε κινδ: ιφ υ 2 Χ 2; (Υ)σολϖεσΗυ=φ ανδα ;β ι ;χ;φ 2Χ κ; (Υ)τηεναχτυαλλψυ2Χ κ+2; λοχ (Υ) (ανδ τηερεφορε τηε αβοϖε α πριορι εστιmατε ηολδσ). Ιν[2] τηισ ρεγυλαριτψ ρεσυλτ ισ αχτυαλλψ προϖεδ, αππλψινγ τηε χλασσιχαλ στρατεγψ οφ ρεγυλαριζινγ τηε χοε χιεντσ ανδ δατα οφ τηε εθυατιον, σολϖινγ τηε ρεγυλαριζεδ Dιριχηλετ προβλεm ανδ εξπλοιτ ινγ τηε α πριορι εστιmατε το βυιλδ α σεθυενχε οφ σmοοτη φυνχτιονσ χονϖεργινγ ιν Χ κ+2; λοχ (Υ)τοτηεσολυτιονοφΗυ=φ. Ηοωεϖερ,υσινγτηισαππροαχηιν[2]τηε βουνδεδνεσσ οφ τηε αππροξιmατινγ σεθυενχε ισ προϖεδ ονλψ φορ κ εϖεν, ηενχε τηε ρεγυλαριτψ ρεσυλτ ηασ βεεν προϖεδ σο φαρ ονλψ φορ κ εϖεν. Ιν τηε πρεσεντ παπερ, εξπλοιτινγ τηε α πριορι εστιmατεσ προϖεδ ιν [2], ωε νδ α δι ερεντ ωαψ οφ προϖινγ α ρεγυλαριτψ ρεσυλτ ωηιχη ηολδσ φορ αλλ κ (σεε Τηεορεm 2.), βασεδ ον τηε Βαναχη Χαχχιοππολι ξεδ ποιντ τηεορεm. Τηε αβοϖε ρεσυλτ ανδ α σταν δαρδ βοοτστραπ αργυmεντ εναβλε υσ το προϖε α Σχηαυδερ ρεγυλαριτψ ρεσυλτ φορ θυασιλινεαρ εθυατιονσ οφ τηε κινδ Θυ α (ξ;υ;ξυ)ξ ι Ξ ϕ υ+β(ξ;υ;ξυ)=0; ωιτηφα γυνιφορmλψποσιτιϖε,χονχλυδινγτηατ,ινπαρτιχυλαρ,ανψχ 2; ()σολυ τιοντοθυ=0ισσmοοτηασσοονασα ;βαρεσmοοτη(σεετηεορεm3.). Φιναλλψ, ιν ϖιεω οφ τηε ρεσυλτσ ιν[2], βοτη τηε λινεαρ ανδ τηε θυασιλινεαρ ρεγυλαριτψ ρεσυλτσ δεσχριβεδ αβοϖε χαν βε εασιλψ εξτενδεδ το εϖολυτιον οπερατορσ τ Λ, τ Θ (σεε Τηεορεmσ 4., 4.2). Αχτυαλλψ, ωε ηαϖε ωριττεν ουρ προοφσ ιν τηε στατιοναρψ χασε ϕυστ το σιmπλιφψ νοτατιον. Wε mεντιον τηατ ιν τηε παπερ [7] τηισ ρεγυλαριτψ ρεσυλτ ισ αλσο στατεδ, βυτ τηεαυτηορmακεσανεξτραασσυmπτιονοντηεστρυχτυρεοφτηεξ ι σ(ωηιχηδοεσ νοτ χοϖερ γενεραλ Η ρmανδερ σ ϖεχτορ ελδσ) ανδ ηε αχτυαλλψ προϖεσ ονλψ λοχαλ α πριορι εστιmατεσ, νοτ α ρεγυλαριτψ ρεσυλτ. 2

4 Πρελιmιναριεσ ανδ κνοων ρεσυλτσ. Η ρmανδερ σ ϖεχτορ ελδσ, χοντρολ διστανχε ανδ Η λδερ σπαχεσ ΛετΞ ;:::;Ξ θ βεασψστεmοφρεαλσmοοτηϖεχτορ ελδσ, Ξ ι = νξ β (ξ) ξϕ ; ι=;2;:::;θ ϕ= (θ<ν)δε νεδινσοmεβουνδεδ,οπενανδχοννεχτεδσυβσετ 0 οφρ ν. Φορανψ mυλτιινδεξ Ι=(ι ;ι 2 ;:::;ι κ ); ι ϕ θ ωε σετ: Ξ [Ι] = Ξ ι ; Ξ ι2 ;::: Ξ ικ ;Ξ ικ ::: ; ωηερε [Ξ;Ψ] = ΞΨ ΨΞ φορ ανψ χουπλε οφ ϖεχτορ ελδσ Ξ;Ψ. Wε ωιλλ σαψ τηατ Ξ [Ι] ισ α χοmmυτατορ οφ λενγτη ϕιϕ = κ: Ασ υσυαλ, Ξ ι χαν βε σεεν ειτηερ ασαδι ερεντιαλοπερατορορασαϖεχτορ ελδ. WεωιλλωριτεΞ ι φ τοδενοτετηε δι ερεντιαλοπερατορξ ι αχτινγοναφυνχτιονφ,ανδ(ξ ι ) ξ τοδενοτετηεϖεχτορ ελδ Ξ ι εϖαλυατεδ ατ τηε ποιντ ξ 2 0. Wε σηαλλ σαψ τηατ Ξ ;:::;Ξ θ σατισφψ Η ρmανδερ σχονδιτιονοφστεπ σιν 0 ιφτηεσεϖεχτορ ελδσ,τογετηερωιτητηειρ χοmmυτατορσοφλενγτησ,σπαντηετανγεντσπαχεατεϖερψποιντξ2 0. Ονεχαννοωδε νετηεχοντρολδιστανχεινδυχεδβψτηεσεϖεχτορ ελδσ,ασιν [5]: Dε νιτιον. Φορ ανψ >0, λετ Χ() βε τηε χλασσ οφ αβσολυτελψ χοντινυουσ mαππινγσ :[0;]! 0 ωηιχησατισφψ 0 (τ)= ι (τ)(ξ ι ) (τ) α.ε. τ2(0;) ι= ωιτηϕ ϕ (τ)ϕ φορϕ=;:::;θ. Wεδε νε δ Ξ (ξ;ψ)=ινφφ:9 2Χ() ωιτη (0)=ξ; ()=ψγ: Νοτε τηατ τηε νιτενεσσ οφ δ Ξ (ξ;ψ) φορ ανψ τωο ποιντσ ξ;ψ 2 0 ισ νοτ α τριϖιαλ φαχτ, βυτ δεπενδσ ον α χοννεχτιϖιτψ ρεσυλτ( Χηοω σ τηεορεm ); mορεοϖερ, ιτχανβεπροϖεδτηατδ Ξ ισαδιστανχε. Ιτισαλσοωελλ κνοωντηαττηισδιστανχε ισ τοπολογιχαλλψ εθυιϖαλεντ το τηε Ευχλιδεαν ονε(σεε[5] φορ αλλ τηεσε φαχτσ). Νοω,λετ 0 βεανοτηερ ξεδδοmαιν. Φορανψξ2,ωεσετ Β ρ (ξ)=φψ2 0 :δ Ξ (ξ;ψ)<ργ: Λετυσδε νεσεϖεραλτψπεσοφη λδερσπαχεστηατωεωιλλνεεδιντηεφολλοωινγ: 3

