White Rose Research Online URL for this paper:

Transcript

1 This is an author produced version of Alternative approaches to implementing Lagrange multiplier tests for serial correlation in dynamic regression models. White Rose Research Online URL for this paper: Article: Godfrey, L.G. (2007) Alternative approaches to implementing Lagrange multiplier tests for serial correlation in dynamic regression models. Computation Statistics & Data Analysis. pp promoting access to White Rose research papers

2 promoting access to White Rose research papers Universities of Leeds, Sheffield and York This is an author produced version of a paper published in Computational Statistics & Data Analysis. This paper has been peer-reviewed but does not include final publisher proof-corrections or journal pagination. White Rose Research Online URL for this paper: Published paper Godfrey, L.G. (2007) Alternative approaches to implementing Lagrange multiplier tests for serial correlation in dynamic regression models. Computational Statistics & Data Analysis, 51 (7). pp ISSN White Rose Research Online eprints@whiterose.ac.uk

3 ϑυνε 21, 2007 Αλτερνατιϖε αππροαχηεσ το ιmπλεmεντινγ Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ. Αβστραχτ Αν αππροξιmατε Φ φορm οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ ισ χοmπαρεδ ωιτη τηρεε βοοτστραπ τεστσ. Ιν ονε βοοτστραπ προχεδυρε, ρεσιδυαλσ φροm ρεστριχτεδ εστιmατιον υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ αρε ρεσαmπλεδ. Τηε οτηερ τωο βοοτστραπ τεστσ υσε ρεσιδυαλσ φροm υνρεστριχτεδ εστιmατιον υνδερ αν αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ. Α ξεδ αυτοχορρελατιον αλτερνατιϖε ισ ασσυmεδ ιν ονε οφ τηε τωο υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ ανδ τηε οτηερ ισ βασεδ υπον α Πιτmαν τψπε σεθυενχε οφ λοχαλ αλτερνατιϖεσ. Μοντε Χαρλο εξπεριmεντσ αρε υσεδ το εστιmατε ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ ανδ ιν τηε πρεσενχε οφ σεριαλ χορρελατιον. Κεψωορδσ: Βοοτστραπ; Σεριαλ χορρελατιον; Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστ Λ. Γ. Γοδφρεψ Dεπαρτmεντ οφ Εχονοmιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ Ψορκ, Ηεσλινγτον, Ψορκ ΨΟ10 5DD, ΥΚ. Τελ: Φαξ: Ε mαιλ: λγγ1 ψορκ.αχ.υκ

4 1 Ιντροδυχτιον Τηε ιmπορτανχε οφ τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν τηε ερρορ τερmσ οφ α λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελ ηασ βεεν ρεχογνιζεδ φορ mανψ ψεαρσ. Ιν γενεραλ, τηε πρεσενχε οφ σεριαλ χορρελατιον ινϖαλιδατεσ τηε χλασσιχαλ φορmυλα φορ τηε ϖαριανχε χοϖαριανχε mατριξ οφ ορδιναρψ λεαστ σθυαρεσ(ολσ) εστιmατορσ ανδ λεαδσ το τηε ινχονσιστενχψ οφ τηεσε εστιmατορσ ιφ τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε. Τηε βεστ κνοων ανδ mοστ ωιδελψ ρεπορτεδ τεστ φορ σεριαλ χορρελατιον ισ τηε προχεδυρε προποσεδ ιν Dυρβιν ανδ Wατσον (1950, 1951). Ηοωεϖερ, ασ ποιντεδ ουτ ιν mανψ τεξτσ, ε.γ., Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον (2004, ππ ) ανδ Μαδδαλα (2001, π. 230), τηε Dυρβιν Wατσον (ηερεαφτερ DW) τεστ ισ συβϕεχτ το σεϖεραλ λιmιτατιονσ. Ιν παρτιχυλαρ, τηε DW τεστ υσεσ α ρστ ορδερ αυτορεγρεσσιον ασ τηε αλτερνατιϖε mοδελ ανδ χαννοτ βε υσεδ ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε. Wηιλε τηε εmπηασισ ον α σιmπλε ρστ ορδερ αλτερνατιϖε mαψ βε ϕυστι εδ ωηεν εστιmατιον ισ βασεδ υπον αννυαλ δατα, ασ ωασ προβαβλψ οφτεν τηε χασε ωηεν τηε DW τεστ ωασ δεριϖεδ, τηερε ισ τηε ρισκ τηατ ποωερ ωιλλ βε λοω ωηεν σεασοναλ αυτοχορρελατιον ισ πρεσεντ; σεε Γοδφρεψ ανδ Τρεmαψνε (1988). Μανψ τιmε σεριεσ ρεγρεσσιονσ αρε νοω εστιmατεδ υσινγ θυαρτερλψ ορ mοντηλψ δατα σο τηατ τηισ ποτεντιαλ ωεακνεσσ ισ ιmπορταντ. Τηε σεχονδ λιmιτατιον ισ αλσο ιmπορταντ βεχαυσε, ε.γ., αυτορεγρεσσιϖε διστριβυτεδ λαγ mοδελσ αρε ποπυλαρ ιν αππλιεδ ωορκ. Ιτ ισ νοω στανδαρδ πραχτιχε το υσε τηε Λαγρανγε Μυλτιπλιερ(ΛΜ) τεστσ οφ Βρευσχη(1978) ανδ Γοδφρεψ (1978) ωηεν ιτ ισ δεσιρεδ το αλλοω φορ ηιγηερ ορδερ αλτερνατιϖεσ ανδ τηε πρεσενχε οφ λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ ιν τηε ρεγρεσσορσ. Τηε ΛΜ τεστσ υσε τηε ρεσυλτσ οφ ρεστριχτεδ εστιmατιον, ι.ε., εστιmατιον υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, βυτ δο νοτ ρεθυιρε τηε υνρεστριχτεδ εστιmατιον οφ τηε αλτερνατιϖε mοδελ. Τηυσ τηεψ ηαϖε τηε χονϖενιεντ προπερτψ οφ βεινγ βασεδ υπον ΟΛΣ ρεσυλτσ. Ηοωεϖερ, τηε ΛΜ τεστσ συ ερ φροm τηε δραωβαχκτηαττηεψαρεονλψασψmπτοτιχαλλψϖαλιδανδτηεασψmπτοτιχ 2 χριτιχαλϖαλυεσηαϖεσοmετιmεσ βεεν φουνδ το γιϖε ιναδεθυατε χοντρολ οφ νιτε σαmπλε σιγνι χανχε λεϖελσ; σεε, ε.γ., Κιϖιετ (1986). Φορτυνατελψ τηερε ισ αλσο εϖιδενχε τηατ ιmπροϖεδ χοντρολ χαν βε γαινεδ βψ α ϖερψ σιmπλε mοδι χατιον οφ τηε οριγιναλ ΛΜ στατιστιχσ. Ασ ισ ωιδελψ κνοων, ΛΜ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον χαν βε ιντερπρετεδ ασ τεστσ φορ οmιττεδ ϖαριαβλεσ. Τηεεθυατιονυνδερτεστσερϖεσαστηενυλλmοδελανδλαγγεδϖαλυεσοφτηερεσιδυαλσφροmιτσεστιmα τιον αρε τηε αδδιτιοναλ ϖαριαβλεσ τηατ αρε το βε τεστεδ φορ ϕοιντ σιγνι χανχε ιν αν αρτι χιαλ αλτερνατιϖε ρεγρεσσιον; σεε Βρευσχη ανδ Γοδφρεψ(1981) ανδ Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον(2004, Σεχτιον 7.7). Τηε στανδαρδφτεστισνοτονλψανατυραλχηοιχεφορτηισπυρποσε,βυτιτηασαλσοβεενφουνδινκιϖιετ(1986) τολεαδτοιmπροϖεδ νιτεσαmπλεπερφορmανχερελατιϖετοασψmπτοτιχ 2 ϖαριαντσ. Ηοωεϖερ,τηερεηαϖε βεεν ενορmουσ αδϖανχεσ ιν τηε ποωερ οφ χοmπυτερσ σινχε τηε ωορκ οφ Κιϖιετ (1986) ανδ ιτ ισ νοω φεασιβλε το χονσιδερ τηε αππλιχατιον οφ ρεσαmπλινγ mετηοδσ το ιmπροϖε υπον τηε αππροξιmατιον γιϖεν βψ ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ χριτιχαλ ϖαλυεσ. Ρεσαmπλινγ αππροαχηεσ το χοντρολλινγ τηε νιτε σαmπλε ρεϕεχτιον ρατεσ οφ τεστσ ηαϖε βεεν δισχυσσεδ φορ σεϖεραλ δι ερεντ τψπεσ οφ χηεχκσ οφ τηε σπεχι χατιον οφ ρεγρεσσιον mοδελσ. Ιmπορταντ εξαmπλεσ οφσυχηχηεχκσαρετηεινφορmατιοντεστοφwηιτε(1982)ανδτηεϑ τεστοφdαϖιδσονανδμαχκιννον (1981). Φορ βοτη οφ τηεσε τεστσ, εϖιδενχε ηασ βεεν προδυχεδ το σηοω τηατ βοοτστραπ χριτιχαλ ϖαλυεσ αρε mυχη mορε ρελιαβλε τηαν τηοσε οβταινεδ φροm ασψmπτοτιχ τηεορψ; σεε, ε.γ., Ηοροωιτζ(1994) ον τηε βοοτστραπ ινφορmατιον τεστ ανδ Γοδφρεψ(1998) φορ τηε βοοτστραπ ϑ τεστ. Ιτ ισ, τηερεφορε, νοτ συρπρισινγ τηατ τηε βοοτστραπ ηασ βεεν αππλιεδ το τηε σεριαλ χορρελατιον τεστσ προποσεδ ιν Βρευσχη(1978), Dυρβιν (1970) ανδ Γοδφρεψ(1978) φορ υσε ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ. 1

