Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid"

Transcript

1 Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse, mida on kasulik endale selgeks teha, vastasel korral muutub Mathcadiga töötamine üsna veidraks ettevõtmiseks. Mathcadi tööleht Mathcadi tööleht on üks suur terviklik valge tahvel, mis võib sisaldada võrrandeid, tekste, graafikuid, fotosid. Iga sellise elemendi ümber on nelinurkne piirkond (regioon). Regiooni ääred on nähtavad, kui tegevus toimub selle sees. Regioonid võivad asuda ükseise kõrval, peal, all, katta teineteist, kuid arvestama peab, et töölehte loetakse vasakult paremale ja ülalt alla. Sellises järjekorras loetakse nad mällu ja täidetakse nendes toodud käsud. Töölehele saab lisada tühje ridu "Enter" klahviga (kursoriks on punane rist), ridu saab eemaldada "delete" klahviga. Laiendid ".xmcd", ".mcd" on väiksemamahulisemate failide formaadid ja ei salvesta kõiki vorminguid ja parameetreid, mis puudutavad töölehe välimust (näiteks erinevate regioonide jaoks valitud fondid, omadused, arvutuslik täpsus jne). Kõikide sätete salvestamiseks valige ".xmct", ".mct" laiend (Mathcad Template, selliselt on aga failid ka mahukamad). Uuemad Mathcadi versioonid avavad vanemaid failiformaate (.mcd,.mct), kuid vanemad versioonid uuemaid formaate ei ava. Seega failide jagamiseks on soovitav salvestada vanemasse formaati (ilma selle x-täheta). Veebis jagamiseks on soovitav oma tööleht pdf-faili printida (siis näevad ka teised, kellel Mathcadi ei ole kohe käepärast). Regioonid Regiooni loomiseks piisab klikata hiirega vajalikku kohta (ekraanile ilmub punane ristike) ning alustada kirjutamist või millegi lisamist menüükäskude abil. Vaikimisi arvestab Mathcad sellega, et soovitakse luua matemaatikaregioon. Tekstiregiooni loomiseks on kasulik vajutada enne jutumärke ja siis kirjutada soovitud tekst. Kui te soovite mingi regiooni ümber näha ääriseid nii, et need pärast mujal klikkamist ära ei kaoks, siis regioonil hiire parempoolse nupuga klikates valige "Properties" => "Show Border". Mitme regiooni valimiseks (näiteks kopeerimiseks, liigutamiseks) piisab nendest hiirega üle lohistada. Pärast hiirenupu vabastamist peab valitud regioonide ümber ilmuma katkendlik joon. Analoogiliselt saab mitut regiooni valida, kui hoida all CTRL klahvi ja klikata samal ajal soovitud regioonide peal. Kui te tahate valida suurema hulga regioone, siis on kasulikum klikata esimesel regioonil ja seejärel klahvi SHIFT all hoides klikata viimasel regioonil (sedasi valitakse kõik nende kahe vahele jäävad alad).

