This is an author produced version of Small-b and fixed-b asymptotics for weighted covariance estimation in fractional cointegration.

Transcript

1 This is an author produced version of Small-b and fixed-b asymptotics for weighted covariance estimation in fractional cointegration. White Rose Research Online URL for this paper: Article: Hualde, Javier and Iacone, Fabrizio orcid.org/ (215) Small-b and fixed-b asymptotics for weighted covariance estimation in fractional cointegration. Journal of Time Series Analysis. pp ISSN promoting access to White Rose research papers

2 Σmαλλ β ανδ ξεδ β ασψmπτοτιχσ φορ ωειγητεδ χοϖαριανχεεστιmατιονινφραχτιοναλχοιντεγρατιον ϑαϖιερ Ηυαλδε Υνιϖερσιδαδ Π βλιχα δε Ναϖαρρα ΦαβριζιοΙαχονε ψ Υνιϖερσιτψ οφ Ψορκ Νοϖεmβερ 14, 214 Αβστραχτ Ιν α στανδαρδ χοιντεγρατινγ φραmεωορκ, Πηιλλιπσ(1991) ιντροδυχεδ τηε ωειγητεδ χοϖαριανχε(wχ) εστιmατορ οφ χοιντεγρατινγ παραmετερσ. Λατερ, Μαρινυχχι(2) αππλιεδ τηισ εστιmατορ το ϖαριουσ φραχτιοναλ χιρχυmστανχεσ ανδ, λικε Πηιλλιπσ(1991), αναλψζεδ τηε σο χαλλεδ σmαλλ β ασψmπτοτιχ αππροξιmατιον το ιτσ σαmπλινγ διστριβ υτιον. Ρεχεντλψ, αν αλτερνατιϖε λιmιτινγ τηεορψ ηασ βεεν συχχεσσφυλλψ εmπλοψεδ το αππροξιmατε τηε σαmπλινγ διστριβυτιον οφ νονπαραmετριχ εστιmατορσ οφ σπεχτραλ δενσιτιεσ ανδ λονγ ρυν χοϖαριανχε mατριχεσ mορε αχχυρατελψ τηαν βψ τραδιτιοναλ ασψmπτοτιχσ. Τηισ ηασ βεεν ναmεδ ξεδ β ασψmπτοτιχσ, ανδ τηε παρτιχυλαρ φορm οφ τηεwχεστιmατορmακεσιτανιδεαλχανδιδατεφορτηεαππλιχατιονοφτηιστψπεοφ τηεορψ. Τηυσ,ιντηισπαπερωεδεριϖετηε ξεδ βλιmιτοφwχεστιmατορσιναφραχ τιοναλ σεττινγ, λλινγ αλσο σοmε γαπσ ιν τηε τραδιτιοναλ(σmαλλ β) τηεορψ. Αδδιτιον αλλψ, ωε χοmπαρε τηε σmαλλ β ανδ ξεδ β λιmιτινγ αππροξιmατιονσ το τηε σαmπλινγ διστριβυτιον οφ α WΧ εστιmατορ βψ mεανσ οφ α Μοντε Χαρλο εξπεριmεντ, νδινγ τηατ τηε ξεδ β λιmιτ ισ mορε αχχυρατε. Κεψωορδσ: Φραχτιοναλ χοιντεγρατιον, ρστ σταγε mετηοδσ, σmαλλ β ανδ ξεδ β ασψmπτοτιχ τηεορψ. ϑελ χλασσι χατιον: Χ32 Wε τηανκ Πετερ Πηιλλιπσ ανδ Ροβερτ Ταψλορ φορ ηελπφυλ συγγεστιονσ ανδ δισχυσσιονσ. Wε αρε αλσο γρατεφυλ φορ τηε χοmmεντσ οφ τωο ρεφερεεσ ωηιχη ηαϖε λεδ το χρυχιαλ ιmπροϖεmεντσ ιν τηε παπερ. ϑαϖιερ Ηυαλδε σ ρεσεαρχη ισ συππορτεδ βψ τηε Σπανιση Μινιστεριο δε Χιενχια ε Ιννοϖαχι ν τηρουγη ΕΧΟ ψ Χορρεσπονδινγαυτηορ: ΦαβριζιοΙαχονε,DεπαρτmεντοφΕχονοmιχσανδΡελατεδΣτυδιεσ,Υνιϖερσιτψ οφ Ψορκ, Ηεσλινγτον, Ψορκ, ΨΟ1 5DD, ΥΚ.

3 1. ΙΝΤΡΟDΥΧΤΙΟΝ Φιξεδ β ασψmπτοτιχσ ηαϖε βεεν εmπλοψεδ το αππροξιmατε τηε σαmπλινγ διστριβυτιον οφ νονπαραmετριχ εστιmατορσ οφ σπεχτραλ δενσιτιεσ ανδ λονγ ρυν χοϖαριανχε mατριχεσ mορε αχχυρατελψ τηαν βψ τραδιτιοναλ ασψmπτοτιχσ. Τηεσε εστιmατορσ δεπενδ τψπιχαλλψ ον τηε σαmπλε σιζε Τ ανδ ον α βανδωιδτη Μ. Τηε ιδεα, ιντροδυχεδ βψ Νεαϖε (197), ισ το αναλψζετηελιmιτοφτηεεστιmατορσωηενμ=τ!β2(;1]αστ!1. Τηισισβεχαυσε, αλτηουγη σεττινγ Μ=Τ! mακεσ ιτ ποσσιβλε το οβταιν χονσιστεντ εστιmατορσ οφ τηε σπεχτραλ δενσιτψ (ορ οφ τηε λονγ ρυν ϖαριανχε) οφ ωεακλψ δεπενδεντ προχεσσεσ, ιν ανψ πραχτιχαλ σιτυατιον α νον ζερο φραχτιον Μ=Τ ισ υσεδ: ξινγ τηε προπορτιον Μ=Τ χουλδ τηερεφορε ψιελδ α βεττερ αππροξιmατιον το τηε λιmιτ διστριβυτιον οφ τηε εστιmατορ. Κιεφερ ανδ ςογελσανγ(25) δεριϖεδ τηε ξεδ β λιmιτ οφ τηε εστιmατορ οφ τηε λονγ ρυν ϖαριανχε ανδ σηοωεδ τηατ ιν mοστ σχεναριοσ ιτ ρεπρεσεντσ αν ιmπροϖεmεντ οϖερ τηε αππροξιmατιον οβταινεδ βψ σεττινγ Μ=Τ! (τηε σο χαλλεδ σmαλλ β ασψmπτοτιχσ). Βυνζελ ανδ ςογελσανγ (25) σηοωεδ τηατ τηε ξεδ β αππροξιmατιον το τηε λονγ ρυν ϖαριανχε ισ αλσο χονϖενιεντ ωηεν mακινγ ινφερενχε ον α τρενδ ιν πρεσενχε οφ α ποτεντιαλ (βυτ νοτ χερταιν) υνιτ ροοτ, βεχαυσε τηε Wαλδ στατιστιχ ηασ νον δεγενερατε λιmιτ διστριβυτιον ρεγαρδλεσσ οφ τηε ε εχτιϖε εξιστενχε οφ σαιδ υνιτ ροοτ. Ιαχονε, Λεψβουρνε ανδ Ταψλορ(213) εξπλοιτεδ τηισ σελφ νορmαλιζατιον προπερτψ οφ τηε Wαλδ στατιστιχ ιν τηε χοντεξτ οφ τεστινγ φορ α βρεακ ιν τηε σλοπε ιν τηε πρεσενχε οφ ρεσιδυαλσ τηατ mαψ αλσο βε φραχτιοναλλψ ιντεγρατεδ. Φοχυσινγ ον τηε σινγλε εθυατιον στανδαρδ χοιντεγρατιον σεττινγ (ωιτη υνιτ ροοτ οβ σερϖαβλεσ ανδ ωεακ δεπενδεντ χοιντεγρατινγ ερρορσ), φεω ωορκσ ηαϖε εmπλοψεδ ξεδ β ασψmπτοτιχσ ιν τηε χοιντεγρατιον λιτερατυρε. Φιρστ, Βυνζελ (26) αναλψζεδ τηε ξεδ β λιmιτ οφ α Wαλδ τεστ στατιστιχ βασεδ ον τηε δψναmιχ ορδιναρψ λεαστ σθυαρεσ(dολσ) εσ τιmατορ οφ τηε χοιντεγρατιον παραmετερ ανδ ον α ωειγητεδ χοϖαριανχε εστιmατορ οφ τηε χορρεσπονδινγ λονγ ρυν ϖαριανχε, ιγνορινγ, ηοωεϖερ, τηε ιmπαχτ οφ λεαδ ανδ λαγ χηοιχεσ ον τηε ιmπλεmεντατιον οφ τηε DΟΛΣ. ϑιν, Πηιλλιπσ ανδ Συν(26) δεριϖεδ α ξεδ β τηε ορψ φορ τεστσ βασεδ ον τηε φυλλψ mοδι εδ ΟΛΣ(ΦΜ ΟΛΣ) εστιmατορ, αλτηουγη ρεθυιρινγ στανδαρδ χονσιστενχψ ρεσυλτσ ωηιχη, ιν παρτιχυλαρ, ιγνορε τηε ιmπαχτ οφ χηοιχεσ οφ τυνινγ παραmετερσ. Τηυσ τηε τψπε οφ ξεδ β τηεορψ δεϖελοπεδ βψ τηεσε τωο παπερσ ηασ βεεν δενοτεδ βψ ςογελσανγ ανδ Wαγνερ(214) ασ παρτιαλ. Ιν φαχτ, ςογελσανγ ανδ Wαγνερ (214) δεϖελοπεδ τηε χοmπλετε ξεδ β λιmιτ οφ ΦΜ ΟΛΣ, ωηιχη δεπενδσ ον α χοmπλι χατεδ mαννερ υπον νυισανχε παραmετερσ. Αδδιτιοναλλψ, τηεψ προποσεδ α νεω εστιmατορ οφ τηε χοιντεγρατιον παραmετερ (ιντεγρατεδ mοδι εδ ΟΛΣ), ωηιχη δοεσ νοτ δεπενδ ον χηοιχεσ οφ τυνινγ παραmετερσ, ανδ δισχυσσεδ ξεδ β ινφερενχε φορ Wαλδ στατιστιχσ βασεδ ον τηισ εστιmατορ. ΙντηεσπιριτοφςογελσανγανδWαγνερ(214),ωεεξαmινειντηεπρεσεντπαπερτηε 2