5 Τηε ρστ συχη αππλιχατιον σεεmσ το βε Ραψνερ(1993). Ραψνερ υσεσ α φορm οφ υνρεστριχτεδ(αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ) ρεσιδυαλ ρεσαmπλινγ. Τηε χηοιχε οφ τηε εστιmατιον mετηοδ υσεδ το οβταιν υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ φορ βοοτστραπ σχηεmεσ ρεθυιρεσ χαρε ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Ιν τηε στανδαρδ τηεορψ τηατ υνδερπινσ τηε βοοτστραπ τεστ, ασ δισχυσσεδ ιν Βεραν(1988), ιτ ισ ασσυmεδ τηατ εστιmατορσ οφ νυισανχε παραmετερσ αρε χονσιστεντ. Ηοωεϖερ, υνδερ τηε σεριαλ χορρελατιον αλτερνατιϖε, ΟΛΣ εστιmατορσ αρε υσυαλλψ ινχονσιστεντ ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε. Χονσεθυεντλψ ΟΛΣ ρεσιδυαλσ αρε γενεραλλψ ιναππροπριατε φορ ρεσαmπλινγ υνδερ τηε αλτερνατιϖε. Ραψνερ υσεσ αν ινστρυmενταλ ϖαριαβλε (Ις) τεχηνιθυε τηατ ισ χονσιστεντ ωηετηερ ορ νοτ τηερε ισ σεριαλ χορρελατιον; σεε τηε Αππενδιξ οφ Ραψνερ(1993) φορ δεταιλσ. Αφτερ χονδυχτινγ Μοντε Χαρλο εξπεριmεντσ, Ραψνερ νδσ εϖιδενχε τηατ ασψmπτοτιχ χριτιχαλ ϖαλυεσ αρε ιναδεθυατε ανδ βοοτστραπ βασεδ τεστσ αρε ωελλ βεηαϖεδ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ. Αν αππροαχη το οβταινινγ αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σχηεmε τηατ δοεσ νοτ ρεθυιρε Ις εστιmατιον ισ προποσεδ ιν Μανταλοσ(2003); αλσο σεε Μανταλοσ(2005). Τηε υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ υσεδ ιν Μανταλοσ (2003) αρε νοτ δεριϖεδ φροm τηε αχτυαλ αλτερνατιϖε mοδελ τηατ ηασ βεεν σπεχι εδ βυτ ινστεαδ φροm τηε αρτι χιαλ ρεγρεσσιον mεντιονεδ αβοϖε τηατ ισ υσεδ το χαλχυλατε τηε τεστ στατιστιχ. Τηε λαττερ mοδελ ισ λοχαλλψ εθυιϖαλεντ το τηε φορmερ ιν α σενσε τηατ ισ εξπλαινεδ βελοω. Ενχουραγινγ ρεσυλτσ ον τηισ σιmπλερ αππροαχη αρε ρεπορτεδ ιν Μανταλοσ(2003). Τηε αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ υσεδ ιν Μανταλοσ(2003) ανδ Ραψνερ(1993) ισ τηε χλασσιχαλ ρστ ορδερ αυτορεγρεσσιϖε ερρορ mοδελ. Τηισ αλτερνατιϖε ισ αλσο αδοπτεδ ωιτη α δψναmιχ ρεγρεσσιον εθυατιον ιν αν εξπεριmεντ ρεπορτεδ βψ ΜαχΚιννον; σεε ΜαχΚιννον(2002, ππ ). Ιν ΜαχΚιννον σ ωορκ, ρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ φροm ΟΛΣ εστιmατιον οφ τηε νυλλ mοδελ αρε υσεδ φορ τηε βοοτστραπ. Ιτ ισ φουνδ τηατ ασψmπτοτιχ χριτιχαλ ϖαλυεσ χαν βε θυιτε υνρελιαβλε ωηιλε βοοτστραπ χριτιχαλ ϖαλυεσ προδυχε γοοδ περφορmανχε. Οϖεραλλ, γιϖεν τηε εξιστινγ ρεσυλτσ, ιτ αππεαρσ τηατ, ωηετηερ ρεστριχτεδ ορ υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ αρε υσεδ, βοοτστραπ ϖερσιονσ οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ αρε ωελλ βεηαϖεδ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ. Μορεοϖερ, ποωερ χοmπαρισονσ σεεm το γιϖε σοmε συππορτ το τηε υσε οφ υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ ιν πρεφερενχε το ρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ; σεε Μανταλοσ(2003). Ηοωεϖερ, τηερε αρε ισσυεσ τηατ ινδιχατε τηε νεεδ φορ αδδιτιοναλ ρεσεαρχη ανδ τηε φολλοωινγ αρε αδδρεσσεδ ιν τηισ παπερ. Φιρστ, τηε εξιστινγ στυδιεσ ηαϖε χονχεντρατεδ ον εξπεριmενταλ δεσιγνσ ιν ωηιχη, υνδερ τηε αλτερνατιϖε, τηε ερρορσ αρε νορmαλλψ διστριβυτεδ ανδ φολλοω α ρστ ορδερ αυτορεγρεσσιον. Τηισ ρεστριχτιϖε ερρορ mοδελ ισ, ηοωεϖερ, τηε ονε υσεδ ιν Dυρβιν ανδ Wατσον (1950, 1951). Τηερε σεεmσ λιττλε ϕυστι χατιον φορ αδοπτινγ ιτ ωηεν εξαmινινγ βοοτστραπ ϖερσιονσ οφ ΛΜ τεστσ τηατ ωερε δεϖελοπεδ φορ υσε ιν mορε γενεραλ χιρχυmστανχεσ. Ονε πυρποσε οφ τηισ παπερ ισ, τηερεφορε, το προϖιδε εϖιδενχε φορ ηιγηερ ορδερ αυτοχορρελατιον mοδελσ ωιτη νοννορmαλ διστυρβανχεσ. Σεχονδ, τηε χοmπαρισον ανδ ιmπλεmεντατιον οφ ρεστριχτεδ ανδ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ αλσο mεριτ φυρτηερ χονσιδερατιον. Ιτ ισ αργυεδ βελοω τηατ ωηεν υσινγ χηεχκσ φορ mισσπεχι χατιον, συχη ασ σεριαλ χορρελατιον τεστσ, ιτ mυστ βε αχκνοωλεδγεδ τηατ ιτ ισ υνλικελψ τηατ τηερε ωιλλ βε πρεχισε ινφορmατιον αβουτ τηε αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ ανδ mορεοϖερ τηατ α γιϖεν ΛΜ στατιστιχ χουλδ βε δεριϖεδ φροm ανψ mεmβερ οφ α φαmιλψ οφ λοχαλλψ εθυιϖαλεντ αλτερνατιϖεσ. Τηεσε ποιντσ ηαϖε ρελεϖανχε ωηεν αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπ ισ υσεδ. Ιν τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ αλγοριτηm υσεδ ιν ϑεονγ ανδ Χηυνγ(2001) ανδ ιν Ραψνερ(1993), αν αυτορεγρεσσιον οφ τηε σαmε ορδερ ασ τηε σελεχτεδ αλτερνατιϖε ισ ττεδ το τηε ΟΛΣ ρεσιδυαλσ το δεριϖε τηε τερmσ το βε υσεδ ιν ρεσαmπλινγ. Ιτ ισ ποσσιβλε τηατ τηε ορδερ οφ τηε σελεχτεδ αλτερνατιϖε ωιλλ βε 2

6 ινχορρεχτ. Μορεοϖερ, εϖεν ιφ τηε ορδερ ηασ βεεν σελεχτεδ χορρεχτλψ, τηε υσε οφ αν αυτορεγρεσσιον mαψ λεαδ το mισλεαδινγ ινφερενχεσ ιφ τηε τρυε ερρορ προχεσσ ισ mοϖινγ αϖεραγε. Χονσεθυεντλψ ιτ ισ ιmπορταντ το ινϖεστιγατε τηε ροβυστνεσσ οφ αυτορεγρεσσιον βασεδ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ mετηοδσ το mισσπεχι χατιον οφ τηε αλτερνατιϖε mοδελ. Τηεπλανοφτηεπαπερισασφολλοωσ. ΤηεmοδελσανδτεστσαρεδισχυσσεδινΣεχτιον2. Τηεδεσιγν οφ σιmυλατιον εξπεριmεντσ ισ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον 3. Τηε ρεσυλτσ φροm τηε εξπεριmεντσ αρε συmmαριζεδ ιν Σεχτιον 4. Φιναλλψ, Σεχτιον 5 χονταινσ σοmε χονχλυδινγ ρεmαρκσ. 2 Ρεγρεσσιον mοδελσ ανδ σεριαλ χορρελατιον τεστσ Συπποσε τηατ δατα αρε γενερατεδ βψ τηε σταβλε δψναmιχ λινεαρ mοδελ ψ τ =Ψ 0 τ+ξ 0 τ+υ τ =W 0 τ+υ τ ; (1) ωηερε: Ψ 0 τ =(ψ τ 1 ;:::;ψ τ Λ )ωιτη Λ1; 0 =( 1 ;:::; Λ )ηασελεmεντσσυχητηαττηεροοτσοφ ζ Λ 1 ζ Λ 1 ::: Λ =0; αρε αλλ στριχτλψ ινσιδε τηε υνιτ χιρχλε; Ξ τ ισ αν Μ ϖεχτορ οφ ρεγρεσσορσ τηατ αρε στριχτλψ εξογενουσ; Wτ 0 =(Ψτ;Ξ 0 τ); 0 ανδ 0 =( 0 ; 0 ): Λετ Κ = Λ+Μ δενοτε τηε νυmβερ οφ ρεγρεσσιον χοε χιεντσ ιν (1)ανδ Ν δενοτετηενυmβεροφοβσερϖατιονσαϖαιλαβλεφορεστιmατιον. Τηεερρορσ υ τ αρεασσυmεδτο βε χοϖαριανχε στατιοναρψ ωιτη ζερο mεαν ανδ ϖαριανχε 2, ωιτη χοmmον χδφ Φ υ. Ιτ ισ νοτ ασσυmεδ τηατ τηε ερρορσ αρε νορmαλλψ διστριβυτεδ. Ασ ιν Βρευσχη(1978), Dυρβιν(1970) ανδ Γοδφρεψ(1978), ιτ ισ χονϖενιεντ το ασσυmε τηατ Ξ Ν πλιmν 1 W τ Wτ 0 ισ α νιτε ποσιτιϖε δε νιτε mατριξ. Ιτ ισ, ηοωεϖερ, ποσσιβλε το αλλοω τηε εξογενουσ ρεγρεσσορσ το βε νονστατιοναρψ ωιτηουτ χοmπροmισινγ τηε ασψmπτοτιχ ϖαλιδιτψ οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ; σεε Wοολδριδγε (1999). Τηε νυλλ ηψποτηεσισ το βε τεστεδ ισ τηατ τηε ερρορσ υ τ αρε σεριαλλψ υνχορρελατεδ. Αλλ τεστσ αρε χονστρυχτεδυσινγτηερεσυλτσοφολσεστιmατιονοφ(1). Λετ 0 =( 0 ; 0 )δενοτετηεολσχοε χιεντ εστιmατορφορ(1)ανδτηετερmσ υ τ =ψ τ W 0 τ βετηεχορρεσπονδινγρεσιδυαλσ;τ=1;:::;ν. Υνδερτηε ασσυmπτιονσανδτηενυλληψποτηεσισ,τηεολσεστιmατορσαρεχονσιστεντωιτη( )βεινγο π (Ν 1=2 ): Wηετηερ τηε αλτερνατιϖε ισ α Γτη ορδερ αυτορεγρεσσιον, δενοτεδ βψ ΑΡ(Γ) ανδ ωριττεν ασ υ τ = ορ α Γτη ορδερ mοϖινγ αϖεραγε, δενοτεδ βψ ΜΑ(Γ) ανδ ωριττεν ασ υ τ = τ=1 ΓΞ ϕ υ τ ϕ + τ ; τ ιιδ(0; 2 ); (2) ϕ=1 ΓΞ ϕ τ ϕ + τ ; τ ιιδ(0; 2 ); (3) ϕ=1 3

