Ehitusmehaanika. EST meetod

Transcript

1 Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 20 See töö on litsentsi all Creative Commons Attribution-ShareAlike.0 Unported

2 Sisukord Ülesanne 4 2/44 2 Sissejuhatus Raami põhivõrrandid 4 4 Varraste siirete pidevus 9 Raami sõlmede tasakaal 24 6 Raami kõrval- ja toetingimused 2 7 Raami staatikaline kontroll 9 8 Raami paindemomendi epüür 40 9 Raami põikjõu epüür 4

3 0 Raami normaaljõu epüür 42 Viited 4 /44

4 Ülesanne Koostada joonisel näidatud raamile paindemomendi, põikjõu ja pikijõu epüürid EST meetodiga. Raami posti ristlõike paindejäikus on EI p = knm 2 ja raa- 4 m q = 8 kn/m EI 4 r EI 6 r EI EI p p F = 0 kn EI p EI r = EI p EI p= 2*0 knm 00 6 m 6 m 2 m Joonis. Kahe avaga raam mi riivi ristlõike paindejäikus EI r = 2.0EI p, posti ristlõike pikijäikus EA p = kn, EA r = kn, posti ristlõike lõikejäikus GA rp = 0.4EA p, GA rr = 0.4EA r. 4/44

5 Sissejuhatus Joonisel 2 on näidatud varda jõudude ja siirete positiivsed suunad vastavalt teisele märgikokkuleppele /44 M y yv Q v v a M M F q Q p M yp, w a F a q ϕ = w p Joonis 2. Universaalvõrrand w p = w v (ϕ y ) v + ( p a M ) 2 + My EI y 2! + ( p a F ) + F EI y! + ( p a q ) 4 + q EI y 4! + ()

6 Elastse joone universaalvõrrandis () on järgmised tähistused: EI y varda ristlõike jäikus, M y momentkoormus, F koondatud jõud, q ühtlaselt jaotatud koormus Võtame avaldisest () tuletised ja võtame kasutusele tähistused (2) 6/44 w 0 = w 0, w 0 = ϕ 0, w 0 = M y EI, Kirjutame saadud võrrandid välja maatrikskujul () w 0 = Q EI (2) Z p = UZ v + Z () kus Z p, Z v on tala lõpus ja alguses olevad siirded ning sisejõud (4) w w ϕ y ϕ y Z p =..., Z v =..., (4) Q Q M y M y p v

7 U ülekandemaatriks () ( ( p v ). p v ) GA Q ( p v ) 6EI y ( p v ) 2 2EI y ( 0. p v ) 2 ( p v ) 2EI y EI y U = ( p v ) Z koormusvektor., () 7/44 Lisame võrranditele () pikijõude N L, N L ja pikisiirdeid u L, u L (vt joonist ) arvestavad liikmed, ning esitame võrrandid kujul (6).

8 N A u A M A ϕ A Q A wa A, M F L q L, 2 M ϕ L L Q L w L N L u L 8/44 Joonis. Varda jõudude ja siirete positiivsed suunad Nimetame võrrandeid (6) varda põhivõrranditeks. I Z L UZ A = Z, (6) ehk ÎU Ẑ = Z (7) kus I on (66) ühikmaatriks, ÎU (62) maatriks, mida saab arvutada GNU Octave funktsiooniga ysplvfmhvi(baasi0,,l,ea,gar,ej)

9 Koormusvektor Ẑ (8) koosneb varda lõpus ja alguses olevatest siiretest ning kontaktjõududest. [ ] ZL Ẑ =, (8) Z A siin Z L, Z A varda lõpus ja alguses olevad siirded ning kontaktjõud. (9) u L u A w L w A ϕ L ϕ A Z L =..., Z A =..., (9) N L N A Q L Q A M L M A kus U on ülekandemaatriks (0) 9/44

10 kus U on ülekandemaatriks (0) 0 0 i o 0 0 EA 0 0 i o 6EI y i o U = i o 2 2EI y GA red 2EI y i o EI y (0) 0/44 Koormusvektor Z ühtlaselt jaotatud koormuse q (projektsioonid q ja q ) puhul on (), Zq = i o q 2 2 EA i o q 4 24EI y i o q 6EI y q q q 2 /2 ()