4 ξεδ β αππροξιmατιον το τηε διστριβυτιον οφ αν αλτερνατιϖε εστιmατορ οφ τηε χοιντεγρατιον παραmετερ: τηε ωειγητεδ χοϖαριανχε(wχ) εστιmατορ προποσεδ βψ Πηιλλιπσ(1991) φορ τηε στανδαρδ χοιντεγρατιον χασε, ανδ λατερ αναλψζεδ βψ Μαρινυχχι(2) ιν ϖαριουσ φραχτιοναλ χιρχυmστανχεσ. Τηισ εστιmατορ ισ mοτιϖατεδ βψ τηε χονσιδερατιον τηατ α χοιντεγρατιον παραmετερ ισ α ρατιο βετωεεν αππροπριατε λονγ ρυν χοϖαριανχε ανδ ϖαριανχε, ανδ τηερεφορε ιτσ εστιmατιον χαν βε νατυραλλψ βασεδ ον ωειγητεδ χοϖαριανχεσ. Τηυσ, ωηιλε Πηιλλιπσ (1991) ανδ Μαρινυχχι(2) αναλψζεδ τηε τραδιτιοναλ(σmαλλ β) λιmιτινγ αππροξιmατιον το τηε διστριβυτιον οφ τηε εστιmατορ ιmποσινγ (ατ λεαστ) Μ = ο(τ), τηε φορm οφ τηε εστιmατορ οπενσ τηε δοορ το χονσιδερινγ αλσο ιτσ ξεδ β αππροξιmατιον. Ιν ϖιεω οφ τηε εϖιδενχε προϖιδεδ βψ τηε ξεδ β λιτερατυρε, χοmπαρινγ τηε ξεδ β αππροξιmατιον το τηε τραδιτιοναλ, σmαλλ β, ονε αππεαρσ το βε αν ιντερεστινγ εξερχισε, ωηιχη mιγητ σηεδ αδδιτιοναλ λιγητ ον τηε αδϖανταγεσ οφ τηε ξεδ β λιmιτσ ιν τερmσ οφ τηε αχχυραχψ. Τηε πυρποσε οφ τηισ παπερ ισ τηερεφορε τωοφολδ. Φιρστ, ωε δεριϖε τηε ξεδ β λιmιτσ οφ τωο WΧ εστιmατορσ ιν α φραχτιοναλ σεττινγ, λλινγ αλσο σοmε γαπσ ιν τηε τραδιτιοναλ (σmαλλ β) λιmιτ τηεορψ ωηιχη ωερε νοτ χοϖερεδ βψ Μαρινυχχι(2). Τηισ ισ οφ πραχτιχαλ ιmπορτανχεονιτσοωνβεχαυσετηεwχεστιmατορmαψβεινχλυδεδιντηεχλασσοφ ρστ σταγε εστιmατορσ (σεε Ηυαλδε ανδ Ιαχονε, 212). Σεχονδ, ωε χοmπαρε τηε αχχυραχψ οφ τηε σmαλλ β ανδ ξεδ β αππροξιmατιονσ ρελατιϖε το τηε σαmπλινγ διστριβυτιον οφ ονε οφ τηεwχεστιmατορσβψmεανσοφαμοντεχαρλοεξπεριmεντ. Νιχελψ,ωε νδτηατ,ατλεαστ ιν τηε δι ερεντ σχεναριοσ χοϖερεδ βψ ουρ εξπεριmεντ, τηε χονϕεχτυρε συππορτεδ βψ τηε λιτερατυρε τηατ τηε ξεδ β λιmιτ ισ mορε αχχυρατε ισ ϖερι εδ. Τηεσε ρεσυλτσ mιγητ αππεαρ το βε οφ λιmιτεδ εmπιριχαλ ρελεϖανχε, βεχαυσε τηε λιmιτ διστριβυτιον οφ τηε WΧ εστιmατορ ισ νοτ φρεε οφ νυισανχε παραmετερσ ανδ τηερεφορε ιτ ισ νοτ συιταβλε φορ στατιστιχαλ ινφερενχε. Ηοωεϖερ, εϖιδενχε σηοωινγ τηατ τηε ξεδ β αππροξιmατιον ισ mορε αχχυρατε τηαν τηε τραδιτιοναλ ονε mιγητ συππορτ τηε εmπιριχαλ ρελεϖανχε οφ αππροπριατε mοδι χατιονσ οφ τηε WΧ εστιmατορ, ωηιχη ωουλδ λεαδ το Wαλδ τεστ στατιστιχσ ωιτη πιϖοταλ ξεδ β λιmιτσ. Τηισ αππεαρστοβεεσπεχιαλλψρελεϖαντινϖιεωοφτηεσιζεπροβλεmσδισπλαψεδβψτηεwαλδτεστ στατιστιχσ βασεδ ον σεχονδ σταγε εστιmατορσ (λικε τηοσε οφ Ροβινσον ανδ Ηυαλδε, 23 ορ Ηυαλδε ανδ Ροβινσον, 21), ωηοσε στανδαρδ λιmιτινγ διστριβυτιον ισ πιϖοταλ. Wε αδδρεσσ βριε ψ τηισ ισσυε ιν Ρεmαρκ 6 βελοω. Ινχιδενταλλψ, ουρ ρεσυλτσ αρε χοννεχτεδ το α ρελατεδ προβλεm: τηε δετερmινατιον οφ τηε λιmιτινγ βεηαϖιουρ οφ τηε ναρροω βανδ λεαστ σθυαρεσ (ΝΒΛΣ) εστιmατορ ωιτη ξεδ βανδωιδτη. Τηε τραδιτιοναλ λιmιτ τηεορψ(ωιτη βανδωιδτη τενδινγ το 1) ισ προϖιδεδ βψ Ροβινσον ανδ Μαρινυχχι (21, 23), ωηο χονϕεχτυρεδ τηατ α φαστερ χονϖεργενχε ρατε (λικε τηατ ιν Τηεορεm 1 βελοω) ισ ατταιναβλε ιν χερταιν χιρχυmστανχεσ βψ ηολδινγ τηε βανδωιδτη ξεδ ιν ΝΒΛΣ εστιmατιον. Χηεν ανδ Ηυρϖιχη (23) ϖερι εδ τηισ χονϕεχ 3

