Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Transcript

1 Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester

2

3 . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b), b) iga ristkülik K r,r A) := { X = x, y ) : a r < x < a + r,b r < y < b + r } sisaldab ringi keskpunktiga A. Sõnastage ja tõestage sama ruumis R m.. Tõestage, et alamhulk D R m on tõkestatud parajasti siis, kui leidub selline r >, et D U r ). 3. Leidke limx n) ruumis R, kui n a) X n) = b) X n) = n, n + n ) ; n sin n, n + n ) n ) ; c) X n) = sin n ), )n ; d) X n) = ) n 7 3n, n3 + 3n n Olgu X n) A ja Y n) B ruumis R m. Veenduge, et X n) + Y n) A + B ja λx n) λa λ R). 5. Olgu D R m ning olgu A hulga D rajapunkt. Tõestage, et leidub hulga D punktide jada X n) ), mille korral X n) A. 6. Leidke järgmiste omadustega hulgad D ruumis R : a) D = D = D; b) D, D = ; c) D = [,], D = ; d) D D; e) hulgad D, D ja D on kõik erinevad. 7. Teatavasti nimetatakse mittetühja hulka D R m piirkonnaks, kui D D. Tõestage, et kehtivad järgmised väited. 3

4 a) Iga mittetühi lahtine hulk on piirkond. b) Hulk, mis sisaldab isoleeritud punkte, ei ole piirkond. c) Hulk D on piirkond parajasti siis, kui leidub lahtine hulk U nii, et U D U U. 8. Kirjeldage skitseerige) alamhulka D ruumis R. Otsustage, kas D on lahtine, kinnine ruumis R. a) D = { x, y ) : < x < 4, < y < } ; b) D = { x, y ) : < x + y 4 } ; c) D = { x, y ) : x + y = 65 } ; 9. Kirjeldage skitseerige) hulka, mis on määratud ruumis R 3 järgmiste võrranditega või võrratustega. Otsustage, kas see hulk on lahtine, kinnine ruumis R 3. a) z = ; b) y ; c) y = x; d) x + y = ; e) z = y ; f) x + z = 4; g) z = x + y { ; x =, h) y = z; i) x ) + y + ) + z 3) < 4.. Skitseerige või kirjeldage funktsiooni f graafikut: a) f x, y ) = ; b) f x, y ) d) f x, y ) = x + y ; = 4 x 4y; c) f x, y ) = 9 x y ; e) f x, y ) = x y ; f) f x, y ) = x ; g) f x, y ) = sin y.. Leidke f y, x), f x, y), f x, ) ja y f x, y), kui f x, y) = x y x y. Funktsiooni f : R R tasemejooneks tasemel k) nimetatakse punktihulka {x, y): f x, y) = k}. Funktsiooni f : R 3 R tasemepinnaks tasemel k) nimetatakse punktihulka {x, y, z): f x, y, z) = k}.. Skitseerige järgmiste funktsioonide tasemejooned/tasemepinnad. a) f x, y) = x + y; b) f x, y) = x + y ; c) f x, y) = x y ; d) f x, y) = x y; e) f x, y) = x y ; f) f x, y) = x x + y ; g) f x, y, z) = x + y + z; h) f x, y, z) = x + y + z ; i) f x, y, z) = x + y z. 3*. Olgu D R m kinnine hulk ning olgu fikseeritud positiivne reaalarv r. Tähistame E = {Y R m : X D X Y = r }. Tõestage, et E on samuti kinnine hulk. 4*. Rahuldagu jada X n)) R m liikmed iga n N korral tingimust X n+) X n) < n. Tõestage, et jada X n)) on koonduv.. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus 5. Tõestage piirväärtuse definitsioonist lähtudes, et 4

5 ) a) lim 3x + 4y = 8; X,3) ) b) lim 4y 5x = 53; X 5,7) c) lim x y ) = 3; X, ) d) lim X,) e) lim f) lim X,) y 3x ) = 5; x y = ; X,) x + y ) = 3; g) lim x + y ) = ; X,) h) lim X,) x + y ) = ; i) lim X,) x y = ; j) lim X x + y sin x = ; k) lim X x + y ) =. 6. Leidke piirväärtused või tõestage, et piirväärtust ei leidu: x y + x + y a) lim x,y),) x + y ; i) lim X x + y ; ) b) lim x + y sin x,y),) x sin x + y y ; j) lim X x + x y + y ; ln x y ) x y k) lim c) lim x,y),) x sin y ; x,y),) x + y ; x + y sin x y l) lim d) lim ; X x 4 + y 4 ; x,y),a) x x + y tanx y m) lim e) lim x,y),) x X x 3 + y 3 ; y f) lim + x y ) x y x y ; n) lim x,y),) x + y. x,y),3) ) ) g) lim x + y e x +y ) o) lim x + y ln x + y ) ; ; x,y),) X x h) lim x + y ; x + x y + y p) lim x x y + y ; x,y),) 7. Näidake, et piirväärtus lim x,y),) x,y),) f x, y) on olemas, kuid korduvaid piirväärtusi lim x lim y f x, y) ja lim lim f x, y) ei eksisteeri: y x a) f x, y) = x + y)sin x sin y ; b) f x, y) = x y)cos cos y sin x y. 8. Kas funktsioon f on pidev punktis? a) f x, y ) sin x + y ), kui x + y, = x + y, kui x + y = ; b) f x, y ) = x y x 4 + y 4, kui x4 + y 4,, kui x 4 + y 4 = ; c) f x, y ) x y = x + y, kui x + y,, kui x + y = ; d) f x, y ) = x + y ; e) f x, y ) x y = x + y, kui x + y,, kui x + y = ; 5

6 f) f x, y ) { = g) f x, y ) = x y sin, kui x, x, kui x = ; x y x + y, kui x + y,, kui x + y = ; h) f x, y ) {, kui x Q ja y Q, =, kui x Q või y Q; i) f x, y ) = { x + y, kui x Q ja y Q,, kui x Q või y Q. 9. Tõestage, et kui m muutuja funktsioon f : D R on pidev ja f A) >, kus A on piirkonna D R m sisepunkt, siis leidub selline ümbrus U ε A), et f X) > iga X U ε A) korral.. Olgu kahe muutuja funktsioon f : D R pidev hulga D sisepunktis A = a,b). Veenduge, et osafunktsioonid f ja f, mis on defineeritud seostega f x) := f x,b) ja f y ) := f a, y ), on pidevad vastavalt punktis a ja b.. Olgu A = a,b) hulga D sisepunkt. Kas funktsiooni f : D R pidevus punktis A on samaväärne sellega, et osafunktsioonid f ja f on pidevad vastavalt punktis a ja b?. Tõestage, et kui kahe muutuja funktsioon f : D R on pidev sisepunktis A, siis leidub punkti A selline ümbrus U ε A), milles f on tõkestatud, s.t. leidub M >, et f X) M iga X U ε A) korral. 3. Näidake, et kui kahe muutuja funktsioonid f ja g on punktis A pidevad, siis ka funktsioonid f + g ja f g on selles punktis pidevad. 4*. Olgu antud lahtine hulk U R ning funktsioon f : U R. Olgu täidetud järgmised tingimused. a) f on mõlema muutuja järgi eraldi võttes pidev hulgas U see tähendab, iga a, b) U korral tekkivad osafunktsioonid f ja f on pidevad vastavalt punktis a ja punktis b), b) f on muutuja y järgi kasvav see tähendab, iga a,b) U korral osafunktsioon f on kasvav). Tõestage, et f on hulgas U pidev funktsioon. 3. Mitme muutuja funktsioonide diferentseerimine 5. Leidke esimest järku osatuletised: a) f x, y ) = arctan x + y x y ; b) f x, y ) = x y ln x y ) ; c) f x, y ) x = arcsin x + y ; d) f x, y, z ) = x y + y z z x ; e) f x, y, z ) = sin x y + yz ) ; f) f x, y ) = cos x cos y. 6. Olgu f selline kahe muutuja funktsioon, et tal leiduvad punkti A ümbruses K δ A) lahtine kuup) mittenegatiivsed osatuletised mõlema muutuja järgi. Tõestage, et f on kasvav järgmises mõttes: kui x, y ),x, y ) K δ A), kusjuures x x ja y y, siis f x, y ) 6

