ΣΤΑΤΙΣΤΙΧΑΛ ΤΟΟΛΣ ΦΟΡ ΕΧΟΝΟΜΙΣΤΣ. Dανιελ ΜχΦαδδεν 2001

Transcript

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΧΑΛ ΤΟΟΛΣ ΦΟΡ ΕΧΟΝΟΜΙΣΤΣ Dανιελ ΜχΦαδδεν 2001 Dεπαρτmεντ οφ Εχονοmιχσ Υνιϖερσιτψ οφ Χαλιφορνια Βερκελεψ, ΧΑ (mχφαδδεν εχον.βερκελεψ.εδυ) ΡΕςΙΣΕD ςερσιον, ΧΗΑΠ. 1 7, 1/16/2001 ΧΟΜΜΕΝΤΣ ΑΝD ΧΟΡΡΕΧΤΙΟΝΣ WΕΛΧΟΜΕ Τηισ mανυσχριπτ mαψ βε πριντεδ ανδ ρεπροδυχεδ φορ ινδιϖιδυαλ υσε, βυτ mανψ νοτ βε πριντεδ φορ χοmmερχιαλ πυρποσεσ ωιτηουτ περmισσιον οφ τηε αυτηορ.

2 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ 2000 Παγε ι Σεχτιον ΤΑΒΛΕ ΟΦ ΧΟΝΤΕΝΤΣ Παγε 1 Εχονοmιχ Αναλψσισ ανδ Εχονοmετριχσ 1.1 Ιντροδυχτιον Χαβ Φρανχ σ Ρατιοναλ Dεχισιον Στοχκ Μαρκετ Εφφιχιενχψ Τηε Χαπιταλ Ασσετ Πριχινγ Μοδελ Χονχλυσιονσ Εξερχισεσ 14 2 Αναλψσισ ανδ Λινεαρ Αλγεβρα ιν α Νυτσηελλ 2.1 Σοmε Ελεmεντσ οφ Ματηεmατιχαλ Αναλψσισ ςεχτορσ ανδ Λινεαρ Σπαχεσ Λινεαρ Τρανσφορmατιονσ ανδ Ματριχεσ Ειγενϖαλυεσ ανδ Ειγενϖεχτορσ Παρτιτιονεδ Ματριχεσ Θυαδρατιχ Φορmσ ΛDΥ ανδ Χηολεσκψ Φαχτοριζατιονσ οφ α Ματριξ Σινγυλαρ ςαλυε Dεχοmποσιτιον οφ α Ματριξ Ιδεmποτεντ Ματριχεσ ανδ Γενεραλιζεδ Ινϖερσεσ Προϕεχτιονσ Κρονεχκερ Προδυχτσ Σηαπινγ Οπερατιονσ ςεχτορ ανδ Ματριξ Dεριϖατιϖεσ Υπδατινγ ανδ Βαχκδατινγ Ματριξ Οπερατιονσ Νοτεσ ανδ Χοmmεντσ Εξερχισεσ 40 3 Προβαβιλιτψ Τηεορψ ιν α Νυτσηελλ 3.1 Σαmπλε Σπαχεσ Εϖεντ Φιελδσ ανδ Ινφορmατιον Προβαβιλιτψ Στατιστιχαλ Ινδεπενδενχε ανδ Ρεπεατεδ Τριαλσ Ρανδοm ςαριαβλεσ, Dιστριβυτιον Φυνχτιονσ, ανδ Εξπεχτατιονσ Τρανσφορmατιονσ οφ Ρανδοm ςαριαβλεσ Σπεχιαλ Dιστριβυτιονσ Νοτεσ ανδ Χοmmεντσ 79 Εξερχισεσ 84

3 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ 2000 Παγε ιι 4 Λιmιτ Τηεορεmσ ιν Στατιστιχσ 4.1 Σεθυενχεσ οφ Ρανδοm ςαριαβλεσ Ινδεπενδεντ ανδ Dεπενδεντ Ρανδοm Σεθυενχε Λαωσ οφ λαργε Νυmβερσ Χεντραλ Λιmιτ Τηεορεmσ Εξτενσιονσ οφ Λιmιτ Τηεορεmσ Ρεφερενχεσ Εξερχισεσ Εξπεριmεντσ, Σαmπλινγ, ανδ Στατιστιχαλ Dεχισιονσ 5.1 Εξπεριmεντσ Ποπυλατιονσ ανδ Σαmπλεσ Στατιστιχαλ Dεχισιονσ Στατιστιχαλ Ινφερενχε Εξερχισεσ Εστιmατιον 6.1 Dεσιραβλε Προπερτιεσ οφ Εστιmατορσ Γενεραλ Εστιmατιον Χριτερια Εστιmατιον ιν Νορmαλλψ Dιστριβυτεδ Ποπυλατιονσ Λαργε Σαmπλε Προπερτιεσ οφ Μαξιmυm Λικελιηοοδ Εστιmατορσ Εξερχισεσ Ηψποτηεσισ Τεστινγ 7.1 Τηε Γενεραλ Προβλεm Τηε Χοστ οφ Μιστακεσ Dεσιγν οφ τηε Εξπεριmεντ Χηοιχε οφ Dεχισιον Προχεδυρε Ηψποτηεσισ Τεστινγ ιν Λαργε Σαmπλεσ Εξερχισεσ 169

4 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 1, Παγε 1 ΧΗΑΠΤΕΡ 1. ΕΧΟΝΟΜΙΧ ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΑΝD ΕΧΟΝΟΜΕΤΡΙΧΣ 1.1. ΙΝΤΡΟDΥΧΤΙΟΝ Τηε στυδψ οφ ρεσουρχε αλλοχατιον βψ τηε δισχιπλινε οφ Εχονοmιχσ ισ βοτη α πυρε σχιενχε, χονχερνεδ ωιτη δεϖελοπινγ ανδ ϖαλιδατινγ τηεοριεσ οφ βεηαϖιορ οφ ινδιϖιδυαλσ, οργανιζατιονσ, ανδ ινστιτυτιονσ, ανδ α πολιχψ σχιενχε, χονχερνεδ ωιτη τηε δεσιγν οφ ινστιτυτιονσ ανδ τηε πρεδιχτιον ανδ σοχιαλ ενγινεερινγ οφ βεηαϖιορ. Ιν βοτη αρενασ, χονχεπτσ φροm προβαβιλιτψ ανδ στατιστιχσ, ανδ mετηοδσ φορ αναλψζινγ ανδ υνδερστανδινγ εχονοmιχ δατα, πλαψ αν ιmπορταντ ρολε. Ιν τηισ χηαπτερ, ωε γιϖε τηρεε ιντροδυχτορψ εξαmπλεσ τηατ ιλλυστρατε τηε ιντερτωινινγ οφ εχονοmιχ βεηαϖιορ, στατιστιχαλ ινφερενχε, ανδ εχονοmετριχ φορεχαστινγ. Τηεσε εξαmπλεσ χονταιν σοmε προβαβιλιτψ ανδ στατιστιχσ χονχεπτσ τηατ αρε εξπλαινεδ ιν λατερ χηαπτερσ. Wηατ ισ ιmπορταντ ον φιρστ ρεαδινγ αρε τηε γενεραλ χοννεχτιονσ βετωεεν εχονοmιχ ρεασονινγ, προβαβιλιτψ, στατιστιχσ, ανδ εχονοmιχ δατα; δεταιλσ χαν βε ποστπονεδ ΧΑΒ ΦΡΑΝΧ Σ ΡΑΤΙΟΝΑΛ DΕΧΙΣΙΟΝ Χαβ Φρανχ ισ α τψπιχαλ προφεσσιοναλ εχονοmιστ: ωιττψ, ωισε, ανδ υνβουνδεδλψ ρατιοναλ. Χαβ ωορκσ ατ α υνιϖερσιτψ ιν Χαλιφορνια. Χαβ σ λιφε ισ φιλλεδ ωιτη φυν ανδ εξχιτεmεντ, τηε ηιγη ποιντ οφ χουρσε βεινγ τηε χλασσ ηε τεαχηεσ ιν εχονοmετριχσ. Το συππλεmεντ ηισ mοδεστ υνιϖερσιτψ σαλαρψ, Χαβ οπερατεσ α σmαλλ ϖινεψαρδ ιν τηε Ναπα ςαλλεψ, ανδ σελλσ ηισ γραπεσ το νεαρβψ ωινεριεσ. Χαβ φαχεσ α διλεmmα. Ηε ηασ το mακε α δεχισιον ον ωηετηερ το ηαρϖεστ εαρλψ ορ λατε ιν τηε σεασον. Ιφ τηε Φαλλ ισ δρψ, τηεν λατε ηαρϖεστεδ φρυιτ ισ ιmπροϖεδ βψ αδδιτιοναλ ηανγ τιmε, ανδ ωιλλ φετχη α πρεmιυm πριχε. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιφ ραινσ χοmε εαρλψ, τηεν mυχη οφ τηε λατε ηαρϖεστεδ φρυιτ ωιλλ βε σποιλεδ. Ιφ Χαβ ηαρϖεστσ εαρλψ, ηε αϖοιδσ τηε ρισκ, βυτ αλσο λοσεσ τηε οππορτυνιτψ φορ τηε mαξιmυm προφιτ. Ταβλε 1 γιϖεσ Χαβ σ προφιτ φορ εαχη ποσσιβλε αχτιον ηε χαν τακε, ανδ εαχη ποσσιβλε Εϖεντ οφ Νατυρε: Ταβλε 1. Προφιτ φροm Σελλινγ Γραπεσ Αχτιον Εϖεντ οφ Νατυρε Φρεθυενχψ Ηαρϖεστ Εαρλψ Ηαρϖεστ Λατε Wετ ,000 10,000 Dρψ ,000 40,000 Εξπεχτεδ Προφιτ 30,000 28,000

5 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 2, Παγε 2 Χαβ ωαντσ το mαξιmιζε εξπεχτεδ προφιτ. Ιν οτηερ ωορδσ, ηε ωαντσ το mακε τηε προβαβιλιτψ ωειγητεδ αϖεραγε οφ τηε ποσσιβλε προφιτ ουτχοmεσ ασ λαργε ασ ποσσιβλε. Χαβ ισ νοτ αδϖερσε το ρισκ; ηε φιγυρεσ τηατ ρισκσ ωιλλ αϖεραγε ουτ οϖερ τηε ψεαρσ. Φροm ηιστοριχαλ ρεχορδσ, ηε κνοωσ τηατ τηε φρεθυενχψ οφ εαρλψ ραιν ισ 0.4. Το χαλχυλατε εξπεχτεδ προφιτ ιν τηισ χασε φροm α σπεχιφιεδ αχτιον, Χαβ mυλτιπλιεσ τηε προφιτ ηε ωιλλ ρεχειϖε ιν εαχη εϖεντ οφ Νατυρε βψ τηε προβαβιλιτψ οφ τηισ εϖεντ, ανδ συmσ. Ιφ ηε ηαρϖεστσ εαρλψ, τηε εξπεχτεδ προφιτ ισ ( 30,000)(0.4) + ( 30,000)(0.6) = 30,000. Ιφ ηε ηαρϖεστσ λατε, τηε εξπεχτεδ προφιτ ισ ( 10,000)(0.4) + ( 40,000)(0.6) = 28,000. Τηεν, ιν τηε αβσενχε οφ ανψ φυρτηερ ινφορmατιον, Χαβ ωιλλ χηοοσε το ηαρϖεστ εαρλψ ανδ εαρν αν εξπεχτεδ προφιτ οφ 30,000. Τηερε ισ α σπεχιαλιζεδ ωεατηερ σερϖιχε, Βλυε Σκψ Φορεχαστινγ, τηατ σελλσ λονγ ρυν πρεχιπιτατιον φορεχαστσ φορ τηε Ναπα ςαλλεψ. Χαβ ηασ το χηοοσε ωηετηερ το συβσχριβε το τηισ σερϖιχε, ατ α χοστ οφ 1000 φορ τηε ψεαρ. Ταβλε 2 γιϖεσ τηε ηιστοριχαλ ρεχορδ, οϖερ τηε παστ 100 ψεαρσ, ον τηε ϕοιντ φρεθυενχψ οφ ϖαριουσ φορεχαστσ ανδ ουτχοmεσ. Ταβλε 2. Φρεθυενχψ οφ Φορεχαστσ ανδ Ουτχοmεσ Βλυε Σκψ Φορεχαστσ ΤΟΤΑΛ Εϖεντ οφ Νατυρε Εαρλψ Λατε Wετ Dρψ ΤΟΤΑΛ Τηε ιντερπρετατιον οφ τηε νυmβερ 0.3 ισ τηατ ιν 30 περχεντ οφ τηε παστ 100 ψεαρσ, Βλυε Σκψ ηασ φορεχαστ εαρλψ ραιν ανδ τηεψ δο ιν φαχτ οχχυρ. Τηε χολυmν τοταλσ γιϖε τηε φρεθυενχιεσ οφ τηε διφφερεντ Βλυε Σκψ φορεχαστσ. Τηε ροω τοταλσ γιϖε τηε φρεθυενχιεσ οφ τηε διφφερεντ Εϖεντσ οφ Νατυρε. Τηυσ, Βλυε Σκψ φορεχαστσ εαρλψ ραιν ηαλφ τηε τιmε, ανδ τηε φρεθυενχψ οφ αχτυαλ εαρλψ ραιν ισ 0.4. Ονε χαν αλσο φορm χονδιτιοναλ προβαβιλιτιεσ φροm Ταβλε 2. Φορ εξαmπλε, τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ οφ δρψ, γιϖεν τηε εϖεντ τηατ λατε ραιν αρε φορεχαστ, εθυαλσ 0.4/( ) = 0.8. Ιφ Χαβ δοεσ νοτ συβσχριβε το τηε Βλυε Σκψ φορεχαστ σερϖιχε, τηεν ηε ισ ιν τηε σιτυατιον αλρεαδψ αναλψζεδ, ωηερε ηε ωιλλ χηοοσε το ηαρϖεστ εαρλψ ανδ εαρν αν εξπεχτεδ προφιτ οφ 30,000. Νοω συπποσε Χαβ δοεσ συβσχριβε το Βλυε Σκψ, ανδ ηασ τηειρ φορεχαστ αϖαιλαβλε. Ιν τηισ χασε, ηε χαν δο ηισ εξπεχτεδ προφιτ χαλχυλατιον χονδιτιονεδ ον τηε φορεχαστ. Το αναλψζε ηισ οπτιονσ, Χαβ φιρστ χαλχυλατεσ τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτιεσ οφ εαρλψ ραιν, γιϖεν τηε φορεχαστ: Προβ(WετΦορεχαστ Εαρλψ) = 0.3/( ) = 0.6 Προβ(DρψΦορεχαστ Λατε) = 0.1/( ) = 0.2.