5 τυρε φορ τηειρ ταπερεδ ΝΒΛΣ εστιmατορ υσινγ δι ερενχεδ δατα, ανδ ωε προϖιδε φυρτηερ (ηευριστιχ) εϖιδενχε. Wε ιντροδυχε τηε WΧ εστιmατορσ ιν Σεχτιον 2, ωηερε ωε αλσο δεριϖε τηειρ ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιονσ, ανδ σηοω τηατ τηεψ αλωαψσ αχηιεϖε τηε φαστεστ χονϖεργενχε ρατε ιν τηε χλασσ οφ ρστ σταγε σεmιπαραmετριχ εστιmατορσ. Ιν Σεχτιον 3, ωε χοmπαρε τηε σmαλλ β ανδ ξεδ β λιmιτινγ αππροξιmατιονσ το τηε σαmπλινγ διστριβυτιον οφ α WΧ εστιmατορ βψ mεανσ οφ α Μοντε Χαρλο εξπεριmεντ. Ιν Σεχτιον 4, ωε χονχλυδε. Τηε προοφσ οφ τηε τηεορεmσ αρε γιϖεν ιν τηε Αππενδιξ. 2. ΣΜΑΛΛ β ΑΝD ΦΙΞΕD β ΛΙΜΙΤΣ ΟΦ WΧ ΕΣΤΙΜΑΤΟΡΣ Wε χονσιδερ α σινγλε εθυατιον φραχτιοναλ χοιντεγρατιον φραmεωορκ. Φορ τ = ; 1;:::;,, λετ τ = 1;τ ;2;τ πριmε δενοτινγ τρανσποσιτιον, βε α π1 ζερο mεαν χοϖαριανχε στατιοναρψπροχεσσσυχητηατπ2,ωηερε 1;τ ισσχαλαρανδ τ ηασσπεχτραλδενσιτψ νιτε ανδνονσινγυλαραταλλφρεθυενχιεσ;δε νεε τ ανδξ τ ασ ε τ = 1 1;τ 1(τ>),ξ τ =+ 2 2;τ 1(τ>), (1) ωηερε ισ α γενεριχ χονσταντ ϖεχτορ, 1(Σ) δενοτεσ τηε ινδιχατορ φυνχτιον, ωηιχη τακεσ ϖαλυε 1 ιφ τηε στατεmεντ Σ ισ τρυε, οτηερωισε, ανδ Λ ισ τηε λαγ οπερατορ, σο τηατ = 1 Λ. Φορ δ, δ χαν βε εξπανδεδ ασ (1 Λ) δ = Π 1 τ= (δ) τ Λ τ, ωηερε (δ) τ = (τ+δ)=( (δ) (τ+1)), (:)βεινγτηεγαmmαφυνχτιον(ωιτητηεχονϖεντιονσ ()=1, ()= ()=1). Wεασσυmετηαττηερανδοmϖεχτορ(ψ τ ;ξ τ) ισοβσερϖαβλε αττ=1;:::;τ,ανδ ψ τ =+ ξ τ +ε τ,ωιτη 1 < 2. (2) Νοτε τηατ βοτη ανδ πλαψ αν ιmπορταντ ρολε ιν τηε mοδελ. Ιν παρτιχυλαρ αλλοωσ ξ τ το ποτεντιαλλψ ηαϖε α νον ζερο mεαν (ιφ 6= ). Σιmιλαρλψ, τηε πρεσενχε οφ γιϖεσ εξιβιλιτψτοτηεmοδελ. Φορεξαmπλε,ιφωερενοτπρεσεντ,=ωουλδιmmεδιατελψ ιmπλψτηατνοτονλψξ τ ηασζεροmεανβυταλσοψ τ. Τηισmιγητβερεστριχτιϖε,ανδωεαλλοω φορ mορε γενεραλιτψ. Αλσο, ψ τ ανδ ξ τ αρε φραχτιοναλλψ ιντεγρατεδ (σεε, ε.γ., Ηυαλδε ανδ Ιαχονε,212). Ινπαρτιχυλαρ,τηεινδιϖιδυαλχοmπονεντσοφξ τ αρει( 2 )ανδ,ιφ6=,ψ τ ισαλσοι( 2 ),ωηερεασε τ ισι( 1 ). Φυρτηερmορε,ψ τ ανδξ τ αρεφραχτιοναλλψχοιντεγρατεδ, βεχαυσετηελινεαρχοmβινατιονψ τ ξ τ ρεδυχεστηειντεγρατιονορδεροφτηεοβσερϖαβλεσ. Νοτιχετηατιφ=,ψ τ ισι( 1 )ανδτηεχοιντεγρατιονιστριϖιαλ. Ουρ ασσυmπτιονσ ιmπλψ τηατ ιφ π > 2, γιϖεν τηε νονσινγυλαριτψ οφ τηε σπεχτραλ δενσιτψ οφ 2;τ,τηεινδιϖιδυαλχοmπονεντσοφξ τ χαννοτχοιντεγρατε(σεε,ε.γ.,νιελσενανδφρεδ ερικσεν, 211, π.83). Τηυσ,(2) ιmπλιεσ τηατ τηε χοιντεγρατινγ ρανκ ισ 1. Εξτενσιονσ το mορε χοmπλιχατεδ σεττινγσ, αλλοωινγ φορ ηιγηερ χοιντεγρατινγ ρανκσ ανδ τηε ποσσιβιλιτψ οφ 4

6 mυλτιχοιντεγρατιον, χαν βε αχχουντεδ φορ ασ ιν Ηυαλδε ανδ Ροβινσον(21) ορ Ηυαλδε ανδ Ιαχονε (212). Ηοωεϖερ, φορ σιmπλιχιτψ, ωε ϕυστ χονσιδερ α σινγλε εθυατιον mοδελ, ωηιχη, ιν ανψ χασε, ισ ϖερψ στανδαρδ ιν τηε λιτερατυρε(σεε, ε.γ., Μαρινυχχι, 2, Ροβινσον ανδ Μαρινυχχι, 21, Ροβινσον ανδ Ηυαλδε, 23, Νιελσεν ανδ Φρεδερικσεν, 211). Ινϖιεωοφτηετρυνχατιονσοντηεριγητ ηανδσιδεσοφ(1),ξ τ ανδε τ αρενονστατιοναρψ προχεσσεσ. Wηεν 2 < 1=2, ιτ ισ ποσσιβλε το αϖοιδ τηε τρυνχατιονσ ιν (1) ανδ δε νε ε τ = 1 1;τ, ξ τ = + 2 2;τ, σο τηατ προχεσσεσ ξ τ ανδ ε τ αρε στατιοναρψ: ξ τ ανδ ε τ αρευσυαλλψρεφερρεδτοαστψπειιφραχτιοναλλψιντεγρατεδπροχεσσεσ, ωηιλεξ τ ανδε τ αρε Τψπε Ι. Σιmιλαριτιεσ ανδ δι ερενχεσ φορ τηεσε τωο τψπεσ ηαϖε βεεν αναλψζεδ βψ, ε.γ., ΜαρινυχχιανδΡοβινσον(1999). Νοτιχετηατφορ 2 >1=2αδι ερενττρυνχατιονισστιλλ νεχεσσαρψ το δε νε τηε Τψπε Ι ξ τ, ανδ τηισ αλσο ηολδσ τρυε το δε νε ε τ φορ 1 > 1=2. Wε τηεν πρεφερ τηε νοτατιον φορ Τψπε ΙΙ φραχτιοναλλψ ιντεγρατεδ προχεσσ βεχαυσε ιτ αλλοωσ α mορε υνιφορm τρεατmεντ. Αδmιττεδλψ, ουρ mοδελ, ωηιχη σετσ αλλ ινιτιαλ χονδιτιονσ το ζερο(ορ χονσταντσ), λαχκσ εmπιριχαλ πλαυσιβιλιτψ, βυτ σεττινγ αππροπριατελψ βουνδεδ ινιτιαλ ϖαλυεσ ασ ιν ϑοηανσεν ανδ Νιελσεν(212α) λεαδσ εθυαλλψ το ουρ Τψπε ΙΙ λιmιτινγ ρεσυλτσ. Wε ιντροδυχε τηε WΧ εστιmατορσ οφ. Λετ κ(ξ) βε α κερνελ φυνχτιον σατισφψινγ κ(ξ)=κ( ξ),κ()=1,ϕκ(ξ)ϕ1,κ(ξ)χοντινυουσατξ=ανδ Ρ 1 κ(ξ) 2 δξ<1. Φορτωογενεριχσεθυενχεσ τ, τ,ωιτησαmπλεmεανσ=τ 1Π Τ τ=1 τ,=τ 1Π Τ τ=1 τ, χονσιδερ τ = τ, τ = τ, ορ τ = τ, τ = τ, ανδ δε νε σαmπλε χοϖαριανχεσ χ (λ) = Τ 1Π Τ λ τ=1 τ τ+λ φορ λ ; = Τ 1Π Τ τ=1 λ τ τ+λ φορ λ <. Τηεν ιφ τ = τ, τ = τ,λετχ (λ)=χ (λ),ωηερεασιφ τ = τ, τ = τ,λετεχ (λ)=χ (λ). Dε νε = ΠΤ 1 1 Π Τ 1 λ= Τ+1 κ(λ=μ)χ ξξ(λ) λ= Τ+1 κ(λ=μ)χ ξψ(λ); (3) ωηερε1μ Τ ανδ δε νεσβ ορε,δεπενδινγονωηετηερσαmπλεχοϖαριανχεσχορ εχ αρε υσεδ, ρεσπεχτιϖελψ. Νοτε τηατ β ισ α σιmπλε mυλτιϖαριατε εξτενσιον οφ Μαρινυχχι σ (2) εστιmατορ, ε αχχουντινγ φορ τηε ποσσιβιλιτψ τηατ ιν(2) mιγητ βε νονζερο. Τηε παραmετερμ ισχαλλεδβανδωιδτη,ανδιτmαψβεατρυνχατιονλαγιντηοσεκερνελστηατ αρε τρυνχατεδ. Wε ιντροδυχε σοmε νοτατιον ανδ ρεγυλαριτψ χονδιτιονσ το δεριϖε τηε ξεδ β λιmιτινγ αππροξιmατιον το τηε σαmπλινγ διστριβυτιονσ οφ β, ε: Ασσυmπτιον 1. Λετ τ βεινδεπενδεντανδιδεντιχαλλψδιστριβυτεδ(ιιδ)π1ϖεχτορσ, ωιτηε( τ )=,Ε( τ τ)=,ωηερεισποσιτιϖεδε νιτε,ανδεκ τ κ θ <1φορθ>2. Λετ τ =Α(Λ) τ,ωηερεα(σ)=ι π + Π 1 ϕ=1 Α ϕσ ϕ (Ι σ ιστηεσ ροωεδιδεντιτψmατριξ),ανδ τηεα ϕ αρεππmατριχεσσυχητηατδετ(α(σ))6=,ϕσϕ=1,ανδα ε ι ισδι ερεντιαβλε ινωιτηδεριϖατιϖεινλιπ(%),%>1=2: 5