7 f x, y ). 7. Rahuldagu funktsioon f : R \{} R seost f x x, y) = y x + y, kus x, y) R. Leidke f. 8. Olgu D = R \ {, y): y R} ning rahuldagu funktsioon f : D R seost f x, y) = x x + y, kus x, y) D, ja f, y) = sin y, kus, y) D. Leidke f. x 9. Läbi pinnal z = x +y asuva punkti M,,6) on tõmmatud xz-tasandiga ja yz-tasandiga paralleelsed tasandid. Leidke, millised on nurgad punktis M tekkivate lõikejoonte puutujate ja koordinaattelgede vahel. 3. Põhjendage, et funktsioon f on punktis A diferentseeruv ning leidke tema täisdiferentsiaal selles punktis: a) f x, y ) = e x y, A =,); b) f x, y ) = x y, A =,3); c) f x, y ) = x ln x y ), A =, ); d) f x, y ) = arctan x + y x y, A =,); e) f x, y, z ) = cos x y + xz ), A =, π 6, π ) ; 6 f) f x, y, z ) = yz x, A =,,3). 3. Kontrollige, kas funktsioon w = f x, y ) on punktis =,) pidev, kas tal on selles punktis lõplikud osatuletised, kas ta on selles punktis diferentseeruv, kaks korda diferentseeruv: a) f x, y ) = x + y ; b) f x, y ) = h) f x, y ) x y = x y ; x, kui x, y), + y c) f x, y ) = 4 x 4 + y 4 ; d) f x, y ) = x y 4 ; e) f x, y ) {, kui x = või y =, =, kui x ja y. f) f x, y ) { x y = x, kui x, y), + y, kui x, y) = ; g) f x, y ) x y = x, kui x, y), + y, kui x, y) = ; i) f x, y ) =, kui x, y) = ; { x + y, kui x, y) Q,, kui x, y) Q ; j) f x, y ) { x + y, kui x, y) Q, =, kui x, y) Q ; x + y) sin x + y, k) f x, y ) = kui x, y),, kui x, y) =. 3. Olgu kahe muutuja funktsioon f punktis A diferentseeruv. Olgu l = l,l ). Arvutage tuletis suunas l, mis on defineeritud seosega f f A + tl) f A) A) := lim. l t t l 33. Leidke funktsiooni z = x 3 x y + x y + tuletis punktis M,) punkti N4,6) suunas. 34. Mingil mäel on punktis x, y) kõrgus merepinnast määratud seosega z = 5 3x 4y meetrites). x-telje positiivne suund osutab itta ning y-telje positiivne suund osutab põhja. Alpinist asub punktis 5,,45). 7

8 a) Kui alpinist liigub otse läände, kas ta liigub kõrgemale või madalamale? b) Kui alpinist liigub kagu suunas, kas ta liigub kõrgemale või madalamale? c) Millises suunas peaks alpinist liikuma, et ta liiguks mööda samakõrgusjoont? 35. Koostage pinna puutujatasandi ja normaali võrrand punktis A: a) z = x y, A =,,); b) z = x + y, A =,,); c) z = x 3 + y 3, A =,,); d) z = e x+y, A =,,); a) z = x + y pöördparaboloid); e) z = x + y, A =,,5); f) z = x + y, A =,,3); g) z = sin x y ), A =, π ) 3 3,. 36. Kas tasand z = on punktis =,,) puutujatasandiks pinnale b) z = x + y koonus); c) z = x y hüperboolne paraboloid)? 37. Olgu funktsioonidel f : D R ja g : D R lõplikud osatuletised punktis A = a,b) D. Veenduge, et siis ka funktsioonidel f + g ja f g on punktis A lõplikud osatuletised ning f + g ) A) = f ) g A) + x x x A) ja f g A) = g A) f g A) + f A) x x x A). 38. Veenduge, et kui f ja g on diferentseeruvad punktis A, siis ka f + g ja λf λ R) on diferentseeruvad punktis A ja ) d f + g ) = df + dg ; ) d λf ) = λdf kus λ R). 39*. Olgu antud kahe muutuja funktsioon f : D R ning A D. Ülesande 3 põhjal on teada, et kehtivad implikatsioonid f on diferentseeruv punktis A l = l,l ) f A) R, l f f f on diferentseeruv punktis A, A) = x y A) = l = l,l ) f A) =. l Kas emb-kumb neist implikatsioonidest on üldiselt pööratav? 4. Liitfunktsioonide diferentseerimine. Taylori valem 4. Leidke ühe muutuja liitfunktsiooni F tuletis, kui a) f x, y ) = e x 3y ja x = sin t, y = cos t; 3 b) f x, y ) = ln x y ) ja x = t, y = t 3 ; c) f x, y, z ) = x yz ja x = sin t, y = cos t, z = t; 4. Leidke osatuletised F F ja x y, kui 8 d) f t, x, y ) = t +x +y ja x = t, y = t; e) f t, x, y ) = tan t + x y ) ja x = t, y = t 5.

9 a) f u, v) = u v ja u = x cos y, v = x sin y; b) f u, v) = u ln v ja u = x + y, v = ex+y ; c) f u, v) = ue v ja u = x, v = x ln y; d) f u, v) = arccot u v ja u = x sin y, v = x cos y; e) f u, v) = u v ja u = x sin y, v = x cos y. 4. Selgitage, miks liitfunktsioon on diferentseeruv ja leidke tema täisdiferentsiaal: a) f u, v) = uv ja u = e x +, v = x; b) f u, v) = u sin v ja u = cos x, v = x + ; c) f u, v) = u ln v ja u = x +, v = y + ; d) f u, v) = u + v ja u = x + y, v = x y, e) f u, v, w) = uvw ja u = x+y, v = e x y, w = x; 43. Selgitage diferentseeruvust ja leidke näidatud järku täisdiferentsiaalid: a) f x, y ) = x + y + ) 5, d 4 f ; b) f x, y, z ) = cos x + 3y 5z ), d 6 f. 44. Näidake, et funktsiooni x y x y f x, y) = x, kui x, y), + y, kui x, y) =, f korral y x ) f ). Milline segaosatuletiste teoreemide eeldustest on rikutud? x y 45. Määrake funktsiooni u = ux, y) üldavaldis, kui ta rahuldab seost a) u x y = ; b) u x =. Olgu U lahtine hulk ruumis R ning f : U R kaks korda diferentseeruv funktsioon. Kujutust := x + y nimetatakse Laplace i operaatoriks. Kui f =, siis öeldakse, et f on harmooniline funktsioon. 46. Tõestage, et hulk {f : U R f = } on alamruum hulgas U kaks korda diferentseeruvate funktsioonide vektorruumis. 47. Tooge näide mõnest funktsioonist f : R R, mis on kaks korda diferentseeruv R -s, aga ei ole harmooniline. 48. Olgu U lahtine hulk ruumis C ning f : U C diferentseeruv ehk hulgas U holomorfne) funktsioon, see tähendab, eksisteerigu lõplik tuletis f f z) f z ) z ) = lim iga z U z z z z korral. Esitades z = x + iy korral f z) = ux, y) + ivx, y) näidake, et hulgas U rahuldavad u ja v Cauchy-Riemanni võrrandeid, see tähendab, u x = v u ja y y = v x. 49. Avaldage Cauchy-Riemanni võrrandid polaarkoordinaatides, arvestades, et x = r cosϕ 9

10 ja y = r sinϕ. 5. Olgu U lahtine hulk ruumis C ning f : U C diferentseeruv funktsioon. Esitame z = x + iy korral f z) = ux, y) + ivx, y). Näidake, et u ja v on harmoonilised funktsioonid. Näpunäide: Kompleksmuutuja funktsioonide teoorias näidatakse, et kui f on lahtises hulgas U diferentseeruv, on ta hulgas U lõpmata arv kordi diferentseeruv, mistõttu võib eeldada, et esituse z = x +iy, f z) = ux, y) + ivx, y), korral on funktsioonidel u ja v olemas pidevad teist järku osatuletised. 5. Olgu U lahtine hulk ruumis R. Harmoonilisi funktsioone u : U R ja v : U R, mis rahuldavad Cauchy-Riemanni võrrandeid, nimetatakse kaasharmoonilisteks. Leidke kaasharmooniline funktsioonile a) ux, y) = x y ; b) ux, y) = e x sin y. 5. Näidake, et järgmised funktsioonid on harmoonilised funktsioonid oma määramispiirkonnas: a) f x, y) = lnx + y x ); b) f x, y) = x + y ; c) f x, y) = arctan y x ; Saab näidata, et lahtise hulga U R ja harmooniliste funktsioonide u, v : U R korral kehtivad järgmised väited: kui u ja v on üksteise kaasharmoonilised, siis funktsioon f : U R, kus U = {x + iy : x, y) U }, mis on antud seostega Ref = u, Imf = v, on diferentseeruv hulgas U ; u jaoks kehtib maksimumi printsiip: iga kinnise hulga B U korral saavutab u hulgas B ekstremaalsed väärtused ainult hulga B rajajoonel B; u jaoks kehtib keskväärtusprintsiip: kui Bp, r ) on kinnine kera keskpunktiga p raadiusega r, siis up) = u ds I liiki joonintegraal). πr S r 53. Leidke funktsiooni f Taylori valem punktis,), kui n = 3: a) f x, y ) = e y cos x; b) f x, y ) = e x sin y; c) f x, y ) = e x ln + y); d) f x, y ) = ln + x + y ) ; 54. Leidke funktsiooni f Taylori valem punktis A, kui n = 3: a) f x, y ) = e x+y, A =, ); b) f x, y ) = x y, A =,); e) f x, y ) = x cos y; f) f x, y ) = y sin x. c) f x, y ) = ln x y ), A =,). 55. Arvutage Taylori valemi n = ) abil ligikaudne väärtus: a),3,4 ; b),3,98; c) 3,97,3 ; d) ln 3,3 + 4,98 ). 56. Tuletage Taylori valemi n = ) abil järgnevate avaldiste ligikaudse arvutamise valemid:

11 a) arctan α β α, β ); b) + α) m + + β) n α, β ). 57*. Olgu funktsioonil f : R m R pidevad osatuletised, kusjuures leidugu K > nii, et f X) x K j kõigi punktide X R m ja indeksite j =,...,m korral. Tõestage, et f on Lipschitzi funktsioon, st. leidub konstant L > selliselt, et mistahes punktide X,Y R m jaoks kehtib võrratus f X) f Y) L X Y. 5. Ilmutamata funktsioonid ja ekstreemumid 58. Tehke kindlaks, kas võrrand F x, y ) = määrab punkti A = a,b) ümbruses pideva ilmutamata funktsiooni y = f x). Juhul, kui määrab, siis leidke tuletis f a), kui ta leidub. a) F x, y ) = x x y + y + x y, A =,); b) F x, y ) = y + x x 4, A =,); c) F x, y ) = xe y + ln x + y + ), A =,); d) F x, y ) = x 4 x y + y, A =,); e) F x, y ) = y x 3 + sin y, A =,). f) F x, y ) = 5x 7x y y 53x + 8y + 44, A =,). g) F x, y ) = x + y ) x y ), A =,). 59. Leidke f, kui f on järgmise võrrandiga antud ilmutamata funktsioon: a) ln x + y = arctan y x ; d) y + sin y + e x = ; b) y εcos y = x, kus ε,); e) x + y = e x y ; c) sin x y =,x y; f) y + x y =. 6. Tehke kindlaks, kas võrrand F x, y, z ) = määrab punkti A = a,b,c) ümbruses pideva ilmutamata funktsiooni z = f x, y ). Arvutage ka f f a,b) ja a,b), kui nad eksisteerivad. x y a) F x, y, z ) = z 3 x yz + y 6, A =,4,); b) F x, y, z ) = x + y + z r, A = a,b,c), kus c := r a b ; c) F x, y, z ) = z 3 3x yz 8, A =,,). 6. Leidke ilmutamata funktsiooni z = f x, y) osatuletised, kui f on antud järgmise võrrandiga.

12 a) x + y + z = e x y z ; c) x + y + z = x yz; b) x z = ln z y + ; x d) a + y b + z c =. 6. Leidke kahe muutuja funktsiooni f lokaalsed ekstreemumid: a) f x, y ) = x x y + y ; b) f x, y ) = x x y y ; c) f x, y ) g) f x, y ) x y = x, kui x, y), + y = x x y + y + x; d) f x, y ), kui x, y) = ; = x 3 + y 3 x x y y ; e) f x, y ) h) f x, y ) = x y + x + y ) ; = x + y ; f) f x, y ) = x 3 y 3 i) f x, y ) = + x y 3x + 6y; + x + y ; 63. Leidke kolme muutuja funktsiooni f lokaalsed ekstreemumid: a) f x, y, z ) = x + x y + y zx + z + 3y ; b) f x, y, z ) = x + y + z x + 4y 6z + ; c) f x, y, z ) = x + y 4x + z y +, kui x >, y >, z >. z 64. Leidke harilikule ekstreemumile taandamise meetodil funktsiooni f ekstreemum antud tingimustel: a) f x, y ) = x y, y = x 3 3x; b) f x, y ) = x y ), y = x ; c) f x, y ) = x + y x, a + y b = ; d) f x, y, z ) = x + y + z, z x =, y xz =. 65. Leidke Lagrange i meetodil funktsiooni f ekstreemum antud tingimustel: a) f x, y ) = 6 4x 3y, x + y = ; b) f x, y ) = x + y, x + y = ; c) f x, y, z ) = x y + z, x + y + z = 9; d) f x, y, z ) = x + y + z, x + y + z = 6, x y =. 66*. Olgu antud funktsioonid f : R R ja F : R R ning punkt A R. Olgu funktsioon F pidev ruumis R ja funktsioonidel F ja f pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi ruumis R, kusjuures F A). y ) f f Olgu f A) := A), x y A), kusjuures funktsioonil f olgu tinglik lokaalne ekstreemum punktis A tingimusel F x, y) =. Tõestage, et vektorid f A) ja A), ) F F x y A) on kol-

13 lineaarsed. 6. Joonintegraalid 67. Olgu γ: [,] R antud seosega γ) = ja γt) = t, t cos π ). Tõestage, et L := t γ[,]) on pidev ja lihtne, aga mitte sirgestuv joon. Näpunäide: uurige kõõlmurdjooni, mis on määratud punktidega t =, t j = n + j, j =,...,n. 68. Olgu γ: [a,b] R Lipschitzi mõttes pidev funktsioon, st. leidugu K R omadusega γt) γt ) K t t mistahes punktide t, t [a,b] korral. Olgu L := γ[a,b]) lihtne. Tõestage, et L on sirgestuv joon ning L K b a). 69. Arvutage esimest liiki joonintegraalid: ) a) x + y ds, kui L on kolmnurk tippudega O =, A =,) ja B =,); L b) e x +y ds, kui L on ringi sektori r a, θ π L 4 rajajoon; c) y ds, kui L on tsükloidi x = a t sin t), y = a cos t) kaar t π); L d) x + y ds, kui L on ringjoon x + y = ax, a > ; L 3z e) L x ds, kui L on kruvijoone x = a cos t, y = a sin t, z = at esimene keerd t π); + y f) z ds, kui L on koonilise kruvijoone x = t cos t, y = t sin t, z = t kaar t a). L 7. Leidke materiaalse joone L mass, kui a) L on antud võrrandiga y = ln x x e) ja joontihedusega ρ x, y ) = kx ; b) L on antud võrranditega x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t t ln3) ja ρ x, y, z ) = ρ. 7. Olgu L = γ[a,b]) lihtne pidev sirgestuv joon. Defineerige lõigu T alajaotusele vastavad joonintegraali f ds Darboux ülem- ja alamsummad st ) ja ST ). Tõestage, et tõkestatud L funktsiooni f : L R korral kehtib samaväärsus f ds R L lim ST ) st )) =. λt ) 7. Olgu L lihtne pidev sirgestuv joon. Tõestage, et kui f : L R on pidev, siis leidub esimest liiki joonintegraal f ds R. L 73. Sõnastage ja tõestage I ning II liiki joonintegraali lineaarsuse omadus. NB! Riemanni 3

14 integraalile arvutusvalemi abil mitte üle minna, kuna see vajab joone siledust!) 74. Sõnastage ja tõestage I liiki joonintegraali monotoonsuse omadus ning keskmise muutuja omadus nn. sändvitšiteoreem). Kas II liiki joonintegraal on üldiselt monotoonne? 75. Arvutage teist liiki joonintegraalid: a) x y dx+x dy, kus O =,), B =,) ja OB i) on sirge y = x, ii) on parabool y = x, OB iii) koosneb sirglõikudest OA ja AB, kus A =,); ) ) b) x + y dx + x y dy, kus Γ on ringjoon x ) + y ) = 4; Γ ) c) y dx + x dy, kus L on tsükloidi x = t sin t, y = cos t kaar t π); L ) ) d) 4x + y dx + x + 4y dy, kus AB on punkte A =,), B =,) ühendav joon y = AB x 4 ; e) y dx + z dy + x dz, kus L on kruvijoon x = cos t, y = sin t, z = t t π). L 76. Olgu L lihtne sile sirgestuv joon ruumis R ning τx) = τ X),τ X)) olgu ühikpuutujavektor joonele L punktis X L. Olgu f : L R pidev funktsioon. Tõestage, et f dx = f τ ds, f dy = f τ ds. L L 77. Leidke joonintegraali abil tasandilise kujundi D pindala, kui ta on piiratud astroidiga x = a cos 3 t, y = b sin 3 t t π). 78. Olgu x y-tasandil jõud F suunatud igas punktis Mx, y) punkti poole ja tema suurus F olgu võrdne punkti M kaugusega punktist. Leidke jõu töö A, mis on kulunud punkti nihutamiseks mööda parabooli y = 8x kaart punktist,4) punkti 4,4 ). 79. Jõud konstantse suurusega F on x y-tasandi igas punktis x-telje suunaline. Leidke jõu töö A, mis kulub punkti nihutamiseks mööda ringjoont x +y = a negatiivses suunas punktist, a) punkti a,). 8. Arvutage teist liiki joonintegraalid: ) ) a) x + y dx + x y dy, kus A =,), B =,3); AB b) y dx + x dy, kus A =,), B =,3); AB c) x dx + y dy, kus A =,), B =,3); AB y dx x dy d), kus punkte A =,), B =,) ühendav joon ei lõika y-telge. AB x 8*. Leidke pindade x + y = x ja z = x ühisosaks oleva kaare pikkus. Avaldage tulemus järgmiste suuruste kaudu: esimest liiki elliptiline integraal K k) = π 4 L L dθ k sin θ, k ;