11 Koormusvektor Z koondatud jõu korral (2) i o F ( a ) + EA i o F ( a ) + 6EI y ZF = i o F ( a ) 2 + 2EI y F ( a ) o + F ( a ) o + F ( a ) + (2) /44 siin i o = EI L on baasjäikus, millega skaleeritakse siirded. Ülekandemaatriksi (hõreda maatriksina) U (0) saame arvutada GNU Octave funktsiooniga ysplfhlin(baasi0,,ea,gar,ej). Koormusvektoreid Zq, ZF saab arvutada GNU Octave funktsioonidega yhq(baasi0,li,q,q,ea,ei), vf=yfv(baasi0,li,al,f,f,ea,ei).

12 Joonisel 4 on näidatud suunakoosinuste arvutamine. l a 2/44 l a Algus α β Lõpp Joonis 4. Varda suunakoosinused siin cos α = l cos β = l = L A, = L A, l = () ( ) 2 + ( ) 2 (4) ja A, A, L, L on varda alguse ning lõpu koordinaadid.

13 Teisendusmaatriks T 2 teisendab vektori kohalikest koordinaatidest üldkoordinaatidesse. [ ] cos α cos β T 2 = () cos β cos α /44 Võtame arvesse pöördenurga, siis on teisendusmaatriks T järgmine cos α cos β 0 T = cos β cos α 0 (6) 0 0

14 Raami põhivõrrandid 4/44 [ ] [ ] [ 2 4 6] [ ] [ ] 2 [ ] 4 [ ] [ ] [ 2 4 6] [ ] 00 [u w ϕ N Q M] Joonis. Raami tundmatute nummerdus Raami põhivõrrandite arv n = 6*n elementi =6*=0, milles on 2*=60 tundmatut. Võrrandisüsteemi struktuur (joonis 6).

15 Põhivõrrandid 6 2 / Varda põhivõrrandid Siirete pidevusvõrrandid Sõlmede tasakaaluvõrrandid Toetingimused Joonis 6. Võrrandisüsteemi struktuur

16 Programm põhivõrrandite koostamiseks: IIv=0; IJv=0; % for i=:nearv % siin NEARV= krda=i; EI=selem(i,); EA=selem(i,4); GAr=selem(i,); Li=lvarras(i,); q=qz(i,); q=qz(i,); al=alx(i,); F=FZ(i,); F=FZ(i,); spvf=ysplvfmhvi(baasi0,li,li,ea,gar,ei); % Varda p~ohiv~orrandite kordajad vb=yhq(baasi0,li,q,q,ea,ei); % Varda p~ohiv~orrandite vabaliikmed vf=yfv(baasi0,li,al,f,f,ea,ei); % Varda p~ohiv~orrandite vabaliikmed vb=vb+vf; IIv=krda*6-; IJv=krda*2-; spa=spinsertbtoa(spa,iiv,ijv,spvf); % Kordajate paidutamine süsteemi B=InsertBtoA(B,NNK,,IIv,,vB,6,); % Vabaliikmete paigutamine endfor 6/44

17 Põhivõrrandite kordajate väljatrükk: spa = Compressed Column Sparse (rows = 0, cols = 60, nn = 9) 7/44 Element (, ) -> (2, 2) -> (, ) -> (4, 4) -> (, ) -> (6, 6) -> (, 7) -> - (2, 8) -> - (2, 9) -> 4 (, 9) -> - (, 0) -> (4, 0) -> (2, ) -> (, ) -> 2 (, ) -> (6, ) -> 4 (2, 2) -> -2 (, 2) -> (6, 2) -> Element 2 (7, ) -> (8, 4) -> (9, ) -> (0, 6) -> (, 7) -> (2, 8) -> (7, 9) -> - Element (8, 20) -> - (8, 2) -> 6 (9, 2) -> - (7, 22) -> (0, 22) -> (8, 2) -> (9, 2) -> (, 2) -> (2, 2) -> 6 (8, 24) -> (9, 24) -> (2, 24) ->