7 Ασσυmπτιον 1 ιmπλιεσ τηατ τηε δεριϖατιϖε οφ Α(ε ι ) ηασ Φουριερ χοε χιεντσ ϕα ϕ = Ο(ϕ % )ασϕ!1,σοινπαρτιχυλαρ Π 1 ν λ=1 λ1=2 κα λ κ<1. ο Λετ=Α(1)Α(1),Γ(ρ;σ)= διαγ 1 ( 1 )(ρ σ) 1 1,ε1 1 ( 2 )(ρ σ) 2 1,ε1βεινγα(π 1)1ϖεχτοροφονεσ, =( 1 ; 2 ). ΛετΒ(ρ)βετηεπ διmενσιοναλβροωνιανmοτιονωιτηχοϖαριανχεmατριξ ανδ Β(ρ;) = Ρ ρ Γ(ρ;σ)δΒ(σ) βε α Τψπε ΙΙ φραχτιοναλ Βροωνιαν mοτιον, νοτινγ τηατ,τηρουγηβ(ρ),β(ρ;)δεπενδσον. ΠαρτιτιονΒ(ρ;)= Β 1 (ρ; 1 );Β2(ρ; 2 ), Β 1 (ρ; 1 ),Β 2 (ρ; 2 ν)χολλεχτινγτηε ρστανδλαστπ ο 1χοmπονεντσοφΒ(ρ;),ρεσπεχτιϖελψ. Φορ Ν() = διαγ Τ 1=2 1 ;ε1 Τ 1=2 2, υ τ = (ε τ ;ξ τ ), υνδερ Ασσυmπτιον 1 ανδ 1, 2, Μαρινυχχι ανδ Ροβινσον (2) δεριϖεδ τηε φυνχτιοναλ χεντραλ λιmιτ τηεορεm(φχλτ) Ν() Π βρτχ τ=1 υ τ) Β 1 ρ; + 1 ;Β 2 ρ; + 2 φορρ2[;1], (4) ωηερε)δενοτεσωεακχονϖεργενχεανδ + ι = ι +1,ι=1;2;νοτετηατ(4)αλσοηολδσ φορ 1=2< 1 <, 1=2< 2 <,στρενγτηενινγαππροπριατελψτηεmοmεντχονδιτιονσ ιν Ασσυmπτιον 1(σεε ϑοηανσεν ανδ Νιελσεν, 212β). ΑσινΒυνζελανδςογελσανγ(25),ωεχονσιδερτηεφολλοωινγκερνελσ: Τψπε1:κ(:)ισ τωιχεχοντινυουσλψδι ερεντιαβλεεϖερψωηερε,ωιτησεχονδδεριϖατιϖεκ (:);Τψπε2:κ(:) ισ τωιχε χοντινυουσλψ δι ερεντιαβλε εϖερψωηερε, εξχεπτ φορ ϕξϕ = 1; mορεοϖερ, κ(ξ) = ιφϕξϕ>1. Τηεσεχονδδεριϖατιϖεισκ (:);φορξ!1δε νετηεδεριϖατιϖεφροmτηελεφτ ατξ=1,κ _(1)=λιm η! ((κ(1) κ(1 η))=η); Τψπε3:κ(:)ιστηεΒαρτλεττκερνελ. Εξαmπλεσ οφ Τψπε 1 κερνελ αρε τηε Dανιελλ ανδ τηε Θυαδρατιχ Σπεχτραλ; εξαmπλεσ οφ Τψπε 2αρετηεΠαρζενανδτηεΒοηmανν. Φορmυλαεφορκ(:)ανδκ (:)αρεγιϖενονππ. 393, 394οφΒυνζελανδςογελσανγ(25). Φιναλλψ,δε νε ε Β 1 (ρ; 1 )=Β 1 (ρ; 1 ) ρβ 1 (1; 1 ), εβ 2 (ρ; 2 )=Β 2 (ρ; 2 ) ρβ 2 (1; 2 ). Τηεορεm1. ΥνδερΑσσυmπτιον1ανδ 1 < 2,Μ =βτ,β2(;1]; Τ 2 1 (ε ))ν εθξξ (β;)ο 1 εθξε (β;); (5) ωηερε φορ Τψπε 1 κερνελσ, εθ ξε (β;) = εθ ξε (β;)= 1 β 2 Ζ Ζ 1 β β κ _(1) ϕρ σϕ<β β ρ σ κ εβ 2 σ; + εβ1 2 ρ; + 1 δρδσ β ρ σ κ εβ 2 σ; + εβ1 2 ρ; + 1 δρδσ β εβ2 ρ; + εβ1 2 ρ+β; Β2 ε ρ+β; + εβ1 2 ρ; + 1 δρ 6

8 φορτψπε2κερνελσ,ανδ εθ ξε (β;) = 2 β 1 β εβ 2 ρ; + εβ1 2 ρ; + 1 δρ β εβ2 ρ; + εβ1 2 ρ+β; Β2 ε ρ+β; + εβ1 2 ρ; + 1 δρ φορ τηε Βαρλεττ κερνελ; Θξξ ε (β;) ισ δε νεδ βψ ρεπλαχινγ Β ε 1 ρ; + 1 βψ Β ε 2 ρ; + 2 ιν αλλ τηεφορmυλαεφορ Θ ε ξε (β;)αβοϖε;αλσοιφιν(1),(2) 1 >1=2,ορ 1 1=2, 2 >1=2 ανδ=,ορ 1 ; 2 1=2ανδ=,=,τηεν Τ 2 1 (β ))φθ ξξ (β;)γ 1 Θ ξε (β;); (6) ωηερε Ζ Θ ξε (β;) = Β 2 1; + 2 Β1 1; ρ σ 1 κ Β β 2 2 σ; + 2 Β1 ρ; + 1 δρδσ β ρ κ Β 2 1; + 2 Β1 ρ; + 1 +Β2 ρ; + 2 Β1 1; + 1 δρ β β φορ Τψπε 1 κερνελσ, Θ ξε (β;) = Β 2 1; + 2 Β1 1; β β κ _(1) + 1 β 1 β φορτψπε2κερνελσ,ανδ κ 1 ρ β Ζ Ζ 1 ρ σ κ Β β 2 2 σ; + 2 Β1 ρ; + 1 δρδσ ϕρ σϕ<β β Β1 ρ+β; + 1 +Β2 ρ+β; + 2 Β1 ρ; + 1 δρ Β 2 ρ; + 2 Β 2 ρ; + 2 Β1 1; + 1 +Β2 1; + 2 Β1 ρ; + 1 δρ Θ ξε (β;) = Β 2 1; + 2 Β1 1; Β 2 ρ; + 2 Β1 ρ; + 1 δρ β Ζ 1 1 β Β 2 ρ+β; + 2 Β1 ρ; + 1 +Β2 ρ; + 2 Β1 ρ+β; + 1 δρ β Ζ 1 1 Β 2 ρ; + 2 Β1 1; + 1 +Β2 1; + 2 Β1 ρ; + 1 δρ β 1 β φορ τηε Βαρλεττ κερνελ; Θ ξξ (β;) ισ δε νεδ βψ ρεπλαχινγ Β 1 ρ; + 1 βψ Β 2 ρ; + 2 ιν αλλ τηεφορmυλαεφορθ ξε (β;)αβοϖε. Ρεmαρκ1. Τηεορεm1ιmπλιεστηατΒ(ρ;),τογετηερωιτηκ(ξ)ανδβ(ασιτισστανδαρδ 7

9 ιν τηε ξεδ β λιτερατυρε), φυλλψ χηαραχτεριζε τηε ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιονσ οφ β, ε. Ρεmαρκ 2. Ρεσυλτ (6) ιmπλιεσ τηατ ωηεν ξ τ ανδ/ορ ε τ αρε τρυλψ νονστατιοναρψ, τηε λιmιτινγ διστριβυτιον οφ β ισ ινϖαριαντ το νονζερο ανδ/ορ, βεχαυσε τηειρ χοντριβυτιον ισ οφ σmαλλερ ορδερ. Ρεmαρκ 3. Λεττινγ Μ γροω προπορτιοναλ το Τ, τηε WΧ εστιmατορσ ατταιν τηε ρατε Τ 2 1,τηεφαστεσταmονγτηε ρστσταγεεστιmατορσ(σεεηυαλδεανδιαχονε,212). Ρεmαρκ 4. Τηεορεm1προϖιδεσ ρεσυλτσ φορτψπε ΙΙ προχεσσεσ; τηε ρεσυλτσ φορτψπε Ι προχεσσεσ αρε σιmιλαρ(σεε ϑοηανσεν ανδ Νιελσεν, 212β, φορ α συmmαρψ οφ τηε ρεγυλαριτψ χονδιτιονσ, ανδ φορ τηε χηαραχτεριζατιον οφ τηε λιmιτ οφ τηε παρτιαλ συmσ). Ρεmαρκ 5. Μαρινυχχι(2) δισχυσσεδ τηε τραδιτιοναλ λιmιτινγ βεηαϖιουρ οφ β φορ χασεσ 1 ; 2 < 1=2; 1 =, 2 = 1; 1 < 2 < 3=2, < 1 < 1=2, ωηεν οβσερϖαβλεσ αρε Τψπε Ι προχεσσεσ. Wιτηουτ τηε αιm οφ χοϖερινγ αλλ ποσσιβλε χασεσ, ωε πρεσεντ ιν Τηεορεm 2 σοmε ρεσυλτσ φροm ωηιχη τηε σmαλλ β λιmιτινγ αππροξιmατιονσ το τηε σαmπλινγ διστρι βυτιονσ οφ β, ε, χαν βε στραιγητφορωαρδλψ δεριϖεδ βψ τηε ρεσυλτσ φορ τηε ΟΛΣ εστιmατορ γιϖεν ιν Ροβινσον ανδ Μαρινυχχι (21). Νοτε τηατ Ασσυmπτιον 1 στρενγτηενεδ το νιτε φουρτη mοmεντ ισ συ χιεντ το δεριϖε τηε δι ερεντ ρεσυλτσ γιϖεν ιν Ροβινσον ανδ Μαρινυχχι (21), ωηιχη ωιλλ βε υσεδ τηρουγηουτ τηε προοφ οφ Τηεορεm 2. Ιν παρτιχυ λαρ, ιτ ισ συ χιεντ φορ τηε χονδιτιονσ ρελατεδ το τηε χυmυλαντ σπεχτραλ δενσιτψ, ιτ ιmπλιεσ σθυαρειντεγραβιλιτψοφτηευνιϖαριατεσπεχτραοφτηεχοmπονεντσοφ τ ανδαλσοφουρτη ορδερ στατιοναριτψ οφ τ. Νοτε αλσο τηατ ωε ρελαξ χονδιτιονσ ιν Μαρινυχχι (2), λικε Γαυσσιανιτψ. Τηεορεm 2. Λετ Ασσυmπτιον 1 ωιτη θ 4, Μ 1 +Μ=Τ! ασ Τ! 1, ανδ 1 < 2 ηολδ. Αλσο, λετκ(ξ) βενοννεγατιϖεανδβουνδεδ, κ(ξ) =φορϕξϕ>1, Ρ 1 1 κ(ξ)δξ=1. Τηεν,ιφ 2>1=2ανδΜ=Τ 2 2 1!,φορχ ξξ=χ ξξ ;εχ ξξ, 1 Π Μ λ= Μ Μ κ(λ=μ)χ ξξ(λ)=χ ξξ()+ο π Τ : (7) Αλσο,φορχ ξε=χ ξε ;εχ ξε,ιφ( 1 ; 2 )=(;1) 1 ΜΠ Μ λ= Μ κ(λ=μ)χ ξε(λ)=χ ξε()+ 1 2 Π 1 λ=1 λ Π 1 λ= λ +οπ (1), (8) ωηερε λ =Ε 1;τ 2;τ λ,ωηερεασιφφορ1, >1,Τ 1 ΜλογΤ+Τ Μ!, τηεν 1 Π Μ λ= Μ Μ κ(λ=μ)χ ξε(λ)=χ ξε()+ο π Τ : (9) Ρεmαρκ 6. Βοτη τηε σmαλλ β ανδ ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιονσ οφ τηε WΧ εστιmατορσ 8

