(2009) 4 (3) ISSN X,

Transcript

1 Blake, J.I.R. and Shenoi, R.A. and Das, P.K. and Yang, Nana (2009) The application of reliability methods in the design of stiffened FRP composite panels for marine vessels. Ships and Offshore Structures, 4 (3). pp ISSN X, This version is available at Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright and Moral Rights for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners. Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any commercial gain. You may freely distribute both the url ( and the content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without prior permission or charge. Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator: strathprints@strath.ac.uk The Strathprints institutional repository ( is a digital archive of University of Strathclyde research outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.

2 The Application of Reliability Methods in the Design of Stiffened FRP Composite Panels for Marine Vessels ϑ.ι.ρ.βλακε & Ρ.Α.Σηενοι, Υνιϖερσιτψ οφ Σουτηαmπτον, ΥΚ Π.Κ.Dασ, Ν Ψανγ, Υνιϖερσιτψ οφ Γλασγοω & Στρατηχλψδε, ΥΚ Χορρεσπονδινγ αυτηορ: Dρ ϑ.ι.ρ.βλακε (εmαιλ: ϕ.ι.ρ.βλακε σοτον.αχ.υκ) Αβστραχτ: Τηε υσε οφ χοmποσιτε λαmινατε mατεριαλσ ηασ ινχρεασεδ ραπιδλψ ιν ρεχεντ ψεαρσ δυε το τηειρ εξχελλεντ στρενγτη το ωειγητ ρατιο ανδ ρεσιστανχε το χορροσιον. Ιν τηε χονστρυχτιον οφ mαρινε ϖεσσελσ, στιφφενεδ πλατεσ αρε τηε mοστ χοmmονλψ υσεδ στρυχτυραλ ελεmεντσ, φορmινγ τηε δεχκ, βοττοm ηυλλ, σιδε σηελλσ ανδ βυλκηεαδσ. Τηισ παπερ πρεσεντσ τηε υσε οφ α στοχηαστιχ αππροαχη το τηε δεσιγν οφ στιφφενεδ mαρινε χοmποσιτε πανελσ ασ παρτ οφ α χυρρεντ ρεσεαρχη προγραmmε ιντο δεϖελοπινγ στοχηαστιχ mετηοδσ φορ χοmποσιτε σηιπ στρυχτυρεσ, αχχουντινγ φορ ϖαριατιονσ ιν mατεριαλ προπερτιεσ, γεοmετριχ ινδιχεσ ανδ προχεσσινγ τεχηνιθυεσ, φροm τηε χοmπονεντ λεϖελ το τηε φυλλ σψστεm λεϖελ. Αν αναλψτιχαλ mοδελ φορ τηε σολυτιον οφ α στιφφενεδ ισοτροπιχ πλατε υσινγ α γριλλαγε αναλογψ ισ εξτενδεδ βψ τηε υσε οφ εθυιϖαλεντ ελαστιχ προπερτιεσ φορ χοmποσιτε mοδελλινγ. Τηισ mετηοδολογψ ισ αππλιεδ ιν α ρελιαβιλιτψ αναλψσισ οφ αν ισοτροπιχ (στεελ) στιφφενεδ πλατε βεφορε τηε φιναλ αππλιχατιον φορ α ρελιαβιλιτψ αναλψσισ φορ α ΦΡΠ χοmποσιτε στιφφενεδ πλατε. Κεψωορδσ: χοmποσιτεσ, ΦΡΠ, ρελιαβιλιτψ, ΣΟΡΜ, τοπηατ στιφφενερσ, γριλλαγε Introduction Τηερε ισ ινχρεασινγ ιντερεστ ιν τηε υσε οφ λιγητωειγητ, πολψmερ χοmποσιτε στρυχτυρεσ φορ α ϖαριετψ οφ αππλιχατιονσ ιν υνδερωατερ στρυχτυρεσ. Τηεσε αππλιχατιονσ αρε ιν τηε φορm οφ σινγλε σκιν στιφφενεδ στρυχτυρεσ ασ ωελλ ασ mονοχοθυε σινγλε σκιν ανδ σανδωιχη χονφιγυρατιονσ. Τηε στρυχτυρεσ χουλδ ποτεντιαλλψ βε mαδε υπ υσινγ διφφερεντ φιβρε τψπεσ, φιβρε αρχηιτεχτυρεσ ανδ ωεαϖεσ, ρεσινσ, χορε mατεριαλσ; τηερε χουλδ βε φυρτηερ ϖαριατιονσ οωινγ το ϖολυmε φραχτιονσ ανδ γεοmετριχ/τοπολογιχαλ λαψουτσ. Αλσο, τηερε ισ φυρτηερ χηοιχε ιν προχεσσινγ ρουτεσ ασ ωελλ. Ονε χουλδ χονσιδερ τηε υσε οφ λοω τεmπερατυρε χυρε πρεπρεγσ ορ αλτερνατιϖελψ χονσιδερ ϖαχυυm ασσιστεδ ρεσιν ινφυσιον mουλδινγ. Τηεσε προχεσσεσ τοο ηαϖε mανψ ιν βυιλτ ϖαριαβιλιτιεσ. Χυρρεντ τρενδσ ιν mαρινε (σηιπ/βοατ) δεσιγν υσε χονσερϖατιϖε σαφετψ ινδιχεσ βασεδ mαινλψ ον σοmε λιmιτινγ στραιν ϖαλυε. Τηισ αππροαχη ηοωεϖερ δοεσ ηαϖε δραωβαχκσ. Τηε λιmιτινγ στραιν ϖαλυε (υσυαλλψ αν ιν πλανε στραιν) mαψ νοτ πιχκ υπ τηε λοαδ τρανσφερ mεχηανισm αδεθυατελψ ανδ ηενχε mαψ νοτ mοδελ δοmιναντ φαιλυρε mοδεσ αδεθυατελψ. Χυρρεντλψ λιττλε ορ νο αλλοωανχε ισ mαδε φορ ϖαριαβιλιτιεσ ιν δεσιγν παραmετερσ, προχεσσινγ παραmετερσ ανδ τοπολογιχαλ ινδιχεσ.

3 Ονε σολυτιον το τηισ προβλεm ισ το ιντεγρατε ωελλ εσταβλισηεδ ρελιαβιλιτψ τεχηνιθυεσ ωιτη χοmποσιτε στρυχτυρε δεσιγν. Τηερε αρε ϖαριουσ εσταβλισηεδ τεχηνιθυεσ το χαρρψ ουτ ρελιαβιλιτψ αναλψσισ συχη ασ φιρστ ορ σεχονδ ορδερ ρελιαβιλιτψ mετηοδσ (ΦΟΡΜ ορ ΣΟΡΜ) ορ σιmυλατιον (ε.γ. Μοντε Χαρλο) ανδ δεπενδινγ ον τηε τψπε οφ προβλεm, ονε ορ τηε οτηερ mετηοδσ χαν βε αππλιεδ. Ονε οφ τηε διφφιχυλτ προβλεmσ ιν χοmποσιτεσ ωιλλ βε το δεφινε τηε φαιλυρε συρφαχε φορ ϖαριουσ λιmιτ στατεσ ανδ αλσο τηε υνχερταιντιεσ οφ διφφερεντ δεσιγν ϖαριαβλεσ ινϖολϖεδ ιν τηε δεφινιτιον οφ τηε λιmιτ στατεσ. Συρmουντινγ τηεσε ισσυεσ ωιλλ ρεδυχε τηε λεϖελ οφ υνχερταιντψ ιν αδοπτινγ χοmποσιτεσ ασ α χονστρυχτιον mατεριαλ ανδ ωιδεν τηε ενγινεερ σ χηοιχε οφ δεσιγν σολυτιονσ. Τηερε ισ α σιγνιφιχαντ υσε οφ στιφφενεδ πλατινγ ορ πανελσ ιν σηιπ στρυχτυρεσ. Τηε αχχυρατε σολυτιον φορ τηε mεχηανιχαλ ρεσπονσε οφ τηεσε στιφφενεδ πανελσ συβϕεχτ το λοαδινγ ισ νοτ τριϖιαλ. Ηοωεϖερ, το αϖοιδ χονσερϖατιϖενεσσ ιν δεσιγν ανδ εασινγ τηε ιντροδυχτιον οφ νεω χονστρυχτιον mατεριαλσ, τηε υσε οφ προβαβιλιστιχ mετηοδσ ρεθυιρεσ α στρυχτυραλ mοδελ ωιτη ηιγη λεϖελσ οφ χονφιδενχε. Τηε χηαλλενγε ισ το ιδεντιφψ αν αναλψτιχαλ ορ νυmεριχαλ τεχηνιθυε τηατ χαν mεετ τηε χοmπροmισε βετωεεν αχχυραχψ ανδ σπεεδ ρεθυιρεδ ιν ρελιαβιλιτψ αναλψσεσ. Ιν α σηιπ στρυχτυρε, βεαmσ ανδ γιρδερσ αρε τηε στιφφενινγ mεmβερσ φορ τηε πλατινγ: γιρδερσ ανδ βεαmσ αρε υσυαλλψ πλαχεδ λονγιτυδιναλλψ ανδ τρανσϖερσελψ ρεσπεχτιϖελψ, φορmινγ α mεση ωηιχη ιντερσεχτσ ορτηογοναλλψ (Φιγυρε 1). Τηε νετωορκ οφ τηεσε γιρδερσ ανδ βεαmσ ισ χαλλεδ α γριλλαγε, δεφινεδ βψ Χλαρκσον ( 1965), ωηερεβψ τηε πλατινγ βετωεεν τηε στιφφενερσ ισ χονσιδερεδ ασ αν εφφεχτιϖε φλανγε (στιφφενερ βασε πλατε) βετωεεν τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ. Ιν τηισ ωαψ, τηε αναλψσισ ισ ρεδυχεδ το τηατ οφ αν υνπλατεδ γριλλαγε ωηερε τηε mεχηανιχαλ ρεσπονσε χαν βε οβταινεδ υσινγ Ευλερ Βερνουλλι βεαm τηεορψ, ειτηερ τηρουγη τηε υσε οφ α Dισπλαχεmεντ Μετηοδ (DΜ) ορ α Φορχε Μετηοδ (ΦΜ) (Wυνδερλιχη & Πιλκεψ 2003) ορ αππροξιmατε mετηοδσ συχη ασ τηε Ορτηοτροπιχ Πλατε (ΟΠΜ) ορ τηε Ενεργψ mετηοδ (ΕΜ) (ςεδελερ 1945). Φολδεδ Πλατε mετηοδσ (ΦΠΜ) χαν αλσο βε υσεδ το σολϖε τηε mεχηανιχαλ ρεσπονσε α στιφφενεδ πανελ ορ τηε υσε οφ α νυmεριχαλ Φινιτε Ελεmεντ Αναλψσισ (ΦΕΑ). Τηε δισπλαχεmεντ mετηοδ (Χλαρκσον 1965) ισ τηε mοστ χοmmον mετηοδ υσεδ φορ γριλλαγε αναλψσισ ανδ ιτ ρελιεσ ον τηε αναλψσισ οφ τηε στραιγητ σεγmεντσ οφ τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ βετωεεν τηε ιντερσεχτιον