5 Dε νιτιον.2 Φορανψ2(0;);υ:!Ρ,λετ: ϕυ(ξ) υ(ψ)ϕ ϕυϕ Χ Ξ () =συπ δ Ξ (ξ;ψ) :ξ;ψ2;ξ6=ψ ; κυκ Χ Ξ () =ϕυϕ Χ () +κυκ Λ () ; ο ΧΞ()= νυ:!ρ:κυκ < Χ() : Αλσο, φορ ανψ ποσιτιϖε ιντεγερ κ, λετ ωιτη Χ κ; Ξ ()= ν υ:!ρ:κυκ Χ κ; () < ο ; κυκ Χ κ; Ξ ()= κξ λ=ϕ ι= κξ ϕ :::Ξ ϕλ υκ Χ () +κυκ Χ () : WεωιλλσετΧΞ;0 ()ανδχκ; Ξ;0 ()φορτηεσυβσπαχεσοφχ Ξ ()ανδχκ; Ξ () οφ φυνχτιονσ ωηιχη αρε χοmπαχτλψ συππορτεδ ιν, ανδ Χ κ; Ξ;λοχ () φορ τηε σπαχε οφφυνχτιονσβελονγινγτοχ κ; Ξ (0 )φορεϖερψ 0 β. Φιναλλψ,ωεωιλλωριτεΧ κ; Ξ; ()τοδενοτετηεσυβσπαχεοφχκ; Ξ ()χονσιστινγ οφ φυνχτιονσ υ συχη τηατ βοτη υ ανδ αλλ τηε δεριϖατιϖεσ Ξ ι Ξ ι2 :::Ξ ιλ υ (λκ) ϖανιση ον : Προποσιτιον.3 ΤηεσπαχεσΧ κ; Ξ; ανδρ>ρ φορσοmεβ Ρ (ξ 0 );τηεν υ(ξ)= βελονγστοχ κ; Ξ;0 (Β Ρ(ξ 0 )): ()αρεχοmπλετε. Μορεοϖερ,ιφυ2Χκ; Ξ; (Β ρ(ξ 0 )) υ(ξ) ινβρ (ξ 0 ) 0ινΒ Ρ (ξ 0 )νβ ρ (ξ 0 ) Προοφ. Wελεαϖετοτηερεαδερτοχηεχκτηεχοmπλετενεσσοφτηεσεσπαχεσ. Λετ υσπροϖετηεσεχονδασσερτιονφορκ=0,σινχετηεσαmεαργυmενταππλιεστοτηε δεριϖατιϖεσ. Ιτ ισ ενουγη το χηεχκ τηατ ϕυ(ξ) υ(ψ)ϕχδ Ξ (ξ;ψ) φορανψξ2β ρ (ξ 0 );ψ2β Ρ (ξ 0 )νβ ρ (ξ 0 ); τηεοτηερχασεσβεινγοβϖιουσ. Βψδε νιτιονοφδ Ξ,φορανψ ξεδ >0,ωεχαν πιχκαχυρϖε:[0;]!συχητηατ (0)=ξ;()=ψ 0 (τ)= ι (τ)(ξ ι ) (τ) ωιτη ϕ ι (τ)ϕδ Ξ (ξ;ψ)+ : ι= Σινχε δ Ξ (ξ 0 ;(0)) < ρ ανδ δ Ξ (ξ 0 ;()) > ρ; τηερε εξιστσ α ποιντ ζ = τ συχητηατδ(ξ 0 ;ζ)=ρανδυ(ζ)=0. Τηεν ϕυ(ξ) υ(ψ)ϕ=ϕυ(ξ)ϕ=ϕυ(ξ) υ(ζ)ϕ ϕυϕ Χ δ Ξ (ξ;ζ) ϕυϕ Χ (δ Ξ (ξ;ψ)+ ) : 4

