(2008) ISSN

Transcript

1 Koop, G.M. and Leon-Gonzalez, Roberto and Strachan, Rodney W. (2008) Bayesian inference in a cointegrating panel data model. Advances in Econometrics, 23. pp ISSN , This version is available at Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright and Moral Rights for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners. Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any commercial gain. You may freely distribute both the url ( and the content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without prior permission or charge. Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator: strathprints@strath.ac.uk The Strathprints institutional repository ( is a digital archive of University of Strathclyde research outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.

2 ΒαψεσιανΙνφερενχειναΧοιντεγρατινγΠανελDαταΜοδελ Γαρψ Κοοπ Dεπαρτmεντ οφ Εχονοmιχσ Υνιϖερσιτψ οφ Στρατηχλψδε Γαρψ.Κοοπ στρατη.αχ.υκ Ροβερτο Λεον Γονζαλεζ Dεπαρτmεντ οφ Εχονοmιχσ Υνιϖερσιτψ οφ Λειχεστερ ρλγ19 λε.αχ.υκ ανδ Ροδνεψ Στραχηαν Dεπαρτmεντ οφ Εχονοmιχσ Υνιϖερσιτψ οφ Λειχεστερ ρωσ7 λε.αχ.υκ ϑανυαρψ 2006 Αβστραχτ: Τηισ παπερ δεϖελοπσ mετηοδσ οφ Βαψεσιαν ινφερενχε ιν α χοιντεγρατινγ πανελ δατα mοδελ. Τηισ mοδελ ινϖολϖεσ εαχη χροσσ σεχτιοναλ υνιτ ηαϖινγ α ϖεχτορ ερρορ χορρεχτιον ρεπρεσεντατιον. Ιτ ισ εξιβλε ιν τηε σενσε τηατ διffερεντ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ χαν ηαϖε διffερεντ χοιντεγρατιον ρανκσ ανδ χοιντεγρατιον σπαχεσ. Φυρτηερmορε, τηε παραmετερσ ωηιχη χηαραχτεριζε σηορτ ρυν δψναmιχσ ανδ δετερ mινιστιχ χοmπονεντσ αρε αλλοωεδ το ϖαρψ οϖερ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ. Ιν αδδιτιον το α νονινφορmατιϖε πριορ, ωε ιντροδυχε αν ινφορmατιϖε πριορ ωηιχη αλλοωσ φορ ινφορmατιον αβουτ τηε λικελψ λοχατιον οφ τηε χοιντεγρατιον σπαχε ανδ αβουτ τηε δεγρεε οφ σιmιλαριτψ ιν χοεffiχιεντσ ιν διffερεντ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ. Α χολλαπσεδ Γιββσ σαmπλινγ αλγοριτηm ισ δεϖελοπεδ ωηιχη αλλοωσ φορ εffiχιεντ ποστεριορ ινφερενχε. Ουρ mετηοδσ αρε ιλλυστρατεδ υσινγ ρεαλ ανδ αρτι χιαλ δατα. Κεψωορδσ: Βαψεσιαν, πανελ δατα χοιντεγρατιον, ερρορ χορρεχτιον mοδελ, ρεδυχεδ ρανκ ρεγρεσσιον, Μαρκοϖ Χηαιν Μοντε Χαρλο. Υ.Κ. ϑελ Χλασσι χατιον: Χ11, Χ32, Χ33 Αδδρεσσφορχορρεσπονδενχε:ΡοδνεψΣτραχηαν,DεπαρτmεντοφΕχονοmιχσ,ΥνιϖερσιτψοφΛειχεστερ,ΛΕ17ΡΗΛειχεστερ,

3 1Ιντροδυχτιον Τηε γροωινγ αϖαιλαβιλιτψ οφ πανελ δατα ωιτη λαργε T διmενσιον(ι.ε. ωηερε τηε νυmβερ οφ τιmε σεριεσ οβ σερϖατιονσ ισ λαργε) ηασ στιmυλατεδ α γροωτη ιν ρεσεαρχη, βοτη εmπιριχαλ ανδ τηεορετιχαλ, ωηιχη δισχυσσεσ τιmε σεριεσ ισσυεσ ιν πανελ δατα mοδελσ. Οφ παρτιχυλαρ ιντερεστ αρε ισσυεσ ρελατινγ το νονστατιοναριτψ ανδ χοιντεγρατιον. Ιν τηισ παπερ, ωε δεϖελοπ α Βαψεσιαν αππροαχη το τηε αναλψσισ οφ χοιντεγρατιον ιν πανελσ. Wευσεαmοδελλινγφραmεωορκ ωηιχη αλλοωσφοργρεατ εξιβιλιτψιντηεωαψηετερογενειτψ αχροσσ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ ισ ινχορπορατεδ. Ιν παρτιχυλαρ, ωε αλλοω φορ βοτη χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ ανδ ρανκστοϖαρψοϖερ N. ΟυρυσεοφΒαψεσιανmετηοδσαλλοωσφορτηεχοιντεγρατινγρανκστοβετρεατεδ ασ ρανδοm ϖαριαβλεσ. Τηυσ, ουρ mετηοδσ χαν ειτηερ βε υσεδ το σελεχτ α παρτιχυλαρ mοδελ ωιτη σπεχι εδ χοιντεγρατινγ ρανκσ ορ το αϖεραγε αχροσσ διffερεντ χοιντεγρατινγ ρανκσ. Wε αλσο χονσιδερ ρεστριχτεδ mοδελσ οφ ιντερεστ (ε.γ. ωηερε αλλ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ ηαϖε τηε σαmε χοιντεγρατινγ ρανκ). Τηε υσε οφ Βαψεσιαν mετηοδσ ρεθυιρεσ ελιχιτατιον οφ α πριορ. Wε δεϖελοπ τωο πριορσ, α νονινφορmατιϖε ανδ αν ινφορmατιϖε ονε. Τηε λαττερ αλλοωσ φορ τηε ινχορπορατιον οφ πριορ βελιεφσ τηατ τηε σαmε χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπ εξιστσ φορ αλλ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ. Φυρτηερmορε, ιτ αλλοωσ φορ ωηατ ωε χαλλ σοφτ ηοmο γενειτψ ρεστριχτιονσ (ι.ε. τηατ χοmπαραβλε παραmετερσ ιν διffερεντ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ αρε λικελψ το βε σιmιλαρ το ονε ανοτηερ). Wε δεριϖε εffiχιεντ mετηοδσ οφ ποστεριορ αναλψσισ ιν ουρ χλασσ οφ mοδελσ ανδ ιλλυστρατε ουρ mετηοδσ υσινγ αρτι χιαλ δατα ανδ αν αππλιχατιον ινϖολϖινγ α mονεταρψ εξχηανγε ρατε mοδελ(σεε Γροεν, 2000 ανδ Γροεν ανδ Κλειβεργεν, 2003). Τηε ιmπορτανχε οφ τηισ αρεα οφ ρεσεαρχη ισ εϖιδενχεδ βψ τηε ινχρεασινγ τενδενχψ φορ ρεσεαρχηερσ το εmπλοψ πανελσ οφ νονστατιοναρψ προχεσσεσ ιν εmπιριχαλ στυδιεσ ιν mαχροεχονοmιχσ ανδ ιντερνατιοναλ εχονοmιχσ. Φορ ινστανχε, τηε συρϖεψ παπερ βψ Βαλταγι ανδ Και(2000) ιδεντι εσ mανψ αρεασ οφ αππλιχα τιον, ινχλυδινγ πυρχηασινγ ποωερ παριτψ(πππ), γροωτη χονϖεργενχε ανδ ιντερνατιοναλ Ρ&D σπιλλοϖερσ. Το γιϖε ονε εξαmπλε ωηιχη ιλλυστρατεσ τηε ισσυεσ ωηιχη χαν βε αδδρεσσεδ τηρουγη τηε υσε οφ πανελ δατα χονσιδερ ϑαχοβσον, Λψηαγεν, Λαρσσον ανδ Νεσσ ν(2002). Τηεσε αυτηορσ υσε α mυλτιϖαριατε πανελ χοιντεγρατιον mοδελ ανδ δεmονστρατε τηατ, αλτηουγη στρονγ πυρχηασινγ ποωερ παριτψ ρεστριχτιονσ αρε ρεϕεχτεδ, τηε λοχατιον οφ τηε χοιντεγρατινγ σπαχε ισ σιmιλαρ φορ αλλ χουντριεσ χονσιδερεδ. Τηισ προϖιδεσ σοmε εϖιδενχε ιν συππορτ οφ ΠΠΠ. Ιν τερmσ οφ τηε φρεθυεντιστ εχονοmετριχ λιτερατυρε, τηερε ηαϖε βεεν α ρανγε οφ mετηοδσ προποσεδ το οβταιν ινφερενχε ρελατινγ το χοιντεγρατιον ιν πανελ δατα mοδελσ. Αmονγ mανψ οτηερσ, ωε νοτε τηατ ρεσιδυαλ βασεδ, ΛΜ ανδ λικελιηοοδ βασεδ τεστσ ηαϖε βεεν προποσεδ βψ Καο(1999), ΜχΧοσκεψ ανδ Καο (1998), Πεδρονι(2004), Λαρσσον, Λψηαγεν ανδ Λ τηγρεν(2001) ανδ Γροεν ανδ Κλειβεργεν(2003). Τηε εστιmατιον mετηοδσ υσεδ ιν τηεσε παπερσ ϖαρψ φροm ΟΛΣ τηρουγη mαξιmυm λικελιηοοδ ανδ γενεραλιζεδ mετηοδ οφ mοmεντσ. Τηε εξτεντ οφ τηισ λιτερατυρε πρεϖεντσ υσ γιϖινγ εϖεν α ρεασοναβλε χοϖεραγε ηερε ανδσοωερεφερτηερεαδερτοτηεσυρϖεψσβψπηιλλιπσανδμοον(2000)ανδβαλταγιανδκαο(2000). Wηιλε τηε βυλκ οφ τηε ωορκ το δατε ηασ υσεδ φρεθυεντιστ mετηοδσ, τηερε ηαϖε βεεν α νυmβερ οφ Βαψεσιαν αππροαχηεσ το οβταιν ινφερενχε ιν δψναmιχ πανελσ. Πεσαραν, Ησιαο ανδ Ταηmισχιογλυ(1999) πρεσεντ φρεθυεντιστ ανδ Βαψεσιαν αππροαχηεσ το εστιmατινγ τηε mεαν οφ τηε χροσσ σεχτιοναλ διστριβυτιον φορ τηε χοεffiχιεντσ ιν α δψναmιχ πανελ δατα mοδελ. Τηεψ σηοω τηατ τηε Βαψεσιαν αππροαχη περφορmσ 1