4 ποιντσ ανδ δεφινεσ τηε δεφλεχτιον ανδ σλοπεσ ατ τηε ιντερσεχτιον ποιντσ. Ρεσεαρχη αππλιχατιονσ ηαϖε χονσιδερεδ βοτη στατιχ ανδ δψναmιχ προβλεmσ (Βαλενδρα & Σηανmυγαm 1985;Χηευνγ, Βακητ, & ϑαεγερ 1982;Εϖαν Η.Ρ. ετ αλ. 1983;Ταν & Μονταγε 1991). Φορ τηε φορχε mετηοδ, ατ εϖερψ ιντερσεχτιον ποιντ οφ τηε γριλλαγε τηε χονδιτιον οφ εθυιλιβριυm ισ σατισφιεδ φορ αππλιεδ λοαδ. Τηε δεφλεχτιον ισ χαλχυλατεδ βψ υσινγ βεαm τηεορψ ωηερε ρεαχτιον φορχε ισ δετερmινεδ. Λαζαριδεσ ( 1952) ιντροδυχεδ τηε χαλχυλατιον προχεδυρε οφ τηε ΦΜ το α σθυαρε γριλλαγε βψ ιγνορινγ τηε τορσιον οφ βεαmσ. Τηισ χαλχυλατιον προχεδυρε υσεδ βψ Χλαρκσον ( 1963) προϖιδεδ σολυτιονσ ωηιχη αγρεεδ ωελλ ωιτη εξπεριmενταλ δατα. Σινχε τηε νυmβερ οφ εθυατιονσ ινχρεασεσ ωηεν τηε νυmβερ οφ ιντερσεχτιονσ ινχρεασεσ, φινδινγ τηε mεχηανιχαλ σολυτιονσ οφ α γριλλαγε ηαϖινγ α λαργε νυmβερ οφ βεαmσ ρεθυιρεσ σολυτιον βψ χοmπυτερ ωηεν ειτηερ τηε ΦΜ ορ DΜ ισ βεινγ υτιλισεδ. Σmιτη ( 1964) δεϖελοπεδ α χοmπυτερ προγραm το αναλψσε γριλλαγεσ ωιτη υπ το 100 ιντερσεχτιονσ ωηερε τωο αξεσ οφ σψmmετρψ ωερε πρεσεντ. Μορε ρεχεντλψ, ϑανγ ετ αλ. ( 1996) εmπλοψεδ τηε ΦΜ βψ ιγνορινγ τορσιοναλ ριγιδιτψ οφ γιρδερσ ανδ βεαmσ ωιτηιν τηειρ οπτιmισατιον οφ α συρφαχε εφφεχτ σηιπ βυιλτ φροm αλυmινιυm. Τηε χοmπλεξ στρυχτυρεσ δυε το λονγιτυδιναλ γιρδερ ανδ τρανσϖερσε ωεβ φραmεσ ωερε ρεπρεσεντεδ ασ α νυmβερ οφ γριλλαγεσ. Φιγυρε 1.(α)Τοπηατ χροσσ στιφφενεδ πλατε (β)υνπλατεδ γριλλαγε ρεπρεσεντατιον φορ τηε στιφφενεδ πλατε (Μανεεπαν 2007)

5 Ιν τηε χοντεξτ οφ α προβαβιλιστιχ αναλψσισ οφ στιφφενεδ πανελσ, α λαργε νυmβερ οφ σιmυλατιονσ mαψ βε ρεθυιρεδ ωηερε εαχη σιmυλατιον ρεπρεσεντσ αν αλτερνατιϖε χοmβινατιον οφ στιφφενεδ πανελ ϖαριαβλεσ. Το αϖοιδ σολϖινγ α λαργε νυmβερ οφ εθυατιονσ τηερεφορε, αππροξιmατε mετηοδσ φορ τηε mεχηανιχαλ ρεσπονσε οφ α στιφφενεδ πανελ ισ αδϖανταγεουσ. Α νυmβερ οφ ρεσεαρχηερσ ηαϖε υτιλισεδ ονε αππροξιmατινγ αναλψτιχαλ τεχηνιθυε, τηε ορτηοτροπιχ πλατε mετηοδ, φορ α νυmβερ οφ αππλιχατιονσ (Ηοσσεινι Τουδεσηκψ, Οϖεσψ, & Κηαραζι 2005;Κρισεκ, Εϖαν, & Αηmαδ 1990;Μικαmι & Νιωα 1996;Μικαmι & Ψονεζαωα 1983). ΟΠΜ χονϖερτσ τηε στιφφενεδ πλατε ιντο αν εθυιϖαλεντ πλατε ωιτη χονσταντ τηιχκνεσσ βψ σmεαρινγ ουτ τηε στιφφενερσ βυτ ισ λιmιτεδ ιν αχχυραχψ βψ τηε σπαχινγ ανδ νυmβερ οφ στιφφενερσ χονσιδερεδ (Βεδαιρ 1997). Αν αλτερνατιϖε αππροξιmατινγ τεχηνιθυε ωασ δεϖελοπεδ βψ ςεδελερ ( 1945) ιν τηε 1940 σ ωηο σιmπλιφιεδ τηε σολυτιον το τηε γριλλαγε προβλεm βψ υσινγ Ναϖιερ σ ενεργψ mετηοδ (ΕΜ) ιν ωηιχη τηε δεφλεχτιον οφ τηε γριλλαγε ισ δετερmινεδ βψ εθυατινγ τηε τοταλ στραιν ενεργψ οφ αλλ τηε βεαmσ το ωορκ δονε βψ τηε νορmαλ λοαδ σο τηατ ονλψ ονε εθυατιον νεεδεδ το βε σολϖεδ φορ δεφλεχτιον ατ εϖερψ ιντερσεχτιον. Οτηερ αλτερνατιϖε τεχηνιθυεσ φορ τηε αναλψσισ οφ στιφφενεδ πανελσ χαν βε φουνδ ιν τηε φολδεδ πλατε mετηοδ (ΦΠΜ) ανδ φινιτε ελεmεντ αναλψσισ (ΦΕΑ), ωηιχη ισ λικελψ το βε τηε mοστ εφφεχτιϖε mεανσ οφ γεττινγ αχχυρατε ρεσυλτσ. Βοτη mετηοδσ αρε βασεδ ον δισχρετε mοδελσ οφ αν αρραψ οφ βεαmσ ανδ πλατε ελεmεντσ. Τηε χοντινυιτψ χονδιτιονσ αρε δεφινεδ αλονγ τηε ιντερχοννεχτινγ βουνδαρψ βετωεεν τηε πλατεσ ανδ βεαmσ. Τηε αχχυραχψ οφ τηε ΦΠΜ ισ λιmιτεδ το στρυχτυρεσ χονσιστινγ οφ φλατ ρεχτανγυλαρ πανελσ σιmπλψ συππορτεδ ατ ονε παιρ οφ οπποσιτε σιδεσ ανδ στιφφενεδ ιν ονε διρεχτιον ονλψ (φορ ορτηογοναλλψ στιφφενεδ πλατεσ, τηε τρανσϖερσε στιφφενερσ αρε σmεαρεδ ουτ βψ αδδινγ τηε στιφφνεσσ προπερτιεσ ιντο τηε πλατε ελεmεντ). Τηε πραχτιχαλ αππλιχατιον οφ ΦΠΜ χαν βε σεεν ιν τηε Χαναδιαν βριδγε δεσιγν χοδε (ΧΗΒDΧ 2000) ωηιχη ρεστριχτσ τηε υσε οφ τηισ mετηοδ το βριδγεσ ωιτη συππορτ χονδιτιονσ χλοσελψ εθυιϖαλεντ το λινε συππορτσ ατ βοτη ενδσ οφ τηε βριδγε.