2 Regiooni liigutamiseks piisab valida regioon ja edasi töötab klassikaline lõika-kopeeri-kleebi meetod kas siis menüüst või klahvidega: F või CTRL+C Kopeeri aktiivne regioon F3 või CTRL+X Lõika aktiivne regioon F4 või CTRL+V Kleebi mälus olev regioon Tekstiregiooni liigutamiseks, kopeerimiseks piisab tekstiregioonis klikkamisest ja siis lõika-kopeeri-kleebi meetod. Matemaatikaregiooni puhul tuleb arvestada, et klikkamise korral loetakse mällu vaid see osa, mis on aktiveeritud sinise kursori poolt (tervet regiooni saab valida näiteks hiirega sellest üle lohistades). Regioone saab liigutada ka neid hiirega lohistades (kui haarate hiirega regiooni servast, ekraanile peab ilmuma käe kujutis). Regioonide joondamiseks või vähesel määral liigutamiseks on väga mugav metod nad algul valida ja siis kasutada nooleklahve. Regioonide kohta on olemas võimalused: "View" => "Regions" (näeb hõivatud ja vabu alasid), "Format" => "Separate Regions" (eraldab kõik kattuvad alad). Matemaatiliste avaldiste sisestamine 1. Klikake kuskile töölehe tühjas osas. NB! Hoiduge tühiku kasutamisest muutuja või funktsiooni nimes! Varane tühik muudab matemaatilise regiooni tekstiregiooniks. Kui Mathcad on ära tundnud, et soovitakse matemaatikaregiooni, siis on tühik juba reserveeritud aktiivse osa valimisele. Matemaatikaregiooni ei saa enam muuta tekstiregiooniks.. Jälgige siniseks värvitud kursorit, eriti tema alumist osa. Paremal esimesel pildil on aktiivseks tehtud ainult muutuja x. Aktiivset osa annab töö mugavamaks tegemiseks ära kasutada. Näiteks vajutades ülakoma ', kirjutab Mathcad ise kogu aktiivne osa sulgudesse. Samuti on see kasulik operaatorite kasutamisel jne. 3. Kursori alumist osa saab laiendada klahviga "tühik (spacebar)". Tihti läheb vaja mitut vajutust, pikemate avaldiste puhul saab hiirega sobivasse kohta klikates osad vajutused vahele jätta. Samuti on võimalik valemi sees liikuda nooleklahvidega. 4. Kursori püstist osa saab viia paremalt vasakule või vasakult paremale klahviga "insert". Nii saab valida, kas lisada uusi märke lõppu või algusesse. Näide (vt [1]). Sisestame valemi x 3 a 4 + y π 1. Kirjutame x-3*a, sinine kursor näitab, et ainult muutuja a on aktiivne. Nüüd võib vajutada kas katuse klahvi (mis küll eesti keelse klaviatuuri korral on tihti peidetud, hõivatud või ebamugav kasutada) või siis üsna lihtne on astme näitaja võtta hiirevajutusega "Calculator" paletilt.

3 . Kuna nüüd sinine kursor näitab ainult "a" aktiivsust, vajutame kolm korda tühikut (vajutuste arv on seotud operaatorite arvuga, meil on siin aste, korrutamine ja lahutamine). Peame saama olukorra, kus kogu avaldis on märgitud. 3. Nüüd võime vajutada jagamise märki "/". Ekraanile peaks ilmuma pikk horisontaalne kriips, kuhu alla tekib must aktiivne kastike. 4. Kirjutame "-4+" ning valime "Calculator" paletilt ruutjuure. Seejärel trükime "y+1". 5. Järgmiseks vajutame kaks korda tühikut, kuna viimane aktiivne liige on 1 ja see asub juure all. Meil on aga vaja liita pii väljaspool juurt. Seega peame saavutama olukorra, kus aktiivne oleks terve juure alune avaldis ja juur ise ka. 6. Trükime "+" ja siis kas valime "Calculator" paletilt pii või kasutame klahvikombinatsiooni "Ctrl"+"Shift"+"P". Matemaatiliste avaldiste muutmine Te võite matemaatilistes avaldistes muutjudaid muuta, kustutada nagu pea igas teises Windowsi programmis. Selleks võib kasutada hiirega valimist, "delete", "cut", "paste" käske jne. Keerulisem on kustutada operaatorit (näiteks ruutjuurt, plussmärki jne), sest seda ei saa eraldi üksikuna valida. 1. Operaatori kustutamiseks klikake kas siis operaatori ette või taha. Kui tegemist on ühemuutuja operaatoriga (näiteks ruutjuur), siis sõltub valik tehete järjekorrast (ruutjuure korral tuleks klikata seesmise muutuja ette). Kui sinine kursor asub operaatori järel, siis vajutage klahvi "BackSpace". Kui sinine kursor asub operaatori ees, siis vajutaga klahvi "delete". Kui pärast esimest vajutust kaob operaator ära, kuid selle asemele ilmub valge kastike, siis vajutage uuesti "delete" või kirjutage uus soovitud operaator.. Analoogiliselt saab kustutada muutujaid, sõltuvalt siis, kas sinine kursor asub muutuja ees või taga. Tõsi, kustutamine toimub tähthaaval. Pikemate avaldiste korral on kasulik kasutada hiirt (näiteks topeltklõps muutuja nimel ja siis "delete" klahv või kirjutada uus nimi). 3. Sulgude kustutamisel peab arvestama, et Mathcad kustutab ise automaatselt teise sulu. Sulge saab aktiivsele osale ümber lisada klahviga ' (ülakoma). Kui on võimalik avaldist mitmeti tõlgendada, siis tuleb sulud lisada ükshaaval. 3