18 (, 2) -> (4, 26) -> (, 27) -> (6, 28) -> (7, 29) -> (8, 0) -> (, ) -> - (4, 2) -> - (4, ) -> 4 (, ) -> - (, 4) -> (6, 4) -> (4, ) -> (, ) -> 2 (7, ) -> (8, ) -> 4 (4, 6) -> -2 (, 6) -> (8, 6) -> 8/44 Element 4 (9, 7) -> (20, 8) -> (2, 9) -> (22, 40) -> (2, 4) -> (24, 42) -> (9, 4) -> - Element (2, 49) -> (26, 0) -> (27, ) -> (28, 2) -> (29, ) -> (0, 4) -> (2, ) -> - (20, 44) -> - (20, 4) -> 6 (2, 4) -> - (9, 46) -> (22, 46) -> (20, 47) -> (2, 47) -> (26, 6) -> - (26, 7) -> 4 (27, 7) -> - (2, 8) -> (28, 8) -> (26, 9) -> (27, 9) -> 2 (2, 47) -> (24, 47) -> 6 (20, 48) -> (2, 48) -> (24, 48) -> (29, 9) -> (0, 9) -> 4 (26, 60) -> -2 (27, 60) -> (0, 60) ->

19 Varraste siirete pidevus 9/ [ 2 ] [ ] [ 6 7] [7 8 9] [ 2 ] [49 0 ] [u w ϕ] 00 [9 20 2] 2 [ 4 ] [4 44 4] Joonis 7. Raami siirete pidevus 4 [7 8 9] 00 Sõlmes 2 on varraste ja 2 siirded pidevad. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0.0 Z.0 0 Z9 0 2 =.0 0 Z Z 20 0 (7)

20 2 4 6 [ 2 ] [ ] [ 6 7] [7 8 9] [ 2 ] [49 0 ] [u w ϕ] 00 [9 20 2] 2 [ 4 ] [4 44 4] Joonis 8. Raami siirete pidevus 4 [7 8 9] 00 20/44 4 Sõlmes 4 on varraste 2 ja siirded pidevad (! Jälgi trasitiivsust) Z Z Z 2 Z 26 = Z Z 27 0 Sõlmes 4 on varraste ja 4 siirded pidevad (! Jälgi trasitiivsust). (8)

21 6 7 8 Sõlmes 4 on varraste ja 4 siirded pidevad (! Jälgi trasitiivsust) Z 2 Z Z 4 Z 44 = Z Z 4 0 (9) 2/44 Sõlmes 6 on varraste 4 ja siirded pidevad [ 2 ] [ ] [ 6 7] [7 8 9] [ 2 ] [49 0 ] [u w ϕ] 00 [ [9 20 2] 2 [ 4 ] [4 44 4] Joonis 9. Raami siirete pidevus ] [ ] Z7 Z 8 [ [7 8 9] 00 ] [ ] [ ] Z 0 = Z 6 0 (20)

22 Võrrandid (7), (8), (9), (20) paigutame tasakaaluvõrranditesse (29) alates reast. Tundmatute Z i kordajateks on varda j teisendusmaatriks spt j kordajad. Siin teisendusmaatriks spt j on hõreda maatriksina. Teisendusmaatriksi spt jm kordajad on korrutatud läbi --ga. 22/44 Arvutiprogrammis kasutame selleks GNU Octave funktsiooni spinsertbtoa.m ================= %Siirete pidevuse v~orrandid -40 % vabaliikmete vektor on nullitud ================= spa=spinsertbtoa(spa,,,spt2); spa=spinsertbtoa(spa,,9,spt22m); spa=spinsertbtoa(spa,,,spt2); spa=spinsertbtoa(spa,,2,sptm); spa=spinsertbtoa(spa,6,2,spt); spa=spinsertbtoa(spa,6,4,spt4m); spa=spinsertbtoa(spa,9,7,spt42); spa=spinsertbtoa(spa,9,,spt2m);

23 Konstruktsiooni tasakaaluvõrrandite väljatrükis on need kordajad järgmised: spa = 2/44 Compressed Column Sparse (rows = 40, cols = 6, nn = 20) (2, ) -> - (, 2) -> (, ) -> (4, 4) -> (, ) -> (, 9) -> - (2, 20) -> - (4, 2) -> (7, 2) -> - (, 26) -> - (6, 26) -> (, 27) -> - (8, 27) -> (9, 7) -> (40, 8) -> (6, 4) -> - (7, 44) -> - (8, 4) -> - (40, ) -> - (9, 6) ->