6 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 3, Παγε 3 Τηε εξπεχτεδ προφιτ φροm ηαρϖεστινγ εαρλψ ισ αγαιν 30,000, νο mαττερ ωηατ τηε φορεχαστ. Νοω χονσιδερ τηε εξπεχτεδ προφιτ φροm ηαρϖεστινγ λατε. Ιφ τηε φορεχαστ ισ φορ εαρλψ ραινσ, τηε εξπεχτεδ προφιτ ισ γιϖεν βψ ωειγητινγ τηε ουτχοmεσ βψ τηειρ χονδιτιοναλ προβαβιλιτιεσ γιϖεν τηε φορεχαστ, ορ ( 10,000)(0.6) + ( 40,000)(0.4) = 22,000. Τηισ ισ λεσσ τηαν 30,000, σο Χαβ ωιλλ δεφινιτελψ ηαρϖεστ εαρλψ ιν ρεσπονσε το α φορεχαστ οφ εαρλψ ραιν. Νεξτ συπποσε τηε φορεχαστ ισ φορ λατε ραιν. Αγαιν, τηε εξπεχτεδ προφιτ ισ γιϖεν βψ ωειγητινγ τηε ουτχοmεσ βψ τηειρ χονδιτιοναλ προβαβιλιτιεσ γιϖεν τηισ ινφορmατιον, ( 10,000)(0.2) + ( 40,000)(0.8) = 34,000. Τηισ ισ γρεατερ τηαν 30,000, σο Χαβ ωιλλ ηαρϖεστ λατε ιφ τηε φορεχαστ ισ φορ λατε ραιν. Ισ συβσχριβινγ το Βλυε Σκψ ωορτη ωηιλε? Ιφ Χαβ δοεσ νοτ, τηεν ηε ωιλλ αλωαψσ ηαρϖεστ εαρλψ ανδ ηισ εξπεχτεδ προφιτ ισ 30,000. Ιφ Χαβ δοεσ συβσχριβε, τηεν ηισ εξπεχτεδ προφιτ ιν τηε εϖεντ οφ αν εαρλψ ραιν φορεχαστ ισ 30,000 ανδ ιν τηε εϖεντ οφ α λατε ραιν φορεχαστ ισ 34,000. Σινχε τηε φρεθυενχψ οφ αν εαρλψ ραιν φορεχαστ ισ 0.5, Χαβ σ οϖεραλλ εξπεχτεδ προφιτ ιφ ηε συβσχριβεσ ισ ( 30,000)(0.5) + ( 34,000)(0.5) = 32,000. Τηισ ισ 2000 mορε τηαν τηε εξπεχτεδ προφιτ ιφ Χαβ δοεσ νοτ συβσχριβε, σο τηατ τηε ϖαλυε οφ τηε ινφορmατιον προϖιδεδ βψ τηε συβσχριπτιον ισ Τηισ ισ mορε τηαν τηε 1000 χοστ οφ τηε ινφορmατιον, σο Χαβ ωιλλ χηοοσε το συβσχριβε ανδ ωιλλ εαρν αν οϖεραλλ εξπεχτεδ προφιτ, νετ οφ τηε συβσχριπτιον χοστ, οφ 31,000. Χαβ Φρανχ σ δεχισιον προβλεm ισ α τψπιχαλ ονε φορ αν εχονοmιχ αγεντ φαχινγ υνχερταιντψ. Ηε ηασ α χριτεριον (εξπεχτεδ προφιτ) το βε οπτιmιζεδ, α mοδελ οφ τηε προβαβιλιτιεσ οφ ϖαριουσ ουτχοmεσ, τηε ποσσιβιλιτψ οφ χολλεχτινγ δατα (τηε φορεχαστ) το ρεφινε ηισ προβαβιλιτψ mοδελ, ανδ αχτιονσ τηατ ωιλλ βε βασεδ ον τηε δατα χολλεχτεδ. Αν εχονοmετριχιαν φαχινγ τηε προβλεm οφ στατιστιχαλ ινφερενχε ισ ιν α σιmιλαρ σιτυατιον: Τηερε ισ α mοδελ ορ ηψποτηεσισ φορ αν εχονοmιχ πηενοmενον, δατα τηατ προϖιδεσ ινφορmατιον τηατ χαν βε υσεδ το ρεφινε τηε mοδελ, ανδ α χριτεριον το βε υσεδ ιν δετερmινινγ αν αχτιον ιν ρεσπονσε το τηισ ινφορmατιον. Τηε αχτιονσ οφ τηε εχονοmετριχιαν, το δεχλαρε α ηψποτηεσισ τρυε ορ φαλσε, ορ το mακε α φορεχαστ, αρε σιmιλαρ ιν σπιριτ το Χαβ σ χηοιχε. Φυρτηερ, τηε σολυτιον το τηε εχονmετριχιαν σ ινφερενχε προβλεm ωιλλ βε σιmιλαρ το Χαβ σ σολυτιον. Α τεξτβοοκ δεφινιτιον οφ εχονοmετριχσ ισ τηε αππλιχατιον οφ τηε πρινχιπλεσ οφ στατιστιχαλ ινφερενχε το εχονοmιχ δατα ανδ ηψποτηεσεσ. Ηοωεϖερ, Χαβ Φρανχ σ προβλεm συγγεστσ α δεεπερ χοννεχτιον βετωεεν εχονοmετριχ αναλψσισ ανδ εχονοmιχ βεηαϖιορ. Τηε δεχισιον προβλεmσ φαχεδ βψ ρατιοναλ εχονοmιχ αγεντσ ιν α ωορλδ ωιτη ιmπερφεχτ ινφορmατιον ρεθυιρε στατιστιχαλ ινφερενχε, ανδ τηυσ αρε εχονοmετριχ ιν νατυρε. Τηε σολυτιονσ το τηεσε προβλεmσ ρεθυιρε τηε σαmε λογιχ ανδ τεχηνιθυεσ τηατ mυστ βε βρουγητ το βεαρ mορε φορmαλλψ ιν σχιεντιφιχ ινφερενχε. Τηυσ, αλλ ρατιοναλ εχονοmιχ αγεντσ

7 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 4, Παγε 4 αρε ινφορmαλ ωορκινγ εχονοmετριχιανσ, ανδ τηε στυδψ οφ φορmαλ εχονοmετριχσ χαν προϖιδε ατ λεαστ πρεσχριπτιϖε mοδελσ φορ εχονοmιχ βεηαϖιορ. Τυρνεδ αρουνδ, εχονοmετριχσ ισ σιmπλψ α χοδιφιχατιον οφ τηε φολκ τεχηνιθυεσ υσεδ βψ εχονοmιχ αγεντσ το σολϖε τηειρ δεχισιον προβλεmσ. Τηυσ, τηε στυδψ οφ εχονοmετριχσ προϖιδεσ νοτ ονλψ τηε βοδψ οφ τοολσ νεεδεδ ιν εmπιριχαλ ανδ αππλιεδ εχονοmιχσ φορ δατα αναλψσισ, φορεχαστινγ, ανδ ινφερενχε, βυτ αλσο κεψ χονχεπτσ νεεδεδ το εξπλαιν εχονοmιχ βεηαϖιορ ΣΤΟΧΚ ΜΑΡΚΕΤ ΕΦΦΙΧΙΕΝΧΨ Τηε ηψποτηεσισ ισ οφτεν αδϖανχεδ τηατ τηε στοχκ mαρκετ ισ εφφιχιεντ. Αmονγ τηε ποσσιβλε mεανινγσ οφ τηισ τερm ισ τηε ιδεα τηατ αρβιτραγερσ αρε συφφιχιεντλψ αχτιϖε ανδ περϖασιϖε σο τηατ ποτεντιαλ ωινδοωσ οφ οππορτυνιτψ φορ εξχεσσ προφιτ αρε ιmmεδιατελψ χλοσεδ. Χονσιδερ α βροαδ βασεδ στοχκ mαρκετ ινδεξ, τηε Νεω Ψορκ Στοχκ Εξχηανγε (ΝΨΣΕ) ϖαλυε ωειγητεδ ινδεξ οφ τηε πριχεσ οφ αλλ τηε στοχκσ λιστεδ ωιτη τηισ εξχηανγε. Τηε γροσσ ρετυρν το βε mαδε βψ τακινγ α δολλαρ ουτ οφ α ρισκ φρεε χηαννελ (δεφινεδ ηερε το βε 90 δαψ Υ.Σ. Τρεασυρψ Βιλλσ), βυψινγ α δολλαρ σ ωορτη οφ τηε mαρκετ στοχκ πορτφολιο, ανδ σελλινγ ιτ ονε δαψ λατερ ισ γ τ = λογ(μ τ /Μ τ 1 ), ωηερε Μ τ εθυαλσ τηε ΝΨΣΕ ινδεξ ον δαψ τ, ανδ τηε λογ γιϖεσ τηε ονε δαψ εξπονεντιαλ γροωτη ρατε ιν σηαρε πριχε. Ιτ ισ νεχεσσαρψ ιν γενεραλ το αχχουντ φορ διστριβυτιονσ (διϖιδενδσ) παιδ βψ τηε στοχκσ δυρινγ τηε τιmε τηεψ αρε ηελδ; τηισ ισ δονε αυτοmατιχαλλψ ωηεν γ τ ισ ρεπορτεδ. Αν αρβιτραγερ ον δαψ τ 1 κνοωσ τηε ηιστορψ οφ τηε mαρκετ ανδ εχονοmιχ ϖαριαβλεσ υπ τηρουγη τηατ δαψ; λετ Η τ 1 δενοτε τηισ ηιστορψ. Ιν παρτιχυλαρ, Η τ 1 ινχλυδεσ τηε λεϖελ Μ τ 1 οφ τηε ινδεξ, τηε παττερν οφ ηιστοριχαλ mαρκετ χηανγεσ, ανδ τηε οϖερνιγητ ιντερεστ ρατε ι τ 1 ον 90 δαψ Τρεασυρψ Βιλλσ, ρεπρεσεντινγ τηε οππορτυνιτψ χοστ οφ νοτ κεεπινγ α δολλαρ ιν α Τ Βιλλ αχχουντ. Τηε διφφερενχε Ρ τ = γ τ ι τ 1 ισ τηε προφιτ αν αρβιτραγερ mακεσ βψ βυψινγ ονε δολλαρ οφ τηε ΝΨΣΕ πορτφολιο ον τ 1, ανδ ισ χαλλεδ τηε εξχεσσ ρετυρν το τηε mαρκετ ον δαψ τ. (Ιφ τηε αρβιτραγερ σελλσ ρατηερ τηαν βυψσ α δολλαρ οφ τηε εξχηανγε ινδεξ ιν τ 1, τηεν ηερ προφιτ ισ Ρ τ ). Ον δαψ τ 1, χονδιτιονεδ ον τηε ηιστορψ Η τ 1, τηε εξχεσσ ρετυρν Ρ τ ισ α ρανδοm ϖαριαβλε, ανδ τηε προβαβιλιτψ τηατ ιτ ισ λεσσ τηαν ανψ χονσταντ ρ ισ γιϖεν βψ α χυmυλατιϖε διστριβυτιον φυνχτιον Φ(ρ Η τ 1 ). Τηεν, τηε εξπεχτεδ προφιτ ισ ρ(φ(ρ Η τ1 )δρ. Τηε αργυmεντ ισ τηατ ιφ τηισ εξπεχτεδ προφιτ ισ ποσιτιϖε, τηεν αρβιτραγερσ ωιλλ βυψ ανδ δριϖε τηε πριχε Μ τ 1 υπ υντιλ τηε οππορτυνιτψ φορ ποσιτιϖε εξπεχτεδ προφιτ ισ ελιmινατεδ. Χονϖερσελψ, ιφ τηε εξπεχτεδ προφιτ ισ νεγατιϖε, αρβιτραγερσ ωιλλ σελλ ανδ δριϖε τηε πριχε Μ τ 1 δοων υντιλ τηε εξπεχτεδ προφιτ οππορτυνιτψ ισ ελιmινατεδ. Τηεν, νο mαττερ ωηατ τηε ηιστορψ, αρβιτραγε σηουλδ mακε εξπεχτεδ προφιτ ζερο. Τηισ αργυmεντ δοεσ νοτ τακε αχχουντ οφ τηε ποσσιβιλιτψ τηατ τηερε mαψ βε σοmε τραδινγ χοστ, α χοmβινατιον οφ τρανσαχτιονσ χηαργεσ, ρισκ πρεφερενχε, τηε χοστ οφ αχθυιρινγ ινφορmατιον, ανδ τηε οππορτυνιτψ χοστ οφ τηε τιmε τηε αρβιτραγερ σπενδσ τραδινγ. Τηεσε τραδινγ χοστσ χουλδ βε συφφιχιεντ το αλλοω α σmαλλ ποσιτιϖε εξπεχτεδ εξχεσσ ρετυρν το περσιστ; τηισ ισ ιν φαχτ οβσερϖεδ, ανδ ισ χαλλεδ τηε εθυιτψ πρεmιυm. Ηοωεϖερ, εϖεν ιφ τηερε ισ αν εθυιτψ πρεmιυm, τηε αρβιτραγε αργυmεντ ιmπλιεσ τηατ τηε εξπεχτεδ εξχεσσ ρετυρν σηουλδ βε ινδεπενδεντ οφ ηιστορψ.