4 Matemaatiliste avaldiste fondid Kui te klikkate hiirega valemi peal, siis võib kogu töölehel fonte muuta, valides vastaval menüüribal soovitud parameetrid. Kui te soovite mingis valemis saada teistest valemitest erineva tulemuse, siis valige hiirega valemis soovitud osa. Menüüst "Format" => "Equation..." saab muuta kasutajapoolse stiilinimega seotud parameetreid. Küll aga peate arvestama sellega, et näiteks mittepaksus kirjas x ja paksus kirjas x on erinevad muutujad, samuti tõlgendab Mathcad erinevate muutujatena, funktsioonidena näiteks erineva tekstisuurusega samanimelisi, erineva fondivalikuga samanimelisi muutujaid, funktsioone. Vormingu säilitamiseks tuleb tööleht salvestada ".mct", ".xmct" formaadis. Tekstiregioonid Tekstiregiooni saab luua, alustades kirjutamist jutumärkidest ". Teine võimalus on alustada kirjutamist ja pärast esimest sõna vajutada tühikut. Tekstiregiooni ei ole enam võimalik tagasi muuta matemaatikaregiooniks. Teksti sisse saab matemaatilist avaldist kas siis kopeeri-kleebi meetodil või menüüst "Insert" => "Math Region". Kui tekstiosa peaks tulema pikem ja on vaja, et sellele järgnev juba olemasolev osa liiguks ise samal ajal allapoole (ilma, et tekstipiirkond kataks alumise osa), siis võib menüüst valida "Format" => "Properties" => "Text" => "Push Regions Down As You Type". "Ctrl"+"Enter" viib tekstiregiooni just nii laiaks, kui lai oli rida kuni punase kursorini. "Ctrl"+"Shift"+"Enter" viib teid tekstiregioonist välja. "Ctrl"+"Nooleke" lubab liikuda sõnade ja ridade kaupa tekstiregiooni sees. "Shift"+"Enter" viib kursori uuele reale, kuid ei tekita vormistamise mõttes uut peatükki. Nimelt, kui vajutate tekstiregiooni sees tühja rea tekitamiseks lihtsalt Enter-klahvi, siis luuakse alati uus peatükk. Seda teadmist läheb vaja siis, kui soovite mingi peatüki sees saada näiteks ühtset tekstijoondust paremale, määrata taandridu jne. Valides menüüst "Format" => "Paragraph..." ja määrates soovitud parameetrid, rakendatakse sätteid tervele peatükile. 4

5 Tekstiregiooni saab lisada kreeka tähti (vastavalt paletilt või klahvidega "täht"+"ctrl"+"g"). Üldised märkused Operaatorite nuppude peal hiirega üle libistades näeb kiirklahvide kombinatsioone. Töö joondamiseks ei ole eriti palju automaatseid vahendeid, kuid on võimalik valida menüüst joonlaud "View" => "Ruler". Joonlaual saab märgistada viidad, mille järgi soovitakse joondada ja pärast viidal hiire parema kõrvaga klikates "Show Guideline" näeb vertikaalset joont. Neid viitasi saab ükshaaval nähtavaks ja nähtamatuks muuta. Trükkimiseks saab lehenumbrid lisada menüüs t "View" => "Headers and Footer...". Sealt samast saab seadistada päiste ja jaluste vorminguid ja sisu. Võimalik on lisada alasid ("Area"), mida saab klikates peita ja soovi korral parooliga lukustada. Kasulik võiks see olla näiteks siis, kui kuhugi esitamiseks, vormistamiseks ei soovita näidata arvutuskäiku kasvõi siis sel lihtsal põhjusel, et see võtab palju ruumi või ei ole tähtis. Lisaks on see kasulik, kui soovite kaitsta valmis tööd juhuslike muutuste eest. Sellise ala ülemist ja alumist joont saab töölehel eraldi liigutada nii, nagu iga teist regiooni. z = "Kus kohast küll x, y ja z said omale väärtuse?" x + y = 11 Võimalik on lisada nii programmisiseseid kui -väliseid viiteid ("Hyperlinks") analoogiliselt html-lehtede struktuuriga. Selleks valige hiirega soovitud tekst või klikake valemi või pildi peal ja valige "Insert" => "Hyperlink...". Toodud aknas saab määrata faili või veebilehe aadressi ja kas see avatakse hüpikaknas või tervikuna. Viite alla ilmub alakriips ja sellel tuleb klikata kiirelt kaks korda. Vaata, et sa siia ei vajuta :-D Mathcadi saab lisada ka fotosi, failina küll.bmp formaadis. Mugavam on pigem kasutada Windowsi enda "kopeeri pilt" ja "kleebi" meetodit. Arvusüsteemid Vaikimisi kasutatakse kümnendsüsteemi. Teiste süsteemide jaoks tuleb kirjutada arv, millele järgneb täht. Kui Mathcad kirjutab arvu ja tähe vahele korrutamise, siis saab selle klahviga "BackSpace" kustutada. Tulemusi saab näha teises formaadis, kui valida menüüst "Fromat" => "Result" = "Display Options" => "Radix". 17 = 11h 17 = 1o 5