6 Σινχετηισιστρυεφορεϖερψ >0;ωεαρεδονε. Τηε φολλοωινγ εασψ προπερτιεσ οφ ουρ φυνχτιον σπαχεσ ωιλλ βε υσεφυλ: Προποσιτιον.4 (Σεε [2, Προποσιτιον 4.2], αλσο [3, Προπ.3.27]) Λετ Β Ρ (ξ), τηεν (ι)φορανψφ2χ Ξ;0 (Β Ρ(ξ)),ονεηασ ϕφ(ξ) φ(ψ)ϕδ Ξ (ξ;ψ) συπ ι= Β Ρ (ξ) φορανψξ;ψ2β Ρ (ξ). (ιι)φορανψχουπλεοφφυνχτιονσφ;γ2χ Ξ (Β Ρ(ξ)),ονεηασ ϕξ ι φϕ (.) ϕφγϕ Χ Ξ (Β Ρ (ξ)) ϕφϕ Χ Ξ (Β Ρ(ξ)) κγκ Λ (Β Ρ (ξ)) +ϕγϕ Χ Ξ (Β Ρ(ξ)) κφκ Λ (Β Ρ (ξ)) ανδ κφγκ Χ Ξ (Β Ρ (ξ)) 2κφκ Χ Ξ (Β Ρ(ξ)) κγκ Χ Ξ (Β Ρ(ξ)) : (.2).2 Λιφτεδ ϖεχτορ ελδσ ανδ ιντεγραλ οπερατορσ Τηρουγηουτ τηε παπερ ωε ωιλλ mακε υσε οφ σοmε ρεσυλτσ ανδ τεχηνιθυεσ οριγιναλλψ ιντροδυχεδ βψ Ροτησχηιλδ Στειν[6] ανδ τηεν αδαπτεδ το νονϖαριατιοναλ οπερατορσ ιν[],[2],[3]. Ηοωεϖερ,ινορδερτουνδερστανδτηεπροοφσιντηεπρεσεντπαπερ, ιτισνοτνεχεσσαρψφορτηερεαδερτοκνοωινδεταιλαλλτηεβαχκγρουνδωηιχηισ ιmπλιχιτλψ ινϖολϖεδ ηερε. Τηερεφορε, το ρεδυχε τηε λενγτη οφ τηισ παπερ ωε ωιλλ χοντεντ ουρσελϖεσ οφ ποιντινγ ουτ τηε φαχτσ ωηιχη ωιλλ βε εξπλιχιτλψ υσεδ, γιϖινγ το τηε ιντερεστεδ ρεαδερ αλλ τηε ρελεϖαντ ρεφερενχεσ. Φιρστ οφ αλλ, mυχη οφ τηε προοφ οφ ουρ mαιν ρεσυλτσ λιϖεσ ιν τηε σπαχε οφ λιφτεδ ϖαριαβλεσ, ασ ιν[6]. Τηισ βασιχαλλψ mεανσ ωηατ φολλοωσ. Φορ εϖερψ ποιντ ξ2τηερεεξιστσανειγηβορηοοδβ Ρ (ξ)ανδ,ιντερmσοφνεωϖαριαβλεσ, η ν+ ;:::;η Ν,τηερεεξιστσmοοτηφυνχτιονσ ιλ (ξ;η)(ιθ;ν+λν) δε νεδινανειγηβορηοοδυ ε οφ=(ξ;0)2ρ Ν συχητηαττηεϖεχτορ ελδσξ ε ι γιϖεν βψ ΝΞ εξ ι =Ξ ι + ιλ (ξ;η) ; ι=;:::;θ η λ λ=ν+ στιλλσατισφψη ρmανδερ σχονδιτιονοφστεπσινυ ε ανδποσσεσσεσφυρτηερπροπερ τιεσ,σοmεοφωηιχηωεαρεγοινγτορεχαλλ. Λετ υσ ρστ ξ σοmε νοτατιον. Wε ωιλλ δενοτε βψ δ εξ τηε χοντρολ διστανχε ινδυχεδβψτηεϖεχτορ ελδσξ ε ι ινυ,βψ ε Β ε Ρ τηεχορρεσπονδινγβαλλσ,ανδωε ωιλλδενοτεβψχ εβρ Ξ ε,χ κ; εβρ,χ εξ εβρ ανδχ κ; εβρ εξ;0 εξ;0 τηεφυνχτιονσπαχεσοϖερ Β ε Ρ δε νεδβψτηεξ ε ι σασιν.. ΤηεφολλοωινγρελατιονβετωεεντηεσπαχεσΧ Ξ (Β Ρ(ξ))ανδΧ ε Ξ εβρ ισ χρυχιαλ φορ υσ: 5

7 Προποσιτιον.5 (Σεε [2, Προπ. 8.3], [3, Προπ. 3.28]) Λετ Β ε ρ βε α λιφτεδ βαλλ, ωιτη =(ξ;0). Ιφ φ ισ α φυνχτιον δε νεδ ιν Β 2ρ (ξ) ανδ φ(ξ;η)=φ(ξ) ε ισρεγαρδεδασαφυνχτιονδε νεδον Β ε ρ,τηεντηεφολλοωινγινεθυαλιτιεσηολδ τρυε φ ε Χ 6ϕφϕ φξ (ε Χ Β ρ()) Ξ (Βρ(ξ))6χ φ ε : Χ φξ (ε Β 2ρ()) Μορεοϖερ, Ξ ε ιξι2 ε ::: Ξ ε ικφ ε Χ 6ϕΞ φξ (ε ι :::Ξ ικ φϕ Β ρ()) Χ Ξ (Β 6χ ρ(ξ)) φορι ϕ =;2;:::;θ: ε Ξ ι ::: ε Ξ ικ ε φ Χ φξ (ε Β 2ρ()) Τηεmαιντοολτοπροϖεαπριοριεστιmατεσ(ιν[6], [], [2], [3])ιστηεχοmβι νατιον οφ σοmε αβστραχτ τηεορψ οφ σινγυλαρ ιντεγραλσ ωιτη σοmε ρεπρεσεντατιον φορmυλασφορτηεσεχονδορδερδεριϖατιϖεσ ε Ξ ι ε Ξϕ υοφανψτεστφυνχτιονβψmεανσ οφ συιταβλε ιντεγραλ οπερατορσ. Τηε ρεασον ωηψ τηισ ισ περφορmεδ ιν τηε σπαχεσ οφ λιφτεδ ϖαριαβλεσ ισ τηατ τηισ αλλοωσ το mακε υσε οφ σινγυλαρ ιντεγραλ οπερατορσ ωιτη βεττερ προπερτιεσ. Τηε κεψ νοτιον ηερε ισ τηατ οφ φροζεν οπερατορ οφ τψπε ζερο οϖερ α βαλλ ε ΒΡ ( 0 ), ρστ ιντροδυχεδ ιν [] αδαπτινγ τηε νοτιον οφ οπερα τορ οφ τψπε ζερο γιϖεν ιν [6]. Wε ωιλλ νοτ ρεχαλλ τηε δε νιτιον οφ τηισ χονχεπτ (σεε [2, Dε νιτιον 6.3]) βεχαυσε ιτ ινϖολϖεσ σεϖεραλ οτηερ νοτιονσ τηατ ωε ωιλλ νοτυσεεξπλιχιτλψ. Ιτισενουγητοσαψτηαταφροζενοπερατοροφτψπεζεροοϖερ εβ Ρ ισανιντεγραλοπερατορτ( 0 )(δεπενδινγονσοmεποιντ 0 2 ε Β Ρ λικε α παραmετερ), ανδ τηατ τηε φολλοωινγ τωο ρεσυλτσ ηολδ: Τηεορεm.6 (σεε [2, Τηm.6.6], σεε αλσο [3, Τηm.5.]). Τηερε εξιστσ Χ Ρ >0 δεπενδινγ ον Ρ; ανδ τηε ϖεχτορ ελδσ Ξ ι (βυτ νοτ ον 0 ) συχη τηατ φορ εϖερψ ρρ;φ 2Χ Ξ;0 εβρ ; κτ( 0 )φκ Χ Ξ ( ε Β ρ()) Χ Ρκφκ Χ Ξ ( ε Β ρ()) : Τηεορεm.7 Φορ ανψ κ=;2;:::;θ τηερε εξιστ θ+ φροζεν οπερατορσ οφ τψπε ζεροοϖερβ ε Ρ,Τη κ( 0)φορκ=0;;2;:::;θ;συχητηατφορανψφ 2ΧΞ εβρ ονε ηασ: εξ κ Τ( 0 )φ = Τη( κ 0 ) Ξ ε η φ+τκ( 0 0 )φ η= Προοφ οφ Τηεορεm.7. Ιν [2, Προπ.6.9] αν αναλογουσ φορmυλα ισ στατεδ φορ Τ( 0 );Τ κ η ( 0)φροζενοπερατορσοφτψπεονε. Εξπλοιτινγτηεφαχττηατανψφροζεν οπερατοροφτψπεζεροινϖολϖεδινουραργυmεντισαχτυαλλψοφτηεκινδ ε Ξ ι Σ( 0 ) ωιτησ( 0 )φροζενοπερατοροφτψπεονε,ανδϖιχεϖερσα φορεϖερψφροζενοπερατορ οφτψπεονεσ( 0 )τηεδεριϖατιϖε ε Ξ ι Σ( 0 )ισαφροζενοπερατοροφτψπεζερο,ωε χαν ωριτε (δενοτινγ φροζεν οπερατορσ οφ τψπε ζερο ορ ονε ωιτη τηε λεττερσ Τ;Σ; 6