7 ασυιταβλελμτεστχανβεχοmπυτεδαστεστοφ =( 1 ;:::; Γ ) 0 =0ιντηεαυγmεντεδmοδελ ψ τ =Ψ 0 τ+ξ 0 τ+ Υ 0 τ+υ τ =W 0 τ+ Υ 0 τ+υ τ ; (4) ινωηιχη Υ 0 τ=( υ τ 1 ;:::; υ τ Γ )ανδ υ τ γ ισσετεθυαλτοζεροφορ τγ:λεττηεολσεστιmατορσφορ(4) βε =( 0 ; 0 ) 0 ανδ :ΤηεΛΜτεστιστηεναχηεχκοφτηεϕοιντσιγνι χανχεοφτηεελεmεντσοφ :Α λαργεσαmπλετεστβασεδυποντηε 2 Γ διστριβυτιονισυσεδινβρευσχη(1978)ανδγοδφρεψ(1978),βυτ τηε ρεσυλτσ ιν Κιϖιετ(1986) ινδιχατε τηατ τηε(ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ) στανδαρδ Φ τεστ οφ(1) ϖερσυσ(4) ισ βεττερβεηαϖεδιν νιτεσαmπλεσ. ΤηελαττερτεστισδενοτεδβψΛΜ Φ. ΣινχετηελιmιτνυλλδιστριβυτιονοφΛΜ Φ ισ 2 Γ =Γ,τηεΦ στατιστιχοφκιϖιετ(1986)ισασψmπτοτιχαλλψ πιϖοταλ, ι.ε., ιτσ ασψmπτοτιχ διστριβυτιον ισ ινδεπενδεντ οφ τηε νυισανχε παραmετερσ, ωηιχη αρε τακεν το ινχλυδε τηε ερρορ διστριβυτιον φυνχτιον Φ υ. Τηε ρεσυλτσ οφ Βεραν (1988), τηερεφορε, ινδιχατε τηατ βοοτστραπ τεστσ mαψ ψιελδ mορε αχχυρατε ινφερενχεσ τηαν τηε ασψmπτοτιχ χηεχκσ. Α γενεραλ βοοτστραπ σχηεmεχανβεωριττενασ ψ τ = ΛΞ ψτ ϕ ϕ +Ξτ 0 +υ τ;τ=1;:::;ν; (5) ϕ=1 ιν ωηιχη: (ι) πρεσαmπλε ϖαλυεσ οφ ψ αρε σετ εθυαλ το τηοσε οφ ψ; (ιι) υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, = ( 1 ;:::; Λ ) 0 ανδ αρε βοτη χονσιστεντ; ανδ (ιιι) υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, τηε διστριβυτιον φυνχτιονοφτηεβοοτστραπερρορσ υ τ χονϖεργεσιναναππροπριατε(μαλλοωσ)mετριχτοτηατοφτηετρυε ερρορσ υ τ :Τηεχηοιχεοφχονσιστεντεστιmατορφορτηερεγρεσσιονχοε χιεντσανδτηεχηοιχεοφσχηεmε υσεδ το οβταιν υ τ mαψ βοτη ηαϖε σmαλλ σαmπλε ε εχτσ τηατ χαννοτ βε νεγλεχτεδ. Τηε αππροαχηεσ αδοπτεδ ιν τηε λιτερατυρε χαν βε συmmαριζεδ ασ φολλοωσ. Φιρστ, περηαπσ τηε mοστ νατυραλ ωαψ ιν ωηιχη το mιmιχ τηε τρυε δατα προχεσσ υνδερ τηε νυλλ ηψ ποτηεσισιστουσετηεολσεστιmατορσ ανδ φροm(1)φορ ανδ,ρεσπεχτιϖελψ,ωιτητηεβοοτστραπ ερρορσ υ τ βεινγοβταινεδβψσιmπλερανδοmσαmπλινγωιτηρεπλαχεmεντφροmτηεεmπιριχαλδιστριβυτιον φυνχτιον Φ ρ υ :προβαβιλιτψ 1 Ν ον υ τ;τ=1;:::;ν: (6) Τηισ χοmβινατιον γιϖεσ τηε ρεστριχτεδ(νυλλ ηψποτηεσισ) βοοτστραπ mοδελ ψ τ = ΛΞ ψτ ϕ ϕ +Ξτ 0 +υ τ;τ=1;:::;ν; (7) ϕ=1 ωιτη υ τ βεινγ δεριϖεδ υσινγ (6). Ιφ (1) δοεσ νοτ χονταιν αν ιντερχεπτ τερm, τηε σαmπλε mεαν οφ τηε ΟΛΣ ρεσιδυαλσ σηουλδ βε συβτραχτεδ φροm εαχη υ τ βεφορε ιτ ισ υσεδ ιν (6). Μεαν αδϕυστmεντ ισ αλσο ρεθυιρεδιφτηεολσρεσιδυαλσ υ τ αρεmοδι εδβψβεινγδιϖιδεδβψτηεσθυαρεροοτοφ (1 η ττ ),ωηερε η ττ ιστηελεϖεραγεϖαλυε. Ιν χοντραστ το τηε ΟΛΣ βασεδ αππροαχη οφ (7), Ις εστιmατορσ αρε υσεδ ιν Ραψνερ (1993) φορ ανδ ωιτη τηε ινστρυmεντσ χονσιστινγ οφ χυρρεντ ανδ λαγγεδ εξογενουσ ϖαριαβλεσ. Wιτη τηισ χηοιχε οφ ινστρυmεντσ, τηε εστιmατορσ αρε αλσο χονσιστεντ υνδερ α ξεδ αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ, ι.ε., ιν τηε υνρεστριχτεδ mοδελ. Υνδερ α ξεδ ΑΡ(Γ)(ρεσπ. ΜΑ(Γ)) αλτερνατιϖε, ατ λεαστ ονε οφ τηε χοε χιεντσ ϕ οφ(2)(ρεσπ. ϕ οφ(3))ισανονζεροχονσταντ. Ινγενεραλ,τηεστατιστιχΛΜ Φ ισο π (Ν)υνδερσυχη αν αλτερνατιϖε σο τηατ τηε ασψmπτοτιχ ρεϕεχτιον προβαβιλιτψ τενδσ το υνιτψ φορ ανψ νιτε χριτιχαλ ϖαλυε. 4

8 ΛεττηεΙςπαραmετερεστιmατορσανδρεσιδυαλσβεδενοτεδβψ, ανδ υ τ,ρεσπεχτιϖελψ. Ινορδερτο δεριϖεανυνρεστριχτεδβοοτστραπσχηεmε,ιτρεmαινστοσπεχιφψηοωτοοβταινυ τ. ΑνΑΡ(1)αλτερνατιϖε ισ ασσυmεδ ιν Ραψνερ(1993) ανδ α γενεραλιζατιον φορ τηε ΑΡ(Γ) χασε ινϖολϖεσ αππλψινγ ΟΛΣ το υ τ = 1 υ τ 1 +:::+ Γ υ τ Γ +ε τ : (8) ΛεττηερεσιδυαλσδεριϖεδφροmΟΛΣεστιmατιονοφ(8)βεδενοτεδβψ ε τ :Τηευνρεστριχτεδ(αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ) βοοτστραπ mοδελ ισ ΛΞ ψτ = ψτ ϕ ϕ +Ξτ 0 +υ τ; ϕ=1 ωιτη υ τ βεινγοβταινεδβψσιmπλερανδοmσαmπλινγωιτηρεπλαχεmεντφροmτηεεmπιριχαλδιστριβυτιον φυνχτιον Φ υ υ :προβαβιλιτψ 1 Ν ονεχ τ;τ=1;:::;ν; (9) ωηερε ε χ τ ισ τηε χεντρεδ (δεmεανεδ) ϖερσιον οφ ε τ. Τηε βοοτστραπ τεστ ΛΜ Φ ισ τηεν χαλχυλατεδ υσινγ τηεσεαρτι χιαλοβσερϖατιονσ ψτ ανδτηεβοοτστραπχουντερπαρτσοφ(1)ανδ(4). Σινχε τηισ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ ρεθυιρεσ βοτη Ις ανδ ΟΛΣ εστιmατιον οφ(1), ανδ τηε ΟΛΣ ττινγ οφ (8), ιτ ηασ α ηιγηερ χοmπυτατιοναλ χοστ τηαν τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ. Τηε ασψmπτοτιχ τηεορψ οφ Βεραν (1988) δοεσ νοτ πρεδιχτ τηατ τηε υνρεστριχτεδ mετηοδ ωιλλ ενϕοψ ανψ αδϖανταγε ιν τερmσ οφ αππροξιmατινγ τηε ρεθυιρεδ σιγνι χανχε λεϖελ. (Ινδεεδ, ιν α στυδψ οφ παραmετριχ βοοτστραπ τεστσ αππλιεδ το ασψmπτοτιχαλλψ νορmαλ πιϖοτσ, Λεε ανδ Ψουνγ αργυε τηατ νυισανχε παραmετερσ σηουλδ βε ρεπλαχεδ βψ τηειρ ρεστριχτεδ εστιmατεσ; σεε Λεε ανδ Ψουνγ, 2005.) Ασ νοτεδ ιν ΜαχΚιννον (2002, π. 621), σοmε ρεσεαρχηερσ ηαϖε αργυεδ τηατ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σχηεmεσ ωιλλ προδυχε τεστσ ωιτη βεττερ ποωερ τηαν τηοσε φροm ρεστριχτεδ σχηεmεσ, βυτ τηε αϖαιλαβλε Μοντε Χαρλο εϖιδενχε ισ mιξεδ. Αλσο τηερε αρε δι χυλτιεσ ωιτη αππλψινγ συχη αργυmεντσ το τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον(ανδ mορε γενεραλλψ το τεστσ φορ mισσπεχι χατιον). Ιν τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ mοδελ αππροαχη οφ Ραψνερ(1993), τηε παραmετερσ οφ τηε χονδιτιοναλ βοοτστραπ λαω αρε εστιmατορσ φροm οβσερϖεδ δατα τηατ αρε χονσιστεντ ιν τηε σπεχι εδ υνχονδιτιοναλ ξεδ αλτερνατιϖε mοδελ. Τηισ φεατυρε mιγητ βε τηουγητ το ψιελδ ρεσιδυαλσ τηατ γιϖε α βεττερ αππροξιmατιον το τηε διστριβυτιον οφ τηε ερρορ τερmσ υνδερ τηε αλτερνατιϖε. Ηοωεϖερ, ιτ ισ ωελλ κνοων τηατ τηερε ισ mορε τηανονεαλτερνατιϖετηατλεαδστολμ Φ ;σεε,ε.γ.,γοδφρεψ(1988,σεχτιον4.4.1). Χονσεθυεντλψτηευσε οφτηε ττεδαυτορεγρεσσιον(8)mαψβεινϖαλιδυνδερ ξεδαλτερνατιϖεσ. Ιφτηε υ τ ωερεγενερατεδβψα ΜΑ(Γ)προχεσσ,τηερεσιδυαλσε χ τ υσεδιν(9)ωουλδβειναππροπριατε;σεεσχηωερτ(1987)φορχοmmεντσ ον τηε δανγερσ οφ ρελψινγ ον πυρε αυτορεγρεσσιονσ. Ραmσεψ σ χριτιχισm οφ τηε υσε οφ σπεχι χ αλτερνατιϖε mοδελσ σεεmσ περτινεντ ιν τηε χοντεξτ οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ; σεε Ραmσεψ(1983, π ). Τηυσ τηερε mυστ βε δουβτσ αβουτ τηε γενεραλ υσεφυλνεσσ οφ τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ οφ Ραψνερ(1993). ΤηεσεδουβτσεξπρεσσεδαβουττηευσεοφανυνρεστριχτεδβοοτστραπωιτηΛΜ Φ, ορωιτηανψοτηερ τεστ φορ mισσπεχι χατιον, σηουλδ νοτ βε τακεν ασ αππλψινγ το τηε προχεδυρεσ στυδιεδ ιν ϖαν Γιερσβεργεν ανδ Κιϖιετ(2002). Τηε αλτερνατιϖε mοδελ ιν ϖαν Γιερσβεργεν ανδ Κιϖιετ(2002) ισ α ρεγρεσσιον mοδελ συχη ασ (1) ανδ τηε νυλλ mοδελ ισ δεριϖεδ βψ ιmποσινγ λινεαρ ρεστριχτιονσ ον ιτσ χοε χιεντσ. Ιν τηισ φραmεωορκ, τηερε ισ νο νεεδ το ωορρψ αβουτ α φαmιλψ οφ λοχαλλψ εθυιϖαλεντ αλτερνατιϖεσ ανδ τηε παυχιτψ οφ ινφορmατιον το γυιδε τηε χορρεχτ χηοιχε φροm τηισ φαmιλψ. Τηε σεχονδ τψπε οφ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ το βε χονσιδερεδ ισ βασεδ υπον α σχηεmε δεσχριβεδ ιν 5