8 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 5, Παγε 5 Φροm τηε ΧΡΣΠ φινανχιαλ δαταβασε ανδ φροm τηε Φεδεραλ Ρεσερϖε Βανκ, ωε τακε οβσερϖατιονσ ον γ τ ανδ ι τ 1 φορ αλλ δαψσ τηε mαρκετ ισ οπεν βετωεεν ϑανυαρψ 2, 1968 ανδ Dεχεmβερ 31, 1998, α τοταλ οφ 7806 οβσερϖατιονσ. Wε τηεν χαλχυλατε τηε εξχεσσ ρετυρν Ρ τ = γ τ ι τ 1. Τηε νεξτ ταβλε γιϖεσ σοmε στατιστιχσ ον τηεσε θυαντιτιεσ: ςαριαβλε Σαmπλε Αϖεραγε Σαmπλε Στανδαρδ Dεϖιατιον γ τ % 0.919% ι τ % 0.007% Ρ τ % 0.919% Τηεσε στατιστιχσ ιmπλψ τηατ τηε αννυαλ ρετυρν ιν τηε ΝΨΣΕ ινδεξ οϖερ τηισ περιοδ ωασ περχεντ, ανδ τηε αννυαλ ρατε οφ ιντερεστ ον 90 δαψ Τρεασυρψ Βιλλσ ωασ 6.68 περχεντ. Νοω χονσιδερ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ, ωηιχη ωε ηαϖε αργυεδ σηουλδ λεαδ το εξχεσσ ρετυρνσ τηατ δο νοτ ον αϖεραγε διφφερ φροm ονε πρεϖιουσ ηιστορψ το ανοτηερ. Τηε ταβλε βελοω σηοωσ τηε σαmπλε αϖεραγε εξχεσσ ρετυρν ιν τηε ΝΨΣΕ ινδεξ υνδερ εαχη οφ τωο ποσσιβλε χονδιτιονσ, α ποσιτιϖε ορ α νεγατιϖε εξχεσσ ρετυρν ον τηε πρεϖιουσ δαψ. Χονδιτιον Φρεθυενχψ Σαmπλε Αϖεραγε Στανδαρδ Ερρορ Ρ τ 1 > (52.3%) 0.129% 0.013% Ρ τ 1 < (47.7%) 0.072% 0.016% Wε χονχλυδε τηατ εξχεσσ ρετυρν ον α δαψ φολλοωινγ α ποσιτιϖε εξχεσσ ρετυρν ισ ον αϖεραγε ποσιτιϖε, ανδ ον α δαψ φολλοωινγ α νεγατιϖε εξχεσσ ρετυρν ισ ον αϖεραγε νεγατιϖε. Τηε στανδαρδ ερρορσ mεασυρε τηε πρεχισιον οφ τηε σαmπλε αϖεραγεσ. Τηεσε αϖεραγεσ αρε συφφιχιεντλψ πρεχισε σο τηατ ωε χαν σαψ τηατ τηε διφφερενχε ιν σαmπλε αϖεραγεσ διδ νοτ αρισε βψ χηανχε, ανδ τηε εξπεχτεδ εξχεσσ ρετυρνσ υνδερ τηε τωο χονδιτιονσ αρε διφφερεντ. 1 Wε χονχλυδε τηατ οϖερ τηε τιmε περιοδ χοϖερεδ βψ ουρ σαmπλε, τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ φαιλσ. Τηερε ωασ α περσιστενχε ιν τηε mαρκετ ιν ωηιχη γοοδ δαψσ τενδεδ το βε φολλοωεδ βψ βεττερ τηαν αϖεραγε δαψσ, ανδ βαδ δαψσ βψ ωορσε τηαν αϖεραγε δαψσ. Τηερε αππεαρσ το ηαϖε βεεν α ποτεντιαλλψ προφιταβλε αρβιτραγε στρατεγψ, το βυψ ον υπ δαψσ ανδ σελλ ον δοων δαψσ, τηατ ωασ νοτ φυλλψ εξπλοιτεδ ανδ ελιmινατεδ βψ τηε αρβιτραγερσ. Dεφινε α ποσιτιϖε (νεγατιϖε) ρυν οφ λενγτη ν το βε α σεθυενχε οφ ν συχχεσσιϖε δαψσ ον ωηιχη τηε εξχεσσ ρετυρν ισ ποσιτιϖε (νεγατιϖε), ωιτη α δαψ ον εαχη ενδ ον ωηιχη τηε σιγν οφ εξχεσσ ρετυρν ισ 1 Τηε mεαν διφφερενχε ισ 0.202% ωιτη α στανδαρδ ερρορ οφ 0.010%, ανδ τηε Τ στατιστιχ φορ τηε ηψποτηεσισ τηατ τηε τωο χονδιτιοναλ mεανσ ισ τηε σαmε ισ 19.5.

9 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 6, Παγε 6 ρεϖερσεδ. Τηε φιγυρε βελοω πλοτσ τηε αϖεραγε εξχεσσ ρετυρνσ χονδιτιονεδ ον τηε λενγτη οφ αν υπ (+) ορ δοων ( ) ρυν οϖερ τηε ιmmεδιατε παστ δαψσ. Τηε ηοριζονταλ λινεσ αβοϖε ανδ βελοω εαχη ποιντ γιϖε αν ινδιχατιον οφ τηε αχχυραχψ ωιτη ωηιχη ιτ ισ εστιmατεδ; τηεσε αρε 95 περχεντ χονφιδενχε βουνδσ. Τηε φιγυρε συγγεστσ τηατ εξπεχτεδ ρετυρνσ αρε ποσιτιϖε φολλοωινγ υπ ρυνσ ανδ νεγατιϖε φολλοωινγ δοων ρυνσ. Α στραιγητ λινε ισ φιττεδ τηρουγη τηεσε ποιντσ, τακινγ ιντο αχχουντ τηε αχχυραχψ ωιτη ωηιχη τηεψ αρε εστιmατεδ, βψ τηε λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον mετηοδ. Τηισ ισ αλσο πλοττεδ ιν τηε φιγυρε, ανδ σηοωσ τηατ τηε αϖεραγε ρετυρνσ ηαϖε α ποσιτιϖε τρενδ. Τηε δατα συγγεστ τηατ τηε τρενδ λινε mαψ οϖερστατε τηε ιmπαχτ οφ λονγερ ρυν λενγτησ, ανδ λονγερ ρυνσ mαψ βε λεσσ πρεδιχτιϖε. Νεϖερτηελεσσ, τηε φιγυρε συππορτσ ουρ πρεϖιουσ χονχλυσιον τηατ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ φαιλσ. Αϖεραγε Εξχεσσ Ρετυρν ΝΨΣΕ ςαλυε Wειγητεδ Ινδεξ (Εξχεσσ Ρετυρν Ινχλυδινγ Dιϖιδενδσ) 0.3% 0.2% 0.1% 0.0% 0.1% 0.2% 0.3% Υπ (+) ορ Dοων ( ) Ρυν Λενγτη Τηε πρεχεδινγ εϖιδενχε συγγεστσ τηατ αρβιτραγερσ mαψ υνδερεστιmατε τηε περσιστενχε οφ υπ ανδ δοων ρυνσ, ανδ φαιλ το mακε προφιταβλε βετσ ον περσιστενχε. Τηε ταβλε βελοω γιϖεσ τηε οβσερϖεδ χουντσ οφ νυmβερσ οφ υπ ανδ δοων ρυνσ οφ ϖαριουσ λενγτησ. Ιτ αλσο ινχλυδεσ α πρεδιχτιον οφ τηε νυmβερσ οφ ρυνσ οφ ϖαριουσ λενγτησ τηατ ψου ωουλδ εξπεχτ το σεε ιφ ρυνσ αρε τηε ρεσυλτ οφ ινδεπενδεντ χοιν τοσσεσ, ωιτη τηε προβαβιλιτψ οφ αν υπ ουτχοmε εθυαλ το τηε 52.4% φρεθυενχψ ωιτη ωηιχη τηε εξχεσσ ρετυρν ωασ ποσιτιϖε ιν ουρ σαmπλε. 2 Wηατ ονε σεεσ ισ τηατ τηερε αρε mανψ φεωερ ρυνσ οφ λενγτη ονε ανδ mορε ρυνσ οφ λονγερ λενγτησ τηαν τηε χοιν τοσσινγ mοδελ πρεδιχτσ. Τηερε ισ τηε ποσσιβιλιτψ τηατ τηε διφφερενχεσ ιν τηισ ταβλε αρε τηε ρεσυλτ οφ χηανχε, βυτ α στατιστιχαλ αναλψσισ υσινγ ωηατ ισ χαλλεδ α λικελιηοοδ ρατιο τεστ σηοωσ τηατ τηε παττερν ωε σεε ισ ϖερψ υνλικελψ το βε δυε το χηανχε. Τηεν, υπ ανδ δοων ρυνσ αρε ινδεεδ mορε περσιστεντ τηαν ονε ωουλδ πρεδιχτ ιφ ονε ασσυmεδ τηατ τηε προβαβιλιτψ οφ α υπ ορ δοων δαψ ωασ ινδεπενδεντ οφ πρεϖιουσ ηιστορψ. 2 Ιφ Π ισ τηε προβαβιλιτψ οφ αν υπ δαψ, τηεν Π ν 1 (1 Π) ισ τηε προβαβιλιτψ οφ αν υπ ρυν οφ λενγτη ν, ανδ τηισ mυλτιπλιεδ βψ τηε τοταλ νυmβερ οφ ποσιτιϖε ρυνσ ισ τηε εξπεχτεδ νυmβερ οφ λενγτη ν. Αν αναλογουσ φορmυλα αππλιεσ φορ νεγατιϖε ρυνσ.

10 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 7, Παγε 7 Ρυν Λενγτη Οβσερϖεδ Ποσιτιϖε Οβσερϖεδ Νεγατιϖε Εξπεχτεδ Ποσιτιϖε Εξπεχτεδ Νεγατιϖε ορ mορε Τοταλ Τηισ εξαmπλε σηοωσ ηοω αν εχονοmιχ ηψποτηεσισ χαν βε φορmυλατεδ ασ α χονδιτιον ον α προβαβιλιτψ mοδελ οφ τηε δατα γενερατιον προχεσσ, ανδ ηοω στατιστιχαλ τοολσ χαν βε υσεδ το ϕυδγε ωηετηερ τηε εχονοmιχ ηψποτηεσισ ισ τρυε. Ιν τηισ χασε, τηε εϖιδενχε ισ τηατ ειτηερ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ δοεσ νοτ ηολδ, ορ τηατ τηερε ισ α προβλεm ωιτη ονε οφ τηε ασσυmπτιονσ τηατ ωε mαδε αλονγ τηε ωαψ το φαχιλιτατε τηε αναλψσισ. 3 Α mορε χαρεφυλ στυδψ οφ τηε τιmε σεριεσ οφ στοχκ mαρκετ πριχεσ τηατ ωασ δονε αβοϖε τενδσ το συππορτ ονε ασπεχτ οφ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ, τηατ εξπεχτεδ προφιτ ατ τιmε τ 1 φροm αν αρβιτραγε το βε χοmπλετεδ τηε φολλοωινγ περιοδ ισ ζερο. Τηυσ, τηε ελεmενταρψ εχονοmιχ ιδεα τηατ αρβιτραγερσ δισχιπλινε τηε mαρκετ ισ συππορτεδ. Ηοωεϖερ, τηερε δο αππεαρ το βε λονγερ ρυν τιmε δεπενδενχιεσ ιν τηε mαρκετ, ασ ωελλ ασ ηετερογενειτιεσ, τηατ αρε ινχονσιστεντ ωιτη σοmε στρονγερ ϖερσιονσ οφ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ ΤΗΕ ΧΑΠΙΤΑΛ ΑΣΣΕΤ ΠΡΙΧΙΝΓ ΜΟDΕΛ Τηε ρετυρν τηατ αν ινϖεστορ χαν εαρν φροm α στοχκ ισ α ρανδοm ϖαριαβλε, δεπενδινγ ον εϖεντσ τηατ ιmπινγε ον τηε φιρm ανδ ον τηε εχονοmψ. Βψ σελεχτινγ τηε στοχκσ τηατ τηεψ ηολδ, ινϖεστορσ χαν τραδε οφφ βετωεεν αϖεραγε ρετυρν ανδ ρισκ. Α βασιχ, ανδ ινφλυεντιαλ, τηεορψ οφ ρατιοναλ πορτφολιο σελεχτιον ισ τηε Χαπιταλ Ασσετ Πριχινγ (ΧΑΠ) mοδελ. Τηισ τηεορψ χονχλυδεσ τηατ ιφ ινϖεστορσ αρε χονχερνεδ ονλψ ωιτη τηε mεαν ανδ ϖαριανχε οφ τηε ρετυρν φροm τηειρ πορτφολιο, τηεν τηερε ισ α σινγλε πορτφολιο οφ στοχκσ τηατ ισ οπτιmαλ, ανδ τηατ εϖερψ ρατιοναλ ινϖεστορ ωιλλ ηολδ τηισ πορτφολιο ιν σοmε mιξ ωιτη α ρισκλεσσ ασσετ το αχηιεϖε τηε δεσιρεδ βαλανχε οφ mεαν ανδ ϖαριανχε. Σινχε εϖερψ ινϖεστορ, νο mαττερ ωηατ ηερ αττιτυδεσ το ρισκ, ηολδσ τηε σαmε στοχκ πορτφολιο, τηισ πορτφολιο ωιλλ σιmπλψ βε α σηαρε οφ τηε τοταλ mαρκετ; τηατ ισ, αλλ ινϖεστορσ σιmπλψ ηολδ α mαρκετ ινδεξ φυνδ. Τηισ ισ α ποωερφυλ χονχλυσιον, ανδ 3 Φορ εξαmπλε, στοχκ πριχεσ ηιστοριχαλλψ ηαϖε βεεν αδϕυστεδ ιν υνιτσ οφ 1/8 οφ α δολλαρ, ρατηερ τηαν το εξαχτ mαρκετ χλεαρινγ λεϖελσ. Σοmε δαψ το δαψ ϖαριατιονσ ρεφλεχτ τηισ ινστιτυτιοναλ πρεχυλαριτψ.