4 ρεασοναβλψ ωελλ ιν νιτε σαmπλεσ, ανδ ισ εϖεν πρεφεραβλε το σοmε χονσιστεντ εστιmατορσ ωηεν νιτε σαmπλινγ περφορmανχε ισ χονσιδερεδ. Αλτηουγη τηεψ ιmποσε α σταβιλιτψ χονδιτιον, τηυσ πρεχλυδινγ δισχυσσιον οφ ισσυεσ ρελατινγ το υνιτ ροοτσ ανδ χοιντεγρατιον, τηισ ασσυmπτιον χουλδ βε ρελαξεδ (σεε αλσο Ησιαο ανδ Πεσαραν, 2004). Λι(1999) ινϖεστιγατεσ ΠΠΠ βψ χονσιδερινγ συππορτ φορ σψmmετρψ ανδ προπορτιοναλιτψ ρεστριχτιονσ ιν τηε ΠΠΠ ρελατιονσηιπ. Σηε αλλοωσ φορ στατιοναρψ ΑΡ(1) ερρορσ ιν τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν λογ εξχηανγε ρατεσ ανδ πριχεσ. Ιντερεστινγλψ, ωηιλε τηισ παπερ δοεσ νοτ εξπλιχιτλψ χονσιδερ χοιντεγρατιον, ωιτη ονε σmαλλ χηανγε τηε mοδελ οφ Λι χουλδ υσινγ α τριανγυλαρ σετυπ ασ προποσεδ βψ Πηιλλιπσ(1991) βε εασιλψ εξτενδεδ το αλλοω ινϖεστιγατιον οφ ωηετηερ ορ νοτ χοιντεγρατιον βετωεεν λογ εξχηανγε ρατεσ ανδ πριχεσ οχχυρσ. Wε αρε αωαρε οφ ονλψ ονε παπερ εξπλιχιτλψ προποσινγ α Βαψεσιαν αππροαχη το εστιmατιον οφ α χοιντεγρατινγ σψστεm ιν πανελ δατα mοδελσ. Χαρmεχι(2005) πρεσεντσ α στατε σπαχε mοδελ ωηιχη ιmπλιεσ χοιντεγρατιον βψ διρεχτλψ mοδελινγ τηε χοmmον στοχηαστιχ τρενδσ. Υνδερ τηε ασσυmπτιον τηατ τηε χοιντεγρατινγ ρανκ ισ κνοων ανδ ασσυmεδ εθυαλ ιν εϖερψ χροσσ σεχτιοναλ υνιτ, τηε αυτηορ δεϖελοπσ Βαψεσιαν mετηοδσ φορ εστιmατιον. Wε αρε νοτ αωαρε οφ ανψ παπερ τηατ πρεσεντσ α φυλλψ Βαψεσιαν mετηοδ οφ ινφερενχε ον χοιντεγρατιον ιν πανελσ, ωηεν τηε χοιντεγρατινγ ρανκ ισ υνκνοων ανδ mαψ διffερ αχροσσ χροσσ σεχτιοναλ υνιτσ. Τηε πρεσεντ παπερ αττεmπτσ το αδδρεσσ τηισ γαπ ιν τηε λιτερατυρε. Τηε ρεmαινδερ οφ τηε παπερ ισ οργανιζεδ ασ φολλοωσ. Σεχτιον 2 ιντροδυχεσ τηε mοδελ ανδ δεσχριβεσ τηε ελεmεντσ οφ Βαψεσιαν αναλψσισ: λικελιηοοδ, πριορσ ανδ mετηοδσ οφ ποστεριορ σιmυλατιον. Σεχτιον 3 ιλλυστρατεσ ουρ mετηοδσ υσινγ αρτι χιαλ δατα ανδ Σεχτιον 4 δεmονστρατεσ τηε εξιβιλιτψ οφ ινφερενχε ιν τηε αππλιχατιον υσεδ ιν Γροεν ανδ Κλειβεργεν(2003), ωηιχη ινϖολϖεσ αν ιντερεστινγ σετ οφ ρεστριχτιονσ ιmπλιεδ βψ εχονοmιχ τηεορψ. Σεχτιον 5 χονχλυδεσ. 2 ΤηεΜοδελσ Ιν α στανδαρδ τιmε σεριεσ φραmεωορκ, χοιντεγρατιον ισ τψπιχαλλψ ινϖεστιγατεδ υσινγ α ϖεχτορ ερρορ χορ ρεχτιον mοδελ(ςεχμ). Το εσταβλιση νοτατιον, το ινϖεστιγατε χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπσ ινϖολϖινγ αν n ϖεχτορ, y t,ωεωριτετηεςεχμφορ t=1,..,tασ: lξ y t = Πy t 1 + Γ h y t h + Φd t + ε t (1) h=1 ωηερετηε n nmατριξ Π=αβ 0,ωηερεαανδ βαρε n rφυλλρανκmατριχεσανδ d t δενοτεσδετερmινιστιχ τερmσ. 1 Τηε ϖαλυε οφ r δετερmινεσ τηε νυmβερ οφ χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπσ. ε t ισ α Νορmαλ mεαν ζερο ερρορ ωιτη ποσιτιϖε δε νιτε χοϖαριανχε mατριξ. Βεφορε εξτενδινγ (1) το τηε πανελ δατα χασε, ιτ ισ ιmπορταντ το διγρεσσ βριε ψ το mοτιϖατε αν ιmπορταντ ισσυε ιν Βαψεσιαν αναλψσισ οφ χοιντεγρατεδ mοδελσ. Τηε ςεχμ συffερσ φροm βοτη λοχαλ ανδ γλοβαλ ιδεντι χατιον προβλεmσ. Τηε λοχαλ ιδεντι χατιον προβλεm οχχυρσ σινχε, ιφ α =0, β δοεσ νοτ αππεαρ ιν τηε λικελιηοοδ φυνχτιον. Τηε γλοβαλ ιδεντι χατιον προβλεm χαν βε σεεν βψ νοτινγ τηατ 1 Τηεεξαχτφορmοφτηεδετερmινιστιχτερmσισνοτχρυχιαλτοουρδεριϖατιονσσοωελεαϖετηεσευνσπεχι εδ. Σεεϑοηανσεν (1995),παγεσ81 84φοραχοmmονλψ υσεδσετοφχηοιχεσ. 2

5 Π = αβ 0 ανδ Π = αgg 1 β 0 αρε ιδεντιχαλ φορ ανψ νονσινγυλαρ G. Τηισ ινδετερmιναχψ ισ χοmmονλψ συρmουντεδβψιmποσινγτηεσο χαλλεδλινεαρ νορmαλιζατιον ωηερε β =[I r B 0 ] 0. Ηοωεϖερ,τηερεαρε σοmε σεριουσ δραωβαχκσ το τηισ λινεαρ νορmαλιζατιον(σεε Στραχηαν ανδ Ινδερ, 2004 ανδ Στραχηαν ανδ ϖαν Dιϕκ, 2004β). Ρεσεαρχηερσ ιν τηισ ελδ(σεε Στραχηαν ανδ Ινδερ, 2004, Στραχηαν ανδ ϖαν Dιϕκ, 2004β ανδ ςιλλανι, 2005α,β) ποιντ ουτ τηατ ιτ ισ ονλψ τηε χοιντεγρατιον σπαχε τηατ ισ ιδεντι εδ(νοτ παρτιχυλαρ χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ) ανδ τηατ, φορ mοστ πυρποσεσ(ινχλυδινγ πριορ ελιχιτατιον), ιτ ισ πρεφεραβλε το τηινκ ιν τερmσ οφ τηε χοιντεγρατιον σπαχε. Αχχορδινγλψ, ωε ιντροδυχε νοτατιον φορ τηε σπαχε σπαννεδ βψ β, π=sp(β). Wε χαν γενεραλιζε(1) το τηε πανελ δατα χασε βψ ινχλυδινγ i συβσχριπτσ το δενοτε τηε χροσσ σεχτιοναλ υνιτωηιχηωερεφερτοαστηε ινδιϖιδυαλ ηερεαφτερ(ωηερε i=1,..,n). Τηατισ, y i,t ισαν nϖεχτοροφ οβσερϖατιονσοντηεδεπενδεντϖαριαβλεσφορινδιϖιδυαλ iαττιmε t 2 ανδτηεπανελςεχμισωριττενασ: y i,t = Π i y i,t 1 + l i Ξ h=1 Γ i,h y i,t h + Φ i d i,t + ε i,t (2) ωηερενοω Π i = α i β 0 iωηερε α i ανδ β i αρε n r i φυλλρανκmατριχεσ.ουρmοδελαλλοωσφορτηενυmβερ οφ χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπσ το ϖαρψ αχροσσ ινδιϖιδυαλσ ανδ τηυσ, ωε εξτενδ ουρ πρεϖιουσ νοτατιον συχητηαττηεχοιντεγρατιονσπαχεσαρενοωπ i = sp(β i ). Τηεχοϖαριανχεmατριχεσφορϖεχτορσ ε i,t αρε ασσυmεδ το βε E ϒ ε i,t ε 0 Σij j,s = 0 φορ t=s φορ t6= s. (3) Ιν οτηερ ωορδσ, ωε αρε ασσυmινγ τηε ερρορσ το βε υνχορρελατεδ οϖερ τιmε, βυτ χορρελατεδ αχροσσ εθυα τιονσ φορ α γιϖεν ινδιϖιδυαλ ανδ χορρελατεδ αχροσσ ινδιϖιδυαλσ. Νοτε τηατ τηε λαστ ασσυmπτιον διffερσ φροm mυχη οφ τηε πρεϖιουσ λιτερατυρε. Φορ ινστανχε, Λαρσσον, Λψηαγεν ανδ Λ τηγρεν(2001) υσε α mορε ρεστριχτιϖε mοδελ ασσυmινγ E ε i,t ε 0 j,s =0ιφ i6= jφοραλλ tανδ s.αλτηουγηαλλοωινγφοραχορρελατιον βετωεεν ερρορσ φορ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ ισ νοτ υσυαλλψ δονε ωιτη mιχροεχονοmιχ συρϖεψ δατα, ωιτη mαχροεχονοmιχ πανελσ ωηερε τηε ινδιϖιδυαλσ αρε χουντριεσ συχη α χορρελατιον ισ ποτεντιαλλψ ιmπορ ταντ.wε αρε τηερεφορε φολλοωινγ τηε mορε γενεραλ mοδελ οφ Γροεν ανδ Κλειβεργεν(2003) ωηιχη δοεσ αλλοω φορ συχη α χορρελατιον. Νοτε αλσο τηατ ουρ mοδελ ισ mορε εξιβλε τηαν τηε ονε οφ Γροεν ανδ Κλειβεργεν(2003) ιν τηατ ωε ρελαξ τηε ασσυmπτιον οφ α χοmmον χοιντεγρατινγ ρανκ. Τηερε αρε mανψ φεατυρεσ οφ(2) τηατ τηε ρεσεαρχηερ mιγητ βε ιντερεστεδ ιν. Φορ εαχη ινδιϖιδυαλ, ωε ωουλδνατυραλλψβειντερεστεδιντηεδιmενσιονοφτηεχοιντεγρατινγσπαχε, r i,ανδωηετηερ r i = rφορ αλλ i.οτηερθυεστιονσοφιντερεστρελατετοτηεχοιντεγρατινγσπαχεσ,π i = sp(β i ). Αρεστριχτεδϖερσιονοφ (2) ωουλδηαϖετηεσαmεχοιντεγρατινγρελατιονσηιπσ(ι.ε. τηεσαmε r i ανδ β i )φορεϖερψινδιϖιδυαλανδ, τηυσ, π i = π. Αλτερνατιϖελψ, ιφ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ ηαϖε διffερεντ νυmβερσ οφ χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ, τηεν ωε mιγητ βε ιντερεστεδ ιν ωηετηερ αλλ οφ τηε χοιντεγρατινγ σπαχεσ λιε ωιτηιν σοmε mορε γενεραλ ονε. Τηατισ,ιφ r i rφορ i=1,.., N ανδπισαχοιντεγρατιονσπαχεωιτηδιmενσιον r,τηενωεmιγητ βειντερεστεδινινϖεστιγατινγωηετηερπ i πφορ i=1,..,n. 2 Ιτισνοτχοmπλιχατεδτοαλλοωφορ y i,t τοβεοφδιmενσιον n i,βυτωεωιλλασσυmε n i = n,φορσιmπλιχιτψ. Σιmιλαρλψιτισ στραιγητφορωαρδτοεξτενδουρρεσυλτστοτηευνβαλανχεδπανελχασε. 3

6 Ασ α σιmπλε ιλλυστρατιον οφ ηοω τηεσε θυεστιονσ mιγητ αρισε, χονσιδερ τηε βαλανχεδ γροωτη ηψποτηεσισ ιν τηε ρεαλ βυσινεσσ χψχλε mοδελ πρεσεντεδ βψ Κινγ, Πλοσσερ, Στοχκ ανδ Wατσον (1991). Ασσυmε y i,t =(c i,t,a i,t,g i,t ) 0 ωηερε c i,t ισλογχονσυmπτιονφορχουντρψ i, a i,t ισλογινϖεστmεντφορτηατχουντρψ ανδ g i,t ισλογινχοmε. Ιφτηεελεmεντσοφτηεϖεχτορ y i,t αρε I(1)ανδαρεχοιντεγρατεδτηεν0 <r i <3. Ιφ τηερεαρετωοχοιντεγρατινγρελατιονσηιπσ(r i =2)ανδτηελογσοφτηεγρεατρατιοσοφχονσυmπτιον το ινχοmε ανδ ινϖεστmεντ το ινχοmε αρε σταβλε συχη τηατ c i,t g i,t ανδ a i,t g i,t αρε I(0) ιν εϖερψ χουντρψ,τηεντηεχοιντεγρατινγσπαχε,π i,ισ π i =π=sp Ιν αν εmπιριχαλ αναλψσισ υσινγ πανελ δατα, ιτ ωουλδ βε οφ ιντερεστ το ινϖεστιγατε τηισ ρεστριχτιον (ι.ε. ωηετηερ τωο χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ εξιστ φορ εαχη χουντρψ ανδ ωηετηερ τηειρ ϖαλυεσ αρε χονσιστεντ ωιτη τηε γρεατ ρατιοσ). Ηοωεϖερ, ιτ ισ ποσσιβλε τηατ σοmε χουντριεσ mιγητ ονλψ ηαϖε ονε χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπ, σο τηατ r i =2φορ σοmε χουντριεσ ανδ r i =1φορ οτηερσ. Ιν τηισ χασε, ινϖεστιγατινγ ωηετηερ π i = π φορ αλλ i =1,..,Nισ νοτ ρεασοναβλε. Ινστεαδ, τηε ρεσεαρχηερ mαψ βε ιντερεστεδ ιν ινϖεστιγατινγ ωηετηερ τηε χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπσ ειτηερ ινϖολϖε τηε γρεατ ρατιοσ ινδιϖιδυαλλψ (φορ r i =2)ορινϖολϖεαλινεαρχοmβινατιονοφτηε(λογσοφ)τηεγρεατρατιοσ. Ιντερmσοφουρνοτατιον,τηισ ινϖολϖεσινϖεστιγατινγωηετηερπ i πφορ i=1,..,n. Ιν mοστ εmπιριχαλ αππλιχατιονσ, τηε χοιντεγρατινγ σπαχεσ ωιλλ βε οφ mοστ ιντερεστ ανδ, ηενχε, τηε ρεσεαρχηερωιλλβεmοστιντερεστεδινασετοφmοδελσδε νεδβψρεστριχτιονσοντηεσε. Ηοωεϖερ, ιτισ αλσο χοmmον φορ τηε σετ οφ mοδελσ το βε βροαδενεδ βψ χονσιδερινγ διffερεντ φορmσ οφ τηε δετερmινιστιχ προχεσσεσ, d i,t, ανδ τηε νυmβερ οφ λαγσ l i ανδιτmιγητβεδεσιραβλετοαλλοωτηεσετοϖαρψαχροσσ ινδιϖιδυαλσ. Τηυσ, ιν εmπιριχαλ ωορκ, τηε ρεσεαρχηερ mιγητ ωαντ το χονσιδερ α ϖερψ ωιδε ρανγε οφ mοδελσ ινδεεδ. Ηοωεϖερ, ιν ορδερ το φοχυσ ον τηε χεντραλ ισσυεσ ρελατινγ το χοιντεγρατιον, ωε ωιλλ ασσυmεαχοmmονλαγλενγτηφοραλλινδιϖιδυαλσ(ι.ε. l i = lφοραλλ i)ανδχοmmονδετερmινιστιχπροχεσσ (ι.ε. d i,t = d t φοραλλ i)ανδδεϖελοπmετηοδσοφινφερενχεφορ r i ανδπ. 2.1 Τηε Λικελιηοοδ Φυνχτιον Ιν τηισ σεχτιον ωε σηοω τωο ρεπρεσεντατιονσ οφ τηε λικελιηοοδ, ινϖολϖινγ διffερεντ παραmετεριζατιονσ, ωηιχη ωε δραω ον ιν ουρ δισχυσσιον οφ ποστεριορ σιmυλατιον. Νοτε τηατ τηε mατριξ οφ λονγ ρυν mυλτιπλιερσ χανβεωριττενασ:. β i α 0 i=[β i κ i ] α i κ 1 0 i β i A 0 i (4) ωηερε β i ισρεστριχτεδτοβεσεmι ορτηογοναλ(φορρεασονσδεσχριβεδιντηενεξτσεχτιον)ανδ κ i ισποσιτιϖε δε νιτεανδδε νεδσοτηατ A i ισσεmι ορτηογοναλ. Ηερεωεηαϖευσεδ β i = β i κ i ανδ α i = A i κ 0 i.τηερε αρεmανψχηοιχεσφορ κ i ωηιχησατισφψτηεσεπροπερτιεσ,βυταχονϖενιεντονεωεωιλλυσεηερεισ: κ i = ϒ α iα i = ϒ β 0 i β 1 2 i. (5) 4