8 ρεσπεχτιϖελψ):! εξ κ Τ( 0 )φ = Ξ ε κξι εσ( 0 )φ = Ξ ε κ Ση( ι 0 ) Ξ ε η φ+σκ( 0 0 )φ = η= Τη( κ 0 ) Ξ ε η φ+τκ( 0 0 )φ; η= ωηιχη γιϖεσ τηε ασσερτιον. 2 Τηε λινεαρ ρεγυλαριτψ τηεορψ Λετ υσ χονσιδερ τηε λινεαρ οπερατορ Λ= α (ξ)ξ ι Ξ ϕ + β ι (ξ)ξ ι +χ(ξ) ωηερε: Ξ ;Ξ 2 ;:::;Ξ θ αρεασψστεmοφη ρmανδερ σϖεχτορ ελδσινανειγηβορηοοδ 0 οφσοmεβουνδεδδοmαινρ ν,ασδεσχριβεδαττηεβεγιννινγοφ.; α ;β ι ;χ2χξ ()φορσοmε2(0;),α =α ϕι σατισφψινγφορσοmεχονσταντ >0τηεχονδιτιον ϕϕ 2 α (ξ) ι ϕ ϕϕ 2 82Ρ θ ;ξ2: (2.) ι= Τηεαιmοφτηισσεχτιονιστοπροϖετηεφολλοωινγρεσυλτ: Τηεορεm 2. Υνδερτηεαβοϖεασσυmπτιονσ,λετυ2Χ 2; Ξ ()σατισφψτηεεθυα τιον Λυ=φ ιν ανδασσυmετηατφορσοmειντεγερκ=;2;3;:::ωεηαϖε: Τηεν Ιν παρτιχυλαρ, ιφ τηεν α ;β ι ;χ;φ;2χ κ; Ξ (): υ2χ κ+2; Ξ;λοχ (): α ;β ι ;χ;φ;2χ () υ2χ (): Ινϖιρτυεοφτηερεσυλτσιν[2],τηερεγυλαριτψυ2Χ κ+2; Ξ;λοχ ()αλσοιmπλιεστηε ϖαλιδιτψ οφ λοχαλ α πριορι εστιmατεσ ν ο κυκ Χ κ+2; Ξ ( 0 ) 6χ κλυκ Χ κ; ()+κυκ Λ Ξ () φορανψ 0 β,ωιτηχονσταντχινδεπενδεντοφυ. 7

9 Ρεmαρκ 2.2 Χλεαρλψ,ιτισενουγητοπροϖετηετηεορεmφορβ ι =χ=0,βεχαυσε ασσυmινγτηισωεχανπροχεεδασφολλοωσ: λετυ2χ 2; Ξ ()σατισφψτηεεθυατιον ανδ ασσυmε τηατ Τηεν α (ξ)ξ ι Ξ ϕ υ=φ Λυ=φ ιν α ;β ι ;χ;φ;2χ ; Ξ (): ι= β ι (ξ)ξ ι υ χ(ξ)υ ε φ 2Χ ; Ξ () ανδ βψ τηε ρεσυλτ τηατ ωε συπποσε αλρεαδψ προϖεδ φορ τηε πρινχιπαλ παρτ οπερατορ ωεχονχλυδευ2χ 3; Ξ;λοχ (). Ιτερατινγτηισαργυmεντγιϖεστηεγενεραλρεσυλτφορ ανψκ. Ηενχε,ωενεεδτοπροϖεΤηεορεm2.ονλψφορβ ι =χ=0: Νοω, ξξ 0 2ανδασmαλλβαλλΒ Ρ (ξ 0 )ωηερετηελιφτινγπροχεδυρεισ αππλιχαβλε. Λετ 0 =(ξ 0 ;0);=(ξ;η),ανδδε νε,φορ2 ε Β Ρ ( 0 ); εα ()=α (ξ) ελυ()= εα () Ξ ε ιξϕ ε υ(): Νεξτ,λετυσφρεεζετηεχοε χιεντσεα ατ 0 ;ανδλετ ελ 0 υ()= εα ( 0 ) Ξ ε ιξϕ ε υ() Φορ τηισ φροζεν λιφτεδ οπερατορ τηε φολλοωινγ ρεπρεσεντατιον φορmυλα ηολδσ τρυε: Τηεορεm 2.3 (Ρεπρεσεντατιον οφ Ξ ε mξλ ε υ βψ φροζεν οπερατορσ) ([2,π.2]) Γιϖεν α 2 Χ0 εβρ ( 0 ), τηερε εξιστ φροζεν οπερατορσ Τ λm ( 0 ) οϖερ τηε βαλλ εβ Ρ ( 0 )(m;λ=;2;:::;θ),συχητηατφορανψυ2χξ;0 2; εβρ ( 0 ) ( ) εξ mξλ ε (αυ)=τ λm ( 0 ) Λ ε 0 υ+ εα ( 0 ) Τ λm;κ ( 0) Ξ ε κ υ+τ λm ( 0)υ : Αλσο, 0 εξ mξλ ε (αυ)=τ λm ( 0 ) Λυ+Τ ε λm ( 0 ) + κ= κ= [εα ( 0 ) εα ()] Ξι ε Ξϕ ε υα+ ( ) εα ( 0 ) Τ λm;κ ( 0) Ξ ε κ υ+τ λm ( 0)υ : 8