11 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 8, Παγε 8 ονε τηατ αππεαρσ το βε εασιλψ ρεφυταβλε βψ εξαmινινγ τηε πορτφολιοσ οφ ινδιϖιδυαλσ. Τηισ συγγεστσ τηατ οτηερ φαχτορσ, συχη ασ ιρρατιοναλιτψ, τρανσαχτιονσ χοστσ, ηετερογενειτψ ιν ινφορmατιον, ορ πρεφερενχεσ τηατ τακε ιντο αχχουντ ρισκ φεατυρεσ οτηερ τηαν mεαν ανδ ϖαριανχε, αρε ινφλυενχινγ βεηαϖιορ. Νεϖερτηελεσσ, τηε ΧΑΠ mοδελ ισ οφτεν υσεφυλ ασ α νορmατιϖε γυιδε το οπτιmαλ ινϖεστmεντ βεηαϖιορ, ανδ ασ α τοολ φορ υνδερστανδινγ τηε βενεφιτσ οφ διϖερσιφιχατιον. Το εξπλαιν τηε ΧΑΠ mοδελ, χονσιδερ α mαρκετ ωιτη Κ στοχκσ, ινδεξεδ κ = 1,2,...,Κ. Λετ Π κτ βε τηε πριχε οφ στοχκ κ ατ τηε ενδ οφ mοντη τ; τηισ ισ α ρανδοm ϖαριαβλε ωηεν χονσιδερεδ βεφορε τηε ενδ οφ mοντη τ, ανδ αφτερ τηατ ιτ ισ α νυmβερ τηατ ισ α ρεαλιζατιον οφ τηισ ρανδοm ϖαριαβλε. Συπποσε αν ινϖεστορ χαν ωιτηδραω ορ δεποσιτ φυνδσ ιν αν αχχουντ τηατ ηολδσ Υ.Σ. Τρεασυρψ 30 Dαψ Βιλλσ τηατ παψ αν ιντερεστ ρατε ι τ 1 δυρινγ mοντη τ. (Τηε ινϖεστορ ισ ασσυmεδ το βε αβλε το βορροω mονεψ ατ τηισ ρατε ιφ νεχεσσαρψ.) Χονϖεντιοναλλψ, τηε Τ Βιλλ ιντερεστ ρατε ισ ασσυmεδ το βε ρισκ φρεε ανδ κνοων το τηε ινϖεστορ ιν αδϖανχε. Τηε προφιτ, ορ εξχεσσ ρετυρν, τηατ τηε ινϖεστορ χαν mακε φροm ωιτηδραωινγ α δολλαρ φροm ηερ Τ Βιλλ αχχουντ ανδ βυψινγ α δολλαρ σ ωορτη οφ στοχκ κ ισ γιϖεν βψ Ρ κτ Π κτ δ κ,τ1 Π κ,τ1 Π κ,τ1 ι τ1, ωηερε δ κ,τ 1 ισ τηε αννουνχεδ διϖιδενδ παιδ βψ τηε στοχκ ατ τηε ενδ οφ mοντη τ. Τηε εξχεσσ ρετυρν Ρ κτ ισ αγαιν α ρανδοm ϖαριαβλε. Λετ ρ κ δενοτε τηε mεαν οφ Ρ κτ. Λετ σ κ 2 δενοτε ιτσ ϖαριανχε, ανδ λετ σ κϕ δενοτε τηε χοϖαριανχε οφ Ρ κτ ανδ Ρ ϕτ. Νοτε τηατ σ κκ ανδ σ κ 2 αρε τωο διφφερεντ νοτατιονσ φορ τηε σαmε ϖαριανχε. Τηε σθυαρε ροοτ οφ τηε ϖαριανχε, σ κ, ισ χαλλεδ τηε στανδαρδ δεϖιατιον. Χονσιδερ αν ινϖεστορ σ πορτφολιο οφ ϖαλυε Α ατ τηε βεγιννινγ οφ α mοντη, ανδ συπποσε Α δολλαρσ αρε ινϖεστεδ ιν στοχκσ ανδ Α Α δολλαρσ αρε ηελδ ιν τηε ρισκ φρεε αχχουντ. Μανψ ινϖεστορσ ωιλλ ηαϖε 0 Α Α. Ηοωεϖερ, ιτ ισ ποσσιβλε το ηαϖε Α > Α, σο τηατ τηε ινϖεστορ ηασ βορροωεδ mονεψ (ατ τηε ρισκ φρεε ρατε) ανδ πυτ τηισ ιντο στοχκσ. Ιν τηισ χασε, τηε ινϖεστορ ισ σαιδ το ηαϖε πυρχηασεδ στοχκσ ον mαργιν. Φορ τηε αλλ στοχκ χοmπονεντ οφ τηε πορτφολιο, α φραχτιον θ κ οφ εαχη δολλαρ ιν Α ισ αλλοχατεδ το σηαρεσ οφ στοχκ κ, φορ κ = 1,...,Κ. Τηε εξχεσσ ρετυρν το τηισ πορτφολιο ισ τηεν ΑΡ πτ, ωηερε Ρ πτ = Κ κ1 ισ τηε εξχεσσ ρετυρν το τηε ονε δολλαρ στοχκ πορτφολιο χηαραχτεριζεδ βψ τηε σηαρεσ (θ 1,...,θ Κ ). Τηε φραχτιονσ θ κ αρε ρεστριχτεδ το βε νον νεγατιϖε. Ηοωεϖερ, τηε λιστ οφ στοχκσ mαψ αλσο ινχλυδε φινανχιαλ δεριϖατιϖεσ, ωηιχη χαν βε ιντερπρετεδ ασ λοττερψ τιχκετσ τηατ παψ οφφ ιν δολλαρσ ορ στοχκσ υνδερ σπεχιφιεδ χονδιτιονσ. Φορ εξαmπλε, αν ινϖεστορ mαψ σηορτ α στοχκ, ωηιχη mεανσ τηατ σηε ιν εφφεχτ σελλσ αν ΙΟΥ προmισινγ το δελιϖερ α σηαρε οφ τηε στοχκ ατ τηε ενδ οφ τηε mοντη. Σηε ισ τηεν οβλιγατεδ το δελιϖερ α σηαρε οφ τηε στοχκ ατ τηε ενδ οφ τηε mοντη, ιφ νεχεσσαρψ βψ βυψινγ α σηαρε οφ τηισ στοχκ το δελιϖερ ιν ορδερ το χοmπλετε τηε τρανσαχτιον. Οτηερ ελεmενταρψ εξαmπλεσ οφ φινανχιαλ δεριϖατιϖεσ αρε φυτυρεσ, ωηιχη αρε χοντραχτσ το δελιϖερ στοχκσ ατ σοmε φυτυρε δατε, ανδ mυτυαλ φυνδσ, ωηιχη αρε ινστιτυτιονσ τηατ σελλ σηαρεσ ανδ υσε τηε προχεεδσ το βυψ πορτφολιοσ οφ στοχκσ. Τηερε αρε αλσο mορε χοmπλεξ φινανχιαλ δεριϖατιϖεσ τηατ ρεθυιρε δελιϖερψ υνδερ σπεχιφιεδ χονδιτιονσ, συχη ασ αν ινχρεασε θ κ Ρ κτ

12 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 9, Παγε 9 ιν α στοχκ mαρκετ ινδεξ οφ mορε τηαν α σπεχιφιεδ περχενταγε. Τηε εξχεσσ ρετυρν Ρ πτ ισ αγαιν α ρανδοm Κ κ1 Κ Κ κ1 2 ϖαριαβλε, ωιτη mεαν ρ π = θ κ ρ κτ ανδ ϖαριανχε σ π = θ κ θ ϕ σ κϕ. Τηισ ιmπλιεσ τηατ τηε στοχκ πορτφολιο ωιτη Α δολλαρσ ινϖεστεδ ηασ αν εξχεσσ ρετυρν ωιτη mεαν Αρ π ανδ ϖαριανχε Α 2 σ π 2 (ορ στανδαρδ δεϖιατιον Ασ π ). Τηε χοϖαριανχε οφ Ρ κτ ανδ Ρ πτ ισ γιϖεν βψ σ κπ χοϖ(ρ κτ,ρ πτ ) = θ ϕ σ κϕ. Dεφινε τηε βετα οφ στοχκ κ (ωιτη ρεσπεχτ το τηε στοχκ πορτφολιο π) βψ τηε φορmυλα β κ = σ κπ /σ π 2, ανδ νοτε τηατ Κ κ1 Κ κ1 ανδ ηενχε τηατ θ κ β κ = 1. Κ ϕ1 Κ κ1 σ 2 π = θ κ θ = θ κ σ κπ = θ κ β κ σ 2 ϕ σ κϕ π, Νοω χονσιδερ τηε ρατιοναλ ινϖεστορ σ προβλεm οφ χηοοσινγ τηε λεϖελ οφ ινϖεστmεντ Α ανδ τηε πορτφολιο mιξ θ 1,θ 2,...,θ Κ. Ασσυmε τηατ τηε ινϖεστορ χαρεσ ονλψ αβουτ τηε mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον οφ τηε εξχεσσ ρετυρν φροm ηερ πορτφολιο, ανδ αλωαψσ πρεφερσ α ηιγηερ mεαν ανδ α λοωερ στανδαρδ δεϖιατιον. Τηε ινϖεστορ σ ταστεσ φορ ρισκ ωιλλ δετερmινε ηοω mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον αρε τραδεδ οφφ. Τηε φιγυρε βελοω σηοωσ τηε αλτερνατιϖεσ αϖαιλαβλε το τηε ινϖεστορ. Τηε ινϖεστορ πρεφερσ το βε ασ φαρ το τηε νορτηωεστ ιν τηισ φιγυρε ασ ποσσιβλε, ωηερε mεαν ισ ηιγη ανδ στανδαρδ δεϖιατιον ισ λοω, ανδ ωιλλ ηαϖε ινδιφφερενχε χυρϖεσ τηατ σπεχιφψ ηερ τραδεοφφσ βετωεεν mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον. (Νοτε τηατ αν ινϖεστορ ωιτη λοω ρισκ αϖερσιον ωιλλ ηαϖε ινδιφφερενχε χυρϖεσ τηατ αρε αλmοστ ηοριζονταλ, ωηιλε αν εξτρεmελψ ρισκ αϖερσε ινϖεστορ ωιλλ ηαϖε ινδιφφερενχε χυρϖεσ τηατ αρε αλmοστ ϖερτιχαλ.) Ιφ πρεφερενχεσ βετωεεν mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον αρε δεριϖεδ φροm α υτιλιτψ φυνχτιον τηατ ισ χονχαϖε ιν χονσυmπτιον, τηεν τηε ινδιφφερενχε χυρϖε ωιλλ βε χονϖεξ. Α σπεχιφιεδ mιξ (θ 11,...,θ Κ1 ) οφ στοχκσ δετερmινεσ α ονε δολλαρ αλλ εθυιτψ πορτφολιο ωιτη παρτιχυλαρ ϖαλυεσ φορ στανδαρδ δεϖιατιον ανδ mεαν, ανδ αν αλλ στοχκ πορτφολιο οφ ϖαλυε Α ινϖεστεδ ιν τηισ mιξτυρε ωιλλ ηαϖε α mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον τηατ αρε Α τιmεσ τηοσε οφ τηε ονε δολλαρ πορτφολιο. Τηισ ποιντ ισ ινδιχατεδ ιν τηε διαγραm ασ Πορτφολιο 1. Βψ ηολδινγ Α οφ τηε αλλ εθυιτψ πορτφολιο ανδ Α Α οφ τηε ρισκλεσσ ασσετ ιν σοmε χοmβινατιον, τηε ινϖεστορ χαν ατταιν mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον χοmβινατιονσ ανψωηερε ον α στραιγητ λινε τηρουγη τηε οριγιν ανδ τηε αλλ εθυιτψ Πορτφολιο 1 ποιντ. (Ποιντσ βετωεεν ζερο ανδ τηε αλλ εθυιτψ πορτφολιο χορρεσπονδ το ινϖεστινγ ονλψ παρτ οφ τηε ινϖεστορ σ ασσετσ ιν στοχκσ, ωηιλε ποιντσ ον τηε λινε το τηε ριγητ οφ τηε Πορτφολιο 1 ποιντ χορρεσπονδ το βορροωινγ mονεψ το τακε α mαργιν ποσιτιον ιν στοχκσ.) Ανοτηερ mιξ (θ 1 2,...,θ Κ 2 ) γιϖεσ τηε ποιντ ιν τηε διαγραm ινδιχατεδ ασ Πορτφολιο 2. Αγαιν, βψ ηολδινγ τηε ρισκλεσσ ασσετ ανδ Πορτφολιο 2 ιν σοmε χοmβινατιον, τηε χονσυmερ χουλδ ατταιν ανψ ποιντ ον τηε στραιγητ λινε χοννεχτινγ τηε οριγιν ανδ Πορτφολιο 2. Τηερε ωιλλ βε α φροντιερ ενϖελοπε ον τηε νορτη ωεστ βουνδαρψ οφ αλλ τηε mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον χοmβινατιονσ τηατ χαν βε ατταινεδ ϕ1 Κ κ1 Κ ϕ1