7 Φορ ρεασονσ εξπλαινεδ βελοω, ουρ ποστεριορ σιmυλατορ ωιλλ ινϖολϖε σωιτχηινγ βετωεεν τηε παραmετεριζα τιονσ ιν(4). Το εσταβλιση νοτατιον, ωε χολλεχτ τηε n n βλοχκσ Σ ij ιντο τηε Nn Nnmατριξ Σ = {Σ ij }. Χολλεχτινγ τηε (n 1) ϖεχτορσ ε i,t ιντο (T n) mατριχεσ ε i =(ε i,1,...,ε i,t ) 0, τηεν χολλεχτινγ τηεσε mατριχεσιντοτηε(t Nn)mατριξ ε=(ε 1,...,ε N ),ωεοβταιν e=vec(ε)βεινγτηεϖεχτοροφερρορσ. Τηισ ϖεχτορ ηασ χοϖαριανχε mατριξ E ϒ ee 0 = V e =(Σ I T ). (6) Τηεδενσιτψοφτηεερρορσ,ακεψβυιλδινγβλοχκινφορmινγτηελικελιηοοδφορτηισmοδελ,ιστηεν Σ T/2 εξπ 12 e0ϒ Σ 1 I T e = Σ T/2 εξπ 1 2 trσ 1 ε 0 ε. Wενεξτγιϖετωορεπρεσεντατιονσφορ eτηατωιλλπροϖευσεφυλινδεϖελοπινγασαmπλινγσχηεmεφορτηε παραmετερσ. Wερεωριτε(2)βψδε νινγ z i,t = β 0 iy i,t 1,τηε1 (k+ r i )ϖεχτορ X i,t = zi,t 0, y0 i,t 1,..., y0 i,t l,d0 t, ωηερε k ιστηε νυmβεροφδετερmινιστιχ τερmσ πλυσ nτιmεσ τηενυmβερ οφ λαγσ (ασσυmεδ το βεχοm mοντοαλλινδιϖιδυαλσανδ,ηενχε,ωεηαϖενοτινχλυδεδαν iσυβσχριπτ),ανδτηε(k+ r i ) nmατριξ B i =(α i, Γ i,1,...,γ i,l, Φ i ) 0 ανδ,τηυσ, y 0 i,t= X i,t B i + ε 0 i,t. (7) Ιφωεσταχκτηεϖεχτορσιν(7)οϖερ tασ y i =( y i,1,..., y i,t ) 0 ανδ X i = ωριτε y i = X i B i + ε i. ςεχτοριζινγτηισεθυατιονγιϖεσυστηεφορm X 0 i.1,...,x0 i.t 0τηεν,ωεχαν vec( y i )=(I n X i ) vec(b i )+e i ορ y i = x i b i + e i ωηερε y i = vec( y i ),x i =(I n X i ),b i = vec(b i )ανδ e i = vec(ε i )συχητηατ E e i e 0 j = Σ ij I T. Wεχολλεχττηεϖεχτορσ y i ανδ b i ιντοτηεϖεχτορσ y=(y1 0,...,y0 N )0,ανδ b=(b 0 1,...,b0 N )0, ανδδε νε Ni=1 r τηεmατριξ xαστηε TNn Nn(k+ r)(ωηερε r= i N )βλοχκδιαγοναλmατριξωιτηδιαγοναλεθυαλ το(x 1,...,x N ).Υσινγτηεσεδε νιτιονσ,ωεχανεξπρεσστηεφυλλσψστεmοφεθυατιονσασ y xb=e.τηε λικελιηοοδ χαν νοω βε εξπρεσσεδ ασ L(b, Σ,β) = Σ T/2 εξπ = Σ T/2 εξπ 1 2 (y xb)0 V 1 e 1 2 (y xb) s 2 + b β 0 b V 1 b β b (8) ωηερε s 2 = y 0 M V y, M V = Ve 1 Ve 1 xv x 0 Ve 1, β b=vx 0 Ve 1 y, V e =(Σ I T )ανδ V = ϒ x 0 Ve 1 x 1. Τηυσ φροm ουρ ρστ ρεπρεσεντατιον οφ τηε λικελιηοοδ, ωε χαν σεε τηατ τηε φορm οφ τηε ποστεριορ φορ b χονδιτιοναλυποντηε β i ανδ ΣισΝορmαλιφτηε(χονδιτιοναλ)πριορφορ bισ ατορνορmαλ. 5

8 Ουρ νεξτ ρεπρεσεντατιον οφ τηε λικελιηοοδ δεmονστρατεσ τηατ ωε χαν οβταιν α Νορmαλ φορm φορ τηε χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ(χονδιτιοναλ ον τηε οτηερ παραmετερσ οφ τηε mοδελ). Τηατ ισ, τηε χονδιτιοναλ ποσ 0,ωηερεbβ τεριορδενσιτψοφτηεϖεχτορ b β = b 0 β,1,...,b0 β,n,i= vec(β i),χανβεσηοωντοβενορmαλ. Τοδοτηισλετυσαγαινρεωριτε(2)βυττηιστιmεδε νετηε1 kϖεχτορ w i,t = yi,t 1 0,..., y0 i,t l,d0 t, ανδτηε k nmατριξ C i =(Γ i,1,...,γ i,l, Φ i ) 0 ανδ,τηυσ, y 0 i,t= y 0 i,t 1β i A 0 i+ w i,t C i + ε 0 i,t. (9) Ιφωεσταχκτηεϖεχτορσοϖερ tασ y i =( y i,1,..., y i.t ) 0, y i, 1 =(y i,0,...,y i,t 1 ) 0 ανδ w i = τηενωεχανωριτε y i = y i, 1 β i A 0 i + w ic i + ε i. ςεχτοριζινγτηισεθυατιονωεοβταιν vec( y i w i C i )=(A i y i, 1 ) vec(β i)+vec(ε i ) w 0 i,1,...,w0 i,t 0, ορβy i = βx i b β,i+ e i ωηερε βy i = vec( y i w i C i ),ανδ βx i =(A i y i, 1 ). Νοωσταχκτηεϖεχτορσ βy i ιντο βy=(βy 0 1,...,βy0 N )0 ανδδε νε βxαστηε TNn Nnr βλοχκδιαγοναλmατριξωιτηδιαγοναλεθυαλτο(βx 1,...,βx N )σοωεχαν εξπρεσστηεσψστεmοφεθυατιονσασβy βxb β = e. Τηελικελιηοοδχαννοωβεεξπρεσσεδασ L(b, Σ,β) = Σ T/2 εξπ 1 ϒ βy βxbβ 0 ϒ V 1 e βy βxbβ (10) 2 = Σ T/2 εξπ 1 s 2β 2 + b β β 0 b β V 1 β b β β b β ωηερε s 2 β =βy0 M Vβ βy, M Vβ = Ve 1 Ve 1 e ρεπρεσεντατιονοφτηελικελιηοοδσηοωστηαττηεφορmοφτηεποστεριορφορ b β βxv β βx 0 V 1 e ανδ Σ)ισΝορmαλιφτηε(χονδιτιοναλ)πριορφορ b β 2.2 Πριορσ, β b β = V β βx 0 V 1 ισνορmαλ. βy,ανδ V β = ϒ βx 0 Ve 1 βx 1.Τηισ (χονδιτιοναλυποντηε C i Ιντηισσεχτιον,ωεδεσχριβετωοχλασσεσοφπριορσωηιχηmαψβευσεφυλφορεmπιριχαλρεσεαρχη. Τηε ρστ οφ τηεσε ισ α νονινφορmατιϖε πριορ, συιταβλε φορ ρεφερενχε ορ βενχηmαρκ πυρποσεσ. Τηε σεχονδ ισ αν ινφορmατιϖε πριορ ωηιχη χονταινσ ωηατ ωε χαλλ σοφτ ηοmογενειτψ ρεστριχτιονσ. Τηατ ισ, ιν mανψ χασεσ εχονοmιχ τηεορψ συγγεστσ τηατ τηε χοιντεγρατιον σπαχε σηουλδ βε τηε σαmε φορ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ ανδ οφ α παρτιχυλαρ φορm. Ιν αν εmπιριχαλ αναλψσισ, τηε ρεσεαρχηερ mιγητ νοτ ωαντ το ιmποσε τηισ σορτ οφ ηοmογενειτψ ιν α στρονγ σενσε, βυτ, τηρουγη τηε υσε οφ πριορσ, ωε χαν δο σο ιν α σοφτ σενσε. Τηατ ισ, ρατηερ τηαν σεττινγ παραmετερσ το ηαϖε τηε σαmε ϖαλυεσ φορ αλλ ινδιϖιδυαλσ, ωε σπεχιφψ χοmmον ινφορmατιϖε πριορσ τηατ φαϖουρ παραmετερ ϖαλυεσ ωηιχη αρε σιmιλαρ φορ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ. Τηισ ισ λικελψ το βε οφ παρτιχυλαρ βενε τ σινχε ουρ mοδελ χονταινσ mανψ παραmετερσ ανδ, τηυσ, ισσυεσ ρελατινγ το ποσσιβλε οϖερ παραmετεριζατιον ανδ εffiχιενχψ οφ εστιmατιον αρε λικελψ το βε ιmπορταντ. Βεφορε δεσχριβινγ τηε πριορσ, ωε σηουλδ ηιγηλιγητ σοmε ιmπορταντ ισσυεσ τηατ ηαϖε αρισεν ιν Βαψεσιαν αναλψσεσ οφ χοιντεγρατιον ιν νον πανελ δατα χοντεξτσ. Ασ δισχυσσεδ πρεϖιουσλψ, τηε ςεχμ συffερσ φροm α λαχκ οφ ιδεντι χατιον(βοτη λοχαλλψ ανδ γλοβαλλψ). Α λαργε λιτερατυρε ηασ γροων ωηιχη δεϖελοπσ πριορσ 6