10 ηενχε Ιν ορδερ το mακε mορε ρεαδαβλε τηε πρεϖιουσ φορmυλασ, λετ υσ δε νε: Τ Α λm;κ( 0 )= Τ Α λm( 0 )= εξ mξλ ε (αυ)=τ λm ( 0 ) Λυ+Τ ε λm ( 0 ) + κ= εα ( 0 )Τ λm;κ ( 0) εα ( 0 )Τ λm ( 0) 0 [εα ( 0 ) εα ()] Ξι ε Ξϕ ε υα (2.2) Τ Α λm;κ( 0 ) ε Ξ κ υ+τ Α λm( 0 )υ: Ρεmαρκ 2.4 Wε νοτε τηατ βψ Τηεορεm.6, τηε οπερατορσ Τλm;κ Α ( 0);Τλm Α ( 0) σατισφψ τηε εστιmατε: Τ:::( Α 0 )φ Χ ( Β ε ρ( 0)) Χ Ρ;κφκ Χ ( Β ε ρ( 0)) (2.3) φορ ανψ φ 2ΧΞ;0 εβρ ( 0 ), ωηερε νοω τηε χονσταντ Χ Ρ; αλσο δεπενδσ ον τηε νυmβεριν(2.). Wε αρε γοινγ το σεε(2.2) ασ αν ιδεντιτψ ινϖολϖινγ α συιταβλε ιντεγραλ οπερατορ, το ωηιχη αππλψ τηε Βαναχη Χαχχιοππολι ξεδ ποιντ τηεορεm. Το τηισ αιm, φορ α ξεδϖ2χξ;0 2; εβ(0 ;Ρ) λετ ηενχε βψ(2.3) ανδ Γ λ;m =Τ λm ( 0 ) ε Λϖ+ κ= Τ Α λm;κ( 0 ) ε Ξ κ ϖ+τ Α λm( 0 )ϖ (2.4) Γ λ;m 2ΧΞ εβ(0 ;Ρ) 0 εξ mξλ ε (αϖ)=γ λ;m +Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()] Ξι ε Ξϕ ε ϖα: Νοω,φορανυmβερρ<Ρτοβε ξεδλατερ,πιχκανοτηερ2χ 0 τηατ=ιν ε Β ρ=2 ( 0 ),ανδωριτε 0 Ξ ε mξλ ε (αϖ)=γ λ;m +Τ λm ( 0 ) εβρ ( 0 ) συχη [εα ( 0 ) εα ()] Ξι ε Ξϕ ε ϖα: (2.5) 9

11 Νοω,φορανψΦ =(Φ ) θ 2 Χ Ξ; εβρ ( 0 ) θθ;λετυσδε νετηεοπερατορ 0 Τ (Φ)=Γ λ;m +Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α: Τηεορεm 2.5 Φορ ρ > 0 σmαλλ ενουγη, τηε οπερατορ Τ ισ α χοντραχτιον οφ ΧΞ; (Β ρ( 0 )) θθ ινιτσελφ. Προοφ. ΣινχεΦ 2Χ εβρ ( 0 ),Φ χανβεεξτενδεδτοζεροινβ ε Ρ ( 0 ),ηενχε (σεε Προποσιτιον.3) ανδ βψ Τηεορεm.6, 0 ανδ Τ λm ( 0 ) 0 Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ 2ΧΞ;0 εβρ ( 0 ) ; [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α2Χ Ξ εβρ ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α2Χ Ξ; εβρ ( 0 ) : Σινχε αλσο Γ λ;m 2ΧΞ εβρ ( 0 ) ανδ Γ λ;m 2ΧΞ; εβρ ( 0 ), ωε χονχλυδε τηατ Τ mαπσ Χ Ξ; (Β ρ( 0 )) θθ ιν ιτσελφ. Ιν ορδερ το σηοω τηατ Τ ισ α χον τραχτιον, λετ Φ () ;Φ (2) 2 ΧΞ; (Β ρ( 0 )) θθ. Wε ηαϖε, βψ Τηεορεm.6 ανδ (.2): ΤΦ () ΤΦ (2) (Χ Ξ ( Β ε ρ( 0))) θθ ωιτη λ;m= λ;m= Τ λm( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()] χ[εα ( 0 ) εα ()] χ!(ρ) Φ () Φ (2) (Χ Ξ ( Β ε ρ( 0))) θθ Φ () Φ (2) Χ Ξ ( Β ε ρ( 0)) Φ () Φ (2) Χ Ξ( Β ε ρ( 0))!(ρ)= συπ ϕεα ϕ Χ ;2;:::;θ Ξ ( Β ε Ρ ( 9)) ρ ΗενχεφορρσmαλλενουγηΤ ισαχοντραχτιονοφ Χ Ξ; (Β ρ( 0 )) θθ ινιτσελφ. Νεξτ, ωε νεεδ τηε φολλοωινγ σιmιλαρ ρεσυλτ: 0