24 Raami sõlmede tasakaal 24/44 [ ] [4 6] [ ] [8 9 60] [N Q M] [0 2] [4 6] [2 4] C [6] C 6 [66] C [6] C [6] C 8 [68] 00 C 2 [62] C 4 [64] C 7 [67] Sõlm 2 on tasakaalus [ ] [ ] Z Z [6 7 8] [ ] Joonis 0. Raami sõlmede tasakaal [ [ ] ] [ ] [ ] Z22 0 = Z 2 0 (2)

25 [ ] [4 6] [ ] [8 9 60] [N Q M] [0 2] [4 6] [2 4] C [6] C 6 [66] C [6] C [6] C 8 [68] 00 C 2 [62] C 4 [64] C 7 [67] [6 7 8] [ ] Joonis. Raami sõlmede tasakaal Sõlm 4 on tasakaalus Z 6 Z Z Z 46 Z 47 = Z 48 4 [ ] Z 28 Z 29 Z (22) 2/44

26 [ ] [4 6] [ ] [8 9 60] [N Q M] [0 2] [4 6] [2 4] C [6] C 6 [66] C [6] C [6] C 8 [68] 00 C 2 [62] C 4 [64] C 7 [67] [6 7 8] [ ] 4 [ ] 26/44 Joonis 2. Raami sõlmede tasakaal Sõlm 6 on tasakaalus [ ] [ ] Z Z 4 [ ] [ ] Z8 Z 9 = [ 0 0 ] (2)

27 [ ] [4 6] [ ] [8 9 60] [N Q M] [0 2] [4 6] [2 4] C [6] C 6 [66] C [6] C [6] C 8 [68] 00 C 2 [62] C 4 [64] C 7 [67] [6 7 8] [ ] Joonis. Raami sõlmede tasakaal Sõlm on tasakaalus (toereaktsioonid C Z 6, C 2 Z 62 ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Z0.0 0 Z =.0 0 Z 0.0 Z [ ] (24) Võrrandisüsteemi siirete ja kontaktjõudude leidmiseks (29) võib koostada ilma toesõlmede tasakaaluvõrranditeta (24). Avaldis (24) toob toereaktsioonid eraldi välja. Toereaktsioone näeme varda alguses olevate kontaktjõudude Z 0, Z abil. 27/44

28 [ ] [4 6] [ ] [8 9 60] [N Q M] [0 2] [4 6] [2 4] C [6] C 6 [66] C [6] C [6] C 8 [68] 00 C 2 [62] C 4 [64] C 7 [67] [6 7 8] [ ] 4 [ ] 28/44 Joonis 4. Raami sõlmede tasakaal Sõlm on tasakaalus (toereaktsioonid C Z 6, C 4 Z 64, C Z 6 ) = Z 4 Z Z 6 Z 6 Z 64 Z (2)

29 [ ] [4 6] [ ] [8 9 60] [N Q M] [0 2] [4 6] [2 4] C [6] C 6 [66] C [6] C [6] C 8 [68] 00 C 2 [62] C 4 [64] C 7 [67] [6 7 8] [ ] Joonis. Raami sõlmede tasakaal Sõlm on tasakaalus (toereaktsioonid C 6 Z 66, C 7 Z 67, C 8 Z 68 ) Z 2 Z Z 66 Z 67 = 0 0 (26) Z Z [ ] 29/44