9 ωηιχη αττεmπτ το συρmουντ τηε προβλεmσ τηισ χαυσεσ(σεε τηε συρϖεψ παπερ βψ Κοοπ, Στραχηαν, ϖαν Dιϕκ ανδςιλλανι,2005).wεωιλλνοτρεχρεατετηεαργυmεντσοφτηισλιτερατυρεινδεταιληερε. Συffiχειττονοτε τηατ ιτ ισ υνσατισφαχτορψ το υσε σοmε αππαρεντλψ σενσιβλε αππροαχηεσ. Φορ ινστανχε, ατ ρστ σιγητ ιτ σεεmσ σενσιβλεϕυσττουσεαστανδαρδπριορ(ε.γ. α ατπριορορανορmαλονε)ον Bαφτεριmποσινγτηελινεαρ νορmαλιζατιον β=[i r B 0 ] 0. ΑσδισχυσσεδινΚλειβεργενανδϖανDιϕκ(1994),τηελοχαλνον ιδεντι χατιον οφτηεmοδελχαυσεσπροβλεmσφορτηισσορτοφβαψεσιαναππροαχη. Τηεισσυεηερειστηατωηεν αηασ ρεδυχεδ ρανκ(ε.γ., α =0) τηε χονδιτιοναλ ποστεριορ διστριβυτιον φορ B α ισ εθυαλ το ιτσ πριορ(ι.ε. σινχε B δοεσνοτεντερτηελικελιηοοδφυνχτιοναττηεποιντ α=0τηερεισνοδατα βασεδλεαρνινγαβουτ B ανδ,τηυσ,ιτσποστεριορεθυαλσιτσπριοραττηισποιντ). Ιφτηεπριορφορ B α=0ισιmπροπερ(ασιτισιντηε χοmmον νονινφορmατιϖε χασε), τηεν τηε ποστεριορ ωιλλ αλσο βε ιmπροπερ. Φορmαλλψ, Κλειβεργεν ανδ ϖαν Dιϕκ(1994) ασσοχιατε τηε λοχαλ νον ιδεντι χατιον προβλεm ωιτη νονεξιστενχε οφ ποστεριορ mοmεντσ ανδ νον ιντεγραβιλιτψ οφ τηε ποστεριορ (υνδερ α χοmmον νονινφορmατιϖε πριορ). Κλειβεργεν ανδ ϖαν Dιϕκ(1998) αδδιτιοναλλψ ποιντ ουτ τηατ λοχαλ νον ιδεντι χατιον ιmπλιεσ αν αβσορβινγ στατε ιν α Γιββσ σαmπλερ, τηερεβψ ϖιολατινγ τηε χονϖεργενχε χονδιτιονσ φορ τηε σαmπλερ. Wιτη ρεγαρδσ το γλοβαλ ιδεντι χατιον, Στραχηαν ανδ Ινδερ(2004) σηοω ηοω τηε υσε οφ λινεαρ ιδεν τιφψινγ ρεστριχτιονσ πλαχεσ α ρεστριχτιον ον τηε εστιmαβλε ρεγιον οφ τηε χοιντεγρατινγ σπαχε. Τηισ παπερ αλσο προϖιδεσ αν εξτενσιϖε δισχυσσιον οφ φυρτηερ προβλεmσ ασσοχιατεδ ωιτη τηε υσε οφ λινεαρ ιδεντιφψινγ ρεστριχτιονσ. Στραχηαν ανδ ϖαν Dιϕκ(2004β) σηοω τηατ α ατ ανδ αππαρεντλψ νονινφορmατιϖε πριορ ον B ιν τηε λινεαρ νορmαλιζατιον φαϖορσ ρεγιονσ οφ τηε χοιντεγρατιον σπαχε νεαρ ωηερε τηε λινεαρ νορ mαλιζατιον ισ ινϖαλιδ. Ηενχε, τηε λινεαρ νορmαλιζατιον ισ υσεδ υνδερ τηε ασσυmπτιον τηατ ιτ ισ ϖαλιδ ωηιλεαττηεσαmετιmετηεπριορσαψστηαττηενορmαλιζατιονισλικελψτοβεινϖαλιδ. Χοmινγ ουτ οφ τηισ λιτερατυρε ισ τηε στρονγ mεσσαγε τηατ πριορ ελιχιτατιον σηουλδ βε mαδε διρεχτλψ οff τηε χοιντεγρατιον σπαχε ιτσελφ (ωηιχη ισ αλλ τηατ ισ ιδεντι εδ). Σεϖεραλ παπερσ, ινχλυδινγ Στραχηαν (2003), Στραχηαν ανδ Ινδερ(2004) ανδ ςιλλανι(2005α,β) προποσε ϖαριουσ αππροαχηεσ ωηιχη ινϖολϖε συχη α φοχυσ. Ιν τηισ παπερ, ωε εξτενδ τηε γενεραλ φραmεωορκ ουτλινεδ ιν Στραχηαν(2003) ανδ Στραχηαν ανδ Ινδερ(2004) το ουρ πανελ χοιντεγρατιον mοδελ. Τηε αδϖανταγεσ οφ τηισ αππροαχη αρε τηατ τηεψ αλλοω υσ το αϖοιδ ιδεντι χατιον ρεστριχτιονσ τηατ mαψ ρεστριχτ τηε εστιmαβλε χοιντεγρατιον σπαχε, αλλοω φορ πριορσ ωηιχη αρε, ιν α σενσε, νονινφορmατιϖε (βυτ αρε προπερ ανδ, ηενχε, αλλοω φορ χαλχυλατιον οφ ποστεριορ οδδσ ρατιοσ) ανδ οffερ α χονϖενιεντ φραmεωορκ φορ ινχορπορατινγ πριορ ινφορmατιον (ιφ τηε ρεσεαρχηερ ωισηεσ το ινχορπορατε ιτ). Το βριε ψ mοτιϖατε τηισ αππροαχη (ιν τηε νον πανελ χασε), νοτε τηατ α χοιντεγρατινγ σπαχε π ισ αν r διmενσιοναλ ηψπερπλανε ιν α n διmενσιοναλ σπαχε ανδ ιτσ ρελατιον το τηε χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ β ισ τηατ τηεσε ϖεχτορσ λιε ιν ανδ τηερεβψ ιδεντιφψ τηατ πλανε. Χονσιδερ τηε χασε ωηερε n =2ανδ α σινγλε χοιντεγρατιον ϖεχτορ εξιστσ ωηιχη ισ παραmετεριζεδ ιν πολαρ χοορδινατεσ β = (χοσ θ σιν θ) 0, ωηερε θ [ π/2,π/2). Ιτισονλψθ ωηιχη δετερmινεσ τηε χοιντεγρατιον σπαχε ανδ, τηυσ, ασ σηοων ιν Στραχηαν ανδ Ινδερ(2004), τηε λενγτη οφ β χαν βε ρεστριχτεδ το βε υνιτψ φορ ιδεντι χατιον. Χρυχιαλλψ, ανδ ιν χοντραστ το τηε λινεαρ νορmαλιζατιον, τηισ ιδεντιφψινγ ρεστριχτιον δοεσ νοτ ρεστριχτ τηε εστιmαβλε χοιντεγρατιον σπαχε ορ διστορτ τηε ωειγητ ον τηε σπαχε οφ τηε παραmετερ οφ ιντερεστ, π. Ανατυραλ χανδιδατε φορ α νονινφορmατιϖε διστριβυτιον ον π ισ τηε Υνιφορm διστριβυτιον ον θ, τηε παραmετερ 7

10 γοϖερνινγ τηε διρεχτιον οφ β ανδ τηερεφορε π. Το εξτενδ τηεσε ιντυιτιϖε χονχεπτσ το γενεραλ n ανδ r, σοmε αδδιτιοναλ δε νιτιονσ αρε ρεθυιρεδ. Ουρ αιm ισ το προϖιδε α ριγορουσ δε νιτιον οφ τηε ιντυιτιϖε ιδεα οφ ασσιγνινγ εθυαλ πριορ προβαβιλιτψ το εϖερψ ποσσιβλε χοιντεγρατιον σπαχε οφ διmενσιον r. Ασ δεσχριβεδ ιν Στραχηαν ανδ Ινδερ(2004), ηαϖινγ β βεινγ σεmι ορτηογοναλ συχη τηατ β 0 β = I r ιδεντι εσ τηε χοιντεγρατινγ ϖεχτορσ ωιτηουτ πλαχινγ ανψ ρεστριχτιονσ ον τηε χοιντεγρατινγ σπαχε. Τηε σετ οφ αλλ n r σεmι ορτηογοναλ mατριχεσ ισ χαλλεδ τηε Στιεφελ mανιφολδ ς n,r. Τηε Στιεφελ mανιφολδ ισ α χοmπαχτ σπαχε ανδ αδmιτσ α Υνιφορm διστριβυτιον. Ιν τηε χασε ωηερε r =1, ονε mιγητ χονχεπτυαλιζε τηε χολλεχτιον οφ διρεχτιονσ οφ αλλ n διmενσιοναλ υνιτ ϖεχτορσ, β ς n,1, ασ δεσχριβινγ αν n διmενσιοναλ υνιτ σπηερε χεντερεδ ατ τηε οριγιν. Τηυσ, ωε mαψ ϖισυαλιζε α Υνιφορm διστριβυτιον ον τηε n διmενσιοναλ υνιτ σπηερε ασ χηαραχτεριζινγ α Υνιφορm διστριβυτιονονς n,1.φορr>1,ωεχαντηινκοφεαχηϖεχτοριν βασδεσχριβινγαυνιτσπηερεωιτητηε αδδιτιοναλ ρεστριχτιον τηατ τηε ϖεχτορσ αρε αλλ ορτηογοναλ το εαχη οτηερ. Τηε Γρασσmαν mανιφολδ Γ n,r ισ τηε αβστραχτ σπαχε οφ αλλ ποσσιβλε r διmενσιοναλ πλανεσ οφ Ρ n. Τηε χοιντεγρατιον σπαχε ισ αν ελεmεντ οφ τηε Γρασσmαν mανιφολδ, τηατ ισ π Γ n,r.ιντηεςεχμ ονλψ τηε σπαχε σπαννεδ βψ τηε χολυmνσ οφ β ισ ιδεντι εδ, συχη τηατ ωε ονλψ ηαϖε ινφορmατιον ον π = sp(β) Γ n,r. Α Υνιφορm πριορ φορ τηε χοιντεγρατιον σπαχε ισ τηερεφορε γιϖεν βψ τηε Υνιφορm διστριβυτιονονγ n,r. Φορ χαλχυλατινγ ποστεριορ οδδσ ρατιοσ, προπερ πριορσ αρε ρεθυιρεδ το αϖοιδ Βαρτλεττ σ παραδοξ (σεε Βαρτλεττ, 1957). Βυτ, σινχε β νοω ηασ α χοmπαχτ συππορτ, τηε πριορ οϖερ τηε χοιντεγρατιον σπαχε ισ προπερ. Φορmαλλψ, τηισ αππροαχη υσεσ τηε νατυραλ ρελατιονσηιπ βετωεεν τηε Γρασσmαν mανιφολδ ανδ τηε Στιεφελ mανιφολδ ανδ τηε δεϖελοπmεντ οφ mεασυρεσ ον τηεσε σπαχεσ πρεσεντεδ ιν ϑαmεσ(1954). Ιν παρτιχυλαρ,ακεψρεσυλτιστηαττηευνιφορmδιστριβυτιονονς n,r ινδυχεσαυνιφορmδιστριβυτιονονγ n,r (σεε ϑαmεσ, 1954, ανδ Στραχηαν ανδ Ινδερ, 2004). Τηυσ, ιτ ισ ποσσιβλε το ωορκ ωιτη τηε σεmι ορτηογοναλ mατριχεσ,ι.ε. β ς n,r,ανδαδϕυσταλλιντεγραλστοαχχουντφορτηεφαχττηατς n,r ισαλαργερσπαχετηαν Γ n,r. Ιντηισπαπερ,ωεηαϖεονλψσκετχηεδουττηεβασιχιδεασρελατινγτοπριορελιχιτατιονιντηεχοιντε γρατιον mοδελσ, ανδ ρεφερ τηε ρεαδερ το τηε λιτερατυρε ωε χιτε αβοϖε φορ φυρτηερ δεταιλσ. Συffiχε ιτ το νοτεηερετηατ,ιντηισπαπερ,ωεεξτενδτηεσειδεαστοωορκωιτητηεπανελχοιντεγρατιονmοδελ Α Νονινφορmατιϖε Πριορ 0 Λετ b β = b 0 β,1 β,n,...,b0, ωηερε bβ,i = vec(β i ), χονταιν αλλ τηε παραmετερσ ωηιχη δετερmινε τηε χοιντεγρατιον σπαχεσ. Τηε ρεmαινινγ παραmετερσ οφ τηε mοδελ αρε Σ ανδ b,ωηερε b ισ δε νεδ βετωεεν (7) ανδ(8). Νοτινγτηατ,χονδιτιοναλυπον b β,τηεmοδελρεδυχεστοαλινεαρονε(σεεεθυατιον7),α πλαυσιβλε χανδιδατε ισ τηε στανδαρδ νονινφορmατιϖε πριορ φορ mυλτιϖαριατε λινεαρ mοδελσ: p(b, Σ,b β ) Σ (Nn+1)/2, (11) ωηερε ωε αδδ τηε αδδιτιοναλ ρεστριχτιον, αρισινγ φροm ουρ ωιση το βε νονινφορmατιϖε αβουτ τηε χοιν τεγρατινγ σπαχε ανδηαϖεανιδεντιφψινγ ρεστριχτιονωηιχηδοεσ νοτλιmιτ τηατ σπαχε, τηατ β i ισ σεmι ορτηογοναλσυχητηατ β 0 iβ i = I ri. 8