12 Τηεορεm 2.6 Ιφϖ2ΧΞ;0 2; εβ(0 ;Ρ),εα ; Λϖ2Χ ε ; εβρ Ξ ( 0 ) ανδρισσmαλλ θθ ενουγη,τηεοπερατορτ ισαλσοαχοντραχτιονοφ ΧΞ; ; εβρ ( 0 ) ινιτσελφ. Προοφ. Wε αλρεαδψ κνοω τηατ Γ λ;m =Τ λm ( 0 ) Λϖ+ ε Τλm;κ( Α 0 ) Ξ ε κ ϖ+τλm( Α 0 )ϖ2χξ;0 εβρ ( 0 ) : κ= ΤοσηοωτηαταλσοΞ ε η (Γ λ;m )2ΧΞ; εβρ ( 0 ),λετυσχοmπυτε εξπλοιτινγ Τηεορεm.7 εξ η (Γ λ;m )= εξη Γ λ;m +ν εξη Τ λm ( 0 ) Λϖ+ ε + κ= = εξη Γ λ;m κ= σ= σ= εξ η Τ Α λm;κ( 0 ) ε Ξ κ ϖ+ ε Ξ η Τ Α λm( 0 )ϖ ( σ= Τ Α;σ λm;κ ( 0) ε Ξ σ +Τ Α;0 λm;κ ( 0) Τ Α;σ λm ( 0) ε Ξ σ +Τ Α;0 λm ( 0) Τ σ λm( 0 ) ε Ξ σ +Τ 0 λm( 0 )! ϖ )! : εξ κ ϖ! ) ελϖ+ Ρεχαλλινγ τηατ ϖ 2 ΧΞ;0 2; εβρ ( 0 ) βψ (2.3) ωε γετ τηατ τηε θυαντιτψ ιν φ:::γ βελονγστοχξ εβρ ( 0 ),ηενχεβψουρχηοιχεοφ, εξ η (Γ λ;m )2ΧΞ;0 εβρ ( 0 ) ΧΞ; εβρ ( 0 ) : ΑστοτηεοτηερτερmοφΤ (Φ), 0 Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α; φορ εα 2 Χ ; εβρ Ξ ( 0 ) ;Φ 2 ΧΞ; ; εβρ ( 0 ) ωε χαν χοmπυτε, βψ Τηεορεm.7: 0 0 εξ κ Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ ΑΑ 8 < = : σ=! 0 Τλm( σ 0 ) Ξ ε σ +Τλm( 0 0 ) 9 = [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α ; +

13 0 + εξκ Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α < = Τ σ : λm( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()] Ξ ε σ Φ Α Τλm( σ 0 ) εξσ εα Φ Α+ σ= σ= = +Τλm( 0 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α ; + εξκ Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()]Φ Α: Σινχε, υνδερ ουρ ασσυmπτιονσ, αλλ τηε φυνχτιονσ: βελονγ το ΧΞ; εβρ ( 0 ) χονχλυδε 0 0 εξ κ Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()] Ξ ε σ Φ εξσ εα Φ [εα ( 0 ) εα ()]Φ ΧΞ;0 εβρ ( 0 ) ; βψ (2.3) ανδ ουρ χηοιχε οφ ωε [εα ( 0 ) εα ()]Φ ΑΑ2Χ Ξ; εβρ ( 0 ) ; ηενχετ mαπσχξ; ; εβρ ( 0 ) ινιτσελφ. ΛετυσσηοωτηατΤ ισαλσοαχοντραχτιον ινχξ; ; εβρ ( 0 ). Wεαλρεαδψκνοωτηατ ΤΦ () ΤΦ (2) Χ Ξ ( ε Β ρ( 0)) θθ χ!(ρ) Φ () σολετυσχοmπυτε Φ (2) (Χ Ξ ( ε Β ρ( 0))) θθ (2.6) εξ κ ΤΦ () Ξκ ε ΤΦ (2) 8 0 < = Τ σ : λm( 0 ) σ= 0 Τλm( σ 0 ) σ= [εα ( 0 ) εα ()] εξσ Φ () εξ σ εα Φ () Φ (2) Α+ εξ σ Φ (2) Α 2

14 0 9 = +Τλm( 0 0 ) [εα ( 0 ) εα ()] Φ () Φ (2) Α ; εξκ Τ λm ( 0 ) [εα ( 0 ) εα ()] Φ () Φ (2) Α Α+Β+Χ+D: Αππλψινγ αγαιν Τηεορεm.6 ανδ(.2), ΞΦ κακ Χ Ξ ( Β ε ρ( 0)) χ!(ρ) () χ!(ρ) Φ () Φ (2) Χ ; Ξ ( Β ε ρ( 0)) ΞΦ (2) Χ Ξ ( Β ε ρ( 0)) κχκ Χ Ξ ( ε Β ρ( 0)) +κdκ Χ Ξ( ε Β ρ( 0)) χ!(ρ) Φ () κβκ Χ Ξ ( ε Β ρ( 0)) χ σ; κξεα κ Χ Ξ ( Β ε ρ( 0)) Φ (2) Φ () Φ (2) Χ Ξ ( Β ε ρ( 0)) Χ Ξ ( : Β ε ρ( 0)) (2.7) (2.8) ΤοχοmπλετετηεβουνδονΒ,λετυσνοτετηατιφγ2ΧΞ; ; εβρ ( 0 ) ωε ηαϖε κγκ συπ ϕγ() γ()ϕϕγϕ ;2Β ε Χ ( Β ε ρ( 0)) (2ρ) ρ( 0) ανδαππλψινγ(.)(σεεινγγασαφυνχτιονινχξ;0 ; εβρ ( 0 ) ), ηενχε ανδ ϕγϕ Χ ( Β ε ρ( 0)) = συπ ϕγ() γ()ϕ ;2Β ε ρ( 0) δ εξ (;) συπ κβκ Χ Ξ ( ε Β ρ( 0)) χ κγκ Χ Ξ ( ε Β ρ( 0)) κγκ Χ ; Ξ ( ε Β ρ( 0)) σ; εβ ρ( 0) Ξγ ε (2ρ) +(2ρ) (2ρ) ; Ξ ε Χ σ εα (2ρ) +(2ρ) () Φ Ξ (Β ρ( 0)) Φροm(2.6),(2.7),(2.8),(2.9)ωεδεδυχετηατφορρσmαλλενουγη ΤΦ () ΤΦ (2) (Χ ; Ξ ( Β ε θθ ρ( 0))) ωιτη<;ανδωεαρεδονε. Wενοωχοmετοτηε Φ (2) Χ ; Φ () Φ (2) (Χ ; Ξ (Βρ(0)))θθ Ξ ( : Β ε ρ( 0)) (2.9) 3