6 Τηε τιmε χονσυmεδ ιν τηε σολυτιον φορ βοτη τηε ΦΠΜ ανδ ΦΕΑ ισ τοο ηιγη το αλλοω τηε πραχτιχαλ υσε οφ τηεσε αππροαχηεσ ιν προβαβιλιστιχ αναλψσισ δυε το τηε νυmβερ οφ εθυιλιβριυm εθυατιονσ τηατ ρεθυιρε σολυτιον. Συβσεθυεντλψ τηε αναλψσισ οφ α στιφφενεδ πλατε ωιλλ βε περφορmεδ βασεδ ον τηε γριλλαγε mοδελ ασσυmπτιον οϖερ τηε ΟΠΜ ορ ΦΠΜ. Τηε ενεργψ mετηοδ (ΕΜ) ισ χονσιδερεδ ιν τηισ αναλψσισ φορ τηε γριλλαγε σολυτιον. Τηισ χαν βε ραπιδλψ εmπλοψεδ το εϖαλυατε τηε ρελιαβιλιτψ ωιτηουτ βυιλδινγ τηε ΦΕ mοδελσ. Φορ τηε αππλιχατιον οφ ανισοτροπιχ ΦΡΠ χοmποσιτε mατεριαλσ, Σmιτη ( 1990) σηοωεδ τηατ τηε γριλλαγε αναλψσισ φορ στιφφενεδ πανελσ mαδε φροm ισοτροπιχ mατεριαλσ χουλδ βε υτιλισεδ βψ χονσιδερατιον οφ χοmποσιτε βεαm τηεορψ υνδερ τηε ασσυmπτιον τηατ α πλανε σεχτιον ον τηε πανελ ωασ το ρεmαιν πλανε ωηεν συβϕεχτεδ το βενδινγ mοmεντσ ανδ Ποισσον σ ρατιο εφφεχτ ωασ χονσιδερεδ νεγλιγιβλε. Ιν συmmαρψ, τηε προβαβιλιστιχ αναλψσισ οφ α χοmποσιτε στιφφενεδ πανελ ωιλλ βε υνδερτακεν ον τηε βασισ οφ α στρυχτυραλ mοδελ τηατ ρεδυχεσ τηε προβλεm το τηατ οφ αν ενεργψ mετηοδ σολυτιον οφ αν αναλογουσ γριλλαγε. Grillage analysis for a Composite Stiffened Plate Τηε αναλψσισ οφ α γριλλαγε βασεδ ον Ναϖιερ σ Ενεργψ Μετηοδ φουνδ ιν ςεδελερ ( 1945), οριγιναλλψ δεϖελοπεδ φορ α στρυχτυρε βυιλτ οφ ισοτροπιχ mατεριαλ, ισ αδαπτεδ φορ χοmποσιτε πλατεδ γριλλαγεσ βψ συβστιτυτινγ εθυιϖαλεντ ελαστιχ προπερτιεσ οφ α σψmmετριχ λαmινατε ιντο τηε γριλλαγε αναλψσισ. Χονσιδερ τηε γριλλαγε (σεε Φιγυρε 1) χονσιστινγ οφ β εθυαλλψ σπαχεδ βεαmσ ιν τηε λενγτη (Λ) διρεχτιον ανδ γ εθυαλλψ σπαχεδ γιρδερσ ιν τηε ωιδτη (Β) διρεχτιον.

7 Χροων Wεβ Βασε Πλατε Γιρδερ Σπαχινγ Βεαm Σπαχινγ Φιγυρε 2(α)Τοπηατ χροσσ σεχτιον οφ γιρδερσ & βεαmσ, δεσχριβινγ ι ελεmεντσ, ωιτη λοχαλ χοορδινατε σψστεm φορ φιβρε λαψυπ (β)γεοmετριχ παραmετερσ οφ γιρδερσ ανδ (χ)γεοmετριχ παραmετερσ οφ βεαmσ (Μανεεπαν 2007) Το ρεπρεσεντ τηε τοπηατ χροσσ στιφφενεδ πλατεσ, τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ οφ τηε γριλλαγε ηαϖε α τοπηατ σηαπε ινχλυδινγ τηε βασε πλατε, ορ εφφεχτιϖε φλανγε, (σεε Φιγυρε 2). Σινχε τηε στρυχτυρεσ αρε mαδε οφ λαmινατεδ χοmποσιτε, τηε τοπηατ, ορ βοξ, χροσσ σεχτιον χουλδ βε χοmπρισεδ οφ mανψ ελεmεντσ, φορ εξαmπλε τηε βασε πλατε, ϖερτιχαλ ωεβσ ανδ τηε ηοριζονταλ τοπ χροων, ηαϖινγ διφφερεντ ελαστιχ προπερτιεσ (τηε χορε ισ νεγλεχτεδ ασ ιτ ισ υσυαλλψ νον στρυχτυραλ). Το αϖοιδ τηε σεχτιον χουπλινγ προβλεm βετωεεν mεmβρανε ανδ βενδινγ αχτιον, τηε γεοmετρψ οφ τηε χροσσ σεχτιον mυστ βε σψmmετριχ. Εαχη λαmινατεδ ελεmεντ ισ ασσυmεδ το βε σψmmετριχ αβουτ ιτσ οων πλανε ανδ σπεχιαλλψ ορτηοτροπιχ ιν τηε mεmβρανε mοδε το ελιmινατε τηε εφφεχτ οφ τηε χουπλινγ τερmσ. Φροm Dατοο ( 1991), τηε mεmβρανε εθυιϖαλεντ Ψουνγ σ mοδυλυσ ϖαλυε οφ α λαmινατε ιν τηε αξιαλ διρεχτιον οφ τηε ι τη ελεmεντ (Ε ι ) χαν βε φουνδ βψ, Ε ι = 2 ( Α Α Α ) Ατ 22 (1) Τηε εξτενσιον στιφφνεσσ [Α] οφ τηε ελεmεντ ισ εξπρεσσεδ ασ:

8 ασ φολλοωσ: Φορ ιϕ = 11, 12 ανδ 22, τηε εξπρεσσιον οφ ( ) = Ν Α τ Θ (2) ιϕ κ ιϕ κ κ =1 Θ ιϕ, τηε τρανσφορmεδ ρεδυχεδ στιφφνεσσ οφ τηε κ τη λαψερ, αρε Θ = χ Θ + σ Θ + 2χ σ Θ + 4χ σ Θ ( ) Θ = χ σ Θ + χ σ Θ + χ + σ Θ 4χ σ Θ Θ = σ Θ + χ Θ + 2χ σ Θ + 4χ σ Θ (3) χ ανδ σ αρε αββρεϖιατιονσ φορ χοσθ ανδ σινθ ανδ θ ισ τηε φιβρε ανγλε ιν εαχη πλψ. Τηε ρεδυχεδ στιφφνεσσ τερmσ Θ ιϕ ωηερε ιϕ = 1, 2 ανδ 6 αρε εξπρεσσεδ ασ: Θ Ε =, Θ = ( 1 ν ν ) ( 1 ν ν ) ν Ε Θ =, Θ = Γ ( 1 νν ) Ε (4) Ιφ τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ χονσιστ οφ Ν γ ανδ Ν β ελεmεντσ ρεσπεχτιϖελψ, τηε φλεξυραλ ριγιδιτψ οφ τηε γιρδερ (D γ ) ανδ βεαm (D β ) χαν βε ωριττεν ασ: Ν γ β D = Ε Ι, D = Ε Ι (5) γ γ() ι γ() ι β β() ι β() ι ι= 1 ι= 1 Ν Ε γ(ι) ανδ Ε β(ι) αρε mεmβρανε εθυιϖαλεντ Ψουνγ σ mοδυλι ιν τηε αξιαλ διρεχτιον οφ ι τη ελεmεντ οφ τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ ρεσπεχτιϖελψ. Ι γ(ι) ανδ Ι β(ι) αρε τηε σεχονδ mοmεντ οφ αρεα οφ τηε ιτη ελεmεντ ρελατιϖε το τηε Νευτραλ Αξισ (ΝΑ) οφ τηε γιρδερ σ ανδ βεαm σ χροσσ σεχτιονσ ρεσπεχτιϖελψ. Τηε γενεραλ φορm οφ Ι γ(ι) ανδ Ι β(ι) χαν βε πρεσεντεδ βψ Ι (ι) ασ φολλοωσ υσινγ τηε στανδαρδ παραλλελ αξισ τηεορεm, ωηερε α (ι) ισ τηε αρεα οφ τηε ι τη ελεmεντ ανδ δ ΝΑ(ι) ισ τηε διστανχε φροm τηε ΝΑ οφ τηε ι τη ελεmεντ: ( ) 2 Ι = Ι + α δ (6) () ι χξ() ι () ι ΝΑ() ι Τηε δεφλεχτιον, ω(ξ,ψ), ατ ανψ ποιντ οφ τηε γριλλαγε ισ εξπρεσσεδ βψ τηε φολλοωινγ δουβλε συmmατιον οφ τριγονοmετριχ σεριεσ αχχορδινγ το Ναϖιερ σ ενεργψ mετηοδ (Βεδαιρ 1997): mπ ξ νπ ψ ω( ξ, ψ) = α σιν σιν (7) mν Λ Β m= 1 ν= 1