11 Νοτε,ηοωεϖερ,τηαταλτηουγητηεmαργιναλπριορφορ b β ισπροπερ,τηεϕοιντπριορφοραλλτηεπαρα mετερσισιmπροπερ. Τηειmπροπριετψρελατινγτοτηεπριορφορ Σισνοταπροβλεm,σινχειτισχοmmον το αλλ mοδελσ. 3 Ηοωεϖερ, α προπερ πριορ ωουλδ βε ρεθυιρεδ φορ τηε ρεmαινινγ παραmετερσ σηουλδ ωε ωιση το χαλχυλατε ποστεριορ οδδσ ρατιοσ χοmπαρινγ διffερεντ χοιντεγρατινγ ρανκσ. Τηατ ισ, ιφ ωε ωιση το εστιmατε α σινγλε mοδελ φορ σπεχι εδ ϖαλυεσ φορ r i (ανδ σπεχι εδ ϖαλυεσ φορ l ανδ d t ) τηε πριορ γιϖεν ιν(11)ωιλλβεαππροπριατε. Ηοωεϖερ,ιφωεαρεωισηινγτοχοmπαρετηισσινγλεmοδελτοανοτηερωιτη διffερεντϖαλυεσφορ r i (ανδ/ορδιffερεντϖαλυεσφορ lανδ d t ),τηενανινφορmατιϖεπριορφορ bωουλδβε ρεθυιρεδ. Ιτιστοσυχηανινφορmατιϖεπριορτοωηιχηωετυρν. Ηοωεϖερ,ιτισωορτηνοτινγινπασσινγ τηατ α ρεσεαρχηερ ωηο ισ ιντερεστεδ ιν mοδελ χοmπαρισον, βυτ ωουλδ πρεφερ το αϖοιδ ινφορmατιϖε πριορσ, χουλδ υσε ινφορmατιον χριτερια το αππροξιmατε mαργιναλ λικελιηοοδσ ορ χουλδ αδοπτ α τραινινγ σαmπλε αππροαχη. Τηατισ,(11)χουλδβευσεδασανονινφορmατιϖεπριορωηιχηιστηενχοmβινεδωιτηατραινινγ σαmπλε(ε.γ. τηεινιτιαλ10%οφτηεδατα)τοψιελδα ποστεριορ. Τηισ ποστεριορ χαντηενβευσεδασ ανινφορmατιϖεπριοριναποστεριοραναλψσισινϖολϖινγτηερεστοφτηεδατα. ΣεεΟ Ηαγαν(1995)φορα δισχυσσιον οφ συχη αν αππροαχη Αν Ινφορmατιϖε Πριορ (ινχλυδινγ σοφτ ηοmογενειτψ ρεστριχτιονσ) Ιν mανψ χασεσ τηε ρεσεαρχηερ mαψ ωιση το σπεχιφψ αν ινφορmατιϖε πριορ ον τηε χοιντεγρατινγ σπαχε. Φορ ινστανχε, ιν ουρ πρεϖιουσ εξαmπλε αρισινγ φροm Κινγ, Πλοσσερ, Στοχκ ανδ Wατσον (1991), τηε ρεσεαρχηερ mαψ ωιση το ελιχιτ α πριορ ωηιχη ιmπλιεσ τηατ τηε χοιντεγρατινγ σπαχε λιεσ ιν τηε ρεγιον ιmπλιεδ βψ τηε γρεατ ρατιοσ. Αλτερνατιϖελψ, τηε ρεσεαρχηερ mαψ ωιση το ελιχιτ α πριορ ωηιχη ιmπλιεσ τηατ τηε χοιντεγρατιον σπαχεσ (ορ οτηερ παραmετερσ) φορ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ αρε σιmιλαρ. Wε ρεφερ το τηε λαττερ ασ σοφτ ηοmογενειτψ ρεστριχτιονσ. Ιν αδδιτιον, ιν ορδερ το αϖοιδ τηε ισσυεσ ρελατινγ το Βαρτλεττ σ παραδοξ δισχυσσεδ ιν τηε πρεϖιουσ σεχτιον, τηε ρεσεαρχηερ mαψ ωιση το ελιχιτ αν ινφορmατιϖε πριορ φορ b. Ηερε ωε δεσχριβε αν αππροαχη το πριορ ελιχιτατιον ωηιχη ινχορπορατεσ τηεσε ασπεχτσ. Σοmε ασπεχτσ οφ ουρ πριορ αρε βεστ mοτιϖατεδ ιν τηε χοντεξτ οφ ουρ ποστεριορ σιmυλατιον αλγοριτηm. Ηενχε, ωε διγρεσσ βριε ψ το ινφορmαλλψ δισχυσσ χοmπυτατιον. Ποστεριορ χοmπυτατιον ισ γρεατλψ χοmπλι χατεδβψτηεφαχττηατ β i ισσεmι ορτηογοναλωηιχηπρεχλυδεσυσεοφτηεσιmπλεγιββσσαmπλινγmετηοδσ δεσχριβεδ, ε.γ., ιν Γεωεκε(1996). Φορ τηε νον πανελ χοιντεγρατιον mοδελ, Κοοπ, Λεον Γονζαλεζ ανδ Στραχηαν(2005) δεϖελοπ αν εffiχιεντ mετηοδ οφ ποστεριορ σιmυλατιον βασεδ ον τηε ιδεα οφ α χολλαπσεδ Γιββσ σαmπλερ δεϖελοπεδ ιν Λιυ (1994) ανδ Λιυ, Wονγ ανδ Κονγ (1994). Το γιϖε σοmε πρελιmιναρψ ιντυιτιον φορ τηισ, χονσιδερ τηε ρελατιονσηιπσ δε νεδ ιν(4). Φορ πριορ ελιχιτατιον ορ ποστεριορ χοmπυτα τιον,ωεmαψχονσιδερειτηερ(β i,α i )ορ(β i,a i ).Χρυχιαλλψ,ιντηε ρστοφτηεσεπαραmετεριζατιονσ, β i ισ σεmι ορτηογοναλωηιλε α i ισυνρεστριχτεδ,ωηερεασιντηεσεχονδιτισ β i ωηιχηισυνρεστριχτεδωηερεασ A i ισ σεmι ορτηογοναλ. Ιν τηε νεξτ σεχτιον ωε δεϖελοπ α χολλαπσεδ Γιββσ σαmπλερ ωηιχη αλτερνατεσ βετωεεν τηεσε τωο παραmετεριζατιονσ. Αργυmεντσ mαδε ιν Λιυ(1994) ανδ Λιυ, Wονγ ανδ Κονγ(1994) 3 Wηενχαλχυλατινγποστεριοροδδσρατιοσ,ιτισχοmmοντοmακευσεοφιmπροπερ,νονινφορmατιϖεπριορσοϖερπαραmετερσ ωηιχη αρε χοmmον το αλλ mοδελσ (σεε, ε.γ., Κασσ ανδ Ραφτερψ, 1995). Φερν νδεζ, Λεψ ανδ Στεελ (2001) εmπλοψ συχη α πριορ φορ αν ερρορ ϖαριανχε ιν α mοδελ αϖεραγινγ εξερχισε. Ασ τηεψ ποιντ ουτ, τηε πριορ ιν (11) ισ ινϖαριαντ το σχαλε τρανσφορmατιονσανδ, αλτηουγηιτισνοτστριχτλψ ϑεffρεψσ πριορ, ιτ ισ τηατπαρτοφϑεffρεψσ πριορρελατεδ το Σανδ ωιδελψ αχχεπτεδασανονινφορmατιϖεπριορφορ Σ. 9

12 προϖετηαττηισωιλλβεmορεεffiχιενττηαναγιββσσαmπλερωηιχηωορκσονλψωιτη(β i,α i )ορ(β i,a i ). Εϖεν mορε χρυχιαλλψ, ωιτη τηε πριορσ δεϖελοπεδ ιν τηισ σεχτιον, τηε χολλαπσεδ Γιββσ σαmπλερ ωιλλ ονλψ ινϖολϖεδραωσφροmτηενορmαλδιστριβυτιον(ανδινϖερτεδwισηαρτ 4 φορ Σ),ενορmουσλψσιmπλιφψινγτηε χοmπυτατιοναλ βυρδεν. Wε νοω τυρν το ουρ ινφορmατιϖε πριορ ανδ βεγιν βψ δισχυσσινγ b ανδ Σ. Τψπιχαλλψ, τηεσε παραmετερσ ωιλλβεοφλεσσιmπορτανχεινανεmπιριχαλεξερχισετηαντηεπριοροντηεχοιντεγρατινγσπαχε. Φορ Σωε mαινταιν τηε νονινφορmατιϖε πριορ γιϖεν ιν(11), αλτηουγη αν ινϖερτεδ Wισηαρτ φορm χουλδ αλσο εασιλψ βεηανδλεδ. Φορ bωεασσυmε: 5 b N 0,V 1 ν ωηερε ν ισασχαλαρωηιχηχοντρολστηεδεγρεεσοφινφορmατιϖενεσσορπρεχισιονοφτηεπριορ. Νοτετηατ ν χαν βε ιντερπρετεδ ασ α σηρινκαγε παραmετερ ανδ, τηυσ,(12) σηαρεσ σοmε σιmιλαριτιεσ ωιτη σηρινκαγε πριορσ χοmmονλψ υσεδ ιν τηε ςαρ λιτερατυρε(σεε, ε.γ., Λιττερmαν, 1986). Νοτε, ηοωεϖερ, τηατ ωε τρεατ ν ασ α παραmετερ(ρατηερ τηαν α ηψπερπαραmετερ σελεχτεδ συβϕεχτιϖελψ βψ τηε ρεσεαρχηερ). Νοω χονσιδερ τηε πριορ χοϖαριανχε mατριξ (υπ το τηε σχαλαρ σηρινκαγε παραmετερ) V ιν (12). Οφ χουρσε,ανψχηοιχεφορ V χανβεmαδε. Ηερεωεmοτιϖατεαπαρτιχυλαρφορmφορτηεελεmεντσοφ V ωηιχη ρελατε το α i ορ, εθυιϖαλεντλψ, A i. Χονσιδερινγ τηε ρελατιονσηιπσ ιν (4) ανδ συρρουνδινγ δισχυσσιον, ιτ mακεσ σενσε, αναλογουσ το ουρ νονινφορmατιϖε πριορ φορ τηε σεmι ορτηογοναλ β i, το ασσυmε τηατ τηε n r i σεmι ορτηογοναλmατριχεσ(a i,...,a N )αρεαπριοριινδεπενδεντανδτηατ: (12) p ϒ A i,...,a N τ,v,b β 1 (13) αστηισιmπλιεσαυνιφορmβυτπροπερδενσιτψφορεαχηοφ συβσπαχεσδε νεδβψτηε A i φορ i=1,..,n. Γιϖεντηερελατιονσηιπσιν(4)ωεχανδεριϖεαπριορφορ(β i,a i )φροmαπριορφορ(β i,α i )ορϖιχεϖερσα. Τηεπριορ(13),αλονγωιτητηεπριορφορ β i (τοβεδε νεδσηορτλψ),ιmπλιεστηατ vec(α i ) τ,β i,ν N 0, 1 ν ϒ β 0 i Pτ 1 1 β i In, (14) ανδ,τηυσ,τηαττηεδιαγοναλβλοχκσοφ V τηατχορρεσπονδτο α i αρεεθυαλτο ϒ β 0 ipτ 1 1 In β i (ωηερε P τ ωιλλβεδε νεδσηορτλψ). Τηερεmαινινγελεmεντσοφ V,χορρεσπονδινγτοτηεπαραmετερσ(C 1,...,C N ), χαν βε σπεχι εδ υσινγ ειτηερ ινφορmατιϖε ορ νονινφορmατιϖε χηοιχεσ ανδ ωιλλ βε φυρτηερ δισχυσσεδ βελοω. Φορ τηε χοιντεγρατιον σπαχεσ, π i (ανδ τηερεφορε φορ β i ) ιτ ισ οφτεν δεσιραβλε το ηαϖε α πριορ ωηιχη αλλοωσ φορ α χοmmον λοχατιον αχροσσ ινδιϖιδυαλσ. Ιφ αν εχονοmιστ βελιεϖεσ α παραmετερ ισ λικελψ το ηαϖεαπαρτιχυλαρϖαλυε,σηεωιλλοφτενπλαχεmορεπριορmασσαρουνδτηισλικελψποιντ. Τοεξτενδτηισ ιδεα φροm παραmετερσ το σπαχεσ, σοmε νεω ιδεασ αρε ρεθυιρεδ. Το προϖιδε σοmε ιντυιτιον, χονσιδερ τηε χασεωηερεωεηαϖεαπριορβελιεφτηαττηεσπαχεοφβ i σηουλδβεαππροξιmατελψτηεσπαχεοφ H ωηερε H ισ σεmι ορτηογοναλ ανδ ισ οφ τηε σαmε διmενσιον ασ β i (ωε ωιλλ εξτενδ τηισ το αλλοω H το ηαϖε α διffερεντνυmβεροφχολυmνσφροm β i βελοω). Τοοβταιντηεσεmι ορτηογοναλmατριξ H τηερεσεαρχηερ 4 Σεε,ε.γ.,Βαυωενσ,ΛυβρανοανδΡιχηαρδ(1999),παγε305φοραδε νιτιονοφτηεινϖερτεδwισηαρτδιστριβυτιον. 5 Ιντηεφολλοωινγmατεριαλ,ωευσενοτατιονωηερελοωερβαρσ(ε.γ. ασιν V)δενοτεπριορηψπερπαραmετερσωηιχηmυστ βεσελεχτεδβψτηερεσεαρχηερ. 10