15 Χονχλυσιον οφ τηε προοφ οφ Τηεορεm 2.. ΒψΡεmαρκ2.2ιτισενουγητο προϖετηετηεορεmφορβ ι =χ=0. Wεωιλλπροϖετηερεγυλαριτψρεσυλτφορκ=; ανιτερατιϖεαργυmεντγιϖεστηεγενεραλχασε. Αλσο,ονχετηεΧ κ+2; Ξ;λοχ ()ισπροϖεδ φορ εϖερψ κ, Η ρmανδερ σ χονδιτιον ιmπλιεσ τηατ α σολυτιον υ2χ κ+2; Ξ;λοχ () φορ ανψκισαλσοσmοοτηινευχλιδεανσενσε. Σο,λετυ2Χ 2; Ξ ()σατισφψτηεεθυατιον ανδ ασσυmε τηατ Λυ α (ξ)ξ ι Ξ ϕ υ=φ ιν α ;φ;2χ ; Ξ (): Φιξξ 0 2ανδασmαλλβαλλΒ Ρ (ξ 0 )ωηερετηελιφτινγπροχεδυρεισαππλιχα βλε. Λετ 0 =(ξ 0 ;0);=(ξ;η). ΤηενβψΠροποσιτιον.5, ευ()=υ(ξ)2χ 2; εβρ Ξ ( 0 ) ; εα ()=α (ξ); ε φ()=φ(ξ)2χ ; Ξ ελευ= ε φ ιν ε Β Ρ ( 0 ): εβρ ( 0 ) Τηεν, λετ 2 Χ0 εβρ ( 0 ) συχη τηατ = ιν Β ε ρ=2 ( 0 ), ηενχε ϖ = ευ 2 ΧΞ;0 2; εβρ ( 0 ) ανδ ελϖ= ε φ+2 εα Ξι ε ευ Ξ ε ϕ +ευ Λγ2Χ ε ; εβρ Ξ ( 0 ) : Φορ τηισ φυνχτιον ϖ τηε ρεπρεσεντατιον φορmυλα (2.5) ηολδσ τρυε, ωιτη Γ λm γιϖενβψ(2.4). Λετυσδε νετηενυmβερρ,τηεχυτο φυνχτιονανδτηεοπερατορ θθανδ θθ Τ ασιντηεορεmσ2.5,2.6. Σινχε ΧΞ; εβρ ( 0 ) ΧΞ; ; εβρ ( 0 ) αρε Βαναχη σπαχεσ, βψ τηε Βαναχη Χαχχιοππολι Τηεορεm τηε οπερατορ Τ ποσ θθανδιν θθ. σεσσεσαυνιθυε ξεδποιντwβοτηιν ΧΞ; εβρ ( 0 ) ΧΞ; ; εβρ ( 0 ) Οντηεοτηερηανδ,σινχεΞ ε ιξϕ ε ϖ2χξ; εβρ ( 0 ),βψ(2.5)χηοοσινγα()= ιν ε Β Ρ=2 ( 0 ) ε Β ρ=2 ( 0 ),ωεγετ ηενχεξ ε ιξϕ ε ϖ2χ ; εβρ=2 Ξ ( 0 ) σιτιον.5 τηισ ιmπλιεσ εξ ι ε Ξϕ ϖ()=w() ιν ε Β ρ=2 ( 0 ); ανδαλσοξ ε ιξϕ ε ευ2χ ; εβρ=2 Ξ ( 0 ). ΒψΠροπο Ξ ι Ξ ϕ υ2χ ; Ξ Β ρ=4(ξ 0 ) τηερεφορευ2χ 3; Ξ Β ρ=4(ξ 0 ) ανδβψαχοϖερινγαργυmεντυ2χ 3; Ξ;λοχ (). 4

16 3 Σmοοτηνεσσ οφ σολυτιονσ το θυασιλινεαρ εθυα τιονσ Λετ υσ αππλψ τηε πρεϖιουσ λινεαρ τηεορψ το α ρεγυλαριτψ ρεσυλτ φορ σολυτιονσ το θυασιλινεαρ εθυατιονσ. Τηεορεm 3. Λετ Θυ α (ξ;υ;ξυ)ξ ι Ξ ϕ υ+β(ξ;υ;ξυ) ωηερεξ ;Ξ 2 ;:::;Ξ θ αρεασαβοϖε,α =α ϕι ; ϕϕ 2 α (ξ;υ;π) ι ϕ ϕϕ 2 82Ρ θ ;(ξ;υ;π)2ρρ θ : ανδασσυmετηατφορσοmεκ=;2;3;:::;2(0;) α ;β2χ κ; Ξ (ΡΡθ ): Ιφυ2Χ 2; Ξ ()σολϖεστηεεθυατιονθυ=0,τηενυ2χκ+2; Ξ;λοχ (). Ινπαρτιχυλαρ, ιφα ;βαρεσmοοτη,τηενυισαλσοσmοοτη. Προοφ. Υνδερουρασσυmπτιονσωεηαϖετηατυισασολυτιοντοτηελινεαρεθυα τιον Λφ(ξ) α (ξ)ξ ι Ξ ϕ φ(ξ)=γ(ξ) ωηερε α (ξ)=α (ξ;υ(ξ);ξυ(ξ))2χ ; Ξ () γ(ξ)= β(ξ;υ(ξ);ξυ(ξ))2χ ; Ξ () ηενχεβψτηεορεm2.,υ2χ 3; Ξ;λοχ ();ιφκ=ωεαρεδονε,ωηιλειφκ2; σινχευ2χ 3; Ξ;λοχ (),τηενα ;γ2χ 2; Ξ;λοχ () ανδ βψτηεορεm 2. υ2χ 4; Ξ;λοχ (). Ιτερατιον γιϖεσ τηε δεσιρεδ ρεσυλτ. Αγαιν, Η ρmανδερ σχονδιτιονασσυρεστηατιφυβελονγστοχ κ+2; Ξ;λοχ ()φορανψκ,τηεν ιτισαλσοσmοοτηιντηεευχλιδεανσενσε. 4 Τηε εϖολυτιον χασε Ινϖιρτυεοφτηερεσυλτσχονταινεδιν[2]αλλτηεπρεϖιουστηεορψχανβεδεϖελοπεδ αλσο ιν τηε εϖολυτιον χασε. Λετ υσ χονσιδερ τηε λινεαρ οπερατορ Η= τ α (τ;ξ)ξ ι Ξ ϕ + β ι (τ;ξ)ξ ι +χ(τ;ξ) ι= 5