15 π teist liiki elliptiline integraal Ek) = k sin θ dθ, k. 8*. Olgu antud funktsioon f : [a, b] R. Tähistame { n V f ; s, t) = sup f xk ) f x k ) } : s = x < x <... < x n = t. k= Suurust V f ; a,b) nimetatakse funktsiooni f täisvariatsiooniks; kui V f ; a,b) R, siis öeldakse, et f on lõigus [a,b] tõkestatud variatsiooniga. Tähistame veel v f x) = V f ; a, x), x [a,b]. Ilmselt v f a) = ja v f : [a,b] R on kasvav funktsioon. Tõestage, et a) kui f on punktis x [a,b) paremalt pidev, siis v f on punktis x paremalt pidev; b) kui f on punktis x [a,b] pidev, siis v f on punktis x pidev; c) kui v f on punktis x [a,b] pidev, siis f on punktis x pidev. Näpunäited. Osa a) jaoks piisab näidata, et lim x x + V f ; x, x ) =, seda võiks teha ε-δ keeles. Osa c) juures tasub uurida võrratuse f x) f x ) v f x) v f x ) kehtivust. Märkus. Asendades absoluutväärtused normidega, näitab ülesanne 8, et kui joon γ: [a, b] R m on sirgestuv, siis γ on pidev mingis punktis) parajasti siis, kui kaarepikkuse funktsioon t {γu): u [a, t]} on pidev samas punktis). 83*. Tõestage, et ellipsi x a + y = pikkus C rahuldab võrratusi b πa + b) < C < π a + b ). Näpunäide: Joone kaare pikkuse valem. 7. Kahekordsed integraalid 84. Arvutage kahekordsed integraalid: a) x dx dy, kui D on kolmnurk tippudega,), 3,3) ja,); D b) x dx dy, kui D on piiratud joontega y + 3x 6 = ja y = 3x ; D c) x + y ) dx dy, kui D on piiratud joontega y = x ja y = x ; D d) x y dx dy, kui D on piiratud joontega y + x =, y = x + ja x = ; D e) x dx dy, kui D on trapets tippudega,4), 5,4),,) ja 4,). D 5

16 85. Arvutage kahekordsed integraalid, minnes üle elliptilistele) polaarkoordinaatidele: a) x y ) dx dy, kui D on määratud võrratustega y, x ja x + y R ; D b) x + y dx dy, kui D on määratud võrratustega y + x ), y ; D c) 6 x 3y dx dy, kui D on määratud võrratusega x D 3 + y ; d) x dx dy, kui D on piiratud joonega x + y = 4x y + 4; D e) x y dx dy, kui D asub joonte x + y ) = 4 ja x + y ) = vahel. D 86. Leidke tasandilise kujundi D pindala kahekordse integraali abil: a) D on piiratud joontega x y = a, x + y =,5a a > ); b) D on piiratud joontega r = b cosθ ja r = a cosθ, kus < a < b; c) D on piiratud joontega r cosϕ = sirge) ja r = ringjoon), kusjuures D ei sisalda poolust; d) D on piiratud joontega x = ay, x = by, y = αx, y = βx, kus < a < b, < α < β. Näpunäide: võtke kasutusele uued tundmatud u, v, kus x = uy, y = vx. [ 87. Tasandiline kujund D on piiratud joontega y = sin x x, π ] π ) ) ja A, kus A,. Leidke kujundi D raskuskeskme koordinaadid. 88. Leidke kardioidi r = a + cosϕ) a > ) raskuskeskme koordinaadid. 89. Tõestage, et ühepunktine hulk on nullmõõduga. 9. Olgu D = {x, y) [,] : x, y Q}. Tõestage, et D ei ole Jordani mõttes mõõtuv. 9. Tõestage, et nullmõõduga hulga iga alamhulk on mõõtuv ja samuti nullmõõduga. 9. Tõestage, et kahe nullmõõduga hulga ühend on nullmõõduga. Järeldage siit, et iga lõplik hulk on nullmõõduga. 93. Tõestage, et kui D ja D on Jordani mõttes mõõtuvad, siis D D, D D ja D \ D on samuti Jordani mõttes mõõtuvad. 94. Olgu f : [a,b] R pidev funktsioon. Tõestage, et f graafik { x, f x) ) : x [a,b] } on nullmõõduga hulk. 95. Tõestage, et lahtine kera U δ A) on Jordani mõttes mõõtuv ja leidke tema mõõt. 96. Tõestage, et Jordani mõõt on monotoonne: kui D ja D on mõõtuvad hulgad ruumis R, kusjuures D D, siis µd ) µd ). 97. Tõestage, et kui D on mõõtuv piirkond st. mittetühi ja D D ), siis µd) >. 98. Tõestage, et Jordani mõõt on subaditiivne: kui D ja D on mõõtuvad hulgad ruumis R, siis µd D ) µd ) + µd ). 99. Olgu D R selline tõkestatud hulk, et hulgad D, D ja D on kõik Jordani mõttes mõõtuvad. Tõestage, et µd) = µ D ) = µd ).. Leidke ruumilise kujundi Ω ruumala: 6

17 a) Ω on piiratud pindadega x =, y =, z = ja x + y + z = ; b) Ω on piiratud pindadega y = x, y =, x + y + z = 4, z = ; c) Ω on piiratud pindadega x =, y =, z =, x + y = ja z = x + y + ; d) Ω on piiratud pindadega z =, z = x + y ja x + y = ; e) Ω on piiratud pindadega x + y = 3 ja z = x + y Leidke risttahuka [, a] [, b] [, c] mass, kui risttahuka tihedus punktis x, y, z) avaldub seosega ρx, y, z) = x + y + z.. Leidke paraboloidiga y + z = 4x ja tasandiga x = piiratud keha raskuskeskme koordinaadid. 3*. Olgu R = [a,b] [c,d]. Kas leidub funktsioon f : R R nii, et f on integreeruv ristkülikus R = [a,b] [c,d], aga tingimus iga ξ [a,b] korral leidub d c f ξ, y)dy on rikutud? Kas leidub funktsioon f : R R nii, et iga ξ [a,b] korral leidub pole integreeruv ristkülikus R? d c f ξ, y)dy, aga f 8. Pindintegraalid 4. Leidke pinna iseärased punktid: a) pind on antud seostega x = uv, y = u, z = v, kus u, v) [ 3,3] [ 3,3] Whitney vihmavari); b) pind on antud seostega x = ϕu), y = ψu), z = v, kus u, v) R mingi ristküliku R korral; c) pind on antud seostega x = u v, y = uv, z = u 5, kus u, v) [ 3,3] [ 3,3]. 5. Leidke pinna puutujatasand antud punktis X : a) pind on antud võrrandiga z = x 3 + y, punkt X =,,); b) pind on antud parameetriliste võrranditega x = r, y = r sin t, z = r cos t, punkt X =, ) 3/, / ; c) pind on antud ) parameetriliste võrranditega x = a cosϕ, y = a sinϕ, z = h, punkt X = a, a, a > ). 6. Olgu Ω sile kordsete punktideta pind, mille korral z = st. Ω asub x y-tasandil). Pind Ω on parametriseeritud x = ϕu, v), y = ψu, v), z =, kus u, v) ja on kinnine mõõtuv piirkond uv-tasandil.) Olgu funktsioon f selline, et leidub esimest liiki pindintegraal I := f dµ R. Tõestage, et siis kahekordne integraal f dx dy ja teist liiki pindintegraali Ω 7 Ω