13 χαν ρστσπεχιφψτηεmατριξ H g χονταινινγδεσιρεδχοεffiχιεντϖαλυεσανδτηενυσετηετρανσφορmατιον H= H g (H g0 H g ) 1/2.Τηεmατριξ H χονστρυχτεδιντηισωαψωιλλσπαντηεσαmεσπαχεασ H g βυτωιλλ βε σεmι ορτηογοναλ. Φορ ινστανχε, ιφ, mοτιϖατεδ βψ Κινγ, Πλοσσερ, Στοχκ ανδ Wατσον(1991), ωε ωαντεδ α πριορ ρε εχτινγ τηε φαχτ τηατ τηε γρεατ ρατιοσ αρε προβαβλψ χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπσ, ωε ωουλδ σετ: H g = H g ισνοτσεmι ορτηογοναλβυτ H= H g (H g0 H g ) 1/2 ωιλλβε(ανδωιλλσπαντηεσαmεσπαχε). Α δογmατιχ πριορωουλδ βε οβταινεδ βψ σεττινγ β i = H ωηιχηπλαχεσ αλλ οφτηε πριορmασσ φορ π i ατπ H = sp(h). ΣτραχηανανδΙνδερ(2004)δεϖελοπανινφορmατιϖε,βυτνον δογmατιχπριορ,φορτηε χοιντεγρατιον σπαχε ανδ ωε αδοπτ α σιmιλαρ αππροαχη ηερε. Ιντυιτιϖελψ, ωε ωαντ α πριορ ωηιχη σαψσ τηε χοιντεγρατιονσπαχεσ,π i,αρελικελψτοβεχλοσετοπ H = sp(h)ανδ,τηυσ,φαρτηεστφροmπ H = sp(h ) ωηερε H ιστηεορτηογοναλχοmπλεmεντοφ H.Τηεπ i σαρεωειγητεδαϖεραγεσοφπ H ανδπ H χαν ελιχιτ α πριορ αβουτ τηεσε ωειγητσ.. ανδωε Ονεωαψτοmοτιϖατεουρινφορmατιϖεπριοριστηρουγηιτσιmπλιχατιονσφορ β i. Τοτηισενδ,συπποσε ωεηαϖεαν n r i mατριξ Z i ωιτηαλλελεmεντσβεινγι.ι.δ. N ϒ 0,ν 1. Αστανδαρδρεσυλττελλσυστηατ τηεσπαχεοφ Z i ωιλλβευνιφορmλψδιστριβυτεδοϖερτηεγρασσmανmανιφολδ. Ιφωεσιmπλψσετ β i = Z i ανδυσεδτηισασαπριορφορβ i τηεν ιτ ωουλδ βε νονινφορmατιϖε οϖερ τηε χοιντεγρατινγ σπαχε. Το γετ α δογmατιχ ινφορmατιϖε πριορ φορ β i (ανδ, τηυσ, τηε χοιντεγρατινγ σπαχε), ωε χανπροϕεχτ Z i ιντο π H. Ανοτηερστανδαρδρεσυλτινmατριξαλγεβρασαψστηισπροϕεχτιονισγιϖενβψ β i = HH 0 Z i.αττηε οπποσιτεεξτρεmε,ωεχουλδπροϕεχτ Z i ιντοπ H ασ β i = H H 0 Z i ιφωεωαντεδαχοιντεγρατιονσπαχε ασφαραωαψφροmπ H ασποσσιβλε. Ανον δογmατιχινφορmατιϖεπριορχανβειντροδυχεδβψιντροδυχινγ τηερανδοmϖαριαβλε η(ωιτηδιστριβυτιονχεντερεδατ0)ωηιχηχεντερστηεπριοροϖερπ H,βυτατταχηεσ ωειγητ το οτηερ σπαχεσ ασ: β i = HH 0 Z i + ηh H 0 Z i ωηερε P η = HH 0 + ηh H 0. = P η Z i Υσινγ τηε προπερτιεσ οφ τηε Νορmαλ διστριβυτιον, ιτ φολλοωσ τηατ vec(β i) η, ν N 0,I ri 1 ν P ηpη 0. Βυτ,γιϖεντηεστρυχτυρεοφ P η,ιτφολλοωστηατ P η P 0 η= HH 0 + η 2 H H 0 = P η 2.Τηυσ,ηεντερστηεπριορ ονλψτηρουγη η 2 ανδ,αχχορδινγλψ,ωειντροδυχετηενοτατιον τ = η 2 ανδυσετηεφολλοωινγχονδιτιοναλ Νορmαλπριορφορ β i: vec(β i) τ,ν N 0,I ri 1 ν P τ (15) 11

14 ορ, εθυιϖαλεντλψ, b β τ,ν N 0, 1ν V β (16) ωηερε V β = diag(i ri P τ ). 6 Τηισπριορωιλλmορεστρονγλψωειγηττηεχοιντεγρατινγσπαχετοωαρδσ H τηεχλοσερ τ ιστοζερο. Ατ τ =1,τηισπριορισΥνιφορmοϖερτηεΓρασσmανmανιφολδ(σινχε P τ=1 = I n )ανδτ>1ιmπλιεσmορε ωειγηττοωαρδστηεσπαχεοφ H.Τηερεφορε,ιτισσενσιβλετοειτηερτρυνχατετηεδιστριβυτιονοφ τ τοτηε ρεγιον(0,1]ορτοχηοοσετηεηψπερπαραmετερσιντηεπριορφορ τ σοτηατ τ>1ισαϖερψυνλικελψεϖεντ. Νοτετηατουρινφορmαλmοτιϖατιονιmπλιχιτλψασσυmεδ Hτοβεοφτηεσαmεδιmενσιονασ β.ηοωεϖερ, ιφωεδε νε H V s,n τοβεακνοων n s(s r i )mατριξανδ H V n s,n ιτσορτηογοναλχοmπλεmεντ, τηενουρπριορεξπρεσσεστηεβελιεφτηαττηεχοιντεγρατιονσπαχεπ i ισλικελψτοβεινχλυδεδιντηεηιγηερ διmενσιοναλσπαχεπ H. 7 Φορανψ p(τ)ανδ p(ν),ωεχανωριτετηεϕοιντπριορφορ β i ανδ(ν,τ)ασ ωηερε r 2 = Ni=1 r 2 i N 2π p(ν) p(τ) ν 2π ν = p(ν) p(τ) εξπ Nnr/2 τ εξπν N(nr r2 )/2 ν ο 2 ΣN i=1trβ 0 i P τ 1β i Nnr/2 τ εξπν N(nr r2 )/2 ν ο 2 ΣN i=1trβ 0 i HH 0 β i ν ν 2τ ΣN i=1trβ 0 i H H 0 β i. Ινουρεmπιριχαλωορκ,ωεσελεχτφορ p(ν)τηεφορm: ν G µ ν,ν ν nnr ο, (17) ωηερε G µ ν,ν ν nnr δενοτεστηεγαmmαδιστριβυτιονωιτηmεαν µ ν ανδδεγρεεσοφφρεεδοm ν ν nnr. Νοτετηαττηεδεγρεεσοφφρεεδοmδεπενδσον nnr. Τηισαρισεσουτοφουρωισητοηαϖετηεπριορ p(ν β i =0)τηεσαmεφορεϖερψmοδελωεχονσιδερινουρmοδελχοmπαρισονεξερχισε. Συχηαχονδιτιον ισ νεχεσσαρψ φορ υσινγ τηε Σαϖαγε Dιχκεψ δενσιτψ ρατιο ασ ωε δο βελοω. Φορ βρεϖιτψ, ωε ωιλλ νοτ προϖιδε δεταιλσ,βυτιττυρνσουττηατιφ p(ν)ηαστηεφορmγιϖενιν(18)τηεντηερεσυλτινγπριορφορ ν σατισ εσ τηε(ρεασοναβλε ανδ χοmmονλψ υσεδ) χονδιτιονσ φορ τηε Σαϖαγε Dιχκεψ δενσιτψ ρατιο το βε υσεδ. Υσινγ τηε τρανσφορmατιονσ β i = β i κ i ανδ κ i κ 0 i = ωιτη χηανγε οφ mεασυρε (dβ i)=2 r i (n r i 1)/2 (d)(dβ i ),ανδυσινγ(18)τοιντεγρατεουτ ν,ωεχανοβταιν p(τ,b β )=p(τ) τ N(nr r2 )/2 Π N i (18) β 0 i P τ 1β i n/2 χr. (19) 6 Νοτετηατ bανδ b β σηαρεελεmεντσινχοmmον(ι.ε. κ i )ανδτηερεφορε,τηεπριορσπεχι χατιονον bηασιmπλιχατιονσ οντηεπριοροφ b β. Τηισιστηερεασονωηψτηεσηρινκαγεπαραmετερ, ν,αππεαρσιν16. Νοτετηατ ν δοεσνοταffεχττηε mαργιναλπριορφορχοιντεγρατινγσπαχεσ. 7 Ιφ ωε ηαϖε τηε χασε τηατ s<n 1, τηεν ωε ωιλλ ηαϖε mοδελσ ωιτη r>sανδ τηε αβοϖε πριορ διστριβυτιον ισ νοτ αππλιχαβλε. Ιν τηισ χασε, ιν τηε αβσενχε οφ εχονοmιχ τηεορψ το γυιδε υσ, ωε ωουλδ ασσυmε α Υνιφορm πριορδιστριβυτιον φορπ i. 12