6 -ndsüsteem, laiendiga "b" või "B". Näiteks 11b. 11b = 17 8-ndik süsteem, laiendiga "o" või "O". Näiteks 17o. 1O = ndik süsteem, laiendiga "h" või "H". Näiteks 8BCh. Tähega algava arvu korral tuleb alustada kirjutamist sümbolist null. Ah = 1 Imaginaarosa saab kirjutada, kui arv korrutada sümboliga "1i" või "1j", 1 ja i vahel ei ole korrutusmärki. + 1 = + i + j = + i Maatriksid ja vektorid Mathcad käsitleb vektoreid kui nx1 või siis 1xn mõõtu maatriksitena. Maatriksi saame lisada, kui valime "Matrix" paletilt "Matrix or Vector" või siis klaviatuurilt "Ctrl"+"M". Tekkivas dialoogi aknas määratakse maatriksi ridade ja veergude arv Kuvatavate mustade ruudukeste asemel tuleks maatriks sobivalt täita. Maatriksi sees annab liikuda noolte ja TAB klahviga Olemasolevale maatriksile saab lisada ridu ja veerge, kui klikata vajalikku elemendi peal maatriksis ja kasutada seda sama käsku, mis maatrikseid lisab. Tekkivas dialoogiaknas tuleb sisestada soovitud ridada ja veergude arv ning vajutada "Insert". Näiteks klikates elemendil "53" ja valides 1 veerg ja rida lisatakse elemendist "53" paremale üks veerg ja alla kaks rida. Analoogiliselt saab ridu kustutada samas dialoogiaknas nupuga "delete". Arvesse tuleb võtta, et kustutamisele kaasatakse rida ja veerg, millel klikatav element asub. 6

7 Muutujad ja funktsioonid 1. Muutujad Muutujate nimed võivad koosneda tähtedest, numbritest, alakriipsust, protsendimärgist (sellest teadmisest meile piisab). Näiteks: Vahvaid_Loomi, Mitte%Nii%Vahvaid%Loomi34. Muutujate nimed ei tohi alata numbritega. Mathcad loeb sellist konstruktsiooni kas siis ühikuteks või arvusüsteemideks (,8,16). Iluindeksid (alaindeksid) lisatakse punkti järele (kirjuta punkt ja siis alaindeks). Muutujate ja funktsioonide nimed on tõstutundlikud, s.t. Matcad teeb vahet suur- ja väiketähtede suhtes. Mathcad ei kasuta fikseeritud muutujute tüüpe, s.t. ühte tüüpi muutujaid võib hiljem kasutada teise tüübi muutujatena (arve sõnedena, täisarvulisele muutujale võib anda reaalarvulisi väärtusi jne). Kokkuvõtteks: erinevalt paljudest programmidest ei pea Mathcadis määrama muutujate tüüpe. Sellel omadusel on omad positiivsed kui ka oma negatiivsed tagajärjed. Muutujate omistamine. Märgiga ":=" ehk koolon ja võrdusmärk. Trükkimisel piisab koolonist, Mathcad lisab ise võrdusmärgi automaatselt. Omistamise korral tulemust ekraanile ei tooda. Kui muutujal varem väärtust ei ole, siis "=" vajutamisel muudab Mathcad selle omistamiseks ":=". ( x := 13.45) Sõned pannakse jutumärkide vahele. ( xyz := "Ööd on siin mustad!" ) Väärtuse küsimine. Arvutustulemusi ja muutujate väärtusi saab näha tavalise võrdumärgi "=" abil. Kui üksikul muutujal ei ole väärtust, siis Mathcad kirjutab "=" asemele omistamise ":=". Tavalist võrdusmärki saab tulemuse ekraanile toomiseks kirjutada ka omistamise rea lõppu. ( x) = ( y := x = 46.9 ) Arvutuste jaoks peab igal muutujal olema väärtus. Vastasel korral annab Mathcad veateate. Mathcad kuvab väärtuseta muutujad ekraanil punase värviga. Kui muutujal on varem väärtus olemas, siis Mathcad lisab muutuja alla rohelise lainelise joone, andes teada, et olemasolev väärtus kirjutatakse üle. Mitmele muutujale võib korraga väärtused anda, kasutades maatrikseid ja vektoreid. Maatriksite ja vektorite alaindeksid algavad indeksist. Seega tuleb indeksite kasutamisel olla hoolas. Antud väärtust saab muuta sobivamaks globaalse muutujaga ORIGIN. Vektorite ja maatriksite alaindeksid kirjutatakse vasakpoolse sulu "[" abil. Märgime, et selline alaindeks erineb sisuliselt punktiga kirjutatavast iluindeksist (kuigi on visuaalselt samad). ( x) = x y z := ( x) = 1 ( y) = 9 ( z) = 8 M := 1 3 ( M, ) 1 4 ( ) = 3 = M 1, 7