17 ωηερετηεξ ι σαρεστιλλασψστεmοφη ρmανδερ σϖεχτορ ελδσινανειγηβορηοοδ 0 οφ α βουνδεδ δοmαιν, Θ = (0;Τ). Wε δε νε ιν Θ τηε παραβολιχ διστανχε θ δ Π ((τ;ξ);(σ;ψ))= δ Ξ (ξ;ψ) 2 +ϕτ σϕ ανδδε νετηεσπαχεσχπ (Θ)οφΗ λδερχοντινυουσφυνχτιονσοφεξπονεντωιτη ρεσπεχττοτηεδιστανχεδ Π,ανδτηεσπαχεσΧ κ; Π (Θ)οφφυνχτιονσσυχητηαταλλτηε δεριϖατιϖεσυπτοωειγητκωιτηρεσπεχττοτηεξ ι σανδ τ,ωιτη τ ωειγητινγασ ασεχονδορδερδεριϖατιϖε,βελονγτοχπ (Θ). Wεασσυmεωιτηα ;β ι ;χ2χπ (Θ) φορσοmε2(0;),α =α ϕι σατισφψινγτηεχονδιτιον ϕϕ 2 α (τ;ξ) ι ϕ ϕϕ 2 82Ρ θ ;(τ;ξ)2θ: Τηεν τηε σαmε ρεασονινγ οφ 2 γιϖεσ τηε φολλοωινγ: Τηεορεm 4. Υνδερτηεαβοϖεασσυmπτιονσ,λετυ2Χ 2; Π (Θ)σατισφψτηεεθυα τιον Ηυ=φ ινθ ανδασσυmετηατφορσοmειντεγερκ=;2;3;:::ωεηαϖε: Τηεν α ;β ι ;χ;φ;2χ κ; Π (Θ): υ2χ κ+2; Π;λοχ (Θ): Ινπαρτιχυλαρ,ιντηισχασετηεαπριοριεστιmατεσπροϖεδιν[2]αππλψ: ν ο κυκ Χ κ+2; Π (Θ 0 ) 6χ κηυκ Χ κ; (Θ)+κυκ Λ Π (Θ) φορανψθ 0 βθ,ωιτηχονσταντχινδεπενδεντοφυ. Wε αλσο γετ τηε φολλοωινγ θυασιλινεαρ χουντερπαρτ: Τηεορεm 4.2 Λετ Θυ τ υ α (τ;ξ;υ;ξυ)ξ ι Ξ ϕ υ+β(τ;ξ;υ;ξυ) ωηερεξ ;Ξ 2 ;:::;Ξ θ αρεασαβοϖε,α =α ϕι ; ϕϕ 2 α (τ;ξ;υ;π) ι ϕ ϕϕ Ρ θ ;(τ;ξ;υ;π) 2 (0;Τ)ΡΡ θ, ανδ ασσυmε τηατ φορ σοmε κ = ;2;3;:::;2(0;) α ;β2χ κ; Π ((0;Τ)ΡΡθ ): Ιφυ2Χ 2; Π (Θ)σολϖεστηεεθυατιονΘυ=0,τηενυ2Χκ+2; Π;λοχ (Θ). Ιν παρτιχυλαρ, ιφα ;βαρεσmοοτη,τηενυισαλσοσmοοτη. 6

18 Ρεφερενχεσ [] Μ. Βραmαντι, Λ. Βρανδολινι: Λ π εστιmατεσ φορ νονϖαριατιοναλ ηψποελλιπτιχ οπερατορσ ωιτη ςμο χοε χιεντσ. Τρανσ. Αmερ. Ματη. Σοχ. 352(2000), νο. 2, [2] Μ. Βραmαντι, Λ. Βρανδολινι: Σχηαυδερ εστιmατεσ φορ παραβολιχ νονδιϖεργενχε οπερατορσ οφ Η ρmανδερ τψπε. ϑουρναλ οφ Dι ερεντιαλ Εθυατιονσ, 234(2007), νο., [3] Μ.Βραmαντι,Μ.Ζηυ: Λ π ανδσχηαυδερεστιmατεσφορνονϖαριατιοναλοπερ ατορσ στρυχτυρεδ ον Η ρmανδερ ϖεχτορ ελδσ ωιτη δριφτ. Συβmιττεδ Πρεπριντ, 20. ΑρΞιϖ: 03.56ϖ 26 Μαρ 20. [4] Χ. Ε. Γυτι ρρεζ, Ε. Λανχονελλι: Σχηαυδερ εστιmατεσ φορ συβ ελλιπτιχ εθυατιονσ. ϑ.εϖολ.εθυ.9(2009),νο.4, [5] Α. Ναγελ Ε. Μ. Στειν Σ. Wαινγερ: Βαλλσ ανδ mετριχσ δε νεδ βψ ϖεχτορ ελδσ Ι: Βασιχ προπερτιεσ. Αχτα Ματηεmατιχα, 55(985), [6] Λ. Π. Ροτησχηιλδ Ε. Μ. Στειν: Ηψποελλιπτιχ δι ερεντιαλ οπερατορσ ανδ νιλπο τεντ γρουπσ. Αχτα Ματη., 37(976), [7] Χ.ϑ. Ξυ: Ρεγυλαριτψ φορ θυασιλινεαρ σεχονδ ορδερ συβελλιπτιχ εθυατιονσ. Χοmm.ΠυρεΑππλ.Ματη.45(992),νο., Μαρχο Βραmαντι Dιπαρτιmεντο δι Ματεmατιχα Πολιτεχνιχο δι Μιλανο ςια Βοναρδι Μιλανο, ΙΤΑΛΨ mαρχο.βραmαντι πολιmι.ιτ Μαρια Στελλα Φανχιυλλο Dιπαρτιmεντο δι Ματεmατιχα ε Ινφορmατιχα Υνιϖερσιτ δι Χατανια ςιαλε Ανδρεα Dορια Χατανια, ΙΤΑΛΨ φανχιυλλο δmι.υνιχτ.ιτ 7