9 Μανταλοσ(2003). Τηε αλτερνατιϖε υσεδ ιν Μανταλοσ(2003) ισ τηε ΑΡ(1) mοδελ. Α γενεραλιζατιον τηατ αλλοωσ φορ τηε Γτη ορδερ αλτερνατιϖε χονσιστσ οφ τηε φολλοωινγ στεπσ. 1. Εστιmατε(1)βψΟΛΣτοοβταιν, ανδτηερεσιδυαλσ υ τ : 2. Εστιmατε(4)βψΟΛΣτοοβταιν,, ανδτηερεσιδυαλσ υ τ : 3. Dραω ε 1;:::;ε Ν βψ σιmπλε ρανδοm σαmπλινγ ωιτη ρεπλαχεmεντ φροm τηε εmπιριχαλ διστριβυτιον φυνχτιον Φ υ υ :προβαβιλιτψ 1 Ν ον υχ τ;τ=1;:::;ν; (10) ωηερε υ χ τ ιστηεχεντρεδ(δεmεανεδ)ϖερσιονοφ υ τ : ασψmπτοτιχαλλψνεγλιγιβλεmοδι χατιονσοφτηελαττερ ρεσιδυαλσ(ασ δεσχριβεδ, ε.γ., βψ ΜαχΚιννον, 2002, π. 620) αρε υσεδ ιν Μανταλοσ(2003). 4. Γιϖεν ε 1;:::;ε Ν φροmστεπ3,γενερατετηεβοοτστραπερρορσ υ τ ρεχυρσιϖελψυσινγ υ τ = ωιτη ρεθυιρεδ σταρτινγ ϖαλυεσ σετ εθυαλ το ζερο. 5. Γενερατε βοοτστραπ δατα υσινγ ψ τ = ΓΞ ϕ υ τ ϕ+ε τ; (11) ϕ=1 ΛΞ ψτ ϕ ϕ +Ξτ 0 +υ τ;τ=1;:::;ν; (12) ϕ=1 ινωηιχητηεβοοτστραπερρορσαρεγιϖενβψ(11). 6. ΤηεβοοτστραπϖαλυεοφτηεΒρευσχη ΓοδφρεψΛΜ Φ στατιστιχ,δενοτεδβψλμ Φ ;ιστηενοβταινεδ βψ τεστινγ Η0 : = ; νοτ Η 0 : = 0; ιν τηε βοοτστραπ χουντερπαρτ οφ (4); σεε ϖαν Γιερσβεργεν ανδ Κιϖιετ(2002, Σεχτιον 1.2). Τηε ΟΛΣ εστιmατορσ οφ τηε χοε χιεντσ οφ τηε βοοτστραπ ϖερσιον οφ τηε αρτι χιαλαλτερνατιϖε(4)αρεδενοτεδβψ ανδ. Ιντηε ϖερσιονοφ αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπγιϖεν βψ στεπσ 1 το 6, τηερε ισ νο νεεδ το εmπλοψ Ις, ασ ωελλ ασ ΟΛΣ, εστιmατιον. Τηισ σαϖινγ ρε εχτσ τηε φαχτ τηατ (4) ισ βεινγ υσεδ ασ αν αππροξιmατιον το τηε σπεχι εδ αλτερνατιϖε. Τηε αππροξιmατιον ισ ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ υνδερ λοχαλ αλτερνατιϖεσ ιν ωηιχηπαραmετερστηαταρευνδερτεσταρεο(ν 1=2 ),ρατηερτηανο(1);σεεγοδφρεψ(1981). Τηυστηε χοε χιεντσ τηατ δετερmινε τηε παττερν οφ ερρορ αυτοχορρελατιον αρε γιϖεν βψ α Πιτmαν τψπε δριφτ, ρατηερ τηαν βεινγ ξεδ χονσταντσ. Υνδερ αν αρτι χιαλ σεθυενχε οφ αλτερνατιϖεσ τηατ αρε δριφτινγ τοωαρδσ τηε νυλλmοδελαττηεσπεχι εδρατειντηευνχονδιτιοναλ(ρεαλωορλδ)λαω,τηεολσεστιmατορσφορ(4)αρε χονσιστεντανδ,ινπαρτιχυλαρ, τενδστοανυλλϖεχτορσοτηατ(11)ρεπρεσεντσαλοχαλαλτερνατιϖειντηε χονδιτιοναλ (βοοτστραπ) ωορλδ. Ηοωεϖερ, τηε λοχαλ ασψmπτοτιχ τηεορψ οφ Πιτmαν δριφτσ mαψ προϖιδε α ποορ αππροξιmατιον το αχτυαλ βεηαϖιουρ ιν νιτε σαmπλεσ δραων φροm τηε βοοτστραπ ποπυλατιον ωηεν οβσερϖεδ σεριαλ χορρελατιον ισ νοτ ωεακ; σεε Εαστωοοδ ανδ Γοδφρεψ(1992, Σεχτιον 4.2) φορ α πιλοτ Μοντε Χαρλο στυδψ ον συχη αππροξιmατιονσ φορ τηε αχτυαλ ποπυλατιον. Ιν ορδερ το γαιν σοmε ινσιγητ ιντο τηε ποσσιβλε ε εχτσ οφ ποορ αππροξιmατιονσ ιν τηε σχηεmε οφ Μανταλοσ(2003),χονσιδερτηεχονσεθυενχεσοφιντερπρετινγ ιντηεβοοτστραπωορλδασβεινγα ξεδ ϖεχτοροφχονσταντσ,ρατηερτηανβεινγ Ο(Ν 1=2 ). Ασισχλεαρφροmστεπσ4ανδ5,τηεβοοτστραπδατα αρεγενερατεδυσινγαmοδελτηατισχηαραχτεριζεδβψποπυλατιονχοε χιεντϖεχτορσοφ =( 0 ; 0 ) 0 ιν τηερεγρεσσιονmεανφυνχτιονανδ ιντηεαρ(γ)ερρορmοδελ. Τηεχοmβινατιονοφσεριαλχορρελατιον γενερατεδ βψ (11) ανδ λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ ψτ ϕ ινχλυδεδ ασ ρεγρεσσορσ ιν (12) ιmπλιεσ τηατ, 6

10 υνδερ ξεδ αυτοχορρελατιον αλτερνατιϖεσ, τηε ΟΛΣ εστιmατορσ οφ τηε βοοτστραπ χουντερπαρτ οφ (4) αρε ινχονσιστεντ ωιτη. πλιm 6= ; ιν ωηιχη πλιm δενοτεσ α βοοτστραπ προβαβιλιτψ λιmιτ τακεν ασ Ν!1υνδερ (11) ανδ (12). Ασ α ρεσυλτοφτηισινχονσιστενχψ,τηεβοοτστραπτεστστατιστιχλμ Φ ισο π(ν)ωηενη 0 := ιστρυε,ωηερε Ο π()δενοτεσαστοχηαστιχορδεροφmαγνιτυδειντηεβοοτστραπωορλδ. Ινχοντραστ,υνδερ Η 0 :=0, ΛΜ Φ ισ Ο π (1) ωιτη ιτσ λιmιτ νυλλ διστριβυτιον βεινγ 2 (Γ)=Γ: Τηυσ, ιφ ξεδ αυτοχορρελατιον mοδελ παραmετερσ ωερε ασσιγνεδ το τηε βοοτστραπ ωορλδ, τηε χονδιτιοναλ λαω προβαβιλιτψ τηατ ΛΜ Φ εξχεεδσ ΛΜ Φ ωουλδ τενδ το υνιτψ ασ Ν!1, αλονγ αλmοστ αλλ σαmπλε σεθυενχεσ. Σινχε Η 0 : =0ισ το βε ρεϕεχτεδ ωηεν τηε εστιmατεδ π ϖαλυε οφ ΛΜ Φ ισ σmαλλ, τηε υνρεστριχτεδ προχεδυρε βασεδ ον στεπσ 1 6 mαψ λεαδ το τηε τρυε νυλλ ηψποτηεσισ βεινγ ρεϕεχτεδ λεσσ φρεθυεντλψ τηαν δεσιρεδ ιν νιτε σαmπλεσ, ιφ ασψmπτοτιχ λοχαλ τηεορψ φαιλσ το προϖιδε α γοοδ αππροξιmατιον ιν τηε βοοτστραπ ωορλδ. 3 Μοντε Χαρλο δεσιγν ΤηεΜοντεΧαρλοδαταγενερατιονπροχεσσχορρεσπονδινγτο(1)ισοβταινεδυσινγ Λ=Μ =2;σοτηατ Κ=4:Ιτισωριττενασ ψ τ = 1 ψ τ ψ τ ξ τ +υ τ ;τ=1;:::;ν; (13) ιν ωηιχη Ν ισ ειτηερ 40 ορ 80. Υνδερ τηε νυλλ, τηε υ τ αρε ιιδ(0; 2 ). Τηισ προχεσσ ηασ βεεν υσεδ ιν Dεζηβακηση(1990), Dεζηβακηση ανδ Τηυρσβψ(1995) ανδ Γοδφρεψ ανδ Τρεmαψνε(2005); παραmετερ ϖαλυεσιν(13)αρεσπεχι εδασιντηεσεεαρλιερπαπερσ. Τηεϖαλυεσοφ( 1 ; 2 )αρε(0.5,0.3),(0.7, 0.2), (1.0, 0.2),(1.3, 0.5),(0.9, 0.3) ανδ(0.6, 0.2), ωηιχη αλλ σατισφψ τηε χονδιτιονσ φορ δψναmιχ σταβιλιτψ. Τηεϖαλυεοφ ( 1 ; 2 )ισ(1,1)ιναλλχασεσ. Τηεϖαλυεσοφ 2 αρε1,10ανδ100. ΤηεΟΛΣεστιmατεσ οφτηεπαραmετερσοφ(13)αρεδενοτεδβψ 1 ; 2 ; 1 ανδ 2. Τηε νυλλ ηψποτηεσισ οφ σεριαλλψ υνχορρελατεδ ερρορσ ισ τεστεδ ωιτη Γ = 4; σο τηατ τηε τεστ mοδελ χορρεσπονδινγ το(4) ισ ψ τ = 1 ψ τ ψ τ ξ τ + 4Ξ ϕ υ τ ϕ +ερρορ; (14) ινωηιχητηετερmσ υ τ ϕ αρετηελαγγεδρεσιδυαλσφροmτηεολσεστιmατιονοφ(13). ΤηεΟΛΣεστιmατε οφ ( 1 ; 2 )φροm(14)ισδενοτεδβψ( 1 ; 2 ). Ατεστοφ(13)αγαινστ(14)χορρεσπονδστοτηεκινδοφ σεριαλ χορρελατιον χηεχκ τηατ mιγητ βε υσεδ ωηεν ωορκινγ ωιτη θυαρτερλψ δατα. Γενυινε δατα αρε υσεδ φορ ϖαλυεσ οφ τηε εξογενουσ ρεγρεσσορ ξ τ ιν Ραψνερ (1993). Ηοωεϖερ, τηισ αππροαχη ιmπλιεσ τηατ τηισ ρεγρεσσορ ισ ξεδ ιν ρεπεατεδ σαmπλινγ οϖερ τηε Μοντε Χαρλο ρεπλιχατιονσ. Γιϖεν τηατ τηε αιm ισ το οβταιν Μοντε Χαρλο εϖιδενχε ρελεϖαντ το νον εξπεριmενταλ ρεγρεσσιον δατα αναλψσισ,τηισιmπλιχιτχονδιτιονινγσεεmσυνδεσιραβλε. Ασινσεϖεραλοτηερστυδιεσ,ξ τ ισγενερατεδβψα σταβλε ΑΡ(1) προχεσσ, ι.ε., ϕ=1 ξ τ = ξ ξ τ 1 + τ ;ϕ ξ ϕ<1; τ ΝΙD(0; 2 ): (15) 7