9 m ανδ ν αρε ωαϖε νυmβερσ ανδ α mν αρε χοεφφιχιεντσ ωηιχη χαν βε δετερmινεδ βψ τηε χονδιτιον τηατ τηε χηανγε ιν ποτεντιαλ ενεργψ δυε το τηε ασσυmεδ δεφλεχτιονσ ισ α mινιmυm. Τηε ποτεντιαλ ενεργψ, ορ στραιν ενεργψ, ς, ιν α δεφλεχτεδ γριλλαγε χαν βε ωριττεν ασ: ς = ς + ς W (8) γ β ς γ ανδ ς β αρε τηε στραιν ενεργιεσ ιν τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ ρεσπεχτιϖελψ ανδ W ισ τηε ωορκ δονε βψ αν εξτερναλ λοαδ, Π. Φορ mινιmυm ποτεντιαλ ενεργψ, ς ςγ ςβ W = + α α α α mν mν mν mν = 0 (9) Τηε δεφλεχτιον χυρϖε οφ τηε θ τη βεαm ισ οβταινεδ βψ γιϖινγ ξ τηε χονσταντ ϖαλυε, ξ θ = θλ ( β + 1), (10) συχη τηατ, νπ ψ mπ θ ωψ ( ) = β σιν ωηερε β = α σιν ( β+ 1) (11) ξ= ξθ θν θν mν ν= 1 Β m= 1 Σιmιλαρλψ, τηε δεφλεχτιον χυρϖε οφ τηε π τη γιρδερ ισ οβταινεδ βψ γιϖινγ ψ τηε χονσταντ ϖαλυε, ψ π = πβ ( γ + 1), (12) συχη τηατ, mπ ξ νπ ωξ ( ) = χ σιν ωηερε χ = α σιν Λ ( γ + 1 ) (13) ψ= ψπ πν πν mν m= 1 ν= 1 Τηε στραιν ενεργψ φορ αλλ τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ χαν νοω βε ρεπρεσεντεδ ασ: γ β Λ 2 2 Β 2 2 Dγ ω D ω β 2 ψ 2 2 ξ 2 0 ψ= ψ 0 ψ π ξ= ξθ ς + ς = δξ + δ (14) Μεανωηιλε, τηε ωορκ δονε, W, βψ τηε αππλιχατιον οφ α υνιφορm πρεσσυρε λοαδ, Π, ισ: W Λ Β mπξ νπψ Π α σιν σιν δψδξ (15) mν Λ Β = 0 0 m= 1 ν= 1 Τηερεφορε,

10 Λ Β W mπξ νπψ = Πσιν σιν α δψδξ (16) Λ Β mν 0 0 ςγ ς Φορ τηε mινιmυm ποτεντιαλ ενεργψ, εθυατινγ β + αmν αmν το Εθυατιον (16), ωε οβταιν, D m θ π D ν π 4ΠΛΒ 4 β 4 γ π 4 π 4 π β νβ σιν 3 θν 3 Β θ= 1 β Λ = 1 γ 2 mν γ + mχ σιν = (17) πν ( + ) π ( + ) π ωηερε m ανδ ν αρε οδδ νυmβερσ (ιντεγρατιον οφ εϖεν νυmβερεδ σινε φυνχτιονσ εθυαλσ ζερο). Νοω τηε χοεφφιχιεντ α mν χαν βε οβταινεδ ασ, α mν 16ΠΛΒ = D π mν m γ ν β Λ γ ( + 1) + ( + 1) D β 3 3 Β (18) Ηενχε, τηε χοmπλετε εξπρεσσιον φορ τηε δεφλεχτιον οφ τηε τοπηατ στιφφενεδ πλατε χαν βε φουνδ βψ συβστιτυτινγ Εθυατιον (18) ιντο α δουβλε σινε σεριεσ ιν Εθυατιον (7). Τηε βενδινγ mοmεντ ανδ σηεαρ φορχε, ρεσπεχτιϖελψ, οφ τηε π τη γιρδερ χαν βε οβταινεδ βψ, 2 ω Μ Μ = D Θ = ξ ξ, γ γ γ 2 γ (19) Τηε διρεχτ στρεσσ ιν τηε αξιαλ διρεχτιον ανδ σηεαρ στρεσσ ατ εαχη ελεmεντ ον τηε γιρδερ χροσσ σεχτιον αρε γιϖεν βψ τηε φολλοωινγ εξπρεσσιονσ, σ γ Ε Μ Ζ Ε Θ σ γ() ι γ γ γ() ι γ =, τ = Ζ δσ γ (20) γ D γ D γ 0 ωηερε Ζ γ ισ τηε διστανχε φροm τηε νευτραλ αξισ οφ τηε γιρδερ το τηε ι τη ελεmεντ ανδ σ ισ τηε διστανχε αρουνδ τηε χροσσ σεχτιον φροm τηε mιδδλε οφ τηε χροων ελεmεντ το α ποιντ ωηερε τηε σηεαρ ϖαλυε ισ οφ ιντερεστ. Σιmιλαρ το Εθυατιονσ (19) ανδ (20), τηε διρεχτ στρεσσ (σ β ) ανδ σηεαρ στρεσσ (τ β ) οφ τηε βεαm χαν βε οβταινεδ βψ ρελεϖαντ συβστιτυτιονσ. Validation Τηε γριλλαγε αναλψσισ προχεδυρε φορ τηε ρεσπονσε οφ α χοmποσιτε στιφφενεδ πανελ το υνιφορm πρεσσυρε λοαδινγ ωιτη σιmπλε συππορτσ ηασ βεεν δεταιλεδ ιν τηε πρεϖιουσ σεχτιον Γριλλαγε αναλψσισ φορ α Χοmποσιτε Στιφφενεδ Πλατε. Υσινγ τηισ σαmε προχεδυρε βυτ ωιτη τηε σιmπλιφιχατιον οφ ισοτροπιχ mατεριαλ προπερτιεσ φορ

11 ωηιχη κνοων σολυτιονσ εξιστ α ϖαλιδατιον (Χλαρκσον 1965;Μανεεπαν 2007;Ναψακ ετ αλ. 2006) χαν βε mαδε, λικεωισε α χοmπαρισον ωιτη ρεσυλτσ οβταινεδ φροm φινιτε ελεmεντ αναλψσισ (Μανεεπαν 2007). Εξτενδινγ τηε ΕΜ αππροαχη φορ ΦΡΠ χοmποσιτεσ βψ τηε υσε οφ εθυιϖαλεντ ελαστιχ προπερτιεσ (εθυατιονσ (1 6)) ισ τριϖιαλ. Φροm φουρ εξαmπλεσ πρεσεντεδ ιν Χλαρκσον ( 1965), τηε γριλλαγεσ χηοσεν φορ ϖαλιδατορψ πυρποσεσ ρεπρεσεντ α ρεχτανγυλαρ ανδ α σθυαρε πανελ στιφφενεδ βψ ειτηερ Ι σεχτιονσ ορ βοξ σεχτιονσ ιν τηε φολλοωινγ αρρανγεmεντ: φουρ εθυαλ & εϖενλψ σπαχεδ γιρδερσ & φιϖε εθυαλ ανδ εϖενλψ σπαχεδ τρανσϖερσε βεαmσ φορ ρεχτανγυλαρ πανελ (4ξ5) φουρ εθυαλ & εϖενλψ σπαχεδ γιρδερσ & τρανσϖερσε βεαmσ φορ σθυαρε πανελ (4ξ4) Ταβλε 2. Τηε διmενσιονσ οφ τηε στιφφενερσ φορ βοτη πανελσ αρε γιϖεν ιν Ταβλε 1 ανδ τηε πανελ διmενσιονσ ιν Ταβλε 1 Γιρδερ & βεαm διmενσιονσ 4ξ5 Dιmενσιον Ι ορ Βοξ Γιρδερ Βεαm 4ξ4 Ι ορ Βοξ Γιρδερ ορ Βεαm Ηειγητ (mm) Wιδτη (mm) Χροων τηιχκνεσσ (mm) Wεβ τηιχκνεσσεσ (mm) Φλανγε τηιχκνεσσ (mm) Τηε 4ξ4 πανελ ισ συβϕεχτεδ το κΠα ανδ τηε 4ξ5 πανελ το κΠα (σεε Ταβλε 2). Τηε αππαρεντ αχχυραχψ το ωηιχη τηε δεσιγν παραmετερσ αρε σπεχιφιεδ ισ δυε το τηε νατυρε οφ χονϖερτινγ φροm Ιmπεριαλ υνιτσ οφ mεασυρεmεντ το mετριχ. Ταβλε 3 χοmπαρεσ τηε ρεσυλτσ οφ DΜ (Χλαρκσον 1965), ΕΜ (ςεδελερ 1945) ανδ ΦΕΑ (Μανεεπαν 2007) φορ mαξιmυm δεφλεχτιον ανδ στρεσσ. Φορ τηε γριλλαγε χονστρυχτεδ υσινγ Ι βεαmσ, τηε πρεσχριβεδ ΕΜ ρεσυλτσ ηαϖε γοοδ αγρεεmεντ ωιτη ρεσυλτσ οβταινεδ φροm ΦΕΑ (υσινγ 4 νοδε, 6 δεγρεε οφ φρεεδοm περ νοδε, ΣΗΕΛΛ63 ελεmεντσ). Φορ τηε βοξ στιφφενεδ πλατε, τηε mαξιmυm στρεσσ ιν τηε λονγιτυδιναλ ανδ τρανσϖερσε βεαmσ διφφερ βψ υπ το 20.3%. Τηε ασσυmπτιον τηατ τηε εφφεχτσ οφ σηεαρ δεφλεχτιονσ ανδ τορσιοναλ ριγιδιτψ οφ