10 δεπενδ ον νυισανχε παραmετερσ,. Τηισ δεπενδενχε mακεσ τηε WΧ εστιmατορσ υν συιταβλε φορ στατιστιχαλ ινφερενχε. Ηοωεϖερ, α mοδι εδ ϖερσιον οφ τηεσε εστιmατορσ χουλδ βε τηε βασισ οφ ασψmπτοτιχαλλψ πιϖοταλ Wαλδ στατιστιχσ. Ασ υσυαλ ιν τηε χοιντεγρατιον λιτερατυρε, τηε mαιν χηαλλενγε ισ το τρανσφορm τηε εστιmατορσ το ρεmοϖε τηε ενδογενειτψ χαυσεδ βψ τηε χορρελατιον βετωεεν 1;τ ανδ 2;τ, ανδ, ωιτηουτ τηε αιm οφ προϖιδινγ α χοmπλετε δισχυσσιον, ωε εξπλορε ηερε τηισ ισσυε. Φορ τηε σακε οφ αν εασψ πρεσεντατιον, λετ =,=ιν(1),(2). Αλσο,φορασχαλαρορϖεχτορπροχεσσ τ ανδρεαλνυmβερα,λετ τ (α)= α φ τ 1(τ>)γανδ,παρτιτιονινγαχχορδινγτο τ,σο = λετ= Χλεαρλψ,(2)χανβεωριττενασ! ; ψ τ ( 1 )= ξ τ ( 1 )+ ξ τ ( 2 )+ 1:2;τ ; (1) ωηερε 1:2;τ = 1;τ ;τ,σο,δενοτινγζ τ (;)=ψ τ ( 1 ) ξ τ ( 2 )ανδασσυmινγ φορτηεmοmενττηατανδαρεκνοων,ωεχουλδεστιmατε βψ (;)= ΠΤ 1 1 λ= Τ+1 κ(λ=μ)χ Π Τ 1 ξ( 1 )ξ( 1 )(λ) λ= Τ+1 κ(λ=μ)χ ξ( 1 )ζ(;)(λ): (11) Βψ ιδεντιχαλ αργυmεντσ το τηοσε ιν τηε Αππενδιξ, ιτ ισ σιmπλε το σηοωτηατ τηε ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιον οφ Τ 2 1 ((;) ) δεπενδσ ον β, κ(), Β 2 (ρ; 2 1 ) ανδ Β 1:2 (ρ) = Β 1 (ρ) Β 2 (ρ). Τηεν, νοτινγ τηατ Β 2 (ρ; 2 1 ) ανδ Β 1:2 (ρ) αρε ινδεπενδεντ προχεσσεσ, τηε ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιον οφ Τ 2 1 ((;) ) χαν βε εασιλψ σηοων το βε mιξεδ Γαυσσιαν. Τηισ ισ α χρυχιαλ ρεσυλτ ωηιχη ασ ιν, ε.γ., Ηυαλδε ανδ Ροβινσον (21), χαν βε εξπλοιτεδ το χονστρυχτ α Wαλδ τεστ στατιστιχ το τεστ φορ ϖαλυεσ οφ ωιτη α 2 ξεδ β νυλλ λιmιτινγ διστριβυτιον. Αδδιτιοναλλψ, ιν τηε πρεσεντ σεττινγ, τηε ξεδ β τηεορψ ενϕοψσ οτηερ αττραχτιϖε φεατυρεσ. Φιρστ, τηε τψπε οφ χορρεχτιον εmπλοψεδτορεmοϖετηεενδογενειτψισϖερψσιmπλε(τηεινχλυσιονοφ ξ τ ( 2 ) ιν(1)). Wηενχονσιδερινγσmαλλ βασψmπτοτιχσινστεαδ,τηιστψπεοφχορρεχτιονωουλδωορκιφ τ ισαωηιτενοισεπροχεσσ, βυτινmορεγενεραλσεττινγσ, ινϖιεωοφτηερεσυλτσφορ ζερο φρεθυενχψ εστιmατορσ οφ Ηυαλδε ανδ Ροβινσον(21), ιτ ωουλδ ονλψ βε αδεθυατε ιφ τηε ρατε οφ γροωτη οφ Μ ισ αππροπριατελψ ρεστριχτεδ. Σεχονδ, τηε ξεδ β λιmιτ ισ ιδεντιχαλ ιρρεσπεχτιϖε οφ τηε τψπε οφ χοιντεγρατιον ωηιχη χηαραχτεριζεσ τηε δατα. Τηισ ισ ρελεϖαντ, βεχαυσε ιτ ισ ωελλ κνοων ιν τηε φραχτιοναλ χοιντεγρατιον λιτερατυρε τηατ, τψπιχαλλψ, δι ερεντ ρεσυλτσαππλψυνδερστρονγ(ωιτη 2 1 >1=2)ορωεακ(ωιτη 2 1 <1=2)χοιντεγρατιον, 9