11 Ινεξπεριmεντστηαταρενοτρεπορτεδηερε,ιτισφουνδτηατυσινγασιmπλεΑΡ(4)mοδελ, ξ τ = ξ ξ τ 4 + τ ;ϕ ξ ϕ<1; τ ΝΙD(0; 2 ); (16) δοεσ νοτ λεαδ το ιmπορταντ δι ερενχεσ ιν ρεσυλτσ. Τηε ρεσυλτσ δισχυσσεδ βελοω αρε οβταινεδ υσινγ ξ = 0:7 ανδ 2 σελεχτεδ σο τηατ ςαρ(ξ τ) = 1: Ιν ορδερ το οβταιν Ις εστιmατορσ φορ (13) τηατ αρε χονσιστεντυνδερασεριαλχορρελατιοναλτερνατιϖε, ξ τ ;ξ τ 1 ;ξ τ 2 ανδανιντερχεπττερm αρε υσεδασ ινστρυmεντσ. ΤηεχορρεσπονδινγΙςεστιmατεοφ ( 1 ; 2 )φροm(13)ισδενοτεδβψ( 1 ; 2 ). Τηε ερρορ τερmσ υ τ οφ (13) αρε γενερατεδ βψ σπεχιαλ χασεσ οφ τηε mιξεδ αυτορεγρεσσιϖε mοϖινγ αϖεραγε ΑΡΜΑ(5, 5) mοδελ 5Ξ 5Ξ υ τ = ϕ υ τ ϕ + τ + ϕ τ ϕ ; (17) ϕ=1 ινωηιχητηε τ αρεινδεπενδεντλψανδιδεντιχαλλψδιστριβυτεδ(ιιδ)ωιτηζεροmεανανδϖαριανχε 2 :Αλλ πρε σαmπλεϖαλυεσφορ(17)αρεσετεθυαλτοζερο. Σιmιλαρλψσταρτινγϖαλυεσφορ ψανδ ξαρεσετεθυαλτο τηειρ ρεσπεχτιϖε υνχονδιτιοναλ mεανσ. Τηε ε εχτσ οφ τηισ στανδαρδ χοmπυτατιοναλ δεϖιχε αρε ρεδυχεδ βψγενερατινγ Ν+50οβσερϖατιονσανδτηενυσινγτηελαστ Ν οφτηεm. Μοδελ(17) ισ συ χιεντλψ γενεραλ το προϖιδε εϖιδενχε αβουτ σεϖεραλ ασπεχτσ οφ τηε περφορmανχε οφ τηε ασψmπτοτιχ ανδ βοοτστραπ τεστσ δεριϖεδ φροm(13) ανδ(14). Βψ αππροπριατε χηοιχεσ οφ τηε χοε χιεντσ οφ (17), ρεϕεχτιον ρατεσ χαν βε εστιmατεδ: υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ; υνδερ αν ΑΡ(4) σχηεmε, ασ ισ υσεδ ιν τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ; ανδ υνδερ σεριαλ χορρελατιον mοδελσ τηατ αρε νοτ ΑΡ(4). Τηε ιιδερρορτερm τ οφ(17)ισ δραωνφροm τηρεε διστριβυτιονσ. Φολλοωινγτηε πρεϖιουσ στυδιεσ οφ ρεστριχτεδ ανδ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σεριαλ χορρελατιον τεστσ, τηε Νορmαλ διστριβυτιον ισ υσεδ. Τηε οτηερ τωο χηοιχεσ γιϖε σψmmετριχ ανδ ασψmmετριχ νοννορmαλ διστριβυτιονσ. Τηε φορmερ ινϖολϖεσ δραωινγ ιιδ τερmσ φροm α τ(5) διστριβυτιον ανδ τηεν τρανσφορmινγ τηεm το ηαϖε τηε ρεθυιρεδ ποπυλατιον mεαν ανδ ϖαριανχε. Φορτηελαττερ,τηε 2 (8)διστριβυτιονιστηεσουρχεοφτηεδραωινγστηαταρετρανσφορmεδ. Τεστσ αρε ιmπλεmεντεδ ιν π ϖαλυε φορm. Τηε π ϖαλυε φορ τηε προχεδυρε οφ Κιϖιετ(1986) ισ ϕ=1 ΦΠς =Πρ(Φ(4;Ν 8)ΛΜ οβσ Φ ); φορ Ν = 40;80, ιν ωηιχη ΛΜ οβσ Φ ισ τηε οβσερϖεδ ϖαλυε οφ ΛΜ Φ. Τηε εστιmατεδ π ϖαλυεσ φορ τηε ρεστριχτεδ, Μανταλοσ τψπε υνρεστριχτεδ ανδ Ραψνερ τψπε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ αρε δενοτεδ βψ ΡΕΣ; Μ Υ Ρ ανδ ΡΥ Ρ, ρεσπεχτιϖελψ. Τηεσε βοοτστραπ π ϖαλυεσ αρε χαλχυλατεδ υσινγ 1000 βοοτστραπ σαmπλεσ. Ρεϕεχτιον ρατεσ αρε οβταινεδ βψ χοmπαρινγ χαλχυλατεδ π ϖαλυεσ ωιτη νοmιναλ σιγνι χανχε λεϖελσ οφ 5% ανδ 10%. Εστιmατεσ οφ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ αρε βασεδ υπον α mαξιmυm οφ ρεπλιχατιονσ. Τηε ασψmπτοτιχ τεστ οφ Κιϖιετ (1986) ισ αϖαιλαβλε ιν εϖερψ ρεπλιχατιον. Ηοωεϖερ, σοmε ρεπλιχατιονσ αρε νοτ συιταβλε φορ χοmπυτινγ βοοτστραπ τεστσ. Τηε προβλεm ισ τηατ εστιmατεσ οφ ( 1 ; 2 ) mαψ φαιλ το σατισφψ τηε χονδιτιονσ φορ δψναmιχ σταβιλιτψ ανδ σο χαννοτ βε υσεδ το δε νε χοϖαριανχε στατιοναρψ βοοτστραπ δατα γενερατιον προχεσσεσ. Τηε Μοντε Χαρλο ρεσυλτσ χονχερνινγ τηισ προβλεm ανδ τηε νιτε σαmπλε ρεϕεχτιον ρατεσ οφ τηε ϖαριουσ τεστσ υνδερ νυλλ ανδ αλτερνατιϖε ηψποτηεσεσ αρε δισχυσσεδ ιν τηε νεξτ σεχτιον. 8

12 4 Μοντε Χαρλο ρεσυλτσ ΙντηεδισχυσσιονοφτηεΜοντεΧαρλορεσυλτσ,ιτισυσεφυλτοηαϖεαχοδεφορχοmβινατιονσοφ ( 1 ; 2 ) ανδτηεερρορδιστριβυτιον. ΤηεχοδεσψστεmισγιϖενινΤαβλε1. Φορεξαmπλε,αχασεωιτηχοδε2Βηασ ( 1 ; 2 )=(0.7, 0.2)ανδερρορσδεριϖεδφροmτηε τ(5)διστριβυτιον. Ταβλε 1 Χοδεσφορχοmβινατιονοφ ( 1 ; 2 )ανδερρορδιστριβυτιον 1 ( 1 ; 2 )=(0:5;0:3) 2 ( 1 ; 2 )=(0:7; 0:2) 3 ( 1 ; 2 )=(1:0; 0:2) 4 ( 1 ; 2 )=(1:3; 0:5) 5 ( 1 ; 2 )=(0:9; 0:3) 6 ( 1 ; 2 )=(0:6;0:2) Α ερρορ διστριβυτιον φροm Νορmαλ Β ερρορ διστριβυτιον φροm τ(5) Χ ερρορδιστριβυτιονφροm 2 (8) Βεφορε εξαmινινγ εστιmατεσ οφ σιγνι χανχε λεϖελσ, χονσιδερ ρστ τηε ρεσυλτσ τηατ σηεδ λιγητ ον ηοω φρεθυεντλψ βοοτστραπ τεστσ αρε αππλιχαβλε. Τηε προπορτιον οφ ρεπλιχατιονσ ιν ωηιχη τηε εστιmατεσ οφ ( 1 ; 2 ) ρεθυιρεδ φορ δε νινγ τηε βοοτστραπ ποπυλατιον αρε χονσιστεντ ωιτη στατιοναριτψ ισ αν οβϖιουσ ινδεξ οφ αππλιχαβιλιτψ. Συχη προπορτιονσ, mεασυρεδ ιν περχενταγε τερmσ, αρε ρεφερρεδ το ασ αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ. Περυσαλ οφ τηε ρεσυλτσ ινδιχατεσ τηατ αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ αρε νοτ ϖερψ σενσιτιϖε το τηε χηοιχε οφ ερρορ διστριβυτιον φροm Α, Β ανδ Χ οφ Ταβλε 1. Ασ α ρεπρεσεντατιϖε σαmπλε, ρεσυλτσ ον αππλιχαβιλιτψ φορ χασεσωιτηνορmαλερρορσαρερεπορτεδινταβλε2. Ταβλε2ηασ18γρουπσοφρεσυλτσ,εαχηχορρεσπονδινγ τοαχοmβινατιονοφβοοτστραπτεστ(3τψπεσ),ν (2ϖαλυεσ)ανδ 2 (3ϖαλυεσ).Τηερεαρε6αππλιχαβιλιτψ ρατιοσινεαχηγρουπ,χορρεσπονδινγτοτηεχοmβινατιονσοφ ( 1 ; 2 )ινταβλε1. 9

13 Ταβλε 2 Αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ(περχενταγεσ) φορ Νορmαλ ερρορσ Ν =40ωιτη 2 =1 2 =10 2 =100 ΡΕΣ 100.0,100.0,100.0, 99.9,100.0,100.0, 99.8,100.0,100.0, τεστ 100.0,100.0, ,100.0, ,100.0,99.9 ΡΥ Ρ 90.9,96.6,92.1, 49.7,58.7,53.7, 33.4,38.2,35.5, τεστ 86.9,95.0, ,57.7, ,38.0,33.6 Μ Υ Ρ 97.8,99.8,99.4, 72.3,79.7,79.8, 58.3,63.7,64.5, τεστ 99.7,99.8, ,82.8, ,68.5,58.1 Ν =80ωιτη 2 =1 2 =10 2 =100 ΡΕΣ 100.0,100.0,100.0, 100.0,100.0,100.0, 100.0,100.0,100.0, τεστ 100.0,100.0, ,100.0, ,100.0,100.0 ΡΥ Ρ 98.7,99.6,99.1, 63.2,74.1,67.1, 36.5,42.3,39.0, τεστ 96.0,99.2, ,71.3, ,41.8,36.2 Μ Υ Ρ 99.9,100.0,100.0, 85.7,91.1,92.1, 65.2,67.6,72.1, τεστ 100.0,100.0, ,92.8, ,74.9,65.3 Ασ χαν βε σεεν φροm Ταβλε 2, τηερε αρε ιmπορταντ δι ερενχεσ βετωεεν τηε αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ φορ τηε τηρεε δι ερεντ βοοτστραπ τεστσ. Τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ χηεχκ ΡΕΣ ισ αλmοστ αλωαψσ αϖαιλαβλε ωηατεϖερτηεχοmβινατιονοφ Ν ανδ 2. Τηευνρεστριχτεδβοοτστραπτεστσ,ηοωεϖερ,φαιλτοmατχητηισ λεϖελ οφ περφορmανχε. Ινστεαδ τηε ϖαλυε οφ 2 ισ ασσοχιατεδ ωιτη συβσταντιαλ ε εχτσ. Ασ 2 ινχρεασεσ σοδοεστηερελατιϖεφρεθυενχψωιτηωηιχηεστιmατεσοφ ( 1 ; 2 )ιmπλψδψναmιχαλλψυνσταβλεβοοτστραπ δατα προχεσσεσ. Τηε προβλεmσ ωιτη τηε Ις βασεδ προχεδυρε ΡΥ Ρ δεριϖεδ φροm Ραψνερ(1993) αρε σο mαρκεδτηατιτισδι χυλττορεχοmmενδιτασατοολφοργενεραλυσειναππλιεδωορκ. Τηεαππλιχαβιλιτψ οφτηεμανταλοσ τψπετεστμυρισνοτσοσεϖερελψιmπαιρεδβψερρορϖαριανχεινχρεασεσ,βυττηεε εχτσ οφ συχη ινχρεασεσ αρε νοτ νεγλιγιβλε. Τηεσενσιτιϖιτψοφυνρεστριχτεδβοοτστραπτεστστοϖαριατιονσιν 2 χανβεδισχυσσεδαφτερρεωριτινγ (13) ασ ψ τ = (Β)σ τ + (Β)α τ ; (18) ιν ωηιχη: Β ισ τηε βαχκωαρδ σηιφτ οπερατορ, ωιτη Β ϕ ψ τ = ψ τ ϕ ; (Β) = 1+ 1 Β+ 2 Β 2 +::: = (1 1 Β 2 Β 2 ) 1 ; σ τ = ξ τ ;ανδ α τ = 1 υ τ :Ιντηισρεπρεσεντατιονοφτηεδαταπροχεσσ,σ τ ανδα τ αρευνχορρελατεδωιτηςαρ(σ τ )=ςαρ(α τ )=1ιναλλεξπεριmεντσ. Ιτφολλοωστηατ,ασινχρεασεσ, τηειmπορτανχεοφτηεεξογενουσχοmπονεντ (Β)σ τ δεχρεασεσρελατιϖετο (Β)α τ : Ιν τηε εξπεριmεντσ, Ραψνερ σ ϖερσιον οφ τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστ υσεσ ξ τ 1 ανδ ξ τ 2 ασ ινστρυmεντσφορ ψ τ 1 ανδ ψ τ 2. Φροm(18),τηεσεινστρυmεντσαρεονλψχορρελατεδωιτητηεχοmπονεντ (Β)σ τ ϕ οφ ψ τ ϕ ;ϕ =1;2, Ηενχε, ασ ινχρεασεσ ιν mακε τηε εξογενουσ χοmπονεντσ λεσσ ανδ λεσσ ιmπορταντ, α τψπε οφ ωεακ ινστρυmεντσ προβλεm ισ αππροαχηεδ ανδ ιτ ισ νοτ συρπρισινγ τηατ Ις εστιmατεσ αρε νοτ χλοσε το τηε χορρεσπονδινγ τρυε παραmετερ ϖαλυεσ. Α δι ερεντ εξπλανατιον ισ ρεθυιρεδ φορ τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε Μανταλοσ τψπε χηεχκ βεχαυσε ιτ δοεσ νοτ υσε Ις εστιmατιον. Τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστ τηατ ισ προποσεδ βψ Μανταλοσ υσεσ ΟΛΣ εστιmατορσ οφ 10