12 τηε βεαmσ αρε συφφιχιεντλψ σmαλλ το βε νεγλεχτεδ ισ νοτ ρεαλιστιχ ασ ιν τηισ χασε τηε λονγιτυδιναλ ανδ τρανσϖερσε mεmβερσ ηαϖε ωιδελψ διφφερινγ στιφφνεσσ. Τηε εξτενσιον το αν ανισοτροπιχ χοmποσιτε mατεριαλ ρεθυιρεσ τηε δεφινιτιον οφ τηε εθυιϖαλεντ Ψουνγ σ mοδυλυσ ιν τηε ριγιδιτψ δεφινιτιονσ, εθυατιονσ (5). Χοmπαρινγ τηε mεmβρανε εθυιϖαλεντ Ψουνγ σ mοδυλυσ ωιτη τηατ δετερmινεδ βψ Dατοο ( 1991) σηοωσ τηατ τηε πρεσεντ ωορκ ισ ιν εξαχτ αγρεεmεντ (Μανεεπαν 2007). Γριλλαγε δισπλαχεmεντ ανδ στρεσσ χαλχυλατιον ποσιτιον Γριλλαγε δισπλαχεmεντ χαλχυλατιον ποσιτιον Γριλλαγε στρεσσ χαλχυλατιον ποσιτιον φορ γιρδερ Γριλλαγε στρεσσ χαλχυλατιον ποσιτιον φορ βεαm (α) 4ξ4 γριλλαγε (β) 4ξ5 γριλλαγε Φιγυρε 1 Γριλλαγε γεοmετρψ ανδ ποσιτιονσ οφ δισπλαχεmεντ ανδ στρεσσ χαλχυλατιονσ Ταβλε 2. Στατιστιχσ οφ ρανδοm ϖαριαβλεσ φορ στεελ γριλλαγεσ ( ϖαλυε υσεδ φορ στρεσσ λιmιτ στατε) Μεαν ςαλυε Ρανδοm ςαριαβλε ΧΟς (%) Dιστριβυτιον 4ξ4 4ξ5 Ι Βοξ Ι Βοξ Λ (λενγτη) (mm) 3 Νορmαλ Β (βρεαδτη) (mm) 3 Νορmαλ Ι γ (Ινερτια, γιρδερ) (mm 4 ) 3 Νορmαλ 72.48ξ ξ ξ ξ10 6 Ι β (Ινερτια, βεαm) (mm 4 ) 3 Νορmαλ 72.48ξ ξ ξ ξ10 6 Ε (Ψουνγ σ mοδυλυσ) (ΓΠα) 2,3,4,5 Νορmαλ σ Ψ (Ψιελδ στρεσσ) (ΜΠα) 8 Λογνορmαλ Π (λοαδ) (κπα) 10,15,20,25,30 Wειβυλλ

13 Ταβλε 3. Χοmπαρισον βετωεεν ρεσυλτσ φορ DΜ, ΕΜ ανδ τηε ΦΕΑ φορ mαξιmυm δεφλεχτιον, mαξ, ανδ στρεσσ, γ ανδ β φορ γιρδερ ανδ βεαm ρεσπεχτιϖελψ. Γριλλαγε στρυχτυρε 4ξ4 4ξ5 Βεαm Τψπε Ι Βοξ Ι Βοξ Σολυτιον Dισπλαχεmεντ mετηοδ (Χλαρκσον 1965) Τορσιον ινχλυδεδ Σηεαρ ανδ τορσιον νεγλεχτεδ Ενεργψ Μετηοδ (ςεδελερ 1945) (Σηεαρ ανδ τορσιον νεγλεχτεδ) ΦΕΑ (Μανεεπαν 2007) Ερρορ βετωεεν Ενεργψ Μετηοδ ανδ ΦΕΑ(%ΦΕΑ) mαξ (mm) mαξ (ΜΠα) mαξ (mm) mαξ (ΜΠα) mαξ (mm) γ mαξ(μπα) β mαξ(μπα) mαξ (mm) γ mαξ(μπα) β mαξ(μπα) Reliability Analysis Φολλοωινγ τηε συχχεσσφυλ αναλψτιχαλ αππροαχη φορ ρεπρεσεντινγ τηε mεχηανιχαλ ρεσπονσε οφ αν ισοτροπιχ στιφφενεδ πανελ ανδ εξτενδινγ τηε αππροαχη φορ ανισοτροπιχ mατεριαλ βψ τηε υσε οφ εθυιϖαλεντ ελαστιχ προπερτιεσ, α ρελιαβιλιτψ αναλψσισ χαν βε υνδερτακεν ωιτη χονφιδενχε. Τηε ρελιαβιλιτψ οφ α στρυχτυρε ισ δεφινεδ ασ τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε στρυχτυρε ωιλλ περφορm ιτσ ιντενδεδ φυνχτιον ωιτηουτ φαιλινγ. Dεφινινγ α περφορmανχε φυνχτιον, ορ λιmιτ στατε φυνχτιον, γ(ξ), ασ τηε διφφερενχε βετωεεν στρυχτυραλ χαπαχιτψ ανδ δεmανδ τηεν: γ(ξ) > 0 τηεν τηε στρυχτυρε ισ σαφε. γ(ξ) < 0 τηεν τηε στρυχτυρε ηασ φαιλεδ. γ(ξ) = 0 δεφινεσ τηε φαιλυρε λιmιτ στατε βετωεεν συρϖιϖαβιλιτψ ανδ φαιλυρε Ιν τηισ παπερ τηε ρελιαβιλιτψ ισ γιϖεν ασ τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε χαλχυλατεδ στιφφενεδ πανελ δεφορmατιονσ ανδ στρεσσεσ αρε λεσσ τηαν τηε περmισσιβλε ϖαλυεσ: α στιφφνεσσ λιmιτ στατε ανδ α στρενγτη λιmιτ στατε. Τηε ρελιαβιλιτψ ινδεξ ορ σαφετψ ινδεξ ισ εφφεχτιϖελψ α mεασυρε οφ ηοω φαρ ινσιδε τηε σαφε ζονε τηε στρυχτυρε ισ οπερατινγ αππροαχηινγ α ζερο ϖαλυε, τηε προβαβιλιτψ τηατ α στρυχτυρε ωιλλ φαιλ αππροαχηεσ 100%.

14 Τηε ιmπορτανχε τηατ εαχη ρανδοm ϖαριαβλε ηασ ον τηε οϖεραλλ γριλλαγε ρεσπονσε χαν βε εξαmινεδ βψ τηε εϖαλυατιον οφ τηε σενσιτιϖιτψ ινδεξ, α. Τηε λαργερ τηε σενσιτιϖιτψ ινδεξ, τηε mορε ινφλυεντιαλ τηε παρτιχυλαρ ρανδοm ϖαριαβλε ισ ον τηε οϖεραλλ λιmιτ στατε φυνχτιον. Φορ τηε φολλοωινγ χασεσ, αλλ προβαβιλιστιχ χοmπυτατιονσ αρε χαρριεδ ουτ ωιτη τηε χοmπυτερ προγραm ΧΑΛΡΕΛ υσινγ φιρστ ορδερ ανδ σεχονδ ορδερ ρελιαβιλιτψ mετηοδσ (ΦΟΡΜ/ΣΟΡΜ) (Λιυ, Λιν, & Dερ Κιυρεγηιαν 2008). Reliability of stiffened steel plate Dεφλεχτιον Λιmιτ Στατε Τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε φυνχτιον ισ δεφινεδ ασ φολλοωσ: γ( ξ) = κ ω ω( Λ, Β, Ι, Ι, Ε, Π) (21) mαξ γ β ωηερε ω mαξ ισ τηε mαξιmυm δισπλαχεmεντ ατ ανψ οφ τηε λοχατιονσ ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε 3 υσινγ τηε mεαν ϖαλυεσ οφ τηε δεσιγν παραmετερσ, Ταβλε 3. κ ισ αν αρβιτραρψ φαχτορ ιτ ισ τακεν ασ 2 ιν τηισ προβλεm. Λ ανδ Β αρε τηε λενγτη ανδ ωιδτη οφ τηε γριλλαγε στρυχτυρε; Ι γ ανδ Ι β αρε τηε σεχονδ mοmεντ οφ αρεα οφ τηε γιρδερ ανδ βεαm ρεσπεχτιϖελψ; Ε ισ Ψουνγ σ mοδυλυσ φορ στεελ; Π ισ α υνιφορmλψ διστριβυτεδ λοαδ. Φιγυρε 3. Ινφλυενχε οφ ΧΟς οφ λοαδ, Π ανδ Ψουνγ σ Μοδυλυσ, Ε ον ρελιαβιλιτψ ινδεξ, β.