13 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 10, Παγε 10 ωιτη αλλ εθυιτψ πορτφολιοσ ωιτη ϖαλυε Α ; τηισ ενϖελοπε ισ δραων ασ α ηεαϖψ χυρϖε ιν τηε φιγυρε, ανδ ρεπρεσεντσ εφφιχιεντ πορτφολιοσ ιν τερmσ οφ τραδεοφφσ βετωεεν mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον ιν αλλ εθυιτψ πορτφολιοσ. 0.4 Πορτφολιο Μεαν ανδ Στανδαρδ Dεϖιατιον Μεαν ΟΠ 1 ΒΠ Στανδαρδ Dεϖιατιον Πορτφολιο 1 ισ εφφιχιεντ, ωηιλε Πορτφολιο 2 ισ νοτ βεχαυσε ιτ ισ σουτηωεστ οφ τηε αλλ εθυιτψ πορτφολιο φροντιερ. Νοτε ηοωεϖερ τηατ τηε χονσυmερ χαν βε mαδε βεττερ οφφ ωιτη α πορτφολιο τηατ ισ σοmε χοmβινατιον οφ Πορτφολιο 2 ανδ τηε ρισκλεσσ ασσετ τηαν ωιτη ανψ χοmβινατιον οφ Πορτφολιο 1 ανδ τηε ρισκλεσσ ασσετ, βεχαυσε τηε λινε τηρουγη Πορτφολιο 2 ισ αλωαψσ νορτηωεστ οφ τηε λινε τηρουγη Πορτφολιο 1. Χονσιδερ αλλ τηε λινεσ τηατ χοννεχτ τηε οριγιν ανδ αλλ εθυιτψ πορτφολιοσ. Τηε λοχατιον οφ τηεσε λινεσ ρεφλεχτσ τηε οπερατιον οφ διϖερσιφιχατιον το ρεδυχε ρισκ; ι.ε., βψ ηολδινγ α mιξ οφ στοχκσ, σοmε οφ ωηιχη αρε λικελψ το γο υπ ωηεν οτηερσ αρε γοινγ δοων, ονε mαψ βε αβλε το ρεδυχε στανδαρδ δεϖιατιον φορ α γιϖεν λεϖελ οφ τηε mεαν. Τηερε ωιλλ βε αν εφφιχιεντ mιξ (θ 1,...,θ Κ ), λαβελεδ ΒΠ (φορ Βεστ Πορτφολιο) ιν τηε φιγυρε, τηατ γιϖεσ α λινε τηατ ισ ροτατεδ ασ φαρ το τηε νορτηωεστ ασ ποσσιβλε. Νο mαττερ ωηατ τηε σπεχιφιχ ταστεσ οφ τηε ινϖεστορ φορ mεαν ϖερσυσ στανδαρδ δεϖιατιον, σηε ωιλλ mαξιmιζε πρεφερενχεσ

14 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 11, Παγε 11 σοmεωηερε αλονε τηισ τανγενχψ λινε, υσινγ σοmε χοmβινατιον οφ τηε ρισκλεσσ ασσετ ανδ τηε Βεστ Πορτφολιο. Τηε διαγραm σηοωσ φορ α παρτιχυλαρ ινδιφφερενχε χυρϖε ηοω τηε οπτιmαλ πορτφολιο, λαβελεδ ΟΠ ιν τηε φιγυρε, ισ δετερmινεδ. Dιφφερεντ ινϖεστορσ ωιλλ λοχατε ατ διφφερεντ ποιντσ αλονγ τηε οπτιmαλ λινε, βψ πιχκινγ διφφερεντ Α λεϖελσ, το mαξιmιζε τηειρ ϖαριουσ πρεφερενχεσ φορ mεαν ϖερσυσ στανδαρδ δεϖιατιον. Ηοωεϖερ, αλλ ινϖεστορσ ωιλλ χηοοσε εξαχτλψ τηε σαmε ΒΠ mιξ (θ 1,...,θ Κ ) φορ τηε στοχκσ τηατ τηεψ ηολδ. Βυτ ιφ εϖερψ ινϖεστορ ηολδσ στοχκσ ιν τηε σαmε προπορτιονσ, τηεν τηεσε mυστ αλσο βε τηε προπορτιονσ τηατ πρεϖαιλ ιν τηε mαρκετ ασ α ωηολε. Τηεν τηε Βεστ Πορτφολιο (θ 1,...,θ Κ ) ωιλλ βε τηε σηαρεσ βψ ϖαλυε οφ αλλ τηε στοχκσ ιν τηε mαρκετ. Συχη α πορτφολιο ισ χαλλεδ α mαρκετ ινδεξ φυνδ. Τηε ΧΑΠ mοδελ τηεν χονχλυδεσ τηατ ρατιοναλ ινϖεστορσ ωηο χαρε ονλψ αβουτ τηε mεαν ανδ στανδαρδ δεϖιατιον οφ εξχεσσ ρετυρν ωιλλ ηολδ ονλψ τηε mαρκετ ινδεξ φυνδ, ωιτη τηε λεϖελσ οφ ινϖεστmεντ ρεφλεχτινγ τηειρ ηετερογενεουσ ταστεσ φορ ρισκ. Ινϖεστορσ mαψ πυρχηασε ινδιϖιδυαλ στοχκσ ιν τηε ΒΠ προπορτιονσ; ηοωεϖερ, τηερε αρε mυτυαλ φυνδσ τηατ δο πρεχισελψ τηισ, ανδ τηε ινϖεστορ mαψ τηεν σιmπλψ πυτ ηερ στοχκ πορτφολιο ιντο τηε mαρκετ ινδεξ mυτυαλ φυνδ. Τηε προβλεm οφ δετερmινινγ τηε οπτιmαλ πορτφολιο mιξ (θ 1,...,θ Κ ) ισ mοστ εασιλψ σολϖεδ βψ χονσιδερινγ α χλοσελψ ρελατεδ προβλεm. Αν ινϖεστορ σ πορτφολιο ισ χηαραχτεριζεδ βψ Α ανδ (θ 1,...,θ Κ ). Γιϖεν α χηοιχε αmονγ αλλ τηε πορτφολιοσ τηατ αχηιεϖε α σπεχιφιεδ λεϖελ οφ mεαν ρετυρν, τηε ινϖεστορ ωουλδ ωαντ το χηοοσε τηε ονε τηατ mινιmιζεσ ϖαριανχε. Ιν τηε φιγυρε, τηισ χορρεσπονδσ το γεττινγ ασ φαρ το τηε λεφτ ασ ποσσιβλε ωηεν χονστραινεδ το τηε φεασιβλε πορτφολιοσ ον α σπεχιφιεδ ηοριζονταλ λινε. Φροm τηε πρεϖιουσ δισχυσσιον, τηε σολυτιον το τηισ προβλεm ωιλλ βε α πορτφολιο ωιτη τηε οπτιmαλ mιξ οφ στοχκσ, ανδ τηε ονλψ διφφερενχε βετωεεν τηισ προβλεm ανδ τηε ονε οφ mαξιmιζινγ πρεφερενχεσ ωιλλ βε ιν δετερmινινγ τηε οϖεραλλ ινϖεστmεντ λεϖελ Α. Τηε προβλεm οφ mινιmιζινγ ϖαριανχε φορ α γιϖεν mεαν ισ ονε οφ χονστραινεδ mινιmιζατιον: Κ κ1 Κ ϕ1 Χηοοσε Α,θ 1,...,θ Κ 0 το mινιmιζε Α 2 θ κ θ ϕ σ κϕ,συβϕεχτ το Α θ κ ρ κ = χ ανδ θ κ = 1, ωηερε χ ισ α χονσταντ τηατ χαν βε ϖαριεδ παραmετριχαλλψ. Τηε φιρστ ορδερ (Κυην Τυχκερ) χονδιτιονσ φορ τηισ προβλεm αρε Κ ϕ1 (1) 2Α 2 θ ϕ σ κϕ λαρ κ +, ωιτη εθυαλιτψ υνλεσσ θ κ = 0, φορ κ = 1,...,Κ Κ κ1 Κ ϕ1 Κ κ1 (2) 2Α θ κ θ ϕ σ κϕ = λ θ κ ρ κ, ωηερε τηε σχαλαρσ λ ανδ αρε Λαγρανγε mυλτιπλιερσ. Μυλτιπλψ (1) βψ θ κ ανδ συm οϖερ κ το οβταιν τηε ρεσυλτ Κ Κ Α 2Α θ Κ κ θ ϕ σ κϕ λ θ κ ρ κ = θ κ. κ1 ϕ1 κ1 Κ κ1 Κ κ1 Κ κ1

15 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 12, Παγε 12 Υσινγ (2), τηισ ιmπλιεσ = 0. Τηεν, (1) ιmπλιεσ τηατ τηε οπτιmαλ θ κ σατισφψ Κ ϕ1 (3) θ ϕ σ κϕ γρ κ, ωιτη εθυαλιτψ υνλεσσ θ κ = 0, φορ κ = 1,...,Κ, ωηερε γ ισ α σχαλαρ δεφινεδ σο τηατ τηε θ κ συm το ονε. Σινχε βψ τηε εαρλιερ χοmmεντσ τηισ mιξ ισ σιmπλψ τηε mιξ ιν τηε τοταλ mαρκετ, εθυαλιτψ ωιλλ ηολδ φορ αλλ στοχκσ τηατ αρε ιν τηε mαρκετ ανδ ηαϖε ποσιτιϖε ϖαλυε. Κ κ1 Κ κ1 Ασσυmε νοω τηατ ρ π = θ κ ρ κ ανδ σ π 2 = θ κ θ ϕ σ κϕ ρεφερ το τηε βεστ πορτφολιο. Τηε λεφτ ηανδ σιδε οφ (3) εθυαλσ σ κπ β κ σ π2, σο τηισ χονδιτιον χαν βε ρεωριττεν Κ ϕ1 (4) β κ σ π 2 γρ κ, ωιτη εθυαλιτψ υνλεσσ θ κ = 0, φορ κ = 1,...,Κ. Μυλτιπλψινγ βοτη σιδεσ οφ τηισ ινεθυαλιτψ βψ θ κ ανδ συmmινγ ψιελδσ τηε χονδιτιον Κ κ1 γρ π γ θ κ ρ κ = σ π 2 Κ κ1 θ κ β κ = σ π 2, ορ ρ π = σ π2 /γ. Συβστιτυτινγ τηισ ιντο (4) γιϖεσ υσ τηε φιναλ φορm οφ α mαιν ρεσυλτ οφ τηε ΧΑΠ mοδελ, ρ κ β κ ρ π, ωιτη εθυαλιτψ ιφ τηε στοχκ ισ ηελδ, φορ κ = 1,...,Κ. Τηε mεαν ρετυρνσ αρε νοτ οβσερϖεδ διρεχτλψ, βυτ τηε ρεαλιζατιονσ οφ mοντηλψ ρετυρνσ ον ινδιϖιδυαλ στοχκσ ανδ τηε mαρκετ αρε οβσερϖεδ. Wριτε αν οβσερϖεδ ρετυρν ασ τηε συm οφ ιτσ mεαν ανδ α δεϖιατιον φροm τηε mεαν, Ρ κτ = ρ κ + C κτ ανδ Ρ πτ = ρ π + C πτ. Νοτε τηατ Ρ πτ = θ κ Ρ κτ,σο τηεν C πτ = θ κ C κτ. Φορ αλλ στοχκσ ηελδ ιν τηε mαρκετ, τηε ΧΑΠ mοδελ ιmπλιεσ ρ κ = β κ ρ π. Υσε τηε φορm Ρ κτ = ρ κ + C κτ το ρεωριτε τηε εθυατιον ρ κ = β κ ρ π ασ Ρ κτ C κτ = β κ (Ρ πτ C πτ ). Dεφινε ν κτ = C κτ β κ C πτ. Τηεν, τηε εθυατιον βεχοmεσ (5) Ρ κτ = β κ Ρ πτ + ν κτ. Τηισ εθυατιον χαν βε ιντερπρετεδ ασ α ρελατιον βετωεεν mαρκετ ρισκ, εmβοδιεδ ιν τηε mαρκετ εξχεσσ ρετυρν Ρ πτ, ανδ τηε ρισκ οφ στοχκ κ, εmβοδιεδ ιν Ρ κτ. Τηε διστυρβανχε ν κτ ιν τηισ εθυατιον ισ σοmετιmεσ χαλλεδ τηε σπεχιφιχ ρισκ ιν στοχκ κ, τηε προπορτιον οφ τηε τοταλ ρισκ ιν τηισ στοχκ τηατ ισ νοτ ρεσπονσιϖε το mαρκετ φλυχτυατιονσ. Τηισ διστυρβανχε ηασ τηε φολλοωινγ προπερτιεσ: (α) Εν κτ = 0; Κ κ1 Κ κ1