8 Muutujana võib vasakul pool olla ka maatriksi üks rida või veerg vastava ülaindeksina ("Matrix" paletilt "Matrix Column"). Defineerime maatriksi M. Muudame terve teise veeru nullideks. M := M 1 := ( M) = Globaalsed muutujad Globaalsed muutujad on sellised, mis defineeritakse töölehel suvalises osas ja need kehtivad samuti töölehe suvalises osas. Olgu toodud mõned tähtsamad süsteemisisesed globaalsed muutujad, mida saab muuta ka erinevate menüükäskude kaudu, kuid ka otse töölehel. TOL Määrab Mathcadi sisemiste algoritmide täpsuse. Vaikimisi on see 1 3. CTOL Määrab tingimuslausete arvutusliku täpsuse. Vaikimisi on see 1 3. CWD Määrab aktiivse kausta asukoha. FRAME Animatsioonide jaoks. ORIGIN Massiivide esimese indeksi määramiseks. Vaikimisi on see. Globaalsetele muutujatele antakse väärtused kolmerealise võrdumärgiga (valides paletilt "Evaluation"). Näiteks muutujatel e ja π on süsteemisiseselt juba väärtused olemas. Kui need üle kirjutada, siis samal lehel all poolt neid enam algse tähendusega kasutada ei õnnestu. Peab olema ettevaatlik sellise konstruktsiooni kasutamisel (s.t. samal töölehel enne lokaalset omistust on muutujal ikkagi endine globaalne väärtus). Kui on soov kasutada samanimelist globaalset väärtust nagu näiteks π, siis saab olukorra lahendada erineva fondi kasutamise teel. ( y 5) ( π) = 3.14 ( π := ) ( π) = ( π) = 3.14 ( π) = Kuna Mathcad lubab kasutada ühikuid, siis on paljudel lühikeste nimedega muutujatel olemas väärtused ühikute näol, näiteks gravitatsioonikonstant g. Ohtlik saab see olema siis, kui mõttes kasutate sama nimega muutujat, kuid unustate talle väärtuse anda (veateadete näol võib sellise olukorra avastada). ( g) = 9.87 m s Mathcadi töölehe lugemine 1. Mathcad loeb muutujaid mällu vasakult paremale ja ülevalt alla. Seejuures hallid eraldusjooned ekraanil näitavad ainult printimise ala, mitte lehtede järjekorda mällu lugemise mõttes.. Esiteks loetakse mällu kogu töölehe kõik globaalsed muutujad (omistusega ) ja seejärel loetakse aktiivse ekraaniosa kõik lokaalsed omistamised (omistamisega ":=") ja võrrandid (märkidega = ja ). Seega loeb Mathcad igat töölehte kaks korda. Globaalseid muutujaid võib üle kirjutada lokaalseteks (omistamisega ":="), kuid see ei ole soovitatav stiil. Samuti ei ole soovitatav stiil ühte globaalset suurust mitu korda üle defineerida (kuigi see on lubatud). 8