30 Arvutiprogrammis kasutame tasakaaluvõrrandite sisestamiseks GNU Octave funktsiooni spinsertbtoa.m ================= %S~olmede tasakaaluv~orrandid 4-47 ================= spa=spinsertbtoa(spa,4,4,spt2); spa=spinsertbtoa(spa,4,22,spt22); B(4:42,)=s2F(:2,); % s~olme 2 koormus spa=spinsertbtoa(spa,4,6,spt2); spa=spinsertbtoa(spa,4,28,spt); spa=spinsertbtoa(spa,4,46,spt4); % siin oli kolm varrast B(4:4,)=s4F(:,); % s~olme 4 koormus spa=spinsertbtoa(spa,46,40,spt42); spa=spinsertbtoa(spa,46,8,spt2); B(46:47,)=s6F(:2,); % s~olme 6 koormus spa=spinsertbtoa(spa,48,0,spt2); spa=spinsertbtoa(spa,48,6,spty2m); B(48:49,)=0.0; % s~olme koormus spa=spinsertbtoa(spa,0,4,spt); spa=spinsertbtoa(spa,0,6,sptym); B(0:2,)=0.0; % s~olme koormus spa=spinsertbtoa(spa,,2,spt); spa=spinsertbtoa(spa,,66,sptym); B(:,)=0.0; % s~olme koormus 0/44

31 Konstruktsiooni tasakaaluvõrrandite väljatrükis on need kordajad järgmised: spa = Compressed Column Sparse (rows =, cols = 68, nn = ) /44 (42, 4) -> - (4, ) -> (49, 0) -> - (48, ) -> (4, 6) -> (44, 7) -> (4, 8) -> (4, 22) -> (42, 2) -> (44, 28) -> - (4, 29) -> (4, 0) -> (, 4) -> - (0, ) -> (2, 6) -> (46, 40) -> (47, 4) -> (4, 46) -> (44, 47) -> (4, 48) -> (4, 2) -> (, ) -> - (, 4) -> (47, 8) -> (46, 9) -> - (48, 6) -> - (49, 62) -> - (0, 6) -> - (, 64) -> - (2, 6) -> - (, 66) -> - (4, 67) -> - (, 68) -> -

32 Raami kõrval- ja toetingimused [ ] [ ] [ 2 4 6] [ ] [ ] 2 [ ] [ 2 4 6] [ ] [u w ϕ N Q M] [ ] 4 [ ] Joonis 6. Raami kõrvaltingimused Kõrvaltingimused (momendiliigendid varraste, 2, 4 ja otstes). Varda algul oleva momendiliigendi Z 2 kirjutame toetingimustesse Z 6 Z 24 Z 42 Z 60 = (27) 2/44

33 [ ] [ ] [ 2 4 6] [ ] [ ] 2 [ ] 4 [ ] /44 [ ] [ 2 4 6] [ ] [u w ϕ N Q M] Joonis 7. Raami toetingimused Toetingimused (varraste, algul ja varda lõpus) Z 7 Z 8 Z 2 Z Z 2 = Tundmatuid ja võrrandeid on , Z Z 49 Z 0 Z = (28)

34 Arvutiprogrammis kasutame võrrandite sisestamiseks GNU Octave funktsiooni spsisestaarv.m ====================== % K~orvaltingimused 6-9 % vabaliikmete vektor on nullitud ===================== spa=spsisestaarv(spa,6,6,); % k~orvaltingimus B(6,)=0.0; % M6=0 spa=spsisestaarv(spa,7,24,); % k~orvaltingimus B(7,)=0.0; % M24=0 spa=spsisestaarv(spa,8,42,); % k~orvaltingimus B(8,)=0.0; % M42=0 spa=spsisestaarv(spa,9,60,); % k~orvaltingimus B(9,)=0.0; % M60=0 ====================== % Toereaktsioonid % vabaliikmete vektor on nullitud ===================== spa=spsisestaarv(spa,60,2,); % k~orvaltingimus B(60,)=0.0; % M60=0 spa=spsisestaarv(spa,6,7,); % toes~olm spa=spsisestaarv(spa,62,8,); spa=spsisestaarv(spa,6,,); % toes~olm spa=spsisestaarv(spa,64,2,); spa=spsisestaarv(spa,6,,); spa=spsisestaarv(spa,66,49,); % toes~olm spa=spsisestaarv(spa,67,0,); spa=spsisestaarv(spa,68,,); B(6:68,)=0.0; 4/44

35 Konstruktsiooni tasakaaluvõrrandite väljatrükis on need kordajad järgmised: spa = Compressed Column Sparse (rows = 68, cols = 60, nn = ) /44 (6, 6) -> (6, 7) -> (62, 8) -> (60, 2) -> (7, 24) -> (6, ) -> (64, 2) -> (6, ) -> (8, 42) -> (66, 49) -> (67, 0) -> (68, ) -> (9, 60) -> Hõreda võrrandisüsteemi (29) spa Z = B (29) lahendame GNU Octavega järgmise käsuga: Z=spA\B; % V~orrandisüsteemi spa*z=b lahend