14 (14) το δε νε τηε βοοτστραπ προχεσσ. Υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, τηε εστιmατορσ φροm(14) αρε ινε χιεντ ρελατιϖε το τηοσε φορ (13): τηε λαττερ προϖιδε τηε παραmετερ ϖαλυεσ φορ τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ. Τηε δεγρεεοφασψmπτοτιχϖαριανχειν ατιονδεπενδσυποντηεεξτενττοωηιχηψ τ 1 ανδψ τ 2 αρε εξπλαινεδ ιν λινεαρ ρεγρεσσιονσ βψ υ τ 1 ;υ τ 2 ;υ τ 3 ανδ υ τ 4. Χονσεθυεντλψ (18) ιmπλιεσ τηατ τηε ε εχτσ οφ ασψmπτοτιχ ϖαριανχε ιν ατιον ινχρεασε ασ ινχρεασεσ. Τηεσε ε εχτσ mαψ βε ρε εχτεδ ιν νιτε σαmπλεσ βψτηεγρεατερφρεθυενχψωιτηωηιχη( 1 ; 2 )φροm(14)ιmπλψνονστατιοναρψαρ(2)ρεγρεσσιονmοδελσ. Τηεφαχττηαττηετεστ ΜΥΡισαϖαιλαβλεmορεοφτεντηαντηετεστ ΡΥΡισνοτσυ χιενττοιmπλψ τηατ τηε φορmερ ισ ειτηερ ωελλ βεηαϖεδ ορ συπεριορ το τηε λαττερ. Ιτ ισ ιmπορταντ το ινϖεστιγατε τηε δι ερενχεσ βετωεεν αχτυαλ ανδ δεσιρεδ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ. Wηεν τηε Μοντε Χαρλο δατα προχεσσ ισσυχητηαταλλτεστσαρευσυαλλψαϖαιλαβλε,τηεεστιmατεσφορ ΜΥΡαρεπερσιστεντλψβελοωτηεδεσιρεδ ϖαλυεσ ανδ τηε εστιmατεσ φορ ΡΥ Ρ συγγεστ mυχη χλοσερ αγρεεmεντ. Τηε ποσσιβιλιτψ οφ λοω ρεϕεχτιον ρατεσ φορ ΜΥΡ ωασ δισχυσσεδ αβοϖε ανδ ιτ αππεαρσ τηατ, ιν τηεσε εξπεριmεντσ, ΑΡ ερρορ προχεσσεσ ιν τηε βοοτστραπ ωορλδ αρε νοτ αδεθυατελψ αππροξιmατεδ βψ τηε αρτι χιαλ αλτερνατιϖε δεριϖεδ βψ αδδινγ λαγγεδ ρεσιδυαλσ το τηε οριγιναλ ρεγρεσσιον mοδελ. Ταβλε 3 χονταινσ ρεσυλτσ τηατ ιλλυστρατε τηεσε νδινγσ. Ταβλε 3 Εστιmατεδ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ, ωιτη 2 =1ανδνοmιναλσιγνι χανχελεϖελοφ5% Ν =40 Ν = >#ρεπλιχατιονσ> >#ρεπλιχατιονσ>23994 ΦΠς ΡΕΣ ΡΥΡ ΜΥΡ ΦΠς ΡΕΣ ΡΥΡ ΜΥΡ Χασε 1Α Χασε 1Β Χασε 1Χ Χασε 2Α Χασε 2Β Χασε 2Χ Χασε 3Α Χασε 3Β Χασε 3Χ Χασε 4Α Χασε 4Β Χασε 4Χ Χασε 5Α Χασε 5Β Χασε 5Χ Χασε 6Α Χασε 6Β Χασε 6Χ Νοτε: Τηεχασεχοδεσγιϖενιντηε ρστχολυmναρεδεριϖεδφροmτηεχοδεσοφταβλε1. ΤηερεσυλτσινΤαβλε3αρεφορτηεδαταπροχεσσεσδε νεδβψχοmβινινγτηεχασεσοφταβλε1ωιτη 2 = 1: Τηε υσε οφ 2 = 1 ιmπλιεσ τηατ αλλ τεστσ αρε αϖαιλαβλε ωιτη θυιτε ηιγη φρεθυενχψ. Ονλψ 11

15 ρεπλιχατιονσ ιν ωηιχη αλλ τεστσ αρε αϖαιλαβλε αρε υσεδ το οβταιν τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε 3. Χονσεθυεντλψ τηε νυmβερ οφ ρεπλιχατιονσ ϖαριεσ ωιτη χασε ανδ σαmπλε σιζε. Τηε σmαλλεστ ανδ λαργεστ νυmβερσ οφ συχη ρεπλιχατιονσ αρε σηοων φορ εαχη σαmπλε σιζε ιν Ταβλε 3. Ατ ωορστ, τηερε αρε οϖερ ρεπλιχατιονσ, σο τηατ εστιmατιον σηουλδ βε συ χιεντλψ πρεχισε φορ πραχτιχαλ πυρποσεσ. ΡεϕεχτιονρατεσινΤαβλε3αρεδεριϖεδωιτη 2 =1σοτηαταλλφουρτεστσχανβεχοmπαρεδ. Ηοωεϖερ, τηεσε ρεσυλτσ χαννοτ βε ασσυmεδ το βε ρεπρεσεντατιϖε οφ τηοσε φορ mορε γενεραλ σιτυατιονσ ιν ωηιχη υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ αρε νοτ φρεε οφ αππλιχαβιλιτψ προβλεmσ. Αττεντιον ισ τηερεφορε αλσο γιϖεν το εστιmατεσφορφπς ανδρεσδεριϖεδυσινγαλλτηρεεϖαλυεσοφ 2 :Ταβλε4χονταινσεστιmατεσφορΡΕΣ ανδφπς φοραλλϖαλυεσοφ 2,ωιτηΝ =40. ΑσινδιχατεδβψΤαβλε2,ΡΕΣισαλmοσταλωαψσαϖαιλαβλε ανδνοεστιmατεφορτηιστεστινταβλε4ισβασεδυπονφεωερτηαν24948ρεπλιχατιονσ(mανψαρεβασεδ υποντηεφυλλσετοφ25000ρεπλιχατιονσ). ΙτισχλεαρτηατΡΕΣπερφορmσωελλιντηεεξπεριmεντσ. Τηερεισ νο ινδιχατιον οφ ιτ βεινγ ειτηερ περσιστεντλψ υνδερσιζεδ ορ περσιστεντλψ οϖερσιζεδ ανδ υχτυατιονσ αβουτ τηενοmιναλσιζεοφ5%αρεσmαλλ. ΕϖερψεστιmατεφορΡΕΣισιντηερανγε0.95%=4.5%το1.15% = 5.5%; σο τηατ αλλ σατισφψ τηε στρινγεντ χριτεριον οφ ροβυστνεσσ γιϖεν ιν Σερλιν (2000). Τηε Φ τεστ αππροαχη οφ Κιϖιετ(1986) δοεσ νοτ σεεm το προϖιδε συχη γοοδ χοντρολ οφ νιτε σαmπλε νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ. Εστιmατεσφορ ΦΠς φαλλονβοτησιδεσοφ5%ωηεν 2 =1;βυττηεσεεστιmατεσεξηιβιτα γρεατερδεγρεεοφϖαριαβιλιτψτηαντηεχορρεσπονδινγϖαλυεσφορ ΡΕΣ. Φορτηετωολαργερϖαλυεσοφ 2, τηεεστιmατεσφορφπς προϖιδεεϖιδενχεοφατενδενχψφορτηετεσττοβευνδερσιζεδ,ωιτητηεαβσολυτε ϖαλυε οφ τηε ερρορ ιν ρεϕεχτιον προβαβιλιτψ ινχρεασινγ ωιτη 2 : Χοmπαρισον οφ τηε λαστ τωο χολυmνσ οφ ρεσυλτσινταβλε4σηοωστηαττηερεστριχτεδβοοτστραπχανβευσεφυλινχορρεχτινγτηετεστφπς,ωηιχη ρελιεσ υπον τηε στανδαρδ Φ διστριβυτιον φορ αππροξιmατιονσ. ΡεπεατινγτηεεξπεριmεντσοφΤαβλε4ωιτηΝ =80δοεσνοτλεαδτοιmπορταντχηανγεσ. Τηεσαmε γενεραλ παττερνσ εmεργε ανδ, φορ εξαmπλε, τηε αϖεραγε οφ εστιmατεσ φορ Φ Π ς χορρεσπονδινγ το τηοσε οφτηελαστχολυmνοφταβλε4ισ4.4%,χοmπαρεδωιτη4.3%ωηεν Ν =40. Τηερεστριχτεδβοοτστραπ τεστ ηασ α σλιγητλψ βεττερ περφορmανχε ωηεν Ν = 80, ωιτη τηε λαργεστ δι ερενχε βετωεεν αν εστιmατε ανδτηεταργετϖαλυεοφ5%βεινγ0.3%,χοmπαρεδωιτη0.4%ωηεν Ν =40. Το συm υπ, χονσιδερατιον οφ τηε ρεσυλτσ φορ εξπεριmεντσ ιν ωηιχη τηε νυλλ ηψποτηεσισ ισ ιmποσεδ λεαδσ το τηε φολλοωινγ χονχλυσιονσ. Φιρστ, τηε υσε οφ χριτιχαλ ϖαλυεσ φροm αν αππροξιmατινγ Φ διστριβυτιον, ασ συγγεστεδ ιν Κιϖιετ(1986), χαν λεαδ το υνδερρεϕεχτιον ρελατιϖε το δεσιρεδ λεϖελσ. Σεχονδ, δουβτ ισ χαστ υπον τηε γενεραλ υσεφυλνεσσ οφ τηε τωο υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ ειτηερ βεχαυσε οφ τηε ποσσιβιλιτψ οφ βεινγ φρεθυεντλψ ιναππλιχαβλε ορ βεχαυσε οφ εξχεσσιϖελψ λοω ρεϕεχτιον ρατεσ. Τηιρδ, τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ λεαδσ το γοοδ χοντρολ οφ νιτε σαmπλε νυλλ ρεϕεχτιον ρατεσ. 12