16 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 13, Παγε 13 (β) Εν κτ 2 = Ε(C κτ β κ C πτ ) 2 = σ κ 2 + β κ 2 σ π 2 2β κ σ κπ σ κ 2 β κ 2 σ 2 π (χ) Εν κτ Ρ πτ = Ε(C κτ β κ C πτ )C πτ = σ κπ β κ σ π 2 = 0. Εθυατιον (5) ισ α λινεαρ ρεγρεσσιον φορmυλα. Προπερτιεσ (α) (χ) αρε χαλλεδ τηε Γαυσσ Μαρκοϖ χονδιτιονσ. Wε ωιλλ σεε τηατ τηεψ ιmπλψ τηατ αν εστιmατε οφ β κ ωιτη δεσιραβλε στατιστιχαλ προπερτιεσ χαν βε οβταινεδ βψ υσινγ τηε mετηοδ οφ λεαστ σθυαρεσ. Τηεν, τηε ΧΑΠ mοδελ σ ασσυmπτιονσ ον βεηαϖιορ ιmπλψ αν εχονοmετριχ mοδελ τηατ χαν τηεν βε φιττεδ το προϖιδε εστιmατεσ οφ τηε mαρκετ βετασ, κεψ παραmετερσ ιν τηε ΧΑΠ αναλψσισ. Τηε mαρκετ βετα σ οφ ινδιϖιδυαλ στοχκσ αρε οφτεν υσεδ βψ πορτφολιο mαναγερσ το ασσεσσ τηε mεριτσ οφ αδδινγ ορ δελετινγ στοχκσ το τηειρ πορτφολιοσ. (Οφ χουρσε, τηε ΧΑΠ mοδελ σαψσ τηατ τηερε ισ νο νεεδ το χονσιδερ ηολδινγ πορτφολιοσ διφφερεντ τηαν τηε mαρκετ ινδεξ φυνδ, ανδ τηερεφορε νο νεεδ φορ πορτφολιο mαναγερσ. Τηατ τηεσε τηινγσ εξιστ ισ ιτσελφ εϖιδενχε τηατ τηερε ισ σοmε δεφιχιενχψ ιν τηε ΧΑΠ mοδελ, περηαπσ δυε το φαιλυρεσ οφ ρατιοναλιτψ, τηε πρεσενχε οφ τρανσαχτιονσ χοστ, ορ τηε αβιλιτψ το mιmιχ τηε εξχεσσ ρετυρν οφ τηε mαρκετ υσινγ ϖαριουσ συβσετσ οφ αλλ τηε στοχκσ ον τηε mαρκετ βεχαυσε τηε οπτιmαλ πορτφολιο ισ νοτ υνιθυε.) Φυρτηερ, στατιστιχαλ αναλψσισ οφ τηε ϖαλιδιτψ οφ τηε ασσυmπτιονσ (α) (χ) χαν βε υσεδ το τεστ τηε ϖαλιδιτψ οφ τηε ΧΑΠ mοδελ. Τηε β σ ιν φορmυλα (5) χονϖεψ ινφορmατιον ον τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν τηε εξχεσσ ρετυρν ον αν ινδιϖιδυαλ στοχκ ανδ τηε εξχεσσ ρετυρν ιν τηε mαρκετ. Συβτραχτ mεανσ ιν (5), σθυαρε βοτη σιδεσ, ανδ τακε τηε εξπεχτατιον το γετ τηε φορmυλα σ κ 2 = β κ2 σ π 2 + δ κ2, ωηερε δ κ 2 = Εν κτ 2 ισ τηε ϖαριανχε οφ τηε διστυρβανχε. Τηισ εθυατιον σαψσ τηατ τηε ρισκ οφ στοχκ κ εθυαλσ τηε mαρκετ ρισκ, αmπλιφιεδ βψ β κ2, πλυσ τηε σπεχιφιχ ρισκ. Στοχκ κ ωιλλ ηαϖε ηιγη ρισκ ιφ ιτ ηασ λαργε σπεχιφιχ ρισκ, ορ α β κ τηατ ισ λαργε ιν mαγνιτυδε, ορ βοτη. Α ποσιτιϖε β κ ιmπλιεσ τηατ εϖεντσ τηατ ινφλυενχε τηε mαρκετ τενδ το ινφλυενχε στοχκ κ ιν τηε σαmε ωαψ; ι.ε., τηε στοχκ ισ προ χψχλιχ. Α νεγατιϖε β κ ιmπλιεσ τηατ τηε στοχκ τενδσ το mοϖε ιν α διρεχτιον οπποσιτε τηατ οφ τηε mαρκετ, σο τηατ ιτ ισ χουντερ χψχλιχ. Στοχκσ τηατ ηαϖε σmαλλ ορ νεγατιϖε β κ αρε δεφενσιϖε, αιδινγ διϖερσιφιχατιον ανδ mακινγ αν ιmπορταντ χοντριβυτιον το ρεδυχινγ ρισκ ιν τηε mαρκετ πορτφολιο. Τηε ΧΑΠ mοδελ δεσχριβεδ ιν τηισ εξαmπλε ισ α ωιδελψ υσεδ τοολ ιν εχονοmιχσ ανδ φινανχε. Ιτ ιλλυστρατεσ α σιτυατιον ιν ωηιχη εχονοmιχ αξιοmσ ον βεηαϖιορ λεαδ το α ωιδελψ υσεδ στατιστιχαλ mοδελ φορ τηε δατα γενερατιον προχεσσ, τηε λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελ ωιτη ερρορσ σατισφψινγ Γαυσσ Μαρκοϖ ασσυmπτιονσ. Αν ιmπορταντ φεατυρε οφ τηισ εξαmπλε ισ τηατ τηεσε στατιστιχαλ ασσυmπτιονσ αρε ιmπλιεδ βψ τηε εχονοmιχ αξιοmσ, νοτ ατταχηεδ αδ ηοχ το φαχιλιτατε δατα αναλψσισ. Ιτ ισ α ηαππψ, βυτ ραρε, χιρχυmστανχε ιν ωηιχη αν εχονοmιχ τηεορψ ανδ ιτσ εχονοmετριχ αναλψσισ αρε φυλλψ ιντεγρατεδ. Το σεεκ συχη ηαρmονιεσ, τηεοριστσ νεεδ το δραω ουτ ανδ mακε πρεχισε τηε εmπιριχαλ ιmπλιχατιονσ οφ τηειρ ωορκ, ανδ εχονοmετριχιανσ νεεδ το δεϖελοπ mοδελσ ανδ mετηοδσ τηατ mινιmιζε τηε νεεδ φορ

17 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 14, Παγε 14 φαχιλιτατινγ ασσυmπτιονσ τηατ mακε τηε στατιστιχαλ αναλψσισ τραχταβλε βυτ ωηοσε εχονοmιχ πλαυσιβιλιτψ ισ ωεακ ορ υνδετερmινεδ ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝ Α τραδιτιοναλ ϖιεω οφ εχονοmετριχσ ισ τηατ ιτ ισ τηε σπεχιαλ φιελδ τηατ δεαλσ ωιτη εχονοmιχ δατα ανδ ωιτη στατιστιχαλ mετηοδσ τηατ χαν βε εmπλοψεδ το υσε τηεσε δατα το τεστ εχονοmιχ ηψποτηεσεσ ανδ mακε φορεχαστσ. Ιφ τηισ ωερε αλλ τηερε ωασ το εχονοmετριχσ, ιτ ωουλδ στιλλ βε ονε οφ τηε mοστ ιmπορταντ παρτσ οφ τηε τραινινγ οφ mοστ εχονοmιστσ, ωηο ιν τηειρ προφεσσιοναλ χαρεερσ δεαλ ωιτη εχονοmιχ ηψποτηεσεσ, πολιχψ ισσυεσ, ανδ πλαννινγ τηατ ιν τηε φιναλ αναλψσισ δεπενδ ον φαχτσ ανδ τηε ιντερπρετατιον οφ φαχτσ. Ηοωεϖερ, τηε εξαmπλεσ ιν τηισ χηαπτερ αρε ιντενδεδ το σηοω τηατ τηε συβϕεχτ οφ εχονοmετριχσ ισ φαρ mορε δεεπλψ ιντερτωινεδ ωιτη εχονοmιχ σχιενχε, προϖιδινγ τοολσ φορ mοδελινγ χορε τηεοριεσ οφ τηε βεηαϖιορ οφ εχονοmιχ αγεντσ υνδερ υνχερταιντψ, ανδ α τεmπλατε φορ ρατιοναλ δεχισιον mακινγ υνδερ ινχοmπλετε ινφορmατιον. Τηισ συγγεστσ τηατ ιτ ισ υσεφυλ το υνδερστανδ εχονοmετριχσ ατ τηρεε λεϖελσ: (1) τηε ρελατιϖελψ στραιγητφορωαρδ ανδ mεχηανιχαλ προχεδυρεσ φορ αππλιεδ εχονοmετριχ δατα αναλψσισ ανδ ινφερενχε τηατ αρε νεεδεδ το υνδερστανδ ανδ χαρρψ ουτ εmπιριχαλ εχονοmιχσ ρεσεαρχη, (2) α δεεπερ κνοωλεδγε οφ τηε τηεορψ οφ στατιστιχσ ιν τηε φορm τηατ ιτ ισ νεεδεδ το δεϖελοπ ανδ αδαπτ εχονοmετριχ τοολσ φορ τηε σιτυατιονσ φρεθυεντλψ ενχουντερεδ ιν αππλιεδ ωορκ ωηερε χονϖεντιοναλ τεχηνιθυεσ mαψ νοτ αππλψ, ορ mαψ νοτ mακε εφφιχιεντ υσε οφ τηε δατα, ανδ (3) α δεεπερ κνοωλεδγε οφ τηε χονχεπτσ ανδ φορmαλ τηεορψ οφ προβαβιλιτψ, στατιστιχσ, ανδ δεχισιον τηεορψ τηατ εντερ mοδελσ οφ τηε βεηαϖιορ οφ εχονοmιχ αγεντσ, ανδ σηοω τηε χονχεπτυαλ υνιτψ οφ εχονοmετριχσ ανδ εχονοmιχ τηεορψ ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ Θυεστιονσ 1 3 ρεφερ το τηε δεχισιον προβλεm οφ Χαβ Φρανχ, φροm Σεχτιον Τηε Dεπαρτmεντ οφ Αγριχυλτυρε οφφερσ Χαβ χροπ ινσυρανχε, ωηιχη χοστσ Ιφ Χαβ σ ρεϖενυε φροm σελλινγ γραπεσ φαλλσ βελοω 90 περχεντ οφ ηισ εξπεχτεδ νετ ρεϖενυε οφ 31,000, τηεν τηε ινσυρανχε ρειmβυρσεσ ηιm φορ τηε διφφερενχε βετωεεν ηισ αχτυαλ ρεϖενυε ανδ 90 περχεντ οφ 31,000. Ισ τηισ ινσυρανχε αχτυαριαλλψ φαιρ ιφ Χαβ mακεσ τηε σαmε οπερατινγ δεχισιονσ τηατ ηε διδ ωιτηουτ ινσυρανχε? Wιλλ Χαβ ιν φαχτ mακε τηε σαmε οπερατινγ δεχισιονσ ιφ ηε ηασ τηε ινσυρανχε? Wιλλ ηε βυψ τηε ινσυρανχε? 2. Βλυε Σκψ ιντροδυχεσ α mορε δεταιλεδ φορεχαστ, ωιτη τηε προπερτιεσ δεσχριβεδ βελοω, ατ α χοστ οφ Wιλλ Χαβ βυψ τηισ φορεχαστ ρατηερ τηαν τηε πρεϖιουσ ονε? Φορ τηισ προβλεm, ασσυmε τηερε ισ νο χροπ ινσυρανχε.