36 Raami toereaktsioonid: e e e e+ 6.62e e e e- 6/44 Varraste alguses olevad siirded jagame baasjäikusega i o Varraste algparameetrid on järgmised: ========================================================================= Algparameetrid skaleerimata Varda Nr u w fi N Q M e e+00.89e e e-0.8e e e e e e-0 2.e e e e Siirded ja sisejõud ristlõikes leiame avaldisega (0) Z = UZ A + Z (0) kus Z X on siirded ja kontaktjõud ristlõikes, Z A algparameetrid.

37 Väljavõte programmist siirete ja sisejõudude arvutamiseks. mitmeks=4; for i=:nearv krda=i; vf=eros(6,2); EI=selem(i,); % topoloogilisest kirjeldusest EA=selem(i,4); % " " GAr=selem(i,); % " " Li=lvarras(i,); q=qz(i,); q=qz(i,); al=alx(i,); F=FZ(i,); F=FZ(i,); samm=li/mitmeks; % varda neljandikel sisej~oud =0; AP=AlgPar(i,:) ; % Algparameetrid for ij=:mitmeks+ % - sisej~oud ka varda algul =0 vvf=ylfhlin(.0,,ea,gar,ei); vvb=yhq(.0,,q,q,ea,ei); vvf=yfv(.0,,al,f,f,ea,ei); Fvv(:,ij)=vvF*AP+vvB+vvF; =+samm; endfor %%% Jätkub tulemuste väljatrükk %%% 7/44

38 VardaNr=i; disp(sprintf( %s %2i %7s %8.f %28s, Sisej~oud vardas,vardanr, varda pikkus on,li, varras on jaotatud neljaks )) % for i=: disp(sprintf( %4s %9.e %9.e %9.e %9.e %9.e,suurused(i,:), Fvv(i,), Fvv(i,2), Fvv(i,), Fvv(i,4), Fvv(i,))) endfor % for i=4:6 disp(sprintf( %4s %9.f %9.f %9.f %9.f %9.f,suurused(i,:), Fvv(i,), Fvv(i,2), Fvv(i,), Fvv(i,4), Fvv(i,))) endfor %disp( ) endfor 8/44

39 Raami staatikaline kontroll 8 kn/m d e f i 0 kn k 9/44 a00 b00 c Joonis 8. Raami staatikaline kontroll 2.28 ΣX = 0; = 0 ΣZ = 0; = 0 () ΣM a = 0; = [knm] 0 (2)

40 Raami paindemomendi epüür 40/44 (EA p = 4.6*0 ) EA p = 4.6*0 6 d (24.88) (22.2) 22.9 e (.7) (8.0) 8.44 (8.44) f a.62 b c M [knm] (.6) 00 (0.2) Joonis 9. Raami paindemoment M

41 Raami põikjõu epüür (27.7) (0.0) (2.29) (0.0) 20.0 (20.29) Q 0 0 (EA r = 4.6*0 ) EA r = 4.6*0 6 [kn] Joonis 20. Raami põikjõud Q (0.0) 0 0 4/44

42 Raami normaaljõu epüür (20.29) (0.00) (EA r = 4.6*0 ) EA r = 4.6* (0.0) N [kn] Joonis 2. Raami normaaljõud N (2.29) /44

43 Viited. EST meetod: A. Lahe.The transfer matri and the boundary element method, Proc. Estonian Acad. Sci. Engng., 997,,. p Raami arvutamise programm EST meetodiga: octaveprogrammid/spraamestr.m Kasutab funktsioone: Andres+Lahe&source=bl&ots=SFfo4UCES&sig=_XLUe-SfW2FVYGR8v2LVm6V8&hl= et&ei=yqaftmeieowcooycynwp&sa=x&oi=book_result&ct=result&resnum=&ved= 0CB0Q6AEwBDgK#v=onepage&q=Andres%20Lahe&f=false 4/44

44 /44