9 3. Arvutusi tehakse automaatselt ainult ekraani nähtavas osas (vasakult paremale ja ülalt alla), s.t. kui mingit muutujat ekraani nähtavas osas muuta, siis tehakse kõik sellest muutujast sõltuvad arvutused reaalajas uuesti. Kui kerida töölehte ekraanil üles või alla, siis uuendatakse arvutusi värskelt nähtavas alas (s.t. töölehte ei arvutata tervikuna, vaid ainult nähtava ekraaniosa kaupa). Näiteks ei arvutata esimesel real "zz" väärtust, kuna omistamine toimub all pool ja väärtuse küsimine üleval pool. ( zz := 1) ( zz) = ( zz) = Vahemikmuutujad Massiivide, jadade, vahemike jaoks annab kasutada vahemikmuutujaid (või ka indeksmuutujaid). ( i :=.. 3) Kirjuta muutuja nimi, koolon, algväärtus, semikoolon, lõppväärtus ehk näiteks "i:;3". Sellise muutuja korral arvutatakse igat tulemust nii mitu korda, kui suures vahemikus muutub defineeritud muutuja. NB! Arvestage, et pikemad arvutused võivad niimoodi väga palju aega võtta. Eriti kehtib see mitme erineva vahemikmuutuja kasutamise korral. Vahemikmuutuja sammu saab defineerida, kui algväärtuses kirjutada koma abil üles esimene ja teine väärtus. Samm arvutatakse Mathcadi poolt nende kahe väärtuse vahena. Maatriksite ja vektorite indeksite korral peab samm ja äärmised väärtused olema defineeritud täisarvudena. Lõppväärtust tõlgendatakse kui hulga tõket, s.t. arvutusi tehakse ainult kuni sellise väärtuseni, mis ei ületa toodud tõket. Samm võib olla ka negatiivne ja sel juhul peab tõke olema algväärtusest väiksem. ( i 3 ) = ( j := 3, ) ( j ) = ( j3 := 3.5, ) ( j3) = Skalaarse üksikmuutuja jaoks ei saa vahemikmuutujat kasutada (ilmub veateade). Külla aga saab vahemikmuutujat kasutada vektorite jaoks. Siin alaindeks on kirjutatud sulu "[" abil ja mitte iluindeksina punkti "." abil. ( uus_i := i + 1) ( xx := i i ) xx i ( ) =

10 Kokkuvõte Jälgi, mis järjekorras ja kus asuvad sinu omistamised ja funktsioonide defineerimised. Arvesta, et Mathcad loeb töölehte vasakult paremale ja ülevalt alla ning teeb seda kaks korda: esimesel korral loetakse sisse ainult globaalsed muutujad ja teisel korral kaasatakse lokaalsete muutujate lugemine. Arvutuste tegemiseks peab igal muutujal eelnevalt olema omistatud väärtus, vastasel korral saate veateate. Mathcad kastuab mitut võrdusmärgi versiooni: on globaalsete muutujate omistamiseks, ":=" on lokaalsete muutujate omistamiseks, "=" on väärtuse küsimiseks, lisaks on võrrandite jaoks olemas paks võrdusmärk = ning sümbolarvutuste jaoks veel nooleke. Vektorite ja maatriksite alaindeksid algavad vaikimisi indeksist. Vahemikmuutujate kasutamisel tehakse kõik arvutused ükshaaval uuesti nii mitu korda, kui suures vahemikus on defineeritud vahemikmuutuja. Kasutatud kirjandus [1] "Mathcad. User's Guide." USA, [] "Study Works! User Guide." (eesti keeles). Soome, 1997 (?). [3] Mati Heinloo. "Mathcad algajaile". Eesti Maaülikool, elektrooniline õppematerjal. 1

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Mathematica kasutamine

Mathematica kasutamine mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool. MS Exceli rakenduste loomise vahendid

Tallinna Tehnikaülikool. MS Exceli rakenduste loomise vahendid Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Irina Amitan, Jüri Vilipõld MS Exceli rakenduste loomise vahendid E-õpik Tallinn 2013 SISUKORD 1 RAKENDUSE OLEMUS JA PÕHIKOMPONENDID... 6 2 EXCELI STANDARDLIIDES...