18 absoluutväärtus f dx dy on mõlemad võrdsed arvuga I. Tooge näide sellisest pinnast Ω Ω, kus f dµ = f dx dy. Ω Ω 7. Leidke antud pinnatüki pindala: a) hüperboolse paraboloidi z = x y see osa, mis on silindri x + y = 8 sees; b) sfääri x + y + z = a see osa, mis asub silindri x + y = ax sees a > ); c) sfääri x + y + z = a see osa, mis asub silindri x + y = b sees < b a). 8. Arvutage esimest liiki pindintegraalid: a) x y dx dy dz, kus Ω on poolsfäär x + y + z =, z ; Ω b) x + y + z ) dx dy dz, kus Ω on koonuse x + y z h pind koos ülemise Ω põhjaga); ) c) 6x + 4y + 3z dx dy dz, kus Ω on tasandi x +y +3z = 6 see osa, mis asub esimeses Ω oktandis; d) z dx dy dz, kus Ω on pinna z = x y see osa, mis on silindri x + y = 4 sees. Ω 9. Leidke silindri x + y = a selle osa mass, mis asub tasandite z = ja z = c vahel, kui pindtihedus igas punktis on pöördvõrdeline selle punkti kauguse ruuduga koordinaatide alguspunktist.. Leidke massikeskme koordinaadid homogeense sfääri x +y +z = a osal, kus x, y, z.. Arvutage teist liiki pindintegraalid: ) a) x y dx dy, kus Ω on koonuspinna z = x + y, z alumine pool; Ω b) x dy dz + y dz dx + z dx dy, kus Ω on sfääri x + y + z = a välimine pool; Ω c) x dy dz +y dz dx +z dx dy, kus Ω on tasanditega x =, y =, z =, x =, y =, z = Ω piiratud kuubi positiivne pool; d) x + y ) dx dy, kus Ω on ringi x + y a, z = alumine pool; Ω e) xz dx dy + x y dy dz + yz dz dx, kus Ω on püramiidi x =, y =, z =, x + y + z = Ω välimine pool; f) y + z)dy dz + z x)dz dx + x y dx dy, kus Ω on kinnise sileda pinna välimine pool. Ω. Leidke keha E ruumala teist liiki pindintegraali abil, kui a) E on piiratud pindadega x =, z = ja x = u cos v, y = u sin v, z = u + 3cos v, kus u ; 8

19 b) E on piiratud pindadega z = c, z = c ja x = a cosu cos v+b sinu sin v, y = a cosu sin v b sinu cos v, z = c sinu. 3. Leidke vektorvälja A = x y, y + z, x + z) voog koordinaatide alguspunkti poolt läbi tasandi x + y + z = osa, mis asetseb esimeses oktandis. 4. Leidke vektorvälja A = x, y, z) voog läbi pinna z = x + y, z [,], tema välisnormaali suunas. 5. Tõestage, et kui P x, Q R ja y z on pidevad punkti M mingis ümbruses, siis div A ) M) = P Q R M) + M) + x y z M). Näpunäide: Tuletis piirkonna järgi. 6. Leidke vektorvälja A divergents punktis M,,), kui A = x y, x y, z 3 ). 7*. Tähistame S = {x, y, z): x + y + z = }. Olgu a,b,c R. Eeldusel, et mõlemad integraalid eksisteerivad, tõestage nn. Poissoni valem: S ) f ax + by + cz)dµ = π f u a + b + c du. 9. Parameetrist sõltuvad integraalid 8. Näidake, et järgmised funktsioonid on pidevad. a) F x) = b) F x) = c) F x) = d) F x) = π e t x dt, x [,]; sint x) dt, t lnsint + x)dt, x [,]; [ x, π ] ; 4 sgnt x)dt, x [,]. 9. Leidke järgmised piirväärtused. a) lim x 3 t cost x)dt; b) lim x dt + + t x) x e ; c) lim x + t arctan t x dt.. Leidke järgmiste funktsioonide tuletised. a) F x) = b) F x) = π arctan t dt, x x ; cost x ) dt, t x ; x c) F x) = d) F x) = +x cost x) dt, x > ; t ln + t x) dt, < x <. t 9

20 . Leidke integraalid I = a) F x) = π F x) dx järgmistest funktsioonidest. sin t cos t cosx cos t)dt; b) F x) = t + e t t x ln t)dt.. Kasutades diferentseerimist parameetri järgi, leidke järgmised integraalid I a). π ln + a cos x) π arctana tan x) a) I a) = dx, a < ; b) I a) = dx, a cos x. tan x 3. Näidake, et järgmised päratud integraalid koonduvad ühtlaselt antud piirkonnas X. arctant x) a) dt, X =, ); t b) c) d) e t x sin t dt, X = [a, ), a > ; t x 4 t dt, sgnt x) t ) t) dt, X = ln,8); X =, ). 4. Näidake, et järgmised funktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas. t sint + x) a) F x) = + t dt, x, ); 3 sint x) b) F x) = t 3 t dt, x, ). 5. Kasutades diferentseerimist parameetri a järgi, leidke järgmised integraalid. e x e ax arctan ax a) I a) = dx, a > ; c) I a) = x x x dx; arctan ax arctanbx e ax d) I a,b) = dx, x b) I a) = xe x dx, a > ; a >, b >. 6. Leidke järgmised integraalid I, kasutades märgitud valemeid. e ax e bx e ax e bx b a) I a,b) = dx, = e xt dt, b > a > ; x x a arctan x b) I = x x dx, arctan x dt = x + x t ; c) I = sin x dx, = e xt dt. x π 7. Leidke järgmised integraalid Euleri integraalide abil < a < ).

21 a) b) c) d) π sin 6 x cos 4 x dx; dx + x 4 ; x x dx; x 4 + x) dx; e) f) g) π π sin 7 x cos 9 x dx; x 4 x dx; tan x dx. 8*. Olgu f : [, ) R ning [a,b], ). Tõestage, et kui a) funktsioon f on pidevalt diferentseeruv poollõigus [, ); b) leidub lõplik piirväärtus lim f x) =: f ); x c) integraal siis kehtib nn. Frullani valem f cx)dx koondub ühtlaselt lõigus [a,b], 9*. Olgu a >. Tõestage järgmine valem: f ax) f bx) dx = f ) f ) ) ln a x b. a Γa)Γ a + Γa) Näpunäide: Veenduge, et Ba, a) = ) a B, a.. Fourier read ) = π. 3. Leidke funktsiooni Fourier rida lõigus [ π,π] ja uurige selle koonduvust: { π, kui x [ π,), a) f x) =, kui x [,π]; b) f x) = sgn x; c) f x) = π x ; d) f x) = x ; e) f x) = x; f) f x) = x ; g) f x) = x 3 ; h) f x) = x 4 ; i) f x) = e x. Näpunäide osade f) h) juurde. Saab näidata, et kui f Fourier rida koondub lõigus [ π, π] keskmiselt funktsiooniks f see tähendab, ) π a n π + a k coskx + b k sinkx f x) dx ), n k= x näiteks juhul, kui f L [ π,π], siis f t)dt = a x + an n n sinnx b n n cosnx + b ) n ehk Fourier n rida võib integreerida liikmeti. Sealjuures integreerimisel saadud rida koondub ühtlaselt lõigus [ π, π].

22 x Niisiis, kui on teada f x) = x Fourier rida, saab integreerides kergesti leida ka x = f t)dt ning edasi ka x 3 jne., Fourier rea.) 3. Arendage antud funktsioon lõigus [,π] koosinusreaks ja uurige rea koonduvust: a) f x) =, x [,π]; b) f x) = x, x [,π]; c) f x) = sin x, x [,π]. 3. Arendage antud funktsioon lõigus [,π] siinusreaks ja uurige rea koonduvust: a) f x) =, x [,π]; b) f x) = x, x [,π]; c) f x) = π 4 x, x [,π]. 33. Leidke funktsiooni Fourier rida etteantud intervallis ja uurige selle koonduvust: a) f x) = x, x [,π]; b) f x) = x, x [,π]; c) f x) = x, x [ l,l]. 34. Leidke järgmiste ridade summad: a) ) n n ; b) n ) ; c) 4n ; d) ) n n ) 3. n= n= n= n= 35*. Olgu f : R R π-perioodiline ja lõigus [ π, π] tükiti pidev. Olgu s n x) = a n + a k coskx + b k sinkx funktsiooni f Fourier rea n-nes osasumma. Olgu k= σ n x) = s x) + s x) s n x), n N. Olgu m, M R. Tõestage järgmised implikatsioonid: n x [ π,π] f x) m x R, n N σ n x) m; x [ π,π] f x) M x R, n N σ n x) M. 36*. Olgu funktsioonil f pidev tuletisfunktsioon lõigus [ π,π] st. f C [ π,π])). Tõestage, et f Fourier kordajad a n ja b n, kus f x) a + a n cosnx + b n sinnx, rahuldavad n= tingimusi limna n =, limnb n =. n n Näpunäide: Riemanni lemma. Märkus. Saab näidata, et kui f C k [ π,π]), see tähendab, k korda pidevalt diferentseeruv, siis lim n n k a n = lim n n k b n =. Niisiis, mida kõrgemat järku pidev tuletis on funktsioonil f, seda