16 Ταβλε 4 Εστιmατεδ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ, ωιτη Ν =40ανδνοmιναλσιγνι χανχελεϖελοφ5% 2 =1 2 =10 2 =100 ΡΕΣ ΦΠς ΡΕΣ ΦΠς ΡΕΣ ΦΠς Χασε 1Α Χασε 1Β Χασε 1Χ Χασε 2Α Χασε 2Β Χασε 2Χ Χασε 3Α Χασε 3Β Χασε 3Χ Χασε 4Α Χασε 4Β Χασε 4Χ Χασε 5Α Χασε 5Β Χασε 5Χ Χασε 6Α Χασε 6Β Χασε 6Χ Νοτε: Τηεχασεχοδεσγιϖενιντηε ρστχολυmναρεδεριϖεδφροmτηεχοδεσοφταβλε1. Φινδινγσ χονχερνινγ εστιmατεσ οβταινεδ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ ηαϖε ιmπλιχατιονσ φορ χοmπαρισονσ οφ εστιmατεσ δεριϖεδ υνδερ αλτερνατιϖε ηψποτηεσεσ. Ιν ορδερ το mακε σενσιβλε χοmπαρισονσ οφ ποωερ, τηερε σηουλδ νοτ βε ιmπορταντ δι ερενχεσ ιν εστιmατεσ οφ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ. Τηερε ισ στρονγ εϖιδενχε τηατ, ωηεν τηε νυλλ ηψποτηεσισ ισ τρυε, ΜΥΡ ρεϕεχτσ λεσσ φρεθυεντλψ τηαν ΡΕΣ, ΡΥΡ ανδ ΦΠς,αλλτηρεεοφωηιχηηαϖεεστιmατεστηαταρεχλοσερτοδεσιρεδλεϖελστηαντηοσεφορΜΥΡ;σεεΤαβλε 3. Ιτιστηερεφορενοτσυρπρισινγτηατ ΜΥΡφαιλστοδετεχτσεριαλχορρελατιονασφρεθυεντλψαστηεοτηερ τεστσ ωηεν νονζερο χοε χιεντσ αρε υσεδ ιν(17). Γιϖεν τηε αργυmεντσ οφ Ηοροωιτζ ανδ Σαϖιν(2000), ιτ ωασ δεχιδεδ το εξχλυδε ΜΥΡ φροm ποωερ χοmπαρισονσ, ρατηερ τηαν το αττεmπτ το σιζε χορρεχτ τηιστεστ. Εστιmατεσφορτηερεmαινινγτεστσ,ϖιζ., ΡΕΣ, ΡΥΡανδ ΦΠς;αρερεπορτεδινΤαβλεσ5 7. Τηεσε εστιmατεσ αρε ρεπρεσεντατιϖε οφ τηε φυλλ σετ δεριϖεδ ωιτη ϖαριουσ σεριαλ χορρελατιον mοδελσ τηατ αρε σπεχιαλ χασεσ οφ(17). Ταβλε 5 χονταινσ ρεσυλτσ φορ ρεγρεσσιον mοδελσ ωιτη ερρορσ γενερατεδ βψ (1 0:7Β+0:17Β 2 0:017Β 3 +0:0006Β 4 )υ τ = τ ; τ ιιδ(0;1); (19) ωηιχη ηασ τηε σαmε ΑΡ(4) στρυχτυρε ασ τηε ϖερσιον οφ(8) υσεδ το γενερατε ρεσιδυαλσ φορ ιmπλεmεντινγ τηευνρεστριχτεδβοοτστραπτεστ ΡΥΡ. Τηεπολψνοmιαλιν Β υσεδιν(19)χανβεφαχτοριζεδασ (1 0:3Β)(1 0:2Β)(1 0:1Β) 2 : Ταβλεσ 6 ανδ 7 χονταιν εστιmατεσ φορ ρεγρεσσιον mοδελσ ωιτη ερρορσ γενερατεδ βψ σχηεmεσ τηατ αρε νοτσπεχιαλχασεσοφτηεαρ(4)mοδελ;σοτηαττηεϖερσιονοφ(8)υσεδτοοβταιν ΡΥΡισmισσπεχι εδ. 13

17 Εστιmατεσ ιν Ταβλε 6 αρε χαλχυλατεδ φροm σιmυλατεδ δατα οβταινεδ ωιτη τηε σεριαλ χορρελατιον mοδελ (1 0:3Β)(1 0:3Β 4 )υ τ =(1 0:3Β 0:3Β 4 +0:09Β 5 )υ τ = τ ; τ ιιδ(0;1); (20) ωηιχηισαρεστριχτεδϖερσιονοφαναρ(5)mοδελ. ΦορτηεχασεσοφΤαβλε7,ερρορσαρεγενερατεδβψ υ τ =(1+0:3Β 4 ) τ ; τ ιιδ(0;1); (21) ι.ε., βψ α σιmπλε ΜΑ(4) σχηεmε. Τηε χοε χιεντσ οφ τηεσε ανδ τηε οτηερ σεριαλ χορρελατιον mοδελσ αρε σελεχτεδβψτριαλανδερρορωιτητηεαιmοφαϖοιδινγποωερεστιmατεστηαταρεχλοσεειτηερτονοmιναλ σιγνι χανχε λεϖελσ ορ το 100% ιν αλλ χασεσ. Ταβλε 5 Εστιmατεδ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ φορ τηε ερρορ mοδελ (1 0:7Β+0:17Β 2 0:017Β 3 +0:0006Β 4 )υ τ = τ ; τ ιιδ(0;1); ωιτη Ν =80ανδνοmιναλσιγνι χανχελεϖελοφ10% ΡΕΣ ΡΥΡ ΦΠς Χασε 1Α Χασε 1Β Χασε 1Χ Χασε 2Α Χασε 2Β Χασε 2Χ Χασε 3Α Χασε 3Β Χασε 3Χ Χασε 4Α Χασε 4Β Χασε 4Χ Χασε 5Α Χασε 5Β Χασε 5Χ Χασε 6Α Χασε 6Β Χασε 6Χ Νοτεσ: α. Τηεχασεχοδεσγιϖενιντηε ρστχολυmναρεδεριϖεδφροmτηεχοδεσοφταβλε1. β. ΤηεεστιmατεσοφτηισΤαβλεαρεοβταινεδωιτη24956>#ρεπλιχατιονσ> Ιτ ισ χλεαρ φροm Ταβλε 5 τηατ, ωηατεϖερ τηε χοmβινατιον οφ ( 1 ; 2 ) ανδ τηε ερρορ διστριβυτιον, δι ερενχεσβετωεενποωερεστιmατεσαρεσmαλλανδδονοτρεϖεαλαχονσιστεντρανκινγοφ ΡΕΣ, ΡΥΡ ανδ Φ Π ς. Χονσεθυεντλψ τηε ρεσυλτσ δο νοτ συγγεστ τηατ τηε υνρεστριχτεδ( ξεδ αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ) βοοτστραπ τεστ ΡΥ Ρ ηασ βεττερ ποωερ τηαν τηε ρεστριχτεδ(νυλλ ηψποτηεσισ) βοοτστραπ τεστ ΡΕΣ. Τηε νδινγσδεριϖεδφροmταβλε5αρεχορροβορατεδβψτηεεστιmατεσοφταβλε6ανδταβλε7. 14

18 Ταβλε 6 Εστιmατεδ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ φορ τηε ερρορ mοδελ (1 0:3Β 0:3Β 4 +0:09Β 5 )υ τ = τ ; τ ιιδ(0;1); ωιτη Ν =80ανδνοmιναλσιγνι χανχελεϖελοφ10% ΡΕΣ ΡΥΡ ΦΠς Χασε 1Α Χασε 1Β Χασε 1Χ Χασε 2Α Χασε 2Β Χασε 2Χ Χασε 3Α Χασε 3Β Χασε 3Χ Χασε 4Α Χασε 4Β Χασε 4Χ Χασε 5Α Χασε 5Β Χασε 5Χ Χασε 6Α Χασε 6Β Χασε 6Χ Νοτεσ: α. Τηεχασεχοδεσγιϖενιντηε ρστχολυmναρεδεριϖεδφροmτηεχοδεσοφταβλε1. β. ΤηεεστιmατεσοφτηισΤαβλεαρεοβταινεδωιτη24947>#ρεπλιχατιονσ>

19 Ταβλε 7 Εστιmατεδ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ φορ τηε ερρορ mοδελ υ τ =(1 0:3Β 4 ) τ ; τ ιιδ(0;1); ωιτη Ν =80ανδνοmιναλσιγνι χανχελεϖελοφ10% ΡΕΣ ΡΥΡ ΦΠς Χασε 1Α Χασε 1Β Χασε 1Χ Χασε 2Α Χασε 2Β Χασε 2Χ Χασε 3Α Χασε 3Β Χασε 3Χ Χασε 4Α Χασε 4Β Χασε 4Χ Χασε 5Α Χασε 5Β Χασε 5Χ Χασε 6Α Χασε 6Β Χασε 6Χ Νοτεσ: α. Τηεχασεχοδεσγιϖενιντηε ρστχολυmναρεδεριϖεδφροmτηεχοδεσοφταβλε1. β. ΤηεεστιmατεσοφτηισΤαβλεαρεοβταινεδωιτη24857>#ρεπλιχατιονσ>

20 5 Χονχλυσιονσ Εϖιδενχε χονχερνινγ τηε βεηαϖιουρ οφ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον ηασ βεεν οβταινεδ υσινγ Μοντε Χαρλο δεσιγνσ τηατ αρε mορε γενεραλ ιν τερmσ οφ δψναmιχ σπεχι χατιον, ερρορ διστριβυτιον ανδ αλτερνατιϖε ηψ ποτηεσισ τηαν τηοσε πρεϖιουσλψ εmπλοψεδ. Τηε Φ τεστ αππροαχη οφ Κιϖιετ(1986) προϖιδεσ αν αππροπριατε ασψmπτοτιχ τεστ ιν αν ιντυιτιϖελψ αππεαλινγ ανδ σιmπλε φασηιον. Ηοωεϖερ, τηε εϖιδενχε ρεπορτεδ αβοϖε ινδιχατεσ τηατ τηε υσε οφ αν Φ διστριβυτιον ασ α σουρχε οφ αππροξιmατε χριτιχαλ ϖαλυεσ χαν λεαδ το αν υνδερσιζεδ τεστ. Τηρεε αππροαχηεσ το βοοτστραππινγ τηε Φ στατιστιχ φορm οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ στατιστιχ ιν ορδερ το ιmπροϖε χοντρολ οφ νιτε σαmπλε σιγνι χανχε λεϖελσ ηαϖε βεεν εξαmινεδ. Τηε αππροαχηεσ δι ερ ιν τηε τρεατmεντ οφ τηε παραmετερσ οφ τηε σεριαλ χορρελατιον mοδελ, ωηιχη χαν βε τρεατεδ ασ ξεδ χονσταντσ, ασδριφτινγτοωαρδσζεροϖαλυεσαστηεσαmπλεσιζεινχρεασεσ,ορσετεθυαλτοζεροϖαλυεσ. Τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστ ΡΥ Ρ οφ Ραψνερ(1993), βασεδ υπον α ξεδ αλτερνατιϖε, ισ ϖυλνερα βλε το εστιmατιον προβλεmσ τηατ α εχτ ιτσ αϖαιλαβιλιτψ. Ινστρυmενταλ ϖαριαβλε εστιmατορσ οφ τηε ρεγρεσσιον mοδελ αρε νεεδεδ φορ χονσιστενχψ υνδερ ξεδ αλτερνατιϖεσ ανδ σαmπλε ϖαλυεσ οφ τηεσε εστιmατορσ χαν θυιτε φρεθυεντλψ βε ατ οδδσ ωιτη τηε ρεθυιρεmεντ τηατ τηε βοοτστραπ δατα γενερατιον προχεσσ βε δψ ναmιχαλλψ σταβλε. Ιτ ισ σοmετιmεσ αργυεδ τηατ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ χαν ενϕοψ συπεριορ ποωερ βυτ τηε ρεσυλτσ οβταινεδ ιν τηε Μοντε Χαρλο εξπεριmεντσ ωιτη σεριαλλψ χορρελατεδ ερρορσ δο νοτ συππορτ τηισ ϖιεω. Τηε βοοτστραπ τεστ ΜΥΡ οφ Μανταλοσ (2003) ισ δεριϖεδ βψ χονσιδερινγ λοχαλ, ρατηερ τηαν ξεδ, αλτερνατιϖεσ. Βψ υσινγ τηε λοχαλ εθυιϖαλενχε οφ τηε τεστ mοδελ ανδ τηε χορρεσπονδινγ σεριαλ χορρελατιον αλτερνατιϖε, ιτ ισ ποσσιβλε το ϕυστιφψ τηε υσε οφ ΟΛΣ, ασ οπποσεδ το ινστρυmενταλ ϖαριαβλεσ, ιν τηε υνρε στριχτεδ βοοτστραπ ωιτη σεριαλλψ χορρελατεδ ερρορσ. Ηοωεϖερ, τηε ρεσυλτσ οβταινεδ σηοω τηατ ασψmπτοτιχ λοχαλεθυιϖαλενχεχανπροϖιδεαποοραππροξιmατιονιν νιτεσαmπλεσανδ ΜΥΡχανβεσεριουσλψυν δερσιζεδ. Τηισ φαιλινγ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ λεαδσ το ρελατιϖελψ λοω ρεϕεχτιον ρατεσ ιν τηε πρεσενχε οφ σεριαλλψ χορρελατεδ ερρορσ. Α ρεστριχτεδ(νυλλ ηψποτηεσισ) βοοτστραπ ισ υσεδ φορ τηε τεστ ΡΕΣ. Τηισ τεστ ισ αϖαιλαβλε ωιτη ϖερψ ηιγη φρεθυενχψ ιν τηε εξπεριmεντσ ανδ γιϖεσ ϖερψ γοοδ χοντρολ οφ νιτε σαmπλε σιγνι χανχε λεϖελσ. Μορεοϖερ, τηε ποωερ εστιmατεσ φορ ΡΕΣ mατχη τηοσε οφ οτηερ τεστσ. Τηε οϖεραλλ χονχλυσιον τηατ ισ δραων φροm τηε σιmυλατιον εϖιδενχε ισ, τηερεφορε, τηατ α σιmπλε ρεστριχτεδ βοοτστραπ σηουλδ βε υσεδ ωηεν τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον αφτερ ΟΛΣ εστιmατιον οφ mοδελσ ωιτη λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ ασ ρεγρεσσορσ. Τηεεmπηασισιντηισστυδψηασβεενονηοωβεσττουσεασινγλελεϖελοφβοοτστραππινγτοοβταιν ρελιαβλε ανδ ε εχτιϖε τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ. Τηε ρεσυλτσ ιν Βεραν (1988) συγγεστ τηατ φυρτηερ ιmπροϖεmεντσ mιγητ βε δεριϖεδ βψ υσινγ α δουβλε βοοτστραπ αππροαχη. Ηοωεϖερ, τηε δουβλε βοοτστραπ δεσχριβεδ ιν Βεραν(1988) ηασ α ρελατιϖελψ ηιγη χοmπυτατιοναλ χοστ. Ιν ρεχεντ ωορκ, Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον προποσε α φαστ δουβλε βοοτστραπ(φdβ) τηατ ισ mυχη χηεαπερ το ιmπλεmεντ; σεε Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον(2006). Μοντε Χαρλο ρεσυλτσ ον υσινγ α ΦDΒ τεστ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν α δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελ αρε ρεπορτεδ ιν Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον (2006). Τηεσε Μοντε Χαρλο ρεσυλτσ αρε οβταινεδ φροm εξπεριmεντσ ιν ωηιχη ονλψ τηε ονε περιοδ λαγ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε ισ χοmβινεδ ωιτη στριχτλψ εξογενουσ ϖαριαβλεσ το φορm τηε ρεγρεσσορ σετ ανδ τηε αλτερνατιϖε ερρορ mοδελ ισ α ρστ ορδερ αυτορεγρεσσιον. Ιτ ωουλδ βε ιντερεστινγ το εξαmινε τηε αππλιχατιον οφ ΦDΒ mετηοδσ ιν τηε χοντεξτ οφ τηε mορε γενεραλ mοδελσ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον 3 αβοϖε. 17