15 Φιγυρε 3 σηοωσ τηε εφφεχτ οφ ινχρεασινγ υνχερταιντψ ιν τηε θυαντιτψ οφ λοαδ υνιφορmλψ διστριβυτεδ αχροσσ τηε στιφφενεδ πλατε ηασ αν αλmοστ λινεαρ ρεδυχτιον ιν τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε πλατε σ δεφλεχτιον οϖερ τηε σπεχιφιεδ ρανγε. Τηισ ισ νοτ αν υνσυρπρισινγ ρεσυλτ γιϖεν τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε λοαδ θυαντιτψ ον τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε φυνχτιον (Ταβλε 4). Ταβλε 4.Dεφλεχτιον λιmιτ στατε σενσιτιϖιτψ ινδιχεσ Σενσιτιϖιτψ Ινδεξ, α ςαριαβλε 4ξ4 4ξ5 Ι ορ Βοξ Ι ορ Βοξ Λ Β Ι γ Ι β Ε Π Φροm Ταβλε 4, τηε λαργεστ χοντριβυτιονσ το τηε ρελιαβιλιτψ οφ ειτηερ πλατεσ ισ φροm λοαδ ανδ τηε πλατε σιζε βυτ φορ βοτη ασπεχτ ρατιο πλατεσ τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ ον τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε οφ τηε στιφφενερσ χαννοτ βε ιγνορεδ. Wιτη ινχρεασινγ υνχερταιντψ ιν τηε ϖαλυε οφ Ψουνγ σ mοδυλυσ, τηε ρελιαβιλιτψ οφ στιφφενεδ πλατεσ ωιτη ρεγαρδσ λιmιτινγ δεφλεχτιον χαν βε σεεν ιν Φιγυρε 3. Ινχρεασινγ τηε υνχερταιντψ ιν τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ φορ τηε στεελ φροm 2% το 5% λεαδσ το α ρεδυχτιον ιν ρελιαβιλιτψ ινδεξ οφ Φορ βοτη πανελσ τηισ εθυατεσ το οϖερ α τηρεεφολδ ινχρεασε ιν τηε προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε. Στρεσσ λιmιτ στατε Α ρελιαβιλιτψ αναλψσισ ισ υνδερτακεν ασσυmινγ τηε διστριβυτιονσ δεσχριβεδ ιν Ταβλε 3. Τηε ΧΟς φορ λοαδ, Π, ισ τακεν ασ 15%. Τηε ψιελδ στρεσσ ισ δεφινεδ ασ βεινγ ρεπρεσεντεδ βψ α λογνορmαλ διστριβυτιον. Τηε στρεσσ λιmιτ στατε εθυατιον γ(ξ) ισ δεφινεδ ασ, γ( ξ) = σ σ( Λ, Β, Ι, Ι, Π ) (22) ψ γ β ωηερε γ ανδ β αρε τηε mαξιmυm στρεσσεσ οφ τηε γιρδερ ανδ βεαm ρεσπεχτιϖελψ, χαλχυλατεδ βψ τηε γριλλαγε αναλψσισ. Τηε χαλχυλατε ρελιαβιλιτψ ινδεξ ανδ προβαβιλιτψ οφ φαιλυρεσ αρε γιϖεν ιν Ταβλε 5. Στιφφενινγ ωιτη βοξ βεαmσ φορ ειτηερ ασπεχτ ρατιο πλατε λεαδσ το α mυχη ηιγηερ πλατε ρελιαβιλιτψ ιν τερmσ οφ λιmιτινγ τηε mαξιmυm περχειϖεδ στρεσσ.

16 Ταβλε 5. Στρεσσ ρελιαβιλιτψ Γριλλαγε Στιφφενερ τψπε Ι Βοξ Ι Βοξ Ρελιαβιλιτψ Ινδεξ Προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε Βεαm Γιρδερ Βεαm Γιρδερ Βεαm ορ Γιρδερ Βεαm ορ Γιρδερ Σενσιτιϖιτψ αναλψσεσ σηοωεδ τηατ τηε ρελατιϖε ιmπορτανχε οφ τηε ϖαριαβλεσ ισ αλmοστ ιδεντιχαλ βετωεεν τηε τωο βεαm τψπεσ. Φορ βρεϖιτψ τηερεφορε, σενσιτιϖιτψ φαχτορσ αρε γιϖεν ονλψ φορ Ι βεαm τψπεσ ιν Ταβλε 6. Ταβλε 6. Στρεσσ λιmιτ στατε σενσιτιϖιτψ ινδιχεσ Σενσιτιϖιτψ Ινδεξ, α 4ξ4 4ξ5 ςαριαβλε Βεαm & Βεαm Γιρδερ Γιρδερ Λ Β Ι γ Ι β σ Ψ Π Φορ τηε 4ξ4 γριλλαγε σενσιτιϖιτιεσ σηοων ιν Ταβλε 6, τηε λαργεστ εφφεχτ ον τηε στρεσσ λιmιτ στατε χοmεσ φροm τηε υνχερταιντψ ιν τηε αππλιεδ λοαδ βυτ αλσο τηε εφφεχτσ οφ τηε υνχερταιντψ ιν ψιελδ στρεσσ ανδ πανελ ασπεχτ ρατιο αρε σιγνιφιχαντ. Reliability of a Composite Stiffened Panel Τηε γριλλαγε χηοσεν φορ ινϖεστιγατιον ισ τηε 4ξ4 πανελ ωιτη βοξ ορ τοπηατ στιφφενινγ. Τηε στρυχτυρε mεασυρεσ 3810mm σθυαρε ανδ ισ σιmπλψ συππορτεδ ατ αλλ εδγεσ (χφ. Φιγυρε 3α). Τηε λονγιτυδιναλ γιρδερ ανδ τρανσϖερσε βεαm διmενσιονσ αρε γιϖεν ιν Ταβλε 1. Α υνιφορm πρεσσυρε οφ 137κΠα ισ αππλιεδ ον τηε γριλλαγε στρυχτυρε.

17 Ρελιαβιλιτψ αναλψσεσ ισ περφορmεδ υσινγ τηε (mεαν) mατεριαλ προπερτιεσ οφ τηε ρεσιν ανδ φιβρε λιστεδ ιν Ταβλε 7. Ταβλε 7. Ματεριαλ προπερτιεσ οφ ρεσιν & φιβρε Εποξψ ΗΜ Χαρβον Ψουνγ σ mοδυλυσ, Ε (ΓΠα) Ποισσον σ ρατιο, ν 0.37 Σηεαρ mοδυλυσ, Γ (ΓΠα) Τενσιλε στρενγτη (ΜΠα) Τενσιλε φαιλυρε στραιν (%) Χοmπρεσσιϖε στρενγτη (ΜΠα) 130 Ελαστιχ προπερτιεσ φορ α υνιδιρεχτιοναλ λαψερ σηουλδ βε εσταβλισηεδ ιδεαλλψ βψ τεστσ, ηοωεϖερ, φορ ινιτιαλ δεσιγν πυρποσεσ, ιτ mαψ βε οβταινεδ βψ σεϖεραλ αππροξιmατιονσ το τηε ελαστιχ χονσταντσ ωιτη ρεασοναβλε αχχυραχψ (Ναψακ, Dασ, Βλακε, & Σηενοι 2006). Dεφλεχτιον λιmιτ στατε Τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε φυνχτιον ισ δεφινεδ βελοω ασ α φυνχτιον οφ τηε ρανδοm ϖαριαβλεσ, γ( ξ) = κ ω ω( Λ, Β, Π, Ε, Ε, Γ, Γ, ς ) (23) mαξ φ m φ m φ ωηερε ω mαξ ισ τηε mαξιmυm δισπλαχεmεντ υσινγ τηε mεαν ϖαλυεσ οφ τηε δεσιγν παραmετερσ. κ ισ α σαφετψ φαχτορ ανδ ισ εθυαλ το 2 ιν τηισ προβλεm. Τηε ρελιαβιλιτψ αναλψσισ ισ περφορmεδ ωιτη τηε φολλοωινγ στατιστιχσ οφ τηε δεσιγν ϖαριαβλεσ γιϖεν ιν Ταβλε 8. Τηε ρεσυλτσ φορ τηε ρελιαβιλιτψ ινδεξ ανδ προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε αρε λιστεδ ιν Ταβλε 10. Ταβλε 8. Στατιστιχσ φορ ρανδοm ϖαριαβλε φορ χοmποσιτε γριλλαγε (δεφλεχτιον λιmιτ στατε) Ρανδοm ςαριαβλε Dιστριβυτιον Μεαν Χ.Ο.ς ςαλυε % Λ (Λενγτη) Νορmαλ 3810mm 3 Β (Wιδτη) Νορmαλ 3810mm 3 Π (πρεσσυρε) Wειβυλλ 137κΠα 15 Ε φ (φιβρε) Νορmαλ 826ΓΠα 3 Ε m (ρεσιν) Νορmαλ 3.0ΓΠα 3 Γ φ (φιβρε) Νορmαλ 413ΓΠα 3 Γ m (ρεσιν) Νορmαλ 1.09ΓΠα 3 ς φ (φιβρε ϖολυmε φραχτιον) Νορmαλ φ (Τενσιλε φαιλυρε στραιν %) Νορmαλ 0.3 3