23 kiiremini hääbuvad tema Fourier kordajad.. Fourier teisendus 37. Leidke järgmiste integraalide Cauchy peaväärtused. Kas need integraalid koonduvad ka harilike päratute integraalidena? dx a) v.p. sgn x dx; d) v.p. + x 4 ; dx b) v.p. + x ; arctan x e) v.p. + x dx; c) v.p. x cos x dx; f) v.p. 38. Leidke järgmiste funktsioonide konvolutsioonid f g, kus f g )x) = f y)g x y)dy. a) f = χ,), g = 3χ,) ; b) f x) = e x, g x) = e x ; Näpunäide osa b) juurde: kasutage Euler-Poissoni integraali e x dx = 39. Veenduge, et Fourier teisendusel on järgmised omadused: a) αf + βg = α f + βĝ iga α,β R korral; b) kui g x) = f x)e πiax, siis ĝ y) = f y a); c) kui g x) = f x a), siis ĝ y) = f y)e πi ay ; d) kui g x) = f αx), kus α >, siis ĝ y) = y ) f ; α α e) kui f on paarisfunktsioon, siis f on paarisfunktsioon; f) kui f on paaritu funktsioon, siis f on paaritu funktsioon; g) f g = f ĝ. 4. Leidke järgmiste funktsioonide Fourier teisendid: f x)dx, kus f on paaritu. c) f x) = xχ,) x), g x) = x χ,) x); d) f x) = χ,5)x), g x) = xχ,3) x). x a) f x) = e πx cos6πx); f) f x) = xe a x, kus a > ; b) f x) = χ π,π) cos6πx); g) f x) = x )χ [,] x); c) f x) = e ax χ, ) x), kus a > ; d) f x) = e a x, kus a > ; h) f x) = a x π e a, kus a > Diraci δ e) f = χ, ); lähend). Näpunäide osa a) juurde: kasutage võrdust e πx cos ax dx = πa e 4. Võrdust saab näiteks tõestada, lähtudes Euler-Poissoni integraalist ja koosinuse Taylori reast.) 4*. Leidke funktsiooni f x) = x Fourier teisend. + a 3 π.

24 Näpunäide: resiidide teooria. 4

25 Vastused ja lahendusvihjed. a) näidake, et K r A) U r A); b) näidake, et U min{r,r }A) K r,r A). Ruumis R m näidake, et K r m A) U r A) ning U min{r,r,...,r m }A) K r,r,...,r m A).. Sisalduvusest D U r ) järeldub D tõkestatus. Vastupidi, olgu D tõkestatud, siis D U ρ A) mingi ρ > ja A R m korral. Tähistage r = ρ + A. 3. a),); b),e); c) ei leidu; d) ei leidu. 4. Viiakse läbi nagu ruumis R, aga absoluutväärtus on asendatud normiga. 5. Leidke iga n jaoks selline X n), et X n) A < n. { ) } 6. a) D = [,] ; b) D = R ; c) D = {x, y) [,] : x, y Q}; d) D = [,] \, t : t [,] ; e) D = Q [,]. 7. a) sulundi omadus; b) D isoleeritud punktid ei tule sulundisse D ; b) kui D on piirkond, siis U rolli sobib D ; vastupidisel juhul annab U D, et U D, millest järeldub vajalik sisalduvus D U D. 8. a) lahtine, ei ole kinnine, ristkülik; b) ei ole lahtine ega kinnine, rõngas; c) kinnine, ei ole lahtine, ringjoon; 9. a) kinnine, ei ole lahtine, tasand; b) kinnine, ei ole lahtine, poolruum; c) kinnine, ei ole lahtine, tasand; d) kinnine, ei ole lahtine, tasand; e) kinnine, ei ole lahtine, paraboolne silinder; f) kinnine, ei ole lahtine, elliptiline silinder; g) kinnine, ei ole lahtine, elliptiline paraboloid; h) kinnine, ei ole lahtine, sirge; i) lahtine, ei ole kinnine, kera.. a) tasand; b) tasand; c) sfääri ülemine pool; d) ) koonus; e) sfääri alumine pool; f) paraboolne silinder.. f y, x) = f x, y), f x, y) = f x, y), f x, y = f x, y), f x,y) = x y x y.. a) paralleelsed sirged; b) kontsentrilised ringjooned; c) hüperboolid, mille asümptootideks on nurgapoolitajad; d) hüperboolid, mille asümptootideks on koordinaatteljed; e) kontsentrilised rombid; f) ringjooned, mille keskpunkt asub x-teljel ja mis puutuvad y-telge; g) paralleelsed tasandid; h) kontsentrilised sfäärid; i) sama asümptootilise koonusega pöördhüperboloidid. 5. a) δ = 8 ε ; b) δ = ε ; c) δ = min{, 6 ε } { ; d) δ = min, ε } { ; e) δ = min, ε } { 4 ; f) δ = min, 4 ε δ = min {, 6 ε } { } ; h) δ = E ; i) δ = min, E ; j) D = + ε ; k) D = E. 6. a) ; b) ; c) ; d) a; e) ; f) e; g) ; h) ei leidu; i) ei leidu; j) ; k) ei leidu; l) ; m) ; n) ; o) ei leidu. 7. Korduvate piiväärtuste jaoks kasutage Heine kriteeriumit. 8. a) jah; b) ei; c) jah; d) jah; e) ei; f) jah; g) ei; h) ei; i) jah. 9. Valige ε = f A).. Funktsiooni f pidevuse tingimusest tekkiv δ sobib ka f ja f jaoks.. Ei.. Valige näiteks ε = ning märgake, et f X) f X) f A) + f A). 3. Heine kriteerium kõige mugavam). 5. a) f x, y) = y x x +y, f x, y) = x y y x +y, f y } ; g) f f f x +y ; b) x, y) = y+y lnx y), x, y) = x+x lnx y); c) x, y) = x y x z x, y, z) = x y f z ; e) x, y, z) = x x sgn y f x, y) = x +y ; d) x x, y, z) = y + z x, f y x, y, z) = z x y, f y cosx y + yz) = f f f sin x x, y, z), x, y, z) = x + z)cosx y + yz); f) x, y) = z y x cos y, f cos x tan y x, y) = y cos y. 6. Kasutage korduvalt väidet: kui f on lõigus [a,b] pidev ja vahemikus a,b) dif-v, kusjuures f x), siis f on kasvav lõigus [a,b]. 7. f x, y) = arctan y x +C x), kus C : R R on suvaline funktsioon. 5

26 8. f x, y) = y ln x + x + sin y. 9. arctan4, arctan4. 3. Diferentseeruvuse põhjendab punkti A ümbruses pidevate osatuletiste olemasolu; a) df h,h ) = ; b) df h,h ) = h + 8h ln; c) df h,h ) = h + h ; d) df h,h ) = h 5 + h ; e) df h,h,h 3 ) = 3 πh 6 + h + h 3 ); f) df h,h,h 3 ) = 6h + 3h + h P = on pidev, O = on lõplikud osatuletised, D = on diferentseeruv, DD = on kaks korda diferentseeruv; a) P, O; b) P, O, D; c) P, O; d) P, O, D, DD; e) P, O; f) P, O; g) P, O, D; h) P, O, D, DD; i) P, O; j) P, O, D, DD; k) P, O, D, DD. 3. f f A) = l x A)l + f y A)l = grad f,l a) kõrgemale; b) madalamale; c) vektori 8,9) suunas või vastassuunas. 35. a) y z = ; b) x + y z = ; c) 3x + 3y z = ; d) x + y z + = ; e) x + 4y z 5 = ; f) 4x y z 3 = ; g) π 6 x + y z + 3 π 3 =. 36. a) jah; b) ei puutujatasandit ei leidu); c) jah. 37. Kasutage ühe muutuja funktsiooni tuletise vastavaid omadusi. 38. Kasutage ülesannet 37 ning piirväärtuse omadusi. 4. a) e sin t cos t sin t + cos t); b) 5t 4 t 5 ; c) sint t cost; d) 4t 3 +4t + t + ; e) 3 5t 4 cos t+t 4 t 5 ). 4. a) 3x sin y cos y, x 3 cos 3 y x 3 sin y cos y; b), ; c) x y x ln y+x y x, x 3 y x. d), ; e) x cosy, x siny. 4. Nii välimine funktsioon kui ka sisemised funktsioonid on diferentseeruvad seoses pidevate osatuletiste olemasoluga; a) df = e x xe x )dx; b) df = cos x cosx+)+cos3x+))dx; c) df = lny + )dx + x+ y+ dy; d) df = 8x3 dx + 8y 3 dy; e) df = e x y x + x y + x + y)dx + x x y x )dy ). 43. Kõik osatuletised on pidevad, vajalikku järku diferentseeruvus on seega olemas, veelgi enam, liitfunktsiooni diferentsiaali kuju on invariantne muutuja vahetuse suhtes, kuna sisemine funktsioon on lineaarfunktsioon; a) u = x + y +, d 4 f = u d 4 u; b) u = x + 3y 5z, d 6 f = cosu d 6 u. 44. f ) = ; rikutud on segaosatuletiste pidevuse ning osatuletiste diferentseeruvuse y x ) =, f x y nõuded. 45. a) ux, y) = C y) + Dx), kus C on diferentseeruv ja D on suvaline funktsioon; b) ux, y) = xc y) + Dy), kus C ja D on suvalised funktsioonid. 46. Kasutage osatuletiste lineaarsust. 47. f x, y) = x + y. 48. Arvutage tuletis f x +iy ) konkreetsetes suundades x +iy x +iy ja x +iy x +iy, tulemus peab tulema sama. Niisiis selgub, et u x x, y ) + i v x x, y ) = v y x, y ) i u x x, y ). 49. u r = r v ϕ, v r = r u ϕ. 5. u x + u y = x v y ) + y v x 5. a) vx, y) = x y +C ; b) vx, y) = e x cos y +C. 5. Vahetu f = kontroll. 53. Kõikjal rahuldab jääkliige α tingimust lim x +y ) =, analoogiliselt näidatakse ka v harmoonilisus. αx,y) x +y ) 3 = ; a) f x, y) = + y x y 3yx y αx, y); b) f x, y) = y+yx+ 3yx y 3 6 +αx, y); c) f x, y) = y+yx y + 3yx 3y x+y 3 6 +αx, y); d) f x, y) = x + y x+y) + x+y)3 6 + αx, y); e) f x, y) = x y x + αx, y); f) f x, y) = x y + αx, y). 6