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

Semantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva

Semantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva Semantiline analüüs Semantiline analüüs Semantiline analüüs kontrollib programmi kontekstuaalsete sõltuvuste korrektsust: leiab vastavuse defineerivate ja kasutusesinemiste vahel, leiab esinemiste tüübid

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Kuressaare Vanalinna Kool. Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele. Koostas: Eha Kask Pildid joonistas: Anne Metsamaa

Kuressaare Vanalinna Kool. Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele. Koostas: Eha Kask Pildid joonistas: Anne Metsamaa Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele Koostas: Pildid joonistas: Anne Metsamaa Uuendatud Kuressaares 2010 6 Kas Internet on ohtlik? Aga mis see informaatika veel on? Kohe vaatame!!

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Energiabilanss netoenergiavajadus

Energiabilanss netoenergiavajadus Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM

MATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397 Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus

Διαβάστε περισσότερα

KCalci käsiraamat. Bernd Johannes Wuebben Pamela Roberts Anne-Marie Mahfouf Tõlge eesti keelde: Marek Laane

KCalci käsiraamat. Bernd Johannes Wuebben Pamela Roberts Anne-Marie Mahfouf Tõlge eesti keelde: Marek Laane Bernd Johannes Wuebben Pamela Roberts Anne-Marie Mahfouf Tõlge eesti keelde: Marek Laane 2 Sisukord 1 Sissejuhatus 5 2 Kasutamine 6 2.1 Kasutamisest üldiselt.................................... 6 2.2 Lihtne

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu

Διαβάστε περισσότερα

1. Paisksalvestuse meetod (hash)

1. Paisksalvestuse meetod (hash) 1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Kihilised konstruktsioonid (Seinad, katused): U-arvu leidmine Niiskuse jaotus konstruktsioonis Temperatuuri jaotus konstruktsioonis

Kihilised konstruktsioonid (Seinad, katused): U-arvu leidmine Niiskuse jaotus konstruktsioonis Temperatuuri jaotus konstruktsioonis Kihilised konstruktsioonid (Seinad, katused): U-arvu leidmine Niiskuse jaotus konstruktsioonis Temperatuuri jaotus konstruktsioonis Energiakuluarvutus D.O.F. tech Oy 2006 SISUKORD 1 Teavet DOF-THERMi kohta...1

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas 2 Eessõna Kõik sai alguse sellest, et erinevates foorumites küsivad inimesed

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

Kas Androidi ostmiseks on õige aeg? Eesti esimene võrdlustest!

Kas Androidi ostmiseks on õige aeg? Eesti esimene võrdlustest! Uus ipod Nano Nüüd kaamera ja raadioga Pentax K7 Mida arvata järjekordsest kaamerast? Odav ja hea ka Poola värk Poolakate telefoni käib kaks SIM-kaarti Säästuaeg Testis ilma jalata kuvar Kas Androidi ostmiseks

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Square 43 LED

Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 2 www.electrolux.com SISUKORD 1. OHUTUSINFO... 3 2. OHUTUSJUHISED...

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika. EST meetod

Ehitusmehaanika. EST meetod Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.

Διαβάστε περισσότερα

Excel Statistilised funktsioonid

Excel Statistilised funktsioonid Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Koormus 14,4k. Joon

Koormus 14,4k. Joon + U toide + 15V U be T T 1 2 I=I juht I koorm 1mA I juht Koormus 14,4k I juht 1mA a b Joon. 3.2.9 on ette antud transistori T 1 kollektorvooluga. Selle transistori baasi-emitterpinge seadistub vastavalt

Διαβάστε περισσότερα

PORTATIIVNE KÄSIVINTS

PORTATIIVNE KÄSIVINTS MEHHATROONIKAINSTITUUT MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL PORTATIIVNE KÄSIVINTS MHX0020- PÕHIÕPPE PROJEKT Üliõpilane: Kood: Juhendaja:....... prof. Maido Ajaots Tallinn 2006 2 Sisukord Eessõna....lk...

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

RF võimendite parameetrid

RF võimendite parameetrid RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

Sõiduki tehnonõuded ja varustus peavad vastama järgmistele nõuetele: Grupp 1 Varustus

Sõiduki tehnonõuded ja varustus peavad vastama järgmistele nõuetele: Grupp 1 Varustus Majandus- ja kommunikatsiooniministri 13.06.2011. a määruse nr 42 Mootorsõiduki ja selle haagise tehnonõuded ning nõuded varustusele lisa 1 NÕUDED ALATES 1. JAANUARIST 1997. A LIIKLUSREGISTRISSE KANTUD

Διαβάστε περισσότερα