18 Ταβλε 9. Ρελιαβιλιτψ οφ χοmποσιτε γριλλαγε Μετηοδ Ρελιαβιλιτψ Προβαβιλιτψ οφ Ινδεξ, β Φαιλυρε, Π φ ( 10 6 ) ΦΟΡΜ ΣΟΡΜ Φροm Ταβλε 9, τηε ινχλυσιον οφ σεχονδ ορδερ τερmσ ιν τηε λινεαριζατιον οφ τηε λιmιτ στατε εθυατιον (ΣΟΡΜ) ηασ ονλψ α mαργιναλ χονσεθυενχε ον τηε πρεδιχτεδ ρελιαβιλιτψ χοmπαρεδ το τηε χονσιδερατιον οφ ονλψ τηε φιρστ ορδερ τερmσ (ΦΟΡΜ). Τηε πρεδιχτεδ ρελιαβιλιτψ οφ τηε χοmποσιτε γριλλαγε ισ 1 ιν αππροξιmατελψ γριλλαγεσ ωουλδ βε εξπεχτεδ το φαιλ τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε. Χοmπαρινγ ωιτη τηοσε δετερmινεδ φροm Φιγυρε 3 συγγεστσ τηατ τηε εθυιϖαλεντ στεελ πλατε ισ mαργιναλλψ mορε ρελιαβλε ωιτη 1 ιν αππροξιmατελψ γριλλαγεσ εξπεχτεδ το φαιλ. Τηε δοmιναντ ϖαριαβλεσ ιν τηε λιmιτ στατε εθυατιον ον τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε χοmποσιτε γριλλαγε χαν βε σεεν ιν Φιγυρε 4. Φιγυρε 4. Σενσιτιϖιτψ φαχτορσ 4ξ4 βοξ στιφφενεδ χοmποσιτε γριλλαγε Τηε εφφεχτ οφ υνχερταιντψ ιν τηε στιφφενεδ χοmποσιτε πλατε διmενσιονσ, Λ ανδ Β ανδ λοαδ, Π, ηαϖε θυιτε σιζεαβλε χοντριβυτιονσ το τηε προβαβιλιτψ οφ τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε βεινγ εξχεεδεδ ωηιχη χαννοτ βε ιγνορεδ. Ιτ ισ αλσο νοτιχεδ τηατ Ψουνγ σ mοδυλυσ ανδ φιβρε ϖολυmε φραχτιον αλσο ηαϖε αν ιmπορταντ χοντριβυτιον ον τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε. Υνρεπρεσεντεδ ιν τηισ φιγυρε αρε τηε σενσιτιϖιτιεσ φορ τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ οφ ρεσιν Ε m ανδ Γ φ ανδ Γ m, τηε σηεαρ mοδυλυσ οφ τηε φιβρε ανδ τηε ρεσιν, ωηιχη πλαψ συχη σmαλλ ρολεσ ιν χοντριβυτινγ το τηε προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε τηατ τηεψ χαν βε τρεατεδ ασ δετερmινιστιχ χονσταντσ.

19 Ιτ ισ ιντερεστινγ το χοmπαρε τηεσε ρεσυλτσ ωιτη τηε ρεσυλτσ φορ αν εθυιϖαλεντ στεελ γριλλαγε, Ταβλε 4. Τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ φορ τηε φιβρε ανδ τηε φιβρε ϖολυmε φραχτιον προϖιδε α mεασυρε οφ τηε λαmινατε στιφφνεσσ ωηιχη ισ αναλογουσ το τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ φορ στεελ φορ τηε ισοτροπιχ γριλλαγε εξαmπλε. Ινδεεδ τηε υνχερταιντψ οφ τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ φορ τηε ισοτροπιχ εξαmπλε ηασ α σιγνιφιχαντ ινφλυενχε ον τηε δεφλεχτιον λιmιτ στατε. Ηοωεϖερ φροm Ταβλε 4, ιτ ισ αλσο χλεαρ τηατ τηε mοmεντσ οφ ινερτια οφ τηε γιρδερσ ανδ βεαmσ ηαϖε αν ινφλυενχε τηατ σηουλδ νοτ βε νεγλεχτεδ στατιστιχαλλψ, ωηερεασ τηειρ υνχερταιντψ ωιτη ρεγαρδσ τηε χοmποσιτε γριλλαγε χαν βε ιγνορεδ ανδ τηε διmενσιοναλ αχχυραχψ οφ τηε στιφφενερσ ισ ασσυmεδ το βε ασσυρεδ (Ι γ ανδ Ι β αρε δετερmινιστιχ χονσταντσ). Στρεσσ λιmιτ στατε Υσινγ mαξιmυm στρεσσ χριτερια, τηε χροων οφ τηε χοmποσιτε στρυχτυρε ισ ασσεσσεδ ωιτη ρεγαρδσ ιτσ φαιλυρε. Τηε στρεσσ λιmιτ στατε φυνχτιον ισ τηερεφορε, γ ξ Ξ Ε Ε ς ε σ ΛΒΠΕ Ε Γ Γ ς ( ) τ( φ, m, φ, φ ) mαξ (,,, φ, m, φ, m, φ ) = (34) ιν ωηιχη Ξ τ ισ τηε υλτιmατε τενσιλε στρενγτη δετερmινεδ βψ τηε mεαν ϖαλυεσ οφ ιτσ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ ανδ σ mαξ ισ τηε mαξιmυm στρεσσ ιν τηε χροων. Τηε ρελιαβιλιτψ αναλψσισ ισ περφορmεδ ωιτη τηε στατιστιχσ φορ τηε δεσιγν ϖαριαβλεσ δεσχριβεδ ιν Ταβλε 8. Τηε ρεσυλτσ φορ τηε ρελιαβιλιτψ ινδεξ αρε ϖερψ λαργε, οϖερ 20 ιν ϖαλυε, ωηιχη ισ εθυιϖαλεντ το α προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε εθυαλ το ζερο τηε δεmανδ χοντριβυτιον το τηε στρεσσ λιmιτ στατε φυνχτιον ισ φαρ ρεmοϖεδ φροm τηε γριλλαγε χαπαχιτψ ανδ ιν φαχτ τηε αϖεραγε mαξιmυm στρεσσ λεϖελ ιν τηε γριλλαγε χροων ισ 175ΜΠα ωηερεασ τηε αϖεραγε mαξιmυm τενσιλε στρενγτη οφ τηε χροων ισ αν ορδερ ηιγηερ ατ 1470ΜΠα. Ιτ αππεαρσ τηατ ιν χοmπαρισον το τηε στεελ γριλλαγε εξαmπλε, τηε χοmποσιτε γριλλαγε ισ εφφεχτιϖελψ ινφινιτελψ mορε ρελιαβλε ωηεν τηε λιmιτ στατε ισ mαξιmυm στρεσσ. Τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε λιmιτ στατε φυνχτιον ον τηε ρανδοm ϖαριαβλεσ ισ σηοων ιν Φιγυρε 5 ωηερε ονλψ τηε δοmιναντ ϖαριαβλεσ αρε σηοων. Ανψ υνχερταιντψ ιν τηε τρυε ϖαλυε οφ τηε τενσιλε φαιλυρε στραιν σιγνιφιχαντλψ αφφεχτσ τηε στρεσσ λιmιτ στατε εθυατιον. Τηε στρεσσ ισ αλσο δεπενδεντ ον τηε φιβρε ϖολυmε φραχτιον ανδ τηε Ψουνγ σ mοδυλυσ φορ τηε φιβρε. Μοστ ιmπορταντλψ τηουγη ισ τηε ϖαριατιον ιν τηε λενγτη διmενσιον οφ τηε πανελ. Ψουνγ σ mοδυλυσ οφ ρεσιν Ε m ανδ σηεαρ mοδυλυσ οφ φιβρε ανδ ρεσιν, Γ φ ανδ Γ m,

20 υνρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε 5, αγαιν πλαψ α σmαλλ ρολε ιν τηε ρελιαβιλιτψ αναλψσισ ανδ ασ συχη χαν βε τρεατεδ ασ δετερmινιστιχ χονσταντσ. Φιγυρε 5. Σενσιτιϖιτψ φαχτορσ 4ξ4 βοξ στιφφενεδ χοmποσιτε γριλλαγε Conclusions Υσινγ α γριλλαγε αναλογψ φορ α στιφφενεδ πλατε, α στρυχτυραλ mοδελ ηασ βεεν γενερατεδ, ϖαλιδατεδ αγαινστ κνοων σολυτιονσ φορ στεελ γριλλαγεσ, ανδ εξτενδεδ υσινγ εθυιϖαλεντ ελαστιχ προπερτιεσ φορ λαmινατεσ το χονσιδερ ανισοτροπψ. Φροm λιmιτεδ δατα φορ χοmποσιτε στιφφενεδ πλατε αναλψσεσ, τηερε ισ χονφιδενχε ιν τηε αππροαχη βυτ ιτ ισ αντιχιπατεδ τηατ φυτυρε εξπεριmενταλ τεστσ ωιλλ βε ρεθυιρεδ φορ ιmπροϖεmεντσ το βε mαδε το τηε στρυχτυραλ mοδελ. Ρελιαβιλιτψ αναλψσεσ ηαϖε βεεν περφορmεδ ον τηε ισοτροπιχ στεελ γριλλαγε ανδ ον τηε ανισοτροπιχ χοmποσιτε γριλλαγε, προϖιδινγ ρελιαβιλιτψ ινδιχεσ ανδ χορρεσπονδινγ προβαβιλιτιεσ οφ φαιλυρε χαν τηερεφορε βε δετερmινεδ φορ τηε τωο λιmιτ στατεσ πρεσεντεδ ιν τηισ παπερ οφ δεφλεχτιον ανδ στρεσσ. Τηε ιmπορτανχε οφ τηε ρανδοm ϖαριαβλεσ ιν τηε πρεδιχτιον οφ ρελιαβιλιτψ χαν βε δετερmινεδ τηρουγη ινϖεστιγατιον οφ τηε σενσιτιϖιτψ ινδιχεσ ανδ ιτ ισ αππαρεντ τηατ λοαδ ισ ιmπορταντ. Λοαδ τψπιχαλλψ ισ χονσιδερεδ α συβϕεχτιϖε υνχερταιντψ ασ οφτεν τηε πηενοmενολογιχαλ βεηαϖιουρ, συχη ασ ωαϖε λοαδσ, ισ νοτ ωηολλψ υνδερστοοδ. Αχχυmυλατινγ γοοδ θυαλιτατιϖε δατα ισ ιmπορταντ το φορmινγ ταργετ στρυχτυραλ ρελιαβιλιτψ ανδ τηερεφορε εφφιχιεντ δεσιγν. Φροm αναλψσεσ οφ τηε χοmποσιτε γριλλαγε, ονε βενεφιτ οφ ρελιαβιλιτψ mετηοδσ χαν βε ρεαδιλψ σεεν. Χοmποσιτε δεσιγν, mανυφαχτυρε ανδ προχεσσινγ ηαϖε mανψ ρανδοm ϖαριαβλεσ τηατ χαν βε χονσιδερεδ το αφφεχτ τηε στρυχτυραλ περφορmανχε οφ τηε φινισηεδ προδυχτ. Τηε συβσεθυεντ οπερατιον οφ τηατ προδυχτ χαν ινδυχε χραχκινγ, ωατερ ινγρεσσ, δυραβιλιτψ ισσυεσ, mατεριαλ φαιλυρε ανδ σο ον, εαχη οφ ωηιχη ισ ινφλυενχεδ βψ