11 τηεβορδερλινεχασε 2 1 =1=2βεινγρελατιϖελψυνεξπλορεδ. Τηερεφορε,ωηιλετηεσmαλλ β λιmιτ οφ (11) δεπενδσ χρυχιαλλψ ον τηε γαπ 2 1, τηε ξεδ β λιmιτ ισ ϖαλιδ φορ ανψ 2 1 >. Φιναλλψ, γιϖεν τηατ ιν πραχτιχε, αρε υνκνοων, (;) ισ υνφεασιβλε: ηοωεϖερ,,χανβεεασιλψεστιmατεδ(σαψβψ β, β ),ωηιχηπροmπτσχονσιδερατιονοφτηε φεασιβλε εστιmατορ ( β ; β ). Τηεν, βψ ϖερψ σιmιλαρ τεχηνιθυεσ το τηοσε ιν, ε.γ., Ηυαλδε ανδ Ροβινσον (21), ιτ χαν βε σηοων τηατ ιφ β = Ο π (Τ ), φορ ανψ >, ανδ β!π,τηεντ 2 1 ((;) )ανδτ 2 1 ( β ; β ) ηαϖε ιδεντιχαλ ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιονσ. Τηισ ισ α ϖερψ στρονγ ρεσυλτ, βεχαυσε τηε χονδιτιονσ ον τηε εστιmατορσ οφ τηε νυισανχε παραmετερσ αρε ϖερψ mιλδ ανδ χοντραστ ηεαϖιλψ ωιτη τηε στανδαρδ τηεορψ, ωηερεφαστερρατεσοφχονϖεργενχεοντηεεστιmατορσοφ,αρερεθυιρεδτηεσmαλλερτηε χοιντεγρατινγγαπ( 2 1 )ισ. Νοτεηοωεϖερτηαττηεφεασιβιλιτψισσυεχανβεχονσιδερεδ φροm α mορε αττραχτιϖε (ανδ χοmπλεξ) περσπεχτιϖε. Γιϖεν τηατ ωουλδ τψπιχαλλψ βε εστιmατεδ βψ WΧ εστιmατορσ, ινστεαδ οφ ρελψινγ ον χονσιστενχψ αργυmεντσ, ονε χουλδ χονσιδερα χοmπλετε ξεδ βτηεορψ,ωηερε ξεδ βαργυmεντσαππλψαλσοτο β. Τηιστψπε οφ αναλψσισ, προποσινγ αλσο αν αππροπριατε Wαλδ στατιστιχ ωιτη α πιϖοταλ ξεδ β λιmιτ, αππεαρσ το βε α δοαβλε βυτ ϖερψ χηαλλενγινγ τασκ. Ρεmαρκ 7. Τηε φρεθυενχψ δοmαιν ρεπρεσεντατιονσ οφ τηε WΧ εστιmατορσ λεαδ το αν ιντερεστινγ χοννεχτιον βετωεεν ξεδ β τηεορψ φορ WΧ ανδ ξεδ βανδωιδτη αππροαχη το ΝΒΛΣ. Φορ τωο γενεριχ σεθυενχεσ τ, τ, λετ Ι () = (2) 1Π ϕλϕ<τ χ (λ)ε ιλ, ωηερε ι ισ τηε χοmπλεξ οπερατορ, ανδ τηεν λετ Ι () = Ι () ωηεν χ (λ) = χ (λ) ισ υσεδ, ωηερεασλετ ε Ι ()=Ι ()ωηενχ (λ)=εχ (λ),σοτηατι ()ανδ ε Ι ()αρε(χροσσ ) περιοδογραmσ. Τηεν, τηε WΧ εστιmατορσ ηαϖε φρεθυενχψ δοmαιν ρεπρεσεντατιον Ζ = 1 Ζ Κ Μ ()Ιξξ()δ Κ Μ ()Ιξψ()δ; (12) (σεε,ε.γ.,βροχκωελλανδdαϖισ,1991,ππ ),ωηερεΚ Μ ()=(2) 1Π ιλ ϕλϕ<τκ(λ=μ)ε ιστηεσπεχτραλωινδοωασσοχιατεδτοκ()(σεε,ε.γ.,πριεστλεψ,1981,π.436),ανδ εθυαλσ βορεδεπενδινγονωηετηεριορ ε Ιαρευσεδ. Φοχυσινγϕυστονβ,αππροξιmατινγτηειντε γραλσιν(12)βψσυmσοϖερτηεφουριερφρεθυενχιεσ ϕ =2ϕ=Τ φορϕ=;1;:::;βτ=2χ (ωηερε βχ δενοτεσ ιντεγερ παρτ), ψιελδσ αν αλτερνατιϖε εστιmατορ οφ, σαψ. Τηισ ισ παρτιχυλαρλψ ιντερεστινγ ιφ τηε Dανιελλ κερνελ ισ υσεδ: τηισ κερνελ ηασ σπεχτραλ ωινδοω Μ=(2) ωηεν =Μ =Μ ανδ οτηερωισε, σο βψ τηε σψmmετρψ οφ τηε περι Πm 1 οδογραm,= ϕ= σ Π ϕι ξξ ( ϕ ) m ϕ= σ ϕρει ξψ ( ϕ ),ωηερεσ ϕ =1,ϕ=;Τ=2,σ ϕ =2, οτηερωισε, ανδ φολλοωινγ Βροχκωελλ ανδ Dαϖισ(1991), ππ.359,36, m = βτ =(2Μ)χ. Νοτε τηατ ισ τηε ΝΒΛΣ εστιmατορ, ωηοσε λιmιτινγ προπερτιεσ ηαϖε βεεν δεριϖεδ βψ Ροβινσον ανδμαρινυχχι(21)υνδερτηεασσυmπτιοντηατ1=m+m=τ!αστ!1,ιmπλψινγ 1

12 Μ=Τ!. ΡοβινσονανδΜαρινυχχι(21,π.866)χονϕεχτυρεδτηαττηεΤ 2 1 χονϖερ γενχερατεχουλδβεαχηιεϖαβλεβψτηενβλσωιτηm ξεδαστ!1. Λατερ,Χηενανδ Ηυρϖιχη(23) ϖερι εδ τηισ χονϕεχτυρε φορ α ταπερεδ ΝΒΛΣ υσεδ ον δι ερενχεδ δατα. Βψ ουρπρεϖιουσρεασονινγ,αναλψζινγτηεπροπερτιεσοφβ(ορε)ωηενμ =βτ,β>ανδτηε Dανιελλ κερνελ ισ υσεδ, ρελατεσ χλοσελψ το δισχυσσινγ τηε προπερτιεσ οφ τηε ΝΒΛΣ ωηεν m ισ ξεδ,σπεχι χαλλψm=β1=(2β)χ. Προϖιδινγφορmαλρεσυλτσισβεψονδτηεσχοπεοφτηε πρεσεντπαπερ,βυτωεχονϕεχτυρετηατιφμ =βτ,β2(;1],υνδερστανδαρδχονδιτιονσ, β =Ο π Τ 2 1,αλτηουγηβ ανδ mαψηαϖεδι ερεντλιmιτινγδιστριβυτιονσ. 3. ΦΙΝΙΤΕ ΣΑΜΠΛΕ ΠΕΡΦΟΡΜΑΝΧΕ Ιν α σιmπλε βιϖαριατε χασε, ωε χοmπαρε τηε σαmπλινγ διστριβυτιονσ οφ ε ωιτη ιτσ σmαλλ β ανδ ξεδ βλιmιτινγδιστριβυτιονσφορχασεσ( 1 ; 2 )=(;1);(;1:4);(:8;1:2). Wηιλετηε ξεδ β λιmιτ ισ γιϖεν βψ Τηεορεm 1, τηε σmαλλ β χαν βε στραιγητφορωαρδλψ δεριϖεδ φροm Τηεορεm 2(αλτηουγη στρονγερ mοmεντ χονδιτιονσ mιγητ βε νεεδεδ). Ιν παρτιχυλαρ, τηε σmαλλ βλιmιτσοφτ 2 1 (ε )φορτηεβιϖαριατεχασεαρε Β 2 (ρ;1)δβ 1 (ρ;1)+ 2Π 1 1 λ= 1 λ = ωηερε Β ϕ (ρ;δ) = Β ϕ (ρ;δ) Β 2 (ρ; 2 )δβ 1 (ρ;1)= Β 2 (ρ; 2 )Β 1 (ρ; 1 )δρ= Β 2 2(ρ;1)δρ,ιφ 1 = ; 2 =1; (13) Β 2 2(ρ; 2 )δρ,ιφ 1 = ; 2 >1; (14) Β 2 2(ρ; 2 )δρ,ιφ 1 > 1 2 ; 21; (15) Β ϕ (ρ;δ)δρ, ϕ = 1;2. Νοτε αλσο τηατ τηε σmαλλ β απ προξιmατιονοφτ 2 1 (β )ισγιϖενβψχορρεσπονδινγεξπρεσσιονσ(13),(14),(15),ϕυστ ρεπλαχινγβ ϕ βψβ ϕ. Ιντερεστινγλψ, νοτετηατ(13)ωιτηβ 2 ρεπλαχεδβψβ 2 δι ερσφροm (Α.12)οφΠηιλλιπσ(1991)(τηερεσεεmστοβεαmινορτψποιντηεπροοφινπ.433,ωηερε τηεχοντριβυτιονοφκ(ξ)ισmισσινγ)ανδαλσοφροm(18)οφμαρινυχχι(2). Wεγενερατε τ ασανιιδγαυσσιανπροχεσσωιτηε( τ )=,ςαρ( 1;τ )=ςαρ( 2;τ )=1, Χοϖ( 1;τ ; 2;τ )=:5,ανδαλσο τ ασινασσυmπτιον1ωιτηα(ζ)=διαγφ1=(1 :5ζ);(1+:5ζ)γ. Φιξινγ = = =, ωε γενερατε (ψ τ ;ξ τ ) υσινγ (1) ανδ (2), φορ τηε τηρεε διφ φερεντ ( 1 ; 2 ) χοmβινατιονσ ανδ χοmπυτε ε φορ β = Μ=Τ = :1;:25;:5;1, υσινγ τηε Βαρτλεττ κερνελ. Νεξτ, υσινγ Ρ = 5 ρεπλιχατιονσ ωε χοmπυτεδ τηε εmπιριχαλ χυ mυλατιϖε διστριβυτιον φυνχτιονσ (ΧDΦ) οφ Τ 2 1 (ε ), Τ = 64;256, υσινγ β Φ(ξ) = Ρ 1Π Ρ ι=1 1 Τ 2 1 (ε ι )<ξ,ωηερεε ι,ι=1;:::;ρ,αρετηεεστιmατεσχορρεσπονδινγ το εαχη ρεπλιχατιον. Το εϖαλυατε τηε αχχυραχψ οφ τηε σmαλλ β ανδ ξεδ β ασψmπτοτιχ απ προξιmατιονσ(ωηιχη αρε νυισανχε παραmετερ δεπενδεντ), ωε χοmπαρε τηε τωο σαmπλινγ 11