15 ωηερεχ r =2 Nr π N(r2 r)/4 Nnr/2 Π N i Πr i j Γ[(n+1 j) /2].Σινχετηεχοιντεγρατινγσπαχεπ i ισιδεντι εδγιϖεναϖαλυεφορ β i,τηεεξπρεσσιονιν(17)ορ(19)χανβερεγαρδεδαστηεϕοιντπριορφορ(π i,τ) χονδιτιοναλυπον r i. Φροmτηεφορmιν(17),αχονϖενιεντφορmοφπριορφορ τ 1 τηατσυγγεστσιτσελφισγαmmα τ 1 G µ τ,ν τ ποσσιβλψτρυνχατεδτο[1, )τοενσυρε τ<1.αλτερνατιϖελψ, ωεχουλδχηοοσεϖαλυεσ, ασωεδοινουρ αππλιχατιον, συχηασ µ τ =5ανδ ν τ =15ωηιχηωιλλενσυρε P(τ <1) 1.Ιντηετρυνχατεδχασετηε νορmαλιζινγχονσταντχ r ιν(19)ισαδϕυστεδβψδιϖιδινγβψ P ϒ τ 1 >1. Νοτετηατ,ιφωευσεαππροπριατεχοmmονϖαλυεσφορ µ τ ανδ ν τ φορεϖερψινδιϖιδυαλ,ωεωιλλενσυρε τηατεαχηπ i ηασιτσπριορmασσνεαρτοπ H = sp(h).τηισισανεξαmπλεοφωηατωερεφερτοασασοφτ ηοmογενειτψ ρεστριχτιον. Τηατ ισ, ωε αρε νοτ ρεστριχτινγ, α πριορι, εαχη ινδιϖιδυαλ το ηαϖε τηε σαmε χοιντεγρατιον σπαχε, βυτ ωε αρε εξπρεσσινγ τηε ϖιεω τηατ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ αρε λικελψ το ηαϖε σιmιλαρ χοιντεγρατιον σπαχεσ. Ιν γενεραλ, συχη σοφτ ηοmογενειτψ ρεστριχτιονσ χαν βε ιmποσεδ ιν τωο ωαψσ ωιτη τηισ πριορ. Φιρστ, πριορσ (συχη ασ τηε πριορ φορ τ) χαν βε τηε σαmε ορ χαν σηαρε χοmmον λοχατιονσ. Σεχονδ, ωε χαν χηοοσε V δε νεδ ιν (12) το ηαϖε α στρυχτυρε ωηιχη ιmπλιεσ χορρελατιον βετωεεν τηε σαmε παραmετερσ φορ διffερεντ ινδιϖιδυαλσ. Ηερε ωε βριε ψ δεσχριβε ονε στρατεγψ φορ σπεχιφψινγ V. Τηε Nn(k+ r) Nn(k+ r)mατριξ V χανβεπαρτιτιονεδιντο n(k+ r i ) n(k+ r i )βλοχκσοντηεδιαγοναλ V ii,ωηιχηχανβεχηοσεντοηαϖεϖαριουσφορmσ(σεεεθυατιον14φορτηεφορmρελατινγτοτηεα 0 is). Ον τηεοff διαγοναλσ,ιτωουλδοφτενmακεσενσεφορτηε n(k+ r i ) n(k+ r j )mατριχεσ V ij τοηαϖεζεροσ ιν τηε ροωσ ανδ χολυmνσ ρελατινγ το τηε α 0 i s. Τηυσ, νο α πριορι χορρελατιον8 ισ ασσυmεδ βετωεεν τηε α 0 i s. Ηοωεϖερ,ιτωιλλυσυαλλψβεσενσιβλετοασσυmετηατ vec(c i)ανδ vec(c j )αρεποσιτιϖελψχορρελατεδ ωιτη ονε ανοτηερ, α πριορι. Τηισ χαν βε δονε βψ σπεχιφψινγ τηε nk nk mατριξ οφ πριορ χοϖαριανχεσ βετωεεντηεελεmεντσοφ vec(c i )ανδ vec(c j )τοβεεθυαλτο ρ b I nk,ωηερε0 <ρ b <1. Τηισ χοmπλετεσ ουρ σπεχι χατιον οφ αν ινφορmατιϖε πριορ ωηιχη ηασ τηρεε κεψ προπερτιεσ: ι) Ιτ αλλοωσ φορ πριορ ινφορmατιον αβουτ τηε λικελψ λοχατιον οφ τηε χοιντεγρατιον σπαχε το βε ινχορπορατεδ; ιι) Ιτ αλλοωσ φορ πριορ ινφορmατιον αβουτ τηε δεγρεε οφ σιmιλαριτψ ιν χοεffiχιεντσ αχροσσ ινδιϖιδυαλσ(ωηιχη ωε ρεφερ το ασ σοφτ ηοmογενειτψ ρεστριχτιονσ); ιιι) Ιτ χονταινσ α παραmετερ ν ωηιχη αλλοωσ φορ σηρινκαγε οφ χοεffiχιεντσ ον σηορτ ρυν δψναmιχσ ανδ δετερmινιστιχ τερmσ. 2.3 Ποστεριορ Χοmπυτατιον Υσινγ τηε πριορσ σπεχι εδ αβοϖε ανδ τηε λικελιηοοδ ιν(8) ανδ(10), ωε χαν δεριϖε ϖαριουσ ποστεριορ χον διτιοναλ δενσιτιεσ οφ υσε ιν ουρ ποστεριορ σιmυλατιον αλγοριτηm. Υσινγ στανδαρδ ρεσυλτσ(ε.γ., Βαυωενσ, Λυβρανο ανδ Ριχηαρδ, 1999, Χηαπτερ 9), τηε χονδιτιοναλ ποστεριορ οφ Σ χαν βε χον ρmεδ το βε ινϖερτεδ Wισηαρτ ωιτη δεγρεεσ οφ φρεεδοm παραmετερ T ανδ σχαλε mατριξ ε 0 ε,ωηερεε ισ δε νεδ ϕυστ αφτερ 6. 8 Ιφτηεχοιντεγρατινγρελατιονσαρεεξαχτλψιδεντι εδ,αλλινδιϖιδυαλσσηαρετηεσαmε χοιντεγρατινγρανκανδτηεσαmε χοιντεγρατινγ ρελατιονσηιπ ηολδσ φορ αλλ εθυατιονσ, τηεν ιτ ωουλδ mακε σενσε το ασσυmε τηε αδϕυστmεντ χοεffiχιεντσ (α i ) αρεαπριοριχορρελατεδ. Ηοωεϖερ,ωιτηουττηεσερεστριχτιονσ,ιτδοεσνοτmακεσενσετοασσυmετηεχολυmνσοφ α i ανδ α j ωιλλβεχορρελατεδ. 13

16 Σιmιλαρστανδαρδρεσυλτσχανβευσεδτοοβταιντηεποστεριορδιστριβυτιονφορ bχονδιτιοναλυπον(σ,b β ) ωηιχηισνορmαλωιτηmεανb b = VV 1 β bανδχοϖαριανχε V b = V 1 + νv 1 1. Τηε ναλβλοχκιναστανδαρδγιββσσαmπλερωουλδινϖολϖετηεχοιντεγρατινγϖεχτορσ, b β =(b 0 β,1,..., b 0 β,n )0,ωηερεb β,i = vec(β i ). Βεχαυσε οφ τηε σεmι ορτηογοναλιτψ οφ β i, τηισ ποστεριορ χονδιτιοναλ ισ διffiχυλτ το δραω φροm διρεχτλψ. Ηοωεϖερ, τηε χονδιτιοναλ ποστεριορ διστριβυτιον οφ b β τυρνσ ουτ το 0,ωηερε βε Νορmαλ (ωε ρεmινδ τηε ρεαδερ τηατ b β = b 0 β,1,...,b0 β,n bβ,i = vec(β i)). Το βε πρεχισε, ρεχαλλινγ τηε δε νιτιον οφ C i βεφορε εθυατιον (9), ανδ δε νινγ c i = ϒ vec(a i ) 0,vec(C i ) 0 0 ανδ c=(c 0 1,...,c0 N )0,τηεποστεριορδιστριβυτιονφορ b β χονδιτιοναλυπον(σ,c)ισνορmαλωιτηmεαν η ι b β = V β V 1 β β b β ανδχοϖαριανχε V β = V β + νv β Ιντηεπροχεσσοφδραωινγτηεπαραmετερσ ϒ Σ,b,b β,ωενεεδτοδραωνανδ τ 1.Τηεχονδιτιοναλ ποστεριορ διστριβυτιον φορ ν ισ Γαmmα ωιτη mεαν ι 1 µ ν = ν ν η(ν ν nnr) /µ ν + b 0 V 1 b ανδδεγρεεσοφφρεεδοm ν ν = Nnk+ ν ν. Τηεχονδιτιοναλδιστριβυτιονφορ τ 1 ισγαmmαωιτηδεγρεεσ οφφρεεδοm ν τ = ν τ + N ϒ nr r 2 η 1. ανδmεαν µ τ = ν τ ν τ /µ τ + νσ N i=1 trβ 0 i H H iι 0 β Φροm τηεσε χονδιτιοναλ διστριβυτιονσ ωε συmmαριζε τηε φολλοωινγ σαmπλινγ σχηεmε υσινγ α χολλαπσεδ Γιββσ σαmπλινγ mετηοδ: 1. Ινιτιαλιζε(b, Σ,b β,ν,τ)= b (0), Σ (0),β (0),ν (0),τ (0). ΠN 2. Dραω Σ b, b β,ν,τφροm IW i=1 ε0 i ε i,t 3. Dραω b Σ,b β,v,τφροm N ϒ b b, V b 4. Χαλχυλατε A i =(α 0 i α i) 1 2 αi ανδχρεατε c. 5. Dραω b β c, Σ,v,τφροm N ϒ b β, V β. 6. Dεχοmποσεεαχη β i ασ β i = β i κ i υσινγ κ i = ϒ β 0 i β 1 2 i ανδ β i = β i κ 1.Χονστρυχτα i = A i κ i. 7. Dραω ν b, b β, Σ,τφροm G(µ ν, ν ν ). 8. Dραω τ 1 b, b β, Σ,vφροm G(µ τ, ν τ ). 9. Ρεπεατστεπσ2το8φορασυιταβλενυmβεροφρεπλιχατιονσ. Νοτε τηατ, ιν τηισ σαmπλερ, τηε τρανσφορmατιονσ ινϖολϖινγ τηε λονγ ρυν mυλτιπλιερσ αρε βασεδ ον (5). Τοσεεωηψτηεσεστεπσσυffiχετοσετυπαποστεριορσιmυλατορ,ωε ρστσηοωτηατ,χονδιτιοναλον (v, τ, Σ),στεπσ3το6δε νεαχολλαπσεδγιββσσαmπλερ(λιυ,1994). Τοσηοωτηισ,νοτεφροm(4)τηατ α i χανβεδεχοmποσεδιντο(a i,κ i ),ανδτηαττηερεφορετηεδραωοφ bινστεπ3ισαδραωοφ(c, κ 1,...,κ N ). Σιmιλαρλψ, β i χανβεδεχοmποσεδιντο(β i,κ i )ανδαδραωοφ b β ινστεπ5ισαδραωοφ(b β,κ 1,...,κ N ). 14

17 Τηερεφορε, δροππινγ φορ σιmπλιχιτψ τηε χονδιτιονινγ αργυmεντσ(v, τ, Σ),τηε ϖαλυε οφ c οβταινεδ ιν στεπ 3ισαδραωφροmc b β,τηατισοβταινεδmαργιναλλψον(κ 1,...,κ N ). Σιmιλαρλψ,τηεϖαλυεοφ b β οβταινεδ ιν στεπ 5ισ αδραωφροm b β c, (ι.ε. οβταινεδαγαινmαργιναλλψον(κ 1,...,κ N )). Τηερεφορε, στεπσ3το 6δε νετηεχολλαπσεδγιββσσαmπλερσυγγεστεδβψλιυ(1994)ανδλιυ,wονγανδκονγ(1994),ωηο σηοω τηατ τηισ αλγοριτηm ισ mορε εffiχιεντ τηαν α στανδαρδ Γιββσ σαmπλινγ αλγοριτηm(ι.ε. ονε ωηιχη σιmπλψδραωσφροmτηεχονδιτιοναλποστεριορσοφ bανδ b β ). Φιναλλψ, ωε εξτενδ τηε χολλαπσεδ Γιββσ σαmπλερ ωιτη στεπσ τηατ γενερατε (κ 1,...,κ N ), Σ, v,ανδ τ φροm τηειρ χορρεσπονδινγ χονδιτιοναλ ποστεριορ δενσιτιεσ ανδ ιτ ισ τριϖιαλ το σηοω τηατ τηε ποστεριορ δενσιτψ χοντινυεσ το βε τηε ινϖαριαντ διστριβυτιον οφ τηε σαmπλερ. Φορ α mορε δεταιλεδ εξπλανατιον οφ τηισ αλγοριτηm ιν τηε χοντεξτ οφ α στανδαρδ(νον πανελ) χοιντεγρατιον mοδελ σεε Κοοπ, Λεον Γονζαλεζ ανδ Στραχηαν(2005). Wε ωιλλ υσυαλλψ βε ιντερεστεδ ιν χοmπαρινγ διffερεντ mοδελσ νεστεδ ωιτηιν τηε γενεραλ mοδελ δε νεδ αβοϖε. Φορ ινστανχε, ωε mιγητ ωιση το χοmπαρε τηε υνρεστριχτεδ mοδελ ωιτη ονε ωηερε τηε σαmε χοιντεγρατινγ ρανκ ηολδσ φορ αλλ ινδιϖιδυαλσ. Wε αλσο mιγητ ωιση το χαλχυλατε τηε ποστεριορ φορ r i φορ i =1,..N. Τηε Σαϖαγε Dιχκεψ δενσιτψ ρατιο(σεε, ε.γ., ςερδινελλι ανδ Wασσερmαν, 1995) προϖεσ το βε α σιmπλεανδεffiχιεντωαψοφδοινγσο. Τηατισ,ιταλλοωσυστοχοmπυτετηεΒαψεσφαχτορχοmπαρινγεϖερψ mοδελ το α βασε mοδελ(ε.γ. τηε mοδελ ωηερε χοιντεγρατιον δοεσ νοτ οχχυρ φορ ανψ ινδιϖιδυαλ). Τηισ ινφορmατιονχαντηενβευσεδτοχοmπαρεανψτωοmοδελσ,βυιλδυπτηεποστεριορφορ r i φορ i=1,..n, δοβαψεσιανmοδελαϖεραγινγορσελεχτασινγλεmοδελ. ΤοχοmπυτετηεΒαψεσφαχτορφορτηεmοδελ M r ωιτηαπαρτιχυλαρσετοφχοιντεγρατινγρανκσ: r=(r 1,r 2,...,r N )αγαινστmοδελ M 0 ωιτη r=(0,...,0), ωε νοτε τηατ τηε ρεστριχτεδ χασε οχχυρσ ωηεν α i =0.Ασ α i ανδ Π i ηαϖε τηε σαmε σινγυλαρ ϖαλυεσ (ωηιχη δετερmινε τηε ρανκ οφ α mατριξ, ε.γ. Γολυβ ανδ ϖαν Λοαν, 1996), Π i =0οχχυρσιφανδονλψ ιφ α i =0.Ιφωεδε νε α=(vec(α 1 ) 0,...,vec(α N ) 0 ) 0,ωεχανυσετηεχονδιτιοναλποστεριορδιστριβυτιον ανδ(mαργιναλ) πριορ φορ α το χοmπυτε τηε Σαϖαγε Dιχκεψ δενσιτψ ρατιο(σddρ): B 0,r = p(α M r,y) α=0 p(α M r ) α=0 (20) ΤηυσωεχανυσεουτπυτφροmουρΓιββσσαmπλερανδτηεπριορτοεστιmατετηερεθυιρεδρατιο: 1 M βb ΣM m=1 p α M r, Σ (m),c (m) 1,...,C (m) N,τ(m),ν (m) α=0,b β,y 0,r =, (21) p(α M r ) α=0 ωηερε m =1,..,M δενοτε τηε(ποστ βυρν ιν) Γιββσ σαmπλερ ρεπλιχατιονσ ανδ(m) συπερσχριπτσ δενοτε τηε ρεπλιχατιονσ τηεmσελϖεσ(ορ, ασ βελοω, φυνχτιονσ οφ τηεσε ρεπλιχατιονσ). Wε βεγιν βψ δεριϖινγ τηε αναλψτιχαλ εξπρεσσιον φορ p(α M r ) α=0. Υσινγ τηε προπερτιεσ οφ τηε Γαmmα διστριβυτιον ανδ τηε ΜΑΧΓ διστριβυτιον(χηικυσε, 1990), ιτ χαν βε σηοων τηατ τηε mαργιναλ πριορφορ αεϖαλυατεδατ α=0ισ p(α M r ) α=0 =! N(nr r2 )/2 Γ 2ν τ µ τ N(nr r 2 )+ν τ 2 Γ(ν τ /2) 15 Γ(ν ν /2) Γ((ν ν Nnr)/2)! Nnr/2 ν ν Nnr µ ν π