21 τηε ϖερψ νατυρε οφ τηε χοmποσιτε mατεριαλ ιτσελφ. Υσινγ ρελιαβιλιτψ αναλψσεσ χαν ιδεντιφψ ωηιχη ρανδοm ϖαριαβλεσ αρε mορε ινφλυεντιαλ ον τηε ρεσυλτινγ περφορmανχε. Ιν τερmσ οφ mανυφαχτυρε ορ ρεπαιρ τηισ mαψ ηαϖε τηε mορε οβϖιουσ αδϖανταγε οφ αλλοωινγ τηε ενγινεερ το χονχεντρατε ον τηεσε mορε ιmπορταντ αρεασ φορ εξαmπλε, γεοmετρψ, φιβρε ανγλε ασ χλοτησ αρε σταχκεδ, προχεσσ τεχηνιθυε το mαξιmισε φιβρε ϖολυmε φραχτιον ανδ σο φορτη. Wιτη τηε mετηοδσ πρεσεντεδ ιν τηισ παπερ, φυρτηερ δεϖελοπmεντσ αρε νοω ποσσιβλε. Αχκνοωλεδγεmεντσ Τηισ ωορκ ηασ βεεν υνδερτακεν ωιτη τηε συππορτ οφ τηε ΥΚ ΜοD Σεα Σψστεmσ Γρουπ (Βατη), ΒΜΤ ανδ τηε Ευροπεαν νετωορκ αχτιϖιτψ, ΜαρΣΤΡΥΧΤ. Ρεφερενχεσ Βαλενδρα, Τ. & Σηανmυγαm, Ν. Ε. 1985, Φρεε ϖιβρατιον οφ πλατεδ στρυχτυρεσ βψ γριλλαγε mετηοδ, ϑουρναλ οφ σουνδ ανδ ϖιβρατιον, ϖολ. 99, νο. 3, ππ Βεδαιρ, Ο. Κ. 1997, Αναλψσισ οφ στιφφενεδ πλατεσ υνδερ λατεραλ λοαδινγ υσινγ σεθυεντιαλ θυαδρατιχ προγραmmινγ (ΣΘΠ), Χοmπυτερ & Στρυχτυρεσ, ϖολ. 62, νο. 63, π. 80. Χηευνγ, Μ. Σ., Βακητ, Β., & ϑαεγερ, Λ. Γ. 1982, Αναλψσισ οφ βοξ γιρδερ βριδγεσ βψ γριλλαγε ανδ ορτηοτροπιχ πλατε mετηοδσ, Χαναδιαν ϑουρναλ οφ Χιϖιλ Ενγινεερινγ, ϖολ. 9, νο. 4, ππ Χλαρκσον, ϑ. 1963, Τεστ οφ φλατ πλατεδ γριλλαγεσ υνδερ υνιφορm πρεσσυρε, Τρανσαχτιονσ οφ ΡΙΝΑ, ϖολ Χλαρκσον, ϑ. 1965, Τηε ελαστιχ αναλψσισ οφ φλατ γριλλαγεσ Χαmβριδγε Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Χαmβριδγε. Dατοο, Μ. Η. 1991, Μεχηανιχσ οφ φιβρουσ χοmποσιτεσ Ελσεϖιερ σχιενχε πυβλισηερσ Λτδ., Εσσεξ, Ενγλανδ. Εϖαν Η.Ρ., Αλινια, Μ. Μ., Λαβαντι, Π., & Σηανmυγαm, Ν. Ε. 1983, Τηεορετιχαλ ινϖεστιγατιον οφ τηε χολλαπσε οφ mυλτι χελλυλαρ στρυχτυρεσ υνδερ λατεραλ λοαδινγ, ϑουρναλ οφ χονστρυχτιοναλ στεελ ρεσεαρχη, ϖολ. 3, νο. 2, ππ Ηοσσεινι Τουδεσηκψ, Η., Οϖεσψ, Η. Ρ., & Κηαραζι, Μ. 2005, Τηε δεϖελοπmεντ οφ αν αππροξιmατε mετηοδ φορ τηε δεσιγν οφ βασε στιφφενεδ χοmποσιτε πανελσ, Τηιν ωαλλεδ στρυχτυρεσ, ϖολ. 43, νο. 11, ππ ϑανγ, Χ. D., Σεο, Σ. Ι., & Κιm, Σ. Κ. 1996, Α στυδψ ον τηε οπτιmυm στρυχτυραλ δεσιγν οφ συρφαχε εφφεχτ σηιπσ, Μαρινε Στρυχτυρεσ, ϖολ. 9, ππ Κρισεκ, ς., Εϖαν, Η. Ρ., & Αηmαδ, Μ. Κ. Μ. 1990, Σηεαρ λαγ αναλψσισ φορ χοmποσιτε βοξ γιρδερσ, ϑουρναλ οφ χονστρυχτιοναλ στεελ ρεσεαρχη, ϖολ. 16, νο. 1, ππ Λαζαριδεσ, Τ. Ο. 1952, Τηε δεσιγν ανδ αναλψσισ οφ οπενωορκ πρεστρεσσεδ χονχρετε βεαm γριλλαγεσ, Χιϖιλ Ενγινεερινγ, ϖολ. 47, νο. 552.

22 Λιυ, Π. Λ., Λιν, Η. Ζ., & Dερ Κιυρεγηιαν, Α. 2008, ΧΑΛΡΕΛ Υσερ Μανυαλ, ΥΧΒ/ΣΕΜΜ 1989/18 εδν, Dεπτ. οφ Χιϖιλ Ενγινεερινγ, Υνιϖερσιτψ οφ Χαλιφορνια, Βερκελεψ. Μανεεπαν, Κ. 2007, Γενετιχ αλγοριτηm βασεδ οπτιmισατιον οφ ΦΡΠ χοmποσιτε πλατεσ ιν σηιπ στρυχτυρεσ, Dοχτορ οφ Πηιλοσοπηψ, Υνιϖερσιτψ οφ Σουτηαmπτον. Μικαmι, Ι. & Νιωα, Κ. 1996, Υλτιmατε χοmπρεσσιϖε στρενγτη οφ ορτηογοναλλψ στιφφενεδ στεελ πλατε, ϑουρναλ οφ στρυχτυραλ ενγινεερινγ, ϖολ. 122, νο. 6, ππ Μικαmι, Ι. & Ψονεζαωα, Η. 1983, Ινελαστιχ βυχκλινγ οφ πλατε γιρδερσ ωιτη τρανσϖερσε στιφφενερσ υνδερ βενδινγ 24. Ναψακ, Α., Dασ, Π., Βλακε, ϑ. Ι. Ρ., & Σηενοι, Ρ. Α. 2006, Σαφε Dεσιγν οφ α Χοmποσιτε Στρυχτυρε Α Στοχηαστιχ Αππροαχη (Πηασε Ι), Υνιϖερσιτψ οφ Σουτηαmπτον. Ονταριο Μινιστρψ οφ τρανσπορτατιον ανδ χοmmυνιχατιονσ 2000, Χαναδιαν ηιγηωαψ βριδγε δεσιγν χοδε (ΧΗΒDΧ) Dοωνσϖιεω, Ονταριο, Χαναδα. Σmιτη, Χ. Σ. 1964, Αναλψσισ οφ γριλλαγε στρυχτυρεσ βψ τηε φορχε mετηοδ, Τρανσαχτιονσ οφ ΡΙΝΑ, ϖολ Σmιτη, Χ. Σ. 1990, Dεσιγν οφ mαρινε στρυχτυρεσ ιν χοmποσιτε mατεριαλσ Ελσεϖιερ αππλιεδ σχιενχε, Λονδον. Ταν, Κ. Η. & Μονταγε, Π. 1991, Σιmπλε γριλλαγε αναλογψ φορ τηε αναλψσισ οφ στεελ σανδωιχη πανελσ ωιτη πενετρατιονσ, Στρυχτυραλ ενγινεερ, ϖολ. 69, νο. 15, ππ ςεδελερ, Γ. 1945, Γριλλαγε βεαmσ ιν σηιπσ ανδ σιmιλαρ στρυχτυρεσ Γρονδαηλ & Σον, Οσλο. Wυνδερλιχη, W. & Πιλκεψ, W. D. 2003, Μεχηανιχσ οφ Στρυχτυρεσ: ςαριατιοναλ & Χοmπυτατιοναλ Μετηοδσ ΧΡΧ Πρεσσ.