13 ΧDΦσ ωιτη χορρεσπονδινγ ασψmπτοτιχ ΧDΦσ (γιϖεν ιν Τηεορεm 1 ανδ(13) (15)), ωηιχη, ασ ιν Ηασηιmζαδε ανδ ςογελσανγ (27), ωερε σιmυλατεδ αππροξιmατινγ τηε στανδαρδ Βροωνιαν mοτιον βψ σχαλεδ παρτιαλ συmσ οφ ιιδ Ν(;1) ρανδοm ϖαριαβλεσ υσινγ 1 ινχρεmεντσ ανδ 5 ρεπλιχατιονσ. Ρεσυλτσφορ( 1 ; 2 )=(;1);(;1:4);(:8;1:2)αρεγιϖενινΦιγυρεσ1,2,3,ρεσπεχτιϖελψ. Ασεξπεχτεδ,ωεαλωαψσ νδτηαττηελιmιτδιστριβυτιονχοmπυτεδασσυmινγβ=:1ιστηε χλοσεστ ονε το τηε σmαλλ β λιmιτ, βεινγ τηεσε τωο διστριβυτιονσ ϖερψ χλοσε το εαχη οτηερ ωηεν( 1 ; 2 )=(;1);(:8;1:2). Οντηεοτηερηανδ,τηεσmαλλ βανδ ξεδ βλιmιτδιστριβ υτιονσ δι ερεντιατε mορε ασ β ινχρεασεσ. Ιν αλλ χασεσ τηε ξεδ β λιmιτ διστριβυτιον ισ χλοσερ το τηε εmπιριχαλ διστριβυτιονσ οφ τηε εστιmατεσ ιν σmαλλ σαmπλεσ, τηυσ προϖιδινγ α βεττερ αππροξιmατιον: ινδεεδ, τηε ξεδ β λιmιτ διστριβυτιον προϖιδεσ α γοοδ αππροξιmατιον οφ τηεδιστριβυτιονσοφτηεεστιmατεσινσmαλλσαmπλεσαλρεαδψφορτ =256ανδ,ατλεαστφορ β=:5;1,εϖενφορτ =64. Τηεγαινσιναχχυραχψαχηιεϖεδβψτηε ξεδ βλιmιταρεmοστ εϖιδεντωηεν( 1 ; 2 )=(;1:4),τηεσmαλλ βαππροξιmατιονβεινγϖερψιναχχυρατεηερε. 4. ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝ Wε ηαϖε χοmπαρεδ τηε τραδιτιοναλ(σmαλλ β) ανδ ξεδ β λιmιτινγ αππροξιmατιονσ το τηε σαmπλινγ διστριβυτιον οφ WΧ εστιmατορσ. Φιρστ, ωε ηαϖε δεριϖεδ τηε ξεδ β λιmιτινγ διστριβυτιον οφ τωο WΧ εστιmατορσ, λλινγ αλσο σοmε γαπσ ιν τηε σmαλλ β τηεορψ. Τηεν, βψ mεανσ οφ α Μοντε Χαρλο εξπεριmεντ, ωε ηαϖε χοmπαρεδ βοτη λιmιτινγ διστριβυτιονσ, χονχλυδινγ τηατ τηε ξεδ β λιmιτ ισ mορε αχχυρατε. Γιϖεν τηατ τηεσε διστριβυτιονσ δεπενδ ιν γενεραλ ον νυισανχε παραmετερσ, ουρ ρεσυλτσ αρε νοτ οφ διρεχτ υσε ιν τεστινγ. Ηοωεϖερ, ωε ηαϖε προποσεδ αν αππροπριατε mοδι χατιον οφ ονε οφ τηε WΧ εστιmατορσ αλονγ τηε λινεσ οφ σεχονδ σταγε εστιmατιον οφ χοιντεγρατινγ παραmετερσ (σεε, ε.γ., Ροβινσον ανδ Ηυαλδε, 23, Ηυαλδε ανδ Ροβινσον, 21, Νιελσεν ανδ Φρεδερικσεν, 211), ωηιχη χαν βε εξπλοιτεδ το χονστρυχτ α Wαλδ τεστ στατιστιχσ ωιτη πιϖοταλ ξεδ β λιmιτ. Τηισ, ιν ϖιεω οφτηεεϖιδενχεπροϖιδεδβψτηεπρεσεντπαπερανδτηεσιζεπροβλεmσδισπλαψεδβψτηε Wαλδ τεστ στατιστιχσ βασεδ ον σεχονδ σταγε εστιmατορσ, αππεαρσ το βε α προmισινγ ρεσεαρχη αϖενυε ωηιχη ωιλλ βε εξπλορεδ ιν φυτυρε ωορκ. Αππενδιξ. Προοφ οφ Τηεορεm 1. Wε ρστ γιϖε τηε προοφ φορε. Φροm(2), ψ = +ξ+εανδ ψ τ ψ=(ξ τ ξ)+ε τ ε. Τηερεφορε, εχ ξψ (λ) = Τ 1Π Τ λ τ=1 (ξ τ ξ)(ξ τ+λ ξ) +Τ 1Π Τ λ τ=1 (ξ τ ξ)(ε τ+λ ε),λ; = Τ 1Π Τ τ=1 λ (ξ τ ξ)(ξ τ+λ ξ) +Τ 1Π Τ τ=1 λ (ξ τ ξ)(ε τ+λ ε),λ<; 12

14 σοεχ ξψ (λ)=εχ ξξ (λ)+εχ ξε (λ),ανδ ε=+ ΠΤ 1 1 λ= Τ+1 κ(λ=μ)εχ Π Τ 1 ξξ(λ) λ= Τ+1 κ(λ=μ)εχ ξε(λ): Νεξτ, αδαπτινγ νοτατιον ον π.1353 οφ Κιεφερ ανδ ςογελσανγ (22), λετ βε τ = ε τ ε, βξ τ = ξ τ ξ, βϖ τ = (βε τ ;βξ τ), β λ = Τ 1Π Τ τ=λ+1 βϖ τβϖ τ λ φορ λ, β λ = β λ φορ λ <, β = Π Τ 1 λ= Τ+1 κ(λ=μ)β λ, η;λ =κ((η λ)=(βτ)),ρ 2 η;λ =( η;λ η;λ+1 ) ( η+1;λ η+1;λ+1 ), βσ λ = Π λ τ=1 βϖ τ. Τηεν,ασονπ.1365οφΚιεφερανδςογελσανγ(22), β=τ 1Π Τ 1 η=1 Τ 1Π Τ 1 λ=1 Τ2 ρ 2 η;λ Τ 1=2 β Ση Τ 1=2 β Σ λ ; (16) σοτ Π ( 1+ 2 ) Τ 1 εθυαλσ λ= Τ+1 κ(λ=μ)εχ ξε(λ)=τ ( 1+ 2 ) ε ;Ι π 1 β 1;ε Τ 1Π Τ 1 η=1 Τ 1Π Τ 1 λ=1 Τ2 ρ 2 η;λ Τ Π 1=2 1 η τ=1 βε τ Τ Π 1=2 2 λ τ=1 βξ τ. Wε δισχυσσ Τψπε 1 κερνελσ ρστ. Αδαπτινγ ρεσυλτσ φροm Κιεφερ ανδ ςογελσανγ (25), π.1159,ανδβυνζελανδςογελσανγ(25),τ 2 ρ 2 η;λ! β 2 κ (β 1 (ρ σ)),σο,βψτηε ΦΧΛΤ(4) ανδ τηε χοντινυουσ mαππινγ τηεορεm, Τ ( 1+ 2 ) Π Τ 1 λ= Τ+1 κ(λ=μ)εχ ξε(λ)) ε Θ ξε (β;); (17) ανδ,ιντηεσαmεωαψ, Τ 2 2 Π Τ 1 λ= Τ+1 κ(λ=μ)εχ ξξ(λ)) ε Θ ξξ (β;). (18) Τηεπροοφσοφ(17)ανδ(18)φορΤψπε2κερνελσανδφορΤψπε3κερνελφολλοωαγαινυσινγ φορmυλαε ιν Κιεφερ ανδ ςογελσανγ(25) ανδ Βυνζελ ανδ ςογελσανγ(25), βυτ αππλψινγ τηε ΦΧΛΤ (4) φορ φραχτιοναλ προχεσσεσ ασ ιν τηε προοφ φορ Τψπε 1 κερνελσ. Φιναλλψ, (5) φολλοωσ βψ τηε χοντινυουσ mαππινγ τηεορεm. Τηε προοφ φορ β ισ αλmοστ ιδεντιχαλ, ϕυστ νοτινγ τηατ αδδιτιοναλ τερmσ αρισε ιν τηε εξπανσιονοφ β (σεε(16))βεχαυσετηεσεριεσαρενοτδεmεανεδ, ανδαλσοτηατωηενξ τ ανδ/ορε τ αρετρυλψνονστατιοναρψ,τηεχοντριβυτιονοφνονζεροανδ/ορισοφσmαλλερ ορδερ. Προοφ οφ Τηεορεm 2. Φιρστ, νοτινγ τηατ Μ 1Π Μ λ= Μκ(λ=Μ) 1 = ο(1), (7) φορ 13