18 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 15, Παγε 15 Φρεθυενχψ οφ Εξπανδεδ Φορεχαστσ ανδ Ουτχοmεσ Βλυε Σκψ Φορεχαστσ ΤΟΤΑΛ Εϖεντ οφ Νατυρε Βαδ Ποορ Φαιρ Γοοδ Wετ Dρψ ΤΟΤΑΛ Αφτερ ρεϖιεωινγ ηισ βυδγετ χοmmιτmεντσ, Χαβ δεχιδεσ ηε ισ νοτ ρισκ νευτραλ. Ιφ ηισ νετ ινχοmε φροm σελλινγ γραπεσ φαλλσ βελοω ηισ mορτγαγε παψmεντ οφ 25,000, τηεν ηε ωιλλ ηαϖε το βορροω τηε διφφερενχε ιν τηε λοχαλ σποτ mαρκετ, ανδ τηε ϖιγ ωιλλ δουβλε τηε χοστ. Πυτ ανοτηερ ωαψ, ηισ υτιλιτψ οφ ινχοmε Ψ ισ υ = Ψ 0.5(mαξ(25000 Ψ,0). Wηατ ηαρϖεστινγ δεχισιον ωιλλ mαξιmιζε Χαβ σ υτιλιτψ ιφ ηε συβσχριβεσ το τηε Βλυε Σκψ φορεχαστ? Αγαιν ασσυmε τηερε ισ νο χροπ ινσυρανχε, βυτ ασσυmε τηε εξπανδεδ Βλυε Σκψ φορεχαστσ ιν θυεστιον 2 αρε αϖαιλαβλε. Θυεστιονσ 4 5 ρεφερ το τηε mαρκετ εφφιχιενχψ αναλψσισ ιν Σεχτιον Φορmυλατινγ τηε εξπεχτεδ mαρκετσ ηψποτηεσισ ασ α φεατυρε προδυχεδ βψ λαργε νυmβερσ οφ αχτιϖε αρβιτραγερσ ασσυmεσ τηατ τηερε ισ αν οβϕεχτιϖε προβαβιλιτψ διστριβυτιον φορ ουτχοmεσ, ανδ τηισ διστριβυτιον ισ χοmmον κνοωλεδγε το αλλ αρβιτραγερσ. Wηατ ωουλδ ψου εξπεχτ το ηαππεν ιφ τηε προβαβιλιτιεσ αρε συβϕεχτιϖε ανδ αρε νοτ τηε σαmε φορ αλλ αρβιτραγερσ? Ιφ τηε νυmβερ οφ αρβιτραγερσ ισ λιmιτεδ? Ιφ ινστιτυτιοναλ χονστραιντσ πλαχε λιmιτσ ον τηε mαγνιτυδεσ οφ τηε ποσιτιονσ τηατ αρβιτραγερσ χαν τακε? Ιφ αρβιτραγερσ αρε ρισκ αϖερσε ρατηερ τηαν ρισκ νευτραλ? (Τηισ ισ α τηουγητ θυεστιον, ασ ψου δο νοτ ψετ ηαϖε τηε τοολσ φορ α φορmαλ αναλψσισ.) 5. Τηε ναρροω φορm οφ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ στατεσ τηατ αρβιτραγερσ ωιλλ βυψ ορ σελλ το τακε αδϖανταγε οφ εξπεχτεδ προφιτσ ορ λοσσεσ, ανδ τηερεβψ αρβιτραγε αωαψ τηεσε προφιτσ ανδ λοσσεσ, σο τηατ εξπεχτεδ ρετυρνσ αρε ζερο. Βροαδερ φορmσ οφ τηε εφφιχιεντ mαρκετσ ηψποτηεσισ στατε τηατ αρβιτραγερσ ωιλλ χρεατε δεριϖατιϖεσ, ανδ τραδε αωαψ ανψ εξπεχτεδ προφιτ φορ ανψ σπεχιφιεδ ποσιτιον τηεψ χουλδ τακε ιν τηε mαρκετ φορ τηεσε δεριϖατιϖεσ. Φορ εξαmπλε, α Χαλλ (ορ Χαλλ οπτιον) ισ αν αγρεεmεντ βετωεεν τηε βυψερ ανδ τηε σελλερ οφ τηε οπτιον ωηερεβψ τηε βυψερ οβταινσ τηε ριγητ βυτ νοτ τηε οβλιγατιον το βυψ αν αγρεεδ αmουντ οφ α στοχκ ατ α πρε αγρεεδ πριχε (τηε στρικε πριχε), ον αν αγρεεδ φυτυρε δατε (τηε ϖαλυε δατε). Χονϖερσελψ, τηε σελλερ οφ α Χαλλ ηασ τηε οβλιγατιον, βυτ νοτ τηε ριγητ, το σελλ τηε αγρεεδ αmουντ οφ α στοχκ ατ τηε πρε αγρεεδ πριχε. Οβϖιουσλψ, τηε ηολδερ οφ α Χαλλ ωιλλ εξερχισε ιτ ιφ τηε πριχε ον τηε ϖαλυε δατε εξχεεδσ τηε στρικε πριχε, ανδ ωιλλ οτηερωισε λετ τηε οπτιον εξπιρε. Τηε πριχε οφ α Χαλλ ινχλυδεσ α πρεmιυm τηατ ρεφλεχτσ ιτσ ϖαλυε ασ ινσυρανχε αγαινστ αν ινχρεασε ιν τηε πριχε οφ τηε στοχκ, ανδ ισ δετερmινεδ βψ τηε βελιεφσ οφ βυψερσ ανδ σελλερσ αβουτ τηε προβαβιλιτιεσ οφ πριχεσ αβοϖε τηε στρικε πριχε. Α Πυτ οπτιον ισ ιν αλλ ρεσπεχτ τηε σαmε εξχεπτ τηατ ιτ χονφερσ τηε ριγητ βυτ νοτ τηε οβλιγατιον το σελλ ατ α πρε αγρεεδ ρατε. Συπποσε τηε χυmυλατιϖε προβαβιλιτψ διστριβυτιον Φ(Π τ Π τ 1 ) φορ τηε πριχε οφ α στοχκ ον α ϖαλυε δατε τ, γιϖεν τηε χυρρεντ πριχε ατ τ 1, ισ κνοων το αλλ ινϖεστορσ. Dεριϖε α φορmυλα φορ τηε πριχε οφ α Χαλλ οπτιον ατ στρικε πριχε Π ιφ αλλ ινϖεστορσ αρε ρισκ νευτραλ. Θυεστιονσ 6 8 ρεφερ το τηε Χαπιταλ Ασσετ Πριχινγ Μοδελ ιν Σεχτιον Τηε ταβλε βελοω γιϖεσ τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιον οφ νεξτ mοντη σ πριχε φορ τηρεε στοχκσ, εαχη οφ ωηιχη ηασ α χυρρεντ πριχε οφ 100. Τηερε αρε νο δεχλαρεδ διϖιδενδσ ιν τηισ mοντη. Τηε ρισκ φρεε ιντερεστ ρατε φορ τηε mοντη ισ Χαλχυλατε τηε mεαν εξχεσσ ρετυρν φορ εαχη στοχκ, ανδ τηε ϖαριανχεσ ανδ χοϖαριανχεσ οφ τηειρ εξχεσσ ρετυρνσ.

19 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 1 16, Παγε 16 Προβαβιλιτψ Στοχκ Α Στοχκ Β Στοχκ Χ Ιφ τηε mαρκετ ισ χοmποσεδ οφ τηε τηρεε στοχκσ δεσχριβεδ ιν Θυεστιον 6, ωιτη αν εθυαλ νυmβερ οφ σηαρεσ οφ εαχη στοχκ ιν τηε mαρκετ, χαλχυλατε τηε εξχεσσ ρετυρν ανδ ϖαριανχε οφ τηε mαρκετ. Χαλχυλατε τηε βετα οφ εαχη στοχκ. 8. Το δεριϖε τηε ΧΑΠ mοδελ δεσχριπτιον οφ τηε οπτιmαλ πορτφολιο, ινστεαδ οφ mινιmιζινγ ϖαριανχε συβϕεχτ το α χονστραιντ ον τηε εξπεχτεδ ρατε οφ ρετυρν, mαξιmιζε τηε εξπεχτεδ ρατε οφ ρετυρν συβϕεχτ το α χονστραιντ ον τηε ϖαριανχε. Γιϖε αν ιντερπρετατιον οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ ιν τηισ φορmυλατιον. Σηοω τηατ ιτ λεαδσ το τηε σαmε χηαραχτεριζατιον οφ τηε οπτιmαλ πορτφολιο ασ βεφορε.

20 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 2 1, Παγε 17 ΧΗΑΠΤΕΡ 2. ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΑΝD ΛΙΝΕΑΡ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΝ Α ΝΥΤΣΗΕΛΛ 2.1. ΣΟΜΕ ΕΛΕΜΕΝΤΣ ΟΦ ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΑΝΑΛΨΣΙΣ Ρεαλ νυmβερσ αρε δενοτεδ βψ λοωερ χασε Γρεεκ ορ Ροmαν νυmβερσ; τηε σπαχε οφ ρεαλ νυmβερσ ισ τηε ρεαλ λινε, δενοτεδ βψ. Τηε αβσολυτε ϖαλυε οφ α ρεαλ νυmβερ α ισ δενοτεδ βψ α. Χοmπλεξ νυmβερσ αρε ραρελψ ρεθυιρεδ ιν εχονοmετριχσ βεφορε τηε στυδψ οφ τιmε σεριεσ ανδ δψναmιχ σψστεmσ. Φορ φυτυρε ρεφερενχε, α χοmπλεξ νυmβερ ισ ωριττεν α + ιβ, ωηερε α ανδ β αρε ρεαλ νυmβερσ ανδ ι ισ τηε σθυαρε ροοτ οφ 1, ωιτη α τερmεδ τηε ρεαλ παρτ ανδ ιβ τερmεδ τηε ιmαγιναρψ παρτ. Τηε χοmπλεξ νυmβερ χαν αλσο βε ωριττεν ασ ρ(χοσ θ + ι σιν θ), ωηερε ρ =(α 2 +β 2 ) 1/2 ισ τηε mοδυλυσ οφ τηε νυmβερ ανδ θ = χοσ 1 (α/ρ). Τηε προπερτιεσ οφ χοmπλεξ νυmβερσ ωε ωιλλ νεεδ ιν βασιχ εχονοmετριχσ αρε τηε ρυλεσ φορ συmσ, (α+ιβ) + (χ+ιδ) = (α+χ)+ι(β+δ), ανδ προδυχτσ, (α+ιβ)(χ+ιδ) = (αβ χδ)+ι(αδ+βχ) Φορ σετσ οφ οβϕεχτσ Α ανδ Β, τηε υνιον Α?Β ισ τηε σετ οφ οβϕεχτσ ιν ειτηερ; τηε ιντερσεχτιον ΑΒ ισ τηε σετ οφ οβϕεχτσ ιν βοτη; ανδ Α Β ισ τηε σετ οφ οβϕεχτσ ιν Α τηατ αρε νοτ ιν Β. Τηε εmπτψ σετ ισ δενοτεδ φ. Σετ ινχλυσιον ισ δενοτεδ Α B Β; ωε σαψ Α ισ χονταινεδ ιν Β. Τηε χοmπλεmεντ οφ α σετ Α (ωηιχη mαψ βε ρελατιϖε το α σετ Β τηατ χονταινσ ιτ) ισ δενοτεδ Α χ. Α φαmιλψ οφ σετσ ισ δισϕοιντ ιφ τηε ιντερσεχτιον οφ εαχη παιρ ισ εmπτψ. Τηε σψmβολ α Α mεανσ τηατ α ισ α mεmβερ οφ Α; ανδ α Α mεανσ τηατ α ισ νοτ α mεmβερ οφ Α. Τηε σψmβολ mεανσ τηερε εξιστσ, τηε σψmβολ mεανσ φορ αλλ, ανδ τηε σψmβολ D mεανσ συχη τηατ. Α προποσιτιον τηατ Α ιmπλιεσ Β ισ δενοτεδ Α Β, ανδ α προποσιτιον τηατ Α ανδ Β αρε εθυιϖαλεντ ισ δενοτεδ Α Β. Τηε προποσιτιον τηατ Α ιmπλιεσ Β, βυτ Β δοεσ νοτ ιmπλψ Α, ισ δενοτεδ Α Β. Τηε πηρασε ιφ ανδ ονλψ ιφ ισ οφτεν αββρεϖιατεδ το ιφφ Α φυνχτιον φ:α $ Β ισ α mαππινγ φροm εαχη οβϕεχτ α ιν τηε δοmαιν Α ιντο αν οβϕεχτ β = φ(α) ιν τηε ρανγε Β. Τηε τερmσ φυνχτιον, mαππινγ, ανδ τρανσφορmατιον ωιλλ βε υσεδ ιντερχηανγεαβλψ. Τηε σψmβολ φ(χ), τερmεδ τηε ιmαγε οφ Χ, ισ υσεδ φορ τηε σετ οφ αλλ οβϕεχτσ φ(α) φορ α Χ. Φορ D B Β, τηε σψmβολ φ 1 (D) δενοτεσ τηε ινϖερσε ιmαγε οφ D: τηε σετ οφ αλλ α Α συχη τηατ φ(α) D. Τηε φυνχτιον φ ισ οντο ιφ Β = φ(α); ιτ ισ ονε το ονε ιφ ιτ ισ οντο ανδ ιφ α,χ Α ανδ α U χ ιmπλιεσ φ(α) U φ(χ). Wηεν φ ισ ονε το ονε, τηε mαππινγ φ 1 ισ α φυνχτιον φροm Β οντο Α. Ιφ Χ B Α, δεφινε τηε ινδιχατορ φυνχτιον φορ Χ, δενοτεδ 1 :Α $, βψ 1 (α) = 1 φορ α Χ, ανδ 1 (α) = 0 οτηερωισε. Τηε νοτατιον 1(αΧ) ισ αλσο υσεδ φορ τηε ινδιχατορ φυνχτιον 1. Α φυνχτιον ισ τερmεδ ρεαλ ϖαλυεδ ιφ ιτσ ρανγε ισ Τηε συπρεmυm οφ Α, δενοτεδ συπ Α, ισ τηε λεαστ υππερ βουνδ ον Α. Α τψπιχαλ αππλιχατιον ηασ α φυνχτιον φ:χ $ ανδ Α = φ(χ); τηεν συπ χχ φ ισ υσεδ το δενοτε συπ Α. Ιφ τηε συπρεmυm ισ αχηιεϖεδ βψ αν οβϕεχτ δ Χ, σο φ(δ) = συπ χχ φ(χ), τηεν ωε ωριτε φ(δ) = mαξ χχ φ(χ). Wηεν τηερε ισ α υνιθυε mαξιmιζινγ αργυmεντ, ωριτε δ = αργmαξ χχ φ(χ). Wηεν τηερε ισ α νον υνιθυε mαξιmιζινγ