27 54. Kõikjal rahuldab jääkliige α tingimust lim x ) +y ) αx,y) x ) +y ) ) 3 = ; a) f x, y) = + x + y + x+y) + x+y)3 6 + αx, y); b) f x, y) = + 3x 3y + 3y 3x y + x y y 3 + αx, y); c) f x, y) = 3 + 3x + 3y 3x +3y + x3 +y αx, y). 55. a),6; b),5; c) 8,; d), a) π 4 α+β α β 4 ; b) + mα+nβ 4 + 3m 4m)α mnαβ+3n 4n)β a) määrab, f ) = ; b) ei määra, sest A on {x, y): F x, y) = } isoleeritud punkt; c) määrab, f ) = ; d) ei määra, sest A on {x, y): F x, y) = } isoleeritud punkt; e) määrab, f ) = ; f) ei määra, sest {x, y): F x, y) = } laguneb punkti A ümbruses kaheks lõikuvaks sirgeks; g) ei määra, sest {x, y): F x, y) = } laguneb punkti A ümbruses kaheks lõikuvaks jooneks. 59. a) f x+f x) x) = x f x) ; b) f x) = +εsin f x) ; c) f x) = f x) x ; d) f e x) = x cos f x)+ ; e) f x) = ex f x) e x f x) + ; f) f x) = f x) x+f x). 6. a) määrab, f f,4) =, x y,4) = 3 f 4 ; b) määrab, x a,b) = a c, f y a,b) = b f c ; c) määrab, x a,b) =, f a,b) =. y 6. a) f z+x, f x, y) = z y f yz x x y+yz ; c) x, y) = x z x y, f x, y) = y f f x, y) =, x, y) = ; b) x, y) = z x y x xz y f z x y ; d) x x, y) = c x a z, f y x, y) = c y b z. 6. a) range lok. miinimum punktis, ); b) lok. ekstr. puuduvad; c) range lok. maksimum punktis ), lok. maksimum punktis,); e) range lok. miinimum, ); d) range lok. maksimum punktis 43, 4 3 punktis,); f) range lok. miinimum punktis, ), range lok. maksimum punktis, ); g) lokaalsed ekstreemumid puuduvad; h) lokaalsed ekstreemumid puuduvad; h) range lok. maksimum punktis, ). 63. a) range lok. miinimum punktis miinimum punktis,,). ),, ; b) range lok. miinimum punktis,,3); c) range lok. 64. a) range lok. miinimum punktides,) ja, ), range lok. maksimum punktis,); b) range lok. miinimum ) punktis, ), range lok. maksimum punktis, ); c) range lok. miinimum punktis ab a +b, a b a +b ; d) range lok. miinimum punktis,,). ) ) 65. a) range lok. miinimum punktis 45, 3 5, range lok. maksimum punktis 4 5, 5 3 ; b) range lok. miinimum punktis,); c) range lok. miinimum punktis,, ), range lok. maksimum punktis,,); d) range lok. miinimum punktis,,). 67. Olgu näpunäites antud kõõlmurdjoone pikkus pt ), siis pt ) n + n = n n. 68. Kaare L suvalise kõõlmurdjoone pikkus ei ületa arvu K b a). 69. a) + ; b) e a + πaea 4 ; c) πa 4 ; d) 8a; e) 8aπ 3 a ; f) +) a) k 3 e + ) 3 ) ; b) 4ρ Suuna jaoks kasutage omadust st ) = inf { σt,ξ): ξ k [t k, t k ], k =,...,n } ja analoogilist ST ) jaoks. Suuna jaoks näidake, et I I = ning tõestage, et leidub δ > nii, et kui λt ) < δ, siis I ε ST ) ε < st ) σt,ξ), analoogiliselt ka teine pool. 7

28 7. Näidake, et lim ST ) st )) =, kasutades liitfunktsiooni f γ ühtlast pidevust lõigus [a,b]. λt ) 73. Toimub analoogiliselt Riemanni integraaliga. 74. Toimub analoogiliselt Riemanni integraaliga. Ei. 75. a) a), b), c) märkus: vaadeldes potentsiaalifunktsiooni F x, y) = x y, pole see juhuslik, et kõik vastused on samad); b) märkus: vastust on arvutamata lihtne näha, vaadeldes potentsiaalifunktsiooni F x, y) = x +x y y ); c) π; d) märkus: vastust on lihtsam näha, vaadeldes potentsiaalifunktsiooni F x, y) = x + x y + y ning mingit lihtsamat kõverat AB); e) π. 76. Kuna joone {ϕ t),ϕ t)): t [a,b]} puutuja sihivektor on ϕ t),ϕ t)), siis τ ϕ ϕ t)) = ϕ t), t) +ϕ t) analoogiliselt τ kohta. Niisiis L b b f dx = f ϕ t),ϕ t))ϕ t)dt = f ϕ t),ϕ t)) τ ϕ t)) ϕ t) + ϕ t) dt = f τ dx, a a L samuti saadakse teine võrdus πab D x dy = F x, y) = x, y ) ; tarvis on leida A = L F, τ d r, kus d r = dx, dy); saame, et A = F x, y) = F,), seega A = af. 8. a) F x, y) = x +x y y, F B) F A) = 4; b) F x, y) = x y, F B) F A) = 8; c) F x, y) = x + y 3 3, F B) F A) = 6 ; d) F x, y) = y x, F B) F A) = a) 3 ; b) 7 4 ; c) 35 6 ; d) 7 ; e) a) ; b) 3 9 ; c) 4π; d) π; e) π a) a 8 5 6ln); b) π 4 b a ); c) 4π 3 3; d) b a)β α) 3. ) 87. π 3π, π 4 6π a6,). 89. Kasutage hulga nullmõõdulisuse kriteeriumit lemma 9.). 9. Näidake, et ST ) st ) = ristküliku [,] iga alajaotuse T korral. 9., 9. Kasutage hulga nullmõõdulisuse kriteeriumit lemma 9.). 93. Kui D ja D on nullmõõduga, siis D D on nullmõõduga. Näidake, et D D ) D D, D D ) D D ning D \ D ) D D. 94. Teatavasti f graafik sisaldub ristkülikus R := [a, b] [m, M]. Kasutage hulga nullmõõdulisuse kriteeriumit lemma 9.), pidades alajaotuse konstrueerimisel silmas, et f on ühtlaselt pidev lõigus [a,b]. 95. Pange tähele, et U δ A) on sile joon või kahe pideva funktsiooni graafiku ühend). µu δ A)) = πδ. 96. Kasutage mõõdu aditiivsust lõikumatute hulkade jaoks. 97. Pange tähele, et D sisaldab mingit lahtist kera. 98. Kasutage mõõdu monotoonsust ja mõõdu aditiivsust lõikumatute hulkade jaoks, esitades D D = D D \ D ). 99. Kasutage mõõdu monotoonsust ja subaditiivsust koos seostega D D D = D D.. a) 68 6 ; b) 5 ; c) 3 4 ; d) π ; e) 4π 6 3 ).. abca+b+c).. 3,,). NB! Raskuskese asub väljaspool keha!) 4. a),,); b) punktid x, y, z), kus z on suvaline ja x, y) on joone x = ϕu), y = ψu) iseärane punkt; c),,). 8