21 Αχκνοωλεδγεmεντ Ι αm γρατεφυλ το Α.Ρ. Τρεmαψνε φορ ηισ χονστρυχτιϖε ανδ ηελπφυλ χοmmεντσ. Ρεφερενχεσ Βεραν, Ρ., Πρεπιϖοτινγ τεστ στατιστιχσ: α βοοτστραπ ϖιεω οφ ασψmπτοτιχ ρε νεmεντσ. ϑουρναλ οφ τηε Αmεριχαν Στατιστιχαλ Ασσοχιατιον 83, Βρευσχη, Τ.Σ., Τεστινγ φορ αυτοχορρελατιον ιν δψναmιχ λινεαρ mοδελσ. Αυστραλιαν Εχονοmιχ Παπερσ 17, Βρευσχη, Τ.Σ., Γοδφρεψ, Λ.Γ., Α ρεϖιεω οφ ρεχεντ ωορκ ον τεστινγ φορ αυτοχορρελατιον ιν δψναmιχ σιmυλτανεουσ mοδελσ. Ιν Χυρριε, D., Νοβαψ, Ρ., Πεελ, D. (εδσ.). Μαχροεχονοmιχ αναλψσισ: εσσαψσ ιν mαχροεχονοmιχσ ανδ εχονοmετριχσ. Χροοm Ηελm, Λονδον. Dαϖιδσον, Ρ., ΜαχΚιννον, ϑ.γ., Σεϖεραλ τεστσ φορ mοδελ σπεχι χατιον ιν τηε πρεσενχε οφ αλτερνατιϖε ηψποτηεσεσ. Εχονοmετριχα 49, Dαϖιδσον, Ρ., ΜαχΚιννον, ϑ.γ., Εχονοmετριχ Τηεορψ ανδ Μετηοδσ. Οξφορδ Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Οξφορδ. Dαϖιδσον, Ρ., ΜαχΚιννον, ϑ.γ., Ιmπροϖινγ τηε ρελιαβιλιτψ οφ βοοτστραπ τεστσ ωιτη τηε φαστ δουβλε βοοτστραπ. Χοmπυτατιοναλ Στατιστιχσ ανδ Dατα Αναλψσισ, το αππεαρ. Dεζηβακηση, Η, Τηε ιναππροπριατε υσε οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ ιν δψναmιχ λινεαρ mοδελσ. Ρεϖιεω οφ Εχονοmιχσ ανδ Στατιστιχσ 72, Dεζηβακηση, Η., Τηυρσβψ, ϑ.γ., Α Μοντε Χαρλο χοmπαρισον οφ τεστσ βασεδ υπον τηε Dυρβιν Wατσον στατιστιχ ωιτη οτηερ αυτοχορρελατιον τεστσ ιν δψναmιχ mοδελσ. Εχονοmετριχ Ρεϖιεωσ 14, Dυρβιν, ϑ., Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον ωηεν σοmε οφ τηε ρεγρεσ σορσ αρε λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Εχονοmετριχα 38, Dυρβιν, ϑ., Wατσον, Γ.Σ., Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον Ι. Βιοmετρικα 37, Dυρβιν, ϑ., Wατσον, Γ.Σ., Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον ΙΙ. Βιο mετρικα 38, Εαστωοοδ, Α., Γοδφρεψ, Λ.Γ., Τηε προπερτιεσ ανδ χονστρυχτιϖε υσε οφ mισσπεχι χατιον τεστσ φορ mυλτιπλε ρεγρεσσιον mοδελσ. Ιν: Γοδφρεψ, Λ.Γ.(εδ.). Τηε ιmπλεmεντατιον ανδ χονστρυχτιϖε υσε οφ mισσπεχι χατιον τεστσ ιν εχονοmετριχσ. Μανχηεστερ Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Μανχηεστερ, ϖαν Γιερσβεργεν, Ν.Π.Α., Κιϖιετ, ϑ.φ., Ηοω το ιmπλεmεντ τηε βοοτστραπ ιν στατιχ ορ σταβλε δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ: τεστ στατιστιχσ ϖερσυσ χον δενχε ρεγιον αππροαχη. ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 108, Γοδφρεψ, Λ.Γ., Τεστινγ αγαινστ γενεραλ αυτορεγρεσσιϖε ανδ mοϖινγ αϖεραγε ερρορ mοδελσ ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Εχονοmετριχα 46, Γοδφρεψ, Λ.Γ., Ον τηε ινϖαριανχε οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστ ωιτη ρεσπεχτ το χερταιν χηανγεσ ιν τηε αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ. Εχονοmετριχα 49, Γοδφρεψ, Λ.Γ., Μισσπεχι χατιον τεστσ ιν εχονοmετριχσ. Χαmβριδγε Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Χαm βριδγε. Γοδφρεψ, Λ.Γ., Τεστσ φορ νον νεστεδ ρεγρεσσιον mοδελσ: σοmε ρεσυλτσ ον σmαλλ σαmπλε βεηαϖ ιουρ ανδ τηε βοοτστραπ. ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 84, Γοδφρεψ, Λ.Γ., Τρεmαψνε, Α.Ρ., Μισσπεχι χατιον τεστσ φορ υνιϖαριατε τιmε σεριεσ mοδελσ ανδ τηειρ αππλιχατιονσ ιν εχονοmετριχσ. Εχονοmετριχ Ρεϖιεωσ 7,

22 Γοδφρεψ, Λ.Γ., Τρεmαψνε, Α.Ρ., Τηε ωιλδ βοοτστραπ ανδ ηετεροσκεδαστιχιτψ ροβυστ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ. Χοmπυτατιοναλ Στατιστιχσ ανδ Dατα Αναλψσισ 49, Ηοροωιτζ, ϑ.λ., Βοοτστραπ βασεδ χριτιχαλ ϖαλυεσ φορ τηε ινφορmατιον mατριξ τεστ. ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 61, Ηοροωιτζ, ϑ.λ., Σαϖιν, Ν.Ε., Εmπιριχαλλψ ρελεϖαντ χριτιχαλ ϖαλυεσ φορ ηψποτηεσισ τεστσ: α βοοτστραπ αππροαχη. ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 95, ϑεονγ, ϑ., Χηυνγ, Σ., Βοοτστραπ τεστσ φορ αυτοχορρελατιον. Χοmπυτατιοναλ Στατιστιχσ ανδ Dατα Αναλψσισ 38, Κιϖιετ, ϑ.φ., Ον τηε ριγουρ οφ σοmε σπεχι χατιον τεστσ φορ mοδελλινγ δψναmιχ ρελατιονσηιπσ. Ρεϖιεω οφ Εχονοmιχ Στυδιεσ 53, Λεε, Σ.Μ.Σ., Ψουνγ, Γ.Α., Παραmετριχ βοοτστραππινγ ωιτη νυισανχε παραmετερσ. Στατιστιχσ ανδ Προβαβιλιτψ Λεττερσ 71, ΜαχΚιννον, ϑ.γ., Βοοτστραπ ινφερενχε ιν εχονοmετριχσ. Χαναδιαν ϑουρναλ οφ Εχονοmιχσ 35, Μαδδαλα, Γ.Σ., Αν Ιντροδυχτιον το Εχονοmετριχσ, τηιρδ εδιτιον. Wιλεψ, Νεω Ψορκ. Μανταλοσ, Π., Βοοτστραππινγ τηε Βρευσχη Γοδφρεψ αυτοχορρελατιον τεστ φορ α σινγλε εθυατιον δψναmιχ mοδελ: Βοοτστραππινγ τηε ρεστριχτεδ ϖερσυσ υνρεστριχτεδ mοδελ. Μοντε Χαρλο Μετηοδσ ανδ Αππλιχατιονσ 9, Μανταλοσ, Π., Τωο σιδεσ οφ τηε σαmε χοιν: Βοοτστραππινγ τηε ρεστριχτεδ ϖερσυσ υνρεστριχτεδ mοδελ. ϑουρναλ οφ Μοδερν Αππλιεδ Στατιστιχαλ Μετηοδσ 4, Ραmσεψ, ϑ.β., Dιαγνοστιχ τεστσ ασ ρεσιδυαλσ αναλψσισ: περσπεχτιϖε ανδ χοmmεντ. Εχονοmετριχ Ρεϖιεωσ 2, Ραψνερ, Ρ.Κ., Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν ρεγρεσσιον mοδελσ ωιτη λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Ρεϖιεω οφ Εχονοmιχσ ανδ Στατιστιχσ 75, Σχηωερτ, Γ.W., Ε εχτσ οφ mοδελ σπεχι χατιον ον τεστσ φορ υνιτ ροοτσ ιν mαχροεχονοmιχ δατα. ϑουρναλ οφ Μονεταρψ Εχονοmιχσ 20, Σερλιν, Ρ.Χ., Τεστινγ φορ ροβυστνεσσ ιν Μοντε Χαρλο στυδιεσ. Πσψχηολογιχαλ Μετηοδσ 5, Wηιτε, Η., Μαξιmυm λικελιηοοδ εστιmατιον οφ mισσπεχι εδ mοδελσ. Εχονοmετριχα 50, Wοολδριδγε, ϑ.μ., Ασψmπτοτιχ προπερτιεσ οφ σοmε σπεχι χατιον τεστσ ιν λινεαρ mοδελσ ωιτη ιντεγρατεδ προχεσσεσ. Ιν: Ενγλε, Ρ.Φ., Wηιτε, Η. (εδσ.). Χοιντεγρατιον, χαυσαλιτψ ανδ φορεχαστινγ φεστσχηριφτ ιν ηονουρ οφ Χλιϖε W.ϑ. Γρανγερ. Οξφορδ Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Οξφορδ,