15 χ ξξ=χ ξξ φολλοωσασινλεmmα3οφμαρινυχχι(2)βψσηοωινγ 1 ΜΤ 1 Π Μ λ=1 ΜΤ κ(λ=μ)π λ τ=1 ξ τξ τ = ο π Τ ; Π Μ λ=1 κ(λ=μ)π Τ τ=λ+1 ξ τ(ξ τ ξ τ λ ) = ο π Τ ; ωηιχη,ασμ=τ 2 2 1!,χανβεεασιλψϕυστι εδασινροβινσονανδμαρινυχχι(21). Τηεπροοφφορχ ξξ=εχ ξξ ισαλmοστιδεντιχαλανδτηυσωεοmιτιτ. Τηεπροοφοφ(8)φολλοωσβψρεπλιχατινγσοmεοφτηεστεπσγιϖενιντηεπροοφοφΛεmmα4 οφ Μαρινυχχι(2) ανδ αλσο βψ ρεσυλτσ ιν Ροβινσον ανδ Μαρινυχχι(21). Ιν παρτιχυλαρ χ ξε() 1 Π Μ λ= Μ Μ (λ=μ)χ ξε(λ)=(ι)+(ιι)+(ιιι)+(ις)+(ς); (19) ωηερε φορ χ ξε = χ ξε τηε τερmσ οφ τηε ριγητ ηανδ σιδε οφ (19) αρε δε νεδ ιν π.71 οφ Μαρινυχχι (2), ωηερεασ φορ χ ξε = εχ ξε τηε δε νιτιονσ αρε αλmοστ ιδεντιχαλ, ωιτη τηε ονλψ δι ερενχε τηατ τηε σεριεσ αρε δεmεανεδ. Τηεν, φορ ειτηερ δε νιτιον, ιτ χαν βε σηοων τηατ(ιι)=(ις)=ο π (1),(ς)=ο π (1), 1 (Ι) = Ε ΜΤ 1 (ΙΙΙ) = Ε ΜΤ Π Μ λ=1 κ(λ=μ)π Τ τ=λ+1 (ξ τ ξ τ λ )ε τ λ +ο π (1); Π Μ λ=1 κ(λ=μ)π Τ τ=λ+1 (ξ τ ξ τ λ )ε τ +ο π (1); Π 1 σο(8)φολλοωσβεχαυσε(ι)! 1 π 2 λ=1 1 1 λ,(ιιι)! π 2Π λ= λ. Φιναλλψ,τηεπροοφοφ(9) φολλοωσ ασ ιν Μαρινυχχι(2) υσινγ ρεσυλτσ φροm Ροβινσον ανδ Μαρινυχχι(21). Wιτη Μαρινυχχι σ(2)νοτατιον, τηερεθυιρεmενττ 1 ΜλογΤ +Τ Μ!ισνεεδεδ τοσηοωτηαττερmσ 3 ανδ(ιιι)αρεο π Τ : ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ Βροχκωελλ, Π.ϑ., ανδ Ρ.Α. Dαϖισ, Τιmε Σεριεσ: Τηεορψ ανδ Μετηοδσ, 2νδ Εδ. Νεω Ψορκ: Σπρινγερ. Βυνζελ, Η., 26. Φιξεδ β ασψmπτοτιχσ ιν σινγλε εθυατιον χοιντεγρατιον mοδελσ ωιτη ενδογενουσ ρεγρεσσορσ, Εχονοmετριχ Τηεορψ 22, Βυνζελ, Η., ανδ Τ.ϑ. ςογελσανγ, 25. Ποωερφυλ τρενδ φυνχτιον τεστσ τηατ αρε ροβυστ το στρονγ σεριαλ χορρελατιον, ωιτη αν αππλιχατιον το τηε Πρεβισχη Σινγερ ηψποτηεσισ, ϑουρναλ οφ Βυσινεσσ ανδ Εχονοmιχ Στατιστιχσ 23,

16 Χηεν, W.W., ανδ Χ.Μ. Ηυρϖιχη, 23. Εστιmατινγ φραχτιοναλ χοιντεγρατιον ιν τηε πρεσενχε οφ πολψνοmιαλ τρενδσ, ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 117, Ηασηιmζαδε, Ν., ανδ Τ.ϑ. ςογελσανγ, 27. Φιξεδ β ασψmπτοτιχ αππροξιmατιον οφ τηε σαmπλινγ βεηαϖιουρ οφ νονπαραmετριχ σπεχτραλ δενσιτψ εστιmατορσ, ϑουρναλ οφ Τιmε Σεριεσ Αναλψσισ 29, Ηυαλδε, ϑ., ανδ Φ. Ιαχονε, 212. Φιρστ σταγε εστιmατιον οφ φραχτιοναλ χοιντεγρατιον, ϑουρναλ οφ Τιmε Σεριεσ Εχονοmετριχσ 4, Ισσυε 1, Αρτιχλε 2. Ηυαλδε, ϑ., ανδ Π.Μ. Ροβινσον, 21. Σεmιπαραmετριχ ινφερενχε ιν mυλτιϖαριατε φραχ τιοναλλψ χοιντεγρατεδ σψστεmσ, ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 157, Ιαχονε, Φ., Λεψβουρνε, Σ.ϑ., ανδ Α.Μ. Ρ. Ταψλορ, 213. Ον τηε βεηαϖιουρ οφ ξεδ β τρενδ βρεακ τεστσ υνδερ φραχτιοναλ ιντεγρατιον, Εχονοmετριχ Τηεορψ 29, ϑιν, Σ., Πηιλλιπσ, Π.Χ.Β., ανδ Ψ. Συν, 26. Α νεω αππροαχη το ροβυστ ινφερενχε ιν χοιντεγρατιον, Εχονοmιχσ Λεττερσ 91, ϑοηανσεν, Σ., ανδ Μ.. Νιελσεν, 212α. Λικελιηοοδ ινφερενχε φορ α φραχτιοναλλψ χοιντε γρατεδ ϖεχτορ αυτορεγρεσσιϖε mοδελ, Εχονοmετριχα 8, ϑοηανσεν, Σ., ανδ Μ.. Νιελσεν, 212β. Α νεχεσσαρψ mοmεντ χονδιτιον φορ τηε φραχτιοναλ φυνχτιοναλ χεντραλ λιmιτ τηεορεm, Εχονοmετριχ Τηεορψ 28, Κιεφερ, Ν.Μ., ανδ Τ.ϑ. ςογελσανγ, 22. Ηετεροσκεδαστιχιτψ αυτοχορρελατιον ροβυστ τεστ ινγ υσινγ βανδωιδτη εθυαλ το σαmπλε σιζε, Εχονοmετριχ Τηεορψ 18, Κιεφερ, Ν.Μ., ανδ Τ.ϑ. ςογελσανγ, 25. Α νεω ασψmπτοτιχ τηεορψ φορ ηετεροσκεδαστιχιτψ αυτοχορρελατιον ροβυστ τεστσ. Εχονοmετριχ Τηεορψ 21, Μαρινυχχι, D., 2. Σπεχτραλ ρεγρεσσιον φορ χοιντεγρατεδ τιmε σεριεσ ωιτη λονγ mεmορψ ιννοϖατιονσ, ϑουρναλ οφ Τιmε Σεριεσ Αναλψσισ 21, Μαρινυχχι, D., ανδ Π.Μ. Ροβινσον, Αλτερνατιϖε φορmσ οφ φραχτιοναλ Βροωνιαν mοτιον, ϑουρναλ οφ Στατιστιχαλ Πλαννινγ ανδ Ινφερενχε 8, Μαρινυχχι, D., ανδ Π.Μ. Ροβινσον, 2. Wεακ χονϖεργενχε οφ mυλτιϖαριατε φραχτιοναλ προχεσσεσ. Στοχηαστιχ Προχεσσεσ ανδ τηειρ Αππλιχατιονσ 86, Νεαϖε, Η.Ρ., 197. Αν ιmπροϖεδ φορmυλα φορ τηε ασψmπτοτιχ ϖαριανχε οφ σπεχτρυm εστιmατεσ, Ανναλσ οφ Ματηεmατιχαλ Στατιστιχσ 41,

17 Νιελσεν, Μ.., ανδ Π. Φρεδερικσεν, 211. Φυλλψ mοδι εδ ναρροω βανδ λεαστ σθυαρεσ εστιmατιον οφ ωεακ φραχτιοναλ χοιντεγρατιον, Εχονοmετριχσ ϑουρναλ 14, Πηιλλιπσ, Π.Χ.Β., Σπεχτραλ ρεγρεσσιον φορ χοιντεγρατεδ τιmε σεριεσ. Ιν: Βαρνεττ, W.Α., Ποωελλ, ϑ., Ταυχηεν, Γ.(Εδσ.), Νονπαραmετριχ ανδ Σεmιπαραmετριχ Μετηοδσ ιν Εχονοmετριχσ ανδ Στατιστιχσ. Χαmβριδγε Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Χαmβριδγε. Πριεστλεψ, Μ.Β., Σπεχτραλ Αναλψσισ ανδ Τιmε Σεριεσ, Αχαδεmιχ Πρεσσ, Λονδον. Ροβινσον, Π.Μ., ανδ ϑ. Ηυαλδε, 23. Χοιντεγρατιον ιν φραχτιοναλ σψστεmσ ωιτη υν κνοων ιντεγρατιον ορδερσ, Εχονοmετριχα 71, Ροβινσον, Π.Μ., ανδ D. Μαρινυχχι, 21. Ναρροω βανδ αναλψσισ οφ νονστατιοναρψ προχεσσεσ, Ανναλσ οφ Στατιστιχσ 29, Ροβινσον, Π.Μ., ανδ D. Μαρινυχχι, 23. Σεmιπαραmετριχ φρεθυενχψ δοmαιν αναλψσισ οφ φραχτιοναλ χοιντεγρατιον, ιν Τιmε σεριεσ ωιτη λονγ mεmορψ (Π.Μ. Ροβινσον εδ.), Οξφορδ: Νεω Ψορκ: Οξφορδ Υνιϖερσιτψ πρεσσ, ςογελσανγ, Τ.ϑ., ανδ Μ. Wαγνερ, 214. Ιντεγρατεδ mοδι εδ ΟΛΣ εστιmατιον ανδ ξεδ β ινφερενχε φορ χοιντεγρατινγ ρεγρεσσιονσ, ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 178,

18

19

20