29 5. a) 3x + y z 3 = ; b) x + 3y z = ; c) x + y =. 6. Kuna ristkülikuteks ja äärtes nende osadeks) jaotamine on üks võimalik jaotamise viis tükiti siledate joontega kinnisteks mõõtuvateks osapiirkondadeks ühiste sisepunktideta, siis kahekordne integraal Ω f dx dy = Ω f dµ. Kogu Ω ulatuses on C kas positiivne või negatiivne C on pidev ja nulli ei saa läbida, sest A = B = ). Seega teist liiki pindintegraal Ω f dx dy = ± Ω f dµ. Näide: x = u, y = v, z =, kus u, v) [,] [,], siis C =, aga 7. a) 3π 9; b) a π ); c) 4πa a a b ). 8. a) π; b) πh ); c) 54 4; d). 9. πarctan c a.. a, a, a ). A + B +C =.. a) ; b) 4πa 3 vastust on lihtsam leida Ostrogradski valemi abil); c) 3; d) a4 π ; e) 8 vastust on lihtsam leida Ostrogradski valemi abil); f) Ostrogradski valem).. a) 6; b) 4πb a )c 3 + πb c π Tähistame HE) = P E f x, y, z)dx dy dz, kus E on mõõtuv. Funktsioon f := x + Q y + R on pidev z punkti M mingis ümbruses. Kirjutades tuletis piirkonna järgi lause vt. lause 9.4) läbi kolme muutuja HE) juhtumil, saame, et lim E M V = f M). Kui aga leiab aset selline üldine koondumine, siis leiab aset ka E koondumine, kus kehad E on kõik tükiti sileda rajapinnaga Näidake, et järgmised kahe muutuja funktsioonid on pidevad märgitud ristkülikutes: a) f x, t) = { sint x) e t x ristkülikus [,] [,3]; b) f x, t) = t, kui t, ristkülikus [, ] [ 3, 7]; c) f x, t) = x, kui t =, lnsint + x) ristkülikus [, π ] [ 4, π ]. d) Integrand f x, t) = sgnt x) ei ole pidev ristkülikus [,] [,]. Ent vahetu arvutamine näitab, et F x) = x. 9. Kontrollige, et a) f x, t) = t cost x) on pidev näiteks ristkülikus [,] [,3]; { b) f x, t) = ++t x) x, kui x, on pidev näiteks ristkülikus [,] [,]; +e t, kui x = { t arctan t c) f x, t) = x, kui x >, π t, kui x = on pidev näiteks ristkülikus [,3] [,e]. Vastused: a) 9; b) ln e+ e ; c) π.. Kontrollige, et funktsioonid f ja f x on pidevad ristkülikus R: a) f x, t) = arctan x t, R = [a,b] [,], cos t x cost x) kus a > või b < ; b) f x, t) = t, R = [a,b] [,π], kus a > või b < ; c) f x, t) = t, R = { ln+t x) [a,b] [,d], kus [, x ] [,d], lisaks on βx) = x diferentseeruv; d) f x, t) = t, kui t >, x, kui t =, R = [a,b] [c,d], kus [, + x] [,d], lisaks on βx) = + x diferentseeruv. Vastused: a) ln x cosπx cos x ; b) x + x x ; c) 3cos x3 cos x x ; d) 4+x)ln +x x+x).. a) cos; b) e. { ln+a cos x). Kontrollige, et funktsioonid f ja f on pidevad ristkülikus R: a) f a, x) = cos x, x π, a a, x = π, 9

30 { arctana tan x) R = [ a, a ] [,π], kus a,); b) f a, x) = tan x, x π, a, x = π α,β); Tulemused: a) I a) = R = [α,β] [, π ], kus a π, millest I a) = πarcsin a vt. a = integreerimiskonstandi määramiseks); a b) I π a) = a +) 3. Kasutage Weierstrassi tunnust. d): vaja on lisaks põhjendada, miks kahe ühtlaselt koonduva integraali summa on ühtlaselt koonduv., millest I a) = πsgn a ln + a )) vt. a = integreerimiskonstandi määramiseks). 4. Veenduge, et integrand on pidev kahe muutuja funktsioon; kontrollige integraalide ühtlast koondumist Abeli, Dirichlet või Weierstrassi tunnusega. 5. a) integraali enda koondumine näidake eraldi intervallides [,] ja [, ) lõigus [,] on Riemanni integraal, punktis x = on parempoolne kõrvaldatav katkevus), osatuletise integraal on esitatav samuti kujul +, kus esimene liidetav on Riemanni integraal ja teine koondub ühtlaselt tänu Weierstrassi tunnusele; saame, et I a) = a ln a, millest I a) = ; b) lahendusvõtted analoogilised eelnevaga, I a) = a+ ] [,, millest I a) = lna + ); c) lõigus on tegu Riemanni integraaliga punktis [ x = parempoolne kõrvaldatav katkevus), lõigus,] koonduva päratu integraaliga, osatuletise integraali ühtlase koonduvuse saab kontrollida Weierstrassi tunnusega; saame, et I π a) =, millest a + I a) = πarsh a = πln a+ ) a + ; d) fikseerime b; integraali enda koondumine näidake eraldi intervallides [, ] ja [, ) lõigus [, ] on Riemanni integraal, punktis x = on parempoolne kõrvaldatav katkevus), osatuletise integraal on esitatav samuti kujul +, kus esimene liidetav on Riemanni integraal ja teine koondub ühtlaselt tänu Weierstrassi tunnusele; saame, et I a a,b) = a π, millest I a,b) = π ln a b. 6. Vajalikud ühtlased koondumised näidake Weierstrassi tunnuse abil; a) ln b πarsh a ; b) I = = πln ) + ; π c) I =. 7. a) 3π 5 ; b) π 4 ; c) π 8 ; d) π 4 ; e) 56 ; f) π; g) π. k sink )x, S π) =, mujal Sx) = f x); b) Sx) = 3. a) Sx) = π k= )x, S π) = Sπ) =, mujal Sx) = sgn x; c) Sx) = π + π x ; d) Sx) = π k= mujal Sx) = x; f) Sx) = π 3 + ) k k k= 4 πk ) cosk )x, Sx) = x ; e) Sx) = k= 4 k )π sink sinkπ, S π) = Sπ) = π, mujal Sx) = k= ) k k sinkx, S π) = Sπ) =, 4 ) k k= k coskx, Sx) = x ; g) Sx) = π k 6) ) k k= k 3 sinkx, S π) = Sπ) =, mujal Sx) = x 3 ; h) Sx) = π4 5 + k= Sx) = x 4 ; i) Sx) = shπ π + ) k k= k + 3. a) Sx) = ; b) Sx) = π 4 k= πk ) cosk )x, Sx) = x; c) Sx) = π k= Sx) = sin x. 3. a) Sx) = k= ) sinkx, Sπ) =, mujal Sx) = x ; c) Sx) = 8π k 6) ) k k 4 coskx k )k k + sinkx ), S π) = Sπ) = chπ, mujal Sx) = e x. 4 k )π sink )x, Sπ) =, mujal Sx) = x; b) Sx) = 4 π4k ) coskx, πk 3 π k ) ) k k= k sinkx, S) = Sπ) =, mujal Sx) = π 4 x. k= 4π sinkx, S) = Sπ) = π, mujal Sx) = x; b) Sx) = a) Sx) = π k= k 4π π sinkx, S) = Sπ) = k, mujal Sx) = x ; c) Sx) = l k= 4l π k ) 4 k= k coskx πx cosk ), Sx) = x. l 34. a) π π π x kasutage f x) = x arendist); b) 8 kasutage f x) = arendist); c) Fourier ridu pole 3 c

31 vaja, kuna S m = π3 m+) ); d) 3 kasutage f x) = x3 arendist). 37. a), ei; b) π, jah; c), ei; d) π, jah; e) π 4, jah; f), üldiselt mitte., kui x või x 3, 6x, kui x, ), 38. a) f g )x) = 6, kui x [,], 6x 8, kui x,3);, kui x või x, x c) f g )x) = 4, kui x,], x 4 +6x 4x, kui x,);, kui x või x 8, 4x x 3, kui x,3), d) f g )x) = 4x x 4x+6) x 3 3, kui x [3,5], 4x+6) x 3+6x 5 5 3, kui x 5,8); b) f g )x) = π 3 e x 3 ; 39. a) f) järelduvad vahetult päratute integraalide vastavatest omadustest tuleb sealjuures võtta arvesse, et väärtused on komplekssed!); omaduse g) tõestamiseks tuleb muuta integreerimise järjekorda x y =: u, mida tohib teha seoses integraalide ühtlase koondumisega. 4. a) e πy 3) + e πy+3) ; b) y 3)sin4π y+π )+y+3)sin4π π ) πy ; c) 8π sinπy 8iπay cosπy πy ; f) a +4π y ) ; g) π y ; h) e π a y. a iπy a +4π y ; d) a a +4π y ; e) 3