21 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 2 2, Παγε 18 αργυmεντ; ωε ωιλλ ασσυmε τηατ αργmαξ χχ φ(χ) ισ α σελεχτιον οφ ανψ ονε οφ τηε mαξιmιζινγ αργυmεντσ. Αναλογουσ δεφινιτιονσ ηολδ φορ τηε ινφιmυm ανδ mινιmυm, δενοτεδ ινφ, mιν, ανδ φορ αργmιν Ιφ α ι ισ α σεθυενχε οφ ρεαλ νυmβερσ ινδεξεδ βψ ι = 1,2,..., τηεν τηε σεθυενχε ισ σαιδ το ηαϖε α λιmιτ (εθυαλ το α ο ) ιφ φορ εαχη C > 0, τηερε εξιστσ ν συχη τηατ α ι α ο < C φορ αλλ ι ν; τηε νοτατιον φορ α λιmιτ ισ λιm ι$ α ι = α ο ορ α ι $ α ο. Τηε Χαυχηψ χριτεριον σαψσ τηατ α σεθυενχε α ι ηασ α λιmιτ ιφ ανδ ονλψ ιφ, φορ εαχη C > 0, τηερε εξιστσ ν συχη τηατ α ι α ϕ < C φορ ι,ϕ ν. Τηε νοτατιον λιmσυπ ι$ α ι mεανσ τηε λιmιτ οφ τηε συπρεmυm οφ τηε σετσ {α ι,α ι+1,...}; βεχαυσε ιτ ισ νονινχρεασινγ, ιτ αλωαψσ εξιστσ (βυτ mαψ εθυαλ + ορ ). Αν αναλογουσ δεφινιτιον ηολδσ φορ λιmινφ Α ρεαλ ϖαλυεδ φυνχτιον ρ(α,β) δεφινεδ φορ παιρσ οφ οβϕεχτσ ιν α σετ Α ισ α διστανχε φυνχτιον ιφ ιτ ισ νον νεγατιϖε, γιϖεσ α ποσιτιϖε διστανχε βετωεεν αλλ διστινχτ ποιντσ οφ Α, ηασ ρ(α,β) = ρ(β,α), ανδ σατισφιεσ τηε τριανγλε ινεθυαλιτψ ρ(α,β) ρ(α,χ) + ρ(χ,β). Α σετ Α ωιτη α διστανχε φυνχτιον ρ ισ τερmεδ α mετριχ σπαχε. Α ρεαλ ϖαλυεδ φυνχτιον α δεφινεδ φορ οβϕεχτσ ιν α σετ Α ισ α νορm ιφ α β ηασ τηε προπερτιεσ οφ α διστανχε φυνχτιον. Α τψπιχαλ εξαmπλε ισ τηε ρεαλ λινε, ωιτη τηε αβσολυτε ϖαλυε οφ τηε διφφερενχε οφ τωο νυmβερσ τακεν ασ τηε διστανχε βετωεεν τηεm; τηεν ισ α mετριχ σπαχε ανδ α νορmεδ σπαχε. Α (C )νειγηβορηοοδ οφ α ποιντ α ιν α mετριχ σπαχε Α ισ α σετ οφ τηε φορm {βα ρ(α,β) < C}. Α σετ Χ B Α ισ οπεν ιφ φορ εαχη ποιντ ιν Χ, σοmε νειγηβορηοοδ οφ τηισ ποιντ ισ αλσο χονταινεδ ιν Χ. Α σετ Χ B Α ισ χλοσεδ ιφ ιτσ χοmπλεmεντ ισ οπεν. Τηε χλοσυρε οφ α σετ Χ ισ τηε ιντερσεχτιον οφ αλλ χλοσεδ σετσ τηατ χονταιν Χ. Τηε ιντεριορ οφ Χ ισ τηε υνιον οφ αλλ οπεν σετσ χονταινεδ ιν Χ; ιτ χαν βε εmπτψ. Α χοϖερινγ οφ α σετ Χ ισ α φαmιλψ οφ οπεν σετσ ωηοσε υνιον χονταινσ Χ. Τηε σετ Χ ισ σαιδ το βε χοmπαχτ ιφ εϖερψ χοϖερινγ χονταινσ α φινιτε συβ φαmιλψ ωηιχη ισ αλσο α χοϖερινγ. Α φαmιλψ οφ σετσ ισ σαιδ το ηαϖε τηε φινιτε ιντερσεχτιον προπερτψ ιφ εϖερψ φινιτε συβ φαmιλψ ηασ α νον εmπτψ ιντερσεχτιον. Ανοτηερ χηαραχτεριζατιον οφ α χοmπαχτ σετ ισ τηατ εϖερψ φαmιλψ οφ χλοσεδ συβσετσ ωιτη τηε φινιτε ιντερσεχτιον προπερτψ ηασ α νον εmπτψ ιντερσεχτιον. Α mετριχ σπαχε Α ισ σεπαραβλε ιφ τηερε εξιστσ α χουνταβλε συβσετ Β συχη τηατ εϖερψ νειγηβορηοοδ χονταινσ α mεmβερ οφ Β. Αλλ οφ τηε mετριχ σπαχεσ ενχουντερεδ ιν εχονοmετριχσ ωιλλ βε σεπαραβλε. Α σεθυενχε α ι ιν α σεπαραβλε mετριχ σπαχε Α ισ χονϖεργεντ (το α ποιντ α ο ) ιφ τηε σεθυενχε ισ εϖεντυαλλψ χονταινεδ ιν εαχη νειγηβορηοοδ οφ α; ωε ωριτε α ι $ α ο ορ λιm ι$ α ι = α ο το δενοτε α χονϖεργεντ σεθυενχε. Α σετ Χ B Α ισ χοmπαχτ ιφ ανδ ονλψ ιφ εϖερψ σεθυενχε ιν Χ ηασ α χονϖεργεντ συβσεθυενχε (ωηιχη χονϖεργεσ το α χλυστερ ποιντ οφ τηε οριγιναλ σεθυενχε) Χονσιδερ σεπαραβλε mετριχ σπαχεσ Α ανδ Β, ανδ α φυνχτιον φ:α $ Β. Τηε φυνχτιον φ ισ χοντινυουσ ον Α ιφ τηε ινϖερσε ιmαγε οφ εϖερψ οπεν σετ ισ οπεν. Ανοτηερ χηαραχτεριζατιον οφ χοντινυιτψ ισ τηατ φορ ανψ σεθυενχε σατισφψινγ α ι $ α ο, ονε ηασ φ(α ι ) $ φ(α ο ); τηε φυνχτιον ισ σαιδ το βε χοντινυουσ ον Χ B Α ιφ τηισ προπερτψ ηολδσ φορ εαχη α ο Χ. Στατεδ ανοτηερ ωαψ, φ ισ χοντινυουσ ον Χ ιφ φορ εαχη C > 0 ανδ α Χ, τηερε εξιστσ δ > 0 συχη τηατ φορ εαχη β ιν α δ νειγηβορηοοδ οφ α, φ(β) ισ ιν α C νειγηβορηοοδ οφ φ(α). Φορ ρεαλ ϖαλυεδ φυνχτιονσ ον σεπαραβλε mετριχ σπαχεσ, τηε χονχεπτσ οφ συπρεmιυm ανδ λιmσυπ δεφινεδ εαρλιερ φορ σεθυενχεσ ηαϖε α νατυραλ εξτενσιον: συπ αα φ(α) δενοτεσ

22 ΜχΦαδδεν, Στατιστιχαλ Τοολσ, 2000 Χηαπτερ 2 3, Παγε 19 τηε λεαστ υππερ βουνδ ον τηε σετ {φ(α)αα}, ανδ λιmσυπ α$β φ(α) δενοτεσ τηε λιmιτ ασ C $ 0 οφ τηε συπρεmα οφ φ(α) ον C νειγηβορηοοδσ οφ β. Αναλογουσ δεφινιτιονσ ηολδ φορ ινφ ανδ λιmινφ. Α ρεαλ ϖαλυεδ φυνχτιον φ ισ χοντινυουσ ατ β ιφ λιmσυπ α$β φ(α) = λιmινφ α$β φ(α). Χοντινυιτψ οφ ρεαλ ϖαλυεδ φυνχτιονσ φ ανδ γ ισ πρεσερϖεδ βψ τηε οπερατιονσ οφ αβσολυτε ϖαλυε φ(α), mυλτιπλιχατιον φ(α)γ(α), αδδιτιον φ(α)+γ(α), ανδ mαξιmιζατιον mαξ{φ(α),γ(α)} ανδ mινιmιζατιον mιν{φ(α),γ(α)}. Τηε φυνχτιον φ ισ υνιφορmλψ χοντινυουσ ον Χ ιφ φορ εαχη C > 0, τηερε εξιστσ δ > 0 συχη τηατ φορ αλλ α Χ ανδ β Α ωιτη β ιν α δ νειγηβορηοοδ οφ α, ονε ηασ φ(β) ιν α C νειγηβορηοοδ οφ φ(α). Τηε διστινχτιον βετωεεν χοντινυιτψ ανδ υνιφορm χοντινυιτψ ισ τηατ φορ τηε λαττερ α σινγλε δ > 0 ωορκσ φορ αλλ α Χ. Α φυνχτιον τηατ ισ χοντινυουσ ον α χοmπαχτ σετ ισ υνιφορmλψ χοντινυουσ. Τηε φυνχτιον φ ισ Λιπσχηιτζ ον Χ ιφ τηερε εξιστ Λ > 0 ανδ δ > 0 συχη τηατ φ(β) φ(α) Λ(ρ(α,β) φορ αλλ α Χ ανδ β Α ωιτη β ιν α δ νειγηβορηοοδ οφ α Χονσιδερ α ρεαλ ϖαλυεδ φυνχτιον φ ον. Τηε δεριϖατιϖε οφ φ ατ α ο, δενοτεδ φ(α ο ), φ(α ο ), ορ δφ(α ο )/δα, ηασ τηε προπερτψ ιφ ιτ εξιστσ τηατ φ(β) φ(α ο ) φ(α ο )(β α ο ) C(β α ο )(β α ο ), ωηερε λιm χ$0 C = 0. Τηε φυνχτιον ισ χοντινυουσλψ διφφερεντιαβλε ατ α ο ιφ φ ισ α χοντινυουσ φυνχτιον ατ α ο. Ιφ α φυνχτιον ισ κ τιmεσ χοντινυουσλψ διφφερεντιαβλε ιν α νειγηβορηοοδ οφ α ποιντ α ο, τηεν φορ β ιν τηισ νειγηβορηοοδ ιτ ηασ α Ταψλορ σ εξπανσιον κ (βα φ(β) = φ (ι) (α ο ) ο ) ι (βα + φ (κ) (λβ(1λ)α, ι! ο ) φ (κ) (α ο ) ο ) κ κ! ι0 ωηερε φ (ι) δενοτεσ τηε ι τη δεριϖατιϖε, ανδ λ ισ α σχαλαρ βετωεεν ζερο ανδ ονε. Ιφ λιm ι$ α ι = α ο ανδ φ ισ α χοντινυουσ φυνχτιον ατ α ο, τηεν λιm ι$ φ(α ι ) = φ(α ο ). Ονε υσεφυλ ρεσυλτ φορ λιmιτσ ισ Λ Ηοπιταλ σ ρυλε, ωηιχη στατεσ τηατ ιφ φ(1/ν) ανδ γ(1/ν) αρε φυνχτιονσ τηατ αρε χοντινυουσλψ διφφερεντιαβλε ατ ζερο ωιτη φ(0) = γ(0) = 0, σο τηατ φ(ν)/γ(ν) αππροαχηεσ τηε ινδετερmινατε εξπρεσσιον 0/0, ονε ηασ λιm ν$ φ(ν)/γ(ν) = φ(0)/γ(0), προϖιδεδ τηε λαστ ρατιο εξιστσ Ιφ α ι φορ ι = 0,1,2,... ισ α σεθυενχε οφ ρεαλ νυmβερσ, τηε παρτιαλ συmσ σ ν = α ι δεφινε ν ι0 α σεριεσ. Wε σαψ τηε σεθυενχε ισ συmmαβλε, ορ τηατ τηε σεριεσ ισ χονϖεργεντ, ιφ λιm ν2 σ ν εξιστσ ανδ ισ φινιτε. Αν εξαmπλε ισ τηε γεοmετριχ σεριεσ α ι = ρ ι, ωηιχη ηασ σ ν = (1 ρ ν+1 )/(1 ρ) ιφ ρ U 1. Wηεν ρ < 1, τηισ σεριεσ ισ χονϖεργεντ, ωιτη τηε λιmιτ 1/(1 ρ). Wηεν ρ < 1 ορ ρ 1, τηε σεριεσ διϖεργεσ. Ιν τηε βορδερλινε χασε ρ = 1, τηε σεριεσ αλτερνατεσ βετωεεν 0 ανδ 1, σο τηε λιmιτ δοεσ νοτ εξιστ. Αππλψινγ τηε Χαυχηψ χριτεριον, α συmmαβλε σεθυενχε ηασ λιm νl α ν = 0 ανδ λιm νl ιν α ι = 0. Α σεθυενχε σατισφιεσ α mορε γενεραλ φορm οφ συmmαβιλιτψ, χαλλεδ Χεσαρο συmmαβιλιτψ, ιφ λιm νl ν 1 ν ι0 α ι εξιστσ. Συmmαβιλιτψ ιmπλιεσ Χεσαρο συmmαβιλιτψ, βυτ νοτ ϖιχε ϖερσα. Α υσεφυλ ρεσυλτ κνοων ασ