18 ΤηισεξπρεσσιονγιϖεσυστηεδενοmινατοροφτηεΣDDΡ.ΤηενυmερατοροφτηεΣDDΡιστηεmαργιναλ ποστεριορφορ αεϖαλυατεδατζερο. Υσινγτηεφαχτ τηαττηεποστεριορφορ bχονδιτιοναλυπον(σ,b β )ισ N(b b, V b ),ιτφολλοωστηαταισ N(b α, V α ),ωηερεb α ανδ V α αρεγιϖενβψτηεελεmεντσοφ b b ανδ V b τηατ χορρεσπονδτο α. Τηερεφορε,τηεΓιββσσαmπλερχανβευσεδτοεστιmατετηενυmερατοροφτηεΣDDΡ ασ: MΞ (2π) Nnr/2 V (m) α M m=1 1/2 εξπ 1 2 b(m)0 α V (m) 1 α b (m) α. Τηερε αρε οτηερ ρεστριχτεδ ϖερσιονσ οφ ουρ γενεραλ mοδελ ιν ωηιχη τηε ρεσεαρχηερ mαψ βε ιντερεστεδ. Τηε Αππενδιξ δεσχριβεσ ηοω ϖαριαντσ ον τηε mετηοδσ δεσχριβεδ αβοϖε χαν βε υσεδ το χαλχυλατε Βαψεσ φαχτορσ ρελατινγ το τηεσε mοδελσ. Ηερε ωε ϕυστ λιστ τηε ρεστριχτιονσ οφ ιντερεστ. Φιρστλψ, ιν πραχτιχε ιτ ισ οφτεν τηε χασε τηατ τηερε ισ ιντερεστ ιν τεστινγ οϖεριδεντιφψινγ ρεστριχτιονσ οφ τηε φορm π i π H φορ α συβσετ οφ τηε χουντριεσ i=1,...,n. Τηισ ρεστριχτιον χαν βε ιmποσεδ βψ ωριτινγ β i = Hϕ i,ωηερε ϕ i V ri,sισανυνκνοων s r i φυλλρανκmατριξ. Ουρεmπιριχαλεξαmπλειντηενεξτσεχτιονσηοωσηοω συχη α ρεστριχτιον χαν αρισε. Σεχονδλψ, ωε ωουλδ αλσο λικε το οβταιν τηε προβαβιλιτψ τηατ αλλ χουντριεσ ηαϖε τηε σαmε υνκνοων χοιντεγρατινγ σπαχε π = sp(β). Φιναλλψ, τηε Αππενδιξ αλσο δεσχριβεσ ηοω το χαλχυλατε τηε προβαβιλιτψ τηατ sp(β) sp(h) ιν τηε χασε ιν ωηιχη αλλ χουντριεσ σηαρε τηε σαmε υνκνοων β. 3 Ιλλυστρατιον Υσινγ Σιmυλατεδ Dατα Τηισ σεχτιον υσεσ σιmυλατεδ δατα το ιλλυστρατε τηε προπερτιεσ οφ τηε προποσεδ mετηοδολογψ ανδ ιτσ ροβυστνεσσ το τηε σπεχι χατιον οφ τηε πριορ. Ινστεαδ οφ α χονϖεντιοναλ Μοντε Χαρλο εξπεριmεντ, ωε δραω ον ιδεασ ουτλινεδ ιν Σελκε, Βαψαρρι, ανδ Βεργερ(2001) το δεϖελοπ α σιmυλατιον εξπεριmεντ ωηιχη, ασ ωε εξπλαιν βελοω, βεττερ ρεϖεαλσ τηε περφορmανχε οφ ουρ αππροαχη. Wεχονσιδερσεϖενδαταγενερατινγπροχεσσεσ(DΓΠσ)ανδονεπριορσπεχι χατιον: H g = ϒ 11 0,ν τ = 15,µ τ =5,ν ν =42, µ ν =21,ανδρ b =0.4(ωε ρεmινδτηερεαδερτηατ H = H g (H g0 H g ) 1/2 ). Εξ χεπτ φορ H, τηισ ισ τηε σαmε πριορ τηατ ωε υσε ιν τηε εmπιριχαλ αππλιχατιον ιν τηε νεξτ σεχτιον. Wε χονσιδερ N = n=2,t=85 9, l=0,ανιντερχεπτιναλλmοδελσ(d t =1)ανδ,ινεαχηDΓΠ,ωε ξτηε ερρορ χοϖαριανχε mατριξ εθυαλ το τηε ϖαλυε υσεδ βψ Γροεν ανδ Κλειβεργεν(2003) ιν τηειρ Μοντε Χαρλο εξπεριmεντ: Σ ii = ανδ Σ ij = ωιτη i6= j. Wεασσυmετηαττηερεαρεονλψ4ποσσιβλεmοδελσ: M 1 :(r 1 = r 2 =0), M 2 :(r 1 =0,r 2 =1), M 3 :(r 1 = 1,r 2 =0)ανδM 4 :(r 1 = r 2 =1). Ιν α χονϖεντιοναλ Μοντε Χαρλο εξπεριmεντ δραωσ φροm α DΓΠ ωουλδ ινϖολϖε σιmπλψ δραωινγ φροm α σινγλε mοδελ (ωιτη παραmετερσ σετ το παρτιχυλαρ ϖαλυεσ). Τηισ ισ χονσιστεντ ωιτη τηε ηψποτηεσισ 9 Τηεσε85οβσερϖατιονσωερετηελαστ85οβσερϖατιονσοφ135. Τηατισ,τηεινιτιαλ50ωερεδισχαρδεδ. 16

19 Ταβλε 1: Σπεχι χατιον οφ τηε(ηψπερ) παραmετερσ φορ τηε διστριβυτιονσ φροm ωηιχη τηε παραmετερσ αρε δραωνιντηεσιmυλατιονεξπεριmεντ. Παραmετερ(βριεφ δεσχριπτιον οφ τηε διστριβυτιον) DΓΠ π i b DΓΠ 1 H g = ϒ 11 0,ν τ =15,µ τ =5 ν ν =42, µ ν =21 DΓΠ 2 τ =1(Υνιφορm) ν ν =42, µ ν =21 DΓΠ 3 τ =1(Υνιφορm) ν 1 =0.05(ν 1 εθυαλτοιτσπριορmεαν) DΓΠ 4 τ =1(Υνιφορm) ν 1 =0.2(λαργε var(α i )) DΓΠ 5 τ =1(Υνιφορm) ν 1 =0.5(ϖερψλαργε var(α i )) DΓΠ 6 τ =1(Υνιφορm) ν 1 =0.02(σmαλλ var(α i )) DΓΠ 7 τ =1(Υνιφορm) ν 1 =0.002(ϖερψσmαλλ var(α i )) τεστινγ ιδεασ υνδερλψινγ φρεθυεντιστ εχονοmετριχσ(ε.γ. τηε ιδεα οφ νυλλ ηψποτηεσισ ανδ τηε ιmπορτανχε αλλοχατεδ το φρεθυεντιστ χονχεπτσ συχη ασ τηε σιζε οφ α τεστ). Ηοωεϖερ, ασ αργυεδ ιν Σελκε, Βαψαρρι, ανδ Βεργερ(2001) ανδ Βεργερ ανδ Σελκε(1987), τηε ιδεασ υνδερλψινγ Βαψεσιαν mοδελ χοmπαρισον αρε ϖερψ διffερεντ. Αχχορδινγλψ, φολλοωινγ τηειρ αργυmεντσ, ιν ουρ σιmυλατιον εξπεριmεντ ωε ρεπεατεδλψ δραω δατα σετσ φροm διffερεντ διστριβυτιονσ. Ιν παρτιχυλαρ, ωε σετ υπ διστριβυτιονσ οϖερ ουρ mοδελ σπαχε ανδ παραmετερ σπαχεσ ανδ δραω φροm τηεσε. Φορ εαχη δραω οφ α mοδελ ανδ παραmετερ ϖαλυεσ, ωε τηεν δραω αν αρτι χιαλ δατα σετ. Αλλ ουρ DΓΠσ ινϖολϖε τηε σαmε διστριβυτιονσ οϖερ τηε mοδελ σπαχε ανδ, αχχορδινγλψ, εαχη οφ ουρ σεϖεν DΓΠσ αρισε φροm διffερεντ διστριβυτιονσ οϖερ τηε παραmετερσ. Νοτε τηατ τηεσε διστριβυτιονσ ηαϖε τηε σαmε φυνχτιοναλ φορm ασ ουρ πριορσ, βυτ τηε ηψπερπαραmετερσ σελεχτεδ το χρεατε ουρ DΓΠσ δο νοτ ηαϖε το χοινχιδε ωιτητηε πριορηψπερπαραmετερσ ωε υσε το εστιmατε ουρ mοδελσ. Το βε πρεχισε, ιν εαχη οφ ουρ DΓΠσ δατα ισ δραων φροm εαχη mοδελ ωιτη προβαβιλιτψ 1/4,ωηιχη ισεθυαλτοτηεπριορπροβαβιλιτψοφεαχηmοδελ. Χονδιτιοναλονmοδελ M i,τηεπαραmετερσαρεδραων φροm διστριβυτιονσ τηατ αρε οφ τηε σαmε φορm ασ τηε πριορ, βυτ ωιτη διffερεντ ηψπερπαραmετερσ. Ιν αλλ χασεσ ωε υσε ρ b =0.4. Τηε σπεχι χατιον οφ τηε ρεmαινινγ ηψπερπαραmετερ ϖαλυεσ φορ εαχη οφ τηεσε διστριβυτιονσ ισ γιϖεν ιν Ταβλε 1. ΝοτετηατDΓΠ 1 ινϖολϖεστηεσαmεινφορmατιϖεδιστριβυτιονοϖερτηεχοιντεγρατινγσπαχεασωευσε ιν ουρ πριορ, βυτ τηε ρεmαινινγ DΓΠσ αρε λεσσ ινφορmατιϖε. Φορ τηε ρεmαινινγ παραmετερσ, ωε ηαϖε α ωιδε ϖαριετψ οφ σπεχι χατιονσ. Τηε σπεχι χατιονσινεαχηdγπιmπλψωεδραωa i (δε νεδιν(4)) φροmαυνιφορmδιστριβυτιονοντηεστιεφελmανιφολδ. ΦορDΓΠ 2 τοdγπ 7 ωε ξ τ εθυαλτο1,ωηιχη ιmπλιεσ τηατ β i ισ αλσο δραων φροm α Υνιφορm διστριβυτιον. Τηισ χοντραστσ ωιτη τηε πριορ ωε υσε φορ π i = sp(β i ),ωηιχηγιϖεσmορεωειγηττοτηεσπαχεδε νεδβψ H. Ιναδδιτιον,DΓΠ 3 τοdγπ 7 ϖαρψιν τηεεξπεχτεδϖαλυεοφ κ i. Ηιγηερϖαλυεσοφ ν 1 ιmπλψηιγηερεξπεχτεδϖαλυεσφορ κ i ανδτηερεφορεηιγηερ εξπεχτεδϖαλυεσφορτηεσινγυλαρϖαλυεσοφ Π i. Νοτετηαττηερεισ95%πριορπροβαβιλιτψτηατ ν 1 λιεσιν τηειντερϖαλ(0.032,0.077). Τηερεφορε,DΓΠ 4 ανδdγπ 5 σπεχιφψαϖαλυεοφ ν 1 τηατισλαργεχοmπαρεδ τοτηεπριορινφορmατιον,ωηερεασdγπ 6 ανδdγπ 7 σπεχιφψαϖαλυετηατισσmαλλ. 17